Matematika. Mathematica

Szili László és Tóth János

Matematika és Mathematica

ELTE Eötvös Kiadó Budapest, 1996

Lektor´ alta Pelik´ an J´ ozsef okleveles matematikus Ván Péter okleveles fizikus

Nyelvi lektor Homonyik Andrea

A fedelet tervezte Dukay Barna

ISBN 963 463 004 9 c Szili L´ aszló és Tóth J´ anos, 1996

Tartalomjegyzék

El˝ osz´ o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1. Matematikai programcsomagok . . . . . . . . . . . . . 13 1.1. Szimbolikus programcsomagok . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Numerikus programcsomagok . . . . . . . . . . . . . 17 2. Ismerked´ es a Mathematica programmal . . . . 2.1. A legfontosabb tudnival´ ok . . . . . . . . . . 2.2. Programcsomagok . . . . . . . . . . . . . 2.3. Az alapelvekr˝ ol . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Alapvet˝o adatszerkezetek . . . . . . . ´ ekad´ 2.3.2. Ert´ asok t´ıpusai. Mint´ azatok . . . . 2.3.3 Opci´ ok . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Attrib´ utumok . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Kiértékelés . . . . . . . . . . . . . 2.4. K¨ uls˝ o kapcsolatok . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Be- és kimenet . . . . . . . . . . . . 2.4.2. A program k¨ ornyezete . . . . . . . . 2.4.3. Kapcsolat más nyelvekkel és programokkal 2.5. További inform´ aci´ oforr´ asok . . . . . . . . . 2.5.1. MathSource . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Könyvek . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Foly´ oiratok . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. MathGroup . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

3. Fejezetek a matematik´ ab´ ol . . . . . . . . . . . 3.1. Alapvet˝o matematikai fogalmak . . . . . . . 3.1.1. Logikai m˝ uveletek . . . . . . . . . . 3.1.2. Halmazok . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Számok ábr´ azolása. Aritmetikai m˝ uveletek 3.1.4. F¨ uggvények . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. F¨ uggvények ábr´ azolása . . . . . . . . 3.1.6. Gyakorlatok és feladatok . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 21 25 29 29 35 41 44 46 48 49 58 62 66 67 67 67 68

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . .

69 69 70 77 87 100 116 133

. . . . .

4

Tartalomjegyzék 3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

Matematikai kifejezések . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Algebrai polinomok . . . . . . . . . . . 3.2.2. Racionális kifejezések . . . . . . . . . . 3.2.3. Komplex v´ altozós kifejezések . . . . . . 3.2.4. Trigonometrikus kifejezések . . . . . . . 3.2.5. Egyéb matematikai kifejezések . . . . . . 3.2.6. Nevezetes összegek és szorzatok . . . . . Egyenletek megold´ asa . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Az utas´ıt´ asok szintaxisa . . . . . . . . . 3.3.2. Egyenletek pontos megoldása . . . . . . 3.3.3. Egyenletek közel´ıt˝ o megoldása . . . . . . Anal´ızis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Beép´ıtett speciális f¨ uggvények . . . . . . 3.4.2. Számsorozatok és számsorok . . . . . . . 3.4.3. F¨ uggvények hat´ arértéke . . . . . . . . . 3.4.4. Differenci´ alszám´ıt´ as . . . . . . . . . . 3.4.5. Integrálszám´ıt´ as . . . . . . . . . . . . 3.4.6. F¨ uggvényközel´ıtések . . . . . . . . . . 3.4.7. Vektoranal´ızis . . . . . . . . . . . . . Differenciálegyenletek . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Iránymez˝o két és három dimenzióban . . . 3.5.2. Megold´ as kvadrat´ ur´ aval . . . . . . . . . 3.5.3. Els˝o integr´ alok . . . . . . . . . . . . . 3.5.4. Numerikus megold´ as . . . . . . . . . . 3.5.5. Laplace-transzformáci´ o . . . . . . . . . 3.5.6. Megold´ as hatv´ anysorokkal . . . . . . . . 3.5.7. Szukcessz´ıv approxim´ aci´ o . . . . . . . . 3.5.8. Stabilit´ aselmélet . . . . . . . . . . . . 3.5.9. Parci´ alis differenci´ alegyenletek . . . . . . oszám´ıt´ as . . . . . . . . . . . . 3.5.10. Vari´ aci´ 3.5.11. Gyakorlatok és feladatok . . . . . . . . Diszkrét matematika . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Adott tulajdons´ ag´ u listák . . . . . . . . 3.6.2. Leszámlál´ as . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Egyszer˝ u kombinatorikai azonoss´ agok . . . 3.6.4. Differenciaegyenletek, generátorf¨ uggvények 3.6.5. Gr´ afok és folyamok . . . . . . . . . . . 3.6.6. Gyakorlatok és feladatok . . . . . . . . Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1. Geometriai alakzatok . . . . . . . . . . 3.7.2. További lehet˝ oségek . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

135 136 146 148 150 153 155 158 158 163 176 181 181 183 190 192 201 209 221 225 225 228 231 231 234 236 238 240 242 245 246 248 248 251 253 254 259 263 264 264 269

Tartalomjegyzék 3.8.

Lineáris algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Vektorok és mátrixok megad´ asa . . . . . . 3.8.2. Részmátrixok kezelése . . . . . . . . . . 3.8.3. M˝ uveletek vektorokkal és mátrixokkal . . . . 3.8.4. Vektornormák és mátrixnorm´ ak . . . . . . 3.8.5. A Gram–Schmidt-féle ortogonalizáci´ os eljár´ as 3.8.6. Lineáris egyenletrendszerek megoldása . . . 3.8.7. M´ atrix saj´ atértékei és sajátvektorai . . . . . 3.8.8. M´ atrix felbont´ asa . . . . . . . . . . . . 3.8.9. Lineáris programoz´ as . . . . . . . . . . . 3.9. Számelmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.1. Számrendszerek . . . . . . . . . . . . . 3.9.2. Oszthatóság . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.3. Lánctörtek . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.4. Pr´ımszámok. A számelmélet alaptétele . . . 3.9.5. Számelméleti f¨ uggvények . . . . . . . . . 3.9.6. Kongruenci´ ak . . . . . . . . . . . . . . 3.9.7. További fejezetek . . . . . . . . . . . . 3.9.8. Gyakorlatok és feladatok . . . . . . . . . 3.10. Val´ osz´ın˝ uségszám´ıt´ as . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1. Klasszikus val´ osz´ın˝ uségi mez˝ok . . . . . . . 3.10.2. Gener´ atorf¨ uggvények . . . . . . . . . . . 3.10.3. Tetsz˝oleges valósz´ın˝ uségi változók . . . . . 3.10.4. Karakterisztikus f¨ uggvények . . . . . . . . 3.10.5. Hat´ areloszlás-tételek . . . . . . . . . . . 3.10.6. Véletlenszám-generál´ as . . . . . . . . . . 3.10.7. Markov-l´ ancok . . . . . . . . . . . . . . 3.10.8. Folytonos idej˝ u Markov-folyamatok . . . . . 3.10.9. Gyakorlatok és feladatok . . . . . . . . . 3.11. Matematikai statisztika . . . . . . . . . . . . . 3.11.1. Az adatok el˝okész´ıtése . . . . . . . . . . 3.11.2. Statisztik´ ak . . . . . . . . . . . . . . . 3.11.3. Becslések . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11.4. Hipotézisvizsgálat . . . . . . . . . . . . 3.11.5. Korrel´ aci´ o- és regresszióanal´ızis. Szór´ asanal´ızis 3.11.6. Id˝ osorok . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.11.7. Osszetett feladatok, u ´j m´ odszerek . . . . . 3.11.8. Gyakorlatok és feladatok . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

270 270 276 278 288 291 293 296 299 301 304 305 306 309 311 314 316 319 320 325 325 327 328 330 331 332 334 335 337 338 338 342 345 349 350 352 356 356

6

Tartalomjegyzék

4. A Mathematica programoz´ as´ ar´ ol . . . . 4.1. Programnyelvi elemek . . . . . . . . . 4.2. Gyorsaság, gyors´ıt´ as . . . . . . . . . 4.2.1. Tipikus m˝ uveletek id˝ oigénye . . . 4.2.2. Gyors´ıt´ as emlékez˝o f¨ uggvényekkel uggvénnyel 4.2.3. Gyors´ıt´ as a f¨ 4.2.4. Gyors´ıt´ as listam˝ uveletekkel . . . 4.3. Tanácsok programok kész´ıtéséhez . . . . 4.4. Saj´ at programcsomag kész´ıtése . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

357 358 364 365 367 367 369 371 372

5. Matematik´ an k´ıv¨ uli alkalmaz´ asok ¨ 5.1. Uzleti grafika . . . . . . . . 5.2. Hang . . . . . . . . . . . . 5.3. Id˝ o . . . . . . . . . . . . . 5.4. Fizika (mértékegységek) . . . . 5.5. F¨ oldrajz (térképek) . . . . . . 5.6. Kémia (elemek) . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

373 373 375 377 379 381 383

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

385

T´ argymutat´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

391

Irodalomjegyz´ ek

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

El˝ osz´ o

Az elm´ ult t´ız évben rohamosan fejl˝ od˝ o, szimbolikus szám´ıt´ asokra is képes matematikai programcsomagok u ´ j t´ avlatokat nyitnak a matematika alkalmazásai, kutat´ asa és oktatása el˝ott. A matematika sok ter¨ uletéhez seg´ıtséget ny´ ujt´ o szimbolikus programcsomagok k¨ oz¨ ul az egyik legnépszer˝ ubb és legelterjedtebb a Wolfram Research Institute által létrehozott és terjesztett Mathematica program (néha nyelv et mondunk). A program megv´ asárl´ o ja az összesen több mint 1400 oldalnyi [3, 89] referenciak¨ onyveket is kézhez kapja. Angolul, német¨ ul, jap´ anul, franci´ aul és más nyelveken már majdnem 100 k¨ onyv jelent meg k¨ ul¨ onféle aspektusairól és alkalmazásairól. Magyar nyelven azonban eddig nem a´llt rendelkezésre rendszeres bevezet˝o. Ennek a hi´ anynak a p´ otl´ asán k´ıv¨ ul azt is célul t˝ uzt¨ uk ki, hogy viszonylag r¨ ovid terjedelemben, lehet˝oség szerint teljes áttekintést adjunk a nyelv lehet˝oségeir˝ol, beleértve a kiegész´ıt˝ o csomagokat is. Azt szeretnénk, ha a on matematika valamely fejezete iránt érdekl˝od˝ o Olvas´ ot a legrövidebb id˝ bel¨ ul eljuttathatn´ ank oda, hogy a lehet˝ o legmagasabb szinten kapjon seg´ıtséget a programt´ ol saj´ at alkalmaz´ asi, kutat´ asi és oktatási feladatainak megoldásához. • El˝ ozm´ enyek, olvas´ ok, el˝ oismeretek A Mathematica programcsomagot 1992-ben kezdt¨ uk el oktatni a G¨ od¨ oll˝ oi Agrártudom´ anyi Egyetemen, egy évvel kés˝obb pedig az E¨ otv¨ os Loránd Tudományegyetemen. Itt szerzett tapasztalataink alapján az Olvas´ o v´ arhat´ oan rendelkezik elemi szám´ıt´ ogépes ismeretekkel, és érdekli a matematika alkalmaz´ asa, vagy oktat´ as´ anak (sz´ am´ıt´ ogépek felhaszn´ al´ as´ aval t¨ ortén˝ o) megu ´j´ıt´ asi lehet˝ oségei. A fizikus, geofizikus, gépészmérn¨ ok, programoz´ o, programtervez˝o stb. szakos egyetemistákon k´ıv¨ ul rendszeresen tal´ alkoztunk doktoranduszokkal és fiatal egyetemi oktatókkal is a hallgat´ oság soraiban, k¨ ozt¨ uk gyakorl´ o biol´ ogussal, fizikussal, matematikussal, mérn¨ okkel, vegyésszel. o matematikai fogalmakat és tételeket csak abban az esetben Az el˝ ofordul´ ismertett¨ uk, amikor ennek sz¨ ukségét érezt¨ uk. Mindezek alapj´ an u ´gy gondoljuk, hogy matematik´ ab´ ol a k¨ onyv nagy részének elolvasásához elegend˝o

8

El˝ oszó

valamilyen egy-másfél éves egyetemi kurzus elvégzése, de id˝onként r´ a fogunk mutatni azokra a lehet˝ oségekre, amelyek a matematikust seg´ıthetik a kutat´ asban. K¨ ul¨ onleges szerep¨ uk lehet a tan´ ar -olvasóknak: o˝k seg´ıthetnek annak megmutat´ asában, hogy ak´ ar az által´ anos iskol´ atól kezdve lehet találni a programban felhaszn´ al´ asra méltó, érdekes elemeket. • Mi´ ert a Mathematica ? Néh´ any megjegyzést tesz¨ unk a t¨ obbi szimbolikus csomagr´ ol és a Mathematica hozzá juk val´ o viszony´ ar´ ol. Mindenekel˝ ott megeml´ıtj¨ uk, hogy magyar nyelven az els˝o ilyen programcsomagról szól´ o k¨ onyv a DERIVE program oktatási alkalmazásairól számolt be [79], s ez már két kiadásban is napvil´ agot l´ atott. A legut´ obbi id˝ oben t¨ obb k¨ onyv is megjelent illetve megjelen˝oben van a — matematikus k¨ or¨ okben szintén népszer˝ u — MAPLE V programr´ ol [42, 56]. Magunk mindezt o¨rvendetes eseménynek tekintj¨ uk, s remélj¨ uk, as felszámoláhogy az angol nyelv˝ u irodalommal szemben meglév˝o elmarad´ sához jelen munk´ aval is hozz´ a j´ arulhatunk. Azt remélj¨ uk, hogy a MAPLE V vagy a DERIVE program h˝ uséges használ´ o ja is tal´ al o¨tleteket könyv¨ unkben, ahogyan mi is vett¨ unk m´ as nyelvekr˝ol szól´ o k¨ onyvekb˝ ol feladatokat, oktatási és programozási ötleteket egyaránt. Miért éppen a Mathematic´ a val foglalkozunk? Jelenlegi ismereteink alapján u ´gy l´ atjuk, hogy a matematikai programcsomagok már ma is, és a közeli jöv˝ oben még ink´ abb képesek lesznek arra, hogy a programoz´ assal, szám´ıt´ astudománnyal és numerikus matematik´ aval nem hivat´ asszer˝ uen, de kényszer˝ uen foglalkoz´ o fizikusok, mérn¨ ok¨ ok, orvosok, vegyészek és más szakemberek szellemi energi´ aj´ anak jelent˝ os részét felszabad´ıts´ ak. Ily módon sokkal t¨ obb idej¨ uk marad a megfelel˝ o modellek fel´ all´ıt´ asára, a kapott eredmények elemzésére és értelmezésére. uletes szemlél˝o számára a legnépszer˝ ubb szimbolikus programcsomaFel¨ gok — mivel nyilvánval´ oak és jól defini´ alhat´ oak a felhaszn´ al´ oi igények — hasonl´ oan viselkednek. Jellemz˝o, hogy az egyik program hirdetésében szerepl˝ o feladatok a másikkal a´ltal´ aban megoldhat´ ok. Amiben az egyik lemarad, igyekszik utolérni a m´ asikat. A Mathematica péld´ aul grafikai és animációs képességeivel (ideértve a hangképzést is) t˝ unt ki kor´ abban, a t¨ obbiek számára ebben ez a program volt a minta. Amiben ma is kiemelked˝onek t˝ unik, az a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o programoz´ asi st´ılusok at lehet˝ové tév˝o eszközt´ ara. A t¨ obbi nyelv olyannak l´ atszik, mint egy hagyományos procedur´ alis programoz´ asi nyelv, azzal a többlettel, hogy szimb´ olumokkal és tetsz˝olegesen nagy, illetve tetsz˝olegesen pontos számokkal is lehet számolni benn¨ uk. A Mathematic´ a ban viszont m´ od van arra is, hogy

El˝ oszó

9

haszn´ aljuk a szab´ alyalap´ u és az objektumorientált programoz´ as módszereit; vég¨ ul — de tal´ an ez a legfontosabb — a rendszer kész´ıt˝ oi és akt´ıv haszn´ al´ oi ´ a funkcion´ alis programoz´ ast k¨ ul¨ onlegesen hatékony eszközzé tették. Ujra (nem el˝oször, de val´ osz´ın˝ uleg nem utolj´ ara a szám´ıt´ astechnika történetében) elmondhat´ o, hogy a´ltala lehet˝ ové válik, hogy a felhaszn´ al´ onak csak a feladatot kell megfogalmaznia, mégpedig a matematika nyelvén, s a megold´ as teljesen a program dolga. Természetesen nem lehet eléggé hangs´ ulyozni az ellen˝ orzés fontoss´ agát, hiszen bonyolult programr´ ol (programokr´ ol) van szó. Tegy¨ unk néh´ any kritikai megjegyzést is. A Mathematica rendk´ıv¨ ul hossz´ u azonos´ıt´ ok at haszn´ al, hogy ne kelljen a felhaszn´ al´ onak kital´ alnia az esetal´ o hogyan leges rövid´ıtéseket. Ízlés kérdése, hogy ezt a tényt a felhaszn´ viseli el. Ahhoz, hogy a programmal komolyabb szimbolikus sz´ am´ıt´ asok at lehessen végezni (ami pedig a legalapvet˝ obb deklar´ alt célja az ilyen programoknak), nagyon alaposan meg kell azt ismerni. Néh´ any esetben egészen egyszer˝ u feladatok megold´ asaként hib´ as eredményt kaphatunk. Ez figyelmeztet arra, hogy az eredményeket kritikusan kell fogadnunk és érdemes t¨ obbféleképpen is ellen˝orizn¨ unk. Id˝ onként az a benyom´ asunk, hogy egyes feladatokat csak nagyon nehézkesen lehet vele megoldani. (Péld´ aul amiatt, hogy a sz´ amok alapértelmezésben komplexek.) Ennek a h´ atr´ anynak az értékelésénél vegy¨ uk azonban figyelembe, hogy egyetlen gyakorl´ o matematikusnak vagy alkalmaz´ onak sem kell a matematika minden ter¨ uletére tekintettel lennie, elég, ha egy sz˝ uk ter¨ uleten viszonylag k¨ ovetkezetes elnevezéseket, jelöléseket, szokásokat alak´ıt ki. A Mathematica viszont, amint Wolfram k¨ onyvének alc´ıme mondja, olyan rendszer, amely lehet˝ ové teszi a szám´ıt´ ogépes matematizál´ ast (nem pedig az algebrai, numerikus vagy statisztikai vizsgálatokat). Ez a nagyigény˝ u célkit˝ uzés rengeteg olyan problémát vet fel — és a megoldások nem is olyan rosszak —, amellyel gyakorló alkozik. matematikus vagy alkalmazó nem is tal´ • Alkalmaz´ as, oktat´ as, kutat´ as A matematika alkalmaz´ as´ aban (ak´ ar u ´j ter¨ uletr˝ ol, ak´ ar ismert eredmények oktatásár´ ol van szó), a matematikai programcsomagok használat´ anak jelent˝ osége abban a´ll, hogy a s´ ulypont a´ttev˝ odhet a m´ odszerek r˝ ol az esettanulm´ anyok ra. Eddig egy-egy alkalmaz´ asi feladat megoldása rengeteg energiát emésztett föl, ma pedig ezekkel a programokkal egy-egy tanóra alatt teljes alkalmaz´ asok megoldása végigk¨ ovethet˝o. Az eddigiekben els˝ osorban matematikán k´ıv¨ uli alkalmaz´ asokra gondoltunk. Remélj¨ uk azonban, hogy egyre t¨ obb matematikus is hasznosnak fogja tal´ alni kutat´ omunk´ a j´ ahoz egy ilyen program megismerését, mert a seg´ıtsé-

10

El˝ oszó

gével f¨ olvet˝ od˝ o munkahipotézisei sok esetben sokkal gyorsabban ellen˝orizhet˝ ok, mint pap´ıron, ceruz´ aval. Szinte nyilv´ anval´ o, hogy a matematika oktat´ as´ a ban egy ilyen programcsomag jól haszn´ alhat´ o. Sokkal kevésbé nyilv´ anval´ o az, hogy hogyan. A matematika oktatásán´ al a´ltal´ anos elv lehet, hogy valamely ter¨ ulet alapfogalmait a hagyom´ anyos módon érdemes elsaját´ıttatni (ek¨ ozben legfeljebb a tan´ ar haszn´ alja a programcsomagot illusztr´ al´ as célj´ ab´ ol), majd a k¨ ovetkez˝o ter¨ uletnél a már megtanult részhez tartozó szám´ıt´ asokat a hallgató is végezheti szám´ıt´ ogéppel. Péld´ aul a line´ aris algebrai alapok megfelel˝o elsaj´ at´ıt´ asa és begyakorl´ asa ut´ an m´ ar sokkal hatékonyabban tudunk a differenci´ alegyenletekre vagy a statisztik´ ara koncentr´ alni, ha a saj´ atértékeket és saj´ atvektorokat nem kézzel számoljuk. A matematika oktat´ asának két széls˝oséges áll´ aspontja — sark´ıtott megfogalmaz´ asban — az élményszerzést, illetve a pontoss´ agot tartja a legfonto¨ sabbnak. Orvendetes, hogy a Mathematica mindkét áll´ aspont képvisel˝oinek pozit´ıv érvekkel szolgálhat: m´ odot ad arra, hogy ak´ ar a tiszta, akár az alkalmazott matematika ter¨ uletén a tanul´ o a megszokottnál j´ oval t¨ obb péld´ aval ismerkedhessék meg (anélk¨ ul, hogy beleveszne az unalmas rutinmunk´ aba), másrészt lehet˝ové teszi, hogy a matematikában megszokott legszigor´ ubb (esetenként azon t´ ulmen˝ o) pontoss´ agot alkalmazzunk. • Fel´ ep´ıt´ es A k¨ onyv felép´ıtése a következ˝o: El˝ oször a´ltal´ anos a´ttekintést adunk a matematikai programcsomagokról, majd a Mathematic´ a r´ ol. Ez ut´ obbi fejezet 2.3. szakasza ismerteti a Mathematica konstrukci´ os alapelveit; ehhez a nehezebb részhez a kés˝obbiekben t¨ obbsz¨ or érdemes visszatérni, s˝ ot: bocs´ anatos b˝ unnek tartjuk, ha a t¨ urelmetlen Olvasó els˝o alkalommal nem olvassa végig ezt a szakaszt, hanem sietve rátér a 3. fejezet ˝ot érdekl˝o szakaszára. A k¨ onyv gerincét ugyanis a 3. fejezet képezi, amely a matematika néh´ any fontos ter¨ uletét tárgyalja, abb´ ol a szempontb´ ol, hogy az adott ter¨ ulet feladatainak megold´ asa hogyan tehet˝ o k¨ onnyebbé a program felhaszn´ al´ asával. Miel˝ ott azonban az Olvas´ o r´ atér az anal´ızisr˝ol vagy a számelméletr˝ol szól´ o szakasz olvasására, val´ osz´ın˝ uleg helyesen teszi, ha a 3.1.3–3.1.5. pontot, a 3.2. szakaszt (és esetleg a 3.3.-at is) áttanulm´ anyozza. A programozás iránt érdekl˝od˝ o Olvas´ o számára nyilván nem a 3. fejezet valamelyik szakasza, hanem a 4. fejezet ny´ ujt némi (rendk´ıv¨ ul v´ azlatos) t´ a jékoztatást. Azt gondoljuk, hogy — feladatt´ ol f¨ ugg˝ oen — majdnem mindenki hasznos´ıthatja majd az 5. fejezet valamelyik részét. Vég¨ ul a hivatkoz´ asok és kulcsszavak jegyzékét abban a reményben a´ll´ıtottuk o¨ssze, hogy ezzel minden Olvasó számára k¨ onnyebben kezelhet˝ ové tessz¨ uk a k¨ onyvet.

El˝ oszó

11

Az egyes részeknél közölt gyakorlatok és feladatok nehézségi szintje és száma változó. Ezen a helyzeten talán egy kés˝obb o¨sszeáll´ıtand´ o példatár ´ fog majd seg´ıteni. Ugy vélj¨ uk azonban, hogy a legt¨ obb Olvas´ o rendelkezik számos saját problémával, és éppen azok megold´ asához keres hatékony eszközt. Az Olvasó munk´ a j´ at megkönny´ıtheti az, hogy a k¨ onyv péld´ ait elhelyezt¨ uk a MathSource-on (l´ asd a 2.5.1. pontot). Létezik viszont egy k¨ ul¨ onleges funkci´ o j´ u ingyenes kiegész´ıt˝ o program is ugyanott (0204–972), a MathReader, amellyel a Mathematica által ´ırott a´llom´ anyok elolvashatók. Remélj¨ uk, hogy péld´ aink és a MathReader egy¨ uttesen teljes és gyors áttekintést adnak a Mathematica lehet˝oségeir˝ol annak az Olvas´ onak, aki még nem rendelkezik a programcsomaggal. • Jel¨ ol´ esek :=

defini´ al´ o egyenl˝ oség

A⊂B N

az A halmaz (nem feltétlen¨ ul val´ odi) részhalmaza a B halmaznak a pozit´ıv egész számok halmaza

Z

az egész számok halmaza

Zp

Q

Adot p pr´ımszám esetén az egész számok halmazának mod p maradékosztályai a´ltal meghat´ arozott test a racion´ alis számok halmaza

R

a val´ os számok halmaza

C

a komplex számok halmaza

C

m×n

(m, n ∈ N)

f :A→B

az m × n-es komplex érték˝ u m´ atrixok halmaza az A halmazon értelmezett B halmazbeli értékeket felvev˝ o f¨ uggvény

• K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as A Mathematica programmal val´ o ismerkedés és a könyv meg´ır´ asa közben számos ötletet és hasznos´ıthat´ o b´ır´ al´ o megjegyzést, valamint biztat´ o t´ amogat´ ast kaptunk kollégáinkt´ ol és tan´ıtv´ anyainkt´ ol az E¨ otv¨ os Loránd Tudományegyetemen és a Göd¨ oll˝ oi Agrártudom´ anyi Egyetemen.

12

El˝ oszó

A program haszn´ alata k¨ ozben felmer¨ ult kérdéseinkkel els˝osorban Warren Boont, a Wolfram Research Inc. (r¨ oviden: WRI) hivatásos európai tan´ acsad´ o j´ at bomb´ aztuk, a felfedezett vélt és valóságos hib´ ak miatt ˝ot vontuk álland´ oan felel˝ osségre. Válaszaival nagyban hozz´ a j´ arult ahhoz, hogy k¨ onyv¨ unk hasznosabb, informat´ıvabb legyen. A k¨ onyv ´ır´ asát részben az MKM 419. és 3306. szám´ u p´ aly´ azatának keretében végezt¨ uk. Pelik´ an J´ ozsef és Ván Péter lektorként matematikai, nyelvi, sz´ am´ıt´ astechnikai és alkalmazási szempontokat egyaránt figyelembe véve, rendk´ıv¨ ul alaposan végezte munká j´ at. Javaslataikat és megjegyzéseiket igyekezt¨ unk az Olvasó jav´ ara hasznos´ıtani. Vég¨ ul pedig megkérj¨ uk a tisztelt Olvas´ ot, ha b´ armilyen hib´ at tal´ al, vagy b´ armilyen hasznos´ıthat´ o megjegyzése van, juttassa el azt a szerz˝okh¨ oz vagy a kiad´ ohoz. Budapest, 1996. m´ ajus

Szili L´ aszló

anos Tóth J´

ELTE TTK Numerikus Anal´ızis Tanszék Budapest, M´ uzeum krt 6–8. 1088 [email protected]

GATE MGK Szám´ıt´ astechnikai Tanszék G¨ od¨ oll˝ o, P´ ater K. u. 1. 2103 [email protected]

1. Matematikai programcsomagok

M´ ar az ókorban megjelentek az emberi tevékenységnek olyan ter¨ uletei, amelyek k¨ ul¨ on¨ osen sok számolást igényeltek. A számolások elvégzésének megk¨ onny´ıtésére több m´ odszer k´ın´ alkozott. Egyrészt t´ abl´ azatok ban r¨ ogz´ıtették a gyakran haszn´ alt részeredményeket (Babil´ oni´ at´ ol Napierig); m´ asrészt (cél- és univerzális) mechanikus, kés˝obb elektromos, majd elektronikus sz´ amol´ ogépeket kész´ıtettek (az abakusztól a logarlécen át az IBM PC-ig); vég¨ ul pedig — k¨ ul¨ on¨ osen az alkalmazott matematika legnagyobbjai (Arkhimédészt˝ol Newtonon át Eulerig) — olyan elj´ ar´ asokat dolgoztak ki és alkalmaztak, amelyek pontosabb eredményekhez kevesebb számolási munk´ aval vezettek el. Nem meglep˝o teh´ at, hogy a szám´ıt´ astechnika fejl˝ odésének korai szakaszában (k¨ or¨ ulbel¨ ul 1950-ig) a matematikusok (gondoljunk péld´ aul A. M. ar L´ aszlóra) jelent˝os szereTuringra, Neumann J´ anosra, vagy éppen Kalm´ pet j´ atszottak. Az o¨tvenes évekt˝ol megindul´ o fejl˝ odés azonban — a be nem v´ altott´ıgéretek, a tervezetlenség, a felhaszn´ al´ ok (k¨ ozt¨ uk a matematikusok) igényeinek figyelmen k´ıv¨ ul hagy´ asa és mindenekel˝ott az alacsony teljes´ıt˝ oképesség — egyre inkább eltávol´ıtotta a matematikusok t´ abor´ at a szám´ıt´ ogépt˝ ol. Kivételt talán csak a statisztikusok, a diszkrét matematikával foglalkoz´ ok egy része és a numerikus matematikusok egy része (!) jelentett. (Ennek az id˝ oszaknak a szám´ıt´ astechnikusai, persze, a matematikusok rov´ asára´ırj´ ak a szakadék kialakul´ asát.) Numerikus sz´ amolások végzésére ebben az id˝ oszakban is számos vegyész, fizikus vagy közgazdász alkalmazta a szám´ıt´ ogépet. A hatvanas-hetvenes években felvet˝od¨ ott, tipikus probléma volt az, hogy hogyan lehet a szám´ıt´ ogép seg´ıtségével egy f¨ uggvény deriváltj´ at vagy valauggvényét a f¨ uggvényt megad´ o képletb˝ol szimbolikusan kimelyik primit´ıv f¨ szám´ıtani. Erre (a lengyel forma felhasznál´ asával) t¨ obb szerz˝o is adott megold´ ast. (Megjegyzend˝o, hogy az eredményt péld´ aul az érzékenységi egyenletek fel´ır´ asához, teh´ at sz´ amol´ asi célra haszn´ alt´ ak.) Ebben az id˝ oszakban kezdtek foglalkozni tételbizony´ıt´ o, tolm´ acs- és sakkprogramok´ır´ asával és logikai programoz´ asi nyelvek megalkot´ asával is, hogy csak néhányat eml´ıts¨ unk a szám´ıt´ astechnika nem-numerikus alkalmaz´ asai köz¨ ul.

14


A szám´ıt´ ogépek sebessége és az elméleti eredmények a nyolcvanas évek elejét˝ol fogva lehet˝ ové tették azt, hogy matematikai feladatokat megold´ o numerikus programcsomagok mellett szimbolikus programcsomagok (´ıgy fogjuk nevezni a tov´ abbiakban azokat a programrendszereket, amelyeket angolul computer algebra systems néven eml´ıtenek, s korábban formulamanipul´ aci´ os rendszerek nek h´ıvtak) is létrejö jjenek. A technika rohamos fejl˝ odésével párhuzamosan o¨rvendetes módon a matematikai programok gomba módra szaporodnak. Itt h´ıvjuk fel a figyelmet arra, hogy a Notices of the American Mathematical Society c´ım˝ u foly´ oirat 1994. decemberig rendszeresen k¨ ozölt ismertet˝oket, illetve összehasonl´ıt´ asokat az ilyen jelleg˝ u programokr´ ol. A 40. k¨ otet 6. száma (1993. j´ ulius–augusztus) péld´ aul mintegy 50 ilyen program néh´ any fontos adat´ at tartalmazza. Az ott ismertetett adatb´ azis egyébként a

szám´ıt´ ogép k¨ onyvt´ ar´ aban megtalálhat´ o. Ide bejelentkezni az anonymous jelszóval lehet. Az 1995. febru´ ari szám pedig k¨ ozli az e témában megjelent cikkek indexét. Matematikai programcsomagokról az

szám´ıt´ ogépr˝ ol is szerezhet¨ unk inform´ aci´ okat. Erre a gépre is az anonymous jelszóval jelentkezhet¨ unk be. Megjegyezz¨ uk még azt is, hogy több ilyen program kereskedelmi forgalomban kaphat´ o. J´ onéh´ any k¨ oz¨ ul¨ uk azonban ingyenes (public domain) program, és ezek egy része péld´ aul az ut´ obb megeml´ıtett holland gépr˝ ol is megszerezhet˝o.

1.1. Szimbolikus programcsomagok A matematika alkalmaz´ asán´ al vagy kutat´ asán´ al, s˝ot az oktatása során is gyakran kell rutinjelleg˝ u szimbolikus m˝ uveleteket végezni. Gondoljunk a polinomokkal végzett k¨ ul¨ onféle m˝ uveletekre (péld´ aul a polinomfaktoriz´ acióra), egyenletek és egyenletrendszerek megoldására vagy f¨ uggvények primit´ıv f¨ uggvényeinek meghat´ arozására. A szimbolikus programcsomagok egyik célja éppen az, hogy az ilyen t´ıpus´ u feladatok megold´ asához is seg´ıtség¨ ul

1.1. Szimbolikus programcsomagok

15

aj´ anlja a sz´ am´ıt´ ogépet. A lehet˝oségek ilyen kib˝ov´ıtése min˝ oségi v´ altoz´ ast hozott a matematika és a szám´ıt´ ogép kapcsolatába. A k¨ olt˝ o Byron l´ anya, Lady Ada Lovelace volt az els˝ o, aki 1843-ban f¨ olvetette, hogy szimbolikus szám´ıt´ asokat géppel kellene végezni. Az o¨tlet megval´ os´ıt´ asa azonban t¨ obb mint sz´ az évet váratott magára, mivel ennyi id˝ o kellett ahhoz, hogy az elmélet és a technikai eszközök egyaránt megfelel˝ o fejlettségi szintet érjenek el. Sz´ oljunk néh´ any szót arr´ ol, hogy szerint¨ unk miért érdemes használni a matematikai programcsomagokat. Els˝osorban azért, mivel ezek nagyon sok beép´ıtett f¨ uggvényt tartalmaznak, amelyek o¨sszetett feladatok (péld´ aul polinomok faktoriz´ aci´ o ja, f¨ uggvények ábr´ azolása, deriv´ altf¨ uggvény meghat´ arozása, primit´ıv f¨ uggvények keresése, görbeillesztés) megoldására szolgálonnyen és gyorsan végezhet¨ unk el vel¨ uk rutinjelleg˝ u szimbolikus nak, ezért k¨ és numerikus szám´ıt´ asokat. E programcsomagok egyik f˝ o erénye az, hogy programozhat´ ok, azaz a beép´ıtett utas´ıt´ asok bizonyos nyelvtani szab´ alyok betart´ asával o¨sszef˝ uzhet˝ ok, ´ıgy a lehet˝ oségeik a felhaszn´ al´ o igényeinek megfelel˝oen folyamatosan b˝ ov´ıthet˝ ok. A rendszerek többsége összekapcsolható más felhaszn´ al´ oi programokkal és programozási nyelvekkel. Eml´ıts¨ unk még néh´ any olyan tipikus helyzetet, amikor seg´ıtség¨ unkre lehetnek a matematikai programcsomagok. Péld´ aul sejtések kialak´ıt´ as´ an´ al sok esetet vizsgálhatunk meg. Bizony´ıt´ asukhoz vagy c´ afolatukhoz is felhaszn´ alhatjuk a meglév˝o eszközöket. Egy-egy esettanulm´ anyt sokkal kevesebb energiával kész´ıthet¨ unk el, mint hagyom´ anyos módszerekkel. Az oktatásban a fentieken k´ıv¨ ul is gy¨ um¨ olcsöz˝oen haszn´ alhatjuk e rendszereket, például fogalmak kialak´ıt´ asán´ al és eredmények illusztrál´ asán´ al. Igen sikeresen alkalmazt´ ak már ezeket a rendszereket olyan ter¨ uleteken, ahol numerikus és szimbolikus szám´ıt´ asokra egymás mellett van sz¨ ukség. Galaxistérképeket kész´ıtettek ilyen m´ odon; de a legnagyobb val´ osz´ın˝ uség elve alapján végzett becslés — amit a 3.11. szakaszban bemutatunk — szintén ide sorolhat´ o. A szimbolikus programcsomagok alkalmazóinak egyre n¨ ovekv˝ o száma is azt igazolja, hogy sokan megtal´ alt´ ak haszn´ alatuk m´ odj´ at. M´ ar itt is felh´ıvjuk a figyelmet azonban arra, hogy rengeteg lehet˝ oséget tartalmazó, nagy rendszerekr˝ ol van sz´ o. Megismerés¨ uk és értelmes felhaszn´ al´ asuk módj´ anak megtalál´ asa ezért id˝ oigényes feladatot jelenthet a felhaszn´ al´ o számára. Mindenesetre a szerz˝ok véleménye az, hogy ezeknek a matematikai programoknak a megjelenése u ´j t´ avlatokat ad a matematika alkalmaz´ asának, kutat´ asának és oktatásának.

16


Az els˝ o, széles k¨ orben haszn´ alhat´ o v´ altozatok a 80-as évek végén jelentek meg. Azóta a cégek egym´ ast serkentve bocsá jtj´ ak ki az u ´jabb és u ´jabb, jav´ıtott és b˝ov´ıtett v´ altozatokat. A k¨ ovetkez˝o évek fejl˝ odésének következményei szinte beláthatatlanok. A szimbolikus programcsomagokban is alkalmazott algoritmusok matematikai megalapozásával és gyárt´ asával a szimbolikus sz´ amol´ asok elmélete (computer algebra) foglalkozik. Az e témakör ir´ ant is érdekl˝od˝ o Olvasó figyelmébe aj´ anljuk K. O. Geddes, S. R. Czapor és G. Labah kivál´ o k¨ onyvét (lásd [28]-at). Ebben a szerz˝ ok tematikus feldolgozásban t´ argyalj´ ak a felhaszn´ alhat´ o algoritmusokat és azok elméleti alapjait. Részletesen foglalkoznak péld´ aul a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o polinomfaktoriz´ aci´ os eljár´ asokkal. Kifejtik a Gr¨ obner-b´ azisok elméletét (ez az alapja az egyenletrendszer-megoldó algoritmusoknak) is. K¨ ul¨ on fejezetet szentelnek a hat´ arozatlan integr´ alok asára haszn´ alhat´ o Risch-algoritmusnak is. kiszám´ıt´ A szimbolikus programcsomagokat a kész´ıt˝ oik a´ltal kit˝ uz¨ ott cél alapján szokás osztályozni. ´ • Altal´ anos c´ el´ u programcsomagok Ebbe a csoportba sorolhat´ ok azok a programok, amelyek a matematika t¨ obb ter¨ uletén felvet˝ od˝ o problémák megoldásához is használhat´ ok. Ilyen programok a k¨ ovetkez˝ok: Axiom, Mathematica, Derive, muMath, Macsyma, Reduce, Maple, ScratchPad. Az által´ anos cél´ u matematikai programcsomagok k¨ oz¨ ul haz´ ankban a Derive, a Maple és a Mathematica a legismertebb. A Derive a programoz´ as cs´ ucsteljes´ıtménye. Ilyen kis terjedelemben (alig 400 kB) ennyi képességet létrehozni — minden elismerés¨ unk a fejleszt˝oké. Magyarországon, k¨ ul¨ on¨ osen által´ anos és középiskolákban, sok´ aig még biztosan fontos szerepet fog j´ atszani, részben mint olyan eszköz, amely el˝ okész´ıti aul a Maple vagy a Mathaz érdekl˝od˝ oket a professzion´ alis programok, péld´ ematica haszn´ alat´ ara. L´ asd err˝ ol péld´ aul a [79] k¨ onyvet, amely a tan´ aroknak ad az alkalmazásához seg´ıtséget. A Maple és a Mathematica méreteit és lehet˝oségeit tekintve lényegesen nagyobb, mint a Derive. K¨ ul¨ onb¨ oznek egymástól, de az alaplehet˝ oségeket tekintve nagyon hasonl´ oak (a Mathematica lehet˝oségeit a 2.1. szakaszban ismertetj¨ uk). Mivel sok beép´ıtett elj´ ar´ ast tartalmaznak (a Mathematicaf¨ uggvények száma közel 2000), ezért már igen r¨ ovid id˝ o alatt elérhet¨ unk

1.2. Numerikus programcsomagok

17

sikereket egysoros utas´ıt´ asaik felhasznál´ asával is. A tapasztalatunk azonban az, hogy a lehet˝ oségek igényeinknek megfelel˝ o kihaszn´ al´ asához a programok mélyebb megismerése elengedhetetlen. • Speci´ alis c´ el´ u programcsomagok Ebbe a csoportba tartoznak azok a programok, amelyek seg´ıtségével a matematika egy adott részter¨ uletén felvet˝ od˝ o, már speciális kutat´ oi igényeket kielég´ıt˝ o számolások is elvégezhet˝ok. Ilyen program péld´ aul a CAYLEY (csoportelmélet és számelmélet), a CoCoA (kommutat´ıv algebra), a GAP (csoportelmélet), a LiE (Lie-csoportok elmélete) vagy a Macaulay (algebrai geometria és kommutat´ıv algebra). Kifejezések egyszer˝ us´ıthet˝ ok a FORM seg´ıtségével, a SHEEP pedig a relativitáselméletben használhat´ o.

1.2. Numerikus programcsomagok A legnagyobb hagyom´ anya azoknak a programcsomagoknak van, amelyek a numerikus matematika módszereivel keresik az adott probléma megold´ asának egy közel´ıtését. (Angolul az ilyeneket szok´ as number cruncher nek nevezni.) A teljesség igénye nélk¨ ul ezek k¨ oz¨ ul is f¨ olsorolunk néh´ anyat. A legelterjedtebb és legteljesebb ilyen programcsomag a Numerical Recipes [63]. A számos kiad´ asban is napvil´ agot l´ atott, t¨ obb k¨ otetes m˝ u a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o numerikus algoritmusok C, Fortran és Pascal nyelv˝ u programjait tartalmazza. Sokan haszn´ alj´ ak a MATLAB-ot, amelyet az igényeknek megfelel˝oen kiegész´ıtettek szimbolikus számolásokat végz˝o részekkel is. K¨ ozönséges differenciálegyenletek numerikus megold´ asára (k¨ ul¨ on¨ osen az oktatásban) nagyon j´ ol haszn´ alhat´ o péld´ aul a PHASER. ´ Erdemes megeml´ıteni a modellvizsgálat fontos speciális ter¨ uletér˝ol néh´ any hasznos programot; ilyen a DiffEq az MLAB, a PCNonLin és a KINAL. K¨ ul¨ on´ all´ o, fontos ter¨ ulet a statisztikai programcsomagoké. Néhány igen unk csak: SPSS, STATGRAPHICS, SYSTAT, népszer˝ u programot eml´ıt¨ BMDP. (Helytelen¨ ul ide szokt´ ak sorolni a SAS-t is.) A line´ aris programoz´ as feladatára is sok programcsomag kész¨ ult. Vég¨ ul megeml´ıtj¨ uk, hogy ma m´ ar a t´ abl´ azatkezel˝ok (EXCEL, Quattro) is egyre több numerikus feladat (péld´ aul egyenletek megoldása, f¨ uggvények mi-

18


nimum´ anak keresése) megoldására képesek; ezeket igazán akkor érdemes haszn´ alni, amikor az adatok és paraméterek tábl´ azatos ábr´ azolása jelent˝os el˝ony¨ okkel j´ ar, péld´ aul a line´ aris és nemlineáris programoz´ as feladatain´ al. A feladatokat nem lehet diszjunkt oszt´ alyokra bontani. A szimbolikus számolás képességének akkor is szerepe lehet, amikor eredeti célunk egy numerikus sz´ amolás elvégzése. Tekints¨ uk péld´ aul a 30 × 30-as Hilbert-féle mátrix inverzének numerikus kisz´ amolását. Ez hagyom´ anyos nyelven az elérhet˝o gépi pontoss´ ag mellett nem végezhet˝o el. Ha viszont szimbolikusan számoljuk ki az inverzet (ami egy racion´ alis számokb´ ol a´ll´ o mátrix lesz), majd az eredményt k¨ ozel´ıtj¨ uk, akkor megfelel˝o eredményt kapunk.

2. Ismerkedés a Mathematica programmal

A Mathematica egy által´ anos cél´ u szimbolikus programcsomag. Kifejlesztésének ötlete a részecskefizikusként, majd a sejtautomat´ ak elméletének kutat´ o jaként ismert Stephen Wolfram fejéb˝ ol pattant ki — a legmegfelel˝ obb pillanatban: 1986-ban. Ekkor m´ ar az optimisták remélhették, hogy bel´ athat´ o id˝ on bel¨ ul a mindenki” asztal´ an ott lév˝o személyi sz´ am´ıt´ ogépek ” képesek lesznek nem-triviális matematikai problémák megoldására. Ma m´ ar a Wolfram Research Inc. t¨ obb mint 100 alkalmazottal dolgozik ´ az Egyes¨ ult Allamokban, s a vil´ ag számos ország´ aban van képviselete. Négy foly´ oirat és mintegy 100 k¨ onyv t´ argya a program. K¨ ul¨ on¨ osebb el˝okész¨ uletek, illetve kiegész´ıtések nélk¨ ul a k¨ ovetkez˝o lehet˝oségeket k´ın´ alja: • Szimbolikus m˝ uveletek végzésére használhat´ o, amilyen péld´ aul a mauggvények keresése, altematikai kifejezések egyszer˝ us´ıtése, primit´ıv f¨ gebrai és differenciálegyenletek megoldása. • A hagyom´ anyos programnyelvekkel szemben itt akár t¨ obb ezer értékes jeggyel is végezhet¨ unk numerikus sz´ am´ıt´ asokat. • Grafikai lehet˝ oségei egészen kivál´ oak: alapértelmezésben is igen sok esetben megfelel˝o ábr´ at kész´ıt, sz¨ ukség esetén azonban az a´br´ azolás folyamat´ at rugalmasan módos´ıthatjuk. • Magas szint˝ u programnyelv, amely több st´ılusban is lehet˝ ové teszi a programoz´ ast: ´ırhatunk procedur´ alis, szab´ alyalap´ u , objektumorient´ alt és funkcion´ alis elven kész¨ ult programokat. K¨ ul¨ on¨ osen fontos az a tény, hogy gazdag az utols´ oként megeml´ıtett st´ılus megval´ os´ıt´ asához haszn´ alhat´ o eszközeinek tára. asb´ azisok reprezent´ al´ asára is alkalmas. • Tudományos és m˝ uszaki tud´ • Írhatunk programok at alá (alkalmaz´ asokat) és fölé (azaz alprogramként haszn´ alhatjuk f¨ uggvényeit). • Egyre t¨ obb népszer˝ u program (C, EXCEL, VisualBasic, Word) kapcsolható hozzá. • Olyan interakt´ıv dokumentumok kész´ıthet˝ ok vele, amelyekben matematikai képletek, hang, a´ll´ o és mozgó a´br´ ak (anim´ aci´ o) egy¨ utt szolgálj´ ak az oktatand´ o vagy kutatott anyag kifejtését.

20


A Mathematica program (Apple Macintosh gépre kidolgozott) els˝o v´ altozatát 1988 j´ unius´ aban mutatt´ ak be. A megjelenése évében a Business Week magazin minden kateg´ ori´ at tekintve az év legjobb 10 u ´j terméke közé sorolta. Ezut´ an sorra kész¨ ultek el a k¨ ul¨ onféle operáci´ os rendszerekre (péld´ aul DOS, LINUX, NEXTSTEP, OS/2, UNIX és WINDOWS) adapt´ alt v´ altozatok. A beép´ıtett elj´ ar´ asok száma közel kétezer. A program beind´ıt´ asa után ezek k¨ oz¨ ul t¨ obb mint ezer azonnal haszn´ alhat´ o. Ezeknek az utas´ıt´ asoknak a lel˝ohelye a mag (kernel). A fennmarad´ o elj´ ar´ asokat a Mathematica programnyelvén meg´ırt a´llományok, az u ´gynevezett programcsomagok (l´ asd a 2.2. szakaszt) tartalmazzák. A felhaszn´ al´ oval egy k¨ ul¨ on program tartja a kapcsolatot: a felhaszn´ al´ oi fel¨ ulet (front end). Ez alapvet˝ oen kétféle t´ıpus´ u lehet: sz¨ oveges vagy ablakos. ´ Altal´ aban ezeket k¨ ul¨ onb¨ oz˝o paranccsal ind´ıthatjuk. Az ablakos v´ altozatban men¨ uk vannak, ´ıgy igen kényelmesen használhat´ o, ezért a tanul´ as id˝ oszakában, ha van r´ a mód, ezt érdemes választani. A szöveges v´ altozat kevesebb memóri´ at igényel és gyorsabb, aminek el˝onyeit k¨ ul¨ on¨ osen számolásigényes feladatokn´ al tapasztalhatjuk. A program a felhaszn´ al´ o szempontjáb´ ol minden gépt´ıpuson lényegében ugyan´ ugy m˝ uk¨ odik. Az ablakos v´ altozatok jegyzetf¨ uzeteket (notebook ) kész´ıtenek. Ezek kiterjesztés˝ u a´llományok, amelyekkel a szok´ asos m˝ uveletek (péld´ aul megnyit´ as, mentés, módos´ıt´ as) végezhet˝ok. A jegyzetf¨ uzetek cell´ akb´ ol ép¨ ulnek fel. A cell´ ak k¨ oz¨ ul kijel¨ olhet¨ unk egyet (a képerny˝ o jobb oldal´ an l´ athat´ o szögletes zár´ o jelre kattintva) vagy t¨ obbet (az egeret egy kattintás ut´ an a zár´ o jeleken végigvonszolva). A kijel¨ olt cell´ aval vagy cell´ akkal péld´ aul a k¨ ovetkez˝o m˝ uveleteket végezhetj¨ uk a megfelel˝ o men¨ upontok f¨ olhaszn´ al´ asával:

2.1. A legfontosabb tudnival´ ok

21

t¨ orlés, áthelyezés, st´ılusváltoztat´ as, összef˝ uzés, csoportos´ıt´ as. (A csoportos´ıt´ as eredménye egy olyan cella, amelyben több cella van egy¨ utt.) A t¨ obb cell´ ab´ ol a´ll´ o cell´ akat becsukhatjuk a szögletes zár´ o jelre dupl´ an kattintva, ezáltal fokozhatjuk a jegyzetf¨ uzet áttekinthet˝ oségét. Amikor k´ıv´ ancsiak vagyunk a becsukott cella részletes tartalmára, akkor azt (ismét dupla kattint´ assal) u ´jra kinyithatjuk . A jegyzetf¨ uzetek, s˝ot az egyes cellák st´ılusa t´ ag hat´ arok k¨ ozött v´ altoztathat´ o. A benn¨ uk tal´ alhat´ o anyagot igényeinknek megfelel˝oen fejezetekbe, szakaszokba stb. szervezhetj¨ uk. Egyes részeket az áttekinthet˝oség érdekében id˝ onként becsukhatunk. A programmal megoldhat´ o feladatok mérete és a megoldáshoz sz¨ ukséges id˝o lényegesen f¨ ugg a rendelkezésre áll´ o szám´ıt´ ogép konfigur´ aci´ o j´ at´ ol. Magunk els˝osorban a 2.2.2. és a 2.2.3. változatot használtuk WINDOWS alatt 486-os IBM PC t´ıpus´ u gépeken, amelyekben 8–16 Mb RAM volt. A program kész´ıt˝ oi ezekhez a változatokhoz legalább 8 Mb RAM-ot és legal´ abb 10 Mb virtu´ alis memóri´ at javasolnak. Maga a program mintegy 10 Mb helyet foglal el a merevlemezen. A helyenként megjelen˝o id˝ oadatok csup´ an t´ a jékoztató jelleg˝ uek; értékelés¨ uknél a fentieket figyelembe kell venni.

2.1. A legfontosabb tudnival´ ok A Mathematica értelmez˝ oként (interpreter ) dolgozik, ami azt jelenti, hogy a parancsokat soronként megérti, végrehajtja, majd ki´ırja az eredményt. Sz´ amon tartja és ki´ırja azt is, hogy az adott alkalomkor (session) az adott utas´ıt´ ast h´ anyadikként hajtotta végre. St´ılus´ aban érezhet˝o, hogy felhaszn´ alt´ ak a C, a LISP és a UNIX nyelv tapasztalatait. • A program m˝ uk¨ odtet´ ese A program ind´ıt´ asa rendszerf¨ ugg˝ o, és könnyen kider´ıthet˝ o. Ind´ıt´ as ut´ an a végrehajtani k´ıv´ ant utas´ıt´ ast a megfelel˝o szintaxissal begépelj¨ uk (a sorok b´ arhol megt¨ orhet˝ ok), majd végrehajtjuk. Ez ut´ obbit sz¨ oveges v´ altozatn´ al az Enter billenty˝ u lenyom´ asával érhetj¨ uk el. Az ablakos v´ altozatokn´ al a´ltal´ aban a Shift és az Enter billenty˝ u egy¨ uttes lenyomására van sz¨ ukség. A WINDOWS-os v´ altozatban alkalmazhatjuk az Insert gombot vagy a numeuzet 5-ös gombj´ anak lenyomását is. rikus billenty˝ A program minden v´ altozat´ ab´ ol kilépni a

utas´ıt´ assal lehet.

22


Felh´ıvjuk a figyelmet arra, hogy az ablakos v´ altozatokban az egyes m˝ uveletek kiértékelése közben is begépelhetj¨ uk a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ asokat. • Karakterk´ eszlet Az angol a´bécéb˝ ol és a számjegyekb˝ ol indulunk ki. A nagy- és a kisbet˝ uk k¨ ozött k¨ ul¨ onbséget tesz¨ unk. A speci´ alis karakterek nek meghatározott jelentése van. Itt csak a leggyakrabban haszn´ altakat soroljuk fel. Az aritmetikai m˝ uveletek jelei által´ aban a szokásosak (lásd a 3.1.3. ponoli, de ugyanerre (kissé szokatlan módon) a tot); péld´ aul a szorzást a jel¨ szók¨ ozt is használhatjuk. Vigy´ azzunk a k¨ ul¨ onféle z´ ar´ ojelek gondos ´ır´ asára. A precedencia-szabály art. F¨ uggvények argumentumegtörésére használjuk a k¨ ozönséges jelp´ ozé tessz¨ uk. Kapcsos zár´ o jelekkel listákat mát szögletes zár´ o jelek k¨ (l´ asd a 2.3.1. pontot) adhatunk meg. A lista részeire kett˝os szögletes záasd a 2.3.1. pontot). Vég¨ ul, ha programot r´ o jellel hivatkozhatunk (l´ ozé magyarázó szöveget ´ırhatunk. ´ırunk, a és a jel k¨ asra, a pedig késAz egyenl˝ oségjelek k¨ oz¨ ul az jel azonnali értékad´ leltetett értékad´ asra haszn´ alhat´ o. Ez ut´ obbi értékad´ as csak akkor valósul meg, amikor használni akarjuk a bal oldal´ an szerepl˝ o szimbólumot. A és a jelsorozattal két kifejezés karakterr˝ol karakterre val´ o megegyezését ellen˝orizhetj¨ uk, a és a jelsorozattal pedig kifejezések egyenl˝oségét matematikai szempontból vizsgálhatjuk:

{False, True, alma == almas}

{False, True}

True

Itt is felh´ıvjuk a figyelmet arra, hogy egyenleteket is a jelsorozattal u jelek adhatunk meg. A ciklusv´ altozók (iter´ atorok ) léptetésére a ! t´ıpus´ szolgálnak. asokban haszn´ alhatjuk. Ha egy utas´ıt´ as ut´ an a # jelet A " jelet felsorol´ ´ırjuk, akkor annak eredménye által´ aban nem jelenik meg a képerny˝ on.

2.1. A legfontosabb tudnival´ ok

23

A legutols´ o utas´ıt´ as eredményére a $ jellel hivatkozhatunk. Az utols´ o as eredményének a jele $. Ezek el˝ottinek a jele $$, m´ıg az -edik utas´ıt´ alkalmaz´ asán´ al k¨ onny˝ u hib´ at elkövetni! Az szám faktori´ alisa jel¨ olhet˝ o a szokásos módon. (Szemifaktori´ alisa pedig ´ıgy: .) Ha a jel viszont egy logikai kifejezés el˝ott áll, akkor annak tagad´ asát jel¨ oli. • Alapszavak A nyelv tervezésénél (a Pascal nyelvben vagy a UNIX oper´ aci´ os rendszernél megszokotthoz hasonlóan) a´ltal´ aban hossz´ u, értelmes, nagybet˝ uvel kezd˝ od˝ o, kital´ alhat´ o azonos´ıt´ okat v´ alasztottak alapszavak ként. Péld´ aul:

% &' %

' '() '*%+ *

Sz¨ ukség esetén a meglév˝ok¨ on t´ ul magunk is bevezethet¨ unk azonos´ıt´ okat. Ilyenkor célszer˝ u k¨ ovetni a fenti konvenci´ ot. A programt´ ol figyelmeztet˝o u ¨zenetet kapunk, ha az u ´j azonos´ıt´ o valamelyik korábban defini´ alttal megegyezik, vagy egy olyanhoz hasonl´ o. A mintegy kétezer beép´ıtett azonos´ıt´ o nagy része az angol matematikai és szám´ıt´ astechnikai szaknyelv elemeinek ismeretében vagy kitalálhat´ o, vagy legalább annyira megk¨ ozel´ıthet˝ o, hogy értelmes kérdést tudjunk f¨ oltenni a rendszernek. (Péld´ aul: ,'.) Az alapszavak els˝o megközel´ıtésben matematikai és programozási szempontb´ ol is f¨ uggvények, ezért ezeket Mathematica-f¨ uggvényeknek, beép´ıtett f¨ uggvényeknek vagy egyszer˝ uen f¨ uggvényeknek fogjuk nevezni. A v´ altozatosság kedvéért viszont elj´ ar´ as néven is fogjuk eml´ıteni ezeket, némileg eltérve a szám´ıt´ astechnik´ aban meghonosodott szokástól. A program magj´ aban vannak a bels˝ o f¨ uggvények , a programcsomagok tartalmazzák a k¨ uls˝ o f¨ uggvények et. A f¨ uggvények jelentése sokféle lehet: • • • • • • • • • •

matematikai álland´ o (-" '" )& ); adatt´ıpus (.*" %& ); matematikai f¨ uggvény (/ 0" " 1 )); matematikai operátor (" )" 2); osszetett matematikai eljár´ ¨ as (3)+" 2 4-4" 5 )*); rajzol´ o elj´ ar´ as ('()); be- és kiviteli m˝ uvelet (6.*" %); programoz´ asi eszköz (%" )" 3*); listakezel˝ o elj´ ar´ as ( " ' " 0 " 6+ *); egyéb (" )*).

24


Mivel az alapszavak jelentése igen sok esetben magától értet˝od˝ o, ezért egy Mathematic´ a ban meg´ırt program legal´ abb olyan egyszer˝ uen olvashat´ o, mint egy szépen meg´ırt Pascal-program — azzal a k¨ ul¨ onbséggel, hogy m˝ uk¨ odtetéséhez nem nek¨ unk kell kibontanunk a f˝ oprogramban szerepl˝ o értelmes szavakat eljár´ asok és f¨ uggvények hossz´ u sor´ av´ a. A Mathematica felép´ıtése a hardver- és a szoftverkörnyezett˝ol meglehet˝ osen f¨ uggetlen. Az aktu´ alis kapcsolatokat a rendszerv´ altoz´ ok ´ırj´ ak le (lásd uvel kezd˝ odik. a 2.4.2. pontot), amelyek azonos´ıt´ o ja a 7 jellel és nagybet˝ Péld´ aul a ! {{a, A}, {b, {g, G}, {h, {m, M}, {n, {s, S}, {t, {y, Y}, {z,

B}, H}, N}, T}, Z},

{c, C}, {d, {i, I}, {j, {o, O}, {p, {u, U}, {v, 0, 1, 2, 3,

D}, {e, E}, J}, {k, K}, P}, {q, Q}, V}, {w, W}, 4, 5, 6, 7,

{f, F}, {l, L}, {r, R}, {x, X}, 8, 9}

rendszerváltozó defini´ alja a karakterek sorrendjét. A program ezt veszi alapul kifejezések feldolgoz´ asán´ al is és megjelen´ıtésénél is. • Inform´ aci´ oszerz´ es A beép´ıtett f¨ uggvények haszn´ alat´ ahoz a programt´ ol is kaphatunk seg´ıtséget. Tetsz˝oleges azonos´ıt´ or´ ol felvilágos´ıt´ ast kaphatunk az al´ abbi beép´ıtett f¨ uggvények haszn´ alat´ aval:

4 4* ) 83* 8)

% ,, 39 3* , :; <9

Ha ablakos felhaszn´ al´ oi fel¨ ulettel dolgozunk, akkor a Help men¨ uponthoz is fordulhatunk. Ha tudjuk annak a f¨ uggvénynek a nevét (legyen ez péld´ aul '), amelyr˝ ol inform´ aci´ ot szeretnénk kapni, akkor hajtsuk végre a következ˝o utas´ıt´ ast: "#$ Plot[f, {x, xmin, xmax}] generates a plot of f as a function of x from xmin to xmax. Plot[{f1, f2, ...}, {x, xmin, xmax}] plots several functions fi.

2.2. Programcsomagok

25

Figyelj¨ uk meg a konkrét péld´ aban, hogy a ' f¨ uggvény k¨ ul¨ onb¨ oz˝o szintaxissal m´ as-más feladat megoldására haszn´ alhat´ o. Részletesebb, az opciókat és attrib´ utumokat (l´ asd a 2.3.3. és a 2.3.4. pontot) is megad´ o inform´ aci´ ot kapunk a ""#$

utas´ıt´ as eredményeként. Ha a keresett f¨ uggvény nevének csak egy részét ismerj¨ uk, akkor a dzsóker karaktert használhatjuk: "%#%

´ Altal´ aban érdemes a programot is megkérdezni és a Help men¨ upontot is megnézni egy adott f¨ uggvény m˝ uk¨ odésér˝ol, mert esetleg egymást kiegész´ıt˝ o inform´ aci´ ohoz juthatunk. Ha a fenti m´ odon megszerzett ismeret nem elegend˝o, akkor a program referenciak¨ onyveit [3, 89] haszn´ alhatjuk. Ennek a fejezetnek tov´ abbi részei (lásd a 2.5. szakaszt) is tartalmaznak még idevonatkoz´ o tan´ acsokat. ¨ • Uzenetek A program m˝ uk¨ odése közben u ¨zeneteket k¨ uld a felhaszn´ al´ onak. Hiba¨ uzenetet kapunk akkor, ha nyilv´ anval´ o szintaktikai hib´ at k¨ ovet¨ unk el. (Péld´ aul egy kezd˝ o zár´ o jel p´ arja hi´ anyzik.) Figyelmeztet˝ o u ¨zenet jelenik meg a képerny˝ on, ha egy f¨ uggvény argumentum´ anak a száma vagy t´ıpusa nincs összhangban annak defin´ıci´ o j´ aval. A kiértékelés során t´ ajékoztat´ ast is kaphatunk péld´ aul arr´ ol, hogy a Mathematica által alkalmazott m´ odszer nem alja a teljes eredmény el˝oa´ll´ıt´ asát. Bármilyen u ¨zenetet is kapunk (ha garant´ akarjuk, ezeket le is tilthatjuk), v´ arjuk meg az aktu´ alis utas´ıt´ as végrehajt´ asát, és az eredményt is figyelembe véve hasznos´ıtsuk tartalm´ at. Saj´ at programjainkat is ell´ athatjuk a fenti t´ıpus´ uu ¨zenetekkel.

2.2. Programcsomagok Eml´ıtett¨ uk m´ ar azt, hogy a program elind´ıt´ asa után t¨ obb mint ezer beép´ıtett f¨ uggvény k¨ ozvetlen használat´ ara van lehet˝oség¨ unk. Sz´ amos feladatot már egy ilyen f¨ uggvénnyel is meg tudunk oldani. A Mathematica minden v´ altozata tartalmaz azonban saj´ at programou szöveges zási nyelvén meg´ırt elj´ ar´ asgy˝ ujteményeket (ezek kiterjesztés˝ állom´ anyok), amelyeket a továbbiakban (program)csomagok nak fogunk nevezni.

26


A program kész´ıt˝ oi a csomagokat osztályokba sorolt´ ak. A k¨ ul¨ onb¨ oz˝o sorszám´ u v´ altozatokn´ al eltér˝ o lehet a csomagok száma is és a csoportos´ıt´ as módja is. Bizonyos operáci´ os rendszerek (péld´ aul a DOS és a UNIX) alatt m˝ uk¨ od˝ o v´ altozat esetében az osztályba sorolást k¨ onyvt´ arszerkezettel” le” het megadni. Mi is az ennek megfelel˝o szóhaszn´ alattal él¨ unk annak ellenére, hogy m´ as operáci´ os rendszerek esetében más elnevezést szok´ as használni. A Mathematica a csomagokhoz két paramétert (ezek az azonos´ıt´ okhoz hasonl´ oan értelmes, angol szavak) rendel: a csomag nevét és egy alkönyvt´ ar nevét. Ennek eredménye, hogy minden oper´ aci´ os rendszer használata esetén ugyanazzal a szintaxissal nyithatunk meg egy adott programcsomagot. A 2.2.x v´ altozatokban az alábbi alk¨ onyvt´ arnevek k¨ oz¨ ul v´ alogathatunk:

/& * )* 2 -4* 1 1 * . /&

2** 3 0 3 2 ' & &-4* ** :*

Ezek a DOS és a UNIX operáci´ os rendszer esetén a Mathematic´ a t tartalmaz´ o k¨ onyvt´ ar Packages elnevezés˝ u alk¨ onyvt´ ar´ aban tal´ alhat´ ok meg. (A DOS-ban az alk¨ onyvt´ arak és az állományok neve legfeljebb 8 karakterb˝ ol áll.) Ha haszn´ alni akarjuk valamelyik programcsomagban meglév˝o elj´ ar´ ast, akkor el˝ oször meg kell nyitni a megfelel˝o csomagot. Ennek egyik (az aktuálisan haszn´ alt oper´ aci´ os rendszert˝ol f¨ uggetlen) módja az

== + > & *&> szerkezet˝ u utas´ıt´ as végrehajt´ asa. A == jelsorozat (a 1 f¨ uggvény r¨ ovid alakja) utal arra, hogy meg akarunk nyitni egy a´llományt. Az + jelsorozat az imént felsorolt szavak valamelyikét, a & *& pedig a megnyitand´ o csomag (teljes) nevét jelöli. Figyelj¨ uk meg, hogy az ut´ obbit ozé kell tenn¨ unk. Haszn´ alhatjuk még a a > > karakterek (context mark ) k¨

3*? + > & *&>? szerkezet˝ u utas´ıt´ ast is. Az állományok megnyit´ asának fenti két módja k¨ ozött a k¨ ul¨ onbség az, hogy az els˝o esetben a Mathematica azonnal beolvassa a memóri´ aba a csomag tartalmát, m´ıg a második esetben ezt csak akkor teszi meg, ha olyan utas´ıt´ ast kell neki végrehajtania, amely a megjel¨ olt

2.2. Programcsomagok

27

programcsomagban tal´ alhat´ o. A harmadik lehet˝ oség¨ unk az, hogy a == jelsorozat ut´ an be´ırjuk (az elérési u ´tvonal megad´ asával) a programcsomagot tartalmazó ´ allomány (adott oper´ aci´ os rendszeren használt) nevét. Programcsomagokra a k¨ onyv¨ unk tov´ abbi részében ´ıgy fogunk hivatkozni:

+ > & *&> Az elmondottak illusztr´ al´ asára nézz¨ unk egy péld´ at. Hajtsuk végre a &&'(!!$)*! )

utas´ıt´ ast, azaz olvassuk be a nev˝ u programcsomagot, amely a 2** alkönyvtárban található. Ezután a bels˝o függvényekkel egyenérték˝ uen m˝ uk¨ od˝ o al´ abbi k¨ uls˝ o f¨ uggvényeket is használhatjuk:

)@A )*BC )'* &

-* -* 1 @ 4 5C* 3CD

Ha k´ıv´ ancsiak vagyunk péld´ aul arra, hogy 1995. december 9. milyen napra esett, akkor ezt ´ıgy kérdezhetj¨ uk meg a programt´ ol: +,-.!!/0 Saturday

Az értelmes alapszavak el˝onyét itt is tapasztalhatjuk: a felsorolt f¨ uggvények sejteni engedik azt, hogy mire lehet o˝ket haszn´ alni. Az alk¨ onyvt´ arakban lév˝o csomagok, valamint az ezekben definiált elj´ ar´ asok nevér˝ol magát´ ol a programt´ ol a WINDOWS-os v´ altozat esetén nem kapunk inform´ aci´ ot. Ebb˝ ol a szempontb´ ol a UNIX-os változat is kevés seg´ıtséget tartalmaz. A sz¨ ukséges ismereteket azért többféle módon is megszerezhetj¨ uk. Mivel a programcsomagok sz¨ oveges állományok, ezért egyrészt ezek elolvasásával is t´ a jékozódhatunk a felhaszn´ alhat´ o f¨ uggvényekr˝ ol. Ha már tudjuk a benn¨ unket érdekl˝o f¨ uggvény nevét és beolvastuk a programcsomagot, akkor alkalmazhatjuk az inform´ aci´ oszerzés kérd˝ o jeles módj´ at. Sokszor ennél részletesebb informáci´ ot és több mintapéld´ at is tartalmaz a [3] referenciakönyv. Vég¨ ul k¨ onyv¨ unk tov´ abbi fejezeteiben mi is utalni fogunk a programcsomagokban meglév˝o lehet˝oségekre is. Most a programcsomagok használat´ aval kapcsolatban egy tipikus hib´ ara szeretnénk felh´ıvni az Olvas´ o figyelmét. El˝ ofordul, hogy tévedésb˝ol haszn´ alni akarjuk valamelyik k¨ uls˝ o f¨ uggvényt az ˝ot tartalmazó programcsomag beh´ıv´ asa el˝ott. Ekkor a Mathematica létrehoz egy u ´j szimb´ olumot, amit a beadott sor v´ altozatlan form´ aban val´ o visszaad´ asával jelez. Péld´ aul:

28

2. Ismerkedés a Mathematica programmal '1!2#$ 3 3 4 MultipleListPlot[{1, 2, 3, 4}, {2, 4, 6, 8}]

Ilyen nev˝ u f¨ uggvény a 1 *>2.*'> programcsomagban is megtal´ alhat´ o. Olvassuk be ezut´ an ezt a programcsomagot: 5!! 6718()'1!2#$)6 MultipleListPlot::shdw: Warning: Symbol MultipleListPlot appears in multiple contexts {Graphics‘MultipleListPlot‘, Global‘}; definitions in context Graphics‘MultipleListPlot‘ may shadow or be shadowed by other definitions. '1!2#$ 3 3 4 MultipleListPlot[{1, 2, 3, 4}, {2, 4, 6, 8}]

A program teh´ at figyelmeztet benn¨ unket arra, hogy t¨ obb ilyen nev˝ u utas´ıt´ ast is talált, és ezek köz¨ ul az utols´ oként létrehozott utas´ıt´ ast (tehát azt, amelyiket tévedésb˝ol adtunk meg) hajtotta végre. Ilyen esetekben a

6+ elj´ ar´ assal tör¨ olhetj¨ uk a tévedésb˝ol begépelt azonos´ıt´ ot. A fenti péld´ at folytatva a 9! $:!'1!2#$ '1!2#$ 3 3 4

utas´ıt´ assorozat már megadja a v´ art eredményt. A programcsomagokat tartalmazó alk¨ onyvt´ arak mindegyikében megtal´ alhat´ o egy

2* nev˝ u programcsomag is. Ha ezt beh´ıvjuk, akkor ezzel az illet˝ o alk¨ onyvt´ arban meglév˝o valamennyi programcsomag minden f¨ uggvénye elérhet˝ové válik. Sokszor sz¨ ukség¨ unk lehet arra, hogy a mem´ ori´ ab´ ol egy beolvasott programcsomagot eltávol´ıtsunk. Ehhez (is) haszn´ alhat´ o a programcsomag, amely a MathSource-on a 0204–310 szám alatt találhat´ o. Ha olyan feladatot akarunk megoldani a Mathematic´ a val, amelyhez nem elegend˝o bels˝o vagy k¨ uls˝ o f¨ uggvény k¨ ozvetlen használata, akkor magunk is ´ırhatunk u ´j elj´ ar´ asokat. Erre a k¨ onyv tov´ abbi fejezeteiben sz´ amos péld´ at

2.3. Az alapelvekr˝ ol

29

fogunk mutatni. A MathSource (l´ asd a 2.5. szakaszt) igen sok programcsomagot is tartalmaz. Sz¨ ukség esetén ott is érdemes kör¨ ulnézni. Léteznek speciális igényeket kielég´ıt˝ o, pénzért árult csomagok is. Ilyenek péld´ aul a k¨ ovetkez˝ok: CALCULUS&Mathematica, Electrical Engineering Pack, Finance Pack, MathTensor, Mechanical System Pack, Optica, Time Series Pack, TSiDynamics, TSiControls. A MathSource-on megtudhatjuk, hogy ezek hol és mennyiért szerezhet˝ok be.

2.3. Az alapelvekr˝ ol A Mathematica leglényegesebb jellegzetessége az, hogy egységes m´ odon kezeli a (matematikai) m˝ uveletek h´ arom f˝ o csoportj´ at: a grafikus, a numerikus és a szimbolikus m˝ uveleteket. A k¨ ul¨ onb¨ oz˝o t´ıpus´ u dolgok kidolgozott egységes kezelési módja teszi lehet˝ové azt, hogy a matematika és a szám´ıt´ astudomány ar´ anylag kevés módszerének felhaszn´ al´ asával az alkalmazások igen széles k¨ ore lefedhet˝ o. Ennek az egységes szemléletnek az el˝onyeit a felhaszn´ al´ o is tapasztalja. A program szempontj´ ab´ ol a legalapvet˝obb fogalmak a kifejezés, a kiértékelés, a transzform´ aci´ os szab´ aly, a mint´ azat, az opci´ o és az attrib´ utum. A Mathematica m˝ uk¨ odését els˝o k¨ ozel´ıtésben a következ˝oképpen lehet le´ırni. uk Amikor végrehajtunk egy utas´ıt´ ast vagy utas´ıt´ assorozatot (ezeket nevezz¨ a tov´ abbiakban kifejezéseknek), akkor a program kiértékeli azt. Programozástechnikai szempontb´ ol a Mathematica egy végtelen kiértékel˝ o rendszer . Ez a k¨ ovetkez˝ot jelenti. A kiértékelés bonyolult folyamat´ anak els˝o lépéseként a program egységes (bels˝o) alakra hozza a beadott kifejezést. Ezut´ an az attrib´ utumok és az opciók figyelembevételével a Mathematica addig alkalmazza a kész´ıt˝ oik vagy a felhaszn´ al´ o által már kor´ abban megadott defin´ıcókat (transzform´ aci´ os szabályokat), ameddig k¨ ul¨ onb¨ oz˝o alak´ u eredményt kap. A program egy eredményt akkor tekint végeredménynek (és által´ aban ezt ´ırja ki a képerny˝ ore), ha az már v´ altozatlan alak´ u.

2.3.1. Alapvet˝ o adatszerkezetek A legalapvet˝obb adatszerkezet a kifejezés.

30


Így fogjuk nevezni az egy vagy t¨ obb (parancs)sorba begépelt jelsorozatot. A beadott parancsot a végrehajt´ as ut´ an a Mathematica kiértékeli és a végeredményt egyrészt tárolja, m´ asrészt (számos esetben annak csup´ an egy részét) ki´ırja a képerny˝ ore. Ezeket a jelsorozatokat is kifejezéseknek tekintj¨ uk. A 2.1. szakaszban beszélt¨ unk a kifejezések egyik speciális osztály´ ar´ ol, a Mathematica-f¨ uggvényekr˝ ol. Sokszor sz¨ ukség¨ unk lehet arra, hogy a program a´ltal megadott végeredményt vagy annak bizonyos részeit kés˝obbi id˝ opontban haszn´ aljuk fel. Ilyen esetekben fontos ismerni azt, hogy a Mathematica milyen módon t´ arolja a kifejezéseket. Ennek megértéséhez a kifejezés fogalmát kell pontos´ıtanunk. A programoz´ as elméletében a kifejezés fogalmát axiomatikus módon szok´ as defini´ alni. Most csak a Mathematic´ a ban haszn´ alt kifejezés fogalmának egy rekurz´ıv jelleg˝ u k¨ or¨ ul´ır´ asát adjuk meg. El˝ oször az elemi kifejezések et (más néven atomok at) soroljuk fel. A Mathematica atomjai: a szimb´ olumok vagy azonos´ıt´ ok (bet˝ uknek és természetes számoknak nem természetes számmal kezd˝od˝ o sorozata), az egész vagy explicit tizedesponttal megadott val´ os sz´ amok és a f¨ uzérek (sztringek). Minden atomot kifejezésnek tekint¨ unk. Adott természetes szám esetén az

E" F"

" jelsorozatot is kifejezésnek nevezz¨ uk, ha " E"

és is kifejezés. Ebben az esetben az adott kifejezés feje (head), E" F"

és pedig a kifejezés argumentumai (vagy elemei). uggvénnyel kérdezhetj¨ uk meg azt, hogy mit tekint A programt´ ol a G f¨ egy kifejezés fejének. Péld´ aul: ;! <+ ;! =3 ;! 6: 6 {Symbol, Real, String}

A kifejezés fenti defin´ıci´ o j´ aban feltételezt¨ uk azt, hogy speci´ alis karaktersorozatok a megfelel˝o azonos´ıt´ oval (ezek teljes listá ja megtalálhat´ o a [89] referenciak¨ onyv 716–719. oldal´ an) vannak megadva. uggvény t´ a jékoztat benn¨ unket arr´ ol, hogy a program miA 88 f¨ lyen form´ aban t´ arol egy kifejezést. Figyelj¨ uk meg el˝oször az atomok tárolási módj´ at: >>$ <+ >>$ =3 >>$ 6: 6 {ab2D, 3.14, "valami"}

Nézz¨ unk ezut´ an néh´ any tov´ abbi péld´ at:


31

>>$ ?@0 >>$ A0 >>$ 3 B {Rational[7, 5], Power[5, Rational[1, 2]], Complex[3, 4]} >>$ , C Plus[Power[y, 3], Power[Plus[1, z], 2]] >>$ >>$ ;$ {Times[5, t], Hold[Plus[Times[2, t], Times[3, t]]]}

Adott kifejezés meghatározott részeit kett˝os zár´ ojelek ( , ami a

' függvény rövid alakja) használatával jelölhetjük ki. A ' HI*" és a HI*

´ utas´ıt´ as eredménye péld´ aul a HI* -edik argumentuma. Erdemes megjegyezni egyrészt azt, hogy a nulladik argumentum a kifejezés feje, másaul: részt azt is, hogy negat´ıv szám is lehet. Péld´ /-!D!C! - 3 #/-!D!C! E /-!D!C! /-!D!C!F {f, a3, a2}

A kiv´ alasztás imént ismertetett elemi m´ odj´ at rekurz´ıvan alkalmazhatjuk. Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝o péld´ akat. Legyen /-!D!C! 8 << %, : 2 h[bb + x, x y, (u + v) ]

Mivel a /-!D!C! 2 (u + v)

szintén kifejezés, ezért ennek argumentumait, valamint az argumentumok argumentumait is kiv´ alaszthatjuk a fenti m´ odszerrel: /-!D!C! u + v /-!D!C! v

A fenti utas´ıt´ asok helyett — szerencsére — az alábbiakat is haszn´ alhatjuk: /-!D!C! u + v

32

2. Ismerkedés a Mathematica programmal /-!D!C! v

Minden kifejezéshez egyértelm˝ uen hozz´ arendelhet˝ o egy gyökérrel b´ır´ o, fastrukt´ ur´ aj´ u gr´ af oly módon, hogy a gr´ af cs´ ucsaiba a részkifejezések fejét, levélcs´ ucsaiba pedig az atomokat helyezz¨ uk el. Ennek elkész´ıtéséhez is uggvény: seg´ıtséget ad a 0 8 f¨ G!!>$ /-!D!C! h[| , | , | ] Plus[bb, x] Times[x, y] Power[| , 2] Plus[u, v]

Magát a gr´ afot pedig ´ıgy rajzolhatjuk meg: &&+(!!'8)G!!) H1#$/-!D!C!

Egy részkifejezés (beleértve ezent´ ul az atomokat is) szintje (level) a gy¨ okért˝ol hozzá vezet˝o u ´t hossza a fenti gr´ afban: 2!:!/-!D!C! 2 {bb, x, bb + x, x, y, x y, u + v, 2, (u + v) }

2!:!/-!D!C! {bb, x, x, y, u + v, 2}

Egy részkifejezés több helyen is el˝ ofordulhat, ezen el˝ ofordul´ asi helyek listáj´ at is megkaphatjuk: #$$/-!D!C! B-, {{1, 2}, {2, 1}}

A ) f¨ uggvény egy kifejezés összes szintjeinek számát adja meg.


33

A fentiekben használt HI*F(" F" E formula argumentumai éppen az adott részkifejezéshez vezet˝o utat adj´ ak meg a fenti gr´ afban. Ezen k´ıv¨ ul tov´ abbi m˝ uveleteket is végezhet¨ unk a kifejezésekkel a következ˝o f¨ uggvényeket használva:

/ /0 ) 8 * %* 5 ' ' ' 0

6' 6* 6+ * 6. 66& 0

A kifejezések egy másik fontos osztály´ at alkotj´ ak a listák. Programozási nyelvekben a kifejezések osztályba sorol´ asának eszközei a t´ıpusok. Ezeket arra haszn´ alj´ ak, hogy seg´ıtség¨ ukkel ellen˝ orizzék a kifejezések helyességét szemantikai szempontból: péld´ aul, ha egy egész argumentum´ u f¨ uggvény argumentum´ aba val´ os t´ıpus´ u szám ker¨ ul, hiba¨ uzenetet kapunk. Ez, k¨ ul¨ on¨ osen bonyolult programokn´ al, igen hasznos. Másrészt igen nehézkessé válhat egy olyan programoz´ asi nyelv, (péld´ aul a Pascal) használata, amelyben minden objektum t´ıpus´ at deklar´ alni kell még az objektum defini´ al´ asa el˝ott. A Mathematica mindkét eljár´ ast támogatja azon a módon, hogy a kifejezések fejét u ´gy haszn´ alja, mint m´ as nyelvek a t´ıpusokat. Így teh´ at minden objektumnak van t´ıpusa, de ezt nem kell k¨ ul¨ on deklar´ alni, s˝ot haszn´ alni sem, csak ha a felhaszn´ al´ o akarja. A fejek jelentésének ezen kétértelm˝ usége nagyon hasznos, mivel a program a kifejezések viselkedésének lehetséges szemantikai modelljei k¨ oz¨ ul nem uggvény kényszer´ıt r´ a egy kiv´ alasztottat a felhasznál´ ora. Péld´ aul a .* f¨ egyrészt összefogja az argumentumait és nem csinál vel¨ uk semmit. M´ asrészt viszont azt mondhatjuk, hogy argumentumaib´ ol valami u ´jat hoz létre, vagyuggvény volt´ ara is az ˝oket tartalmazó listát. Ebben a felfog´ asban a .* f¨ uggvényként gondolunk, de esik a hangs´ uly. Ehhez hasonl´ o, hogy a -ra f¨ amikor egy egész számra alkalmazzuk, semmi sem történik, csak megtartja u objektumot. az argumentumot és létrehoz egy t´ıpus´

34


List´ ak megad´ as´ aval részletesen foglalkozunk a halmazokr´ ol szól´ o 3.1.2. pontban és a lineáris algebr´ ar´ ol szól´ o 3.8. szakaszban. Itt csak felsoroljuk az erre a célra haszn´ alhat´ o f¨ uggvényeket:

/ .*

6& 0

A listákon végezhet˝o a ´talak´ıt´ asok egy része az eml´ıtett két részben szintén megtalálhat´ o; ezért itt csak a következ˝oket eml´ıtj¨ uk meg:

)* 8 8/ % 2 2/

2/ 2%4 @ 0 0 **

Ezek a f¨ uggvények a nagyteljes´ıtmény˝ u egysoros eljár´ asok, által´ anosabban pedig a funkcion´ alis programoz´ as alapvet˝o eszközei. Néh´ any péld´ at adunk alkalmaz´ asukra: +

!B-I & I E J {{1, 0, 0}, {1, 1, 0}, {1, 1, 1}} G8! 2$

, HA Log[x] == Log[y] '1B !! - < {f[a, {1}], f[b, {2}]}

Vég¨ ul a Mathematica egy igen érdekes, speciális lehet˝ oségére h´ıvjuk fel a figyelmet. Kor´ abban eml´ıtett¨ uk azt, hogy a kifejezés fogalm´ aba minden” ” beletartozik. Azt is mondhatjuk viszont, hogy minden kifejezés (által´ anos´ıtott értelemben) listának tekinthet˝ o. Ez, amint az al´ abbi péld´ akb´ ol is kit˝ unik, azt jelenti, hogy tetsz˝ oleges, a hagyományos programnyelvekben listák kezelése végett bevezetett eljár´ as megfelel˝o je a Mathematic´ a ban tetsz˝oleges kifejezésre is alkalmazható. Az alkalmaz´ as módja a k¨ ovetkez˝o: az


35

t¨ orténik, mintha a kifejezés helyébe a .* fej ker¨ ulne, s a program a keletkez˝o listán végrehajtja az adott m˝ uveletet, majd az eredményr˝ ol eltávol´ıtja as által´ anos´ıtott listán a .* fejet és visszarakja az eredetit. Ez az eljár´ analóg módon m˝ uk¨ odik: $< ( K11! - < ( a + b + c f[a, b, c, d, e]

!

#$$ , 9!:!!L {{2}, {3, 1}} {{3, 1}, {2}}

´ ekad´ 2.3.2. Ert´ asok t´ıpusai. Mint´ azatok A program haszn´ alata során igen gyakran szeretnénk egy kifejezést vagy annak egy részét helyettes´ıteni egy másik kifejezéssel. Ezt lok´ alis vagy glob´ alis értékad´ assal val´ os´ıthatjuk meg. • Lok´ alis ´ ert´ ekad´ as A lok´ alis, azaz egyetlen kifejezésre érvényes értékad´ ashoz sz¨ ukség¨ unk van egy tarnszform´ aci´ os szab´ alyra. Ezt az ¨ osszef¨ ugg˝ o JK jelsorozattal (ami a 6 függvény rövid alakja) adhatjuk meg. A transzformációs szabályt a 6/ függvény (ennek rövid alakja: ) felhasználásával alkalmazzuk lokális értékad´ asra, vagyis egyetlen kifejezés valamely részének helyettes´ıtésére. Péld´ aul: , @= FM ? 14 + 3 y

A fenti helyettes´ıtés az 4 értékét csak ideiglenesen változtatta meg: , 2 x + 3 y

Egy kifejezésben egyszerre több értékad´ ast is végrehajthatunk, ha a transzform´ aci´ os szabályokat lista elemeiként soroljuk fel: , C @= FM , FM , FM 3 C FM 0 {6 z, 20 x}

36

2. Ismerkedés a Mathematica programmal , @= FM FM < b + 3 y , @= FM , FM 4 y

Az eddigiekben u ´gynevezett azonnali lok´ alis értékad´ asról volt szó, ugyanis a transzform´ aci´ os szabály jobb oldal´ at a program kiértékelt formában t´ arolja. Ezzel szemben lehet˝oség¨ unk van arra is, hogy u ´gynevezett késleltetett lok´ alis értékad´ ast hajtsunk végre, amelynél a transzform´ aci´ os szabály jobb oldala csak megh´ıv´ askor értékel˝odik ki. A kétféle értékad´ as között a szintaktikai k¨ ul¨ onbség csak abban a´ll, hogy az ut´ obbin´ al a K jelsorozatot ul¨ onbséget az alábbi péld´ an kell haszn´ alnunk a JK helyett. A szemantikai k¨ illusztráljuk: G<! {x, x, x} G<! @= FM 9 $ {0.0879328, 0.0879328, 0.0879328} G<! @= NM 9 $ {0.349125, 0.712814, 0.47561}

Ha egy kifejezést nemcsak egyszer akarunk végrehajtani, hanem ismételar´ ast (teljes ten, mindaddig, am´ıg lehetséges, akkor a helyett a elj´ aul: nevén 66) alkalmazzuk. Péld´ , @= FM , , FM 3 + y , @@= FM , , FM 4

• Glob´ alis ´ ert´ ekad´ as Az azonnali glob´ alis értékad´ as eredményeként a program egy kifejezést vagy annak egy részét automatikusan helyettes´ıti egy másikkal, valah´ anyszor az ovid eredeti kifejezés el˝ ofordul. Ezt az értékad´ ast az jellel (ami a r¨ alakja) fejezz¨ uk ki. Péld´ aul :!!! 9 $ 0.566803


37

A lok´ alis esethez hasonlóan, ha az helyett a jelsorozatot (ami a ) rövid alakja) használjuk, akkor késleltetett globális értékadást val´ os´ıthatunk meg. Péld´ aul: :!!! N 9 $ G<!:!!! {0.566803, 0.566803, 0.566803} G<!:!!! {0.741224, 0.400726, 0.700565}

A f¨ uggvények megadásár´ ol szól´ o 3.1.3. pontban tov´ abbi péld´ akat is fogunk mutatni a kétféle értékad´ as közötti k¨ ul¨ onbség illusztrál´ asára. • Mint´ azatok A Mathematica egyik leghatásosabb eszközéhez jutunk az´ altal, hogy nemcsak konkrét kifejezésekkel, hanem ilyenek osztályaival, u ´gynevezett mint´ azatokkal is dolgozhatunk. Minden kifejezésnek meghatározott strukt´ ur´ a ja van, s amikor kifejezések osztályaival dolgozunk, akkor tulajdonképpen a strukt´ ur´ akkal végz¨ unk m˝ uveleteket. A mint´ azatokat számos helyen használjuk: f¨ uggvények defini´ al´ asán´ al, transzform´ aci´ os szabályokban (l´ asd al´ abb), feltételeket fejezhet¨ unk ki vel¨ uk, amelyeket azut´ an alkalmazhatunk list´ ab´ ol val´ o v´ alogatásnál (lásd a halmazokr´ ol szól´ o 3.1.2. pontot). A transzform´ aci´ os szabályokat nemcsak kifejezésekre, hanem kifejezések osztályaira, azaz mint´ azatokra is lehet alkalmazni. Ez m´ as szóval azt jelenti, hogy adott strukt´ ur´ aj´ u részek helyettes´ıthet˝ ok valamely kifejezésben. Mint´ azatra tipikus példa az 4 jelsorozat. Ebben a jelsorozatban szerepel az alapvet˝ o

al´ ah´ uz´ asjel (blank ), amely azt jelöli, hogy helyébe tetsz˝oleges kifejezést ´ırhatunk. Az 4 jel jelentése pedig az, hogy erre a tetsz˝oleges kifejezésre a tov´ abbiakban 4 néven fogunk hivatkozni: - -< @= -O FM 2 2 a + b #$$- < -( -O {{1}, {3}}

38


Az al´ ah´ uz´ asjel egy kifejezésben b´ arhov´ a ker¨ ulhet, ´ıgy 4L a r¨ ogz´ıtett 4 szám tetsz˝oleges hatvány´ at jel¨ oli, ahol a kitev˝ ore a továbbiakban néven fogunk hivatkozni: @= OFM {1, x, r[2], r[3]}

A példa azt is mutatja, hogy a mint´ azatokat strukt´ ur´ a juk alapj´ an azonos´ıtja a program, teh´ at nem a matematikai tartalmuk szerint. (Az adott esetben ez kényelmetlenség forr´ asa lehet, majd l´ atni fogjuk, hogy hogyan lehet ezt kik¨ uszöb¨ olni.) Bizonyos egyszer˝ u matematikai tulajdons´ agokat azonban, amilyen péld´ aul az o¨sszeadás kommutativit´ asa és aszociativitása, figyelembe vesz a program mint´ azatok illesztésénél: -< -( @= -O -,O FM 1 , p[b, c]

A mint´ azat (majdnem teljesen) által´ anos defin´ıci´ o ja: olyan nem u ¨res jelsorozat, amelynek a´ltal´ anos alakj´ at a programnyelvek le´ır´ asán´ al haszn´ alt jel¨ olésekkel ´ıgy adhatjuk meg:

4 M+ ahol a szögletes zár´ o jel azt jelenti, hogy a benne lév˝o jel szerepelhet a minar´ o értelemben szerepel, tehát a két oldal´ an el˝ofordul´ o t´ azatban, a M jel kiz´ jelek nem fordulhatnak el˝ o egyszerre a mintázatban, a g¨ omb¨ oly˝ u z´ ar´ o jel pedig itt egyszer˝ uen csoportos´ıt´ asra szolgál. alHa egy egész mintázatra akarunk az 4 névvel hivatkozni, akkor haszn´ u jel¨ olést: juk a 4 alak´ -< @= -NOO FM 1 b p[a , b]

Egy adott mint´ azathoz illeszked˝o kifejezések megkereséséhez az alábbi f¨ uggvényeket használhatjuk:

**

'*

L´ assunk egy péld´ at: *! 3 3 O FM {2, 4}

A mint´ azatok által´ anos defin´ıci´ o j´ aban szerepl˝ o bet˝ u a fejre utal, hivatkozhatunk ugyanis adott t´ıpus´ u — a´ltal´ anosabban adott fejjel (péld´ a-


39

ul 4" %& " .*" 6" ) rendelkez˝ o — mint´ azau az alapértelmezés szerinti érték: tokra. A + bet˝ -/OB!! N -/ -/= -/ 1 + fakt[2.] + fakt[x]

Adott feltételeket kielég´ıt˝ o mint´ azatok kijel¨ olésére szolgál a # jelsorozat: *$ F F3 O @ &E 2

Bizonyos feltételek teljes¨ ulése a 9 vég˝ u f¨ uggvényekkel is ellen˝ orizhet˝o:

-+9 %& 9 3 9 @9

' 9 '9 2 49 < 9

Emelj¨ uk péld´ aul négyzetre a számokat egy adott list´ aban: ?@ @= O @ 5
Mint´ azatok szerkezetét ellen˝orzik az alábbi f¨ uggvények is:

/9 8 9 2 9 2 9

@ 9 9 :*9 <9

Egy mint´ azatban alternat´ıv´ a kat is megadhatunk a M jellel, amit kiolvasni az ak´ ar ... ak´ ar ... szóp´ arral lehet: 8P< N 1 8 8< 8( 8 {p, p, h[c], h[d]}

Mint´ azatok használata teszi lehet˝ové azt is, hogy olyan f¨ uggvényeket defini´ aljunk, amelyek argumentumainak sz´ amát el˝ore nem rögz´ıtj¨ uk. (Ilyen uggvény is.) Sz´ am´ıt´ astechnikai kifejezéssel azt f¨ uggvény a beép´ıtett '* f¨ is mondhatjuk, hogy dinamikusan deklar´ alt t¨ omb¨ ok¨ on értelmezz¨ uk ezeket a f¨ uggvényeket. obb kifejezésb˝ol a´ll´ o sorozatra utal, amelyAz 4 jelsorozat egy vagy t¨ uz´ as nulla vagy t¨ obb nek a neve a tov´ abbiakban 4 lesz. A háromszoros aláh´ kifejezésb˝ol a´ll´ o sorozatot jel¨ ol:

40

2. Ismerkedés a Mathematica programmal 8OOO O
A fenti defin´ıci´ o a kétszer el˝ofordul´ o argumentumokat kiemeli” argu” mentumai köz¨ ul: 8 3 0 h[4, 5] hh[2] hh[3]

Tanuls´ agos egy azonosan hamis feltétel alkalmazásával megvizsgálni, hogyan pr´ ob´ alkozik a Mathematica a mintaillesztésnél: - < ( ! @= -OO ,OONMA @ # , {a}, {b, c, d, e} {a, b}, {c, d, e} {a, b, c}, {d, e} {a, b, c, d}, {e} f[a, b, c, d, e]

Olyan f¨ uggvényeket is defini´ alhatunk a mint´ azatok seg´ıtségével, melyeknek bizonyos argumentumai opcion´ alisak (tehát megh´ıv´ askor nem kell ezeknek feltétlen¨ ul értéket adnunk). Megadhatjuk az opcion´ alis argumentum alapértelmezés szerinti értékét is: DO ,ON CON N D1 , C D < D {jp[a, b, 2], jp[a, 1, 2]}

Néh´ any gyakran haszn´ alt beép´ıtett f¨ uggvény bizonyos argumentumaihoz (természetes) beép´ıtett alapértelmezés szerinti értékek tartoznak:

4!

