Matematika III. mintazh. (1) 1. Írja fel az r(t) = [ t cos t; sin 2 t; e − t ] térgörbe érintőjének egyenletét a t = 0 értékhez tartozó pontjában!
(15 pont)
M: x = t, y = 2t, z = 1−t 2. Írja fel az u = r
3
skalár-vektor függvény gradiensét!
(15 pont)
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M: gradu = 3x ( x + y + z ) ; 3y( x + y + z ) ; 3z( x + y + z ) = (3 r r )
3. Számolja ki, az f (z) = z komplex függvény integrálját az ábrán látható zárt görbén! Imz 1+j
2
M: −2j
Rez
(30 pont) z +1 komplex függvény integrálját az origó (z + 1) 2 körüli 2 sugarú körvonalon pozitív körüljárási irányt választva!
4. Számolja ki az f (z) =
2
(25 pont)
M: −4πj 5. Egy automata gép csavarokat gyárt, amelyek névleges átmérője 35 mm. A tapasztalatok azt mutatják, hogy a csavarok átmérője normális eloszlású. 20 darabot megvizsgáltunk. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza. átmérő(mm) 34,8 34,9 35,0 35,1 35,3 gyakoriság 2 3 4 6 5 Döntse el 5%-os szignifikanciaszinten, hogy a gép jól dolgozik vagy sem! M: t ≈ 1,84 < 2,093 = t 0,05 (19) , az adatok nem mondanak ellent annak, hogy a gép jól dolgozik
(15 pont)
Matematika III. mintazh. (2) t − 2 2 2 1. Írja fel az r(t) = sh t; t ⋅ tgt ; 2e térgörbe érintőjének egyenletét a t = π értékhez tartozó pontjában!
−
π 2
−
π 2
M: x = sh π + (sh 2π) t; y = π t; z = 2e − e t y 2. Írja fel az v = xz; ; xyz vektor-vektor függvény rotációját! x y M: rot v = xz; x − yz; − 2 x 2
2
(15 pont)
(15 pont)
3. Számolja ki, az f (z) = z komplex függvény integrálját az ábrán látható zárt görbén! Im z 1+j
Re z 1
(30 pont) M:
2 − 1 arsh1 +j (a függőleges szakaszon nehéz integrálni) 2 2
z− j j komplex függvény integrálját a körüli 2 2 z(z + 1) 1 sugarú körvonalon pozitív körüljárási irányt választva!
4. Számolja ki az f (z) =
(25 pont)
M: 2π 5. Egy dobókockáról el szeretnénk dönteni, hogy szabályos-e. A kockát 1200-szor feldobtuk és az alábbi eredményeket kaptuk. a dobott szám 1 2 3 4 5 6 gyakoriság 210 190 204 205 196 195 Döntsön 5%-os szignifikanciaszinten! M: χ 2 = 1,41 < 11,07 = χ 02, 05 (5) az eredmények nem mondanak ellent annak, hogy a kocka szabályos
(15 pont)
Matematika III. mintazh. (3) 5 1 t 1. Írja fel az r(t) = arcsin ; ; e 3t térgörbe érintőjének egyenletét a t = 2 3 t 1+ t értékhez tartozó pontjában! (15 pont) 3 9 15 36 t; y = − t; z = e 5 + 3e 5 t M: x = arcsin − 5 20 34 289 2. Írja fel az v =
rxi vektor-vektor függvény divergenciáját! r
(15 pont)
M: div v = 0 3. Számolja ki, a v = [xy; xz; yz] vektor-vektor függvény (skalárértékű) vonalintegrálját az ábrán látható görbén!
