Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események
Valószínuségszámítás ˝ és valószínuségi ˝ paradoxonok
Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok
Csató Lehel
MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
Matematika és Informatika Tanszék, Babe¸s–Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár http://www.cs.ubbcluj.ro/~csatol
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli
2011 szeptember 6
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Klasszikus az, amit mindenki szeretett volna már elolvasni, de amit olvasni senki sem szeretne.
˝ Az eloadás céljai Valószínuség ˝ és paradoxonok
Alapfogalmak bemutatása;
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Alapfogalmak tisztázása;
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
Érdekes feladatok felsorolása;
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Matlab illusztrációk (ahol szükséges);
Tartalom Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
1
Bevezeto˝
2
Valószínuségi ˝ alapfogalmak
3
Paradoxonok
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Tartalom Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
1
Bevezeto˝
2
Valószínuségi ˝ alapfogalmak
3
Paradoxonok
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Definíciók Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝
Paradoxon Olyan meglepo˝ állítás, mely a „józan észnek” ellentmondani látszik.
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár
Paradoxonok szerepe: Megvilágítanak egy problémát, melyre megoldást kell javasolni. (tudománytörténet)
Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Bemutatják „józan” (lásd fentebb) példákon keresztül a formális gondolkodás hasznát. (oktatás)
Kérdések, melyekre kereshetjük a választ Valószínuség ˝ és paradoxonok
Van nyero˝ kombináció a lottón?
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝
Jó, ha kölcsönös ajándékozásnál sorsoljuk az ajándékozó személyt?
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték
Ha ismételten játszunk egy játékot, hogyan kell azt „optimálisan játszani”?
Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség
Helyes az a táblázat, melyben az átlagos életkor 26 év; ugyanakkor 50% a valószínusége ˝ annak, hogy valaki a 8. évet ne érje meg?
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Véletlen a számsorozat, amit látunk?
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Mit jelent a val. változók függetlensége? Mekkora valószínuséggel ˝ lesz egy húr adott hossznál nagyobb?
Dr. Tel Valószínuség ˝ és paradoxonok
(Pólya György)
A valószínuség ˝ nem garancia!
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Dr. Tel Betegvizsgálat után, hosszas fejrázás közben: - Önnek nagyon súlyos betegsége van; tíz közül csak egy beteg éli túl.
Dr. Tel Valószínuség ˝ és paradoxonok
(Pólya György)
A valószínuség ˝ nem garancia!
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Dr. Tel Betegvizsgálat után, hosszas fejrázás közben: - Önnek nagyon súlyos betegsége van; tíz közül csak egy beteg éli túl. majd nyugtatólag: - De nagy szerencséje van, hogy hozzám fordult! Eddig kilenc hasonló betegem volt és eddig mindenki belehalt . . .
Dr. Tel Valószínuség ˝ és paradoxonok
(Pólya György)
A valószínuség ˝ nem garancia!
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Dr. Tel Betegvizsgálat után, hosszas fejrázás közben: - Önnek nagyon súlyos betegsége van; tíz közül csak egy beteg éli túl. majd nyugtatólag: - De nagy szerencséje van, hogy hozzám fordult! Eddig kilenc hasonló betegem volt és eddig mindenki belehalt . . .
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Nem biztos, hogy helyesen értelmezett a valószínuség! ˝
Motiváció
Ajtók
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Váltsunk vagy ne? Televizióban „játszik” a musorvezet ˝ o˝ a „pácienssel”. Három ajtó van, az egyik mögött a nyeremény, a másik ketto˝ mögött nincs semmi. Miután a játékos választott egy ajtót, a musorvezet ˝ o˝ kinyit egy másikat, ahol nincs nyeremény, ˝ majd felajánlja a váltás lehetoségét.
Motiváció
Ajtók
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Váltsunk vagy ne? Televizióban „játszik” a musorvezet ˝ o˝ a „pácienssel”. Három ajtó van, az egyik mögött a nyeremény, a másik ketto˝ mögött nincs semmi. Miután a játékos választott egy ajtót, a musorvezet ˝ o˝ kinyit egy másikat, ahol nincs nyeremény, ˝ majd felajánlja a váltás lehetoségét.
Motiváció
Ajtók
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Váltsunk vagy ne? Televizióban „játszik” a musorvezet ˝ o˝ a „pácienssel”. Három ajtó van, az egyik mögött a nyeremény, a másik ketto˝ mögött nincs semmi. Miután a játékos választott egy ajtót, a musorvezet ˝ o˝ kinyit egy másikat, ahol nincs nyeremény, ˝ majd felajánlja a váltás lehetoségét.
Motiváció
Ajtók
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Váltsunk vagy ne? Televizióban „játszik” a musorvezet ˝ o˝ a „pácienssel”. Három ajtó van, az egyik mögött a nyeremény, a másik ketto˝ mögött nincs semmi. Miután a játékos választott egy ajtót, a musorvezet ˝ o˝ kinyit egy másikat, ahol nincs nyeremény, ˝ majd felajánlja a váltás lehetoségét.
Motiváció
Ajtók
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség
Váltsunk vagy ne? Televizióban „játszik” a musorvezet ˝ o˝ a „pácienssel”. Három ajtó van, az egyik mögött a nyeremény, a másik ketto˝ mögött nincs semmi. Miután a játékos választott egy ajtót, a musorvezet ˝ o˝ kinyit egy másikat, ahol nincs nyeremény, ˝ majd felajánlja a váltás lehetoségét. Kérdés, hogy a játékos váltson vagy ne. Vélemények:
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
úgysem tudja, hogy jó-e. Ne váltson! rosszabb nem lehet, tehát váltson! meg tudjuk vizsgálni?
Motiváció
Ajtók
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség
Váltsunk vagy ne? Televizióban „játszik” a musorvezet ˝ o˝ a „pácienssel”. Három ajtó van, az egyik mögött a nyeremény, a másik ketto˝ mögött nincs semmi. Miután a játékos választott egy ajtót, a musorvezet ˝ o˝ kinyit egy másikat, ahol nincs nyeremény, ˝ majd felajánlja a váltás lehetoségét. Kérdés, hogy a játékos váltson vagy ne. Vélemények:
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
úgysem tudja, hogy jó-e. Ne váltson! rosszabb nem lehet, tehát váltson! meg tudjuk vizsgálni?
Motiváció
Ajtók
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség
Váltsunk vagy ne? Televizióban „játszik” a musorvezet ˝ o˝ a „pácienssel”. Három ajtó van, az egyik mögött a nyeremény, a másik ketto˝ mögött nincs semmi. Miután a játékos választott egy ajtót, a musorvezet ˝ o˝ kinyit egy másikat, ahol nincs nyeremény, ˝ majd felajánlja a váltás lehetoségét. Kérdés, hogy a játékos váltson vagy ne. Vélemények:
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
úgysem tudja, hogy jó-e. Ne váltson! rosszabb nem lehet, tehát váltson! meg tudjuk vizsgálni?
Motiváció
Ajtók
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség
Váltsunk vagy ne? Televizióban „játszik” a musorvezet ˝ o˝ a „pácienssel”. Három ajtó van, az egyik mögött a nyeremény, a másik ketto˝ mögött nincs semmi. Miután a játékos választott egy ajtót, a musorvezet ˝ o˝ kinyit egy másikat, ahol nincs nyeremény, ˝ majd felajánlja a váltás lehetoségét. Kérdés, hogy a játékos váltson vagy ne. Vélemények:
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
úgysem tudja, hogy jó-e. Ne váltson! rosszabb nem lehet, tehát váltson! meg tudjuk vizsgálni?
Motiváció
Ajtók
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Váltsunk vagy ne? Televizióban „játszik” a musorvezet ˝ o˝ a „pácienssel”. Három ajtó van, az egyik mögött a nyeremény, a másik ketto˝ mögött nincs semmi. Miután a játékos választott egy ajtót, a musorvezet ˝ o˝ kinyit egy másikat, ahol nincs nyeremény, ˝ majd felajánlja a váltás lehetoségét.
Paradoxonok Lotto
Kérdés, hogy a játékos váltson vagy ne.
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Fontos a cselekvés sorrendje;
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás
A musorvezet ˝ o˝ mindig tud választani;
De Moivre
˝ Az ajtó kinyitásával eggyel kevesebb lehetoség marad; Ha váltunk, az esélyünk 2/3, ha nem, akkor marad az 1/3.
Motiváció
Ajtók
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Váltsunk vagy ne? Televizióban „játszik” a musorvezet ˝ o˝ a „pácienssel”. Három ajtó van, az egyik mögött a nyeremény, a másik ketto˝ mögött nincs semmi. Miután a játékos választott egy ajtót, a musorvezet ˝ o˝ kinyit egy másikat, ahol nincs nyeremény, ˝ majd felajánlja a váltás lehetoségét.
Paradoxonok Lotto
Kérdés, hogy a játékos váltson vagy ne.
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Fontos a cselekvés sorrendje;
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás
A musorvezet ˝ o˝ mindig tud választani;
De Moivre
˝ Az ajtó kinyitásával eggyel kevesebb lehetoség marad; Ha váltunk, az esélyünk 2/3, ha nem, akkor marad az 1/3.
Motiváció
Ajtók
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Váltsunk vagy ne? Televizióban „játszik” a musorvezet ˝ o˝ a „pácienssel”. Három ajtó van, az egyik mögött a nyeremény, a másik ketto˝ mögött nincs semmi. Miután a játékos választott egy ajtót, a musorvezet ˝ o˝ kinyit egy másikat, ahol nincs nyeremény, ˝ majd felajánlja a váltás lehetoségét.
Paradoxonok Lotto
Kérdés, hogy a játékos váltson vagy ne.
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Fontos a cselekvés sorrendje;
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás
A musorvezet ˝ o˝ mindig tud választani;
De Moivre
˝ Az ajtó kinyitásával eggyel kevesebb lehetoség marad; Ha váltunk, az esélyünk 2/3, ha nem, akkor marad az 1/3.
Motiváció
Ajtók
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Váltsunk vagy ne? Televizióban „játszik” a musorvezet ˝ o˝ a „pácienssel”. Három ajtó van, az egyik mögött a nyeremény, a másik ketto˝ mögött nincs semmi. Miután a játékos választott egy ajtót, a musorvezet ˝ o˝ kinyit egy másikat, ahol nincs nyeremény, ˝ majd felajánlja a váltás lehetoségét.
Paradoxonok Lotto
Kérdés, hogy a játékos váltson vagy ne.
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Fontos a cselekvés sorrendje;
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás
A musorvezet ˝ o˝ mindig tud választani;
De Moivre
˝ Az ajtó kinyitásával eggyel kevesebb lehetoség marad; Ha váltunk, az esélyünk 2/3, ha nem, akkor marad az 1/3.
Rab dilemmája
Mosteller’65
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Kérdezzen vagy ne? Három rabnak tudomására jut, hogy másnap ketten kegyelemmel szabadulnak. Az egyik rab megtudhatna egy nevet, aki rajta kívül szabadul.
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
A rab nem kérdi meg, ugyanis:
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
ha nem kérdezi meg, akkor 2/3 eséllyel szabadul; ellenben, ha megkérdi, akkor megtudja egy személynek a nevét, aki szabadulni fog, és mivel tudja, hogy vagy o˝ vagy egy másik társa a második, a szabadulásának az esélye 1/2-re csökken.
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Helyesen járt el?
