Matematika A2a - Vektorf¨uggv´enyek elm´eleti k´erd´esei (m˝ uszaki menedzser szak, 2018. tavasz) Els˝ o t´ıpus´ u improprius integr´ al: V´ egtelen tartom´ anyon korl´ atos f¨ uggv´ eny Z β f (x) dx hat´ar´ert´ek l´etezik Legyen f integr´ alhat´ o minden β > a eset´en az [a, β]-n. Ha a lim β→∞ a Z ∞ f (x) dx = ´es v´eges, akkor azt mondjuk, hogy az f f¨ uggv´eny impropius integr´alja l´etezik, ´es a Z β f (x) dx. lim β→∞ a
M´ asodik t´ıpus´ u improprius integr´ al: V´ eges tartom´ anyon nem korl´ atos f¨ uggv´ eny Legyen f integr´ alhat´ o [α, b]-n minden α ∈ (a, b) eset´en, ´es f nem korl´atos az [a, b]-n Ha l´etezik ´es Z b Z b Z b v´eges a lim f (x) dx hat´ ar´ert´ek, akkor f (x) dx = lim f (x) dx α→a+ α
α→a+ α
a
Skal´ aris szorzat Az a ´es a b vektorok skal´ aris szorzata az |a||b| cos ϕ sz´am, ahol ϕ jel¨oli az ´altaluk bez´art sz¨oget. Ha az a koordin´at´ai (a1 , a2 , a3 ), m´ıg a b koordin´ at´ai (b1 , b2 , b3 ), akkor a skal´aris szorzatuk a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . Jel¨ol´es: ab, a · b vagy ha, bi. Vektori´ alis szorzat Az a, b h´aromdimenzi´ os vektorok vektori´ alis szorzata az a c vektor, melyre a k¨ovetkez˝ok teljes¨ ulnek: 1. |c| = |a||b| sin ϕ, ahol ϕ jel¨ oli az a ´es a b ´altal bez´art sz¨oget; 2. c mer˝oleges az a-ra ´es a b-re; 3. az a, b, c vektorok jobbrendszert alkotnak. Jel¨ol´ese: a × b. Ha az a = (a1 , a2 , a3 ) ´es b = (b1 , b2 , b3 ), akkor a × b = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ). Vegyes szorzat Az a, b, c h´aromdimenzi´ os vektorok vegyes szorzata az (a × b)c (vektori´alis, majd skal´aris) szorzat. Jel¨ol´es: abc. Geometriai jelent´ese: az a, b, c vektorok ´ altal kifesz´ıtett paralelepipedon el˝ojeles t´erfogata. S´ık Hesse-f´ ele norm´ alegyenlete Az n = (a, b, c) norm´ alvektor´ u s´ık Hesse-f´ele norm´alegyenlete: ax + by + cz − d √ = 0. a2 + b2 + c2 Pont ´ es s´ık t´ avols´ aga A P (x0 , y0 , z0 ) pont t´ avols´ aga az ax + by + cz = d egyenlet˝ u s´ıkt´ol: ax0 + by0 + cz0 − d √ . a2 + b2 + c2 Egyenes param´ eteres megad´ asa Az v = (a, b, c) ir´ anyvektor´ u P (x0 , y0 , z0 ) ponton ´atmen˝o egyenes param´eteres egyenlete {P + λv = (x0 + λa, y0 + λb, z0 + λc) | λ ∈ R}. Egyenes egyenletrendszere a t´ erben Az (a, b, c) ir´anyvektor´ u P (x0 , y0 , z0 ) ponton ´atmen˝o egyenes egyenletrendszere x − x0 y − y0 z − z0 = = . a b c 1