(30 pont)
z
33
22
yy
11
xx
M: 9 4. Számolja ki az f (z) =
1 1 komplex függvény integrálját az körüli 2 2 z +z 3
3 sugarú körvonalon pozitív körüljárási irányt választva! 2
(25 pont)
M: 0 5. Ellenőrizze 1%-os szignifikanciaszinten, hogy az alábbi 100 elemű minta standard normális eloszlású sokaságból származik-e! Érték 0,75 1,5 −1,5 −0,75 −0,25 0,25 Gyakoriság 10 10 20 22 14 24 (15 pont) M: χ ≈ 8,5 < 15,086 = χ 2
2 0 , 01
(5) az adatok nem mondanak ellent annak, hogy a minta standard normális eloszlásból származik
Matematika III. mintazh. (4) 1. Írja fel az r(t) = [ t 2 e − t ; ln(1 − t ); cos(π t + 1) ] térgörbe érintőjének egyenletét a t = 0 értékhez tartozó pontjában! (15 pont) M: x = 0; y = − t; z = −1 x y z 2. Írja fel az u = + + skalár-vektor függvény gradiensét! x+z x+y x+z
(15 pont)
y x M: grad u = − ; ; 0 2 2 ( x + y) ( x + y) 3. Számolja ki, az f (z) = e z komplex függvény integrálját az ábrán látható zárt görbén! Im z ln2+j⋅ln2
Re z ln2
(30 pont) M: 3 + j − 2(1 + j)e
− j ln 2
e − πz 3j komplex függvény integrálját a − z(z + j)(z + 2 j) 2 körüli 1 sugarú körvonalon pozitív körüljárási irányt választva! (25 pont)
4. Számolja ki az f (z) =
M: −3πj 5. A mérések azt mutatják, hogy a teherautók üzemanyag fogyasztása normális eloszlású. Egy gyártósoron gyártott teherautók átlagfogyasztása 20 liter. Módosítva a technológiát arra voltak kíváncsiak, hogy csökkent-e az átlagfogyasztás. 25 teherautó fogyasztását vizsgálták. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza. fogyasztás(liter) 19,8 19,9 20,0 20,1 20,3 gyakoriság 7 6 5 3 4 Döntse el 2%-os szignifikanciaszinten, hogy valóban csökkent-e az átlagfogyasztás! M: t = 0,68 < t 0,04 (24) = 2,21 nem csökkent az átlagfogyasztás
(15 pont)
Matematika III. mintazh. (5) t2 1 1+ t ; arctg 2 ; ln ] térgörbe érintőjének egyenletét a t = 1 cos(πt ) 2 t értékhez tartozó pontjában! (15 pont)
1. Írja fel az r(t) = [
π t − t; z = 4 2 xy y 2. Írja fel az v = ; e xyz ; vektor-vektor függvény divergenciáját! z arccos x y xy M: div v = + xze xyz − 2 z 1 − x 2 arccos 2 x
M: x = −1 − 2 t; y =
(15 pont)
3. Számolja ki, a v = (− x 2 + y + z) i + ( x − y 2 + z) j + ( x + y − z 2 ) k vektor-vektor függvény (skalárértékű) vonalintegrálját az ábrán látható görbén! (30 pont) z
3
2
22
yy
11
xx
M:
7 3
z2 komplex függvény integrálját a 2 körüli z2 + 4 3 sugarú körvonalon pozitív körüljárási irányt választva! M: 0
4. Számolja ki az f (z) =
(25 pont)
5. Új típusú 120 perces videokazettákat teszteltünk. A tapasztalatok azt mutatják hogy a kazetták lejátszási ideje normális eloszlású. 10 darabot megvizsgáltunk és a következő eredményeket kaptuk: 119:50, 120:06, 120:23, 119:59, 119:54, 120:07, 119:56, 120:31, 120:28, 119:57 (119:50 jelentése 119 perc 50 másodperc stb.) Döntse el 1%-os szignifikanciaszinten, hogy növekedett-e az új típusú kazetták lejátszási ideje! (15 pont) M t ≈ 1,5 < 2,821 = t 0,02 (9) nem növekedett a lejátszási idő
Matematika III. mintazh. (6) 5 1 t 1. Írja fel az r(t) = arcsin ; ; e 3t térgörbe érintőjének egyenletét a t = 2 3 t 1+ t értékhez tartozó pontjában! (15 pont) 3 9 15 36 M: x = arcsin − t; y = − t; z = e 5 + 3e 5 t 5 20 34 289 2. Írja fel az v =
rxk r
2
vektor-vektor függvény rotációját!
(15 pont)
(kr) r − 2xz − 2 yz − 2z 2 M: rot v = 2 ; ; ; = − 2 2 2 4 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 r (x + y + z ) 3. Számolja ki, a v = [yz; xz; xy + 2z ] vektor-vektor függvény (skalárértékű) vonalintegrálját az ábrán látható görbén! (30 pont) z
3 1 22
yy
11
xx
M: 1
cos(πz) 1 komplex függvény integrálját az 3 2 z −z körüli 1 sugarú körvonalon pozitív körüljárási irányt választva!