Rab dilemmája
Mosteller’65
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Kérdezzen vagy ne? Három rabnak tudomására jut, hogy másnap ketten kegyelemmel szabadulnak. Az egyik rab megtudhatna egy nevet, aki rajta kívül szabadul.
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
A rab nem kérdi meg, ugyanis:
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
ha nem kérdezi meg, akkor 2/3 eséllyel szabadul; ellenben, ha megkérdi, akkor megtudja egy személynek a nevét, aki szabadulni fog, és mivel tudja, hogy vagy o˝ vagy egy másik társa a második, a szabadulásának az esélye 1/2-re csökken.
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Helyesen járt el? Miért nem?
Tartalom Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
1
Bevezeto˝
2
Valószínuségi ˝ alapfogalmak Eseménytér, események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
3
Paradoxonok
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Eseménytér Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Eseménytér
Ω
Egy véletlen kísérlet lehetséges eseményeinek összessége.
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Pl:
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
érme dobásánál Ω = {F, I},
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli
kocka dobásánál az Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
egy négyzetre leejtett tu˝ hegyének a koordinátái esetén: Ω = [0, 1] × [0, 1].
Ω
F
Események Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
Események
F
Az Ω eseménytér σ-algebráját eseményeknek nevezzük. σ-algebra: Ω ∈ F, ha A ∈ F, akkor A ∈ F, ha A, B ∈ F, akkor A ∪ B ∈ F, ha A1 , A2 , . . . ∈ F, akkor A1 ∪ A2 ∪ . . . ∈ F,
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
Megj: a fenti tulajdonságok a konzisztenciát biztosítják.
Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
biztos esemény: az összes lehetséges eseményt tartalmazó halmaz. lehetetlen esemény: az üres halmaz.
Ω ∅
Valószínuség ˝ Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
Valószínuség ˝
P
P
A P : F → R nemnegatív függvény valószínuségi ˝ eloszlás, ha
Bevezeto˝
P (Ω) = 1;
Valószínuség ˝
ha A ∩ B = ∅, akkor P (A ∪ B) = P (A) + P (B);
Események Valószínuségi ˝ változó
ha A1 , A2 , . . . egymást kölcsönösen kizáró események, akkor [ X P ( Ai ) = P (Ai )
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
i
Paradoxonok
i
Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás
Valószínuségi ˝ mezo˝
De Moivre
Az
(Ω, F, P )
˝ (Ω, F, P ) hármast valószínuségi ˝ mezonek nevezzük.
Valószínuségi ˝ változó Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
Valószínuségi ˝ változó
ξ
ξ
A ξ : Ω → R valószínuségi ˝ változó, ha
Bevezeto˝
{ξ < x} = {ω ∈ Ω | ξ(ω) < x} ∈ F
Valószínuség ˝ Események
∀x ∈ R
Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Eloszlásfüggvény
F
Az F (x) = P (ξ < x)
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
függvényt a ξ változó eloszlásfüggvényének nevezzük.
Valószínuségi ˝ modell Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝
Valószínuségi ˝ Modell Egy feladat leírásában teljes vagy részleges specifikációja egy véletlen eseménynek.
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Például: kockadobás modellje az X valószínuségi ˝ változó, mely 6 lehetséges értéket vehet fel; mindegyiket egyforma valószínuséggel: ˝ 1 2 3 4 5 6 X∼ 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Bertrand paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Mi a modell?
Bertrand Mi a valószínusége ˝ annak, hogy egy húr hosszabb, mint a körbe írt egyenlo˝ oldalú háromszög egyik oldala?
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték
Rögzítsük a húr végét
Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
˝ A lehetoségek tere a [0, π] intervallum, a hosszabb húroknak a „helye” a (π/3, 2π/3) intervallum:
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli
π/3 = 1/3 π
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Bertrand szerint a valószínuség ˝ nem egyértelmu, ˝ amennyiben a generáló mechanizmus nincs ˝ megfeleloen specifikálva.
Bertrand paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Mi a modell?
Bertrand Mi a valószínusége ˝ annak, hogy egy húr hosszabb, mint a körbe írt egyenlo˝ oldalú háromszög egyik oldala?
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték
Rögzítsük a húr végét
Rögzítsük a húr irányát
˝ A lehetoségek tere a [0, π] intervallum, a hosszabb húroknak a „helye” a (π/3, 2π/3) intervallum:
˝ A lehetoségek tere a [0, r] intervallum, a hosszabb húroknak a „helye” a (0, r/2) intervallum:
π/3 = 1/3 π
r/2 = 1/2 r
Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Bertrand szerint a valószínuség ˝ nem egyértelmu, ˝ amennyiben a generáló mechanizmus nincs ˝ megfeleloen specifikálva.
Bertrand paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Mi a modell?
Bertrand Mi a valószínusége ˝ annak, hogy egy húr hosszabb, mint a körbe írt egyenlo˝ oldalú háromszög egyik oldala?
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték
Rögzítsük a húr végét
Rögzítsük a húr irányát
Rögzítsük a húr közepét
˝ A lehetoségek tere a [0, π] intervallum, a hosszabb húroknak a „helye” a (π/3, 2π/3) intervallum:
˝ A lehetoségek tere a [0, r] intervallum, a hosszabb húroknak a „helye” a (0, r/2) intervallum:
˝ A lehetoségek tere a kör, a hosszabb húroknak a „helye” az r/2 sugarú kör:
π/3 = 1/3 π
r/2 = 1/2 r
Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli
π(r/2)2 = 1/4 πr2
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Bertrand szerint a valószínuség ˝ nem egyértelmu, ˝ amennyiben a generáló mechanizmus nincs ˝ megfeleloen specifikálva.
Bertrand paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Mi a modell?
Bertrand Mi a valószínusége ˝ annak, hogy egy húr hosszabb, mint a körbe írt egyenlo˝ oldalú háromszög egyik oldala?
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték
Rögzítsük a húr végét
Rögzítsük a húr irányát
Rögzítsük a húr közepét
˝ A lehetoségek tere a [0, π] intervallum, a hosszabb húroknak a „helye” a (π/3, 2π/3) intervallum:
˝ A lehetoségek tere a [0, r] intervallum, a hosszabb húroknak a „helye” a (0, r/2) intervallum:
˝ A lehetoségek tere a kör, a hosszabb húroknak a „helye” az r/2 sugarú kör:
π/3 = 1/3 π
r/2 = 1/2 r
Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli
π(r/2)2 = 1/4 πr2
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Bertrand szerint a valószínuség ˝ nem egyértelmu, ˝ amennyiben a generáló mechanizmus nincs ˝ megfeleloen specifikálva.
Bertrand paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Szimulálás I
Tekintsük a húr közepét majd vizsgáljuk meg a középpontok eloszlását a különbözo˝ modellek szerint.
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
1
Valószínuségi ˝ modell
A húr modell szerint:
˝ majd mintavételezzük az α ∈ [0, π] szöget, Rögzítjük az érintot, ekkor a középpont koordinátái:
Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
xc = −R · cos α · cos α
Paradoxonok
yc = R · cos α · sin α
Lotto
Az érinto˝ θ ∈ [0, 2π] szögét is választjuk; ez egy forgatást eredményez: x cos θ sin θ xc = · y − sin θ cos θ yc
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
2
Az irány modell szerint mintavételezzük a hosszat r ∈ [0, R] majd elforgatjuk θ ∈ [0, 2π] szöggel.
3
A középpont modell szerint mintavételezzük a középpontot.
Bertrand paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok
1
Csató Lehel Bevezeto˝
6
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell 11 Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok
16
Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
21
N = 5000000;
% a minták száma
%! a húr módszer alpha = rand(N,1)*pi; theta = rand(N,1)*2*pi; cTh = cos(theta); sTh = sin(theta); p = [-cos(alpha) sin(alpha)]; p = repmat(-p(:,1),[1,2]) .* p; % forgatás p1(:,1)= p(:,1).*cTh + p(:,2).*sTh; p1(:,2)=-p(:,1).*sTh + p(:,2).*cTh; %! az irány modell szerint p2(:,1) = alpha/pi; p2(:,2) = -p2(:,1).*sTh; p2(:,1) = p2(:,1).*cTh; %! a középpont modell szerint N2 = round(N * 4 / pi); % több kell p3 = (rand([N2,2])-.5)*2; ll = sum(p3.^2,2); ind = ll<1; p3 = p3(ind,:);
Szimuláció II A húr mintavételezéssel:
−1
−1 −0.5
−0.5 0
0 0.5
0.5 1
1
Bertrand paradoxon N = 5000000;
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
4
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
9
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok
14
MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
19
% a minták száma
%! a húr módszer alpha = rand(N,1)*pi; theta = rand(N,1)*2*pi; cTh = cos(theta); sTh = sin(theta); p = [-cos(alpha) sin(alpha)]; p = repmat(-p(:,1),[1,2]) .* p; % forgatás p1(:,1)= p(:,1).*cTh + p(:,2).*sTh; p1(:,2)=-p(:,1).*sTh + p(:,2).*cTh; %! az irány modell szerint p2(:,1) = alpha/pi; p2(:,2) = -p2(:,1).*sTh; p2(:,1) = p2(:,1).*cTh; %! a középpont modell szerint N2 = round(N * 4 / pi); % több kell p3 = (rand([N2,2])-.5)*2; ll = sum(p3.^2,2); ind = ll<1; p3 = p3(ind,:);
Szimuláció II Az irány mintavételezéssel:
−1
−0.5
0 −1 −0.5 0.5
0 0.5 1
1
Bertrand paradoxon N = 5000000;
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
4
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
9
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok
14
MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
19
% a minták száma
%! a húr módszer alpha = rand(N,1)*pi; theta = rand(N,1)*2*pi; cTh = cos(theta); sTh = sin(theta); p = [-cos(alpha) sin(alpha)]; p = repmat(-p(:,1),[1,2]) .* p; % forgatás p1(:,1)= p(:,1).*cTh + p(:,2).*sTh; p1(:,2)=-p(:,1).*sTh + p(:,2).*cTh; %! az irány modell szerint p2(:,1) = alpha/pi; p2(:,2) = -p2(:,1).*sTh; p2(:,1) = p2(:,1).*cTh; %! a középpont modell szerint N2 = round(N * 4 / pi); % több kell p3 = (rand([N2,2])-.5)*2; ll = sum(p3.^2,2); ind = ll<1; p3 = p3(ind,:);
Szimuláció II A középpont mintavételezéssel:
−1
−0.5
0 −1 −0.5 0.5
0 0.5 1
1
Bertrand paradoxon N = 5000000;
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
4
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
9
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok
14
MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
19
% a minták száma
%! a húr módszer alpha = rand(N,1)*pi; theta = rand(N,1)*2*pi; cTh = cos(theta); sTh = sin(theta); p = [-cos(alpha) sin(alpha)]; p = repmat(-p(:,1),[1,2]) .* p; % forgatás p1(:,1)= p(:,1).*cTh + p(:,2).*sTh; p1(:,2)=-p(:,1).*sTh + p(:,2).*cTh; %! az irány modell szerint p2(:,1) = alpha/pi; p2(:,2) = -p2(:,1).*sTh; p2(:,1) = p2(:,1).*cTh; %! a középpont modell szerint N2 = round(N * 4 / pi); % több kell p3 = (rand([N2,2])-.5)*2; ll = sum(p3.^2,2); ind = ll<1; p3 = p3(ind,:);
Szimuláció II A középpont mintavételezéssel:
−1
−0.5
0 −1 −0.5 0.5
0 0.5 1
1
Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Jaynes szerint Amennyiben nincs más információ, akkor azt a megoldást kellene elfogadni, mely a legkevésbé tünteti ki a különbözo˝ régiókat: ⇒ az egyenletes az elfogadott megoldás.
