Evropský polytechnický institut, s.r.o. 1. soukromá vysoká škola na Moravě
Kunovice
MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc.
2011
Evropský polytechnický institut, s.r.o. Kunovice
MATEMATIKA I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
RNDr. Jitka Jablonická Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc.
2011
Název: © Matematika I. 2. aktualizované vydání Autor: © RNDr. Jitka Jablonická © Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Vydavatel: © Evropský polytechnický institut, s.r.o. Kunovice, 2011 Neprošlo jazykovou úpravou ISBN: 978-80-7314-255-1
Obsah ÚVOD ........................................................................................................................................................................ 7 1
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE ............................................................................................................................ 9 1.1 Základní vlastnosti funkcí .......................................................................................................................... 9 1.2 Přehled elementárních funkcí ................................................................................................................... 22 1.2.1 Konstantní funkce ............................................................................................................................. 22 1.2.2 Lineární funkce ................................................................................................................................. 22 1.2.3 Kvadratická funkce ........................................................................................................................... 23 1.2.4 Mocninná funkce .............................................................................................................................. 24 1.2.5 Lineární lomená funkce .................................................................................................................... 25 1.2.6 Exponenciální funkce ....................................................................................................................... 27 1.2.7 Logaritmická funkce ......................................................................................................................... 28 1.2.8 Goniometrické funkce ....................................................................................................................... 29 1.3 Kontrolní otázky ....................................................................................................................................... 33 1.4 Shrnutí ...................................................................................................................................................... 33
2
SPOJITOST FUNKCE .................................................................................................................................. 35 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
3
Okolí bodu ................................................................................................................................................ 35 Spojitost funkce v bodě ............................................................................................................................ 36 Spojitost funkce v intervalu ...................................................................................................................... 37 Kontrolní otázky ....................................................................................................................................... 39 Shrnutí ...................................................................................................................................................... 39
LIMITA FUNKCE ......................................................................................................................................... 41 3.1 Limita funkce v bodě................................................................................................................................ 41 3.2 Nevlastní limita funkce, limita funkce v nevlastním bodě ....................................................................... 47 3.2.1 Věty o nevlastních limitách ............................................................................................................... 49 3.3 Kontrolní otázky ....................................................................................................................................... 53 3.4 Shrnutí ...................................................................................................................................................... 53
4
DERIVACE FUNKCE ................................................................................................................................... 55 4.1 Derivace funkce v bodě ............................................................................................................................ 55 4.2 Derivace elementárních funkcí ................................................................................................................. 56 4.2.1 Derivace vyšších řádů ...................................................................................................................... 62 4.2.2 L´Hospitalovo pravidlo .................................................................................................................... 62 4.3 Průběh funkce........................................................................................................................................... 64 4.3.1 Monotónnost funkce ......................................................................................................................... 64 4.3.2 Extrémy funkce ................................................................................................................................. 66 4.3.3 Konvexnost a konkávnost funkce. Inflexní body ............................................................................... 68 4.3.4 Asymptoty funkce .............................................................................................................................. 71 4.4 Kontrolní otázky ....................................................................................................................................... 82 4.5 Shrnutí ...................................................................................................................................................... 83
ZÁVĚR .................................................................................................................................................................... 85 LITERATURA ....................................................................................................................................................... 87
ÚVOD Matematika je jedním z nejméně oblíbených vyučovaných předmětů pro většinu populace. Přesto je tento předmět, který řadíme mezi přírodní vědy, jedním z hlavních pilířů veškerého studia a existence světa. Je základem každého technického směru. Logika, která je rovněž součástí matematiky, je důležitá pro všechny humanitní obory. I když se to nechce věřit, matematika nás provází od útlého věku, ve škole, při studiu na střední škole, na vysokých školách a také v praktickém životě. Jednoznačně se dá říct, že matematika s námi jde celým životem. Někomu stačí základní počty, které se učí na základních školách. Při studiu na střední škole se tyto základy rozšiřují o další poznatky. V dnešní době se matematika vyučuje na většině vysokých škol. Vysokoškolská matematika již žádá od studentů velké znalosti a klade velký důraz na pochopení mnohdy složitých situací. Ve studijním materiálu se snažíme na základě zkušeností jednoduchým způsobem, bez množství složitých definic a vět, vysvětlit danou látku na příkladech a grafech. Současně uvádíme také u každé kapitoly příklady na procvičení včetně výsledků, aby si studenti mohli vyzkoušet, zda danou látku pochopili. Chceme, aby tento studijní text byl praktickou pomůckou při studiu, a pomohl studentům překonat strach a obavy při zkouškách. Studijní text je rozdělen do 4 kapitol. V kapitole první se čtenář seznámí s elementárními funkcemi a jejich základními vlastnostmi. Je zde vysvětleno určování definičního oboru, sudost a lichost funkce, monotónnost funkce, omezenost funkce, určování oboru hodnot pomocí inverzní funkce. Jsou zde popsány vlastnosti elementárních funkcí – konstantní, lineární, kvadratická, mocninná, lineární lomená, exponenciální, logaritmická a všechny funkce goniometrické. V kapitole druhé je definována a vysvětlena spojitost funkce. Základní pojmem je okolí bodu. Dále pak je definována spojitost funkce v bodě a na intervalu. V kapitole třetí je definována limita funkce a její aplikace. Je zde definována vlastní i nevlastní limita ve vlastním i nevlastním bodě. V kapitole čtvrté je definována derivace funkce v bodě, derivace elementárních funkcí, derivace vyšších řádů a jejich využití. Větší část kapitoly je věnována určování průběhu funkce, v němž se využijí všechny vlastnosti funkcí, spojitost, limita i derivace. Průběh funkce je vyvrcholením diferenciálního počtu. U všech definovaných pojmů jsou uvedeny vyřešené příklady a dále příklady na procvičení. Cílové znalosti: Studenti tohoto předmětu získávají znalosti a dovednosti v oblasti základního kurzu matematiky. Náplň studia umožňuje rozšíření si matematických znalostí ze střední školy především o diferenciální počet, který je základem integrální počtu a matematické analýzy důležité pro technické obory.
7
Cílové dovednosti: Student po absolvování tohoto předmětu získá schopnost efektivně využívat informace a znalosti. Dokáže využít vlastností funkce, limit, derivací pří průběhu funkce. Cílové kompetence: Matematika všeobecně rozvíjí logické myšlení a nachází uplatnění v mnoha oblastech lidské činnosti. Matematické znalosti lze uplatnit v oblasti logistiky, technické praxe, statistického zpracování dat a finančnictví či v oblasti matematické formulace reálných problémů. V praxi se mohou matematické znalosti uplatnit v podnicích při řešení manažerských problémů a technických úkolů s matematickým popisem, ve spedičních a dopravních firmách, v bankách, finančních institucích, úřadech a dalších místech, kde je potřebné zpracování dat a práce s PC. Řešení prakticky jakéhokoliv technického problému se neobejde bez výpočtů. Výpočtová řešení se většinou vedou s využitím aparátu vyšší matematiky, základním předpokladem jsou však spolehlivé znalosti základních matematických operací (algebra, trigonometrie, analytická geometrie, řešení soustavy rovnic) a mezi nezbytné znalosti potom patří postupy vyšší matematiky (matematická analýza, diferenciální a integrální kalkulace, řešení diferenciálních rovnic, statistická analýza, teorie pravděpodobnosti aj.). Zvláštní skupinu potom tvoří numerické matematické metody: jejich význam je zejména ve spojení se složitými a technicky náročnými výpočty pomocí moderní výpočetní techniky. Za dodržení cílových znalostí, dovedností a kompetencí odpovídá student, za kontrolu odpovídá vysoká škola. Součástí technologie jsou také cvičení v následujících tematických okruzích: Součástí technologie jsou také cvičení, která navazují na probíranou látku procvičováním na praktických příkladech.
8
1
Elementární funkce
Elementární funkce
Nejdůležitějším pojmem matematické analýzy je pojem funkce. Tento pojem vznikl abstrakcí zákonitostí studovaných v přírodních vědách. Např. víme, že při pohybu hmotného bodu závisí dráha na čase, stručně říkáme, že dráha je funkcí času. Obdobně říkáme, že obsah čtverce je funkcí velikosti jeho strany apod. V této části se seznámíme se základními elementárními funkcemi, s nimiž budeme pracovat. Cílové znalosti a dovednosti Cílem 1. kapitoly je zopakovat a rozšířit učivo o funkcích ze střední školy. Jedná se o základní vlastnosti funkcí a jejich grafy. Klíčová slova Funkce jedné proměnné, definiční obor funkce, obor hodnot funkce, funkční hodnota, nezávisle a závisle proměnná, uzavřený, otevřený, polouzavřený a nekonečný interval, krajní a vnitřní body intervalu, graf funkce, sudá a lichá funkce, složená funkce, periodická funkce, monotónnost funkce, rostoucí, klesající, nerostoucí a neklesající funkce, shora ohraničená, zdola ohraničená a ohraničená funkce, prostá funkce, inverzní funkce, konstantní funkce, lineární funkce, kvadratická funkce, mocninná funkce, lineární lomená funkce, exponenciální funkce, logaritmická funkce, goniometrické funkce.
1.1
Základní vlastnosti funkcí
Definice Říkáme, že na množině D f reálných čísel je definována funkce f jedné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je každému číslu x D f přiřazeno právě jedno reálné číslo y . Množinu D f nazýváme definičním oborem funkce. Množinu H f všech čísel
y , která dostaneme pro všechna x D f , nazýváme oborem hodnot dané funkce.
Definiční obor funkce Obor hodnot funkce
Číslo x se nazývá nezávisle proměnná (argument), číslo y nazýváme funkční hodnotou nebo závisle proměnnou. Funkce zpravidla označujeme f , g , h,... Funkční hodnoty v bodě x označujeme f x , g x , hx . Zápis y f x znamená, že funkce f přiřazuje číslu x D f číslo
yHf . Definičním oborem funkce i oborem hodnot bývá obvykle interval nebo sjednocení konečného počtu intervalů. Typy intervalů: Uzavřený interval a; b - množina všech reálných čísel x , pro která platí a x b Otevřený interval a; b - množina všech reálných čísel x , pro která platí a x b Polozavřený interval a; b - množina všech reálných čísel x , pro která platí a x b
a; b
- množina všech reálných čísel x , pro která platí
a xb Nekonečný interval ; b - množina všech reálných čísel x , pro která platí x b 9
Typy intervalů funkce
; b
- množina všech reálných čísel x , pro která platí x b
a; - množina všech reálných čísel x , pro která platí a x a; - množina všech reálných čísel x , pro která platí a x
Ve všech případech nazýváme čísla a, b krajními body intervalu, každý jiný bod intervalu nazýváme vnitřním bodem intervalu. Definiční obor tedy určujeme jako množinu těch reálných čísel x , kterým funkční předpis umožňuje přiřazení reálného čísla y nebo pro něž má funkce smysl. Při určování definičního oboru používáme tento postup: Je-li ve funkčním předpisu zlomek, jmenovatel musí být různý od nuly. Je-li ve funkčním předpisu odmocnina se sudým odmocnitele, výraz pod odmocninou musí být větší nebo roven nule (nezáporný). Je-li ve funkčním předpisu logaritmus, jeho argument musí být větší než nula (kladný). Řešené příklady Definiční obor funkce
Příklad 1
Určete definiční obor funkce y
x2 3 . x2
Řešení: Víme, že ve jmenovateli zlomku nesmí být nula, proto x 2 . Tomuto číslu x nemůžeme tedy přiřadit reálné číslo y . Definiční obor je proto množina reálných čísel D f ;2 2; . Příklad 2 Určete definiční obor funkce y x 1 .
Řešení: Pod odmocninou musí být nezáporné číslo, tzn. x 1 0 x 1 D f 1; Příklad 3 Určete definiční obor funkce y log3 x 5
Řešení: Logaritmus se definovaný pro kladná čísla, tzn. 3x 5 0 x
5 D f ; 3
10
5 3
Definice Grafem funkce y f x , x D f , rozumíme množinu bodů x, f x v rovině, kde x
Graf funkce
nabývá všech hodnot definičního oboru. Někdy používáme pojem křivka. Rovnost funkcí. Funkce f x a g x jsou si rovny, jestliže x D f D g platí f x g x .
