Ja ´te´k a ve´gtelennel
´ SOK MAGYAR TUDO
Marx Gyo ¨rgy: Gyorsulo ´ id˝ o Re´nyi Alfre´d: Ars Mathematica Sze´kely Ga ´bor: Paradoxonok Tusna ´dy Ga ´bor: Sztochasztika
Pe´ter Ro ´zsa
Ja ´te´k a ve´gtelennel Matematika kı´vu ¨ la ´llo ´knak
9., javı´tott kiada´s
Budapest, 2010
A ko ¨nyv a Typotex Kiado ´ ´altal indı´tott, az Ige´nyes Tanko ¨nyvkiada ´se´rt Program kerete´ben jelent meg. A ko ¨nyv 8. kiada ´sa ´nak megjelene´se´t az Oktata ´si Miniszte´rium ta ´mogatta.
c Andra ° ´sfai Be´la mint Pe´ter Ro ´zsa joguto ´dja, Typotex, 2004 ISBN 978 963 279 092 3 ISSN 1787-3053 Te´mako ¨r: szo´rakoztato´ matematika Kedves Olvaso ´! ¨ nre gondoltunk, amikor a ko O ¨nyv el˝ oke´szı´te´se´n munka ´lkodtunk. Kapcsolatunkat szorosabbra f˝ uzhetju ¨ k, ha a kiado ´ honlapja ´n, a www.typotex.hu cı´men feliratkozik hı´rlevelu ¨ nkre, melyb˝ ol e´rtesu ¨ lhet u ´ j kiadva ´nyainkro ´l, akcio ´inkro ´l, programjainkro ´l. A honlapon megismerkedhet teljes kı´na ´latunkkal, egyes ko ¨nyveinkne´l pedig u ´ j fejezeteket, bibliogra ´fia ´t, hivatkoza ´sokat tala ´lhat, illetve az esetlegesen el˝ ofordulo ´ hiba ´k jegyze´ke´t is leto ¨ltheti. Kiadva ´nyaink egy re´sze e-ko ¨nyvke´nt (is) kaphato ´: www.interkonyv.hu
Kiadja a Typotex kiado ´, az 1795-ben alapı´tott Magyar Ko ¨nyvkiado ´k e´s Ko ¨nyvterjeszt˝ ok Egyesu ¨ le´se´nek tagja. Felel˝ os kiado ´: Votisky Zsuzsa Szede´s: Benk˝ o Ma ´rta To ¨rdele´s: Bı´ro ´ Ba ´lint Borı´to ´terv: To ´th Norbert Terjedelem: 21,8 (A/5 ´v) ı Nyoma ´s: Se´d Nyomda Kft., Szeksza ´rd Felel˝ os vezet˝ o: Katona Szilvia
Tartalomjegyze´k
Tartalomjegyze´k El˝ oszo ´ a hetedik kiada ´shoz Bevezete´s
5 7 11
I. re´sz A b˝ uve´szinas 1. Ja ´te´k az ujjakkal 2. A m˝ uveletek la ´zgo ¨rbe´i 3. A ve´gtelen sza ´msor parcella ´za ´sa 4. A b˝ uve´szinas 5. Egy alapte´ma varia ´cio ´i
15 17 22 30 37 46
6. 7. 8.
60 73 83
Minden lehet˝ ose´get megja ´tszunk A szu ¨ rke sza ´msor szı´neze´se „Gondoltam egy sza ´mot”
II. re´sz A teremt˝ o forma 9. Sze´tfuto ´ sza ´mok 10. Hata ´rtalan s˝ ur˝ use´g 11. Isme´t megfogjuk a ve´gtelent 12. Megtelik a sza ´mvonal 13. A la ´zgo ¨rbe´k kisimulnak 14. Egy a matematika 15. „I´rja” elemek
95 97 109 120 134 148 162 183
6 16. 17.
Ja´te´k a ve´gtelennel
M˝ uhelytitkok Sok kicsi sokra megy
199 218
III. re´sz A tiszta e´sz o ¨nkritika´ja ´ 18. Es me´gis sokfe´le a matematika
235 237
19. 20. 21.
