Catatan Kuliah
MA6281 Topik Lanjut dalam Statistika –ANALISIS DATA DENGAN COPULA– “Dependency is not necessarily bad”
disusun oleh
Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2013
Daftar Isi 1 Fungsi Distribusi Bivariat 1.1 Fungsi Distribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Unsur Peluang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Distribusi Bivariat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 1 3 5
2 Data dan Volatilitas 2.1 Ilustrasi . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Data risiko operasional 2.1.2 Data “aneh” . . . . . . 2.2 Jenis Data . . . . . . . . . . . 2.3 Volatilitas . . . . . . . . . . . 2.4 Kestasioneran . . . . . . . . . 2.5 Prediksi . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
1 1 1 2 2 3 3 4
. . . . .
1 1 1 2 3 5
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
3 Konsep Copula 3.1 Pengantar: Copula atau Asosiasi? . 3.2 Konsep dan Manfaat Copula . . . . 3.3 Ukuran Kebergantungan . . . . . . 3.4 Copula, Kebergantungan, dan VaR 3.5 “More on Copula” . . . . . . . . .
i
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
. . . . .
BAB 1 Fungsi Distribusi Bivariat 1.1
Fungsi Distribusi
Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah FX (x) = P (X ≤ x) Contoh: 1. Misalkan X ∼ Bin(3, 0.5), maka fungsi distribusi F (x) adalah... 2. Misalkan X peubah acak dengan ‘support’ S = [a, b], b > 0. Misalkan peluang X akan berada di selang S proporsional terhadap panjang selang. Dengan kata lain, P (x1 ≤ X ≤ x2 ) = λ (x2 − x1 ), untuk a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b. Untuk menentukan λ, misalkan x1 = a dan x2 = b. Maka, P (a ≤ X ≤ b) = 1 = λ (b − a) ⇒ λ = 1/(b − a) Fungsi distribusinya adalah... Peubah acak X dikatakan berdistribusi Uniform, X ∼ U (a, b). Sifat-sifat fungsi distribusi: • F (−∞) = 0 dan F (∞) = 1 • F merupakan fungsi tidak turun; F (a) ≤ F (b) untuk a ≤ b 1
• F adalah fungsi kontinu kanan; limϵ→0+ F (x + ϵ) = F (x) Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x). • Jika b ≥ a, maka P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) • Untuk setiap x, P (X = x) = limϵ→0+ P (x − ϵ < X ≤) = F (x) − F (x−) (Perhatikan notasi F (x−) dan kasus apabila fungsi distribusi kontinu kiri) Definisi: Distribusi dari peubah acak X dikatakan KONTINU jika fungsi distribusi disetiap x kontinu dan fungsi distribusi tersebut dapat diturunkan. Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX (x). • Misalkan g(X) fungsi naik satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g −1 (y) ada. Misalkan Y = g(X). Fungsi distribusi dari Y adalah... • Misalkan g(X) fungsi turun satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g −1 (y) ada. Misalkan Y = g(X). Fungsi distribusi dari Y adalah... • Misalkan X ∼ U (0, 1) dan Y = g(X) = hX + k, h < 0. Maka X = g −1 (Y ) = · · · FX (x) = · · · FY (y) = · · · Y ∼ ··· Latihan: 1. Misalkan X peubah acak kontinu yang memiliki fungsi distribusi FX (x) yang naik murni. Misalkan Y = FX (X). Tentukan distribusi dari Y . 2. Misalkan U peubah acak berdistribusi U (0, 1). Misalkan FX (x) fungsi distribusi yang naik murni dari X. Tentukan fungsi distribusi dari peubah acak FX−1 (U ). 3. Misalkan U1 , U2 , . . . , Un sampel acak dari U (0, 1). Bangkitkan sampel acak dari FX (x) (ambil contoh misalnya untuk FX (x) = 1 − e−λ x , x > 0) MA6281 AnDat.Copula
