1
4
Mřížka tvořená body, mřížková funkce a její Fourierova transformace, reciproká mřížka
Reciproké vektory a bázi reciprokých vektorů používal již kolem r. 1880 J. W. Gibbs ve svých přednáškách o vektorové analýze ([1], str. 10–11, 83). Do strukturní analýzy zavedli pojem reciproké mřížky P. Ewald a M. v. Laue hned při jejím vzniku v r. 1913 [2]. Důvodem k tomu bylo usnadnění výpočtů analytické geometrie lineárních útvarů při použití soustavy souřadnic s neortonormální bází, již je nezbytné použít, jsou-li studovány krystaly s nižší symetrií (nekubické). Od té doby náleží reciproká mřížka k základním pojmům krystalografie, fyziky pevných látek a dalších oborů. Uvedení klasikové i autoři učebnic a příruček definují bazální vektory ~a + s reciproké mřížky algebraicky (viz vztahy 4.2(1) v dalším textu resp. dodatek C.1). Potom se však v učebnicích a příručkách používá reciproké mřížky jako Fourierovy transformace mřížky. Důkaz tohoto tvrzení však až na výjimky ([3], str. 85–87) nebývá uváděn. Možná proto, že u neortogonálních soustav není tento důkaz jednoduchý. Sám fakt, že reciproká mřížka je Fourierovou transformací mřížky je ovšem důležitý nejen při studiu krystalických pevných látek, ale také např. pro vyjádření Fourierovy řady periodických funkcí dvou a více proměnných, jejichž periody nejsou v ortogonálních směrech, pro formulaci vzorkovacího teorému v prostorech s dimenzí N ≥ 2 apod. V této kapitole proto uvedeme nejprve onu algebraickou definici reciproké mřížky (odst. 4.2) a potom podrobně podáme důkaz, že reciproká mřížka je Fourierovou transformací mřížky (odst. 4.3). Přitom získáme výraz pro Fourierovu řadu obecné mřížkové funkce (odst. 4.4), tj. i takové, jež charakterizuje mřížky periodické pouze v neortogonálních směrech.
4.1
Mřížková funkce
N –rozměrnou mřížku s bazálními vektory ~ar , r = 1, 2, . . . , N , tvořenou body, charakteristizuje tzv. mřížková funkce f (~x) =
X
X δ ~x − n1~a1 − n2~a2 − · · · − nN ~aN = δ ~x − ~x~n ,
~ n ∈ inf
(1)
~ n ∈ inf
kde ~x~n = n1~a1 + n2~a2 + · · · + nN ~aN
(2)
značí mřížkový vektor a symbol ~n ∈ inf vyjadřuje, že všechny složky n1 , n2 , . . . , nN multiindexu ~n nabývají všech celočíselných hodnot. Mřížková funkce (1) je tedy N –násobnou řadou Diracových distribucí N proměnných. Vytvořme matici
a11 a12 · · · a1N
a21 a22 · · · a2N
A = kars k = . (3) .. .. , ..
..
. . .
aN 1 aN 2 · · · aN N jejíž řádky tvoří souřadnice ars bazálních vektorů ~ar mřížky v soustavě souřadnic s ortonormální bází (~e1 , ~e2 , . . . , ~eN ). Považujeme-li proměnnou ~x i multiindex ~n za sloupcové matice vytvořené souřadnicemi xr v uvedené ortogonální bázi resp. celými čísly nr , můžeme mřížkovou funkci napsat též ve tvaru f (~x) =
X
δ ~x − AT ~n .
(4)
~ n ∈ inf
Determinant matice A se nazývá vnější součin vektorů ~ar , r = 1, 2, . . . , N , (viz např. [4], str. 95). ~a1 , ~a2 , . . . , ~aN = det A.
(5)
Jeho absolutní hodnota nezávisí na volbě ortonormální báze a definuje (viz např. [9], str. 216) objem VU N –rozměrného rovnoběžnostěnu (elementární buňky), jehož hrany tvoří bazální vektory ~ar mřížky: |det A| = VU .
(6)
2
4
MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE
Nezávislost absolutní hodnoty vnějšího součinu na volbě ortonormální báze (~e1 , ~e2 , . . . , ~eN ) nahlédneme, vypočteme-li jeho druhou mocninu: 2 2 ~a1 , ~a2 , . . . , ~aN = det A = det A det AT = det AAT = det k~ar · ~as k = det G. (7) Symbol AT označuje matici transponovanou k matici A a ~a1 · ~a1 ~a1 · ~a2 ~a · ~a 2 1 ~a2 · ~a2 det G = .. .. . . ~a · ~a ~a · ~a N 1 N 2
··· ··· .. . ···
~a1 · ~aN ~a2 · ~aN .. . ~aN · ~aN
(8)
je Gramův determinant bazálních vektorů mřížky, jehož nezávislost na soustavě souřadnic je zřejmá. Že je absolutní hodnota vnějšího součinu objemem elementární buňky, je zřejmé pro dimenze prostoru N = 1, 2 a 3, kdy jde o délku, plochu a objem v obvyklém smyslu slova. Že je tomu tak i pro N ≥ 4 vyplývá z toho, že [~a1 , ~a2 , . . . , ~aN ] má vlastnosti kladené na objem ([4], str. 95, [9], str. 216–217), např.: (i) [~a1 , ~a2 , . . . , ~aN ] = 0 tehdy a jen tehdy, když vektory tvořící vnější součin jsou lineárně závislé. (ii) Znásobíme-li jeden z vektorů tvořících vnější součin číslem α, potom se také vnější součin znásobí číslem α. (iii) [a1 , a2 , . . . , aN ] ≤ a1 a2 · · · aN , kde ar značí délku vektoru ~ar .
