Matematické metody rozhodování Literatura: [1] J. Fotr, M. Píšek: Exaktní metody ekonomického rozhodování. Academia, Praha 1986. [2] J. Fotr, J. Dědina: Manažerské rozhodování. Skripta VŠE, Praha 1993. [3] R. Hušek, M. Maňas: Matematické modely v ekonomii. SNTL, Praha 1989. [4] J. Talašová: Fuzzy metody vícekriteriálního hodnocení a rozhodování. VUP Olomouc, 2003. [5] jakákoliv učebnice lineární algebry nebo nějaký úvod do matematiky na VŠ (matice, determinanty, vlastní čísla a vlastní vektory matic, relace, rozklad množiny).
1. Matematický úvod Matice, typ matice, čtvercová matice, řádkový a sloupcový vektor, jednotková matice. Operace s maticemi – sčítání, násobení matice reálným číslem, lineární kombinace matic, násobení matic. Determinant, výpočet determinantů 2., 3. a 4. řádu (Sarrussovo pravidlo, Laplaceův rozvoj). Vlastní čísla a vlastní vektory matic, věta o výpočtu vlastních vektorů matice. Kartézský součin množin, relace, vlastnosti relací (reflexivní, symetrická, tranzitivní, úplná, antisymetrická, uspořádání, kvaziuspořádání, ekvivalence). Rozklad množiny podle relace ekvivalence na třídy navzájem ekvivalentních prvků.
Kartézský součin množin, relace, rozklad množiny Nechť S,T jsou dvě množiny. Potom jejich kartézským součinem rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic prvků z množin S a T. S ×T = { (s,t) ; s ∈ S a t∈ T } Pojem kartézského součinu můžeme rozšířit na n libovolných množin S1,…, Sn: S1 ×…× Sn = { (s1, …, sn) ; si ∈ Si , pro každé i = 1, …, n }. Speciálním případem kartézského součinu n množin je n-tá kartézská mocnina množiny S Sn = {(s1, …, sn) ; si ∈ S, pro každé i =1, …, n}.
Relace Jednou ze základních potřeb matematiky je srovnávání objektů, udávání vztahu mezi objekty a na základě daných vztahů a vlastností vzájemné přiřazování objektů. Proto je jedním ze základních stavebních kamenů matematiky relace.
1
Nechť S,T jsou libovolné množiny. Binární relací z množiny S do množiny T rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu množin S a T. Je-li uspořádaná dvojice (s, t) kartézského součinu S × T prvkem relace, potom zapisujeme (s, t) ∈ R nebo také sRt. Jestliže R je relace z množiny S do množiny S, tedy R ⊆ S × S, potom hovoříme o binární relaci na množině S. Relace R = a R = S × T, které jsou nevlastními podmnožinami kartézského součinu S × T, nazýváme prázdná relace a univerzální relace. Nechť R ⊆ S × T. Inverzní relací k relaci R nazveme relaci tvořenou všemi uspořádanými dvojicemi (t, s) množin T, S takovými, že uspořádaná dvojice (s, t) náleží relaci R. R-1 = { (t, s)∈ T × S ; (s, t) ∈ R}. Příklady relací: 1. Uvažujme druhou kartézskou mocninu množiny celých čísel Z. Potom množina všech dvojic celých čísel (a, b), pro které platí, že a dělí b je relace na množině Z. (Tuto relaci značíme a | b.) 2. Nechť B je množina všech bodů v rovině, P množina všech přímek v rovině. Potom množina všech dvojic (b, p) ∈ B × P, pro které platí, že bod b leží na přímce p, je relace z B do P. 4. Nechť S je množina všech občanů České republiky. Potom na této množině občanů můžeme definovat například následující relace: a) R2 je množina všech uspořádaných dvojic (x, y) takových, že občan x bydlí ve stejném městě jako občan y. b) R3 je množina všech uspořádaných dvojic (x, y) takových, že občané x a y jsou sourozenci. Nyní si uvedeme jednotlivé vlastnosti relací na množině. Nechť R je binární relace na množině S. Potom tato relace se nazývá i) reflexivní právě tehdy, když pro každé s ∈ S platí (s, s) ∈ R, ii) symetrická právě tehdy, když pro každé s1, s2 ∈ S platí: jestliže (s1, s2) ∈ R, potom (s2, s1) ∈ R, iii) antisymetrická právě tehdy, když pro každé s1, s2 ∈ S platí: jestliže (s1, s2) ∈ R a zároveň (s2, s1) ∈ R, potom s1 = s2 , iv) tranzitivní právě tehdy, když pro každé s1, s2, s3 ∈ S platí: jestliže (s1, s2) ∈ R a zároveň (s2, s3) ∈ R, potom (s1, s3) ∈ R. v) úplná právě tehdy, když pro každé s1, s2 ∈ S platí: (s1, s2) ∈ R nebo (s2, s3) ∈ R Relace, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní, se nazývá částečné (lineární) uspořádání.
2
Příklady: a) Relace ≤ neostré nerovnosti "menší nebo rovno" na přirozených, celých, racionálních nebo reálných číslech je částečné uspořádání. b) Nechť P(S) je systém všech neprázdných podmnožin množiny S. Potom množinová inkluze ⊆ je relací částečného uspořádání na P(S). c) Relace dělení | na celých číslech je částečným uspořádáním.