Várható érték Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Várható érték
(F.04)
E[ξ]
Ha a ξ valószínuségi ˝ változó értékeinek száma véges: {x1 , . . . , xd }, és pi = P (ξ = xi ) ∀i, akkor X E[ξ] = xi pi .
Valószínuségi ˝ modell
i
Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás
Szórás
D(ξ)
A D(ξ) = (ξ − E[ξ])2
1/2
De Moivre
mennyiség a ξ valószínuségi ˝ változó szórása.
Példa Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
Várható érték Határozzuk meg az
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell
(F.04)
0 F (x) = x 4 1
ha x < 0 ha 0 ≤ x < 4 ha x ≥ 4
valószínuségi ˝ változó várható értékét.
Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség
Megoldás: ( Az eloszlás sur ˝ uségfüggvénye: ˝ 1
Ajándékozás
4
f (x) =
Pétervár
0
Játékelmélet
ha 0 < x < 4 másképp
Halandóság Bernoulli
Az átlag tehát:
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Z E[x] = 0
4
4 x x2 dx = =2 4 8 0
Binomiális eloszlás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Binomiális eloszlás
(F.04)
ξ ∼ B(n, p)
Legyen A ∈ F . Végezzünk egy n hosszúságú Bernoulli kísérletsorozatot és legyen ξ az A esemény bekövetkeztének a száma. Ha p(A) = p és q = 1 − p, akkor ! n k n−k p(ξ = k) = p q k
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
Az eloszlás átlaga:
Függetlenség Ajándékozás Pétervár
E[ξ]
Játékelmélet
=
n X
kP (ξ = k) =
k=0
Halandóság
=
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás
n X
k
k=0
np
De Moivre
A szórás: D(ξ) =
√ npq
n! pk q n−k k!(n − k)!
Poisson eloszlás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események
Poisson eloszlás
(F.04)
ξ ∼ P oisson(λ)
A
λk k! eloszlással adott változót Poisson eloszlásnak nevezzük (λ > 0). P (ξ = k) = e−λ
Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok
Az eloszlás átlaga:
MATLAB
E[ξ]
Paradoxonok
=
∞ X
kP (ξ = k) =
∞ X
k e−λ
Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár
=
Játékelmélet Halandóság
k=0 ∞ X
λ
k=1
k=0
e−λ
k−1
λ (k − 1)!
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
A szórás: D(ξ) = E[ξ 2 ] − E 2 [ξ] = λ
λk k!
Egyenletes eloszlás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
(F.04)
ξ ∼ U (a, b)
Egyenletes eloszlás A
1 b−a 0
(
Bevezeto˝
P (ξ = k) =
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell
ha a < x < b másképp
eloszlással adott változót egyenletes eloszlásnak nevezzük.
Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Az eloszlás átlaga: E[ξ]
b
Z = a
Paradoxonok Lotto
=
Függetlenség Ajándékozás
b x x2 dx = b−a 2(b − a) a
b2 − a2 b+a = 2(b − a) 2
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
A szórása:
(b − a)2 12 Megj: az egyenletes eloszlás a véletlenszám-generátorok alapja. D(ξ) = E[ξ 2 ] − E 2 [ξ] =
(1)
Normális eloszlás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Normális eloszlás
(F.04)
ξ ∼ N (m, σ)
Legyen m ∈ R és σ > 0. A ξ normális eloszlású, ha sur ˝ uségfüggvénye ˝ 2 (x − m) 1 f (x) = √ exp − 2σ 2 2πσ
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség
Az eloszlás átlaga: E[ξ] = m
D(ξ) = σ
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Az eloszlás centrális szerepet játszik a modern valószínuségben. ˝ De Moivre (1738): „Merem állítani, hogy ez a legnehezebb probléma, amit fel lehet vetni a Véletlen Tudományában... (Sz.04)”
Paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝
(Sz.04)
Kockázás Két kocka esetén a 9 és a 10 is ugyanannyiszor írható fel. 9 = 6 + 3 = 4 + 5 illetve 10 = 6 + 4 = 5 + 5 Miért van az, hogy a 9 valószínusége ˝ mégis nagyobb, mint a tízé.
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok
Fontos az eseménytér meghatározása! 4
% kísérletek száma N = 50000000; % dobások kocka = ceil(6*rand(N,2));
9
osszeg= sum(kocka,2); % számolás kilenc= length(find(osszeg==9)); tiz = length(find(osszeg==10));
MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli
Tévedtek: Leibnitz d’Alembert
Eredmény:
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
kilenc: 5554431 tiz: 4163003
Osztozkodás paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Paccioli
Osztozkodás ˝ Két játékos játszik – ugyanolyan eséllyel. Az nyer, aki eloször nyer 6 játszmát. A játék félbemarad, amikor az elso˝ 5, a második 3 játszmát nyert. Mennyi a méltányos osztozkodás aránya? Modell
Osztozkodás paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Osztozkodás ˝ Két játékos játszik – ugyanolyan eséllyel. Az nyer, aki eloször nyer 6 játszmát. A játék félbemarad, amikor az elso˝ 5, a második 3 játszmát nyert. Mennyi a méltányos osztozkodás aránya? Modell
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Paccioli
Arab eredetu, ˝ már 1380-ban megjelent Itáliában. ˝ Eloször 1497-ben jelent meg Paccioli könyvében, a valószínuségi ˝ jelleg nélkül; A helyes megoldás nagyon soká született meg.
Osztozkodás paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Osztozkodás ˝ Két játékos játszik – ugyanolyan eséllyel. Az nyer, aki eloször nyer 6 játszmát. A játék félbemarad, amikor az elso˝ 5, a második 3 játszmát nyert. Mennyi a méltányos osztozkodás aránya? Modell
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Mit vizsgálunk?
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
5 : 3 állásnál legtöbb 3 játszma lesz; ˝ 1 a második játékos számára; 7 kedvezo˝ az elso;
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Paccioli
A méltányos arány tehát a 7/1 !
Osztozkodás paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Osztozkodás ˝ Két játékos játszik – ugyanolyan eséllyel. Az nyer, aki eloször nyer 6 játszmát. A játék félbemarad, amikor az elso˝ 5, a második 3 játszmát nyert. Mennyi a méltányos osztozkodás aránya? Modell
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Mit vizsgálunk?
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
5 : 3 állásnál legtöbb 3 játszma lesz; ˝ 1 a második játékos számára; 7 kedvezo˝ az elso;
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Paccioli
A méltányos arány tehát a 7/1 !
Osztozkodás paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Paccioli
Osztozkodás ˝ Két játékos játszik – ugyanolyan eséllyel. Az nyer, aki eloször nyer 6 játszmát. A játék félbemarad, amikor az elso˝ 5, a második 3 játszmát nyert. Mennyi a méltányos osztozkodás aránya? Modell
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Mit vizsgálunk?
A további lehetséges eseteket.
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
5 : 3 állásnál legtöbb 3 játszma lesz; ˝ 1 a második játékos számára; 7 kedvezo˝ az elso;
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
A méltányos arány tehát a 7/1 !
Osztozkodás paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Paccioli
Osztozkodás ˝ Két játékos játszik – ugyanolyan eséllyel. Az nyer, aki eloször nyer 6 játszmát. A játék félbemarad, amikor az elso˝ 5, a második 3 játszmát nyert. Mennyi a méltányos osztozkodás aránya? Modell
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Mit vizsgálunk?
A további lehetséges eseteket.
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
5 : 3 állásnál legtöbb 3 játszma lesz; ˝ 1 a második játékos számára; 7 kedvezo˝ az elso;
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
A méltányos arány tehát a 7/1 !
Osztozkodás paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Paccioli
Osztozkodás ˝ Két játékos játszik – ugyanolyan eséllyel. Az nyer, aki eloször nyer 6 játszmát. A játék félbemarad, amikor az elso˝ 5, a második 3 játszmát nyert. Mennyi a méltányos osztozkodás aránya? Modell
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Mit vizsgálunk?
A további lehetséges eseteket.
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
5 : 3 állásnál legtöbb 3 játszma lesz; ˝ 1 a második játékos számára; 7 kedvezo˝ az elso;
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
A méltányos arány tehát a 7/1 !
Osztozkodás paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Paccioli
Osztozkodás ˝ Két játékos játszik – ugyanolyan eséllyel. Az nyer, aki eloször nyer 6 játszmát. A játék félbemarad, amikor az elso˝ 5, a második 3 játszmát nyert. Mennyi a méltányos osztozkodás aránya? Modell
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Mit vizsgálunk?
A további lehetséges eseteket.
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
5 : 3 állásnál legtöbb 3 játszma lesz; ˝ 1 a második játékos számára; 7 kedvezo˝ az elso;
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
A méltányos arány tehát a 7/1 !
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Hatosok keresése
1 (F.07) P (Ahatos )
Mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy egy kocka kétszeri dobásánál legalább egy hatos van.
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség
Megoldás: Az elemi események az összes rendezett páros: (1, 1) (1, 2) · · · (2, 1) (2, 2) · · · 1 1 1 1 ··· ··· 36 36 36 36
··· ···
(6, 6)
1 36
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
˝ (1, 6), . . . , (5, 6), valamint az összes eset, ahol az Ezek közül kedvezo: elso˝ szám a hatos. Azaz: 1 11 P (Ahatos ) = 11 · = 36 36
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Adott összeg
2 (Sz.04) P (Aossz9 ),
P (Bossz10 )
Mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy két kocka dobásakor a számok összege 9? A számok összege 10?
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝
Adott összeg
2 (Sz.04) P (Aossz9 ),
P (Bossz10 )
Mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy két kocka dobásakor a számok összege 9? A számok összege 10?
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Megoldás: 9 = 6 + 3 = 5 + 4 = 4 + 5 = 3 + 6 ⇒ P (Aossz9 ) = 4/36 10 = 6 + 4 = 5 + 5 = 4 + 6 ⇒ P (Aossz10 ) = 3/36
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝
Adott összeg
2 (Sz.04) P (Aossz9 ),
P (Bossz10 )
Mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy két kocka dobásakor a számok összege 9? A számok összege 10?
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Megoldás: 9 = 6 + 3 = 5 + 4 = 4 + 5 = 3 + 6 ⇒ P (Aossz9 ) = 4/36 10 = 6 + 4 = 5 + 5 = 4 + 6 ⇒ P (Aossz10 ) = 3/36
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Adott összeg
P (Aossz9 ),
P (Bossz10 )
Mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy három kocka dobásakor a számok összege 9? És a számok összege 10?
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝
Adott összeg
2 (Sz.04) P (Aossz9 ),
P (Bossz10 )
Mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy két kocka dobásakor a számok összege 9? A számok összege 10?
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Megoldás: 9 = 6 + 3 = 5 + 4 = 4 + 5 = 3 + 6 ⇒ P (Aossz9 ) = 4/36 10 = 6 + 4 = 5 + 5 = 4 + 6 ⇒ P (Aossz10 ) = 3/36
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli
Adott összeg
P (Aossz9 ),
P (Bossz10 )
Mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy három kocka dobásakor a számok összege 9? És a számok összege 10?