4.2
Algebraická definice reciproké mřížky
V polovině minulého století doporučovala Mezinárodní krystalografická unie definovat bazální vektory ar skalárními součiny ~a + s mřížky reciproké k mřížce o bazálních vektorech ~ ~ar · ~a + s = K δrs ,
r, s = 1, 2, . . . , N,
kde K je tzv. reciproká konstanta (viz [6], str. 12), jejíž hodnotu lze případ od případu vhodně volit. Kdybychom chtěli tohoto doporučení využít, volili bychom K = 2π/k a ukázalo by se (srov. 4.3(5), (13), (17) v dalším textu), že při každé volbě parametrů A, B, k je Fourierova transformace mřížkové funkce úměrná mřížkové funkci reciproké mřížky. Doporučení Unie však zůstalo nevyslyšeno a v krystalografii, nauce o materiálu a příbuzných technických oborech se důsledně volí K = 1 (viz např. [3], str. 386, [5], str. 63), zatímco ve fyzice pevných látek a příbuzných oborech, fyzice povrchů a fyzikálně laděných aplikacích se volí K = 2π (viz např. [7], str. 62, [8], str. 87). Někdy se vedou i spory o to, která ze dvou posledně jmenovaných eventualit je ta „ jedině správnáÿ (viz [10], str. 62). Přidržíme se zde zvyklostí krystalografie, i když to poněkud zkomplikuje formuli vyjadřující Fourierovu transformaci mřížkové funkce. Definujeme tedy bazální vektory ~a + s reciproké mřížky skalárními součiny ~ar · ~a + s = δrs ,
r, s = 1, 2, . . . , N.
(1)
Z této definice je zřejmé jednak, že reciproká mřížka k reciproké mřížce je původní mřížka, jednak, že bazální vektor ~a + ar původní mřížky s výjimkou s reciproké mřížky je kolmý ke všem bazálním vektorům ~ vektoru ~as . Definice (1) je implicitní definicí bazálních vektorů reciproké mřížky, jež nedává bez dalších výpočtů explicitní vyjádření vektorů ~a + ar původní mřížky. Abychom taková s prostřednictvím bazálních vektorů ~ explicitní vyjádření dostali, přepíšeme N 2 rovnic (1) v maticovém tvaru A A+
T
= I,
(2)
kde
+
a 11
a+
21 A+ = a + st =
...
a+ N1
a+ 12
···
a+ 22 .. .
··· .. . ···
a+ N2
a+ 1N
a+ 2N .. .
+ a NN
(3)
4.2
Algebraická definice reciproké mřížky
3
je matice, jejíž řádky tvoří souřadnice bazálních vektorů ~a + s reciproké mřížky v ortonormální soustavě souřadnic a I je jednotková matice. Z (2) je zřejmé, že A+ = A−1
T
,
tj.
(−1)
a+ st = a ts
.
(4)
Vyjádřeno slovy: Tvoří-li
matice A souřadnice bazálních vektorů původní mřížky, jsou sloupce
řádky
(−1) −1 inverzní matice A = a st tvořeny souřadnicemi bazálních vektorů reciproké mřížky: ~a + s =
N X
a+ et = st ~
N X
t=1
s+t
(−1)
t=1
det Ast ~et , det A
s = 1, 2, . . . N,
(5)
kde det Ast je subdeterminant, který vznikne z det A vynecháním s–tého řádku a t–tého sloupce. Vztah (5) lze zapsat ještě jednodušším způsobem: Vytvořme matici ~As tak, že s–tý řádek matice A nahradíme vektory ~e1 , ~e2 , . . . , ~eN ortonormální báze. Pak součet N X
s+t
(−1)
det Ast ~et = det ~As
t=1
představuje rozvoj determinantu det ~As podle prvků s–tého řádku a vyjádření (5) bazálních vektorů ~a + s reciproké mřížky získává jednoduchý tvar ~a + s =
det ~As , det A
s = 1, 2, . . . , N.
