17
17
KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA
1
Konečná krystalová mřížka a její Fourierova transformace. Mřížková a tvarová amplituda
Konečnou mřížku f (~x) — pravidelně rozmístěný motiv fU (~x) (elementární buňka) v konečné oblasti V N -rozměrného prostoru — lze matematicky popsat dvěma formálně odlišnými způsoby:
f (~x)
X
= fU (~x) ∗
δ (~x − ~x~n ) ,
(1a)
~ n∈V
f (~x)
X
= fU (~x) ∗
δ (~x − ~x~n ) s (~x) .
(1b)
~ n∈inf
Výraz (1a) je přirozenější, neboť suma představuje součet konečného počtu sčítanců (symbol ~n ∈ V vyjadřuje, že součet tvoří sčítanci, v nichž koncový bod mřížkového vektoru ~x~n 18(2) patří do oblasti V ). Ve výrazu (1b) se naproti tomu vymezuje konečná oblast V z nekonečné mřížky (sčítá se přes všechny hodnoty multiindexu ~n) pomocí tzv. tvarové funkce s(~x) (charakteristické funkce oblasti V ): s(~x)
=
1, když ~x ∈ V ,
s(~x)
=
0, když ~x 6∈ V .
(2)
Pokud předpokládáme, že konečná mřížka je tvořena jen kompletními elementárními buňkami, je výraz (1b) nezávislý na pořadí, v němž se provádí konvoluce a násobení a oba výrazy (1a) a (1b) jsou ekvivalentní. Ekvivalentní jsou i Fourierovy transformace obou výrazů (1). Jsou však vyjádřeny různými funkcemi. Fourierova transformace výrazu (1a) je podle 7.3(1) a 1.3(2) součinem ~ = FU (X)G( ~ ~ F (X) X),
(3)
v němž funkce ~ = G(X)
X
~ · ~x~n exp −ik X
(4)
~ n∈V
je součtem konečného počtu fázorů, který Laue [1] nazval mřížkovou amplitudou. Je zřejmě periodickou ~ · ~x~n je celé číslo, je funkcí s 2π h k -násobnou periodicitou reciproké mřížky a poněvadž X~ 2π ~ V ~ max G(X) X~ = . (5) =G k h VU Podíl VVU je počet elementárních buněk tvořících konečnou mřížku. Fourierova transformace výrazu (1b) je podle 7.3(1), 7.3(3), a 4.3(17) dána výrazem X 1 ~ ~ − 2π X ~ ~ ∗ S(X), ~ ~ = F (X) F ( X) δ X U AN VU k h ~ h ∈ inf
(6)
kde ~ = FT {s (~x)} = AN S(X)
Z
Z ...
~ · ~x dN ~x. exp −ik X
(7)
V
~ nazval Ewald [2] tvarovou amplitudou. Týmž termínem se označují i veličiny úměrné Funkci S(X) Fourierově transformaci tvarové funkce, zejména bezrozměrné veličiny ~ = S1 (X)
1 ~ S(X) AN V
a
~ = G1 (X)
1 ~ S(X). AN VU
~ = ~0 nabývají absolutní hodnoty těchto veličin maximálních hodnot Je zřejmé, že pro X
(8)
2
17
KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA
S(~0) = AN V,
S1 (~0) = 1,
G1 (~0) =
V . VU
(9)
S použitím tvarové amplitudy G1 lze přepsat Fourierovu transformaci (6) konečné mřížky do tvaru X ~ = FU (X) ~ ~ − 2π X ~ ~ ∗ G1 (X), ~ F (X) δ X (10) k h ~ h∈inf jenž má přesně stejnou výstavbu jako výraz (1b) charakterizující konečnou mřížku. Fourierovu trans~~ ~ rozmístěné v mřížkových bodech 2π X formaci konečné mřížky tvoří tedy tvarové amplitudy G1 (X) h k ~ reciproké mřížky a násobené Fourierovou transformací FU (X) elementární buňky. Tato analogie mezi konečnou mřížkou a její Fourierovou transformací je snad ještě zřejmější z výrazů, které se získají, když se v (1b) a (10) provede nejprve násobení a potom konvoluce:
f (~x)
=
X
s (~x~n ) fU (~x − ~x~n ) ,
(11)
~ n∈inf
~ F (X)
=
X ~ h∈inf
FU
2π ~ ~ − 2π X ~~ . X~h G1 X k k h
(12)
Obrázek 1: Fraunhoferova difrakce na dvojčetné Siemensově hvězdici. Hvězdice je vyobrazena v levém dolním rohu difrakčního obrazce. Ramena difrakčního obrazcce jsou kolmá na rovné úseky okraje hvězdice. Dvojčetné Siemensovy hvězdice je použito jako základního motivu, jehož translací vznikly mřížky na obr. 2. Jinými slovy a formálně nahlíženo, Fourierovou transformací konečné mřížky je opět „konečnáÿ mřížka, v níž tvarové amplitudy G1 hrají roli elementárních buněk fU a Fourierova transformace FU elementární buňky hraje roli tvarové funkce s a omezuje rozsah „konečnéÿ mřížky v prostoru Fourierovy transformace (srv. obrázky 2, 3 a 4). Lze v tom opět spatřovat projev reciprocity: Velkému v prostoru ~ a naopak. Věcně však není analogie mezi proměnné ~x odpovídá malé ve Fourierově prostoru proměné X konečnou mřížkou a její Fourierovou transformací tak úplná jako formálně. Už proto, že konečná mřížka je prostorově vymezena tvarovou funkcí s(~x), jež nabývá nulové hodnoty skokem (viz (2)), kdežto Fourierova transformace konečné mřížky je konečnou mřížkou ve Fourierově prostoru jen v tom smyslu, že je
17
KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA
3
Obrázek 2: Dvojrozměrné čtvercové mřížky v levém sloupci jsou tvořeny translací různě orientovaných dvojčetných Siemensových hvězdic. Fraunhoferovy difrakční jevy v pravém sloupci ukazují, že difrakční obrazec na mřížce je vymezen difrakcí na motivu vytvářejícím mřížku (v difrakčních obrazcích jsou ramena kolmá k rovným okrajům Siemensovy hvězdice).