4

4L

alapértelmezés szerinti értéke 0 alapértelmezés szerinti értéke 1 alapértelmezés szerinti értéke 1

´ Erdemes most el˝ovenn¨ unk egy kor´ abbi péld´ at: @= O= FM {1, r[1], r[2], r[3]}

Az általunk defini´ alt f¨ uggvények opci´ oinak adhatunk nevet is. Ekkor az alapértelmezés szerinti értéket ´ıgy adhatjuk meg: 1$D $1 FM $1 FM

Megkérdezhetj¨ uk az E opcionális argument (r¨ oviden: opci´ o ) alapértelmezés szerinti értékét:


41

$1 @= 1$D 1

A mint´ azatok majdnem teljesen által´ anos defin´ıci´ o j´ aban szerepl˝ ok¨ on k´ıu jelsorozat is. Az els˝ o egy v¨ ul mint´ azat még a

és a

alak´ kifejezést jelöl, amely egyszer vagy t¨ obbsz¨ or ismétl˝ odik, a m´ asodik pedig olyat, amely nullaszor vagy t¨ obbsz¨ or ismétl˝ odik.

tehát ezeket jeunk meg ennek a szerlenti: " " " " " ". . . stb. Nézz¨ kezetnek az alkalmazására is egy péld´ at: *!- - < - ( -P<== {f[a], f[a, b, a]}

A mint´ azatok illeszkedése (mintaillesztés) fontos szerepet játszik a logikai programoz´ asn´ al is, amir˝ ol a 4. szakaszban még szólni fogunk.

2.3.3. Opci´ ok Matematikai tevékenységeink során gyakran tal´ alkozhatunk olyan problémákkal (gondoljunk péld´ aul a numerikus matematik´ ara), amelyek megold´ asára elvileg sem létezik egyetlen, j´ ol haszn´ alhat´ o módszer. Számos ilyen esetben több k¨ ul¨ onb¨ oz˝o elj´ ar´ as köz¨ ul v´ alogathatunk. A matematik´ anak ezt a jellegzetes vonását a Mathematica is t¨ ukr¨ ozi. Megeml´ıtett¨ uk m´ ar azt, hogy péld´ aul a Shift és az Enter billenty˝ u egy¨ uttes lenyomása ut´ an kezdi el a program az egy vagy t¨ obb parancssorba be´ırt feladat megold´ asát (a kiértékelést). A program a beép´ıtett elj´ ar´ asok köz¨ ul meghatározott módon v´ alaszt egyet azokban az esetekben, amikor többféle lehet˝osége is van a beadott utas´ıt´ as(ok) kiértékelésére. Ez a helyzet péld´ aul al, f¨ uggvények ´ abr´ azolásán´ al, hat´ arozott integr´ alok numerikus kisz´ amolásán´ statisztikai prób´ ak megválasztásán´ al vagy matematikai kifejezések egyszer˝ us´ıtésénél. A programnak egyik legfontosabb jellegzetessége azonban éppen az, hogy a felhaszn´ al´ onak igen sok esetben lehet˝oséget ny´ ujt arra, hogy saj´ at maga v´ alassza meg a kiértékelésnél alkalmazott beép´ıtett algoritmust. Ezt a felhaszn´ al´ o opci´ ok megadásával teheti meg. A f¨ uggvények t¨ obbsége rendelkezik opci´ okkal. Minden opci´ onak meghat´ arozott neve és több lehetséges értéke is van. Egy beép´ıtett f¨ uggvény opcióinak listá j´ at az

@*+

42


utas´ıt´ assal kapjuk meg. Tekints¨ uk péld´ aul a f¨ uggvények ábr´ azolásához haszar´ ast (lásd a 3.1.5. pontot is): n´ alhat´ o ' elj´ 1$#$ 1 , Axes -> Automatic, GoldenRatio AxesLabel -> None, AxesOrigin -> Automatic, AxesStyle -> Automatic, Background -> Automatic, ColorOutput -> Automatic, Compiled -> True, DefaultColor -> Automatic, Epilog -> { }, Frame -> False, FrameLabel -> None, FrameStyle -> Automatic, FrameTicks -> Automatic, GridLines -> None, MaxBend -> 10., PlotDivision -> 20., PlotLabel -> None, PlotPoints -> 25, PlotRange -> Automatic, PlotRegion -> Automatic, PlotStyle -> Automatic, Prolog -> { }, RotateLabel -> True, Ticks -> Automatic, DefaultFont :> $DefaultFont, DisplayFunction :> $DisplayFunction}

{AspectRatio ->

2!8L 27

A Mathematica transzform´ aci´ os szabályként, teh´ at a k¨ ovetkez˝o alakban kezeli az opciókat: opció neve −> opció értéke. Mindegyik opci´ ohoz egy meghatározott alapértelmezés szerinti érték is tartozik. Ezt haszn´ alja a program abban az esetben, amikor nem adjuk meg az opciót. A

@* f¨ uggvény alkalmazásával k¨ ozölhetj¨ uk a programmal azt, hogy melyik opcióértéket tekintse alapértelmezés szerinti értéknek. uggvény opci´ oihoz. Ezek k¨ oz¨ ul t¨ obbnek (ilyen Térj¨ unk vissza a ' f¨ apéld´ aul a 8 ) a jelentését, valamint a lehetséges opcióértékeket (péld´ onnyen kital´ alhatjuk. M´ as esetben az informáci´ oszerzés ul 8* és 0 ) k¨ uggvény néh´ any opkor´ abban ismertetett m´ odj´ at haszn´ alhatjuk. (A ' f¨ ció j´ anak értelmét a 3.1.5. pontban is kifejtj¨ uk.) Itt jegyezz¨ uk meg, hogy sokszor nem egyszer˝ u feladat az opciók lehetséges értékeinek a programb´ ol t¨ ortén˝ o felder´ıtése. (Ilyenkor érdemes a ,


43

s´ ug´ ot is megkérdezni és a Help-et is megnézni.) Wolfram k¨ onyve ([89]) számos esetben ezeknél több inform´ aci´ ot tartalmaz. N. Blachmané (lásd [9]-et) pedig éppen ennek a hi´ anyosságnak a megsz¨ untetését t˝ uzte ki célul. Bármely f¨ uggvény argumentum´ aban a megengedett opci´ ok k¨ oz¨ ul ak´ arh´ anyat b´ armilyen sorrendben felsorolhatunk. A k¨ ul¨ onb¨ oz˝oket a " jellel kell elv´ alasztanunk. Befejezés¨ ul még a számos beép´ıtett f¨ uggvénynél alkalmazhat´ o opciór´ ol és a gyakori / opcióértékr˝ol ejt¨ unk néh´ any szót. uggvényt. Mivel ez sokszor számolja Vegy¨ uk példaként ismét a ' f¨ ki a beadott f¨ uggvény helyettes´ıtési értékeit, fontos, hogy a program minél gyorsabban hajtsa végre ezeket a m˝ uveleteket. Ezt seg´ıti a opció. Alapértelmezés szerinti értéke által´ aban 0 , ami azt jelenti, hogy a Mathematica a kiértékelésnél a leggyorsabban m˝ uk¨ od˝ o algoritmusokat, tehát a gépi pontoss´ ag´ u számokat (lásd a 3.1.3. pontot) haszn´ alja. Ha a kiértékelés során nagypontoss´ ag´ u számokat (lásd szintén a 3.1.3. pontot) szeretnénk alkalmazni, akkor a JK 8* opciót kell megadnunk. alaszt Sz´ amos opció értéke lehet /. Ilyen esetekben a program v´ ki egy (a beadott feladatt´ ol — is — f¨ ugg˝ o) lehetséges opcióértéket, amir˝ol sz¨ ukség esetén a

8@* f¨ uggvény seg´ıtségével kaphatunk inform´ aci´ ot. Péld´ aul: < #$K<Q!@ B , , E 3E 3 2.5 2 1.5 1 0.5

10

20

1$< #$9! {PlotRange -> Automatic} >1$< #$9! {{-1., 41.}, {-0.0735488, 3.0155}}

30

40

44


2.3.4. Attrib´ utumok A beép´ıtett f¨ uggvények t¨ obbsége rendelkezik egy vagy több (attrib´ utumnak nevezett) tulajdons´ aggal. Ezek list´ aj´ at az

/ * f¨ uggvénnyel ´ıgy kaphatjuk meg: K
K
Péld´ aul a .* attrib´ utum azt jelenti, hogy ha a f¨ uggvény argumentumába listát (speciálisan vektort vagy m´ atrixot) ´ırunk, akkor a program a szóban forg´ o f¨ uggvényt a lista minden elemére k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on alkalmazza: #@3 #@E Pi 1 , Sin[ ]} { Sqrt[2] 10 < (

{{Sin[a], Sin[b]}, {Sin[c], Sin[d]}}

A beép´ıtett matematikai f¨ uggvények mindegyikét ellátt´ ak a .* attrib´ utummal, ezért listákkal aritmetikai m˝ uveleteket is végezhet¨ unk: : 3 :@:F 9 16 } {4, , 2 5

A 8 attrib´ utum a f¨ uggvény asszociat´ıv, az @ ** pedig kommutat´ıv tulajdons´ ag´ at fejezi ki. utum: F¨ uggvényértékek fel¨ ul´ır´ asát akad´ alyozza meg a ' attrib´ #@E A0F@3 Set::write: Tag Sin in Sin[

Pi ] is Protected. 10

Az : f¨ uggvényt felhaszn´ alva azonban beép´ıtett f¨ uggvények helyettes´ıtési értékeit is megv´ altoztathatjuk. Péld´ aul ´ıgy:


45

R1$!( #@E A0F@3 #$!( #@E -1 + Sqrt[5] 4

Egy a´ltalunk defini´ alt f¨ uggvényhez (´ altal´ aban szimb´ olumhoz) is hozz´ arendelhet¨ unk attrib´ utumokat. A Mathematica 2.2.x v´ altozataiban a k¨ ovetkez˝ok haszn´ alat´ ara van lehet˝oség¨ unk:

* 8 G/ G8 * G6* .* .

@% @ ** ' 6' 0

Attrib´ utumok megad´ asához és törléséhez pedig a k¨ ovetkez˝o bels˝o f¨ uggvényeket használhatjuk:

/ * / *

/ *

Több esetben is sz¨ ukség¨ unk lehet arra, hogy csup´ an kijel¨ olj¨ unk bizoutumok megad´ asával tehetj¨ uk meg. nyos m˝ uveleteket. Ezt a G attrib´ Péld´ aul: !K - f[1 + 1, 5] !K
A utas´ıt´ assal a kor´ abban defini´ alt f¨ uggvénynek csak a helyettes´ıtési értékeit lehet kitör¨ olni, attrib´ utumai megmaradnak. A

/ utas´ıt´ as törli ki az helyettes´ıtési értékeit is és az attrib´ utumokat is.

46


2.3.5. Ki´ ert´ ekel´ es A Mathematica ´ altal végrehajtott alapvet˝ o m˝ uvelet a kiértékelés. Valah´ anyszor bevisz¨ unk egy kifejezést, a program kiértékeli azt, majd visszaad egy eredményt. Ehhez a beép´ıtett és a felhasznál´ o által megadott defin´ıciókat haszn´ alja fel. Kor´ abban l´ attuk, hogy a kifejezés fogalma hogyan képes egységes´ıteni az el˝ofordul´ o objektumokat. Most azt mutatjuk meg, hogy a kiértékelés fogalma az elvégzett m˝ uveletek egységes tárgyalására alkalmas. Kiértékelés ugyanis egy szám´ıt´ as elvégzése, egy egyszer˝ us´ıtés vagy egy elj´ ar´ as végrehajt´ asa is. A Mathematica egy végtelen kiértékel˝o rendszer. Ez azt jelenti, hogy a bevitt kifejezéseket mindaddig alak´ıtja, am´ıg tov´ abbi defin´ıci´ o nem alkalmazható az átalak´ıt´ asára. uggvény még nincs defini´ alva, akkor csak a beép´ıtett f¨ uggvények Ha az f¨ tulajdons´ agai haszn´ alhat´ ok fel: - 3- 1 + 5 f[3]

Ha most definiáljuk -et, akkor az eredmény tov´ abb alak´ıthat´ o: -O LL 46

A kifejezéseket kiértékelés¨ uk el˝ ott a Mathematica szabványos vagy kanonikus (standard) alakra hozza. Eközben f¨ olhaszn´ alja a szerepl˝ o f¨ uggvények ag´ at, valamint kommutat´ıv (@ **) és asszociat´ıv (8) tulajdons´ listára való alkalmazhat´ oságukat (.*). Az egyes részek sorbarendezésénél alkalmazza (durv´ an szólva) az ábécérendet is. Ezért tudja péld´ aul megkapni az alábbi eredményt: -(< F -(< 0

A szabványos alak azonban céljainkt´ ol f¨ ugg˝ oen más és más lehet. Nyilv´ anval´ o péld´ aul, hogy polinomokat egyszer monomok o¨sszegeként, máskor uggvény adja tényez˝ok szorzataként tudunk jobban haszn´ alni. Az -4 f¨ uggvény. az els˝o alakot, a m´ asodikat pedig a 8 f¨ Sok matematikai probléma nehézsége éppen a megfelel˝o kanonikus alak megtalál´ asában a´ll.


47

• Szab´ alyos ki´ ert´ ekel´ es A legtöbb kifejezés kiértékelésére a Mathematica az u ´gynevezett szab´ alyos kiértékelést haszn´ alja. Ennek lépéseit mutatja az alábbi t´ abl´ azat: • Kiértékeli a kifejezés fejét. • Kiértékeli egymás ut´ an az összes elemet. • Alkalmazza a kommutativitást, asszociativitást és listára való alkalmazhatóságot. • Alkalmazza a felhasznál´ o által megadott defin´ıci´ okat. • Alkalmazza a beép´ıtett defin´ıci´ okat. • Kiértékeli az eredményt. Wolfram péld´ aja alapj´ an ismertetj¨ uk egy kifejezés kiértékelését. Tegy¨ uk fel, hogy N, és a F4!LF!E kifejezést akarjuk kiértékelni. Ennek teljes alakja

'*0*F" " 4" 'C " F" E. El˝ oször a program ezt értékeli ki: 0*F" " 4, az eredmény

0*F" N" 4. Most f¨ olhaszn´ alja a szorzás beép´ıtett defin´ıci´ oj´ at:

0*EO" 4. A k¨ ovetkez˝o lépés ennek kiértékelése: 'C " F. Az eredmény kiértékelése után:

'C N" F. Most f¨ olhaszn´ alja a hatv´ anyoz´ as beép´ıtett defin´ıci´ oj´ at: OP. uggvény argumentumainak kiértékelése utáni részeredmény: A '* f¨

'*0*EO" 4" OP" E. Ezt az eredményt az összeadás beép´ıtett defin´ıci´ oja adja:

'*QR" 0*EO" 4. Ezt l´ atjuk a képerny˝ on:

QR ! EO 4. uggvény felhaszn´ aA lépéseket kell˝o gyakorlattal k¨ ovethejt¨ uk a 0 f¨ l´ asával is. ?

48

2. Ismerkedés a Mathematica programmal G(! 2 {{a, 7}, 2 7 x, 14 x}, {{a, 7}, 7 , 49}, 14 x + 49 + 1, 1 + 49 + 14 x, 50 + 14 x}

• K¨ ul¨ on¨ os ki´ ert´ ekel´ es Néh´ any fontos Mathematica-f¨ uggvény nem szabályos: k¨ ul¨ on¨ os kiértékelési elj´ ar´ as eredményeként kapja meg értékét. Ezek k¨ oz¨ ul a legfontosabbak:

) 8 %

' 0

Nyilv´ anval´ o péld´ aul, hogy az 4( (vagyis 4" () kifejezés kiértékelésénél a Mathematica a bal oldalon megjelen˝ o 4 értékét nem szám´ıtja ki. A szabályos kiértékelésnél a részkifejezések egymás ut´ an értékel˝odnek ki. Valamely részkifejezés (az összes, az els˝o, az összes az els˝o kivételével) kiértékelése megakadályozhat´ oa

G/ G8 *

G6*

f¨ uggvények k¨ oz¨ ul a megfelel˝ ovel. Azt is megtehetj¨ uk, hogy kényszer´ıtj¨ uk a programot egy egyébként ki nem értékelend˝o rész kiértékelésére. Erre uggvény. szolgál az -+ f¨ Felsorolunk még néh´ any, a témakörh¨ oz kapcsolodó fontos f¨ uggvényt:

G' G G8

6G' 6*G :+

2.4. K¨ uls˝ o kapcsolatok ´ er¨ Att´ unk a mag és a felhasznál´ oi fel¨ ulet, valamint az egész program és az adat´ allományok kapcsolatának elemzésére. Tanulm´ anyozzuk a memóriakezelést, tovább´ a a más programokkal val´ o inform´ aci´ ocserét.

2.4. K¨ uls˝ o kapcsolatok

49

2.4.1. Be- ´ es kimenet Itt el˝oször a mag és a felhasznál´ oi fel¨ ulet k¨ ozötti kapcsolattal foglalkozunk, kés˝obb fogunk a´ttérni a program és az adatállományok kapcsolatára. • A mag ´ es a felhaszn´ al´ oi fel¨ ulet Sz´ amos lehet˝oség¨ unk van arra, hogy az eredményeket k¨ ul¨ onb¨ oz˝o form´ akban kapjuk meg. Az erre a célra haszn´ alhat´ o al´ abbi f¨ uggvények a számok alakj´ at módos´ıtj´ ak; hogy miként, azt a 3.1.3. pontban részletesebben is megtárgyaljuk.

/&8 B*8 -& &8 3 8

'8 ' 8 8

A kifejezések k¨ ul¨ onb¨ oz˝o alak´ u ki´ırat´ asát a k¨ ovetkez˝o f¨ uggvények szabályozz´ ak:

88 G8 %8 @8 '

' 8 0 8 C 048

A f¨ uggvények másik csoportja azt teszi lehet˝ové, hogy az eredmények az igényeknek megfelel˝o alakban jelenjenek meg.

8 8 % .B 2 48 ;8 C

&B &8 * * * 08

Ha az angol nyelv helyett valamelyik nagyobb eur´ opai nyelv haszn´ alat´ ara akarunk a´ttérni, akkor el˝ oször is be kell a´ll´ıtanunk a megfelel˝ o rendszerv´ altozó értékét: 2! 6>!(86 French

Ha ezut´ an beh´ıvjuk a :*>.&&> programcsomagot, akkor altozó érdemes megtekinten¨ unk a 7. * és a 7 &@ rendszerv´

50


értékét. A programcsomag 0 f¨ uggvénye pedig megadja a karaktert´ abl´ azatot. Kifejezések és f¨ uzérek alakja vizsgálhat´ o az alábbi f¨ uggvényekkel:

)&9 . 9 .C *9 & &B &2 9

&'* 4.& 49 : *9 7. *

A f¨ uggvények k¨ ovetkez˝o osztálya kifejezések és f¨ uzérek közötti a´talak´ıt´ asokat végez:

8 &) &%* &5 &.& &6 &6+ *

&0 0 0-4 ** 0G-4 ** 0.C * 0 & 0: *

Néh´ any f¨ uggvény arra a célra szolgál, hogy az eredményt más program részeként tudjuk felhaszn´ alni:

8 8 8

0S8

Néh´ any f¨ uggvény feladata az, hogy seg´ıtse a program és a felhasznál´ o k¨ ozötti interakt´ıv kommunik´ aci´ ot. Egy p´ arbeszéd (dial´ ogus) keretében péld´ aul beszélgethet¨ unk a programmal, mik¨ ozben számol. A párbeszéd végeztével assal térhet¨ unk vissza: a 6 utas´ıt´

)& )&% %

% & 6

K¨ uls˝ o parancsok végrehajt´ asához haszn´ alhat´ oa f¨ uggvény.

jel és a 60 &

´ • Allom´ anyokkal val´ o kapcsolat M´ as programokhoz hasonl´ oan a Mathematic´ a ban is gyakori, hogy az adatokat a´llományb´ ol olvassuk be, vagy az eredményeket állományokba ´ırjuk ki. Ennek a ténynek itt azonban van néh´ any specialitása is. Egyrészt el˝ofordul az is, hogy kifejezéseket ´ırunk a´llományba vagy olvasunk be a´llo-


51

mányb´ ol. M´ asrészt amennyiben a merev lemezen rendelkezés¨ unkre a´ll´ o hely nem korl´ atlan, érdemes is az állományba ´ır´ asra és az onnan val´ o olvasásra berendezkedn¨ unk, mert az ilyenkor haszn´ alt szöveges állományok nagys´ agu rendileg kisebbek, mint a Mathematica által létrehozott, kiterjesztés˝ jegyzetf¨ uzetek. Ugyancsak az állományok haszn´ alat´ ara szor´ıthat benn¨ unket az, ha k¨ otegelt (batch) u ¨zemmódban akarunk dolgozni, esetleg egy nagyobb gépen: ilyenkor ugyanis a program fut´ asa közben más feladatot is végezhet¨ unk. (Erre még akkor is sz¨ ukség¨ unk lehet, ha gép¨ unk oper´ aci´ os rendszere l´ atszólag vagy val´ oságosan t´ amogatja a p´ arhuzamos feldolgozást.) ´ Allom´ anykezelésre használhat´ o bels˝o f¨ uggvények:

* 8 8.* 1 % % & @/ @6 @0 @A @ ' '/

6 6.* + '* '* * &0 A A & 7@

Szeretnénk megtudni péld´ aul azt, hogy mi van a 4 állományban.

NSD<S !/S1$,= 1-x^3

Ha az állomány tartalm´ at kifejezésként szeretnénk haszn´ alni, akkor a

1 utas´ıt´ ast vagy annak r¨ ovid alakj´ at (==) haszn´ alhatjuk. 7!6 NSD<S !/S1$,=6 3 1 - x >($L

2 (1 - x) (1 + x + x )

52


Tényleg siker¨ ult kifejezésként beolvasni. Az el˝ obbivel egyenérték˝ u az al´ abbi megold´ as is: && NSD<S !/S1$,= 3 1 - x

Az eredmények ´ allományba val´ o ki´ır´ asára való a

' utas´ıt´ as és rövid alakja (KK). >($ MMC!

C! (1 + x)*(1 - x + x^2)

Ha az u ´jabb kifejezést az el˝oz˝o állom´ anyhoz hozz´ a akarjuk f˝ uzni, akkor ast vagy r¨ ovid alakj´ at (KKK) haszn´ alhatjuk: a '/ utas´ıt´ #K11! >($ F 6C!6 >($3 F MMM C!

C! (1 + x)*(1 - x + x^2) (-1 + x)*(1 + x) (-1 + x)*(1 + x)*(1 + x^2)

Tegy¨ uk fel, hogy adott a 4 4 állomány; tekints¨ uk meg a tartalm´ at:

= 10 20 30 40 50 60

Ha ezeket a számokat egy mátrixba szeretnénk betenni olyan m´ odon, hogy minden sor egy list´ aba ker¨ ulj¨ on, akkor a k¨ ovetkez˝oképpen j´ arhatunk el: $ 9! 26 =6 5
Ha viszont három-h´ arom számb´ ol szeretnénk egy-egy listát létrehozni, akkor ezt tehetj¨ uk: $ 9! 26 =6 5

53

´ ha csak egyetlen listát akarunk? Es 9! 26 =6 5
Ha nem tudjuk, vagy nem akarjuk kihaszn´ alni, hogy egy oszlopban h´ any szám van, akkor a 6 .** opciót 0 -ra a´ll´ıtjuk: / 9! 26 =6 5
Bonyolultabb a´llományokn´ al megnyitjuk olvas´ asra az adatokat tartalmazó ´ allományt, ezáltal létrehozunk egy befelé ir´ anyul´ o áramot (% J ), majd soronként beolvassuk az adatokat:
Ezek ut´ an soronként olvashatjuk be a sz´ amokat: $ 9!
Az adatok beolvas´ asának befejezése után lezárjuk az a´ramot: *$!
A sorokb´ ol o¨sszeáll´ıthatjuk a m´ atrixot: $$/ $ $ $ {{10, 20}, {30, 40}, {50, 60}}

Nézz¨ unk péld´ at egy szöveget, kifejezést és adatot egyaránt tartalmaz´ o állom´ any kezelésére:

1$ = Ez itt egy polinom: 1 - x^3 Ez pedig egy m´ atrix: 1 2 3 4 5 6 7 8

54


Nyissuk meg az állományt:
Beolvassuk az els˝o feliratot — szövegként: C$:! 9!
A k¨ ovetkez˝o sort kifejezésként akarjuk haszn´ alni: 1$ 9!
A soremelést jelz˝o karaktert˝ ol meg kell szabadulnunk: 9!
J¨ ohet a második szövegrészlet: C$:! 9!
Mivel adatokb´ ol a´ll´ o t´ abl´ azat következik, haszn´ alhatjuk a 6.* utas´ıt´ ast: / 9! 2
El˝ ofordul, hogy az a´llományban (amelynek neve elé sz¨ ukség esetén elérési utat is ´ırunk) az adatok vessz˝ ovel vannak elv´ alasztva egymástól:

:!C$= 1, 2, 3 4, 5, 6

Ha tudjuk, hogy h´ any oszlopban helyezkednek el az adatok, akkor ´ıgy j´ arhatunk el: #$'1> 9! 26:!C$=6 5
(A 6.* f¨ uggvény ugyanis sz´ amb´ ol és vessz˝ob˝ ol a´ll´ o p´ arok listáj´ at áll´ıtja el˝ o, ebb˝ ol a listáb´ ol 8 * T olyat kész´ıt, amely csak a párok els˝o uggvény elemét tartalmazza, vég¨ ul az ´ıgy kapott eredményt a ' f¨ h´ arom hossz´ us´ ag´ u részlistákra bontja.) Ha nem ismerj¨ uk az oszlopok számát, akkor egy (lassabb, de m˝ uk¨ od˝ o) megoldásnak ez t˝ unhet:


55

9! 26:!C$=6 .$ 9!($ 2 FM G! .$ !1$ FM 6 6 6 6 {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}}

Kider¨ ul azonban, hogy ez az eredmény nem az, aminek l´ atszik: >>$ L List[List["1", "2", "3"], List["4", "5", "6"]]

A karaktereket tehát még számokká kell a´talak´ıtanunk. (A 2. szinten hat a 0-4 ** függvény, erre utal alább a 2 függvény harmadik argumentuma.) '1G$H1!$ 9! 26:!C$=6 .$ 9!($ 2 FM G! .$ !1$ FM 6 6 6 6 {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}}

Tiszta f¨ uggvények haszn´ alat´ aval a sebesség gyors´ıthat´ o: '1G$H1!$T$66 I 66J 9! 26:!C$=6 {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}}

Ha ez kicsit gyors a tisztelt Olvasónak, akkor a k¨ ovetkez˝oket érdemes végigcsinálnia: 9! 26:!C$=6 {1, 2, 3, 4, 5, 6} >>$ L List["1, 2, 3", "4, 5, 6"] T$66 LL 66 {1, 2, 34, 5, 6} >>$ L "{1, 2, 34, 5, 6}"

Ezek ut´ an érthet˝o, miért m˝ uk¨ odik a fent megadott megold´ as. Egy a´llományba szeretnénk ki´ırni az alábbi m´ atrixot: E E E 3E 0E 4E

Nem áll rendelkezés¨ unkre készen a 6.* utas´ıt´ ashoz hasonl´ o ki´ır´ o utas´ıt´ as erre a célra, ezért el˝oször is megnyitjuk ´ır´ asra a célállományt, ezáltal létrehozunk egy kifelé ir´ anyul´ o áramot (@ ), majd a mátrixot egyetlen olyan f¨ uzérré alak´ıtjuk, amelyben a sz´ amok szók¨ ozzel,

56


soronként pedig soremelésjellel vannak elv´ alasztva. Lássuk ezt most a fenti egyszer˝ u péld´ ara alkalmazva: / 1!.!6 =6 OutputStream[matrix.txt, 49] G$G<!>$ G<!1( FM E 10 20 30 40 50 60 >>$ L "10 20 30\n40 50 60"

Most ezt a f¨ uzért elk¨ uldj¨ uk a kifelé ir´ anyul´ o áramba: .!/

Ellen˝ orzés:

= 10 20 30 40 50 60

Rendben van, akkor z´ arunk: *$!/ matrix.txt

Most megadunk egy hasznos f¨ uggvényt, amelynek két kötelez˝o argumentuma egy a´llománynév és egy mátrix. A harmadik argumentum opcion´ alis: az oszlopokat elválasztó karaktert — amelynek alapértelmezése a tabulátorjel (U)— specifikálja: U!'$ ,!:O O2 !:C$ON6S6 N

.8I (.!
Alkalmazzuk most az u ´ j f¨ uggvényt: U!'6<=$6 tabula.tor


57

<=$ 10 20 30 40 50 60

Most pedig vessz˝okkel fogjuk elv´ alasztani az elemeket: U!'6:!C$(=/!6 6 6 vesszocs.ke

:!C$(=/! 10, 20, 30 40, 50, 60

A fenti péld´ ak némelyike egyszer˝ ubben oldhat´ o meg a

f¨ uggvény haszn´ alat´ aval. uggvényeket A :*>B 8*> programcsomagban olyan f¨ tal´ alunk, amelyek a bin´ aris ´ allom´ anyokkal végzett munkát k¨ onny´ıtik meg, b´ ar ezek tulajdonképpen csak a megfelel˝o bels˝o f¨ uggvények alkalmas opciatott v´ altozatai: óval (péld´ aul '&A JK %) ell´

@/B @6B @A B 6B

6.*B 0B* A B

Mindeddig adatok, kifejezések és f¨ uzérek állományba val´ o ´ır´ asár´ ol és onnan val´ o beolvasásár´ ol volt szó. Hang és kép alkalmasan v´ alasztott kimeassal. netre k¨ uldhet˝ o a )* bels˝o utas´ıt´ H´ aromdimenzi´ os ´ abr´ ak más programok számára haszn´ alhat´ o form´ aj´ at kaphatjuk meg a´llományban a 1 *>0 > programcsomag

0 f¨ uggvényének felhaszn´ al´ asával. A :*>)S8> programcsomag

A )S8 f¨ uggvénye pedig az AutoCAD program sz´ amára feldolgozhat´ o form´ aban kész´ıti el az állom´ anyokat.

58


2.4.2. A program k¨ ornyezete A gépen tal´ alhat´ o a´llományok a Mathematica utas´ıt´ asaival is vizsgálhat´ ok és módos´ıthat´ ok:

)8 - -@8 8B

8) 83* 80 68

A k¨ onyvt´ arakra vonatkoz´ o hasonl´ o jelleg˝ u utas´ıt´ asok:

) ) )) ) ) G)

' ) 6) 6*) ) 7'

Mint m´ ar eml´ıtett¨ uk, a Mathematica interakt´ıv program, az utas´ıt´ asokat soronként értelmezi. Minden alkalomkor egy k¨ uls˝ o ciklus indul el, amely v´ arja a bemenetet, feldolgozza azt, megadja az eredményt, majd u ´jra v´ ar a bemenetre. Ehhez a legk¨ uls˝ o ciklushoz tartozik néh´ any f¨ uggvény és néh´ any rendszerv´ altoz´ o , amelyekkel (legal´ abb v´ azlatosan) érdemes megismerkedn¨ unk. Az itt elmondottak f¨ ugghetnek a felhaszn´ al´ oi fel¨ ulett˝ ol és az operációs rendszert˝ol. A legtöbb rendszerv´ altozó két osztály valamelyikébe sorolható. Az egyik osztály tagjai egy-egy fontos adatot t´ arolnak:

7 . 7 ) 7))* 72 %) 72 3 72 0

7@ &* 76*3 7**%) 7* 7< * 7< *3

Ilyen péld´ aul a haszn´ alt Mathematica program v´ altozat´ anak számát megadó paraméter, amelynek értéke az egyik általunk haszn´ alt gépen a k¨ ovetkez˝o: V!$ Windows 2.2 (May 3, 1994)


59

A másik osztály tagjai pedig arra adnak v´ alaszt, hogy egy adott szolg´ altat´ as rendelkezés¨ unkre a´ll-e:

7B % 7B @ 7) 7.

7. 73 * 7'

Nézz¨ uk meg ezek k¨ oz¨ ul is kett˝ o értékét: + 111$! 2/11$! {False, True}

A kapott eredmény t¨ ukr¨ ozi az adott oper´ aci´ os rendszer lehet˝oségeit. Az al´ abbi f¨ uggvények az oper´ aci´ os rendszerrel val´ o kapcsolattart´ as eszk¨ ozei és hibakeresésre használhat´ ok:

-+ % '* 6 60 &

0 0 )& 0 ' 0

Az -+ f¨ uggvény péld´ aul az oper´ aci´ os rendszer valamely v´ altozó j´ anak értékét adja meg. • Mem´ oriakezel´ es K¨ ul¨ on¨ osen a matematikai programcsomagok igazi felhasznál´ asi ter¨ uletén, a szimbolikus szám´ıt´ asokn´ al fordulhat el˝ o, hogy egy számolás nagyon sok id˝ ot vesz igénybe, vagy nagyon sok mem´ ori´ at haszn´ al. Az el˝ obbin (hacsak péld´ aul nem t´ızezer év a nagyon sok” becs¨ ult értéke) kell˝o t¨ urelemmel ” uggvény, valamint a :*> C0> prog(és a 0& bels˝o f¨ uggvényének seg´ıtségével) u ´rr´ a lehet¨ unk, az ut´ obbi ramcsomag C0 f¨ azonban keményebb korl´ atnak t˝ unik. Ennek a korl´ atnak a laz´ıt´ asához szeretnénk most tan´ acsokat adni az idetartoz´ o f¨ uggvények k¨ oz¨ ul a fontosabbak ismertetésével.

B . 242 :*

2 * 2 %:*

60


A :*>2 * +> programcsomagb´ ol pedig az al´ abbi f¨ uggvényeket használhatjuk:

@2 * + @2 * +

72 %

Megtudhatjuk, hogy mennyi mem´ ori´ at haszn´ al jelenleg a rendszer: '! $,BR! 574520

Deklar´ alunk egy hatalmas m´ atrixot, és tapasztaljuk, hogy megn˝ ott a lek¨ ot¨ ott memória. Az al´ abbi péld´ aban kivételesen le´ırtuk a nem begépelend˝o %F jelsorozatot is: BN

9!EEEE '! $,BR! 771656

A memóri´ anak a lista a´ltal elfoglalt része fölszabad´ıthat´ o, de csak u ´gy, ha aban: t¨ or¨ olj¨ uk a nagy m´ atrixot, amely @F-ként szerepel a memóri´ R1$!( =

Javasoljuk az Olvas´ onak, hogy ellen˝orizze, vajon a felhaszn´ alt memóriater¨ ulet nagysága ezután visszaállt-e az eredetihez közeli, kisebb értékre. Megtudhatjuk azt is, hogy a jelenlegi alkalommal mennyi volt a legnagyobb lefoglalt memóriater¨ ulet: ''! $,R! 1000616

El˝ o´ırhatjuk azt is, hogy egy kifejezést csak akkor értékeljen ki a program, ha ehhez legfeljebb adott mennyiséggel növekedik a lekötött memóriater¨ ulet: 2 * HI*" " I. Azt, hogy egy kifejezés tárolásához h´ any b´ ajt sz¨ ukséges, a B f¨ uggvény adja meg, egy kifejezés faalakj´ aban pedig a levelek (azaz az atouggvény szolgáltatja. mok) számát a . f¨ ukséges bá jtok maxim´ alis számát Megjegyzend˝ o, hogy a B a sz¨ adja meg. Ha viszont lehetséges, a Mathematica igyekszik a többsz¨ or el˝ofordul´ o azonos részeket egyszer tárolni. Erre azonban a seg´ıtségével r´ a is kényszer´ıthetj¨ uk.


61

A bels˝o f¨ uggvény automatikus ind´ıt´ asát — amire kis memóri´ a j´ u gépnél lehet sz¨ ukség¨ unk — a :*>2 * +> programcsomag seg´ıtségével végezhetj¨ uk: &&R!)'! $,*$!:!) '! $,B(! ! 100000

Ezut´ an a f¨ uggvény azonnal elindul, ha a mem´ ori´ aban elfoglalt hely 100 000 b´ ajttal megn¨ ovekszik. K´ısérletezéshez vegy¨ unk kisebb értéket: R1$!('! $,B(! ! '! $,B(! ! EEEE G<!G$E 2!8L MemoryConserve::start: Running Share[ ] to conserve memory. MemoryConserve::end: Finished running Share[ ]; 141064 bytes of memory freed. MemoryConserve::start: Running Share[ ] to conserve memory. MemoryConserve::end: Finished running Share[ ]; 41040 bytes of memory freed. 2048

Mivel egy hatalmas tábl´ azatot hoztunk létre, a f¨ uggvény m˝ uk¨ odésbe lép és a memória egy jelent˝ os részét felszabad´ıtja. Az automatikus mem´ oriatakarékoskodás leáll´ıthat´ o: --'! $,*$!:!

és u ´jraind´ıthat´ o: '! $,*$!:!

Memóriakezeléshez használhat´ o a programcsomag is, amelyet a 2.2. szakaszban eml´ıtett¨ unk meg. Vég¨ ul megmutatjuk, hogy a Mathematica haszn´ alat´ an´ al is felmer¨ ul˝ o azon igény, amely szerint szeretnénk a rendszer adott alkalomkor fenn´ all´ o állapot´ at r¨ ogz´ıteni és egy kés˝obbi id˝ opontban felhaszn´ alni, hogyan elég´ıthet˝ o ki. )?+? hatására minden” ki´ıródik egy a´llományba. A ) függvény megh´ıvásakor nyitva” lév˝o állományokhoz tartozó mutatók

62


nem ment˝odnek ki, ugyanis arra nincs garancia, hogy a legk¨ ozelebbi felhaszn´ al´ askor azok az állományok létezzenek, s ´ıgy a mutat´ oknak értelm¨ uk legyen. Az u ´jrafelhaszn´ al´ as egy lehetséges módja: + 16$ ,!:6 2! &&=

Mivel a ) f¨ uggvény egy sokmegabájtos állományt hoz létre, által´ aban célszer˝ ubb a

+ f¨ uggvény alkalmazása azokra az objektumokra, amelyekre tényleg sz¨ ukség¨ unk lehet a kés˝obbiekben, ez ugyanis egy kicsi, sz¨ oveges állományt hoz létre: -O N :!6- !6 - *!- &&- 1 x^3

A példa mutatja, hogy a t¨ orlés ellenére az állományb´ ol visszaáll´ıthat´ o f defin´ıci´ oja.

2.4.3. Kapcsolat m´ as nyelvekkel ´ es programokkal Kérhetj¨ uk, hogy eredmény¨ unk olyan alakban jelenjék meg, amit azután f¨ ol tudunk haszn´ alni egy C programban, egy Fortran programban, vagy pedig egy TEX ´ allományban. Ehhez az al´ abbi f¨ uggvények haszn´ alhat´ ok:

8 8 8

0S8

A Mathematica ny´ılt rendszer. A

2 . elnevezés˝ u program teszi lehet˝ové közvetlen kapcsol´ od´ asát más felhaszn´ al´ oi programokhoz és programnyelvekhez. alat´ at részletesen el lehet saját´ıtani a 2 A 2 . haszn´ on tal´ alhat´ o oktat´ oprogramb´ ol (0206-693, / 2 . 0 ). Itt


63

el˝oször megmutatjuk, hogy miként lehet a Mathematic´ a hoz C nyelven kiegész´ıt˝ o programot ´ırni, illetve a Mathematica utas´ıt´ asait fölhaszn´ alni egy C nyelv˝ u program részeként. • F¨ uggv´ eny ´ır´ asa a Mathematic´ a hoz C nyelven A k¨ ovetkez˝o elj´ ar´ asokat fogjuk alkalmazni:

%* . @H

:* :

Az al´ abbiakban felhaszn´ aljuk a 2 . példaprogramj´ at. Az illeszaci´ os téshez sz¨ ukség van a 2 . programjaira. A példa Windows oper´ rendszerre és a Borland cég C++ ford´ıt´ o j´ anak 3.1. v´ altozat´ ara kész¨ ult. A futtat´ ashoz másoljuk be az MLINK16.DLL programot a Windows D0-2 k¨ onyvt´ ar´ aba. A Mathematica és a C nyelv között a kapcsolatot a sablon (template) hozza létre. Ez egy szöveges állom´ any (most: /))0A@ 02), amelyet tetsz˝oleges szövegszerkeszt˝ovel meg´ırhatunk. Tartalma a péld´ ankban az al´ abbi: :Begin: :Function: addtwo :Pattern: AddTwo[i_Integer, j_Integer] :Arguments: {i, j} :ArgumentTypes:{Integer, Integer} :ReturnType: Integer :End:

Minden sor kett˝ osponttal kezd˝ odik. A B& és az - alapszó jelentéarozza meg a f¨ uggvény nevét a C se nyilv´ anval´ o, a 8 alapszó hat´ programban, a ' alapszó pedig a Mathematicabeli illeszkedést, az / &* alapszó a C-beli függvény paramétereit, az / &0* alapszó jelenti a C f¨ uggvény bemen˝ o paramétereinek t´ıpus´ at Mathematiuggvény visszatér˝o értékének t´ıpusa. Az c´ a ban, m´ıg 6 0 a C-beli f¨ állom´ any kiterjesztése: A C nyelv˝ u programot a szok´ asos módon kell elkész´ıteni. A f˝ oprogram szerkezetét a használt oper´ aci´ os rendszer hat´ arozza meg, ez eset¨ unkben a Windows rendszer. A f˝ oprogramot tartalmazó állomány neve: /))0A@

#include "mathlink.h" int addtwo(int i, int j) {return i+j;}

64


int PASCAL WinMain(HANDLE hinstCurrent, HANDLE hinstPrevious, LPSTR lpszCmdLine, int nCmdShow) {char buff[512]; char FAR *argv[ 32]; int argc; if(!MLInitializeIcon(hinstCurrent, nCmdShow)) return 1; argc = MLStringToArgv(lpszCmdLine, buff, argv, 32); return MLMain(argc, argv);}

A 2 . lemezén csak az MLINK16.DLL könyvt´ ar tal´ alhat´ o. Ebb˝ ol létre kell hozni az MLINK16.LIB a´llományt a BorlandC programhoz tartozó IMPLIB.EXE segédprogrammal. Az ´ıgy létrehozott MLINK16.LIB állom´ any m´ ar o¨sszeszerkeszthet˝o a C nyelv˝ u forr´ asprogrammal. A létrehozott sablonb´ ol C program kész´ıthet˝ o a 2 . -hez adott MPREP.EXE programmal. Ez a sablont paraméterként v´ arja, az eredményt pedig a képerny˝ ore ´ırja, ´ıgy a´t kell azt ir´ any´ıtani: '#9H# K++G.=G' MM K++G.G'=*

A BorlandC ford´ıt´ o j´ aval o¨sszeszerkesztj¨ uk (linkelj¨ uk) a f¨ uggvényt tartalmazó (ADDTWO.C) C programot, a sablont tartalmaz´ o (ADDTWOTM.C) onyvt´ arat. A szerkesztés eredC programot és a 2 . et tartalmazó k¨ ménye az ADDTWO.EXE program. A f¨ uggvényt ´ıgy ind´ıtjuk el Mathematic´ a b´ ol: / B6 NSU 8S 8/S 1!S

U$=!!6

LinkObject[d:\wnmath22\mathlink\samples\addtwo.exe, 3, 2]

Ezut´ an a Mathematic´ a ban megszokott módon lehet használni: K

GU$

5

Vég¨ ul be kell fejezni a haszn´ alatot: R/ Unlink[LinkObject[ d:\wnmath22\mathlink\samples\addtwo.exe, 2, 2]]


65

• A Mathematica f¨ uggv´ enyeinek megh´ıv´ asa C programb´ ol Ha a fentiek alapján m´ ar elkész´ıtett¨ uk az MLINK16.LIB k¨ onyvt´ arat, akkor már csak a C programot kell meg´ırni. Tegy¨ uk fel, hogy az ADDINT.C forr´ asnyelvi állományba az al´ abbiakat ´ırtuk: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include "mathlink.h" extern void init_and_openlink P((int argc, char* argv[])); MLEnvironment ep = (MLEnvironment) 0; MLINK lp = (MLINK) 0; int main(int argc, char *argv[])) {int pkt, i, j, sum; printf("Opening Mathematica Kernel. . . \n\n"); init_and_openlink(argc, argv); printf("Two integers:\n\t"); scanf("%d %d", &i, &j); MLPutFunction(lp, "EvaluatePacket", 1L); MLPutFunction(lp, "Plus", 2L); MLPutInteger(lp, i); MLPutInteger(lp, j); MLEndPacket(lp); while((pkt=MLNextPacket(lp), pkt) && pkt != RETURNPKT) MLNewPacket(lp); MLGetInteger(lp, &sum); printf("sum=%d\n", sum); MLPutFunction(lp, "Exit", 0); return 0;} void deinit (void) {if (ep) MLDeinitialize(ep);} void closelink(void) {if (lp) MLClose(lp);} void init_and_openlink(int argc, char *argv[]) {ep=MLInitialize((MLParametersPointer)0); if(ep==(MLEnvironment)0) exit(1); atexit(closelink); lp = MLOpen(argc, argv);

66

2. Ismerkedés a Mathematica programmal if(lp==(MLINK)0) exit(1); atexit(closelink);}

A programot az o¨sszeszerkesztés (ez el˝oa´ll´ıtja az ADDINT.EXE programot az ADDINT.C és a MLINK16.LIB programb´ ol) ut´ an a Windowsb´ ol ind´ıthatjuk el F2B5W5K'H 6+NS.5'KG;S'KG;F'KG;2B5W6

paraméterrel. A Mathematic´ a b´ ol ind´ıt´ as el˝ott szálljunk ki, mert ha a mag már akt´ıv, akkor programunk nem tudja még egyszer elind´ıtani. A fut´ askép: 1! '8! ( W!!=== GU$ !! 0

A Mathematic´ a ban Fortran és Visual Basic programok hasonlóan haszn´ alhat´ ok, mint C nyelv˝ u programok. Mivel bizonyos felhaszn´ al´ oi programoknak olyan programnyelv¨ uk van, uggvényeit (az Accesshez amely közvetlen¨ ul képes megh´ıvni a 2 . f¨ és az Excelhez a Visual Basic, a Wordhöz a WordBasic), ezért ezek k¨ ul¨ on¨ osen könnyen illeszthet˝ok. Néh´ any népszer˝ u felhaszn´ al´ oi programra szintén készen van az illesztés; ezek péld´ aul LabVIEW, Spyglass Transform, MATLAB, Xmath, IRIS Explorer, AVS. A Mathematic´ a t az Excel tábl´ azatkezel˝ovel egy¨ utt a 2 . -4 program seg´ıtségével tudjuk használni. Ennek az lehet az értelme, hogy a t´ abl´ azatkezel˝ovel esetleg áttekinthet˝ obb form´ aban tudjuk begy˝ ujteni az adatokat, mintha egy sz¨ oveges állományba ´ırn´ ank azokat. ´ Vég¨ ul megmel´ıtj¨ uk, hogy az AMLAZKA (amit l´ atsz, azt kapod, WYSIWYG) t´ıpus´ u bevitelt és TEX, LaTEX, Lotus WordPro vagy EPS (-J *'* ) alakú kivitelt seg´ıti a 2 - és a 2 '@60 program, a K-TALK Communications, Inc. terméke.

2.5. Tov´ abbi inform´ aci´ oforr´ asok Az ismertetetteken k´ıv¨ ul számos további lehet˝ oség van inform´ aci´ oszerzésre. A teljesség igénye nélk¨ ul szeretnénk seg´ıteni az Olvasónak abban, hogy hogyan induljon el ebbe az ir´ anyba.

2.5. További inform´ aci´ oforr´ asok

67

2.5.1. MathSource A Mathematica programmal kapcsolatos legteljesebb ingyenesen hozzáférhet˝ o elektronikus adatb´ azis a MathSource. Itt tal´ alhatunk t¨ obbek k¨ ozött programcsomagokat, a Mathematic´ a r´ ol szól´ o és az azt felhasznál´ o publik´ aciókat és ilyenek listáit. Az itt szerepl˝ o tételekhez egy-egy azonos´ıt´ o tartozik. Ha itt megtal´ alhat´ o anyagra hivatkozunk, akkor ezt az azonos´ıt´ ot is meg fogjuk adni, ahogy eddig is megadtuk. A vil´ agh´ al´ ozaton (World Wide Web) c´ıme a következ˝o:

CCC C 2 Ha az ftp programmal a´llományokat szeretnénk onnan a´tmásolni a saját gép¨ unkre, akkor a

* C gépre jelentkez¨ unk be anonymous jelszóval. Ugyanezt a c´ımet használhatjuk a gopher programmal és elektronikus levelezés célj´ ara is. A MathSource ennek a szakasznak további részében ismertetett dokumentumok mindegyikér˝ol b˝ oséges inform´ aci´ ot tartalmaz (esetenként a teljes dokumentumot). A MathSource anyag´ at id˝ or˝ ol-id˝ ore CD lemezen is megjelentetik.

2.5.2. K¨ onyvek A program referenciak¨ onyveit [3, 89] már eddig is t¨ obbsz¨ or megeml´ıtett¨ uk. A Mathematic´ a r´ ol számos bevezet˝o k¨ onyv jelent meg, és ugyancsak sok (¨ osszesen mintegy 100) m˝ u sz¨ uletett egyes (matematikán bel¨ uli és k´ıv¨ uli) alkalmaz´ asokról — els˝osorban angolul, de ma m´ ar német¨ ul, franci´ aul és jap´ anul is. K¨ onyv¨ unk irodalomjegyzékében ezek k¨ oz¨ ul néh´ anyat megeml´ıt¨ unk, a MathSource-on pedig a teljes aktu´ alis lista megtekinthet˝o.

2.5.3. Foly´ oiratok A Mathematica felhaszn´ al´ oi k¨ ozötti inform´ aci´ ocserét több foly´ oirat is szolgálja. A Mathematica Journal negyedévenként jelenik meg. Tartalmaz kutat´ asi eredményeket, gyakorlati alkalmazásokat, ´ır u ´j termékekr˝ol, k¨ onyvekr˝ ol.

68


Lemezmellékletén a számhoz csatlakozó jegyzetf¨ uzetek vannak. A Mathematica in Education and Research szintén negyedévenként megjelen˝ o foly´ oirat a Mathematica els˝o v´ altozat´ anak kibocs´ atásakor indult. Kezdetben csak az oktatással (matematika, természettudományok, m˝ uszaki tudom´ anyok) foglalkozott. A kutat´ as és ezzel egy¨ utt a Research szó u ´jonnan ker¨ ult a c´ımébe. A Mathematica World hajlékony lemezen havonta megjelen˝o foly´ oirat. Jegyzetf¨ uzeteket, interakt´ıv tananyagokat tartalmaz a magr´ ol, a felhaszn´ al´ oi fel¨ uletr˝ ol és a programcsomagokról. Az elektronikus levelezési csoportokban felmer¨ ult problémák megoldásait is közli. A negyedévenként megjelen˝o MathUser foly´ oiratot a Wolfram Research Institute k¨ uldi az érdekl˝od˝ o felhaszn´ al´ onak, ha k¨ uld egy subscribe mathu” ser” tartalm´ u elektronikus levelet a

*TC c´ımre. Sz´ amos apr´ o¨ otletet, fogást tanulhatunk bel˝ ole.

2.5.4. MathGroup A Mathematica f¨ olhaszn´ al´ oi megalak´ıtott´ ak a (t¨ obbezer tagot számlál´ o) szabályozott (moderated) levelezési csoportot, a MathGroup-ot. Ennek a k¨ ozösségnek a tud´ asát t¨ obbféleképpen hasznos´ıthatjuk. F¨ oltehet¨ unk egyetlen kérdést Steve Christensennek a

& T ** * c´ımre, annak a megjegyzésével, hogy a levelezésben nem k´ıv´ anunk részt venni, ezért a v´ alaszokat a saját c´ım¨ unkre kérj¨ uk. A levelezési csoportba u ´gy lehet belépni, hogy szintén Steve Christensennek ´ırunk egy levelet a

& J ;*T ** * c´ımre. Válaszul el˝oször kapunk egy t´ ajékoztatót, majd megindul a kérdések és válaszok tanulságos és hasznos áradata.

3. Fejezetek a matematikáb´ ol

Ebben a fejezetben a matematika témakörei k¨ oré csoportos´ıtva mutatjuk be a Mathematica program lehet˝ oségeit. Fel fogjuk sorolni a felhaszn´ alhat´ o bels˝ o f¨ uggvények et (lásd a 2.1. szakaszt) is, valamint a programcsomagokban (l´ asd a 2.2. szakaszt) meglév˝o k¨ uls˝ o f¨ uggvények et is.

3.1. Alapvet˝ o matematikai fogalmak Célunk ennek a szakasznak az elején az, hogy a fels˝ofok´ u matematikai tanulmányok elején szokásosan szerepl˝o logikai és halmazelméleti tudnival´ okat illusztráljuk, illetve hogy az e t´ argyk¨ orben felmer¨ ul˝ o feladatok megold´ asához seg´ıtséget ny´ ujtsunk. A Mathematica alkalmazhat´ oság´ anak e ter¨ uleten t¨ obb korl´ atja is van. El˝ oször is: majdnem kizár´ olag csak véges halmazokkal vagy val´ os számhalmazokkal (els˝osorban intervallumokkal) tudunk dolgozni. M´ asodszor: kvantorok alkalmaz´ asa csak kivételes esetekben siker¨ ul. (Kivétel: a µ oper´ ator.) Harmadszor: egyelem˝ u halmaz és eleme, illetve a f¨ uggvény és helyettes´ıtési értéke közötti k¨ ul¨ onbségtétel ugyan k¨ ovetkezetesebb, mint bármelyik programoz´ asi nyelvben, mégsem éri el minden¨ utt azt a szintet, amelyre az egyetemi oktatásban feltétlen¨ ul sz¨ ukség van. A fenti problémák ellenére meg szeretnénk gy˝ ozni az olvasót arr´ ol, hogy még az itt tárgyalt ter¨ uleteken is seg´ıtségére lehet a Mathematica. Mivel maga a program az alább bemutatand´ okn´ al j´ oval bonyolultabb logikai m˝ uveleteket és levezetési szabályokat alkalmaz, ezért az is nyilvánval´ o, hogy szorgos gyakorlással fegyvert´ arunk szinte korl´ atlanul b˝ ov´ıthet˝ o.

70


3.1.1. Logikai m˝ uveletek A k¨ ovetkez˝o bels˝o f¨ uggvényeket használhatjuk:

! "

A Mathematica alkalmas logikai értelemben vett ´ıtéletek kezelésére. Ezek kiértékelésénél azt vizsgálja, hogy igazak-e, avagy hamisak. Jel¨ olj¨ uk péld´ aul p-vel a 3 < 2” kijelentést: ” False

Ap´ all´ıt´ as tagad´ asának igazságértéke az ellenkez˝oje lesz: True

Ez a f¨ uggvény pontosan megfelel a logik´ aban szerepl˝ o neg´ aci´ o elnevezés˝ u egyv´ altozós logikai f¨ uggvénynek. Azt is mondhatjuk, hogy a és logikai értékek pontosan megfelelnek az igaz és hamis nullav´ altozós logikai f¨ uggvényeknek, azaz a´lland´ oknak. A kétv´ altozós matematikai logikai f¨ uggvények k¨ oz¨ ul a logikai konjunkci´ o (∧) megfelel˝ o je az , a diszjunkar´ o vagyé a ". Az ekvivalenciának az cióé (∨) az , m´ıg a kiz´ f¨ uggvény felel meg, az implikáci´ onak pedig az . Megjegyezz¨ uk, hogy a matematikai logikában néha nem, vagy nem csak logikai értékekhez logikai értékeket rendel˝o f¨ uggvényeket szokás logikai f¨ uggvényeknek nevezni, hanem olyan f¨ uggvényeket, amelyek valamely más halmazon, péld´ aul a természetes számok halmaz´ an vannak defini´ alva, és a természetes számokhoz rendelnek logikai értékeket. Az elveknél le´ırtakkal o¨sszhangban ezek a Mathematica-f¨ uggvények által´ anosabbak, t¨ obbet tudnak” a megfelel˝ o matematikai f¨ uggvényeknél, az ” függvény például nemcsak logikai, hanem számértékek összehasonl´ıt´ asára is haszn´ alhat´ o.

3.1. Alapvet˝o matematikai fogalmak

71

´ ek- vagy igazs´ • Ert´ agt´ abl´ azatok Megvizsgáljuk, hogy a v´ altozók o¨sszes lehetséges értéke mellett milyen értékeket szolgáltatnak a program logikai f¨ uggvényei:

{False, True}

J´ o lenne (k¨ ul¨ on¨ osen a kés˝obbiekre is gondolva), ha a lehetséges igazságértékek:

halmazára alkalmazhatn´ ank a vizsg´ alt f¨ uggvényt. Ehhez h´ıvjuk seg´ıtség¨ ul uggvényt, amelynek használata az al´ abbi egyszer˝ u péld´ ab´ ol világos a # f¨ lesz: {False, True}

Talán még természetesebb az az ´ır´ asmód, amelynél a f¨ uggvény és a lista (vagy halmaz; a kés˝obbiekben ezek viszony´ at tisztázni fogjuk) k¨ ozé minduggvény r¨ ovid´ıtett alakja, s amely arra össze a $% jelet´ırjuk, amely a # f¨ uggvényt k¨ ozvetlen¨ ul nem alkalmazfigyelmeztet benn¨ unket, hogy a f¨ hatjuk egy list´ ara, csak annak elemeire: {False, True}

Esetenként kényelmesebb lehet, ha u ´gy m´ odos´ıtunk egy f¨ uggvényt, hogy k¨ ozvetlen¨ ul alkalmazhat´ o legyen egy listára: az attrib´ utumai k¨ ozött szereutum. Ennek a m´ odja a k¨ ovetkez˝o: peljen a & attrib´ ! " # $ % $ & ! {False, True}

Térj¨ unk a´t most az kétv´ altozós f¨ uggvényre. Az f¨ uggvény értékt´ abl´ azat´ anak vagy igazs´ agt´ abl´ azatának egy elemét péld´ aul ´ıgy kaphatjuk meg: # '

True

72

3. Fejezetek a matematikáb´ ol Vezess¨ uk be az igazs´ agértékekb˝ol a´ll´ o p´ arok halmaz´ at:

Elegend˝ o teh´ at végigmenni az '( lista elemein és mindegyiket behelyettes´ıteni az f¨ uggvénybe. Az '( lista elemei viszont maguk is listák, teh´ at gondoskodnunk kell arr´ ol, hogy ezek a kételem˝ u listák szolgáluggvény két argumentum´ at ( zár´ ojelek nélk¨ ul”). A helyzet tassák az f¨ ” ahhoz hasonl´ o, mint amikor matematikában egy kétdimenziós vektort be´ırunk egy kétv´ altozós f¨ uggvény argumentum´ aba. Ott el szoktuk k¨ ovetni azt a pontatlans´ agot, ar´ o jelp´ art elhagyunk és f (0, 1)-et ´ırunk hogy egy z´ uk meg, ezért sz¨ ukséf ((0, 1)) — s˝ot f ( 01 ) — helyett. Itt ezt nem tehetj¨ uggvényre, amely egy lista elemeib˝ol egy többv´ altozós g¨ unk van az ) f¨ f¨ uggvény argumentumait a´ll´ıtja el˝ o: # ( # '

True

(Itt '(**+,, az '( lista els˝ o eleme, vagyis a -. / lista.) uggvénynek is van r¨ ovid alakja, a fentivel egyenérték˝ u eredményt Az ) f¨ kapunk teh´ at ´ıgy is: # '

Az értéktábl´ azat azon részét tehát, amely az utols´ o oszlopot szokta alkotni, egy t´ abl´ azat formá j´ aban a´ll´ıthatjuk el˝ o: $ # ( # '

) {True, False, False, False}

Jelölje most * +, - #

( # ' +

azt a f¨ uggvényt, amely az lista elemeit, amelyek maguk is listák, az f¨ uggvény argumentumaivá alak´ıtja. A fenti eredményt ezek ut´ an u ´gy kaphatjuk meg, hogy kisz´ am´ıtjuk az '( halmaz f melletti képét: * {True, False, False, False}

Tiszta f¨ uggvény (l´ asd al´ abb) alkalmaz´ asával f kiiktathat´ o, ekkor ´ıgy abl´ azatának utols´ o oszlopát: áll´ıthatjuk el˝ o igazságt´ # ( # ' ./ {True, False, False, False}


73

Vagy r¨ ovidebben: #

( # ' ./

{True, False, False, False}

és vég¨ ul: # ' ./ {True, False, False, False}

Lehet, hogy ez alkalommal nem t´ ul gyorsan jutottunk el a végeredményhez, az eljár´ as el˝onyeit mégis l´ atnunk kell, hogy a tov´ abbiakban magunk is törekedj¨ unk a fentihez hasonl´ o st´ılus´ u ´ır´ asmódra. A végs˝o képletben lényegében csak a logikai m˝ uvelet szerepel és annak értelmezési tartománya, valamint figyelmeztet˝ o jelek annak jelzésére, hogy k¨ ul¨ onbséget kell tenn¨ unk valamely halmaz és annak elemei között. Az esztétikai szempont mellett — amelynek figyelembevétele csak némi gyakorlat ut´ an v´ arhat´ o el a felhasznál´ ot´ ol — igen lényeges az is, hogy a m˝ uveleteket a program sokkal gyorsabban végzi el, ha a feladatot ilyen m´ odon adjuk meg, mintha hagyom´ anyos ´ır´ asmódot alkalmazn´ ank. Ezt a teljes´ıt˝ oképesség vizsgálat´ an´ al péld´ akon fogjuk bizony´ıtani. Egy tetsz˝oleges kétv´ altozós logikai m˝ uvelet értéktábl´ azatát tehát az alábbi f¨ uggvény a´ll´ıtja el˝ o: $ 01 , - 01 ./

Használjuk most ezt a f¨ uggvényt! $ # ' $ 2 $ 3 $ 45 $ 5 $ 60

Az értéktábl´ azatot a szokásos módon is elhelyezhetj¨ uk. Ehhez egész´ıts¨ uk ki az értelmezési tartományt az argumentumokat jel¨ ol˝ o két bet˝ uvel, péld´ aul a-val és b-vel: '0 & ' $ {{a, b}, {True, True}, {True, False}, {False, True}, {False, False}}

Ezut´ an az eredményt tartalmaz´ o lista elejére ´ırjuk oda az illet˝ o logikai f¨ uggvény helyettes´ıtési értékét az (a, b) helyen:

74


& ' $ 2 7'0 8 $

{a V b, True, True, True, False}

(0 * . , a elejére odailleszti az -et. 1 2 pedig itt azt a célt szolgálja, hogy ne értékel˝odjék ki az a∨b összeg”.) ” Amint az a mátrixm˝ uveleteknél részletesen ki fog der¨ ulni, a 2 × 5-ös és a 1 × 5-ös mátrix ´ıgy tehet˝o egymás mellé:

9

'0 {{a, b, a V b}, {True, True, True}, {True, False, True}, {False, True, True}, {False, False, False}}

Hogy vég¨ ul egy szép t´ abl´ azatot kapjunk, nézz¨ uk meg az eredményt mátrixalakban: +0 : a True True False False

b True False True False

a V b True True True False

Halad´ ok számára tanuls´ agos megfontolni, hogy nem sokkal k¨ onny´ıtené meg a dolgunkat a &3##3 csomagból uggvény sem, mivel sorai egyetlen elemb˝ol a´llvett 4 f¨ uggvény nak és nem listák (vagy, ha tetszik, vektorok). A & f¨ viszont rendelkezik olyan opci´ okkal, amelyek seg´ıtségével a feladat k¨ onnyebben megoldhat´ o lett volna; javasoljuk az olvasónak, hogy keressen meg egy ilyen megold´ ast. • Logikai azonoss´ agok Térj¨ unk a´t most a logikai azonosságok vizsgálat´ ara. Szeretnénk egyszer˝ u logikai azonosságokat bizony´ıtani a program felhaszn´ al´ asával. A konjunkci´ o kommutativitása ´ıgy l´ athat´ o be: %!4+ ' // $ %!4+ ' $ // True

´ Altal´ aban is igaz az, hogy bonyolultabb logikai kifejezések egységes alakuggvény: ez ugyanis el˝ oa´ll´ıtja egy ra hoz´ asában seg´ıt a f¨ formula teljes diszjunkt´ıv norm´ alform´ aj´ at. Innen l´ atszik péld´ aul a De Morgan-féle azonoss´ agok érvényessége.


75

%!4+ ' ;; << ;$ a && b %!4+ ' ;; // ;$ a || b

Abban az esetben, ha az egyszer˝ u m´ odszerek nem seg´ıtenek, marad az értéktábl´ azatok összehasonl´ıt´ asának m´ odszere. Lássuk be péld´ aul a kor´ abban uggvény alkalmazásával, hogy a diszjunkci´ o kommutabevezetett & f¨ t´ıv: $ . << ./ $ . << ./ True

Az implik´ aci´ oval kapcsolatban érdemes megjegyezni, hogy sokkal t¨ obbre használhat´ o, mint matematikai logikai ismereteink alapján remélnénk. *)+.)(, ugyanis jelenti az )+ egyenlet azon részét, amely al j´ ol alkalmazhat´ o, l´ asd ott. tartalmazza )(-t. Ez egyenletek megoldásán´ uggvény feltételes Az implik´ aci´ or´ ol zár´ asul megeml´ıtj¨ uk, hogy az 5 f¨ utas´ıt´ asok megvalós´ıt´ asára szolgál, teh´ at a programoz´ as egy segédeszköze. Logikai szempontb´ ol érdekes megjegyezni, hogy négy argumentummal is haszn´ alhat´ o; ilyenkor a negyedik argumentumban szerepl˝ o utas´ıt´ ast hajtja végre a program, amennyiben nem tudja eld¨ onteni, hogy igaz vagy hamis a feltétel értéke. • Logikai egyenletek Oldjuk meg az al´ abbi logikai egyenleteket a Mathematica seg´ıtségével: "1 << + + {{x -> False}}

Az eredmény hozz´ arendelési szab´ alyok egy (egyelem˝ u) listája. Az egyetlen hozzárendelési szabály azt mondja, hogy a megold´ ast kapjuk meg akkor, ha uk. Ehhez hasonl´ ot jelent az alábbi utas´ıt´ as x értékét -sal helyettes´ıtj¨ és eredménye is: "1 << + + {{x -> True}}

Ha megold´ assal nem rendelkez˝o egyenletet oldatunk meg a programmal, akkor eredmény¨ ul u ¨res listát kapunk: "1 << + + {}

76


Vég¨ ul pedig, ha minden x megoldása egy egyenletnek, azaz nincs megk¨ otés arra, hogy mit helyettes´ıts¨ unk x helyébe, akkor az eredmény egyetlen szabályb´ ol a´ll´ o lista, amely szabály azonban nem tartalmaz megkötést: "1 << + + {{}}

Oldjuk meg most a k¨ ovetkez˝o feladatot (lásd [83], 125. oldal). Megyek ” az utcán, észreveszek a t´ uls´ o oldalon egy l´ anyt és egy fi´ ut. Még messze vannak, nem ismerem fel egyiket sem; de mintha Zsuzsi volna az a l´ any, állap´ıtom meg magamban. Ha Zsuzsi az, akkor vagy Feri megy vele, vagy az a mérnökhallgat´ o, akivel mostanában gyakran l´ atom egy¨ utt. K¨ ozelebb j¨ onnek. Felismertem: Zsuzsi az. Most már a fi´ ut is jobban l´ atom. Nem Feri megy vele. Mi k¨ ovetkezik ebb˝ol?” Ha fel´ırjuk a feltevéseket (premisszákat) r¨ ovid´ıtve, logikai m˝ uveletekkel, akkor ezt kapjuk: * "1 60 * << 0 = 0 = {{mernok -> True}}

• A µ oper´ ator A matematikai logik´ aban és a rekurz´ıv f¨ uggvények elméletében szerepel a µ oli azt a legkisebb természetes számot, oper´ ator: szokásosan µn∈N P (n) jel¨ uggvénnyel ez (a természetes számok amelyre a P ´ all´ıt´ as igaz. A 6 f¨ ugghalmaza helyett véges halmazt szerepeltetve) le´ırhat´ o, s˝ot a 6 f¨ vény ennél sokkal többre is képes: 0 "! $ ! ' > 0$? {5}

Most még nem a legkisebb, adott tulajdons´ ag´ u elemet kaptuk, hanem a listában legel˝ oször k¨ ovetkez˝ot. Egy rendezéssel egy¨ utt m´ ar a j´ o megoldás ad´ odik: 0 "! " $ ! ' > 0$? {2}

Egy m´ asik megoldás:


77

0 "! $ ! ' > 0$? 2

Hasonl´ıtsuk o¨ssze a két megoldás gyorsaságát nagyobb számosság´ u halmazokon!

3.1.2. Halmazok Sz¨ ukség¨ unk lesz a legtöbb listakezel˝ o f¨ uggvényre is a néh´ any speciálisan halmazelméleti f¨ uggvény mellett:

) 4 4 7 #

# # # #8 #& 0 0 9 !

A 7 #834&3 programcsomag

4 0 :)4 ;6& 86&

9 0 9 6& 6&

f¨ uggvényei, valamint a 4 3773 programcsomag

77 65)!6 elj´ ar´ asai is seg´ıtséget ny´ ujthatnak.

!6

78


• Alapvet˝ o fogalmak A Mathematica alapvet˝ o adatszerkezete a lista. Halmazokat is listával reprezent´ alhatunk, ehhez azonban az adott list´ aban t¨ obbsz¨ or el˝ofordul´ o azonos elemeket egyetlen listaelemmel kell helyettes´ıten¨ unk. Ennek egy módj´ ara mutatunk péld´ at: @0

(Ek¨ ozben az elemek a <6 rendszerv´ altozó aktu´ alis értékének megfelel˝oen rendez˝ odnek is.) A legcélszer˝ ubb elj´ ar´ as, ha bevezet¨ unk egy f¨ uggvényt, amely a listákat halmazz´ a alak´ıtja, és halmazm˝ uveletek végzése el˝ott els˝ o lépésként mindig ezt alkalmazzuk: @0 , -

Az u ¨res halmaz megfelel˝oje az { } u ¨res lista. Nem lep meg benn¨ unket, hogy False

Azt, hogy az a elem benne van-e az {a, b, c} halmazban, péld´ aul ´ıgy vizsgálhatjuk meg: 0$? $! True

Megkérdezhetj¨ uk azt is, hogy mentes-e az {a, b, c} halmaz az a elemt˝ol: ? $! False

A #& utas´ıt´ as felhaszn´ al´ asával ellen˝orizhetj¨ uk azt, hogy egy halmaz részhalmaza-e a másiknak: A# $ $ B> # ( # ' $ 0$? $

True

Rövidebb, t¨ omörebb és gyorsabb, ha az a halmazt nem elemenként kezelj¨ uk:

3.1. Alapvet˝o matematikai fogalmak #

79

( # ' 0$? $ ./

True

Még rövidebb formul´ at kapunk, ha az utas´ıt´ asok r¨ ovid alakj´ at haszn´ aljuk: +, (, - # ' 0$? ( ./ + $ True

Részhalmaz okat gyakran defini´ alunk u ´gy, hogy egy adott alaphalmaz adott tulajdons´ ag´ u elemeit választjuk ki. Ezt t¨ obbféleképpen is megtehetj¨ uk a Mathematic´ a ban: @0 $ ! ) > A @0 ,6 {1, 2, 3, 4, 5}

A @0 +, + {1, 2}

"! @0 2''? {1, 3, 5}

Kiv´ alaszthatjuk egy halmaz (ink´ abb: egy lista) adott helyen lév˝ o elemeit is, amint azt a péld´ ak mutatj´ ak (ezek a m˝ uveletek eszközként halmazokra is j´ ol haszn´ alhat´ oak):

= @0 {a, b, c}

= @0 C {3, 4, 5}

= @0 > {c, 1, 2}

Hasonl´ oan hagyunk el bizonyos elemeket: D @0 D @0 C {1, 2, 3, 4, 5} {a, b, c, 1, 2}

80

3. Fejezetek a matematikáb´ ol D D {a, {a,

@0

@0 > b, 1, 2, 3, 4, 5} b, 3, 4, 5}

Adott halmaz részhalmaz´ at ´ıgy is megadhatjuk: E @0 {b, c, 1, 2, 3, 4, 5} & @0 > F {c, 2, 4}

A k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ asok eredménye pedig adott halmaz egy eleme: @0 a & @0 c

Felh´ıvjuk a figyelmet az elvekr˝ ol szól´ o 2.3. szakaszra. A jelen pontban t´ argyalt m˝ uveletek ugyanis a´ltal´ aban nem csak listákra alkalmazhat´ ok, ´ıgy hat´ askör¨ uk az itt ismertetettnél sokkal b˝ ovebb. • Halmazm˝ uveletek Természetesen nemcsak a halmaz listáb´ ol val´ o el˝oáll´ıt´ asának m˝ uveletét, hauggvény végzi: nem a halmazok egyes´ıtését is a ! f¨ $ ! {1, 2, 3, a, b, c}

Ugyanezt használhatjuk — t¨ obbféleképpen is — tetsz˝oleges (véges!) halmazrendszer egyes´ıtésének kiszám´ıt´ asára is: ' $ C G C {{-2, -1, 0}, {-1, 0, 1}, {0, 1, 2}} ' {-2, -1, 0, 1, 2} ' {-2, -1, 0, 1, 2}


81

osleges zár´ ojeleket, részletesen lásd az elveknél.) ( kiszedi” a föl¨ ” Halmazok metszetének kiszám´ıt´ asára adunk néh´ any péld´ at: $ !H6 ! H $ ! ' 6 ! $ ! $ ! ' 6 ! ' # ( 6 ! '

Végtelen (RN -beli) halmazok péld´ aul karakterisztikus f¨ uggvény u ¨kkel kezelhet˝ok. A ny´ılt egységk¨ orlap karakterisztikus f¨ uggvényét ´ıgy is megkaphatjuk: A# * * +, (, - 6* C+IC(IJB B

0 & D * + ( + B ( B {46.192 Second, -SurfaceGraphics-}

Ugyanennek a f¨ uggvénynek egy m´ asik defin´ıci´ oja: +, (, - +IG(I +, (, - B +IG(IJ

0 & D + ( + B ( B {40.645 Second, -SurfaceGraphics-}

(Ezeket a defin´ıci´ okat — és az alább k¨ ovetkez˝ot — ismét felfoghatjuk u ´gy is, hogy egy alaphalmaz, eset¨ unkben a s´ık, adott tulajdons´ ag´ u elemeit v´ alasztjuk ki.) onyvt´ ar 77 elnevezés˝ u programcsomagj´ at is A 4 alk¨ haszn´ alhatjuk karakterisztikus f¨ uggvények elkész´ıtéséhez: A!KD!D K @ +, (, - " C+IC(I

Ha ezeket a karakterisztikus f¨ uggvényeket ábr´ azolni akarjuk, akkor ez az els˝o két defin´ıci´ oval k¨ or¨ ulbel¨ ul egyforma ideig tart, a harmadikkal k¨ or¨ ulbel¨ ul h´ aromszor annyi ideig. A harmadikat akkor érdemes mégis v´ alasztanunk, ha a karakterisztikus f¨ uggvényekkel m˝ uveleteket is akarunk végezni: péld´ aul a halmazm˝ uveletek megvalós´ıt´ asa végett. (Két halmaz metszetének karakterisztikus f¨ uggvénye a halmazok karakterisztikus f¨ uggvényének szorzata, egyes´ıtés¨ ukét pedig u ´gy kapjuk meg, hogy a karakterisztikus f¨ uggvények összegéb˝ ol levonjuk azok szorzatát. Valamely halmaz komplementerének karakterisztikus f¨ uggvénye az 1 f¨ uggvény és a karakterisztikus f¨ uggvény uggvényt t¨ obb k¨ ul¨ onbségeként kaphat´ o meg.) A bonyolult, a !6 f¨ helyen is tartalmaz´ o kifejezések egyszer˝ us´ıtésére ugyanis az adott programalhat´ o. csomagban egy k¨ ul¨ on f¨ uggvény, a 65)!6 tal´

82


Sz´ am´ıtsuk ki most két halmaz metszetének és egyes´ıtésének karakterisztikus f¨ ugvényét: = +, (, - " +G(C +, (, - "0 *( " @ + ( = + ( 0 +, (, - "0 *( " @ + ( G = + ( C + ( & D + ( + B ( B

Az a és b halmaz Descartes-féle szorzat´ at az f¨ uggvénnyel kaphatjuk meg, ez ugyanis a m´ asodik és harmadik argumentum´ aban megadott listák elemeib˝ol képezi az összes párt, és ezeket a párokat az els˝o argumentumként megadott f¨ uggvény argumentum´ anak adja a´t; vég¨ ul az eredményb˝ ol listát képez: 2 % ' * {{d, 1}, {d, 2}, {e, 1}, {e, 2}, {f, 1}, {f, 2}}

´ Erdemes teh´ at a k¨ ovetkez˝o defin´ıci´ ot bevezetni: '! , $, - 2 % $ ' * $ '! $ {{d, 1}, {d, 2}, {e, 1}, {e, 2}, {f, 1}, {f, 2}}

(A Descartes-szorzat elemei rendezett p´ arok, ahogy el is v´ arjuk.) Ugyanezt onyvt´ ar 4& programcsomagmegadja a 7 #8 alk¨ uggvénye is. j´ anak 4 0 f¨ Az értéktábl´ azatokhoz a logikai f¨ uggvények értelmezési tartomány´ anak pontjait most m´ ar ´ıgy is el˝ o´ all´ıthatjuk: '!

Descartes-szorzat (nem csak véges halmazoké!) számos bels˝o f¨ uggvény argumentumaként el˝ofordulhat. Péld´ aul: & D " +I G (I + C& & ( B &

Ha a k szám osztója az A halmaz elemei számának, akkor

0* .=, az A halmaz egy olyan part´ıci´ o j´ at szolgáltatja, amelyben minden részhalmaznak k szám´ u eleme van: & ) L M F N {{1, 2}, {3, 4}, {9, 8}, {7, 6}}


83

Ne tévessz¨ uk o¨ssze a 0 f¨ uggvényt a 7 #8 alk¨ onyvt´ ar 4& programcsomagjának 0 függvényével, amely pozit´ıv egész számokat bont fel pozit´ıv egész számok összegére. • Hatv´ anyhalmaz H´ıvjuk be a 4& programcsomagot: D! @KA0$ !K

Képezhetj¨ uk egy adott halmaz részhalmazait lexikografikus sorrendben:

$ @"$ $ ! ' B > {{ }, {a}, {b}, {a, b}, {c}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, {d}, {a, d}, {b, d}, {a, b, d}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}

Hatv´ anyhalmazt tehát ´ıgy képezhet¨ unk: @ 1 ( , - $ @"$ B I% @ C @ 1 ( $ ! '

Egy m´ asik megoldásn´ al u ´gy soroljuk f¨ ol a részhalmazokat, hogy a sorozat minden tagja pontosan egy elemben k¨ ul¨ onb¨ ozzék az el˝oz˝ot˝ol: O(A' ) {{}, {1}, {1, 2}, {2}, {2, 3}, {1, 2, 3}, {1, 3}, {3}, {3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4}, {2, 4}, {1, 2, 4}, {1, 4}, {4}}

Vegy¨ uk észre, hogy péld´ aul a 4 szám az els˝o nyolc részhalmazban nem fordul el˝o, m´ıg az utols´ o nyolc mindegyikében el˝ofordul. Az a halmaz k elem˝ u részhalmazait ´ıgy kapjuk meg: P"$ $ ! ' {{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}}

ezért hatv´ anyhalmazt ´ıgy is el˝ oa´ll´ıthatunk:

$ P"$ $ ! ' B ) {{ }, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}

Vég¨ ul megeml´ıtj¨ uk, hogy ugyanebben a programcsomagban 6& néven olyan f¨ uggvényt is tal´ alunk, amely k¨ ozvetlen¨ ul el˝ oáll´ıtja a hatv´ anyhalmazt.

84


Megjegyzend˝ o, hogy gyakran van sz¨ ukség¨ unk arra, hogy el˝ oáll´ıtsuk egy halmaz kételem˝ u részhalmazait (azaz a másodosztály´ u ismétlés nélk¨ uli komuggvényt: bin´ aci´ okat). Ehhez is felhaszn´ alhatjuk a ;6& f¨ = , - P"$

• Rel´ aci´ ok A val´ os számokon defini´ alt szokásos rel´ aci´ ok is használhat´ ok: >. >. ?. ?. A matematikában megszokott összevonásokkal is élhetünk: > True

Nem csak számokra haszn´ alhat´ o az egyenl˝oség és a nemegyenl˝ oség: ) True

> $ ; > $ False

> $ > $ False

Az )' kifejezés pontosan akkor igaz, ha x, y és z p´ aronként k¨ u´ aromv´ altozós f¨ uggvény már l¨ onb¨ oz˝ok. (Igy teh´ at a ! és a " h´ k¨ ul¨ onb¨ oz˝ok, b´ ar kétv´ altozósként, mint f¨ ont l´ attuk, megegyeznek.) A fenti rel´ aci´ ok és logikai m˝ uveletek eredményként is igen gyakran el˝ ofordulnak: E'! + $ + b == 0 && a == 0 || a != 0 && x ==

b a

(A logikai diszjunkci´ ot´ ol megk¨ ul¨ onb¨ oztetend˝ o az alternat´ıv´ ak felsorol´ asát jel¨ ol˝ o | jel; ezt a mint´ azatokkal kapcsolatban a 2.3.2. pontban t´ argyaltuk.) ´ Ujonnan defini´ alt rel´ aci´ ok megadásához bizonyos szorzathalmazok részhalmazait kell kijel¨ olni: {{1, 1}, {2, 2}, {3, 3}, {1, 2}, {2, 1}}

Határozzuk meg a fenti rel´ aci´ o értelmezési tartomány´ at:


85

'0

{1, 2, 3}

Határozzuk meg értékkészletét is: %

{1, 2, 3}

Vajon megegyezik-e a reláci´ o értelmezési tartománya és értékkészlete? '0 True

Egy rel´ aci´ o reflexivit´ asa ellen˝ orizhet˝o u ´gy, hogy az alaphalmaz identit´ asf¨ uggvényét tartalmazza-e: @' % '0 '0 True

A rel´ aci´ okat gr´ afoknak is tekinthetj¨ uk. Ehhez a felfog´ ashoz tartozó fogalmakat és eszközöket a diszkrét matematikár´ ol szól´ o 3.6. szakaszban fogunk t´ argyalni. • M˝ uveletek intervallumokkal Az intervallumokkal mintha baj lenne. Az és a 42 függvénnyel nem m˝uködnek jól együtt; a !-nal természetesen igen: 6 ! 6 1 B 6 1 BQ> Interval[ ] A0 0 6 1 B > 6 1 Interval[{0, 5}] 6 1 B 6 1 BQ> Interval[{0, 2.}]

Mindez nincs o¨sszhangban a matematik´ aban megszokott tulajdons´ agokkal. A Mathematica elveinek viszont megfelel, ugyanis az u ´gy m˝ uk¨ odik, hogy a metszet tagjainak fejét eltávol´ıtja, majd megállap´ıtja, hogy a megmaradt listáknak melyek a k¨ ozös elemei, s ezekre an ez a kellemetlenség a program haszvisszarakja az fejet. Miut´ n´ alata során kider¨ ult, speci´ alis f¨ uggvényeket vezettek be intervallumokkal végzend˝o halmazm˝ uveletekre:

86

3. Fejezetek a matematikáb´ ol 6 1 6 1 B 6 1 BQ> 6 1 6 1 C 6 1 6 1 6 1 B 6 1 Interval[{0, 2}] Interval[{-1, 3}] Interval[{0, 1}, {2, 3}] 6 16 ! 6 1 B 6 1 BQ> 6 16 ! 6 1 B 6 1 Interval[{0.5, 1.}] Interval[ ]

Azt is megállap´ıthatjuk, hogy egy sz´ am eleme-e egy intervallumnak: 6 10$? 6 1 "5 True

#& *+. (, értéke pedig — ha i1 és i2 is intervallum — pontosan akkor , ha i2 ⊂ i1 : 6 10$? 6 1 B ) 6 1 True 6 10$? 6 1 6 1 BQ> False

Val´ os intervallumokon aritmetikai m˝ uveleteket is végezhet¨ unk a szok´ asos módon: F G 6 1 B 3 10 }] Interval[{ , 7 7 R6 1 C Interval[{-3, 9}] 6 1 G 6 1 ) Interval[{4, 6}]


87

3.1.3. Sz´ amok a ´br´ azol´ asa. Aritmetikai m˝ uveletek A Mathematica programon bel¨ ul elvileg ak´ arh´ any jegy˝ u számokkal végezhet¨ unk m˝ uveleteket. A gyakorlatban az ábr´ azolt számjegyek maximális számát — ami minden v´ altozatn´ al ezrekkel mérhet˝o — azonban az aktu´ alisan haszn´ alt hardverk¨ ornyezet hat´ arozza meg. Egész számokkal és törtekkel megadott aritmetikai m˝ uveletek eredményét a program a matematika szab´ alyainak megfelel˝oen pontosan adja meg (pontos aritmetika). A számológépekhez és a hagyományos programnyelvekhez hasonl´ oan itt is dolgozhatunk k¨ ozel´ıt˝ o értékekkel (k¨ ozel´ıt˝ o aritmetika). Ilyenkor igen t´ ag hat´ arok k¨ ozött szabályozhatjuk a felhaszn´ alt értékes számjegyek számát. Néh´ any programcsomagban lev˝o f¨ uggvény a lebeg˝opontos aritmetika elméletének tanulm´ anyoz´ asához is seg´ıtséget ny´ ujt. Ezeket ennek a pontnak a végén ismertetj¨ uk. M´ ar itt felh´ıvjuk az Olvas´ o figyelmét a bemen˝o adatok szintaxis´ anak (l´ asd kés˝obb) gondos megv´ alasztására. A tov´ abbiakban részletesen ismertetj¨ uk, hogy adott kifejezés kiértékeléséhez a Mathematica milyen elvek alapj´ an v´ alaszt a pontos és a közel´ıt˝ o algoritmusok alkalmazása köz¨ ul. • Az aritmetikai m˝ uveletek szintaxisa

0 *.), 6&*.), *. ), vagy ) 7 *.), 0B*.),

vagy vagy vagy vagy vagy

@) 2) A) $) C)

o¨sszeadás kivon´ as szorzás osztás hatv´ anyoz´ as

Az A) szorzatot megadhatjuk ´ıgy is: ). Ebben az esetben a szók¨ oz karakter jel¨ oli a szorzás m˝ uveletét. Ha egy kéttényez˝os szorzat els˝o tényez˝o je (val´ os vagy komplex) szám, a második tényez˝o je szimbólum (azaz nem oz karakter is elhagyhat´ o. Így a D, a DA és a szám), akkor a A is és a szók¨ D utas´ıtások egyenérték˝uek. Vigyázzunk azonban arra, hogy a ford´ıtott ul¨ onb¨ oz˝o szimbólumot sorrendre ez már nem érvényes. Az D egy -t˝ol k¨ jelent és nem az AD szorzatot. A Mathematica az aritmetikai m˝ uveleteket a matematikában megszokott o jelekkel ett˝ol precedenciaszabálynak megfelel˝oen hajtja végre, ha a zár´ eltér˝o sorrendet nem jelöl¨ unk ki. A precedenciaszabály 3 oldalas ismertetése Wolfram k¨ onyvében ([89], 716–719. oldal) sz¨ ukség esetén megtalálhat´ o. Mi-

88


vel elég természetes a m˝ uveletek sorrendje, ritk´ an kell ezzel foglalkoznunk. Ha bizonytalanok vagyunk, alkalmazzunk (g¨ omb¨ oly˝ u) z´ ar´ o jeleket. • Sz´ amt´ıpusok A hagyom´ anyos programnyelvekhez (Basic, C, Fortran, Pascal) hasonlóan a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o t´ıpus´ u számokat a Mathematica is k¨ ul¨ onb¨ oz˝o módon kezeli. Az al´ abbi számt´ıpusok megk¨ ul¨ onb¨ oztetésére van mód: Sz´ amt´ıpus

Defin´ıci´ o

P´ eld´ ak

egész számok

az egész számok halmazának (Z-nek) az elemei

val´ odi t¨ ortek

a p/q alak´ u számok, ahol p ∈ Z és q ∈ Z \ {0}

val´ os számok

a val´ os számok közel´ıtésére szolgál´ o véges tizedestörtek az a + bi alakban megadott komplex számok, ahol a és b az el˝oz˝o h´ arom számt´ıpus valamelyike (i jel¨ oli a képzetes egységet)

+EF 2(EG F$+D G$ 2D F+HE(F 2IHDJ(

9

9

komplex számok

4

F@EA ($F@DHA +H(@FHEA

A program szempontj´ ab´ ol az egész számoknak és az explicit tizedesponttal megadott val´ os számoknak kit¨ untetett szerep¨ uk van (l´ asd a 2.3.1. pontot). A szimbolikus programcsomagoknak, ´ıgy a Mathematic´ a nak is egyik f˝ o erénye az, hogy seg´ıtség¨ ukkel alapértelmezésben dolgozhatunk ak´ ar t¨ obb ezer jegy˝ u számokkal is. A lehet˝oségek ismertetéséhez sz¨ ukség¨ unk lesz a számok egy másik csoportos´ıt´ asára is. Pontos numerikus értékek nek nevezz¨ uk az egész számokat, a val´ odi t¨ orteket és azokat az algebrai alakban megadott komplex sz´ amokat, amelyeknek a val´ os és a képzetes része is az el˝obbiek valamelyike. Ilyen számokkal a matematikában megszokott módon pontosan is végezhet¨ unk m˝ uveleteket. K¨ ozel´ıt˝ o numerikus értékek nek nevezz¨ uk az explicit tizedesponttal megadott val´ os vagy komplex számokat. Az ezekkel végzett m˝ uveleteknél a program a szokásos kerek´ıtési szabályokat alkalmazza.