Nechť S je množina. Identickou relací nazveme relaci R ⊆ S × S, která obsahuje všechny dvojice prvků (s, s), s ∈ S a značíme ji id. Mezi jednotlivými vlastnostmi relací existuje spousta vztahů: Nechť R je relace na množině S.Potom tato relace je i) reflexivní právě tehdy, když id ⊆ R, ii) symetrická právě tehdy, když R-1= R, iii) antisymetrická právě tehdy, když R-1 ∩ R = id, iv) tranzitivní právě tehdy, když Ro R = R. Binární relaci R na množině S nazveme ekvivalence, je-li reflexivní, symetrická a tranzitivní. 1. Rovnost = je relace ekvivalence. 2. Nechť n je přirozené číslo a nechť R je relace na množině všech celých čísel definována předpisem (x, y) ∈ R právě tehdy, když n | (x-y) pro každé x, y ∈ Z. Potom říkáme, že prvek x je kongruentní s prvkem y modulo n, relaci R značíme ≡ a nazýváme kongruence na celých číslech modulo n. Konkrétně například číslo 6 je kongruentní s číslem 10 modulo 2, zapisujeme 6 ≡ 10 (mod 2). Na následujícím důkazu toho, že relace kongruence je ekvivalence, si demonstrujeme, jak obecně pracujeme s relacemi, jejich vlastnostmi a jak vlastnosti relací dokazujeme. Musíme dokázat, že relace kongruence modulo n ∈N na Z je reflexivní, symetrická a tranzitivní. 1. Nechť x ∈ Z. Potom n | x-x a odtud prvek x je kongruentní sám se sebou modulo n, čímž je splněna vlastnost reflexivity. 2. Nechť x, y ∈ Z. Nechť prvek x je kongruentní prvku y modulo n. To je ekvivalentní tomu, že rozdíl prvků x-y je dělitelný n, ovšem to platí právě tehdy, když i číslo opačné -(x-y) = y-x je dělitelné n. Toto je ovšem ekvivalentní tomu, že prvek y je kongruentní prvku x modulo n a tedy vlastnost symetrie je splněna. 3. Nechť x, y, z ∈ Z. Nechť prvek x je kongruentní s prvkem y modulo n a prvek y je kongruentní s prvkem z modulo n. To je ekvivalentní tomu, že rozdíly prvků x-y a y-z jsou dělitelné n. Tedy můžeme psát x= nk + y = nk + nl + z = n(k+l)+z, kde k,l ∈Z a odtud n | x-z, čímž je splněna vlastnost tranzitivity. Díky vlastnosti symetrie zjednodušeně říkáme, že prvky x, y jsou kongruentní modulo n.
3
Důležitým typem relace v teorii vícekriteriálního rozhodování je relace kvaziuspořádání: Binární relace R na množině S se nazývá kvaziuspořádání, je-li reflexivní a tranzitivní (někdy se definuje jako tranzitivní a úplná, reflexivnost plyne z úplnosti). Rozkladem množiny S nazýváme každý systém jejích podmnožin, které jsou neprázdné, po dvou disjunktní a jejich sjednocením je celá množina S. Ke každé relaci ekvivalence R na množině S existuje rozklad množiny S na třídy navzájem ekvivalentních prvků. Tento rozklad nazýváme rozklad příslušný ekvivalenci R a značíme R/S. Platí též obráceně, že ke každému rozkladu množiny S na třídy existuje ekvivalence R na S taková , že je to rozklad příslušný k relaci R. Např. relace kongruence modulo 2 na množině celých čísel Z vytváří rozklad množiny Z na třídu sudých a třídu lichých čísel.
4
2. Rozhodování – základní pojmy 2.1 Úloha rozhodování v managementu Rozhodování představuje jednu z nejvýznamnějších manažerských aktivit, někdy se chápe jako jádro řízení. Kvalita rozhodování ovlivňuje výsledky i efektivnost fungování organizací. Manažerské funkce rozdělujeme na sekvenční a průběžné Sekvenční – plánování, organizování, vedení, kontrolování (realizují se postupně) Průběžné – analýza činností, rozhodování, komunikace Ze sekvenčních manažerských funkcí se rozhodování nevýrazněji uplatňuje v plánování. 2.2 Stránky rozhodovacího procesu, teorie rozhodování Rozhodovací procesy probíhající na různých úrovních řízení mají dvě stránky – věcnou (meritorní) a procedurální (formálně logickou). Meritorní stránka odráží odlišnosti rozhodovacích procesů v závislosti na obsahové náplni dané věci. Procedurální stránka znamená určité společné rysy rozhodovacích problémů, jejich rámcový postup (proceduru) řešení – právě tato stránka rozhodovacích procesů je předmětem teorie rozhodování. V průběhu historického vývoje došlo ke koncipování různých teorií rozhodování – teorie utility (užitku) – stanovuje se celkové ohodnocení variant při větším počtu kritérií – teorie sociálně-psychologické – zaměřené na subjekt a jeho chování – teorie kvantitativně orientované – založené na aplikaci matematických modelů – teorie normativního charakteru – poskytují návod, jak řešit rozhodovací problémy – teorie deskriptivního charakteru – popisují již proběhlé rozhodovací procesy 2.3 Rozhodovací proces, rozhodovací problém Rozhodovací proces – proces řešení rozhodovacího problému. Základním atributem rozhodování je proces volby – posuzování jednotlivých variant a výběr optimální varianty. Problém je vymezen existencí diference (odchylky) mezi žádoucím stavem (standardem, normou, plánem) a skutečným stavem. Tato diference musí být přirozeně nežádoucí (skutečný stav je horší než stav žádoucí). Problémy lze rozdělit na reálné (již existující – mohou být nebezpečné, nebudou-li se řešit) a potenciální (mohou vzniknout v budoucnu). Fáze rozhodovacích procesů – identifikace problému, – analýza a formulace, – stanovení kritérií hodnocení variant, podle kterých se budou varianty posuzovat – tvorba souboru variant,
5