4
17
KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA
Obrázek 3: Vliv vnějšího tvaru konečné mřížky na tvar difrakčních stop [5]. (a),(b) — dvojrozměrné mřížky s touž strukturou (čtverečnou), avšak s různými vnějšími okraji. (c), (e) a (d), (f) — Fraunhoferova difrakce z (a) a (b): (c),(d) — celá střední část difrakčního obrazce, (e), (f) — detail ukazující tvar ~ difrakčních stop (čtverec modulu mřížkové amplitudy G(X)).Vedlejší maxima uprostřed buněk reciproké mřížky zřetelná v (f ) zanikají s rostoucí velikostí mřížky. (Jejich intenzita je úměrná počtu rozptylových center, kdežto intenzita hlavních maxim roste s kvadrátem počtu rozptylových center.)
17
KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA
5
Obrázek 4: Fraunhoferova difrakce na konečné dvojrozměrné mřížce. V horní části obrázku je dvojrozměrná mřížka téhož vnějšího tvaru tvořená jednou kruhovými, jednou obdélníkovými otvory. Ve střední části obrázku jsou celé Fraunhoferovy difrakční obrazce těchto mřížek. Ukazují, že difrakční obrazec jako celek je vymezen tvarem odpovídajícím difrakci na motivu vytvářejícím mřížku (rotačně symetrický Airyho difrakční obrazec představuje difrakci na kruhovém otvoru, kříž s rameny kolmými na strany představuje difrakci na obdélníkovém otvoru). V dolní části obrázku jsou zvětšené centrální části difrakčních obrazců. Jsou téměř stejné, neboť obě difrakční mřížky mají touž strukturu. Hlavní maxima tvoří reciprokou mřížku k difrakční mřížce.
6
17
KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA
~ elementární buňky, jež jde k nule pouze asymptoticky, když vymezena Fourierovou transformací FU (X) X → ∞. Fourierovu transformaci konečné mřížky lze tedy vyjádřit dvěma formálně různými výrazy: Jednak výrazem (3) prostřednictvím mřížkové amplitudy (4), jednak výrazem (10), resp. (12) prostřednictvím tvarové amplitudy (8). Mohlo by se zdát, že k výpočtu Fourierovy transformace konečné mřížky je vždy výhodnější použít výrazu (3), který je součinem dvou zdánlivě jednoduchých funkcí, než výrazu (10) nebo (12), které představují N -násobné nekonečné řady. Lze však uvést aspoň tři důvody, které vysvětlují, proč tomu bývá právě naopak: ~ bývá obtížné vypočítat podle definice (4). Je-li totiž vnější tvar (i) Mřížkovou amplitudu G(X) mřížky poněkud komplikovanější, bývá obtížné specifikovat meze součtu (4). Proto může být užitečný vztah, který se získá porovnáním (3) a (10): ~ = G(X)
X 2π ~ ~~ = ~ ~ ∗δ X ~ − 2π X G X − X . G1 (X) 1 ~ k h k h ~ ~ h∈inf h∈inf X
(13)
~ (periodická funkce) superpozicí tvarových amplitud G1 (X) ~ (neVyjadřuje mřížkovou amplitudu G(X) periodická funkce). (ii) Je-li konečná v každém směru, má modul mřížka tvořena velkým počtem elementárních buněk ~ velmi ostré maximum v počátku, tj. G1 (X) ~ VU = S1 (X) ~ se výrazněji liší od tvarové amplitudy G1 (X) V 2π ~ ~ nuly jen v blízkosti počátku. V důsledku toho v blízkosti bodů X = k X~h platí . ~ = ~ − 2π X ~~ , G(X) G1 X k h
pokud
~ − 2π X ~ ~ 2π ~a + X , h k |k| r
(14)
~ − 2π X ~~ neboť příspěvky všech ostatních členů řady (13) jsou zanedbatelné. Tvarovou amplitudu G1 X h k ~ v okolí bodů X ~ = 2π X ~ ~ . To byl také lze tedy použít jako lokální aproximaci mřížkové amplitudy G(X) h k původní podnět ke studiu tvarové amplitudy, když v r. 1936 Laue [3] aproximoval součet (4) integrálem vyjadřujícím tvarovou amplitudu G1 . ~ je Dobrá lokální aproximace mřížkové amplitudy G tvarovou amplitudou G1 v okolíPbodů 2π h k X~ n dobře patrná na příkladu konečné jednorozměrné mřížky tvořené (2n+1) body: f (x) = j=−n δ(x−ja). Mřížková amplituda takové mřížky je n X
