Matematika III. elıadások

Matematika III. elıadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés

2007/2008. ıszi félév

2. téma Görbék derivált vektora. Görbék érintıje. Mozgások sebesség és gyorsulás vektorai. Görbék ívhossza. Felületek megadási módja. Felületek érintı síkja. Felületek felszíne.

PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Görbék derivált vektora

Derivált vektor keletkezése

1. Definíció: Az r = r (t ) vektor – skalár függvény a t0 helyen differenciálható, ha létezik a r (t + ∆t ) − r (t0 ) lim 0 ∆t →0 ∆t

határérték . Ezt a határértéket a t0 helyen vett differenciálhányados-vektornak nevezzük Jelölések

i d r (t ) r (t ) = dt

Kiszámítás 2 dimenziós esetben

i 1   x(t0 + ∆t )   x(t0 )   r (t0 ) = lim    −  y (t )   = ∆ t → 0 ∆t + ∆ y ( t t )   0   0    x(t0 + ∆t ) − x (t0 )  i    x(t ) ∆t = lim  =i  ∆t →0 y (t + ∆t ) − y (t )    0 0  y ( t )      ∆t

Érintı vektor


Animáció

Görbék érintıjének meghatározása 2 dimenziós eset Az érintı egyenes

Húzzunk érintıt a P0 ( x0 ; y0 ) pontban az

r (t ) = x (t ) ⋅ i + y (t ) ⋅ j

görbéhez!

egyenletrendszere i

x = x(t 0 ) + x(t0 ) ⋅ t i

y = y (t 0 ) + y (t0 ) ⋅ t 3 dimenziós eset Az érintı egyenes egyenletrendszere i

x = x(t 0 ) + x(t0 ) ⋅ t i

y = y (t 0 ) + y (t0 ) ⋅ t i

z = z (t 0 ) + z (t0 ) ⋅ t

Az érintı egyenes vektor egyenlete

i R(t ) = r (t 0 ) + r (t0 ) ⋅ t

t ∈ℝ

Húzzunk érintıt a P0 ( x0 ; y0 ; z0 )

pontban az

r (t ) = x(t ) ⋅ i + y (t ) ⋅ j + z (t ) ⋅ k

görbéhez! Az érintı egyenes vektor egyenlete

i R(t ) = r (t 0 ) + r (t0 ) ⋅ t

t ∈ℝ


Mozgások sebesség és gyorsulás vektorai. r (t ) = x(t ) ⋅ i + y (t ) ⋅ j + z (t ) ⋅ k, i i i v(t ) = x(t ) ⋅ i + y (t ) ⋅ j + z (t ) ⋅ k ii ii ii a(t ) = x(t ) ⋅ i + y (t ) ⋅ j + z (t ) ⋅ k

Ha egy anyagi pont pályája akkor sebességvektora és gyorsulás vektora

PÉLDA. Egyenletes szögsebességgel forgó mozgás r := R cos( ω t ) e + R sin( ω t ) e x y

Helyvektor

v := −R sin( ω t ) ω e + R cos( ω t ) ω e x y 2 2 a := −R cos( ω t ) ω e − R sin( ω t ) ω e x y

A sebességvektor a mozgás elsı derivált vektora A gyorsulásvektor a mozgás második derivált vektora

A sebességvektor és a gyorsulásvektor most egymásra merılegesek, mert skaláris szorzatuk 0.

v ⋅ a = ( − R ⋅ ω sin(ωt ) ) ⋅ − R ⋅ ω 2 cos(ωt ) + ( R ⋅ ω cos(ωt ) ) ⋅ − R ⋅ ω 2 sin(ωt ) = 0

(

)

(


)

Görbék ívhossza 2. Definíció: Görbe ívhosszán a beírt poligonok összhosszának határértékét értjük, midın a felosztást minden határon túl finomítjuk. Ha létezik a határérték és véges, akkor azt mondjuk, hogy a görbe rektifikálható. Legyen az r = r(t) görbe folytonosan differenciálható a [t0,t1] intervallumon!