89

A Mathematica szimbólumoknak tekinti (és speciális módon kezeli) a matematikai a ´lland´ ok at. Sok esetben ezekkel is ugyan´ ugy számolhatunk, mint a pontos numerikus értékekkel. A következ˝o t´ abl´ azatban a beép´ıtett matematikai álland´ ok k¨ oz¨ ul csak néh´ anyat sorolunk fel.

4 7 : : 9 5) 25) 0

a Catalan-féle álland´ o, azaz a ∞ (−1)k (2k + 1)−2 összeg k=0

a fokot radi´ anba a´tv´ alt´ o szorzó (π/180o ) a természetes alap´ u logaritmus alapszáma n 1 a γ := lim − log n Euler-féle álk n→∞

k=1

land´ o √ az aranymetszési álland´ o (az (1 + 5)/2 szám) √ a −1 képzetes egység a +∞ szimbólum a −∞ szimbólum a π szám

Komplex sz´ amok kezeléséhez az alábbi bels˝ o f¨ uggvényeket használhatjuk:

&

9

4K

Ezek jelentése a megszokott. Csupán azt emelj¨ uk ki, hogy *', a ' komplex számnak a (−π, π] intervallumba es˝ o (radi´ anban mért) argumentum´ at adja meg. A k¨ ovetkez˝o péld´ ak ezt illusztrálj´ ak. Figyelj¨ uk meg azt is, hogy abban az esetben, amikor a bemen˝o adatok csak pontos numerikus értékeket tartalmaznak, akkor a program a pontos eredményt keresi: # G 6 # CA &N G " &NR6 # G R6 Pi 5 Pi , ArcTan[12, 3]} { , 4 6

Ha az aritmetikai kifejezés közel´ıt˝ o numerikus értéket is tartalmaz, akkor a kért eredmény egy k¨ ozel´ıt˝ o értékét kapjuk meg: # Q G 6 # G QR6 {0.785398, 0.244979}

A Mathematica komplex számokkal végzett m˝ uveletek eredményét algebrai alakban adja meg. A Gauss-egészek (azok a komplex számok, ame-

90


lyeknek a val´ os és a képzetes része is egész szám) körében is dolgozhatunk azokkal a f¨ uggvényekkel, amelyek rendelkeznek a : opcióval. A 1 f¨ uggvény ad inform´ aci´ ot arr´ ol, hogy egy adott sz´ amot a program milyen t´ıpus´ unak tekint. Péld´ aul: 7' 7' Q 7' >B 7' >QB {Integer, Real, Rational, Real} 7' G BR6 7' Q G BQR6 {Integer, Complex} 7' "5 7' "5 ) 7' "5 )Q {Power, Integer, Real}

Sz´ amos matematikai problémán´ al lényeges tudni azt, hogy egy adott szám hozzátartozik-e a komplex számok valamely részhalmazához. Az ilyen jelleg˝ u kérdések megválaszolásához ny´ ujthatnak seg´ıtséget k¨ ul¨ onb¨ oz˝o logikai értékeket megadó beép´ıtett f¨ uggvények. Az

*, utas´ıt´ as eredménye , ha egész szám, és az ellenkez˝o esetben. Hasonl´ o értelemben használhatjuk még a kövekez˝o utas´ıt´ asokat is:

*, *, *, & *,

*, 0 *, 0 *,

• Sz´ amok fel´ır´ asa k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o alakban ´ A Mathematica elvileg ak´ arh´ any jegy˝ u egész sz´ am ábr´ azolására képes. Erdemes kipr´ ob´ alni péld´ aul azt, hogy milyen n természetes számig adja meg n 3 minden jegyét. Használhatunk k¨ ul¨ onb¨ oz˝o alap´ u számrendszereket is. (Az alapértelmezés természetesen a 10-es számrendszer.) A

L * '. ', utas´ıt´ as eredménye a 10-es alap´ u számrendszerben megadott ' egész u számrendszerbeli alakja. A 9-nél nagyobb sz´ amszám ' (≤ 36)-alap´


91

jegyek jel¨ olésére rendre az . &. . . HHH karaktereket használjuk. A k¨ ovetkez˝o péld´ akban figyelj¨ uk meg azt is, hogy a program alsó indexbe´ırja a számrendszer alapszámát: S0 F S0 >MLN>NNMMM> F {1001012 , 1a2b3c4d5e6f7g17 }

Az '-alap´ u számrendszerbeli ' számot az

'CC ' utas´ıt´ as alak´ıtja a´t 10-es alap´ u számrendszerbeli számmá: IIBBB NII**BB {37, 16755200}

Az 7 bels˝o f¨ uggvénnyel egy egész szám számjegyeit tartalmaz´ o listát kapunk: 6 D )>NFM {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Az 7 * '. ', utas´ıt´ as eredménye pedig olyan lista, u amelynek elemei a 10-es számrendszerben megadott ' szám '-alap´ számrendszerbeli alakj´ anak számjegyei. Itt h´ıvjuk fel a figyelmet a 6 lehetséges opciót tartalmazó & bels˝o f¨ uggvényre, amely (k¨ ul¨ on¨ osen sok számjegyet tartalmazó) számok áttekinthet˝obb megjelen´ıtését támogatja. Az opci´ okat az 2 0$0

utas´ıt´ as eredménye mutatja meg. Itt példaként csup´ an azt eml´ıtj¨ uk meg, hogy ha a 30! sz´ am számjegyeit 3-as csoportokban szeretnénk megjelen´ıteni alassza el egymástól, akkor u ´gy, hogy az egyes csoportokat a karakter v´ ezt ´ıgy tudatjuk a Mathematic´ a val: 0$0 B; D S!= CJ 0$" CJ T
A Mathematica a val´ odi t¨ orteket is pontosan kezeli. Figyelj¨ uk meg, hogy ezeket a számlál´ o és a nevez˝o legnagyobb k¨ ozös osztój´ aval automatikusan egyszer˝ us´ıti: )>N 226 31

92


A L f¨ uggvényt val´ odi t¨ ortekre is alkalmazhatjuk: S0 ) 112 1002

A program a k¨ ozel´ıt˝ o numerikus értékeket alapértelmezésben k¨ ul¨ onb¨ oz˝o formában adja vissza: NQFIC) NQFIN NQFIM 6 {0.00049625, 90458.4, 4.06068 10 }

A 65 bels˝o f¨ uggvénnyel a számokat a matematikában megszokott lebeg˝opontos alakban a´br´ azolhatjuk: "! *!0 : -4 4 6 {4.9625 10 , 9.04584 10 , 4.06068 10 }

Az f¨ uggvénnyel mérn¨ oki alakban, k¨ onyvelési alakban pedig az -mal kapjuk meg az értékeket. Adott szám mantisszá j´ ab´ ol és kitev˝ o jéb˝ ol a´ll´ o listát is gyárthatunk: 4+ Q) {0.2342, 2}

A 97 és a & elj´ ar´ asokat közel´ıt˝ o numerikus értékek esetén is haszn´ alhatjuk. • Pontos aritmetika Ha egy matematikai kifejezésben csak pontos numerikus értékek szerepelnek, akkor a Mathematica a matematika szabályainak megfelel˝oen végzi el a m˝ uveleteket, és kerek´ıtések alkalmazása nélk¨ ul, pontosan adja meg a végeredményt: GFLIB 1208925819614629174706176 12157665459056928801

• K¨ ozel´ıt˝ o aritmetika Az explicit tizedesponttal megadott számokat a program k¨ ozel´ıt˝ o értéknek tekinti, és az ezekkel végzett m˝ uveleteknél a matematikában megszokott kerek´ıtési szabályokat alkalmazza.


93

A hagyom´ anyos programnyelvek az aritmetikai m˝ uveletek elvégzéséhez alapértelmezésben felhasználj´ ak az adott szám´ıt´ ogép processzorába beép´ıtett numerikus lehet˝ oségeket. Ezért a matematikai m˝ uveleteket csak meghat´ arozott szám´ u (´ altal´ aban 20-n´ al kevesebb) értékes számjegyet tartalmaz´ o val´ os számokkal tudj´ ak elvégezni, és a (sok esetben nem egyszer˝ uen végrehajthat´ o) hibaanal´ızisr˝ol a felhaszn´ al´ onak kell gondoskodnia. Ezzel szemben a Mathematic´ a t haszn´ alva már alapértelmezésben is akár t¨ obb ezer értékes jegyet tartalmazó val´ os vagy komplex számokkal is tudunk dolgozni, tov´ abb´ a a hibabecslésr˝ol is kapunk értékes informáci´ okat. Az ilyen nagypontoss´ ag´ u m˝ uveletek kiértékelésénél a program kész´ıt˝ oi nem tudj´ ak k¨ ozvetlen¨ ul felhaszn´ alni a szám´ıt´ ogép processzorának numerikus leas, szorzás, osztás) het˝ oségeit. A legalapvet˝ obb m˝ uveletek (összeadás, kivon´ elvégzését is a programban kell megoldani. Ez a tény természetesen a kiértékelés gyorsaság´ at is befolyásolja. Sok problémán´ al azonban a gyorsaság fontosabb szempont, mint a pontoss´ ag. A Mathematica (a hagyom´ anyos programnyelvekhez hasonl´ oan) lehet˝ ové teszi, hogy tekintettel legy¨ unk erre. A bemen˝o adatok szintaxis´ aval a felhaszn´ al´ o v´ alasztja meg azt, hogy a kiértékelésnél a program melyik m´ odszerrel dolgozzék. Az imént elmondottak miatt a Mathematica k¨ ozel´ıt˝ o numerikus értékeknek az alábbi két t´ıpus´ at k¨ ul¨ onb¨ ozteti meg: gépi pontoss´ ag´ u sz´ amok és nagypontoss´ ag´ u sz´ amok. Az el˝obbiek r¨ ogz´ıtett szám´ u számjegyet tartalmaznak, és a vel¨ uk végzett m˝ uveleteknél a hibabecslést a felhasznál´ onak kell elvégeznie. A program az ilyen számokkal végzett m˝ uveleteknél használja k¨ ozvetlen¨ ul az adott szám´ıt´ ogép hardverébe beép´ıtett numerikus lehet˝oségeket. A nagypontoss´ ag´ u számok elvileg (!) akárh´ any számjegyet tartalmazhatnak, és a program a vel¨ uk végzett m˝ uveletek során bizonyos hibabecslést is végez. A Mathematica az explicit tizedesponttal megadott val´ os vagy komplex számot akkor tekinti gépi pontoss´ ag´ u számnak, ha az értékes számjegyek altozó érszáma legfeljebb akkora, mint a <#80 rendszerv´ téke alapértelmezésben. Az általunk haszn´ alt gépek esetében ez a szám 16: U!@ &! 16

Ha bizonytalanok vagyunk, akkor a #8& beép´ıtett f¨ uggvénnyel kérdezhetj¨ uk meg a programt´ ol, hogy egy adott sz´ amot gépi pontosság´ unak tekint-e vagy sem: !@ 0$? Q !@ 0$? Q)>NFMLB)>NF !@ 0$? BQBBBBBBBBBB)>NF {True, False, True}

94


Ha a t´ızes számrendszerben beadott sz´ am a <#80 értéknél kevesebb értékes számjegyet tartalmaz, akkor a Mathematica a hi´ anyz´ o számjegyeket 0-nak veszi, és ´ıgy hajtja végre a kért m˝ uveleteket. A <#80 értékénél több értékes számjegyet tartalmazó k¨ ozel´ıt˝ o numerikus értékeket a Mathematica nagypontoss´ ag´ u számnak tekinti. Ezeknél a felhasználhat´ o értékes számjegyek maximális számát a <#0 rendszerváltozó tartalmazza. Alapértelmezésben U+&! 50000.

Ebben az esetben a gépi számábr´ azolás határai egészen leny˝ ug¨ oz˝oek: U 0$ U+0$ -323228015 323228010 {1.059345952 10 , 1.440397122 10 }

Arr´ ol, hogy egy számot (péld´ aul nagypontoss´ ag´ u számokkal végzett m˝ uveletek eredményét) a program milyen pontosnak tekint, a 0 és uggvény t´ a jékoztatja a felhaszn´ al´ ot. A az ) bels˝o f¨

0 *, utas´ıt´ as értéke a <#80 rendszerv´ altozóval egyenl˝ o, ha gépi pontoss´ ag´ u val´ os szám. Ha egyéb val´ os közel´ıt˝ o érték, akkor az eredaban szerepl˝ o összes értékes mény az szám t´ızes számrendszerbeli alakj´ os és a képzetes részre a számjegy száma. Ha komplex szám, akkor a val´ fentiek szerint vett számok minimum´ at kapjuk. A 0 *, szám az közel´ıt˝o érték egy abszolút hibakorlátjával hozható kapcsolatba: &! Q &! Q)>NFMLB)>NF &! Q)>NFMLB)>NF &! QGQ)>NFMLB)>NFR6 {16, 17, 16, 16}

Az szám tizedestört alakj´ aban a tizedespontt´ ol jobbra es˝o értékes számjegyek számát adja meg a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ as:

)*, Ez a szám az k¨ ozel´ıt˝ o érték egy relat´ıv hibakorl´ atj´ aval hozhat´ o kapcsolatba:


95

#!!!( Q)>NFMLB)>NFMLRBI #!!!( )>Q #!!!( F)>Q {17, 11, 10}

Pontos numerikus értékekhez mindkét f¨ uggvény az 5) szimbólumot rendeli: &! #!!!( {Infinity, Infinity}

K¨ ozel´ıt˝ o értékekkel való számolásnál felhaszn´ alhatjuk még az alábbi bels˝o f¨ uggvényeket is:

6 )

60

Ezekr˝ ol részletesebb informáci´ ot a [40] dolgozatban tal´ alhatunk. • A ki´ ert´ ekel´ es elvei Most felsoroljuk az (aritmetikai) kifejezések kiértékelésénél a Mathematica a´ltal k¨ ovetett által´ anos elveket. ◦ 1 ) Ha egy (aritmetikai) kifejezés csak pontos numerikus értékeket tartalmaz, akkor a program szimbolikus algoritmusokat felhaszn´ alva keresi a pontos eredményt: G FLI)B 1461501637330902918203684832716283019655932542976 147808829414345923316083210206383297601 G R6I>B 110422359737857437 - 276811749100242716 I

2◦ ) Ha az (aritmetikai) kifejezés tartalmaz gépi pontoss´ ag´ u számot, akkor a program minden sz´ amot ilyen t´ıpus´ ura alak´ıt, és ezekkel végzi el a m˝ uveleteket: = Q G FLI)B 9 9.88778 10 Q G R6I>B 17 17 1.10422 10 - 2.76812 10 I

A képerny˝ on az eredményb˝ ol ilyenkor csak 6 értékes számjegy jelenik meg. altozóban a program azonban gépi pontoss´ ag´ u számot tárol: A =' v´

96

3. Fejezetek a matematikáb´ ol &! = 16

Az összes (<#80 szám´ u) értékes számjegyet péld´ aul az 2 bels˝o függvénnyel jelen´ıthetjük meg: = 6

0

9.8877830446376*10^9 ◦

3 ) Ha a gépi pontoss´ ag´ u számokkal végzett m˝ uveletek eredménye a gépi pontoss´ ag a´br´ azolási hat´ arain (ezeket a

<##8& és a <##8& rendszerváltozók tartalmazz´ ak) k´ıv¨ ul esik, akkor a program automatikusan a nagypontoss´ ag´ u algoritmusokra tér át. Ezt illusztrálja a k¨ ovetkez˝o példa: U !@ 0$ U+!@ 0$ -308 308 {1.11254 10 , 1.79769 10 } QIBBBQ 494 1.4275588424553 10

4◦ ) A Mathematica a programban meg´ırt aritmetikai m˝ uveleteket végz˝o algoritmusokat h´ıvja meg abban az esetben, ha a kifejezésben csak nagypontosság´ u számokat talál. Ilyenkor minden lépésben nyomon k¨ oveti az adott m˝ uvelet pontoss´ ag´ at (hibabecslést végez), és a beadott adatok pontoss´ ag´ ahoz képest a lehet˝o legjobb k¨ ozel´ıtést pr´ ob´ alja megadni. A végeredményben csak pontos számjegyeket t¨ untet fel. A beép´ıtett algoritmusokr´ ol részletesebb inform´ aci´ ot a [41] dolgozatban tal´ alhatunk. ag´ u számokkal végzett m˝ uveletek eredményeként a prog5◦ ) Nagypontoss´ ram a 0.0 számot ´ırja ki akkor, ha a végeredményben nem tal´ al értékes számjegyet. o f¨ uggv´ eny • Az bels˝ uggvény k¨ ul¨ onb¨ oz˝o (péld´ aul aritmetikai) kifejezéseknek egy Az beép´ıtett f¨ k¨ ozel´ıt˝ o értékét adja meg. Péld´ aul: "5 R& 9 {9.88778 10 , 3.06998}


97

"5 & 3.06998

Eml´ıtett¨ uk m´ ar azt, hogy k¨ ozel´ıt˝ o numerikus értékek pontos számjegyeinek a számát a felhaszn´ al´ o igen t´ ag hat´ arok k¨ ozött v´ alaszthatja meg. Nem obb jelent problémát péld´ aul a kor´ abban értelmezett szám akár t¨ ezer jegyre kerek´ıtett értékének megadása sem. Efféle szándékunkat ´ıgy k¨ ozölj¨ uk a Mathematic´ a val: BB 9.887783044637613109188495241372711699666479884567883\ 9 009390822523400509443443746935006796072730093527 10

Most ismertetj¨ uk azt, hogy a Mathematica az argumentum´ atól f¨ ugg˝ oen hogyan v´ alasztja meg az

*. , utas´ıt´ as kiértékelésénél felhaszn´ alt algoritmust, ahol egy (péld´ aul aritmetikai) kifejezés és pozit´ıv egész szám. uk azzal, hogy a m´ asodik argumentum elhagyhat´ o. Ennek 1◦ ) Kezdj¨ at az *, és alapértelmezésbeli értéke <#80 . Teh´ as egyenérték˝ u. az *. +I, utas´ıt´ uk most azt az esetet, amikor csak pontos értéket tar2◦ ) Nézz¨ talmaz. Ekkor a Mathematica el˝oször szimbolikus algoritmusok felhaszn´ aul, l´ asával pr´ ob´ alja pontosan meghat´ arozni a kifejezést. Ha ez siker¨ akkor ezután veszi annak jegyre kerek´ıtett értékét. Abban az esetben, amikor a kifejezést nem tudja pontosan kiértékelni, akkor a benne o k¨ ozel´ıt˝ o el˝ofordul´ o összes számnak veszi az értékes számjegyet tartalmaz´ értékét, és numerikus algoritmusokat felhaszn´ alva számolja ki az eredményt. Péld´ aul: = ) ) = 9 9 {9.888 10 , 9.8877830446376131091885 10 }

Jegyezz¨ uk meg azonban azt, hogy az <<#80 esetén kapott eredményt a tov´ abbi m˝ uveleteknél a Mathematica mindig gépi pontosság´ u számnak tekinti: 6 0 = ) &! = ) {9.88778304463762*10^9, 16}

98

3. Fejezetek a matematikáb´ ol = ) 6 0 2.966334913391285*10^10

3◦ ) Ha a kifejezés tartalmaz gépi pontoss´ ag´ u számot, akkor a Mathematica a második argumentumt´ ol f¨ uggetlen¨ ul ilyen számok felhaszn´ al´ asával végzi el a kijelölt m˝ uveleteket: = Q G FI)B = > = >BB 25 25 {1.9095 10 , 1.909539243949085 10 }

4◦ ) Ha a kifejezés csak nagypontosság´ u számokat és pontos nuas hatására a merikus értékeket tartalmaz, akkor az *. , utas´ıt´ u számokkal végzi el a m˝ uveleteket. Ilyenkor a program értékes számjegy˝ felhalmoz´ od´ o kerek´ıtési hib´ ak miatt a végeredmény értékes jegyeinek száma ol b˝ ovebben, által´ aban kisebb, mint . A [41] dolgozatban olvashatunk arr´ hogy a Mathematica ebben az esetben hogyan végzi el a hibabecslést. A 0 bels˝o függvény tá jékoztat arról, hogy a Mathematica szerint a végeredmény h´ any pontos sz´ amjegyet tartalmaz. Péld´ aul: "5 FB )B &! : 8.366600265340755479781720257851874893928 40 "5 FB )BIF 667 1.0067959622727194636538352431877163129 10

&! : #!!!( :: {37, -630}

Ismételten hangs´ ulyozzuk, hogy az *. , utas´ıt´ as tehát nem azt jelenti, hogy hat´ arozzuk meg a kifejezést értékes számjegy” o számokkal hat´ arozre”, hanem azt, hogy értékes számjegyet tartalmaz´ ” zuk meg a kifejezést”. • Val´ os sz´ amok k¨ ozel´ıt´ ese pontos ´ ert´ ekekkel os szám egész részét a *, utas´ıt´ as eredménye adja meg. Az val´ 4*, a legkisebb olyan egész szám, amely nagyobb vagy egyenl˝o, assal mint . Az szám egészekre kerek´ıtett értékét a 9 *, utas´ıt´ kapjuk meg. A Mathematica komplex számok esetén a valós és a képzetes részre alkalmazza a fentieket:


99

CQ> QF> QCQ) 6 {-3, 3, 1 - 4 I}

A CQ> A QF> A QCQ)R6 {-2, 4, 2 - 3 I}

E ' BQ)> E ' Q> E ' Q>BBB {0, 1, 2}

• Programcsomagok Az eddig ismertetett bels˝ o f¨ uggvényeken k´ıv¨ ul még néh´ any programcsomag is tartalmaz a számábr´ azoláshoz és az aritmetikai m˝ uveletekhez is kapcsolhat´ o f¨ uggvényeket. A részletek ismertetése nélk¨ ul csup´ an utalunk ezekre a lehet˝oségekre. Az adott gép¨ unk lebeg˝opontos aritmetik´ aj´ at tanulm´ anyozhatjuk a

#83# 3 programcsomag alábbi f¨ uggvényeivel:

#8 #

# !

A szám´ıt´ ogép lebeg˝opontos aritmetik´ aj´ anak elméletét illusztrálhatjuk a

#834 83 programcsomag következ˝o f¨ uggvényeivel:

8 4&

6 8

Az els˝ osorban demonstr´ aci´ os célokat szolgál´ o

#83 83 programcsomag f¨ uggvénye az intervallumaritmetika elméletéhez ny´ ujthat seg´ıtséget. A hibabecslésekkel kapcsolatos alkalmazásokhoz a

#83 ) 3 programcsomag (amely az azonos nev˝ u bels˝ o f¨ uggvény kiterjeszuggvényeit érdemes felhasználni. tése) és 6 f¨

100


3.1.4. F¨ uggv´ enyek A Mathematic´ a val alapértelmezésben Cn → Cm (n, m ∈ N) t´ıpus´ u f¨ uggvényekkel dolgozhatunk. Ebben a pontban ilyen f¨ uggvények megadásának k¨ ul¨ onféle módjair´ ol lesz szó. A beép´ıtett matematikai f¨ uggvények igen széles köre ny´ ujt seg´ıtséget f¨ uggvények képlettel val´ o értelmezéséhez. Megadhatunk f¨ uggvényeket elj´ ar´ assal is, azaz defini´ al´ asukhoz a program egyéb f¨ uggvényeit is felhasználhatjuk. • Be´ ep´ıtett matematikai f¨ uggv´ enyek A matematik´ aban haszn´ alt speciális f¨ uggvények t¨ obbsége beép´ıtett f¨ uggvényként szerepel a Mathematic´ a ban. Ezek k¨ oz¨ ul itt csak néh´ anyat sorolunk fel. A fennmarad´ o f¨ uggvényekr˝ ol az adott témakörnél tesz¨ unk eml´ıtést.

& 4 4 8 4 48 4 4 8 6 68 6 68

8 4 4 8 4 48 4 4 8 7

0 0B 6 68 6 68 6 6& 8

A beép´ıtett matematikai f¨ uggvényeket a program komplex v´ altozósnak tekinti, ezeket bármely komplex szám esetén kiértékeli. A helyettes´ıtési érték kiszámolásakor az el˝oz˝o pontban le´ırt elveket k¨ oveti. Ha a f¨ uggvény argumentuma pontos numerikus érték, akkor sok esetben a pontos helyettes´ıtési értéket kapjuk meg: "5 L "5 F " & A &B {3, Sqrt[7],

Pi -1 + Sqrt[3] , Cos[ ]} 2Sqrt[2] 10

A0 +4+ ' 4+ & 6 I 1 + Sqrt[3] 2 2


101

Az bels˝o f¨ uggvény (l´ asd a 3.1.3. pontot) felhaszn´ al´ asával a pontos helyettes´ıtési érték akár t¨ obb ezer értékes jegyét is meghatározhatjuk. Pr´ ob´ aljuk ki péld´ aul a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ ast: A &B >BBB

Ha egy matematikai f¨ uggvény argumentum´ aba gépi pontoss´ ag´ u számot uggvényt alkalmazzuk, akkor az eredmény az második ´ırunk és az f¨ argumentum´ at´ ol f¨ uggetlen¨ ul gépi pontoss´ ag´ u szám lesz: " Q 6

0

0.932039085967226

" Q > 6

0

0.932039085967226

" Q B 0.932039085967226

Ha a <#80 rendszerv´ altozó (l. a 3.1.3. pontot) értékénél t¨ obb értékes jegyre k´ıv´ anjuk meghat´ arozni egy beép´ıtett f¨ uggvény helyettes´ıtési értékét, akkor az egyik lehet˝oség¨ unk az, hogy az argumentumba pontos numerikus értéket ´ırunk: " B > 0.932039085967226349670134435495

Megtehetj¨ uk azt is, hogy explicit tizedesponttal jel¨ olt k¨ ozel´ıt˝ o numerikus értéket használunk. Ilyenkor azonban legal´ abb annyi sz´ amjeggyel kell megadnunk az argumentumot, amennyi értékes jegyet szeretnénk az eredményben: " QBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB B 0.932039085967226349670134435495

A beép´ıtett matematikai f¨ uggvények egyik része olyan m˝ uveletekkel kapcsolatos, amelyeknek az eredménye b´ armely komplex argumentum esetében egyértelm˝ uen meg van hat´ arozva. Ilyen f¨ uggvények péld´ aul az abszol´ ut érték f¨ uggvény, a hatv´ anyf¨ uggvény vagy a trigonometrikus f¨ uggvények. Sz´ amos beép´ıtett matematikai f¨ uggvény azonban olyan m˝ uvelettel kapcsolatos, amelynek az eredménye nincs egyértelm˝ uen meghat´ arozva. Ezek uggvény. A Mathematic´ a ban *', a nulk¨ oz¨ ul a legegyszer˝ ubb az f¨ o argumentul´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝o ' komplex számnak a (−π, π] intervallumba es˝ uggvény a 0 számot rendeli. mát adja meg radi´ anban. A M számhoz az f¨

102


Nem ennyire egyszer˝ u a helyzet a négyzetgyök-, a logaritmus- és az arkuszf¨ uggvények esetében. Mindenesetre ezek a beép´ıtett f¨ uggvények matematikai értelemben is f¨ uggvények, azaz minden komplex számhoz egyetlen komplex számot rendelnek. A program a´ltal adott v´ alaszok pontos megértéséhez világosan kell l´ atnunk azt, hogy a program kész´ıt˝ oi hogyan értelmezték ezeket a f¨ uggvényeket. Azaz: a több lehetséges komplex érték k¨ oz¨ ul az adott f¨ uggvény melyik komplex számot szolgáltatja helyettes´ıtési értékként. Nézz¨ uk péld´ aul a négyzetgyökf¨ uggvényt. Ismeretes, hogy a komplex számok k¨ orében a négyzetgyökvon´ as m˝ uvelete nem egyértelm˝ u. Ezt a tényt kifejezhetj¨ uk u ´gy is, hogy a C −→ C,

z → z 2

f¨ uggvény nem k¨ olcsön¨ osen egyértelm˝ u (azaz nem bijekci´ o ). Ennek a f¨ uggvénynek számos olyan lesz˝ uk´ıtése van, amely már bijekci´ o. Tekints¨ uk péld´ aul a jobb oldali komplex féls´ıkot: D := { x + iy ∈ C : (x ∈ R+ és y ∈ R) vagy (x = 0 és y ∈ R+ 0 )}. Egyszer˝ uen bebizony´ıthat´ o az, hogy a D → C, z → z 2 f¨ uggvény már k¨ olcsön¨ osen egyértelm˝ u, teh´ at invert´ alhat´ o. Az 6 bels˝o f¨ uggvény pontosan ennek a f¨ uggvénynek az inverze. Ez azt jelenti, hogy vauggvény lamely komplex szám két lehetséges négyzetgyöke köz¨ ul az 6 f¨ azt az egyértelm˝ uen meghat´ arozott négyzetgyök¨ ot veszi, amelyik a D jobb oldali komplex féls´ıkba esik. uggvény nem folytonos a C halmazon. PontoAz ´ıgy értelmezett 6 f¨ sabban fogalmazva: a komplex sz´ ams´ıknak csak a negat´ıv val´ os féltengelyt˝ ol ´ e s y = 0} ezt a halmazt) k¨ u l¨ o nb¨ o z˝ o (jel¨ olje T := {x + yi ∈ C : x ∈ R− 0 pontjaiban folytonos. A f¨ uggvénynek a T halmaz pontjaiban szakad´ asa van uggvény szakad´ asi a ´g´ a nak is nevezik), ami (ezért ezt a halmazt az 6 f¨ azt jelenti, hogy a T -hez k¨ ozeli” pontokban felvett f¨ uggvényértékek t´ avol” ” ” lehetnek egym´ astól: "5 CQ G BQBB 6 "5 CQ C BQBB 6 {0.001 + 1. I, 0.001 - 1. I}

Minderr˝ ol szemléletes képet ad az alábbi a´bra:


103

& D 60 "5 + G ( 6 + C) ) ( C))

2 1 0 -1 -2 -4

4 2 0

-2

-2

0 2

4 -4

Komplex szám négyzetgyökei k¨ oz¨ ul egynek a kiv´ alasztását tehát a szakad´ asi ág kijel¨ olésével tehetj¨ uk egyértelm˝ uvé. (Ha a négyzetgyökf¨ uggvényt u ´gy defini´ altuk volna, hogy a szakad´ asi ága a pozit´ıv val´ os féltengely legyen, akkor ennek helyettes´ıtési értékei a fels˝o féls´ıkba esnének.) A t¨ obbi beép´ıtett inverz f¨ uggvény szakadási ág´ anak pontos le´ır´ asa a [89] referenciak¨ onyv 565. oldal´ an sz¨ ukség esetén megtalálhat´ o. A v´ alasztott inverz f¨ uggvények éppen azok a f¨ uggvények, amelyeket a komplex f¨ uggvénytanban f˝ oértékek nek szoktak nevezni. A beép´ıtett matematikai f¨ uggvényeknek is vannak attrib´ utumai (l´ asd a 2.3.4. pontot). Péld´ aul: # $

{Listable, Protected}

A & attrib´ utum azt jelenti, hogy ha a f¨ uggvény argumentum´ aba listát (speciálisan vektort vagy m´ atrixot) ´ırunk, akkor a program a sz´ oban forg´ o f¨ uggvényt a lista minden elemére k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on alkalmazza. F¨ uggvényutum. értékek fel¨ ul´ır´ asát akad´ alyozza meg a 0 attrib´ • F¨ uggv´ enyek megad´ asa Megeml´ıtett¨ uk m´ ar, hogy a Mathematic´ a n bel¨ ul alapértelmezésben dolgozu f¨ uggvényekkel. Ezeket h´ arom k¨ ul¨ onhatunk Cn → Cm (n, m ∈ N) t´ıpus´ b¨ oz˝o módon is defini´ alhatjuk: késleltetett értékad´ assal, azonnali értékad´ assal vagy tiszta f¨ uggvénnyel.

104


Tekints¨ uk el˝ oször azt a legegyszer˝ ubb esetet, amikor az egész C halmazon egyetlen formul´ aval k´ıv´ anunk defini´ alni egy f¨ uggvényt. Legyen ez péld´ aul a k¨ ovetkez˝o: (x ∈ C). f (x) := x3 Késleltetett értékad´ assal ezt a f¨ uggvényt ´ıgy értelmezz¨ uk: * +, - +I

A defin´ıci´ oban szerepl˝ o al´ ah´ uz´ as karakter, a N jel arra utal, hogy f -et az u pedig összes lehetséges (komplex) változóra defini´ aljuk; az el˝otte áll´ o bet˝ a f¨ uggvény v´ altozój´ ara. altozój´ at helyett más szimbólummal is A kés˝obbi hivatkoz´ asokban 5 v´ helyettes´ıthetj¨ uk: * * 10 3 3 {u , valami }

Kihangs´ ulyozzuk a N jel szerepét. Figyelj¨ uk meg, hogy az * + - " +

utas´ıt´ as értékad´ ast jelent, amely az f f¨ uggvény értelmezési tartomány´ anak egyetlen rögz´ıtett elemére hat´ arozza meg f értékét, ez az elem : * + G * ( * G * 1 3 3 3 {y + Sin[x], u + v }

Kiszámolhatjuk a megadott f¨ uggvény b´ armely val´ os vagy komplex helyen vett helyettes´ıtési értékét: * * G 6 {27, -46 + 9 I}

F¨ uggvényértékekb˝ol t´ abl´ azatot is kész´ıthet¨ unk. Péld´ aul a +, - +C

f¨ uggvény helyettes´ıtési értékeit a [2, 3] intervallumban 0, 5-es lépésközt haszn´ alva ´ıgy kapjuk meg: @(= $ + + BQ> {2, 2.5, 3} *1 == @(= 1 encountered. Power::infy: Infinite expression 0 {-1, -2., ComplexInfinity}


105

Adjuk meg az eredményeket a szokásos tábl´ azatformában:

$0 @(= *1 ==

$7' CJ T +T T +T

$# 0 CJ A x g[x]

2 -1

2.5 3. -2 ComplexInfinity

Egy a´ltalunk defini´ alt f¨ uggvényr˝ ol ugyan´ ugy t´ ajékozódhatunk, mint a beép´ıtettekr˝ ol: V* Global‘f f[x] := Sin[x] f[x_] := x^3

Ha a tov´ abbiakban az f szimbólumot más célra akarjuk haszn´ alni, akkor a defin´ıci´ ot fel¨ ul lehet ´ırni, vagy pedig (ez a´ltal´ aban célszer˝ ubb) érvénytelen´ıteni kell. Ehhez a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ asok valamelyikét használhatjuk: A * A# * E01 * *Q

F¨ uggvény defin´ıci´ oj´ anak jobb oldal´ an” természetesen használhatjuk a ” beép´ıtett matematikai f¨ uggvényeket, de a Mathematica más f¨ uggvényeit is. Péld´ aul: =*W , - 4+ ' "0 C+ +I B =*W 4 1-x

Több utas´ıt´ asb´ ol a´ll´ o elj´ ar´ ast is defini´ alhatunk ´ıgy (figyelj¨ uk meg, hogy az utas´ıt´ asok sorozatát zár´ ojelbe kell tenn¨ unk): ( @ , , - =*W A**! +I ( @ ) -1

Az azonnali értékad´ as szintaktikailag csup´ an abban k¨ ul¨ onb¨ ozik a késleltetett megadási módt´ ol, hogy ennél az jelet (teljes alakban: 6) kell ovid´ıtése) helyett. A szemanhaszn´ alnunk a O jel (ami a 67) r¨ tikai k¨ ul¨ onbséget a következ˝o péld´ an érzékeltetj¨ uk. Tegy¨ uk fel, hogy az f

106


szimbólummal akarjuk jel¨ olni az exp ◦ sin kompoz´ıci´ of¨ uggvény deriváltj´ at. Késleltetett értékad´ assal ezt ´ıgy tudatjuk a Mathematic´ a val: A * * +, - D 4+ " + +

Ha ezut´ an péld´ aul a f¨ uggvény helyettes´ıtési értékére vagyunk k´ıv´ ancsiak, akkor a program hiba¨ uzenetet k¨ uld: * Global::ivar: 3 is not a valid variable. Sin[3] D[E , 3]

Késleltetett értékad´ asn´ al a Mathematica nem számolja ki automatikusan an a´ll´ o kifejezést, csupán a transzform´ aci´ os szabályt a O jel jobb oldal´ ast u ´gy hajtja végre, hogy a 3 számot form´ alisan jegyzi meg. Az 5*F, utas´ıt´ behelyettes´ıti a defin´ıci´ o jobb oldal´ aba, és ezután pr´ ob´ alja kiértékelni az ´ıgy kapott kifejezést. Ebben az esetben ez nem m˝ uk¨ odik. A megoldás az azonnali értékad´ as. Ekkor a program r¨ ogt¨ on kiértékeli az jel jobb oldalán megadott kifejezést, azaz minden olyan m˝uveletet elvégez, amelyre korábban megtan´ıtott´ ak: A * * +, D 4+ " + + Sin[x] E Cos[x] * * G Sin[3] Sin[1 + a] {E Cos[3], E Cos[1 + a]}

Mivel vektorokat list´ aval adhatunk meg (l´ asd a 3.8.1. pontot), ezért többv´ altozós f¨ uggvényeket is egyszer˝ uen defini´ alhatunk. Az al´ abbi péld´ aban egy u f¨ uggvényt értelmez¨ unk: C2 → C3 t´ıpus´ A * * +, (, - 4+ +G( +I (I " +G(I

A Mathematic´ a ban tiszta f¨ uggvényként eml´ıtik a matematikában megszokott x → f (x) megadási módot. Az x → x2 + x + sin(x) f¨ uggvényt ´ıgy is defini´ alhatjuk: @ ! + +I G + G " + 2 Function[x, x + x + Sin[x]]


107

@ Q 6.9093

Rövidebb alakban ezt a f¨ uggvényt ´ıgy is megadhatjuk: @ .I G . G " ./ 2 #1 + #1 + Sin[#1] & @ Q 6.9093

A fenti utas´ıt´ asban a P jel utal a f¨ uggvény v´ altozój´ ara, a jel pedig arra, hogy itt f¨ uggvényr˝ ol van szó. (Ez a fajta megad´ asi mód ismer˝os lehet a LISP nyelvben j´ aratosak számára.) Az eml´ıtett péld´ akban nevet adtunk a f¨ uggvénynek. Gyakran viszont éppen azért haszn´ aljuk ezt a megadási módot, hogy ne kelljen k¨ ul¨ on elnevezni egy olyan f¨ uggvényt, amely csak egy m˝ uveletben szerepel és a továbbiakban nincs sz¨ ukség rá. Tiszta f¨ uggvény célszer˝ u haszn´ alat´ at illusztrálj´ ak a k¨ ovetkez˝o péld´ ak: .I/ {1, 4, 9} ! + +I G$G! 2 2 2 a + b +c G./ + 1 1 1 + 1 1 + 1 + x

Többv´ altozós f¨ uggvények a´br´ azolásán´ al mutatunk péld´ at arra, hogy egy Mathematica-f¨ uggvény opci´ oj´ aban tiszta f¨ uggvényt mire és hogyan lehet haszn´ alni. at az identitásf¨ uggvény (ennek Tiszta f¨ uggvény megad´ asán´ al a P jel teh´ unk meg arr´ ol, hogy a defin´ıhosszabb neve: )) jele. Ne feledkezz¨ obbv´ altozós f¨ uggvényeket is megadhatunk ilyen ciót a jellel kell lezárni. T¨ oli az n-edik v´ altozót: módon. Ekkor P jel¨ .I G .I/ 2 3 #1 + #2

108

3. Fejezetek a matematikáb´ ol + ( 2 3 x + y

Hasznos és a matematikában megszokottn´ al a´ltal´ anosabb konstrukci´ ok is oli a v´ altozók o¨sszességét, PP pedig a v´ altozók o¨sszesel˝ofordulnak. PP jel¨ ségét az n-edik v´ altozótól kezdve: * .. ../ + ( f[x, y, x, y]

* .. ../ + ( + f[x, {y, x}, x, {y, x}]

* .. ./ $ ! f[b, c, a]

Vég¨ ul két összetettebb példa k¨ ovetkezik: A * # ( * .. ./ $ ! $ {f[b, c, a], f[bp, ap]}

* .. ./ $ ! $ {f[{a, b, c}], f[{ap, bp}]}

Annak magyar´ azata, hogy l´ atszólag nem kell el˝ore r¨ ogz´ıteni, hogy egy f¨ uggvénynek h´ any v´ altozó ja van, az elvekr˝ ol szól´ o 2.3.2. pontban tal´ alhat´ o. • Felt´ etelekkel megadott f¨ uggv´ enyek Az eddig felsorolt f¨ uggvénymegad´ asi módokat kényelmesen használhatjuk azokban az esetekben, amikor f¨ uggvény¨ unk az egész Cn halmazon egyetlen képlettel van defini´ alva. A Mathematica csak egész számokra számolja ki a helyettes´ıtési értéket akkor, ha a f¨ uggvényt ´ıgy defini´ aljuk: * +,6 - +I * C * CQ * * * "5 ) * "5 F 1 {4, f[-2.], f[ ], 9, 4, f[Sqrt[7]]} 2

Az f¨ uggvény helyett a fenti mint´ azatba be´ırhatjuk péld´ aul a 4, a , a 9 vagy a 6)& függvényeket is.


109

A feltételekben logikai értékeket felvev˝o f¨ uggvényeket péld´ aul ´ıgy haszn´ alhatunk: +,V0$? - +I G 6 Q ( 27 , g[y]} {-46 + 9 I, 9.261, 8

A mint´ azatQfeltétel” szerkezetre egy másik példa: ” @ +,6 (,6 V ! 1 D 1 1 J ) - +G( @ ) @ @ C> F @ {er[7], h[{1, 1}], er[2], h[2]}

(Figyelj¨ uk meg, hogy a feltételt le´ır´ o jelsorozatot gömb¨ oly˝ u z´ ar´ ojelek k¨ ozé kell ´ırnunk.) ovid alakja a $R jelsorozat), az 5, a S88 vagy A 4 (ennek r¨ ar´ ast is használhatjuk: a 6B8 elj´

,6 - ; C > FQ> {p[-3], 120, p[7.5]}

J B

A $R jel ut´ ani feltételt az argumentumba is be´ırhatjuk: A

,6 JB - ; C > FQ> {p[-3], 120, p[7.5]}

Többv´ altozós f¨ uggvényeket is megadhatunk ilyen m´ odon: 0 , - I 8! ? 6 ? 0 C 0 BQ> 0 ) {{1, 4}, m[{0.5, 3}], m[{{1, 2}, {3, 4}}]}

Periodikus f¨ uggvényt a 4 elj´ ar´ assal ´ıgy értelmezhet¨ unk: A * * +, B+ - C +C +G * +, + - CA & +C * +, C+B - C* C+ * +, +C - * +G) * +, + - * +C)

110

3. Fejezetek a matematikáb´ ol & * + + CM M != CJ CFQ> CQ> > C 2 1

-7.5

-5

2.5

-2.5

5

7.5

-1 -2

Mutatunk egy péld´ at a S88 elj´ ar´ as használat´ ara: A @ @ +, - X@!@ +B +I +J> +I B @ C) @ F @ {16, 343, 0}

Vég¨ ul egy olyan f¨ uggvényt defini´ alunk, amely egész számokhoz az a, a b vagy a c szimbólumot rendeli att´ ol f¨ ugg˝ oen, hogy a sz´ am 3-mal való osztásának maradéka 0, 1 vagy 2: +,6 - "Y !@ ' + B $ ! Q N > {a, r[3.], b, c}

• F¨ uggv´ enyjel¨ ol´ esi m´ odok A Mathematic´ a ban az f f¨ uggvény x helyen f¨ olvett értékének

5*, jel¨ olésén k´ıv¨ ul haszn´ alatosak még a következ˝ok is: az

5 %


111

prefix alak (amelynél — a hagyom´ anyos jelölést˝ol eltér˝ oen — nem kell félbeszak´ıtanunk a f¨ uggvényhez tartoz´ o jelsorozat le´ır´ asát az argumentum kedvéért), az

$$ 5 posztfix alak (péld´ aul a T $$ 5 jelsorozatot gépelj¨ uk be, hogy a legutols´ o eredményt ne kelljen még egyszer be´ırnunk), vég¨ ul pedig (péld´ aul a halmazm˝ uveletek szemléletes megjelen´ıtése célj´ ab´ ol) kétv´ altozós f¨ uggvények esetén az

U5U) infix alak. Péld´ aul: A * * + * + G ( * + G ( {f[x], f[x] + y, f[x + y]} + G ( * I) G {f[x + y], 2.31607} $ !H H ' {a, b, c, d, e}

• M˝ uveletek f¨ uggv´ enyekkel Aritmetikai m˝ uveleteket végezhet¨ unk C → C t´ıpus´ u f¨ uggvényekkel. Képezhetj¨ uk péld´ aul az o¨sszeg¨ uket: @ * G @ (f + g)[2]

Ahhoz viszont, hogy explicite megkapjuk az összeget, sz¨ ukség¨ unk van a 88 függvényre:

@@ @ f[2] + g[2]

Oper´ atorokkal is hasonl´ oan j´ arhatunk el, amint az kider¨ ul az alábbi péld´ akb´ ol:

112

3. Fejezetek a matematikáb´ ol 6' ( G D . +/ +I 2 (Identity + (D[#1, x] & ))[x ]

@@ : 2 x + x

2

¨ uggvényt haszn´ alOsszetett f¨ uggvény képzéséhez a 4 bels˝o f¨ hatjuk: A * @ @ * +, - +I +, - "5 +C @ A0 * @ + {Composition[f, g], -1 + x}

@ A0 * @ + 2 {Composition[g, f], Sqrt[-1 + x ]}

Igen gyakran el˝ ofordul, hogy ugyanazt a f¨ uggvényt akarjuk egym´ as ut´ an t¨ obbsz¨ or is alkalmazni, vagyis egy t¨ obbsz¨ or¨ osen összetett f¨ uggvény értékét akarjuk kiszám´ıtani. Ezzel a témakörrel részletesen foglalkozunk majd a programoz´ asr´ ol szól´ o, 4. fejezetben, mivel az itt r¨ oviden ismertetett konstrukci´ ok a rekurzi´ o , s˝ot a´ltal´ anosabban a funkcion´ alis programoz´ as alapvet˝o eszközei: * + f[f[f[x]]]

% * + {x, f[x], f[f[x]], f[f[f[x]]]}

√ A 2 szám közel´ıt˝ o értékeit Newton-féle iteráci´ oval péld´ aul ´ıgy kaphatjuk meg: (= +, - +G+ % (= QB > {1., 1.5, 1.41667, 1.41422, 1.41421, 1.41421}

Az iteráci´ os lépések számát is változtathatjuk:


113

+'& (= 1.41421 +'& % (= {1, 1.5, 1.41667, 1.41422, 1.41421, 1.41421, 1.41421} +'& % (= "0 CJ #$ .C. BQIC/ {1, 1.5, 1.41667, 1.41422}

Ha pedig egy kifejezésb˝ol kiindulva egy (´ altal´ aban k¨ ul¨ onb¨ oz˝o) f¨ uggvényekb˝ ol a´ll´ o lista elemeit akarjuk alkalmazni az eredményre egymás ut´ an, ast használhatjuk: akkor a 4 utas´ıt´ A * @ A0 % * @+ {x, f[x], g[f[x]], h[g[f[x]]]}

Itt eml´ıtj¨ uk meg az egész egy¨ utthat´ os polinomok k¨ orében haszn´ alhat´ o

7 bels˝o függvényt, amely a beadott polinomot alacsonyabb fokszám´ u egész egy¨ utthat´ o j´ u polinomok kompoz´ıci´ o j´ ara pr´ ob´ alja felbontani. Péld´ aul: 5 +, - +INC+I>G>+I)C>+IC+IG+G D!0 5 + + 2 3 {2 - 3 x + 2x + x , (-1 + x) x}

A kapott eredmény azt jelenti, hogy q a +, - :

2 3 2 - 3 x + 2 x + x +, - ::

(-1 + x) x

polinomoknak ebben a sorrendben vett kompoz´ıci´ oja. Val´ oban: 5 + 4+ '

+ True

Megjegyezz¨ uk még azt, hogy a dekompoz´ıci´ o m˝ uvelete nem egyértelm˝ u. armely a val´ os szám esetén érvényes Val´ oban, ha p1 és p2 polinom, akkor b´ a p1 ◦ p2 = p¯1 ◦ p¯2 egyenl˝oség, ahol p¯1 (x) := p1 (x − a),

p¯2 (x) := p2 (x) + a

(x ∈ R).

114


A Mathematica a végeredményt u ´gy adja meg, hogy a bels˝ o polinom a´lland´ o tagj´ at 0-nak v´ alasztja. ´ Ugy t˝ unik, mintha k¨ onnyen lehetne inverz f¨ uggvényt számolni: 6 1 ! 4+ Log 6 1 ! * 6 1 ! * + (-1) (-1) {f , f [x]}

A program a f¨ uggvények kompoz´ıcój´ anak inverzére vonatkozó áll´ıt´ ast is ismeri: 6 1 ! A0 * (-1) (-1) Composition[g , f ] : + (-1) (-1) g [f [x]]

Ezeket k¨ ovetkezetesen alkalmazza: 6 1 ! " 6 1 ! #!" {ArcSin, Sin} A0 " #!" + x A0 #!" " + ArcSin[Sin[x]]

Ha viszont nem beép´ıtett, b´ ar k¨ onnyen invert´ alhat´ o f¨ uggvénnyel van ar´ as nem seg´ıt: dolgunk, akkor az elj´ 6 1 ! ! + + G (-1) Function[x, 2 + 3 x] : (-1) Function[x, 2 + 3 x] [t]

Egy lehetséges — kevés esetben használhat´ o — megoldás:


115

1 +, - ' "1 G +

1 + -2 + x 3

• Rekurz´ıv m´ odon megadott sorozatok K¨ ul¨ on alpontban k´ıv´ anjuk felh´ıvni az Olvas´ o figyelmét arra, hogy kétféleképpen is megadhat rekurz´ıv módon defini´ alt sorozatokat. Ha az

5*N, O 5*, 5*2+, @ 5*2(, szerkezet˝ u szintaxissal adja meg a sorozat tagjai k¨ ozött fenn´ all´ o összef¨ uggést, akkor a program megjegyzi (a memóri´ aban elrakt´ arozza) az egyszer már kiszámolt f¨ uggvényértéket. Ha a matematikában megszokott jel¨ olésekhez közelebb áll´ o

5*N, O 5*2+, @ 5*2(, t´ıpus´ u szintaxist v´ alasztja, akkor a Mathematica a szabályos kiértékelési elj´ ar´ ast (lásd a 2.3.5. pontot) alkalmazza. Ebben az esetben az 5*(M, helyettes´ıtési érték meghatározásához péld´ aul az 5*G, f¨ uggvényértéket a program t¨ obbsz¨ or is kiszámolja. Az elmondottakb´ ol az következik, hogy az els˝ o esetben a kiértékelés gyorsabb, de t¨ obb memóri´ at igényel, mint a m´ asodik esetben. A k¨ ovetkez˝o péld´ ak azt is mutatj´ ak, hogy a fenti két módszerrel t¨ ortén˝ o kiértékeléshez sz¨ ukséges id˝ otartamok lényegesen eltér˝oek is lehetnek: A * * B * C "5 > * , - * * C G * C * B "0 *( 123 - 55 Sqrt[5] 2

Nézz¨ uk meg a 20. tag kiszámolásához sz¨ ukséges id˝ otartamot:

0 * B {0.988 Second, Null}

Most v´ alasszuk a másik megad´ asi módot:

116

3. Fejezetek a matematikáb´ ol A * * B * C "5 > * , - * C G * C * B "0 *( 123 - 55 Sqrt[5] 2

Ekkor a 20. tag kisz´ amolásához sz¨ ukséges id˝ otartam:

0 * B {158.459 Second, Null}

A szóban forg´ o sorozat kezd˝otagjait pontos numerikus értékekkel definia´ltuk, ezért a program a pontos eredményt adta meg. Ennek a sorozatnak a tagjai nagy indexek esetén 0-hoz k¨ ozeli” értékeket vesznek fel, azaz a ” sorozatnak 0 a hat´ arértéke. (Hogyan lehetne ezt bebizony´ıtani?) További k´ısérleteket is érdemes elvégezni. Hajtsuk végre a fenti utas´ıt´ asokat u ´gy, hogy a sorozatnak péld´ aul az els˝o tagj´ at k¨ ozel´ıt˝ o numerikus értékekkel adjuk meg. Ekkor a program numerikus m´ odszereket alkalmaz a kiértékelésnél. Ha az id˝ oeredményeket összehasonl´ıtjuk, akkor tapasztalhatjuk azt is, hogy a numerikus algoritmusok mennyivel gyorsabbak a pontos algoritmusokn´ al. Ugyanezen a péld´ an illusztrálhatjuk k¨ ozel´ıt˝ o értékekkel való számolások esetében a kerek´ıtési hib´ ak terjedésének következményeit is. Figyelj¨ uk meg, hogy k¨ ozel´ıt˝ o kezd˝oértékekkel ind´ıtva a sorozatot, már a 40-50. tag is t´ avol” van a 0 számtól. Magyar´ azzuk meg, hogy az ´ıgy kapott numerikus ” eredmény miért nincsen o¨sszhangban az imént jelzett elméleti eredménnyel.

3.1.5. F¨ uggv´ enyek ´ abr´ azol´ asa Ebben a pontban a Mathematic´ a nak azokat a grafikai lehet˝ oségeit mutatjuk be, amelyek explicit, implicit vagy paraméteres alakban megadott egy és t¨ obbv´ altozós f¨ uggvények megjelen´ıtését teszik lehet˝ové. A beép´ıtett elj´ ar´ asok a s´ ug´ ojukban (péld´ aul Q0) megadott szintaxist k¨ ovetve sok esetben a beadott f¨ uggvény menetének megfelel˝o szép a´br´ at kész´ıtenek. A Mathematica egyik legfontosabb jellegzetessége az, hogy opci´ ok megad´ asával a felhaszn´ al´ o sokféleképpen befoly´ asolhatja az ábr´ azolás menetét, és kész´ıthet az igényeinek megfelel˝o képet. A k¨ ul¨ onb¨ oz˝o esetekben használhat´ o bels˝ o f¨ uggvények nevét a szok´ asos módon kapjuk meg:

3.1. Alapvet˝o matematikai fogalmak VR& R ContourPlot DensityPlot ListContourPlot ListDensityPlot ListPlot

117

ListPlot3D ParametricPlot ParametricPlot3D Plot3D Plot

A fenti parancs a 0 jelsorozatot tartalmaz´ o opci´ oneveket is megadja. Ezeket itt nem soroltuk fel. T¨ obb programcsomag szintén tartalmaz ábr´ akat rajzol´ o f¨ uggvényeket. • Az ´ abr´ azol´ as mechanizmusa A f¨ uggvény´ abr´ azolás m˝ uk¨ odését az f (x) := sin3 x (x ∈ R) f¨ uggvény péld´ aj´ an érzékeltetj¨ uk. Az f f¨ uggvény [−π, π] intervallumra vett lesz˝ uk´ıtésének képét ´ıgy kapjuk meg: A * * +, - " +I & * + + C& & 1 0.5

-3

-2

-1

1

2

3

-0.5 -1

A 0 f¨ uggvény a bels˝ o algoritmusa által meghat´ arozott módon v´ alaszt véges sok pontot (mintapontok nak nevezz¨ uk ezeket) a [−π, π] intervallumb´ ol. A program kiszámolja ezekben az f f¨ uggvény helyettes´ıtési értékét. Képezi, majd koordin´ ata-rendszerben a´br´ azolja az (x, f (x)) p´ arokat. A kapott pontokat szakaszokkal k¨ oti o¨ssze.

118


A kiv´ alasztási algoritmus az adott ábr´ azolási intervallum n egyenl˝ o részre uggvény 00 opció j´ aban lev˝ o osztásával kezd˝ odik, ahol n a 0 f¨ pozit´ıv egész szám. A Mathematica ezután kiszámolja az els˝o h´ arom mintapontban — xi -vel (i = 1, 2, 3) jel¨ olj¨ uk ezeket — felvett f (xi ) (i = 1, 2, 3) f¨ uggvényértékeket. Meghat´ arozza az (x1 , f (x1 )) és az (x2 , f (x2 )), valamint az (x2 , f (x2 )) és az (x3 , f (x3 )) pontokat o¨sszeköt˝o szakaszok szögét. Ha ez a szög 180o -hoz közeli (pontosabban az eltérése 180o -tól kisebb, mint uggvény #L opció j´ anak fokban megadott értéke), akkor a a 0 f¨ program megrajzolja az els˝ o szakaszt. Az ellenkez˝o esetben a felosztást ado szakaszokat talál, vagy dig finom´ıtja, am´ıg 180o -hoz közeli szöget bezár´ pedig az elvégzett felosztások száma eléri a 07 opcióban szerepl˝ o értéket. Az eljár´ as tehát nagyobb g¨ orb¨ ulet˝ u pontok és szingularitások k¨ ornyezetében s˝ ur´ıti a mintapontokat. Az f f¨ uggvény a´br´ azolásához az opciók alapértelmezésben megadott értékeit használtuk. Ezek a k¨ ovetkez˝ok: 2 & & & +S ' & D1 {PlotPoints -> 25, MaxBend -> 10., PlotDivision -> 20.}

• Val´ os–val´ os f¨ uggv´ enyek ´ abr´ azol´ asa uk´ıtésének a képét a Az f f¨ uggvény [x0 , x1 ] intervallumra vett lesz˝

0*5*,. -. M. +/, utas´ıt´ as adja meg. Az f f¨ uggvényt nem kell el˝ ore defini´ alnunk, 5*, helyére a gondolt f¨ uggvény -ben felvett helyettes´ıtési értékét is be´ırhatjuk. Az M és az + értékek lehetnek egész számok, valódi t¨ ortek, val´ os számok, bizonyos beép´ıtett matematikai álland´ ok (lásd a 3.1.3. pontot) vagy 6*G,, *0, t´ıpusú szimbolikus számok. Például: & + + I G "5 F & + + % & "5 >

Az ábr´ azoland´ o f f¨ uggvény defin´ıci´ o j´ aban, valamint 0 els˝o argumentumában beép´ıtett matematikai f¨ uggvényeket is megadhatunk. Néh´ any uggvényt, az bels˝o f¨ uggvénnyel ilyen esetben azonban a 0 f¨ egy¨ utt, a k¨ ovetkez˝o módon kell haszn´ alni:

0**5*,,. -. M. +/,


119

Ilyen esetekre h´ıvja fel a figyelmet az al´ abbi példa. Tegy¨ uk fel, hogy egy f¨ uggvény deriváltj´ at szeretnénk felrajzoltatni. Az egyszer˝ uség végett legyen ez a cos f¨ uggvény, az ábr´ azolás intervalluma pedig a [−π, π] intervallum. Az egyik lehetséges megoldás az, hogy a f¨ uggvény deriváltj´ at szimboliuggvényt felhaszn´ alva defini´ aljuk (és péld´ aul az kusan kisz´ amoló 7 bels˝o f¨ f szimbólummal jelölj¨ uk) a szóban forg´ o f¨ uggvényt: A * * +, D A + + -Sin[x]

(Figyelj¨ uk meg, hogy azonnali értékad´ assal (l´ asd a 3.1.4. pontot) értelmezt¨ uk f -et.) A & * + + C& &

utas´ıt´ as végrehajt´ asa után a képerny˝ on megjelenik a v´ art a´bra. Pr´ ob´ aljuk meg most f -et késleltetett értékad´ assal defini´ alni, majd a´br´ azolni: A * * +, - D A + + & * + + C& &

A program a f¨ uggvény képe helyett hiba¨ uzeneteket k¨ uld. Ugyanezt kapjuk akkor is, ha a k¨ ozvetlen utat választjuk: & D A + + + C& &

A hiba¨ uzenetek magyarázata a következ˝o. A 0 f¨ uggvény alapértelmezésben nem értékeli ki az els˝o argumentum´ at, teh´ at nem végzi el szimbolikusan a kijel¨ olt m˝ uveletet. Ehelyett az el˝ oz˝o alpontban elmondottak szerint veszi az a´br´ azolási intervallum els˝o mintapontj´ at, majd ennek az els˝o argumentumba val´ o form´ alis behelyettes´ıtése után pr´ ob´ alja azt kiértékelni. Az adott esetben teh´ at a 7*4 *20,. 20, kifejezést kapja, amit nem tud kiértékelni. A program ezt a tényt k¨ ozli a felhaszn´ al´ oval és leáll´ıtja az ábr´ azolást. uggvénnyel kényszer´ıthetj¨ uk a Mathematic´ a t arAz bels˝o f¨ at, ra, hogy el˝ oször szimbolikusan számolja ki a a 0 els˝o argumentum´ és az ´ıgy kapott eredménybe helyettes´ıtse be a mintapontokat. Az al´ abbi utas´ıt´ asok már a v´ art eredményt adj´ ak: & 41 * + + C& & & 41 D A + + + C& &

120


Több, azonos intervallumon defini´ alt f¨ uggvényt egy koordin´ ata-rendszeraban lista elemeiként ben u ´gy a´br´ azolhatunk, hogy a 0 els˝o argumentum´ adjuk meg a f¨ uggvények ´ altal´ anos helyettes´ıtési értékét: & +I) +I +I + +I +I +I) + B

K¨ ul¨ onb¨ oz˝o intervallumokon értelmezett f¨ uggvények ábr´ azolásához pedig a 68B bels˝o függvényt használhatjuk. List´ akat kényelmesen péld´ aul a & beép´ıtett f¨ uggvénnyel képezhet¨ unk (l´ asd a 3.8.1. pontot). Sz´ amunkra kevésbé érthet˝o, de fontos tény az, uggvénnyel rajzolja fel hogy a 0 ebben az esetben csak az f¨ a k´ıv´ ant a´br´ at: & 41

$ +I= +I= = ) + B 1 0.8 0.6 0.4 0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

• Opci´ ok Amikor a Mathematica felrajzolja egy f¨ uggvény képét, akkor sz´ amos dolgot el kell d¨ ontenie. Péld´ aul azt, hogy hova helyezze a koordin´ atatengelyeket, mekkora egységeket v´ alasszon ezeken stb. A program igen sok esetben jól v´ alaszt, és a f¨ uggvény menetének megfelel˝o szép a´br´ at kész´ıt. Opci´ ok megad´ asával azonban a felhaszn´ al´ onak lehet˝osége van arra is, hogy sz¨ ukség esetén maga d¨ onts¨ on bizonyos hasonl´ o jelleg˝ u kérdésekben. A rajzol´ ast végz˝o f¨ uggvények is rendelkeznek opci´ okkal. Minden opciónak meghatározott neve és egy alapértelmezés szerinti értéke van. Ezt haszn´ alja a program abban az esetben, ha nem adjuk meg az opci´ ot.


121

A 2.3.3. pontban m´ ar volt arr´ ol szó, hogy a 0 f¨ uggvény 27 opci´ oval rendelkezik. Ezek nevét és az alapértelmezés szerinti értékét az 2 &

utas´ıt´ assal kapjuk meg. A megengedett opci´ ok k¨ oz¨ ul az opció neve −> opció értéke alakban ak´ arh´ anyat megadhatunk. A k¨ ul¨ onb¨ oz˝oket a . jellel kell elv´ alasztanunk. A k¨ ovetkez˝o péld´ ak illusztrálj´ ak azt, hogy az opciók egyik része az ábr´ ak csinos´ıtgat´ as´ at teszi lehet˝ové: & + +I +I + B & " ( CJ @!= BQBBM D@ QB> QB EOSA B B 1 0.8 0.6 0.4 0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

´ Erdemes végrehajtani a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ ast is: & +C% + + BQ #+" ( CJ @!= BQB #+2 CJ B B #+%$ CJ T+T T(T & E CJ BQ Q>

!= CJ B & CJ + T+C +T Q & %$ CJ 0 TA $$ Z $T T& CS'T

1

122


¨ Osszetett ábr´ akat célszer˝ u részenként elkész´ıteni, majd az eredményeket egyszerre megjelen´ıteni. Ehhez ny´ ujt seg´ıtséget a

7 ) opció, amelynek lehetséges értékei ) és <7 ). Az $ & +C% + + BQ D ( ! CJ 6' (

utas´ıt´ as azt a szándékunkat k¨ ozli a Mathematic´ a val, hogy kész´ıtse el az u v´ alábr´ azoláshoz sz¨ ukséges számolásokat, ezt raktározza el az & nev˝ tozóban és az eredményt ne jelen´ıtse meg a képerny˝ on. (Nem elég 0*, ut´ an R-t ´ırni, mint gondoln´ ank.) Egy kés˝obbi id˝ opontban a

68B bels˝o f¨ uggvény a szám´ıt´ asok ismételt elvégzése nélk¨ ul viszi képerny˝ ore az elkész´ıtett ábr´ at: "@Y $ #+%$ CJ T+T T(T D ( ! CJ UD ( !

• T¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´ enyek Ebben az alpontban az explicit alakban megadott R2 → R és R3 → R t´ıpus´ u f¨ uggvények szemléltetéséhez használhat´ o

7 )0 40

0F7

bels˝o f¨ uggvényekr˝ ol, a :8 340F73 csomagban lév˝o

40F7 valamint a :8 3:8 3 programcsomagban elhelyezett

68 B0F7 k¨ uls˝ o f¨ uggvényekr˝ ol lesz szó. Az opci´ ok a felhaszn´ al´ onak itt is igen sok lehet˝oséget k´ın´ alnak az igényeinek megfelel˝o ábra elkész´ıtéséhez. A részletek ismertetését˝ol eltekint¨ unk. Csup´ an azt eml´ıtj¨ uk meg, hogy számos esetben megelégsz¨ unk azzal a képpel, amit az opci´ ok alapértelmezés szerinti értékeivel kapunk.


123

Kétv´ altozós f¨ uggvényeket térbeli derékszög˝ u koordin´ ata-rendszerben a

0F7 f¨ uggvénnyel a´br´ azolhatunk. A k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ as eredménye péld´ aul a nyeregfel¨ ulet egy darabj´ anak a´rnyékolt képe: & D +I C (I + C ( C

Az opci´ ok megváltoztat´ asával t¨ obbek k¨ ozött az árnyékolás módj´ at, az ábr´ azolás sz´ıneit és a néz˝opontot is m´ odos´ıtani tudjuk. A k¨ ovetkez˝o péld´ an néh´ any opci´ o jelentését tanulm´ anyozhatjuk, ha a megadott értékeket változtatgatjuk: A * * +, (, - +I) G (I) C ) + ( G & D * + ( + C ( C & E CJ CQ > S+E CJ #+4' CJ C C C C C C %@ CJ A CJ

Kétv´ altozós f¨ uggvényt és az általa meghat´ arozott fel¨ ulet valamelyik koordin´ atas´ıkra vett árnyékolt vet¨ uletét a :8 3:8 F73 programcsomag

68 B0F7 f¨ uggvényével kaphatjuk meg. Olvassuk be ezt a programcsomagot és prób´ aljuk ki az al´ abbi utas´ıt´ asokat: O @!KO @!DK "@'Y& D " + ( + B ( B "@'Y& D 4+ C+I G (I + C ( C "@'Y& CJ

Kétv´ altozós f¨ uggvény szintvonalas a´br´ aj´ at a

40 bels˝o f¨ uggvénnyel kész´ıthetj¨ uk el. A fentebb defini´ alt f f¨ uggvény szintvonalait ´ıgy kapjuk meg:

124

3. Fejezetek a matematikáb´ ol A & * + ( + C ( C A CJ C C C B A2 CJ O(%1 A ! CJ O(%1 C.I/ S!= ' CJ O(%1

A 40 h´ aromdimenziós megfelel˝oje a

40F7 f¨ uggvény, amely a :8 340F73 programcsomagban tal´ alhat´ o. Használata el˝ ott be kell h´ıvni ezt a programcsomagot: O @!KA & DK A & D

+ ( + C ( C C A CJ BQ

Kétv´ altozós valós érték˝ u f¨ uggvényt a

7 )0 bels˝o f¨ uggvénnyel is a´br´ azolhatunk. Az értelmezési tartomány adott pontj´ aban a megvil´ ag´ıt´ as er˝ossége az ott felvett helyettes´ıtési értékt˝ol f¨ ugg. A világosabb pontban a f¨ uggvény értéke nagyobb, mint a s¨ otétebb pontban:


125

D (&

" + " ( + B & ( C& & & & CJ >B "@Y : A ! CJ O(%1 C.I/ "@Y : A ! CJ EOSA C. . B/

40 és 7 )0 egyaránt a térképészek által használt a´brát szolgáltat. • Param´ eteres alakban megadott g¨ orb´ ek ´ es fel¨ uletek u f¨ uggvényeknek Matematikai szempontból Rn → Rm (n, m ∈ N) t´ıpus´ ´ atekintj¨ uk a paraméteres alakban megadott görbéket és fel¨ uleteket. Abr´ zolhatunk s´ıkbeli görbéket (n = 1 és m = 2), térgörbéket (n = 1 és m = 3), valamint kétdimenzi´ os fel¨ uleteket (n = 2 és m = 3). Paraméteres alakban megadott s´ıkgörbét a

00 ´ bels˝o f¨ uggvénnyel a´br´ azolhatunk. Erdemes kipr´ ob´ alni péld´ aul a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ asokat: &0 !& " A B & &0 !& " A B & "@Y : # ! CJ # 0 ! &0 !& A I " I B &

Térgörbe szemléltetéséhez a következ˝o bels˝o f¨ uggvényt haszn´ alhatjuk:

00F7 &0 !& D

A I A " " B & &0 !& D 41

$ A " > B & S+E CJ

Kétdimenzi´ os fel¨ uleteket ezzel a f¨ uggvénnyel is a´br´ azolhatunk: &0 !& D

A ICI " A " " A B & B & S+' CJ #+ CJ

126


Megjegyezz¨ uk, hogy a :8 300F73 programcsouggvényt. Ennek használamag szintén tartalmaz 00F7 f¨ t´ aval a felhaszn´ al´ o maga is szabályozhatja az a´br´ azolásnál alkalmazott fel´ osztások számát. Erdemes o¨sszehasonl´ıtani péld´ aul a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ asok eredményét: &0 !& D A A 1 " A 1 " 1 B & 1 C& & O @!K&0 !& DK &0 !& D A A 1 " A 1 " 1 B & &B 1 C& & &B

További példa egy szép fel¨ uletre: &0 !& D A@ A @ A@ " @ C @ B &

Itt eml´ıtj¨ uk meg azt, hogy a :8 3:8 F73 programcsomag 68 B függvényével felületek koordinátas´ıkokra vett a´rnyékolt vetületeit áll´ıthatjuk el˝ o: O @!KO @!DK $ &0 !& D

" " " " A C& & B & != CJ D ( ! CJ 6' ( "@'Y $ D ( ! CJ UD ( ! ["@'Y CJ


127

• Forg´ asfel¨ uletek A :8 365593 programcsomagban meglev˝o

6559 k¨ uls˝ o f¨ uggvénnyel k¨ ul¨ onb¨ oz˝o alakban megadott görbék egyenes kör¨ uli meg´ forgat´ asával keletkez˝o fel¨ uleteket ábr´ azolhatunk. Erdemes beolvasni ezt a programcsomagot is, és felrajzoltatni néh´ any forg´ asfel¨ uletet: O @!K"*!2*E1 K "*!2*E1 " + + B & 8Y8 ! CJ B B

!= CJ # 0 ! # 0 ! CQ B Q "*!2*E1 Q " I B & S+E CJ "*!2*E1 +I + B E1 #+ CJ

• Implicit alakban megadott g¨ orb´ ek Elméleti és gyakorlati szempontból is komoly probléma az implicit alakban megadott görbék vizsgálata. Ehhez a program jelent˝ os támogatást ad.

128


A :8 303 programcsomagban meglev˝o

0 f¨ uggvénnyel két k¨ ul¨ onb¨ oz˝o módszerrel a´br´ azolhatunk implicit alakban megadott egyv´ altoz´ os f¨ uggvényeket. A módszert a felhaszn´ al´ o a szintaxis alkalmas megadásával v´ alasztja meg. Olvassuk be ezt a programcsomagot: O @!K60 ! & K

és kérj¨ unk inform´ aci´ ot a szóban forg´ o f¨ uggvényr˝ ol: V60 ! &

A Mathematica ´ altal adott v´ alaszból kit˝ unik: megtehetj¨ uk, hogy csak az egyik v´ altozót tartalmaz´ o intervallumot ´ırjuk be az 0 argumentumába, de mindkét változóra is kijel¨ olhet¨ unk intervallumot. ´ azoljuk az els˝ Abr´ o módszerrel péld´ aul a Descartes-féle levelet (figyelj¨ unk arra, hogy egyenletet a karakterekkel adunk meg): 60 ! & +I G (I + ( + C 2 1

-3

-2

-1

1

2

3

-1

-2

-3

-4

Az 0 f¨ uggvény ebben az esetben a 6 bels˝o f¨ uggvénybe (l´ asd a 3.2. pontot) beép´ıtett szimbolikus egyenletmegoldó algoritmusokat arok meghatározásához. Pontosabhaszn´ alja az összetartozó . ) számp´ ban, ha f (x, y) = 0 jel¨ oli az implicit egyenletet, akkor a program az f (x, y) = 0, ∂y f (x, y) = 0 egyenletrendszer szimbolikus megoldásait keresi.


129

Ha a 6 nem tal´ alja meg a beadott egyenlet megoldását, akkor ezt k¨ ozli a felhaszn´ al´ oval, és a program leáll´ıtja az ábr´ azolást. Ez történik péld´ aul a k¨ ovetkez˝o esetben is: 60 ! & " + A ( + CF & > &

Az 0 harmadik argumentum´ aba be´ırhatunk egy ) v´ altozót uggtartalmazó intervallumot is. Ekkor a program a 40 bels˝o f¨ vénybe beép´ıtett numerikus algoritmusokat használja. Ezzel a módszerrel az el˝oz˝o péld´ aban megadott g¨ orbét is ábr´ azolhatjuk: 60 ! &

" + A ( + C& & ( C& & #+2 CJ B B & & CJ BB A0 ' CJ != CJ CB C> > C

4

-5

5 -4

Az implicit m´ odon megadott g¨ orbékr˝ol legtöbb inform´ aci´ ot ny´ ujt´ o ábra elkész´ıtéséhez a változó(ka)t tartalmaz´ o intervallumo(ka)t alkalmas (az adott egyenletb˝ol nem leolvasható!) módon kell megv´ alasztani. Számos esetben ehhez sok k´ısérletet kell elvégezni. • Koordin´ ata-rendszerek A :8 3:8 3 programcsomagban meglev˝o

00 f¨ uggvény pol´ arkoordin´ at´ akban megadott g¨ orbékhez használhat´ o. Ennek az uggvény szintaxisához hasonl´ o. Olvassuk be elj´ ar´ asnak a szintaxisa a 0 f¨ ezt a programcsomagot, és prób´ aljuk ki a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ ast:

130

3. Fejezetek a matematikáb´ ol && ) G A ) A C B & & " ( CJ D@ BQB> BQB O(%1 BQ @!= BQB EOSA B B # ! E CJ # 0 !

A :8 300F73 programcsomag

680F7 f¨ uggvényével gömbkoordin´ atákban megadott fel¨ uleteket ábr´ azolhatunk: " @!& D @ B & @ B &

Hengerkoordin´ at´ akban megadott fel¨ uletek megjelen´ıtését végezhetj¨ uk a

:8 300F73 programcsomag 4) 0F7 f¨ uggvényével. Péld´ aul:

A( '!& D G" @RI B @ B & S+' CJ #+ CJ 8Y& CJ Q> CBQ> Q

• Diszkr´ et halmazon ´ ertelmezett f¨ uggv´ enyek A k¨ ovetkez˝o bels˝o f¨ uggvényeket használhatjuk:

40 7 )0

0 0F7

A :8 3# 3 programcsomag beolvasása után a lehet˝ oségeket az alábbi k¨ uls˝ o f¨ uggvények b˝ ov´ıtik:

0 & 0 0 40 40F7 0 0V 0V F7 68 B0F7 6559

650F7 0 0 0 # 0 000F7 0 0 6 0 0


131

• Komplex f¨ uggv´ enyek A :8 34#3 programcsomagban meglev˝o 0# és 4 # küls˝o függvényeket komplex változós és komplex érték˝u f¨ uggvények szemléltetésére használhatjuk. A

4 # f¨ uggvény a val´ os és a képzetes tengellyel párhuzamos h´ al´ ozat adott f¨ uggvény által létes´ıtett képét rajzolja fel. A

0# f¨ uggvény pedig az orig´ o k¨ ozéppont´ u k¨ or¨ ok és az origób´ ol kiindul´ o félegyenesek által meghat´ arozott h´ al´ ozatnak az adott komplex f¨ uggvény szerinti képét ábr´ azolja. A lehet˝oségeket a következ˝o péld´ an érzékeltetj¨ uk. Megmutatjuk, hogy a T := {z ∈ C : 0 ≤ Re z ≤ 1, 0 ≤ Im z ≤ π/2 } komplex számhalmazt és az exponenciális f¨ uggvény a´ltal létes´ıtett képét hogyan lehet szemléltetni. El˝ oször az eml´ıtett programcsomagot kell beh´ıvni: O @!KA0 + K

Ezut´ an az identit´ asf¨ uggvény (a Mathematic´ a ban az ) bels˝o f¨ uggvény) felhaszn´ al´ asával defini´ aljuk a fenti T tartományt: 0 ( A 6' ( B B & E CJ B B

!= CJ B B & D ( ! CJ 6' ( -Graphics-

Figyelj¨ uk meg, hogy a 4 # f¨ uggvényben az a´br´ azoland´ o f¨ uggvény nevét kell megadni. Elkész´ıtj¨ uk a tartom´ any képét: =

A 4+ B B & & E CJ B B

!= CJ B 4 B 4 D ( ! CJ 6' ( -Graphics-

Most megjelen´ıtj¨ uk a tartom´ anyt és a képet:

132

3. Fejezetek a matematikáb´ ol "@Y O @!#( 0 ( = D ( ! CJ UD ( !

E Pi -2

1

0

0 1

1

E

• Anim´ aci´ o ´ ak sorozat´ Abr´ ab´ ol filmet kész´ıthet¨ unk. Ehhez a

:8 3 3 programcsomag alábbi f¨ uggvényei ny´ ujtanak seg´ıtséget:

#0 #0F7 #40

#7 )0 #00 68B 668B

Ha ablakos felhaszn´ al´ oi fel¨ ulettel dolgozunk, akkor a k¨ ovetkez˝oket is tehetj¨ uk. Gépelj¨ uk be péld´ aul ezt az utas´ıt´ ast: D & D

A "5 +IG(IG#$ C&"5 +IG(IG) + C)& )& ( C)& )& & & CJ N %@ CJ & E CJ C S+E CJ S+' CJ #+ CJ B &C&N &N

A Shift+Enter billenty˝ up´ ar lenyomása után a Mathematica elkezd dolgozni, és kirajzol egy ábrasorozatot. Jel¨ olj¨ uk be az egymás ut´ an lejátszand´ o ´ abr´ akat (egy kattintással), majd vagy a Ctrl+Y billenty˝ up´ arral, vagy


133

a Graph men¨ upont Animate Selected Graphics alpontj´ aval ind´ıthatjuk a mozit. Leáll´ıtani a szók¨ oz billenty˝ u le¨ utésével lehet, vagy azzal, hogy valahol belekattintunk a képbe. A Graph men¨ upont Animation alpontj´ aval az anim´ aci´ o opci´ oi is megváltoztathat´ ok.

3.1.6. Gyakorlatok ´ es feladatok 1. Az al´ abbi péld´ ak illusztrálj´ ak, hogy a f¨ uggvény a teljes diszjunkt´ıv norm´ alform´ at a´ll´ıtja el˝ o: %!4+ %!4+ %!4+ %!4+

' ' ' '

// << // <<

$ << ! // ' $ // ! << ' $ << ! // ;' ;$ // ! << ;'

2. Egyenletrendszereket egyenletekre ´ıgy szedhet¨ unk szét: %!4+ ' FQ + ( ) > x+2y==4 && 3x+7y==5

´ ıtsuk el˝ 3. All´ o a k¨ ovetkez˝o formul´ ak értéktábl´ azatát: a) ¬a ∧ ¬(¬a ∨ b) b) a ⇒ (b ⇒ a) c) (a ⇒ (b ⇒ c)) ⇒ ((a ⇒ b) ⇒ (a ⇒ c)) 4. Igazoljuk, hogy a k¨ ovetkez˝o formul´ ak a benn¨ uk szerepl˝ o v´ altozók minden értékére igazak: a) (a ∧ (a ⇒ b)) ⇒ b b) ((a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c)) ⇒ (a ⇒ c) c) ((a ∧ b) ∨ a) ⇔ a d) ((a ∨ b) ∧ a) ⇔ a ´ ıtsuk el˝ 5. All´ o egy tetsz˝oleges három- vagy többv´ altozós logikai f¨ uggvény igazságt´ abl´ azatát a szokásos form´ aban, fejléccel ellátva. asakor egy opci´ oban megadhatjuk, hogy mikor tekin6. A ! alkalmaz´ t¨ unk két elemet azonosnak. Ez némileg módos´ıthatja a listákb´ ol el˝oáll´ıtott halmazokat. Tanulm´ anyozzuk ezt a jelenséget az alábbi péld´ akon:

$ QB G I= U!@ 4 = B M "0 CJ "0? "0 CJ 45

134


7. Írjunk f¨ uggvényt a szimmetrikus differencia m˝ uveletére. Illusztráljuk péld´ akkal, hogy ez a m˝ uvelet asszociat´ıv és kommutat´ıv. ´ 8. All´ıtsuk el˝ o egy k-változós (k = 0, 1, 2, 3, . . . .) logikai f¨ uggvény értelmezési tartomány´ anak elemeit lexikografikus sorrendben. 9. (A K¨ ozépiskolai Matematikai Lapok 2897. gyakorlata alapj´ an.) Az x1 , x2 pozit´ıv egészekb˝ol kiindulva képezz¨ uk az x3 := |x1 − x2 |,

x4 := min {|x1 − x2 |, |x1 − x3 |, |x2 − x3 |}, . . .

sorozatot. (A feladat ´ıgy szólt: bizony´ıtsuk be, hogy ha x1 , x2 egyike sem nagyobb 10000-nél, akkor x21 = 0.) Egy lehetséges megoldás: D! @0 !KA0$ !K = , - P"$ $ , - #$

C

0 , - # ' . A0 * = ./ +, +, - A0 0 + + L

´ 10. Allap´ ıtsuk meg a fenti, véges halmazon defini´ alt, homogén rel´ aci´ or´ ol, hogy szimmetrikus-e, és hogy tranzit´ıv-e. 11. Hajtsuk végre az alábbi utas´ıt´ asokat: 6 1 ) 6 1 G 6 1 ) M B 6 1 ) G 6 1 N M B 6 1 Q C 6 1 CQB)> BICN QB)> BICN 6 1 C)Q))BML BICN )Q))BML BICN 6 1 C 6 1 ) F $ 6 1 ) B B 6 16 ! $ 6 1 6 * ( 6 1 N J 6 1 C " 6 1 C ) #$ 6 1 C) C 4 + #$ 6 1 C& )

3.2. Matematikai kifejezések

135

3.2. Matematikai kifejez´ esek Sokszor sz¨ ukség¨ unk lehet arra, hogy egy megadott vagy a Mathematica által származtatott matematikai kifejezést más (péld´ aul egyszer˝ ubb) alakban ´ırjunk fel. Ennek a témakörnek a jelent˝ oségét mutatja az a tény is, hogy számos matematikai problémát u ´gy oldunk meg, hogy kifejezéseket alkalmas azonosságok felhaszn´ al´ asával olyan alakra hozunk, amelyr˝ ol a megoldás már egyszer˝ uen leolvashat´ o”. ” Ebben a szakaszban a programnak azokat a f¨ uggvényeit ismertetj¨ uk, amelyek valamely matematikai kifejezés — ´ıgy nevezz¨ uk a 3.1.4. pontban megeml´ıtett beép´ıtett matematikai f¨ uggvényekb˝ ol a szokásos f¨ uggvénym˝ uu f¨ uggveletek véges sokszori alkalmaz´ asával nyert Cn → C (n ∈ N) t´ıpus´ vény egy által´ anos helyettes´ıtési értékét — szimbolikus átalak´ıt´ asához ny´ ujtanak seg´ıtséget. Foglalkozni fogunk algebrai és trigonometrikus polinomokkal, racion´ alis, irracionális és transzcendens kifejezésekkel. A programot igen sok azonosság (transzform´ aci´ os szabály) alkalmaz´ asára megtan´ıtott´ ak. K¨ ul¨ onb¨ oz˝o beép´ıtett f¨ uggvények a´ltal´ aban k¨ ul¨ onb¨ oz˝o t´ıpus´ u azonoss´ agokat alkalmaznak. Egy adott kifejezés igényeinknek megfelel˝ o átalak´ıt´ asához haszn´ alhat´ o elj´ ar´ as megtalál´ asa sok esetben nem egyszer˝ u feladat. A Mathematica egy végtelen kiértékel˝ o rendszer. Ez azt jelenti, hogy a beadott matematikai kifejezésre addig alkalmazza a beép´ıtett vagy a felhaszn´ al´ o´ altal defini´ alt transzform´ aci´ os szabályokat, ameddig ismételten azonos u kifejezést nem kap. alak´ Itt eml´ıtj¨ uk meg az egyszer˝ us´ıtés problémáj´ at. Matematikai kifejezéseket sokszor a legegyszer˝ ubb alakra” szeretnénk hozni. Ilyenkor a ”

65) f¨ uggvényt haszn´ alhatjuk. Vegy¨ uk figyelembe azonban azt, hogy nincs pontos defin´ıci´ o arra, hogy két (matematikai szempontb´ ol egyenl˝o) kifejezés uggvénybe beép´ıtett k¨ oz¨ ul melyik az egyszer˝ ubb alak´ u”. A 65) f¨ ” algoritmusok a megadott kifejezést transzformáci´ os szabályok felhaszn´ al´ asával a´talak´ıtj´ ak. Eredményként a legkevesebb részb˝ol a´ll´ o alakot (a

54 f¨ uggvény adja meg a méretet”) kapjuk meg. Ez az oka annak, hogy bo” uggvény sokáig dolgozhat. nyolultabb esetekben a 65) f¨

136


Figyelj¨ uk meg péld´ aul azt, hogy a Mathematica az (an −bn )/(a−b) t¨ ortet k¨ ul¨ onb¨ oz˝o n természetes számok esetén hogyan egyszer˝ us´ıti: =*W , - I C $I C $ ( , - "0 *( =*W

A fenti t¨ ortet a 65) f¨ uggvény csak n ≤ 4 esetén alak´ıtja a´t. Péld´ aul n = 4-re ezt kapjuk: =*W ) %*A : 4 4 a - b , 17} { a - b ( ) %*A : 3 2 2 3 {a + a b + a b + b , 17}

Ha n > 5, akkor v´ altozatlan form´ aban kapjuk vissza a t¨ ortet, ugyanis az (a − b)-vel való osztás ut´ an ad´ od´ o kifejezés mérete nagyobb lenne, mint %*A =*W 17

3.2.1. Algebrai polinomok A matematik´ anak napjainkban rohamosan fejl˝ od˝ o egyik a´ga, a szimbolikus sz´ amol´ asok elmélete (a komputeralgebra) foglalkozik a szám´ıt´ ogépen megval´ os´ıthat´ o szimbolikus algoritmusok elméletével. Jelenleg a matematikai kifejezések köz¨ ul bizonyos értelemben a legegyszer˝ ubbeknek, a polinomoknak az elmélete a legjobban kidolgozott ter¨ ulet. A Mathematica is egy- és t¨ obbv´ altozós algebrai polinomokkal végzett m˝ uveletek elvégzéséhez ny´ ujtja a legtöbb seg´ıtséget. Várhat´ o, hogy u ´j elméleti eredmények a Mathematica kés˝obbi v´ altozatainak a lehet˝ oségeit is b˝ov´ıteni fogj´ ak. • Polinomok kifejt´ ese A beadott polinomot a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o szimbólumokkal jel¨ olt v´ altozók k¨ ozötti lehetséges összeadások és kivonások automatikus elvégzése után kapjuk uggvény szolgál. Az vissza. Szorzatok és hatványok kifejtésére az f¨

*,


137

utas´ıt´ as hat´ asára a Mathematica az egy- vagy többv´ altozós ban elvégzi a szorzásokat és a pozit´ıv egész kitev˝oj˝ u hatv´ anyoz´ asokat, majd a lehetséges összevonások elvégzése után adja meg az eredményt: 4+ ' NR+CI G )R+CI G FR+ G N 2 3 26 + 9 x - 14 x + 6 x 4+ ' G + G )(R C + G (I 2 3 4 1 - 6 x + 8 x - 3 x + 10 y - 6 x y 2 3 18 x y + 14 x y + 2 2 2 2 3 3 4 36 y - 24 x y - 12 x y + 56 y - 24 x y + 32 y

Többv´ altozós polinom kifejtését bizonyos v´ altozókra korl´ atozva is elvégezhetj¨ uk: 4+ ' + G IR( G IR G I + 2 2 2 2 (1 + y) (1 + z) + 2 x (1 + y) (1 + z) + 2 2 2 x (1 + y) (1 + z)

Lehet˝oség van arra is, hogy t¨ obb (de nem az o¨sszes) változó szerint fejtoli a v´ altozókat, akkor az s¨ unk ki egy polinomot. Ha x1 , x2 és y jel¨ (x1 + 1)2 (x2 + 1)2 (y + 1)2 polinom x1 és x2 szerinti kifejtését péld´ aul ´ıgy kapjuk meg: 4+ ' + G IR+ G IR( G I + , 2 2 2 2 (1 + y) + 2 (1 + y) x[1] + (1 + y) x[1] + 2 2 2 (1 + y) x[2] + 4 (1 + y) x[1] x[2] + 2 2 2 2 2 (1 + y) x[1] x[2] + (1 + y) x[2] + 2 2 2 2 2 2 (1 + y) x[1] x[2] + (1 + y) x[1] x[2]

A k¨ ovetkez˝o f¨ uggvények polinomok részeinek kiválasztásához ny´ ujtanak seg´ıtséget:

455 455 4

8 0) V&

138


Sz´ amos speciális polinom beép´ıtett f¨ uggvényként szerepel a Mathematic´ a ban:

LL 48&) 8 48&) 8! 4)4

:&4 11 W&0

• Polinomok szorzatt´ a alak´ıt´ asa Polinomok k¨ ul¨ onb¨ oz˝o t´ıpus´ u szorzattá alak´ıt´ asához a

6

6

f¨ uggvényeket használhatjuk. uggvény a´ltal ny´ ujtott lehet˝ oségeket ismerEzek k¨ oz¨ ul csak a f¨ tetj¨ uk. A

*, utas´ıt´ as a ot Z felett irreduc´ıbilis tényez˝ok szorzataként ´ırja fel abban az esetben, ha az egy¨ utthat´ ok egész számok vagy val´ odi t¨ ortek: ! +I G +I C )+ C 2 (-2 + x) (6 + 5 x + 2 x ) ! +I C )+ G ) (3 - 7 x) (1 - 2 x) 14 ! ) +R( G R1IC+I G (I C I C 1II (-u + v - x - y) (-u - v - x + y) (u + v - x + y) (-u + v + x + y)

Ha a polinom egy¨ utthat´ oi k¨ ozött van explicit tizedesponttal megadott uggvény numerikus módszert használva hat´ arozszám is, akkor a f¨ za meg a polinom gyökeinek egy közel´ıt˝ o értékét, és ezekkel adja meg a felbont´ ast:


139

! +I C )+ G 2 2 - 4 x + x ! +I C )+ G Q (-3.41421 + x) (-0.585786 + x)

A k¨ ovetkez˝o péld´ ak azt is mutatj´ ak, hogy a program a bemen˝ o adatok szintaxis´ at´ ol f¨ ugg˝ oen v´ alasztja meg a kiértékelésnél felhaszn´ alt algoritmust: ! +I G >+ G N 2 6 + 5 x + 2 x ! +I G >Q+ G N 2 2 (3 + 2.5 x + x ) ! +I G >+ G NQG BQ 6 2 (1.25 - 1.19896 I + x) (1.25 + 1.19896 I + x)

Polinomfaktorizáci´ ot a Gauss-egészek gy˝ ur˝ ujében a

*. : 2? , utas´ıt´ assal kapunk. Péld´ aul: ! +I G 2 1 + x ! +I G O 6 CJ (-I + x) (I + x)

A Zp véges test feletti polinomgy˝ ur˝ uben a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ assal bonthatunk fel polinomokat irreduc´ıbilis tényez˝ok szorzatára:

*. # 2? , ! +I) G ' CJ 4 (1 + x) ! +I) G ' CJ F (2 + x) (8 + x) (9 + x) (15 + x)

140


Polinomfaktorizáci´ oval nyert tényez˝okb˝ ol a´ll´ o listát kész´ıthet¨ unk a k¨ ovetkez˝o f¨ uggvényekkel:

6

Figyelj¨ uk meg azt is, hogy a Mathematica milyen form´ aban adja meg a tényez˝oket: ! % +I C +I C >+ C {{-3 + x, 1}, {1 + x, 2}} ! % +I) G ' CJ 2 2 {{5 + x , 1}, {8 + x , 1}} ! % +I G O 6 CJ {{-I + x, 1}, {I + x, 1}}

• M˝ uveletek polinomokkal Képezhetj¨ uk polinomok o¨sszegét, szorzatát és kompoz´ıci´ oj´ at. A

7 elj´ ar´ ast is használhatjuk. Ennek a f¨ uggvénynek a seg´ıtségével áll´ıthatunk el˝ o egy egész egy¨ utthat´ os polinomot két alacsonyabb fokszám´ u polinom kompoz´ıci´ o jaként (l´ asd a 3.1.4. pont M˝ uveletek f¨ uggvényekkel c´ım˝ u alpontj´ at). ur˝ uben is sz´ amos m˝ uveletet elvégezheA Zp véges test feletti polinomgy˝ t¨ unk. Péld´ aul a

0)# *. , utas´ıt´ as eredménye a -mal mod p kongruens polinom, amelynek egy¨ utthat´ oi a [0, p − 1] intervallumb´ ol val´ ok: &( 0' +I> C F+I G F+I G + G L 2 3 5 8 + x + 4 x + 5 x + x &( 0' + G ( + C FI > 2 3 2 3 x + 2 x + 2 x + 2 y + 3 x y + 3 x y


141

Polinomok rezult´ ans´ at (l´ asd péld´ aul [45]) számolja ki a 9 f¨ uggvény: E +I C N+ G +I G + G > + 233 E +I C )+ C > +I C F+ G B + 0

Emlékeztet¨ unk arra, hogy két egyv´ altozós polinom rezultánsa az egy¨ utthat´ oikb´ ol képzett Sylvester-féle mátrixnak a determin´ ansa. A Sylvester-féle kritérium azt áll´ıtja, hogy két egész egy¨ utthat´ os algebrai polinomnak pontosan akkor van k¨ ozös gyöke, ha a rezultánsuk 0-val egyenl˝ o. • Gr¨ obner-b´ azisok A szimbolikus programcsomagok polinomok kezelésénél a Gr¨ obner-b´ azisok elméletét alkalmazzák. B. Buchberger [14] 1965-ben meg´ırt Ph.D. disszert´ ació j´ aban egyenletrendszerek megoldása célj´ ab´ ol vezette be a Gr¨ obner-b´ azis fogalm´ at. (W. Gr¨ obner volt a témavezet˝o je.) Az ezután megindult intenz´ıv kutat´ asok azt mutatták, hogy ez a fogalom és a dolgozatban le´ırt algoritmusok más t´ıpus´ u feladatok (péld´ aul paraméterek kik¨ uszöb¨ olése, kongruenciák megoldása, polinom helyettes´ıtési értékének meghatározása adott mellékfeltételek esetén) megold´ asán´ al is j´ ol haszn´ alhat´ ok. o Olvas´ o figyelmébe aj´ anljuk a [7] és a [28] könyAz elmélet iránt érdekl˝od˝ vet, valamint a [35] és a [58] dolgozatot. A tov´ abbiakban az alapprobléma és néh´ any eredmény megfogalmazása után csup´ an érzékeltetni szeretnénk azt, hogy a Mathematica hogyan haszn´ alja ezt az elméletet k¨ ul¨ onb¨ oz˝o feladatok megoldásán´ al. altoJelölje Q[x] (x = (x1 , · · · , xn ), n ∈ N) a Q számtest feletti n v´ zós polinomgy˝ ur˝ ut. A Q[x] (kommutat´ıv) gy˝ ur˝ u I nem¨ ures részhalmazát ide´ alnak nevezz¨ uk, ha egyrészt minden p, q ∈ I esetén p − q ∈ I teljes¨ ul, másrészt pedig minden p ∈ I és q ∈ Q[x] mellett a pq szorzat is I-hez tartozik. Bármely P := {p1 , · · · , pk } ⊂ Q[x] véges polinomrendszer esetén a (P ) := (p1 , · · · , pk ) := {

k

ai pi : ai ∈ Q[x]} ⊂ Q[x]

i=1

halmaz nyilván Q[x] egy (P ´ altal gener´ alt) ide´ alja. Mag´ at a P halmazt az ide´ al b´ azis´ anak szok´ as nevezni. (Ez az által´ anosan elfogadott szóhaszn´ alat félrevezet˝o, ha a line´ aris algebra b´ azisfogalm´ aval vetj¨ uk o¨ssze.)