(6)
Nevýhodou tohoto vyjádření je, že je vztaženo na nějakou ortonormální soustavu souřadnic. Vztah (6) ar v ortonormální soustavě de facto dává souřadnice vektoru ~a + s prostřednictvím souřadnic art vektorů ~ souřadnic. Je pravda, že tato ortonormální soustava může být libovolná. Přesto usilujeme o vyjádření, které by použití ortonormální soustavy souřadnic nevyžadovalo. Naštěstí v E3 je vnější součin det A = ~a1 · (~a2 × ~a3 ) a det ~A1 = ~a2 × ~a3 ,
det ~A2 = ~a3 × ~a1 ,
det ~A3 = ~a1 × ~a2 .
Vztahy (6) tak v E3 představují populární vyjádření bazálních vektorů reciproké mřížky přímo bazálními vektory mřížky: ~a + 1 =
~a2 × ~a3 , ~a1 · (~a2 × ~a3 )
~a + 2 =
~a3 × ~a1 , ~a1 · (~a2 × ~a3 )
~a + 3 =
~a1 × ~a2 . ~a1 · (~a2 × ~a3 )
(7)
Tak je tomu však jenom pro N = 3. Abychom se odpoutali od nutnosti použít nějaké ortonormální soustavy souřadnic také v případě obecné dimenze N , rozšíříme zlomek v (6) determinantem det AT . Ve jmenovateli (6) tím dostaneme det A det AT = det G a v čitateli det ~As det AT = det ~Gs , kde det ~Gs je determinant vzniklý nahrazením prvků s–tého řádku Gramova determinantu bazálními vektory ~a1 , ~a2 , . . . , ~aN mřížky. Bazální vektory ~a + s reciproké mřížky tak dostáváme vyjádřeny přímo prostřednictvím bazálních vektorů ~ar mřížky, a nikoli prostřednictvím jejich souřadnic: ~a + s =
det ~Gs , det G
s = 1, 2, . . . , N.
(8)
Poznámka: Výrazy (8) lze odvodit i bez použití ortonormální soustavy souřadnic a matice A: Vektory ~a + s rozložíme v bázi tvořené bazálními vektory mřížky ~a + a1 + · · · + αsN ~aN , s = αs1~
s = 1, 2, . . . , N,
(9)
a znásobíme každý z těchto rozkladů postupně vektory ~ar , r = 1, 2, . . . , N . Podle definice (1) tak dostaneme αs1~a1 · ~ar + · · · + αsN ~aN · ~ar = δrs ,
r, s = 1, 2, . . . , N.
(10)
4
4
MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE
Při pevném s představuje (10) soustavu N lineárních algebraických rovnic pro N koeficientů αs1 , αs2 , . . ., αsN . Determinant této soustavy je Gramův determinant 4.1(8). Pravou stranu soustavy (10) tvoří nuly, když r 6= s a jedna, když r = s. Cramerovo pravidlo pak dává velmi jednoduché řešení soustavy rovnic (10) pro koeficienty αst : det Gst , t = 1, 2, . . . , N, (11) det G kde det Gst je subdeterminant příslušející v Gramově determinantu prvku ~as ·~at . Dosadíme-li řešení (11) do (9), dostaneme s+t
αst = (−1)
~a + s =
N det ~Gs 1 X s+t (−1) ~at det Gst = , det G t=1 det G
což je (8). Použijeme nyní (8) a napíšeme výrazy pro bazální vektory v E1 a E2 : V E1 zřejmě je ~a , a2
~a + =
~a =
~a + . (a + )2
(12)
V E2 je ~a ~a2 1 ~a2 · ~a1 a22
~a + 1 = 2 ~a1 · ~a2 a1 ~a2 · ~a1 a22
a2 ~a · ~a 1 2 1 ~a1 ~a2
~a + 2 = 2 ~a1 · ~a2 a1 ~a2 · ~a1 a22
,
,
tj. ~a + 1 =
a22~a1 − (~a1 · ~a2 ) ~a2 a21 a22
2
− (~a1 · ~a2 )
~a + 2 =
,
a21~a2 − (~a1 · ~a2 ) ~a1 2
a21 a22 − (~a1 · ~a2 )
.