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Megoldás: 9 = 6 + 2 + 1 = 6 + 1 + 2 = 5 + 3 + 1 = . . . ⇒ P (Aossz9 ) = 25/216 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 6 + 1 + 3 = . . . ⇒ P (Aossz9 ) = 27/216
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
3 (F.07)
Valószínuségek ˝ becslése Ádám és Éva azonos képességu˝ játékosok. Mekkora a valószínusége, ˝ hogy: ˝ pontosan hármat nyer? Ádám négy meccsbol ˝ pontosan ötöt nyer? Éva nyolc meccsbol
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
3 (F.07)
Valószínuségek ˝ becslése Ádám és Éva azonos képességu˝ játékosok. Mekkora a valószínusége, ˝ hogy: ˝ pontosan hármat nyer? Ádám négy meccsbol ˝ pontosan ötöt nyer? Éva nyolc meccsbol
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Megoldás: ˝ Ádám nyer (1) vagy veszít (0). Négy meccs 24 = 16 módon végzodhet. ˝ 4 kedvezo˝ Ádámnak: 1/4. Ebbol
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
3 (F.07)
Valószínuségek ˝ becslése Ádám és Éva azonos képességu˝ játékosok. Mekkora a valószínusége, ˝ hogy: ˝ pontosan hármat nyer? Ádám négy meccsbol ˝ pontosan ötöt nyer? Éva nyolc meccsbol
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár
Megoldás: ˝ Ádám nyer (1) vagy veszít (0). Négy meccs 24 = 16 módon végzodhet. ˝ 4 kedvezo˝ Ádámnak: 1/4. Ebbol
Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
˝ Éva nyer (1) vagy veszít (0). Nyolc meccs 28 módon végzodhet. ˝ V (8, 5) = 8 · 7 · 6/(1 · 2 · 3) kedvezo˝ Évának: 7/32 Ebbol
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
4 (KöMaL.04)
Valószínuségek ˝ becslése Balázs és Marci négy dobókocka feldobásával döntik el, ki sétáltatja a kutyát. Az egyszerre dobott kockák között ha van hatos, akkor Balázs, különben Marci sétáltatja a kutyát. Igazságos a módszer?
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események
4 (KöMaL.04)
Valószínuségek ˝ becslése Balázs és Marci négy dobókocka feldobásával döntik el, ki sétáltatja a kutyát. Az egyszerre dobott kockák között ha van hatos, akkor Balázs, különben Marci sétáltatja a kutyát. Igazságos a módszer?
Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
Megoldás: Négy kockában nincs hatos:
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
5555 = 0.4822 6666
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események
4 (KöMaL.04)
Valószínuségek ˝ becslése Balázs és Marci négy dobókocka feldobásával döntik el, ki sétáltatja a kutyát. Az egyszerre dobott kockák között ha van hatos, akkor Balázs, különben Marci sétáltatja a kutyát. Igazságos a módszer?
Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
Megoldás: Négy kockában nincs hatos:
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
5555 = 0.4822 6666
Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Tehát a módszer nem igazságos!
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Urnafeladat n golyót helyezünk véletlenszeruen ˝ n urnába. Mi a valószínusége ˝ annak, hogy pontosan 1 marad üresen?
5
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
5
Urnafeladat n golyót helyezünk véletlenszeruen ˝ n urnába. Mi a valószínusége ˝ annak, hogy pontosan 1 marad üresen?
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték
Megoldás: Minden urnába egy golyó: p(Amind ) =
n n−1 n n
···
1 n
=
n! nn
Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Kijelölünk egy üres urnát illetve egyet, melyben két golyó lesz: n(n − 1)
Paradoxonok Lotto Függetlenség
Kiválasztunk két golyót az n közül
Ajándékozás
n . 2
Pétervár Játékelmélet Halandóság
A maradék n − 2-t elhelyezzük az n − 2 urnába: (n − 2)!.
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
p(Amind−1 ) =
n(n − 1) ·
n(n−1) 2 nn
· (n − 2)!
=
(n − 1)! · (n − 1) 2 · nn−2
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
6 (KöMaL)
˝ Elso˝ elofordulás Három játékos társasjátékot kezd. Egymás után dobnak egyet egy ˝ dobókockával. Az kezd, aki elsoként dob hatost. ˝ egy-egy dobás után az Mekkora valószínuséggel ˝ lesznek kezdok ˝ egyes résztvevok? Mekkora annak a valószínusége, ˝ hogy nem tudják elkezdeni a játékot egy kör után?
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
˝ Számítsuk ki egyes résztvevokre annak a valószínuségét, ˝ hogy éppen o˝ kezdhet!
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Megoldás: Az elso˝ kezd: P (elso) = 1/6, a második kezd P (masod) = 5/6 · 1/6 = 5/36, a harmadik kezd P (harmad) = 5/6 · 5/6 · 1/6 = 25/216.
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok
6 (KöMaL)
Megoldás: (folyt) Egy kör után nem kezdenek:
Csató Lehel
P (nemelso) =
Bevezeto˝
5·5·5 = 0.5787 6·6·6
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Az elso˝ játékos kezdési valószínusége: ˝
Valószínuségi ˝ modell
1
Várható érték Példák eloszlásokra
1 6
Feladatok
2 1 6
·
5 3 6
1 6
·
3
! ...
2 5 3
...
6
MATLAB
Paradoxonok Lotto
A teljes valószínuség: ˝
Függetlenség
3 !k ∞ 1X 5 1 = · 6 6 6
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
k=0
Halandóság Bernoulli
1 3
1 − 53 6
=
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
A második
30 , 91
a harmadik
25 91
valószínuséggel ˝ kezd.
36 91
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Kituzött ˝
Sakktábla Helyezzünk el a sakktáblán találomra bástyákat (2 ≤ k ≤ 8). Mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy a bástyák nem ütik egymást.
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
Könyvek Egy könyvespolcról Pisti leszedte a könyveket, majd véletlenszeruen ˝ visszarakta mind a 25-öt. Mennyi a valószínusége ˝ annak, hogy a köztük levu˝ három idegen nyelvu˝ könyv egymás mellé került?
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Érmék Öt pénzérme feldobásakor mennyi a valószínusége, ˝ hogy pontosan három érmén a fej lesz felül?
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Négyes-ötös
Négyesek és ötösok a lottón ˝ Az ötös lottón 90 számból választanak 5-öt a szelvények kitöltoi. Hányszor nagyobb a valószínusége ˝ egy négytalálatos szelvénynek, mint az öttalálatosnak?
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝
Négyes-ötös
Négyesek és ötösok a lottón ˝ Az ötös lottón 90 számból választanak 5-öt a szelvények kitöltoi. Hányszor nagyobb a valószínusége ˝ egy négytalálatos szelvénynek, mint az öttalálatosnak?
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok
Megoldás: Ötösünk van, ha a 90 szám közül pont azt az ötöt húzzák: 1 ! = 0.000000022753 = 2.27 · 10−8 P (otos) = 90 5
Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Négyesünk van, ha egy szám hiányzik, ez pedig a maradék 85 szám valamelyike: ! ! 5 85 1 1 ! = 0.00000967 = 0.96 · 10−5 P (negyes) = 90 5 A ketto˝ aránya 425.
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Háromszög
Ropik Három egyenlo˝ hosszú ropiból véletlenszeruen ˝ kitörünk egy-egy darabot. A törési pontok kiválasztása egymástól független és egyenletes. mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy a maradékokból háromszöget lehet alkotni? mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy a maradékokból hegyesszögu˝ háromszöget lehet alkotni?
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Ropik Három egyenlo˝ hosszú ropiból véletlenszeruen ˝ kitörünk egy-egy darabot. A törési pontok kiválasztása egymástól független és egyenletes. mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy a maradékokból háromszöget lehet alkotni? mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy a maradékokból hegyesszögu˝ háromszöget lehet alkotni?
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Háromszög
Megoldás: l1 ≤ l2 ≤ l3 . A gúla térfogata 1/6. Háromszög akkor, ha l3 < l1 + l2 .
Feladat Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Háromszög
Ropik Három egyenlo˝ hosszú ropiból véletlenszeruen ˝ kitörünk egy-egy darabot. A törési pontok kiválasztása egymástól független és egyenletes. mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy a maradékokból háromszöget lehet alkotni? mekkora a valószínusége ˝ annak, hogy a maradékokból hegyesszögu˝ háromszöget lehet alkotni?
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás
Megoldás: l1 ≤ l2 ≤ l3 . A gúla térfogata 1/6. Háromszög akkor, ha l3 < l1 + l2 . Ki kell vonnunk egy gúlát, melynek térfogata 1/12. Az összes lehetséges eset és az elfogadható esetek aránya.
De Moivre
P (∆) =
1 2
Ropi ábra
Megoldás
Valószínuség ˝ és paradoxonok
`1
Csató Lehel
`1 < `2 < `3
O1
Bevezeto˝ Valószínuség ˝
A1
Események Valószínuségi ˝ változó
`1 + `2 > `3 C1
B1
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár
O
Játékelmélet Halandóság
A
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
C
`2
`3 B
Ropi ábra
Megoldás
Valószínuség ˝ és paradoxonok
`1
Csató Lehel
`1 < `2 < `3
O1
Bevezeto˝ Valószínuség ˝
A1
Események Valószínuségi ˝ változó
`1 + `2 > `3 C1
B1
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár
O
Játékelmélet Halandóság
A
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
C
`2
`3 B
Matlab segédfüggvények Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
A MATLAB programnyelv támogatja a mátrix-jelölést: ciklusok helyett „matematikusan”:
Bevezeto˝
C =A∗B
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
gyors prototípusok készítését: pl. nincsenek változó-kijelentések.
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
numerikus szimulációk írását,
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli
Valószínuségszámítási ˝ függvények: - rand(m,n) egy m × n-es mátrixot feltölt pszeudorandom számokkal;
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
- hist(X) egy mátrix(vektor) értékeinek gyakoriságát rajzolja ki;
Szimulációk Valószínuség ˝ és paradoxonok
Egy szimuláció teszteli a kigondolt elmélet helyességét.
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
˝ A szimulátor–program struktúrája a következo:
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
1
Változók meghatározása, a kísérletek számának a meghatározása.
2
for i ← 1 . . . N
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
szimuláld az i-edik kísérletet. vizsgáld meg az eredményt.
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli
3
end for
4
jelenítsd meg az eredményeket (elemzés).
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Tartalom Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
1
Bevezeto˝
2
Valószínuségi ˝ alapfogalmak
3
Paradoxonok Lottó paradoxona Függetlenség Ajándékozási paradoxon Pétervári paradoxon Játékelméleti paradoxon Halandósági paradoxon Bernoulli paradoxon ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre paradoxona
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Lottózás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események
Felmerülo˝ kérdések: létezik nyero˝ stratégia a lottón? létezik jó kombináció amit játszani érdemes? ha igen, melyek ezek
Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség
természetesen nincs nyero˝ stratégia, Jó kombináció ≡ ha nyerünk, mások ne legyenek a listán.
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Túl szabályos tippek: pl. „két egymás utáni szám”, egy ötszámjegyu˝ egymásutáni számsorozat, . . .
Lottózás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események
Felmerülo˝ kérdések: létezik nyero˝ stratégia a lottón? létezik jó kombináció amit játszani érdemes? ha igen, melyek ezek
Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség
természetesen nincs nyero˝ stratégia, Jó kombináció ≡ ha nyerünk, mások ne legyenek a listán.
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Túl szabályos tippek: pl. „két egymás utáni szám”, egy ötszámjegyu˝ egymásutáni számsorozat, . . .