– stanovení důsledků variant (dopadů, účinků jednotlivých variant z hlediska zvolených kritérií), – hodnocení důsledků variant a výběr optimální varianty (příp. preferenční uspořádání variant), – realizace zvolené varianty (praktická implementace rozhodnutí), – kontrola výsledků realizované varianty, nápravná (korekční) opatření. Cílem rozhodování (řešení rozhodovacího problému) chápeme určitý stav firmy, kterého se má řešením problému dosáhnout. Cíle se vyjadřují nejčastěji číselně (např. rentabilita kapitálu, výše podílu na trhu atd.) nebo slovním popisem (zlepšení pracovních podmínek, zlepšení image firmy atd.). Kritéria hodnocení představují hlediska zvolená rozhodovatelem sloužící k posouzení výhodnosti jednotlivých variant z hlediska dosažení cílů. Rozeznáváme kritéria výnosového typu (vyšší hodnoty preferovány před nižšími – např. zisk) a kritéria nákladového typu (nižší hodnoty preferovány před vyššími – např. náklady). Dále rozlišujeme kritéria kvantitativní (hodnoty vyjádřeny číselně) a kvalitativní (jejich důsledky vyjádřeny slovně). Subjektem rozhodování (rozhodovatelem) je ten, kdo rozhoduje. Může to být buď jednotlivec, nebo skupina lidí (orgán). Hovoříme o individuálním a kolektivním subjektu rozhodování. V praxi se rozlišuje ještě statutární rozhodovatel (má pravomoci k volbě varianty) a skutečný rozhodovatel (skutečně rozhoduje). Např. na nižší úrovni řízení se vybere nějaká varianta a vyšší úroveň řízení ji jen schválí, nebo zamítne. Klasifikace rozhodovacích problémů – dobře a špatně strukturované problémy, programovaná a neprogramovaná rozhodnutí. Dobře strukturované rozhodovací problémy – mají rutinní postupy řešení, řeší se opakovaně na operativní úrovni řízení, mají zpravidla jediné kvantitativní kritérium hodnocení. Špatně strukturované rozhodovací problémy – vyskytují se zpravidla na vyšších úrovních řízení, jsou do značné míry nové a neopakovatelné, vyžadují tvůrčí přístup, neexistují pro ně standardní procedury řešení. Rozhodování za jistoty – rozhodovatel s jistotou ví, co nastane, jaké budou důsledky variant. Rozhodování za rizika – rozhodovatel zná možné budoucí situace, které mohou nastat, a současně zná i jejich pravděpodobnosti Rozhodování za nejistoty – nejsou známy pravděpodobnosti budoucích stavů. (terminologie není v literatuře jednotná) Další typy rozhodovacích procesů – statické a dynamické – podle toho, zda se v čase mění nebo nemění množina variant rozhodování – jednokriteriální a vícekriteriální – podle počtu kritérií hodnocení – strategické, taktické a operativní – podle řídící úrovně, na které procesy probíhají
6
3. Vícekriteriální rozhodování a hodnocení variant – základní pojmy 3.1 Úloha vícekriteriálního rozhodování Úlohou vícekriteriálního rozhodování (s konečnou množinou variant) se rozumí následující problém: Je dána množina n variant X x1, x2 ,, xn , které jsou posuzovány dle m stanovených hledisek (kritérií) z množiny K K1, K2 ,, Km . Úkolem je vybrat z dané množiny variant X variantu x* , která je nejlepší vzhledem ke kritériím z množiny K. K určení optimální varianty x* X stačí, abychom byli schopni varianty z X na základě jejich celkového posouzení vzhledem ke kritériím z K uspořádat. Varianta zajímající první místo v tomto uspořádání je pak variantou optimální. Matematická formulace problému: Na množině variant X x1, x2 ,, xn definujeme m dílčích preferenčních relací (ke každému kritériu jednu relaci) Rj, j = 1, 2, …, m, předpisem xi R j xk xi je podle Kj hodnocena stejně nebo lépe než xk i, k 1,2,n: Na základě dílčích preferenčních relací můžeme stanovit celkovou preferenční relaci R na X:
i, k 1,2,n:
xi R xk
xi je celkově hodnocena stejně nebo lépe než xk
Optimální variantou je pak varianta x* X , pro kterou platí x* R xi pro všechna i 1,2,n Druhý možný matematický přístup: Předpokládáme, že preference na množině variant X vzhledem jednotlivým kritériím Kj, j = 1, 2, …, m, jsou vyjádřeny kvantitativně, pomocí dílčích hodnotících funkcí u j : X R, , j = 1, 2, …, m
s vlastností
i, k 1,2,n:
u j xi u j xk xi R j xk
a naším cílem je definovat celkovou hodnotící funkci u: X R
s vlastností
i, k 1,2,n:
uxi uxk xi R xk
7
Funkce uj, j = 1, 2, …, m, a u se nazývají ordinální funkce utility. Optimální variantou je pak varianta x* X s nejvyšším celkovým hodnocením (utilitou)
u x* max uxi i1, 2,n
Uspořádání variant, dané celkovou preferenční relací R, popř. ordinální funkcí utility u, představuje nejjednodušší typ hodnocení, hodnocení ordinální. Více informace z hlediska celkového posouzení variant představuje kardinální hodnocení založené na kardinální funkci utility. V jeho případě vedle uspořádání variant získáme i informaci o relativních rozdílech v hodnocení variant z dané množiny X. 3.2 Kritéria hodnocení Kritérii rozumíme takové charakteristiky variant, na základě kterých lze tyto varianty posuzovat vzhledem k danému celkovému cíli hodnocení. Požadavky na soubor kritérií: - úplnost – celkový cíl hodnocení by měl být beze zbytku vyjádřen souborem kritérií - neredundance – soubor bez nadbytečných kritérií - minimálnost - měřitelnost – vždy je možné formulovat hodnocení variant vzhledem k těmto kritériím - jasně definovaný obsah Strom kritérií (strom dílčích cílů) je metoda napomáhající vytvoření takového souboru kritérií: Nejdříve jsou celkovému cíli hodnocení přiřazena značně abstraktní (obecná) kritéria, která se pak rozloží do konkrétnějších kritérií. Tento postup se opakuje tak dlouho, dokud se nedospěje k přímo měřitelným charakteristikám variant. Uvedeným způsobem vytvořená hierarchie kritérií je znázorněna grafem typu strom. Typy kritérií: - kvalitativní – vyjadřují kvalitu určité vlastnosti, hodnoty zadány slovně - kvantitativní – vyjadřují kvantitu určité vlastnosti, hodnoty zadány číselně -