(13)
Naopak ~a1 =
2 + + a+ ~a 1 − ~a + a+ a2 2 1 ·~ 2 ~ , + 2 + 2 + + 2 a1 a2 − ~a 1 · ~a 2
~a2 =
2 + + a+ ~a 2 − ~a + a+ a1 2 1 ·~ 2 ~ . + 2 + 2 + + 2 a1 a2 − ~a 1 · ~a 2
(14)
V E3 jsou tradičně používané výrazy (7) mnohem jednodušší než (8) a tato jednoduchost vybízí k tomu, aby se jich využívalo také pro dvojrozměrné mřížky. V E2 však není definován vektorový součin. Tato nesnáz se obchází tím, že se ke dvěma bazálním vektorům ~a1 , ~a2 dvojrozměrné mřížky přidá jednotkový vektor ~n kolmý k dvojrozměrné mřížce tak, aby vektory ~a1 , ~a2 , ~n tvořily trojrozměrnou pravotočivou bázi. Podle (7) se pak vypočtou bazální vektory reciproké mřížky (viz např. [8], str. 87) ~a2 × ~n ~n × ~a1 , ~a + . (15) 2 = |~a1 × ~a2 | |~a1 × ~a2 | Ekvivalenci výrazů (15) a (13) snadno nahlédneme, vyjádříme-li jednotkový vektor ~n prostřednictvím bazálních vektorů ~a1 , ~a2 , ~a + 1 =
~a1 × ~a2 , (16) |~a1 × ~a2 | ~ = (~a ·~c)(~b· d)−(~ ~ ~ ~b·~c). dosadíme do (15) a použijeme identit ~a ×(~b×~c) = (~a ·~c)~b−(~a ·~b)~c, (~a ×~b)·(~c × d) a · d)( Dostaneme tak ~n =
~a + 1 =
~a2 × (~a1 × ~a2 ) (~a1 × ~a2 )2
=
a22~a1 − (~a1 · ~a2 )~a2 , a21 a22 − (~a1 · ~a2 )2
~a + 2 =
(~a1 × ~a2 ) × ~a1 (~a1 × ~a2 )2
=
a21~a2 − (~a1 · ~a2 )~a1 , a21 a22 − (~a1 · ~a2 )2
ve shodě s (13). (Co se týká nedůležitého třetího bazálního vektoru reciproké trojrozměrné báze, je zřejmé ze (16), že ~a + n.) 3 =~
4.2
Algebraická definice reciproké mřížky
4.2.1
5
Příklad: Reciproká mřížka k primitivní obdélníkové mřížce v E2
Vypočítáme bazální vektory reciproké mřížky k primitivní obdélníkové mřížce v E2 s poměrem délek bazálních vektorů 1:2 a s delší stranou elementární buňky ve svislém směru. Délky bazálních vektorů ~a1 , ~a2 označíme a1 = a, a2 = 2a (viz obr. 1(a)), takže a21 = a2 , a22 = 4a2 , ~a1 · ~a2 = 0. Ze vztahů (13) pak ~ a2 ~ a1 a+ vyplývají bazální vektory reciproké mřížky ve tvaru ~a + 2 = (2a)2 . Mají tedy bazální vektory 1 = a2 , ~ + 1 1 reciproké mřížky týž směr jako bazální vektory původní mřížky a jejich velikosti jsou a+ 1 = a , a2 = 2a . Reciproká mřížka je opět primitivní obdélníková, avšak s poměrem stran elementární buňky 2:1, tj. s delší stranou ve vodorovném směru (viz obr. 1(b)). Kdybychom z nějakého důvodu nezvolili bazální vektory naší obdélníkové mřížky ortogonální, ale nějaké jiné, dostaneme ovšem touž reciprokou mřížku; bude mít pouze jiné bazální vektory: Zvolme za bazální vektory mřížky např. vektory ~a01 a ~a02 podle obr. 2 02 2 1(c). Zřejmě je a02 a01 · ~a02 = 6a2 , takže ze vztahů (13) vyplývají pro bazální vektory 1 = 8a , a2 = 5a , ~ 3 0 3 0 5 0 ~ a − a2 /a2 , ~a0+ a1 + 2~a02 /a2 Velikosti těchto vektorů jsou reciproké mřížky výrazy ~a0+ = 2 = − 2~ 1 4 1 2~ √ √ 0+ 0+ a1 = 5/2a, a2 = 2/a (viz obr. 1(d)).
Obrázek 1: Dvojrozměrná primitivní obdélníková mřížka (a), (c) s různě zvolenými bazálními vektory a její reciproká mřížka (b), (d).
6 4.2.2
4
MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE
Příklad: Reciproká mřížka k centrované obdélníkové mřížce v E2
Vypočítáme reciprokou mřížku k centrované obdélníkové mřížce v E2 s poměrem stran obdélníkové elementární buňky 1:2 a s delší stranou ve svislém směru. Zvolíme neortogonální bazální vektory ~a1 , ~a2 podle obr. 2(a). Zřejmě je a21 = a2 , a22 = 5a2 /4 , ~a1 .~a2 = a2 /2. Z rovnic (13) pak vyplývá, že = − 12 ~a1 + ~a2 /a2 . Jejich velikosti bazální vektory reciproké mřížky jsou ~a + = 54 ~a1 − 12 ~a2 /a2 , ~a + 2 1 √ jsou a+ 5/2a , a+ 1 = 2 = 1/a (viz obr. 2(b)). Reciproká mřížka je tedy opět centrovaná obdélníková mřížka, avšak s poměrem stran elementární buňky 2:1, tj. s delší stranou ve vodorovném směru.
Obrázek 2: Dvojrozměrná centrovaná obdélníková mřížka (a) s bazálními vektory ~a1 , ~a2 definujícími primitivní mřížku a její reciproká mřížka (b).