Az e´pu ¨ let meginog ¨ Ona ´llo ´sul a forma A felettes matematika ´te ı ´l˝ osze´ke el˝ ott
252 260 271
22.
Mit nem tud a matematika?
283
Fu ¨ ggele´k Formabonta ´s a „ke´t kultu ´ ra” ellen Haszna ´lat uta ´n El˝ oszo ´ az els˝ o kiada ´shoz El˝ oszo ´ az u ´ jabb kiada ´sokhoz
295 297 307 309 311
El˝ oszo ´ a hetedik kiada´shoz
¨ ro O ¨mmel e´s fa ´jdalommal teszek eleget a megtisztel˝ o felke´re´snek, hogy el˝ oszo ´t ´rjak ı Pe´ter Ro ´zsa vila ´gsikert aratott Ja´te´k a ve´gtelennel cı´m˝ u ko ¨nyve´nek a Typotex Kiado ´na ´l megjelen˝ o ¨ ro u ´ j kiada ´sa ´hoz. O ¨mmel, mert a ko ¨nyvet (terme´szetesen) e´n is a matematikai ismeretterjeszt˝ o irodalom egyik csu ´ cspontja ´nak tartom, de ugyanakkor fa ´jdalommal is, hiszen olyasmit teszek, amihez igaza ´ban csak a ko ¨nyv szerz˝ oje´nek volna joga; ˝ sajnos, 1977 o de ha ´t Ot, ´ta ma ´r elhunyt nagyjaink ko ¨zo ¨tt tarthatjuk csak sza ´mon. Mie´rt remekm˝ u ez a ko ¨nyv? Erre az a felu ¨ letes va ´lasz, hogy hiszen lefordı´totta ´k sza ´mos nyelvre, e´s e fordı´ta ´sok sza ´mottev˝ o re´sze to ¨bb kiada ´sban is megjelent. A me´lyebbre ´aso ´ va ´lasz azonban arra kı´se´rel meg magyara ´zatot tala ´lni, vajon a ko ¨nyvnek mely tulajdonsa ´gai indokolja ´k ezt a te´nyekkel ala ´ta ´masztott sikert. Matematikai ismeretterjeszte´s csak a matematika formalizmusa ´nak teljes vagy csaknem teljes mell˝ oze´se´vel, a logikai szigoru ´ sa ´g matematikai m˝ uvekben joggal megkı´va ´nt lazı´ta ´sa ´val, szemle´letes ke´pekkel valo ´ helyettesı´te´se´vel ve´gezhet˝ o hate´konyan; ene´lku ¨ l nem ismeretterjeszt˝ o m˝ u, hanem szakko ¨nyv jo ¨n le´tre, amelyet csak matematikusok, esetleg csak a matematika valamely sz˝ ukebb ´aga ´nak szake´rt˝ oi tudnak mege´rteni e´s me´lta ´nyolni. Aki valo´ban a nem matematikus (s˝ ot a hajlama ´na ´l, neveltete´se´ne´l fogva maga ´t a matematika ´to ´l ta ´vola ´llo ´nak e´rz˝ o, esetleg e´ppen a matematika ´val szemben elfogult) olvaso ´ sza ´ma ´ra ´r, ı annak mindezeket a matematikai irodalomban meg nem engedett lazasa ´gokat le´pten-nyomon alkalmaznia kell, de eko ¨zben nem szabad a matematikai gondolatokat meghamisı´tania.