Součet funkcí. Funkci h x nazveme součtem funkcí f x a g x na definičním oboru Dh , jestliže x Dh je h x f x g x .
Obdobně se definuje rozdíl, součin a podíl funkcí f x a g x na definičním oboru, přičemž o podílu mluvíme jen tehdy, je-li g x 0 . Příklad 1 Určete definiční obor funkce y x 3 x 2
Řešení: y x3 x2 x30 x20 x 3 x2 D1 3;
D2 2;
D D1 D2 D 2;
Příklad 2
Určete definiční obor funkce y
Řešení: x y x 1 x0 D1 0;
x x 1
x 1 0 x 1 D2 ;1 1;
D D1 D2
D 0;1 1;
11
Řešené příklady Definiční obor složených funkcí
Příklad 3 Rozhodněte, zda se rovnají na množině R funkce f : y x , g : y x 2 .
Řešení: Protože D f R a Dg R , je D f Dg R . Dále je H f H g R0 . Přestože obě funkce mají řadu dalších společných vlastností (intervaly monotónnosti, omezenost zdola, minimum v bodě 0, obě funkce jsou sudé), bylo by chybné vyslovit závěr, že se dané funkce rovnají. Ze znalostí grafů funkcí f , g resp. řešením rovnice x x 2 zjistíme, že rovnost f x g x nastane jen pro hodnoty x 1, x 0, x 1 . Proto se funkce f a g na množině R nerovnají. Příklad 4
x2 4 a g : y x 2 . Zjistěte, zda se dané funkce rovnají na x2 množině R , popř. určete množinu M, na níž se funkce f a g rovnají. Sestrojte grafy obou funkcí.
Jsou dány funkce f : y
Řešení: Určíme D f R 2 a Dg R . Protože D f R , funkce se na množině R nerovnají. Protože D f Dg R 2, budeme případnou rovnost funkcí vyšetřovat na množině
x2 4 x 2. x2 Tedy x M R 2, ale také pro každou podmnožinu množiny M se funkce f a g rovnají. M R 2 . Vidíme, že x M je
Obr. č. 1: Grafy k příkladu č. 4 Zdroj: [6]
12
Příklady na procvičení:
Příklady na procvičení Definiční obor funkce
1/ Určete D f funkce:
[ D f ; 5 2; ]
a/
f : y log x 2 3x 10
b/
f : y log 5 x x 2
[ D f 0;5 ]
c/
f : y log 5 x x 2
[ D f R 0;5 ]
d/
f :y
x4 1 x
[ D f 4;1 ]
2/ Vyšetřete, zda se rovnají funkce: x x
[ f g , ale pro x R 0 je f g ]
a/
f : y 1, g : y
b/
f :y
x ,g : y x
c/
f :y
x3 x2 x 1 , g : y x 1 x 2 2x 1
d/
f :y
x3 x2 x 1 x2 1
[ f g, D f H f R ]
e/
f :y
x3 x2 x 1 , g : y x 1 x2 1
[ f g, D f H f R ]
f/
f :y
x 1 x 1
x
[ f g , D f H f R 0 ]
x2
,g : y
[ f g , ale pro x R 1je f g ]
x 1 x 1
[ f g , ale pro x 1; je f g ]
Definice
Nechť je dána funkce y f u , jejíž definiční obor je N a funkce u g x , jejíž definiční obor je. Nechť x M je g x N . Pak x M je přiřazeno právě jedno u g x , a tomuto u N je přiřazeno právě jedno y f u . Označujeme y f g x a nazýváme tuto funkci jako složená funkce.
13
Složená funkce
Definice Sudá funkce
Funkce f x se nazývá sudá na D f , jestliže x D f platí: f x f x . Graf sudé funkce je symetrický podle osy y .
Obr. č. 2: Graf sudé funkce Zdroj: [8]
Definice Lichá funkce
Funkce f x se nazývá lichá na D f , jestliže x D f platí: f x f x . Graf liché funkce je symetrický podle počátku.
Obr. č. 3: Graf liché funkce Zdroj: [8]
14
Poznámka: Je potřeba dávat pozor, posunutím souřadných os se může zdát, že je funkce sudá nebo lichá, ale nemusí to být pravda. Funkce nemusí mít ani jednu z výše uvedených vlastností !!!!! Pak uvádíme, že funkce není ani sudá ani lichá.
Obr. č. 4: Graf funkce, která není ani sudá ani lichá Zdroj: [8]
Příklady na procvičení:
Příklady na procvičení Sudost a lichost funkce
1/ Rozhodněte, zda dané funkce jsou sudé nebo liché, a sestrojte jejich grafy: a/
f :y
x x2
Obr. č. 5: Graf k příkladu 1 a/ Zdroj: [6]
b/
sudá
sudá
f : y 1 x
Obr. č. 6: Graf k příkladu 1 b/ Zdroj: [6]
15
c/
f :y
x3 2x x
Obr. č. 7: Graf k příkladu 1 c/ Zdroj: [6]
d/
f :y
lichá
sudá
ani sudá ani lichá
ani sudá ani lichá
2x 2 x x2
Obr. č. 8: Grafy k příkladu 1 d/ Zdroj: [6]
e/
f :y
x x 2x 2
Obr. č. 9: Graf k příkladu 1 e/ Zdroj: [6]
f/
f :y
x x x 1 x 2 2x 1 3
2
Obr. č. 10: Graf k příkladu 1 f/ Zdroj: [6]
16
Definice
Funkci f x nazýváme periodickou, existuje-li takové číslo p 0 , že x D f je i
x p D f a platí f x p f x . Nejmenší f x p f x , nazýváme periodickou funkce.
kladné číslo
p , které splňuje
Periodická funkce
Obr. č. 11: Grafy periodické funkce Zdroj: [8]
Příkladem periodických funkcí jsou goniometrické funkce sin x, cos x, tgx, cot gx . Definice
Nechť je dána funkce f x v intervalu I a čísla x1 , x 2 z intervalu I taková, že x1 x 2 . Říkáme, že funkce f x je v intervalu I rostoucí, jestliže f x1 f x 2 klesající, jestliže f x1 f x 2 neklesající, jestliže f x1 f x 2 nerostoucí, jestliže f x1 f x 2 Všem čtyřem typům říkáme monotónní funkce. Rostoucí a klesající funkce jsou ryze monotónní.
17
Monotónnost funkce
Rostoucí funkce
Obr. č. 12: Graf rostoucí funkce Zdroj: [8]
Klesající funkce
Obr. č. 13: Graf klesající funkce Zdroj: [8]
18
Definice
Funkce f x se nazývá shora ohraničená v oboru D f , jestliže existuje takové číslo K , že x D f platí f x K .
Ohraničenost funkce
Funkce f x se nazývá zdola ohraničená v oboru D f , jestliže existuje takové číslo K , že x D f platí f x K .
Funkce ohraničená shora i zdola se nazývá ohraničená. Definice
Říkáme, že funkce f x je prostá na intervalu I právě tehdy, když různým hodnotám x1 x 2 z intervalu I odpovídají různé hodnoty f x1 f x 2 .
Prostá funkce
Obr. č. 14: Graf prosté funkce Zdroj: [8]
Definice
Nechť je dána prostá funkce y f x s definičním oborem D f . Označme obor hodnot H f . Pak inverzní funkcí k funkci y f x nazveme funkci x f
na oboru H f tak, že y H f je funkčním předpisem x f které platí y f x . Funkce y f x , x D f , x f
1
1
y
1
y , definovanou
přiřazeno D f , pro
y , y H se nazývají vzájemně inverzní.
Definiční obor původní funkce se rovná oboru hodnot funkce inverzní. Definiční obor funkce inverzní se rovná oboru hodnot funkce původní. Této vlastnosti se často využívá u složitějších funkcí, u nichž máme určit obor hodnot. Určíme definiční obor funkce, provedeme záměnu neznámých, vyjádříme y , tím jsme dostali inverzní funkci a u této funkce určíme definiční obor, který se rovná oboru hodnot původní funkce.
19
Inverzní funkce
Graf inverzní funkce
Graf inverzní funkce je s grafem původní funkce osově souměrný podle přímky y x.
Obr. č. 15: Graf vzájemně inverzních funkcí Zdroj: [8]
Obr. č. 16: Graf vzájemně inverzních funkcí Zdroj: [8]
Příklady na procvičení Definiční obor a obor hodnot
Příklady na procvičení:
1/ Určete D f , H f funkce: a/
f : y 2 sin x 1 3
b/
3 f : y cos 5 x 1 2
c/
1 f : y 3tg x 6
[ D f R, H f 1;5 ]
1 5 [ D f R, H f ; ] 2 2
[ D f R 2k 1 , H f R ] 2 k Z 6 20
d/
[ D f R k , H f R ] 6 2 k Z
1 1 f : y cot g 2 x 7 5 3
2/ Určete D f , H f , vyšetřete monotónnost a omezenost funkce: a/ f : y x2 4x 1 [ D f R, H f 3; , klesající v ; 2 , rostoucí v 2; , omezená zdola ] b/ f : y x2 2x 1 [ D f R, H f ; 2 , rostoucí v ; 1 , klesající v 1; omezená shora ] c/
f : y x 3 1
[ D f R, H f 1; , klesající v ; 3 , rostoucí v 3; , omezená zdola ] f : y x2 2x 1 d/ [ D f R, H f ; 0 , rostoucí v ;1 , klesající v 1; , omezená shora ] 3x 2 2x 5 3 5 [ D f R , H f R , rostoucí v intervalech 2 2
e/
f/
f :y
f :y
5 ; , 2
5 ; ] 2
3x 2 2x 5
5 [ D f R , H f 0; , rostoucí v intervalech 2 5 2 ; , omezená zdola ] 2 3
21
5 2 ; , ; klesající v 2 3
Elementární funkce
1.2
Přehled elementárních funkcí
Většina funkcí, se kterými se v praxi setkáváme, vznikne z jednodušších funkcí konečným počtem aritmetických operací (sčítání, odečítání, násobení, dělení) a skládáním. Uvedeme si nyní funkce, které se nazývají základní. 1.2.1 Konstantní funkce
Konstantní funkce
Konstantní funkcí nazýváme funkci danou předpisem y c, c R , Df R Grafem je přímka rovnoběžná s osou x – její vzdálenost od osy x je rovna absolutní hodnotě této konstanty.
Obr. č. 17: Graf konstantní funkce Zdroj: [9]
1.2.2 Lineární funkce
Lineární funkce
Lineární funkcí nazýváme funkci danou předpisem y ax b , kde a, b R, a 0 Df R
Obr. č. 18: Graf lineární funkce Zdroj: [9]
Grafem je přímka, a se nazývá směrnice přímky, přičemž a tg , je úhel, který svírá přímka s osou x, b je posunutí přímky po ose y . 22
1.2.3
Kvadratická funkce
Kvadratickou funkcí nazýváme funkci danou předpisem y ax 2 bx c, kde a, b, c R, a 0 Df R
Kvadratická funkce
Obr. č. 19: Graf kvadratické funkce Zdroj: [8]
Grafem je parabola. Úpravou dostaneme rovnici paraboly y n a x m Pokud je a 0 , je parabola „otevřená“ ve směru kladné poloosy y . Pokud je a 0 , je parabola „otevřená“ ve směru záporné poloosy y . Je-li a 1 , pak se parabola „zúží“ vzhledem k parabole y x 2 . Je-li a 1 , pak se parabola „rozšíří“ vzhledem k parabole y x 2 . Tyto skutečnosti můžeme pozorovat na následujícím ilustračním obrázku.