4.3
Reciproká mřížka a Fourierova transformace mřížkové funkce
Výpočet Fourierovy transformace mřížkové funkce 4.1(1) provedeme natřikrát: Nejprve v E1 (odst. 4.3.1). V tomto případě dává výpočet Fourierových integrálů Fourierovu transformaci ve tvaru Fourierovy řady. Tato Fourierova řada je současně geometrickou řadou s kvocientem, jehož absolutní hodnota se rovná jedné. Jejím součtem je nekonečná řada Diracových distribucí, jež je úměrná mřížkové funkci reciproké mřížky. Výpočet v E2 (odst. 4.3.2) využívá uvedených vlastností jednorozměrné mřížkové funkce. Vyžaduje však také několik obratů typických pro odvozování Fourierovy transformace vícerozměrné mřížkové funkce. Přitom však zůstává geometricky názorný. Výpočet v EN (odst. 4.3.3) je formálně identický s výpočtem v E2 . Ve všech případech se ukáže, že Fourierova transformace mřížkové funkce je úměrná mřížkové funkci reciproké mřížky s reciprokou konstantou K = 2π/k. 4.3.1
Fourierova transformace mřížkové funkce v E1
V jednorozměrném případě má mřížková funkce tvar ∞ X
f (x) =
δ(x − na)
(1)
n=−∞
a představuje periodické rozmístění Diracových distribucí jedné proměnné s periodou a (viz obr. 3(a)). Můžeme ji tedy formálně vyjádřit ve tvaru Fourierovy řady f (x) =
∞ X h=−∞
x ch exp i 2π h . a
Pozoruhodné je, že v případě mřížkové funkce (1) mají všechny koeficienty ch touž hodnotu. Platí totiž
4.3
Reciproká mřížka a Fourierova transformace mřížkové funkce
ch
Za/2
1 |a|
=
7
x f (x) exp −i 2π h dx = a
−a/2
Za/2 X ∞
1 |a|
=
−a/2
Za/2
1 |a|
=
x dx = δ (x − na) exp −i 2π h a n=−∞
x 1 δ (x) exp −i 2π h dx = . a |a|
−a/2
Fourierova řada mřížkové funkce v E1 má tedy tvar ∞ ∞ 1 X x 1 X = exp i 2π h exp i 2π h a+ x , δ (x − na) = |a| a |a| n=−∞ ∞ X
h=−∞
(2)
h=−∞
což je geometrická řada s kvocientem rovným komplexní jednotce exp i 2π xa . To je důležitý výsledek, jehož budeme používat při výpočtech Fourierovy transformace mřížkové funkce vícerozměrné mřížky. Připravíme si tedy potřebnou formuli tím, že využijeme (2) k vyjádření součtu geometrické řady s kvocientem q = exp(ibx): ∞ X h=−∞
∞ 2π X 2π exp (ibhx) = δ x−n . |b| n=−∞ b
(3)
Fourierovu transformaci jednorozměrné mřížkové funkce můžeme nyní počítat buď přímo z definičního výrazu (1) nebo z její Fourierovy řady (2). Zvolíme první způsob. Záměnou pořadí integrace a sčítání a použitím výběrové vlastnosti Diracovy distribuce dostaneme Fourierovu transformaci mřížkové funkce (1) ve tvaru Fourierovy řady:
Z F (X)
∞
∞ X
"
= A = A = A
# δ x − na exp −ikXx dx =
−∞
n=−∞
∞ X
Z
n=−∞ ∞ X
∞
δ x − na exp −ikXx dx =
−∞ ∞ X exp −ikXna = A exp ikXna .
n=−∞
(4)
n=−∞
Fourierova řada (4) Fourierovy transformace mřížkové funkce (1) je geometrickou řadou s kvocientem exp(ikXa). Podle (3) jde tedy o Fourierovu řadu funkce F (X) = A
∞ 2π X 2π h δ X− . |ka| k a h=−∞
Dospíváme tak k závěru, že Fourierova transformace jednorozměrné mřížkové funkce s periodou a je úměrná jednorozměrné mřížkové funkci s periodou 2π ka : ( FT
∞ X
n=−∞
) δ x − na
∞ ∞ X X 1 2π h 1 2π + = δ X− = δ X− ha . B|a| k a B|a| k h=−∞
h=−∞
Jednorozměrná mřížková funkce (1) i její Fourierova transformace (5) je znázorněna na obr. 3.
(5)
8
4
MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE
f(x)
F(X)
1
1 B |a |
-a
- 2π ka
a 2a 3a x
0
2π ka
0
2 2π ka (b)
(a)
32π ka
X
Obrázek 3: Lineární mřížka 4.3.1(1) s parametrem a, (a) a její Fourierova transformace 4.3.1(5), (b). 4.3.2
Fourierova transformace mřížkové funkce v E2
Ve dvojrozměrném prostoru má mřížková funkce tvar
f (~x) = f (x1 , x2 )
=
=
∞ X
∞ X
δ ~x − n1~a1 − n2~a2
n1 =−∞ n2 =−∞ ∞ ∞ X X
=
δ x1 − n1 a11 − n2 a21 , x2 − n1 a12 − n2 a22 .