8
Ja´te´k a ve´gtelennel
Ahhoz, hogy ez a toja ´sta ´nchoz hasonlı´thato ´ feladat sikeresen megvalo ´sı´thato ´ legyen, a szerz˝ onek mindazt, amir˝ ol ´r, ı a kutato ´ tudo ´s me´lyse´ge´ig kell ismernie. El˝ ofordul, hogy valaki, esetleg a legteljesebb jo ´hiszem˝ use´ggel, megkı´se´rli az olvasma ´nyaibo ´l megismert eredme´nyeket ko ¨zvetı´teni ane´lku ¨ l, hogy mindezeket az alkoto ´ tudo ´s azonosula ´sa ´nak szintje´ig maga ´e´va ´ tette volna, s ebb˝ ol o ´hatatlanul fe´lrevezet˝ o pontatlansa ´gok jo ¨nnek le´tre. Pe´ter Ro ´zsa ko ¨nyve´nek nagyszer˝ use´ge e´ppen abbo ´l ered, hogy o ˝ maga alkoto ´ matematikus volt, aki szerelme´nek ta ´rgya ´t (melyik igazi tudo ´s nem szerelmes az ´altala m˝ uvelt tudoma ´nyba?) kı´va ´nta (legala ´bbis a lehet˝ ose´ghez ke´pest) ismertte´ e´s vonzo ´va ´ tenni a kı´vu ¨ la ´llo ´k sza ´ma ´ra. Terme´szetesen az a ko ¨ru ¨ lme´ny, hogy Pe´ter Ro ´zsa a matematikai kutata ´s aktı´v m˝ uvel˝ oje volt, csak egyik szu ¨ kse´ges felte´tele az ele´rt eredme´nynek (nem minden alkoto ´ matematikus ke´pes ilyen magas szint˝ u ismeretterjeszte´sre), de mindenesetre alapvet˝ oen fontos, ne´lku ¨ lo ¨zhetetlen felte´tele a sikernek. Legyen szabad most egy kisse´ szubjektı´vnek lennem. A Ja´te´k a ve´gtelennel els˝ o kiada ´sa, tudjuk, 1945 nyara ´n jelent meg. ´n akkor, mint ke´s˝ E obbi felese´gemnek hadifogsa ´gbo ´l e´ppen hazate´rt friss v˝ olege´nye, megvettem e´s neki aja ´nlottam a ko ¨nyvet, amely azuta ´n kett˝ onk egyik kedvenc olvasma ´nya ´va ´ va ´lt. Belelapozva az els˝ o kiada ´sba, e´szrevettem egy apro ´ ku ¨ lo ¨nbse´get a ke´s˝ obbi kiada ´sokhoz ke´pest. Az els˝ o kiada ´sban a beve´ n nem aze´rt szeretem a matezete´s egyik mondata ´gy ı szo ´l: „E matika ´t, mert – ´gy ı mese´lte´k nekem – alkalmazni lehet a technika ´ban, hanem aze´rt, mert sze´p.” Ez a mondat a negyedik ´n nemcsak aze´rt szeretem (1969-es) kiada ´sban ´gy ı hangzik: „E a matematika ´t, mert alkalmazni lehet a technika ´ban, hanem f˝ oleg aze´rt, mert sze´p.” A szerz˝ o egye´bke´nt gondosan e´s matematikushoz ill˝ o pontossa ´ggal felsorolja az u ´ jabb kiada ´sokban mutatkozo ´ va ´ltoztata ´sokat, mert hiszen a ko ¨nyv a matematika legfrissebb eredme´nyeit is be akarja mutatni az olvaso ´nak, e´s ezek az u ´ jabb e´s u ´ jabb kiada ´sok ko ¨zo ¨tt is fejl˝ odtek, amit a szo ¨veg (terme´szetesen) figyelembe vett, a bevezete´snek ezt a kis mo ´dosı´ta ´sa ´t azonban nem emlı´ti. Ane´lku ¨ l, hogy ehhez a hu ´ sz e´vne´l re´gebben elhunyt szerz˝ o hozza ´ja ´rula ´sa ´t elnyerhetne´m, legyen szabad felte´teleznem, hogy Pe´ter Ro ´-
El˝oszo´ a hetedik kiada´shoz
9