142


Hilbert b´ azistételének egyik következménye az, hogy Q[x] minden ide´ alj´ anak van véges bázisa és Q[x] minden ide´ alja a fenti alak´ u. Polinomokkal kapcsolatos számos problémát a k¨ ovetkez˝o alapfeladatra lehet reduk´ alni: Adott egy P ⊂ Q[x] véges halmaz és egy tetsz˝ oleges q ∈ Q[x] polinom. Hogyan lehet véges sok lépésben eld¨ onteni azt, hogy a q polinom hozz´ atartozik-e a P ´ altal gener´ alt (P ) ide´ alhoz? Egyv´ altozós polinomok (azaz n = 1) esetén b´ armely P ⊂ Q[x] véges halmaz által gener´ alt (P ) ide´ al egyetlen elemmel, a P -hez tartoz´ o polinomok legnagyobb k¨ ozös osztó j´ aval (jel¨ olje ezt h) is generálhat´ o. Így a fenti alnak, ha kérdésre a válasz a következ˝o: q pontosan akkor eleme a (P ) ide´ q osztható a h polinommal. A bizony´ıt´ as alapvet˝o eszköze a jól ismert euklideszi algoritmus. Többv´ altozós polinomok esetében a helyzet jóval bonyolultabb. Nem egyszer˝ u ugyanis a (P ) ide´ al szerkezetére jól haszn´ alhat´ o jellemzést adni abban az esetben, amikor P tetsz˝oleges polinomrendszer. A nehézséget egyrészt az okozza, hogy az ideálok ekkor már nem gener´ alhat´ ok egyetlen elemmel, ezért az euklideszi algoritmust is a´ltal´ anos´ıtani kell. M´ asrészt egyismeretlenes polinomokra a tagok elrendezésének két természetes módj´ at ismerj¨ uk: az ismeretlen növekv˝ o és csökken˝ o hatv´ anyai szerintit. Többismeretlenes polinomok esetén azonban a αn 1 : αi ∈ N} T := T (x1 , · · · , xn ) := {xα 1 · · · xn

halmazon t¨ obbféle módon lehet rendezési reláci´ ot értelmezni, ami egy adott t¨ obbv´ altozós polinomban a tagok lényegesen” k¨ ul¨ onb¨ oz˝o sorrendjét indu” k´ alja. Itt csup´ an a lexikografikus rendezést (ezt a ≤L szimbólummal jelölj¨ uk) értelmezz¨ uk: β1 αn βn 1 xα 1 · · · xn ≤L x1 · · · xn

β1 αn βn 1 (xα 1 · · · xn , x1 · · · xn ∈ T )

pontosan akkor, ha (α1 , · · · , αn ) = (β1 , · · · βn ), vagy pedig létezik olyan i ∈ {1, 2, · · · , n} természetes szám, amelyre αj = βj

(1 ≤ j ≤ i − 1) és

αi < βi .

Ha ≤ egy alkalmas rendezési reláci´ o a T -n, akkor egy adott polinom ≤ rendezésre vonatkoz´ o f˝ otagj´ a nak nevezz¨ uk a polinom egy¨ utthat´ o nélk¨ ul vett (≤-re vonatkoz´ o) legmagasabb fok´ u tagj´ at. Az euklideszi algoritmus többv´ altozós által´ anos´ıt´ asát már nem polinomosztásnak, hanem polinomredukci´ os elj´ ar´ asnak nevezik. Ezzel kapcsolatban a k¨ ovetkez˝o alapvet˝ o´ all´ıt´ as fogalmazható meg:


143

Legyen P := {p1 , · · · , pk } ⊂ Q[x] tetsz˝ oleges halmaz és f ∈ Q[x] adott polinom. Ekkor léteznek olyan ai ∈ Q[x] (i = 1, · · · , k) és r ∈ Q[x] polinomok, amelyekre az f=

k

ai pi + r

i=1

otagja nem nagyobb, mint f egyenl˝ oség teljes¨ ul, és ai pi (i = 1, · · · , k) f˝ f˝ otagja. afia 199. oldal´ an le´ırt Az ai (i = 1, · · · , k) és r polinomot a [7] monogr´ algoritmussal lehet meghatározni. Tov´ abbi problémát jelent azonban az, hogy az r maradék”-polinom nincs egyértelm˝ uen meghat´ arozva abban az ” esetben, ha tetsz˝ oleges P polinomrendszerb˝ ol indulunk ki. B. Buchberger a már megeml´ıtett [14] dolgozat´ aban igazolta, hogy tetsz˝oleges véges P ⊂ Q[x] halmazhoz létezik olyan G ⊂ Q[x] véges polinomrendszer (ezt nevezte el Gr¨ obner-b´ azisnak), amely egyrészt ugyanazt az ideált generálja, mint P , másrészt a fenti áll´ıt´ ast a P helyett a G b´ azisra alkalmazva az r polinom m´ ar egyértelm˝ uen meg van hat´ arozva. Ilyen jelleg˝ u b´ azis létezését H. Hironaka [36] is bebizony´ıtotta 1964-ben. B. Buchberger azonban j´ ol haszn´ alhat´ o as´ ara. algoritmust is konstru´ alt a G b´ azis el˝ o´ all´ıt´ Megjegyezz¨ uk még azt is, hogy egyv´ altoz´ os polinomok esetében ez az elj´ ar´ as az euklideszi algoritmust, els˝ ofok´ u t¨ obbv´ altoz´ os polinomok esetében pedig a Gauss-féle elimin´ aci´ os elj´ ar´ ast szolg´ altatja. A Gr¨ obner-b´ azis fogalm´ anak t¨ obb lehetséges ekvivalens defin´ıci´ o ja k¨ oz¨ ul a k¨ ovetkez˝ot emelj¨ uk ki. Jel¨ olj¨ on ≤ egy alkalmas rendezést (péld´ aul a lexikografikust) a T halmazon. A Q[x] polinomgy˝ ur˝ u I ide´ alj´ anak egy nem¨ ures G véges részhalmazát akkor nevezz¨ uk az I ide´ al ≤-re vonatkozó Gr¨ obner-b´ azis´ anak, ha az ide´ al minden polinomj´ anak (≤-re vonatkoz´ o) f˝ otagja osztható a G halmaz valamely polinomj´ anak f˝ otagj´ aval. Igazolhat´ o, hogy T -n adott alkalmas ≤ rendezés esetén a Q[x] polinomgy˝ ur˝ u b´ armely I ide´ alj´ ahoz létezik Gröbner-b´ azis, és ez a f˝oegy¨ utthat´ okt´ ol eltekintve egyértelm˝ uen meg van hat´ arozva (lásd [7], Theorem 5.41., Theorem 5.43.). uggvénye a Q[x] polinomgy˝ ur˝ uben a A Mathematica :&L f¨ lexikografikus rendezést használva hat´ arozza meg adott P polinomrendszer által gener´ alt (P ) ide´ al Gr¨ obner-b´ azis´ at. A v´ altozók sorrendjét a f¨ uggvény második argumentum´ aban adhatjuk meg. Az eredmény ett˝ol a´ltal´ aban természetesen f¨ ugg: O$ S + C (I G +I C (I C + ( 2 4 2 {3 - 5 y + y , 2 + x - y }

144

3. Fejezetek a matematikáb´ ol O$ S + C (I G +I C (I C ( + 2 2 {-3 - x + x , -2 - x + y }

Az &9 , az és a 6 elj´ ar´ as alkalmazza a Gr¨ obner-b´ azisok elméletét. A 2.3.2. pontban a mint´ azatokkal kapcsolatban volt arr´ ol szó, hogy a program egy transzform´ aci´ os szabály kiértékelésénél a kifejezésnek a strukt´ ur´ aj´ at, és nem annak matematikai jelentését vizsgálja: G +I G +I) Q +I CJ 4 1 + a + x

A matematik´ aban megszokott módon vezethet¨ unk be u ´j v´ altozókat az

&9 bels˝o f¨ uggvény seg´ıtségével: W1 #$!E +I + 2 {x -> a} G +I G +I) Q W1 2 1 + a + a G +I G +IF Q W1 3 1 + a x + a x

Ezt az elj´ ar´ ast használhatjuk abban az esetben is, amikor egy polinomnak adott mellékfeltételek mellett szeretnénk meghat´ arozni a helyettes´ıtési értékét. Tekints¨ uk péld´ aul a k¨ ovetkez˝o feladatot. Tegy¨ uk fel, hogy az a, b és a c val´ os számok kielég´ıtik az a + b + c = 3,

a2 + b2 + c2 = 9,

a3 + b3 + c3 = 24

feltételeket. Határozzuk meg az a4 + b4 + c4 összeget. A megoldás a Mathematic´ a val ilyen egyszer˝ u. El˝ oször a feltételeket adjuk meg: * = #$!E G $ G ! I G $I G !I L I G $I G !I ) $ !

3.2. Matematikai kifejezések {c

145

3

2 2 2 -> -1 + 3 c , b -> 3 b + 3 c - b c - c , a -> 3 - b - c}

A kérdezett összeget pedig ´ıgy hat´ arozhatjuk meg: I) G $I) G !I) Q * = 69

A Gr¨ obner-b´ azisok elmélete ´ altal´ anos m´ odszert szolgáltat az ilyen t´ıpus´ u feladatok megold´ asához. Nézz¨ uk meg azt, hogy a program hogyan alkalmazta ezt a módszert a fenti feladat megold´ asán´ al. ar´ as a Az &9 elj´ P := {a + b + c − 3, a2 + b2 + c2 − 9, a3 + b3 + c3 − 24} ⊂ Q[a, b, c] polinomrendszer a´ltal gener´ alt (P ) ide´ al Gr¨ obner-b´ azis´ at számolta ki. Val´ oban: O$ S G $ G ! C I G $I G !I CL I G $I G !I C) $ ! 2 3 2 2 {1 - 3 c + c , -3 b + b - 3 c + b c +c , -3 + a + b + c}

(Figyelj¨ uk meg, hogy az &9 f¨ uggvény transzform´ aci´ os szab´ alyként adja meg a Gr¨ obner-b´ azist.) abban megeml´ıtett polinomreHa ezut´ an az a4 + b4 + c4 polinomra a kor´ dukci´ os eljár´ ast a kiszám´ıtott Gr¨ obner-b´ azissal alkalmazzuk, akkor éppen az abban szerepl˝o, r-rel jel¨ olt maradék”-polinom lesz a feladat megoldá” sa. A fenti m´ asodik utas´ıt´ as hatására a Mathematica ezt az r polinomot hat´ arozta meg. Hasonl´ o módon m˝ uk¨ odik az

elj´ ar´ as is, amelynek seg´ıtségével polinomokat tartalmazó egyenletekb˝ol paramétereket eliminálhatunk. Péld´ aul: 40 * +I> G (I> + G ( $ + ( + ( 5 3 2 a - 5 a b + 5 a b == f

Ezt feladatot ´ıgy is megoldhatjuk: * #$!E + G ( + ( $ + ( 2 {y -> -b + a y, x -> a - y}

146

3. Fejezetek a matematikáb´ ol +I> G (I> Q * a

5

- 5 a

3

b + 5 a b

2

Az &9 most is a Gröbner-b´ azist haszn´ alja: O$ S + G ( C +R( C $ + ( 2 {b - a y + y , -a + x + y}

A 3.3.2. pontban lesz sz´ o arr´ ol, hogy a 6 f¨ uggvény hogyan alkalmazza a Gr¨ obner-b´ azisok elméletét polinomokat tartalmazó egyenletrendszerek megoldásán´ al.

3.2.2. Racion´ alis kifejez´ esek Ebben a pontban polinomok h´ anyadosaként megadott kifejezések átalak´ıt´ asához haszn´ alhat´ o elj´ ar´ asokról lesz szó. A program sz´ amos olyan f¨ uggvényt tartalmaz, amelynek seg´ıtségével racionális kifejezéseket k¨ ul¨ onb¨ oz˝o alakban ´ırhatunk fel. Ezek a k¨ ovetkez˝ok:

4 7 7

65) 8

A Mathematica racion´ alis kifejezéseknél a lehetséges összevonásokat automatikusan elvégzi. A számlál´ o és a nevez˝o k¨ ozös tényez˝oivel is automatikusan egyszer˝ us´ıt: C+G+IC+IRC+I+GG+IRC+ 2 2 (1 - x) (-4 x + x ) 2 (1 + 3 x) 0 D 0 2 2 2 {(1 - x) (-4 x + x ) , (1 + 3 x) }


147

Szorzások és hatványoz´ asok elvégzéséhez az alábbi f¨ uggvényeket haszn´ alhatjuk: 4+ '0 4+ 'D 0

{

16 x

2

- 24 x

3

+ 9 x 2 (1 + 3 x)

4+ ' 2 16 x (1 + 3 x)

2 -

4+ '# 2 16 x 1 + 6 x + 9 x 5 x

24 x

4

- x

2 2 (1 - x) (-4 x + x ) , } 2 1 + 6 x + 9 x

3

(1 + 3 x)

2 -

5

2 +

5 x 2 2 (1 + 3 x) (1 + 3 x) 9 x

3 24 x 1 + 6 x + 9 x

1 + 6 x + 9 x

4

2 +

9 x

4

1 + 6 x + 9 x

2 -

2

A racion´ alis kifejezéseket közös nevez˝ore hozhatjuk és parciális t¨ ortekre is bonthatjuk: C)+G+IC+G+I G C)G+G+ICG+I 2 2 -4 + 3 x + x -4 x + x 2 + 2 -x + x -1 + x

@ 2 2 (-4 + x ) (-1 + x) (1 + x) # 3 3 + 2 -1 + x 1 + x

Többv´ altozós kifejezések parciális t¨ ortekre bont´ asát k¨ ul¨ onb¨ oz˝o v´ altozóra is kérhetj¨ uk: 1 +I G (I+ G + ( 2 2 x + y x + x y

148

3. Fejezetek a matematikáb´ ol # 1 + 2 y x + 1 + y x (1 + y)

# 1 ( 2 y 1 + x 1 + -( ) + x x x (1 + y)

A k¨ ovetkez˝o péld´ akkal a és a 4 f¨ uggvény m˝ uk¨ odését érzékeltetj¨ uk: A ! 4 + x -4 + x + -1 + x 1 + x ! : 2 (-2 + x) (2 + x) (-1 + x) (1 + x)

3.2.3. Komplex v´ altoz´ os kifejez´ esek Az el˝ oz˝o pontokban ismertetett f¨ uggvényekkel komplex sz´ amokat tartalmazó kifejezéseket is átalak´ıthatunk. A Mathematica ezekben az esetekben a v´ altozókat form´ alis szimb´ olumoknak tekinti, és a kijelölt m˝ uveletek végrehajt´ asa, valamint a lehetséges összevonások elvégzése után adja meg az eredményt. Sz¨ ukség¨ unk lehet azonban arra is, hogy kijel¨ olj¨ uk egy matematikai kifejezés val´ os, illetve képzetes részét. Ilyen feladatok megold´ asához a

4 f¨ uggvényt haszn´ alhatjuk. Pontosan meg kell azonban mondanunk azt, hogy melyik szimbólumot tekintj¨ uk val´ os változónak és melyiket komplexnek. A v´ altozók specifikál´ asának m´ odj´ at a program kész´ıt˝ oi a fenti f¨ uggvény második (opcion´ alis) argumentumának megad´ asával oldott´ ak meg. as kiértékelésénél a program a A 4 *=5K' , utas´ıt´ =5K' mindegyik szimbólumát valós változónak tekinti, és a kijelölt m˝ uveletek elvégzése után (val´ os rész) + i (képzetes rész) alakban prób´ alja megadni az eredményt:


149

A0 +4+ ' G 6 $! G 6 ' a c c

2

+ d

2

b d

+ c

2

+ d

2

b c

+ I ( c

2

+ d

2

a d

c

2

+ d

2

)

A0 +4+ ' " + G 6 ( Cosh[y] Sin[x] + I Cos[x] Sinh[y]

A 4 f¨ uggvény második argumentum´ aban kapcsos zár´ ojelek k¨ ozött sorolhatjuk fel azokat a szimb´ olumokat, amelyeket komplex v´ altozóknak tekint¨ unk. A fel nem t¨ untetett szimb´ olumokat a program val´ os változóknak tekinti: A0 +4+ ' G 6 $ I (b + Im[a]) + Re[a]

A0 +4+ ' 4+ 6 I Sin[Re[z]] Cos[Re[z]] + Im[z] Im[z] E E

A ' komplex v´ altozót val´ os paraméterekkel többféle módon is kifejezhetj¨ uk. A Mathematica alapértelmezésben a 9*', @ *', algebrai alakot használja. uggvény opció j´ anak (ennek leA 4 f¨ asáhetséges értékei: & , , 4K, , 9 és 6) megváltoztat´ altozót péld´ aul trigonometrikus alakban ´ıgy ´ırhatjuk fel: val a ' v´ ! A0 +4+ ' ! CJ #$ # Abs[z] (Cos[Arg[z]] + I Sin[Arg[z]])

Komplex sz´ am val´ os, illetve képzetes részét adja meg a program maguggvény. Komplex v´ altozós kifejezés val´ os, j´ aban meglev˝o 9, illetve f¨ illetve képzetes részének el˝o´ all´ıt´ asához az

&393 programcsomag ugyanilyen nev˝ u f¨ uggvényeit haszn´ alhatjuk: #$KE60K E Re[z] 2 2 Im[z] + Re[z]

150


Figyelj¨ uk meg, hogy ez a 9 f¨ uggvény '-t komplex v´ altozónak tekintette. Kétféleképpen is k¨ ozölhetj¨ uk azt a szándékunkat a Mathematic´ a val, hogy az szimbólumot tartalmazó kifejezéseket annak feltételezésével értékelje os v´ altozó. Erre az !6 bels˝o f¨ uggvényt (ennek r¨ ovid ki, hogy az val´ alakja a C jelsorozat) ´ıgy használhatjuk: 60 + I B

Ugyanezt az eredményt kapjuk az + - 60 + B

utas´ıt´ assal is (a $O jelsorozat a 6 bels˝o f¨ uggvény r¨ ovid alakja). Ha val´ os változó, akkor E G +I 2 2 -Im[a] + (x + Re[a])

Fentebb m´ ar szóltunk arr´ ol, hogy a 4 f¨ uggvény haszn´ alatakor hogyan jelezz¨ uk azt, hogy egy adott kifejezésben lev˝ o szimbólumok k¨ oz¨ ul melyiket gondoljuk val´ osnak és melyiket komplexnek. A változóknak ez a specifikáci´ o ja lok´ alis jelleg˝ u. Ezzel szemben az *',CM globális értékad´ as. Az elmondottakat az Euler-féle formula péld´ a j´ an illusztráljuk: A0 +4+ ' 4+ 6 Cos[t] + I Sin[t] E : Cos[Re[t]] Cosh[Im[t]] - Cos[Re[t]] Sinh[Im[t]]

A szimbólumot a 4 f¨ uggvény val´ os változónak, a 9 f¨ uggvény pedig komplexnek tekintette: 60 I B E Cos[t]

3.2.4. Trigonometrikus kifejez´ esek A Mathematica el˝oz˝o pontokban ismertetett f¨ uggvényei alapértelmezésben nem alkalmaznak trigonometrikus azonosságokat, mert a opció juk ér´ végignézni, hogy a szóban forg´ o f¨ uggvények val´ oban téke . ( Erdemes uggvényeknél a rendelkeznek a opcióval.) Ha ezeknél a f¨


151

2? opciót adjuk meg, akkor a program trigonometrikus azonoss´ agokat is felhaszn´ alva alak´ıtja a´t a beadott kifejezést. asára a Mathematica a k¨ ovetkez˝o m˝ uveleA 2? opció hat´ teket végzi el. El˝ oször a trigonometrikus kifejezést komplex exponenciális alakban ´ırja fel, ezut´ an hajtja végre a kijel¨ olt m˝ uveleteket. Az ´ıgy kapott eredményt vég¨ ul megpr´ ob´ alja trigonometrikus f¨ uggvényekkel kifejezni. uggvény alapértelmezésben is ´ıgy m˝ uk¨ odik, mert a A 65) f¨ opció értéke : 2 "0 *( {Trig -> True}

A lehet˝oségeket a következ˝o péld´ ak bemutat´ asával illusztráljuk: 4+ ' " +I G " +I 4+ ' : CJ {Sin[x]

2

Cos[4 x] 2 Cos[2 x] } + Sin[2 x] , 1 2 2

4+ ' " + A $ +I CJ ! : CJ Sin[a x - 2 b x] Sin[a x + 2 b x] Sin[a x] + + 2 4 4 2 Cos[b x] Sin[a x]

! " + G " ( CJ y x y x 2 Cos[ - ] Sin[ + ] 2 2 2 2

Felhaszn´ alhatjuk még az

&3)3 programcsomagban meglev˝o al´ abbi f¨ uggvényeket is:

4 Olvassuk be ezt a programcsomagot: #$K 0 (K

9 4

152


A 9 f¨ uggvény az add´ıci´ os tételekben kimondott azonoss´ agok k¨ ozvetlen felhaszn´ al´ asával alak´ıtja a´t a beadott kifejezést:

E'! " + G ( Cos[y] Sin[x] + Cos[x] Sin[y]

ugyanakkor a fentebb elmondottak miatt 4+ ' " + G ( CJ Sin[x + y]

A f¨ uggvény a szögek szinuszának (koszinusz´ anak stb.) o¨szszegére vonatkozó ismert azonoss´ agot alkalmazza, ezért ez az eljár´ as a

*=5K' . 2? , utas´ıt´ as eredményét˝ol eltér˝ o alakot is adhat:

! " + C " + -2 Cos[2 x] Sin[x]

! " + C " + CJ -2 (Cos[x] - Sin[x]) Sin[x] (Cos[x] + Sin[x])

Trigonometrikus kifejezéseket komplex exponenciális alakban ´ırhatunk uggvény seg´ıtségével. A ford´ıtott feladat megoldáfel a 4 f¨ ar´ ast használhatjuk: sához pedig a 4 elj´

A0 + " + G A + E -I -I x I x (-E + E ) + 2

-I x

+ E 2

I x

A0 + " + A + 4+ ' I 2 I x I -2 I x E E 4 4

A0 + : I Cos[2 x] + Sin[2 x] -I Cos[2 x] + Sin[2 x] + 4 4

"0 *( : Sin[2x] 2


153

3.2.5. Egy´ eb matematikai kifejez´ esek Ebben a pontban csup´ an érzékeltetni szeretnénk azt, hogy a Mathematica hogyan kezeli az el˝ oz˝o pontokba nem sorolhat´ o (péld´ aul irracion´ alis vagy transzcendens) kifejezéseket. El˝ oször azt a tényt emelj¨ uk ki, hogy a program sz´ amokat, illetve szimb´ olumokat tartalmazó kifejezések átalak´ıt´ asán´ al k¨ ul¨ onb¨ oz˝o t´ıpus´ u transzformáci´ os szabályokat (azonosságokat) alkalmaz. Ha egy beép´ıtett matematikai f¨ uggvény argumentum´ aban csak k¨ ozel´ıt˝ o numerikus érték szerepel, akkor a program a sz´ oban forg´ o kifejezést a 3.1.4. pontban jelzett m´ odon kiértékeli: # CQ C BQF 6 CQI "5 >Q {-2.61352, 0.5 + 0.866025 I, 2.23607}

Ha egy beép´ıtett matematikai f¨ uggvény argumentum´ aba pontos numerikus értéket vagy beép´ıtett matematikai álland´ ot ´ırunk, akkor néh´ any esetben a helyettes´ıtési érték egy másik (matematikai szempontb´ ol a megadottal ekvivalens) alakját kapjuk meg: "5 N % 4I #!" "5 Pi } {4, 2, 4

Itt is felh´ıvjuk az Olvas´ o figyelmét a 3.1.4. pontban az inverz f¨ uggvényekkel kapcsolatban elmondottak egy lényeges következményére. Alapértelmezésben a Mathematica számára péld´ aul √ √ 1 3 3 i −1 = + 2 2 és nem (−1), mivel A0 +4+ ' CI I 1 + Sqrt[3] 2 2

Pontos numerikus értékeket tartalmazó matematikai kifejezések átalak´ıt´ asán´ al a program bizonyos azonosságokat automatikusan alkalmaz: "5 > "5 5 4+ ' G "5 IF 13160704 + 7598336 Sqrt[3]

154

3. Fejezetek a matematikáb´ ol % 4I 3

A k¨ ovetkez˝o kifejezést azonban nem alak´ıtja a´t: % ) C % -Log[3] + Log[4]

A program szimb´ olumokat tartalmazó matematikai kifejezések kiértékelésénél automatikusan csak olyan azonosságokat haszn´ al fel, amelyek a szimbólumok minden komplex értéke esetén érvényesek. Ezt illusztrálj´ ak az al´ abbi péld´ ak: $I 4I+ 4I( 3 3 x + y {a b , E } "5 + ( {Sqrt[x y], % $ {Log[a b],

"5 + "5 ( Sqrt[x] Sqrt[y]}

% G % $

% I$ b Log[a] + Log[b], Log[a ]}

Az ut´ obbi két eredmény magyar´ azata az, hogy a √ √ √ xy = x y, log(ab) = log a + log b egyenl˝ oségek komplex számok esetén a´ltal´ aban nem érvényesek. Valóban: "5 C C {1, -1} % C C 2 {0, -Pi }

"5 C "5 C % C % C

Matematikai kifejezések átalak´ıt´ asához haszn´ alhatjuk a

0B bels˝o f¨ uggvényt, amely az (ab)c hatv´ anyt az ac bc szorzattal helyettes´ıti: &Y4+ ' $I! c c a b


155

&Y4+ ' "5 + ( Sqrt[x] Sqrt[y]

Vigy´ aznunk kell azonban arra, hogy csak olyan a, b, c paraméterek esetében alkalmazzuk ezt az eljár´ ast, amikor az (ab)c = ac bc egyenl˝ oség érvényes. El˝ ofordulhat, hogy az eddig ismertetett f¨ uggvényekkel egy adott kifejezést nem az igényeinknek megfelel˝ o alakban kapjuk meg. Ilyenkor péld´ aul transzform´ aci´ os szabályokat (l´ asd a 2.3.2. pontot) defini´ alhatunk, és ezeket a

9 (ennek r¨ ovid alakja: $H), vagy pedig a

99 (ennek r¨ ovid alakja: $$H) elj´ ar´ assal alkalmazhatjuk a sz´ oban forg´ o kifejezésre: % $ ! ' Q % +, (, CJ % + G % ( Log[a] + Log[b c d] % $ ! ' Q % +, (, CJ % + G % ( Log[a] + Log[b] + Log[c] + Log[d] + " +, CJ " + A + " G I Q + 2 2 2 Cos[(1 + t) ] Sin[(1 + t) ]

3.2.6. Nevezetes o ¨sszegek ´ es szorzatok Adott sz´ am´ u tagot (tényez˝ot) tartalmazó összeget (szorzatot) a

6 (0 ) bels˝o f¨ uggvénnyel számolhatunk ki:

156

3. Fejezetek a matematikáb´ ol "0 =I = LLN 2652690986

&'! + G = = ) (1 + x) (2 + x) (3 + x) (4 + x)

Igen sok esetben azonban olyan o¨sszegekre (szorzatokra) is kaphatunk zárt (pontos) formul´ at, amelyekben a tagok (tényez˝ok) számát szimbólummal adjuk meg. Ehhez ny´ ujt seg´ıtséget az

&36)&63 programcsomag 6 (0 ) f¨ uggvénye. Olvassuk be ezt a programcsomagot: #$K"(0$!"0K

és el˝oször néh´ any j´ ol ismert összeget határozzunk meg: "0 = = n (1 + n) 2 "0 =I = n (1 + n) (1 + 2 n) 6 "0 =I = 2 2 n (1 + n) 4

A k¨ ovetkez˝o péld´ aval a tov´ abbi lehet˝ oségeket illusztráljuk: "0 CI= S 0 = = B 2 n Pi n ] 4 Cos[ 3

A Mathematica tehát azt áll´ıtja, hogy n 2nπ k 2n n . (−3) = 4 cos 3 2k k=0

(Hogyan lehet ezt bebizony´ıtani?) uggvénnyel számos végtelen sornak a pontos összegét is Ezzel a 6 f¨ meghatározhatjuk. Péld´ aul:


157

"0 > G ) = G M =I = B 6 * ( Pi Log[2] 2 3 12 6 "0 =I = 6 * ( 2 Pi 6 "0 =IF = 6 * ( : B {Zeta[17], 1.6449340668482264365}

Trigonometrikus összegek kiszámolásához sz¨ ukség esetén be kell h´ıvni az

&3)3 programcsomagot. Péld´ aul a n

sin(kx)

k=1

összeget (a Dirichlet-magot) ´ıgy hat´ arozhatjuk meg a Mathematic´ a val:

E'!

"0 " = + = "0 *( n x (1 + n) x x ] Sin[ ] Csc[ ] Sin[ 2 2 2

A 6 f¨ uggvényhez hasonl´ o lehet˝oségekkel rendelkezik a 0 elj´ ar´ as is. Péld´ aul: &'! C = G >I = B 4 (6 + n) 5 (5 + n)

Ennek a f¨ uggvénynek a seg´ıtségével végtelen szorzatokat is meghatározhatunk. A Wallis-formul´ at péld´ aul ´ıgy kaphatjuk meg: &'! ) = G = G =I = 6 * ( Pi 4

A 6 és a 0 k¨ uls˝ o f¨ uggvénybe beép´ıtett algoritmusok (lásd [2]) elméleti alapj´ at Gauss, Saalschutz, Kummer é s Dixon klasszikus tételei képezik. Ezek az eredmények azt áll´ıtj´ ak, hogy a ak (véges vagy végtelen) összeg kifejezhet˝o a hipergeometrikus f¨ uggvényekkel azokban az esetekben, anyados a k index racion´ alis t¨ ortf¨ uggvénye. amikor az ak+1 /ak h´

158


3.3. Egyenletek megold´ asa Line´ aris egyenletrendszerek megoldásával a 3.8., differenci´ alegyenletekkel pedig a 3.5. szakaszban foglalkozunk. Ebben a szakaszban a programnak azokat a f¨ uggvényeit ismertetj¨ uk, amelyeket egyéb matematikai f¨ uggvényeket tartalmaz´ o egyenletek és egyenletrendszerek megoldásán´ al haszn´ alhatunk. Egyenletek pontos megold´ as´ at a

9 9

6 6 B)

bels˝o f¨ uggvényekkel áll´ıthatjuk el˝ o abban az esetben, ha a bemen˝ o adatok a szimbolikus v´ altozókon k´ıv¨ ul csup´ an pontos numerikus értékeket vagy beép´ıtett matematikai álland´ okat tartalmaznak. Ha a bemen˝o adatok valamelyike explicit tizedesponttal megadott szám, akkor az imént felsorolt f¨ uggvények numerikus módszerek alkalmazásával adj´ ak meg a pontos megoldás egy k¨ ozel´ıt˝ o értékét. Szintén numerikus m´ odszert alkalmazva hat´ aroznak meg közel´ıt˝ o megoldásokat az alábbi f¨ uggvények:

9 9

6

A Mathematica egyenletmegoldó algoritmusai a változókat és a paramétereket komplex számoknak tekintik, és alapértelmezésben a megadott egyenlet komplex megoldásait keresik.

3.3.1. Az utas´ıt´ asok szintaxisa A Mathematica logikai a´ll´ıt´ asnak tekinti az egyenleteket, ezért ezeket a uk. Az matematikában megszokott helyett a szimbólummal jelölj¨ x2 + x = 2 egyenletet a Mathematic´ a ban teh´ at ´ıgy adjuk meg: +I G +

3.3. Egyenletek megold´ asa

159

Adott komplex szám esetén a fenti utas´ıt´ as eredménye vagy att´ ol f¨ ugg˝ oen, hogy megoldása-e a szóban forg´ o egyenletnek: +I G + Q + CJ C + CJ ) {True, False}

• Egyismeretlenes egyenletek Egy ismeretlent tartalmazó egyenlet komplex megoldásait a

6*). , alakban megadott utas´ıt´ assal kaphatjuk meg. (A m´ asodik argumentum ki´ır´ asa nem kötelez˝o.) Péld´ aul: ( +I C + G B "1 ( + {{x ->

4 + 2 Sqrt[3] 4 -2 Sqrt[3] }, {x -> }} 2 2

A fenti utas´ıt´ assorozat els˝ o sora azt jelenti, hogy az egyenlet¨ unknek az )+ nevet adtuk. A továbbiakban az egyenletre ezzel a változóval hivatkozhatunk. Az elnevezés természetesen nem kötelez˝o, de sok esetben hasznos lehet. A kapott eredményt ´ıgy egyszer˝ us´ıthetj¨ uk: 0' "0 *( : {{x -> 2 - Sqrt[3]}, {x -> 2 + Sqrt[3]}}

és visszahelyettes´ıtéssel ´ıgy ellen˝ orizhetj¨ uk: ( Q : "0 *( : {True, True}

Figyelj¨ uk meg, hogy a 6 f¨ uggvény listák listá j´ aval és transzformációs szabályokkal adja meg a megoldásokat, amelyekre a további m˝ uveletekben kétféle módon hivatkozhatunk. Az els˝ o lehet˝oség az, hogy ugyanazt a v´ altozónevet használjuk egy kifejezésben, mint az egyenletben, és a megold´ ast transzform´ aci´ os szabályként alkalmazzuk:

160

3. Fejezetek a matematikáb´ ol >+I) G + Q 0' 4 {3 (2 - Sqrt[3]) + 5 (2 - Sqrt[3]) , 4 3 (2 + Sqrt[3]) + 5 (2 + Sqrt[3]) }

4+ ' : {491 - 283 Sqrt[3], 491 + 283 Sqrt[3]}

(Mivel t¨ obb gy¨ oke van az egyenletnek, ezért az eredmény egy lista.) A másik lehet˝oség pedig az, hogy az eredményt kifejezésnek tekintve kiválasztjuk annak megfelel˝ o részét a szok´ asos módon: az adott részhez vezet˝o indexek egy sorozatával (lásd a 2.3.1. pontot): + 0'

2 - Sqrt[3] + 0'

2 + Sqrt[3]

A f¨ onti péld´ aban a v´ altozón és a m˝ uveleti jeleken k´ıv¨ ul csak pontos uggvénybe numerikus értékek szerepelnek. Az ilyen esetekben a 6 f¨ beép´ıtett algoritmus az egyenlet pontos megoldásait keresi. Ha az egy¨ utthat´ ok valamelyikét közel´ıt˝ o numerikus értékkel (tehát a tizeuggvény numerikus despont explicit ki´ır´ asával) adjuk meg, akkor a 6 f¨ módszer felhasznál´ asával hat´ arozza meg a pontos megoldás egy közel´ıt˝ o értékét: ( +I C Q+ G B "1 ( + {{x -> 0.267949}, {x -> 3.73205}}

Ugyanezt az eredményt kapjuk akkor is, ha az bels˝o f¨ uggvényt alkalmazzuk a pontos megold´ asra: 0' {{x -> 0.267949}, {x -> 3.73205}}

Többsz¨ or¨ os gyök¨ ot a Mathematica annyiszor sorol fel, amennyi annak a multiplicit´ asa: "1 +I C + G B + {{x -> 1}, {x -> 1}}

A program u ¨res listával (transzform´ aci´ os szabályok u ¨res halmaz´ aval) jelzi azt a tényt, hogy a beadott egyenletnek nincs komplex megold´ asa:


161

"1 + +C G + + G B + {} "1 "5 +CM G "5 + + {}

Ha az egyenletnek végtelen sok megoldása van, akkor u ¨res listát tartalmazó listát kapunk eredmény¨ ul (hiszen ilyenkor megszor´ıt´ ast nem tartalmazó transzform´ aci´ os szabály az eredmény): "1 + G I +I G + G + {{}} "1 +C C )C+ +C + {{}}

A 9 bels˝o f¨ uggvény logikai a´ll´ıt´ as form´ aj´ aban adja meg egy egyenlet megoldását: E +I G + + -3 + Sqrt[17] -3 - Sqrt[17] || x == x == 2 2

Ebb˝ ol a 9 f¨ uggvénnyel transzform´ aci´ os szabályt le´ır´ o listákat kapunk:

E : Sequence[{x ->

-3 - Sqrt[17] -3 - Sqrt[17] }, {x -> }] 2 2

Ha a 6 f¨ uggvény nem tal´ alja meg a kért egyenlet pontos megoldását, akkor ezt ´ıgy jelzi: "1 +I> G >+ G B + 5 {ToRules[Roots[5 x + x == -1, x]]}

• Felt´ etelek megad´ asa uggvény els˝o argumentum´ aba be´ırhatunk egyenleteket tartalmaA 6 f¨ zó logikai kifejezéseket is: "1 +I + // + ; B + {{x -> -1}, {x -> 1}}

162

3. Fejezetek a matematikáb´ ol "1 +I + // + ; << +I + {{x -> -1}, {x -> 0}, {x -> -Sqrt[2]}, {x -> Sqrt[2]}}

Egész egy¨ utthat´ os polinomegyenlet gyökeit a Zp véges számtestben a

# feltétel megadása esetén kaphatjuk meg: "1 +I> G N+I) G F+I G F+I G + G > B // ' L + {{Modulus -> 19, x -> -18}, {Modulus -> 19, x -> -16}, {Modulus -> 19, x -> -12}, {Modulus -> 19, x -> -7}, {Modulus -> 19, x -> -1}}

Ha modulust nem adunk meg, akkor a 6 f¨ uggvény harmadik aralva a Mathematica olyan gumentum´ aban a # 2?# opciót haszn´ modulust is keres, amelyre vonatkoz´ oan a megadott egyenleteknek van k¨ ozös megoldása: "1 +I G B +I G B + ' CJ ' {{Modulus -> 2, x -> -1}}

• Param´ etert tartalmaz´ o egyenletek Az egyenlet ismeretlenét˝ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝o szimbólumokat a program komplex uggvény a paraméterek vizsgálat´ aval nem paraméternek tekinti. A 6 f¨ foglalkozik: "1 + G $ B + b {{x -> -( )}} a

Sz´ amos, paraméter(eke)t is tartalmazó egyenlet matematikai szempontb´ ol korrekt megold´ asait adja meg a

9 *). , utas´ıt´ as, azaz a paraméter(ek) o¨sszes lehetséges értékét figyelembe véve ( diszkusszióval egy¨ utt”) kapjuk meg az egyenlet megold´ asát: ” E'! + G $ B + b b == 0 && a == 0 || a != 0 && x == -( ) a


163

Hasonl´ıtsuk o¨ssze péld´ aul a k¨ ovetkez˝o két utas´ıt´ as eredményét: "1 +I G $ + G ! B + E'! +I G $ + G ! B +

• Egyenletrendszerek uggvénnyel számos egyenletrendszer A 6, a 9 és a 9 bels˝o f¨ komplex megold´ asait is el˝o tudjuk a´ll´ıtani. A Mathematica egyik legalapvet˝obb adatszerkezetének, a listának a felhaszn´ al´ asával ezt a szándékunkat ´ıgy k¨ ozölhetj¨ uk a programmal: "1 +I G (I G I L) + G ( G ) + ( G + )> + ( {{y -> 2, z -> 3, x -> 9}, {y -> 3, z -> 2, x -> 9}, 9 - Sqrt[57] 9 + Sqrt[57] {y -> , z -> , x -> 5}, 2 2 9 - Sqrt[57] 9 + Sqrt[57] , z -> , x -> 5}} {y -> 2 2

Az egyenleteket logikai jelekkel is összekapcsolhatjuk: "1 + G ( // + C ( + ( 1 3 {{x -> , y -> - }} 2 2 "1 + G ( << + C ( + ( Solve::svars: Warning: Equations may not give solutions for all "solve" variables. {{x -> 1 - y}, {x -> 2 + y}}

3.3.2. Egyenletek pontos megold´ asa K¨ ul¨ onb¨ oz˝o t´ıpus´ u egyenletek pontos megoldásainak explicit el˝ oáll´ıt´ asát számos matematikai eredmény korl´ atozza. Ebben a pontban ezek felidézése mellett ismertetj¨ uk a Mathematica program a´ltal ny´ ujtott lehet˝ oségeket. Egyenletek matematikai le´ır´ asának egy lehetséges módja a k¨ ovetkez˝o. Legyen A és B nem u ¨res halmaz, és tekints¨ uk az f : A → B f¨ uggvényt. Adott b ∈ B esetén hat´ arozzuk meg a M := {x ∈ A : f (x) = b}

(1)

164


halmazt. Erre a feladatra gyakran u ´gy hivatkozunk, hogy oldjuk meg az ” f (x) = b ?(x ∈ A) (2) egyenletet”. Ha x ∈ M , akkor x-et a (2) egyenlet megold´ as´ anak (vagy gy¨ okének), az M halmazt pedig a (2) megold´ ashalmaz´ anak nevezz¨ uk. A (2) egyenletnek nincs megold´ asa, vagy az egyenlet nem oldható meg, ha M az u ¨res halmaz. Egyértelm˝ u a megold´ as, ha az M halmaz egyelem˝ u. Ilyen a´ltal´ anos feltételek mellett a megoldáshalmazr´ ol vajmi kevés mondhat´ o. Sz´ amos (több esetben mély) matematikai eredmény ismeretes k¨ ul¨ onb¨ oz˝o speciális m´ odon megv´ alasztott A, B halmaz és f f¨ uggvény esetében. • Polinomegyenletek A Mathematica jelenlegi v´ altozatai polinomokat tartalmaz´ o egyenletek és egyenletrendszerek megoldásainak el˝ oa´ll´ıt´ asához ny´ ujtj´ ak a legt¨ obb seg´ıtséget. uk el˝ oször az egy ismeretlent tartalmazó egyenleteket, azaz legyen Tekints¨ A := B := C és n ak xk (x ∈ C, ak ∈ C, n ∈ N) p(x) := k=0

adott algebrai polinomf¨ uggvény. Az algebra alaptétele” szerint a ” p(x) = 0

?(x ∈ C)

(3)

egyenletnek pontosan annyi gy¨ oke van, amennyi a p polinom fokszáma, ha minden gy¨ okét annyiszor szám´ıtjuk, amennyi a multiplicit´ asa. Ismeretes, hogy tetsz˝oleges, legfeljebb negyedfok´ u polinom komplex gy¨ okeinek explicit el˝o´ all´ıt´ asára van (megold´ o)képlet, azaz a (3) egyenlet megold´ asait fel lehet ´ırni a p polinom egy¨ utthat´ oival az alapm˝ uveletek és a gy¨ okvon´ as véges sokszori alkalmaz´ asával. ´ Erdemes kipr´ ob´ alni, hogy ezeket a megold´ oképleteket a Mathematica is ismeri, ezért seg´ıtségével bármely, legfeljebb negyedfok´ u polinomegyenlet komplex megoldásait el˝o tudjuk a´ll´ıtani. Tekints¨ uk péld´ aul a k¨ ovetkez˝o feladatot. Jel¨ olje x1 , x2 , x3 az x3 +px+q = 0 egyenlet gyökeit. Bizony´ıtsuk be, hogy x51 + x52 + x53 = 5pq.


165

Egy lehetséges megoldás: 0' "1 +I + 0'

+ 0'

+ 0'

+I> G +I> G +I> "0 *( :

@ : 5 p q

G + G 5 B +

Mutatunk egy m´ asik megoldást is: # ( & +I> Q ./ 0' "0 *( :

@ : 5 p q

A Galois-elmélet egyik mély eredménye azt áll´ıtja, hogy négynél magasabb foksz´ am´ u polinom gy¨ okeinek explicit el˝ oáll´ıt´ asára nincs a´ltal´ anos megold´ oképlet. Ez az eredmény nem z´ arja ki annak lehet˝ oségét, hogy minden n-edfok´ u n ≥ 5 egyenletnek legyen (esetleg egyenletr˝ol egyenletre v´ altozó) gy¨ okképlete. Bebizony´ıthat´ o azonban az is, hogy tetsz˝ oleges n ≥ 5 természetes számhoz létezik olyan n-edfok´ u, egész egy¨ utthat´ o j´ u polinom, amelyhez a fenti értelemben nincs megoldóképlet. Ilyen péld´ aul az x5 − 4x+ 2 = 0 egyenlet is. uggA fenti negat´ıv jelleg˝ u eredmények ellenére a 6 és a 9 f¨ vény számos, négynél magasabb fokszám´ u polinomegyenlet pontos megold´ asát képes el˝oa´ll´ıtani. Ilyenkor a program a matematik´ aban megszokott uggvénybe módszert követi. Egyrészt az adott polinomot a bels˝o f¨ beép´ıtett algoritmusok (lásd a 3.2.1. pontot) felhaszn´ al´ asával megpr´ ob´ alja alacsonyabb foksz´ am´ u tényez˝ok szorzatára felbontani. M´ asrészt alacsonyabb foksz´ am´ u polinomok kompoz´ıci´ o jaként igyekszik el˝oáll´ıtani a megadott polinomot, azaz u ´j v´ altozó bevezetésével csökkenti annak foksz´ amát. uggvény ehhez a 7 bels˝o f¨ uggvénybe beA 6 és a 9 f¨ ép´ıtett algoritmusokat (lásd a 3.1.3. pontot) h´ıvja meg. Pr´ ob´ aljuk ki péld´ aul a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ asokat: "1 +I> C >+I) G M>+I C >+I G F)+ C B B + "1 +IN G CR+I> G CR+I) G CR+I CR+I G CR+ G C B +

Az x5 − 4x + 2 = 0 egyenlet megold´ asaira nincs megoldóképlet. Így nem meglep˝o, hogy a Mathematica sem áll´ıtja el˝ o a gy¨ ok¨ oket:

166

3. Fejezetek a matematikáb´ ol "1 +I> C )+ G B + 5 {ToRules[Roots[x - 4 x + 2 == 0, x]}

Néh´ any esetben bizonyos megold´ asokat megkapunk, másokat pedig nem. Péld´ aul: +IBC+ILC+IMG+IFG+I)C+ICF+IG+G "1 B + {{x -> 1}, {x -> -Sqrt[3]}, {x -> Sqrt[3]}, 7 ToRules[Roots[2 x + x == -1, x]]}

Vannak azonban olyan polinomegyenletek is, amelyeknek gy¨ okjelekkel kifejezhet˝o megoldásait a Mathematica nem találja meg. A [89] referenciak¨ onyv 609. oldal´ an is tal´ alhatunk egy ilyen péld´ at: ( +IN C L+I) C )+I G F+I C N+ C B "1 ( + 2 3 4 6 {ToRules[Roots[-36 x + 27 x - 4 x - 9x + x == 23, x]]}

Ennek az egyenletnek azonban

√ 3

2+

√

3 egyik gy¨ oke. Val´ oban:

( Q + CJ I G "5 "0 *( : True

Az &349 3 programcsomagban lév˝o

49 f¨ uggvénnyel val´ os egy¨ utthat´ os polinom adott intervallumba es˝o val´ os gyökeinek a számát hat´ arozhatjuk meg. Ez az elj´ ar´ as a Sturm-féle módszert alkalmazza: A E +I C + B 1

A E +I) C +I + C 2

A E +I> G +I) G +I C )+I C + C> + B 6 * ( 1


167

• Egy´ eb egyenletek Nincs által´ anosan haszn´ alhat´ o m´ odszer nem polinomokat tartalmaz´ o egyenletek pontos megoldásainak az el˝oáll´ıt´ asára. Ennek ellenére a Mathematica 6 és 9 függvénye néhány ilyen egyenlet szimbolikus megoldására is képes. Emlékeztet¨ unk arra, hogy az egyenletmegold´ o algoritmusok által´ aban a komplex megoldásokat pr´ ob´ alj´ ak el˝oa´ll´ıtani. Felh´ıvjuk a figyelmet arra is, hogy a program a´ltal adott eredményt célszer˝ u ellen˝ orizni. A matematik´ aban megszokott módon j´ arhatunk el akkor, amikor a fentebb megeml´ıtett elj´ ar´ asok nem tudj´ ak meghatározni a beadott egyenlet gy¨ okeit. Nevezetesen: a program egyéb f¨ uggvényeinek felhaszn´ al´ asával az egyenletet sokszor olyan alakra hozhatjuk, amelyr˝ ol a megoldás már egyszer˝ uen leolvashat´ o. Néh´ any példa bemutat´ asával illusztráljuk a Mathematica által ny´ ujtott lehet˝oségeket. Vegy¨ unk el˝ oször egy négyzetgy¨ ok¨ ot tartalmazó egyenletet: "1 "5 + G G "5 + + 9 }} {{x -> 16

Az egyenletnek val´ oban 9/16 az egyetlen komplex megoldása. A következ˝o számolások felhasznál´ asával lehet ezt bebizony´ıtani: "5 + G I C 4+ ' C "5 +I -3 + 4 Sqrt[x] "1 : B + 9 }} {{x -> 16 "5 LN G G "5 LN 2

A 6 f¨ uggvény u ¨res listát ad eredmény¨ ul, ha az egyenletnek nincs (komplex) megold´ asa. Péld´ aul: "1 "5 + C M G "5 + + {}

Ezt az eredményt péld´ aul ´ıgy ellen˝ orizhetj¨ uk: "5 + C MI C 4+ ' C "5 +I -12 + 4 Sqrt[x]

168

3. Fejezetek a matematikáb´ ol "1 : B + {{x -> 9}}

"5 L C M G "5 L 4

Oldjuk most meg a k¨ ovetkez˝o trigonometrikus egyenletet: sin4 x + sin4 2x + sin4 3x = cos4 x + cos4 2x + cos4 3x

?(x ∈ R).

uggvény nem ad seg´ıtséget. Rendezz¨ uk a bal Ebben az esetben a 6 f¨ oldalra az egyenletet és az ´ıgy kapott kifejezést prób´ aljuk meg szorzattá alak´ıtani: $ " +I) G " +I) G " +I) C A +I) C A +I) C A +I) ! $ CJ -((1 + 2 Cos[2 x]) (Cos[2 x] - Sin[2 x]) (Cos[2 x] + Sin[2 x]))

Az eredeti egyenlet M megoldáshalmaza teh´ at egyenl˝o a fenti tényez˝ok val´ os zérushelyeit tartalmaz´ o halmazok (jel¨ olj¨ uk ezeket rendre az M1 , az uk az els˝o tényez˝o M2 , illetve az M3 szimbólummal) egyes´ıtésével. Nézz¨ zérushelyeit: "1 G A + B + Solve::ifun: Warning: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found. Pi }} {{x -> 3

Figyelj¨ uk meg, hogy a 6 elj´ ar´ as a végtelen sok megoldás köz¨ ul csak egyet ad meg. A cos f¨ uggvény periodicit´ asát figyelembe véve az els˝o tényez˝o val´ os zérushelyeinek a halmaza: M1 = {(3k ± 1)π/3 : k ∈ Z}. A második, illetve a harmadik tényez˝o zérushelyeinek a halmaza a "1

+ + Solve::ifun: Warning: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found. Pi }} {{x -> 8


169

"1

+ C + Solve::ifun: Warning: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found. Pi {{x -> - }} 8

alapj´ an π π π π + k : k ∈ Z}, illetve M3 = { − + k : k ∈ Z}. 8 2 8 2 Az egyenlet megold´ ashalmaza teh´ at: π π M = M1 ∪ M2 ∪ M3 = {(2k + 1) : k ∈ Z} ∪ {(3k ± 1) : k ∈ Z}. 8 3 Nézz¨ unk egy péld´ at logaritmust tartalmazó egyenletre. Meghatározzuk a M2 = {

1 logx (2t − x) logt x + = logx 2 logt 2 logt2 −1 2

?(x ∈ R)

egyenlet gyökeit, ahol t val´ os paraméter. A val´ os logaritmusf¨ uggvény√tulajdons´ agaib´ ol k¨ ovetkezik, hogy az egyenletnek csak a t ∈ (1, +∞) \ { 2} paraméterérték esetén lehet valós megold´ asa. Az x megoldásnak pedig ki kell elég´ıtenie az x > 0, az x = 1 és a 2t − x > 0 feltételeket. uggvény nem tudja megoldani ezt az egyenletet, A 6 és a 9 f¨ ezért el˝oször a´talak´ıt´ asokat végz¨ unk: =* % + C+% + G% +% C % IC 2 Log[2 t - x] Log[x] Log[-1 + t ] ) + + -( Log[2] Log[2] Log[2] =* @ =* 2 -Log[-1 + t ] + Log[2 t - x] + Log[x] Log[2]

A Mathematica logaritmusok összegét, illetve k¨ ul¨ onbségét nem alak´ıtja a´t automatikusan szorzat, illetve h´ anyados logaritmus´ ara, mert a log a + log b = log ab egyenl˝ oség a komplex számtestben nem érvényes (lásd a 3.2.5. pontot). A tett feltételek mellett azonban fenn´ all a fenti egyenl˝ oség. Ha ezt alkalmazni szeretnénk, akkor egy transzform´ aci´ os szabályt kell defini´ alnunk:

170

3. Fejezetek a matematikáb´ ol @( ,Q % $, G !,Q % $, CJ % $I 'I! a c {Log[b_] (a_.) + Log[d_] (c_.) -> Log[b d ]}

A 6 elj´ ar´ assal ´ıgy kaphatjuk meg a megold´ asokat: "1 =* B + Q @( "0 *( : Solve::tdep: The equations appear to involve transcendental functions of the variables in an essentially non-algebraic way. {{x -> -1 + t}, {x -> 1 + t}}

Az egyenlet megold´ asa teh´ √ at x = t ± 1. Az x > 0 és a 2t − x > 0 feltétel ul, az x = 1 feltétel pedig csak minden t ∈ (1, +∞) \ { 2} esetén teljes¨ akkor, ha t = 2. A t = 2 esetben az egyenletnek egyetlen megoldása: x = 3. A Mathematic´ a t meg lehet tan´ıtani bizonyos f¨ uggvényegyenletek megold´ asára is. Az érdekl˝od˝ o Olvas´ o figyelmét felh´ıvjuk az ezzel a témával kapcsolatos [15] dolgozatra. • Egyenletrendszerek uggvény a Gr¨ obner-b´ azisok elméletét alkalmazza polinomokat A 6 f¨ tartalmazó egyenletrendszerek megoldásán´ al. A 3.2.1. pont Gr¨ obner-b´ azisok c´ım˝ u alpontj´ aban bevezetett jelöléseket és fogalmakat ebben az alpontban tov´ abbi hivatkoz´ as nélk¨ ul fogjuk haszn´ alni. Legyen n r¨ ogz´ıtett természetes szám, és keress¨ uk a P := {p1 , · · · , pk } ⊂ Q[x] polinomokkal képzett pi (x1 , x2 , · · · , xn ) = 0

(1 ≤ i ≤ k)

(1)

egyenletrendszer komplex megoldásait. Rögz´ıts¨ unk egy alkalmas ≤ rendezési reláci´ ot a 3.2.1. pontban defini´ alt T al (≤-re vonatkoz´ o) halmazon, és legyen G := {g1 , · · · , gl } ⊂ Q[x] a (P ) ide´ Gr¨ obner-b´ azisa. Mivel a G ´ altal gener´ alt ide´ al megegyezik a P halmaz által generált ide´ allal, ezért az (1) egyenletrendszer megoldáshalmaza egyenl˝ oa gi (x1 , x2 , · · · , xn ) = 0

(1 ≤ i ≤ l)

(2)

egyenletrendszer megoldáshalmazával. Ha az (1) egyenletrendszer lineáris, akkor a Gauss-féle elimin´ aci´ os eljár´ assal kaphatunk egy vele ekvivalens, h´ aromszög alak´ u” (és ezért egysze” r˝ uen megoldhat´ o) egyenletrendszert.


171

B. Buchberger [14] ezt a módszert által´ anos´ıtotta arra az esetre, amikor uggvények polinomok. J´ ol haszn´ alhat´ o algoritmust a pi (i = 1, 2, · · · , k) f¨ is adott az (1) rendszerrel ekvivalens, h´ aromszög alak´ u” (2) egyenletrend” szer megkonstruál´ asára. Bebizony´ıtotta azt is, hogy minden P ⊂ Q[x] véges halmazhoz létezik ilyen G polinomrendszer (ezt nevezte el Gröbner-b´ azisnak), amelynek seg´ıtségével (a lineáris esethez hasonlóan) megállap´ıthat´ o a megoldás létezése és egyértelm˝ usége, valamint el˝oáll´ıthat´ o a megoldás is. Az elmondottakat a következ˝o péld´ ak bemutat´ asával illusztráljuk. Oldjuk meg el˝ oször a C2 halmazon a k¨ ovetkez˝o egyenletrendszert: xy − x − y = 22, 2

2

x + y + 3(x + y) = 88.

(3)

Sz´ am´ıtsuk ki el˝ oször a (3) egyenletrendszernek megfelel˝o (P ) ide´ al G Gr¨ obner-b´ azis´ at: O$ S + ( C + C ( C +I G (I G + G ( C MM + ( 2 3 4 {330 + 286 y - 89 y + y + y , 2 3 176 + 23 x - 87 y + 2 y + y }

Mivel (P ) = (G), ezért a 23x − y 3 + 2y 2 − 87y = −176, y 4 + y 3 − 89y 2 + 286y = −330 egyenletrendszer ekvivalens a (3) egyenletrendszerrel, és ez utóbbi m´ ar k¨ ozvetlen¨ ul megoldhat´ o. uggvény a (3) egyenletrendszert: Ezzel a módszerrel oldja meg a 6 f¨ "1 + ( C + C ( C B +I G (I G + G ( C MM B + ( "0 *( : 11 + I Sqrt[11] 11 - I Sqrt[11] , y -> }, 2 2 11 - I Sqrt[11] 11 + I Sqrt[11] , y -> }, {x -> 2 2 {x -> -6 - Sqrt[26], y -> -6 + Sqrt[26]},

{{x ->

{x -> -6 + Sqrt[26], y -> -6 - Sqrt[26]}}

Bebizony´ıthat´ o az, hogy ha az (1) egyenletrendszernek véges sok megold´ asa van, akkor a megfelel˝o Gr¨ obner-b´ azissal kapott (2) egyenletrendszer

172


h´ aromszög alak´ u”. Ilyen esetekben a Mathematica akkor tudja meghat´ a” rozni a kért egyenletrendszer pontos gyökeit, ha meg tudja oldani a megfelel˝ o (most már egyváltozós) polinomegyenleteket. A Gr¨ obner-b´ azisok seg´ıtségével sz¨ ukséges és elégséges feltétel adhat´ o az (1) egyenletrendszer megoldásainak létezésére. Az erre vonatkoz´ o áll´ıt´ as (l´ asd péld´ aul [28], Theorem 10.11) a k¨ ovetkez˝o: az (1) egyenletrendszer akal G Gr¨ obnerkor és csak akkor oldhat´ o meg a Cn halmazon, ha a (P ) ide´ uggvény b´ azisa nem tartalmazza az 1 polinomot. Ilyen esetekben a 6 f¨ u ¨res listát ad eredmény¨ ul: "1 +I ( G ) (I C F B + ( C (I G M B + (I C > + ( G B + ( {}

Sz´ amoljuk most ki a megfelel˝o Gr¨ obner-b´ azist is: O$ S +I ( G ) (I C F + ( C (I G M + (I C > + ( G + ( {1}

A megoldások egyértelm˝ uségére vonatkozóan a k¨ ovetkez˝o áll´ıt´ as bizony´ıthat´ o be (l´ asd péld´ aul [28], Theorem 10.12). Jel¨ olj¨ uk a H szimb´ olummal az 1 rendszerhez tartoz´ o (P ) ide´ al G Gr¨ obner-b´ azis´ aban szerepl˝ o f˝ otagok halmaz´ at. Ekkor az (1) egyenletrendszernek pontosan akkor van véges sok megold´ asa, ha minden 1 ≤ i ≤ n indexhez létezik olyan m természetes sz´ am, hogy (xi )m ∈ H. Ezt felhaszn´ alva bizony´ıthajuk be péld´ aul azt, hogy az 2xy + yz = 27, 3yz − 2xz = 25, xz − xy = 4 egyenletrendszernek véges sok megoldása van, ugyanis: O$ S + ( G ( C F ( C + C > + C + ( C ) + ( 2 {-25 + z , 5 y - 3 z, 5 x - 2 z}

A 6 f¨ uggvény meghat´ arozza a gyök¨ oket: "1 + ( G ( C F B ( C + C > B + C + ( C ) B + (


173

{{x -> -2, y -> -3, z -> -5}, {x -> 2, y -> 3, z -> 5}}

Tekints¨ uk most a k¨ ovetkez˝o egyenletrendszert: zx + yx − x + z 2 = 2, xy 2 + 2zx − 3x + z + y = 1, 2

2

(4)

3

2z + zy − 3z + 2zy + y − 3y = 0. uggvény seg´ıtségével. A Mathematica Pr´ ob´ aljuk megoldani ezt a 6 f¨ 2.2.2. változat´ aval mi ezt az eredményt kaptuk: "1 + G ( + C + G I C + (I G + C + G I G (I C G + ( Solve::svars: Warning: Equations may not "solve" variables. Out of memory. Exiting.

B G ( C B ( G (I C ( B

give solutions for all

Ez azt jelenti, hogy a 6 elj´ ar´ as nem tudta megoldani a (4) egyenletet. Határozzuk meg a (4) egyenletrendszerhez tartozó Gr¨ obner-b´ azist: O$ S + G ( + C + G I C + (I G + C + G G ( C I G (I C G ( G (I C ( + ( 2 3 4 5 6 {-10 + 8 z + 15 z - 8 z - 7 z + 2 z + z , 2 3 4 5 + y - 3 z - 5 z + 2 z + z , 2 2 4 -4 - 2 x + 4 z + x z - z }

A kor´ abban kimondott a´ll´ıt´ ast figyelembe véve ebb˝ol az eredményb˝ ol azt kapjuk, hogy a sz´ oban forg´ o egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. A fenti Gr¨ obner-b´ azis seg´ıtségével fel´ırhatjuk a (4) rendszerrel ekvivalens h´ aromszög alak´ u” egyenletrendszert is: ” −2x + 4z 2 + xz 2 − z 4 = 4, y − 3z − 5z 2 + 2z 3 + z 4 = −5, 2

3

4

5

6

8z + 15z − 8z − 7z + 2z + z = 10, ar´ as már meg tud oldani: amit a 6 elj´ ( :

B :

B :

B "1 ( + (

(5)

174

3. Fejezetek a matematikáb´ ol "@ : Solve::svars: Warning: Equations may not give solutions for all "solve" variables. {{y -> 1 - Sqrt[2], z -> Sqrt[2]}, <<7>>}

A kapott ol és az (5) els˝o egyenletéb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy az √ √eredményb˝ armas minden x ∈ C esetén kielég´ıti (4)-et, aminek (x, 1 − 2, 2) számh´ teh´ at végtelen sok megoldása van. A program ebben az esetben csak néh´ any (véges sok) gy¨ ok¨ ot ad meg, és figyelmeztet benn¨ unket arra, hogy lehetnek más megoldások is. ar´ as paramétert tartalmazó egyenletrendszer gyökeit diszA 9 elj´ ” kusszióval egy¨ utt” adja meg. Péld´ aul: E'! R G +R( + C ( G + G ( G + ( B + ( "0 *( : 1 x == -3 && y == - && a == -1 || 2 1 x == - && y == -3 && a == 1 || 2 -1 + a != 0 && 1 + a != 0 && 2 -(2 + a + Sqrt[-4 + 5 a ) && x == 2 (1 + a) 2 2 - a + Sqrt[-4 + 5 a y == || 2 (-1 + a) -1 + a != 0 && 1 + a != 0 && 2 -2 - a + Sqrt[-4 + 5 a && x == 2 (1 + a) 2 2 - a - Sqrt[-4 + 5 a y == 2 (-1 + a)

Paramétereket tartalmazó egyenletrendszereket a paraméterekre oldja meg a

6 B) f¨ uggvény. Pontosabban: ez az elj´ ar´ as a paraméterek azon értékeit keresi, amelyekre a megadott feltételek a változók minden lehetséges komplex értékére teljes¨ ulnek.


175

Határozzuk meg péld´ aul az a, b és c ∈ C paramétereket u ´gy, hogy az oség teljes¨ ulj¨ on minden olyan (x, y) ∈ C2 számax2 + bxy + cy 2 = 1 egyenl˝ p´ arra, amelyre az x + y = 1 is fenn´ all. A feladatot a Mathematic´ a val ´ıgy oldhatjuk meg: "1#Y(

60 + G ( +I G $ + ( G ! (I + ( {{a -> 1, b -> 2, c -> 1}}

Oldjuk meg a k¨ ovetkez˝o feladatot is. Jelölj¨ uk a 3x2 + ax + b = 0 egyenlet gy¨ okeit x1 -gyel és x2 -vel, az f (x) :=

5x + 2 2x − 1

(x ∈ R \ {1/2})

line´ aris t¨ ortf¨ uggvénynek az x1 és x2 helyeken felvett értékeit y1 - és y2 -vel. Határozzuk meg az a és b értékeket, ha tudjuk, hogy y1 és y2 kielég´ıti a 7y 2 − 5y − 11 = 0 egyenletet. A megoldás a Mathematic´ a val a k¨ ovetkez˝o: * +, >+ G + C "1#Y(

60 +I G + G $ B F* +I C >* + C B + {{a -> 7, b -> 1}}

A 6 f¨ uggvényhez hasonl´ oan a 6 B) f¨ uggvény is els˝osorban polinomokat tartalmazó egyenletrendszerek megoldásához ny´ ujt seg´ıtséget. A Mathematica bizonyos nem polinomokat tartalmazó egyenletrendszerek megoldására is képes. A lehet˝oségek az egyismeretlenes egyenletekhez hasonl´ oak (lásd az Egyéb egyenletek c´ım˝ u alpontot). Itt csup´ an két olyan péld´ at mutatunk, amelyet a program meg tud oldani: "1 +R(+G( M (R(G > R+G+ )F + ( {{x -> 8, y -> 4, z -> 6}}

"1 "5 + G ( G "5 + C ( B "5 +I C (I L + ( {{x -> 41, y -> -40}, {x -> 41, y -> 40}}

176


3.3.3. Egyenletek k¨ ozel´ıt˝ o megold´ asa A Mathematica t¨ obb lehet˝ oséget is k´ın´ al egyenletek és egyenletrendszerek k¨ ozel´ıt˝ o megoldásainak el˝ o´ all´ıt´ asára. A tov´ abbiakban jelezz¨ uk azt, hogy a program kész´ıt˝ oi milyen numerikus módszert ép´ıtettek be az egyes eljár´ asokba és a beép´ıtett algoritmusok köz¨ ul hogyan v´ alaszthatjuk ki az igényeinknek megfelel˝ ot. A k¨ ozel´ıt˝ o megoldásokat akár t¨ obb ezer értékes jegyre is meghatározhatjuk a Mathematic´ a val. Ezt t¨ obb esetben az opciók alkalmas megválasztásával tehetj¨ uk meg. A numerikus f¨ uggvények számos opcióval rendelkeznek. Ezek jelentésér˝ol és használatuk m´ odj´ ar´ ol a [89] referenciak¨ onyvb˝ ol szerezhet¨ unk inform´ aci´ ot. Ha a feladatunk megold´ asához ez nem elegend˝o, akkor érdemes tanulmányozni a [40] és a [41] dolgozatot. es az *6* ,, elj´ ar´ as • Az *9 * ,,, az *9 * ,, ´ uggvényt alkalmazhatjuk a pontos megold´ asokat keres˝o Az numerikus f¨ 9 , 9 és 6 függvényekre. A továbbiakban ezek közül csak a 6 függvényt tanulmányozzuk. Ebben az esetben a Mathematica el˝oször az egyenlet(rendszer) ¨ osszes pontos megoldását keresi. Ha megtal´ alja (els˝ osorban polinomot tartalmaz´ o egyenletek és egyenletrendszerek esetében), akkor veszi azok közel´ıt˝ o értékét: "1 +I G + C F B + B {{x -> -3.8284271247461900976}, {x -> 1.8284271247461900976}}

Figyelmeztet˝o u ¨zenetet k¨ uld akkor, ha az egyenlet(rendszer)nek a megtal´ alt gy¨ ok(¨ ok)¨ on k´ıv¨ ul m´ as megoldásai is lehetnek: "1 A + + Solve::ifun: Warning: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found. {{x -> 1.0472}}

Ha a program szimbolikus m´ odszerek alkalmazásával nem tudja meghat´ arozni a pontos megold´ asokat, akkor numerikus m´ odszerek felhasznál´ asával dolgozik tov´ abb:


177

"1 +I> C )+ G B + {{x -> -1.51851}, {x -> -0.116792 - 1.43845 I}, {x -> -0.116792 + 1.43845 I}, {x -> 0.508499}, {x -> 1.2436}}

• Az 9 ´ es az 6 elj´ ar´ as ar´ as között az eredményt tekintve nincs Az 6 és az *6* ,, elj´ k¨ ul¨ onbség. Az 6 f¨ uggvénybe beép´ıtett algoritmusok közvetlen¨ ul numerikus m´ odszerek alkalmazásával keresik a megoldás(ok) egy k¨ ozel´ıt˝ o értéar´ assal gyorsabban kapjuk meg a választ, két, ezért által´ aban az 6 elj´ ar´ assal: mint az *6* ,, elj´

0 "1 + (I G ( G +I C B G + G + (I B + ( {21.366 Second, Null}

0 "1 + (I G ( G +I C B G + G + (I B + ( {432.479 Second, Null}

A megoldásoknak ak´ ar t¨ obb ezer értékes jegyét is megkaphatjuk. Ha uggvény harmadik argumentum´ aba egy konkrét n természetes az 6 f¨ számot ´ırunk, akkor a Mathematica n értékes jegyet tartalmazó számok (l. a 3.1.3. pontot) alkalmaz´ asával oldja meg az egyenletet: "1 "5 + G > + + B {{x -> 1.90983005625052575898}, {x -> 13.090169943749474241}}

• A 9 f¨ uggv´ eny Az el˝ oz˝oekben ismertetett Mathematica-f¨ uggvények t¨ obb esetben nem tal´ alj´ ak meg a beadott egyenlet egyébként létez˝o megoldását. Tegy¨ uk fel péld´ aul azt, hogy a 1 (1) tg x = 2x + 4 egyenlet val´ os gyökeit szeretnénk meghat´ arozni. A pontos megold´ asok explicit el˝oáll´ıt´ asában nem reménykedhet¨ unk, ezért uggvénnyel pr´ ob´ alkoel˝oször a numerikus megold´ ast szolgáltat´ o 6 f¨ zunk:

178

3. Fejezetek a matematikáb´ ol "1

+ + G ) + Solve::tdep: The equations appear to involve transcendental functions of the variables in an essentially non-algebraic way. 1 + 2 x, x] NSolve[Tan[x] == 4

Az ehhez hasonl´ o esetekben a 9 bels˝o f¨ uggvényt haszn´ alhatjuk. A matematik´ aban egyenlet(rendszer)ek numerikus megold´ asára számos iteráci´ os eljár´ as ismeretes. Ezek közös von´ asa az, hogy egy (vagy t¨ obb) kezd˝oértékb˝ ol kiindulva képez¨ unk olyan sorozatot, amelynek határértéke a uggvény is ilyen módszekeresett (pontos) megoldás. A 9 bels˝o f¨ reket alkalmaz. uggvényt Az elmondottakb´ ol az is következik, hogy ha a 9 f¨ k´ıv´ anjuk haszn´ alni, akkor egyrészt kezd˝oértéket (azaz az iteráci´ os sorozat els˝o tagj´ at) is meg kell adnunk, m´ asrészt csupán egyetlen (a kezd˝oértékhez legközelebbi) megold´ ast fogjuk megkapni. A kezdeti k¨ ozel´ıtés j´ o” megvá” lasztásához (azaz ahhoz, hogy az elég közel” legyen valamelyik megol” d´ ashoz) a Mathematica egyéb f¨ uggvényei által biztos´ıtott lehet˝ oségeket is felhaszn´ alhatjuk. A feladatunkhoz visszatérve tekints¨ uk péld´ aul a k¨ ovetkez˝o ábr´ at: & + + G ) + C& & & E CJ C> > 4 2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-2 -4

Az ábr´ ar´ ol leolvasható (sz¨ ukség esetén be is bizony´ıthat´ o), hogy az (1) egyenletnek a (−π/2, π/2) intervallumban pontosan h´ arom k¨ ul¨ onb¨ oz˝o val´ os gy¨ oke van. A kezd˝ oérték megválasztásához is kapunk seg´ıtséget:


179

'E

+ + G ) + {x -> 1.21323} 'E

+ + G ) + CBQ {x -> -0.255724} 'E

+ + G ) + CQ {x -> -1.09475}

M´ asik intervallumba es˝ o gy¨ ok¨ ot is hasonl´ o módon hat´ arozhatunk meg. uggvénybe h´ arom k¨ ul¨ onb¨ oz˝o algoritmust ép´ıtettek be: a A 9 f¨ Newton-féle érint˝ omódszert, a Brent-féle elj´ ar´ ast, valamint a szel˝omódszert. ´ Erdekes m´ odon a felhaszn´ al´ o ebben az esetben nem opció megadásával, hanem az utas´ıt´ as szintaxis´ aval tudja kiv´ alasztani a feladat´ anak megfelel˝o algoritmust. Ha az f (x) = 0 ?(x ∈ C) egyenlet megoldásához a

9*5*, M. -. M/, alakban megadott utas´ıt´ ast használjuk, akkor a Mathematica a Newton-féle módszert alkalmazza, azaz az x0 kezdeti közel´ıtésb˝ol kiindulva képezi az xn+1 := xn −

f (xn ) f (xn )

(n ∈ N)

sorozatot. Az f f¨ uggvény deriváltj´ at szimbolikusan határozza meg. Ha az f f¨ uggvény nem differenciálhat´ o, akkor ennek k¨ ozlésével befejezi a kiértékelést: 'E #$ + A + + C FindRoot::frjc: Could not symbolically find the Jacobian of {Abs[x] - Cos[x]}. Try giving two starting values for each variable. FindRoot[Abs[x] == Cos[x], {x, -1}]

A 9 második argumentum´ aban azonban két kezd˝oértéket is megadhatunk:

9*5*, M. -. M. +/,

180


A Mathematica ekkor az intervallumfelezésen alapul´ o Brent-féle elj´ ar´ ast haszn´ alja abban az esetben, ha a két adott pontban felvett f¨ uggvényérték k¨ ul¨ onb¨ oz˝o el˝ojel˝ u. Egyébként a program a szel˝ omódszert alkalmazza: 'E #$ + A + + C B {x -> -0.739085}

Az f (x) = 0 egyenlet [a, b] intervallumba es˝ o gy¨ okét a c kezd˝oértékb˝ ol kiindulva a

9*5*, M. -. . . &/, utas´ıt´ assal kapjuk meg. A program ebben az esetben a Newton-féle érint˝ omódszert alkalmazza. Péld´ aul: 'E " + C +I) B + {x -> 1.93375}

Az el˝ oz˝oekhez hasonl´ oan két kezdeti közel´ıtést is megadhatunk:

9*5*, M. -. +. (. . &/, Ez az eljár´ as a Brent-féle módszerrel vagy pedig a szel˝omódszerrel szám´ıtja ki a megold´ ast. Péld´ aul: 'E " + C +I) B + C C C) -8 {x -> 9.17319 10 }

A k¨ ovetkez˝o szintaxist is használhatjuk: 'E " + C +I) B + C C C) FindRoot::regex: Reached the point {1.96266} which is outside the region {{-4., 1.}}. {x -> 1.96266}

A 9 f¨ uggvényt olyan egyenletrendszerek megoldásához is haszn´ alhatjuk, amelyekben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával. J´ o” kezd˝oérték megválasztásához ebben az esetben a 0F7, ” uggvény adhat seg´ıtséget: a 40 vagy a # f¨ 'E " + G (I G % + G (I C I + G ( G {x -> 2.33687, y -> 0.740478, z

->

> + B ( B 1.92265}

3.4. Anal´ızis

181

3.4. Anal´ızis Ebben a szakaszban azt szeretnénk megmutatni, hogy az anal´ızis témak¨ oréhez tartozó problémák megoldása során hogyan haszn´ alhatjuk fel a Mathematic´ a t. A defin´ıci´ okat és a tételeket kevés kivételt˝ol eltekintve nem fogalmazzuk meg. Ezeket a [20], [44], [48], [61], valamint a [72] bevezet˝ o k¨ onyvek mindegyike tartalmazza. Sok feladatot a matematik´ aban megszokott módon pontosan (szimbolikusan) is megoldhatunk, péld´ aul a , a 7, a 6, az elj´ ar´ as seg´ıtségével. A program által adott eredmények értékelésénél azonban vegy¨ uk figyelembe azt, hogy a beadott matematikai f¨ uggvényeket a Mathematica a legtöbb esetben komplex v´ altozósaknak, a paramétereket pedig komplex érték˝ ueknek tekinti és a kiértékelés során csak néh´ any azonoss´ agot alkalmaz automatikusan. A kapott eredményt más eljár´ asok seg´ıtségével vagy transzform´ aci´ os szabályok megadásával alak´ıthatjuk a´t az igényeinknek megfelel˝ o alakra. Sok esetben azonban célszer˝ ubb numerikus m´ odszereket alkalmaz´ o f¨ uggvényekkel (péld´ aul , 6 és ) kiszámolni a pontos eredmény egy k¨ ozel´ıt˝ o értékét. Ekkor opci´ ok alkalmas megadásával egyrészt több numerikus m´ odszer k¨ oz¨ ul is v´ alogathatunk, m´ asrészt igen tág hat´ arok k¨ ozött szabályozhatjuk a kiértékelésnél felhaszn´ alt pontos számjegyek számát is. A numerikus f¨ uggvények opci´ oinak optimális” vagy az ” igényeinknek megfelel˝ o (péld´ aul egy meghatározott módszerrel k´ıv´ anunk egy feladatot megoldani) megválasztása sokszor nem egyszer˝ u feladat. A [89] referenciak¨ onyv¨ on k´ıv¨ ul a [40] és a [41] dolgozatb´ ol ismerhetj¨ uk meg a numerikus f¨ uggvények opci´ oinak jelentését és használatuk m´ odj´ at. A szerz˝ok számos péld´ aval illusztrálj´ ak a lehet˝oségeket. Az alkalmazott numerikus m´ odszerek elméletét illet˝oen a [47], [65], [73] és a [78] könyveket aj´ anljuk az Olvas´ o figyelmébe. onyvet is szenteltek már anVég¨ ul megeml´ıtj¨ uk még azt is, hogy több k¨ nak a kérdésnek a megválaszolására, hogy a Mathematic´ a t miképpen lehet felhaszn´ alni az anal´ızis oktat´ asában. Az Irodalomjegyzékben felt¨ untetett [12], [21] és [77] m˝ uveken k´ıv¨ ul tov´ abbiakat is tal´ alhat az érdekl˝od˝ o Olvas´ o a MathSource-on.

3.4.1. Be´ ep´ıtett speci´ alis f¨ uggv´ enyek A Mathematica a 3.1.4. pontban felsorolt matematikai f¨ uggvényeken k´ıv¨ ul az alábbi f¨ uggvényeket is tartalmazza:

182


) ) 0 )L )L0 LL L L W L ; L X L 48&) 8 48&) 8! 4 ; 0 8 08 4 6

: :&4 11 1)M+ 1)++ 1)(+ 1)! W&6 W& W&0 W&6 W&6)& W&Y 0 808 : 088 0): 0) 968 96Y 6 681X Y

A 4 3773 programcsomagban tal´ alhat´ ok az alábbi elj´ ar´ asok:

77

!6

Speci´ alis f¨ uggvényeket k¨ ul¨ onb¨ oz˝o módon (péld´ aul a norm´ al´ as k¨ ul¨ onb¨ oz˝o megválasztásával) szokás értelmezni a matematik´ aban. A felsorolt beép´ıtett f¨ uggvények pontos defin´ıci´ oj´ at a [89] referenciak¨ onyv tartalmazza. Néh´ any olyan esetben, amikor a fenti f¨ uggvények argumentum´ aba csak pontos numerikus értékeket vagy beép´ıtett matematikai álland´ okat (lásd a 3.1.3. pontot) ´ırunk, a pontos helyettes´ıtési értéket kapjuk meg: O00 O00 > [ N &(O00 N 6 137 Sqrt[Pi] 135135 Sqrt[Pi] Pi , , , - EulerGamma} { 2 128 945 60

3.4. Anal´ızis

183

Az f¨ uggvényt (l´ asd a 3.1.3. pontot) haszn´ alva azonban b´ armely komplex szám esetén el˝o´ all´ıthatjuk a helyettes´ıtési érték egy közel´ıtését: O00 G ) 6 F 0.00522553847136921 - 0.17254707929430019 I

Szemléltethetj¨ uk ezeket a f¨ uggvényeket. Pr´ ob´ aljuk ki péld´ aul a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ ast: & #$ [ G 6R( ( B )B

A program speciális f¨ uggvények k¨ ozött fenn´ all´ o számos összef¨ uggést ismer, és ezeket alkalmazni is tudja. Péld´ aul: % '& > + 3 5 15 x - 70 x + 63 x 8 6 % '& > + % '& N + + C 0 D O00 + + 2 Gamma[x] PolyGamma[0, x] + Gamma[x] PolyGamma[1, x]

Itt eml´ıtj¨ uk meg a

#83L Y 3 programcsomagot, amelynek seg´ıtségével k¨ ul¨ onb¨ oz˝o t´ıpus´ u Bessel-féle f¨ uggvények zérushelyeinek k¨ ozel´ıt˝ o értékét kaphatjuk meg. A 0! @KS[K VSR

utas´ıt´ asok végrehajt´ asa ut´ an t´ ajékozódhatunk a k¨ ozvetlen¨ ul felhaszn´ alhat´ o f¨ uggvények széles k¨ orér˝ol.

3.4.2. Sz´ amsorozatok ´ es sz´ amsorok Mivel a Mathematica komplex számok kezelésére is képes, ezért komplex tag´ u sorozatokkal végezhet¨ unk k¨ ul¨ onféle m˝ uveleteket. Ebben a pontban a programnak azokat a lehet˝ oségeit ismertetj¨ uk, amelyeket számsorozatok és számsorok konvergenciáj´ anak vizsgálat´ an´ al felhaszn´ alhatunk.