Lottózás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események
Felmerülo˝ kérdések: létezik nyero˝ stratégia a lottón? létezik jó kombináció amit játszani érdemes? ha igen, melyek ezek
Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség
természetesen nincs nyero˝ stratégia, Jó kombináció ≡ ha nyerünk, mások ne legyenek a listán.
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Túl szabályos tippek: pl. „két egymás utáni szám”, egy ötszámjegyu˝ egymásutáni számsorozat, . . .
Lottózás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események
Felmerülo˝ kérdések: létezik nyero˝ stratégia a lottón? létezik jó kombináció amit játszani érdemes? ha igen, melyek ezek
Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség
természetesen nincs nyero˝ stratégia, Jó kombináció ≡ ha nyerünk, mások ne legyenek a listán.
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Túl szabályos tippek: pl. „két egymás utáni szám”, egy ötszámjegyu˝ egymásutáni számsorozat, . . .
Lottózás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
0000 0000 0000 1100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
0000 0000 0100 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0001 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0010 0000
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0010
0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000
0000 0000 0000 1000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0100 0010
0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
0000 1010 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0001 0000
0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000
0000 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0001 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000
0000 0000 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
0001 0101 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0001 0100 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0001 0000 0000 0000 0000 1001 0000 0000 1000 0000
Lottózás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
0000 0000 0000 1100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
0000
0000
0000
0000
0000
0000 0000 0000 0000 0000 Egymásutáni számok 0100 0000 0000 0000ritkák: 0000 0010 0000 0000 1000 0000 0001 0000 0000 0000 két egymásutáni szám:0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0001 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0010 0000
0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0010
0000 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000
0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0100 0010
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
0000 1010 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0001 0000
0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000
0000 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0001 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000
5·4 = 0.2222 90 · 89 három,négy egymásutáni szám: P2eu ≈ 89 ·
5·4·3 = 0.0075 88 · 89 · 90 ≈ 0.00017
P3eu ≈ 88 · P4eu
Nagy nyereségre számíthatunk ha nyerünk és „ritka” kombinációkat választunk.
0000 0000 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
0001 0101 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0001 0100 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0001 0000 0000 0000 0000 1001 0000 0000 1000 0000
Lottózás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
0000 0000 0000 1100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
0000
0000
0000
0000
0000
0000 0000 0000 0000 0000 Egymásutáni számok 0100 0000 0000 0000ritkák: 0000 0010 0000 0000 1000 0000 0001 0000 0000 0000 két egymásutáni szám:0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0001 0000 0000 0000 0000 0001 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0010 0000
0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0010
0000 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000
0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0100 0010
1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
0000 1010 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0001 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0001 0000
0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000
0000 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0000 0001 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0010 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000
5·4 = 0.2222 90 · 89 három,négy egymásutáni szám: P2eu ≈ 89 ·
5·4·3 = 0.0075 88 · 89 · 90 ≈ 0.00017
P3eu ≈ 88 · P4eu
Nagy nyereségre számíthatunk ha nyerünk és „ritka” kombinációkat választunk.
0000 0000 0001 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001
0001 0101 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0100 0000 0000 0000 0001 0100 0000 0000 0000 0000 1000 0000 0001 0000 0000 0000 0000 1001 0000 0000 1000 0000
MATLAB program Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel 1
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
6
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
11
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
16
% lotto paradoxon szimulacio % parameterek nL = 90; % az osszes szam nO = 5; % hanyat nH = 100000; % hany jatekot szimulalunk % generaljuk lOsszes = ceil(rand(nH,nO)*90); % rendezzuk NOVEKVO sorrendbe lOsszes = sort(lOsszes,2); % keressuk az egymasutani szamokat fMat = [1 -1]; % szuro matrix lSucc = filter(fMat,1,lOsszes,-100,2); lSucc = lSucc(:,2:end); % keressuk azon elemeket, ahol 1 a kulonbseg iTwo = find(lSucc==1); fprintf(’Ket elemhossz: %5.4f’,length(iTwo)/nH);
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
21
% nullazunk minden indexet, ami NEM egy. lInd=zeros(size(lSucc)); lInd(iTwo) = 1; fMat = [1 1]; % szuro matrix lThree = filter(fMat,1,lInd,-100,2); iThree = find(lThree==2); fprintf(’Harom elemhossz: %5.4f’,length(iThree)/nH);
Eredmények (100e): T# Ketto˝ Három 1 0.2238 0.0077 2 0.2226 0.0075 3 0.2203 0.0073 4 0.2232 0.0074 ...
Függetlenség paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események
Megfogalmazás: Két szabályos érme dobásánál jelölje A az „elso˝ dobás fej”; B a „második dobás fej”; C pedig azt, hogy a két dobás közül egy (és csak egy) fej.
Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
Ekkor: bármely két esemény független, ugyanakkor bármely ketto˝ meghatározza a harmadikat.
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Megjegyzés: A és B függetlenek, ha p(A, B) = p(A)p(B).
Függetlenség paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események
Megfogalmazás: Két szabályos érme dobásánál jelölje A az „elso˝ dobás fej”; B a „második dobás fej”; C pedig azt, hogy a két dobás közül egy (és csak egy) fej.
Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
Ekkor: bármely két esemény független, ugyanakkor bármely ketto˝ meghatározza a harmadikat.
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Megjegyzés: A és B függetlenek, ha p(A, B) = p(A)p(B).
Ajándékozási paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
Megfogalmazás: Egy társaság tagjai kölcsönösen meg akarják ajándékozni egymást. Az ajándékokat összegyujtik ˝ majd kisorsolják.
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxon: Lényegesen nagyobb annak az esélye, hogy lesz valaki, aki visszakapja ajándékát, mint annak, hogy nem kapja senki a saját ajándékát vissza.
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
˝ kedvezo˝ Összesen n! eset van. Ebbol
Pétervár
n
Játékelmélet Halandóság
0
Bernoulli
n! −
n n n (n − 1)! + . . . (−1) 0!, 1 n
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
ennek aránya pn = Sok kicsi sokra mehet!
1 1 1 1 n 1 − + − . . . (−1) → 2! 3! 4! n! e
Ajándékozási paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
Megfogalmazás: Egy társaság tagjai kölcsönösen meg akarják ajándékozni egymást. Az ajándékokat összegyujtik ˝ majd kisorsolják.
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxon: Lényegesen nagyobb annak az esélye, hogy lesz valaki, aki visszakapja ajándékát, mint annak, hogy nem kapja senki a saját ajándékát vissza.
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
˝ kedvezo˝ Összesen n! eset van. Ebbol
Pétervár
n
Játékelmélet Halandóság
0
Bernoulli
n! −
n n n (n − 1)! + . . . (−1) 0!, 1 n
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
ennek aránya pn = Sok kicsi sokra mehet!
1 1 1 1 n 1 − + − . . . (−1) → 2! 3! 4! n! e
Ajándékozási paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
Megfogalmazás: Egy társaság tagjai kölcsönösen meg akarják ajándékozni egymást. Az ajándékokat összegyujtik ˝ majd kisorsolják.
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxon: Lényegesen nagyobb annak az esélye, hogy lesz valaki, aki visszakapja ajándékát, mint annak, hogy nem kapja senki a saját ajándékát vissza.
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
˝ kedvezo˝ Összesen n! eset van. Ebbol
Pétervár
n
Játékelmélet Halandóság
0
Bernoulli
n! −
n n n (n − 1)! + . . . (−1) 0!, 1 n
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
ennek aránya pn = Sok kicsi sokra mehet!
1 1 1 1 n 1 − + − . . . (−1) → 2! 3! 4! n! e
Pétervári paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Megfogalmazás: Egy szabályos pénzérmével addig dobunk, amíg fejet nem kapunk. Ha az elso˝ fej, akkor kapunk 2 forintot, ha a második, akkor 4-et, . . . , ha az n-edik, akkor 2n forintot. Mennyi a játék értéke?
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
∞ Bármennyit fizetünk, várható értékben nyerünk!
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Az ismételt játék várható értéke
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
1 1 n 2 + ··· + n2 + ··· 2 2 sok kicsi sokra megy! (nem kicsik a mennyiségek ...)
Pétervári paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Megfogalmazás: Egy szabályos pénzérmével addig dobunk, amíg fejet nem kapunk. Ha az elso˝ fej, akkor kapunk 2 forintot, ha a második, akkor 4-et, . . . , ha az n-edik, akkor 2n forintot. Mennyi a játék értéke?
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
∞ Bármennyit fizetünk, várható értékben nyerünk!
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Az ismételt játék várható értéke
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
1 1 n 2 + ··· + n2 + ··· 2 2 sok kicsi sokra megy! (nem kicsik a mennyiségek ...)
Pétervári paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Megfogalmazás: Egy szabályos pénzérmével addig dobunk, amíg fejet nem kapunk. Ha az elso˝ fej, akkor kapunk 2 forintot, ha a második, akkor 4-et, . . . , ha az n-edik, akkor 2n forintot. Mennyi a játék értéke?
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
∞ Bármennyit fizetünk, várható értékben nyerünk!
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Az ismételt játék várható értéke
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
1 1 n 2 + ··· + n2 + ··· 2 2 sok kicsi sokra megy! (nem kicsik a mennyiségek ...)
MATLAB program Valószínuség ˝ és paradoxonok
I
Modellezési kérdések:
Csató Lehel
milyen gyakran mekkorát nyerünk? felso˝ korlát esetén mennyi a játék értéke?
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Modellezés:
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok
kiválasztjuk a sorozat hosszát; a szimulációk számát;
MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli
5
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
10
% szentpetervari paradoxon jHossz = 10000; mSzam = 10000; nyerek = zeros(mSzam,1); for ii=1:mSzam; % dobasok dobas = round(rand(jHossz,1)); % FEJ keresese indF = find(dobas==1); % NEM FEJ sorozatok hossza diff = [indF;1+jHossz]- [0;indF];
4
nyer = 2.^diff; % szamitjuk a nyereseget nyerek(ii)=sum(nyer); end; % hisztogramot iratunk hist(log10(nyerek),200)
Teszteredmények Valószínuség ˝ és paradoxonok
600
Csató Lehel
500
Bevezeto˝
Események
400
Gyakorisag
Valószínuség ˝
I
300
Valószínuségi ˝ változó 200
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
100
Feladatok MATLAB
0
5
5.5
Paradoxonok
6
6.5 log10(ny)
7
7.5
Lotto Függetlenség Ajándékozás
Hossz
Átlag
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
100 1.000 5.000 ⇒ 10.000 100.000 500.000
800 11.000 91.000 168.000 2.000.000 23.000.000
Átlagnyereség (Ny/dobás) 8 11 18.2 16.8 20.0 46.0
Max 524.288 2.097.152 16.777.216 134.217.728 1.073.741.824 137.000.000.000
8
Teszteredmények
I
20
Valószínuség ˝ és paradoxonok
18
Csató Lehel
16
14
Bevezeto˝
Események
Gyakorisag
12
Valószínuség ˝
10
Valószínuségi ˝ változó
8
Valószínuségi ˝ modell
6
Várható érték
4
Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
2
0
5
5.5
Paradoxonok
6
6.5 log10(ny)
7
7.5
Lotto Függetlenség Ajándékozás
Hossz
Átlag
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
100 1.000 5.000 ⇒ 10.000 100.000 500.000
800 11.000 91.000 168.000 2.000.000 23.000.000
Átlagnyereség (Ny/dobás) 8 11 18.2 16.8 20.0 46.0
Max 524.288 2.097.152 16.777.216 134.217.728 1.073.741.824 137.000.000.000
8
Teszteredmények Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
II
A gyakorlatban: a nyereménynek van egy felso˝ határa, ez maximálja a lehetséges nyereséget. (alább 223 ≈ 8m a felso˝ határ).