Obr. č. 20: Grafy kvadratických funkcí Zdroj: [8]
23
2
1.2.4 Mocninná funkce
Mocninná funkce
Mocninnou funkcí nazýváme funkci danou předpisem y xa , a Z, a 0 ,
Pokud je a 0 , pak D f R . a je sudé číslo
a je liché číslo
Obr. č. 21: Graf mocninné funkce Zdroj: [8]
Obr. č. 22: Graf mocninné funkce Zdroj: [8]
Pokud je a 0 , pak D f R 0 a je sudé číslo
a je liché číslo
24
Obr. č. 23: Graf mocninné funkce Zdroj: [8]
1.2.5
Obr. č. 24: Graf mocninné funkce Zdroj: [8]
Lineární lomená funkce
Dříve, než se začneme zabývat lineární lomenou funkcí v obecném tvaru, zmíníme se krátce o funkci, která je jejím speciálním případem – nepřímou úměrností. Nepřímou úměrností nazýváme funkci danou předpisem y
k , k R 0 x
Obr. č. 25: Graf nepřímé úměrnosti Zdroj: [8]
Grafem je rovnoosá hyperbola, osy souřadnicového systému jsou její asymptoty (hyperbola se k těmto přímkám přibližuje, ale neprotne je ani se jich nedotkne). 25
Nepřímá úměra
Jak se mění průběh grafu funkce v závislosti na konstantě k , je zachycen na 1 následujícím obrázku. Zvolíme pro k postupně hodnoty: 1,2,3, a odpovídající 4 grafy znázorníme do jednoho souřadnicového systému.
Obr. č. 26: Graf nepřímé úměrnosti v závislosti na konstantě k. Zdroj: [8]
Lineární lomená funkce
Lineární lomenou funkcí nazýváme funkci danou předpisem ax b y , a, b, c, d R, c 0, ad bc 0 . cx d
Grafem je rovnoosá hyperbola. Asymptoty jsou x
d a ,y c c
26
1.2.6
Exponenciální funkce
Exponenciální funkcí nazýváme funkci danou přepisem y ax,a 0 Df R a 1
Obr. č. 27: Graf exponenciální funkce Zdroj: [8]
Exponenciální funkce
0 a 1
Obr. č. 28: Graf exponenciální funkce Zdroj: [8]
Na dalším obrázku jsou různé druhy exponenciálních funkcí.
Obr. č. 29: Grafy exponenciálních funkcí Zdroj: [8]
Důležitou exponenciální funkcí je funkce, která má základ tzv. Eulerovo číslo e 2,71828... Funkci pak označujeme y e x . Tvar grafu je stejný jako je funkce na obrázku č. 27.
27
1.2.7 Logaritmická funkce
Logaritmická funkce
Logaritmickou funkcí nazýváme funkci danou přepisem y log a x, a 0
D f 0;
a 1
0 a 1
Obr. č. 30: Graf logaritmické funkce Zdroj: [8]
Obr. č. 31: Graf logaritmické funkce Zdroj: [8]
Logaritmická funkce a exponenciální funkce jsou navzájem inverzní funkce a platí pro ně vztah: log a x y a y x
Obr. č. 32: Grafy inverzních funkcí Zdroj: [8]
Obr. č. 33: Grafy inverzních funkcí Zdroj: [8]
28
1.2.8
Goniometrické funkce
Funkce y sin x Funkce sinus
D f R, H f 1;1
Obr. č. 34: Graf funkce sinus Zdroj: [8]
Funkce y cos x
Funkce kosinus
D f R, H f 1;1
Obr. č. 35: Graf funkce kosinus Zdroj: [8]
29
Funkce tangens
Funkce y tgx D f R k , k Z , H f R
Obr. č. 36: Graf funkce tangens Zdroj: [8]
Funkce kotangens
Funkce y cot gx
D f R 2k 1 , k Z , H f R 2
Obr. č. 37: Graf funkce kotangens Zdroj: [8]
30
Dále jsou uvedeny grafy goniometrických funkcí v závislosti na konstantách v těchto funcích obsažených.
31
Grafy goniometrických funkcí
Obr. č. 38: Grafy goniometrických funkcí v zavislosti na konstantách Zdroj: [8]
32
Důležité vzorce pro goniometrické funkce: Vzorce pro goniometrické funkce
sin x cos x 1 2
2
cos x sin x , cot gx cos x sin x sin 2 x 2 sin x cos x
tgx
cos 2 x cos 2 x sin 2 x
1.3
Kontrolní otázky 1. Definujte pojem definiční obor a obor hodnot. 2. Jaký je rozdíl mezi otevřeným, uzavřeným, polouzavřeným a nekonečným intervalem? 3. Uveďte příklad sudé a liché funkce. 4. Uveďte příklad periodické funkce. 5. Co je to monotónnost funkce? 6. Uveďte příklady elementárních funkcí a jejich vlastností.
1.4
Shrnutí
V 1. kapitole jsme zopakovali učivo o funkcích ze střední školy. Jedná se o základní vlastnosti funkcí a jejich grafy.
33
34
2
Spojitost funkce
Spojitost funkce
Spojité funkce patří v matematice a v jejích aplikacích k nejdůležitějším typům funkcí. Představa spojité funkce se vytvořila při pozorování různých situací, např. dráha je spojitou funkcí času při pohybu hmotného bodu, objem je spojitou funkcí teploty. Cílové znalosti a dovednosti Cílem 2. kapitoly je seznámit se se spojitostí funkce, která je jedním z výchozích bodů pro určování dalších vlastností funkce, důležitých pro diferenciální i integrální počet. Klíčová slova Okolí bodu, levé a pravé okolí bodu, funkce nespojitá v bodě, bod nespojitosti funkce, funkce spojitá zleva a zprava, funkce spojitá na uzavřeném intervalu.
2.1
Okolí bodu
Ve výkladu často použijeme pojmu okolí bodu (čísla) a . Rozumíme tím každý otevřený interval a , a , 0, R . Je to tedy množina všech reálných čísel x , která vyhovují nerovnostem a x a čili nerovnosti x a . Číslo a
Okolí bodu
nazýváme středem okolí, poloměrem okolí. Okolí bodu a značíme U a a někdy čteme - okolí bodu a . Levým okolím bodu a nazýváme polozavřený interval a ; a , pravým okolím bodu a nazýváme polozavřený interval a ; a . Geometricky je okolí bodu úsečka délky 2 , do které krajní body nepatří. Levé a pravé okolí je úsečka délky , do které patří bod a , ale druhý krajní bod nepatří.
Obr. č. 39: Grafy okolí bodu, levého okolí bodu a pravého okolí bodu Zdroj: [3]
Příklad 1 Charakterizujte interval (2,4) jako okolí bodu.
Řešení: Interval (2,4) chápeme jako okolí bodu 3. Poloměr tohoto okolí je 1 a střed a 3 Příklad 2 Charakterizujte intervaly 3; 4 a 2; 3 jako okolí bodu.
Řešení: Interval 3; 4 lze chápat jako pravé okolí bodu 3 a interval 2; 3 jako levé okolí bodu 3.
35
Řešené příklady Okolí bodu
2.2 Spojitost funkce
Spojitost funkce v bodě
Definice
Nechť funkce f x je definována v některé okolí bodu a . Říkáme, že funkce f x je spojitá v bodě a , jestliže ke každému kladnému číslu existuje kladné číslo tak, že pro všechna x z okolí a , a bodu a patří funkční hodnoty f x do okolí f a , f a bodu f a .
Obr. č. 40: Graf spojité funkce v bodě a Zdroj: [3]
Nespojitost funkce
Říkáme, že funkce y f x je spojitá v bodě a , jestliže ke každému 0 existuje takové číslo 0 , že pro všechna x , která je x a , je f x f a . O funkce, která není spojitá v bodě a , říkáme, že je nespojitá v bodě a . Bod a je tzv. bod nespojitosti funkce f x . Definice
Funkce spojitá zleva
Nechť funkce f x je definována v levém okolí bodu a . Říkáme, že funkce f x je spojitá zleva v bodě a , jestliže ke každému 0 existuje číslo 0 tak, že pro všechna x z levého okolí a , a bodu a patří funkční hodnoty f x do okolí
f a , f a bodu f a .
Definice Funkce spojitá zprava
Nechť funkce f x je definována v pravém okolí bodu a . Říkáme, že funkce f x je spojitá zprava v bodě a , jestliže ke každému 0 existuje číslo 0 tak, že pro všechna x z pravého okolí a, a bodu a patří funkční hodnoty f x do okolí
f a , f a bodu f a .
Funkce je spojitá v bodě a , když je v tomto spojitá jak zleva tak zprava. Funkce je spojitá v otevřeném intervalu a, b , je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Funkce je spojitá, je-li spojitá v každém bodě definičního oboru.
36
2.3
Spojitost funkce v intervalu
Definice
Funkci nazýváme spojitou na uzavřeném intervalu
a, b , je-li spojitá v každém
vnitřním bodě tohoto intervalu a je-li kromě toho v bodě a spojitá zprava a v bodě b spojitá zleva. Vlastnosti spojité funkce v uzavřeném intervalu a, b : Věta
Je-li funkce f x spojitá na uzavřeném intervalu
a, b , pak je v tomto intervalu
ohraničená.
Obr. č. 41: Graf spojité ohraničené funkce na uzavřeném intervalu Zdroj: [3]
Věta
Je-li funkce f x spojitá na uzavřeném intervalu a, b , pak existuje aspoň jeden bod x1 a, b tak, že x a, b platí f x f x1 a aspoň jeden bod x 2 a, b tak, že
x a, b platí f x f x 2 .
Obr. č. 42: Grafy k větě 2.3.2 Zdroj: [3]
37
Spojitost funkce v intervalu
Věta
Je-li funkce f x spojitá na uzavřeném intervalu a, b a je-li f a f b , potom
funkce f x nabývá všech hodnot mezi f a a f b .
Obr. č. 43: Grafy k větě 2.3.3 Zdroj: [3]
Věta
Je-li funkce f x spojitá na uzavřeném intervalu a, b , a mají-li čísla f a a f b
různá znaménka, existuje aspoň jeden bod c a; b , ve kterém platí f c 0 . / Velmi důležité při numerickém řešení rovnic – řešíme-li rovnici f x 0 a najdeme-li čísla a, b tak, že f a f b 0 , pak leží v intervalu a, b aspoň jeden kořen.
Obr. č. 44: Grafy k větě 2.3.4 Zdroj: [3]
38
Věta
Je-li funkce f x spojitá na uzavřeném intervalu a, b , pak jeho funkční hodnota je opět interval. / Interval se zobrazí opět na interval /.
Obr. č. 45: Grafy k větě 2.3.5 Zdroj: [3]
Věta
Je-li funkce y f x ryze monotónní a spojitá v uzavřeném intervalu a; b , potom k ní inverzní funkce x f
2.4
y je spojitá v odpovídajícím intervalu.
Kontrolní otázky 1. 2. 3. 4.
2.5
1
Definujte levé a pravé okolí bodu. Kdy je funkce spojitá v bodě? Definujte spojitost na uzavřeném intervalu. Uveďte vlastnosti funkce spojité na uzavřeném intervalu.
Shrnutí
Ve 2. kapitole jsme se seznámili se spojitostí funkce, která je jedním z výchozích bodů pro určování dalších vlastností funkce, důležitých pro diferenciální i integrální počet.
39
40
3
Limita funkce
Limita funkce
Zavedení pojmu limita funkce je stěžejní pro další studium matematiky. Díky jemu se naučíme počítat s tzv. nevlastními prvky, které budeme označovat , . Cílové znalosti a dovednosti Cílem 3. kapitoly je seznámit se s limitou funkce v návaznosti na předešlou kapitolu. Klíčová slova Limita funkce, jednostranná limita, limita zprava a zleva, oboustranná limita, nespojitost prvního druhu, funkce po částech spojitá v intervalu, nevlastní limita, nevlastní bod, vlastní limita.
3.1
Limita funkce v bodě
Definice
Nechť funkce f x je definována x a , z některého okolí bodu a . Říkáme, že funkce f x má v bodě a limitu A , jestliže ke každému kladnému číslu existuje takové kladné číslo , že x a z okolí a ; a bodu a patří funkční hodnoty f x do okolí A ; A bodu A . Zapisujeme lim f x A xa
Z definice plyne, že limita funkce nezávisí na tom, zda je funkce v bodě a definována, což je zásadní rozdíl proti spojitosti. Geometricky můžeme limitu funkce interpretovat: Sestrojíme pás ohraničený rovnoběžkami y A , y A . Má-li funkce f x v bodě a limitu rovnou číslu A , existuje vždy - okolí bodu a tak, že všechny body x; f x grafu leží v tomto pásu, pokud x leží v U a a x a . Funkční hodnota v bodě a může být mimo pás nebo funkce v bodě a nemusí být definována.