184


• Sorozatok megad´ asa Sz´ amsorozatot (azaz N → C t´ıpus´ u f¨ uggvényt) matematikai szempontból korrekt módon péld´ aul ´ıgy adhatunk meg: , 6 ? // & 1 -

I

Ezt a f¨ uggvényt a program is sorozatnak tekinti: CQF B Q> > {a[-1.7], a[0], 1., a[2.5], 1.41421, 1.37973}

A sorozat határértékét azonban csak akkor számolja ki, ha a defin´ıci´ oban nem adunk meg feltételeket. Ezért a tov´ abbiakban sorozatot ´ıgy fogunk megadni: A , - I $ , - G 6 & I

Sorozat viselkedésér˝ol gyorsan alkothatunk megb´ızható képet, egyrészt tetsz˝olegesen sok f¨ uggvényérték meghatározásával. A b sorozat els˝ o 20 helyettes´ıtési értékének egy k¨ ozel´ıtését péld´ aul ´ıgy kaphatjuk meg:

$ $ B

Felhaszn´ alhatjuk a Mathematica grafikai lehet˝ oségeit is. Péld´ aul az a val´ os uggvénnyel ´ıgy szemléltethetj¨ uk: sorozatot a 0 f¨ = $ = = )B % & =

1.4 1.3 1.2 1.1

10

20

30

40

3.4. Anal´ızis

185

A 3.1.4. pontban volt m´ ar arr´ ol szó, hogy rekurz´ıv elj´ ar´ assal értelmezett sorozatokat kétféleképpen adhatunk meg. Ha a rekurz´ıv módon megadott sorozat tagjai k¨ ozött line´ aris vagy konvol´ uci´ os t´ıpus´ u o¨sszef¨ uggés áll fenn, akkor a 7 #83963 programcsomag

96 elj´ ar´ asa az index f¨ uggvényében a´ll´ıtja el˝ o a tagokat. A 3.6.4. pontban mutatunk erre vonatkoz´ o péld´ akat. • Sz´ amsorozat hat´ ar´ ert´ eke ol a Az (an ) : N → C sorozatot konvergencia szempontjáb´

**,. 2? 5), utas´ıt´ assal vizsgálhatjuk. A beép´ıtett algoritmusok ebben az esetben a sorozat (t´ agabb értelemben vett) hat´ arértékét keresik. Péld´ aul: %0 C GI G

CJ 6 * (

1 E

%0 G 6 & I

CJ 6 * (

I

%0 IC) CF

CJ 6 * (

Infinity

A sorozat defin´ıci´ oja paramétert is tartalmazhat: %0 RI C

CJ 6 * (

Log[a]

Azt a tényt, hogy a beadott sorozat nem konvergens, a Mathematica ´ıgy k¨ ozli a felhaszn´ al´ oval: %0 CI

CJ 6 * (

Indeterminate

Néh´ any esetben v´ altozatlan formában kapjuk vissza a begépelt utas´ıt´ ast:

186

3. Fejezetek a matematikáb´ ol %0 I=I n

CJ 6 * (

k

Limit[ n , n -> Infinity] a

Ez azt jelenti, hogy a program nem tudta meghat´ arozni a kérdezett határértéket. Ilyenkor a

4 33 programcsomag nev˝ u f¨ uggvényét érdemes kiprób´ alni, amely nagyobb teljes´ıtmény˝ u, mint bels˝ o t´ arsa: A!K%0 K %0 I=I CJ 6 * ( E

(-Infinity) Sign[Log[a]]

Az a és a b szám Gauss-féle sz´ amtani-mértani k¨ ozepét az

8:#*. &, utas´ıt´ assal kapjuk meg. Emlékeztet¨ unk arra (l´ asd péld´ aul [78]-at), hogy ha a és b nemnegat´ıv val´ os szám, akkor az a0 := a, b0 := b, an + bn , bn+1 := an bn (n ∈ N) an+1 := 2 formul´ aval értelmezett (an ) és (bn ) sorozat konvergens, és lim (an ) = lim (bn ) =: M (a, b).

n→+∞

n→+∞

Ezt a k¨ ozös hat´ arértéket nevezz¨ uk az a és a b szám Gauss-féle sz´ amtanimértani k¨ ozepé nek: # @0 !O0 ! "5 ArithmeticGeometricMean[1, Sqrt[2]]

: B 1.1981402347355922074

Matematikat¨ ort´ √eneti érdekesség, hogy a tinédzser Gauss már 1791-ben ozepének els˝o 20 pontos meghatározta a 2 és az 1 számtani-mértani k¨ jegyét. Megjegyezz¨ uk még azt is, hogy az M (a, b) számokat elliptikus integrálokkal lehet kifejezni. Gauss 1799-ben igazolta az al´ abbi o¨sszef¨ uggést:

3.4. Anal´ızis

187

1

0

dt √ 1 − t4

√ π · M ( 2, 1) = . 2

uls˝ o f¨ uggvény szimbolikus (analitikus) m´ odszer alkalA bels˝o és k¨ uggvény, mazásával szám´ıtja ki a hat´ arértéket. A 6 bels˝o f¨ valamint a #833 programcsomagban lev˝o k¨ uls˝ o f¨ uggvény a sorozat néh´ any tagj´ ab´ ol numerikus m´ odszert felhaszn´ alva adja meg a kérdezett határérték egy közel´ıtését. A

6 bels˝o f¨ uggvényt olyan sorozat hat´ arértékének meghatározásához célszer˝ u haszn´ alni, amelynek az n-edik tagja n

Pi (n)λni

k=1

alak´ u, ahol Pi -k polinomok és λi -k k¨ ul¨ onb¨ oz˝o számok. Ebbe a f¨ uggvénybe a Wynn-féle ε-algoritmust ép´ıtették be. Ezt az algoritmust alkalmazza az

f¨ uggvény is, ha a #8 opciój´ anak értéke 6. A hat´ arérték egy közel´ıt˝ o értékét az által´ anos´ıtott Euler-féle transzformáci´ o módszerével kapjuk meg akkor, ha a #8 opció értéke 6. A fenti f¨ uggvények számos további opci´ oval is rendelkeznek. Ezekkel egyrészt az alkalmazott numerikus módszer paramétereit, másrészt a kiértékelés során felhasznált értékes számjegyek számát módos´ıthatjuk (l´ asd a [40] dolgozatot). • Sorok konvergenci´ aja Hasznos seg´ıtséget ny´ ujthat az &36)&63 programcsomag

6 f¨ uggvénye. Ismeretes, hogy ha az ak+1 /ak (k ∈ N) h´ anyados a k racion´ alis

188


f¨ uggvénye, akkor a n

ak ,

valamint a

k=1

∞

ak

k=1

összeg kifejezhet˝o a hipergeometrikus f¨ uggvényekkel. Ilyen elj´ ar´ asokat ép´ıtettek be ebbe a 6 f¨ uggvénybe (l´ asd [2]-t). Olvassuk be ezt a programcsomagot: #$K"(0$"0K

Ezut´ an a ak számsor konvergenciá j´ at többféle módszerrel is vizsgálhatjuk. Szerencsés esetben a részletösszegekre zárt formul´ at kapunk, és ekuls˝ o) f¨ uggvényt alkalmazhatjuk: kor a (bels˝o vagy k¨ , "0 CI=R)=GM=GR=G> = B n 5 + 3 (-1) + 2 n 3 (5 + 2 n) %0 CJ 6 * ( 1 3

A 6 f¨ uggvény seg´ıtségével számos konvergens sor összegét a f¨ uggvény haszn´ alata nélk¨ ul is meghat´ arozhatjuk. Péld´ aul: "0 CI=R)=GM=GR=G> = B 6 * ( 1 3

Ha a fenti m´ odszerekkel nem kapjuk meg a k´ıv´ ant eredményt, akkor a konvergencia eld¨ ontéséhez az ismert kritériumok valamelyikét használhatjuk. Tekints¨ uk péld´ aul az π A := n tg n+1 2 pozit´ıv tag´ u numerikus sort. Alkalmazzuk péld´ aul a h´ anyadoskritériumot: A , -

&I G %0 G CJ 6 * ( 1 2

A szóban forg´ o sor tehát konvergens. A Mathematica t¨ obb lehet˝ oséget is tartalmaz számsor összegének k¨ ozel´ıt˝ o meghatározására. Felhaszn´ alhatjuk egyrészt az el˝oz˝oekben eml´ıtett k¨ uls˝ o f¨ uggvényt, másrészt az

3.4. Anal´ızis

189

6 bels˝o f¨ uggvényt. K¨ ul¨ onb¨ oz˝o numerikus m´ odszerek természetesen k¨ ul¨ onb¨ oz˝o uggvénynél választható elj´ ar´ asokat a eredményeket adhatnak. Az 6 f¨ k¨ ovetkez˝ akon mutatjuk be. o p´2eld´ o értékét az Euler–Maclaurin-féle A 1/k sor összegének egy közel´ıt˝ módszerrel ´ıgy számolhatjuk ki: "0 =I = 6 * ( @' CJ 6 6 0 : 1.64493406676001

A kiértékeléshez a Wynn-féle ε-algoritmust ´ıgy v´ alaszthatjuk: "0 =I = 6 * ( @' CJ "5 !%0 6 0 : 1.643485586660751

Hasonl´ıtsuk most o¨ssze a kapott eredményeket a pontos értékkel: "0 =I = 6 * ( 2 Pi 6 : B 1.6449340668482264365

Az el˝ oz˝oekben értelmezett A konvergens számsor összegének egy közel´ıt˝ o értékét tehát ´ıgy kapjuk meg: "0 = = 6 * ( 3.40841

(Az 6 f¨ uggvény #8 opciója alapértelmezésben . Ez azt jelenti, hogy a program v´ alasztja ki a kiértékelésnél a felhasznált numerikus módszert.) A #833 programcsomag

6 f¨ uggvénye az Euler-féle transzformáci´ os eljár´ ast alkalmazza v´ altakoz´ o el˝ ojel˝ u sor összegének numerikus meghat´ arozásához:

190

3. Fejezetek a matematikáb´ ol 0! @K%0 K 4"0 CI==G = B 6 * ( X= &! CJ )B 0 CJ B 4+ 0 CJ B 0.785398163397448309615660845791303225402 : C &) )B -29 -2.8572495647 10

Ezzel a f¨ uggvénnyel néh´ any esetben a pontos o¨sszeget is megkaphatjuk: 4"0 =IC)=GI= C )=IC=GI= = 6 * ( 4E CJ 4+ 0 CJ N 0 CJ B X= &! CJ 6 * ( 29 -( ) 4

3.4.3. F¨ uggv´ enyek hat´ ar´ ert´ eke C → C t´ıpus´ u f f¨ uggvény x0 pontban vett hat´ arértékét a

*5*,. 2? M, utas´ıt´ assal kaphatjuk meg. Felhaszn´ alhatjuk a bels˝ o f¨ uggvényt és u f¨ uggvényét is, amely a 4 33 programcsomag azonos nev˝ nagyobb teljes´ıtmény˝ u, mint bels˝ o t´ arsa. Sz¨ ukség esetén olvassuk be ezt a programcsomagot: A!K%0 K

A Mathematica a fenti utas´ıt´ as hatására szimbolikus algoritmusok alkalmazásával pr´ ob´ alja megadni a pontos eredményt. Kereshetj¨ uk a hat´ arértéket adott val´ os vagy komplex pontban: %0 " + C + + CJ B 0 %0 I G 6 I) C CJ 6 I 2

3.4. Anal´ızis

191

+∞-ben, valamint −∞-ben: %0 + C +I % G + + CJ 6 * ( 1 2 %0 "5 +IG+GC"5 +IC+G + CJ C6 * ( -2

A f¨ uggvény helyettes´ıtési értéke paramétereket is tartalmazhat: %0 C+I C 0C+I0 + CJ

@ : -m + n 2

Egyoldali hat´ arértéket a

7 opció alkalmas megválasztásával vizsgálhatunk. Ha ennek értéke @+, akkor arértéket kapjuk meg: a bal oldali, ha 2+, akkor pedig a jobb oldali hat´ %0 G4+ + + CJ B D! CJ 1 %0 G4+ + + CJ B D! CJ C 0

Az opci´ o alapértelmezés szerinti értékével (ez ) a program néh´ any esetben a jobb oldali, m´ askor pedig az adott pontbeli hat´ arértéket adja meg: %0 G4+ + + CJ B 0 %0 + + CJ B ComplexInfinity

A k¨ ovetkez˝o példa azt mutatja, hogy nem kell feladni a reményt akkor, uggvénnyel nem kapjuk meg a v´ art eredményt: ha a f¨ * +, - " "5 +G C " "5 + ! * + CJ Sqrt[1 + x] Sqrt[x] Sqrt[1 + x] Sqrt[x] + ] Sin[ ] -2 Cos[ 2 2 2 2

192

3. Fejezetek a matematikáb´ ol %0 : + CJ 6 * ( 0

K¨ onny˝ u ellen˝ orizni, hogy a kérdezett határérték val´ oban null´ aval egyenl˝ o. Pr´ ob´ aljuk ki ezut´ an a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ ast is: %0 * + + CJ 6 * (

A elj´ ar´ as alapértelmezésben a L’Hospital-szabály alapj´ an keresi u opci´ oja a pontos eredményt. Ennek a f¨ uggvénynek van egy ) nev˝ is. Ha ezt az alapértelmezéssel ellentétben a értékre áll´ıtjuk, akkor a program a Taylor-sorfejtést használva pr´ ob´ alja kisz´ am´ıtani a hat´ arértéket. A #833 programcsomag

f¨ uggvénye a vizsgált pont k¨ ornyezetéb˝ ol v´ alasztott néh´ any pontban felvett f¨ uggvényértékb˝ ol numerikus m´ odszer alkalmaz´ asával adja meg a határérték egy közel´ıtését. Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝o péld´ at: 0! @K%0 K %0 I+GI+GFI+I+ + CJ B 3.47603

A f¨ uggvény egyik attrib´ utuma & és ez azt jelenti, hogy az argumentum´ aban lista (vektor) is szerepelhet. A Mathematica ekkor a függvényt a vektor minden elemére külön-külön alkalmazza. Ezért u f¨ uggvények hat´ arértékét: igen egyszer˝ uen számolhatjuk ki C → Cn t´ıpus´ A * x * +, - A@ + ++ x %0 * + + CJ B {1, 1, 1}

3.4.4. Differenci´ alsz´ am´ıt´ as A C → C t´ıpus´ u f f¨ uggvény x pontban vett deriv´ altj´ at a

7*5*,. , utas´ıt´ as eredménye adja meg abban az esetben, ha f -et beép´ıtett differenciálhat´ o f¨ uggvényekkel defini´ aljuk:

3.4. Anal´ızis

193

A * * +, - " +I D * + + 2 2 x Cos[x ]

Ezt az eredményt ´ıgy is megkaphatjuk: *\ + 2 2 x Cos[x ]

D " +I + 2 2 x Cos[x ]

A Mathematica ismeri és alkalmazni is tudja a m˝ uveletek és a derivált k¨ ozött fenn´ all´ o o¨sszef¨ uggéseket: D * +I + + f[x]

-1 + g[x] g[x]

f’[x]

-

f[x]

1/g[x]

Log[f[x]] g’[x] 2 g[x]

A program a 7 f¨ uggvény második argumentum´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝o szimbólumokat paraméternek tekinti. Sz¨ ukség esetén a kapott eredményt más eljár´ asok felhaszn´ al´ asával egyszer˝ us´ıthetj¨ uk: D $R+ G "5 IC$IR #! "5 C$G$R @ + + "0 *( : &Y4+ ' : : Q "5 +, "5 (, CJ "5 + (

@ : "0 *( : a + b Cosh[x] b + a Cosh[x]

Szakaszonként k¨ ul¨ onb¨ oz˝o formul´ aval értelmezett f¨ uggvény deriváltj´ at is ar´ assal értelmezz¨ uk. meghatározhatjuk, ha a f¨ uggvényt a S88 elj´ +, - X@!@ +JB +I +B C+I \ + 2 2 Which[x >= 0, 3 x , x < 0, -(3 x )]

194


Magasabb rend˝ u deriv´ altat ´ıgy számolhatunk ki: D % ++ + > 120 Log[x] 274 6 6 x x

Adott f¨ uggvény deriv´ altf¨ uggvényét a

7 elj´ ar´ assal kapjuk meg. Figyelj¨ uk meg, hogy a Mathematica milyen form´ aban adja meg az eredményt (l´ asd a 3.1.4. pontot): @ +, - " + 4+ + D1 1 @ #1 #1 E Cos[#1] + E Sin[#1] &

A deriv´ altf¨ uggvény helyettes´ıtési értéke: : + x x E Cos[x] + E Sin[x]

Magasabb rend˝ u deriv´ altf¨ uggvényeket is meghatározhatunk: D1 1 @ #1 2 E Cos[#1] & @\\ + D1 1 @ + True

Adott f f¨ uggvény n-edik deriváltj´ anak x0 pontbeli k¨ ozel´ıt˝ o értékét az

7*5*,. -. /. M, utas´ıt´ assal kapjuk meg. Ez az elj´ ar´ as a #833 programcsomagban tal´ alhat´ o: 0! @K%0 K D 4+ " + + 0 CJ BC D 4+ " + + Q + CJ 2.23989 10

-7

3.4. Anal´ızis

195

• T¨ obbv´ altoz´ os f¨ uggv´ enyek deriv´ altjai uggvénnyel számolhatunk ki. Adott n > 1 Parci´ alis deriv´ altakat is a 7 f¨ u f f¨ uggvény xj v´ altozója szerinti természetes szám esetén a Cn → C t´ıpus´ parci´ alis deriv´ altf¨ uggvényének (x1 , · · · , xn ) pontbeli helyettes´ıtési értékét a

7*5*+.HHH.,. K, utas´ıt´ assal kapjuk meg. Péld´ aul: D (I> A + G +I) A ( + 3 5 4 x Cos[y] - y Sin[x] D (I> A + G +I) A ( ( 4 4 5 y Cos[x] - x Sin[y]

Magasabb rend˝ u parci´ alis deriv´ altak at ´ıgy hat´ arozhatunk meg: D (I> A + G +I) A ( + ( 2 2 -60 y Cos[x] + 12 x Sin[y]

A Mathematica feltételezi azt, hogy a beadott f¨ uggvény elegend˝ oen sokszor differenciálhat´ o ahhoz, hogy a parci´ alis deriv´ altak sorrendje felcserélhet˝ o legyen. A k¨ ovetkez˝o péld´ akban figyelj¨ uk meg azt, hogy a program hogyan jel¨ oli a parci´ alis deriv´ altakat: D * + ( + (1, 0) f [x, y] D + ( + ( (2, 3, 0) g [x, y, z]

Cn → C t´ıpus´ u f¨ uggvény gradiensét a 7 elj´ ar´ asnak, valamint a listakezel˝o f¨ uggvényeknek a seg´ıtségével ´ıgy értelmezhetj¨ uk: ' *1 (, 1 =,% - D *1 ( ./ 1 =

Itt felhaszn´ altuk a Mathematica tisztaf¨ uggvény-fogalm´ at (lásd a 3.1.4. ponar´ as rövid alakj´ at ($%). Figyelj¨ uk meg azt az érdekes tényt tot) és a # elj´ is, hogy a v´ altozók számát´ ol f¨ uggetlen¨ ul értelmezt¨ uk a fenti f¨ uggvényt.

196


A 0 3V4 3 programcsomag : nev˝ u f¨ uggvénye is ezt a defin´ıci´ ot tartalmazza. Felh´ıvjuk az Olvas´ o figyelmét arra, hogy a 4 3V ) 3 programcsomagban is tau elj´ ar´ as. l´ alhat´ o egy másik, az el˝oz˝ot˝ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝o, : elnevezés˝ Pr´ ob´ aljuk most ki a fenti defin´ıci´ o m˝ uk¨ odését: ' +I C (I + ( 2 {2 x, -9 y }

' + ( G + G ( + ( {y + z, x + z, x + y}

Sz´ am´ıtsuk most ki az f (x, y, z) := sin xyz (x, y, z) ∈ R3 f¨ uggvény3 any mentén vett ir´ anymenti deriv´ altj´ at a nek az s = (−1, 2, 2) ∈ R ir´ P0 (π, 1/2, 1/2) pontban: * +, (, , - " + ( C 4(8= ,% - "5 & #$ I 4(8= 1 2 2 {- , , } 3 3 3

' * + ( + ( Q 4(8= 2 x z Cos[x y z] y z Cos[x y z] 2 x y Cos[x y z] + 3 3 3

: Q + CJ & ( CJ CJ "0 *( -1 + 8 Pi 12 Sqrt[2]

(A H jel a 7 f¨ uggvény r¨ ovid alakja. Ezzel az eljár´ assal számolhatjuk ki két valós vektor skaláris szorzatát.) u f = (f1 , · · · , fm ) f¨ uggvény (tot´ alisan) Ha a Cn → Cm (n, m ∈ N) t´ıpus´ alis) deriváltja a differenci´ alhat´ o az a ∈ Cn pontban, akkor az a-beli (tot´ k¨ ovetkez˝o m × n-es (Jacobi-)mátrix: ⎞ ⎛ ∂f ∂f1 1 (a) · · · (a) ∂xn ⎟ ⎜ ∂x1 ⎟. .. .. ⎜ ⎠ ⎝ . . ∂fm ∂fm (a) · · · (a) ∂x1 ∂xn

3.4. Anal´ızis

197

Ezt a mátrixot adja eredményként a k¨ ovetkez˝o f¨ uggvény: " # $ E % $ D1 +

*1 (,% 1 =,% ,% - 2 D *1 ( 1 = Q 1 = CJ

Az els˝ o utas´ıt´ asban a transzform´ aci´ os szabályt megadó 9 f¨ uggvényt utummal (l´ asd a 2.3.4. pontot). l´ attuk el a & attrib´ Pr´ ob´ aljuk ki ezt a f¨ uggvényt is: D1 + * + ( * + ( * + ( + ( $ +0 f1 f2 f3

(1,0) (1,0) (1,0)

[a, b] [a, b] [a, b]

f1 f2 f3

(0,1) (0,1) (0,1)

[a, b] [a, b] [a, b]

D1 + +I C ( (I C + + + ( +0 : 2 -1 -1 2 1 0

A 0 3V4 3 programcsomagban léuggvény is ezt a mátrixot sz´ amolja ki. Ilyen elnevev˝ o W&# f¨ zés˝ u, de az el˝ oz˝ot˝ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝o f¨ uggvény a 4 3V ) 3 programcsomagban is tal´ alhat´ o. • F¨ uggv´ enyek sz´ els˝ o´ ert´ ekei Két péld´ an kereszt¨ ul érzékeltetj¨ uk azt, hogy az anal´ızis megfelel˝o eredményeinek felhaszn´ al´ asával hogyan haszn´ alhatjuk a Mathematic´ a t bizonyos u f¨ uggvények széls˝oértékeinek kiszámolásához. Line´ aris f¨ uggRn → R t´ıpus´ vények line´ aris feltételek melletti széls˝oértékhelyének meghatározására szolgál a lineáris programoz´ as, err˝ol a 3.8.9. pontban lesz szó. Határozzuk meg el˝oször az f (x) := x3 e−x/2

(x ∈ R)

f¨ uggvény lok´ alis széls˝oértékhelyeit. A lok´ alis széls˝oérték létezésére vonatkozó els˝orend˝ u sz¨ ukséges feltétel alapj´ an kapjuk meg a stacion´ arius pontokat:

198

3. Fejezetek a matematikáb´ ol * +, +I 4+ C+ " !& = "1 *\ + B + {{x -> 0}, {x -> 0}, {x -> 6}}

Ezt a módszert azokban az esetekben használhatjuk, amikor a program (szimbolikusan vagy numerikusan) el˝ o tudja a´ll´ıtani a deriv´ altf¨ uggvény zérushelyeit (l´ asd a 3.3. szakaszt). Alkalmazzuk most a másodrend˝ u elégséges feltételt: *\\ + Q " !& = 18 {0, 0, - } 3 E

Az x0 = 6 pont az f f¨ uggvénynek teh´ at lokális maximumhelye. Mivel *\\\ + Q " !& = 6 {6, 6, } 3 E

ezért az x1 = 0 pontban f -nek nincs lok´ alis széls˝oértéke. Sz´ amos esetben a következ˝o f¨ uggvénnyel is megkaphatjuk az [a, b] intervallumon értelmezett valós érték˝ u folytonos f f¨ uggvény abszol´ ut maximum´ anak egy k¨ ozel´ıt˝ o értékét: 1+00 *, , $, ,-BB - + * ./ $ G = $C = B

Figyelj¨ uk meg azt, hogy az els˝o argumentumba a f¨ uggvény nevét kell be´ırni, a negyedik (opcion´ alis) argumentumba pedig az intervallum osztópontjainak a számát adhatjuk meg: * +, "5 +I) C +I G 1+00 * C 3.60555 A * * +, A + G A + G A + 1+00 * B & BB 1.83333

Abszol´ ut minimum kiszámolásához a # f¨ uggvény helyett a # bels˝o f¨ uggvényt haszn´ alhatjuk. Határozzuk meg most az f (x, y, z) := x3 + y 2 + z 2 + 12xy + 2z f¨ uggvény lok´ alis széls˝oértékhelyeit.

((x, y, z) ∈ R3 )

3.4. Anal´ızis

199

A kor´ abbiakban értelmezett f¨ uggvényt haszn´ aljuk a stacion´ arius pontok kisz´ amolásához: A * * +, (, , - +I G (I G I G + ( G " !& = "1

' * + ( + ( B + ( {{z -> -1, y -> -144, x -> 24}, {z -> -1, y -> 0, x -> 0}}

A P1 (24, −144, −1) és a P2 (0, 0, −1) pontban lehet az f f¨ uggvénynek lok´ alis széls˝oértékhelye. A másodrend˝ u elégséges feltétel alkalmazásához el˝o kell a´ll´ıtanunk a stauggvény másodrend˝ u deriv´ altmátrix´ at cionárius pontokban az f : R3 → R f¨ (ezt Hesse-féle m´ atrix nak is szokás nevezni). Ezt számolja ki az alábbi elj´ ar´ as: 7 + *1 (, 1 =,% ,% - D1 +

' *1 ( 1 = 1 =

A k¨ ovetkez˝o f¨ uggvénnyel pedig négyzetes mátrix sarokaldatermin´ ansait hat´ arozhatjuk meg: "=#' #, - $ # =

= % @ #

A P1 pontban a m´ asodrend˝ u elégséges feltétel és a Sylvester-kritérium alapj´ an ezt kapjuk: 7 + * + ( + ( ) C)) C +0 144 12 0

12 2 0

0 0 2

"=#' {144, 144, 288}

A P1 (24, −144, −1) pont az f f¨ uggvénynek teh´ at lokális minimumhelye. A P2 (0, 0, −1) pontban: 7 + * + ( + ( B B C

200

3. Fejezetek a matematikáb´ ol +0 0 12 0

12 2 0

0 0 2

"=#' {0, -144, -288}

A Sylvester-kritériumot teh´ at nem alkalmazhatjuk. Péld´ aul a f¨ uggvény defin´ıci´ o j´ at felhaszn´ alva bizony´ıthatjuk be azt, hogy ez a pont nem lok´ alis széls˝oértékhely. u f¨ uggvény egyik Numerikus módszerrel keresi Rn → R (n ∈ N) t´ıpus´ lok´ alis minimumhelyének és lok´ alis minimum´ anak egy k¨ ozel´ıt˝ o értékét a

# f¨ uggvény. A 9 elj´ ar´ ashoz hasonl´ oan itt is egy vagy t¨ obb kezd˝ oérték megadása sz¨ ukséges. Minimumhelyhez közeli j´ o” kezd˝oérték(ek) meg” v´ alasztásához a Mathematica rajzol´ o elj´ ar´ asait használhatjuk. uggvény a konjug´ alt gradiens m´ odszert alkalmazza A # f¨ akkor, amikor egy kezd˝ oértéket adunk meg: ' 00 C+I 4+ C+ + {-10.754, {x -> 6.}} 6 0 : {-10.75400676745861, {x -> 5.999999999977617}} * +, (, , - +I G (I G I G + ( G ' 00 * + ( + B ( CBB C {-6913., {x -> 24.001, y -> -144.012, z -> -0.999346}}

A # f¨ uggvény a deriv´ altat nem haszn´ al´ o Brent-féle minimaliz´ aci´ os algoritmust alkalmazza (lásd [40]-et) akkor, amikor két kezd˝ oértéket adunk meg: ' 00 C+IR4+ C+ + {-10.754, {x -> 6.}}

' 00 +G(CIC+C(C + B ( -27 6.48478 10 , {x -> 1., y -> 1.}}

3.4. Anal´ızis

201

3.4.5. Integr´ alsz´ am´ıt´ as Ebben a pontban a programnak azokat a lehet˝ oségeit ismertetj¨ uk, amelyek u f¨ uggvények primit´ıv f¨ uggvényeinek és határoC → Cn (n ∈ N) t´ıpus´ zott integr´ alj´ anak szimbolikus vagy numerikus meghat´ arozásához, valamint t¨ obbsz¨ or¨ os integr´ alok kiszámolásához ny´ ujthatnak seg´ıtséget. • Primit´ıv f¨ uggv´ eny keres´ ese C → C t´ıpus´ u f¨ uggvény primit´ıv f¨ uggvényének szimbolikus meghatározásáar´ ast használhatjuk. A program a meghoz az opció nélk¨ uli elj´ adott f¨ uggvény primit´ıv f¨ uggvényét a beép´ıtett matematikai f¨ uggvényekkel pr´ ob´ alja kifejezni. Ha ez siker¨ ul, akkor az

*5*,. , utas´ıt´ as eredménye az f f¨ uggvény egyik primit´ıv f¨ uggvényének az x pontban vett helyettes´ıtési értéke. Péld´ aul: 6 +IG+C +

@ : Q % +, C % (, CJ % +( -1 + x ] Log[ 2 + x 3 6 "5 C" +I + Sqrt[1 + Cos[2 x]] Tan[x] Sqrt[2]

Adott feltételt kielég´ıt˝ o primit´ıv f¨ uggvényt a matematik´ aban megszokott módon hat´ arozhatunk meg. Péld´ aul ´ıgy: * +, - + $ +, 6 * + + G ! 0' "1 $ ! ! 0'

+ 2 3 x 23 + 2 2

(Figyelj¨ uk meg, hogy azonnali értékad´ assal — lásd a 3.1.4. pontot — defini´ altuk az F f¨ uggvényt.)

202


Primit´ıv f¨ uggvény meghat´ arozását több negat´ıv jelleg˝ u elméleti eredmény is korl´ atozza. Ismeretes péld´ aul az, hogy b´ ar minden folytonos f¨ uggvénynek van primit´ıv f¨ uggvénye, azonban van olyan elemi f¨ uggvény, amelynek a primit´ıv f¨ uggvénye nem elemi f¨ uggvény. M´ asrészt: még elemi f¨ uggvények esetében sincs olyan, véges sok lépést tartalmazó ´ altal´ anos m´ odszer , amellyel a primit´ıv f¨ uggvény el˝oa´ll´ıthat´ o lenne. Az anal´ızisben számos, jól k¨ or¨ ulhat´ arolt f¨ uggvényosztályra dolgoztak ki j´ ol haszn´ alhat´ o módszereket. 1969-ben R. Risch [68] publik´ alt szám´ıt´ ogépen is megvalós´ıthat´ o és elég nagy f¨ uggvényosztályra eredményt ad´ o algoritmust. M´ odszerének alapja az, hogy az adott elemi f¨ uggvényt u ´gy bontja fel egyszer˝ u szerkezet˝ u” ” uggvénye már k¨ onnyen f¨ uggvények ¨ osszegére, hogy az egyes tagok primit´ıv f¨ leolvashat´ o legyen. (Az elj´ ar´ as hasonl´ o ahhoz, ahogyan racion´ alis t¨ ortf¨ uggvényeket parci´ alis t¨ ortekre szoktunk bontani.) A Risch-algoritmus képezi az alapj´ at a Mathematica primit´ıv f¨ uggvényt keres˝o elj´ ar´ asának. Err˝ ol részletesebben a [69] dolgozatban olvashatunk. A Risch-algoritmus komplex f¨ uggvénytani eszközöket használ, ezért a begépelt egyv´ altozós f¨ uggvényt C → C t´ıpus´ unak tekinti. Ilyen f¨ uggvény primit´ıv f¨ uggvényét k¨ ul¨ onb¨ oz˝o alakokban is el˝ o lehet áll´ıtani. Péld´ aul az f (x) :=

x2

1 +1

(x ∈ C \ { − i, i})

f¨ uggvény egyik primit´ıv f¨ uggvénye F1 (x) :=

i−x 1 ln 2i i + x

(x ∈ C \ { − i, i}).

Komplex számok felhaszn´ al´ asa nélk¨ ul (azaz val´ os alakban”) is megad” hatjuk a fenti f f¨ uggvény primit´ıv f¨ uggvényeit. Péld´ aul F2 (x) := arctg x

(x ∈ C \ { − i, i})

ar´ asba beép´ıtett algoritmusok azt is egy ilyen f¨ uggvény. Az elj´ az elvet követik, hogy ha a beadott f¨ uggvény nem tartalmaz komplex számot, akkor az eredményt is ezek haszn´ alata nélk¨ ul pr´ ob´ alj´ ak megadni: 6 +IGI + x ArcTan[ ] a a

Racion´ alis t¨ ortf¨ uggvények primit´ıv f¨ uggvényét a program abban az esetben adja meg, ha a nevez˝ o zérushelyeit pontosan el˝ o tudja a´ll´ıtani:

3.4. Anal´ızis

203

6 +I)+I)G>+IG) + 2 ArcTan[x] 8 ArcTan[ ] x + x + 3 3 6 +I>G+G + 1 Integrate[ , x] 5 1 + 3 x + x

Megeml´ıtett¨ uk m´ ar azt a tényt, hogy vannak olyan elemi f¨ uggvények, amelyeknek a primit´ıv f¨ uggvényei nem elemi f¨ uggvények. Ilyenek péld´ aul a k¨ ovetkez˝o f¨ uggvények: 2 sin x , x → e−x , x → sin x2 . x → x Mivel a matematika k¨ ul¨ onb¨ oz˝o fejezeteiben gyakran haszn´ alj´ ak a fenti f¨ uggvények primit´ıv f¨ uggvényeit, ezért a Mathematic´ a ba beép´ıtették ezeket a nem elemi f¨ uggvényeket is. Péld´ aul: 6 " ++ + SinIntegral[x]

6 4+ C+I + Sqrt[Pi] Erf[x] 2

6 " +I + 2 Pi FresnelS[Sqrt[ ] x] Sqrt[ 2 Pi

A 3.4.1. pont elején felsoroltuk a többi hasonl´ o t´ıpus´ u beép´ıtett f¨ uggvényt is. Elliptikus integr´ alokat a

4 33 programcsomag f¨ uggvényével (ez bels˝o t´ arsának a kiterjesztése) számolhatunk ki. Péld´ aul: 6 "5 C0 " @I @ EllipticF[phi, m]

4 ! BQ> BQ > 0.5040488135239274

204


• Hat´ arozott integr´ al R → C t´ıpus´ u f¨ uggvény hat´ arozott integr´ alj´ anak kisz´ amolásához t¨ obb elj´ ar´ ast is használhatunk. Az

*5*,. -. +. (/, utas´ıt´ as hat´ asára a program az x2 f (x)dx = F (x2 ) − F (x1 ) x1

Newton–Leibniz-formul´ at alkalmazza. El˝ oször szimbolikusan meghat´ arozza uaz f f¨ uggvény egy F primit´ıv f¨ uggvényét, ezután veszi az F (x2 )−F (x1 ) k¨ l¨ onbséget. Ha az f f¨ uggvény folytonos az [x1 , x2 ] intervallumon és a program megtalálja f egy F primit´ıv f¨ uggvényét, akkor megkapjuk a kért eredményt. Péld´ aul: 6 "5 CA + + B BB & 200 Sqrt[2] 6 +I $ 3 3 a b 3 3

Ha a program nem tudja meghat´ arozni a beadott f¨ uggvény primit´ıv f¨ uggvényét, akkor eredményként a begépelt sort kapjuk vissza. Ilyenkor az elj´ ar´ ast alkalmazva az integrál egy közel´ıt˝ o értékét kapjuk meg: 6 + + + B General::intinit: Loading integration packages -- please wait. Integrate[x Tan[x], {x, 0, 1}]

: 0.428088

A szóban forg´ o elj´ ar´ ast improprius integr´ alok meghatározásán´ al is haszn´ alhatjuk: 6 "5 + + B 2

3.4. Anal´ızis

205

6 +I + C Integrate::idiv: Integral does not converge. Indeterminate 6 +I + 6 * ( 1

Az f f¨ uggvény [x1 , x2 ] intervallumon vett hat´ arozott integr´ alj´ anak egy k¨ ozel´ıt˝ o értékét az

*5*,. -. +. (/, utas´ıt´ as eredménye szolgáltatja. A Mathematica ebben az esetben el˝oször az f f¨ uggvény helyettes´ıtési értékeit határozza meg az [x1 , x2 ] intervallum bizonyos pontjaiban, majd ezekb˝ ol a f¨ uggvényértékekb˝ol numerikus m´ odszert alkalmazva adja meg az eredményt. Ha az f f¨ uggvény folytonos az [x1 , x2 ] intervallumon, akkor minden esetben megkapjuk a hat´ arozott integr´ al egy közel´ıt˝ o értékét. Péld´ aul: 6 4I"5 + + 8.27544

Sok esetben az **,, és az elj´ ar´ as ugyanazt az ´ eredményt adja. Erdemes azonban o¨sszehasonl´ıtani a kiértékeléshez sz¨ ukséges id˝ otartamot is:

0 6 + + + B {29.934 Second, 0.428088}

0 6 + + + B {2.801 Second, 0.428088}

Az elj´ ar´ assal improprius integr´ alok és szakadásos f¨ uggvények hat´ arozott integr´ alj´ anak k¨ ozel´ıt˝ o értékét is meghatározhatjuk: 6 "5 + + B 2. 6 4+ C+I + B 6 * ( 0.89298

Az integrandus szingularit´ asát az f¨ uggvény csak az intervallum végpontjaiban vizsgálja. Ha olyan f¨ uggvényt adunk meg, amelynek az integr´ al´ as intervallum´ anak bels˝ o pontj´ aban van szakad´ asa, akkor a´ltal´ aban figyelmeztet˝ o u ¨zenetek ut´ an kapunk (esetleg rossz) eredményt. Az

206


függvény második argumentumába a szinguláris helyeket is be´ırhatjuk:

*5*,. -. +. '8+. '8(. HHH. (/, A Mathematica ebben az esetben k¨ ul¨ on¨ os gonddal vizsgálja az adott f¨ uggvényt a jelzett pontok k¨ ornyezetében: 6 "5 #$ + + C B 4.82843

Ugyanezt a módszert alkalmazhatjuk akkor is, ha péld´ aul szakaszonként k¨ ul¨ onb¨ oz˝o formul´ aval értelmezett f¨ uggvény hat´ arozott integr´ alj´ at szeretnénk kiszám´ıtani: * +, - X@!@ +B B + +I + + + ) +J B 6 * + + C B N 7.33333

Az f¨ uggvény 9 opciój´ aval (ezekr˝ol a program az 2 6

utas´ıt´ as végrehajt´ asa ut´ an t´ a jékoztat benn¨ unket) avatkozhatunk be a kiértékelés folyamatába. Megválaszthatjuk péld´ aul a kiértékelés során alkalmazott értékes számjegyek számát és a felhasznált numerikus m´ odszert is. M´ odos´ıthatjuk a numerikus algoritmusok bizonyos paramétereit is. Itt csak a #8 opció lehetséges értékeit soroljuk fel:

7& : ;

# ' Ennek az opci´ onak az alapértelmezés szerinti értéke , ami azt uggvény bels˝o algoritmusa v´ alasztja ki a jelenti, hogy az f¨ kiértékelés során alkalmazott numerikus m´ odszert. A fentebb bemutatott péld´ ak azt is mutatj´ ak, hogy az opci´ ok alapértelmezés szerinti értékével számos esetben megfelel˝o eredményt kapunk. Adott hat´ arozott integr´ al j´ o” k¨ ozel´ıt˝ o értékének kiszámolásához az opciók ” alkalmas megválasztása sokszor nem egyszer˝ u feladat. Ehhez sok seg´ıtséget ny´ ujthat a [40] dolgozat, amelyben az opci´ ok jelentésér˝ ol és használat´ ar´ ol olvashatunk. A Mathematica t¨ obb m´ odszert k´ın´ al f¨ uggvény hat´ arozott integr´ alj´ anak k¨ ozel´ıt˝ o meghatározásához abban az esetben, amikor a f¨ uggvény helyettes´ıtési értékeit csak bizonyos diszkrét pontokban ismerj¨ uk.

3.4. Anal´ızis

207

A k¨ ovetkez˝o pontban ismertetett elj´ ar´ asok valamelyikével péld´ aul folytonos f¨ uggvényt illeszthet¨ unk az adott pontokra, majd alkalmazhatjuk az függvényt. A #83 3 programcsomagban meglev˝o

f¨ uggvényt is haszn´ alhatjuk. A Mathematica ebben az esetben interpol´ aci´ os polinomot illeszt az adott pontrendszerre, és az ´ıgy kapott f¨ uggvény hat´ arozott integr´ alj´ at számolja ki: 0! @K% 6 K ' = $ I B F {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49}

% 6 ' = 343 3

6 +I + B F 343 3

A #8348)0V3 programcsomag

48)0V f¨ uggvényével improprius integr´ al Cauchy-féle f˝ oértékének egy közel´ıt˝ o értékét hat´ arozhatjuk meg. Tekints¨ uk péld´ aul az 1 (x ∈ R \ { − 1, 0}) f (x) := 2 x +x f¨ uggvényt. Mivel a 1 −ε1 f (x)dx + f (x)dx lim ε →0+0 1 ε2 →0+0

ε2

−1/2

hat´ arérték nem létezik, ezért a

1 −1/2

f (x)dx

208


improprius integr´ al divergens. Bebizony´ıthat´ o azonban az is, hogy 1 −ε f (x)dx + f (x)dx = − ln 2. lim ε→0+0

−1/2

ε

Ez a szám a fenti improprius integr´ al Cauchy-féle f˝oértéke. Ennek egy k¨ ozel´ıt˝ o értékét ´ıgy kaphatjuk meg: 0! @KA!@(& ! 8K A!@(& ! 8 +IG+ + C B -0.693147 6 0 : -0.6931471805596515

A Cauchy-féle f˝oérték pontos értékét is meghatározhatjuk. Péld´ aul ´ıgy: A * * +, - +IG+ W$$ 6 * + + !I Q % +, C % (, CJ % +( 6 * + + C C!I Q % +, (, CJ % + G % ( $ : Q % +, C % (, CJ % +( $ G W$$ Q % +, G % (, CJ % + ( %0 : ! CJ B Integrate::gener: Unable to check convergence. 1 Log[ ] 2 : 6 0 -0.6931471805599453

• T¨ obbsz¨ or¨ os integr´ alok u Az el˝ oz˝oekben ismertetett elj´ ar´ asokkal Rn → C (n ∈ N \ {1}) t´ıpus´ f¨ uggvény adott tartom´ anyon vett hat´ arozott integr´ alj´ at szimbolikusan és numerikusan is meghat´ arozhatjuk. A tartom´ any lehet péld´ aul Rn -beli tégla: 6 + ( " +I G (I + B "5 & ( B "5 & 1 2

3.4. Anal´ızis

209

Sz´ am´ıtsuk most ki a k¨ ovetkez˝o hat´ arozott integr´ alt: √ √ 2 2y−x2 2 2y−x2 4y − x2 dxdy = 4y − x2 dx dy. 0

0

0

0

6 "5 ) ( C +I ( B + B "5 (C(I Pi 4 + 3 2

Norm´ altartom´ anyon vett hat´ arozott integr´ al kiszámolásán´ al vigy´ azzunk az integr´ al´ as sorrendjének a kijel¨ olésére. Figyelj¨ uk meg, hogy a Mathematica el˝oször az utolsóként megjelölt v´ altozó szerint végzi el az integrál´ ast. Improprius integr´ alok at is meghatározhatunk: 6 +IG(II + 6 * ( ( C6 * ( 6 * ( Pi 4

3.4.6. F¨ uggv´ enyk¨ ozel´ıt´ esek Az approxim´ aci´ oelmélet foglalkozik megadott f¨ uggvény egyszer˝ u szerkezet˝ u f¨ uggvényekkel val´ o megközel´ıtésével. A leggyakrabban haszn´ alt egyszer˝ u szerkezet˝ u f¨ uggvények: az algebrai és a trigonometrikus polinomok, a racionális f¨ uggvények és a spline-f¨ uggvények szám´ıt´ ogép seg´ıtségével is jól kezelhet˝oek. A matematikai programcsomagok ezért az ilyen t´ıpus´ u problémák tanulm´ anyoz´ asához is sok seg´ıtséget adhatnak. A legegyszer˝ ubb esetben az approxim´ aland´ o f¨ uggvény az [a, b] ⊂ R intervallumon folytonos, val´ os érték˝ u f¨ uggvények C([a, b]) szimbólummal jel¨ olt halmazához tartozik. F¨ uggvények t´ avolság´ at már ebben a halmazban is többféle módon értelmezhetj¨ uk. Egyszer˝ uen bebizony´ıthat´ o péld´ aul az, hogy a (f, g ∈ C([a, b])) (1) ∞ (f, g) := max |f (x) − g(x)| x∈[a,b]

és a 2 (f, g) :=

a

b

|f (x) − g(x)|2 dx

(f, g ∈ C([a, b]))

(2)

f¨ uggvény mindegyike metrika a C([a, b]) halmazon. Jelölj¨ uk G-vel az egyszer˝ u szerkezet˝ u f¨ uggvények valamely adott halmazát. Ez lehet péld´ aul legfeljebb n-edfok´ u (algebrai) polinomok halmaza.

210


Tekints¨ unk egy metrik´ at is a C([a, b]) halmazon. Az approxim´ aci´ oelmélet alapvet˝ o problémái az imént jelzett (speciális) esetben a következ˝ok: • Adott f ∈ C([a, b]) f¨ uggvényhez létezik-e olyan G-beli ϕ(f ) elem, amelyre (f, ϕ(f )) = inf {(f, g) : g ∈ G} =: EG (f ). • Ha f -nek létezik a fenti tulajdons´ ag´ u legjobb megk¨ ozel´ıtése, akkor az vajon egyértelm˝ uen meg van-e hat´ arozva. • Létezés és egyértelm˝ uség esetén hogyan lehet meghat´ arozni vagy jellemezni az f f¨ uggvényt legjobban megk¨ ozel´ıt˝ o ϕ(f ) elemet. ol haszn´ alhat´ o alsó és fels˝o becslést • Hogyan lehet az EG (f ) számra j´ megadni. Alkalmas t´ıpus´ u G halmazok és k¨ ul¨ onb¨ oz˝o metrik´ ak megválasztása esetén bizony´ıthat´ o az, hogy minden f ∈ C([a, b]) f¨ uggvényhez egyértelm˝ uen létezik a fenti tulajdons´ ag´ u ϕ(f ) f¨ uggvény. Ennek explicit el˝ oáll´ıt´ asára nincs a´ltal´ anos módszer. Az approxim´ aci´ oelméletben számos olyan módszert dolgoztak ki, amely seg´ıtségével adott f¨ uggvényt j´ ol k¨ ozel´ıt˝ o G-beli elem explicit módon el˝ o´ all´ıthat´ o. Ebben a pontban a Mathematic´ a nak azokat az elj´ ar´ asait soroljuk fel, amelyek seg´ıtségével adott f¨ uggvényhez k¨ ozeli, j´ ol kezelhet˝o f¨ uggvényeket uggvényeket, illetve (algebrai és trigonometrikus polinomokat, racion´ alis f¨ spline-f¨ uggvényeket) konstru´ alhatunk . Az approxim´ aci´ oelmélet megfelel˝o tételeinek és a Mathematica egyéb elj´ ar´ asainak felhaszn´ al´ asával vizsgálhatjuk meg azt, hogy a kapott egyszer˝ u szerkezet˝ u f¨ uggvények milyen k¨ ozel vannak a megadott f¨ uggvényhez. Ezekkel a kérdésekkel a továbbiakban nem foglalkozunk. • Polinomapproxim´ aci´ o Elegend˝ oen sokszor differenciálhat´ o R → R t´ıpus´ u f f¨ uggvény a pont k¨ or¨ uli n-edrend˝ u Taylor-polinomj´ at a

*6 *5*,. -. . /, utas´ıt´ as eredménye adja meg. Péld´ aul: 0 " +I+ + 3 2 (-1 + x) + x (-1 + x) + 2

3.4. Anal´ızis

211

A f¨ uggvénynek és k¨ ul¨ onb¨ oz˝o rend˝ u Taylor-polinomjainak a´br´ azolásával gyorsan kaphatunk inform´ aci´ ot a k¨ ozel´ıtés pontosság´ ar´ ol. Az f (x) := sin x (x ∈ R) f¨ uggvény a := 0 pont k¨ or¨ uli harmad- és hetedrend˝ u Taylor-polinomjait péld´ aul ´ıgy szemléltethetj¨ uk: * +, " + +B C & + & B F 0 " * + + F 5 7 3 x x x + x 6 120 5040 F

3 x x 6 & * + F + +B + & E CJ C & " ( CJ @!= BQBBN D@ BQB> BQB 2 1.5 1 0.5 -4

-2 -0.5

2

4

-1 -1.5 -2

Szintén a 6 elj´ ar´ assal kaphatjuk meg C → C t´ıpus´ u analitikus f¨ uggvény Laurent-sor ´ anak szeleteit: " % G B ) 2 3 4 1 z z 19 z 3 z 1 5 + + + + O[z] z 2 12 24 720 160 " " B 1 Series[Sin[ ], {z, 0, 2}] z

212

3. Fejezetek a matematikáb´ ol " 4+ 6 * ( 4 1 1 1 1 + 1 + 2 + 3 + O[ z ] z 2 z 6 z

Hatv´ anysorok kal kapcsolatos vizsgálatokn´ al a

7 #83963 programcsomag alábbi f¨ uggvényei jelenthetnek seg´ıtséget:

: 0B6 :

0B6 6

Tekints¨ uk péld´ aul az f (x) :=

x+1 (x − 1)2

(x ∈ R \ {1})

f¨ uggvényt. A 0 pont kör¨ uli Taylor-sor´ anak egy¨ utthat´ oit a 6 elj´ ar´ as adja meg: " 0 G+C+I + B "0 *( : 1 + 2 n

Mivel %0 GI 1

CJ 6 * (

ezért a Cauchy–Hadamard-tétel alapján ∞ (2n + 1)xn f (x) =

(x ∈ (−1, 1)).

n=0

ar´ assal számos hatv´ anysor o¨sszegf¨ uggvényét áll´ıthatjuk A 0B6 elj´ el˝o. Péld´ aul: &Y"0 G + "0 *( : 1 + x 2 (-1 + x)

B

A : k¨ uls˝ o f¨ uggvénnyel pedig olyan hatv´ anysor o¨szszegf¨ uggvényét kaphatjuk meg, amelynek az egy¨ utthat´ oi rekurz´ıv o¨sszef¨ ug-

3.4. Anal´ızis

213

géssel vannak megadva. Péld´ aul: O ! G G G B + -3 {{(1 - x) }}

Interpol´ aci´ os polinomok at az

0) bels˝o f¨ uggvénnyel hat´ arozhatunk meg. Lagrange-féle interpol´ aci´ os polinomot péld´ aul ´ıgy: 6 &( 0

C C C + "0 *( : 2 3 94 - x - 61 x + 14 x 40

Ellen˝ orizz¨ uk a kapott eredményt: +, : C 1 { , 2, -1, -2} 2

Hermite-féle interpol´ aci´ os polinomokat ´ıgy számolhatunk ki: 6 &( 0 C C> ) BL FM MB + "0 *( : 5 3 - 2 x + x

Ezt az eredményt is ellen˝ orizz¨ uk: +, : C -25 {2, 3}

\

) \ ) \\ ) {1019, 1278, 1280}

214


A #83 3 programcsomagban tal´ alhat´ o ## eljárás a Remez-algoritmust alkalmazza adott folytonos f¨ uggvényt az (1) metrik´ aban legjobban megk¨ ozel´ıt˝ o algebrai polinom numerikus el˝ o´ all´ıt´ asára. Ismeretes, hogy minden f ∈ C([a, b]) f¨ uggvényhez egyértelm˝ uen létezik olyan P ∈ Pn polinom (Pn jel¨ oli a legfeljebb n-edfok´ u algebrai polinomok halmaz´ at), amelyre ∞ (f, P ) = inf {(f, p) : p ∈ Pn }. Ennek a P polinomnak egy k¨ ozel´ıtését kaphatjuk meg a

## *5*,. -. -. &/. . M/, utas´ıt´ assal. Péld´ aul: 0! @K# +0 K +# +0 G+ + B B {{0, 1., 2.}, {0.8571428571428571 0.2857142857142857 x, 0.14285714285714285}}

Figyelj¨ uk meg azt, hogy az eredmény két listáb´ ol a´ll´ o lista. Az els˝o lista tartalmazza azokat a pontokat, amelyekben a f¨ uggvénynek és a kapott polinomnak az eltérése maximális. A második lista els˝ o eleme a keresett polinom, a m´ asodik pedig a f¨ uggvénynek és a közel´ıt˝ o polinomnak a ∞ t´ avolsága. Ha az approxim´ al´ o polinom fokszámát n¨ ovelj¨ uk, akkor persze jobb k¨ ozel´ıtést kapunk: +# +0 G+ + B B B % :

-6 1.0223673529609311 10

A Mathematic´ a nak ez az eljár´ asa adott f ∈ C([a, b]) f¨ uggvényhez olyan ob´ al meghatározni, amelyre Q ∈ Pn polinomot pr´ Q(x) p(x) = min max 1 − , max 1 − p∈Pn x∈[a,b] f (x) f (x) x∈[a,b] ezért azokban az esetekben, amikor az adott intervallumon az f f¨ uggvény nulla értéket is felvesz, az eljár´ as k¨ ozvetlen¨ ul nem használhat´ o. A [3] referenciak¨ onyvben van példa arra, hogy az ilyen f¨ uggvényeket hogyan lehet kezelni. Sz¨ ukség esetén innen kaphatunk seg´ıtséget az eljár´ as számos opció j´ anak haszn´ alat´ ahoz is.

3.4. Anal´ızis

215

• Racion´ alis approxim´ aci´ o Padé-féle k¨ ozel´ıtések hez a 4 30 3 programcsomagot használhatjuk. A

0 *5*,. -. . . =/, utas´ıt´ as eredménye olyan r = p/q racion´ alis f¨ uggvény, amelynek a számlál´ o ja m-edfok´ u, a nevez˝ o je pedik k-adfok´ u polinom, és r kielég´ıti a k¨ ovetkez˝o feltételeket: f (i) (a) = r (i) (a)

(i = 0, 1, 2, · · · , m + k).

A k = 0 esetben az f f¨ uggvény a pont k¨ or¨ uli m-edfok´ u Taylor-polinomj´ at kapjuk: A!K&'K &' 4+ + + B ' "0 *( : 2 3 120 + 60 x + 12 x + x 2 3 120 - 60 x + 12 x - x

A Taylor-polinomokhoz hasonl´ oan ezek a f¨ uggvények is a megadott pontnak csak valamely kis k¨ ornyezetében adnak j´ o k¨ ozel´ıtést. Az approxim´ aci´ o pontoss´ ag´ at tetsz˝oleges intervallumon is n¨ ovelhetj¨ uk, ha az

' 9 f¨ uggvényt (ez szintén a fenti programcsomagban tal´ alhat´ o) haszn´ aljuk: 4! 0'E # +0 4+ + + C ' "0 *( : 2 3 933217 + 466608 x + 93120 x + 7680 x 2 3 933217 - 466608 x + 93120 x - 7680 x

A fenti k¨ ozel´ıtések pontosság´ at szemléltethetj¨ uk a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ asok seg´ıtségével: $ & ' C 4+ + + C

!= CJ C Q BICM D ( ! CJ 6' (

216

3. Fejezetek a matematikáb´ ol $ & ' C 4+ + + C

!= CJ C )Q BICF D ( ! CJ 6' ( "@Y O @!#( $ $ D ( ! CJ UD ( !

Felhaszn´ alhatjuk még a #83 3 programcsomag alábbbi elj´ ar´ asait is:

:9 :## ## 9 Interpol´ aci´ os feltételeknek eleget tev˝o racion´ alis f¨ uggvényt ´ıgy hat´ arozhatunk meg: E 6 A + + C& C&) B & &) : N -18 2 1. - 7.74777 10 x - 0.405285 x -17 2 1. + 4.16334 10 x + 0.0983386 x

Az el˝ oz˝o alpontban ismertetett ## f¨ uggvényt racionális f¨ uggvényekre is használhatjuk: +# +0 A + G ) + B & :

N 2 5.00022 - 0.459931 x + 0.162379 x 2 1. - 0.0906869 x + 0.126493 x

• Spline-approxim´ aci´ o Adott s´ıkbeli pontokon a´tmen˝o interpol´ aci´ os spline-f¨ uggvényt az

bels˝o f¨ uggvénnyel konstru´ alhatunk. Az illesztésnél alkalmazott polinomok aul: foksz´ amát az opcióval adhatjuk meg. Péld´ ' = $ + A + + B N

3.4. Anal´ızis

217

6 ' = 6 2' CJ & : + + B N

Ismeretes, hogy egynél nagyobb foksz´ am´ u interpol´ aci´ os spline-f¨ uggvények egyértelm˝ u meghat´ arozásához az adott pontokon k´ıv¨ ul tov´ abbi mellékfeltételek megadása is sz¨ ukséges. A felhasznál´ onak nincs lehet˝ osége az általa alkalmazni k´ıv´ ant mellékfeltételek k¨ ozvetlen megadására. A :8 363 programcsomag

6 valamint a #8363 programcsomag

6 f¨ uggvényével adott s´ıkbeli pontokhoz konstru´ alhatunk egyrészt harmadfok´ u természetes, másrészt Bezier-féle splineg¨ orbék et. A két eljár´ as lehet˝oségei megegyeznek, k¨ ul¨ onbség csupán a g¨ orbék megjelen´ıtésének módj´ aban van. Péld´ aul: = BB C B B O @!K" K "@Y O @! & " BQB & O @! " = A$!

=

0! @K" K " 1 ( " = A$! &0 !& " 1 ( B) & E CJ # A0 ' CJ

• Trigonometrikus sorok Az R halmazon periodikus, komplex értékeket felvev˝o f¨ uggvény trigonometrikus Fourier-sor ´ anak tanulm´ anyoz´ asán´ al az

bels˝o f¨ uggvényeken k´ıv¨ ul a

218


4 3 53 programcsomag alábbi elj´ ar´ asait is használhatjuk:

4 6 455 4 5 6 6 455 6 66 455 6 5 5 6 4 5 6 5 5 A programcsomagban a fenti elj´ ar´ asok (amelyek a pontos eredményt pr´ ob´ alj´ ak meghatározni) numerikus t´ arsát is megtalálhatjuk. A felhaszn´ alhat´ o f¨ uggvények nevét az VR

utas´ıt´ as végrehajt´ asa után ismerhetj¨ uk meg. Tekints¨ uk most azt az f : R → R 2π szerint periodikus f¨ uggvényt, amelyik a (−π, 0] intervallumon null´ aval, a (0, π] intervallumon pedig πvel egyenl˝ o. Meghatározzuk és ábr´ azoljuk az f f¨ uggvény Fourier-sor´ anak néh´ any részletösszegét. A számolásokat pontosan is elvégezhetj¨ uk, ha a f¨ uggvényt ´ıgy értelmezz¨ uk: A!KD!D K * +, - &R " +

Most kisz´ amoljuk az f f¨ uggvény Fourier-sor´ anak egyik részletösszegét: A!K *0K " * + + C& & > Pi + 2 Sin[x] + 2

2 Sin[3 x] 2 Sin[5 x] + 3 5

A f¨ uggvényt és Fourier-sorának els˝o néh´ any részletösszegét ´ıgy a´br´ azolhatjuk:

3.4. Anal´ızis

219

= $ "0 :

= = ) & 41 * + = + C& &

!= CJ C& & &

Pi

-Pi

Pi

A Fourier-transzform´ altat az irodalomban k¨ ul¨ onb¨ oz˝o módon szok´ as értelmezni. A

5 k¨ uls˝ o f¨ uggvény az f : R → R f¨ uggvényhez az +∞ f (t)eBixt dt F(x) := A −∞

(x ∈ R)

Fourier-transzformáltat számolja ki, ahol az A és a B szám alapértelmezés szerinti értéke 1. Ezeket az ´ alland´ okat vagy a

<4 és a <)4 rendszerváltozóval, vagy pedig a

4 és a )4 opcióval v´ altoztathatjuk meg. Péld´ aul: U21A "5 & U5 !(A C

220

3. Fejezetek a matematikáb´ ol *0 4+ CI I + 1 2 2 x /(4 a ) Sqrt[2] a E 6 1 *0 : + 2 2 -(a t ) E

Megeml´ıtj¨ uk még azt, hogy a

bels˝o f¨ uggvények a diszkrét Fourier-transzform´ altat hat´ arozzák meg. • N´ egyzetes k¨ ozel´ıt´ esek uk Legyen (xi , yi ) ∈ R2 (i = 1, 2, · · · , n; n ∈ N) adott pontrendszer és tegy¨ abb az xi (i = 1, 2, · · · , n) fel, hogy gj (j = 1, 2, · · · , m; m ∈ N) legal´ alappontokban értelmezett R → R t´ıpus´ u f¨ uggvény. A

*--+. )+/.HHH.-. )//. -+*,.HHH.*,/. , utas´ıt´ as hat´ asára a Mathematica a legkisebb négyzetek m´ odszeré vel numerikusan hat´ aroz meg olyan m cj gj (x) G(x) := j=1

f¨ uggvényt, amelyre a következ˝o egyenl˝oség teljes¨ ul: n n n (yi − G(xi ))2 = inf { (yi − aj g(xj ))2 : aj ∈ R; j = 1, · · · , m}. i=1

i=1

j=1

A lehet˝oségeket illusztrálja a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ assorozat: = $ +I +I) G + C + B ) $ % & = & " ( CJ & " BQB = + +I + $ & : + B N "@Y $ $

3.4. Anal´ızis

221

Ha gj (x) := xj−1 (j = 1, 2, · · · , m), akkor a fenti illesztési feladat egy olyan line´ aris egyenletrendszer megold´ asához vezet, amelynek az egy¨ utthat´ omátrixa Hilbert-m´ atrix, és ez klasszikus péld´ a ja a gyengén meghatározott mátrixoknak. A feladat numerikus megold´ asa során viszonylag kicsi m esetén is a kerek´ıtésekb˝ol ad´ od´ o hiba mértéktelen¨ ul megn¨ ovekszik. Ismeretes, uggvények hehogy ez a numerikus instabilitás u ´gy jav´ıthat´ o, hogy a gj alapf¨ lyett a megadott diszkrét pontrendszerre ortogon´ alis polinomokat vesz¨ unk alapf¨ uggvényeknek. Ezt a módszert alkalmazza a

#830)3 programcsomag 0) f¨ uggvénye is. Péld´ aul: 0! @K&( 0 K ' = $ + E '0 E C G +I + CQ Q BQB> &( 0 ' = & + + C 4+ ' +

Megeml´ıtj¨ uk még azt is, hogy a cj paraméterekben nemlineáris illesztési feladatok megold´ asához a

6 33 programcsomag f¨ uggvénye adhat seg´ıtséget. Alkalmazására a 3.11. szakaszban mutatunk péld´ at.

3.4.7. Vektoranal´ızis A 4 3V ) 3 programcsomagban meglev˝o f¨ uggvények a vektoranal´ızis alapvet˝ o fogalmainak haszn´ alatakor ny´ ujthatnak seg´ıtséget. Olvassuk be ezt a programcsomagot: A!K8! # (K

• Koordin´ ata-rendszerek Sz´ amos problémán´ al a derékszög˝ u koordin´ at´ ak helyett j´ oval el˝ony¨ osebb más koordin´ at´ akat alkalmazni. A leggyakrabban haszn´ alt

222

3. Fejezetek a matematikáb´ ol derékszög˝ u henger g¨ ombi pol´ ar

(4 *. ). ',), (68*. 8. 8,) és (4) *. 8. ',)

koordin´ ata-rendszerek mellett a következ˝okkel is dolgozhatunk:

L L 8 45 450& 4 4)

&68 0&4) 0& 068

(Ezek pontos defin´ıci´ oja [3]-ban sz¨ ukség esetén megtalálhat´ o.) A koordin´ ata-rendszerek jellemzésére, illetve megválasztásukra az alábbi f¨ uggvények haszn´ alhat´ ok:

4 * , 4 4 4 9 * , 4 6) 4 4 0 * , 09 * , 64 Az alapértelmezésben használt koordin´ ata-rendszer nevér˝ol, a koordin´ at´ ak elnevezésér˝ ol és lehetséges értékeikr˝ ol ´ıgy t´ a jékozódhatunk: A' "( 0 Cartesian A' A' E {{x, y, z}, {-Infinity < x < Infinity, -Infinity < y < Infinity, -Infinity < z < Infinity}}

Az alapértelmezésben használt koordin´ ata-rendszert is módos´ıthatjuk: " A' " @! Spherical[r, theta, phi] A' E {0 <= r < Infinity, 0 <= theta <= Pi, -Pi < phi <= Pi}

3.4. Anal´ızis

223

További lehet˝ oségeket illusztrálnak az al´ abbi péld´ ak: A' A @ A( '! {r Cos[theta], r Sin[theta], z} A' 0A + ( A( '! {Sqrt[x

2

2 + y ], ArcTan[x, y], z}

• M˝ uveletek vektorokkal Vektorok skaláris, vektori´ alis és vegyesszorzatát k¨ ul¨ onb¨ oz˝o koordin´ ata-rendszerekben is meghatározhatjuk: D &'! 1 1 1 A( '! u3 v3 + u1 v1 Cos[u2] Cos[v2] + u1 v1 Sin[u2] Sin[v2] A&'! 1 1 1 A {-(u3 v2) + u2 v3, u3 v1 - u1 v3, -(u2 v1) + u1 v2} "! &'!

1 1 1 Y Y Y A -u3 v2 w1 + u2 v3 w1 + u3 v1 w2 - u1 v3 w2 u2 v1 w3 + u1 v2 w3

• Skal´ armez˝ ok ´ es vektormez˝ ok u f¨ uggvény) gradiens vektor´ at a : Skal´ armez˝ o (azaz R3 → R t´ıpus´ elj´ ar´ assal számolhatjuk ki: O' + 4+ ( G +I I C (I + A y 3 2 y 2 2 {E - y + 2 x z , E x - 3 x y , 2 x z} O' @ A( '! (0,1,0) U [r, theta, z] (1,0,0) , {U [r, theta, z], r (0,0,1) U [r, theta, z]}

Vektormez˝ o (azaz R3 → R3 t´ıpus´ u f¨ uggvény) a´br´ azolásár´ ol a 3.5. szaaci´ o jukat pedig a 4 kaszban fogunk sz´ olni. Divergenci´ a jukat a 7, rot´ f¨ uggvénnyel kapjuk meg:

224

3. Fejezetek a matematikáb´ ol 1 +, (, , - +( ( + D1 1 + ( A 1 1 + x + y z : Q + CJ ( CJ CJ 11 6 A 1 + ( A y x { , -z, } 2 2 z y

A W&#*. = ', megadja a = ' koordin´ ata-rendszerb˝ ol a Descartes-félére való ´ attérés transzformáci´ o j´ anak deriv´ altmátrix´ at a pontban. A W&7*. = ', utas´ıtással pedig ennek a mátrixnak a determin´ ansát kaphatjuk meg. A Laplace- és a biharmonikus oper´ atorral is dolgozhatunk: % ! @ A( '! (0,2,0) u [r, theta, z] (0,0,2) + r u [r, theta, z] + r (1,0,0) (2,0,0) u [r, theta, z] r u [r, theta, z]) / r S@0 ! + ( u

(0,0,4) 2 u

[x, y, z] + 2 u

(2,0,2)

(0,2,2)

[x, y, z] + 2 u

[x, y, z] + u

(2,2,0)

(0,4,0)

[x, y, z] + u

Azonosságokat is igazolhatunk: D1 O' + ( A A % ! + ( A True A O' + ( A A {0, 0, 0}

[x, y, z] +

(4,0,0)

[x, y, z]

3.5. Differenciálegyenletek

225

3.5. Differenci´ alegyenletek Az anal´ızis egy bonyolultabb, o¨nmag´ aért is vizsgált és az alkalmazásokhoz is k¨ ozeláll´ o fejezetéhez érkezt¨ unk. Meg fogjuk mutatni, hogy a leggyakrabban el˝oker¨ ul˝ o problémák megoldásához hogyan lehet hozzáfogni, ha a Mathematic´ a t is seg´ıtség¨ ul h´ıvjuk. Több k¨ onyvet is szenteltek már a differenciálegyenletek és a Mathematica kapcsolat´ anak. Ezek k¨ oz¨ ul Abell és Braselton [1] könyve arra t¨ orekszik, hogy egyszer˝ u speciális alak´ u differenciálegyenletek megoldására haszn´ alt módszereket reproduk´ aljon, a Mathematic´ a val végeztetve a részletszám´ıt´ asokat. Vvedensky [86] k¨ onyve k¨ ozönséges és parciális differenci´ alegyenletekr˝ol szól, els˝ o r´ anézésre a fentinél sokkal jobbnak l´ atszik, mivel alaposan kihaszn´ alja a Mathematica lehet˝oségeit és sok feladatot tartalmaz. Megeml´ıtj¨ uk még Coombs és munkat´ arsainak u ´j k¨ onyvét [16]. ulnyom´ orészt k¨ oz¨ onséges differenci´ alegyenletekr˝ol Ebben a szakaszban t´ lesz szó; ha a k¨ ozönséges jelz˝ot elhagyjuk, ilyenekre gondolunk. Parci´ alis differenci´ alegyenletek k¨ oz¨ ul az els˝orend˝ uek — egy u ´jabb programcsomag felhaszn´ al´ asával — hasonl´ oan kezelhet˝ok, mint ahogyan pap´ıron-ceruz´ a” val”. M´ asodrend˝ u (line´ aris) egyenletekre vonatkozó feladatok k¨ oz¨ ul csak igen egyszer˝ uek oldhat´ ok meg Laplace-transzformáci´ o, hatv´ anysoros vagy Fourier-m´ odszer seg´ıtségével. Vég¨ ul — ahogyan m´ as szerz˝ok is megteszik a differenciálegyenletek tárgyalásán´ al — a vari´ aci´ oszám´ıt´ as legegyszer˝ ubb feladatair´ ol is szót ejt¨ unk. Ezt a bevezet˝o részt néh´ any a´ltal´ anos tan´ accsal zárjuk. Differenci´ alegyenletek megoldásán´ al igen gyakran el˝ ofordul, hogy figyelmeztet˝ o vagy hiba¨ uzeneteket kapunk. Ezut´ an még el˝ofordulhat, hogy vég¨ ul megkapjuk a helyes eredményt. Amiatt sem érdemes t¨ urelmetlenkedn¨ unk, hogy az ereduletnek meg, ugyanis egy differenciálegyenlet mények esetleg igen soká sz¨ megoldása esetenként néh´ anyszor t´ız percig vagy még tovább is eltarthat, szemben az egyszer˝ u feladatokn´ al megszokott másodpercekkel.

3.5.1. Ir´ anymez˝ o k´ et ´ es h´ arom dimenzi´ oban Kezdj¨ uk azzal, amivel a tank¨ onyvek és példatárak t¨ obbsége is kezdi: a´br´ azoljuk néh´ any differenciálegyenlet ir´ anymez˝o jét. Kétv´ altozós egyenletekhez uggvényeit haszn´ alhatjuk: a :8 30 3 programcsomag f¨

226


0V 0: 01

00) 0V

Els˝ o példaként nézz¨ uk meg a Lotka–Volterra-egyenletet: O @!K& 'K & 8! ' + C + ( + ( C ( + B ( B

Ha adott egy val´ os érték˝ uu ´gynevezett potenci´ alf¨ uggvény, amelynek gradiense a differenciálegyenlet jobb oldala, akkor gradiens-rendszer rel van dolgunk. Az ilyenek ir´ anymez˝o jének megrajzolásához elegend˝o a potenci´ alf¨ uggvényt megadni: & O' ' C+ G (I + B ) ( C # ! E CJ# 0 !

Ugyanilyen egyszer˝ uen lehet megrajzolni olyan egyenletek ir´ anymez˝o jét is, amelyek jobb oldala egy Hamilton-féle f¨ uggvényb˝ ol származik derivál´ as u ´tj´ an: & 70 ' C+ G (I + B ) ( C "! ! CJ/ # ! E CJ# 0 !

Az ugyanazon f¨ uggvényb˝ ol származó gradiens-rendszer és Hamilton-rendszer trajektóri´ ai ortogon´ alisak egym´ asra, ez az iránymez˝ok¨ on is j´ ol l´ atszik:


227

"@Y : ::

Megadhatunk egy komplex f¨ uggvényt is ahhoz, hogy ezt P´ olya-féle reprezentáci´ oban haszn´ aljuk ir´ anymez˝o kész´ıtésére. (Cauchy, Riemann és Erugin épp´ıgy lehetne a névad´ o.) A megadott f¨ uggvény val´ os része a jobb oldal els˝o, képzetes része pedig második koordin´ ataf¨ uggvénye. Legyen a = 1.5, 2.0, 4.0, és ezekkel az értékekkel szám´ıtsuk ki az al´ abbi f¨ uggvényt: * , - & &(' + G 6 (I) C + C ( C * )QB

228


Mivel a z → z 4 − 1 f¨ uggvénynek a negyedik egységgyök¨ ok a gy¨ okei, ezért ezen pontok k¨ ozelében kicsi a vektorok hossza. uggvény alkalmazhat´ o akkor, ha a jobb olA 0V f¨ dalt egy t´ abl´ azat (péld´ aul mérési adatoké) adja meg; vagy akkor, ha meghat´ arozott pontokban adott nagys´ ag´ u vektorokat akarunk csak kirajzolni. Ez ut´ obbira mutatunk péld´ at: 1* ,-% & 8! '

$ " A I " I A B & &N "! ! CJ /

Ha most s = 0.1 és s = 1 k¨ ozötti értékekre elkész´ıtj¨ uk az a´br´ akat és az eredményb˝ ol anim´ aci´ os filmet kész´ıt¨ unk (kijel¨ olj¨ uk az a´br´ akat, majd r´ akattintunk a filmszalagot mutat´ o ikonra vagy a megfelel˝ o men¨ upontra), akkor egy l¨ uktet˝ o (b´ ar kissé sz˝or¨ os) sz´ıv jelenik meg el˝ ott¨ unk! Bizonyos esetekben még három dimenzióban is áttekinthet˝ o az iránymeuggvényei z˝o. Ehhez a :8 30 F73 programcsomag alábbi f¨ haszn´ alhat´ oak:

0V F7 0: F7

0V F7

H´ıvjuk be a programcsomagot: O @!K& 'DK

A v´ alasz egy figyelmeztet˝o u ¨zenet, amely szerint a 6 és a # B8 azonos´ıtó több o¨sszefüggésben is el˝ofordul, s valamelyik defin´ıci´ ojuk elfedheti a m´ asikat. Tanulm´ anyozzuk most a Lorenz-egyenletet dinamikai szempontból érdekes paraméterértékek esetén! Ezeket az értékeket u ´gy v´ alasztottuk meg, hogy az egyens´ ulyi helyzetek sz´ ama és min˝osége k¨ ul¨ onb¨ oz˝o legyen: B $ M , - & 8! 'D

( C + + C ( C + + ( C $ + C ( C

Tanuls´ agos lehet megvizsgálni r k¨ ovetkez˝o értékeit: 0.9, 1.1, 20, 24.5, 25.

3.5.2. Megold´ as kvadrat´ ur´ aval Line´ aris, valamint egyszer˝ u szerkezet˝ u nemline´ aris egyenletek megold´ asát elv´ arjuk a matematikai programcsomagoktól. A szokásos kritérium az, hogy


229

Kamke [38] gy˝ ujteményéb˝ ol mennyit képesek megoldani. A Mathematica néh´ any kivételével mindet megoldja, és nemcsak explicit megoldásokat ad, hanem — amikor csak erre van m´ od, vagy ez az egyszer˝ ubb — impliciteket is. Mivel r´ anézésre egy egyenletr˝ol még nagy gyakorlat mellett is nehéz eld¨ onteni, hogy megold´ asa mennyire k¨ onny˝ u vagy nem, ezért érdemes vizsgál´ od´ asunk legelején beh´ıvni a

4 3763 csomag 76 függvényét, amely azonos nev˝ u, de nagyobb teljes´ıt˝ oképesség˝ u, mint bels˝ o t´ arsa. Az eredményeket érdemes mindig ellen˝ orizni. Gray [29] sok egyéb szempontb´ ol is kiv´ al´ o k¨ onyvében ezt mindig megteszi; ebb˝ol kider¨ ul, hogy maga az ellen˝orzés sem mindig teljesen triviális. Az alábbiakban erre csak néh´ any péld´ at mutatunk. El˝ oször egy negyedrend˝ u line´ aris egyenletet oldunk meg: ( C>CN+I) ( + G )+ (\ + C )+I (\\ + G +I (\\\ + G N+I) (\\\\ + B ' D"1 ( ( + +

• Hivatkoz´ asi m´ odok Az eredmény egy olyan (eset¨ unkben k¨ ozlésre nem méltóan hossz´ u) lista, amelynek els˝o és egyetlen eleme egy lista, amelynek egyetlen eleme egy — lok´ alis értékad´ asban felhaszn´ aland´ o — transzform´ aci´ os szab´ aly. Mindezek alapj´ an a megoldás x helyen vett helyettes´ıtési értékére — amit tovább szeretnénk egyszer˝ us´ıteni — az **+. +. (,, jellel hivatkozhatunk, as igen kifihiszen az nevet adtuk az egész eredménynek. (A névad´ alata a legkisebb zet˝od˝ o befektetés, ugyanis a T jelnek és rokonainak haszn´ jav´ıt´ as vagy módos´ıt´ as esetén is hib´ akra vezet.) A kapott eredmény a´ttekinthetetlen, de egyszer˝ ubb alakra lehet hozni: ( !

@ &Y4+ ' '

1/8 3/4 1/4 ((-1) (-((-1) C[1] Cos[x]) -(-1) C[3] Cos[x] 3/4 1/4 (-1) C[1] Cosh[x] + (-1) C[3] Cosh[x] + C[2] Sin[x] - I C[4] Sin[x] + C[2] Sinh[x] + I C[4] Sinh[x]))/ 3 (Sqrt[2Pi ] Sqrt[x])

230


Az Olvasóra (feladatul) hagyjuk annak ki¨ otlését, hogy az eredményt miképpen lehet u ´gy a´talak´ıtani, hogy a négy trigonometrikus f¨ uggvény mindegyike csak egyszer szerepeljen — a megfelel˝o egy¨ utthat´ okkal. uggvény h´ arom argumentuma k¨ oz¨ ul az els˝o Mint l´ athat´ o, a 76 f¨ az egyenlete(ke)t tartalmazza, beleértve a kezdeti és peremfeltételeket is. Szintaktikai akad´ alya nincs, hogy szokatlan (péld´ aul nemline´ aris, vagy hat´ arértékre vonatkozó) feltételekkel egész´ıts¨ uk ki a differenci´ alegyenleteket; esetenként még kaphatunk is megold´ ast. A második argumentum a megold´ asf¨ uggvény vagy annak helyettes´ıtési értéke. Ha a megold´ ast az egyenletbe vissza szeretnénk helyettes´ıteni, akkor az els˝o lehet˝oséget v´ alasszuk, hogy (egyszer˝ uen) ki tudjuk sz´ amolni a sz¨ ukséges deriv´ altakat is. Egyébként pedig a´ltal´ aban a m´ asodik lehet˝oség az áttekinthet˝ obb. A harmadik argumentum a f¨ uggetlen v´ altozó(ka)t tartalmazza. A h´ arom argumentum b´ armelyikét listaként kell megadni, ha egynél több összetev˝oje van. A k¨ ovetkez˝o feladatban az egyenletben bemenetként szerepel egy egységugr´ asf¨ uggvény. Ennek az egyenletnek a megold´ asa közben megismerked¨ unk a megold´ asra val´ o hivatkoz´ as egy másik módj´ aval is: A!KD!D K @ D"1

(\ + G ( + N " + G BQ ( B ( +

´ A megoldásf¨ uggvény teh´ at — a fentiek értelmében — ϕ. Erdemes a´br´ azolni ezt a f¨ uggvényt — a szokásos módon: & @ + + CBQ> BQ>

A legegyszer˝ ubb hivatkoz´ asi mód teh´ at a k¨ ovetkez˝o: D"1 (\ + C ( +I ( B ( +

Ennél a módn´ al illik arra vigy´ azni, hogy az egyenletben szerepl˝ o ismeretlen f¨ uggvény neve ne legyen azonos a konkrét megoldás nevével. Megjegyzend˝ o, hogy (péld´ aul m´ asodfok´ u) algebrai egyenleteknél erre szoktak u ¨gyelni, differenci´ alegyenleteknél kevésbé. ´ Altal´ aban viszont azt a hivatkoz´ asi módot szokt´ ak javasolni, amelynél az eredményt a tov´ abbiakban transzform´ aci´ os szab´ alyként haszn´ aljuk fel: D"1 + (\\ + G C+I (\ + C + ( + B ( BQ> (\ BQ> ( + + & 41 ( + Q : + CBQ QN


231

Vég¨ ul egy példa arra az esetre, amikor a megoldást (hiba¨ uzenetek sorozata ut´ an) implicit alakban kapjuk meg: D"1 (\ + ( +I G $ +IC ( + + Solve[Integrate[ 1 16 3 , y[x]] + y[x] + 2 a x y[x] 3 Sqrt[x] Log[x] == C[1], y[x]] 2

3.5.3. Els˝ o integr´ alok Ha nem tudjuk megoldani kvadrat´ ur´ aval az egyenletet, akkor még mindig lehet, hogy meg tudjuk hat´ arozni egy vagy néh´ any els˝o integr´ alj´ at. Az ehhez sz¨ ukséges k¨ uls˝ o f¨ uggvényt a

4 3076+3 programcsomagban tal´ aljuk meg. Határozzuk meg a Volterra–Lotka-rendszer egy els˝o integr´ alj´ at: A!K&D"1K 6 +\ + C+ ( (\ + ( C( + ( # : {-Log[x[t]] - Log[y[t]] + x[t] + y[t]}

3.5.4. Numerikus megold´ as Itt olyan kezdetiérték-problémákat fogunk megoldani, amelyek megold´ asa kvadrat´ ur´ aval nem hat´ arozhat´ o meg. A megoldás alapvet˝o eszköze az

76 bels˝o f¨ uggvény. Két péld´ at mutatunk az elj´ ar´ as használat´ ara. El˝ oször egy neurobiol´ ogiai modellt vizsgálunk, amelynek érdekessége, hogy a fel´ırt differenciálegyenlet-rendszer merev , azaz az egyes komponensf¨ uggvények deriváltjai k¨ ozött t¨ obb nagys´ agrend k¨ ul¨ onbség van. Az ilyen

232


egyenletek megoldására Gear óta speciális módszereket alkalmaznak. A Mathematica automatikusan vizsg´ alja a merevséget és sz¨ ukség esetén módszert változtat. Vizsgáljuk el˝ oször a k¨ ovetkez˝o leegyszer˝ us´ıtett formális kémiai reakciót [19]: 2X + Y −→ 3X

2X −→ X + Y

Y −→ X −→ O −→ Y

Írjuk f¨ ol és oldjuk meg ennek a reakci´ onak a t¨ omeghat´ as kinetik´ aj´ u induk´ alt differenci´ alegyenletét alkalmas sebességi álland´ okkal: ' $ D"1

+\ BQ+ I ( C BQ+ I G BQB>( C + (\ CBQ+ I ( G BQ+ I C BQB>( G + B B ( B B + ( B >B

Az ábr´ an j´ ol l´ atszik, hogy egyes id˝ oszakokban nagy k¨ ul¨ onbség van a két anyagfajta mennyiségének deriv´ altja k¨ ozött: & '

'

B >B

8 6 4 2

10

20

30

40

50

Ha az el˝oz˝o utas´ıt´ as elejére oda´ırjuk még a 0 szót, akkor a megoldások helyett a trajekt´ ori´ ak at (szelektivit´ asi g¨ orbék et) kapjuk meg. M´ asodik péld´ ankban egy egyszer˝ u ir´ any´ıt´ asi feladatot oldunk meg. Egy t´ argy h˝ omérsékletét adott hat´ arok k¨ ozött kell tartani olyan m´ odon, hogy ha az alsó hat´ art eléri a test h˝omérséklete, akkor bekapcsolunk valamilyen f˝ utést, ha pedig eléri a f¨ ols˝o hat´ art, akkor kikapcsoljuk azt.


233

A h˝ ulés folyamatát a Newton-féle h˝oátad´ asi törvény ´ırja le, amely szerint (¨ onkényesen, de alkalmasan megválasztott álland´ oval): T (t) = −0.1(T (t) − 273). A f˝ utés két esetben m˝ uk¨ odik: ha a h˝ omérséklet az alsó hat´ ar alatt van, vagy pedig ha a két hat´ ar k¨ ozött van és már eddig is m˝ uk¨ od¨ ott. Írjuk fel a végs˝o megoldást, s majd ut´ olag f˝ uzz¨ unk hozz´ a megjegyzéseket: D"1 \ CBQR CFQGX@!@

LQ @)Q

JBQ @BQ LQ BQ // @)Q )Q LQ BQ // @BQ BQ

BQFQ BQ NBQ +" CJ6 * ( +" "CJBQB {{T[t] -> InterpolatingFunction[{0., 60.}, <>][t]}} & 41 LQ BQ Q : BQ NBQ 300 295 290 285 280

10

20

30

40

50

60

Tanuls´ agos a lépések számát kisebbre vagy a maxim´ alis lépésközt nagyobbra venni és megnézni, mi t¨ orténik a megold´ assal. Ha a kezdeti feltételt magasabbra választjuk, akkor egy kemencéb˝ ol kivett t´ argyra gondolhatunk, amelynek a h˝ omérsékletét adott hat´ arok k¨ ozött kell tartani. Ez a feladat nyilv´ anval´ oan m´ asutt is alkalmazhat´ o modellként. Péld´ aul valamilyen gy´ ogyszer szintjét szeretnénk adott szinten tartani a vérben. Ezt nyilv´ an csak adott pontossággal k¨ ovetelhetj¨ uk meg, azaz csak azt ´ırhatjuk el˝o, hogy a szint két adott hat´ ar k¨ ozé essék. Ezt viszont egyszer˝ u esetben a fenti modell j´ ol k¨ ozel´ıti.

234


Els˝ o által´ anos´ıt´ asként érdemes a Newton-egyenlet helyett nemline´ aris egyenletet venn¨ unk. ´ Ertelmes által´ anos´ıt´ ashoz jutunk, ha a hat´ arokat nem a´lland´ oknak veszsz¨ uk, hanem két f¨ uggvénnyel adjuk meg. Esetleg ezeket a f¨ uggvényeket valamilyen differenci´ alegyenlet megold´ asaként kapjuk. M´ asik, kézenfekv˝ o a´ltal´ anos´ıt´ ashoz u ´gy jutunk, ha differenci´ alegyenletrendszer t tekint¨ unk és a megoldástól azt követelj¨ uk meg, hogy benne maradjon egy (esetleg id˝ot˝ ol f¨ ugg˝ o) halmazban, ´ıgy bizonyos t´ıpus´ u u ¨ld¨ ozési feladatok modelljéhez jutunk. • Numerikus m´ odszerek uggvény t¨ obblépéses prediktor-korrektor módszert haszAz 76 bels˝o f¨ n´ al, amelynek paraméterei az opciók seg´ıtségével módos´ıthat´ ok. Amennyiben a program érzékeli az egyenlet merevségét, automatikusan implicit differencia-módszerre tér át. A Runge–Kutta-m´ odszerrel oldhatjuk meg az egyenletet a

9; f¨ uggvény seg´ıtségével. Ezt a 0 39;3 programcsomagban tal´ alhatjuk meg. A t¨ obblépéses lineáris Runge–Kutta-t´ıpus´ u módszereknek a tanulm´ anyoz´ asához seg´ıtséget kaphatunk a

#83L83 programcsomag 9;A f¨ uggvényeit˝ol.

3.5.5. Laplace-transzform´ aci´ o A mérn¨ oki irodalomban a Laplace-transzform´ aci´ ot a leggyakrabban lineáris, a´lland´ o egy¨ utthat´ os közönséges differenciálegyenletekre és differenciálegyenlet-rendszerekre (vagy ilyenekre visszavezethet˝okre) szokták alkalmazni, illetve olyan egyenletekre, amelyek bal oldal´ an egy line´ aris, a´lland´ o egy¨ utthat´ os operátornak az ismeretlen f¨ uggvényen felvett értéke, a jobb oldal´ an pedig egy ugyanilyen t´ıpus´ u oper´ atornak egy ismert, u ´gynevezett bemeneti f¨ uggvényen felvett értéke áll. Az els˝ o két t´ıpusra — mint a´ltal´ aban, u ´gy itt is — f¨ ol¨ osleges a Laplace-transzformáci´ ot alkalmazni, hiszen haszn´ alata a´ltal´ aban semmilyen el˝onnyel nem j´ ar. Kivételt képeznek tal´ an


235

ez alól a nem folytonos jobb oldal´ u differenciálegyenletek (amelyeket péld´ aul bekapcsol´ asi jelenségek modellezésére használnak). K¨ ovetkezzék most egy ilyen példa: A!K% ! *0K A!KD!D K ( (\ + G ) ( + " + % ! *0 ( + 4 LaplaceTransform[y[x], x, s] + s LaplaceTransform[y[x], x, s] - y[0] ==

1 s

: Q % ! *0 ( + + CJ ] 1 -y[0] + 4 Y[s] + s Y[s] == s

Kaptunk teh´ at egy (egyszer˝ u, algebrai) egyenletet az Y Laplace-transzformáltra. Oldjuk meg: "1 : Q ( BCJ ] -1 - 2 s )}} {{Y[s] -> -( s (4 + s)

A kapott eredményt vissza kell transzformálni”: ” 6 1% ! *0 :

+ 7 1 + 4x 4 4E

Integr´ alegyenleteknél (péld´ aul konvol´ uci´ ot tartalmazókn´ al) is el˝ ofordul, hogy a megold´ as meghatározásában ténylegesen seg´ıt a Laplace-transzformáci´ o. Most megoldunk egy ilyen integr´ alegyenletet: ( 6 4I C B ( % ! *0 ( s

-2

==

LaplaceTransform[g[t], t, s] -1 + s

"1

( Q % ! *0 CJ O O -1 + s {{G[s] -> 2 }} s 6 1% ! *0 :

1 - t

236


Vég¨ ul pedig megeml´ıtj¨ uk, hogy a parci´ alis differenci´ alegyenletekr˝ ol szól´ o részben is alkalmazzuk majd a Laplace-transzform´ aci´ ot.

3.5.6. Megold´ as hatv´ anysorokkal Ha a kvadrat´ ur´ aval nem tudjuk megkapni egy differenci´ alegyenlet megoldását, akkor megpr´ ob´ alkozhatunk azzal, hogy hatv´ anysor alakban keress¨ uk a megoldást. Ennek az elj´ ar´ asnak az elméleti h´ atterét az az Eulert˝ol származó eredmény képezi, amely szerint analitikus jobb oldal´ u egyenletnek létezik analitikus megold´ asa. A Mathematica seg´ıtségével egy hatv´ anysor alak´ u megold´ as tetsz˝oleges, de véges sok tagja meghatározhat´ o. Els˝ o péld´ ank Grayt˝ ol [29] származik. Meg akarjuk oldani hatv´ anysor alakban az y (x)2 − y(x) = x differenci´ alegyenletet. K¨ ozel´ıts¨ uk egy hatv´ anysor véges szeletével az y f¨ uggvényt; az ismeretlen egy¨ utthat´ okat jel¨ olj¨ uk a[i]-vel: ( +, - "D + B $ B N ' D ( + +I C ( + + 2 (-a[0] + a[1] ) + (-a[1] + 4 a[1] a[2]) x + 2 2 (-a[2] + 4 a[2] + 6 a[1] a[3]) x + 3 (-a[3] + 12 a[2] a[3] + 8 a[1] a[4]) x + 2 4 (9 a[3] - a[4] + 16 a[2] a[4] + 10 a[1] a[5]) x + 5 (24 a[3] a[4] - a[5] + 20 a[2] a[5] + 12 a[1] a[6]) x + 6 O[x] == x

Szeretnénk az egy¨ utthat´ okra egy egyenletrendszert kapni: @( %!4+ ' ' 2 -a[0] + a[1] == 0 && -1 - a[1] + 4 a[1] a[2] == 0 && 2 -a[2] + 4 a[2] + 6 a[1] a[3] == 0 && -a[3] + 12 a[2] a[3] + 8 a[1] a[4] == 0 && 2 9 a[3] - a[4] + 16 a[2] a[4] + 10 a[1] a[5] == 0 && 24 a[3] a[4] - a[5] + 20 a[2] a[5] + 12 a[1] a[6] == 0


237

Ahhoz, hogy ezeket megoldjuk, sz¨ ukség¨ unk van még egy kezdeti feltételre: @0 "1 @( B $ B N {{a[0] -> 1, a[6] -> 0, a[5] -> 0, a[4] -> 0, a[3] -> 0, a[2] -> 0, a[1] -> -1}, 469 41 5 {a[0] -> 1, a[6] -> , a[5] -> , a[4] -> , 11520 960 96 1 1 a[3] -> - , a[2] -> , a[1] -> 1}} 12 2

Helyettes´ıts¨ uk vissza a két megoldást y-ba, hogy megkapjuk a hatv´ anysor alak´ u k¨ ozel´ıtést: 0 ( + Q @0 O[x] , {1 - x + 7 2 3 4 5 6 x x 5x 41x 469x 7 1 + x + + + +O[x] } 2 12 96 960 11520

Miel˝ ott ´ abr´ azolhatn´ ank, norm´ alalak´ u kifejezéssé kell alak´ıtani ezeket: & 41 0 0 + B

Vég¨ ul megmutatjuk, hogy hatodrendben” mindkét f¨ uggvény megold´ as: ” ' Q @0 6 6 {x + O[x] == x, x + O[x] == x}

Normálform´ aj´ uv´ a alak´ıtva az egyenleteket, pontos egyezéseket kapunk: 0 : {True, True}

Egyes — k¨ ul¨ on¨ osen kedvez˝o — esetekben el˝ofordulhat, hogy meg tudunk sejteni egy, a hatv´ anysor egy¨ utthat´ oi k¨ ozött fenn´ all´ o rekurz´ıv o¨sszef¨ uggést, s ekkor a

7 #83963 programcsomag 96 f¨ uggvényét használhatjuk. Trivi´ alis péld´ at mutatunk. Legyen a megoldand´ o kezdetiérték-probléma: y (x) = y(x)

y(0) = 1.

( +, - "D + B $ B )

238

3. Fejezetek a matematikáb´ ol ' D ( + + C ( + B (-a[0] + a[1]) + (-a[1] + 2 a[2]) x + 2 (-a[2] + 3 a[3]) x 3 (-a[3] + 4 a[4]) x + 4 O[x] == 0

Az egy¨ utthat´ okra ezt az egyenletrendszert kapjuk: %!4+ ' ' -a[0] + a[1] == 0 && -a[1] + 2 a[2] == 0 && -a[2] + 3 a[3] == 0 && -a[3] + 4 a[4] == 0

Használjuk f¨ ol a kezdeti feltételt, és vegy¨ uk észre”, hogy milyen o¨sszef¨ uggés ” van az egy¨ utthat´ ok k¨ ozött: D! @KE"1K E"1 G G C B B 1 }} {{a[n] -> n!