Line´ aris ¨ osszef¨ ugg˝ os´ eg A v1 , . . . , vk n dimenzi´ os vektorok line´ arisan ¨osszef¨ uggenek, ha vannak olyan λ1 , . . . , λk sz´amok u ´gy, hogy λ1 · v1 + · · · + λk · vk = 0 ´es a λ1 , . . . , λk sz´amok nem mindegyike 0. Line´ aris f¨ uggetlens´ eg A v1 , . . . , vk n dimenzi´ os vektorok line´ arisan f¨ uggetlenek, ha a λ1 · v1 + · · · + λk · vk = 0 egyenl˝os´egb˝ ol k¨ovetkezik, hogy λ1 = · · · = λk = 0. Alt´ er Az Rn t´er egy V r´eszhalmaza alt´er, ha teljes¨ ul a k¨ovetkez˝o k´et felt´etel: v1 , v2 ∈ V eset´en v1 + v2 ∈ V ´es v ∈ V, λ ∈ R eset´en λv ∈ V . M´ atix rangja Egy m´atrix rangja a benne tal´ alhat´ o line´ arisan f¨ uggetlen oszlopvektorok maxim´alis sz´ama. Ez ugyanannyi, mint a benne tal´ alhat´ o line´ arisan f¨ uggetlen sorvektorok maxim´alis sz´ama. A legnagyobb m´eret˝ u nemnulla aldetermin´ ans m´erete szint´en a m´atrix rangj´aval egyezik meg. Line´ aris egyenletrendszerek megold´ as´ anak m´ atrixrangos vizsg´ alata Az Ax = b egyenletrendszer pontosan akkor oldhat´o meg (ahol A m × n-es m´atrix, x ∈ Rn , b ∈ Rm ), ha az egyenletrendszer m´ atrix´ anak ´es a kib˝ov´ıtett m´atrixnak a rangja megegyezik (r(A) = r(A|b)). A line´aris egyenletrendszer pontosan akkor oldhat´o meg egy´ertelm˝ uen, ha az egyenletrendszer m´ atrix´anak ´es a kib˝ ov´ıtett m´ atrixnak a rangja egym´assal ´es az ismeretlenek sz´am´aval is megyegyezik (r(A) = r(A|b) = n). Ha r(A) = r(A|b) < n, akkor n − r(A) v´ altoz´o tetsz˝olegesen megv´alaszthat´o (szabad param´eter). Kifejt´ esi t´ etel Az n × n-es A m´ atrix determin´ ans´ at kisz´am´ıthatjuk a k¨ovetkez˝o formul´ak seg´ıts´eg´evel (sor, illetve oszlop szerinti kifejt´es): det(A) =
n X
(−1)i+j aij Ai,j ,
j=1
det(A) =
n X
(−1)i+j aij Ai,j ,
i=1
ahol Ai,j jel¨oli az A m´ atrix i-edik sor´ anak ´es j-edik oszlop´anak elhagy´as´aval kapott (n − 1) × (n − 1)-es m´atrix determin´ ans´ at. Inverz m´ atrix A n´egyzetes A m´ atrix inverze az a A−1 -gyel jel¨olt m´atrix, melyre AA−1 = En ´es A−1 A = En . Inverz m´ atrix l´ etez´ es´ enek felt´ etele A n´egyzetes A m´ atrixnak pontosan akkor l´etezik inverze, ha a determin´ansa nem 0. Inverz m´ atrix kisz´ am´ıt´ asa Ha az n × n-es A m´ atrix invert´ alhat´ o, akkor az inverz´enek i-edik sor´anak j-edik eleme: (A−1 )i,j = (−1)i+j Aj,i /det(A), ahol Aj,i jel¨oli az A m´ atrix j-edik sor´ anak ´es i-edik oszlop´anak elhagy´as´aval kapott (n − 1) × (n − 1)-es m´atrix determin´ ans´ at. Az inverz kisz´amol´ as´ ara m´ asik m´ odszer a Gauss-elimin´aci´o. M´ atrix saj´ at´ ert´ eke, saj´ atvektora Egy n × n-es A m´ atrix saj´ at´ert´eke λ ∈ R, ha van olyan v ∈ Rn nemnulla vektor, hogy Av = λ · v. Ekkor a v-t a λ-hoz tartoz´ o saj´ atvektornak nevezz¨ uk. Diagon´ alis m´ atrix Egy n´egyzetes m´ atrixot diagon´ alisnak nevez¨ unk, ha a f˝o´atl´on k´ıv¨ ul az ¨osszes eleme 0. 2