ordinální – definují na množině variant preferenční relaci kardinální – umožňují kvantitativní porovnávání rozdílů v hodnocení variant
Není možné jednoduše ztotožňovat kritéria kvalitativní a ordinální na straně jedné a kvantitativní a kardinální na straně druhé. Podrobněji se budeme zabývat typem preferenčních relací používaných pro ordinální kritéria. Ordinální kritérium je takové, které na množině variant generuje preferenční relaci: x, y X :
xR y
x je hodnocena stejně nebo lépe než y
8
V teorii vícekriteriálního rozhodování obvykle předpokládáme, že preferenční relace má vlastnosti kvaziuspořádání, tj. jde o relaci tranzitivní a úplnou. (Z úplnosti plyne také reflexivnost). Na rozdíl od uspořádání tak mohou být různé prvky hodnoceny stejně. Kvaziuspořádání R, představujícímu neostrou preferenční relaci, lze přiřadit další dvě relace: relaci ostré preference (P) a relaci indiference (I) variant: x P y x R y non y R x xI y xRy yRx Kvaziuspořádání proto také někdy zapisujeme jako R = (P, I). Z definic relací P a I je zřejmé, že platí R P I, P I
Z významu relace R a definice relací P a I dále plyne x, y X : x, y X :
xP y xI y
x je hodnocena lépe než y x je hodnocena stejně jako y
Věta: Nechť je dáno kvaziuspořádání R na X. Pak pro relace P a I odvozené z R výše uvedeným způsobem platí: 1. x, y X nastává právě jedna z možností (trichotomie): x P y, y P x, nebo x I y 2. I je relace ekvivalence (reflexivní, symetrická, tranzitivní). 3. P je tranzitivní relace. 4. Pro relace P a I jsou splněny podmínky tzv. smíšené tranzitivity: x, y, z X : x P y y I z x P z, x I y y P z x P z
Naopak, jsou-li na X definovány relace P a I splňující podmínky 1-4, pak relace R P I je kvaziuspořádání. Věta (o struktuře kvaziuspořádané množiny) Nechť je dáno kvaziuspořádání R = (P, I) na X. Definujme relaci R* na rozkladu X/I množiny X podle ekvivalence I následujícím způsobem:
X , X X / I : X R* X x X , y X : x R y Pak R* je lineární uspořádání. Je-li naopak dán rozklad množiny X na soustavu disjunktních podmnožin X , A , tj. X
X ,
A
X X
9
pro , A, ,
a lineární uspořádání R* na tomto rozkladu, pak relace R definovaná na X vztahem
x, y X : x R y x X , y X , X R* X je kvaziuspořádáním. Každé kvaziuspořádání R lze tedy ekvivalentně vyjádřit pomocí lineárního uspořádání R* jeho tříd indiference. Další věty uvádí do vzájemného vztahu relaci kvaziuspořádání a ordinální funkcí utility. Věta: Nechť R je kvaziuspořádání na množině X x1, x2 ,, xn . Pak existuje ordinální funkce utility u : X R , tj. funkce s vlastností
i, k 1,2,n: uxi uxk xi R xk Věta: Nechť je dána libovolná funkce u : X R . Pak relace R definovaná vztahem
x, y X : x R y ux u y je kvaziuspořádání. Poznámka: Pro vztah mezi kvaziuspořádáním R = (P, I) a jemu odpovídající ordinální funkcí utility platí:
x P y ux u y x I y u x u y
3.3 Normování dílčích hodnocení, nezávislost kritérií V případě kvantitativního kritéria s rostoucí preferencí (tj. kritéria, jehož vyšší hodnota je preferována před nižší) definují jeho hodnoty na uvažované množině variant ordinální funkci utility. Protože v dále popisovaných metodách vícekriteriálního hodnocení je celkové hodnocení počítáno jako vážený průměr hodnocení dílčích, je vhodné, aby tato dílčí hodnocení byla normována. Proto v případě daného kvantitativního kritéria s rostoucí preferencí budeme jeho hodnoty lineárně transformovat z původního intervalu x 0 , x1 , kde x0 je nejmenší (a tedy nejhorší) hodnota této charakteristiky dosažená na dané množině variant X, na interval představující jednotnou hodnotící škálu s rostoucí preferencí, podle vzorce 10
0,1 ,
y
x x0 x1 x 0
Tuto transformační funkci lze pak považovat za normovanou ordinální funkci utility u odpovídající danému kvantitativnímu kritériu. Definice nezávislosti kritérií Nechť celkové hledisko hodnocení variant je vyjádřeno množinou kritérií K K1, K2 ,, Km . Nechť těmto kritériím jsou přiřazeny ordinální funkce utility u1, u2 ,, um a celkové hodnocení variant je vyjádřeno ordinální funkcí utility u. Pak řekneme, že kritérium Kj popsané ordinální funkcí utility uj, j 1,2,m, je nezávislé na kritériích ostatních, jestliže pro libovolné dvě varianty x a y, pro které platí u j x u j y , ui x ui y bi , pro i 1,2,, m, i j
nezávisí jejich výsledné hodnocení (tj. pořadí dané celkovou ordinální funkcí utility u) na pevně zvolených hodnotách bi. Kritéria K1, K2, …, Km nazýváme nezávislá, je-li každé z těchto kritérií nezávislé na ostatních. Příklad Hodnotíme kalkulačky. Kritéria jsou cena, velikost tlačítek a velikost displeje. Nechť pro 2 konkrétní kalkulačky x, y platí, že jejich cena je různá, ale velikosti tlačítek i displeje jsou stejné. Pak cena je nezávislá na ostatních kritériích, jestliže výsledné hodnocení kalkulaček nezávisí na pevně zvolených hodnotách velikostí displeje a tlačítek.