sin kX(2n + 1)a/2 G(X) = exp −ikXja = sin kXa/2 j=−n
(15)
a tvarová amplituda (2n+1)a/2
sin kX(2n + 1)a/2 G1 (X) = exp −ikXa dx = . kXa/2 −(2n+1)a/2 Z
(16)
Dobrá aproximace mřížkové amplitudy (15) tvarovou amplitudou (16) v okolí mřížkového bodu X = 0 je zřejmá z algebraického vyjádření obou funkcí. Obrázek 5 ilustruje tuto skutečnost pro případ mřížky tvořené devíti body. (iii) Konečná mřížka má vždy tvar nějakého N -rozměrného mnohostěnu (polygonu v E2 , mnohostěnu v E3 ). Tvarové amplitudy mnohostěnů lze poměrně snadno vypočítat, neboť — jak bylo uvedeno v odst. 13.1 — integrál (7) je vždy možné vypočíst analyticky, a tím vyjádřit tvarovou amplitudu algebraicky. V trojrozměrném případě na to upozornil Laue již v r. 1936 [3] a doporučoval využít k výpočtu integrálu (7) Abbeovy transformace (viz [5] a též dodatek D těchto přednášek). V r. 1939 Patterson [4] počítal tvarové amplitudy některých mnohostěnů tak, že rozložil mnohostěn na čtyřstěny, vypočetl tvarovou amplitudu obecného čtyřstěnu a tvarovou amplitudu mnohostěnu vyjádřil součtem tvarových amplitud čtyřstěnů. Algebraické formule pro tvarové amplitudy obecných mnohoúhelníků a mnohostěnů odvozené pomocí Abbeovy transformace 11.1(2) byly publikovány v roce 1988 [5]. S jejich pomocí lze tvarovou amplitudu mnohostěnů resp. mnohoúhelníků bez obtíží vypočítat (srov. odst. 11.2, dodatek D a publikace [6], [7]) a Fourierovu transformaci konečné mřížky je proto výhodné počítat podle vztahu (12). Přitom ~ = 2π X ~ ~ nahradit nekonečnou řadu (12) jen několika jejími je vzhledem k (14) možné v okolí bodů X h k sčítanci, často – téměř vždy – dokonce jediným, jak to ilustruje obrázek 5.
17
KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA
7
Reference [1] Laue M. v.: Materiewellen und ihre Interferenzen. 2. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Geest & Portig, Leipzig 1948. [2] Ewald P. P.: X-ray diffraction by finite and imperfect crystal lattices. The Proceedings of the Physical Society (London) 52 (1940), 167–174. [3] Laue M. v.: Die äussere Form der Kristalle in ihrem Einfluss auf die Interferenzerscheinungen an Raumgittern. Annalen der Physik. 5. Folge 26 (1936), 55–68. [4] Patterson A. L.: The Diffraction of X-Rays by Small Crystalline Particles. Phys. Rev. 56 (1939), 972–977. [5] Komrska J.: Algebraic expressions of shape amplitudes of polygons and polyhedra. Optik 80 (1988), 171–183. [6] Komrska J., Neumann W.: Crystal Shape Amplitudes of Platonic Polyhedra. I. General Aspects and the Shape Amplitudes of the Tetrahedron, Cube and Octahedron. phys. stat. sol. (a) 150 (1995), 89–111. [7] Neumann W., Komrska J.: Crystal Shape Amplitudes of Platonic Polyhedra. II. The Regular Pentagonal Dodecahedron and the Icosahedron. phys. stat. sol. (a) 150 (1995), 113–126.
8
17
KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA
(plná čára) a tvarová amplituda G1 (X) =
sin 9kXa/2
Obrázek 5: Mřížková amplituda G(X) = sin kXa/2 sin 9kXa/2 (tečkovaně) jednorozměrné mřížky tvořené devíti body. Z grafů je vidět, že tvarová amkXa/2 plituda G1 (X) dobře aproximuje mřížkovou amplitudu G(X) v okolí mřížkového bodu X = 0, tj. když |X| 2π ka .