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Felso˝ korlát esetén:
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Hossz 100 1.000 5.000 10.000 100.000 500.000
Átlag 800 11.000 91.000 168.000 2.000.000 23.000.000
Ny/d. 8 11 18.2 16.8 20 46
Korláttal 800 11.000 60.000 117.000 1.200.000 6.000.000
Ny/d. 8 11 12 11.7 12 12
Vágás # 0 1 2 5 60 295
Játékelméleti paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok
Ketten játszanak: Q és R.
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝
Egy vagy két ujjat mutatnak fel;
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Páros ujj-szám esetén Q fizet R-nek, ellenkezo˝ esetben fordítva;
Feladatok MATLAB
Paradoxonok
annyit nyernek/veszítenek, ahány ujjat felmutattak.
Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Van véletlennél jobb stratégia
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás
IGEN, egyik játékos veszít!
De Moivre
Melyik?
I
Játékelméleti paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok
Ketten játszanak: Q és R.
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝
Egy vagy két ujjat mutatnak fel;
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Páros ujj-szám esetén Q fizet R-nek, ellenkezo˝ esetben fordítva;
Feladatok MATLAB
Paradoxonok
annyit nyernek/veszítenek, ahány ujjat felmutattak.
Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Van véletlennél jobb stratégia
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás
IGEN, egyik játékos veszít!
De Moivre
Melyik?
I
Játékelméleti paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok
Ismételt játékok esetén mi a nyero˝ stragégia?
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Nyereség/veszteség mátrix: Q.1 Q.2 R.1 2 −3 −3 4 R.2
rT M q = 2r1 q1 − 3r1 q2 − 3r2 q1 + 4r2 q2 Mindegyik játékos úgy játszik, hogy az eredmény ne függjön a másik játékostól (és tudva, hogy r2 = 1 − r1 , q2 = 1 − q1 ): (12r1 − 7)q1 + (4 − 7r1 ). R választása: 12r1 − 7 = 0. A megoldás:
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
r1 = 7/12, r2 = 5/12, q1 = 7/12, q2 = 5/12 Átlegnyereség-veszteség: −1/12
II
Halandósági paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
az élettartam matematikai vizsgálata Halley 1693; ˝ fejlodésnek; ˝ biztosításelmélet XVII. században indul jelentos életkor–táblázatok összeállítása; ˝ d’Alembert nevéhez kötodik:
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
Életkor Az átlagos életkor 26 év, mégis ugyanakkora az esélye annak, hogy valaki túléli a nyolc évet, mint annak, hogy nem.
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
˝ ami hasznos? van az átlagon kivül más jellemzo, ha csak az átlagot ismerjük, mennyit tudunk az adatokról?
Halandósági paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
az élettartam matematikai vizsgálata Halley 1693; ˝ fejlodésnek; ˝ biztosításelmélet XVII. században indul jelentos életkor–táblázatok összeállítása; ˝ d’Alembert nevéhez kötodik:
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
Életkor Az átlagos életkor 26 év, mégis ugyanakkora az esélye annak, hogy valaki túléli a nyolc évet, mint annak, hogy nem.
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
˝ ami hasznos? van az átlagon kivül más jellemzo, ha csak az átlagot ismerjük, mennyit tudunk az adatokról?
Halandósági paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
az élettartam matematikai vizsgálata Halley 1693; ˝ fejlodésnek; ˝ biztosításelmélet XVII. században indul jelentos életkor–táblázatok összeállítása; ˝ d’Alembert nevéhez kötodik:
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
Életkor Az átlagos életkor 26 év, mégis ugyanakkora az esélye annak, hogy valaki túléli a nyolc évet, mint annak, hogy nem.
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
˝ ami hasznos? van az átlagon kivül más jellemzo, ha csak az átlagot ismerjük, mennyit tudunk az adatokról?
Statisztikák Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Old Faithful gejzír
Statisztikák Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
Old Faithful gejzír Old Faithful 100
Bevezeto˝
90
Valószínuség ˝ Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Kitörések közötti idõ
Események
80
70
60
Paradoxonok Lotto Függetlenség
50
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
40 1.5
2
2.5
3
3.5 4 Kitörések hossza
4.5
5
5.5
Statisztikák Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
Old Faithful gejzír Old Faithful 100
Bevezeto˝
90
Valószínuség ˝ Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Kitörések közötti idõ
Események
80
70
60
Paradoxonok Lotto Függetlenség
50
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
40 1.5
2
2.5
Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
3
3.5 4 Kitörések hossza
A grafikon leírására ˝ az átlag jó jellemzo? más statisztika építése?
4.5
5
5.5
Statisztikák Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
Old Faithful gejzír Old Faithful 100
Bevezeto˝
90
Valószínuség ˝ Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Kitörések közötti idõ
Események
80
70
60
Paradoxonok Lotto Függetlenség
50
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
40 1.5
2
2.5
Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
3
3.5 4 Kitörések hossza
A grafikon leírására ˝ az átlag jó jellemzo? más statisztika építése?
4.5
5
5.5
Más statisztikai modell felállítása Valószínuség ˝ és paradoxonok
A következo˝ modell:
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
p(x) = π1 N (x|m1 , Σ1 ) + π2 N (x|m2 , Σ2 )
I
Más statisztikai modell felállítása Valószínuség ˝ és paradoxonok
A következo˝ modell:
Csató Lehel
p(x) = π1 N (x|m1 , Σ1 ) + π2 N (x|m2 , Σ2 )
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
A modell magyaráz csoportosulást
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás
melyben
De Moivre
a különbözo˝ csoportokhoz tartozó pontok arányai π1 illetve π2 , a csoportok leírhatók egy-egy Gaussz-eloszlással, ellenben nem tudjuk, melyik csoportba is tartozik egy-egy pont.
I
Más statisztikai modell felállítása Valószínuség ˝ és paradoxonok
A következo˝ modell:
Csató Lehel
p(x) = π1 N (x|m1 , Σ1 ) + π2 N (x|m2 , Σ2 )
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
A modell magyaráz csoportosulást
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás
melyben
De Moivre
a különbözo˝ csoportokhoz tartozó pontok arányai π1 illetve π2 , a csoportok leírhatók egy-egy Gaussz-eloszlással, ellenben nem tudjuk, melyik csoportba is tartozik egy-egy pont.
I
Más statisztika felállítása
II
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
Statisztikák:
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
π1 , π2 a csoportok aránya; m1 , m2 a csoportok középpontja;
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
Σ1 , Σ2 a csoportok szórásmátrixa;
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Nehéz feladat a pontok hovatartozásának a megállapítása. „Expectation-Maximisation”
Nagy számok paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok
Bernoulli – Ars conjectandi, 1713
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell
sokszori dobás esetén, az írás/fej arány egyhez tart szabályos érme esetén; a dobások függetlenek;
Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
100 „írás” dobása után is 50% az írás valószínusége ˝ Bármennyi sok „fej” dobás esetén, a következo˝ dobás 1/2 valószínuséggel ˝ lesz „fej”.
I
Nagy számok paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok
Bernoulli – Ars conjectandi, 1713
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell
sokszori dobás esetén, az írás/fej arány egyhez tart szabályos érme esetén; a dobások függetlenek;
Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
100 „írás” dobása után is 50% az írás valószínusége ˝ Bármennyi sok „fej” dobás esetén, a következo˝ dobás 1/2 valószínuséggel ˝ lesz „fej”.
Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
nem valószínu˝ a hosszú sorozat, ellenben a pénzérmének nincs emlékezete, tehát nem a „múlt” alapján dönt.
I
Nagy számok paradoxona Valószínuség ˝ és paradoxonok
Bernoulli – Ars conjectandi, 1713
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell
sokszori dobás esetén, az írás/fej arány egyhez tart szabályos érme esetén; a dobások függetlenek;
Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
100 „írás” dobása után is 50% az írás valószínusége ˝ Bármennyi sok „fej” dobás esetén, a következo˝ dobás 1/2 valószínuséggel ˝ lesz „fej”.
Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
nem (?) valószínu˝ a hosszú sorozat, ellenben a pénzérmének nincs emlékezete, tehát nem a „múlt” alapján dönt.
I
Sorozatok hossza Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
4
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell
9
Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB 14
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
19
%% BINÁRIS SZÁMSOROZATOK HOSSZA nRun = 500000; nN = [10 100 1000]; %% futási változók nBin = floor(5+ 2.5*log2(nN(end))); vBins = zeros(length(nN),nBin); bins = 1:nBin; bb = 1; %% kísérletek for iSize=nN; for ii=1:nRun; ossSor = 2*round(rand(1,iSize))-1; ossSor(:,iSize+1) = - ossSor(:,iSize); valt = ossSor(:,2:end)-ossSor(:,1:(end-1)); valt = abs(valt)/2; indF = find(valt==1); hossz = indF - [0 indF(1:end-1)]; [bBin,bins] = hist(hossz,bins); vBins(bb,:) = vBins(bb,:) + bBin; end; bb=bb+1; end;
MATLAB
3
%% kirajzolas clf; hold on; box on; semilogy(bins,vBins’); xlabel(’Hossz’); ylabel(’Hanyszor’); ylim([0 100]);
Sorozatok hossza Valószínuség ˝ és paradoxonok
5
x 10
MATLAB szimuláció: 15
Szimuláció
Hossz 10 hosszusagu sorozatoknal
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események
10
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Gyakorisag
Valószínuségi ˝ változó
Feladatok MATLAB
5
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli
0
1
2
3
4
5
6 Hossz
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Gyakoriság és hossz közötti kapcsolat
7
8
9
10
Sorozatok hossza Valószínuség ˝ és paradoxonok
Szimuláció
Alsorozatainak gyakorisága − 10m futtatás
MATLAB szimuláció:
Csató Lehel
10 hosszúságú 100 hosszúságú 1000 hosszúságú
2
10
Bevezeto˝ Valószínuség ˝
0
10
Események
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Gyakorisag
Valószínuségi ˝ változó −2
10
−4
10
Paradoxonok Lotto Függetlenség
−6
10
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli
−8
10
0
5
10
15
Hossz
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Gyakoriság és hossz közötti kapcsolat
20
25
30
35
Sorozatok hossza Valószínuség ˝ és paradoxonok
Szimuláció
Alsorozatainak gyakorisága − 10m futtatás
MATLAB szimuláció:
Csató Lehel
10 hosszúságú 100 hosszúságú 1000 hosszúságú
2
10
Bevezeto˝ Valószínuség ˝
0
10
Események
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Gyakorisag
Valószínuségi ˝ változó −2
10
−4
10
Paradoxonok Lotto Függetlenség
−6
10
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli
−8
10
0
5
10
15
Hossz
20
25
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Gyakoriság és hossz közötti kapcsolat Egy adott hossz valószínusége: ˝ p(h) ≈ c exp (−k h)
30
35
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok
˝ Elso˝ elofordulás I
Megfogalmazás:
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Szabályos pénzérmét addig dobunk, amíg F F vagy F I nem jön ki. A sorozatok ugyanolyan valószínuek. ˝
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok
˝ Elso˝ elofordulás I
Megfogalmazás:
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Szabályos pénzérmét addig dobunk, amíg F F vagy F I nem jön ki. A sorozatok ugyanolyan valószínuek. ˝
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Annak a valószínusége, ˝ hogy az F F hamarabb jön ki mint az F I egyenlo˝ 50%-kal, ugyanis ha fejet dobtunk, akkor 50% a valószínusége ˝ annak, hogy a következo˝ dobás fej lesz. Ez a valószínuség ˝ megegyezik az íráséval.