4. Váhy kritérií Váhami kritérií K1, K2, …, Km rozumíme nezáporná reálná čísla v1, v2, …, vm, která vyjadřují rozdílnou významnost jednotlivých kritérií vzhledem k celkovému hodnocení variant. Většina metod vícekriteriálního hodnocení pracuje s normovanými váhami, pro které platí m
v j 1
1
j
Máme-li stanoveny nenormované váhy w j , w j 0, j 1,2,, m, pak normované váhy vj z nich vypočteme podle vzorce vj
wj m
w k 1
11
k
Váhy bývají v literatuře zabývající se vícekriteriálním rozhodováním vymezeny po matematické stránce jen velmi obecně jako nezáporná reálná čísla, která v případě normovaných vah dávají součet jedna, přičemž základní vlastností, kterou množina vah musí splňovat vzhledem k preferencím na množině kritérií, je: j, k 1,2,, m: v j vk K j je významnější nebo stejně významné jako Kk.
Je zřejmé, že k určení vah kritérií, které by respektovaly tento požadavek, stačí definovat kvaziuspořádání na množině kritérií. Takto definované váhy však představují pouze ordinální informaci o preferencích v množině kritérií. Metody stanovení vah: Metoda párového srovnávání kritérií Metfesselova alokace (pomocí stromu kritérií) Saatyho metoda (matice intenzit preferencí S)
4.1 Metoda párového srovnávání kritérií Při použití této metody jsou váhy kritérií odvozeny z preferenční relace expertně definované pro danou množinu kritérií. Pokud nepředpokládáme možnost stejně hodnocených kritérií, vycházíme z incidenční matice relace ostré preference P definované na množině kritérií K, pro jejíž prvky platí 1 je - li j - té kritérium významněvší než k - té, p j ,k 0 není - li tomu tak
Významnost j-tého kritéria, jeho nenormovaná váha wj, je pak odvozena z počtu kritérií, před kterými je dané kritérium preferováno, a vypočtena ze vzorce m
wj p j,k 1 k 1
Připočtená 1 u každé váhy zabraňuje tomu, aby nejméně významné kritérium dostalo nulovou váhu. Výpočet normovaných vah vj se pak provádí standardně podle výše uvedeného vzorce. Příklad Incidenční matice relace ostré preference pro 4 kritéria:
K1 K2
K1 0 1
K2 0 0
K3 0 0
K4 0 1
12
K3 K4
1 1
1 0
0 0
1 0
Nenormované váhy: w1 = 1, w2 = 3, w3 = 4, w4 = 2 Normované váhy: v1 = 0,1, v2 = 0,3, v3 = 0,4, v4 = 0,2
4.2 Metfesselova alokace (pomocí stromu kritérií) Tato metoda je založena na myšlence seskupení kritérií daného souboru do dílčích skupin podle příbuznosti jejich věcné náplně. Váhy kritérií se určí následujícím postupem: a) nejprve se stanoví váhy jednotlivých skupin kritérií – tyto váhy jsou normovány (součet vah skupin kritérií je roven jedné) b) dále se stanoví váhy každého kritéria v jednotlivých skupinách – tyto váhy jsou opět normovány (součet vah v rámci každé skupiny kritérií je roven jedné) c) výsledné váhy kritérií se vždy stanoví vynásobením váhy kritéria v jeho skupině váhou této skupiny kritérií Normování vah skupin a vah kritérií v rámci skupiny zabezpečuje, že výsledné váhy kritérií jsou opět normovány.
4.3 Saatyho metoda stanovení vah (matice intenzit preferencí S) Saatyho metoda se liší od metody párového srovnávání v tom, že při jejím použití je místo matice preferencí P zadávána matice intenzit preferencí S. Její prvky sj,k vždy představují expertně stanovenou relativní významnost j-tého kritéria vzhledem ke k-tému (tj. vyjadřují, kolikrát je j-té kritérium významnější než k-té). Při zadávání těchto hodnot využívá expert základní pětibodové stupnice intenzit preferencí, opatřené jazykovými popisy:
s j ,k
1 jsou - li obě kritéria stejně významná, 3 je - li j - té kritérium slabě významněvší než k - té, 5 je - li j - té kritérium dosti významněvší než k - té, 7 je - li j - té kritérium prokazatelně významněvší než k - té, 9 je - li j - té kritérium absolutně významněvší než k - té.