Obr. č. 46: Graf geometrické interpretace limity Zdroj: [3]
41
Věta
Funkce f x je spojitá v bodě a právě tehdy, je-li v tomto bodě definována a platí lim f x f a xa
Věta
Funkce f x má v bodě a nejvýše jednu limitu. Jednostranné limity
Jednostranné limity Definice
Nechť funkce f x je definována v otevřeném intervalu a; a , 0 . Říkáme, že f x má v bodě a limitu zprava rovnu číslu A , jestliže ke každému číslu 0 existuje takové číslo 0 tak, že pro všechna x a; a platí f x A . Označení lim f x A . xa
Definice
Nechť funkce f x je definována v otevřeném intervalu a ; a , 0 . Říkáme, že f x má v bodě a limitu zleva rovnu číslu A , jestliže ke každému číslu 0 existuje takové číslo 0 tak, že pro všechna x a ; a platí f x A . Označení lim f x A . xa
Obr. č. 47: Grafy jednostranných limit Zdroj: [3]
Je zřejmé, že funkce f x , která má v bodě a limitu zprava (zleva), nemusí být v bodě a definována. Limity zleva a zprava nazýváme jednostrannými limitami, limitu funkce v bodě nazýváme někdy oboustrannou limitou.
42
Funkce f x má v bodě a limitu právě tehdy, má-li v tomto bodě limitu zprava a limitu zleva a jsou-li si tyto limity rovny. Označení lim f x A lim f x A lim f x A xa
xa
xa
Definice
Říkáme, že funkce má v bodě nespojitost prvního druhu, není-li v bodě a spojitá a existují-li jednostranné limity lim f x A, lim f x B, A B, A, B jsou konečná x a
Nespojitost prvního druhu
x a
čísla. Číslo A B se nazývá konečný skok f x v bodě a . Definice
Funkci f x nazýváme po částech spojitou v intervalu a; b , je-li spojitá v a; b s výjimkou konečného počtu bodů, ve kterých má nespojitost prvního druhu.
Funkce po částech spojitá na intervalu
Věty o limitách funkcí Věta
Jestliže pro funkci f x a g x platí f x g x pro všechna x a z určitého okolí bodu a a má-li funkce g x v bodě a limitu A , má také funkce f x v bodě a limitu A. Věta
Mají-li funkce f x a g x v bodě a limitu lim f x A, lim f x B , má v tomto x a
xa
bodě limitu i jejich součet, rozdíl, součin a pro B 0 i podíl a platí: lim f x g x lim f x lim g x A B xa
xa
xa
x a
xa
x a
lim f x g x lim f x lim g x A B lim f x g x lim f x lim g x A B xa
xa
f x f x A lim lim x a g x xa g x B
xa
Příklad 1
Řešené příklady Limita funkce
3x 4 Vypočtěte limitu funkce: lim 2 x2 x 1 Řešení:
3x 4 3x 4 je spojitá v R , proto a R je lim 2 rovna 2 x a x 1 x 1 3x 4 3 2 4 6 4 funkční hodnotě f a . Tedy lim 2 2 2 x2 x 1 5 2 1 Racionální funkce f : y
43
Příklad 2 Vypočtěte limitu funkce: lim sin x 1 x 6
Řešení: Funkce f : y sin x je spojitá v R , proto x R je lim sin x sin a . Tedy platí x a
1 1 lim sin x sin . 1 6 2 x 6
Příklad 3
3x 2 x x 0 x
Vypočtěte limitu funkce: lim Řešení:
3x 2 x Funkce f : y není v bodě 0 definována, tedy nemůže být v tomto bodě ani x spojitá. V tomto případě limitu v bodě 0 nelze počítat jako předcházející limity na základě věty o limitě spojité funkce. Můžeme však v R 0 provést následující úpravu: 3x 2 1 3x 2 1 x3x 1 3x 1 g x . Máme tedy dvě funkce. f x x x x s definičním oborem D f R 0 a g x 3 x 1 s definičním oborem D g R . f x
Funkce g je spojitá x R , tedy i v bodě 0. Dále platí: x M D f D g R 0 je
f x g x . Rovnost f x g x musí tedy platit i v okolí bodu 0, tj. v intervalu ;0 0; . Tím jsou splněny všechny předpoklady o limitě dvou funkcí a proto platí: 3x 2 x lim lim3 x 1 3 0 1 1. x 0 x 0 x
Příklad 4
x 2 4x 3 x 1 x3 1
Vypočtěte limitu funkce: lim
Řešení: Postupujeme jako u předešlého příkladu 4. V R 1 platí:
x 1x 3 lim x 3 2 1 3 x 2 4x 3 lim . 3 2 2 3 x 1 x 1 x 1x x 1 x 1 x x 1 x 1 1 1 1 3 x 2 4x 3 x3 Využili jsme tedy skutečnosti, že funkce f x a g x 2 se v 3 x 1 x x 1 R 1 rovnají a funkce g má v bodě x 1 limitu, protože je v tomto bodě spojitá. lim
44
Příklad 5
sin 2 x x 0 3x
Vypočtěte limitu funkce: lim
Řešení: sin 2 x 2 sin x cos x 2 sin x 2 2 2 lim cos x 1 cos 0 1 1 lim lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 3x 3x 3 x 3 3 3 Příklad 6
2 cos 2 x sin x x 0 x
Vypočtěte limitu funkce: lim
Řešení: 2 cos 2 x sin x sin x lim lim 2 lim cos 2 x lim 2 cos 2 0 1 2 1 1 2 x 0 x 0 x 0 x 0 x x Příklad 7
x 4 Vypočtěte limitu funkce: lim 2 x 0 x 2 sin x Řešení: x x 4 4 4 lim 2 lim 2 lim 2 1 2 1 1, protože x 0 x 2 sin x x 0 x 2 x 0 sin x 0 2 lim1 x 1 1 x 1 1 x 0; 0je . Platí lim lim x 0 1 x 0 x 0 sin x sin x 1 sin x sin x sin x 2 lim x 0 x x x Příklad 8
3tg 2 x x0 2 x 2
Vypočtěte limitu funkce: lim Řešení:
2
3tg 2 x 3 sin 2 x 3 3 3 3 sin x lim lim 12 lim 2 x 0 2 x 2 x 0 2 x 2 cos 2 x x 0 2 cos 2 x x 0 2 1 2 2 cos 0 x
lim
Příklady na procvičení:
Příklady na procvičení Limita funkce
1/ Vypočtěte limity funkcí 3x 2 1 x3 x 1
a/
lim
b/
1 lim 2 ln x 2 x 1 x
c/
lim
x2
x 3
[1]
[1]
x2 9 x 2 2x 3
[ 45
3 ] 2
d/
lim
x2 x 3x 2
[1]
e/
x 2 5x 6 lim x 1 x x2
[-7]
f/
lim
g/
x3 x2 x 1 x 1 x 2 2x 3
h/
x3 2x 2 x 2 lim 3 x2 x 2 x 2 x 2
x2
x 5
2
x 2 8 x 15 x 2 2 x 15
lim
[
1 ] 4
[
1 ] 2
5 [ ] 3
2/ Vypočtěte limity funkcí a/
lim
b/
lim
c/
lim
d/
lim
x 3
x 0
x 13 2 x 1 x2 9
[
x 1 3x 1
1 1 x x 0 x
x 2
2 ] 3
[
1 ] 2 [2]
9 x2
lim x 3
3x 3
f/
lim
1 x 1 x x
g/
lim
6 x 6 x x
x 0
[
x6 4 1 x
e/
x 0
1 ] 16
[-12]
[1]
[
6 ] 6
3/ Vypočtěte limity funkcí a/
lim
tgx x sin 2 x
[
1 ] 2
b/
lim
1 cos x x 0 x2
[
1 ] 2
46
c/
lim x 2 5 cos x x 0
[-5]
sin
1 [ ] 3
3
d/
lim
e/
lim
1 cos 2 x x 0 x sin x
[2]
f/
lim x cot gx
[1]
g/
lim
x
x 0
x 0
1 x 4
h/
lim
i/
lim
j/
lim
sin x cos x 1 tgx
sin 2 x
tgx sin x x3
[
1 cos 2 x tg 2 x x 0 x sin x
3.2
2 ] 2
[4 2 ]
x2 2
x 0
x 0
[
1 ] 2 [3]
Nevlastní limita funkce, limita funkce v nevlastním bodě
Nevlastní limita v bodě a znamená, že graf funkce f x pro čísla z - okolí bodu a neustále roste nad jakoukoliv hodnotu k . Definice
Nechť funkce f x je definována pro všechna x a z nějakého okolí bodu a . Říkáme, že f x má v bodě a nevlastní (nekonečnou) limitu , jestliže ke každému libovolně velkému k existuje - okolí bodu a tak, že pro všechna x z tohoto okolí platí f x k . Značíme lim f x .
Limita funkce v nevlastním bodě
xa
Definice
Nechť funkce f x je definována pro všechna x a z nějakého okolí bodu a . Říkáme, že f x má v bodě a nevlastní (nekonečnou) limitu , jestliže ke každému libovolně velkému k existuje - okolí bodu a tak, že pro všechna x z tohoto okolí platí f x k . Značíme lim f x . xa
47
Limita funkce v nevlastním bodě
Obr. č. 48: Graf nevlastní limity Zdroj: [3]
Má-li funkce f x v bodě b konečnou limitu, říkáme, že má vlastní limitu. Definice Vlastní limita v nevlastním bodě
Nechť funkce f x je definována v levém okolí bodu (tedy definována v intervalu b; , kde b je určité reálné číslo). Říkáme, že funkce f x má v nevlastním bodě vlastní limitu A , jestliže ke každému 0 existuje číslo k tak, že pro všechna x k je f x A . Značíme lim f x A x
Obr. č. 49: Graf limity v nevlastním bodě Zdroj: [3]
Definice Vlastní limita v nevlastním bodě
Nechť funkce f x je definována v pravém okolí bodu (tedy definována v intervalu b; , kde b je určité reálné číslo). Říkáme, že funkce f x má v nevlastním bodě vlastní limitu A , jestliže ke každému 0 existuje číslo k tak, že pro všechna x k je f x A . Značíme lim f x A x
48
Definice
Nechť funkce f x je definována v levém okolí bodu . Říkáme, že funkce f x má v nevlastním bodě nevlastní limitu A , jestliže k libovolnému K existuje číslo N tak, že pro všechna x N je f x K . Značíme lim f x
Nevlastní limita v nevlastním bodě
x
Obr. č. 50: Graf nevlastní limity v nevlastním bodě. Zdroj: [3]
3.2.1
Věty o nevlastních limitách
Věty platící pro vlastní limity lze často použít i pro nevlastní limity, nevede-li výpočet k výrazům typu ,0 , . Věta
Je-li lim f x lim g x lim f x g x xa
xa
xa
xa
xa
xa
x a
x a
xa
xa
xa
xa
xa
xa
xa
x a
x a
xa
lim f x lim g x lim f x g x lim f x lim g x lim f x g x lim f x lim g x lim f x g x lim f x lim g x A 0 lim f x g x lim f x lim g x A 0 lim f x g x
49
Věty o nevlastních limitách
Řešené příklady Limita funkce v nevlastním bodě
Příklad 1
2x3 x 2 5 x x 2 x 2
Vypočtěte limitu funkce: lim
Řešení: 1 5 1 5 2 3 2 3 2x 3 x 2 5 x3 x x lim x lim x x 2 0 0 lim 2 lim 2 x x x 2 x x x x 1 2 1 2 1 0 0 1 2 1 2 x x x x 2 Příklad 2
4x3 x 2 x 3 x 3 x 2 x 2
Vypočtěte limitu funkce: lim Řešení:
1 2 1 2 4 2 3 3 2 4x x 2 400 x x x x x lim 3 lim 3 lim 1 lim 1 2 x 3x x x 2 x x 1 1 2 x x 1 1 2 3 0 00 3 2 3 3 2 3 x x x x x x 4 4 1 3 3 3
3
4
Příklad 3
x2 2x 5 Vypočtěte limitu funkce: lim 3 x 2 x x 2 4 Řešení: 2 5 2 5 1 2 2 2 2 1 x 2x 5 x x x lim 1 lim x x 0 1 0 0 0 1 0 lim lim 3 x 2 x 3 x 2 4 x x x x 1 4 1 4 200 2 x 2 3 2 3 x x x x Příklad 4
Vypočtěte limitu funkce: lim
x
x 6x 3x 1
Řešení: 1 6 x 6x 06 x lim lim 2 x 3 x 1 x 1 30 3 x
50
Některé důležité limity:
Vzorce pro výpočet limit
1 x 0 x 1 lim 0 x x 1 lim 0, n N x x n
1 x 0 x 1 lim 0 x x 1 lim neexistuje x 0 x
lim
lim
Je-li a 0;1 : lim a n
lim a x 0
x
x
lim log a x
lim log a x
x 0
x
Je-li a 1; : lim a x 0
lim a x
x
x
lim log a x
lim log a x
x 0
x
lim ln x
lim ln x
x 0
x
lim sin x neexistuje
lim sin x neexistuje
x
x
lim cos x neexistuje
lim cos x neexistuje
x
x
lim tgx
lim tgx
1 x 2
1 x 2
lim cot gx
lim cot gx
x 0
x 0
lim
sin x 1 x 0 x
lim
ex 1 lim 1 x 0 x
lim
tgx 1 x 0 x
x 0
ax k ..... jestliže k l x bx l .....