zsa ´nak 1945 e´s 1969 ko ¨zo ¨tt bels˝ o viszonyula ´sa va ´ltozott meg a matematika alkalmaza ´saihoz; amit˝ ol 1945-ben me´g ta ´vol ´allt, azt 1969-ben ma ´r maga ´e´nak e´rezte, s˝ ot – mint a hala ´la el˝ ott keve´ssel megjelent, a matematikai logika ´nak a sza ´mı´to ´ge´ptudoma ´nyban valo ´ alkalmaza ´sairo ´l szo ´lo ´ monogra ´fia ´ja ´bo ´l kit˝ unik – alkoto ´an m˝ uvelte. Ebb˝ ol az apro ´ szo ¨vegva ´ltoztata ´sbo ´l, tala ´n nem tu ´ lozva, szeretne´k egy a matematika e´s a valo ´sa ´g viszonya ´nak (su ´ lyos filozo ´fiai ke´rde´seket felvet˝ o) proble´ma ´ja ´ig eljutni. A matematika ´nak sza ´mos (a re´gebbi sza ´zadokban szinte valamennyi) ke´rde´sko ¨re a mindennapi e´let vagy ma ´s tudoma ´nyok felvetette feladatok megolda ´sa ´nak sza ´nde´ka ´bo ´l eredt. El˝ ofordul azonban, hogy egy-egy matematikai ke´rde´s nem kı´vu ¨ lr˝ ol, hanem a matematika bels˝ o proble´ma ´ibo ´l fakadt,e´silyenkorhoszszu ´ ideig u ´ gy t˝ unt, hogy az e´lett˝ ol ta ´vol ´allo ´, alkalmaza ´sokhoz sohasem vezet˝ o, e´s eze´rt sokak re´sze´r˝ ol elutası´tott gondolatko ¨rr˝ ol, esetleg ege´sz elme´letr˝ ol van szo ´. Aki azonban ele´g tu ¨ relmes e´s ke´pes kell˝ o ideig va ´rni, mindig ra ´jo ¨n, hogy az e´lett˝ ol elrugaszkodottnak t˝ un˝ o matematikai elme´letek el˝ obb-uto ´bb megtala ´lja ´k alkalmaza ´sukat. ´Igy volt ez a Pe´ter Ro ´zsa ´to ´l els˝ osorban m˝ uvelt ke´rde´sko ¨rrel, a rekurzı´v fu ¨ ggve´nyek elme´lete´vel is, amely indula ´sakor puszta ´n a matematikai logika szempontja ´bo ´l la ´tszott e´rdekesnek, de alig ne´ha ´ny e´vtized eltelte´vel a sza ´mı´to ´ge´p-tudoma ´ny egyik fontos e´s hasznos fegyvere´ve´ va ´lt. A fejl˝ ode´snek ezt az ´alloma ´sa ´t me´g e´ppen mege´rte Pe´ter Ro ´zsa, s (tala ´n e´ppen eze´rt) to ¨ro ¨lte az „ı´gy mese´lte´k nekem” fe´lmondatot. Sok e´lvezetes percet kı´va ´nok az u ´ j kiada ´s olvaso ´inak. Budapest, 1999 ´aprilisa ´ban ´kos Csa´sza´r A
Bevezete´s
Eszembe jut egy re´gi besze´lgete´s. Egy ´ro ı ´nk, aki igen kedves emberem, panaszolta nekem, hogy hia ´nyosnak e´rzi m˝ uveltse´ge´t, mert nem tud matematika ´t. A saja ´t teru ¨ lete´n e´rzi ennek a hia ´nya ´t, ´ra ı ´s ko ¨zben. Mert pe´lda ´ul a koordina ´ta-rendszerre me´g emle´kszik az iskola ´s matematika ´bo ´l e´s ezt ma ´r ke´pben, ´ gy e´rzi, hogy me´g sok ilyen felhasonlatban is felhaszna ´lta. U haszna ´lhato ´ anyag van a matematika ´ban, e´s a kifejez˝ oke´pesse´ge szege´nyebb atto ´l, hogy nem merı´thet ebb˝ ol a gazdag forra ´sbo ´l. De mindez reme´nytelen panasz, mert abban bizonyos, hogy a matematika ´ba nem tudna behatolni. Ez a besze´lgete´s azo ´ta sokszor fele´ledt bennem, gondolatokat, terveket e´breszt˝ oen. Hogy itt tennivalo ´ van, azt az els˝ o pillanatra bela ´ttam, hiszen abban, amit a matematika az e´n sza ´momra jelent, mindig a hangulati elem volt a do ¨nt˝ o e´s ez bizonya ´ra ko ¨zo ¨s