r (t ) = x(t ) ⋅ i + y (t ) ⋅ j

2 dimenziós esetben t1 i

t1

t0

t0

Ívhossz = ∫ r (t ) dt = ∫

2

Polárkoordináta - rendszerben

r = r (t ) b ⌠   ívhossz =    ⌡ a

2

i  i   x(t )  +  y (t )  dt    

2 d    r( t )  + r( t ) 2 dt  dt 

r (t ) = x(t ) ⋅ i + y (t ) ⋅ j + z (t ) ⋅ k

3 dimenziós esetben t1 i

t1

t0

t0

Ívhossz = ∫ r (t ) dt = ∫

2

2

2

i  i  i   x(t )  +  y (t )  +  z (t )  dt      


Az ívhossz, mint paraméter Számoljuk ki az ívhosszat a [t0,t] intervallumon, ahol a felsıhatár változik! Az ívhossz t-szerinti deriváltja pozitív! Tehát s(t) szigorúan monoton növekvı függvény. Ezért létezik az inverze! A görbe helyvektora a t paraméterrel! A görbe helyvektora az s ívhossz paraméterrel! A derivált vektor hossza 1 lesz, ha a paraméter az s ívhossz!

t i

s = ∫ r (τ ) dτ = s (t ) t0

t  i d s ( t ) d  i  ∫ r ( t ) dt  = r ( t ) > 0 =  dt dt  t0 

( )

t = s −1 ( s )

r (t ) = x(t ) ⋅ i + y (t ) ⋅ j + z (t ) ⋅ k −1 −1 −1 r ( s) = x( s ( s)) ⋅ i + y ( s ( s)) ⋅ j + z ( s ( s )) ⋅ k d r i ′ d r ( s ) d r dt dt r (t ) r ( s) = = ⋅ = = i = u ( s) ds ds dt ds r (t ) dt u (s) = 1


Példa: csavarvonal ívhossza. A csavarvonal helyvektora

A csavarvonal derivált vektora

d

r( t ) = R cos( t ) e + R sin( t ) e + h t e x y z

dt

r( t ) = −R sin( t ) e + R cos( t ) e + h e x y z

A csavarvonal ívhosszának számítása t

s=∫ 0

2

2

t

2

i  i  i   x(t )  +  y (t )  +  z (t )  dt = ∫       0

A t paraméter az s ívhossz függvényében

t=

A t paraméter helyére az ívhosszat tesszük paraméterként A görbe deriváltja ívhossz szerint

2

ds

2

+ h 2 dt = R 2 + h 2 ⋅ t

s 2 2 h +R

 r( s ) = R cos    d

Az ívhossz szerinti derivált vektor hossza 1

( − R ⋅ sin(t ) ) + ( R ⋅ cos(t ) )

r( s ) = −

   e + R sin  2 2  x h +R  

 R sin  

s

  2 2  h +R  s

2

h +R

d ds

2

e + x

 e + 2 2  y h +R 

h +R

  2 2  h +R 

h

s

 R cos  

hs 2

e 2

z

s

2

h +R

r( s ) = 1


2

e + y

2

h +R

2

e

z

Felületek megadási módja Explicit alak

Implicit alak

z = f ( x, y )

F ( x, y , z ) = 0

Paraméteres alak

x = x(u , v), y = y (u , v), z = z (u , v)

PÉLDA: Egység sugarú gömbfelület különbözı megadási lehetıségei

z=

2 2 1−x −y

x +y +z =1 2

2

2

2 2 z=− 1−x −y

x2 + y2 ≤ 1

x = sin( v ) cos( u ) y = sin( v ) sin( u ) z = cos( v )

x ≤ 1, y ≤ 1, z ≤ 1,

0 ≤ u ≤ 2π , 0 ≤ v ≤ π


Felületek érintı síkja paraméteres esetben Sík egyenlete általánosan

A ( x − x 0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0

P0( x 0, y0, z0 ) az érintési pont

n( A, B, C )