Diagonaliz´ alhat´ o m´ atrix Egy A m´atrixot diagonaliz´ alhat´ onak nevez¨ unk, ha l´etezik olyan invert´alhat´o C m´atrix, hogy a C −1 AC m´atrix diagon´alis. Diagonaliz´ alhat´ os´ ag felt´ etele Egy n×n-es m´atrix pontosan akkor diagonaliz´alhat´o, ha van n darab line´arisan f¨ uggetlen saj´atvektora. ´ er´ Att´ es algebrai alakr´ ol trigonometrikus alakra √ A z = a + bi komplex sz´ am trigonometrikus alakja r(cos ϕ + i sin ϕ), ahol r = |z| = a2 + b2 , ´es b ha a > 0, arctg( a ),b π + arctg( a ), ha a < 0, ϕ= π ha a = 0 ´es b > 0, 2, π −2, ha a = 0 ´es b < 0. Komplex sz´ amok n-edik hatv´ anya A z = r(cos ϕ + i sin ϕ) komplex sz´ am n-edik hatv´anya: z n = rn (cos(nϕ) + i sin(nϕ)). Komplex sz´ amok n-edik gy¨ ok´ enek meghat´ aroz´ asa A z = r(cos ϕ + i sin ϕ) komplex sz´ am n-edik gy¨okei a √ ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ n + i sin zk = r cos n n komplex sz´amok k = 0, 1, . . . , n − 1-re. Algebra alapt´ etele Egy polinomnak a komplex sz´ amok k¨ or´eben mindig van gy¨oke. Val´ os sz´ amsorozat Minden n ∈ N term´eszetes sz´ amhoz hozz´ arendel¨ unk egy an val´os sz´amot. Val´ os sz´ amsorozat v´ eges hat´ ar´ ert´ eke Az (an ) sorozat hat´ ar´ert´eke az A ∈ R sz´ am, ha minden ε > 0-hoz l´etezik N ∈ N k¨ usz¨obindex, hogy n > N eset´en |an − A| < ε. Jel¨ ol´es: lim an = A. n→∞
Val´ os sz´ amsorozat v´ egtelen hat´ ar´ ert´ eke Ha az (an ) sorozathoz minden K ∈ R sz´ amhoz l´etezik N ∈ N k¨ usz¨obindex, hogy n > N eset´en K < an , akkor az (an ) sorozat a v´egtelenbe tart, ezt ´ıgy jel¨olj¨ uk: lim an = +∞. n→∞
Val´ os sz´ amsorozat m´ınusz v´ egtelen hat´ ar´ ert´ eke Ha az (an ) sorozathoz minden K ∈ R sz´ amhoz l´etezik N ∈ N k¨ usz¨obindex, hogy n > N eset´en an < K, akkor az (an ) sorozat a m´ınusz v´egtelenbe tart, ezt ´ıgy jel¨olj¨ uk: lim an = −∞. n→∞
Numerikus sor Tetsz˝oleges (an ) sorozatb´ ol P k´epezett a1 + a2 + · · · + an + . . . form´alis ¨osszeget (numerikus) sornak nevez¨ unk, melyet ´ altal´ aban ∞ ırunk. n=1 an alakban ´ Numerikus sor konvergenci´ aja P P Egy ∞ a sort konvergensnek mondunk, ha az Sn = nk=1 ak r´eszlet¨osszegsorozat konvergens. n n=1 Leibniz-sor P Olyan ∞ altakoz´o el˝ojel˝ uek, abszol´ ut ´ert´ekben monoton cs¨okkennek n=1 an sor, melyben az an tagok v´ ´es 0-hoz tartanak. Leibniz-sorok konvergenci´ aja Minden Leibniz-sor konvergens. Hibabecsl´ es Leibniz-sorokn´ al P A ∞ a Leibniz-sorra ´ e s tetsz˝ oleges N ∈ N-re n=1 n ∞ N X X an − an ≤ |aN +1 |. n=1