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok
˝ Elso˝ elofordulás I
Megfogalmazás:
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Szabályos pénzérmét addig dobunk, amíg F F vagy F I nem jön ki. A sorozatok ugyanolyan valószínuek. ˝
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
Annak a valószínusége, ˝ hogy az F F hamarabb jön ki mint az F I egyenlo˝ 50%-kal, ugyanis ha fejet dobtunk, akkor 50% a valószínusége ˝ annak, hogy a következo˝ dobás fej lesz. Ez a valószínuség ˝ megegyezik az íráséval.
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Mégis
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
˝ Az elso˝ elofordulásig tartó sorozat hossza nem ugyanaz.
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok
˝ Elso˝ elofordulás I
Megfogalmazás:
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó
Szabályos pénzérmét addig dobunk, amíg F F vagy F I nem jön ki. A sorozatok ugyanolyan valószínuek. ˝
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
Annak a valószínusége, ˝ hogy az F F hamarabb jön ki mint az F I egyenlo˝ 50%-kal, ugyanis ha fejet dobtunk, akkor 50% a valószínusége ˝ annak, hogy a következo˝ dobás fej lesz. Ez a valószínuség ˝ megegyezik az íráséval.
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság
Mégis
Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
˝ Az elso˝ elofordulásig tartó sorozat hossza nem ugyanaz. Az F F -hez átlagosan 6 dobás kell, az F I-hez 4. Hogyan?
˝ Elso˝ elofordulás II
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
NEM azonos eseményeket keresünk: FI esetén
Bevezeto˝
+−
Valószínuség ˝
2 1 22
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
−+− ++−
− − +− − + +− + + +−
3
4
2 23
3 24
− − − + − − − + + − − + + + − + + + + − 5 4 25
Feladatok MATLAB
˝ Az elso˝ elofordulás átlagos hossza:
Paradoxonok
∞ X
Lotto Függetlenség
FF esetén ++ −++ 2
− − ++ + − ++
−−−++ −+−++ +−−++
4
5
3
2n
n=2
= 4
M+
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - a fejjel kezdod
M−
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - az írással kezdod
M−
=
1+
M+
=
1+
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
Kiszámítása:
Halandóság
1
Bernoulli
=
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
1
1−x !00 =
1−x
xx
∞ X
M− + M+ 2 1 + M− 2
1
n n=1 x ∞ n(n − 1) X n=2
6
Rekurrencia relációk felállítása:
n−1 n
− − − − ++ − − + − ++ − + − − ++ + − − − ++ + − + − ++
xn−2
Az egyenletrendszer megoldása: M+ = 5 és M− = 7. Ahonnan: M+ + M− 2
= 6
˝ Elso˝ elofordulás II
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
NEM azonos eseményeket keresünk: FI esetén
Bevezeto˝
+−
Valószínuség ˝
2 1 22
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
−+− ++−
− − +− − + +− + + +−
3
4
2 23
3 24
− − − + − − − + + − − + + + − + + + + − 5 4 25
Feladatok MATLAB
˝ Az elso˝ elofordulás átlagos hossza:
Paradoxonok
∞ X
Lotto Függetlenség
FF esetén ++ −++ 2
− − ++ + − ++
−−−++ −+−++ +−−++
4
5
3
2n
n=2
= 4
M+
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - a fejjel kezdod
M−
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - az írással kezdod
M−
=
1+
M+
=
1+
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
Kiszámítása:
Halandóság
1
Bernoulli
=
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
1
1−x !00 =
1−x
xx
∞ X
M− + M+ 2 1 + M− 2
1
n n=1 x ∞ n(n − 1) X n=2
6
Rekurrencia relációk felállítása:
n−1 n
− − − − ++ − − + − ++ − + − − ++ + − − − ++ + − + − ++
xn−2
Az egyenletrendszer megoldása: M+ = 5 és M− = 7. Ahonnan: M+ + M− 2
= 6
˝ Elso˝ elofordulás II
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
NEM azonos eseményeket keresünk: FI esetén
Bevezeto˝
+−
Valószínuség ˝
2 1 22
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
−+− ++−
− − +− − + +− + + +−
3
4
2 23
3 24
− − − + − − − + + − − + + + − + + + + − 5 4 25
Feladatok MATLAB
˝ Az elso˝ elofordulás átlagos hossza:
Paradoxonok
∞ X
Lotto Függetlenség
FF esetén ++ −++ 2
− − ++ + − ++
−−−++ −+−++ +−−++
4
5
3
2n
n=2
= 4
M+
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - a fejjel kezdod
M−
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - az írással kezdod
M−
=
1+
M+
=
1+
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
Kiszámítása:
Halandóság
1
Bernoulli
=
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
1
1−x !00 =
1−x
xx
∞ X
M− + M+ 2 1 + M− 2
1
n n=1 x ∞ n(n − 1) X n=2
6
Rekurrencia relációk felállítása:
n−1 n
− − − − ++ − − + − ++ − + − − ++ + − − − ++ + − + − ++
xn−2
Az egyenletrendszer megoldása: M+ = 5 és M− = 7. Ahonnan: M+ + M− 2
= 6
˝ Elso˝ elofordulás II
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
NEM azonos eseményeket keresünk: FI esetén
Bevezeto˝
+−
Valószínuség ˝
2 1 22
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
−+− ++−
− − +− − + +− + + +−
3
4
2 23
3 24
− − − + − − − + + − − + + + − + + + + − 5 4 25
Feladatok MATLAB
˝ Az elso˝ elofordulás átlagos hossza:
Paradoxonok
∞ X
Lotto Függetlenség
FF esetén ++ −++ 2
− − ++ + − ++
−−−++ −+−++ +−−++
4
5
3
2n
n=2
= 4
M+
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - a fejjel kezdod
M−
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - az írással kezdod
M−
=
1+
M+
=
1+
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
Kiszámítása:
Halandóság
1
Bernoulli
=
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
1
1−x !00 =
1−x
xx
∞ X
M− + M+ 2 1 + M− 2
1
n n=1 x ∞ n(n − 1) X n=2
6
Rekurrencia relációk felállítása:
n−1 n
− − − − ++ − − + − ++ − + − − ++ + − − − ++ + − + − ++
xn−2
Az egyenletrendszer megoldása: M+ = 5 és M− = 7. Ahonnan: M+ + M− 2
= 6
˝ Elso˝ elofordulás II
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
NEM azonos eseményeket keresünk: FI esetén
Bevezeto˝
+−
Valószínuség ˝
2 1 22
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
−+− ++−
− − +− − + +− + + +−
3
4
2 23
3 24
− − − + − − − + + − − + + + − + + + + − 5 4 25
Feladatok MATLAB
˝ Az elso˝ elofordulás átlagos hossza:
Paradoxonok
∞ X
Lotto Függetlenség
FF esetén ++ −++ 2
− − ++ + − ++
−−−++ −+−++ +−−++
4
5
3
2n
n=2
= 4
M+
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - a fejjel kezdod
M−
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - az írással kezdod
M−
=
1+
M+
=
1+
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
Kiszámítása:
Halandóság
1
Bernoulli
=
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
1
1−x !00 =
1−x
xx
∞ X
M− + M+ 2 1 + M− 2
1
n n=1 x ∞ n(n − 1) X n=2
6
Rekurrencia relációk felállítása:
n−1 n
− − − − ++ − − + − ++ − + − − ++ + − − − ++ + − + − ++
xn−2
Az egyenletrendszer megoldása: M+ = 5 és M− = 7. Ahonnan: M+ + M− 2
= 6
˝ Elso˝ elofordulás II
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
NEM azonos eseményeket keresünk: FI esetén
Bevezeto˝
+−
Valószínuség ˝
2 1 22
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
−+− ++−
− − +− − + +− + + +−
3
4
2 23
3 24
− − − + − − − + + − − + + + − + + + + − 5 4 25
Feladatok MATLAB
˝ Az elso˝ elofordulás átlagos hossza:
Paradoxonok
∞ X
Lotto Függetlenség
FF esetén ++ −++ 2
− − ++ + − ++
−−−++ −+−++ +−−++
4
5
3
2n
n=2
= 4
M+
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - a fejjel kezdod
M−
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - az írással kezdod
M−
=
1+
M+
=
1+
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
Kiszámítása:
Halandóság
1
Bernoulli
=
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
1
1−x !00 =
1−x
xx
∞ X
M− + M+ 2 1 + M− 2
1
n n=1 x ∞ n(n − 1) X n=2
6
Rekurrencia relációk felállítása:
n−1 n
− − − − ++ − − + − ++ − + − − ++ + − − − ++ + − + − ++
xn−2
Az egyenletrendszer megoldása: M+ = 5 és M− = 7. Ahonnan: M+ + M− 2
= 6
˝ Elso˝ elofordulás II
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
NEM azonos eseményeket keresünk: FI esetén
Bevezeto˝
+−
Valószínuség ˝
2 1 22
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
−+− ++−
− − +− − + +− + + +−
3
4
2 23
3 24
− − − + − − − + + − − + + + − + + + + − 5 4 25
Feladatok MATLAB
˝ Az elso˝ elofordulás átlagos hossza:
Paradoxonok
∞ X
Lotto Függetlenség
FF esetén ++ −++ 2
− − ++ + − ++
−−−++ −+−++ +−−++
4
5
3
2n
n=2
= 4
M+
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - a fejjel kezdod
M−
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - az írással kezdod
M−
=
1+
M+
=
1+
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
Kiszámítása:
Halandóság
1
Bernoulli
=
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
1
1−x !00 =
1−x
xx
∞ X
M− + M+ 2 1 + M− 2
1
n n=1 x ∞ n(n − 1) X n=2
6
Rekurrencia relációk felállítása:
n−1 n
− − − − ++ − − + − ++ − + − − ++ + − − − ++ + − + − ++
xn−2
Az egyenletrendszer megoldása: M+ = 5 és M− = 7. Ahonnan: M+ + M− 2
= 6
˝ Elso˝ elofordulás II
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
NEM azonos eseményeket keresünk: FI esetén
Bevezeto˝
+−
Valószínuség ˝
2 1 22
Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
−+− ++−
− − +− − + +− + + +−
3
4
2 23
3 24
− − − + − − − + + − − + + + − + + + + − 5 4 25
Feladatok MATLAB
˝ Az elso˝ elofordulás átlagos hossza:
Paradoxonok
∞ X
Lotto Függetlenség
FF esetén ++ −++ 2
− − ++ + − ++
−−−++ −+−++ +−−++
4
5
3
2n
n=2
= 4
M+
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - a fejjel kezdod
M−
˝ o˝ sorozatok átlaghossza; - az írással kezdod
M−
=
1+
M+
=
1+
Ajándékozás Pétervár Játékelmélet
Kiszámítása:
Halandóság
1
Bernoulli
=
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
1
1−x !00 =
1−x
xx
∞ X
M− + M+ 2 1 + M− 2
1
n n=1 x ∞ n(n − 1) X n=2
6
Rekurrencia relációk felállítása:
n−1 n
− − − − ++ − − + − ++ − + − − ++ + − − − ++ + − + − ++
xn−2
Az egyenletrendszer megoldása: M+ = 5 és M− = 7. Ahonnan: M+ + M− 2
= 6
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
˝ Korábbi elofordulás
Megfogalmazás: Szabályos pénzérmét átlagosan legalább 8-szor dobunk ahhoz, hogy az +,− sorozat valamely háromtagú permutációját kapjuk.