forra ´s, amib˝ ol az ´ro ı ´, a m˝ uve´sz is merı´thet. Eszembe jut egy pe´lda dia ´kkorombo ´l: To ¨bb egyetemi ta ´rsammal egyu ¨ tt Shaw egyik szı´nm˝ uve´t olvastuk. Ott tartottunk, ahol a h˝ os megke´rdezi a h˝ osn˝ ot: mi a titka, hogy tudja olyan jo ´l vezetni e´s megnyerni a legnehezebben kezelhet˝ o embereket is? A h˝ osn˝ o elgondolkozik: Tala ´n az a magyara ´zata ennek, hogy o ˝ valo ´ja ´ban egy kicsit ta ´vol van mindenkit˝ ol. Erre a felolvaso ´ ta ´rsn˝ om (Benk˝ o Ica) felkia ´lt: „Ez ugyanaz, mint a ma tanult matematikai te´tel!” A matematikai ke´rde´s ugyanis ez volt: lehet-e egy ponthalmazhoz egy kı´vu ¨ l fekv˝ o pontbo ´l u ´ gy ko ¨zeledni, hogy egyszerre valamennyi pontja ´hoz ko ¨zeledju ¨ nk? A felelet: Ennek az a felte´tele, hogy a kı´vu ¨ l fekv˝ o pont ele´g messze esse´k az ege´sz halmazto ´l:
12
Ja´te´k a ve´gtelennel
innen nem lehet, míg egyes pontokhoz közeledünk, a többitõl távolodunk;
innen már lehet.
Az ´ro ı ´ ma ´sik ´allı´ta ´sa ´t: hogy nem tudna behatolni a matematika ´ba, pe´lda ´ul sohasem tudna ´ mege´rteni a sokat emlegetett differencia ´lha ´nyados fogalma ´t, nem akartam elhinni. Megpro ´ba ´ltam sze´ttagolni e fogalom bevezete´se´t a lehet˝ o legegyszer˝ ubb, vila ´gos le´pe´sekre. A va ´lasz nagyon meglep˝ o volt: A matematikus el sem tudja ke´pzelni, hogy a laikusnak a legegyszer˝ ubb ke´plet is milyen nehe´zse´geket okozhat. Ahogyan a pedago ´gus sem e´rti, hogy lehet az, hogy a nebulo ´ ma ´r huszadszor silabiza ´lja, hogy b...a...b e´s me´g mindig nem la ´tja, hogy babro ´l van szo ´; itt pedig nem is babro ´l van szo ´. Ez isme´t nagyon elgondolkoztato ´ tapasztalat volt sza ´momra. Mindeddig azt hittem, hogy a ko ¨zo ¨nse´g matematikai ta ´je´kozatlansa ´ga ´nak az az oka, hogy senki sem ´rt ı jo ´ ne´pszer˝ u ko ¨nyvet, pe´lda ´ul a differencia ´lsza ´mı´ta ´sro ´l, a nagyko ¨zo ¨nse´g sza ´ma ´ra. Hiszen az e´rdekl˝ ode´s szemmel la ´thato ´an megvan, a ko ¨zo ¨nse´g valo ´sa ´ggal sze´tkapkodja, amit e nemben juttatnak neki, de hivata ´sos matematikus mindeddig nem ´rt ı ilyen ko ¨nyvet. Igazi szakemberre gondolok, aki pontosan tudja, hogy milyen me´rte´kben lehet leegyszer˝ usı´teni valamit ane´lku ¨ l, hogy ez hamisı´ta ´s volna, aki e´rt ahhoz, hogy ne a re´gi keser˝ u orvossa ´got adja be valami tetszet˝ os ta ´lala ´sban (hiszen az iskola ´s matematika a nagy to ¨bbse´gnek keser˝ u emle´ke), hanem maga ´t a le´nyeget tudja annyira megvila ´gı´tani, hogy ege´szen szembeszo ¨k˝ ove´ va ´lik, e´s aki maga is ismeri a matematikai alkota ´s o ¨ro ¨me´t, ez ad az ´ra ı ´sa ´nak olyan lendu ¨ letet, hogy az olvaso ´t is maga ´val ragadja. Most ma ´r kezdem azt hinni, hogy sokak sza ´ma ´ra me´g az igazi ne´pszer˝ u ko ¨nyv sem lesz hozza ´fe´rhet˝ o.