n=1
3
Harmonikus ´ es hiperharmonikus sorok konvergenci´ aja P∞ 1 A n=1 na sor pontosan akkor konvergens, ha 1 < a. Major´ ans krit´ erium Ha az (a ) ´ e s (b amsorozatokhoz alhat´o olyan N ∈ N, hogy n > N eset´en 0 ≤ an ≤ bn ´es a n n ) sz´ P∞ P∞ tal´ b sor konvergens, akkor a a n=1 n n=1 n sor is konvergens. Minor´ ans krit´ erium Ha az (an ) ´es (bn ) sz´ amsorozatokhoz alhat´o olyan N ∈ N, hogy n > N eset´en 0 ≤ an ≤ bn ´es a P∞ tal´ P ∞ b a sor divergens, akkor a n=1 n sor is divergens. n=1 n Gy¨ okkrit´ erium P √ √ n a < 1, ´ A pozit´ıv tag´ u ∞ es divergens, ha limn→∞ n an > 1. n n=1 an sor konvergens, ha limn→∞ H´ anyados krit´ erium P A pozit´ıv tag´ u ∞ n=1 an sor konvergens, ha limn→∞
an+1 an
< 1, ´es divergens, ha limn→∞
an+1 an
> 1.
Hatv´ P anysor n u sort x0 k¨ oz´eppont´ u hatv´anysornak mondjuk. A ∞ n=1 an (x − x0 ) alak´ Konvergenciatartom´ any P n hatv´ a (x − x ) anysor konvergenciatartom´any´anak azt a halmazt nevezz¨ uk, melynek x Egy ∞ n 0 n=1 P ∞ n elemeire a n=1 an (x − x0 ) sor konvergens. Cauchy–Hadamard-t´ etel P∞ n anysor konvergenciasugara: r = A n=1 an (x − a) hatv´ p m´ıg ha lim n |an | = ∞, akkor r = 0.
lim
n→∞
1√ n
|an |
. Ha lim
n→∞
p n |an | = 0, akkor r = ∞,
n→∞
A hatv´anysor az (a−r, a+r) intervallumban konvergens, az [a−r, a+r] intervallumon k´ıv¨ ul divergens. A hatv´ anysorok tagonk´ enti deriv´ al´ as´ ara vonatkoz´ o t´ etel P n hatv´ a x a nysor konvergencia intervallum´ a nak belsej´eben a tagonk´enti deriv´al´ assal Az f (x)P= ∞ n=0 n ∞ n−1 0 hatv´ anysor is konvergens, ´es egyenl˝o f (x)-szel. kapott n=1 nan x A hatv´ anysorok tagonk´ enti integr´ al´ as´ ara vonatkoz´ o t´ etel P∞ n anysor konvergencia intervallum´anak bels˝o r´eszintervallumaiban tagonk´ent Az f (x) = n=0 an x hatv´ Rb P an n+1 ]b , ha a ´ es b a konvergenciaintervallum belsej´ebe esik. integr´alhat´o, azaz a f (x) dx = ∞ a n=0 n+1 [x Taylor-sor Az f : R → R f¨ uggv´eny x0 ∈ R k¨ or¨ uli Taylor-sora a k¨ovetkez˝o hatv´anysor: ∞ X f (n) (x0 ) n=0
n!
(x − x0 )n = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 00 (x0 ) (x − x0 )2 + . . . . 2
Taylor-polinom Az f : R → R f¨ uggv´eny x0 ∈ R k¨ or¨ uli N -edfok´ u Taylor-polinomja a k¨ovetkez˝o polinom: N X f (n) (x0 ) n=0
n!
(x − x0 )n = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
f 00 (x0 ) f (N ) (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )N . 2 N!