Verifik´ aljuk, hogy amit kaptunk, az val´ oban megold´ as: * +, &Y"0 Q : +

# ' *\ + * + * B True

Vég¨ ul megeml´ıtj¨ uk, hogy Vvedensky [86] k¨ onyvében szingul´ aris feladatok megoldására haszn´ alja a hatv´ anysoros módszert. Hatv´ anysor alak´ u megold´ asok keresésénél érdemes még gondolni a k¨ ovetkez˝o programcsomagokra:

&36)&63 7 #834&653

3.5.7. Szukcessz´ıv approxim´ aci´ o A szukcessz´ıv approxim´ aci´ o módszerét ink´ abb elméleti vizsgálatokn´ al szok´ as alkalmazni, éppen azért, mivel a konkrét feladatok megold´ asán´ al fellép˝ o integr´ al´ asok kézzel nehezen végezhet˝ok el. Legyen a megoldand´ o egyenletek

3.5. Differenciálegyenletek által´ anos alakja:

239

x (t) = f (t, x(t)) x(τ ) = ξ,

u folytonos f¨ uggvény, τ ∈ R, ξ ∈ Rn . Ezek k¨ oz¨ ul ahol f R×Rn → Rn t´ıpus´ egy olyan esettel foglalkozunk, ahol n = 1; konkrétan az x (t) = x(t)2

x(0) = 1

egyenlet megoldását fogjuk megadni az identit´ asf¨ uggvényb˝ ol (Mathematiozel´ıtésb˝ol kiindulva. (Az cai megfelel˝ oje: * . ,) mint kezdeti k¨ al´ abbiakb´ ol ki fog t˝ unni, hogy programoz´ asi szempontból az által´ anos eset megoldása semmivel sem nehezebb a speciálisn´ al.) A kezdeti defin´ıci´ ok ut´ an kiszám´ıtjuk a pontos megold´ ast: B = * , 1, - 1I , D"1

+\ + I + B +

1 1-z

K¨ ovetkezzék a differenciálegyenlettel egyenérték˝ u integr´ alegyenlet jobb oldal´ at defini´ al´ o integr´ aloper´ ator: # *, - "0 *(

! = G 6 * *

Ez az oper´ ator val´ oban f¨ uggvényekhez f¨ uggvényeket rendel, ezért amikor f¨ uggvényértékekre lesz sz¨ ukség¨ unk az al´ abbiakban, alkalmazzuk majd a P*', függvényérték-számoló”-t. ” Sz´ am´ıtsuk ki az els˝ o¨ ot k¨ ozel´ıtést: % # ! >

Az eredményb˝ ol hagyjuk el az els˝ o f¨ uggvényt, és a listához vegy¨ uk hozz´ a a pontos megold´ ast az összehasonl´ıt´ o a´br´ azolás el˝okész´ıtése végett, majd ábr´ azoljuk — a´ttekinthet˝o módon — az o¨sszes f¨ uggvényt: # ' . / E : & 41 : B BQL & E C J # & " ( CJ @!= BQBB @!= BQBB @!= BQBB @!= BQBB)

240

3. Fejezetek a matematikáb´ ol @!= BQBB> @!= BQBBN D@ QB> QB EOSA B B

!= CJ BQ BQM ) B

10 8 6 4

0.2

0.4

0.6

0.8

(Hogyan adhatn´ ank meg elegánsabban a vonalvastags´ agokat?) ´ Erdemes arra is gondolnunk, hogy a Mathematica megkönny´ıtheti az ilyenkor sz¨ ukséges becslések elvégzését is.

3.5.8. Stabilit´ aselm´ elet A Lorenz-egyenlet konkrét péld´ a j´ an elvégezve a lineáris stabilitásvizsgálatot megmutatjuk, hogy ez itt lényegében azonos a matematikai képletek le´ır´ asával. A szokásosan r-rel jel¨ olt paramétert fogjuk v´ altoztatni, a t¨ obbieknek konkrét értéket adunk. Els˝ o lépésben meghatározzuk a stacion´ arius pontokat: B $ M * +, +, +,- + C + + C + C + + + + C $ + ! "1 * + + + B + + +

(Ha nem ilyen egyszer˝ u polinommal tal´ alkozunk, akkor érdemes visszalapozni az egyenletek megoldásár´ ol szól´ o 3.3. szakaszhoz.) A k¨ ovetkez˝o lépés a Jacobi-mátrixnak és sajátértékeinek kiszám´ıt´ asa a stacionárius pontokban:


241

W!$ +, +, +, - 2 D * + + + + + + 4 1 W!$ + + + Q !

A számolások eredményeib˝ ol j´ ol l´ atszik, hogy a saj´ atértékek valós részének el˝ojele miként v´ altozik, ha ismét a fent eml´ıtett r = 0.9, 1.1, 20, 24.5, 25 paramétersorozaton vizsgáljuk. Az els˝ o helyen péld´ aul azt kapjuk, hogy az els˝o egyens´ ulyi helyzet stabilis, a másik kett˝o pedig instabilis: A@ : Q CJ BQL $0 -2.66667 -10.9083 -0.0916731 0.169767 -10.9736 -2.86284 0.169767 -10.9736 -2.86284

• A Mihajlov-f´ ele krit´ erium Line´ aris stabilitásvizsgálatn´ al a végs˝o lépésben azt kell megállap´ıtanunk, hogy a lineariz´ alt rész karakterisztikus polinomjának saj´ atértékei milyen val´ os rész˝ uek. Ezt a legnehezebb a k¨ ozismert Hurwitz-módszerrel eld¨ onteni. (Bár ennek alkalmaz´ asát megkönny´ıti a 3.4.4. pontban defini´ alt 6= 2

függvény.) Egy kevés számolást igényl˝o eljárást ad a Mihajlov-módszer, amely szerint az n-edfok´ u f polinom stabilitásának sz¨ ukséges és elegend˝o feltétele az, hogy ω → f (iω) ne menjen a´t az origón és ker¨ ulje meg azt nπ/2 szögben pozit´ıv ir´ anyban, mid˝ on ω befutja a [0, ∞) intervallumot. Illusztráljuk a kritériumot egy péld´ an: * ,- I> G I) G F I G M I G B G N =! &0 !& E * 6 0 60 * 6 0 0 B N

A k¨ ovetkez˝o ´ abr´ an l´ atszik a hossz´ u t´ av´ u viselkedés, de elhelyezt¨ uk benne a kezdeti viselkedést mutató részt is: &0 !& E * 6 0 60 * 6 0 0 B N & E CJ # 0 CJ & CJ E! >B BBB BB NBBB =!

242


6000

15 10 5

5000 4000

5

3000

10

15

2000 1000 0 0

500

1000

1500

2000

Egy nyilv´ anval´ o potenciális alkalmaz´ asi ter¨ uletet a stabilit´ aselméleten bel¨ ul csak megeml´ıt¨ unk: igen sok sz´ amolást igényel által´ aban, ha adott alak´ u Ljapunov-f¨ uggvényt keres¨ unk egy differenciálegyenlethez. Ehhez esetleg haszn´ alhat´ o lehet az els˝o integr´ al, vagy azért, mert deriv´ altja definit, és ekkor a stacionárius pont stabilis, vagy azért, mert az egyenlet jobb oldal´ anak egy részéhez tal´ alunk olyan els˝ o integr´ alt, amely az egész egyenlethez megfelel Ljapunov-f¨ uggvénynek.

3.5.9. Parci´ alis differenci´ alegyenletek • Els˝ orend˝ u egyenletek Els˝ orend˝ u parci´ alis differenci´ alegyenletek megoldásához által´ aban érdemes azonnal beh´ıvni a 4 3076+3 csomagot: A!K&D"1K

El˝ oször oldjunk meg egy kv´ aziline´ aris egyenletet: D"1 CC+ C ( G + (I G +I D + ( + C D + ( ( B + ( + ( {{u[x, y] -> 2 2 x + y - x C[1][x+y] - x y C[1][x+y] )}} - ( -1+ x C[1][x+y]


243

M´ıg k¨ ozönséges differenciálegyenletek esetén 4*+,. 4*(,. . . . tetsz˝oleges álland´ okat jel¨ olt, itt ezek tetsz˝oleges (elegend˝ oen sokszor differenciálhat´ o) f¨ uggvények. Az eredmény pedig az egyenlet ´ altal´ anos megold´ asa. Most meghatározzuk egy lineáris, h´ aromv´ altozós f¨ uggvényre vonatkoz´ o egyenlet által´ anos megoldását: D"1 C+ ( G I D Y + ( G (I D Y + ( ( G +I D Y + ( + B Y + ( + ( x 2 x y z Log[ ] y ) + {{w[x, y, z] -> -( 2 -(x y) + y + x z - y z x 2 x y z Log[ ] 1 1 1 1 z 2 + C[1][ x - y , x - z ]}} -(x y) + x z + y z - z

Az által´ anos megoldás nem mindig adhat´ o meg. Sok esetben viszont megadhat´ o a teljes integr´ al, amelyb˝ ol majdnem minden peremérték-feladat megold´ asa kvadrat´ ur´ aval el˝ o´ all´ıthat´ o: A0 6

D + ( ( + ( G +I D + ( +I( + ( + ( {{u[x, y] -> 2 2 B[1] Log[x] Log[x] -B[1] + y B[2] }} 4 2 4

Ha nincs a´ltal´ anos megoldás, akkor o¨n´ all´ oan a teljes megoldás meghatározásával k´ısérletezik a program: D"1

C! G $ D +( ( G ( D +( + G D +( +I B +( + ( DSolve::nlpde: This is a nonlinear partial differential equation. General solution is not available. Trying to build a complete integral instead. 2 ay B[1] c y + x B[1] {{u[x, y] -> b 2b 2 yB[1] + B[2] + y B[2]}} b

244


Vég¨ ul megeml´ıtj¨ uk, hogy a megold´ o algoritmusok azon alapulnak, hogy meghatározzák k¨ ozönséges differenciálegyenlet-rendszerek els˝o integr´ aljait. uggvény seg´ıtségéEzek k¨ ozvetlen¨ ul is megkaphat´ ok a f¨ vel, amelynek haszn´ alat´ ara a k¨ ozönséges differenciálegyenleteknél láttunk péld´ akat. • M´ asodrend˝ u egyenletek El˝ oször megmutatjuk egy olyan (vegyes) feladat megoldását, amelyhez a

4 3076+3 csomag nem használható. Szeretnénk megoldani a ∂ 2 u(x, t) ∂u(x, t) = ∂t ∂x2 diff´ uzi´ os vagy h˝ ovezetési egyenletet az u(x, 0) = 3 sin(2πx)

x ∈ [0, 1]

kezdeti és az u(0, t) = u(1, t) = 0 homogén peremfeltétel mellett. Alkalmazzuk a Laplace-transzformáci´ ot: A!K% ! *0K % ! *0

D + D + + s LaplaceTransform[u[x, t], t, s] - u[x, 0] == (2, 0) LaplaceTransform[u [x, t], t, s]

(Vegy¨ uk észre, hogy semmilyen u ¨gyeskedésre nem volt sz¨ ukség ahhoz, hogy az egyenlet két oldal´ at transzform´ aljuk.) Most a transzform´ alt egyenletet áttekinthet˝obbé tessz¨ uk: : Q % ! *0 +, -J + % ! *0 D1 1 + ,B +, -J D + ++ - u[x,0] + s U[x] == U’’[x]

Ez az egyenlet az adott kezdeti feltétellel könnyen megoldhat´ o: D"1 : Q +, B CJ " & + B B B + + 3 Sin[2 Pi x] }} {{U[x] -> 2 4 Pi + s

A végeredményt inverz transzformáci´ oval kapjuk:


245

6 1% ! *0 + Q : 3 Sin[2 Pi x] { } 2 4Pi t E

3.5.10.Vari´ aci´ osz´ am´ıt´ as A Mathematica tartalmaz egy k¨ ul¨ on programcsomagot vari´ aci´ oszám´ıt´ asi ogz´ıfeladatok megold´ asára, ez a 4 3V#8 3. Ez r¨ tett végpont´ u problémákat tud megoldani, amelyeknél azonban a f¨ uggetlen és a f¨ ugg˝ o v´ altozó is lehet vektor. Mindenekel˝ ott h´ıvjuk be a vari´ aci´ oszám´ıt´ asi programcsomagot: A!K8 @'K

A minim´ alis felsz´ın˝ u forg´ astest meghatározásához hat´ arozzuk meg az xmax y(x) 1 + y (x)2 dx xmin

funkcion´ al els˝o vari´ aci´ oj´ at: '0 * 8 D ( + "5 G(\ +I ( + + 2 1 + y’[x] - y[x] y’’[x] 3 2 2 (1 + y’[x] )

Az Euler-féle egyenletet — közvetlen¨ ul is — k¨ onnyen f¨ ol tudjuk ´ırni: 0 * 445 ( + "5 G(\ +I ( + + 2 1 + y’[x] - y[x] y’’[x] == 0 3 2 2 (1 + y’[x] )

Val´ os-valós f¨ uggvények k¨ orében a fenti egyenlet nyilván egyenérték˝ u azzal, amelynél a fenti bal oldal sz´ amlál´ oj´ at tessz¨ uk null´ aval egyenl˝ ové: D"1 0 : B ( + + +, :

Q A CJ A CJ B x -2x E (1+E ) 2

246


Talán nem meglep˝o, hogy eredmény¨ ul a l´ ancgörbét kapjuk. A minim´ alis felsz´ın˝ u forg´ astestet a következ˝oképpen lehet megjelen´ıteni: O @!K"*!2*E1 K "*!2*E1 + + B E1 #+ CJ B B

• A Ritz-m´ odszer A vari´ aci´ oszám´ıt´ as alapvet˝o numerikus m´ odszere a Ritz-m´ odszer . Bizonyos speciális esetekben ennek alkalmazásához a VL és uggvény haszn´ alhat´ o. az VL f¨

3.5.11. Gyakorlatok ´ es feladatok 1. Ha egy vektormez˝o ´ abr´ azolásán´ al mindkét ir´ anyban 30–30 pontot akarunk felvenni és azt akarjuk, hogy a vektorok alapértelmezés szerinti hossza 0,3-szeresére változzék, akkor ezt ´ıgy tehetj¨ uk meg: & 8! ' " + ( A + ( + B & ( B & & & CJ B "! ! CJ Q./

2. H´ arom dimenzi´ oban is megadhatunk egy potenci´ alf¨ uggvényt: & O' 'D + (I I + C ( C C & O' 'D + (I I + B ( B B & O' 'D A + ( I + BQB BQB> ( BQBL BQ BQBL BQ 8! 7' CJ

3. Határozzuk meg az ∂z(x, y) ∂z(x, y) + yz(x, y) = −xy ∂x ∂y egyenlet által´ anos megoldását, valamint azt az integr´ alfel¨ uletet, amely orbén. atmegy a z(x, x2 ) = x3 g¨ ´ xz


247

´ Utmutat´ as. Határozzuk meg az egyenlet által´ anos megoldását: A# D"1

+ + ( D + ( + G ( + ( D + ( ( C+ ( + ( + ( y 2 Sqrt[y] Sqrt[-x - 2 C[1][ ]] x }, {{z[x, y] -> Sqrt[x] y 2 Sqrt[y] Sqrt[-x - 2 C[1][ ]] x {z[x, y] -> }} Sqrt[x]

[ +, (, - :

[ +, (, - :

+I &Y4+ ' "0 *( [ + ( Q ( CJ +I 3 2 x == -(Sqrt[x] Sqrt[-x - 2 C[1][x]]) "1 : A + 2 3 x (1+x ) }} {{C[1][x] -> 2 "1 +I &Y4+ ' "0 *( [ + ( Q ( CJ +I A + 2 3 x (1+x ) }} {{C[1][x] -> 2

Az Olvasóra hagyjuk az adott feltételeket kielég´ıt˝ o megoldás teljes meghat´ arozását. 4. Oldjunk meg egy line´ aris álland´ o egy¨ utthat´ os rendszert a # f¨ uggvény felhaszn´ al´ asával.

248


3.6. Diszkr´ et matematika A matematik´ anak ez a ter¨ ulete az ut´ obbi évtizedekben rendk´ıv¨ ul gyors fejl˝ odésen ment kereszt¨ ul és számos más ter¨ ulettel ker¨ ult kapcsolatba. Néh´ any péld´ an kereszt¨ ul bemutatjuk, hogy feladatainak megold´ asán´ al hogyan haszn´ alhat´ o a Mathematica program. Megeml´ıtj¨ uk, hogy a sz´ amelmélettel k¨ ul¨ on is foglalkozunk a 3.9. szakaszban, a val´ osz´ın˝ uségszám´ıt´ assal pedig a 3.10. szakaszban. Nem soroltuk fel itt a listakezel˝o f¨ uggvényeket (2.3.1. pont és 3.1.2. pont) és a lineáris algebr´ aban (3.8. szakasz) használatos f¨ uggvényeket, amelyek nyilv´ anval´ oan sok hely¨ utt alkalmazhat´ ok a kombinatorik´ aban. Mind¨ ossze néh´ any péld´ at adunk ezek alkalmazására. Felh´ıvjuk a figyelmet Skiena [76] k¨ onyvére, az általunk is bemutatand´ o programcsomag onnan ker¨ ult be a Mathematica programcsomagjai k¨ ozé. Megadjuk tov´ abb´ a a szerz˝o elektronikus c´ımét is:

=% & H ) &H A leg´ ujabb v´ altozat anonim ftp-vel let¨ olthet˝ o a H ) &H c´ımr˝ ol. A matematikai fogalmakat illet˝ oen a [23] és a [39] jegyzetet ajánljuk az Olvas´ o figyelmébe.

3.6.1. Adott tulajdons´ ag´ u list´ ak Néh´ any j´ ol haszn´ alhat´ o bels˝o f¨ uggvényt sorolunk fel:

0 9

9 6 6W6)& 6 8W6)&

El˝ oször a kombinatorik´ aban el˝ofordul´ o, adott feltételeknek eleget tev˝o objektumokat (list´ akat vagy halmazokat) fogunk el˝ oáll´ıtani, kés˝obb pedig le fogjuk számlálni ezeket. Az alkalmazott bels˝ o f¨ uggények egy része szerepel a listákn´ al és a halmazokn´ al, más rész¨ uk a line´ aris algebr´ an´ al. Itt most a kombinatorika speciális objektumainak megszerkesztésére összpontos´ıtunk:

3.6. Diszkrét matematika

249

&0 {{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}}

Meghatározhatjuk azt is, hogy az egyes permut´ aci´ ok p´ arosak-e vagy p´ aratlanok, azaz p´ aros vagy p´ aratlan szám´ u inverzi´ oval ad´ odnak-e a nagyság szerint ( lexikografikusan”) sorba a´ll´ıtott számokb´ ol: ” " : {1, -1, -1, 1, 1, -1}

V´ alasszuk ki a permut´ aci´ ok k¨ oz¨ ul a p´ arosakat: "! " . / {{1, 2, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}}

A 6 f¨ uggvény f¨ olfoghat´ ou ´gy is, mint egy teljesen antiszimmetrikus tenzor, vagy mint a Levi–Civit` a-féle, más néven epszilon-szimbólum. utthat´ o, valamint a Wignert˝ ol Mint ilyennek, rokona a 4& 8: egy¨ származó 8W6)& és a Racah-féle 6W6)&. A permut´ aci´ ok a 7 #830 3 programcsomaggal vizsgálhat´ ok részletesebben. Ebben a k¨ ovetkez˝o f¨ uggvények találhat´ ok:

4) 0

9 0 4)

El˝ oször a´ll´ıtsuk el˝ o 10 szám véletlen permut´ aci´ oj´ at: D! @K&0 K E '0&0 B {4, 1, 5, 3, 2, 8, 10, 9, 6, 7}

Bontsuk fel a kapott permut´ aci´ ot ciklusokra:

A(! : {{4, 3, 5, 2, 1}, {8, 9, 6}, {10, 7}}

A ciklusokb´ ol kiindulva viszont megszerkeszthet˝o a megfelel˝o permut´ aci´ o; most példaként az eredetit áll´ıtjuk vissza: 0A(! :

További, a permut´ aci´ ok tanulm´ anyoz´ asára haszn´ alhat´ o f¨ uggvények vannak a 7 #834&3 programcsomagban:

250


0 6& #480

9 0 9 0+ 9 0( 9=0

´ Ugy is el˝oa´ll´ıthatjuk r¨ ogz´ıtett szám´ u elem permut´ aci´ oit, hogy a m´ asodikt´ ol kezdve mindegyik egy transzpoz´ıci´ oval a´ll el˝ o az ˝ot megel˝oz˝ob˝ ol: D! @KA0$ !K 00A@ &0 {{1, 2, 3}, {2, 1, 3}, {3, 1, 2}, {1, 3, 2}, {2, 3, 1}, {3, 2, 1}}

Ha elég sok véletlen permut´ aci´ ot vesz¨ unk, akkor nagy val´ osz´ın˝ uséggel az összes el˝o fog fordulni k¨ ozött¨ uk: % @

$ E '0&0 B 6

Permut´ aci´ ok inverze is megkaphat´ o: 6 1&0

> ) > )

{{1, 5, 3, 4, 2}, {5, 3, 1, 4, 2}}

Az inverzi´ ok száma egy permutáci´ oban ugyannyi, mint az inverzében: E '0&0 >B 6 1 6 1 6 1&0 {629, 629}

Két permut´ aci´ o kompoz´ıci´ oj´ anak el˝oáll´ıt´ asára mutatunk egy m´ odszert: E '0&0 > {4, 3, 1, 5, 2}

E '0&0 > {2, 3, 4, 5, 1}

& & ./ E > {5, 4, 2, 1, 3}

A skatulyaelv seg´ıtségével bebizony´ıthat´ o [39], hogy n2 + 1 k¨ ul¨ onb¨ oz˝o számb´ ol a´ll´ o sorozatból kiv´ alasztható n + 1 hossz´ us´ ag´ u monoton sorozat. Ezt ´ıgy illusztrálhatjuk:


251

E '0&0 F {12, 6, 1, 4, 3, 2, 8, 5, 13, 7, 14, 9, 15, 10, 16, 11, 17} % 6 ! "$5 ! {1, 2, 5, 7, 9, 10, 11, 17}

A leghosszabb monoton csökken˝ o részsorozatot pedig ´ıgy v´ alaszthatjuk ki: M C % 6 ! "$5 ! M C : {12, 6, 4, 3, 2}

Vég¨ ul megeml´ıtj¨ uk a 7 #834&3 programcsouggmag f¨ uggvényei k¨ oz¨ ul a :)4 , a ;6& és az 86& f¨ vényt, amelyek adott tulajdons´ ag´ u listák el˝oáll´ıt´ asára szolgálnak, s amelyeket részben már másutt haszn´ altunk, részben pedig a szakasz végén fogunk haszn´ alatukra péld´ akat mutatni a Gyakorlatok és feladatok k¨ ozött.

3.6.2. Lesz´ aml´ al´ as A kombinatorika tipikus feladata a lesz´ aml´ al´ as: adott feltételeknek eleget tev˝ o, adott méret˝ u objektumok számát hat´ arozzuk meg ilyenkor. Egy kevéssé elegáns módszer sokszor rendelkezés¨ unkre a´ll (b´ ar gyakorlatilag esetenként kivitelezhetetlen) leszámlál´ asi feladatok megoldására: megszerkesztj¨ uk a k´ıv´ ant tulajdons´ ag´ u objektumokat, ezut´ an megszámoljuk, hogy h´ any van bel˝ ol¨ uk: % @ &0 6

A leszámlál´ asi feladatokhoz segédeszközként a leggyakrabban a következ˝o bels˝o f¨ uggvényeket használjuk:

( : L 8 #

0 0 0 088 6+ 6(

252


n elem permutáci´ oinak száma: n!. A f¨ uggvény (ennek r¨ ovid uggvény megfelel˝o értékét adja: alakja ) nem egész számokra a : f¨ B; QN; {265252859812191058636308480000000, 13.3813}

anyféleképpen v´ alaszthatunk ki n elem k¨ oz¨ ul kett˝ ot? Az erre adand´ o nH´ v´ a laszt a Mathematic´ a ban ´ ıgy kaphatjuk meg: 2 S 0 (-1 + n) n 2

Hat piros és öt fehér goly´ ot annyiféleképpen rakhatunk sorba, ah´ anyféle(6+5)! képpen 11 goly´ o k¨ o z¨ u l kiv´ a laszthatunk o ¨ t¨ o t (vagy hatot). Ez a sz´ a m 6!5! 11 vagy 5 , értékét ´ıgy szám´ıthajuk ki: 0 N > S 0 N {462, 462}

H´ anyféle szó ´ all´ıthat´ o össze a Mathematica szó bet˝ uib˝ ol? 0 1663200

H´ anyféleképpen lehet 4 t´ argyat u ´gy permut´ alni, hogy egyik se maradjon a helyén? D! @KA0$ ! K "$*! ) 9

6&5*, értékét az n!

n

k k=0 (−1)

képlet felhasznál´ asával szám´ıtja a program. Ugyanebben a programcsomagban megtaláljuk még a szintén leszáml´ al´ ashoz (pénzvált´ asi probléma, bolyong´ asok száma, helyes zár´ o jelezések 4& k¨ u ls˝ o f¨ u ggv´ e nyt, amelynek az értéke száma stb.) haszn´ a lt 2n 1 , valamint k´ e t rekurz´ ıve defini´ a lt f¨ u ggv´ e nyt, a 2 az n helyen n+1 n &- és a 15 -függvényt is. A Fibonacci-sorozattal rokon h Hofstadter-f¨ uggvény defin´ıci´ o ja: h(1) := h(2) := 1

h(n) := h(n − h(n − 1)) + h(n − h(n − 2))

Speci´ alis leszámlál´ asi problémák a sz´ ampart´ıci´ os problémák is. H´ anyféleképpen lehet f¨ olbontani az 50 sz´ amot pozit´ıv számok, illetve k¨ ul¨ onb¨ oz˝o pozit´ıv számok összegére?


253

& & >B & ? >B {204226, 3658}

Tanulm´ anyozzuk az n szám felbont´ asainak, illetve az n szám k¨ ul¨ onb¨ oz˝o ´ számok összegére való felbont´ asainak számát! (Erdemes a megadottaktól eltér˝o transzform´ altakkal is k´ısérletezni.) % &

$ % & & I BB % &

$ % & ? I BB % &

$

4+ % & ? % & & BB >BB & E CJ#

3.6.3. Egyszer˝ u kombinatorikai azonoss´ agok V´ altozókat is tartalmazó kombinatorikai kifejezések egyszer˝ us´ıtését k¨ ul¨ on programcsomag könny´ıti meg: D! @KA0$ "0 *! K G >; ; (1 + n) (2 + n) (3 + n) (4 + n) (5 + n) S 0 =S 0 =C 1 - k + n k "0 S 0 =RS 0 C = = B 1 n 4 Gamma[ + n] 2 Sqrt[Pi] Gamma[1 + n]

Az al´ abbi o¨sszef¨ uggést (ahol f tetsz˝oleges, nemnegat´ıv egészekre definiált f¨ uggvény) sem kaptuk volna meg, ha csak a magot haszn´ altuk volna: &'! * = = B f[1 + n]

G &'! * = = B

Megjegyzend˝ o, hogy a megfelel˝ o — összegekre vonatkozó — összef¨ uggés asával. nem kaphat´ o meg az &36)&63 csomag felhasznál´ A programcsomag beh´ıv´ asakor módosul a L. és 0 függvény defin´ıciója.

254


3.6.4. Differenciaegyenletek, gener´ atorf¨ uggv´ enyek Tekints¨ uk a m´ asodik Bernoulli-polinomot az x helyen: S S + 1 2 - x + x 6

A Bn (x) Bernoulli-polinomok gener´ atorf¨ uggvénye: ∞

Bn (x)

n=0

text tn = t . n! e −1

" 4+ + 4+ C B ) 2 2 3 1 x x x x x 1 2 3 + )t + ( + )t + 1 + (-( ) + x)t + ( 2 12 2 2 12 4 6 2 3 4 x x x 1 5 4 ) + + )t + O[t] (-( 720 24 12 24

A Bernoulli-polinomok nulla helyen felvett értékei a Bn Bernoulli-sz´ amok: S S B S S B 174611 ), -529.124} {-( 330

Az En (x) Euler-polinomok generátorf¨ uggvénye: ∞ n=0

En (x)

2ext tn = t . n! e +1

" 4+ + 4+ G B ) 2 2 3 x x x 1 x x 1 2 3 )t + 2( + t + 1 + 2(-( ) + )t + 2(- + 4 2 4 4 48 8 12 3 4 x x 5 x 4 + )t + O[t] 2( 48 24 48

A generátorf¨ uggvényb˝ ol éppen azt kapjuk, mint a beép´ıtett f¨ uggvény haszn´ alat´ aval:


255

44 + 2 -x + x 4+ ' ::

R; 44 + True ; "0 *( A**! ::: I ! 44 + True

Az En Euler-sz´ amok defin´ıci´ oja pedig: 1 En := 2n En ( ) 2 uggvény nem rendelkezik a & attrib´ utummal.) (Az f¨ 44 ) > N F {0, -1, 0, 5, 0, -61, 0}

A Gn Genocchi-sz´ amok defin´ıci´ oja: G1 := 1,

G2n := 2(1 − 22n )B2n ,

G2n+1 := 0.

!!@ ,V41 ? - C I S S !!@ ,V2''? - B !!@ !!@ ) > N F M {1, -1, 0, 1, 0, -3, 0, 17} (m)

(m)

Az els˝ o- (Sn ) és másodfaj´ u (σn ) Stirling-sz´ amok polinomok kétféle el˝o´ all´ıt´ asa közötti a´tv´ alt´ ashoz használhat´ o egy¨ utthat´ ok: x(x − 1)(x − 2) . . . (x − n + 1) =

n

Sn(m) xm

m=0

xn =

n

σn(m) x(x − 1)(x − 2) . . . (x − m + 1)

m=0

A fenti o¨sszef¨ uggéseket azonban u ´gy is felfoghatjuk, mint a Stirling-sz´ amok generátorf¨ uggvényeinek defin´ıci´ o j´ at. Leszámlál´ asn´ al is el˝ofordulnak, (m) oinak számát, ameugyanis (−1)n−m Sn megadja n elem azon permutáci´ (m) lyek pontosan m szám´ u ciklust tartalmaznak. σn azt adja meg, hogy

256


h´ anyféleképpen lehet egy n elem˝ u halmazt felbontani m szám´ u nem u ¨res részhalmazra, tehát egy halmazpart´ıci´ os feladat megold´ asát adja:

$ " " > > {24, -50, 35, -10, 1} 4+ ' &'! +C B ) 2 3 4 5 24x - 50x + 35x - 10x + x

Eddig jutottunk bels˝ o f¨ uggvények alkalmazásával. Most k¨ uls˝ o f¨ uggvényekkel el˝ oször differenciaegyenleteket oldunk meg, s a végén ismét visszakanyarodunk a gener´ atorf¨ uggvényekhez. A 7 #83963 programcsomag eljár´ asait használhatjuk differenciaegyenletek megoldására. Az itt találhat´ o k¨ uls˝ o f¨ uggvények a k¨ ovetkez˝ok:

: 0B6 : 0B6 6 Egy o¨sszetettebb péld´ at mutatunk: D! @KE"1K E"1 G C $ C ) G G $ G G $ B $ B B $ n n (-2) 32 4 + - n, {{a[n] -> -( ) 3 6 2 n (-2) 2 n + - 2 + n}} b[n] -> 3 3

A fenti egyenlet a´lland´ o egy¨ utthat´ os lineáris egyenlet volt. Meg tudunk azonban oldani bizonyos v´ altozó egy¨ utthat´ os egyenleteket is. Egyrészt olyanokat, amelyek homogének, els˝orend˝ uek és egy¨ utthat´ oik racion´ alis t¨ ortf¨ uggvények. (Sz¨ uletési-halálozási folyamatok stacion´ arius eloszlása péld´ aul igen gyakran ilyen differenciaegyenletnek tesz eleget.) M´ asrészt olyanokat, amelyek ugyan v´ altozó egy¨ utthat´ osak, de a megoldás valamely val´ os C álland´ o al lassabban n¨ ovekszik és a differenciaegyenlethez rendelt mellett C n n!-n´ uls˝ o) f¨ uggvény meg tudja oldifferenci´ alegyenletet a 76 (bels˝o vagy k¨ dani. L´ assunk erre is egy péld´ at:


257

E"1 G G G C G G C B B n n 3 (-1) + }} {{a[n] -> n! n!

Ha egy differenciaegyenletben a nemlinearitást konvol´ uci´ o okozza, akkor is reménykedhet¨ unk: E"1 ! G "0 ! = ! C= = B ! Binomial[2 n, n] }} {{c[n] -> 1 + n

! B

Eredmény¨ ul éppen a Catalan-féle számokat kaptuk. uggvényét: Most meghatározzuk az an := tn n ∈ N0 sorozat generátorf¨ &Y"0 I 1 1 - t z

B

A Poisson-eloszlás generátorf¨ uggvénye pedig ´ıgy kaphat´ o meg: &Y"0 I -t + t z E

4IC ;

B

Ismert gener´ atorf¨ uggvényb˝ ol a megfelel˝o sorozat tagjait ´ıgy a´ll´ıthatjuk el˝o: A**! % 0 " : B > 2 3 4 5 t t t t -t t {E , , , , , } t t t t t E 2 E 6 E 24 E 120 E

Most hat´ arozzuk meg az an := n2 sorozat z →

∞

n2 z n /n!

n=0

exponenci´ alis gener´ atorf¨ uggvényét: 4+ &Y"0 I B z E z (1 + z)

258


A sorozat defin´ıci´ oj´ aban bizonyos feltételek is szerepelhetnek: 4+ &Y"0

I G ) 6* 41 I I G E

z

+ E

z

z (1 + z) + 4 (

3z 3z 2E E

B 3z z 3E z 2z ) + E z + 2z 2

Az itt el˝ ofordul´ o k¨ uls˝ o f¨ uggvény csak abban k¨ ul¨ onb¨ ozik az bels˝o f¨ uggvényt˝ol, hogy szimbolikus argumentumra nem értékel˝odik ki. Megkaphatjuk egy differenciaegyenlettel adott sorozat (péld´ aul a Fibonacci-sorozat) generátorf¨ uggvényét is: O ! C G C B 1 {{ }} 2 1 - z - z

J

Hasonl´ oan kaphatjuk meg egy differenciaegyenlettel adott sorozat (péld´ aul a Bernoulli-számok sorozata) exponenciális gener´ atorf¨ uggvényét: 4+ "0 S 6*

z {{ -1 +

O !

0 =S = = B S G B S E

z

}}

´ ıtsuk el˝ All´ o az exponenci´ alis gener´ atorf¨ uggvényb˝ ol a sorozat tagjait: A**! % 0 "

:

B B R $ ; B B 1 1 1 1 5 1 , 0, -( ), 0, } {1, -( ), , 0, -( ), 0, 2 6 30 42 30 66

Ezek a számok valóban a Bernoulli-számok:

$ S S B B 1 1 1 1 5 1 , 0, -( ), 0, } {1, -( ), , 0, -( ), 0, 2 6 30 42 30 66

A : által el˝ oáll´ıtott generátorf¨ uggvény z helyen vett helyettes´ıtési értékére :5**,,*', néven, az :2 által el˝oáll´ıtott generátorfüggvény z helyen vett helyettes´ıtési értékére pedig :5**,,*', néven hivatkozhatunk a kés˝obbiekben. Ha az egy¨ utthat´ ok t´ ul gyorsan n˝ onek, akkor esetleg saját magunknak kell alkalmas m´ odszert választanunk:


259

0 E"1 B >

C G JB n 1 {674.699 Second, {{T[n] -> (3 + 2( ) ) n!}}} 2

;

Ijesztget˝o hiba¨ uzenetek sorát is megkapjuk ez alatt a hossz´ u id˝ o alatt:

0 E"1 B >

C G JB @' CJ @'4O n 1 {34.603 Second, {{T[n] -> (3 + 2( ) ) n!}}} 2

;

Az 96 és a 6 f¨ uggvénynek számos opció ja van, ezek haszn´ alata megkönny´ıti a gener´ atorf¨ uggvényekkel és differenciaegyenletekkel végzett munkát: E"1 & B & + G & G C G + & G J B & {{P[n] -> LegendreP[n, x]}}

& C B

E"1 & B & + G & G C G + & G & C B J B & " ! ! CJ -n + 2K[1] {{P[n] -> Sum[((-2 x) K[1] Binomial[K[1], n-K[1]] Binomial[2K[1], K[1]])/(-4) , {K[1], 0, n}]}}

3.6.5. Gr´ afok ´ es folyamok Gr´ afokkal kapcsolatban legel˝ oször az mer¨ ul fel, hogyan lehet egy algebrai” ” alakban megadott gr´ af s´ıkbeli reprezentáci´ o j´ at (vagy térbeli reprezent´ aci´ oj´ anak vet¨ uletét) megrajzolni. Tegy¨ uk fel, hogy adott az élekkel összekötött cs´ ucsok rendezett p´ arjainak listája. (Megjegyezz¨ uk, hogy t¨ obbsz¨ or¨ os élek nincsenek megengedve.) Ekkor ´ıgy j´ arhatunk el (az eredmény¨ ul kapott a´br´ at itt — és az alábbiakban igen gyakran — nem k¨ ozölj¨ uk): D! @KA0$ !K "@YO @ 02''&

) ) D! '

260


Egy m´ asik megadási módn´ al minden egyes cs´ ucshoz megadjuk, mely cs´ ucsokkal van o¨sszekötve: "@YO @ 0#'W! !(%

) ) D! '

A cs´ ucsokat meg is c´ımkézhetj¨ uk: "@Y%$'O @

=O @ E O . ./ $ !

Nevezetes gr´ af ok egyszer˝ uen valamely f¨ uggvény értékeiként ad´ odnak.

;*, az n szögpontú teljes gráf: "@YO @ P

#'W! !(% P ) 8 ! P >

{{0.309017, 0.951057}, {-0.809017, 0.587785}, {-0.809017, -0.587785}, {0.309017, -0.951057}, {1., 0}}

A legut´ obbi példa mutatja, hogy a s´ıkbeli reprezentáci´ on´ al a program szab´ alyos ötszöget haszn´ al. Most hozzávesz¨ unk egy élt egy csillaghoz (a csillag középpontja kapja a legnagyobb sorszámot): "@YO @ #''4' " B

(A t´ızág´ u csillag k¨ ozéppontja a 11 sz´ amot kapja.) A gr´ afokkal végzett többi szokásos m˝ uveletek re is egy-egy f¨ uggvény a´ll rendelkezés¨ unkre (A pontos defin´ıci´ okat illet˝oen ismét Skiena k¨ onyvére [76] utalunk, de a [39] bevezet˝ o jegyzet és a hozzá tartozó [23] példatár t´ argyalásmódja is teljesen hasonló az itteniekhez. Mivel a programcsomagok olvashat´ o szöveges állományokban vannak, ezért amikor t¨ obb defin´ıci´ o is forgalomban van, az a´llományb´ ol is kider´ıthet˝ o, hogy melyikre gondoltak a program kész´ıt˝ oi.): "@YO @ O @ P P > > "@YO @ O @&'! P P > "@YO @

1A 02''&

D! '


261

Rendelj¨ unk egy gr´ af éleihez cs´ ucsokat, csatlakozó éleihez pedig az éleknek megfelel˝o cs´ ucsokat o¨sszeköt˝o éleket. A G gr´ afb´ ol ´ıgy származtatott L(G) uggvény adja meg: élgr´ af ot a :8 f¨ "@YO @ % O @ P >

Most el˝oáll´ıtunk egy véletlen gráfot, amely a teljes gr´ af éleinek felét tartalmazza: "@YO @ E '0O @ BQ>

Mivel véletlen gráfot t¨ obbféleképpen is szok´ as defini´ alni, ezért érdemes f¨ oltenni a QQ9 :8 kérdést. A gr´ afelméleti szempontból fontos tulajdons´ agok ´ıgy ellen˝ orizhet˝ok: A ! '? D 4' " B B False "*A0 0 (? A(! > // "*A0 0 (? & @ ) True #!(!!? E '0O @ F BQ> D! ' D! ' False

El˝ oáll´ıthatjuk az o¨sszef¨ ugg˝ o (gyengén, er˝ osen összef¨ ugg˝ o) komponenseket: A ! 'A0 O @ P P ) {{1, 2, 3}, {4, 5, 6, 7}}

262

3. Fejezetek a matematikáb´ ol X=(A ! 'A0 0#'W! !(%

) ) D! ' {{1, 2, 3, 4}}

Fa minden éle h´ıd: S' E '0 B {{4, 5}, {4, 7}, {1, 4}, {1, 9}, {2, 8}, {6, 8}, {3, 6}, {3, 10}, {1, 10}}

F´ ak kezelésére van egy k¨ ul¨ on programcsomag, a 7 #833, az alábbi utas´ıt´ asokkal:

0 #=

0

Meghatározhat´ ok az Euler-féle és a Hamilton-féle kör¨ ok is: 4 A(! P ) ) {7, 2, 8, 1, 5, 4, 6, 3, 7, 4, 8, 3, 5, 2, 6, 1, 7} 70 A(! P {1, 4, 2, 5, 3, 6, 1}

Hajtsuk végre a legutóbbi utas´ıt´ ast u ´gy is, hogy másodikként az opcion´ alis argumentumot is be´ırjuk! Meghatározhat´ o a minim´ alis és a maximális fesz´ıt˝ o fa, a fesz´ıt˝ o f´ ak száma: "@YO @ 00"

P )

0$2*" A(! P B & @ N {3, 100000000, 1}


263

Az 1 jel˝ u forr´ astól a 4 jel˝ u nyel˝ oig az áram egy s´ ulyozatlan él˝ u ir´ any´ıtott gr´ afban: Y=Y 0#'W! !(%

) ) ) 1

Vég¨ ul f¨ olsorolunk néh´ any, tov´ abbi b´ uv´ arkod´ asra ösztökél˝o f¨ uggvényt és opciót a 7 #834&3 programcsomagb´ ol:

8 L== 48& 480) 45 7LK6 7K= 4 4 9 1) 1 7 # 8 8

W 8 # 8 #4 # 6 #6 #480 #6 #V4 #& 0 0 6 6 6 L )

3.6.6. Gyakorlatok ´ es feladatok 1. Vegy¨ uk 6 elem egy véletlen permut´ aci´ oj´ at, majd a´ll´ıtsuk (véletlen) ennek megfelel˝o sorrendbe 3 elem o¨sszes permutáci´ oj´ at. 2. Tanulm´ anyozzuk az al´ abbi utas´ıt´ asokat: S !@ A(! N +0 !@ P N & ? P > << & ? P

3. H´ anyféleképpen lehet 8 goly´ ot f¨ olf˝ uzni egy nyakl´ ancra, ha k¨ ozött¨ uk m k¨ ul¨ onb¨ oz˝o sz´ın˝ u van? ´ uggvényt. Utmutat´ as. Használjuk a 0)-f¨ 4. Írjuk ki a Pascal-h´ aromszög néh´ any sor´ at, kivéve az els˝o és utolsó elemet. Mi a sorok legnagyobb k¨ ozös osztója?

264


3.7. Geometria Ebben a szakaszban azt érzékeltetj¨ uk , hogy geometriai vizsgálatokn´ al hogyan lehet felhaszn´ alni a Mathematic´ a t. A program 2.2.∗ v´ altozatai viszonylag kevés olyan bels˝o, illetve k¨ uls˝o f¨ uggvényt tartalmaznak, amelyeket geometriai problémák megoldásán´ al k¨ ozvetlen¨ ul alkalmazhatunk. A beép´ıtett grafikus, numerikus és szimbolikus elj´ ar´ asok összekapcsolásával´ırhatunk egy-egy (péld´ aul koordin´ atageometriai) feladatt´ıpus megold´ asát szolgál´ o f¨ uggvényt vagy ak´ ar programcsomagot. Ehhez sok seg´ıtséget és ötletet adhatnak a MathSource-on tal´ alhat´ o programcsomagok, amelyekr˝ol a 3.7.2. pontban fogunk sz´ olni.

3.7.1. Geometriai alakzatok Két és háromdimenziós alakzatok ábr´ azolásán´ al a k¨ ovetkez˝o grafikus elemek et használhatjuk:

4 4& 7 = 0

0) 9 9

A fenti elemekb˝ol az alábbi elj´ ar´ asokkal grafikus objektumok at kész´ıthet¨ unk:

4:8 :8 F7 7 ):8 65:8 :8 amelyeket azután a 68B f¨ uggvénnyel jelen´ıthet¨ unk meg a képerny˝ on. Az ábr´ azolás módj´ at egyrészt a grafikus opciók (péld´ aul a :8 f¨ uggvény opci´ oi) seg´ıtségével módos´ıthatjuk; m´ asrészt az alábbi, u ´gynevezett grafikus direkt´ıv´ ak at is haszn´ alhatjuk:

& 7 8 & 06' & 8= 4#X;4 7 8

:) 1 06' 9:L4 654 8=

3.7. Geometria

265

A grafikus direkt´ıv´ akat kétféleképpen alkalmazhatjuk. Ezek lehetnek a kor´ abban t´ argyalt grafikus f¨ uggvények opci´ oinak értékei. A grafikus objektumokat gener´ al´ o f¨ uggvények els˝o argumentuma mindig egy olyan lista, amelyben grafikus direkt´ıv´ ak (esetleg u ¨ res) sorozata és grafikus elemek felváltva k¨ ovetik egym´ ast. A többi argumentumba esetenként opciókat ´ırhatunk. Péld´ aul: "@Y O @! EOSA B B @!= BQB % C> C EOSA BQ> BQ> @!= BQB % C> C EOSA B & " BQB & C & E CJ C C #+ CJ # ! E CJ # 0 !

Megeml´ıtj¨ uk még azt is, hogy az adott adatok a´ltal meghat´ arozott koordin´ ata-rendszert˝ ol f¨ uggetlen¨ ul a képerny˝ o pontjaira is hivatkozhatunk a 6 bels˝o függvénnyel. Ez a lehet˝oség jól használható például feliratok kész´ıtésénél. A fenti f¨ uggvények alkalmazásának m´ odj´ ara és a lehet˝oségek illusztrál´ asára tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝o f¨ uggvényt, amellyel kényelmesen ábr´ azolhatunk s´ıkbeli geometriai alakzatokat: EW 0=,% + , ++, ( , (+, - S!= 0= Q & , $, 1, -J # ( "5 ! & $ + 1 $ C C & ' & " QB "@Y O @! # ! E CJ # 0 ! & E CJ + ++ ( (+ #+ CJ

A f¨ uggvény m˝ uk¨ odése kielemezhet˝o az alábbi péld´ ab´ ol: & B ? E EW & & T&T & ? T?T & E TET EOSA B &( C C C C EOSA B B % & ? E & EOSA B B @!= BQBB A! BB C C

266

3. Fejezetek a matematikáb´ ol 2

R

1.5

Q

1

0.5

P -3

-2

-1

1

2

3

-0.5

-1

-1.5

-2

Vektorok ´ abr´ azolásán´ al a :8 3 B3 programcsomagban meglév˝o, számos opcióval rendelkez˝ o

B f¨ uggvényt haszn´ alhatjuk. Péld´ aul: O @!K#YK "@Y O @!

$ #Y B B " + A + 7'A CJ + 7'% @ CJ BQ + B QN BQ & E CJ CBQ CBQ Q # ! E CJ # 0 !

3.7. Geometria

267

Szab´ alyos soksz¨ ogek és szab´ alyos testek ábr´ azolásához és geometriai adataiknak meghat´ arozásához a

:)30) 3 programcsomag f¨ uggvényei adhatnak seg´ıtséget. A felhaszn´ alhat´ o szabályos sokszögek a következ˝ok:

7 7 7 1 1

0 6 !

Az ötféle szabályos konvex test elnevezése:

4& 7 8 8

8 8

Az al´ abbi gegometriai adatok meghatározására van m´ od:

4 & 4 7

& 685 V V

Szab´ alyos testek tanulm´ anyoz´ asán´ al felhaszn´ alhatjuk még a

:8 30)8 3 programcsomag eljár´ asait is. Itt az alábbi testeket nevezhetj¨ uk meg:

4& 7 8 :7 8 :6 7 8 : 8 18 8 8 66 7 8 8

268


A k¨ ul¨ onb¨ oz˝o st´ılus´ u megjelen´ıtést seg´ıtik a k¨ ovetkez˝o f¨ uggvények:

: 0)8

6

Felh´ıvjuk az Olvas´ o figyelmét arra, hogy ezek a f¨ uggvények eleve grafikus objektumot kész´ıtenek az adott testr˝ol, a megjelen´ıtés¨ ukh¨ oz tehát csak a 68B függvényt kell alkalmaznunk: "@Y 2 ! &(@' D'!@' BQ)

Vég¨ ul megeml´ıtj¨ uk, hogy a

:)39 3 programcsomagban lév˝o

9(7 9F7

9#(7 9#F7

f¨ uggvények alakzatok elforgatásán´ al lehetnek hasznosak. Péld´ aul: O0 (KE K E +D &) +0 1 1 Sqrt[2] Sqrt[2] 1 1 Sqrt[2] Sqrt[2]

3.7. Geometria

269

3.7.2. Tov´ abbi lehet˝ os´ egek K¨ ul¨ on programcsomag a´ll a felhaszn´ al´ o rendelkezésére abb´ ol a célb´ ol, hogy geometriai problémák megoldásának hatékony algoritmusait tanulm´ anyozhassa:

7 #834:)3 F¨ uggvényei a k¨ ovetkez˝ok:

41 7) 7) 70

8& 0:80 650 V7

A tov´ abbiakban a MathSource-r´ ol megszerezhet˝o programcsomagokra szeretnénk felh´ıvni az érdekl˝od˝ o Olvas´ o figyelmét. Els˝ oként megeml´ıtj¨ uk a 0202–509 szám alatt találhat´ o

#87B csomagot, amellyel kényelmesen tudjuk rajzolni az o¨sszes körz˝ovel és vonalz´ oval megszerkeszthet˝o alakzatot. A 0205–175 szám alatt csak demonstr´ aci´ os anyagot tal´ alunk a

7 programcsomagról, amely a szok´ asos alapm˝ uveleteken t´ ul képes analitikus vizsgálatok alapján eld¨ onteni olyan tulajdons´ agok meglétét, mint: illeszkedés, érintkezés, párhuzamosság, koncentrikuss´ ag stb. Ezen eszközök felhaszn´ al´ asával elemi geometriai tételek bizony´ıt´ asa (lásd [90]) és geometriai transzform´ aci´ ok hat´ asa szemléltethet˝o. A 0205–401 szám alatti

#0 program t¨ obbsz´ az f¨ uggvényt tartalmaz a klasszikus euklideszi geometria és a modern dinamikus geometria alakzatainak a´br´ azolására és animál´ asára a s´ıkon és a térben. Négydimenzi´ os alakzatok háromdimenzi´ os metszeteit a 205–108 szám alatt megtal´ alhat´ o

E7;5 programcsomag f¨ uggvényeivel jelen´ıthetj¨ uk meg.

270


3.8. Line´ aris algebra A line´ aris algebr´ ahoz kapcsolhat´ o elj´ ar´ asok vektorok és mátrixok szimbolikus és numerikus kezelésére képesek. A felhasznál´ o igen egyszer˝ uen, a bemen˝o adatok alkalmas megad´ asával v´ alasztja ki a k´ıv´ ant kezelési módot. Ha a vektorok vagy m´ atrixok elemei szimbolikus kifejezések vagy pontos numerikus értékek, akkor a program a kért m˝ uveleteket számos beép´ıtett matematikai azonosság felhaszn´ al´ asával szimbolikusan végzi el, és igyekszik megadni a pontos eredményt. Ha a vektorok vagy m´ atrixok elemei valós vagy komplex számok és ezek k¨ oz¨ ul legal´ abb az egyik k¨ ozel´ıt˝ o numerikus érték (amit a tizedespont explicit ki´ır´ asával jelz¨ unk), akkor a program minden sz´ amot ilyenre alak´ıt a´t, és a m˝ uveletek elvégzésére numerikus m´ odszert haszn´ alva adja meg a pontos eredmény egy k¨ ozel´ıt˝ o értékét. Itt is kiemelj¨ uk azt a tényt, hogy a legtöbb beép´ıtett f¨ uggvény arguatrix (´ altal´ aban lista) is szerepelhet. Ebben az mentumában vektor vagy m´ esetben a program a szóban forg´ o f¨ uggvényt a vektor vagy a m´ atrix minden elemére k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on alkalmazza, ha a f¨ uggvény rendelkezik a & attrib´ utummal.

3.8.1. Vektorok ´ es m´ atrixok megad´ asa Néh´ any programnyelvben a vektorok és a mátrixok k¨ ul¨ onb¨ oz˝o t´ıpus´ u objektumok. A Mathematica ezeket egységes módon, az egyik legalapvet˝ obb beép´ıtett adatt´ıpus´ aval, nevezetesen list´ a val a´br´ azolja. assal egyenérték˝ u -. )/ formát A tov´ abbiakban a *. ), utas´ıt´ fogjuk haszn´ alni.

-. )/ --. &. /. - . . 5//

az (x, y) vektor a b c az 2×3-as d e f mátrix

Vektorok, illetve mátrixok elemei lehetnek valós vagy komplex számok, matematikai kifejezések, s˝ot ak´ ar a´br´ ak is.

3.8. Lineáris algebra

271

Mivel a vektor” kifejezést a matematikában is k¨ ul¨ onb¨ oz˝o fogalmak jel¨ o” lésére szok´ as használni, ezért érdemes tisztázni azt, hogy a program milyen objektumot tekint vektornak. Err˝ ol a logikai értéket adó

V bels˝o f¨ uggvény t´ ajékoztatja a felhaszn´ al´ ot. A Mathematic´ a ban vektor on olyan listát ért¨ unk, amelynek egyik eleme sem lista: 8! ? "5 8! ? + " ( {True, True} 8! ? 8! ? {False, False}

Ez a vektorfogalom a matematik´ aban szerepl˝ o rendezett n-es (ilyenek péln og. d´ aul az R tér elemei) fogalmával anal´ A program m´ atrix nak olyan listát tekint, amelynek minden eleme ugyanakkora hossz´ uság´ u vektor (ezek a mátrix sorai). Ezt az a´ltal´ anos érvény˝ u megállapod´ ast a

# f¨ uggvénnyel ellen˝orizhetj¨ uk: +? ) +? + ( {True, True} +? + ( +? {False, False}

Oszlopvektort, teh´ at péld´ aul az R4×1 tér egy elemét ´ıgy: ) {{1}, {2}, {3}, {4}}

sorvektort, péld´ aul az R1×4 tér egy elemét pedig k¨ ovetkez˝o módon adhatunk meg: ) {{1, 2, 3, 4}}

A kor´ abban mondottaknak megfelel˝ oen a Mathematica ezeket a kifejezéseket nem vektoroknak, hanem m´ atrixoknak tekinti.

272


A 4 f¨ uggvény valamely vektor komponenseit oszlopba rendezve jelen´ıti meg a képerny˝ on: A0 0 + ( x y

M´ atrixokat a szok´ asos formában a # f¨ uggvénnyel a´br´ azolhatunk. Péld´ aul: 0 ) B ) > N F +0 0 1 0 1

2 2 5

3 3 6

4 4 7

A # f¨ uggvényt posztfix alakban (l´ asd a 3.1.4. pontot) is haszn´ alhatjuk: 0*0 0 +0

Felh´ıvjuk azonban az Olvas´ o figyelmét arra, hogy a fenti utas´ıt´ as hatására altozóban nem az mátrixot (teh´ at listák listáj´ at) a program az 5 v´ abl´ azatos t´ arolja, hanem a #*, kifejezést, ami az mátrix t´ ” alakja”. Kihangs´ ulyozzuk azt is, hogy az ut´ obb megeml´ıtett két f¨ uggvény csup´ an a képerny˝ on val´ o megjelen´ıtés eszközei. Vektor és mátrix dimenzi´ oj´ at a

7 bels˝o f¨ uggvénnyel kapjuk meg. Péld´ aul: D0 + ( D0 0 {{2},

{3, 4}}

Figyelj¨ uk meg, hogy m´ atrix esetében az eredmény olyan lista, amelynek az els˝o eleme a sorok, a második eleme pedig az oszlopok száma. Adott lista elemeinek számát a

8 beép´ıtett f¨ uggvény adja meg. Ha vektor, akkor a 8*, utas´ıt´ as eredménye komponenseinek a száma, ha mátrix, akkor 8*, sorainak a sz´ ama.


273

A & és az ) f¨ uggvények seg´ıtségével is defini´ alhatunk vektorokat és mátrixokat. uggv´ eny • A & f¨ A & f¨ uggvénnyel kényelmesen adhatunk meg olyan vektorokat, illetve mátrixokat, amelyeknek a komponensei matematikai kifejezések. A

&*=5K' . -. . . /, utas´ıt´ as eredménye olyan vektor, amelynek komponensei a =5K' iteráci´ os változóhoz tartozó értékei, ahol -t˝ol -ig halad lépésközzel. os paraméter nem feltétlen¨ ul egész Az , az és a iteráci´ oveli, am´ıg a k¨ ovetkez˝o szám. A program -t -t˝ol lépésközzel addig n¨ al nagyobb nem lesz. Az iteráci´ os paraméterek szimbolikus értéke -n´ kifejezések is lehetnek. Az egyetlen megkötés az, hogy 2 $ val´ os szám legyen. uggvény bizonyos argumentumai elhagyhat´ ok. Ilyenkor a progA & f¨ ram az alapértelmezés szerinti értékeket használja. A lépésköz ( ) és a kezd˝oérték () alapértelmezés szerinti értéke 1, ennek megfelel˝oen a k¨ ovetkez˝o form´ akat is haszn´ alhatjuk:

&*=5K' . -. . /, &*=5K' . -. /, Megeml´ıtj¨ uk még, hogy a

&*=5K' . -/, utas´ıt´ as eredménye olyan dimenzi´ o j´ u vektor (lista), amelynek mindegyik komponense =5K' . uggvénnyel m´ atrixot péld´ aul ´ıgy adhatunk meg: A & f¨

&*=5. -... /. -K.K.K. K/, Az -... / lista a mátrix soraira, -K.K.K. K/ pedig a mátrix oszlopaira vonatkoz´ o inform´ aci´ okat tartalmazza:

$ * W {{f[1,1], f[1,2], f[1,3], {f[2,1], f[2,2], f[2,3], {f[3,1], f[3,2], f[3,3],

W > f[1,4], f[1,5]}, f[2,4], f[2,5]}, f[3,4], f[3,5]}}

274

3. Fejezetek a matematikáb´ ol +0 : f[1,1] f[1,2] f[2,1] f[2,2] f[3,1] f[3,2]

f[1,3] f[2,3] f[3,3]

f[1,4] f[2,4] f[3,4]

f[1,5] f[2,5] f[3,5]

Az iteráci´ os paraméterek megadására vonatkoz´ o fentebb ismertetett szab´ alyok ebben a form´ aban is érvényesek. uggv´ eny • Az ) f¨ uggvényhez hasonl´ o a kevésbé rugalmas, de sok esetben igen kéA & f¨ uggvény. Használata akkor lehet célszer˝ u, nyelmesen használhat´ o ) f¨ ha az elemek egy olyan f¨ uggvény értékei, amelyre csak nevével akarunk hivatkozni, szemben az el˝ oz˝o esettel, ahol a f¨ uggvényérték által´ anos” alakj´ at ” adtuk meg.

)*5. , )*5. -+. (/,

az (f [1], f [2], . . . , f [n]) vektor ⎞ ⎛ f [1, 1] ... f [1, n2 ] ⎠ az ⎝ ... f [n1 , 1] ... f [n1 , n2 ] mátrix.

Az n, n1 és n2 paraméternek tetsz˝oleges nemnegat´ıv egész számnak kell uggvény ebben a form´ aban teh´ at az iteráci´ os változót lennie. Az ) f¨ 1-t˝ol egyesével lépteti. Ha az n szám´ u elemet a kezd (tetsz˝oleges komplex) argumentumt´ ol egyesével lépkedve akarjuk felsorolni, akkor a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ asokat használhatjuk:

)*5. . =' , )*5. -+. (/. =' , Az elmondottakat az alábbi péld´ an illusztráljuk: ( 0= +, - +I #( ( 0= > {1, 4, 9, 16, 25}

A k¨ ovetkez˝o egészen mást ad: #( ( 0= + > 2 2 2 2 2 {(x )[1], (x )[2], (x )[3], (x )[4], (x )[5]}


275

Mivel az ) argumentum´ aban a f¨ uggvényt, és nem annak helyettes´ıtési értékét kell megadni, ezért itt felhaszn´ alhatjuk a Mathematica tiszta f¨ uggvény-fogalm´ at (lásd a 3.1.4. pontot) is: #( .I/ > {1, 4, 9, 16, 25}

´ Erdemes kipr´ ob´ alni a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ asokat is: #( ( 0= B 6 #( * ) #( * & #( * ) +0 #( * C #( .I./ +0 :

• Speci´ alis m´ atrixok Sz´ amos speciális alak´ u m´ atrix k¨ ozvetlen megadására van m´ od: 6' ( + {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} D a 0 0 b 0 0

+ $ ! +0 0 0 c

A &3##3 programcsomag tov´ abbi speciális m´ atrixok értelmezését tartalmazza. Olvassuk be ezt a programcsomagot: % #$K + K

és figyelj¨ uk meg a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ asok eredményét: "5 +? ) > N [ + +0 [ + N D + * %YD + .G./ +0 : 7$ +

276

3. Fejezetek a matematikáb´ ol 7$ + ) 7 = + ) +0 7 = + $ ! ' +0

Ezeket a mátrixokat a Mathematica egyéb f¨ uggvényeivel is egyszer˝ uen defini´ alhatjuk. A tov´ abbiakban az eredmények k¨ ozlése nélk¨ ul mutatunk néh´ any ilyen péld´ at. Als´ o h´ aromszögmátrixot péld´ aul ´ıgy is megadhatunk: @0 , - $

6* JW W B W +0 @0

Hilbert-mátrixokat a & f¨ uggvénnyel defini´ alhatunk: @$ , - $ GWC @$ +0

W

A k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ as eredménye szintén harmadrend˝ u Hilbert-m´ atrix: 2 & E E C

Tridiagon´ alis m´ atrixot a feltételeket tartalmazó kifejezések megadásán´ al uggvénnyel adhatunk meg. Péld´ aul ´ıgy: j´ ol haszn´ alhat´ o 6B8 bels˝o f¨ ' $

"Y !@ CW C B $ ! , B > W > +0 '

A k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ as eredménye egy 5 × 5-ös Vandermonde-m´ atrix: 1 '0 ' #( + .I.C/ > > +0 :

amelyre vonatkozó ismert összef¨ uggést ´ıgy illusztrálhatjuk: ! D 1 '0 '

3.8.2. R´ eszm´ atrixok kezel´ ese A 2.3.1. pontban ismertetett módon hivatkozhatunk m´ atrix részeire (elem, sor, oszlop), illetve módos´ıthatjuk az egyes részeket.


277

**. K,, **,, *,**K,,

az m mátrix (i, j) index˝ u eleme az m mátrix i-edik sora az m mátrix j-edik oszlopa

A *, az m (tetsz˝oleges téglalap-) mátrix transzpon´ altj´ at adja meg. Az m mátrix j-edik oszlopát még ´ıgy is megkaphatjuk:

#*P**K,,. , Az m mátrix i1 , · · · , ir index˝ u sorainak és j1 , · · · , js index˝ u oszlopainak k¨ ozös részeként ad´ od´ o r × s méret˝ u részmátrix´ at a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ assal jel¨ olhetj¨ uk ki:

**-+.HHH./. -K+.HHH.K /,, Az elmondottakat az alábbi péld´ akon mutatjuk be: A 0 0 > ) F B + F +0 0 2 4 x

3 7 2

5 0 1

1 a 7

0

2

0

{2, 3, 5, 1}

V´ altoztassuk most meg az m mátrix (3, 2) index˝ u elemét és az els˝o sorát: 0

C

0

B C F

és ellen˝orizz¨ uk az eredményt: +0 0 0 4 x

3 7 -1

-2 0 1

7 a 7

278


Az al´ abbi utas´ıt´ asok mindegyike az m mátrix harmadik oszlop´ at adja meg:

0

{-2, 0, 1}

.

/ 0 {-2, 0, 1}

Az m mátrix egy részmátrix´ at ´ıgy jel¨ olhetj¨ uk ki: 0

+0 3 7

-2 0

Ezt a részmátrixot még ´ıgy is megkaphatjuk: 0

E E

A &3##3 programcsomag t¨ obb lehet˝ oséget is tartalmaz blokkm´ atrixok kényelmes kezelésére. Olvassuk be sz¨ ukség esetén ezt a programcsomagot, ezután pr´ ob´ aljuk ki a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ asokat: # +0 # S $ $ $ $ +0 S # 'A0 # S +0 : # 'EY # S +0 S!= + # S S B B B B +0 : 0 #( ! ) +0 0

=EY 0 C +0

=A0 0 +0

= + 0 ) "$ + 0

3.8.3. M˝ uveletek vektorokkal ´ es m´ atrixokkal Ebben a pontban az aritmetikai m˝ uveletekkel, mátrixnak a determin´ ansával, a rangj´ aval és az inverzével, valamint m´ atrixv´ altozós f¨ uggvényekkel foglalkozunk.


279

• Aritmetikai m˝ uveletek Egyenl˝ o dimenzi´ oj´ u vektorok, illetve m´ atrixok ¨ osszegét a matematik´ aban megszokott módon kapjuk meg: 1 $ ! 1 + ( 1 G 1 {a + x, b + y, c + z} # # 1 2

G + +

$ ' S ! ' * @ S +0 c a + d b + e f 3 + g d + h

A vektornak, illetve az

mátrixnak a sz´ ammal vett szorzat´ at a

vagy a A illetve

vagy a A

utas´ıt´ assal számolhatjuk ki. Egyenl˝ o dimenzi´ o j´ u vektorok skal´ aris szorzat´ anak meghatározásához a 7 bels˝o függvényt (ennek rövid alakja a H karakter) használhatjuk fel. os szám vagy val´ os szimHa a + és a ( vektor mindegyik komponense val´ b´ olum, akkor ezek skal´ aris szorzata: 1 Q 1 a x + b y + c z

(Komplex esetben a 7 f¨ uggvény nem veszi a konjug´ altat.) uggvénnyel száHáromdimenzi´ os vektorok vektori´ alis szorzatát a 4 f¨ m´ıthatjuk ki. Ennek haszn´ alat´ ahoz el˝oször be kell h´ıvni a % #$KA&'! K

programcsomagot. A + és ( vektor vektori´ alis szorzata: A 1 1 {-(c y) + b z, c x - a z, -(b x) + a y}

A 4 f¨ uggvény ismeri és alkalmazni is tudja a skal´ aris és a vektoriális szorzat alapvet˝o tulajdons´ agait. uggvény ugyanazt az eredményt adja, amit M´ atrixok szorzat´ ara a 7 f¨ a matematik´ aban sor-oszlopszorzással szoktunk megkapni. Ez azt jelenti, hogy a Mathematica kiszámolja az A és a B mátrix szorzatát akkor, amikor az A mátrix oszlopainak a száma (a 7 * , által megadott

280


lista utols´ o eleme) megegyezik a B mátrix sorainak a számával (azaz a 72 *L, által megadott lista els˝o elemével). Próbáljuk ki például a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ asokat: A # S # > C S ) C # G S Q # C S # Q # G R# Q S G S Q S

A Mathematica saj´ atos módon kezeli vektor és m´ atrix szorzat´ at. Sok esetben a matematik´ aban megszokott sor-oszlopszorzásnak megfelel˝oen értelemszer˝ uen tekint egy vektort sorvektornak vagy oszlopvektornak. Ha péld´ aul A # 1 # $ ! ' *

akkor a program meghat´ arozza a H tekinti):

1 + (

szorzatot (ekkor v-t sorvektornak

1 Q # {a x + d y, b x + e y, c x + f y}

az H utas´ıt´ asra azonban hiba¨ uzenetet k¨ uld. M´ asrészt A 1 1 + ( # Q 1 {a x + b y + c z, d x + e y + f z}

(ebben az esetben a program -t oszlopvektornak veszi), és most a H utas´ıt´ asra kapunk hiba¨ uzenetet. Néh´ anyszor azonban matematikai szempontb´ ol értelmetlen eredményt is kaphatunk. Tekints¨ uk péld´ aul a k¨ ovetkez˝o egyenl˝ oséget: 1 2 5 1 2 391 578 (5 6) = . 3 4 6 3 4 897 1326 Nem kapjuk meg az elvárt eredményt akkor, ha a két bels˝o tényez˝ot vektorként defini´ aljuk: ) Q > N Q > N Q ) 319 . {{1, 2}, {3, 4}}

Az ilyen esetekben célszer˝ u megjelölni azt, hogy melyik vektort tekintj¨ uk sorvektornak és melyiket oszlopvektornak:


281

)Q > NQ > NQ ) {{391, 578}, {897, 1326}}

Ezzel a módszerrel számolhatjuk ki a Mathematic´ a val két vektor diadikus szorzat´ at, azaz egy oszlopvektornak és egy sorvektornak a mátrix-szorzatát: + ( Q $ ! +0 a x b x c x a y b y c y

Az bels˝o f¨ uggvénynek és a L=# k¨ uls˝ o f¨ uggvénynek (ez a &3##3 programcsomagban található) felhaszn´ al´ asával adhatunk meg olyan u ´j elj´ ar´ ast, ami két mátrix Kroneckerszorzat´ at hat´ arozza meg: % #$K + K P !=" , $, - S!= + 2

0 $

Tekints¨ uk ezut´ an a k¨ ovetkez˝o mátrixokat: # #( {{a[1, 1], a[1, 2]}, {a[2, 1], a[2, 2]}} S #( $ {{b[1, 1], b[1, 2]}, {b[2, 1], b[2, 2]}}

Az indexek u ¨gyesebb elhelyezésével áttekinthet˝ obb eredményt ´ıgy kaphatunk: P !=" # , W, CJ $ , W, CJ +0 a11 b11 a11 b12 a11 b21 a11 b22 a21 b11 a21 b12 a21 b21 a21 b22

S Q "$! ' "5 !0 W "$! ' $ "5 !0 W a12 a12 a22 a22

b11 b21 b11 b21

a12 a12 a22 a22

b12 b22 b12 b22

Négyzetes mátrix pozit´ıv egész kitev˝oj˝ u hatv´ any´ at a

#0B f¨ uggvénnyel hat´ arozhatjuk meg. Tekints¨ uk péld´ aul a k¨ ovetkez˝o A ∈ R2×2 mátrixot:

282

3. Fejezetek a matematikáb´ ol # C +0 # 1 1 -1 3

Ennek a négyzetét, azaz az A2 ∈ R2×2 mátrixot ´ıgy számolhatjuk ki: +&Y # +0 0 4 -4 8

Vigy´ azzunk azonban arra, hogy az C( utas´ıt´ ast (ennek teljes alakja: 0B* . (,) is használhatjuk. Mivel a 0B függvény rendelkezik a & attribútummal, ezért a szóban forgó utas´ıtás eredménye nem az

A mátrix négyzete, hanem az elemek négyzetéb˝ ol a´ll´ o mátrix: #I +0 1 1 1 9

• N´ egyzetes m´ atrix determin´ ansa Az

négyzetes mátrix determin´ ans´ at ´ıgy kaphatjuk meg:

7* , A Zp véges számtestben is dolgozhatunk, ha a

7* . # 2? , utas´ıt´ ast használjuk. A # opció alapértelmezés szerinti értéke 0. Ekkor a program a C számtestben végzi el a m˝ uveleteket. A k¨ ovetkez˝o péld´ akban a m´ atrix elemei pontos numerikus értékek, illetve szimbólumok, ezért a determin´ ans pontos értékét kapjuk meg: D C> > C > > CL )> > CF F CF F 1 35 # $ ! ' C$ ' C! C! C' $ C' ! C$ D #


283

! : (a

2

+ b

2

+ c

2

2 + d )

2

Az al´ abbi péld´ aban a m´ atrix egyik eleme közel´ıt˝ o numerikus érték. A

7 függvény ebben az esetben a kért eredménynek egy közel´ıt˝o értékét hat´ arozza meg: S "5 Q "5 "5 > "5 "5 N "5 "5 B C "5 "5 B "5 > > "5 N "5 N "5 B "5 > D S 9.04581

A program a fenti eredményt gépi pontoss´ ag´ u számok (lásd a 3.1.3. pontot) felhaszn´ al´ asával szám´ıtotta ki. Emlékeztet¨ unk arra, hogy a t¨ obbi értékes jegyet ´ıgy jelen´ıthetj¨ uk meg: 6 0 : 9.04580658046875

Ha ennél több értékes jegyre szeretnénk a determin´ anst meghatározni, akuggvényt kell alkalmaznunk. kor az f¨ • M´ atrix rangja Adott m´ atrix rangj´ anak meghatározásához a Mathematica t¨ obb beép´ıtett f¨ uggvényét is felhasználhatjuk. atrix rangja az r (≤ min {n, m}) természeAz A ∈ Cn×m (n, m ∈ N) m´ tes szám, ha A-nak van r-edrend˝ u, null´ atól k¨ ul¨ onb¨ oz˝o aldetermin´ ansa, de minden (r + 1)-edrend˝ u aldetermin´ ansa (ha egy´ altal´ an van ilyen) nulla. uggvény seg´ıtA fenti tulajdons´ agokkal rendelkez˝ o r számot a # f¨ ségével kereshet¨ unk. A

# * . =, utas´ıt´ as eredménye ugyanis egy olyan m´ atrix, amelynek minden eleme A valamely k × anak determin´ ansa. (Ha A n × m-es, akkor ez k-s r´ eszmátrix´ m´ e ret˝ u .) P´ e ld´ a ul: a mátrix nk × m k A # # C C ) C C C CF > C C C> C C

284

3. Fejezetek a matematikáb´ ol # ) {{0, 0, 0, 0, 0}} # {{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {2, 24, 36, 6, 10, 12, -8, -12, 0, 4}, {-4, -48, -72, -12, -20, -24, 16, 24, 0, -8}, {-2, -24, -36, -6, -10, -12, 8, 12, 0, -4}}

Ennek a m´ atrixnak a rangja teh´ at 3. Egy m´ atrix rangj´ at a fentinél kevesebb számolást igényl˝o elj´ ar´ assal is meghatározhatjuk. Az ezzel kapcsolatos áll´ıt´ as azt mondja ki, hogy egy mátrix rangja nem v´ altozik meg akkor, ha a sorain u ´gynevezett elemi sorm˝ uveleteket hajtunk végre. Ilyen m˝ uveletek a következ˝ok: két sor felcserélése, egy sornak null´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝o számmal való megszorzása, valamelyik sor tetsz˝oleges számmal vett szorzatának egy másik sorhoz val´ o hozzáad´ asa. Ilyen a´talak´ıt´ asokat alkalmaz a

9B9 bels˝o f¨ uggvény. Az eredményként ad´ od´ o mátrix rangja (ami megegyezik a kiindul´ asi mátrix rangj´ aval) sok esetben már k¨ ozvetlen¨ ul leolvashat´ o. Péld´ aul: EYE'! # +0 1 0 0 -4 -6 0 1 0 -3 -5 0 0 1 12 18 0 0 0 0 0

A Mathematic´ a nak ezzel az eljár´ asával illusztrálhatjuk a m´ atrix rangj´ anak egy másik lehetséges (az el˝oz˝ovel ekvivalens) defin´ıci´ oj´ at is. Nevezetesen: egy mátrix rangja egyenl˝ o a line´ arisan f¨ uggetlen sorvektorainak a maxim´ alis arisan f¨ uggetlen számával. A fentebb megadott mátrixnak pontosan 3 line´ sorvektora van, ezért a rangja 3. A Mathematica 2.2.x v´ altozataiban nincs olyan beép´ıtett f¨ uggvény, amelyik eredményként mátrix rangj´ at adja meg. A sokat sejtet˝o 9= bels˝o f¨ uggvényt erre nem haszn´ alhatjuk. A legegyszer˝ ubben tal´ an a

6 bels˝o f¨ uggvény felhaszn´ al´ asával defini´ alhatunk m´ atrix rangj´ at kiszámoló


285

elj´ ar´ ast. Ha A ∈ Cn×m , akkor a 6* , utas´ıt´ as eredménye a ker(A) := { x ∈ Cm : Ax = 0 } ⊂ Cm altér b´ azisvektorainak list´ aja: " ! # {{6, 5, -18, 0, 1}, {4, 3, -12, 1, 0}}

Bebizony´ıthat´ o az, hogy az A mátrix rangja (a fenti jel¨ oléseket használva) megegyezik az m − dim ker(A) számmal. Ezért mátrix rangj´ at megadó f¨ uggvényt ´ıgy defini´ alhatunk a Mathematic´ a ban: 0 +, - % @

+ C % @ " ! +

A kor´ abban értelmezett m˝ uk¨ odését:

mátrixot felhaszn´ alva ellen˝ orizz¨ uk az u ´j elj´ ar´ as

0 # 3

• N´ egyzetes m´ atrix inverze Most a négyzetes és reguláris (azaz null´ atól k¨ ul¨ onb¨ oz˝o determin´ ans´ u) m´ atrix inverzének kiszámolásához haszn´ alhat´ o

f¨ uggvény lehet˝ oségeit ismertetj¨ uk. M´ atrix a´ltal´ anos´ıtott inverzér˝ol a 3.8.8. pontban lesz sz´ o. A Mathematica a megfelel˝ o m˝ uveleteket a Zp véges számtestben végzi el, ha a

# 2? opciót (ennek alapértelmezés szerinti értéke 0) adjuk meg. uggvénynél is a bemen˝o adatok szintaxis´ aval v´ alaszthatjuk Az f¨ meg a kiértékelés szimbolikus (pontos) vagy numerikus (k¨ ozel´ıt˝ o) módj´ at. Nézz¨ uk el˝ oször azt az esetet, amikor a mátrixot csak pontos numerikus értékek, beép´ıtett matematikai álland´ ok vagy pedig szimbólumok felhaszn´ al´ asával adjuk meg. A program ebben az esetben a pontos eredményt keresi. Ezt illusztrálj´ ak a k¨ ovetkez˝o péld´ ak:

286

3. Fejezetek a matematikáb´ ol 6 1 ) LinearSolve::nosol: Linear equation encountered which has no solution. Inverse[{{1, 2}, {2, 4}}]

6 1 $ > >$ Inverse::sing: Matrix {{a, b}, {5 a, 5 b}} is singular. Inverse[{{a, b}, {5 a, 5 b}}]

G "5 C "5 G "5 C "5 6 1 : +0 -1 + Sqrt[2] 2 - Sqrt[3] 2 2 2 + Sqrt[3 -1 - Sqrt[2] 2 2

Bonyolultabb a helyzet akkor, amikor a m´ atrix elemei között szimbólumok is vannak. Az invert´ alhat´ oság problémá j´ anak eld¨ ontéséhez és az inverz meghatározásához ebben az esetben k¨ ul¨ onb¨ oz˝o t´ıpus´ u azonoss´ agok felhaszn´ al´ asával kell matematikai kifejezéseket kezelni, illetve átalak´ıtani. Tekints¨ uk péld´ aul a k¨ ovetkez˝o mátrixot: # " +I C A + +0 : 2 1 2 Sin[x] 1

1 - Cos[2 x]

Mivel cos 2x = 1 − 2 sin2 x (x ∈ R), ezért a fenti m´ atrix minden x ∈ R esetén szinguláris (azaz nem invert´ alhat´ o). Hajtsuk végre az 6 1 #

utas´ıt´ ast, és figyelj¨ uk meg, hogy a Mathematica által adott eredmény matematikai szempontból értelmetlen (a képerny˝ on megjelen˝o t¨ ortek nevez˝o je uggvény nem alkalmazta az emugyanis nulla). Vil´ agos, hogy az f¨ l´ıtett azonosságot. Ilyen t´ıpus´ u problémák kezelésére szolgál a

Y opció, amelyben kijel¨ olhetj¨ uk a felhaszn´ alni k´ıv´ ant azonoss´ agok k¨ orét. Ennek az opci´ onak az alapértelmezés szerinti értéke:


287

2 6 1 [ {ZeroTest -> (#1 == 0 &)}

Ez azt jelenti, hogy az f¨ uggvény a m˝ uveletek elvégzésénél csak az o¨sszevonások ut´ an 0-nak ad´ od´ o kifejezéseket tekinti zérusnak. uggvény isEgyszer˝ uen ellen˝ orizhetj¨ uk azt, hogy péld´ aul a 65) f¨ meri a fentebb megeml´ıtett azonosságot. A k¨ ovetkez˝o módon k¨ ozölhetj¨ uk al is a Mathematic´ a val azt, hogy az mátrix inverzének meghatározásán´ uggvegye figyelembe az összes olyan azonosságot, amelyeket a 65) f¨ vény ismer: 6 1 # [ CJ "0 *( . B / Inverse::sing: 2 Matrix {{1, 2 Sin[x] }, {1, 1 + <<1>>}} is singular. 2 Inverse[{{1, 2 Sin[x] }, {1, 1 - Cos[2 x]}}, ZeroTest -> (Simplify[#] == 0 &)]

A Y opciót az értékkel is használhatjuk. Ha a mátrix elemei között k¨ ozel´ıt˝ o numerikus értékek is vannak, akkor az inverzének is egy k¨ ozel´ıt˝ o értékét kapjuk meg: 6 1 Q >QF )Q >QN {{-0.3252, 0.3310}, {0.2439, -0.06968}}

Nagypontosság´ u számok alkalmazása esetén a Mathematica bizonyos hibabecslést is végez. Ezt illusztrálja a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ assorozat: S

$ GWC N W N >B S Q 6 1 S

{1., 0., 0., 0., 0., 0., 0.} #!!!( : 38

Az f¨ uggvény ezekben az esetekben is ellen˝orzi a megadott mátrix invert´ alhat´ oságát. A helyzetet itt az a tény bonyol´ıtja, hogy invert´ alhat´ o és nem invertálhat´ o mátrixok k¨ ozötti éles matematikai k¨ ul¨ onbségtétel csak a val´ os számok ide´ alis vil´ agában létezik. Mihelyt a m´ atrixokat kerek´ıtési m˝ uveleteknek vetj¨ uk al´ a, a megk¨ ul¨ onb¨ oztetés sz¨ ukségképpen még zavarosabb lesz. Így bizonyos nem-szinguláris mátrixok szingul´ ariss´ a tehet˝ok a kerek´ıtés által keletkez˝o perturb´ aci´ o révén. Még gyakrabban, egy val´ oban szinguláris mátrix a kerek´ıtés által egy k¨ ozeli, nem-szinguláris mátrixba perturb´ al´ odhat.

288


• M´ atrixf¨ uggv´ enyek Ismeretes, hogy bármely A ∈ Cn×n (n ∈ N) mátrix esetén a konvergens. Az o¨sszegének kiszámolásához, azaz az ∞ Ak A e := k!

Ak /k! sor

k=0

mátrix meghat´ arozásához a

# bels˝o f¨ uggvényt haszn´ alhatjuk fel. Péld´ aul: A # # ) C> N ) CL > CF +4+ # +0 -1 + 3 E 3 E -1 + 3 E

E 3 + E 1 + E

1 - 3 E -3 - 3 E -3 E

A kiszámoláshoz sz¨ ukséges id˝ otartamot is érdemes megnézni:

0 +4+ 0 {3.296 Second, Null}

3.8.4. Vektornorm´ ak ´ es m´ atrixnorm´ ak A Mathematica bels˝o és k¨ uls˝ o f¨ uggvényei k¨ ozött nincs olyan, amellyel vektor (mátrix) valamelyik norm´ aj´ at k¨ ozvetlen¨ ul ki tudn´ ank számolni. Ebben a pontban megmutatjuk, hogyan defini´ alhatunk ilyen f¨ uggvényeket. Ismeretes, hogy a következ˝o leképezések mindegyike norma a Cn (n ∈ N) line´ aris téren: x∞ := max { |xk | } 1≤k≤n

(x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Cn )

(vektor maximum-norm´ aja), xp :=

n k=1

aja). (vektor lp -norm´

|xk |p

1/p

(x ∈ Cn , p ≥ 1)


289

Vektor maximum-norm´ aj´ at kiszámoló f¨ uggvényt ´ıgy adhatunk meg: 8= +0 +,V8! ? - + #$ +

A NQV mint´ azattal k¨ ozölt¨ uk a Mathematic´ a val azt, hogy a O jelsorozat jobb oldal´ an lév˝o m˝ uveleteket csak akkor végezze el, ha a f¨ uggvény argumentum´ aba vektor ker¨ ul. Figyelj¨ uk meg azt is, hogy a dimenzi´ oszám uggvény ugyanis renmegjelölése nélk¨ ul adtuk meg ezt a norm´ at. Az & f¨ utummal: delkezik a & attrib´ # $ #$ {Listable, Protected}

Ez azt jelenti, hogy ha az argumentum´ aba vektort (list´ at) ´ırunk, akkor a uggvényt. program a lista minden elemére k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on alkalmazza az & f¨ Pr´ ob´ aljuk most ki ezt az u ´j elj´ ar´ ast: 1 C 1 ) > N F CM 8= +0 1 8= +0 1 {3, 8} 1 8= +0 1 VektorMaxNorma[{1, {1, 3}}]

Vektor lp -norm´ aj´ at adja meg a k¨ ovetkez˝o f¨ uggvény (a %% jelsorozat az

) függvény rövid alakja):

8= 0 +,V8! ? , J - & #$ +I I 8= 0 1 8= 0 1 {Sqrt[13], 5}

Tekints¨ uk ezut´ an a k¨ ovetkez˝o mátrixnorm´ akat: AE :=

n

|aij |2

1/2

(A ∈ Cn×n )

i,j=1

(mátrix euklideszi norm´ aja), AS := max

1≤i≤n

(mátrix sor¨ osszeg-norm´ aja),

n j=1

|aij |

(A ∈ Cn×n )

290


AO := max

1≤j≤n

n

|aij |

(A ∈ Cn×n )

i=1

(mátrix oszlop¨ osszeg-norm´ aja). Ezek kiszámolásához haszn´ alhatjuk a k¨ ovetkez˝o f¨ uggvényeket: +40 +, - & #$ +II +"0 +, - + # ( & #$ + +20 +, - +

# ( & #$

+

Ezeknek a f¨ uggvényeknek a m˝ uk¨ odését is kiprób´ aljuk: # #( .I G .I/ +0 : 2 9 5 12 +40 # +"0 # +20 # {Sqrt[254], 17, 21}

Az A négyzetes mátrix · mátrixnorm´ ara vonatkoz´ o kond´ıci´ osz´ ama az −1 os szám. Ezt a Mathematic´ a ban péld´ aul ´ıgy defini´ alhatjuk: A · A val´ P '"0 +,

0,- +40 - 0 + 0 6 1 +

A ; 6' f¨ uggvényt két argumentummal értelmezt¨ uk. Az els˝obe kell be´ırni a m´ atrixot, a m´ asodikba pedig egy kor´ abban m´ ar defini´ alt mátrixnorma nevét. Ez ut´ obbi argumentum elhagyhat´ o. Ebben az esetben a program an megadott mátrixnorm´ aval számolja ki a kond´ıci´ oszámot: a O jel ut´ P '"0 # P '"0 # +40 254 254 , } { 21 21 P '"0 # +"0 P '"0 # +20 {17, 17}


291

3.8.5. A Gram–Schmidt-f´ ele ortogonaliz´ aci´ os elj´ ar´ as Véges dimenziós euklideszi terekben végezhet¨ unk bizonyos sz´ amolásokat a &38'3 programcsomag alábbi függvényeivel:

:68 '

0K

Az alapértelmezés az (Rn , ·, ·) euklideszi tér, ahol n adott természetes szám és ·, · a szokásos skaláris szorzat: x, y :=

n

xk yk

(x, y ∈ Rn ),

k=1

ami az

n |xk |2 x2 :=

(x ∈ Rn )

k=1

euklideszi normát induk´ alja. Olvassuk be a szóban forg´ o programcsomagot: % #$K2 @ K

Adott v ∈ Rn vektor esetén a '*, utas´ıt´ as eredménye olyan R -beli vektor, amelynek euklideszi normája 1: n

1 0 1 1 1 1 1 { , , , } 2 2 2 2

A 0K*+. (, utas´ıt´ as a v1 ∈ Rn vektornak a v2 ∈ Rn vektor ir´ any´ aba es˝o mer˝oleges vet¨ uletét, azaz a v1 , v2 · v2 v2 , v2 vektort adja meg. Péld´ aul: 1 1 C CN &W! 1 1 30 90 15 } { , - , 41 41 41

292


Az f1 , f2 , · · · , fm ∈ Rn vektorok a´ltal meghat´ arozott altérben a Gram– Schmidt-féle ortogonalizáci´ os eljár´ assal ad meg egy ortonormált b´ azist a

:68 *-5+. 5(. HHH. 5/, utas´ıt´ as. Ugyanezt normál´ as nélk¨ ul ´ıgy kapjuk meg: * C * C> * M CF O0"!@0' * * * 0' CJ {{1, 2, 2, -1}, {2, 3, -3, 2}, {2, -1, -1, -2}}

Az el˝ oz˝oekben ismertetett m˝ uveleteket másik skaláris szorzattal ellátott euklideszi térben is elvégezhetj¨ uk. A skal´ aris szorzatot az

0 opcióval defini´ alhatjuk. A felsorolt f¨ uggvények mindegyike rendelkezik ezzel az opcióval, ami alapértelmezésben a pont elején megadott skal´ aris szorzat. Ezt a Mathematica ´ıgy fejezi ki: 0 2? 7, ami ekvivalens a k¨ ovetkez˝ovel: 0 2? P+HP( . Egyetlen péld´ an mutatjuk meg skal´ aris szorzat megadásának m´ odj´ at. oli a legfeljebb n-edfok´ u Tekints¨ uk a (Pn , ·, ·I ) euklideszi teret, ahol Pn jel¨ val´ os algebrai polinomok line´ aris terét, és a skaláris szorzatot ´ıgy értelmezz¨ uk: 1 f (t)g(t) √ dt (f, g ∈ Pn ). f, gI := 1 − t2 −1 Ismeretes, hogy ha péld´ aul az fi (x) := xi (x ∈ R, i = 0, 1, · · · , 4) polinomokra a Gram–Schmidt-féle elj´ ar´ ast alkalmazzuk, akkor a megfelel˝o index˝ u els˝ofaj´ u Csebisev-polinomokat kapjuk: O0"!@0' + +I +I +I) 0' CJ 6 &'! CJ 6 . ."5 C+I + C / 1 2 -3 x 3 1 2 4 + x , - x + x } {1, x, - + x , 2 4 8

Az els˝ ofaj´ u Csebisev-polinomok beép´ıtett f¨ uggvényként is szerepelnek a Mathematic´ a ban. Nézz¨ uk meg most ezeket is:

$ A@$(@1 = + = B ) 2 3 2 4 {1, x, -1 + 2 x , -3 x + 4 x , 1 - 8 x + 8 x }


293

3.8.6. Line´ aris egyenletrendszerek megold´ asa Ebben a pontban a line´ aris egyenletrendszerek megoldásához seg´ıtséget adó

6 6

9 6

bels˝o f¨ uggvények, valamint a &3 3 programcsomagban meglév˝o

6 k¨ uls˝ o f¨ uggvény a´ltal ny´ ujtott lehet˝ oségeket ismertetj¨ uk. utthat´ omátrixszal és a Tekints¨ uk el˝ oször az A ∈ Cm×n (m, n ∈ N) egy¨ n b ∈ C vektorral megadott Ax = b

?(x ∈ Cn )

line´ aris egyenletrendszert. uggvény (l´ asd a 3.3.1. pontot) line´ aris egyenletrendszerek megA 6 f¨ old´ asához az LU-algoritmust alkalmazza. Ha az egyenletek megadásán´ al pontos numerikus értékeket használunk, akkor a pontos megold´ ast kapjuk meg: ( +G(G )+G>(GN F+GM(G) "1 ( + ( 35 34 , z -> 0}} {{x -> - , y -> 3 3

Az egyenletrendszert ´ıgy is megadhatjuk: # ) > N F M $ ) A + + + + + "1 # Q + $ + 35 34 , x3 -> 0}} {{x1 -> - , x2 -> 3 3

A 6 f¨ uggvény a matematikában megszokott módon oldja meg az egyenletrendszert akkor is, amikor annak végtelen sok megoldása van: # C C) B C B C B CF $ ) C C

294

3. Fejezetek a matematikáb´ ol A + + + + + +) 0 "1 # Q + $ + {{x1 -> -8, x3 -> 6 + 2 x4, x2 -> 3 + x4}}

Ennek az egyenletrendszernek az a´ltal´ anos megoldása: 0 0

0

0

+) {-8, 3 + x4, 6 + 2 x4, x4}

¨ Ures listát kapunk eredményként abban az esetben, ha az egyenletrendszernek nincs megold´ asa: # C C> ) CF $ L C) > A + + + + + "1 # Q + $ + {}

A 6 bels˝o f¨ uggvény szintén az LU-algoritmust használja line´ aris egyenletrendszerek megoldásához: % "1 # $ 34 35 , 0} {- , 3 3 % "1 # $ {-8, 3, 6, 0} % "1 # $ LinearSolve::nosol: Linear equation encountered which has no solution. LinearSolve[{{2, -1, 3}, {3, -5, 1}, {4, -7, 1}}, {9, -4, 5}]

A második péld´ aban figyelj¨ uk meg azt is, hogy ezzel az eljár´ assal abban az esetben is csak egyetlen megoldást kapunk meg, amikor az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. aris egyenletrendszer Ismeretes, hogy az Ax = 0 (∈ Cn ) homogén line´ azis´ at megoldásainak a halmaza a Cn tér egy altere. Ennek az altérnek egy b´ as eredményeként. Péld´ aul: kapjuk meg a 6* , utas´ıt´ " ! # {{0, 1, 2, 1}}


295

Tridiagon´ alis m´ atrixszal megadott egyenletrendszert megoldhatjuk az imént megeml´ıtett f¨ uggvények seg´ıtségével is, de használhatjuk a hatékouls˝ o f¨ uggvényt is. Olnyabb algoritmust tartalmaz´ o 6 k¨ vassuk be az ezt tartalmazó programcsomagot: % #$K ' K

Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝o tridiagon´ alis mátrixot: $ ! F ) M > L # $ "Y !@

WC C

W B $

W !