ln1 x 1 x
ax k ..... a jestliže k l x bx l ..... b
lim
lim
ax k ..... jestliže k l x bx l .....
lim
51
Příklady na procvičení Limita funkce
Příklady na procvičení:
1/ Vypočtěte limity: 2x 3 x 3 x 1
2 [ ] 3
3x 1 x2 1
[0]
c/
x 3 3x 1 x 2 x 2 x 3
[-1]
d/
2x3 5 x x 2 5
a/
b/
e/
f/
lim
lim
x
lim
[ ]
lim
lim 4 x 3 7 x 9
x
[]
3x 2 5 x lim x 7 x 3 x 2 1
[0]
2/ Vypočtěte limitu: a/ b/
x2 1 x2 1 x
lim
x
lim
x
x2 x
[2]
[0]
x2 1 x x 1
[0]
d/
x3 x lim 2 x x 1
[0]
e/
x3 x2 lim 2 x 2 x 1 2 x 1
f/
lim
c/
lim
x
x
2x
2
xx
1 [ ] 4
[ ]
52
3.3
Kontrolní otázky 1. 2. 3. 4. 5. 6.
3.4
Definujte limitu funkce v bodě. Jaký je rozdíl mezi jednostrannou a oboustrannou limitou? Definujte pojem nespojitost 1. druhu. Uveďte věty o limitách funkce. Vysvětlete pojmy limita v nevlastním bodě a nevlastní limita. Uveďte věty o nevlastních limitách.
Shrnutí
Ve 3. kapitole jsme se seznámili s limitou funkce v návaznosti na předešlou kapitolu.
53
54
4
Derivace funkce
Derivace funkce
Derivace funkce je pojem, který je důležitý nejen v matematice, ale ve všech technických disciplínách. Cílové znalosti a dovednosti
Cílem 4. kapitoly je seznámit se s derivací funkce, vysvětlit derivaci elementárních funkcí, derivaci operací s funkcemi, derivaci vyšších řádů. Výpočet limity funkce pomocí L´Hospitalova pravidla. Nejdůležitějším bodem celé kapitoly je vyšetřování průběhu funkce, v němž se využijí znalosti předešlých kapitol. Vyšetřování průběhu funkce je vyvrcholením celého diferenciálního počtu. Klíčová slova
Derivace funkce v bodě, směrnice tečny, derivace vyšších řádů, L´Hospitalovo pravidlo, průběh funkce, monotónnost funkce, lokální extrémy, lokální maximum a minimum, ostré lokální maximum a minimum, stacionární bod, absolutní extrémy, globální extrémy, konvexnost a konkávnost funkce, inflexní bod, asymptoty funkce, asymptoty se směrnicí a bez směrnice.
4.1
Derivace funkce v bodě
Definice f x f x0 Definujme funkci f x pro x D f x0 x x0 f x f x0 Existuje-li vlastní limita lim f x lim f x x0 x x0 x x0 f x má v bodě x0 derivaci f
/
Derivace funkce v bodě
/
x0 ,
říkáme, že funkce
x0 .
Poznámka:
f x f x0 vyjadřuje směrnici přímky, která prochází body x x0 x0 ; f x0 , x; f x . , (Obr. č. 51). Z toho plyne, že
Funkce
f x
lim f x lim
x x0
x x0
f x f x0 f x x0
/
x0
je směrnice tečny ke grafu funkce f x v bodě
x0 , (Obr. č. 52). Rovnice této tečny je y y 0 tg x x0 tj. y y 0 f
55
/
x0 x x0 .
Obr. č. 51: Graf směrnice přímky Zdroj: [9]
4.2
Vzorce pro výpočet derivací
Obr. č. 52: Graf směrnice tečny Zdroj: [9]
Derivace elementárních funkcí
Vzorce pro výpočet derivací Funkce f :yc
Podmínka cR
Derivace y/ 0
f : y xn f : y sin x
x R, n R
y / nx n 1
xR
y / cos x
f : y cos x
xR
y / sin x 1 y/ cos 2 x 1 y/ 2 sin x / x y e
f : y tgx f : y cot gx
1 k , k Z 2 x k , k Z
f : y ex
xR
f : y ax f : y ln x
x R, a R
f : y log a x
x R, a R 1
x
c
x R
y / a x ln a 1 y/ x 1 y/ x ln a
Tab. č. 1: Vzorce pro výpočet derivací Zdroj: Vlastní zdroj
Vzorce pro výpočet derivací operací
Vzorce pro výpočet derivací operací s funkcemi Operace Součet
Funkce u x vx /
Derivace u / x v / x
Rozdíl
u x vx / ux vx /
u / x v x u x v / x
Součin
u / x v / x
56
Podíl
u / x v x u x v / x v 2 x
u x v x c u x / /
Součin konstanty a funkce
c u / x
f g x /
Složená funkce
f
/
g x g / x
Tab. č. 1: Vzorce pro výpočet derivací operací s funkcemi Zdroj: Vlastní zdroj
Příklad 1 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: 1 y x 3 5x 2 7 x 3 2
Řešené příklady Derivace funkce
Řešení: /
3 1 1 x R : x 3 5 x 2 7 x 3 3x 2 5 2 x 7 1 0 x 2 10 x 7 2 2 2 Příklad 2 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: y 5 x 2 cos x 7
Řešení:
x R : 5 x 2 cos x 7 5x 2 cos x 7 5 2 x cos x x 2 sin x 0 5 x2 cos x x sin x /
/
/
Příklad 3
x2 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: y x 1 Řešení:
/ x2 x 2 x 1 x 2 x 1 2 x x 1 x 2 1 2 x 2 2 x x 2 x 2 2 x x R : x 12 x 12 x 12 x 12 x 1 x x 2 x 12 /
/
Příklad 4 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: sin x y 1 cos x
Řešení:
cos x1 cos x sin x sin x cos x cos 2 x sin 2 x sin x x 2k , k Z : 1 cos x 2 1 cos x 2 1 cos x cos x 1 1 2 1 cos x cos x 1 /
57
Příklad 5 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: x3 x 2 y x2
Řešení: /
/
x3 x 2 / 1 2 x 2 x x 1 2 x 2 1 1x 2 2 2 x 3 x R 0 : 2 x x x 1 4 1 2 3 x x Příklad 6 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: 1 y x2 3 x
Řešení: /
1 x R : x 2 3 x 2 x 3 x
/
2 x 3x 4 2 x
3 x4
Příklad 7 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: x2 3 x y x
Řešení: Funkci upravíme jako mocninnou funkci a pak derivujeme. Je to jednodušší než derivovat podíl. /
/
/
/
x 2 3 x 2 13 12 2 13 12 116 11 116 1 11 56 11 6 5 x x x x x x x x x R : 6 6 6 x
Příklad 8 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: x x 1 y x
Řešení: Funkci upravíme jako součet zlomků. /
x x 1 x x R : x x
1 2 x
1 2x x
/
/
1 1 1 3 1 2 1 2 1 2 2 x 1 x x 0 x 2 2 x x
x
1 x x x 1 x 2 x x 2 2x 2
58
Příklad 9 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru:
y 2x 1 x 2 Řešení: Derivujeme podle vzorce pro součin funkcí.
2 x 1 x 2x 2
2 1 2x 2 1 x
/
/
1 x 2 2x 1 x 2
2 1 x /
2
2x
2x 2 1 x2
2 1 x 2 2x 2 1 x2
2
Derivace existuje pro 1 x 2 0 , tedy pro x 1;1 Příklad 10 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: x2 y 2 x 2
Řešení: Derivujeme podle vzorce pro podíl funkcí:
2 2 x2 x 2 2 x x 2 2 x x R 2 : 2 2 x 4 2 x 2 x2 x 2 x 2 4 x 2 x 2 2 x 2 4x 3 3 2 x 2 x 3 2 x /
/
/
2 x2 x x 2 22 x 1 2 x 4 2
Příklad 11 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru:
y x5 2x 1
7
Řešení: Derivujeme podle vzorce pro derivaci složené funkce.
7
Funkce y x 5 2 x 1 je složena z funkcí y z 7 , z x 5 2 x 1 . Postupně mají tyto z R, x R . Tedy, funkce derivace v každém bodě y/
6 dy d z 6 d x 5 2 x 1 7 z 6 5x 4 2 7 x 5 2 x 1 5x 4 2 , dx dz dx
někdy píše y /
z x 2 x 1 7 z 5 x 7 /
5
/
6
4
2 7x
5
2 x 1 5 x 6
4
2 .