Pokud je naopak j-té kritérium méně významné než k-té, pak
s j,k
1 sk , j
(*)
13
Věta (Perron-Frobeniova) Matice S s danou vlastností (*) má maximální reálné vlastní číslo max > 0 a odpovídající vlastní vektor w má všechny složky kladné. Lze ukázat, že pokud bude expert ve svých hodnoceních preferencí dostatečně konzistentní, pak složky normovaného vlastního vektoru matice S odpovídajícího jejímu maximálnímu vlastnímu číslu max lze považovat za normované váhy uvažovaných kritérií. Jednodušší aproximaci vah kritérií získáme výpočtem geometrických průměrů čísel v řádcích Saatyho matice a jejich následným normováním.
5. Metody vícekriteriálního hodnocení variant - úvod Při hodnocení variant rozhodovacího problému podle různých hledisek (kritérií) je přirozené vypočítat celkové hodnocení (utilitu, užitek) variant jako průměr hodnocení dílčích, která musí být určitým způsobem standardizována, aby byla sčitatelná. Mají-li jednotlivá hlediska hodnocení rozdílnou důležitost, pak aritmetický průměr je nahrazen průměrem váženým (resp. váženým součtem). Vícekriteriální funkce utility za jistoty (funkce užitku, užitková funkce, preferenční funkce) – ozn. u – přiřazuje každé variantě rozhodování utilitu (užitek, ohodnocení, hodnotu) vyjádřenou reálným číslem. Čím je toto číslo větší, tím více rozhodovatel danou variantu rozhodování preferuje. Konstrukce vícekriteriální funkce utility za jistoty je v obecném případě obtížná, proto se v praxi nejčastěji pracuje s aditivním tvarem této funkce, který lze vyjádřit následující formulí. Společná formule pro všechny jednoduché metody vícekriteriálního hodnocení: m
u x v j u j x v1 u1 x v2 u2 x vm um x j 1
kde pro j 1, 2, , m : v j - nezáporná nenormovaná váha kritéria K j ,
u j x - dílčí hodnocení varianty x vzhledem ke kritériu K j (hodnota dílčí funkce utility ordinálního nebo kardinálního charakteru),
14
u x - celkové hodnocení dané varianty vzhledem k celému souboru kritérií. Jednotlivé metody se odlišují způsobem stanovení vah kritérií a způsobem určení dílčích hodnocení u j x .
Vlastnosti dílčích funkcí utility Dílčí funkce utility uj vyjadřují změnu ohodnocení (přínosu pro rozhodovatele) v závislosti na změnách hodnoty daného kritéria hodnocení (změnách důsledků variant vzhledem k tomuto kritériu). Pro kritéria výnosového typu (kritéria s rostoucí preferencí) je odpovídající dílčí funkce utility vždy rostoucí, přičemž může být konvexní, konkávní nebo lineární. Konkávní rostoucí dílčí funkce utility odpovídá situaci, kdy rozhodovatel cení stejné přírůstky hodnot daného kritéria stále méně (přírůstky dílčí utility pro stejně velké přírůstky daného kritéria klesají). Konvexní rostoucí dílčí funkce utility zobrazuje naopak situaci, kdy stejné přírůstky hodnot daného kritéria znamenají pro rozhodovatele stále větší přínos (přírůstky dílčí utility pro stejně velké přírůstky daného kritéria rostou). Pro kritéria nákladového typu (kritéria s klesající preferencí) je odpovídající dílčí funkce utility vždy klesající, a to konkávní (konvexní) v případě, že rozhodovatel cení stejné poklesy hodnot daného kritéria stále více (méně). V praxi jsou dílčí funkce utility často lineární. V tomto případě znamenají pro rozhodovatele stejné přírůstky (u rostoucí dílčí funkce utility), resp. stejné poklesy (u klesající dílčí funkce utility) hodnot daného kritéria vždy stejný přínos. Definičním oborem dílčích funkcí utility jsou intervaly hodnot jednotlivých kritérií. Dílčí funkce utility je zvykem normovat tak, že nabývají hodnot z intervalu mezi 0 a 1. Pro nejhorší hodnotu daného kritéria nabývá dílčí funkce utility hodnotu 0 a pro nejlepší hodnotu kritéria nabývá hodnoty 1.