(6)
n1 =−∞ n2 =−∞
Přímým výpočtem Fourierovy transformace této funkce
~ F (X)
2
= A
= A2 = A2
Z∞ Z " X ∞
∞ X
# δ ~x − n1~a1 − n2~a2
~ · ~x d2 ~x = exp −ik X
−∞ n1 =−∞ n2 =−∞ ∞ ∞ X X
~ · (n1~a1 + n2~a2 ) = exp −ik X
n1 =−∞ n2 =−∞ ∞ ∞ X X
~ · (n1~a1 + n2~a2 ) exp ik X
(7)
n1 =−∞ n2 =−∞
dostáváme Fourierovu transformaci opět vyjádřenou Fourierovou řadou, tentokráte ovšem dvojnou. Je však zřejmé, že ji lze vyjádřit součinem dvou jednoduchých řad: ~ = A2 F (X)
∞ X
∞ X ~ · ~a1 )n1 ~ · ~a2 )n2 . exp ik(X exp ik(X
n1 =−∞
n2 =−∞
(8)
~ · ~a1 ) resp. exp(ik X ~ · ~a2 ). Podle (3) jde tedy Každá z nich je geometrickou řadou s kvocientem exp(ik X o Fourierovy řady funkcí 2π |k|
∞ X h1 =−∞
~ · ~a1 − h1 2π δ X k
resp.
2π |k|
∞ X h2 =−∞
~ · ~a2 − h2 2π . δ X k
(9)
Fourierovu transformaci (8) můžeme přepsat do tvaru ~ = A2 F (X)
2π k
2 X ∞ h1 =−∞
~ · ~a1 − h1 2π δ X k
X ∞ h2 =−∞
~ · ~a2 − h2 2π δ X k
.
(10)
Dříve než budeme pokračovat v úpravách výrazu (10), všimněme si geometrického významu jednoduchých řad v tomto výrazu (viz obr. 4). Je zřejmé, že v E2 představují rovnice ~ · ~ai = 2π hi , X k
tj.
~ · ~ai = 2π hi , X ai kai
hi = 0, ±1, ±2, . . .
4.3
Reciproká mřížka a Fourierova transformace mřížkové funkce
9
a2 a1 2π ka 2
a2+
a2 a1
a1+
2π ka 1 Obrázek 4: K odvození Fourierovy transformace mřížkové funkce v E2 . V horní části obrázku je mřížka s bazálními vektory ~a1 , ~a2 . V dolní části obrázku je její reciproká mřížka s bazálními vektory ~a + a+ 1,~ 2. 2π kai
kolmých k vektoru ~ai . Součin řad v (10) tedy předsta~ určených vuje soustavu Diracových distribucí dvou proměnných s nenulovými hodnotami v bodech X podmínkami
soustavu rovnoběžných přímek s roztečí
~ · ~a1 = 2π h1 , X a1 ka1
~ · ~a2 = 2π h2 , X a2 ka2
h1 , h2 = 0, ±1, ±2, . . . ,
tj. v bodech ~ = 2π h1~a + + h2~a + X 1 2 k tvořících dvojrozměrnou reciprokou mřížku s reciprokou konstantou K = 2π k . K tomuto výsledku ovšem dojdeme algebraickými úpravami výrazu (10), aniž bychom se opírali o geometrickou představu, a ještě jej doplníme. Za tím účelem vyjádříme součin dvou jednoduchých řad v (10) dvojnou řadou Diracových distribucí dvou proměnných. Fourierova transformace (10) tak získá tvar ~ = 1 F (X) B2
∞ X
∞ X
h1 =−∞ h2 =−∞
~ · ~a1 − 2π h1 , X ~ · ~a2 − 2π h2 . δ X k k
(11)
Pohlížíme-li na argument Diracových distribucí dvou proměnných v (11) jako na řádkovou matici, mů~ považujeme za řádkovou matici, jejímiž prvky jsou souřadnice žeme jej upravovat. Přitom proměnnou X X1 , X2 v ortonormální bázi a multiindex ~h považujeme za řádkovou matici, jejímiž prvky jsou celá čísla h1 , h2 .