což
se
Příklad 12 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: y sin 2 x 2 3x
Řešení: Derivujeme podle vzorce pro derivaci složené funkce. Funkce y sin 2 x 2 3x je složena z funkcí y u 2 , u sin z , z x 2 3x . Postupně u R, z R, x R . Tedy mají tyto funkce derivace v každém bodě
59
y / u 2 sin z x 2 3 x 2u cos z 2 x 3 2 x 3 2 sin z cos x 2 3x /
/
2 x 3 2 sin x
/
3x cos x 3 x 2 x 3sin 2 x 3x Poslední krok je podle vzorce pro úpravu goniometrických 2 sin x cos x sin 2 x 2
2
2
funkcí
Příklady na procvičení: Příklady na procvičení Derivace funkce
1/ Vypočtěte derivace funkce: a/
y 4 x 3 7 x 2 3x
c/
4 3 3 8 x x 3 4 5 3 y 7 x 2 x 2
d/
y x 4 7 sin x 2 cos x 3e x
e/
y 3x 2 ln x
f/
y tgx x
g/
y tgx cot gx
b/
[ y / 12 x 2 14 x 3 ] [ y / 4 x 2 6 x 7 ]
y 2
[ y / 35 x 4 6 x 2 ] [ y / 4 x 3 7 cos x 2 sin x 3e x ] [ y/
3x 2 ] x
[ y / tg 2 x ] [ y/
4 sin 2 2 x
]
2/ Upravte výraz a vypočtěte derivaci funkce:
a/
y x x 3 1 x 2
[ y / 5x 4 8x 3 2 x 2 ]
b/
y x3
1 x3
[ y/
c/
x4 1 y x2
d/
y
e/
y
f/
y 1 x3
[ y/
x x x x2
2 x4 1 [y ] x3 /
2x 3 x 3
3
3 x6 1 ] x4
6x x 6 x5 9 x ] 6x 2
[ y/
2
3 x ] 2x3
[ y / 6 x 2 1 x 2 ]
3/ Vypočtěte podle vzorce pro derivaci složené funkce derivaci funkce: a/
y 1 x3
2
[ y / 6 x 2 1 x 2 ] 60
–
b/
y sin 4 x
c/
y sin 3 x 2
[ y / 6 x cos 3x 2 ]
d/
y tg 3 2 x
[ y/
e/
y ex
f/
y ln 3 x 2 1
g/
y x ex
h/
y 5x
i/
y x 4x
2
[ y / 4 sin 3 x cos x ]
[ y / 2 x 1e x
2 x 1
2
1
6 sin 2 2 x ] cos 4 2 x
[ y/
3
[y
/
2 x 1
]
6 x ln 2 x 2 1 ] x2 1 [ y / 1 ex ] 2
[ y / 2 x5 x
2
2
1
ln 5 ]
x 2 x 2 4 x ] xx 4
4/ Vypočtěte derivaci funkce: 1 x 2x
21 x
a/
y 1
b/
y x sin x cos x
c/
y sin 3 x 2
d/
y xe x x 2 ln x
e/
y
x 3 x 2
[ y/
f/
y
x3 x3 1
[ y/
g/
y
x3 x3 1
[ y/
h/
y x 2 e x2
i/
yx
2
[ y/
2
1 x
x
2x
2
2
]
[ y / x cos x ] [ y / 6 x sin 2 x 2 cos x 2 ] 1 2 x 2
[ y / e x x 1 2 x ln x ]
]
2 1 x3
x
3
x
x
2
2
3x 2 3
1
2
3x 2 3
1
2
]
]
[ y / x x 2e x 2 ]
x 2 3x 2 1 x 2 [y ] x2 1
2
/
61
4.2.1 Derivace funkce vyšších řádů
Derivace vyšších řádů
Pokud máme funkci y f x , umíme vypočítat podle výše uvedených vzorců tzv. 1. derivaci funkce y / f / x . V dalších výpočtech se setkáme s 2. derivací
y // f // x f / x , kterou vypočítáme tak, že derivovanou funkci ještě jednou derivujeme. Stejně tak bychom mohli vypočítat 3. derivaci, 4. derivaci atd. /
Řešené příklady Derivace vyšších řádů
Příklad 1 Vypočítejte všechny derivace funkce f x 3x 4 2 x
Řešení: f / x 12 x 3 2 f // x 36x 2 f /// x 72 x f 4 x 72 f 5 x f 6 x ... 0 Příklady na procvičení: Příklady na procvičení Derivace vyšších řádů
L´Hospitalovo pravidlo
1/ Vypočtěte f
/
x , f // x
1 3 x 5x 2 7 x 3 2
y
b/
y 2 x 4
c/
y
1 x
d/
y
x2 1 x
e/
y sin x cos x
f/
y sin 2 3x
g/
y cos 2 x
[ y / 2 sin 2 x, y // 4 cos 2 x ]
h/
y sin 2 x
[ y / 2 cos 2 x, y // 4 sin 2 x ]
4.2.2
[ y/
3 2 x 10 x 7, y // 3x 10 ] 2
a/
[ y / 142 x 4 , y // 1682 x 4 ]
7
6
5
[ y/
[ y/
xx 2
x 1
2
1 // 2 ,y 3 ] 2 x x
, y //
2
x 13
]
[ y / cos x sin x, y // sin x cos x ] [ y / 3 sin 6 x, y // 18 cos 6 x ]
L´Hospitalovo pravidlo
V kapitole o limitách je uvedeno několik vět, podle kterých jsme počítali limity různých funkcí. Na některé případy však tyto věty nelze aplikovat. 62
Věta (L´Hospitalovo pravidlo)
Nechť lim f x 0, lim g x 0 nebo lim f x , lim g x a lim x a
x a
x a
x a
f x f / x f x A . Tedy lim / lim A. x a g x x a g x g x
pak existuje lim x a
x a
f / x A, g / x
Toto pravidlo lze použít i v případě, když a . Pomocí této věty tedy počítáme 0 limity, které při nesprávném použití vět o limitách vedou k výrazům typu , . Tyto ty 0 limit je možno převést vhodnými úpravami na limity: g x lim f x g x , lim f x g x , lim f x , které při nesprávném použití vět o limitách xa
x a
x a
vedou k výrazům 0 , ,1 , 0 ,0 0 . Příklad 1
Řešené příklady L´Hospitalovo pravidlo
ln x 2 3 Vypočtěte: lim 2 x 2 x 2 x
Řešení: lim ln x 2 3 0 a lim x 2 2 x 0 x 2
x2
lnx 3 x 2 x
/
2
lim x2
/
2
2x 2x 4 lim x 3 lim 2 2 x2 2 x 2 x 2 x 3 2 x 2 1 2 2
Příklad 2
x2 x 0 cos x 1
Vypočtěte: lim
Řešení: lim x 2 0 a limcos x 1 0 x 0
x
x0
2 /
lim x 0
2 x lim 2 2 2x 0 lim x 0 sin x x 0 sin x / x0 cos x 0 /
cos x 1/
lim
V tomto příkladu jsme si ukázali, že L´Hospitalovo pravidlo lze použít i několikrát po sobě (pokud to situace vyžaduje). Příklady na procvičení:
Příklady na procvičení L´Hospitalovo pravidlo
1/Pomocí L´Hospitalova pravidla vypočítejte limity: a/
lim
b/
lim
x2
x3 4x x 4 x 18
[
2x x 0 sin x sin 3 x
8 ] 33
[
63
1 ] 2
1 ] ln 10
lim x 0
10 1
d/
lim
1 cos x x
e/
lim
ex 1 x 0 e 3 x 1
1 [ ] 3
f/
lim
ex 1 x e 3 x 1
[0 ]
g/
lim
ln x x 0 1 2 ln sin x
[
h/
lim
x 0
x
Průběh funkce
x
c/
4
[
x
[0 ]
cos x sin x 1 tgx
[2 2 ]
tgx x 0 e 1
i/
lim
j/
lim
k/
lim
l/
lim
x 0
1 ] 2
[
2x
1 cos x tgx
1 ] 2
[0 ]
x x 0 e e x
[
x3 x 0 cos x 1
[0 ]
m/
tg 2 x lim x 0 cos x 1
[ 2]
n/
lim
4.3
x
1 cos x x 0 x2
[
1 ] 2
1 ] 2
Průběh funkce
Vyšetřit průběh funkce patří k základním úlohám diferenciálního počtu. Jedná se o zjištění základních vlastností funkce, pomocí nichž můžeme sestrojit graf funkce. Dříve než přistoupíme k vlastnímu vyšetřování průběhu funkcí, uvedeme některé důležité věty, které jsou teoretickým základem pro zkoumání průběhu funkce. Monotónnost funkce
4.3.1
Monotónnost funkce
64
Věta
Je-li f
/
Je-li f
/
x0 0 , potom je funkce f x rostoucí v bodě x0 . x0 0 , potom je funkce f x klesající v bodě x0 .
Věta (Rolleova)
Nechť funkce f x má tato vlastnosti: a/ je spojitá na uzavřeném intervalu a; b , b/ má v každém bodě otevřeného intervalu a; b derivaci c/ platí f a f b . Potom existuje v otevřeném intervalu a; b aspoň jeden bod c, ve kterém platí f / c 0 . V tomto bodě c pak může nastat minimum nebo maximum.
Obr. č. 53: Grafy k větě 4.3.1.2 Zdroj: [3]
Příklady na procvičení:
1/ Určete intervaly monotónnosti funkcí: a/
y x 3 12 x
b/
y x 3 13
c/
y 3x 4 8 x 3 48 x 2
d/
y x 5 10 x 3 40 x
2; 2 ,
[rostoucí v ;2 , 2; , klesající v 2;2 ] [rostoucí v R ] [rostoucí v 2;0 , 4; , klesající v ;2 , 0;4 ] [rostoucí v ;2, 2; 2 , 4; , klesající v
e/
2 ;2 ] y 3x 4 4 x 3 36 x 2
[rostoucí v 2;0 , 3; , klesající v ;2 , 0;3 ]
f/
y 5 x 6 6 x 5 15 x 4
[rostoucí v 1;0 , 2; , klesající v ;1, 0;2 ]
65
Příklady na procvičení Monotónnost funkce
Extrémy funkce
[rostoucí v 1;1 , klesající v ;1, 1; ]
g/
y 3x x 3
h/
y x5 x3
i/
y
j/
y x
k/
y
1 x 1
[rostoucí v ;0 , klesající v 0; ]
l/
y
x 1 x2
[rostoucí v ;1, 1;1, 1; ]
m/
y ex
n/
y x sin x
o/
y xe x
p/
y
4.3.2
15 15 , [rostoucí v ; 5 ; , klesající v 5
2x x 1 2
1 x
15 15 ] ; 5 5
[rostoucí v 1;1 , klesající v ;1, 1; ] [rostoucí v ;1, 1; , klesající v 1;0 , 0;1 ]
2
[rostoucí v ;0 , klesající v 0; ]
2
[rostoucí v R ] [rostoucí v ;1 , klesající v 1; ]
ln x
[rostoucí v 0; e 2 , klesající v e 2 ; ]
x Extrémy funkce
Extrémem funkce rozumíme minimum nebo maximum (nejnižší a nejvyšší bod na grafu funkce). Lokální maximum Ostré lokální maximum
Lokální minimum Ostré lokální minimum
Definice
Říkáme, že funkce f x má v bodě x0 lokální maximum, existuje-li takové okolí bodu x0 , že x x0 z tohoto okolí platí f x f x0 . Platí-li vztah f x f x0 , říkáme, že funkce f x má v bodě x0 ostré lokální maximum. Definice
Říkáme, že funkce f x má v bodě x0 lokální minimum, existuje-li takové okolí bodu x0 , že x x0 z tohoto okolí platí f x f x 0 . Platí-li vztah f x f x0 , říkáme, že funkce f x má v bodě x0 ostré lokální minimum. Pro lokální maximum a lokální minimum používáme souhrnného názvu lokální extrémy resp. Ostré lokální extrémy. Věta (nutná podmínka existence lokálního extrému) 66
Má-li funkce f x v bodě x0 lokální extrém a existuje-li v tomto bodě derivace f
/
x0 , potom platí
f
/
x0 0 .
Definice Stacionárním bodem funkce f x nazýváme všechna čísla x0 z definičního oboru
funkce f , ve kterých je f
/
x0 0 nebo
f
/
Stacionární bod
x0 neexistuje.
Lokální extrém tedy funkce může mír jen ve stacionárních bodech. Má-li funkce více stacionárních bodů, může mít extrém jen v některém z nich. O tom, ve kterém ze stacionárních bodů má funkce f x extrém, mluví věta: Věta (postačující podmínka existence lokálního extrému)
x0 0 a nechť v bodě x0 f x v bodě x0 ostré lokální
Nechť f
/
funkce v bodě x0 ostré lokální minimum.
existuje druhá derivace. Je-li f maximum. Je-li f
//
x0 0 ,
Podle této věty nelze rozhodnout o existenci extrému v případě, že f
//
//
x0 0 ,
má
má funkce f x
x0 0
Postup při určování extrémů funkce:
Určíme f / x Kořeny rovnice f / x0 0 a body, ve kterých f / x neexistuje, jsou stacionární body x1 , x 2 ,... Vypočteme f // x1 . Jeli f // x1 0 , je v bodě x1 ostré lokální minimum. Je-li f // x1 0 je v bodě x1 ostré lokální maximum. V ostatních stacionárních bodech postupujeme obdobně. Je-li f // x1 0 nelze o extrému v bodě x1 rozhodnout. V tomto případě můžeme použít přímo definici extrému. Absolutní extrémy funkce (globální extrémy).
Velmi často se setkáváme s případem, že je třeba najít největší nebo nejmenší hodnotu funkce. Absolutním (globálním) extrémem funkce je pak největší hodnota u maxima a nejmenší hodnota u minima ze všech lokálních extrémů funkce.