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Az egyéni valószínuségek ˝ nem egyformák ˝ Az + + −, − + +, − − +, + − − kombinációk a legkedvezobbek.
˝ Korábbi elofordulás
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Megfogalmazás: Szabályos pénzérmét átlagosan legalább 8-szor dobunk ahhoz, hogy az +,− sorozat valamely háromtagú permutációját kapjuk.
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Az egyéni valószínuségek ˝ nem egyformák ˝ Az + + −, − + +, − − +, + − − kombinációk a legkedvezobbek.
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
Példa: vizsgáljuk meg, hogy az + + − és az − + + sorozatok közül melyik ˝ elofordulása valószínubb ˝ korábban.
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
++− 1 23
+ + +− 1 24
++++− 1 25
+ + + + +− 1 26
... ...
!
˝ (egy − mindig van; a + + −-t pedig mindenképp megelozi ˝ egy − + +). Az összes többi esetben a − + + fordul elo˝ elobb
˝ Korábbi elofordulás
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Megfogalmazás: Szabályos pénzérmét átlagosan legalább 8-szor dobunk ahhoz, hogy az +,− sorozat valamely háromtagú permutációját kapjuk.
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Az egyéni valószínuségek ˝ nem egyformák ˝ Az + + −, − + +, − − +, + − − kombinációk a legkedvezobbek.
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
Példa: vizsgáljuk meg, hogy az + + − és az − + + sorozatok közül melyik ˝ elofordulása valószínubb ˝ korábban. Mi az eseménytér?
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
++− 1 23
+ + +− 1 24
++++− 1 25
+ + + + +− 1 26
... ...
!
˝ (egy − mindig van; a + + −-t pedig mindenképp megelozi ˝ egy − + +). Az összes többi esetben a − + + fordul elo˝ elobb
˝ Korábbi elofordulás
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Megfogalmazás: Szabályos pénzérmét átlagosan legalább 8-szor dobunk ahhoz, hogy az +,− sorozat valamely háromtagú permutációját kapjuk.
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Az egyéni valószínuségek ˝ nem egyformák ˝ Az + + −, − + +, − − +, + − − kombinációk a legkedvezobbek.
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
Példa: vizsgáljuk meg, hogy az + + − és az − + + sorozatok közül melyik ˝ elofordulása valószínubb ˝ korábban. Mi az eseménytér?
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
++− 1 23
+ + +− 1 24
++++− 1 25
+ + + + +− 1 26
... ...
!
˝ (egy − mindig van; a + + −-t pedig mindenképp megelozi ˝ egy − + +). Az összes többi esetben a − + + fordul elo˝ elobb
˝ Korábbi elofordulás
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Megfogalmazás: Szabályos pénzérmét átlagosan legalább 8-szor dobunk ahhoz, hogy az +,− sorozat valamely háromtagú permutációját kapjuk.
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Az egyéni valószínuségek ˝ nem egyformák ˝ Az + + −, − + +, − − +, + − − kombinációk a legkedvezobbek.
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
Példa: vizsgáljuk meg, hogy az + + − és az − + + sorozatok közül melyik ˝ elofordulása valószínubb ˝ korábban. Mi az eseménytér?
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
++− 1 23
+ + +− 1 24
++++− 1 25
+ + + + +− 1 26
... ...
!
˝ (egy − mindig van; a + + −-t pedig mindenképp megelozi ˝ egy − + +). Az összes többi esetben a − + + fordul elo˝ elobb
˝ Korábbi elofordulás
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Megfogalmazás: Szabályos pénzérmét átlagosan legalább 8-szor dobunk ahhoz, hogy az +,− sorozat valamely háromtagú permutációját kapjuk.
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Az egyéni valószínuségek ˝ nem egyformák ˝ Az + + −, − + +, − − +, + − − kombinációk a legkedvezobbek.
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
Példa: vizsgáljuk meg, hogy az + + − és az − + + sorozatok közül melyik ˝ elofordulása valószínubb ˝ korábban. Mi az eseménytér?
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
++− 1 23
+ + +− 1 24
++++− 1 25
+ + + + +− 1 26
... ...
!
˝ (egy − mindig van; a + + −-t pedig mindenképp megelozi ˝ egy − + +). Az összes többi esetben a − + + fordul elo˝ elobb
˝ Korábbi elofordulás
Érem-paradoxon Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
Megfogalmazás: Szabályos pénzérmét átlagosan legalább 8-szor dobunk ahhoz, hogy az +,− sorozat valamely háromtagú permutációját kapjuk.
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra
Az egyéni valószínuségek ˝ nem egyformák ˝ Az + + −, − + +, − − +, + − − kombinációk a legkedvezobbek.
Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás
Példa: vizsgáljuk meg, hogy az + + − és az − + + sorozatok közül melyik ˝ elofordulása valószínubb ˝ korábban. Mi az eseménytér?
Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
++− 1 23
+ + +− 1 24
++++− 1 25
+ + + + +− 1 26
... ...
!
˝ (egy − mindig van; a + + −-t pedig mindenképp megelozi ˝ egy − + +). Az összes többi esetben a − + + fordul elo˝ elobb A valószínuség: ˝ ∞ ∞ X 1 1 X 1 1 1 = = 2 = n 8 n=0 2n 8 4 n=3 2
Normális eloszlás Valószínuség ˝ és paradoxonok
I
De Moivre 1718: The doctrine of chances.
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝
Nagy számok ellentmondása
Események Valószínuségi ˝ változó
a fej/írás arány konvergál 1-hez ˝ – a közelíto˝ egyenloség;
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
a „fej”=”írás” esemény valószínusége ˝ konvergál nullához – a ˝ pontos egyenloség.
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár
Játékelmélet
lim P
Halandóság
n→∞
Bernoulli
k
nF ej − 1k < = 1 nIras
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
illetve lim P (nF ej = nIras ) = 0
n→∞
Normális eloszlás Valószínuség ˝ és paradoxonok
I
De Moivre 1718: The doctrine of chances.
Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝
Nagy számok ellentmondása
Események Valószínuségi ˝ változó
a fej/írás arány konvergál 1-hez ˝ – a közelíto˝ egyenloség;
Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
a „fej”=”írás” esemény valószínusége ˝ konvergál nullához – a ˝ pontos egyenloség.
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár
Játékelmélet
lim P
Halandóság
n→∞
Bernoulli
k
nF ej − 1k < = 1 nIras
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
illetve lim P (nF ej = nIras ) = 0
n→∞
Normális eloszlás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
De Moivre (1738): „Merem állítani, hogy ez a legnehezebb probléma, amit fel lehet vetni a Véletlen Tudományában...”
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események
Legyen az érme: xn ∈ {−1, 1} úgy, hogy
Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték
p(xn = 1) = p(xn = −1) = 0.5.
Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB
Paradoxonok Lotto
Ekkor a dobás-sorozatok átlaga 0 és szórása: σB = E (xn − x ¯n )2 = 1
Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
Ha 6 dobás esetét vizsgáljuk, a lehetséges (fej,érme) párok, illetve összeg: (6, 0) (5, 1) . . . (0, 6) −6 −4 . . . 6
II
Normális eloszlás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell
III
A dobások összege és azok valószínusége: ˝ −10 −8 −6 . . . 10 10 10 10 10 0 1 2 10 ... 210 210 210 210
Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok
p(x)
MATLAB
Paradoxonok
0.4
10 kocka
Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár
0.3
Játékelmélet Halandóság Bernoulli
0.2
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
0.1
−4.0
−3.0
−2
−1
0
1
2
3
4
x
Normális eloszlás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell
III
A dobások összege és azok valószínusége: ˝ −10 −8 −6 . . . 10 10 10 10 10 0 1 2 10 ... 210 210 210 210
Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok
p(x)
MATLAB
Paradoxonok
0.4
10 kocka 20 kocka
Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár
0.3
Játékelmélet Halandóság Bernoulli
0.2
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
0.1
−4.0
−3.0
−2
−1
0
1
2
3
4
x
Normális eloszlás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell
III
A dobások összege és azok valószínusége: ˝ −10 −8 −6 . . . 10 10 10 10 10 0 1 2 10 ... 210 210 210 210
Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok
p(x)
MATLAB
Paradoxonok
0.4
10 kocka 20 kocka 40 kocka
Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár
0.3
Játékelmélet Halandóság Bernoulli
0.2
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
0.1
−4.0
−3.0
−2
−1
0
1
2
3
4
x
Normális eloszlás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell
III
A dobások összege és azok valószínusége: ˝ −10 −8 −6 . . . 10 10 10 10 10 0 1 2 10 ... 210 210 210 210
Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok
p(x)
MATLAB
Paradoxonok
0.4
10 kocka 20 kocka 40 kocka ∞ kocka
Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár
0.3
Játékelmélet Halandóság Bernoulli
0.2
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
0.1
−4.0
−3.0
−2
−1
0
1
2
3
4
x
Normális eloszlás
IV
Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel
Az eloszlás képlete:
2 x 1 p(x) = √ exp − 2 2π
Bevezeto˝ Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok
p(x)
MATLAB
Paradoxonok
0.4
Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár
0.3
Játékelmélet Halandóság Bernoulli
0.2
˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
0.1
−4.0
−3.0
−2
−1
0
1
2
3
4
x
Normális eloszlás Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Bevezeto˝
4
Valószínuség ˝ Események Valószínuségi ˝ változó Valószínuségi ˝ modell
9
Várható érték Példák eloszlásokra Feladatok MATLAB 14
Paradoxonok Lotto Függetlenség Ajándékozás Pétervár Játékelmélet Halandóság Bernoulli ˝ Elso˝ elofordulás De Moivre
function [x,y] = moivre(N,style) %% valasztunk parametereket if nargin==0; N = 6; elseif nargin==1; style=’k’; end; %% X- es Y- tengely x = 0:N; y = zeros(size(x)); for ii=x; y(ii+1) = nchoosek(N,ii); end; y = y ./ (2^N); x = 2*x - N; %% normalissa valtoztatni x = x/sqrt(N); y = y/2*sqrt(N);
Matlab
2
7
12
%% kirajzolni box on; hold on; bar(x,y,style); xlim([-4.5,4.5]); %% tul kicsi ertekek ii = find(y>0.001); x = x(ii); y = y(ii); % a függvény hívása [x,y]=moivre(40,’k’); h = fopen(’moivre_40.dat’,’wt’); fprintf(h,’%5.4f %5.4f/n’,[x’ y’]’); fclose(h);
Irodalom Valószínuség ˝ és paradoxonok Csató Lehel Irodalom
Székely J. Gábor Paradoxonok a véletlen matematikájában. Typotex, 2004. Fegyverneki Sándor Valószínuségszámítás ˝ és Matematikai Statisztika Miskolci Egyetem, Alkalmazott Matematikai Tanszék, 2007. Frederick Mosteller Fifty Challenging problems in Probability with Solutions Dover Publications, 1965. Csatár Katalin,Harró Ágota, Hegyi Györgyné, Lövey Éva, Morvai Éva, Széplaki Györgyné, Ratkó Éva ˝ Valószínuségszámítás ˝ feladatok kezdoknek Középiskolai Matematikai Lapok, 2004.