Parci´ alis deriv´ alt Az f : Df → R, Df ⊆ Rm f¨ uggv´eny az a = (a1 , . . . , am ) ∈ Df pontban xi szerint parci´alisan deriv´alhat´o, ha az egyv´ altoz´ os xi 7→ f (a1 , . . . , ai−1 , xi , ai+1 , . . . , am ) f¨ uggv´eny az ai helyen differenci´alhat´o. A fi (xi ) − fi (ai ) lim xi →ai xi − ai differenci´alh´anyadost az f f¨ uggv´eny xi szerinti parci´alis deriv´altj´anak nevezz¨ uk. Jel¨ol´ese: fx0 i (a) vagy ∂f∂x(a) . i 4
Ir´ anymenti deriv´ alt Az f : Df → R, Df ⊆ Rn f¨ uggv´eny P0 ∈ Df pontbeli e ∈ Rn ir´anymenti deriv´altj´an (|e| = 1) a lim
P →P0
f (P ) − f (P0 ) −−→ , P0 P
−−→ hat´ar´ert´eket ´ertj¨ uk, ahol P u ´gy tart a P0 -hoz, hogy a P0 P vektor az e-vel p´arhuzamos ´es egyenl˝ o ´all´as´ u. A hat´ar´ert´eket ´ıgy is fel´ırhatjuk: f (P0 + te) − f (P0 ) t→0+ t lim
Jel¨ol´es: fe0 (P0 ) vagy
∂f (P0 ) ∂e .
Gradiens Ha az n v´altoz´ os f (x1 , x2 , . . . , xn ) f¨ uggv´enynek valamely P0 ∈ Rn pontban mindegyik parci´alis deriv´altja l´etezik, akkor az f f¨ uggv´eny P0 -beli gradiens´en a P0 -beli parci´alis deriv´altakb´ol ´all´o n dimenzi´ os 0 0 0 vektort ´ertj¨ uk: gradf (P0 ) = (fx1 (P0 ), fx2 (P0 ), . . . , fxn (P0 )). Jacobi-m´ atrix Ha f : Rn → Rm f¨ uggv´eny minden komponens´enek mindegyik parci´alis deriv´altja l´etezik valamely P ∈ Rn pontban, akkor az f f¨ uggv´eny P -beli Jacobi-m´atrix´an a komponens f¨ uggv´enyek parci´ alis deriv´altjaib´ol ´all´ o m´ atrixok ´ertj¨ uk: az i-edik sor´anak a j-edik eleme az i-edik komponens f¨ uggv´eny j-edik v´altoz´oja szerinti parci´ alis deriv´ altja. T¨ obbv´ altoz´ os val´ os f¨ uggv´ eny differenci´ alhat´ os´ aga Az f : Rn → Rm t¨ obbv´ altoz´ os val´ os f¨ uggv´enyr˝ol akkor mondjuk, hogy az x0 ∈ Rn pontban differenci´alhat´o, ha minden v´ altoz´ oja szerint parci´alisan deriv´alhat´o x0 -ban ´es teljes¨ ul az f (x) = f (x0 ) + A(x − x0 ) + ε(x − x0 ) egyenl˝os´eg, ahol A az f Jacobi-m´ atrixa x0 -ban ´es x → x0 eset´en ε(x − x0 ) → 0. T¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny lok´ alis minimuma Az f : Rn → R t¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´enynek az x0 ∈ Rn pontban lok´alis minimuma van, ha az x0 pontnak van olyan D k¨ornyezete, hogy f (x0 ) ≤ f (x) minden x ∈ D eset´en. T¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny lok´ alis maximuma Az f : Rn → R t¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´enynek az x0 ∈ Rn pontban lok´alis maximuma van, ha az x0 pontnak van olyan D k¨ornyezete, hogy f (x0 ) ≥ f (x) minden x ∈ D eset´en. K´ etv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ekeire vonatkoz´ o sz¨ uks´ eges felt´ etel Ha a k´etv´altoz´os val´ os f¨ uggv´enynek valamely pontban sz´els˝o´ert´eke van, akkor abban a pontban l´etez˝ o parci´alis deriv´altjai 0-k. K´ etv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny lok´ alis sz´ els˝ o´ ert´ ekeire vonatkoz´ o el´ egs´ eges felt´ etel Ha az (x0 , y0 ) pont valamely k¨ ornyezet´eben az f (x, y) f¨ uggv´eny m´asodik parci´alis deriv´altjai l´eteznek ´es folytonosak, tov´ abb´ a fx0 (x0 , y0 ) = fy0 (x0 , y0 ) = 0