Obr. č. 54: Graf funkce s lokálními i globálními extrémy Zdroj: [3]
67
Postup pro určování extrémů funkce
Absolutní extrémy funkce
Příklady na procvičení Extrémy funkce
Příklady na procvičení:
1/ Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkcí: a/ y x 2 2x 3 maximum 4]
[rostoucí v ;1 , klesající v 1; , v bodě 1 lokální
b/ y 3x 2 2 x 3 [rostoucí v 0;1 , klesající v ;0, 1; , v bodě 0 lokální minimum 0, v bodě 1 lokální maximum 1] c/ y 2 x 3 3x 2 [rostoucí v ;0, 1; , klesající v 0;1 , v bodě 0 lokální maximum 0, v bodě 1 lokální minimum -1]
Konvexnost a konkávnost funkce Inflexní body
d/
y x3 x2 x 1
[rostoucí v R , nemá extrémy]
e/
y 2 x 3x 2 x 1
[rostoucí v R , nemá extrémy]
4.3.3
Konvexnost a konkávnost funkce. Inflexní body
Tyto pojmy pomáhají výstižnější charakteristice funkce a jejího grafu. Definice
Říkáme, že funkce f x , která má v bodě x0 derivaci, je v bodě x0 ; f x 0 ryze konvexní resp. ryze konkávní, existuje-li takové okolí bodu x0 , že x U x0 leží body grafu funkce nad resp. pod tečnou sestrojenou v bodě x 0 ; f x0 .
Obr. č. 55: Graf ryze konvexní funkce Zdroj: [3]
Konvexnost a konkávnost funkce na intervalu
Obr. č. 56: Graf ryze konkávní funkce Zdroj: [3]
Definice
Jestliže v každém bodě x intervalu I je funkce f x konvexní resp. konkávní, říkáme, že je konvexní resp. konkávní v intervalu I . Má-li funkce f x v bodě x0 druhou derivaci různou od nuly, rozhodneme o konvexnosti a konkávnosti velmi snadno. 68
Věta
x0 0 , je funkce f x v bodě f // x0 0 , je funkce f x v bodě
Je-li f Je-li
//
x0 konvexní. x0 konkávní.
Věta
x0 0 , je funkce f x v intervalu konvexní. f // x0 0 , je funkce f x v intervalu konkávní.
Je-li v intervalu f Je-li v intervalu
//
Definice
Nechť funkce f x má v bodě x0 derivaci. Přechází-li graf funkce v bodě x0 ; f x 0 z polohy nad tečnou do polohy pod tečnou nebo naopak, nazýváme bod x0 inflexním bodem funkce f x . Má-li funkce f x druhou derivaci, usnadní nám určení inflexního bodu tato věta. Věta
Je-li x0 inflexním bodem funkce f x a má-li f x v tomto bodě druhou derivaci, pak f // x 0 0 . Inflexní body funkce f x hledáme mezi těmi body, v nichž je druhá derivace rovna 0, Avšak každý bod, ve kterém platí f // x 0 0 , nemusí být inflexním bodem. Věta
Je-li f
//
x0 0 a
f
///
x0 0 , pak je bod
x0 inflexním bodem funkce f x .
Počítat třetí derivaci je u mnohých funkcí velmi pracné, proto inflexní bod určíme pomocí následující věty. Věta
Má-li funkce f x v bodě x0 spojitou derivaci a má-li f // x 0 v intervalu I 1 x 0 , x 0 a I 2 x 0 , x 0 různá znaménka (v bodě x0 se mění znaménko f // x 0 ), pak x0 je inflexním bodem funkce f x . Nemění-li f // x 0 v bodě x0 znaménko, není x0 inflexním bodem. Je zřejmé, že při zjišťování znaménka druhé derivace funkce souvisí s určování intervalů, kde je funkce konvexní nebo konkávní. Proto při hledání inflexních bodů a určování a konvexnosti a konkávnosti funkce postupujeme takto: Určíme druhou derivaci funkce. Najdeme body, kde je tato derivace rovná nule nebo neexistuje. Určíme znaménko druhé derivace v intervalech s krajními body získanými v bodě 2. Kde je f // x 0 , je funkce konvexní, kde je f // x 0 , je funkce konkávní. Inflexní body jsou ty body funkce, kde druhá derivace mění znaménko, tedy funkce přechází z konvexní na konkávní nebo naopak. 69
Inflexní bod funkce
Řešené příklady Konvexnost a konkávnost funkce Inflexní bod funkce
Příklad 1 Určete kde je funkce f x x 2 ln x, x 0; konvexní nebo konkávní a najděte její inflexní body.
Řešení: Určíme nejprve první a druhou derivaci: 8 8 2x 2 4 f / x 2 x , f // x 2 2 x x x2 f // x 0 pro x 2 a x 2
2 x2 4 je kladný, pokud je čitatel kladný, tedy x 2 4 x 2 . x2 Tedy pro x 2; je funkce konvexní (v intervalu ;2 není definována). Pro x 0;2 Je f // x 0 . V intervalu 0;2 je funkce konkávní. Druhá derivace v bodě x 2 mění znaménko, proto x 2 je inflexní bod. Zlomek
Příklady na procvičení Konvexnost a konkávnost funkce Inflexní bod funkce
Příklady na procvičení:
1/ Určete intervaly, ve kterých je daná funkce konvexní, konkávní a určete inflexní body, pokud existují: a/
y 3x 2 2 x 1
[konvexní v R ]
b/
y 5 x 2 3 x 5
[konkávní v R ]
c/
y x 3 3x 2
[konvexní v 1; , konkávní v ;1 , inflexní bod x 1 ]
d/
y x 4 2x
[konvexní v R ]
1 1 y x 4 x 3 [konvexní v ;0 , ; , konkávní v 0; , inflexní body 2 2 1 x1 1, x 2 ] 2
e/
y x 3 6 x 2 32 [konvexní v f/ x 2] g/
y
1 x
h/
y
1 x2
i/
y
3 x2
;2,
konkávní v
2; ,
inflexní bod
[konvexní v 0; , konkávní v ;0 ] [konvexní v ;0 , 0; ] [konvexní v 2; , konkávní v ;2 ] 70
2x 5 x 3
j/
y
k/
y
[konvexní v 3; , konkávní v ;3 ]
2x 1 x2
l/ m/
y ln x
n/
y ex
o/
y
p/
y ex
[konvexní v 1; , konkávní v ;1 ] [konkávní v 0; ] [konvexní v R ]
ln x [konvexní v e e ; , konkávní v 0; e e , inflexní bod x e e ] x 2
2 2 2 2 , , konkávní v ; [konvexní v ; 2 2 ; 2 , 2
inflexní body x1 4.3.4
1 , x3 3 ] 2
inflexní body x1 1, x 2 x2 y x 1
[konvexní v ; 3 , 0; 3 , konkávní v 3;0 , 3; ,
2 2 ] , x2 2 2
Asymptoty funkce
Asymptoty funkce
1. Asymptoty se směrnicí Věta
Přímka y kx q je asymptota funkce f x právě tehdy, existují-li konečné limity f x f x lim k resp. lim k x x x x lim f x kx q resp. lim f x kx q x
x
Pokud limity neexistují, funkce nemá směrnicovou asymptotu. 2. Asymptota bez směrnice
Asymptota bez směrnice je přímka, která je rovnoběžná s osou y . (jsou to hodnoty bodů, v nichž funkce není definována. Příklad 1
Určete asymptoty funkce f x
x2 2x 5 3x 4
1. Asymptota se směrnicí: 71
x 2 2x 5 f x x 2 2x 5 1 k lim lim 3 x 4 lim x x x 3 x 2 4 x 3 x x Stejně vyjde: f x 1 k lim x x 3 x 2 2x 5 x 2 x 15 2 lim q lim f x kx lim x x 3 x 9 x 12 9 3x 4
Asymptota má tedy rovnici: y
1 2 x . 3 9
2. Asymptota bez směrnice: Funkce není definována v bodě
Postup při vyšetřování průběhu funkce
Řešené příklady Průběh funkce
4 4 . Proto asymptota má rovnici x . 3 3
Postup při vyšetřování průběhu funkce:
Definiční obor, funkce sudá, lichá, periodická Body, ve kterých není funkce definována, ale má v nich jednostranné limity, výpočet těchto limit, limity v nevlastních bodech, intervaly spojitosti. Průsečíky s osami x a y , znaménka funkčních hodnot Výpočet 1. derivace, nulové body 1. derivace a body, ve kterých není definována 1. derivace Lokální extrémy, intervaly monotónnosti Výpočet 2. derivace, nulové body 2. derivace a body, ve kterých není definována 2. derivace Inflexní body, intervaly konvexnosti a konkávnosti Asymptoty Obor hodnot Graf funkce. Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: f : y x 3 6 x 2 9 x
Řešení: D f R, x D f , x 0, je f x f x , f x f x . Funkce není sudá ani lichá. lim f x , lim f x . Body, kde není funkce definována, nejsou.
x
x
Průsečík s osou
y
je O0,0, průsečíky s osou
x
získáme řešením rovnice
x 6 x 9 x 0 . Po úpravách dostáváme x x 3 0 x 0 x 3 . V intervalu ;0 je f x 0 a v množině 0;3 3; je f x 0 . 3
2
2
f / x 3 x 2 12 x 9 . Dále je 3x 2 12 x 9 3 x 1x 3 0 x 1 x 3 . Stacionární body jsou x1 1, x 2 3 . Body, kde není definována derivace, nejsou. Body x1 , x 2 určují intervaly ;1, 1;3, 3; . Pro znaménka f / x v těchto intervalech platí: x ;1 je f / x 0 a x 1;3 je f / x 0 a x 3; je f / x 0 . Z toho vyplývá, že funkce je rostoucí v ;1 a v 3; , klesající pak v 1;3 , lokální maximum má v bodě x 1, f 1 4 , a lokální minimum v bodě x 3, f 3 0 . 72
f // x 6 x 12,6 x 12 0 x 2 . Bod x 2 je nulový bod 2. derivace. Body, kde není definována 2. derivace, nejsou. Bod x 2 určuje intervaly ;2 , 2; . Pro znaménka f // x v těchto intervalech zjistíme, že x ;2 je f // x 0 a x 2; je f // x 0 . Z toho plyne, že funkce je konkávní v ;2 a konvexní v 2; a bod x 2 je inflexním bodem. f x f x lim lim x 2 6 x 9 a lim lim x 2 6 x 9 . Asymptoty x x x x x x se směrnicí graf funkce nemá, asymptoty bez směrnice také neexistují, protože D f R
a funkce je všude spojitá. Hf R Graf funkce je na obrázku č. 57.
Obr. č. 57: Graf funkce k příkladu č. 1 Zdroj: [6]
Příklad 2
Vyšetřete průběh funkce: f : y
x2 x 1
Řešení: D f R 1 . Funkce není sudá ani lichá, protože je v bodě -1 definována, ale v bodě 1 nikoliv. x2 x2 lim , lim , lim f x , lim f x . x x 1 x x 1 x 1 x 1 x2 0. Průsečík s osou y je O0,0, průsečíky s osou x získáme řešením rovnice x 1 Tato rovnice má kořen x 0 . Pro x ;0 0;1 je f x 0 a pro x 1; je f x 0 . f
/
x
x 2 2x
x 1
2
,f
/
x 0 x 2 2 x 0 x x 2 0 x 0 x 2 .