a sík normálvektora

A normálvektor számítása paraméteresen adott felületek esetén

TÉTEL Ha r(u,v)= [ x(u,v), y(u,v) , z(u,v) ] a felület paraméteres alakjában az x, y és z kétváltozós függvények parciális deriváltjai folytonosak, akkor az érintısík normálvektora i j k ∂ r (u, v) ∂ r (u , v) ∂x(u , v) ∂y (u, v) ∂z ( x, y ) n= × = = ∂u ∂v ∂u ∂u ∂u ∂x(u , v) ∂y (u, v) ∂z (u, v) ∂v ∂v ∂v = i ⋅ ( yu′ ⋅ zv′ − zu′ ⋅ yv′ ) − j ⋅ ( xu′ ⋅ zv′ − zu′ ⋅ xv′ ) + k ⋅ ( xu′ ⋅ yv′ − yu′ ⋅ xv′ ) ha az n vektor nem a nullvektor. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Felületek érintı síkja paraméteres esetben Bizonyítás

i Belátjuk, hogy tetszıleges felületre rajzolt r (t ) = r ( x(t ), y (t )) görbe r (t ) érintı vektora merıleges a tételben adott n normálvektorra, azaz mindig egy síkban vannak az érintı vektorok. Az összetett függvény deriválási szabálya alapján

i i d r ( x(t ), y (t )) ∂ r ∂r i r (t ) = = ⋅ x(t ) + ⋅ y (t ) dt ∂u ∂v

A merılegesség bizonyításához megmutatjuk, hogy a skaláris szorzat nulla!

i i  ∂r ∂r   ∂r ∂r i  n ⋅ r (t ) =  ×  ⋅  ⋅ x(t ) + ⋅ y (t )  = ∂v  ∂u ∂v   ∂u   ∂r ∂r  ∂r i  ∂r ∂r  ∂r i =  ×  ⋅ ⋅ x(t ) +  ×  ⋅ ⋅ y (t ) = 0  ∂u ∂v  ∂u  ∂u ∂v  ∂v

Ahol felhasználtuk, hogy a vektoriális szorzat merıleges mindkét tényezıjére. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Felületek érintı síkja explicit esetben Az r(x,y)=[x, y, z(x,y) ] explicit alakú felületnél a paraméterek u=x és v=y A vektoriális szorzat

i

j

rx ×ry = 1 0 0 1

k

z ′x ( x, y ) = − z ′x ( x, y ) ⋅ i − z ′y ( x, y ) ⋅ j + k z ′y ( x, y )

A normál vektor

 ∂z ( x, y )   ∂x   ∂z ( x, y )   n=  ∂y     −1   

Az érintısík egyenletére a kétváltozós függvényeknél megismert formula adódik.

z − z0 =

∂z ∂z ⋅ ( x − x0 ) + ⋅ ( y − y0 ) ∂x ( x0 ; y0 ) ∂y ( x0 ; y0 )


Felületek érintı síkja implicit esetben Legyen adva a felület F(x,y,z)=0 implicit alakban. Ekkor tetszıleges P0(x0;y0;z0) pont környezetében az egyik változó általában kifejezhetı a másik kettıvel, mint független változóval. Legyen pl. z a függı változó: z=z(x,y).

F ( x, y, z ( x, y )) = 0

lokálisan a P0 pont környezetében

 Fx′  − F ′   z  Fy′  n ||  −   Fz′   −1     

Deriváljuk x és y –szerint a fenti egyenletet és használjuk a láncszabályt!

∂z Fx′ + Fz′ ⋅ = 0 ∂x ∂z ′ ′ Fy + Fz ⋅ = 0 ∂y normálvektor érintısík

Fx′ ∂z =− ∂x Fz′ Fy′ ∂z =− ∂y Fz′

∂  ∂ ∂ n =  F( x , y, z ), F( x , y, z ), F( x , y, z )   ∂x  ∂y ∂z

= gradF( x, y, z )

∂F ( x, y, z ) ∂F ( x, y, z ) ∂F ( x, y, z ) ⋅ ( x − x0 ) + ⋅ ( y − y0 ) + ⋅ ( z − z0 ) = 0 ∂x ∂ y ∂ z P0 P0 P0 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Felületek felszíne DEFINÍCIÓ Az r(u,v) paraméteresen adott felület felszínét a T tartomány felett a következı határértékkel értelmezzük, ha létezik. Osszuk fel háromszögekre a T tartományt és vetítsük a háromszögeket a felületre! A kapott háromszögfelosztás területének összege közelíti a felület felszínét. Finomítsuk a háromszögfelosztást minden határon túl. Ha létezik a térbeli poliéderek összterületének határértéke, akkor ez lesz a felület felszíne. Elemi felület felszíne

df = r u × r v ⋅ du ⋅ dv Ezeket összegezve a T tartomány feletti kettısintegrált kapunk

⌠⌠      ⌡⌡ T

 ∂   ∂   r( u , v )  x  r( u , v )  d u d v  ∂u   ∂v 


Felületek felszíne Alakítsuk át a normálvektor hosszának négyzetét!