´es
00 00 00 fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 ))2 > 0,
akkor az f (x, y) f¨ uggv´enynek sz´els˝ o´ert´eke van az (x0 , y0 ) pontban. Ez a sz´els˝o´ert´ek minimum, ha 00 (x , y ) > 0, ´ 00 (x , y ) < 0. fxx e s maximum, ha f 0 0 xx 0 0 K´ etv´ altoz´ os f¨ uggv´ eny nyeregpontra vonatkoz´ o el´ egs´ eges felt´ etel Ha az (x0 , y0 ) pont valamely k¨ ornyezet´eben az f (x, y) f¨ uggv´eny m´asodik parci´alis deriv´altjai l´eteznek ´es folytonosak, tov´ abb´ a fx0 (x0 , y0 ) = fy0 (x0 , y0 ) = 0
´es
00 00 00 fxx (x0 , y0 )fyy (x0 , y0 ) − (fxy (x0 , y0 ))2 < 0,
akkor az f (x, y) f¨ uggv´enynek nincs sz´els˝ o´ert´eke az (x0 , y0 ) pontban (nyeregpont). 5
Kett˝ os integr´ al transzform´ aci´ oj´ ara vonatkoz´ o t´ etel Legyen f (x, y) a s´ıkbeli V tartom´ anyon integr´alhat´o f¨ uggv´eny. Ha x = x(u, v) ´es y = y(u, v) az u ´es a v szerint parci´ alisan deriv´ alhat´ o olyan f¨ uggv´enyek, amelyek a V tartom´any pontjai ´es az (u, v) sz´amp´arok bizonyos W halmaza k¨ oz¨ott (az x, y legfeljebb v´eges sz´am´ u ´ert´ek´enek kiv´etel´evel) k¨olcs¨on¨osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´est l´etes´ıtenek, akkor ZZ ZZ ∂(x, y) du dv, f (x, y) dx dy = f (x(u, v), y(u, v)) ∂(u, v) V W ahol a Jacobi-determin´ ans
∂x ∂u ∂y ∂u
∂(x, y) = ∂(u, v)
∂x ∂v ∂y ∂v
.
H´ armas integr´ al transzform´ aci´ oj´ ara vonatkoz´ o t´ etel Legyen f (x, y, z) a t´erbeli V tartom´ anyon integr´alhat´o f¨ uggv´eny. Az x = x(u, v, w), y = y(u, v, w) ´es z = z(u, v, w) az u, v ´es a w szerint parci´ alisan deriv´alhat´o olyan f¨ uggv´enyek, amelyek a V tartom´ any pontjai ´es az (u, v, w) sz´ amh´ armasok bizonyos W halmaza k¨oz¨ott (az x, y, z legfeljebb v´eges sz´ am´ u ´ert´ek´enek kiv´etel´evel) k¨ olcs¨ on¨ osen egy´ertelm˝ u megfeleltet´est l´etes´ıtenek. Ekkor az f f¨ uggv´eny h´armas integr´alja kifejezhet˝ o a k¨ ovetkez˝ ok´eppen ZZZ ZZZ ∂(x, y, z) du dv dw, f (x, y, z) dx dy dz = f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) ∂(u, v, w) V W ahol a Jacobi-determin´ ans
∂(x, y, z) = ∂(u, v, w)
∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u
∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v
∂x ∂w ∂y ∂w ∂z ∂w
.
T¨ omegk¨ oz´ eppont kisz´ am´ıt´ asa m A t´erbeli V tartom´ any t¨ omegk¨ oz´eppontja mmx , my , mmz , ahol ZZZ m= %(x, y, z) dx dy dz Z Z ZV mx = x%(x, y, z) dx dy dz Z Z ZV my = y%(x, y, z) dx dy dz Z Z ZV mz = z%(x, y, z) dx dy dz, V
ahol %(x, y, z) jel¨ oli a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyt.
6