6. Jednoduché metody vícekriteriálního hodnocení variant (stanovení hodnoty, utility variant) Následující metody lze použít pouze v případě, že kritéria Kj jsou nezávislá. 6.1 Metoda bazické varianty
je určena pro kvantitativní kritéria s rostoucí nebo klesající preferencí celkové hodnocení varianty x popsané vektorem (x1, x2,…, xm) naměřených hodnot kritérií K1, K2, …, Km je při použití této metody dáno formulí
15
u x v j u j x j , m
j 1
m
v j 1
j
1,
v j 0,
j 1, 2,, m
kde váhy vj mohou být stanoveny libovolnou z metod (např. Metfesselova alokace, Saatyho metoda)
j-té dílčí hodnocení je dáno vztahem
u j x j
u j x j
xj xbj
x bj xj
v případě kritéria s rostoucí preferencí (výnosového typu) a
v případě kritéria s klesající preferencí (nákladového typu)
vektor x1b , x2b ,, xmb představuje tzv. bazickou variantu bazická varianta je volena jako vektor nejlepších nebo předem zvolených (požadovaných) hodnot kritérií na daném souboru metoda je tedy založena na stanovení dílčích ohodnocení variant vzhledem k jednotlivým kritériím pomocí porovnání hodnot důsledků variant vždy s hodnotami bazické varianty dílčí funkce utility uj (pro každé kritérium jiná) pro kritéria výnosového typu jsou lineární (přímky), pro kritéria nákladového typu jsou to hyperboly tato metoda standardizace dílčích kritérií odstraňuje vliv rozdílných jednotek měření použitých pro jednotlivá kritéria
PŘÍKLAD: hodnotíme soubor šesti investičních variant máme 4 kritéria hodnocení: o o o o
rentabilita kapitálu (v %) produktivita práce (1000 Kč/prac.) energetická náročnost (GJ/mil. Kč produkce) kilogramová cena (USD/kg produkce)
všechna kritéria jsou kvalitativní, navíc výnosového typu, jen energetická náročnost je nákladového typu některou z metod stanovíme váhy kritérií v1, v2, v3, v4 do tabulky zapíšeme hodnoty kritérií daného souboru variant Krit./Var. Rentabilita Produktivita En. náročnost Cena
Váhy vj 0,40 0,10 0,15 0,35
V1 18 360 640 20
V2 15 390 490 40
V3 35 380 820 30
16
V4 17 300 400 35
V5 28 450 1000 25
V6 18 320 700 20
Baz. 35 450 400 40
nejprve prověříme, zda v souboru variant neexistuje tzv. dominovaná varianta, což je taková (může jich být více) varianta, k níž existuje jiná varianta, která je aspoň podle jednoho kritéria lepší a podle žádného kritéria horší než varianta dominovaná v našem případě je dominovanou variantou V6 – je dominována variantou V1 (je ve 2 ohledech lepší než V6 a ve dvou stejná) lze prověřit, že V1 až V5 už tvoří soubor nedominovaných variant (tento postup je dobré uplatnit ve všech metodách vícekriteriálního hodnocení variant) vypočítáme dílčí hodnocení všech 5 variant pro jednotlivá kritéria – např. pro variantu V1 (její důsledky označíme x1 až x4): u1 x1
x1 18 0,514 x1b 35
u3 x3
x3b 400 0,625 (nákl. typu) x3 640
u2 x2
x2 360 0,8 x2b 450
u4 x4
x4 20 0,5 x4b 40
dílčí ohodnocení dle jednotlivých kritérií vynásobíme vahami kritérií a sečtením dostaneme celkové hodnocení varianty V1 (podle úvodní formule):
uV1 0,40 0,514 0,10 0,8 0,15 0,625 0,35 0,5 0,21 0,08 0,09 0,18 0,56 tak postupujeme dále pro další varianty a výsledky metody bazické varianty shrneme do tabulky: Kritérium
Váhy
Rentabilita Produktivita En. náročnost Cena Celk. hodnocení Pořadí
0,40 0,10 0,15 0,35
Baz. var. 35 450 400 40
V1 0,21 0,08 0,09 0,18 0,56 5
V2 0,17 0,09 0,12 0,35 0,73 2
Varianta V3 0,40 0,08 0,07 0,26 0,81 1
V4 0,19 0,07 0,15 0,31 0,72 3
V5 0,32 0,10 0,06 0,22 0,70 4
závěr: optimální variantou je varianta V3, nejhorší variantou je varianta V1
6.2 Bodovací metoda
je vhodná pro takové rozhodovací úlohy, kde převažují kvalitativní kritéria při použití této metody expert provádí dílčí hodnocení varianty vzhledem k danému kritériu podle obvykle slovně vyjádřené hodnoty kvalitativní charakteristiky
17
přiřazením bodů z bodové škály, která je jednotně stanovena pro všechna uvažovaná kritéria celkové hodnocení varianty x je dáno formulí m
u x v j b j , j 1
m
v j 1
j
1,
v j 0,
j 1, 2,, m
kde b1, …, bm jsou bodová hodnocení varianty x dle jednotlivých kritérií
validita celkového hodnocení variant závisí především na kvalitě a kompetenci hodnotitele
6.3 Metoda váženého pořadí
u této metody se dílčí ohodnocení variant vzhledem k jednotlivým kritériím určuje podle pořadí variant vzhledem k těmto kritériím určena pro rozhodovací úlohy s převahou kvalitativních kritérií, neboť využijeme-li kvantitativní kritérium k pouhému uspořádání variant, ztrácí se část informace využitelné pro hodnocení celkové hodnocení varianty x je dáno formulí
u x v j n 1 p j , m
j 1
m
v j 1
j
1,
v j 0,
j 1, 2,, m
kde pj je pořadí varianty x v lineárním uspořádání variant podle j-tého kritéria, n je počet hodnocených variant a váhy jsou stanoveny analogicky jako u předchozích metod
z tohoto vztahu plyne, že dílčí ohodnocení nejlepší varianty z hlediska jednotlivých kritérií je rovno právě počtu kritérií, dílčí ohodnocení nejhorší varianty je rovno 1