4. Számolja ki az f (z) =
(25 pont)
M: −3πj 5. Konyhasót tartalmazó csomagok tömege normális eloszlású 25 g szórással. Egy csomag só névleges tömege 1 kg. Ellenőrizni kívánjuk, hogy csökkent-e a csomagok átlagos tömege. 20 véletlenszerűen kiválasztott csomag együttes tömegére 19,82 kg-t kaptunk. Döntsön 5%-os szignifikanciaszinten! M: u ≈ 1,61 < 1,645 = u 0, 05 nem csökkent a csomagok tömege
(15 pont)
Képletek a Matematika III. zh-hoz Vektor-skalár függvények: r ( t ) = [x ( t ); y( t ); z( t )]
r& ( t ) = [x& ( t ); y& ( t ); z& ( t )] x = x 0 + v1 t
Egyenes paraméteres egyenletrendszere: y = y 0 + v 2 t z = z0 + v3t
Skalár -vektor függvények: ∂u ∂u ∂u u (r ) = u ( x; y; z) gradu = ; ; ∂x ∂y ∂z
Vektor-vektor függvények: v (r ) = [v1 ; v 2 ; v 3 ]
∂v ∂v ∂v div v = 1 + 2 + 3 ∂x ∂y ∂z
i ∂ rot v = ∂x v1
j ∂ ∂y v2
k ∂ ∂z v3
Vonalintegrál(skalárértékű):
x = x (t ) a≤t≤b
g: y = y( t ) z = z( t )
∫ v(r)dr = ∫ v dx + v 1
g
2
dy + v 3 dz =
g b
= ∫ (v1 ( x ( t ); y( t ); z( t )) x& ( t ) + v 2 ( x ( t ); y( t ); z( t )) y& ( t ) + v 3 ( x ( t ); y( t ); z( t ))z& ( t ) )dt a
Komplex függvénytan: b
g : z = x ( t ) + j y( t ) a ≤ x ≤ b
∫ f (z) dz = ∫ f (x (t ) + j y(t )) (x& ( t) + j y& (t )) dt g
f (z)
∫ z − a dz = 2πj ⋅ f (a )
a
f(z) reguláris az a-t tartalmazó g zárt
g
f (z)
∫ (z − a ) g
n +1
dz =
2πj ( n ) ⋅ f (a ) ( n ∈ N ) n!
görbe által határolt tartományban
Ha f(z) reguláris a 1 , a 2 ,..., a n izolált szinguláris pontjait kivéve a g zárt görbe által határolt tartományban, akkor: n
∫ f (z)dz = 2πj ∑ res f (z) k =1
g
z =a k
Ha „a” n-ed rendű pólus, akkor res f (z) = lim z →a
z =a
Ha „a” elsőrendű pólus és f (z) =
ϕ(z) ψ(z)
(
1 d n −1 (z − a ) n f (z) ⋅ (n − 1)! dz n −1
)
n ∈ N \ {0}
(ϕ(a ) ≠ 0, ψ (a ) = 0 és ψ ′(a ) ≠ 0) ,
ϕ(a ) z =a ψ ′(a ) Ha f(z) reguláris a ∞-ben, akkor res f (z) = lim (f (∞) − f (z)) ⋅ z akkor: res f (z) =
z→∞
z =∞
Ha f(z) Laurent-sora a 0 < z − a < R körgyűrűben: +∞
∑c
n = −∞
n
(z − a ) n akkor: res f (z) = c −1 . z =a
Ha f(z) Laurent-sora a R < z < ∞ körgyűrűben: +∞
∑c
n = −∞
n
z n akkor: res f (z) = −c −1 . z =∞
Matematikai statisztika: n
X=
∑ Xi i =1
n
n
n
S∗n2 =
∑ (X i − X) 2 i =1
n −1
=
∑X i =1
2 i
−n⋅X
2
n −1
X − m0 , σ0 p a kritikus érték kétoldali próbánál Φ(u p ) = 1 − , egyoldali próbánál Φ(u p ) = 1 − p. 2 Az egymintás u-próba statisztikája: u = n
X − m0 , S∗n a kritikus érték kétoldali próbánál az erre készült táblázatban az (n−1) és p-nél van, az egyoldali próbánál a kétoldali próbára készült táblázatban az (n−1) és 2p-nél van. Az egymintás t-próba statisztikája: t = n
(ν i − Np i ) 2 A χ -próba statisztikája illeszkedés vizsgálatra: χ = ∑ , Np i i =1 a kritikus érték tiszta illeszkedésvizsgálat esetén a táblázatban az (n−1) és p-nél van. n
2
2
