MAKALAH
OLEH KELOMPOK I NAMA
:
1. SHINTA JULIANTY 2. SITI HERLIZA 3. FATMALIZA 4. SUPRA ANTONI 5. JUNIANTY
PROGRAM STUDI
: PENDIDIKAN MATEMATIKA
MATA KULIAH
: GEOMETRI TRANSFORMASI
DOSEN PENGAMPU
: FADLI, S.Si.,M.Pd.
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU TAHUN 2009/2010
BAB II TRANSFORMASI
2.1. Transformasi. Suatu Transformasi pada suatu bidang V adalah suatu Fungsi yang bijektif dengan daerah asalnya V dan Daerah nilainya V juga Seperti Anda ketahui suatu Fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang bersifat : 1. Surjektif 2. Injektif. Contoh : 1. Andaikan A ∈ V. Ada perpetaan (padanan) T dengan daerah asal V dan daerah nilai juga V. Jadi T :
V yang dideinisikan sebagai beriku :
(1) T (A) = A (2) Apabila P ≠ A. Maka T (P) = Q dengan Q titik tengah garis AP selidiki apakah padanan T tersebut suatu Transformasi. Jawab. A
R S = T (R)
Q = T (P)
P Jelaskan bahwa A memiliki peta yaitu A sendiri. Ambil sebarang titik R ≠ A pada V. Oleh karena V bidang Euclides,maka ada satu garis yang melalui A dan R, Jadi ada satu ruas garis AR sehingga ada tepat satu titik S dengan S antara A dan R, Sehingga AS = SR. ini berarti untuk setiap X ∈ V ada satu Y dengan Y = T ( X) yang
memenuhi persyaratan (2) jadi daerah asal T adalah V. 1. Apakah T Surjektif atau apakah daerah nilai T juga V untuk menyelidiki ini cukuplah dipertanyakan apakah setiap titik di V ? memiliki prapeta. Jadi apabila Y = A prapetanya adalah A sendiri,sebab T (A) = A.
Y = T (X) A
X
Apabilah Y ≠ A.maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada % tunggal dengan X ∈ AY Sehingga AY = YX. Jadi Y adalah titik tengah AY, yang merupakan satusatunya titik tengah jadi Y =T (X). ini berarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y. Dengan demilian dapat di katakana bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta jadi T adalah suatu padanan yang Surjektif.
Andaikan T (P) = T(Q). Oleh karena T (P) ∈ A P dan T (Q) ∈ A Q maka dalam hal ini A P dan A Q memiliki dua titik sekutu yaitu A dan T ( P) = T (Q). Ini berarti bahwa garis A P dan
A Q berimpit,sehingga mengakibatkan bahwa Q ∈ A P . ini berlawanan dengan pemisalan bahwa A. P, Q. Titik bergaris. Jadi pengandaian bahwa T (P) = T (Q) tidak benar sehingga haruslah T (P) ≠ T (Q) Bagaimana apabila P, Q, A. Segaris ? dari uraian di atas tanpak bahwa padanan T itu Injektif dan Surjektif, sehingga T adalah padanan yang bijektif. Dengan demikian terbukti T suatu Transformasi dari V ke V. Ditulis T : V→ V.
BAB III PENCERMINAN
Definisi : Suatu pencerminan (Reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi MS yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut : ( i ) Jika P ∈ s maka ( P) = P (ii ) Jika P € s.maka MS ( P) sehingga garis s adalah sumbu PP pencerminan Ms pada garis s selanjutnya kita lambangkan sebagai Ms Garis s dinamakan sumbu refleksi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin. Untuk menyelidiki lebih lanjut sifat-sifat pencerninan, kita selidiki apakah pencerminan itu suatu transformasi. 1) Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal Ms adalah seluruh bidang V. 2) Ms adalah padanan yang surjektif,sebab ambil X ∈ V. Kalau X ∈ s maka X = X1 sebab Ms (X) =X = X1. Andaikan sekarang X1 ∈ s. Dari sifat geometri ada X = V sehingga s menjadi sumbu ruas XX Ini berarti bahwa Ms (X) = X1 ( Ingat V adalah bidang Euclides). Artinya : Setiap X memilik prapeta. Jadi Ms adalah Surjektif. 3. Apakah Ms Injektif ? Andaikan A ≠ B. kalau A ∈ s dan B ∈ s, maka jelas A = Ms (A) = A dan B1 = Ms (B) = B. Jadi A1 ≠ B1 Kalau salah satu misalnya A ∈ s, maka A1 = Ms (A) = B karena B ∈ s, B1 = Ms Dengan B1 ∈ s. Disini pula A1 ≠ B1 atau Ms (A)_≠ Ms (B). Andaikan selanjutnya A ∈ s. B ∈ s. Andai bahwa Ms ( A) = Ms (B). Atau A1 = B1. Jadi A1 A ⊥ s dan B1 B ⊥ s. ini berarti dari satu titik A1 ada dua garis berlainan yang tegak lurus pada s. ini tak mungkin. Jadi pengandaian bahwa kalau A≠ B maka Ms (A) = Ms (B) adalah tidak benar sehingga pengandaian itu salah. Jadi kalau A≠ B maka Ms (A) ≠ Ms (B) Jadi Ms adalah injektif.
Kita tulis MS : V → V, sifat tersebut dapat dituangkan dalam bentuk teorema : Teorema 3.1 : Setiap reflexi pada garis adalah suatu transformasi. Di samping sifat penting itu, suatu pencerminan pada garis mengawetkan jarak. Artinya : kalau A dan B dua titik maka apabila A1 = (A) dan B1 = M (B), AB = A1 B1.jadi jarak setiap dua titik sama dengan jarak antara peta-petanya. Jadi jarak tidak berubah. Sifat demikian yang di miliki oleh M itu, membuat M disebut Transformasi yang Isometrik atau M adalah suatu isomettrik.
Defenisi : Suatu Transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P,Q = PQ dengan P = T (P) dan Q1 = T ( Q). Teorema 3.2 : Setiap reflexi pada garis adalah suatu isometri ( lihat gambar 3.1).
A B 1
A
B1
S
Jadi kalau A1 = Ms (A). B = Ms (B) maka AB = A1 B1 Tugas : Coba Anda buktikan sifat tersebut.