6.4 Metoda lineárních dílčích funkcí utility (metoda univerzální standardizace)
18
připouští následující typy kritérií: kvantitativní kritéria s rostoucí a klesající preferencí, kvalitativní kritéria se stanovenou preferenční relací (kvaziuspořádání) na množině variant a kvalitativní kritéria s expertně stanoveným bodovým hodnocením z dané bodovací škály dílčí ohodnocení variant vzhledem k jednotlivým kritériím se v této metodě stanovuje odlišně, a to v závislosti na povaze těchto kritérií ať jde o kritérium kteréhokoliv typu, vždy jsou hodnocení pro danou množinu variant standardizována tak, aby nejhorší hodnotě kritéria na daném souboru variant odpovídala 0 a nejlepší naopak 1 kvantitativní kritéria vychází se z předpokladu, že odpovídající dílčí funkce utility mají lineární tvar tyto funkce se stanoví tak, že nejhorší hodnotě j-tého kritéria (na daném souboru variant) x 0j se přiřadí dílčí utilita 0, nejlepší hodnotě x1j dílčí utilita 1 a spojnice těchto bodů jsou pak zobrazením lineárních dílčích funkcí utility dílčí hodnotící funkce pro variantu x x1, x2 ,, xm je definována vztahem
u j x j
x j x 0j x1j x 0j
kvalitativní kritéria se stanovenou preferenční relací kvaziuspořádání na množině variant – dílčí hodnotící funkce je definována vztahem
u j x
n j p*j nj 1
kde p *j značí pořadí třídy indiferentních variant, které náleží varianta x v daném kvaziuspořádání, a n j 1 značí počet indiferenčních tříd tohoto kvaziuspořádání s expertně stanoveným bodovým hodnocením bj varianty x (bodovací škála může mít rostoucí nebo klesající preferenci) – dílčí hodnotící funkce je definována analogicky jako pro kvantitativní kritérium
u j x
b j b0j b1j b0j
kde b 0j představuje nejhorší a b1j nejlepší bodové hodnocení variant dané množiny vzhledem k tomuto kritériu
19
PŘÍKLAD (již dělán metodou bazické varianty):
Krit./Var. Rentabilita Produktivita En. náročnost Cena
Váhy vj
V1
V2
V3
V4
V5
x 0j
x1j
0,40 0,10 0,15 0,35
18 360 640 20
15 390 490 40
35 380 820 30
17 300 400 35
28 450 1000 25
15 300 1000 20
35 450 400 40
dominovaná varianta V6 je již vynechána nejprve stanovíme definiční obory dílčích funkcí utility jednotlivých kritérií (vymezeny dolní hranicí x 0j a horní hranicí x1j - nejhorší a nejlepší hodnotou j-tého kritéria v souboru variant) vypočítáme dílčí hodnocení variant podle vztahu
u j x j
x j x 0j x1j x 0j
např. pro variantu V1 (její důsledky označíme x1 až x4): u1 x1
18 15 0,15 35 15
u3 x3
640 1000 0,60 400 1000
u2 x2
360 300 0,40 450 300
u4 x4
20 20 0 40 20
dílčí ohodnocení dle jednotlivých kritérií vynásobíme vahami kritérií a sečtením dostaneme celkové hodnocení varianty V1 (podle úvodní formule):
uV1 0,40 0,15 0,10 0,40 0,15 0,60 0,35 0 0,06 0,04 0,09 0 0,19 tak postupujeme dále pro další varianty a výsledky metody lineárních dílčích funkcí utility shrneme do tabulky:
Kritérium Rentabilita
Váhy
x1j - x 0j
0,40
20
V1 0,06
V2 0 20
Varianta V3 0,40
V4 0,04
V5 0,26
Produktivita En. náročnost Cena Celk. hodnocení Pořadí
0,10 0,15 0,35
150 -600 20
0,04 0,09 0 0,19 5
0,06 0,13 0,35 0,54 2
0,05 0,04 0,18 0,67 1
0 0,15 0,26 0,45 3-4
0,10 0 0,09 0,45 3-4
závěr: optimální variantou je opět (stejně jako v metodě baz. varianty) varianta V3, nejhorší variantou je opět varianta V1
Graf lineární dílčí funkce utility pro kritérium K1 (rentabilita kapitálu): u1
1
0
15
35
x
6.5 Saatyho metoda (Analytický hierarchický proces – AHP, L. H. Saaty, 1980)
opět stanovuje ohodnocení variant jako vážený součet (průměr) dílčích hodnocení vzhledem k jednotlivým kritériím normované váhy kritérií se počítají Saatyho metodou stanovení vah, tj. jako složky normovaného vlastního vektoru Saatyho matice S intenzit preferencí kritérií odpovídajícího maximálnímu vlastnímu číslu této matice stanovení dílčích ohodnocení variant je v Saatyho metodě analogické již známému postupu stanovení vah pouze s tím rozdílem, že srovnávanými objekty nejsou kritéria, ale varianty rozhodování
21
pro každé kritérium Kj stanovíme Saatyho matici Sj na základě párového srovnávání variant, při kterém se postupně určuje velikost preference všech dvojic variant, a to přiřazením bodů ze stupnice (1, 3, 5, 7, 9) dílčí hodnocení u ij variant xi , i 1,, n vzhledem k j-tému kritériu jsou definována jako složky normovaného vlastního vektoru matice Sj odpovídajícího jejímu maximálnímu vlastnímu číslu celkové hodnocení i-té varianty xi , i 1,, n , je pak dáno váženým průměrem m
u i v j u ij j 1
kde platí m
v j 1
j
1,
n
u i 1
i j
1, i 1,2,, n,
j 1,2,, m
předností Saatyho matice je možnost využití pro hodnocení variant vzhledem k souboru kritérií obsahujícímu kritéria kvantitativní i kvalitativní
Poznámka: Místo vlastního vektoru lze použít geometrický průměr řádků Saatyho matice. Celková ohodnocení variant u i je nutné normovat tak, aby jejich součet byl roven jedné.
22