10
4
MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE
2π
~ · ~a1 , X ~ · ~a2 ~ · ~a1 − 2π h1 , X ~ · ~a2 − 2π h2 =
X − X , h
h 1 2 =
k k k
a11 a21
− 2π
= X1 , X2
h1 , h2 =
a12 a22 k ~ AT − 2π ~h = = X k −1 2π ~h AT ~ − = X AT = k ~ − 2π ~h A+ AT . = X k
(12)
Fourierovu transformaci (11) s takto vyjádřeným argumentem Diracových distribucí můžeme dále upravovat a vrátit se od maticového vyjádření k vektorovému, jež nezávisí na volbě ortonormální báze:
~ F (X)
=
1 B2
=
1 B2
=
1 B2
=
1 B2
∞ X
∞ X
2π ~ + ~ δ X− hA AT = k h1 =−∞ h2 =−∞ ∞ ∞ X X 1 ~ − 2π ~h A+ = δ X | det A| k h1 =−∞ h2 =−∞ 1 X 2π 2π + + + h1 a + + h a , X − h a + h a δ X1 − = 2 21 2 1 12 2 22 11 VU k k ~ h ∈ inf 1 X 2π + + ~ δ X− h1~a 1 + h2~a 2 . VU k
(13)
~ h ∈ inf
Zde VU = | det A| je plocha elementární buňky původní mřížky (viz 4.1(6)). Fourierova transformace (13) mřížkové funkce funkce (6) je tedy úměrná (s konstantou úměrnosti 1/(B 2 VU )) mřížkové funkci reciproké mřížky s reciprokou konstantou K = 2π/k. 4.3.3
Fourierova transformace mřížkové funkce v EN
K témuž výsledku jako v E2 se dospěje i v obecném případě mřížkové funkce v EN . Algebraické a analytické úpravy jsou stejné jako v E2 , pouze geometrická názornost chybí. Počítáme tedy Fourierovu transformaci mřížkové funkce 4.1(1): ( ~ F (X)
=
) X
FT
δ (~x − n1~a1 − n2~a2 − · · · − nN ~aN )
=
~ n ∈ inf
= AN
Z
∞Z
··· −∞
= AN
X
X
~ · ~x dN ~x = δ ~x − n1~a1 − n2~a2 − · · · − nN ~aN exp −ik X
~ n ∈ inf
~ · (n1~a1 + n2~a2 + · · · + nN ~aN ) = exp −ik X
~ n ∈ inf N
= A
X
~ · (n1~a1 + n2~a2 + · · · + nN ~aN ) . exp ik X
(14)
~ n ∈ inf
Výraz (14) představuje Fourierovu transformaci N –rozměrné mřížkové funkce ve tvaru N –násobné Fourierovy řady. Tuto řadu lze bez problémů faktorizovat a záměnou pořadí sčítání a násobení přepsat do tvaru součinu N jednoduchých geometrických řad:
4.4
Fourierova řada mřížkové funkce v EN
~ F (X)
= AN
11
N X Y
h i ~ · ~aj nj = exp ik X
~ n ∈ inf j=1
= AN
N ∞ Y X
h i ~ · ~aj nj . exp ik X
(15)
j=1 nj =−∞
Každou jednoduchou geometrickou řadu v (15) lze (podle (3)) vyjádřit jednoduchou řadou Diracových distribucí jedné proměnné: ~ = AN F (X)
2π k
N Y N ∞ X j=1 hj =−∞
~ · ~aj − 2π hj . δ X k
Analogicky k (11) vyjádříme součin jednoduchých řad Diracových distribucí jedné proměnné N –násobnou řadou Diracových funkcí N proměnných: X ~ · ~a1 + 2π h1 , . . . , X ~ · ~aN + 2π hN . ~ = 1 δ X F (X) BN k k ~ h ∈ inf
Argument těchto Diracových distribucí považujeme za řádkovou matici a úpravou obdobnou k (12) dostaneme ~ F (X)
=
1 X 2π ~ T ~ h = δ XA − BN k ~ h ∈ inf
=
−1 1 X ~ − 2π ~h AT X δ AT = BN k ~ h ∈ inf
=
X 1 1 ~ − 2π ~h A+ . δ X B N | det A| k
(16)
~ h ∈ inf
Přejdeme-li — obdobně jako v (13) — od maticového vyjádření argumentu Diracových distribucí k vyjádření prostřednictvím bazálních vektorů reciproké mřížky a použijeme-li vztahu 4.1(6), získáme Fourierovu transformaci mřížkové funkce ve tvaru ~ F (X)
=
=
1 1 X ~ − 2π h1~a + + h2~a + + · · · + hN ~a + δ X = 1 2 N B N VU k ~ h ∈ inf 1 1 X 2π ~ ~ δ X− X~ , B N VU k h
(17)
~ h ∈ inf
kde ~ ~ = h1~a + + h2~a + + · · · + hN ~a + X 1 2 N h
(18)
je mřížkový vektor reciproké mřížky. Fourierova transformace (17) mřížkové funkce v jejím nejobecnějším tvaru 4.1(1) je zřejmě úměrná (s koeficientem úměrnosti 1/(B N VU )) mřížkové funkci reciproké mřížky s reciprokou konstantou K = 2π/k.