WC , B ) W ) +0 # 4 7 0 0

5 8 1 0

0 9 2 11

0 0 3 12

Oldjuk most meg az Ax = r egyenletrendszert: ) >

' "1 $ ! {-

5 20 28 26 , , , } 9 9 27 81

Vég¨ ul hasonl´ıtsuk o¨ssze a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o elj´ ar´ assal végzett kiértékeléshez sz¨ ukséges id˝ otartamokat: A + + + + + +)

0 "1 # Q + + {4.723 Second, Null}

0 % "1 # {2.472 Second, Null}

0

' "1 $ ! {0.55 Second, Null}

Paramétereket tartalmazó egyenletrendszereket is megoldhatunk. Péluggvény a paraméterek összes lehetséges komplex értékét d´ aul a 9 f¨ figyelembe véve adja meg a megoldást.

296


Oldjuk meg péld´ aul a tx + y + z = 1 x + ty + z = t

?((x, y, z) ∈ C3 )

x + y + tz = t2 egyenletrendszert, ahol t tetsz˝oleges komplex paraméter: E'! R+G(G +G R(G +G(G R I + ( x == 1 - y - z && t == 1 || -1 + t != 0 && 2 + t != 0 && 1 -1 - t && y == && x == 2 + t 2 + t 2 1 + 2 t + t z == 2 + t

A kapott eredmény teh´ at azt jelenti, hogy ha t ∈ C \ {1, −2}, akkor az egyenletrendszernek egyetlen megoldása a t + 1 1 (t + 1)2 , , − t+2 t+2 t+2 vektor. Ha t = 1, akkor az (1 − y − z, y, z)

(y, z ∈ C)

számh´ armasok mindegyike kielég´ıti a fenti egyenleteket. A t = −2 esetben az egyenletrendszernek nincs megoldása. Valóban: C E'! R+G(G +G R(G +G(G R I + ( False

3.8.7. M´ atrix saj´ at´ ert´ ekei ´ es saj´ atvektorai A λ0 ∈ C számot az A ∈ Cn×n (n ∈ N) mátrix saj´ atértéké nek nevezz¨ uk, n ha létezik olyan nemnulla s ∈ C vektor (az ilyen s-re azt mondjuk, hogy atértékéhez tartoz´ o saj´ atvektora), amelyre az As = λ0 s az A mátrix λ0 saj´ atértékhez tartozó sajátvektorokhoz a nulegyenl˝ oség teljes¨ ul. Ha a λ0 saj´ la vektort is hozz´ avessz¨ uk, akkor a Cn tér egy alterét kapjuk. Ennek az atérték geometriai multiplicit´ asa. altérnek a dimenzi´ o ja a λ0 saj´


297

Ismeretes, hogy a λ0 szám pontosan akkor saj´ atértéke az A mátrixnak, ha λ0 megoldása a det (A − λIn ) = 0

?(λ ∈ C)

os egységmátrixot jel¨ olt¨ uk), amelyet az A egyenletnek (In -nel az n-dimenzi´ mátrix karakterisztikus egyenleté nek szokás nevezni. Azt mondjuk, hogy atérték algebrai multiplicit´ asa l, ha λ0 a karakterisztikus egyena λ0 saj´ letnek l-szeres gyöke. Egyszer˝ uen bebizony´ıthat´ o, hogy b´ armely A mátrix atértékének geometriai multiplicitása nem nagyobb, mint az algebrai λ0 saj´ multiplicit´ asa. A Mathematica egyenletmegoldó algoritmusait használja az

f¨ uggvény négyzetes mátrix saj´ atértékeinek meghatározásához. A 3.3. szakaszban le´ırtaknak megfelel˝oen, ha a m´ atrixot csak pontos numerikus értékekkel vagy beép´ıtett matematikai álland´ okkal adjuk meg, akkor ez az elj´ ar´ as a pontos sajátértékeket pr´ ob´ alja meghatározni. Az al´ abbi péld´ akban figyelj¨ uk meg azt is, hogy az eredményként ad´ od´ o listában minden saj´ atérték annyiszor szerepel, amennyi annak az algebrai multiplicit´ asa: # B C B C C B 4 1 # {0, -I Sqrt[14], I Sqrt[14]} # C C C) C C) B 4 1 # {-5, 2, 2} # C C C C C 4 1 # {1, 1, 1}

Szimbolikus számolások eredményei esetenként nehezen a´ttekinthet˝ oek. Ezt is illusztrálja a k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ assorozat, amelynek eredményét itt nem k¨ ozölj¨ uk: #) B>BBBB B)BBB BBBB BBBB BBBB BBBBB 4 1 #)

Ilyen esetekben az bels˝o f¨ uggvényt alkalmazva a saj´ atértékek egy k¨ ozel´ıt˝ o értékét kapjuk meg:

298

3. Fejezetek a matematikáb´ ol : ) A@ {-1.889, 1.889, -0.6167, 0.6167, -3.324, 3.324}

A program figyelmeztet˝o u ¨zenetet k¨ uld akkor, ha nem tal´ alja meg a karakterisztikus egyenlet pontos megoldását: #> > ) ) N B ) B F N > ) N M F > F L 4 1 #> Eigenvalues::eival: Unable to find all roots of the characteristic polynomial. Eigenvalues[{{5, 4, 3, 2, 1}, {4, 6, 0, 4, 3}, {3, 0, 7, 6, 5}, {2, 4, 6, 8, 7}, {1, 3, 5, 7, 9}}] : B {22.4068753075804106731, 7.5137241542053727579, 4.8489501203161481508, 1.32704559955676522789, -1.09659518165869680963}

Az f¨ uggvény numerikus módszert alkalmazva határozza meg a sajátértékek egy k¨ ozel´ıt˝ o értékét abban az esetben, ha a mátrix elemei között k¨ ozel´ıt˝ o numerikus értékek is szerepelnek: 4 1 Q Q) >QN FQM {9.97083, -0.970832}

Szimb´ olumot tartalmazó mátrix saj´ atértékeit is meghatározhatjuk: 4 1 B C B {-I a, I a}

Saj´ atvektorok kiszámolásán´ al az

f¨ uggvény szintén a bemen˝o adatok szintaxis´ atól f¨ ugg˝ oen v´ alasztja meg a kiértékelés szimbolikus (pontos) vagy numerikus (k¨ ozel´ıt˝ o) módj´ at. (Az 2 ) függvény a sajátértékeket és a sajátvektorokat is megadja.) Péld´ aul: 4 1! Q Q) >QN FQM {{-0.361441, -0.932395}, {-0.842853, 0.538144}}


299

4 1! # {{1, 3, 2}, {1, 0, 1}, {2, 1, 0}}

4 1! # {{1, 0, 1}, {1, 1, 0}, {0, 0, 0}}

Az F mátrixnak egyetlen h´ aromszoros sajátértéke van, ennek algebrai multiplicit´ asa tehát 3. Az ehhez tartozó line´ arisan f¨ uggetlen saj´ atvektorok száma, azaz a sajátérték geometriai multiplicitása azonban 2. A harmadik péld´ aban figyelj¨ uk meg azt, hogy a Mathematica ezt a tényt nulla vektor ki´ır´ asával jelzi.

3.8.8. M´ atrix felbont´ asa M´ atrix felbont´ asához és által´ anos´ıtott (vagy Moore–Penrose-féle) inverzének meghat´ arozásához az alábbi bels˝ o f¨ uggvények a´llnak rendelkezés¨ unkre:

1 W 7 !7 0

97 687 6V

Felhaszn´ alhatjuk még a &348 =)3 programcsomag

48 =)7 f¨ uggvényét, valamint a &3: 3 programcsomag

! f¨ uggvényét is. A fentiek k¨ oz¨ ul részletesebben csak a téglalapmátrixokra alkalmazhat´ o

6V bels˝o f¨ uggvényt tanulm´ anyozzuk, amely m´ atrix szingul´ aris felbont´ as´ at szolgáltatja.

300


Legyen n, m ∈ N (n ≤ m), és tekints¨ unk egy A ∈ Cn×m mátrixot: # B B C B B

Jelölje A∗ az A mátrix transzpon´ altj´ anak a komplex konjug´ altj´ at: #! A W

# {{1, 0, 1}, {0, 1, 1}, {1, -1, 0}, {1, 0, 1}}

és r az A mátrix rangj´ at: % @ " !

# 2

Ismeretes, hogy A-hoz létezik olyan U ∈ Cr×n ,

D ∈ Cr×r ,

valamint

V ∈ Cr×m

mátrix, amelyre a k¨ ovetkez˝ok teljes¨ ulnek: atrix nul• a D mátrix diagon´ alis, és f˝oa´tl´ o j´ aban az AA∗ hermitikus m´ l´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝o (teh´ at pozit´ıv) saj´ atértékei állnak (Ezeknek a négyzetgyökei A szingul´ aris értékei.); • az U és a V mátrix sor-ortonorm´ alt; • A = U ∗ DV . as eredménye a fenti feltételeket kiA 6V ** ,, utas´ıt´ elég´ıt˝ o U , D és V mátrixot (ebben a sorrendben) tartalmaz´ o lista. A D diagon´ alis m´ atrixot a program csak a f˝ oátl´ oban lev˝ o elemek ki´ır´ asával jelzi. Felh´ıvjuk a figyelmet arra, hogy a f¨ uggvény argumentum´ aba az A mátrix egy közel´ıt˝ o numerikus értékét (lásd a 3.1.3. pontot)´ırtuk be. Ez a f¨ uggvény ugyanis csak k¨ ozel´ıt˝ o numerikus értékeket tartalmazó mátrix felbont´ asát adja meg. ´ ıtsuk most el˝ All´ o a fenti A mátrix egy szingul´ aris felbont´ asát (A D-t a 7 változóval fogjuk jelölni.): *$ " 8 # -16 {{{-0.707107, 1.51097 10 , -0.707107}, {0.408248, -0.816497, -0.408248}}, {2.23607, 1.73205}, {{-0.632456, -0.316228, -0.316228, -0.632456}, -16 {-1.12989 10 , -0.707107, 0.707107, -17 -8.09818 10 }}}


301

A tényez˝oket ebb˝ ol ´ıgy v´ alaszthatjuk ki: *$

D D + *$

8 *$

Ellen˝ orizz¨ uk a kapott eredményt: 3 A W

Q D Q 8 A@ # 3 True

A 6V f¨ uggvény numerikus módszerek felhasznál´ asával hat´ arozza meg a szinguláris felbont´ ast. A végeredmény értékes jegyeinek számát a opcióval és az bels˝o f¨ uggvénnyel (lásd a 3.1.3. pontot) szabályozhatjuk. Péld´ aul ´ıgy: " 8 # >B

Komplex elem˝ u téglalap alak´ u A ∈ Cn×m mátrix a´ltal´ anos´ıtott (vagy Moore–Penrose-féle) inverzét, azaz a (fenti jel¨ oléseket használva) az A+ := V ∗ D−1 U ∈ Cm×n mátrixot ´ıgy kapjuk meg a Mathematic´ a ban:

0 * , Az al´ abbi példa mutatja, hogy itt pontos numerikus értékekkel is dolgozhatunk: &'6 1 # 1 1 1 4 1 }, {{ , 0, }, {- , , 5 5 15 3 15 1 1 1 1 4 }} { , - , - }, { , 0, 15 3 15 15 15

3.8.9. Line´ aris programoz´ as A gyakorlat számos olyan problémát vet fel, amelyben val´ os érték˝ u f¨ uggvény széls˝oértékhelyeit (optimumhelyeit) és az ezekben felvett f¨ uggvényértéket (optimumot) kell meghat´ arozni. A matematika ´ altal´ anos m´ odszerek kidolgoz´ asával igyekszik v´ alaszt adni ilyen jelleg˝ u kérdésekre.

302


Ha a szóban forg´ o f¨ uggvény péld´ aul differenciálhat´ o, akkor felhaszn´ alhatjuk az anal´ızis megfelel˝o eredményeit. Ezekkel a módszerekkel sok esetben lok´ alis optimumokat tudunk egyszer˝ uen meghat´ arozni. A gyakorlat azonban glob´ alis (abszol´ ut) széls˝oértékek keresését is igényelheti. Az anal´ızis módszereivel ez több esetben nem egyszer˝ u feladat. Az alkalmaz´ asok szempontjáb´ ol fontos feladatosztályok esetében a glob´ alis széls˝oérték-problémákat a line´ aris algebra módszereivel is vizsgálhatjuk. Ezek k¨ oz¨ ul a legegyszer˝ ubb feladatt´ıpusnak, a line´ aris programoz´ as feladat´ anak megoldásához ny´ ujtanak seg´ıtséget a Mathematica al´ abbi f¨ uggvényei:

4 # 4 #

0

A line´ aris programoz´ as által´ anos feladatának lényege az, hogy az Rn tér bizonyos részhalmazán értelmezett valós érték˝ u line´ aris f¨ uggvény abszol´ ut széls˝oértékeit keress¨ uk. A sz´ oban forg´ o f¨ uggvény értelmezési tartomány´ at a v´ altozókra vonatkoz´ o egyenl˝ otlenségrendszerrel adjuk meg. Pontosabban: legyen adott az n, az m, az r1 és az r2 (r1 < r2 < m) természetes szám, olje D az az A = (aij ) ∈ Rm×n mátrix, a b ∈ Rm és a c ∈ Rn vektor. Jel¨ at, amelyekre teljes¨ ulnek a Rn tér azon x = (x1 , · · · , xn ) pontjainak halmaz´ k¨ ovetkez˝o feltételek: (j = 1, 2, · · · , n), 0 ≤ xj n aij xj ≤ bi (i = 1, 2, · · · r1 ), j=1 n j=1 n

aij xj = bi

(i = r1 + 1, r1 + 2, · · · r2 ),

aij xj ≥ bi

(i = r2 + 1, r2 + 2, · · · m).

j=1

Határozzuk meg az L : D −→ R,

L(x) :=

n

cj xj

j=1

f¨ uggvény abszol´ ut széls˝oértékhelyeit és az itt felvett f¨ uggvényértékeket. A D defin´ıci´ oj´ aban szerepl˝ o 0 ≤ xj feltételeket nem kell a programmal k¨ ul¨ on k¨ ozölni. Alapértelmezésben nemnegat´ıv koordin´ atáj´ u pontok k¨ orében keresi a megoldást.


303

Minimum keresésére vonatkozó feladatot ´ıgy oldhatunk meg: A ' + G ( C+ G ( + G ( L + G ( J + ( 9 9 { , {x -> , y -> 0}} 2 2

Maximumot pedig ´ıgy hat´ arozhatunk meg: A '+ + G ( C+ G ( + G ( L + G ( J + ( {7, {x -> 2, y -> 5}}

Figyelmeztet˝o u ¨zenetet kapunk akkor, ha a vizsg´ alt f¨ uggvény értelmezési tartomány´ at megadó feltételek az u ¨ res halmazt hat´ arozzák meg: A '+ + + + J + ConstrainedMax::nsat: Specified constraints cannot be satisfied.

Megjegyezz¨ uk még azt is, hogy a Mathematica fenti f¨ uggvényeinek máaci´ os jelet is haszsodik argumentum´ aban a > (?) jel helyett a > (?) rel´ ´ n´ alhatjuk. Erdemes megfigyelni, hogy a program hogyan kezeli az ilyen feladatokat: A '+ + + + {1, {x -> 1}]

A 0 f¨ uggvényt is az el˝ oz˝oekben ismertetett feladatt´ıpus megold´ asához haszn´ alhatjuk. Itt csak a problémát meghatározó mátrixot és vektorokat kell megadnunk. A

0*.

. &,

utas´ıt´ as eredménye az L(x) := c, x,

x ∈ {x ∈ Rn : x ≥ 0, A · x ≥ b}

ut minimumhelyét tartalmazó lista. f¨ uggvény (c ∈ Rn adott vektor) abszol´ % &00 C C L 9 { , 0} 2

304


3.9. Sz´ amelm´ elet A számelmélet a matematikának egy olyan ter¨ ulete, amely régóta komoly feladatokat ad a sz´ am´ıt´ astechnik´ anak: feladatainak megold´ asa által´ aban igen hossz´ u id˝ ot vesz igénybe. M´ asrészt ez a tény a hatékony algoritmusok fejlesztésére kényszer´ıt˝ o er˝ovel hat. A Mathematic´ a ban szerepl˝ o számelméleti algoritmusok több értelemben uggvény is val´ osz´ın˝ uségi jelleg˝ uek. Az egyik lehet˝oségre példa a 0 f¨ értékeit (, ha az argumentum pr´ımszám, egyébként) kiszámoló algoritmus, amely kis számokra biztosan, nagyobbakra nagy val´ osz´ın˝ uséguls˝ o gel ad j´ o v´ alaszt. Az egy tényez˝ot leválasztó 4# k¨ o v´ af¨ uggvény (&8)34#3) viszont biztosan j´ laszt ad, de ezt (amint az a válasz megadásához sz¨ ukséges id˝ otartamb´ ol is kit˝ unik) véletlen algoritmussal teszi. A számelmélet és az algoritmusok szempontjáb´ ol is igen hasznos Wagon [87] k¨ onyve. Vég¨ ul még egy által´ anos megjegyzés: nehezen v´ alasztható szét a számelmélet a diszkrét matematikától. Ez azzal j´ ar, hogy esetenként a´tfedések fordulnak el˝ o, illetve esetenként egyes f¨ uggvényeket nem azon a helyen ismertet¨ unk, ahov´ a azok a program kész´ıt˝ oinek szándékai szerint ker¨ ultek. • Sz´ amok alakjai A számok k¨ ul¨ onféle alak´ u reprezent´ al´ asár´ ol már szóltunk a 3.1.3. szakaszban. A sz´ amelmélet els˝osorban egész számokkal foglalkozik. Azt, hogy az x szám egész-e, többféleképpen d¨ onthetj¨ uk el. Ha az, akkor *, értéke , 1 *, értéke pedig lesz. Ha azt akarjuk kikötni, hogy a tov´ abbiakban x egész szám legyen, akkor ezt ´ırhatjuk: +- 6 ? +

Ett˝ ol még x feje nem lesz , ha nem adunk neki értéket: 7' + Symbol

Ha pedig egy val´ os számb´ ol egészet akarunk csin´ alni, akkor a 4. . 9 kerek´ıt˝o függvények valamelyikét használhatjuk.

3.9. Számelmélet

305

3.9.1. Sz´ amrendszerek A k¨ ul¨ onb¨ oz˝o számrendszerek közötti a´tv´ alt´ as igen könnyen végezhet˝o el.

L *++F. (, megadja a t´ızes számrendszerbeli 113 szám kettes számrendszerbeli alakj´ at. Az F A0F16 (tizenhatos számrendszerbeli) számot decimálisba pedig egyszer˝ u (az al´ abbi szintaxisnak megfelel˝ o) begépelés eredményeként kapjuk: NII*B* 64015

Sokszor sz¨ ukség¨ unk van az n egész szám számjegyeinek listáj´ ara. Ezt uggvény, a 97 *, pedig szolgáltatja az 7 *, f¨ megadja az x val´ os szám számjegyeit, valamint a tizedespont el˝ott a´ll´ o számjegyek számát. Ha ennek a két f¨ uggvénynek m´ asodik argumentumként a b számot is megadjuk, akkor az adott sz´ am b alap´ u számrendszerbeli alakj´ anak anal´ og o¨sszetev˝oit ( jegyeit”) kapjuk. ” Tanuls´ agos átv´ altani arab számokat r´ omai számmá. Lépésenként oldjuk meg a feladatot. Bizonyos osztópontok” fontos szerepet j´ atszanak az átv´ alt´ asn´ al; el˝ oször ” ezek halmazát ép´ıtj¨ uk fel: E1 &Y B E B $ E1 L E > E ) E B

Most ´ all´ıtsuk el˝ o az osztópontoknak megfelel˝o r´ omai számokat: 0 " A D AD A 3A % 3% 3 63 8 68 6

F¨ uggvény¨ unk neve 9 lesz. Egyszerre akarjuk megadni az összes oszt´ opontban felvett értékét, ehhez kell, hogy listára lehessen alkalmazni: " # $ E0 % $ @' " D(' E0 $ 0

A defin´ıci´ o lényeges részét rekurz´ıve adjuk meg: * +, B+)BBB - "! $ .+/ E0 +,6 B+)BBB - "5 !0

E0 * + E0 +C* +

306


Alkalmazzuk f¨ uggvény¨ unket 2 néh´ any hatv´ any´ ara: E0

$ I B

{I, II, IV, VIII, XVI, XXXII, LXIV, CXXVIII, CCLVI, DXII, MXXIV, MMXLVIII, toRoman[4096]}

Ezek ut´ an az Olvas´ o megpr´ ob´ alkozhat azzal is, hogy r´ omai számokat alak´ıt arab számokká.

3.9.2. Oszthat´ os´ ag Az oszthatósággal kapcsolatos kérdések vizsgálat´ ahoz leggyakrabban a k¨ ovetkez˝o f¨ ugvényeket használjuk:

7 :47 :47 9

4# #

0B#

Az *, kifejezés értéke , ha n p´ aros szám, az

*, kifearatlan szám. jezésé pedig akkor , ha x p´ # *. , megadja az m szám osztási maradékát n-nel való osztás anyados egész részét. Az ut´ an, *. , pedig a h´ 0

? 0

G ' 0

kifejezés értéke minden konkrét m és n egész szám mellett . Ugyanez áll az 0

OAD 0

%A 0

rel´ aci´ ora, ugyanis :47 a legnagyobb k¨ ozös osztót (greatest common divisor), 4# pedig a legkisebb közös többszöröst (least common multiple) adja meg (nemcsak két, hanem akárh´ any argumentum esetére). Így teh´ at m és n pontosan akkor relat´ıv pr´ım, ha OAD 0

1

Ha az ab hatv´ any n-nel val´ o osztási maradékát akarjuk kisz´ am´ıtani, akkor uk meg, hanem (ab kiszám´ıezt nemcsak # *C&. , seg´ıtségével tehetj¨ t´ asa nélk¨ ul, teh´ at gyorsabban) ´ıgy is: 0B# *. &. ,.


307

0 ' BIBBBBB F

0 &Y' B BBBBB F -14 {{33.285 Second, 2},{2.59237 10 Second, 2}}

Negat´ıv egész b számokkal pedig modul´ aris inverz meghatározására haszuggvény, ilyenkor ugyanis olyan k számot ad eredn´ alhat´ o a 0B# f¨ ul: mény¨ ul (ha van ilyen), amelyre # *=$C&. ,+ teljes¨ &Y' C F 5

´ val´ Es oban: ' : F 1

Az :47*. , kifejezés értéke egy olyan {d, {r, s}} lista, amelynek els˝o eleme a d legnagyobb k¨ ozös osztó, tov´ abb´ a d = rm + sn. uggvény, amely (Lenstra, További a´ltal´ anos´ıt´ ast jelent a 9 f¨ Lenstra és Lovász algoritmusa [50] alapján) egész koordin´ atáj´ u vektorok listáj´ ahoz speciális tulajdons´ ag´ u b´ azist a´ll´ıt el˝ o az egész számok f¨ ol¨ ott: % !E'! B B )> B B )> B B )> {{-1, 0, 1, 9}, {9, 1, -10, 0}, {85, -143, 59, 6}}

A majdnem p´ arhuzamos, hossz´ u vektorokb´ ol majdnem mer˝ oleges, rövid vektorokb´ ol a´ll´ o b´ azist kaptunk. Egydimenzi´ os vektorokhoz a f¨ uggvény — nem t´ uls´ agosan meglep˝o módon — a legnagyobb k¨ ozös osztót rendeli: % !E'! )M B {{24}}

Ha az n szám pozit´ıv osztóinak listá j´ at akarjuk megkapni, ezt a 72

*, utas´ıtás kiadásával érhetjük el.

Amennyiben egy nagy” binomi´ alis egy¨ utthat´ o adott pr´ımszám melletti ” osztási maradékát akarjuk kisz´ amolni, akkor a természetesen adód´ o megold´ as helyett használhatjuk a &8)3L3 csomag megfelel˝o utas´ıt´ asát; ez által´ aban (de nem mindig) gyorsabban vezet célhoz: 0$ @(KS 0K 0 ' S 0 BBB>BBL

0 S 0' BBB>BBL {{1.483 Second, 0}, {0.33 Second, 0}}

308


J´ o tudni, hogy ugyanitt tal´ alhatunk egy L és egy 2 függvényt is. • Polinomok Polionomok tényez˝ore bont´ asa, oszthatósággal kapcsolatos vizsgálata — az al´ abbi f¨ uggvények felhaszn´ al´ asával — hasonl´ oan végezhet˝o, mint az egész számoké:

6 6 0):47

0)4# 0)# 0) 0) 0)9 9

A fenti f¨ uggvények némelyikével már foglalkoztunk a 3.2.1. pontban, most néh´ any tov´ abbi péld´ at mutatunk: &( 0E0 ' +I + G + &( 0? +I + G + {1, -1 + x}

Az eredmények természetesen f¨ uggnek att´ ol, hogy mit tekint¨ unk f¨ uggetlen v´ altozónak: &( 0E0 ' + G ( + C ( + &( 0? + G ( + C ( ( {2y, 2x}

A legnagyobb k¨ ozös osztót ´ıgy kaphatjuk meg: &( 0OAD C+I G+ G+ C+ G+ G+ (1 - x) (2 + x)

Határozzuk meg egy polinom egy¨ utthat´ oit modulo 2: &( 0' 4+ ' G+IN 1 + x

2

+ x

4

+ x

6

Bontsuk tényez˝okre az eredményt az egész számok f¨ ol¨ ott:


309

! : 2 4 (1 + x )(1 + x )

Ha a polinomok egy¨ utthat´ oit modulo 2 tekintj¨ uk, akkor a felbont´ ast tovább folytathatjuk: ! : ' CJ 6 (1 + x)

(Véletlen, hogy az eredeti polinomot kaptuk vissza?) uggvény csak szorzásokat és kivonásokat végez, m´ıg A 0)# f¨ azza az alábbi eredméa 0)9 osztásokat is; ez magyar´ nyeket: &( 0' +I + G &( 0E0 ' +I + G + 2 1 {x , } 4

3.9.3. L´ anct¨ ortek Tetsz˝oleges valós számot lánctörtekkel k¨ ozel´ıthet¨ unk a

&8)34 3 k¨ onyvt´ ar f¨ uggvényeivel. Az x val´ os szám l´ anct¨ ortbe fejtése: 1 . a0 + 1 a1 + a2 + . . . alis h´ anyadosok. Racion´ alis számoknak véAz itt szerepl˝o ai számok a parci´ ges sok parciális h´ anyadosuk van, m´ıg irracion´ alis számok lánctörtbe fejtett arozott pn /qn racion´ alis alakja végtelen. Az a0 , . . . an számok által meghat´ szám az n-edik szelet. A szeletek bizonyos értelemben egy adott val´ os szám kis nevez˝o j˝ u legjobb racion´ alis k¨ ozel´ıtését szolgáltatj´ ak: 0$ @(KA '! K A '! "5 )LL >B B ContinuedFractionForm[{22, 2, 1, 21, 1, 2, 44, 2, 1, 21, 1, 2, 44, 2, 1, 21, 1, 2, 44, 2, 1, 21, 1, 2, 44, 2, 1, 21, 1, 2}]

310


Az eredmény tipikus: pozit´ıv egész szám négyzetgyökének lánctört alakj´ aban ismétl˝ od˝ o peri´ odusok vannak. (Bizony´ıtsuk be!) ´ hogyan ´ırjuk f¨ Es ol magát a l´ anctörtet? Péld´ aul ´ıgy: ! +, , - 7'0 G+ ! , - G ' ! % E E1 E ! $ ! ' * 1 a + 1 b + 1 c + 1 d + 1 e + f ! A '! "5 N

1

1 +

1

2 +

1

2 + 2 +

1 2 +

1 2

Tipogr´ afiai szempontb´ ol a l´ anctörtek legkényelmesebb jelölése: 1 1 1 ... . a0 + a1 + a2 + +an Megpr´ ob´ alhatjuk ezt is el˝ o´ all´ıtani programmal. Fejts¨ uk l´ anctörtbe az aranymetszést megadó ar´ anyt és szám´ıtsuk ki a k¨ ozel´ıt˝ o t¨ orteket. Egy lehetséges megoldás: A '! O' E )B B ContinuedFractionForm[{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}]

Tehát az összes szerepl˝o egy¨ utthat´ o értéke 1.

$ 0 A '! 0

$ 3 5 8 13 21 34 55 89 144 , , , , , } {1, 2, , , , 2 3 5 8 13 21 34 55 89

Az is jól l´ athat´ o, hogy a t¨ ortek — amelyek a szomszédos Fibonacci-számok h´ anyadosai — tartanak az aranymetszés értékéhez:


311

: C O' E {-0.618034, 0.381966, -0.118034, 0.0486327, -0.018034, 0.00696601, -0.00264937, 0.00101363, -0.00038693, 0.000147829, -0.0000564607}

Racion´ alis számmal való k¨ ozel´ıtést végez a 9' f¨ uggvény, amely erre a célra a l´ anctörteket használja. F B 0.428571428571428571428571428571

megadja 3/7 értékét 30 jegy pontoss´ aggal. Ha ezut´ an adjuk ki a 92 '*TT, parancsot, akkor az el˝oz˝o érték racionális közel´ıtéseként éppen 3/7-et kapunk. E 4 2.71828

a szokásos 6 jegynyi pontoss´ aggal szolgáltatja az e szám racionális k¨ ozel´ıtését (és nem talál jobbat, mint e kerek´ıtett alakja). E 4 BIC) 193/71

olyan k¨ ozel´ıtést ad, amelynek hib´ a ja nem nagyobb, mint 10−4 . Ha a hibahat´ art 0-nak v´ alasztjuk, akkor csak a bemen˝ o érték pontossága korl´ atozza a racion´ alis k¨ ozel´ıtés pontosság´ at. Javasoljuk az Olvas´ onak, hogy hat´ arozza meg az e−2 szám lánctörtekkel val´ o k¨ ozel´ıtését j´ onéh´ any (péld´ aul 40) jegyre. Az eredmény azt sugallja, hogy az egymás ut´ an k¨ ovetkez˝o számok: 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, · · ·, 1, 2n, 1. Ez a megdöbbent˝ o a´ll´ıt´ as Perron tételeként ismert. ´ Erdemes még belenézni a &8)39'3 programcsoulmagba, ahol az 559' és a 0K9' k¨ s˝o f¨ uggvényt tal´ aljuk; tov´ abb´ a kipr´ ob´ alni a &8)39'3 programcsomag 9' f¨ uggvényét is.

3.9.4. Pr´ımsz´ amok. A sz´ amelm´ elet alapt´ etele A pr´ımszámokkal kapcsolatos vizsgálatokban használt bels˝o f¨ uggvények:

0. 00. 0

312


A 0 *, kifejezés értéke , ha n pr´ımszám, egyébként pedig 2 . (Nagy számok esetén el˝ofordulhat, hogy ezt a kifejezést ki tudja értékelni a program, annak ellenére, hogy n-et tényez˝okre bontani nem tudja.) A k-adik pr´ımszámot adja meg 0*=,, m´ıg 00*, az x val´ os számn´ al nem nagyobb pr´ımszámok számát adja meg. Tanulm´ anyozhatjuk a pr´ımszámok elhelyezkedését:

'', - % &

$ = &0 = = ''

Az al´ abbi defin´ıci´ oval megadott f¨ uggvényt tal´ an még érdekesebb: * '', - % &

$ = % = &0& == = '' * >BB 1.26 1.24 1.22 100

200

1.18

300

400

500

1.16 1.14

1.12

Jones és munkat´ arsai [37] szerint a pr´ımszámok halmaza megegyezik azon pozit´ıv egészek halmazával, amelyeket az egész koordin´ atáj´ u pontokban értékként felvesz az alábbi 25-¨ odfok´ u 26-v´ altozós polinom: 9 , $, !, ', , *, , @, , W, =, , 0, , , , 5, , , , , 1, Y, +, (, ,- =GCY G@GWC5IC =GG=G@GWG@CI C G G5GCICN=GI =G GIGC*II CI GGIGCIICIC(IGC+II CNI (I)ICGCII CGIICIC G)' (IGC+G! II C GG1C(ICICIGC0IIC G=GCCI C GC CG$ GC IC CC0I C5G(C CG GC IC CC+I CG C G C ICC 0I

Ellen˝ orizz¨ uk az a´ll´ıt´ ast néh´ any helyen:


313

D & $ E '0 6 CB B N & 1W@ 9 6* 1W@JB & &0? 1W@ B

A &8)3&8) 3 programcsomag 2 0 függvénye az argumentumát követ˝o legkisebb pr´ımszámot adja meg. Az n szám pr´ımtényez˝os felbont´ asát a *, olyan lista formá j´ aban adja meg, amelynek elemei az n felbont´ asában szerepl˝ o pr´ımekb˝ ol és azok kitev˝o jéb˝ ol a´ll´ o listák. H´ uszn´ al kevesebb jegy˝ u számokn´ al az utas´ıt´ as biztosan eredményre vezet. Nagyobb sz´ amokn´ al egy alkalmas opuk, hogy csak egyetlen ció-beáll´ıt´ assal (42? ) elérhetj¨ tényez˝ot keressen meg a program, s ezzel esetleg több lépésben elvégezhetj¨ uk a tényez˝okre bont´ ast. A Gauss-egészek feletti (egyébként szintén egyértelm˝ u) felbont´ ast egy opció megfelel˝ o beáll´ıt´ asával kaphatjuk meg:

*. : 2?, (A program a nem val´ os tényez˝oknek csak a felét adja meg, a t¨ obbit az el˝o jelek megfelel˝o megváltoztat´ asával kapjuk meg, mégpedig komplex konjug´ altak képzésével.) ! 6 O 6 CJ {{-I, 1}, {1 + I, 2}}

Tegy¨ uk fel, hogy egy nagy sz´ amról akarjuk megállap´ıtani, hogy milyen uggvényt. Ha kider¨ ul, tényez˝okb˝ ol a´ll. Els˝ o lépésben használjuk a 0 f¨ hogy a szám nem pr´ım, akkor m´ asodik lépésben alkalmazhatjuk a 2 &8)34#3 könyvtár 4# függvényét: 0$ @(K! 6 4AK &0? INF G False ! 6 4A INF G 3

Alkalmazzuk ugyanezt a f¨ uggvényt két nagy pr´ımszám szorzatára: &0 BI> &0 BIN 20127115513867

&0? False

314

3. Fejezetek a matematikáb´ ol ! 6 4A 1299709

A pr´ımszámokkal kapcsolatos vizsgálatokhoz a következ˝o k¨ uls˝ o f¨ uggvények tal´ alhat´ ok a &8)30 3 programcsomagban:

0 45 0 4548= 0&0 a &8)3&8) 3 programcsomagban pedig a 0.

3.9.5. Sz´ amelm´ eleti f¨ uggv´ enyek Az egészrész és a törtrész f¨ uggvény a számelméletben is fontos szerepet j´ atszik. Kiindul´ asként v´ alaszoljuk meg azt a jól ismert kérdést, hogy 100! h´ any null´ ara végz˝odik. K¨ onnyen ´ırhatunk ezut´ an f¨ uggvényt annak meghat´ arozására, hogy az n! szám törzstényez˝os felbont´ asában a p pr´ımszám milyen kitev˝ovel szerepel: * , , - = 1 , , - # (

& +'& % * . / = 1 BB > 24

Az n szám pozit´ıv osztóinak listáj´ at 7 *, áll´ıtja el˝ o, tehát n (pozit´ıv) osztóinak számát péld´ aul ´ıgy hat´ arozhatjuk meg: ' , - % @ D1

Ugyanerre a célra egy másik megoldás: ' , - #

(

0 ! 6

G

A harmadik megold´ ast pedig ' , - D1"0 B

adja, ugyanis 7 6*=. , az n természetes szám pozit´ıv osztói k-adik hatv´ anyainak o¨sszege. A pozit´ıv osztók o¨sszege tehát 7 2 6*+. ,. A Moebius-féle µ f¨ uggvény 0 értéket vesz fel azokon az n számokon, amelyek oszthatók egy 1-nél nagyobb sz´ am négyzetével; azokon a számokon


315

pedig, amelyek négyzetmentesek, értéke (−1)k , ahol k az n szám törzstényez˝oinek száma. (Speciálisan tehát µ(1) = 1.) Egyszer˝ uen alkalmazhat´ o ez a f¨ uggvény a négyzetmentesség vizsgálat´ ara: Z( 0 , - $ ; B

(A Mathematic´ a ban az ilyen f¨ uggvényeket szokás egysorosként eml´ıteni, b´ ar itt a r¨ ovidség oka nem valamilyen mély programoz´ asi ismeret, hanem valamilyen matematikai ´ all´ıt´ as.) A négyzetmentesség ellen˝orzésére egy természetesebbnek t˝ un˝ o defin´ıci´ ot ´ıgy kaphatunk: ( 0 ,- +

! 6

J B

Vég¨ ul megeml´ıtj¨ uk, hogy a &8)3&8) 3 csomagban készen is megtalálhat´ o a 6 f¨ uggvény. Itt jegyezz¨ uk meg, hogy az anal´ızis Newton–Leibniz-féle alaptételének számelméleti megfelel˝oje a Moebius-féle megford´ıt´ asi (inverzi´ os) formula, amely szerint, ha f (d), ∀n ∈ N g(n) = d|n

akkor ∀n ∈ N

f (n) =

µ(d)g(n/d).

d|n

(Ekkor azt mondjuk, hogy a g f¨ uggvény f ¨ osszegzési f¨ uggvénye.) Az Euler-féle ϕ f¨ uggvény megadja a 1, 2, . . . , n sorozat n-hez relat´ıv pr´ım ´ ekeit az 2 elemeinek számát minden pozit´ıv egész n szám esetére. Ert´ 08 bels˝o függvény számolja ki. Sz´ amos további hasznos számelméleti f¨ uggvény tal´ alhat´ oa

&8)3&8) 3 programcsomagban, péld´ aul:

48 9 8 4 4 & 9 Ezek némelyikével még fogunk tal´ alkozni.

09 6# 6

316


3.9.6. Kongruenci´ ak • Els˝ ofok´ u kongruenci´ ak Az ax ≡ 1 (mod m) alak´ u kongruenci´ akat már megoldottuk, a megold´ ast 0B# *. 2+. , adja. Az ax + by = c lineáris kétváltozós diophanc c toszi egyenlet egy megoldását - . / adja, ha d

d

4+ ''OAD $ {d, {r, s}}

Mivel az ax ≡ b (mod m) els˝ofok´ u egyismeretlenes kongruencia azt jelenti, hogy létezik olyan y ∈ Z, amellyel ax − b = my, vagyis ax − my = b, ezért az ilyen kongruenci´ ak megoldását visszavezett¨ uk az el˝ oz˝o feladatra. • Els˝ ofok´ u kongruenciarendszerek (szimult´ an kongruenci´ ak) onyvt´ arban tal´ alhat´ o az A &8)3&8) 3 k¨ a k¨ uls˝ o f¨ uggvény (48 9 8), amely megadja azt a legkisebb sz´ amot, amelynek egy adott lista elemeivel vett osztási maradéka megegyezik egy másik adott lista elemeivel. Ha az els˝o lista elemei relat´ıv pr´ımek, akkor ilyen szám biztosan létezik. Haszn´ alat´ at a k¨ ovetkez˝o k¨ ozismert feladaton mutatjuk be. Karcsi Mikul´ as-zacskókat t¨ olt¨ ott meg di´ oval. Ha mindegyik zacskóba 9 darabot tett, akkor az utols´ oba csak 8 darab ker¨ ult, ha mindegyikbe 8 szemet tett, akkor az utolsóba 7 szem jutott, ha hetet tett egy-egy zacsk´ oba, akkor az utols´ oba 6 darab ker¨ ult, amikor hatos´ aval osztotta szét a di´ okat, akkor az utols´ oba 5 maradt. H´ any darab di´ oja volt Karcsinak, ha 600-n´ al kevesebb di´ ot szánt az aj´ andékozásra? (Ez a feladat el szokott hangzani sorbaáll´ıtott o´lomkatonákkal és k¨ ul¨ onféleképpen u ¨ltetett gyerekekkel is.) 0$ @(K0$ @( ! K A@ E0 ' @0 N F M F M L 503

Mivel ' >B N F M L {5, 6, 7, 8}

ezért 503 tényleg jó megoldás.


317

• Magasabb fok´ u kongruenci´ ak, binom kongruenci´ ak Ezek megoldhat´ ok egy véges algoritmussal: be kell helyettes´ıten¨ unk egy mod m teljes maradékrendszer elemeit a kongruencia bal oldalán a´ll´ o polinomba. Vannak egyszer˝ us´ıtési módszerek, péld´ aul binom kongruenci´ ak megu kongruenci´ at old´ asára. (Binom kongruenci´ anak az axk ≡ b (mod m) alak´ nevezz¨ uk. — Amint m´ ar eml´ıtett¨ uk, a b = 1 speciális eset megoldását 02 B# megadja.) Az a´ltalános eset látszólag nagyon egyszer˝uen kezelhet˝o: uggvénynek megadhatjuk egyenletként a modulus értékét, vagy a 6 f¨ assal elérhetj¨ uk, hogy a program maga kea # 2?# opció-beáll´ıt´ ressen alkalmas modulust, amely mellett van az egyenletnek megoldása: "1 >G+GF+IGF+IGN+I)G+I>B 'L + {{Modulus -> 19, x -> -18}, {Modulus -> 19, x -> -16}, {Modulus -> 19, x -> -12}, {Modulus -> 19, x -> -7}, {Modulus -> 19, x -> -1}} "1 +I G B +I G B + ' CJ ' {{Modulus -> 2, x -> -1}}

Lássunk egy péld´ at ellen˝orzéssel egy¨ utt: * +, (, +I G )+ G F "1 * + ( D * + ( + B + ' CJ ' {{Modulus -> 8059, x -> 1001}} * + ( D * + ( + Q : {{1003007022, 3006007}} ' : MB>L {{0, 0}}

• Kvadratikus reciprocit´ as A másodfok´ u kongruenci´ ak vizsgálat´ ahoz haszn´ alatos Jacobi-féle ( m n ) szimaratlan pr´ımszám, b´ olumot W&6)&*., számolja ki. Amikor n p´ akkor értéke a Legendre-féle szimb´ olumra specializál´ odik. A kvadratikus reciprocit´ asi tétel szerint, ha p és q p´ aratlan pr´ımszámok, akkor p−1q−1 q p 2 . ( ) = ( )(−1) 2 q p

318


El˝ oször oldjunk meg kétféleképpen egy kvadratikus kongruenci´ at: "1 +I ' + {{Modulus -> 11, x -> -6}, {Modulus -> 11, x -> -5}}

Val´ oban: ' NI 3 ' >I 3

A másik megoldási mód: 0$ @(K0$ @( ! K "5 ' 5

Ha a modulus nem pr´ımszám, akkor a 6 f¨ uggvény nem tal´ alja meg a megoldást: "1 +I ' I + Roots::modp: Value of option Modulus -> 1331 should be a prime number. 2 {ToRules[Modulus == 1331 && Roots[x == 3, x, Modulus -> 1331]]}

A k¨ uls˝ o 6# f¨ uggvény ilyenkor is beválik: "5 ' I 578

Most tanulm´ anyozzuk a Legendre-szimbólumot: ' E >CI > {0, 1, 4, 4, 1} 9!$"(0$ E >C > {0, 1, -1, -1, 1}


319

3.9.7. Tov´ abbi fejezetek Végezet¨ ul néh´ any tov´ abbi számelméleti érdekességre h´ıvjuk fel a figyelmet. • A Collatz-f¨ uggv´ eny A Collatz-féle f¨ uggvénnyel — amelynek értéke az 1 helyen 1, páros helyen az argumentum fele, páratlan helyen pedig az argumentum h´ aromszorosa plusz 1 — is k´ısérletezhet¨ unk, ugyanis t¨ obb helyen is megtalálhatjuk. Az 34'3 programcsomagban találjuk a 4' valamint a 6 függvényt, a 0 34'3 csomagban pedig a 4'. # és a 6 f¨ uggvényt. • Ramanujan A &8)39K3 programcsomagot teljes egészében Ramanujan munk´ assága induk´ alta. Ebben a k¨ ovetkez˝o f¨ uggvényeket találjuk:

9K 9K786 9K:

9K8 9KY

• Sz´ ampart´ıci´ ok A számelmélet és a diszkrét matematika nehezen szétv´ alasztható ter¨ uletek, ezért nem meglep˝o, hogy az el˝obbi ir´ ant érdekl˝od˝ ok számos hasznos és ul¨ onb¨ oz˝o érdekes dolgot fognak tal´ alni a 7 #8 programcsomag k¨ uben: k¨ onyvt´ araiban, péld´ aul a 34&3 elnevezés˝

4 7 6& &5&

0 0 9 & &

320


3.9.8. Gyakorlatok ´ es feladatok 1. Határozzuk meg az Avogadro-féle álland´ o karakterisztiká j´ at és mantisszá j´ at: ! K&@(! K 4+ #1'A {0.6022136699999999, 24}

2. Határozzuk meg az n-edik számjegyét annak a számnak, amelyet u ´gy kapunk, hogy egym´ as mellé le´ırjuk a természetes számokat: * * , - # @ , - *

0 @ >B {1.483 Second, 3}

' * C 6 D

= = , - = # , - =

0 >B {0.824 Second, 3}

' = C 6 D

(A második f¨ uggvény nagyobb sz´ amokra gyorsabban sz´ amol.) u f¨ uggvényt, amely a utas´ıt´ as 3. Írjunk olyan = nev˝ eredményét a szok´ asos formában adja meg, teh´ at péld´ aul = ! 6 ) 3 2 · 3

4. Hasonl´ıtsuk o¨ssze az osztók számát számoló h´ arom f¨ uggvény gyorsaság´ at. 5. Határozzuk meg az x pozit´ıv val´ os számhoz azokat a legkisebb p és q pozit´ıv egész számokat, amelyekre a p/q t¨ ort ε-n´ al kisebb hib´ aval k¨ ozel´ıti az x számot: E & BIC./ E B M 22 22 355 355 355 355 104348 104348 , , , , , , , } {3, 7 7 113 113 113 113 33215 33215


321

6. H´ any számjegyet ´ırunk le, ha a pozit´ıv egészeket 1-t˝ol 1996-ig bez´ ar´ olag fel´ırjuk 10-es sz´ amrendszerben? ´ Utmutat´ as. Nyilv´ an a´ltal´ anosabb feladatot old meg az alábbi f¨ uggvény. =, $, - "0 % @ 6 D $ = . B/ L LL LLN {9, 189, 6877}

´ ıtsuk 7. Tegy¨ uk fel, hogy adott egy sz´ am b-alap´ u számjegyeinek listája. All´ el˝o a szám t´ızes számrendszerbeli alakj´ at! ´ Utmutat´ as. J. Adams egysorosa: ' 0$ , $, - ' .R$G./ B ' 0$ > F 527

2 ≤ b ≤ 10 esetén értelmes bemen˝o adatokra m˝ uk¨ odik. Milyen ellen˝ orzésre lenne sz¨ ukség? Hogyan lehetne kiterjeszteni 10 < b ≤ 36 esetére? 8. Írjunk olyan f¨ uggvényt, amely el˝oáll´ıtja az x ∈ [0, 1) t´ızes számrendszerbeli szám faktori´ alisos számrendszerbeli alakj´ anak els˝o néh´ any jegyét. Az x szám el˝oa´ll´ıt´ asa faktori´ alisos számrendszerben ([81]): x=

∞ αn (n!)2 n=2

0 ≤ αn ≤ n2 − 1.

9. Írjunk olyan f¨ uggvényt, amely el˝oáll´ıtja az x ∈ [0, 1) t´ızes számrendszerbeli szám Cantor-féle felbont´ asát. (Tekints¨ uk pozit´ıv egészek egy qn ≥ 2 n ∈ {1, 2, . . . } sorozatát. Az x szám Cantor-féle felbont´ asa [66]: x=

∞

αn /(q1 q2 . . . qn ) 0 ≤ αn ≤ qn − 1.)

n=1

10. Írjunk k¨ ul¨ on f¨ uggvényt a héttel való oszthatóság ellen˝orzésére: 0 2*"1 ? ,6 - ' FB

´ 11. Allap´ ıtsuk meg egy pozit´ıv egészekb˝ol a´ll´ o lista elemeir˝ol, hogy p´ aronként relat´ıv pr´ımek-e. Egy lehetséges megoldás:

322

3. Fejezetek a matematikáb´ ol D! @0 !KA0$ !K = , - P"$ ) N L + OAD = J True

Tanuls´ agos a feladatot megoldani hagyományos programoz´ asi st´ılusban is, feltételekkel és ciklusokkal, majd az eredmény gyorsaság´ at nagy list´ akra o¨sszevetni az itt adott megoldással. uggvény gyorsaság´ at az alábbiakban de12. Hasonl´ıtsuk o¨ssze a :47 bels˝o f¨ fini´ alt, az euklideszi algoritmusra ép¨ ul˝ o egysoroséval (J. Adams): = , $, - 6* $B = $ ' $ = ) 6

(Lényegében ez a megoldás szerepel a programozási tank¨ onyvekben is a rekurz´ıv algoritmus mintapéld´ ajaként.) od˝ o és nem rel folytat´ od´ o 13. Alkalmazzuk az összes ral kezd˝ nev˝ u f¨ uggvényt a 4+ ' G+I G+ G+

polinomra! 14. Legyen az f f¨ uggvény o¨sszegzési f¨ uggvénye g. Ellen˝ orizz¨ uk az alábbi f¨ uggvényp´ arokra az inverzi´ os formul´ at n néh´ any értékére. a) Ha ∀n f (n) = 1, akkor ∀n g(n) = d(n). b) Ha ∀n f (n) = n, akkor ∀n g(n) = σ(n). c) Ha ∀n f (n) = µ(n), akkor ∀n g(n) = δ1,n , ahol δn,m a Kronecker-féle szimbólumot jel¨ oli. uggvény felhaszn´ al´ asával szám´ıtja 15. Írjunk olyan f¨ uggvényt, amely a :47 f¨ ki az Euler-féle ϕ f¨ uggvény értékét.


323

16. Ellen˝ orizz¨ uk az Euler–Fermat-féle tételt, amely szerint ' I4&@ 1

minden olyan a számra, amely relat´ıv pr´ım n-hez. 17. Oldjuk meg a 176x ≡ 118

(mod 206) kongruenci´ at.

18. H´ anyféleképpen a´ll´ıthat´ o el˝o az n pozit´ıv egész szám két négyzetszám osszegeként, ha az el˝ojelekre és a sorrendre is tekintettel vagyunk? ¨ ´ Utmutat´ as. J. Adams egysoros megoldása: 02*"5 , - 6* 41 ? 02*"5 6* 6I C6 B )& 60 6ID1 sumOfSquares /@ {1, 2, 3, 4, 5}

19. H´ anyféleképpen a´ll´ıthat´ o el˝o az 50 pozit´ıv egész szám két négyzetszám osszegeként, ha az el˝ojelekre és a sorrendre nem vagyunk tekintettel? ¨ ´ Utmutat´ as. Lépésenként f¨ olép´ıt¨ unk egy egysorost (A MathUser alapj´ an.): D1 >B O 6 CJ {1, 1 + I, 1 + 2 I, 1 + 3 I, 1 + 7 I, 2, 2 + I, 2 + 4 I, 3 + I, 3 + 4 I, 4 + 2 I, 4 + 3 I, 5, 5 + 5 I, 5 + 10 I, 5 + 15 I, 6 + 8 I, 7 + I, 8 + 6 I, 10, 10 + 5 I, 10 + 20 I, 15 + 5 I, 20 + 10 I, 25, 25 + 25 I, 50} "! D1 >B O 6 CJ #$ .I>B/ {1 + 7 I, 5 + 5 I, 7 + I} E . 60 ./ "! D1 >B O 6 CJ #$ .I>B/ {{1, 7}, {5, 5}, {7, 1}} " E . 60 ./ "! D1 >B O 6 CJ #$ .I>B/ {{1, 7}, {5, 5}}

324

3. Fejezetek a matematikáb´ ol "02* Y"5 , - " E . 60 ./ "! D1 O 6 CJ #$ .I /

$0

$ 6* "02* Y"5 ; "02* Y"5 BB >B

20. Határozzuk meg azon tagok szorzatának a maximum´ at, amelyeket egy adott n pozit´ıv egész szám pozit´ıv egészek összegére való felbont´ asakor kapunk. ´ Utmutat´ as. (Nem a felbontást adjuk meg.) D! @KA0$ !K W , - + # (

0 ./ & W ) M N {2, 4, 18, 324}

Tömörebben: W , - + 0 ./ & W ) M N {2, 4, 18, 324}

21. (Armstrong-féle számok.) Határozzuk meg azokat a háromjegy˝ u számokat, amelyeknek a jegyeit k¨ obre emelve és összeadva eredmény¨ ul mag´ at a számot kapjuk. ´ Utmutat´ as. Procedur´ alis nyelvekhez ill˝ o megoldást adunk: D D D

6* BB+GB(G+IG(IGI & + ( B L ( B L + B L 000 001 153 370 371 407

Oldjuk meg a feladatot négyjegy˝ u számokkal és negyedik hatványokkal és ´ıgy tov´ abb. Ezut´ an a´ltal´ anos´ıtsuk a feladatot arra az esetre, amikor tetsz˝oleges alap´ u számrendszerben fel´ırt számokr´ ol van sz´ o.

3.10. Val´ osz´ın˝ uségszám´ıt´ as

325

3.10. Val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ as A val´ osz´ın˝ uségszám´ıt´ as Kolmogorov-féle felép´ıtése halmazelméleti eszk¨ ozöket haszn´ al. Ezekkel kapcsolatos további péld´ akat a 3.1.2. szakaszban megadottakon t´ ul nem adunk. A diszkrét val´ osz´ın˝ uségi mez˝oknél fellép˝ o problémák leszámlál´ assal, kombinatorikai ismeretekkel oldhat´ ok meg; erre mutatunk majd néh´ any péld´ at. A val´ osz´ın˝ uségsz´ am´ıt´ as és az anal´ızis hat´ arter¨ uletein (a val´ osz´ın˝ uségi változók jellemz˝oi, val´ osz´ın˝ uségi változók f¨ uggvényeinek jellemz˝oi, peremeloszlások kiszám´ıt´ asa, generátorf¨ uggvények, karakterisztikus f¨ uggvények stb.) lehet tal´ an a legjobban alkalmazni a Mathematic´ a t; ezekre fogunk els˝ osorban koncentr´ alni. Így teh´ at itt fogjuk t´ argyalni t¨ obb szempontb´ ol is a

6 34 7 & 3 és a 6 37 7 & 3 programcsomag f¨ uggvényeit is. Véletlent˝ol f¨ ugg˝ o jelenségek és id˝obeli folyamatok szimul´ al´ asa: ez olyan ter¨ ulet, amely szám´ıt´ ogép nélk¨ ul nem is tanulm´ anyozhat´ o. Meg fogjuk mutatni, hogyan gener´ alhat´ ok adott (ismert vagy feltételekkel meghatározott) eloszlás´ u véletlen számok (ha sz¨ ukséges — mint péld´ aul u ´j statisztikai módszerek tanulm´ anyoz´ asán´ al —, reproduk´ alhat´ o módon). Egyszer˝ ubb, diszkrét és folytonos idej˝ u Markov-folyamatokat is fogunk tanulm´ anyozni, illetve megmutatjuk azt is, hogy line´ aris algebrai és gráfelméleti módszereket hogyan lehet ezek le´ır´ asán´ al igénybe venni.

3.10.1. Klasszikus val´ osz´ın˝ us´ egi mez˝ ok A leszámlál´ asi feladatokhoz felhasználhat´ o f¨ uggvényeket a diszkrét matematik´ ar´ ol szól´ o 3.6. szakaszban már f¨ olsoroltuk. Ezek a magon k´ıv¨ ul els˝ osorban az alábbi programcsomagokban tal´ alhat´ ok:

7 #834& 3 7 #834&653 7 #834&3 7 #830 3

326


L´ assunk néh´ any péld´ at. Mi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy egy, az 1, 2, 3, 4 számokb´ ol alkotott négyjegy˝ u szám egyetlen jegye sincs a helyén? D! @KA0$ ! K "$*! )); 3/8

Kilenc vendég rendel egy-egy tételt, összesen kett˝o u ¨veg sört, négy s¨ uteményt és három k´ avét. Mi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a feledékeny pincér helyesen osztja szét, amit hozott? 0 ) . / 0.00079

Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy két, egymástól f¨ uggetlen¨ ul kit¨ olt¨ ott lott´ oszelvény k¨ oz¨ ul legal´ abb az egyik négytalálatos? S 0 > ) S 0 M> S 0 LB > C I 0.000019

1000 villanyk¨ orte k¨ oz¨ ul egyenl˝ o val´ osz´ın˝ uséggel lehet 0, 1,. . . , 5 darab selejtes. Ha már 100 k¨ ortét megvizsgáltunk az 1000-b˝ ol, és jónak tal´ altuk mindet, mi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy mind az 1000 j´ o? Alkalmazzuk Bayes-tételét a k¨ ovetkez˝o szereposztással. Legyen • A az az esemény, hogy 100 k¨ ortét megvizsgáltunk, és mind j´ o volt; ozött i darab hib´ as van. • Ci az az esemény, hogy az 1000 k¨ osz´ın˝ uséFeltevéseink szerint P (Ci ) = p (i = 0, 1, . . . , 5), és a P (C0 |A) val´ get kell kiszámolnunk a P (C0 |A) =

P (A|C0 )P (C0 ) 5 P (A|Ci )P (Ci ) i=0

képlet alapj´ an. Legyen qi := P (A|Ci ). 5 , - S 0 BBB C BBS 0 BBB BB ' QBR "0 R5 B > 0.213485

A klasszikus valósz´ın˝ uségeloszlások legtöbbje megtal´ alhat´ oa

6 37 7 & 3


327

programcsomag f¨ uggvényei k¨ ozött:

L7 & L7 & 7 !57 & :7 & 1)7 & L7 & 0 7 & H´ıvjuk be ezt a programcsomagot és válasszunk egy binomi´ alis eloszlást: " !KD! D $ K $ S 0D $ ) BQ $ 10.2

A mediánt kétféleképpen is el˝ oa´ll´ıthatjuk: ? $ BQ> ' $ {10.2, 10.2}

Ezek az eloszlások szimbolikusan is használhat´ ok: . &D . =/ S 0D $ {n p, If[0 <= k <= n, n-k k If[IntegerQ[k], Binomial[n, k] p (1-p) , 0], 0]]}

3.10.2. Gener´ atorf¨ uggv´ enyek Diszkrét eloszlások számos jellemz˝oje kiszám´ıthat´ o generátorf¨ uggvény¨ ukb˝ ol vagy momentumgenerál´ o (esetleg: kumul´ ansgenerál´ o) f¨ uggvény¨ ukb˝ ol. Ezek kezeléséhez els˝osorban a

7 #83963 programcsomag f¨ uggvényeit alkalmazhatjuk, amelyeket m´ ar a 3.4.2. és a 3.6.2. szakaszban is haszn´ altunk. Egy binomi´ alis eloszláscsalád gener´ atorf¨ uggvénye ´ıgy kaphat´ o meg: ! &Y"0 &D S 0D $ F = = 17 (1 - p + p z)

328


Határozzuk meg másféle módon a Poisson-eloszlás generátorf¨ uggvényét:

E

, 0$', "0 *(

&Y"0 0$'I 4+ C0$' ; B lambda (-1 + z)

Ismeretes, hogy el´ agaz´ o folyamatok esetén, amennyiben G a generátorf¨ uggvénye az ut´ odok eloszlásának, akkor az n-edik nemzedék eloszlásának a generátorf¨ uggvényét G ¨ onmag´ aval vett n-szeres kompoz´ıci´ o ja adja. Ha teh´ at az ut´ odok eloszlása Poisson-eloszlás, akkor az o¨tödik nemzedék eloszl´ asának generátorf¨ uggvényét péld´ aul ´ıgy kaphatjuk meg:

)

A folyamat kihal´ asának val´ osz´ın˝ uségét pedig a G(z) = z egyenlet kisebok). Legyen a fenti folyamatban bik gy¨ oke adja (z1 := 1 ugyanis mindig gy¨ a Poisson-eloszlás paramétere (vagyis az utódok v´ arhat´ o száma) 2, ekkor ezt kapjuk: 'E B {z -> 0.203188}

Megeml´ıtj¨ uk még, hogy egy eloszlás kumul´ ansgener´ ator-f¨ uggvénye éppen az eloszlásnak mint sorozatnak az exponenci´ alis gener´ atorf¨ uggvénye.

3.10.3. Tetsz˝ oleges val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok Felsoroljuk a szakasz több pontj´ aban és a matematikai statisztikár´ ol szól´ o 3.11. szakaszban is használt, eloszlásokat el˝oa´ll´ıt´ o f¨ uggvényeket:

L7 & 48)7 & 4867 & 7 & V7 & 97 & :7 & 7 &

7 & 7 & 7 & 9)87 & 6 7 & !57 & S&7 &

Az eloszlások jellemz˝o paramétereit megadó f¨ uggvényeket a matematikai statisztikár´ ol szól´ o, k¨ ovetkez˝o szakaszban soroljuk fel. A Γ-eloszlást igen sokszor használj´ ak — k¨ ul¨ on¨ osen a matematikai statisztik´ aban —, mert két paraméterének változtat´ asával szinte b´ armilyen —


329

péld´ aul adatokb´ ol becs¨ ult — eloszlás j´ ol k¨ ozel´ıthet˝ o. Megjegyzend˝o, hogy speciális eseteként ad´ odik az exponenci´ alis eloszlás: " !KA D $ K &D O00D $ 0$' + &D 4+ D $ 0$' + lambda lambda { lambda x , lambda x } E E O00D $ 0$' 8 ! O00D $ 0$' 1 -2 , lambda } { lambda

A Weibull-eloszlás alkatrészek élettartamának eloszlására haszn´ alatos, mivel az exponenci´ alis eloszlás olyan által´ anos´ıt´ asa, amelynek két paramétere van, s ezáltal finomabb illesztést tesz lehet˝ové: AD X$D $ ! * + x ] 1 - Exp[-c alfa

A lognorm´ alis eloszlás gyakran fordul el˝ o apr´ıt´ asi feladatok n´ al. A leggyakrabban el˝ ofordul´ o abszol´ ut folytonos eloszl´ asok a Pearson-féle eloszláscsaládba tartoznak, azaz logaritmikus deriváltjuk racion´ alis f¨ uggvény. Ezt most csak a normális eloszlásra mutatjuk meg, a t¨ obbi eloszlás (egyszerre végrehajtand´ o!) vizsgálat´ at az Olvasóra hagyjuk: 0 +, &D 0D $ 0 0 + "0 *( 0\ + 0 + m - x 2 sigma

´ Allap´ ıtsuk meg, hogy az A, a, b paraméterek milyen értékeinél lesz s˝ ur˝ uségf¨ uggvény az A (x ∈ R) x → 1 + a(x − b)2 f¨ uggvény: "1 6 G +C$I + C6 * ( 6 * ( Sqrt[a] }} {{aa -> Pi

A program csak a számolásban seg´ıtett, a diszkusszióban természetesen √ nem. A pontos v´ alasz: b tetsz˝oleges valós szám, a pozit´ıv szám, A = a/π.

330


K¨ ovetkez˝o kérdés¨ unk hasonl´ o: eloszlásf¨ uggvény-e az x → exp(− exp(−x))

x∈R

f¨ uggvény? Meg kell vizsg´ alnunk, hogy • monoton n¨ ov˝ o-e, • balr´ ol folytonos-e, • hat´ arértéke −∞-ben nulla-e és +∞-ben 1-e? Az igenl˝ o v´ alaszt alát´ amasztják a k¨ ovetkez˝o számolások: * +, 4+ C4+ C+ %0 * + + CJ C6 * ( %0 * + + CJ 6 * ( {0, 1}

*\ + -x -E - x E

Ismeretes, hogy ha a ξ val´ osz´ın˝ uségi változó s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye f , U pedig szigor´ uan monoton f¨ uggvény, akkor az U ◦ ξ val´ osz´ın˝ uségi változó g aul ξ adott pas˝ ur˝ uségf¨ uggvénye g = (f /U ) ◦ U −1 . Legyen péld´ raméter˝ u exponenci´ alis eloszlás´ u val´ osz´ın˝ uségi változó, és határozzuk meg négyzetgyökének s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét: (=*1 (, &Y4+ '

&D 4+ D $ 0 (I R D "5 + + Q + CJ (I 2 param y 2 param y E

3.10.4. Karakterisztikus f¨ uggv´ enyek K¨ onnyen kisz´ am´ıthatjuk egy eloszl´ as karakterisztikus f¨ uggvényét: A@! ! ! A!@(D $ B E

-(t Sign[t])

Az itt használt 48 f¨ uggvény szintén a


331

6 34 7 & 3 programcsomagban tal´ alhat´ o. A centr´ alis momentumok és a karakterisztikus f¨ uggvény deriváltjai k¨ ozötti néh´ any o¨sszef¨ uggést ´ıgy illusztrálhatunk a standard norm´ alis eloszlás péld´ a j´ an: ' 0D $ B !0 , - D A@! ! ! ' CJB

$ !0 ) ' 8 ! ' "=Y ' P '

Q

{0, 1, 0, 3} {0, 1, 0, 3}

3.10.5. Hat´ areloszl´ as-t´ etelek A Moivre–Laplace-tétel szerint a binomi´ alis eloszlás j´ ol k¨ ozel´ıthet˝ o vele azonos várhat´ o érték˝ u és szór´ as´ u norm´ alis eloszlással. Illusztráljuk ezt egy péld´ an. El˝ oször a´br´ azoljuk a (10, 0.5) paraméter˝ u binomi´ alis eloszlást: $ S 0D $ B BQ> $ 0 +, - &D $ + $ % &

E B B

$ $ 0 + + B B & " ( CJ #$ & "

Most ´ attér¨ unk a k¨ ozel´ıt˝ o norm´ alis eloszlás ábr´ azolására: $ "5 8 ! $ 0D $ = +, - &D + = & = + + B B & " ( CJ @!= BQBB

Tekints¨ uk meg egy¨ utt a két ábr´ at: "@Y $ =

332


3.10.6. V´ eletlensz´ am-gener´ al´ as Ennél a témakörnél els˝osorban két bels˝o f¨ uggvényre van sz¨ ukség¨ unk, ezek: 9 és 6 9 . Kezdj¨ uk egy megjegyzéssel. Azt gondolnánk, hogy az x − x kifejezés értéke mindig nulla. Ha azonban x egy val´ osz´ın˝ uségi változó értéke, akkor ez nem igaz: + - E '0 +C+ -0.319965

Ha viszont azonnali értékad´ assal szám´ıtjuk ki x értékét, akkor nem sz´ amol´ odik u ´jra minden haszn´ alatn´ al: ( E '0 0.799367

( C ( 0.

A [0, 1] intervallumban egyenletes eloszl´ as´ u véletlen számokb´ ol a´ll´ o 3 elem˝ u listát ´ıgy kaphatunk:

$ E '0 {0.5886454, 0.567327, 0.970526}

Ha a generált val´ os t´ıpus´ u [0, 1]-beli véletlen számokat 25 jegy pontoss´ aggal akarjuk megkapni, akkor ezt ´ırhatjuk:

$ E '0 E B >

A véletlenszám-generátor természetesen itt is determinisztikus algoritmust haszn´ al. Az eredmények reproduk´ alhat´ ok lesznek (erre sz¨ ukség¨ unk lehet péld´ aul akkor, ha egy statisztikai m´ odszert akarunk ellen˝ orizni), ha uggvényt azonos (egész) argugenerál´ as el˝ott megh´ıvjuk a 6 9 f¨ mentummal. Ezt most a komplex s´ık −1 − i és 1 + i pontok mint a´tellenes cs´ ucsok által meghat´ arozott négyzetéb˝ ol egyenletes eloszlás szerint vett mint´ an mutatjuk meg: "'E '0 )M>F

$ E '0 A0 + CC6 G6 {-11. + 1. I, -6.37 + 0.795 I}


333

"'E '0 )M>F

$ E '0 A0 + CC6 G6 {-11. + 1. I, -6.37 + 0.795 I}

Szab´ alyos pénzérmével végzett pénzfeldob´ asok egy 17 elem˝ u sorozat´ at péld´ aul az al´ abbi m´ odon szimul´ alhatjuk:

$ 6* E '0 6 BTTT6T F {F, F, I, F, I, F, F, F, F, F, F, I, F, I, I, F, F}

Egyenletes eloszlás´ u véletlen számokat arra is szokás használni, hogy seg´ıtség¨ ukkel valamely sokdimenziós tér egységkockáj´ an defini´ alt f¨ uggvény hat´ arozott integr´ alj´ at szám´ıtjuk ki olyan m´ odon, hogy megsz´ amoljuk, az egységkockáb´ ol véletlen¨ ul v´ alasztott pontok h´ anyad része esik a megadott f¨ uggvény grafikonja al´ a. El˝ oször kiszám´ıtjuk az integr´ al pontos értékét: ) 6 + B ( B "5 C +I Pi

Egy procedurális st´ılus´ u sorsol´ o modult kész´ıt¨ unk: , - ' = W B D 6* +I G (I WGG W = & ) W BBB

3.196

Eleg´ ansabb (és gyorsabb) megoldás ugyanerre a feladatra: , - % @ "! ) A

$

E '0 E '0 .I G .I /

$ BB BB 4., 3.08911, 3.28358, 3.20266, 3.19202, 2.99401, 3.09484 3.17832, 3.14107, 3.10766, 3.0969

Ez a példa természetesen csak egyszer˝ u illusztráci´ o; ahhoz, hogy péld´ aul parci´ alis differenci´ alegyenleteket tudjunk megoldani Monte–Carlo-m´ odszerrel, j´ oval bonyolultabb algoritmusra van sz¨ ukség¨ unk, l´ asd ehhez a megfelel˝ o szakirodalmat. Az ilyen egyszer˝ u péld´ akat, ahol az integr´ al értéke más módszerrel egyszer˝ uen kisz´ am´ıthat´ o, éppen a véletlenszám-generátor ellen˝orzésére szok´ as felhaszn´ alni. Felmer¨ ul az a kérdés, hogy a gener´ alt számok f¨ uggetleneknek, illetve egyenletes eloszl´ as´ u aknak tekinthet˝ ok-e. Ezekre a kérdésekre a matematikai statisztika módszereivel kaphatunk v´ alaszt.

334


Tetsz˝oleges eloszlás´ u véletlenszámokat kétféle módon gener´ alhatunk. Az egyik lehet˝oség: a 9 *, olyan véletlenszámot ad, amelynek eloszl´ asa a megadott eloszlás. A másik (gyakran alkalmazott) lehet˝ oség: uggvényéegyenletes eloszlás´ u véletlenszámokra alkalmazzuk eloszlásf¨ nek inverzét. Ez ut´ obbi elj´ ar´ ashoz rendelkezés¨ unkre a´llnak a

6 3 6 3 programcsomag f¨ uggvényei:

L9' 5

5 :9'

Standard norm´ alis eloszlás´ u véletlenszámokat tehát ´ıgy gener´ alhatunk: '' 0D $ B

$ E '0 '' >

Exponenci´ alis eloszlás´ uak gener´ al´ asára is alkalmazhatjuk a fenti m´ odszert: + 4+ D $

$ E '0 + >

Támaszkodhatunk arra a tényre is, hogy az exponenci´ alis eloszlás a Γeloszlás speciális esete: + O00D $

$ E '0 + >

Most alkalmazzuk a m´ asodikként le´ırt m´ odszert: " !K6 1" ! ! K $ $ E '0 > 6 1S E' B . / $ {0.618788, 0.797721, 0.44583, 0.482795, 0.483111}

3.10.7. Markov-l´ ancok Diszkrét idej˝ u, diszkrét állapotter˝ u Markov-l´ ancok kezelésére a lineáris algebra (3.9. szakasz) és a gráfelmélet (3.6. szakasz) eszközeit szok´ as haszn´ alni. Egy egyszer˝ u péld´ at mutatunk.


335

Legyen egy Markov-lánc a´tmenetvalósz´ın˝ uségi mátrixa ⎛

1/2 P1 = ⎝ 1/3 1

1/2 0 0

⎞ 0 2/3 ⎠ 0

és rajzoljuk meg a lánc gr´ afj´ at: B B B B "!

$ W W

. . J B/ ./ {{1, 1}, {1, 2}, {2, 1}, {2, 3}, {3, 1}} "@YO @ 02''& : D! '

Határozzuk meg az egyes állapotok val´ osz´ın˝ uségét az ötödik id˝ opontban, ha a rendszert az els˝ o a´llapotb´ ol ind´ıtottuk: +&Y >Q B B 79 149 259 , , } { 288 432 144

Sz´ am´ıtsuk ki a l´ anc hat´ areloszlását: %0 +&Y CJ6 * ( 2 3 6 2 3 6 2 3 6 , }, { , , }, { , , }} {{ , 11 11 11 11 11 11 11 11 11

(Ismeretes, hogy azonos, a stacionárius eloszlásból a´ll´ o sorokat kapunk.)

3.10.8. Folytonos idej˝ u Markov-folyamatok A (skal´ aris) tiszta ugró Markov-folyamatok k¨ oz¨ ul a sz¨ uletési-halálozási t´ıpus´ uak stacion´ arius eloszlása igen gyakran explicite megoldható differenciaegyenletnek tesz eleget. Tekints¨ uk péld´ aul azt a folyamatot, amelynek infinitézimális a´tmenetvalósz´ın˝ uségei: n → n + 1 k1 nh + o(h) n → n − 1 k2 n(n − 1)h + o(h). o Ekkor a (pn ) stacionárius eloszlásra vonatkoz´

336


0 = k1 (n − 1)pn−1 + k2 (n + 1)npn+1 − (k1 n + k2 n(n − 1))pn egyenlet (amint ez teljes indukcióval l´ athat´ o) egyenérték˝ u a k¨ ovetkez˝ovel: k1 pn = k2 (n + 1)pn+1 . Oldjuk meg ezt az egyenletet: D! @KE"1K E"1 = = G n k1 ( ) p[0] k2 }} {{p[n] -> n!

G

Láthat´ o, hogy ez, a feltételek figyelembevételével, éppen Poisson-eloszl´ as: #$K"(0$!"0K "1 "0 :

B 6 * ( B :: Q : n k1 ( ) k2 {{p[n] -> }} k1 E k2 n!

Folytonos idej˝ u, folytonos a´llapotter˝ u folyamatok k¨ oz¨ ul tekints¨ unk most egy olyat, amelynek az abszol´ ut eloszlásf¨ uggvénye f (x, t) = √

(x − m(t))2 1 exp − . 2σ(t)2 2πσ(t)

Az m és a σ f¨ uggvény alkalmas megv´ alasztásával tanulm´ anyozhatjuk a val´ osz´ın˝ uségi s˝ ur˝ uségf¨ uggvény szétken˝odését. Ebb˝ ol kider¨ ul, hogy a folyamat a legnagyobb val´ osz´ın˝ uséggel a várhat´ o értékhez közel tartózkodik, de az is j´ ol l´ athat´ o, hogy az id˝ o m´ ult´ aval egyre pontatlanabb j´ oslásokat tehet¨ unk csak az értékére, mivel szór´ asa végtelenhez tart. Ez a viselkedés tipikusnak tekinthet˝ o: 0 , - " 0 , - "5 * , +, - 4+ C+ C 0 I 0 I "5 & 0


337

& D * + BQBB )& G BQBB + CQ> Q> & & CJ B

0.3 0.2 0.1

1 0 0 5 10

-1

3.10.9. Gyakorlatok ´ es feladatok 1. Határozzuk meg az m v´ arhat´ o érték˝ u σ szór´ as´ u norm´ alis eloszlás s˝ ur˝ uségf¨ uggvényének inflexiós pontjait. Mi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy az adott s˝ ur˝ uségf¨ uggvény˝ u val´ osz´ın˝ uségi változó értéke a két inflexi´ os pont abszcisszá ja k¨ ozé esik? 2. Milyen m értékekre lesz az ⎛ 1 f (x) := √ 2 2π

⎞ 2 2 (x − m) (x + m) − ⎝e− ⎠ 2 2 +e

s˝ ur˝ uségf¨ uggvénynek két maximuma? 3. Szimul´ aljuk a Galton-deszka m˝ uk¨ odését.

(x ∈ R)

338


3.11. Matematikai statisztika A statisztikai programcsomagok által´ aban j´ o numerikus elj´ ar´ asokat tartalmaznak, de nem jól programozhat´ ok, nem interakt´ıvak, grafikai képességeik gyengék, szimbolikus szám´ıt´ asokat nem lehet vel¨ uk végezni és az u ´j m´ odszereket nehéz beléj¨ uk illeszteni. A Mathematica teh´ at akkor lehet igazán seg´ıtség¨ unkre, ha a problémák megoldása során az eml´ıtett akad´ alyokba u ¨tk¨ oz¨ unk. Az al´ abbiakban amellett, hogy bemutatjuk a szok´ asos módszerek alkalmaz´ asának m´ odj´ at, els˝ osorban arra o¨sszpontos´ıtunk, hogy megmutassuk a Mathematica el˝onyeit a fentiekben vázolt k¨ or¨ ulmények k¨ ozött. Itt is felh´ıvjuk a figyelmet arra, hogy a MathLink seg´ıtségével C nyelven meg´ırt f¨ uggvényt f¨ olhaszn´ alhatunk a Mathematic´ a ban. A MathLink for Excel pedig arra ad m´ odot, hogy az Excel t´ abl´ azatkezel˝ovel begy˝ ujt¨ ott adatokra az Excelen bel¨ ul haszn´ alhassuk a Mathematica f¨ uggvényeit. (Az Excel ´ altal elkész´ıtett adat´ allom´ anyokat minden el˝ okész¨ ulet nélk¨ ul be tudjuk olvasni.)

3.11.1. Az adatok el˝ ok´ esz´ıt´ ese A tulajdonképpeni statisztikai elemzés elkezdése el˝ott által´ aban t¨ obbféle el˝okész¨ uletre van sz¨ ukség. • Adatbevitel A statisztikai adatfeldolgoz´ asn´ al t¨ obbnyire sok adattal van dolgunk, amelyeket k¨ uls˝ o´ allományokban t´ arolunk, ahov´ a azok esetleg más programokb´ ol ´ vagy mér˝oberendezésb˝ol ker¨ ultek. Allom´ anykezelésr˝ol már másutt (2.4.1. szakasz) esett szó, itt most csak a hiányz´ o adatok statisztikai szempontb´ ol érdekes esetének kezelését mutatjuk meg. Az adatokat igen gyakran sz¨ oveges állományba gy˝ ujtj¨ uk. Egy sorba ker¨ ul egy egyed összes adata, ezt nevezik által´ aban rekordnak; egymás alatt helyezkednek el az azonos jelentés˝ u (k¨ ul¨ onb¨ oz˝o egyedekre vonatkozó) mez˝ o k. allományban hi´ anyz´ o adatok vannak, amit megtekintéskor Ha a & ´ is l´ athatunk: ;;$0 2.1 77 51 2.2 49 1.9 80

3.11. Matematikai statisztika

339

akkor a beolvasáskor a k¨ ovetkez˝oképpen j´ arhatunk el. El˝ oször megnyitunk ´ır´ as célj´ ab´ ol egy bemen˝ o´ aramot: $* 2 E' T$0 T

Ezut´ an rekordonként beolvassuk a t´ abl´ azatot, figyelve a kihagyott értékeket (Ez azért fog sikerrel j´ arni, mert az adatokat tabul´ ator karakter v´ alasztja el egym´ astól.): E'% $* X' E!'% CJ X' CJ 4+ {{2.1, 77, 51}, {2.2, Null, 49}, {1.9, 80, Null}}

Vég¨ ul pedig lez´ arjuk a bemen˝ o áramot: A $0

• Az adatok rendezget´ ese El˝ ofordulhat, hogy az adatokb´ ol bizonyosakat akarunk csak haszn´ alni, illetve hogy már beolvasás ut´ an azonnal el akarunk kész´ıteni néh´ any elemi statisztikát. Ehhez ny´ ujtanak seg´ıtséget a (line´ aris algebra feladataihoz is hasznos)

6 37#3 programcsomag f¨ uggvényei:

L6 4 47 4W 4= 46 7

74 8S8 9BW =S8

Ezek némelyikére — mint azt a nevek is elárulj´ ak — azért van sz¨ ukség, mert a mátrixokat a program olyan listaként kezeli, amelynek elemei a sor okat tartalmazó listák. A statisztik´ aban (és az adatbázis-kezelésben) viszont t¨ obbnyire egy m´ atrix sorai jellemeznek egy egyedet, amint föntebb eml´ıtett¨ uk, a vizsg´ aland´ o val´ osz´ın˝ uségi vektorváltozó egy koordin´ atáj´ anak értékei tehát egy oszlopban helyezkednek el.

340


Néh´ any egyszer˝ u péld´ at mutatunk a fentiek k¨ oz¨ ul az adatmanipul´ aci´ os f¨ uggvények alkalmazására: " !KD K ' $ N ! ) ' > * ) A0 ' {3, 6, 4, i, 5, 4} W' D 0! {3, 6, 4, 5, 4}

=X@ 0$? {3, 6, 4}

´ azol´ • Abr´ as Statisztikai cél´ u szám´ıt´ asok megkezdése el˝ott szinte mindig aj´ anlatos az adatokat k¨ ul¨ onféle módokon a´br´ azolni, hogy valamilyen el˝ ozetes elképzelés¨ unk legyen arr´ ol, milyen szám´ıt´ ast érdemes végezn¨ unk. Ilyenkor a A A f¨ uggvények valamelyike lehet a seg´ıtség¨ unkre: ' BQ BQ) BQ BQL BQ) QB BQF Q QB Q Q Q Q BQM Q BQ % & ' & " ( CJ #$ & " % & ' & E CJ B Q> & 9 ' CJ #+2 CJ QM Q) #+%$ CJ TT T@T

´ képzelj¨ Most az hoz egy kis zajt adunk. Ugy uk, hogy az els˝o koordin´ ata pontosan be´ all´ıtott, a m´ asodik pedig a sz´ amunkra érdekes, mért mennyiség: 1'

.

.

G E '0 E CBQ> BQ>/ ' 0'= % & 1' & 9 ' CJ & " ( CJ D@ BQB BQB

Javasoljuk az Olvas´ onak, hogy nézze meg egy¨ utt a két ábr´ at: "@Y 0'= #+%$ CJ T'T T =T #+2 CJ B & E CJ B QM B QM & %$ CJ T2@ T


341

Vektorv´ altoz´ ok alkalmaz´ asára is l´ assunk péld´ akat. Kezdj¨ uk u ´gy a vizsg´ alatot, hogy a koordin´ at´ ak o¨sszef¨ uggéseit páronként a´br´ azoljuk: 1= ' $ + E '0 C+I +I + B BQB>

Milyen viszonyban van egym´ assal az els˝o két koordin´ ata? % & = . / 1= ' 0 CJ & " ( CJ #$ & " EOSA B B

Benyomásunk val´ osz´ın˝ uleg az lesz, hogy a második f¨ uggetlen az els˝ot˝ol, ezt f¨ uggetlenségvizsg´ alattal ak´ ar ellen˝orizhetnénk is. Most elkész´ıtj¨ uk a hasonl´ o a´br´ akat az összes koordin´ atap´ arra, de az a´br´ at nem jelen´ıtj¨ uk meg azonnal, amit a 7 ) opció értékének alkalmas megválasztásával ér¨ unk el: =W

$ % & .

.

W/ 1= ' 0 CJ 0 != CJ # ! E CJ & " ( CJ #$ & " EOSA GW B WGW D ( ! CJ 6' ( ) W )

Megnézz¨ uk egyszerre az a´br´ akat: "@Y O @!#( =W D ( ! -J UD ( !

Az átl´ os elemek természetesen érdektelenek.

342


3.11.2. Statisztik´ ak A leggyakrabban haszn´ alt statisztikai f¨ uggvények vagy statisztik´ ak kiszám´ıt´ asához haszn´ alhatunk néh´ any bels˝o f¨ uggvényt:

4 4 # #

6 6 = !

További gazdag v´ alasztékot k´ın´ al a

6 37 6 3 programcsomag, amelyben az alábbi f¨ uggvények találhat´ ok:

4# 7 9 :# 1# 9 ; ; 9 # #7 # # 7 # 0 6=B +

0 6=B ( 7 6=B 9#6 69 689 6=B 6 7 # V V# V56#

A 6 37#3 programcsomagban is tal´ alhatunk még néh´ any hasznos f¨ uggvényt:

46

Megjegyzend˝ o, hogy a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o programcsomagokban azonos néven szerepl˝o f¨ uggvények nem teljesen azonos módon m˝ uk¨ odnek.


343

L´ assunk néh´ any péld´ at. Egy minta a´tlagát a # f¨ uggvény számolja ki: ' Q Q) >Q QN Q) BQ) ' T" !KD! 1" !KT ' 2.55

Vektorv´ altozókra ez csak értelemszer˝ u m´ odos´ıt´ assal alkalmazhat´ o. A fenti = sorai egy valósz´ın˝uségi vektorváltozóra vonatkozó minta egyes elemei: 1= ' 0.5, 0.50373, -0.341667, 0.2625

A kiugr´ o adatok t´ ol ´ıgy szabadulhatunk meg: = QF QM Q> QN QL QL QN QN QF Q

00' = BQ 1.65

(A terjedelem 0,3 részét mind a két oldalon levágtuk a mint´ ab´ ol.) Gyakran haszn´ alt mintajellemz˝ ok a centr´ alis momentumok: ha érték¨ uk k¨ ozel van a megfelel˝ o elméleti értékhez, akkor érdemes alaposabban megvizsgálni az adott minta eloszlását: A 0

QF QM Q> QN QL QN QN QF Q -0.00545953

Az eloszlás alakjának számos jellemz˝ojét egyszerre megkaphatjuk ´ıgy: D E . %! E . "@ E ./ = {Variance -> 49.665, StandardDeviation -> 7.04734, SampleRange -> 22.7, MeanDeviation -> 4.01, MedianDeviation -> 0.1, QuartileDeviation -> 0.1}, {Mean -> 3.85, HarmonicMean -> 1.76206, Median -> 1.65}, {Skewness -> 2.27381, QuartileSkewness -> 0.5, KurtosisExcess -> 3.56113}}

Mivel az eredmény transzform´ aci´ os szabályok o¨sszessége, ezért egyes részeire a szokásos módon hivatkozhatunk: *' "=Y Q : 2.27381

344


A fenti eredmény¨ ul kapott transzform´ aci´ os szabályok bal oldal´ an a´ll´ o azonos´ıt´ ok o¨n´ all´ oan is haszn´ alhat´ ok f¨ uggvényekként: "=Y = 2.27381

A k¨ ovetkez˝okben s˝ ur˝ uséghisztogramot kész´ıt¨ unk. Beh´ıvjuk az adatgener´ al´ ashoz és az ábr´ azoláshoz sz¨ ukséges csomagokat: ' T" !KA D $ KT T" !KD KT TO @!KO @!KT

Adatokat gener´ alunk: '

$ E '0 0D $ C B

$ E '0 0D $ B

Elkész´ıtj¨ uk a rendezett mint´ at, majd ezek felhaszn´ al´ asával meghatározzuk, hogy a terjedelem egyes részintervallumaiba az adatok k¨ oz¨ ul mennyi esik. uggvény nem a´ll´ıtja el˝ o a minta terjedelmét, Megjegyzend˝ o, hogy a 9 f¨ o: erre a 69 val´ ' " ' (=0 M ' % ' @ "0 E ' (=0 (= S A ' @ {3, 3, 4, 11, 7, 2, 5, 4}

(A rendezett minta els˝ o elemét a L4 f¨ uggvény figyelmen k´ıv¨ ul hagyta.) Ez a részeredmény természetesen esetenként ett˝ol eltérhet az aktu´ alisan el˝ofordul´ o véletlenszámok miatt: SA@

(= E G @ @

(Figyelj¨ uk meg, hogyan v´ altozik az ábra, ha nyolc oszt´ opont helyett t¨ obbet ¨ vagy kevesebbet vesz¨ unk.) Osszekötj¨ uk” a pontokat interpol´ aci´ oval: ” @0 ' *1 6

@0

A ' +, .C@ + .G@@R% @ ' / @0


345

*1

& *1 + + != CJ CC Q Q) 0.4 0.3 0.2 0.1

-3

-2

-1

1

2

3.11.3. Becsl´ esek Megmutatjuk — els˝osorban folytonos eloszlásokon —, hogy hogyan lehet paramétereikre pontbecsléseket konstru´ alni a leggyakoribb m´ odszerek alapj´ an. Ezut´ an a´ttér¨ unk az intervallumbecslések, vagy másképpen megb´ızhat´ os´ agi (konfidencia-) intervallumok megszerkesztésére. • A legnagyobb val´ osz´ın˝ us´ eg (maximum likelihood) elve Mutatunk egy péld´ at arra, hogy hogyan szerkeszthet¨ unk becslést a legnagyobb val´ osz´ın˝ uség elve alapján. F¨ uggetlen, nulla v´ arhat´ o érték˝ u norm´ alis eloszlás´ u koordin´ atákkal b´ır´ o pont t´ avolsága az origót´ ol Rayleigh-eloszl´ as u ´. Ha (egyetlen pozit´ıv) paraméterét σ-val jel¨ olj¨ uk, akkor s˝ ur˝ uségf¨ uggvényének értéke az x ∈ R+ helyen x 2 /2σ 2 2 . x e σ uggvény — Reprodukálhat´ o módon — err˝ ol gondoskodik a 6 9 f¨ sorsolunk ilyen pontokat: "'E '0 BB ' = $ E '0 E(@D $ QB B

Meg szeretnénk szerkeszteni a log-likelihood f¨ uggvényt, ehhez sz¨ ukség¨ unk

346


van arra, hogy a f¨ uggvény rendelkezzék a valós számokn´ al megszokott tulajdons´ agokkal: ! % % , $, - % G % $ % ,I$,- $ % & ! % 0+1 0, # ( &

% &D E(@D $ 0 ./ ' = 78.44 - 40 Log[sigma] 16.42972 sigma

A Mathematic´ a ban haladottabbak ink´ abb ´ıgy számolnak: 0+1 0, & % &D E(@D $ 0 ./ ' =

Durv´ an szólva azt a σ paraméterértéket szeretnénk elfogadni, amelynél az adott minta bek¨ ovetkezésének a val´ osz´ın˝ usége maximális. A számolás el˝ott ábr´ azoljuk a likelihood-f¨ uggvényt: & 0+1 0 0 QB FQB

-35 -40 -45 -50 -55 1

2

3

4

5

6

7

A deriv´ altat null´ aval tessz¨ uk egyenl˝ ové, ehhez a deriv´ altat szimbolikusan számoljuk. A kapott egyenleteket már numerikusan oldjuk meg: "1 D 0+1 0 0 B 0 {{sigma -> -1.78056}, {sigma -> 1.78056}}

Természetesen a pozit´ıv értéket választjuk. Vajon a kapott pontok k¨ oz¨ ul az értelmes másodikban a m´ asodik deriv´ alt negat´ıv-e, vagyis tényleg maximumhoz jutottunk?