2 2 2 2 2 2 2 2 2 r u × r v = r u ⋅ r v ⋅ sin r u , r v ∡ = r u ⋅ r v − r u ⋅ r v ⋅ cos r u , r v ∡ = 2 2 2 = ru ⋅ rv − ru ⋅ rv

(

(

)

(

)

)

DEFINÍCIÓ. Gauss-féle elsırendő fımennyiségek

2 E = ru = ru ⋅ ru Így a felszín képlet

Explicit alakban

F = ru ⋅ rv

2 G = rv = rv ⋅ rv

⌠⌠  E G − F 2 dx dy  ⌡⌡ T ⌠⌠ 2 2   ∂   ∂   1 +  f( x , y )  +  f( x , y )  d x d y    ∂x   ∂y   ⌡⌡ T PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

Példa: a gömb felszínének számítása A gömb paraméteres alakja

r( u, v ) = R cos( u ) sin( v ) e + R sin( u ) sin( v ) e + R cos( v ) e x y z

∂

r( u , v ) = − R sin( u ) sin( v ) e + R cos ( u ) sin( v ) e x y ∂u

Parciális deriváltak

∂ ∂v

r( u , v ) = R cos ( u ) cos ( v ) e + R sin( u ) cos ( v ) e − R sin( v ) e x y z

ex ey ez ∂r ∂r × = − R sin(u )sin(v) R cos(u )sin(v) 0 = ∂u ∂v R cos(u ) cos(v) R sin(u ) cos(v) − R sin(v)

Vektoriális szorzat

2 2 2 2 2 2 2 2 = −R cos( u ) sin( v ) e − R sin( u ) sin( v ) e + ( −R sin( u ) sin( v ) cos( v ) − R cos( u ) sin( v ) cos( v ) ) e x

⌠⌠  Felszín =      ⌡⌡

y

 ∂   ∂   r( u , v )  x  r( u , v )  d u d v  ∂u   ∂v 

2π π ⌠ ⌠ 2   R sin( v ) dv du = 4 R 2 π =   ⌡ ⌡ 0 0

T PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

z

Példa: tórusz felszínének számítása A tórusz paraméteres alakja

r( u, v ) = [ ( a + b cos( v ) ) cos( u ), ( a + b cos( v ) ) sin( u ), b sin( v ) ] 0< u < 2p

0< v < 2p

0< b < a

Parciális derivált u-szerint

∂ ∂u

r( u, v ) = [ −( a + b cos( v ) ) sin( u ), ( a + b cos( v ) ) cos( u ), 0 ]

∂  ∂  2 2 2 2 2    E =  r( u, v )   r( u, v )  = ( a + b cos( v ) ) sin( u ) + ( a + b cos( v ) ) cos( u ) = ( a + b cos ( v ) )  ∂u   ∂u  Parciális derivált v-szerint

∂ ∂v

r( u, v ) = [ −b sin( v ) cos( u ), −b sin( v ) sin( u ), b cos( v ) ]

 ∂  ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2    G =  r( u, v )   r( u, v )  = b sin( v ) cos( u ) + b sin( v ) sin( u ) + b cos( v ) = b 2  ∂v   ∂v 

∂  ∂  F =  r( u, v )   r( u, v )  = 0  ∂u   ∂v 

2 2 2 E G − F = ( a + b cos( v ) ) b


Példa: tórusz felszínének számítása

2π 2π ⌠ ⌠  Felszín =    ⌡ ⌡ 0 0

2

E G − F du dv =

2π 2π ⌠ ⌠   b ( a + b cos( v ) ) du dv = ⌡ ⌡ 0 0


4abπ

2

Matematika III. elıadások

Recommend Documents