Bevezete´s
13
Tala ´n e´ppen ez a do ¨nt˝ o matematikustulajdonsa ´g: az u ´ t keserves volta ´nak va ´llala ´sa. „A matematika ´hoz nem vezet kira ´lyi u ´ t” – mondta Euklide´sz az e´rdekl˝ od˝ o uralkodo ´nak – ezt kira ´lyok sza ´ma ´ra sem lehet ke´nyelmesse´ tenni. Felu ¨ letesen nem lehet matematika ´t olvasni, a ke´nyszer˝ u absztrakcio ´ mindig bizonyos o ¨nkı´nza ´ssal ja ´r, e´s matematikus az, akinek ez az o ¨nkı´nza ´s o ¨ro ¨met okoz. Me´g a legjobb ne´pszer˝ u ko ¨nyvet is csak azok fogja ´k ko ¨vetni tudni, akik egy bizonyos fokig va ´llalja ´k ezt. Akik va ´llalja ´k a keserves silabiza ´la ´st mindaddig, mı´g a ke´plet e´rtelme meg nem vila ´gosodik el˝ ottu ¨ k. ´n nem ezek sza E ´ma ´ra ´rok ı most. Ke´plet ne´lku ¨ li matematika ´t ´rok, ı valamit abbo ´l a bizonyos ko ¨zo ¨s hangulati forra ´sbo ´l. Nem tudom, sikeru ¨ lhet-e ez a va ´llalkoza ´s. A ke´plettel a matematika egyik le´nyeges jegye´r˝ ol mondok le; hogy a forma a le´nyeghez tartozik, azt ´ro ı ´ e´s matematikus egyara ´nt tudja. Ke´pzelju ¨ k el, hogyan lehetne egy szonett hangulata ´t kifejezni a szonettforma ne´lku ¨ l. Me´gis meg akarom kı´se´relni: ha ´tha ´atmenthet˝ o ´gy ı is valami az igazi matematika szelleme´b˝ ol. Egy ko ¨nnyı´te´st nem ´ge ı ´rhetek: egy-egy fejezetet olvasatlanul ´atlapozni, ke´s˝ obbre halasztani, vagy csak felu ¨ letesen futni ´at: nem szabad. Matematika ´t csak te´gla ´nke´nt lehet fele´pı´teni: itt egyetlen szo ´ sem felesleges, minden ko ¨vetkez˝ o re´szlet az el˝ oz˝ ore e´pı´t, ha ez itt nem is annyira szembeszo ¨k˝ o, mint egy unalmasan szisztematiza ´lo ´ ko ¨nyvben. A keve´s utası´ta ´st is ko ¨vetni kell: igaza ´n ra ´ne´zni az ´abra ´ra, valo ´ban pro ´ba ´lgatni egy egyszer˝ u rajzot vagy sza ´mola ´st, ha itt-ott erre ke´rem az olvaso ´t. Viszont engesztele´su ¨ l megı´ge´rem, hogy nem lesz unalmas. Az iskola ´s matematika ´bo ´l semmit sem fogok felhaszna ´lni; a sza ´mla ´la ´ssal kezdem e´s el fogok jutni a matematika legmaibb ´aga ´ig: a matematikai logika ´ig.