4.4
Fourierova řada mřížkové funkce v EN
Při odvozování Fourierovy transformace mřížkové funkce jsme tuto transformaci získali nejprve ve tvaru její Fourierovy řady. V jednorozměrném případě je to výraz 4.3(4) ve dvourozměrném 4.3(7) a v N – rozměrném 4.3(14). Ve všech těchto případech je v exponentu jednotlivých sčítanců skalární součin pro~ a mřížkového vektoru ~x~n mřížky, nikoli reciproké mřížky, jak bychom mohli čekat u Fourierovy měnné X transformace.
12
REFERENCE
Naskýtá se otázka, jak vypadá Fourierova řada mřížkové funkce. Pro jednorozměrný případ jsme ji vypočetli a výraz 4.3(2) ukazuje, že v exponentu sčítanců je součin proměnné x a mřížkového vektoru reciproké mřížky ha+ . Kdybychom se v obecném N –rozměrném případě omezili jen na mřížkové funkce, jejichž bazální vektory ~ar jsou navzájem ortogonální, bylo by snadné je faktorizovat, vypočítat Fourierovu řadu v každé proměnné a potom jednotlivé faktory opět složit. V obecném případě, kdy vektory ~ar nejsou ortogonální, však takto postupovat nelze. Naštěstí můžeme v každém případě získat Fourierovu řadu mřížkové funkce 4.1(1) zpětnou Fourierovou transformací Fourierovy transformace mřížkové funkce ve tvaru 4.3(17): X
δ ~x − n1~a1 − n2~a2 − · · · − nN ~aN
=
~ n ∈ inf
=
1 1 X 2π ~ − δ X h1~a + a+ FT−1 a+ = 1 + h2~ 2 + · · · + hN ~ N B N VU k ~ h ∈ inf
=
=
1 VU
∞Z
Z
··· −∞
X ~ h ∈ inf
2π + + + ~ ~ · ~x dN X ~ = h1~a 1 + h2~a 2 + · · · + hN ~a N exp ik X δ X− k
1 X exp i 2π h1~a + a+ a+ x . 1 + h2~ 2 + · · · + hN ~ N ·~ VU
(1)
~ h ∈ inf
Je zřejmé, že v jednorozměrném případě se vztah (1) redukuje na 4.3.1(2), ve dvojrozměrném případě je ∞ X
∞ X
δ ~x − n1~a1 − n2~a2 =
n1 =−∞ n2 =−∞
1 |~a1 × ~a2 |
∞ X
∞ X
exp i 2π h1~a + a+ x 1 + h2~ 2 ·~
h1 =−∞ h2 =−∞
a pro N = 3 ∞ X
∞ X
∞ X
δ ~x − n1~a1 − n2~a2 − n3~a3
=
n1 =−∞ n2 =−∞ n3 =−∞
1 = ~a1 ~a2 × ~a3
∞ X
∞ X
∞ X
exp i 2π h1~a + a+ a+ x . 1 + h2~ 2 + h3~ 3 ·~
h1 =−∞ h2 =−∞ h3 =−∞
Mřížkové funkce ve tvaru Fourierovy řady (1) se používá k vyjádření elektronové hustoty v krystalických látkách ([5], str. 169, [6], str. 353 a další), k odvození vzorkovacího teorému funkcí více proměnných používajícího jinou než ortogonální vzorkovací síť [11] a jinde.
Reference [1] Gibbs J. W.: Elements of Vector Analysis. Tuttle, Morehouse and Taylor, New Haven 1881–4. [2] Ewald P.: Historisches und Systematisches zum Gebrauch des „Reziproken Gittersÿ in der Kristallstrukturlehre. Zeitschrift für Kristallographie 93 (1936), 396–398. [3] Guinier A.: X–Ray Diffraction In Crystals, Imperfect Crystals, and Amorphous Bodies. W. H. Freeman and Co., San Francisco 1963. [4] Čech E.: Základy analytické geometrie I. Přírodovědecké vydavatelství, Praha 1951. [5] Giacovazzo C. et al.: Fundamentals of Crystallography. International Union of Crystallography, Oxford University Press 1992.
REFERENCE
13
[6] Henry N. F. M., Lonsdale K. (eds.): International Tables for X-Ray Crystallography. Vol. 1. The Kynoch Press, Birmingham 1952. [7] Kittel Ch.: Úvod do fyziky pevných látek. Academia, Praha 1985. [8] Lüth H.: Surfaces and Interfaces of Solid Materials. 3rd ed. Springer Verlag, Berlin 1995. [9] Gantmacher F. R.: Těorija matric. 4. izd. Izdatěl’stvo Nauka, Moskva 1988. [10] Kittel Ch.: Introduction to Solid State Physics. 4th ed., John Wiley, Inc., New York 1971. [11] Petersen D. P., Middleton D.: Sampling and Reconstruction of Wave – Number – Limited Functions in N –Dimensional Euclidean Spaces. Information and Control 5 (1962), 279–323.