347

D 0+1 0 0 Q :

-25.23359660282691

Az utols´ o el˝otti lépésben használhatjuk a # f¨ uggvényt is; erre r´ a is kényszer¨ ul¨ unk, amikor a deriv´ altat nem tudjuk szimbolikusan meghat´ arozni. M´ asrészt ehhez a számoláshoz f¨ ol tudunk haszn´ alni egy, az a´br´ ar´ ol leolvashat´ o, j´ o kezdeti becslést: ' 00 C0+1 0 0 QB {30.038, {sigma -> 1.78056}}

Tanuls´ agos megvizsgálni, hogy a becslés a minta elemszámának n¨ ovelésével hogyan javul. • Becsl´ es a momentumok m´ odszere alapj´ an A momentumok módszere alapján u ´gy becs¨ ulhet¨ unk paramétereket, hogy egyenl˝ ové tessz¨ uk az elméleti és az adatokból becs¨ ult momentumokat, majd ezeket az egyenl˝oségeket megoldjuk az eloszlás ismeretlen paramétereire. Alkalmazzuk a módszert a fenti feladat megoldására: "1 E(@D $ 0 ' = 0 {{sigma -> 1.767684646314304}}

Láthat´ o, hogy a kapott becslés elég jól megegyezik az el˝oz˝ovel. Ezzel a módszerrel gyorsabban jutunk eredményhez, m´ıg a legnagyobb val´ osz´ın˝ uség elve alapján meghatározott paramétereknek statisztikai szempontból bizony´ıtottan j´ o tulajdons´ agaik vannak. • A legkisebb n´ egyzetek m´ odszere Ennek alapj´ an a paramétereket u ´gy v´ alasztjuk meg, hogy a bel˝ ol¨ uk számolt, valamint a mért f¨ uggvényértékek négyzetes eltérése a lehet˝o legkisebb legyen. Err˝ ol a módszerr˝ ol a regressziór´ ol szól´ o résznél fogunk részletesebben szólni. (Itt is megpr´ ob´ alkozhatn´ ank azzal, hogy a — valamilyen o¨nkényes felosztással számolt — empirikus s˝ ur˝ uségf¨ uggvény és az elméleti s˝ ur˝ uségf¨ uggvény négyzetes eltérését minimalizáljuk, de a s˝ ur˝ uségf¨ uggvények becslésére ennél sokkal jobb m´ odszerek vannak.)

348


• Megb´ızhat´ os´ agi intervallumok Sok eszköz áll rendelkezés¨ unkre megb´ızhatósági intervallumok szerkesztésére: " !KA *' !6 1K ' Q Q Q> )Q )Q QM QL Q> QM

A Student-féle t-eloszlás alapj´ an 95%-os szint˝ u megb´ızhatósági intervallumot kaphatunk a v´ arhat´ o értékre: A6 ' {1.72263, 2.91737}

A tov´ abbi feltételek és változtat´ asi lehet˝oségek innen l´ athat´ ok, épp´ ugy, ahogyan az is, miként kell norm´ alis eloszlást feltételezve elkész´ıteni a megb´ızhat´ osági intervallumot: 2 A6 {ConfidenceLevel -> 0.95, KnownStandardDeviation -> None, KnownVariance -> None}

Természetesen ´ıgy is ugyanazt kapjuk: " ' A6 ' " ''42*"0 ' % @ ' C {1.72263, 2.91737}

Az utols´ o paraméter a szabads´ agfok. Két popul´ aci´ o v´ arhat´ o értékének a k¨ ul¨ onbségére is kaphatunk megb´ızhat´ osági intervallumot • ismert szór´ asokat használva a normális eloszlás, • egyenl˝o, de ismeretlen szór´ asokat feltételezve a t-eloszlás, • becs¨ ult szór´ asokat feltételezve pedig a Welch-féle eloszlás alapj´ an: ' Q )Q) Q Q )Q) Q Q Q Q D** !A6 ' ' 458 ! CJ {-1.3841, 0.64632}

Ha nem feltételezhetj¨ uk, hogy azonosak a szór´ asok, akkor természetesen nagyobb intervallumot kapunk: D** !A6 ' ' {-1.42443, 0.686655}


349

Kider¨ ul, hogy a megb´ızhat´ osági szint is v´ altoztathat´ o: 2 D** !A6

Egy popul´ aci´ o szór´ asnégyzetére a χ2 -eloszlás alapj´ an kaphatunk megb´ızhat´ osági intervallumot: 8 !A6 ' {0.32992, 2.32411}

8 !A6 ' {0.705401, 5.6745}

Két szór´ asnégyzet hányados´ ara 90%-os megb´ızhatósági intervallumot ´ıgy kaphatunk: 8 !E A6 ' ' A *' !%1 CJ BQL {0.113119, 1.45662}

Ha olyan intervallumot keres¨ unk, amelyre nagyobb annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy tartalmazza a szór´ asnégyzetek hányados´ at, akkor az természetesen nagyobb lesz: 8 !E A6 ' ' A *' !%1 CJ BQL> {0.103512, 1.85008}

Ha valamilyen ismert eloszlás´ u statisztik´ ara akarunk megb´ızhatósági intervallumot szerkeszteni, akkor el˝ obb alkalmazzuk az eredeti adatokra valamelyik le´ır´ o statisztikai f¨ uggvényt, majd az alábbi f¨ uggvények k¨ oz¨ ul v´ alogathatunk: 4. 6 4. 4864. 94.

3.11.4. Hipot´ ezisvizsg´ alat A matematikai statisztika tipikus feladata az, amelynél azt akarjuk eld¨ onteni, hogy valamely feltevés (hipotézis) a mérési adatoknak ellentmond-e ´ vagy nem. Altal´ aban azt vizsgáljuk teh´ at, hogy ha sokszor végeznénk el a méréseinket, az esetek hányad részében kapn´ ank az adott esethez hasonló jelleg˝ u eredményeket a tett hipotézis mellett. Ha az esetek nagy részében ilyen t´ıpus´ u eredményt kapunk, akkor azt mondjuk, hogy adataink nem mondanak ellent a tett hipotézisnek, m´ıg ha val´ osz´ın˝ utlen az eredmény, akkor a hipotézist elvetj¨ uk.

350


K¨ ul¨ on programcsomag a´ll rendelkezés¨ unkre hipotézisvizsgálat célj´ ara, ennek neve:

6 31)8 3 Fontosabb f¨ uggvényei:

4860V 90V #755 #

0V 6 0V V9 V

Kétoldali ellenhipotézissel szemben ellen˝orizni szeretnénk, hogy két minta azonos szór´ as´ unak tekinthet˝ o-e: " !K7( @ K 8 !E ' '

Y"'' CJ E CJ {FullReport -> Ratio TestStat NumDF DenDF, 0.451024 0.451024 9 8 FRatioDistribution, TwoSidedPValue -> 0.257104}

Megkaptuk teh´ at a szór´ asnégyzetek arány´ at, a pr´ oba alapj´ aul szolgál´ o statisztikát (ez éppen az ar´ any), a sz´ amlál´ o és a nevez˝o szabads´ agi fok´ at, azt, hogy milyen eloszlást használ a program a pr´ ob´ ahoz, vég¨ ul azt a val´ osz´ın˝ uséget, amilyen szinten a két szór´ asnégyzet megegyezésének hipotézisét, a nullhipotézist, el kell vetn¨ unk. Vagyis az esetek mintegy 25,7 %-ában sz´ am´ıthatunk arra, hogy ilyen sz´ or´ asnégyzetarányt kapunk, annak ellenére, hogy a két szór´ asnégyzet megegyezik. Természetesen ugyanarra az eredményre jutunk, ha a sz´ or´ asnégyzeteket, valamint a számlál´ o és a nevez˝o szabads´ agfok´ at magunk szolgáltatjuk: E &8 8 ! ' 8 ! ' % @ ' C % @ ' C

Y"'' CJ TwoSidedPValue -> 0.257104

3.11.5. Korrel´ aci´ o- ´ es regresszi´ oanal´ızis. Sz´ or´ asanal´ızis. Val´ osz´ın˝ uségi változók k¨ ozötti o¨sszef¨ uggések elemzésére szolgál a c´ımben eml´ıtett ter¨ ulet.


351

• Line´ aris regresszi´ o Ha csak line´ aris paraméterbecslést akarunk végezni a legkisebb négyzetek módszere alapj´ an (azaz feltételezz¨ uk, hogy az illesztend˝o f¨ uggvény paramétereiben line´ aris, és nem akarjuk az eredményeket k¨ ul¨ on¨ osebb statisztikai elemzésnek alávetni), akkor elegend˝ o ennyit ´ırnunk: ' BQ >B BQ)M ML BQ> > BQM ) BQBL LF BQNF ) BQ F BQB>> LB BQM) BL BQM BF ' + +I + 2 70.9638 + 196.053 x + 965.336 x

Ez a feladat teh´ at a bels˝o f¨ uggvénnyel megoldhat´ o. • Sz´ or´ asanal´ızis M´ od van azonban arra is, hogy részletesebb elemzést: sz´ or´ asanal´ızist végezz¨ unk. Ehhez (valamint az ezzel rokon k´ısérlettervezéshez) a

6 39 3 programcsomag alábbi f¨ uggvényei haszn´ alhat´ ok:

7 # 7 9

9

Vegy¨ uk el˝ o még egyszer a fenti péld´ at: " !K% E K E ' + +I + ParameterTable -> Estimate SE 1 70.9638 10.7948 x

196.053

115.029

TStat 6.5739

PValue, 0.000311792

1.70437 0.132087

2 x 965.336 280.95 3.43597 0.0108966 RSquared -> 0.985311, AdjustedRSqured -> 0.98111114, EstimatedVariance -> 52.429,

352

3. Fejezetek a matematikáb´ ol ANOVATable ->

Model

DoF SoS 2 24617.1

MeanSS 12308.5

Error

7

367.003

52.429

Total

9

24984.1

FRatio 234.766

PValue 0

A t´ abl´ azat néh´ any elemének jelentése nyilv´ anval´ o, a t¨ obbiek jelentését illeuggvény t˝ oen a matematikai statisztika tankönyveire utalunk. A 9 f¨ ut, amellyel a s´ ulyoz´ ast álszámos opció ja k¨ oz¨ ul kiemelj¨ uk a S8 nev˝ l´ıthatjuk be statisztikai modell¨ unknek megfelel˝ oen. uggvény k´ısérlettervezéshez A 7 9 és a 7 # f¨ haszn´ alhat´ o. Amennyiben az illesztend˝o f¨ uggvény még paramétereiben sem lineáris, a

6 33 programcsomag f¨ uggvénye lehet seg´ıtség¨ unkre. Illessz¨ unk u f¨ uggvényt el˝ oz˝o adatainkra (A fut´ asi eredményeknek x → a+bx+ecx alak´ csak az utolsó lépését közölj¨ uk.): ' G $ + G 4+ ! + + FB $ BB ! "@Y& CJ #!!!(O CJ > &! O CJ > ... Iteration:13 ChiSquared:577.2309320244032 Parameters: {53.395, 442.14, 11.0429} {a -> 53.395, b -> 442.14, c -> 11.0429}

3.11.6. Id˝ osorok Id˝ oben v´ altozó véletlen folyamatok k¨ oz¨ ul a legegyszer˝ ubb, leg´ attekinthet˝ obb szerkezet˝ uek tal´ an a diszkrét idej˝ u, stacion´ arius id˝ osor ok. Elmélet¨ uket illet˝oen a [82] cikkgy˝ ujteményre utalunk, alkalmaz´ asukra Csáki P. péld´ a j´ at [82, 79–83. oldal] mutatjuk meg. A Drosophila melanogaster t¨ orzs albumin szekréció j´ at 60 generáci´ on kereszt¨ ul mérték. Ez a sorozat az ör¨ okl˝ odési szabályok miatt egy els˝orend˝ u autoregressz´ıv folyamat realiz´ aci´ o j´ anak tekinthet˝o 1/2 autoregressziós egy¨ utthat´ oval és 5 várhat´ o értékkel:

3.11. Matematikai statisztika ' @ )QFN >QB >QLN )QNFF )Q)M) NQLN NQM>L NQ))N >QFL NQB) )QNFL )QMB >QF >QNB )QM NQN )QLF Q>L QM> QLML NQL FQB)N >QFB) )QLF>

353

>QN )QBN >QB) NQ>LF >QLMF QNN Q)MM >Q>BB QBN )QMF >QNFM )QL

Q>M >QF >QL)B >QFN >QF )Q) Q)> )QM>F QN QFL) )QF)F QMM

NQBBM )QFNF NQLM) NQBF >QB >QM>B QF )Q>> )QFN >QFL >QF )QBB)

Levonjuk a v´ arhat´ o értéket, hogy egy nulla v´ arhat´ o érték˝ u folyamatot kapjunk: ' @ ' @ C >

´ azoljuk a mért értékeket: Abr´ $ % & ' @ & 9 ' CJ $ % & ' @ & " ( CJ #$ & " $ & > NB & " ( CJ @!= BQB "@Y $ $ $ 7 6 5 4 3 2 1 10

20

30

40

50

60

354

3. Fejezetek a matematikáb´ ol % @ ' @ 60

Meghatároztuk a nemzedékek számát. Szeretnénk meghat´ arozni a legfontosabb jellemz˝oket: " !KD! 1" !K . ' @/ 8 ! 8 !%4 {4.89887, 1.48025, 1.45558}

Az ut´ obbi a korrig´ alt tapasztalati sz´ or´ asnégyzet. Most kiszám´ıtjuk az empirikus autokovariancia-f¨ uggvényt: ! $ "0

' @

C ' @R ' @

G= C ' @ C = = B M {1.45558, 0.859109, 0.44711, 0.28646, 0.140774, 0.0508499, 0.011371, -0.0191493, -0.163013}

Ebb˝ ol az empirikus autokorrel´ aci´ os f¨ uggvény egyszer˝ uen ad´ odik: !!

´ azoljuk is ezt a f¨ Abr´ uggvényt. % &

E B M & 9 ' CJ & " ( CJ @!= BQBBM % &

E B M & " ( CJ #$ & " "@Y 1 0.8 0.6 0.4 0.2

2

4

6

8


355

K¨ ovetkezzék az autokorrel´ aci´ os mátrix: =0 + $

$ E E@

= = W W B =C = M

Most szám´ıtsuk ki a parci´ alis autokorrel´ aci´ os f¨ uggvényt: = $

D # ' D =0 +

= C E

= = G D =0 +

= = M {0.590216, -0.0632035, 0.047947, -0.0349174, -0.00855083, -0.0023358, -0.0101465, -0.0922125}

A mint´ ab´ ol becs¨ ult els˝ o parci´ alis autokorrel´ aci´ o értéke 0,59, a nagyobb index˝ ueké beleesik a nulla k¨ or¨ uli megb´ızhatósági intervallumba, azaz nem tér el szignifik´ ansan a null´ atól. A Yule–Walker-egyenletek eset¨ unkben ´ıgy ´ırhat´ ok fel: ( , - # '

$

!

=G "0 !

=GC = = !

"0 !

G G 1 ( {0.859109 == 1.45558 a[1], 1.45558 == var + 0.859109 a[1]}

Most pedig néh´ any p értékre megoldjuk az egyenleteket: "1 ( 1 {a[1] -> 0.590216, var -> 0.948524} "1 ( 1 {a[1] -> 0.590216, a[2] -> -0.0411863, var -> 0.966939} "1 ( 1 {a[1] -> 0.590216, a[2] -> -0.0411863, a[3] -> 0.039814, var -> 0.955533}

A példa f˝ o tanuls´ aga, hogy a matematikai képleteket szinte változtat´ as nélk¨ ul be´ırhattuk a programba. A legkézenfekv˝ obb, amit egy véletlen hib´ aval terhelt mérési sorozattal tehet¨ unk, hogy sim´ıtjuk. Ez a 6 3# 3 programuggvényével végezhet˝o, ak´ ar szimbolikusan is: csomag # f¨

356

3. Fejezetek a matematikáb´ ol ' $ ! ' * 1 #1 ' a+b+c b+c+d c+d+e d+e+f , , , } { 3 3 3 3

Vektorérték˝ u sorozatokra a # f¨ uggvény ugyan´ıgy használhat´ o. Az adatokat u ´gy kell elhelyezn¨ unk, hogy az egy id˝ oponthoz tartoz´ o értékek az adatmátrix oszlopait alkossák.

¨ 3.11.7. Osszetett feladatok, u ´j m´ odszerek Néh´ any olyan o¨sszetett feladatot sorolunk fel, amelyeknek a megold´ asa megtal´ alhat´ o valamelyik programcsomagban vagy idézett cikkben. Tukey eredményei alapj´ an nemparaméteres sim´ıt´ asra vonatkoz´ o elj´ ar´ asokat tartalmazó programcsomagot ´ır le [88, 331. oldal]. Ugyanott megad egy genetikai algoritmust a t˝ ozsdén szerezhet˝o haszon maximalizál´ asára. Martin fejlettebb m´ odszereket le´ır´ o cikkében [55] bemutatja a s˝ us˝ uséguggf¨ uggvények Edgeworth-féle sorfejtését, ahol j´ ol haszn´ alhat´ o a 6 f¨ vény a sz¨ ukséges szimbolikus számolások elvégzéséhez. Megmutatja, hogy hogyan lehet finom´ıtani a nemline´ aris paraméterbecslés eredményeként kapott paraméteregy¨ uttest, és hogy miként kell értékelni az eredményeket. Ismertet egy programot a g¨ orb¨ uleten alapul´ o diagnosztik´ ara is, amely Bates és Watts egy 1980-as cikkén alapul. Ezut´ an t´ argyal robosztus becsléseket, a medián fogalm´ anak (nemtrivi´ alis) kétdimenziós által´ anos´ıt´ asát, valamint egy módszert, amely adatok térbeli elhelyezkedését vizsgálja statisztikai szempontból, ´ıgy ak´ ar a térinformatik´ ahoz t¨ ortén˝ o statisztikai hozzá j´ arul´ asnak is tekinthet˝o.

3.11.8. Gyakorlatok ´ es feladatok ´ azoljuk az u-pr´ 1. Abr´ oba er˝ of¨ uggvényét a paraméter és a mintaelemszám f¨ uggvényében. 2. Írjunk f¨ uggvényt, amellyel a Sarkadi-próba [85, 137. oldal] alapj´ an adott mint´ ar´ ol eldönthet˝ o, hogy valamely minta norm´ alis eloszlásból származónak tekinthet˝ o-e, ha sem a szór´ ast, sem a várhat´ o értéket nem ismerj¨ uk. 3. D¨ onts¨ uk el véletlen´ıtett (randomized) pr´ oba alapj´ an, hogy egy k és egy l elem˝ u minta k¨ oz¨ ul melyik a ”nagyobb”.

4. A Mathematica programozásár´ ol

Megeml´ıtett¨ uk m´ ar azt, hogy a Mathematica magasszint˝ u programoz´ asi nyelvnek is tekinthet˝ o. Az el˝oz˝o fejezetben számos péld´ at l´ attunk arra, hogy a bels˝o és a k¨ uls˝ o f¨ uggvények összekapcsolásával hogyan defini´ alhatunk u ´j elj´ ar´ ast, azaz hogyan ´ırhatunk programot. Ebben a fejezetben azt szeretnénk kihangs´ ulyozni, hogy a Mathematica haszn´ alhat´ o k¨ ul¨ onb¨ oz˝o st´ılus´ u programok kész´ıtésére. • Írhatunk programokat a hagyom´ anyos procedur´ alis (vagy imperat´ıv) programoz´ asi nyelvek (Basic, C, FORTRAN, Pascal) st´ılus´ aban, szekvenci´ akat, elj´ ar´ asokat, ciklusokat, blokkokat és feltételes utas´ıt´ asokat haszn´ alva. • Ut´ anozhatjuk a logikai vagy szab´ alyalap´ u nyelvek (PROLOG) logik´ aj´ at, transzform´ aci´ os szabályok megadásával és mintázatok illesztésével. • Funkcion´ alis programoz´ asi nyelvek (APL, LISP, LOGO, Miranda) st´ıatorokkal, rekurlus´ aban is´ırhatunk programokat f¨ uggvényekkel, oper´ zióval és a programszerkezetet befolyásoló m˝ uveletekkel. (A funkcion´ alissal majdnem azonos jelentés˝ u a listakezel˝ o.) • Objektum-orient´ alt programoz´ asi nyelvek (C++, SIMULA, SMALLTALK, Actor, a Turbo Pascal 5.5 ut´ ani v´ altozatai) eszközeit (osztályok, polimorfizmus, o¨r¨ okl˝ odés) is alkalmazhatjuk. Az els˝ o h´ arom programoz´ asi st´ılust beép´ıtett bels˝o és k¨ uls˝ o f¨ uggvények t´ amogatj´ ak. Ha objektum-orient´ alt st´ılusban szeretnénk programjainkat meg´ırni, akkor ehhez a MathSource-on a 0200–293 és a 0205–186 szám alatt tal´ alhat´ o kiegész´ıtéseket használhatjuk, vagy a [29] k¨ onyv 9. fejezetére támaszkodhatunk. A példaként eml´ıtett programnyelvek által´ aban nem képviselik tiszt´ an valamelyik programoz´ asi st´ılust, hanem egyik vagy m´ asik st´ılus jellegzetességei domin´ alnak benn¨ uk. B´ ar a Mathematic´ a r´ ol azt mondtuk, hogy ebben mindegyik st´ılus teljes egészében megvalós´ıthat´ o, ez lényegét tekintve (több odszert éppen maszerz˝o szerint) funkcion´ alis programoz´ asi nyelv . Ezt a m´ tematikai feladatok hatékony megoldására fejlesztették ki [8], hiszen

358

4. A Mathematica programoz´ asár´ ol f¨ ol¨ osleges részeikre szedni a matematikai objektumokat, csak azért, hogy azut´ an u ´jra o¨sszerakjuk ˝oket.

(L´ asd [29], 8. fejezet.) K¨ ul¨ onb¨ oz˝o st´ılusban meg´ırt elj´ ar´ asok kiértékeléséhez sz¨ ukséges id˝ otartamok lényegesen k¨ ul¨ onb¨ oz˝ok lehetnek, adott feladat megold´ asához a leghatékonyabb st´ıluselemek kiválasztása sokszor nem egyszer˝ u feladat. Ehhez a programcsomagok szöveges állom´ anyainak tanulm´ anyoz´ asa adhat seg´ıtséonyvt´ arakban tal´ alhat´ o get. Az és a alk¨ r¨ ovid programcsomagokb´ ol sokat mer´ıthet az érdekl˝od˝ o Olvas´ o. R. Maeder [51] könyvéb˝ ol lépésr˝ol lépésre tanulhatjuk meg nagyobb programok ´ır´ asának fortélyait. J. W. Gray [29] k¨ onyve pedig k¨ ul¨ onb¨ oz˝o st´ılus´ u programok ´ır´ asára mutat be számos péld´ at. A MathSource-r´ ol megszerezhet˝o dokumentumok (péld´ aul a 0203–904, 0203–926, 0205–748 szám alattiak) is számos hasznos inform´ aci´ ot tartalmaznak a Mathematica programoz´ asával kapcsolatosan. A programoz´ asn´ al is nagy jelent˝ osége van annak, hogy szimb´ olumokat is tudunk kezelni, nem csak számokat. A meg´ırt programok t¨ obbféleképpen futtathat´ ok: begépelés után azonnal (hiszen a Mathematica alapvet˝oen értelmez˝o módban, m´ asképpen interakt´ıvan m˝ uk¨ odik), a´llományb´ ol k¨ otegelt u ¨zemmódban, valamint a meg´ırt programrészeket elraktározhatjuk b´ armikor felhaszn´ alhat´ o programcsomaod van arra is, hogy a Mathematica nyelvén és más nyelven gokban is. M´ meg´ırt programjainkat o¨sszeép´ıts¨ uk a MathLink program felhaszn´ al´ asával. Oktat´ asi szempontból k¨ ul¨ on¨ os jelent˝osége van annak, hogy a Mathematic´ a n bel¨ ul mindegyik programoz´ asi st´ılus teljes egészében bemutathat´ o.

4.1. Programnyelvi elemek Az al´ abbiakban felsoroljuk a Mathematic´ a nak mint programoz´ asi nyelvnek az elemeit: • • • • • •

karakterkészlet, alapszavak, adatt´ıpusok (f¨ uzérek, számok, szimbólumok; adatellen˝ orzés), adatszerkezetek (kifejezés, lista, f¨ uggvény, t¨ omb), transzform´ aci´ os szabályok, mint´ azatok, adatszerkezetek átalak´ıt´ asai (értékad´ as, listam˝ uveletek),

4.1. Programnyelvi elemek

359

• programszerkezetek (szekvencia, elágazás, ciklus; blokk, modul, programcsomag), • nyomk¨ ovetés ( , , , , , ), • u ¨zenetek (, ). Ezek egy részével a 2. fejezetben már foglalkoztunk. A tov´ abbiakban csak az eddig nem tárgyalt elemekr˝ol szólunk. • Szekvencia Péld´ aul a Pascal nyelvben szerepl˝ o összetett utas´ıt´ asnak felel meg a Mathematic´ a ban a szekvencia fogalma. Ha arra van sz¨ ukség¨ unk, hogy egym´ as ut´ an végrehajtand´ o utas´ıt´ assorozatot egyetlen utas´ıt´ asnak tekints¨ unk, akkor az utas´ıt´ asokat egymástól pontosvessz˝ovel v´ alasztjuk el, és gömb¨ oly˝ u zár´ o jelek k¨ ozé tessz¨ uk:

Ez r¨ ovid alakja a

!" " # kifejezésnek. (A egyébként a $

f¨ uggvény r¨ ovid, infix alakja.) • El´ agaz´ as Sz´ amos eszköz áll rendelkezés¨ unkre alternat´ıv´ ak kezelésére. El˝ ofordul, hogy egy logikai kifejezés értékét˝ol szeretnénk f¨ ugg˝ ové tenni, hogy h´ arom kifejezés köz¨ ul melyiket értékelje ki a program. Erre szolg´ al a legegyszer˝ ubb a feltételes utas´ıt´ as:

%!" &" " ' # Ha a értéke igaz ( ), akkor a & utas´ıt´ as, ha a ( értéke hamis (), akkor a utas´ıtás, ha pedig a ( értéke nem szám´ıtható ki (például azért, mert a benne szerepl˝o válas hajt´ odik végre. A tozók nem kaptak értéket), akkor az ' utas´ıt´ f¨ uggvény utols´ o vagy utols´ o két argumentuma (értelemszer˝ u hat´ asokkal) elhagyhat´ o: 8

360

4. A Mathematica programoz´ asár´ ol 3

Ha többir´ any´ u el´ agazással van dolgunk, akkor is haszn´ alhatjuk az % f¨ uggvényt, de ebben az esetben bonyolult kifejezésekhez jutunk. Ez elker¨ ulhet˝ o, ha a

) !&" " &" " ***# konstrukci´ ot alkalmazzuk. Ekkor az els˝ o olyan utas´ıt´ as hajt´ odik végre, amelyik el˝ ott igaz értéket felvev˝o logikai kifejezés áll. Péld´ aul: # $ %

! "

{16, 1, 12}

+ , értéke pontosan akkor , amikor argumentuma páros. — A fenuggvény a Collatz-féle probléma (vagy 3a + 1 probléma) vizsgálat´ an´ al ti f¨ haszn´ alhat´ o; l´ asd még az és a (egyu prgoramcsomagj´ at. mástól k¨ ul¨ onb¨ oz˝o!) & nev˝ Ha egy (nem feltétlen¨ ul logikai) kifejezés értékét˝ol akarunk f¨ ugg˝ ové tenni uggvényt: egy kifejezést, akkor haszn´ aljuk a - f¨ - ! " " " " " ***# Oldjuk meg az el˝ obbi feladatot ezzel a konstrukci´ oval is: &' ( ( " # $ % {16, 1, 12}

Láthat´ o, hogy az . jelet itt is tetsz˝oleges kifejezés jelölésére használtuk. El˝ ofordul az is, hogy egy ´ altal´ anos´ıtott listáb´ ol szeretnénk kiválasztani az els˝o néh´ any olyat, amely kielég´ıt egy bizonyos kritériumot (logikai értékeket felvev˝ o f¨ uggvényt). Ilyenkor ezt ´ırjuk:

! " "

'#


361

Péld´ aul: &) $ * *% +,-! {3, 4}

Ha viszont egy (által´ anos´ıtott) lista adott mintázatnak megfelel˝ o elemeit akarjuk kiv´ alasztani, akkor a

! " &# utas´ıt´ asra van sz¨ ukség¨ unk: .//$ 0 0% 1 {-4, -2} .// " 20 34& **203 1 {-4, -2}

Az adott mint´ azatnak megfelel˝ o listaelemek számának meghatározására két példa: .( $ * *% * 2 .( $ * *% *5 3

Itt a

! " &# szerkezetet használtuk, és a második esetben utaltunk a kitev˝ o alapértelmezésbeli értékére. • Ciklus A szokásos ciklusutas´ıt´ asok mindegyike haszn´ alhat´ o a Mathematic´ a ban. A assunk egy péld´ at: legegyszer˝ ubb k¨ oz¨ ul¨ uk tal´ an a / . L´ 6 +6(7 8(9! :: : 6: 6 $ % a=1 L[a]=0 a=2 L[a]=0.693147 a=3 L[a]=1.09861

362

4. A Mathematica programoz´ asár´ ol

Láthat´ o, hogy a ciklus t¨ orzsét jelent˝o utas´ıt´ as áll el¨ ol, m´ asodikként pedig a ciklusváltozót, kezd˝ o- és zár´ oértékét tartalmazó listát kell ´ırnunk. ant el¨ oltesztel˝ o, a´ltal´ anos alakjuk: A és a ) egyar´

! " &" + '" &# ) !&" &# Pr´ ob´ aljuk ki péld´ aul a k¨ ovetkez˝o két parancsot: ;(! *1 "" * " 9! 1 + x

2 2

2

2 + (1 + x ) 2 3 + 2 + (1 + x )

2

2

¨ Ugyelj¨ unk a k¨ ul¨ onféle ´ır´ asjelekre! < )2 ;)((!3 = 1 9! 8 4 2 1

Bár az értékad´ as és a feltételvizsgálat összekapcsolása tömör´ır´ asmódot tesz lehet˝ové, mégis ezek a módszerek a Mathematic´ a ban a´ltal´ aban kevésbé hatékonyan m˝ uk¨ odnek, mint a funkcion´ alis st´ılust t´ amogató

$ $ 0 $ $0

1 10 2

f¨ uggvények. Ezt illusztrálj´ ak a k¨ ovetkez˝o péld´ ak. Els˝ oként meghat´ arozzuk uggvény fixpontj´ at: a f¨ (/ +.(/ ; >9( (/ 0.739085


363

M´ asodikra szimulálunk egy szimmetrikus véletlen bolyong´ ast: -()(7/ ;()>6 / 9)/ 1 -)?>(, 0 $% 6 / 9)( -()(7/1 9)( @( > 0A !

Harmadikként bemutatjuk Novak megold´ asát a Gram–Schmidt-féle ortogonalizál´ asra, amely a 0 32 4

&

4 csomagj´ aban is szerepel. A példa részletes elemzését az Olvasóra hagyjuk. / 2 5 3 2 53 ) / ! / B (!) / 9)/ ## 2 / CD # B (!) / 3 E!,&, > , ! ;()>@( C $C 0 ) / ! /C C%D $ % , !

• Lok´ alis v´ altoz´ ok haszn´ alata uggvények lehet˝ové teszik lokális A ) , a $ és a 5 bels˝o f¨ álland´ ok és lok´ alis nev˝ u, illetve lok´ alis érték˝ u v´ altozók haszn´ alat´ at. Ezek a konstrukci´ ok a struktur´ alt nyelvekben megszokott blokk oknak felelnek meg. Lok´ alis v´ altozókat haszn´ alhatunk a 5 és a $ szerkezetben. A modul haszn´ alat´ at az indokolhatja, hogy • ne u ¨tk¨ ozzenek a v´ altoz´ ok; • egyszer kiszámolt értéket többsz¨ or akarunk haszn´ alni; • n¨ ovelni akarjuk a program a´ttekinthet˝ oségét. o el˝onyben. Ha viszont A kett˝ o k¨ oz¨ ul a´ltal´ aban a $ részes´ıtend˝ alata. interakt´ıv számolásokra kész¨ ul¨ unk, akkor aj´ anlatosabb a 5 haszn´ Ezzel elker¨ ulhetj¨ uk a v´ altozónevek u ¨tk¨ ozését. Tekints¨ uk az alábbi utas´ıt´ assorozatot: , * 2 i F)(B$ % " , 2 a + a G(>)$ % " , 2 a + i

364


Láthat´ o, hogy az els˝o esetben a blokk lok´ alis v´ altozó ja az 6 kifejezés kiértékelésében végig szerepet játszik. A modul kiértékelésénél a lokális v´ altozóra vonatkoz´ o értékad´ as csak a kiértékelend˝o 6 kifejezésben explicite szerepl˝o helyre vonatkozik. Ezért mondjuk azt, hogy az els˝ o szerkezetben lok´ alis érték˝ u, m´ıg a másodikban lok´ alis nev˝ u v´ altozó szerepel. uggvénynek két argumentuma van. Az els˝ o a lok´ alis v´ altoA $ f¨ zók listá ja, amelyben esetleg kezdeti értékad´ as is szerepel. A második argumentum (´ altal´ aban o¨sszetett) kifejezés. Az eredmény az utols´ o utas´ıt´ as osebb, mint a " jel, eltér˝oen végeredménye. Figyelj¨ unk arra, hogy a jel er˝ a legtöbb m´ as nyelvben megszokottakt´ ol. A k¨ ovetkez˝o péld´ aban lok´ alis ´ alland´ o szerepel, azaz olyan azonos´ıt´ o, amelyhez egyetlen egyszer rendel¨ unk hozz´ a valamilyen értéket (Ezért azt o a $ konstrukci´ onak speciális mondhatjuk, hogy a ) konstrukci´ esete: mintha csak a kezdeti értékad´ as hajt´ odnék végre.):

< 17 ' $ " % " * ' 3 1 + a + (1 + a)

17

Tehát a program k¨ ul¨ onbséget tett két k¨ ul¨ onb¨ oz˝o el˝ofordul´ asa között, a glob´ alis értékét megtartotta. Programjainkban haszn´ alhatjuk a m´ as nyelvekben megszokott megszak´ıt´ asokat és visszatéréseket is:

5

7

02 8 -

4.2. Gyorsas´ ag, gyors´ıt´ as Ebben a szakaszban azzal fogunk foglalkozni, hogy milyen gyorsan sz´ amol ki valamit a Mathematica, és hogy ez a számolási id˝ o milyen módszerekkel r¨ ovid´ıthet˝ o.

4.2. Gyorsaság, gyors´ıt´ as

365

4.2.1. Tipikus m˝ uveletek id˝ oig´ enye Miel˝ ott r´ atérnénk a programok gyors´ıt´ asának m´ odszereire, érdemes tá jékozód´ asul néh´ any id˝ oadatot megnézn¨ unk. Ezek értékelésénél figyelembe kell venni, hogy nemcsak a Mathematica aktu´ alisan haszn´ alt v´ altozat´ anak számát´ ol és az adott gép konfigur´ aci´ o j´ atól f¨ uggenek, hanem még attól is, hogy az adott alkalmon bel¨ ul az adott m˝ uvelet mikor, milyen el˝ozmények ut´ an ker¨ ult sorra. A t´ abl´ azat bemutat´ asa el˝ott, annak megértéséhez és reproduk´ al´ asához némi seg´ıtséget adunk. Ha meg akarjuk tudni, hogy mennyi ideig dolgozik a k¨ ozponti egység az 700 polinom kifejtésén, akkor a k¨ ovetkez˝ot kell be´ırnunk: (a + bx) , 7H>2 " - 3*<11

Ennek hat´ asára visszakapjuk a m˝ uvelet elvégzéséhez sz¨ ukséges id˝ otartamot másodpercben és az eredményt. Az id˝otartam null´ anak mutatkozik, ha kisebb egy minim´ alis értéknél, ami rendszerint a m´ asodperc hatvanadvagy századrésze. Amikor a gép teljes´ıt˝ oképességét vizsgáljuk, el˝ ofordulhat, hogy mag´ ara a szám´ıt´ asi eredményre nincs is sz¨ ukség¨ unk. Ekkor az eredmény képerny˝ ore val´ o ki´ır´ asát az utas´ıt´ as ut´ an tett pontosvessz˝ovel akad´ alyozzuk meg: , 7H>2 " - 3*<11

M´ atrixok invert´ al´ asának id˝ oigényét a k¨ ul¨ on¨ osen rosszul kondicion´ alt Hilbert-féle mátrixok (amelyek i-edik sorában és j-edik oszlopában az 1/(i+j) szám áll) péld´ a j´ an tanulm´ anyoztuk. ovid´ıtése, A t´ abl´ azatban a (3x+4y +5z)20 szorzattá” kifejezés annak a r¨ ” hogy el˝ obb kifejtj¨ uk az adott polinomot, majd megvizsg´ aljuk, hogy mennyi id˝ o alatt alak´ıtja az összeget szorzattá a program. Ekkor teh´ at két egym´ as ut´ ani m˝ uvelet egy¨ uttes elvégzéséhez sz¨ ukséges id˝ o az, amit mér¨ unk. Ehhez a k¨ ovetkez˝oket ´ırjuk be: , 7; (!H>2 " " I3*1

Fibonacci20 a rekurzi´ oval a k¨ ovetkez˝o pontban defini´ alt Fibonacci-sorozat 20-adik tagj´ at jelenti. A megadott faktorizáland´ o számok pedig olyan nagy sz´ amok, amelyeknek legkisebb pr´ımtényez˝o j¨ uk is nagy, ezeket szokás gépek gyorsaság´ anak ellen˝ orzésére használni. A méréseket IBM PC t´ıpus´ u gépeken végezt¨ uk; egy-egy adatot közl¨ unk:

366


Feladat

Id˝ otartam (sec) Gép I. Gép II. 486 386SX 50 MHz 20 MHz 8 MB 10 MB

1111111

0.879

13.566

(a + bx)100 (a + bx)500 (a + bx)700 (a + bx)1000 (a + bx)2000

0.164 0.934 1.373 2.032 4.944

2.472 13.787 18.894 25.43 59.594

(1/(i + j − 1))5×5 (1/(i + j − 1))−1 10×10 −1 (1/(i + j − 1))20×20 −1 (1/(i + j − 1))30×30

0.604 0.659 8.128 54.156

2.087 9.777 143.19 856.171

(3x + 4y + 5z)10 szorzattá (3x + 4y + 5z)20 szorzattá (3x + 4y + 5z)30 szorzattá

2.636 7.58 27.792

19.553 114.904 396.119

−1

Fibonacci10 Fibonacci20 Fibonacci25 Fibonacci50 FactorInteger[267 − 1] FactorInteger[2201 − 1]

0.055 0.055 −1.1279910−13 0.109

0.494 0.824 0.22 1.098

10.82 Nem bontja f¨ ol

140.333 Nem bontja f¨ ol

Ha azt gyan´ıtjuk, hogy valaminek a kisz´ amolása sok id˝ot fog igénybe venni, akkor érdemes a következ˝oképpen elj´ arni. Kész´ıt¨ unk egy olyan f¨ uggvényt, amelyben a feladat mérete az egyetlen változó, és k¨ ul¨ onb¨ oz˝o méretek uggvény felhaszn´ al´ asával megmérj¨ uk, hogy a feladat végesetén a f¨ rehajt´ asának id˝ otartama hogyan f¨ ugg a mérett˝ol. Sajnos, b´ ar ez nem meglep˝ o, az érdekes esetekben azt fogjuk tapasztalni, hogy a végrehajt´ asi id˝ oa méretnek exponenci´ alis f¨ uggvénye. Az el˝ozetes k´ısérletezésbe fektetett munka ekkor sem volt föl¨ osleges, mert extrapoláci´ oval megbecs¨ ulhetj¨ uk, hogy az igazi méret mellett feladatunk elfogadhat´ o id˝ on bel¨ ul megoldhat´ o-e. K¨ ul¨ on¨ osen sokáig tart az ´ abr´ ak és hangok el˝oa´ll´ıt´ asa; ilyen péld´ at nem szerepeltett¨ unk a t´ abl´ azatban.


367

4.2.2. Gyors´ıt´ as eml´ ekez˝ o f¨ uggv´ enyekkel Ha a szok´ asos módon, a /'$ (r¨ oviden: 9:) utas´ıt´ as felhaszn´ al´ asával adunk meg egy f¨ uggvényt, akkor annak értékét minden megh´ıv´ as alkalm´ aval kiszámolja a program. El˝ ofordul viszont, hogy egy f¨ uggvénynek egy adott helyen f¨ olvett értékét sokszor akarjuk f¨ olhaszn´ alni. Ekkor a Mathematica r´ avehet˝o arra, hogy megjegyezze a már egyszer kiszámolt értéket. Ez a technika k¨ ul¨ on¨ osen j´ ol haszn´ alhat´ o rekurz´ıv módon defini´ alt f¨ uggvényeknél: -7(!/ -7(!/ -7(!/ 0 " -7(!/ 0 -7(!/1 -7(!/ , 7 -7(!/ {0.329 Second, 233}

Ha most kiadjuk a ; 2' kérdést, akkor a v´ alasz mutatja, hogy val´ oban, az argumentum 12 értékéig a program megjegyezte a kiszám´ıtott f¨ uggvényértékeket. Ha még egyszer megkérdezz¨ uk a 12. tagot, sokkal gyorsabban kapunk v´ alaszt: , 7 -7(!/ {0. Second, 233}

A fenti megold´ ast Gray igen tal´ al´ oan dinamikus programoz´ asnak nevezi.

4.2.3. Gyors´ıt´ as a f¨ uggv´ ennyel Tetsz˝oleges argumentumra defini´ aljuk a f¨ uggvény-t az alábbi m´ odon: 77 &

vagyis argumentuma lehet val´ os vagy komplex szám, lista, kifejezés stb. Ha nem kell az o¨sszes lehet˝oségre fölkész¨ ulni, hanem feltehet˝o, hogy az argumentum csak gépi pontoss´ ag´ u szám (vagy logikai érték) lehet, akkor a kiértékelés jelent˝osen meggyors´ıthat´ o. A gyors´ıt´ as k¨ ul¨ on¨ osen akkor jelent˝os, ha a f¨ uggvény értékét számoló képletben sok egyszer˝ u (péld´ aul aritmetikai) m˝ uvelet van: 7 ; ( & Function[x, x Sin[x]]

368

4. A Mathematica programoz´ asár´ ol 7. .(,H ) & CompiledFunction[{x}, x Sin[x], -CompiledCode-]

Kész´ıts¨ unk most egy-egy tábl´ azatot mindkét f¨ uggvényb˝ ol: , 7 -)7 $ 15 5 151% {1.044 Second, Null}

, 7 -)7. $ 15 5 151% {0.714 Second, Null}

Nézz¨ unk meg egy másik péld´ at is: )9. .(,H ) ) 67>!91 2 4 CompiledFunction[{x}, (-63 + 3465 x - 30030 x + 6 8 10 90090 x - 109395x + 46189x )/256, -CompiledCode-] , 7 -)67>!91 $ 15 5 151% {4.285 Second, Null} , 7 -))9.1 $ 15 5 151% {0.934 Second, Null}

Ezzel szemben, ha olyan f¨ uggvénnyel van dolgunk, amilyen péld´ aul a 5( < vagy az +, akkor nem tapasztalunk jelent˝os gyors´ıtást, mivel a számolási id˝ o nagy része a Mathematica bels˝o algoritmusainak végrehajt´ asával telik, amire a ford´ıt´ as (ford´ıtsuk ´ıgy a compilation szót) nincs hat´ assal. Most arra mutatunk egy péld´ at, hogy hogyan gyors´ıthat´ o meg az ´ abr´ aas felhaszn´ al´ asával. Az al´ abbi f¨ uggvényt szeretnénk zol´ as a utas´ıt´ ábr´ azolni: , ( J-/ " *20 2< 9 " 9 .(/ 33 " *20 2< 9 " 9 .(/ 33 , 79()!9)( , ( $ 09 9 % 9)( !7 0A J)) {583.743 Second, Graphics}

Ez igen sok´ aig tartott. A defini´ alt f¨ uggvény t´ ul sokat tud: argumentuma lehet val´ os szám, egész szám, szimbolikus kifejezés stb. Nek¨ unk viszont a rajzol´ ashoz elegend˝o egy olyan f¨ uggvény, amely csak val´ osakra van érteluggvény rendelkezik a = $3 attrib´ utummal, ezért mezve (A f¨ uggvényt.): kell alkalmaznunk az + f¨


369

, (. .(,H )$$ ?)%% ) , ( , 79()!9)( , (.H $H 09 9 % 9)( ?7 0A J)) {4.449 Second, Graphics}

2

1

-2 -1.5

-1 -0.5

0.5

1

1.5

-1

-2

Most rajzoljunk Mandelbrot-halmazt: ,>)-!( . .(,H )$ ) ,% G(>)$I 1% I " )J-/I 51 DD ) , I I* " 2 " 3 "" 8/ 9)( 0,>)-!( .1 $055% $055% 9)( 9( / 0A 1 G/ 0A ;)/

Vég¨ ul megeml´ıtj¨ uk, hogy sz´ amos beép´ıtett f¨ uggvény rendelkezik a ( $ opcióval, amelynek ilyenkor az alapértelmezés szerinti értéke . Egyébként amikor csak lehetséges, beép´ıtett f¨ uggvényt érdemes használnunk, mert a legt¨ obb esetben ´ıgy kaphatjuk meg a leggyorsabb megold´ ast.

4.2.4. Gyors´ıt´ as listam˝ uveletekkel Az al´ abbiakban egy lista minden eleméhez többféle módon hozz´ a fogjuk adni az 1 számot. Kider¨ ul majd, hogy a m˝ uvelet id˝ oigénye jelent˝osen f¨ ugg att´ ol, hogy mennyire haszn´ aljuk ki a Mathematica lehet˝oségeit: ) / -)?>(, 7! $ 1% $111% , 7K) / $% ;(! 67 ) / "" JHH> (K) / ) / "

370

4. A Mathematica programoz´ asár´ ol {70.304 Second, Null}

M´ asodik megold´ asként a 2 utas´ıt´ assal hozunk létre egy u ´j listát: , 7K) / -)) / " $ 67 ) / % {6.92 Second, Null}

Még gyorsabban jutunk célhoz, ha nem hivatkozunk az egyes elemekre, uggvényt: hanem alkalmazzuk a f¨ , 7 " K) / GH ) / {4.394 Second, Null}

Mivel a f¨ uggvény listára alkalmazhat´ o (rendelkezik a 0 2 attrib´ utummal), ezért a legegyszer˝ ubb (és leggyorsabb) megoldást ´ıgy kapjuk: , 7K) / ) / " {2.252 Second, Null}

Természetesen mindig ugyanazt az eredményt kaptuk: K) / K) / K) / K) / True

Vég¨ ul még egy (kezdetben ijeszt˝onek hat´ o) péld´ at eml´ıt¨ unk. A Mathematica bizonyos beép´ıtett f¨ uggvényei k¨ ozött is vannak egyenl˝ obbek” (Az ” al´ abbi számolásokat nem ugyanolyan gépen végezt¨ uk, mint a f¨ ontebbieket, ezért csak az egymás közötti ar´ anyokra érdemes figyelni, illetve azokra az id˝ oadatokra, amelyeket az Olvasó saját gépén kapott.): , 7 -) * $ 111% {0.15 Second, Null}

, 7?7111* {0.0833333 Second, Null}

, 7C*D # ?7111 {0.06666667 Second, Null}

Ezek szerint teh´ at az el˝oz˝o péld´ aban a el˝oáll´ıt´ asának célszer˝ u módja a k¨ ovetkez˝o: ) / ?>(, 7! $ 1%D # ?7111

Vizsgáljuk meg, hogy a mért id˝ oadatok al´ at´ amasztják-e a fenti feltételezést!

4.3. Tanácsok programok kész´ıtéséhez

371

4.3. Tan´ acsok programok k´ esz´ıt´ es´ ehez Bár a Mathematica magja és programcsomagjai összesen több, mint kétezer bels˝o és k¨ uls˝ o f¨ uggvényt tartalmaznak, a felhaszn´ al´ o gyakran tal´ alkozik olyan feladattal, amelyet nem tud egyetlen f¨ uggvény seg´ıtségével megoldani. A tov´ abbiakban az ilyen esetekhez szeretnénk tan´ acsokat adni. Egy procedur´ alis nyelven meg´ırt program minden nehézség nélk¨ ul a´t´ırhat´ o a Mathematica programnyelvére. J. W. Gray [29] k¨ onyvében a 8.4. szakaszban mutat péld´ akat C és Pascal nyelv˝ u programok k¨ ozvetlen át´ır´ asára. A szerz˝o ugyanitt azt is megmutatja, hogy a Mathematica funkcion´ alis st´ıluselemeit felhasználva hogyan lehet a feladatot j´ oval r¨ ovidebben megoldani. Itt ismét kiemelj¨ uk azt, hogy a feladatokat a´ltal´ aban k¨ ul¨ onb¨ oz˝o st´ıluselemeket használva is megoldhatjuk. A kiértékeléshez sz¨ ukséges id˝ otartamok azonban lényegesen k¨ ul¨ onb¨ oz˝ok lehetnek; tapasztalatunk az, hogy a´ltal´ aban a funkcion´ alis st´ılus´ u ´ır´ asmódot t´ amogatja a legjobban a program. Amikor gépid˝ oigényes feladatunk van, akkor érdemes szem el˝ott tartani a gyors´ıt´ asár´ ol fentebb mondottakat. Adunk négy k¨ ul¨ onb¨ oz˝o megoldást Novak [60] alapj´ an a faktori´ alis kiszám´ıt´ asára: H!(>!) / G(>)$7K ( >% +( 7! DD 9(/ ? !:L -/ -, : 7K ( > ) > 7K ( 7K (4 > > > " ? !7K ( H!(- $ 0 M5% H!(>!) / # H!(- {1, 2, 6, 24, Hibas bemenet, Hibas bemenet} B () / ? ! ? ! B () / 0 B () / # H!(- {1, 2, 6, 24, 1, 621344.}

/I-)(/ /I-)(/ 7!N9(/ /I-)(/ 0 /I-)(/ # H!(- {1, 2, 6, 24, szabalyos[-5], szabalyos[9.2]}

372

4. A Mathematica programoz´ asár´ ol (B 7!N9(/ ,/ ## ?7 (B # H!(- {1, 2, 6, 24, fofunkci[-5], fofunkci[9.2]}

Hasonl´ıtsuk o¨ssze az id˝oeredményeket! , 7H!(>!) / # ?711 {17.852 Second, Null}

, 7B () / # ?711 {17.026 Second, Null}

, 7/I-)(/ # ?711 {15.434 Second, Null}

, 7(B # ?711 {1.428 Second, Null}

Ez elég meggy˝oz˝o lehet! Fontoljuk meg azonban azt is, hogy milyen v´ alaszt ¨ v´ arunk, ha a bemenet nem pozit´ıv egész szám. Ugyelj¨ unk arra is, hogy a csáb´ıt´ oan t¨ omör és elegáns funkcion´ alis st´ılus´ u programokat is el kell l´ atnunk ellen˝ orzésekkel és védelemmel.

4.4. Saj´ at programcsomagok k´ esz´ıt´ ese Ha hosszabb ideig és gyakran haszn´ aljuk a Mathematic´ a t, akkor felmer¨ ulhet benn¨ unk az igény saj´ at programcsomagok kész´ıtésére. Ennek egyik célja az lehet, hogy a saj´ at magunk a´ltal defini´ alt gyakran haszn´ alt f¨ uggvényeket ugyan´ ugy szeretnénk haszn´ alni, mint a Mathematica k¨ uls˝ o f¨ uggvényeit, másik célja pedig az lehet, hogy alkot´ asainkat k¨ ozkinccsé szeretnénk tenni péld´ aul a MathSource-on, vagy valamelyik foly´ oiraton, péld´ aul a Mathematica Journalon kereszt¨ ul. Ebben az esetben a fent le´ırtakb´ ol levonhat´ o tanuls´ agokon k´ıv¨ ul a leghasznosabb, ha valamelyik programcsomagot tanulm´ anyozzuk. K¨ ul¨ on felh´ıvjuk a figyelmet az

k¨ onyvt´ arakban tal´ alhat´ o csomagokra. A másik j´ ol haszn´ alhat´ o mank´ o pedig az eml´ıtett u ´jság szerz˝oi utas´ıt´ asai, ahol tov´ abbi formai és tartalmi tan´ acsok tal´ alhat´ ok.

5. Matematikán k´ıv¨ uli alkalmazások

M´ ar az eddigiekb˝ol is kit˝ unhetett, hogy a Mathematica program a matematik´ an k´ıv¨ ul is számos ter¨ uleten alkalmazhat´ o. Ebben a fejezetben azt k´ıv´ anjuk a´ttekinteni és néh´ any péld´ aval illusztrálni, hogy melyek azok a bels˝o és k¨ uls˝ o f¨ uggvények, amelyek ilyen célokra k¨ ozvetlen¨ ul alkalmazhat´ ok. A legtipikusabb és leggyakoribb (nem t´ ul mélyen szánt´ o) felhaszn´ al´ asi lehet˝oség a fizika, f¨ oldrajz és kémia ter¨ uletén u ´gy ad´ odik, hogy kézik¨ onyvek és tábl´ azatok helyett a megfelel˝o programcsomagokb´ ol olvassuk ki a sz¨ ukséges adatokat. Igazi, komplex alkalmaz´ asokat itt nem adunk, ezekr˝ ol egy gondolatébreszt˝o bevezet˝o k¨ onyv: [18]. Megeml´ıtj¨ uk, hogy a Mathematica (kézenfekv˝ o) természet- és m˝ uszaki tudom´ anyos alkalmazásain k´ıv¨ ul k¨ ozgazdas´ agi alkalmaz´ asairól [84] vagy o k¨ onyv d¨ ontéstámogató rendszerekkel kapcsolatos felhasznál´ asairól [43] szól´ is jelent m´ ar meg.

¨ 5.1. Uzleti grafika A t´ abl´ azatkezel˝okh¨ oz vagy a hagyom´ anyos programozási nyelvek u ´jabb, mindennel felszerelt v´ altozat´ ahoz szokott felhasznál´ o elvárja, hogy rendelkezésére álljanak azok a grafikai eszk¨ ozök, amelyekkel az u ¨zleti és a politikai életben megszokott ábr´ ak elkész´ıthet˝ ok. A Mathematica kész´ıt˝ oi a

7 47 4 programcsomag jelent˝os részét ennek a feladatnak a megold´ asára szentelték. Az al´ abbi f¨ uggvényekre gondolunk:

5 7 &$5 5

$5

374

5. Matematik´ an k´ıv¨ uli alkalmaz´ asok

A 7 47 /4 programcsomag tartalmazza a következ˝o, hasonl´ o céllal kész´ıtett f¨ uggvényeket:

5 /

7

A felsorolt f¨ uggvények számos opcióval rendelkeznek. A lehet˝oségek illusztrál´ asára l´ assunk néh´ any péld´ at: E!H /OE!H /O 8 /H) (7 !J!! 9 .! $15 15 15% 9 6-)/ 0A $:: : : :P:% 9 .! $15 15 15% 9 H)(>> 0A J)) 9)( 6-) 0A :G : 9 .! $15 15 15% 9 H)(>> 0A $$ 15%% 9 & ) 0A $E!6)15 E!6)15 E!6)15%

Mi En

1

1 Te

O

2

3

2

3

Tortadiagramokat tehát ak´ ar a Mathematic´ a val is elkész´ıthet¨ unk. Kétdimenziós oszlopdiagramot szolgáltatnak az alábbi utas´ıt´ asok: F!.! $ 0 % F!& ) 0A 2 CA ?EF.()(!1 1 C1 ?EF.()(! 1 1 ! ?EF.()(! 1D3 E! >6 / 0A J (, 9! )F!.! $ 0 5 % $0 % F!& )0A $?EF.()(!1 1 ?FE.()(! 1% F!P! ( 0A L(! I( ) J/ 0A ;)/ ;!, 0A

H´ aromdimenzi´ os oszlopdiagramot ´ıgy kész´ıthet¨ unk: E!H /OE!H /8O F!.! 8$$ % $ %% F(> 0A ;)/ J/ 0A ;)/ ;E! >/ 0A J)) 9)( ?7 0A J))

!

5.2. Hang

375

A k¨ ovetkez˝o utas´ıt´ as eredménye pedig azt mutatja, hogy f¨ uggvények egy diszkrét paramétert˝ol f¨ ugg˝ o sorozata hogyan a´br´ azolhat´ o célszer˝ uen: (I, -) 9)( 111B, 2 " B, 113* >( $ >( 1% 8 /H); ( 0A > $B, 1 % &('& BE!H /(I,

5.2. Hang A matematikai programcsomagok között sem gyakori, hogy egy programban hanggal kapcsolatos f¨ uggvények is vannak (procedur´ alis nyelvekben — Pascal, BASIC — ink´ abb). A magban a k¨ ovetkez˝o f¨ uggvényeket találjuk:

' $ $

$ $0 $

A 43$ 4 programcsomag f¨ uggvényei:

3 $ $

' $

0 )+

8$ $ )+ "

376


tov´ abb´ a a 4 4 csomag f¨ uggvényei:

= & = &

a hang finomabb m´ odos´ıt´ asát és zenei hatások elérését seg´ıtik. (A hangseoval másutt — a bességgel — $ $ — mint fizikai a´lland´

4'

4 programcsomagban — találkozunk.) Ahhoz, hogy a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o hangokat lej´ atszhassuk, kell, hogy a szám´ıt´ ogépben alkalmas hangk´ artya legyen. Els˝ o példaként gépelj¨ uk be a k¨ ovetkez˝oket: 9)& 11 " & 11 $ 1 %

Kett˝os eredményt kapunk: megkapjuk a lej´ atszand´ o f¨ uggvény képét, valauggvény els˝o mint azt a hangjelenséget, amelynek amplit´ ud´ o j´ at a ' f¨ argumentuma ´ırja le. K¨ ovetkezzék egy félelmetesebb, összetett hanghatást mutat´ o példa: 9)& 2& * & &Q! " 1 3 4 & &Q! " * & 111 $ 1 1%

Ha u ´jra meg szeretnénk hallgatni, akkor kattintsunk kétszer a képet tartalmazó cell´ anak arra a részére, ahol a kicsi hangsz´ or´ o l´ athat´ o. Kétsz´ olam´ u zene el˝o´ all´ıt´ asához kételem˝ u listát kell megadnunk a ' f¨ uggvény argumentum´ aul. Adott alak´ u hanghull´ amokat ´ıgy a´ll´ıthatunk el˝ o: G /))(/OJ> (O /Q! 1 (!,&Q! 1 15 P! (/ 0A {-Sound-}

(A négyzetalakon k´ıv¨ ul még néh´ any tov´ abbi is v´ alasztható: " $" -

.) Amit kaptunk, az egy hangobjektum (hasonló, mint az ábr´ azolásn´ al szokásosan el˝oa´ll´ o 7 objektum), megszólaltatni is hasonl´ oan lehet, mint a grafikus objektumokat megtekinteni: &('/Q! 1 {-Sound-}

Saj´ at magunk is alkothatunk egy hangszert”: ”

5.3. Id˝ o

377

7/I! $$ % $5 15% $5 15M% $5 15% $5 15 % $5 15% $5 15<% $5< 15 % $5 15% $5M 15%%

Hozzunk létre egy hat hangb´ ol a´ll´ o kromatikus hangsort a fenti alak´ u hangokb´ ol a 440-es rezgéssszám´ u hangb´ ol kiindulva: /Q -)6 / (!,7/I! 1 *23 15 &(' {-Sound-}

Amplitud´ o- és frekvenciamodul´ aci´ ot is alkalmazhatunk: $/ / /% $(!,&' ((

1 J,H) >G(>) ( 1 11 ;!QG(>) (1 $$11 11% $11 11%% H 0A 9!)))% &(' Graphics

K¨ ovetkezzék egy d´ ur sk´ ala: G /))(/OG/ O &)@/ GK(! 1 &(' -Sound-

V´ alaszthatunk pitagoraszi, temper´ alt stb. sk´ al´ at is. Most egy tiszta kvintet fogunk hallani: 9)& 9 J) " & 9 ) $ 1 15% -Sound-

Természetesen a Mathematica lehet˝oségeinek fölhaszn´ al´ asával — nem kevés munk´ aval — zenét is szerezhet¨ unk, ak´ ar megadott st´ılusban.

5.3. Id˝ o Az al´ abbi bels˝ o f¨ uggvények a d´ atum és az id˝opont megad´ asához és k¨ ul¨ onb¨ oz˝o ´ atszám´ıt´ asokhoz használhat´ ok:

32 / /

>

/

378


A 4 $ 4 programcsomag f¨ uggvényei a napt´ arakkal kapcsolatos számolásokhoz használhat´ ok:

$ /') /'5- /'

$' $'7 $ ?- 1-@

A (mindenféle) szám´ıt´ asok elvégzéséhez sz¨ ukséges id˝ otartammal kapcsolatosak a

$

A B B$

bels˝o f¨ uggvények és a 2.4.2. pontban m´ ar t´ argyalt B 4 - 4 programcsomag. A mai d´ atumot — ahogyan azt a sz´ am´ıt´ ogép oper´ aci´ os rendszere megadja — ´ıgy kaphatjuk meg: 8 {1995, 12, 10, 19, 32, 33}

Az id˝ ozón´ at a >

f¨ uggvény szolgáltatja. A Jap´ anban haszn´ alt id˝ o a +9-es zón´ anak felel meg, ezért az ottani id˝ o: 8 M {1995, 12, 11, 1, 34, 42}

Szeretnénk megtudni, hogy h´ any m´ asodperc telt el 1900. janu´ ar elseje óta, a Mathematica mostani ind´ıt´ asa óta, és hogy a mostani alkalommal mennyi id˝ ot dolgozott a k¨ ozponti egység (CPU): $J-/() , &// ( ,

,R/> %

{3124160301, 456.78, 23.5}

Kérdezz¨ uk meg ugyanezt 10 másodperc v´ arakozás ut´ an, vagyis !C# kiad´ asával, és figyelj¨ uk meg, hogy a k¨ ozponti egység a sz¨ unet k¨ ozben nem dolgozott. uggvény ad, az Az abszol´ ut id˝ ob˝ ol szokásos alak´ u d´ atumot a / f¨ uggvény feladata. ellenkez˝o ir´ any´ u a´talak´ıt´ as a / f¨

5.4. Fizika (mértékegységek)

379

A 4B 4 programcsomagban az id˝ o legk¨ ul¨ onb¨ oz˝obb mértékegységei tal´ alhat´ ok meg. Néh´ any példa:

$

$ @

S ha nem lenne elég, akkor u ´jat is defini´ alhatunk: , )) , 5 G )) ,

5.4. Fizika (m´ ert´ ekegys´ egek) A fizik´ aban el˝ofordul´ o mértékegységek k¨ oz¨ ul nehéz olyat megnevezni, amelyik ne lenne haszn´ alhat´ o, ezért megelégsz¨ unk csup´ an a mértékegységek csoportjainak felsorol´ asával: az er˝o egységei a t´ avolság reciprokának egységei térfogategységek viszkozitásegységek fényenergia- és intenzit´ asegységek a sug´ arzás egységei szögek a teljes´ıtmény egységei

ter¨ uletegységek anyagmennyiség gravitáci´ os gyorsul´ as mágneses egységek egységszorzók nyom´ asegységek energiaegységek frekvenciaegység sebességegység

Mindezek — az átalak´ıt´ asaikhoz használhat´ o

+

+ 7 f¨ uggvényekkel egy¨ utt — a

4B 4 programcsomagban tal´ alhat´ ok.

< %

380


L´ assunk péld´ at arra, hogyan lehet az egyes mértékegységeket a k¨ ul¨ onb¨ oz˝o rendszerekben megkapni: G /))(/OR /O $.E&C GS&C & C%DG {429.234 Gram, 0.429234 Kilogram, 0.429234 Kilogram} $.E&C GS&C & C%D#$9(> T!> % {{453.592 Gram, 0.45359237 Kilogram, 0.45359237 Kilogram}, {91.44 Centimeter, 0.9144 Meter, 0.9144 Meter}, {2.54 Centimeter, 0.0254 Meter, 0.0254 Meter} .(! G 9(> 0.9463 Pound

K¨ ul¨ on f¨ uggvény kell a h˝ omérséklet egységeinek átszám´ıt´ asához, mert ott a kapcsolatok a´ltal´ aban nem homogén line´ arisak: .(! ,H! !11 ;! CD # $.)/ / ?B ?,!% {37.7778, 559.67, ConvertTemperature[310.928, Kelvin, Reaumur]}

A Réaumur-féle sk´ al´ at tehát nem ismeri a program. Tartalma miatt nem meglep˝o, hogy néh´ any kémiaiként besorolt f¨ uggvényt, amelyek a 4 4 csomagba tartoznak, is itt aduk meg:

/ ' =

=D

2%

$ + '

Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝o péld´ akat: L P;/ (+ !(7 0.72 Joule Kilo Mole 8/ + !(7 Density::temp: Returned density is for Nitrogen at 21 Kelvin. 1026. Kilogram 3 Meter

5.5. F¨ oldrajz (térképek)

381

A 4'

4 programcsomag sokféle fizikai (és néh´ any kés˝obb megeml´ıtend˝ o kémiai) álland´ ot tartalmaz:

3

/ 7 + ' 3B + 3+ $

5 8$ 5 &

8$ 8$

)+

7

$'

7 +

=22

% , 7

D

8$$

8'$2

8$ $0 $ $

) 3

Fejezz¨ uk ki a F¨ old t¨ omegét, a Planck-féle tömeget és a proton t¨ omegét az elektron tömegével: G /))(/O9/ ).(/ /O $! G// 9)BG// 9!( (G//%) !(G// 54 22 {6.56026 10 , 2.38952 10 , 1836.15}

Az utols´ o szám feltehet˝oleg mindenkinek ismer˝ os.

5.5. F¨ oldrajz (t´ erk´ epek) A geográfia v´ altozni nem sz˝ un˝ o tud´ asanyag´ anak egy részét is megtaláljuk a Mathematic´ a ban — az éppen aktu´ alis a´llapotnak megfelel˝oen. A v´ arosokra vonatkoz´ o adatokat a 4 '/4 programcsomag al´ abbi f¨ ugvényeivel áll´ıthajuk el˝ o:

'/ '/

'

A ' $

382


K¨ ul¨ onb¨ oz˝o módokon megadott térképeket tal´ alunk a

4) $ 4 programcsomagban, amelynek f¨ uggvényeit az alábbiakban adjuk meg:

) $/

) $7 ) $

´ Az országok k¨ ozött megtal´ alhatjuk (ilyen csoportos´ıt´ asban) Eszak-Ame´ ´ rika, Eur´ opa, Dél-Amerika, Oceánia (ebbe beleértik Ausztráli´ at), Azsia, K¨ ozel-Kelet és Afrika országait. Els˝ osorban ide tartoznak a (

4'

4 csomag bizonyos állandói:

3

/ 7 + ' 3B +

Vég¨ ul megeml´ıtj¨ uk még a 47 $'4 programcsomagot, mint rokon vonatkoz´ as´ ut. Határozzuk meg Budapest északi szélességét és keleti hossz´ us´ ag´ at: G /))(/O. 8 O . 8 :F>H/ : {{CityPosition, {{47, 30}, {19, 5}}}}

Mennyi Budapest és Boston távolsága? . 8 / :F>H/ : :F(/ (: 6707.98

A mértékegységr˝ol nem esik szó. Az al´ abbiak szerint val´ osz´ın˝ u, hogy mérf¨ old: . 8 / :F>H/ : CD # $:U : :9!7: :!/':% {217.773, 445.438, 545.69}

´ azolás célj´ Abr´ ab´ ol kiv´ alaszthatunk f¨ oldrészeket és országokat is. A sokféle lehet˝oség illusztrál´ asára itt csak az alábbi péld´ akat k¨ ozölj¨ uk: G /))(/O(!)>9)( O !B(!/I7 &' (!/I7 :+ 7! : E!6)15 :&( J! : E!6)15M E!6)15

5.6. Kémia (elemek)

383

(!)>9)( $J! !B% (!)>9!(K ( 0A & /( >)

K¨ ul¨ onb¨ oz˝o st´ılus´ u vil´ agtérképeket ´ıgy kész´ıthet¨ unk: (!)>9)( $(!)> ?>(,E!/% (!)>9)( $(!)> ?>(,E!/% (!)>?( ( 0A $M1 1 1% (!)>?7 0A $$1 M1% $0 1 1%% (!)>9!(K ( 0A 6,-!JI , )

5.6. K´ emia (elemek) J´ ol tanulm´ anyozhat´ ok a kémiai elemek a

4 4 programcsomag f¨ uggvényeivel:

322 +

3 12 3 )

5 / '

384


=

=D

$ + ' 2%

Szeretnénk megtudni néh´ any fontos adatot a hidrogénr˝ ol, a k´ aliumr´ ol és a n´ atriumr´ ol: G /))(/O., )), /O $J (, 7 C L P;/ (C 8/ C !,).(> C ) !(.( 7! (;(!, C%D # $L>!(7 9( // , &(> ,% Density::temp: Returned density is for Hydrogen at 11 Kelvin. ThermalConductivity::form: Returned thermal conductivity is for the gaseous form of Hydrogen. {{1.00794,

0.1815 Watt 0.12 Joule Kilo 76. Kilogram , , , 3 Mole Kelvin Meter Meter

1 1s }, 2.4 Joule Kilo 862. Kilogram 102.4 Watt , , , 3 Mole Kelvin Meter Meter 2 2 6 2 6 1 1s 2s 2p 3s 3p 4s },

{{39.0983,

2.64 Joule Kilo 971. Kilogram 141. Watt , , , 3 Mole Kelvin Meter Meter 2 2 6 1 1s 2s 2p 3s }}

{{22.98977,

Irodalomjegyzék

[1] Abell, M. L. and Braselton, J. P., Differential Equations with Mathematica, Academic Press, New York, 1993. [2] Adamchik, V., Finite and Infinite Series, Reprint from The Mathematica Conference, Boston, 1992 (MathSource 0204–006). [3] Adamchik, V. et al., Guide to Standard Mathematica Packages (Version 2.2.), Technical Report, Wolfram Research, Inc., 1993. [4] Andr´ asfai B., Ismerkedés a gr´ afelmélettel, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1971. [5] Andr´ asfai B., Gr´ afelmélet, folyamok, m´ atrixok , Akadémiai Kiadó, Budapest, 1983. [6] Arnold, V. I., K¨ oz¨ onséges differenci´ alegyenletek , M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1987. [7] Becker, T. and Weispfenning, V. (In Cooperation with H. Kredel), Gr¨ obner Bases (A Computational Approach to Commutative Algebra), Springer-Verlag, 1993. [8] Bird, R. and Wadler, P., Introduction to Functional Programming, Prentice Hall, New York, 1988. [9] Blachman, N., Mathematica: Quick Reference, Version 2 , Variable Symbols, Inc., Oakland, CA, 1992. [10] Bocharov, A. V., Solving Equations Symbolically with Mathematica, Reprint from The Mathematica Conference, Boston, 1992 (MathSource 0204–017). [11] Bocharov, A.V., Solving Nonlinear Differential Equations with DSolve, Reprint from The Mathematica Conference, Boston, 1992 (MathSource 0203–960).

386

Irodalomjegyzék

[12] Braden, B., Krug, D.K., McCartney, P.W. and Wilkinson S., Discovering Calculus with Mathematica, John Wiley & Sons, New York etc. 1992. [13] Bressoud, D., Factorization and Primality Testing, Springer-Verlag, 1989. [14] Buchberger, B., An Algorithm for Finding a Basis for the Residue Class Ring of a Zero-Dimensional Polynomial Ideal, Ph.D. Thesis. Math. Inst. Univ. of Innsbruck, Austria, 1965. [15] Castillo, E., Solving a Functional Equation, The Mathematica Journal, Volume 5, Issue 1 (1995) 82–86. [16] Coombs, K. R., Differential equations with Mathematica, John Wiley and Sons, New York etc., 1995. [17] Coxeter, H. S. M., A geometri´ ak alapjai , M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1973. [18] Crandall, R. E., Mathematica for the Sciences, Addison-Wesley, New York, 1991. [19] Császár, A., Jicsinszky, L. and Tur´ anyi, T., Generation of Model Reactions Leading to Limit Cicle Behavior , React. Kinet. Catal. Let. 18(1–2), (1981), 65–71. ´ Val´ [20] Császár A., os anal´ızis I.-II., Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1983-84. [21] Davies, B., Porta, H. and Uhl, J., Calculus&Mathematica, Addison Wesley, New York, 1994. [22] Deák I., Véletlensz´ am-gener´ atorok és alkalmaz´ asuk , Akadémiai Kiad´ o, Budapest, 1986. [23] Elekes Gy., Kombinatorika feladatok , (Egyetemi jegyzet), ELTE Budapest, 1992. [24] Ellis, W. Jr. and Lodi, E., A Tutorial Introduction to Mathematica, Brooks/Cole, 1991. [25] Feagin, J. M., Quantum Methods with Mathematica, Springer-Verlag, 1994. [26] Gaylord, R. J., Kamin, S. N., and Wellin, P. R., Introduction to Programming with Mathematica, Springer-Verlag, 1993. [27] Gaylord, R. J. and Wellin, P. R., Computer Simulations with Mathematica, Springer-Verlag, 1994.

Irodalomjegyzék

387

[28] Geddes, K.O., Czapor, S.R. and Labah, G., Algorithms for Computer Algebra, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1992. [29] Gray, J.W., Mastering Mathematica, (Programming Methods and Applications), Academic Press, New York Professional, Boston, 1994. [30] Gray, T.W. and Glynn, J., Exploring Mathematics with Mathematica, Addison-Wesley, New York, 1991. [31] Haj´ os Gy., 1964.

Bevezetés a geometri´ aba,

Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest,

[32] Halmos, P. R. – Sigler, L.E., Elemi halmazelmélet – Halmazelméleti feladatok , M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1981. [33] Harper, D., Waoff, Ch., Hodgkinson, D., A Guide to Computer Algebra Systems, J. Wiley & Sons, Chichester, New York, Brisbane, Toronto, 1991. [34] Heck, A., Introduction to Maple, Springer-Verlag, 1993. [35] Helzer, G., Gr¨ obner Bases, The Mathematica Journal, Volume 5, Issue 1 (1995) 67–73. [36] Hironaka, H., Resolution of Singularities of an Algebraic Variety over a Field of Characteristic Zero, Ann. Math. 79 (1964) 109–326. [37] Jones, J.P., Sato, D., Wada, H. and Wiens, D., Diophantine Representation of the Set of Prime Numbers, Amer. Math. Monthly 83 (6) (1976), 449–464. [38] Kamke, E., Differentialgleichungen (L¨ osungsmethoden und L¨ osungen), Leipzig, 1959. [39] Katona Gy. Y. és Recski A., Bevezetés a véges matematik´ aba, (Egyetemi jegyzet), ELTE Budapest, 1992. [40] Keiper, J., Mathematica Numerics: Controlling the Effects of Numerical Errors in Computation, Reprint from The Mathematica Conference, Boston, 1992 (MathSource 0203–937). [41] Keiper, J., The N Functions of Mathematica, Reprint from The Mathematica Conference, Boston, 1992 (MathSource 0203–948). [42] Klincsik M. és Maróti Gy., Maple 8 tételben, Novadat, 1995. [43] Korsan, R. J., Decision Support Systems in Mathematica, SpringerVerlag, 1994. onyvkiad´ o, [44] Kósa A., Ismerkedés a matematikai anal´ızissel, M˝ uszaki K¨ Budapest, 1981.

388

Irodalomjegyzék

[45] Kuros, A. G., Fels˝ obb algebra, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1967. [46] Lavrov, I. A., Makszimova, L. L., Halmazelméleti, matematikai logikai és algoritmuselméleti feladatok , M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1987. ´ és Száva G., Numerikus anal´ızis példat´ [47] Ledneczkiné Várhelyi A. ar személyi sz´ am´ıt´ ogépekhez , (Egyetemi jegyzet), ELTE Budapest, 1990. [48] Leindler L. és Schipp F., Anal´ızis I., (Egyetemi jegyzet), ELTE Budapest, 1994. [49] Lenstra, H.W., Factoring Integers with Elliptic Curves, Annals of Mathematics, 126 (1987). [50] Lenstra, H.W.Jr., Lenstra, A.K., Lov´ asz, L., Factoring polynomials with rational coefficients, Math. An. 261 (1982), 515–534. [51] Maeder, R., Programming in Mathematica, Second Edition, AddisonWesley, New York, 1991. [52] Maeder, R., Programming in Mathematica, Reprint from The Mathematica Conference, Boston, 1992 (MathSource 0203–904). [53] Maeder, R., The Mathematica Programmer , Academic Press, New York Professional, Cambridge, 1994. [54] Martin, E., Introductory Statistics, Reprint from The Mathematica Conference, Boston, 1992 (MathSource 0203–915). [55] Martin, E., Advanced Statistics, Reprint from The Mathematica Conference, Boston, 1992 (MathSource 0203–916). [56] Moln´ arka Gy., Gerg´ o L., Wettl F., Horv´ ath A. és Kallós G., A MapleV és alkalmaz´ asai , Springer Hungarica Kiad´ o Kft., Budapest, 1996. [57] M´ ori T. F. és Székely J. G. (szerk.), T¨ obbv´ altoz´ os statisztikai anal´ızis, o, Budapest, 1986. M˝ uszaki Kiad´ [58] Nakos, G. and Glinos, N., Computing Gr¨ obner Bases over the Integers, The Mathematica Journal, Volume 4, Issue 3 (1994) 70–75. [59] Niven, I., Zuckerman, H. S., Bevezetés a sz´ amelméletbe, M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1978. [60] Novak, J.M., Mathematica Programming Style, Reprint from The Mathematica Conference, Boston, 1992 (MathSource 0203–926). [61] P´ al J., Simon P. és Schipp F., Anal´ızis II., (Egyetemi jegyzet), ELTE Budapest, 1994.

Irodalomjegyzék

389

[62] Pontrjagin, L. Sz., K¨ oz¨ onséges differenci´ alegyenletek , Akadémiai Kiad´ o, Budapest, 1972. [63] Press, W. H., Flannery, B. P., Teukolsky, S. A. and Vetterling, W. T., Numerical Recipes in Pascal, Cambridge University Press, Cambridge, 1992. [64] Prékopa A., Val´ osz´ın˝ uségelmélet m˝ uszaki alkalmaz´ asokkal, M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1974. [65] Ralston, A., Bevezetés a numerikus anal´ızisbe, M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1972. [66] Rényi A., A sz´ amjegyek eloszl´ asa val´ os sz´ amok Cantor-féle el˝ o´ all´ıt´ asaiban, Mat. Lapok 7 (1956) 77–100. [67] Rényi A., Val´ osz´ın˝ uségsz´ am´ıt´ as, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1966. [68] Risch, R., The Problem of Integration in Finite Terms, Trans. Amer. Math. Soc. 139 (1965) 167–189. [69] Roach, K., Indefinite and Definite Integration, Reprint from The Mathematica Conference, Boston, 1992 (MathSource 0203–993). [70] Ross, C. C., Introductory Ordinary Differential Equations with Mathematica, Springer-Verlag, 1994. [71] Rózsa P., Line´ aris algebra és alkalmaz´ asai , M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1974. [72] Rudin, W., A matematikai anal´ızis alapjai, M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1978. [73] Simon P., Ismerkedés a numerikus anal´ızissel, ELTE TTK Tov´ abbképzési Csoportjának kiadv´ anya, Budapest, 1990. [74] Simonovits M., Sz´ am´ıt´ astechnika, Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1983. [75] Skeel, R. D. and Keiper, J. B., Elementary Numerical Computing with Mathematica, McGraw-Hill, 1993. [76] Skiena, S., Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica, Addison-Wesley, New York, 1991. [77] Stroyan, K. D., Calculus Using Mathematica (Preliminary Edition), Academic Press, New York, 1992. [78] Todd, J., Basic Numerical Mathematics, Vol. 1, Vol. 2 , Academic Press, New York, 1980. [79] Tör¨ ok T., Sz´ am´ıt´ ogép a matematika´ or´ an, 1994.

TYPOTEX, Budapest,

390

Irodalomjegyzék

[80] Trott, M., The Mathematica Guidebook , Springer-Verlag, 1994. [81] Tur´ an P., Faktori´ alisos” sz´ amrendszerbeli sz´ amjegyek” eloszl´ as´ ar´ ol, ” ” Mat. Lapok 7 (1956) 71–76. [82] Tusn´ ady G. és Ziermann M. (szerk.):, Id˝ osorok anal´ızise, Kiad´ o, Budapest, 1986.

M˝ uszaki

[83] Varga T., Matematikai logika 1.-2., Tank¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1966. [84] Varian, H. (et. al), Economic and Financial Modeling with Mathematica, Springer-Verlag, 1993. [85] Vincze I., Matematikai statisztika ipari alkalmaz´ asokkal, M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1968. [86] Vvedensky, D., Partial Differential Equations with Mathematica, Addison-Wesley, New York, 1993. [87] Wagon, S., Mathematica in Action, W. H. Freeman, New York, 1991. [88] Withoff, D., Statistics Examples, Reprint from The Mathematica Conference, Boston, 1992 (MathSource 0201–508). [89] Wolfram, S., Mathematica: A System for Doing Mathematics by Computer , Second edition, Addison-Wesley, New York, 1993. [90] Wu, Wen–Tsun, Basic Principles of Mechanical Theorem Proving in Elementary Geometries, J. Automated Reasoning 2 (1986) 221–252.

Tárgymutat´ o

; (CompoundExpression) 22 % (Out[]) 23 %n (Out[n]) 23 ? (Names) 24 ?? (Information) 25 (*...*) (komment´ ar) 22 && (And) 70 | (Alternatives) 70 || (Or) 70 ! (Not) 70 + (Plus) 87 - (Subtract) 87 * (Times) 22, 87 / (Divide) 87 ^ (Power) 87 . (Dot) 279 ’ (Derivative) 194 ! (Factorial) 23, 252 !! (Factorial2) 23, 252 ^^ 91 = (Set) 22, 36 := (SetDelayed) 22, 37 == (Equal) 22 === (SameQ) 22 != (Unequal) 22 =!= (UnsameQ) 22 < (Less) 84 <= (LessEqual) 84 > (Greater) 84 >= (GreaterEqual) 84 {...} (List) 22 [...] 22 [[...]] (Part) 22, 31 & (Function) 107 # (Slot) 107 ## (SlotSequence) 108 _ (Blank) 37 __ (BlankSequence) 39 ___ (BlankNullSequence) 39 ? (PatternTest) 109 -> (Rule) 35

:> (RuleDelayed) 36 @ (f¨ uggvényalkalmaz´ as) 110 @@ (Apply) 72, 77, 289 /@ (Map) 34, 77 //@ (MapAll) 34, 77 /. (ReplaceAll) 35, 155 //. (ReplaceRepeated) 36, 155 /; (Condition) 39, 109 Abs 89, 100 AccountingForm 49, 92 Accuracy 94 alapszavak 23 AlgebraicRules 144 Alternatives 70 And 70 Apart 146 Apply 72, 77, 289 approxim´ aci´ o Padé 215 polinom 210 racion´ alis 215 spline 216 Arg 89, 101 ArithmeticGeometricMean Array 34, 274 atom 30 Attributes 44 Automatic 43 BaseForm 90 beép´ıtett f¨ uggvény 23 bels˝ o f¨ uggvény 23 BesselZeros 183 Binomial 251 Cancel 146 CartesianMap Cases 361

131

186

392 Catalan 89 Cauchy-féle f˝ oérték 207 CauchyPrincipalValue 207 Ceiling 98 CForm 50 Circle 264 Clear 45 ClearAll 45 ClearAttributes 45 Close 51 Coefficient 137 CoefficientList 137 Collect 137 ColumnForm 272 Complement 77 Complex 88 ComplexExpand 148 ComplexMap 131 ComposeList 113 Composition 112 computer algebra systems 14 Condition 109 Conjugate 89 ConstrainedMax 302 ConstrainedMin 302 ContourPlot 123 CopyDirectory 58 Count 38, 361 CountRoots 166 Cuboid 264 CylindricalPlot3D 130 D 192 Decompose 113, 140 Denominator 146 DensityPlot 124 Derivative 194 Descartes-szorzat 82 Det 282 DiagonalMatrix 275 Dimensions 272 DiracDelta 77 Dirichlet-mag 157 $DisplayFunction 122 DisplayFunction 122 Do 361 Dot 279 Drop 77 DSolve 229

Tárgymutat´ o E 22, 89 Eigenvalues 297 Eigenvectors 298 Eliminate 145 elj´ ar´ as 23 EllipticIntegrate 203 EngineeringForm 92 Equal (==) 22, 70 EulerGamma 89 Euler–Maclaurin-féle m´ odszer EulerSum 189 Evaluate 48 EvenQ 90 Expand 136 ExpandAll 146 ExpandDenominator 146 ExpandNumerator 146 ExpPlot 32 értékad´ as azonnali 36 glob´ alis 36 késleltetett 36 lok´ alis 35

189

Factor 138, 308 Factorial (!) 23, 251 Factorial2 (!!) 23, 251 FactorInteger 313 FactorList 140, 308 FactorSquareFree 138, 308 FactorSquareFreeList 140, 308 FactorTerms 137, 308 FactorTermsList 140, 308 felhaszn´ al´ oi fel¨ ulet 20 FindMinimum 200 FindRoot 179 First 33 Fit 220 FixedPoint 113 FixedPointList 113 Flat 44 Flatten 34 FlattenAt 34 Floor 98 Fold 310 For 362 FortranForm 50 Fourier 220 Fourier-transzform´ alt 219

Tárgymutat´ o FreeQ 77 FullForm 30 FullOptions 43 Function 106 f¨ uggvények beép´ıtett 23 bels˝ o 23 k¨ uls˝ o 23 matematikai 100 Mathematica 30 megad´ asa 103 primit´ıv 201 speci´ alis 181 széls˝ oértékei 197 tiszta 106 f¨ uggvényjel¨ olési m´ odok

393

110

GaussianIntegers 90 GCD 306 Get 51 gépi pontoss´ ag´ u sz´ amok 93 GoldenRatio 89 grafikus direkt´ıv´ ak 264 elemek 264 objektumok 264 Graphics 264 GraphicsArray 132 GroebnerBasis 143, 171 Gr¨ obner-b´ azisok 141, 170 hat´ arérték sorozaté 185 f¨ uggvényé 190 hatv´ anyhalmaz 83 Head 30 Hesse-féle m´ atrix 199 Hold 48 HoldAll 48 HoldFirst 48 HoldForm 49 HoldRest 48 I 89 Identity 107 IdentityMatrix 275 If 359 igazs´ agt´ abl´ azat 71 Im 89, 149

ImplicitPlot 128 Implies 70 Indeterminate 185 inform´ aci´ oszerzés 24 Infinity 89 Inner 34 InString 51 Integer 88 IntegerDigits 91 IntegerQ 90 Integrate 201, 204 InterpolatingPolynomial 213 Interpolation 216 Interval 85 IntervalIntersection 86 IntervalMemberQ 86 IntervalUnion 86 Inverse 285 InverseFourier 220 InverseFunction 114 Jacobi-m´ atrix 196 jegyzetf¨ uzet (notebook) 20 Join 33 JordanDecomposition 299 karakterkészlet 22 kernel (mag) 20 kiértékelés elvei 95 szab´ alyos 47 k¨ ul¨ on¨ os 48 kifejezés matematikai 135 Mathematica 29 k¨ ozel´ıt˝ o aritmetika 92 k¨ ozel´ıt˝ o numerikus érték 88 k¨ uls˝ o f¨ uggvény 23 kvadratikus reciprocit´ as 317 $Language 49 LatticeReduce 307 LCM 306 LeafCount 59, 135 odszere legkisebb négyzetek m´ Length 272 Less (<) 84 LessEqual (<=) 84 Level 32

220

394 Limit 185, 190 line´ aris regresszi´ o 351 LinearProgramming 303 LinearSolve 293 List 33 lista 33, 78 megad´ asa 34, 78, 270 -m˝ uveletek 34, 369 Listable 44 ListContourPlot 130 ListDensityPlot 130 ListIntegrate 207 ListPlot 130 ListPlot3D 130 LogicalExpand 70 logikai azonoss´ agok 74 LUDecomposition 299 $MachineID 58 $MachineName 58 MachineNumberQ 93 $MachinePrecision 93 $MachineType 58 mag (kernel) 20 MantissaExponent 92 Map 77 MapAll 77 MapAt 77 MapIndexed 77 MapThread 77 MathLink 62 MatrixExp 288 MatrixForm 272 MatrixPower 281 MatrixQ 271 m´ atrix determin´ ansa 282 felbont´ asa 299 inverze 285 megad´ asa 270 m˝ uveletek 278 rangja 283 speci´ alis 275 $MaxMachineNumber 96 MaxMemoryUsed 59 $MaxNumber 94 $MaxPrecision 94 MemberQ 78 mem´ oriakezelés 59

Tárgymutat´ o MemoryConstrained 59 MemoryInUse 59 Mihajlov-kritérium 241 $MinMachineNumber 96 $MinNumber 94 Minors 283 mint´ azat 37 Mod 306 Module 333 Modulus 139, 162 Multinomial 252 N 96 nagypontoss´ ag´ u sz´ amok NDSolve 231 Needs 26 Negative 90 Nest 362 NestList 362 NIntegrate 205 NLimit 187, 192 NonlinearFit 221 NonNegative 90 Not 70 NRoots 177 NSolve 177 NSum 189 Numerator 146 OddQ 90 opci´ ok 41 $OperatingSystem Options 41 Or 70 Orderless 44 Outer 34, 82 $Output 51 OutputForm 49

58

Pade 215 ParametricPlot 125 ParametricPlot3D 125 Part 31 Partition 77, 82 Permutations 248 Pi 89 Plot 118 Plot3D 123 Plus 87

93

Tárgymutat´ o

395

Point 264 PolarMap 131 PolarPlot 129 polinom interpol´ aci´ os 213 kifejtése 136 szorzatt´ a alak´ıt´ asa 138 polinomegyenletek 164 Polygon 264 PolynomialFit 221 PolynomialGCD 308 PolynomialLCM 308 PolynomialMod 308 PolynomialQ 308 PolynomialQuotient 308 PolynomialRemainder 308 pontos aritmetika 92 pontos numerikus érték 88 Positive 90 Power 87 PowerExpand 154 PowerMod 307 Precision 94 Prime 311 PrimePi 311 PrimeQ 90, 311 Print 49 PrintForm 49 Product 155 programcsomag matematikai 13 Mathematica 20, 25 numerikus 17 szimbolikus 14 programoz´ asi st´ılusok 357 Protect 44 Protected 45 PseudoInverse 301 Put 52 PutAppend 52 QRDecomposition Quit 21 Quotient 306 Random 332 Range 34 Rational 88 Rationalize 311

299

Re 89, 149 Read 54 ReadList 54 ReadProtected 45 Real 88 RecordLists 53 Rectangle 264 Reduce 158, 162 ReIm 149 rel´ aci´ ok 84 Remez-algoritmus 214 Remove 28 rendszerv´ altoz´ o 24 ReplaceAll 35, 155 Resultant 141 Reverse 33 Risch-algoritmus 202 Roots 158 Round 98 RSolve 185, 237, 256 Rule 35 Runge–Kutta-m´ odszer 234 SameQ (===) 22 Save 62 SchurDecomposition 299 ScientificForm 92 SeedRandom 332 Select 360 Series 211 Set 36 SetAccuracy 95 SetAttributes 45 SetDelayed 37 Short 49 Show 122 Simplify 135 SingularValues 299 Slot (#) 107 Solve 158 SolveAlways 158, 174 sor konvergenci´ aja 187 Laurent 211 Taylor 210 trigonometrikus 217 sorozat megad´ asa 184 hat´ arértéke 185

396

Tárgymutat´ o

Sound 375 Splice 57 Sqrt 100 Subtract 87 Sum 155, 187 Switch 360 Symbol 30 $System 58 szab´ alyos soksz¨ ogek 267 testek 267 sz´ amok alakjai 304 sz´ amrendszerek 305 sz´ amtani-mértani k¨ ozép sz´ amt´ıpusok 88 sz´ or´ asanal´ızis 351

Wallis-formula 157 Which 360 While 362 With 364 Write 51 WriteString 51 Xor 70

186

Table 273 Take 33 Thread 34 Through 111 Times 87 Timing 59 ToCharacterCode 50 ToExpression 50 Together 146 Trace 47 Transpose 277 transzform´ aci´ os szab´ aly 35 TreeForm 32 TridiagonalSolve 293 Trig 150 Trigonometry 151 Union 78 UnitStep 77 VectorQ 271 VectorAnalysis 221 VectorCalculus 196 vektor abr´ ´ azol´ asa 266 megad´ asa 271 m˝ uveletek 278 $Version 58 $VersionNumber 58

Matematika. Mathematica

Recommend Documents