Stacionární
body jsou x1 0, x 2 2 . Body x1 , x 2 a bod 1, kde není definována funkce ani derivace, určují intervaly ;0, 0;1, 1;2, 2; . Pro znaménka f / x v těchto intervalech platí: x ;0 je f / x 0 a x 0;1 je f / x 0 a x 1;2 je f / x 0 a x 2; je f / x 0 . Z toho vyplývá, že funkce je rostoucí v ;0 a v 2; , klesající, pak v 1;3 a v 1;2 . Lokální maximum má v bodě x 0, f 0 0 , a lokální minimum v bodě 73
x 2, f 2 4 . 2 f // x , x D f platí: f // x 0 . Nulové body 2. derivace nemá, bod x 1 3 x 1 je bod, kde není definována 2. derivace, ale ani funkce. Bod x 1 určuje intervaly ;1, 1; . Pro znaménka f // x v těchto intervalech
pak platí: x ;1 je f // x 0 a x 1; je f // x 0 . Z toho plyne, že funkce je konkávní v ;1 a konvexní v 1; . Inflexní bod funkce nemá. f x x f x x lim 1, lim lim 1. Dále je a lim x x 1 x x x 1 x x x x2 x x lim 1 . Podobně je lim f x ax 1 . To b lim f x ax lim x x x 1 x x x 1 znamená, že graf funkce f má asymptotu se směrnicí y ax b, kde a 1 a b 1 , x2 x2 tedy y x 1 . Protože lim a lim , má graf funkce f také x 1 x 1 x 1 x 1 asymptotu bez směrnice x 1 . H f ; 0 4; . Graf funkce je na obrázku č. 58
Obr. č. 58: Graf k příkladu č. 2 Zdroj: [6]
Příklad 3
Vyšetřete průběh funkce: f : y
ln x x
Řešení: D f R , a proto funkce není sudá ani lichá. ln x ln x , lim 0 x 0 x x x lim
Průsečík s osou y neexistuje, průsečík s osou x získáme řešením rovnice
ln x 0. x
ln x 0 x 1 . Pro x 0;1 je f x 0 a pro x 1; je f x 0 . x 1 ln x 1 ln x f / x . Dále je 0 ln x 1 x e . Stacionární bod je x e . 2 x x2 Bod x e určuje intervaly 0; e , e; . Pro znaménka f / x v těchto intervalech platí:
Zřejmě je
74
x 0; e je f
/
x 0
a x e; je f
/
x 0 .
Z toho vyplývá, že funkce je 1 rostoucí v 0; e a klesající, pak v e; . Lokální maximum v bodě x e, f e . e 3 2 ln x 3 3 f // x 0 ln x x e 2 Funkce není definována v bodě 0, v tomto 3 2 x bodě není definována ani 2. derivace. 3 3 3 2 2 2 Bod x e určuje intervaly 0; e , e ; . Pro znaménka f // x v těchto 3 32 // 2 intervalech platí: x 0; e je f x 0 a x e ; je f // x 0 . Z toho 3 32 2 plyne, že v intervalu 0; e je funkce konkávní a v intervalu e ; je funkce 3
konvexní. Bod x e 2 je inflexním bodem funkce f . f x ln x ln x 0 . To znamená, a lim lim 2 0 . Dále je b lim f x ax lim x x x x x x x že graf funkce f má asymptotu se směrnicí y 0 . Vzhledem k tomu, že ln x lim , má graf funkce f také asymptotu bez směrnice x 0 . x 0 x 1 H f ; . e Graf funkce je na obrázku č. 59.
Obr. č. 59: Graf k příkladu č. 3 Zdroj: [6]
Příklad 4 Vyšetřete průběh funkce: f : y x 2 e x
Řešení: D f R, x D f , x 0, je f x f x , f x f x . Funkce není sudá ani lichá. lim x 2 e x 0, lim x 2 e x .
x
x
Průsečík s osou y je O0,0, průsečíky s osou x získáme řešením rovnice xe x 0 . Tato rovnice má jediné řešení x 0 . Zřejmě je f x 0 pro x R 0 .
f / x 2 xe x x 2 e x , dále je / x 2 x x f x 0 2 xe x e 0 xe 2 x 0 x 0 x 2 . V bodech x 0, x 2 může nastat extrém, o jejich existenci rozhodneme podle znaménka 1. derivace v intervalech ;0 , 0;2 , 2; . Zřejmě platí: x ;0 je f / x 0, x 0;2 je f / x 0 a x 2; je f / x 0 . To znamená, že 75
v intervalu ;0 je funkce klesající, v intervalu 0;2 je rostoucí a v intervalu 2; je klesající. Dále má v bodě x 0 minimum, f 0 0 a v bodě x 2 lokální
maximum, f 2 4e 2 . Charakter extrémů lze ověřit i dosazením do druhé derivace. f // x 2e x 2 xe x 2 xe x x 2 e x x 2 4 x 2e x . Dále dostáváme f
//
x 0 x 2 4 x 2e x
Body
0 x 2 4x 2 0 x 2 2 x 2 2 .
x 2 2, x 2 2
rozdělí
definiční
obor
na
intervaly
;2 2 , 2 2;2 2 , 2 2;. Pro f x pak platí: x ;2 2 je f x 0, x 2 2 ,2 2 je f x 0 a x 2 2 ; je f x 0 . To znamená, že v intervalu ;2 2 je funkce konvexní, v intervalu 2 2 ;2 2 je funkce konkávní a v intervalu 2 2 ; je funkce konvexní. Body //
//
//
//
x 2 2 , x 2 2 jsou inflexní body grafu funkce f . f x lim xe x 0 a b lim f x ax lim x 2 e x 0 . Graf funkce f má a lim x x x x x asymptotu se směrnicí y 0 . Asymptoty bez směrnice graf funkce nemá. H f R0 Graf funkce je na obrázku č. 60.
Obr. č. 60: Graf k příkladu č. 4. Zdroj: [6]
Příklady na procvičení Průběh funkce
Příklady k procvičení:
1/ Vyšetřete průběh funkce: a/
y
1 2 1 15 x x 4 2 4
Obr. č. 61: Graf k příkladu 1 a/ Zdroj: [6]
76
b/
1 5 9 y x2 x 4 2 4
Obr. č. 62: Graf k příkladu 1 b/ Zdroj: [6]
c/
y x3 2x
Obr. č. 63: Graf k příkladu 1 c/ Zdroj: [6]
d/
y x3 2x
Obr. č. 64: Graf k příkladu 1 d/ Zdroj: [6]
e/
y x 4 6x 2 5
Obr. č. 65: Graf k příkladu 1 e/ Zdroj: [6]
77
f/
y 5 x 3 3x 5
Obr. č. 66: Grafy k příkladu 1 f/ Zdroj: [6]
g/
y
x2 x 1
Obr. č. 67: Graf k příkladu 1 g/ Zdroj: [6]
h/
y
9 x 1 x2
Obr. č. 68: Graf k příkladu 1 h/ Zdroj: [6]
i/
y
x x 1 2
Obr. č. 69: Graf k příkladu 1 i/ Zdroj: [6]
78
j/
y
1 x3 x2
Obr. č. 70: Graf k příkladu 1 j/ Zdroj: [6]
k/
y
x3
x 12
Obr. č. 71: Graf k příkladu 1 k/ Zdroj: [6]
l/
1 x y 1 x
4
Obr. č. 72: Graf k příkladu 1 l/ Zdroj: [6]
m/
y 3 x2
Obr. č. 73: Graf k příkladu 1 m/ Zdroj: [6]
79
n/
y
x 3 3x 2 5 x
Obr. č. 74: Graf k příkladu 1 n/ Zdroj: [6]
o/
y
1 x4 x2
Obr. č. 75: Graf k příkladu 1 o/ Zdroj: [6]
p/
x3 y 6 x 12
Obr. č. 76: Graf k příkladu 1 p/ Zdroj: [6]
q/
y sin 2 x, x ;
Obr. č. 77: Graf k příkladu 1 q/ Zdroj: [6]
80
r/
y
1 , x ; sin x
Obr. č. 78: Graf k příkladu 1 r/ Zdroj: [6]
s/
y sin x cos x, x 0;2
Obr. č. 79: Graf k příkladu 1 s/ Zdroj: [6]
t/
y tgx cot gx, x ;
Obr. č. 80: Grafk příkladu 1 t/ Zdroj: [6]
u/
y ex
2
Obr. č. 81: Graf k příkladu 1 u/ Zdroj: [6]
81
v/
y 2 x 2 ln x
Obr. č. 82: Graf k příkladu 1 v/ Zdroj: [6]
w/
y ln 1 x 2
Obr. č. 83: Graf k příkladu 1 w/ Zdroj: [6]
x/
y cos x ln cos x , x ;
Obr. č. 84: Graf k příkladu 1 x/ Zdroj: [6]
4.4
Kontrolní otázky 1. Definujte pojem derivace funkce. 2. Uveďte příklad využití L´Hospitalova pravidla v praxi. 3. Definujte monotónnost funkce. 4. Jak určíme monotónnost funkce? 5. Jaký je rozdíl mezi lokálním a globálním extrémem? 6. Jak určíme konvexnost a konkávnost funkce? 7. Co je to inflexní bod? 8. Co je to asymptota funkce? 9. Jaké známe druhy asymptot funkce? 10. Popište jednotlivé body určování průběhu funkce.
82
4.5
Shrnutí
Ve 4. kapitole jsme se seznámili s derivací funkce, vysvětlilí jsme derivaci elementárních funkcí, derivaci operací s funkcemi, derivaci vyšších řádů. Výpočet limity funkce pomocí L´Hospitalova pravidla. Nejdůležitějším bodem celé kapitoly bylo vyšetřování průběhu funkce, v němž se využijí znalosti předešlých kapitol. Vyšetřování průběhu funkce je vyvrcholením celého diferenciálního počtu.
83
84
Závěr Studijní text Diferenciální počet funkcí jedné proměnné byl vypracován jako studijní materiál pro studenty 1. ročníku EPI, s.r.o. KUNOVICE. Především však pro ty studenty, kteří se s danou problematikou setkali na středních školách jen v malém měřítku nebo nesetkali vůbec. Jedná se například o studenty středních škol s ekonomickým zaměřením. Je určen rovněž studentům distanční formy studia, kteří se s matematikou nesetkali od ukončení střední školy nebo matematika nebyla jejich maturitním předmětem. To znamená, že bylo přihlédnuto k tomu, že studenti prvního ročníku jsou nesourodí z hlediska dosavadní úrovně matematického vzdělání s ohledem na různé dotace hodin jednotlivých typů škol, které před tímto studiem absolvovali. Tento materiál je účelovým sestručněním dané problematiky a má přispět k zopakování, prohloubení a uspořádání dosavadních matematických vědomostí, které budou dále využity v odborných předmětech jak ekonomických, tak technických. Bylo třeba řešit zásadní dilema z hlediska srozumitelnosti a toto napsat ve zjednodušené a srozumitelné formě, zároveň však, aby byla zachována odbornost a matematická přesnost.
85
86
Literatura [1]
BARTSCH, H. J. Matematické vzorce. Praha: Mladá fronta, 2002. ISBN 80-2040607-7. [2] REKTORYS, K. Přehled užité matematiky I. Praha: Prometheus, 2003. ISBN 807196-180-9. [3] VRBENSKÁ, H.; BĚLOHLÁVKOVÁ, J. Základy matematiky pro bakaláře I. Ostrava: Skriptum VŠB-TU, 2006. ISBN: 80-248-0519-7. [4] BURDA, P.; KREML, P. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné – Matematika IIa. Ostrava: Skriptum VŠB-TU, 2004. ISBN 80-248-0634-7. [5] PAVELKA, L.; PINKA, P. Integrální počet funkcí jedné proměnné – Matematika III. Ostrava: Skriptum VŠB-TU, 1999. ISBN 80-7078-654-X. [6] HRUBÝ, D.; KUBÁT, J. Matematika pro gymnázia, Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 2004. ISBN 80-7196-210-4. [7] POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 2002. ISBN 80-7196-196-5. [8] Studijní opory vysoké školy báňské, Základy matematiky [online]. c2008 [cit. 2008-01-19]. http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/Zaklady_matematiky/index.htm. [9] Studijní opory vysoké školy báňské, Matematika I. [online]. c2008 [cit. 2008-0119]. [10] http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/MI.html. [11] Studijní opory vysoké školy báňské, Matematika II. [online]. c2008 [cit. 2008-0119]. Dostupná z WWW: http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/.
87
88
Název: © Matematika I. 2. aktualizované vydání Autor: © RNDr. Jitka Jablonická © Doc. RNDr. Daniela Hricišáková, CSc. Vydavatel, vyrobil: © Evropský polytechnický institut, s.r.o. Osvobození 699, 686 04 Kunovice Náklad: Počet stran: Rok vydání:
30 ks 88 2011
ISBN: 978-80-7314-255-1