2
K. Syuhada, PhD.
Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi FX (x). Misalkan Y = g(X) fungsi kontinu tidak monoton. Kita ketahui bahwa pada fungsi yang monoton, FY (y) = P (Y ≤ y) = P (g(X) ≤ y) dimana dalam hal ini setiap solusi inverse x = g −1 (y) digunakan untuk menentukan FY (y) dengan menggunakan FX (g −1 (y)). Untuk X ∼ U (−1, 2) dan g(X) = Y = X 2 , kita dapatkan fungsi distribusi dari Y : FY (y) = · · ·
1.2
Unsur Peluang
Misalkan X peubah acak kontinu, △x bilangan positif kecil. Definisikan h(a, b) =def P (a ≤ X ≤ a + b) = FX (a + b) − FX (a) Untuk h(x, △x) = P (x ≤ X ≤ x + △x), maka deret Taylor-nya disekitar △x = 0 adalah h(x, △x) = F (x + △x) − F (x) d = h(x, 0) + h(x, △x) △x=0 △x + o(△x) d△x = = dimana lim
△x→0
o(△x) =0 △x
Fungsi ] d F (x) △x dF (x) = dx [
disebut DIFERENSIAL. Dalam statistika, diferensial dari fungsi distribusi adalah UNSUR PELUANG (yang merupakan pendekatan terhadap h(x, △x)). d F (x). Unsur peluang adalah fungsi linier dari dx
MA6281 AnDat.Copula
3
K. Syuhada, PhD.
Contoh: Misalkan F (x) = 1 − e−3x untuk x ≥ 0. Apakah F (x) suatu fungsi distribusi? Hitung unsur peluang di x = 2. Cari pendekatan untuk P (2 ≤ X ≤ 2.01). Densitas rata-rata pada selang (x, x + △x) didefinisikan: Density rata-rata =def
P (x ≤ X ≤ x + △x) △x
Sedangkan fungsi densitas peluang atau fungsi peluang (f.p) di x adalah limit densitas rata-rata saat △x → 0: f.p = f (x) =def lim
△x→0
P (x ≤ X ≤ x + △x) △x
= = =
d F (x) dx
Catatan: Unsur peluang dituliskan sebagai dF (x) = f (x)△x. Sifat-sifat fungsi peluang: • f (x) ≥ 0 untuk semua x ∫∞ • −∞ f (x) = 1 Hubungan antara fungsi peluang dan fungsi distribusi: d F (x) dx ∫ x F (x) = f (u)du f (x) =
−∞
∫
b
P (a < X < b) = ... = ... = ... = F (b) − F (a) =
f (x)dx a
Latihan: 1. Misalkan λ bilangan riil positif. Jika F (x) = 1 − e−λx , maka f (x) = · · · 2. Jika X ∼ U (a, b) maka F (x) = · · · dan f (x) = · · · 3. *Misalkan f (x) = c/(1 + x2∫) untuk −∞ < x < ∞ dan c konstanta. ∞ Fungsi f (x) tak negatif dan −∞ (1 + x2 )−1 dx = π. Berapa nilai c agar f (x) menjadi fungsi peluang? Tentukan fungsi distribusinya. MA6281 AnDat.Copula
4
K. Syuhada, PhD.
Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f (x) dan Y = g(X) fungsi yang terdiferensial bernilai tunggal. Maka fungsi peluang dari Y : d −1 −1 fY (y) = fX (g (y)) g (y) dy untuk ‘support’ Y = g(X). Komponen J(y) =
d −1 g (y) dy
adalah transformasi Jacobian. Misalkan g(x) memiliki lebih dari satu fungsi invers maka unsur peluang yang terpisah harus dihitung untuk setiap fungsi invers. Contoh, misalkan X ∼ U (−1, 2) dan Y = g(X) = X 2 . Maka untuk y ∈ [0, 1], terdapat 2 fungsi invers yaitu · · · , dan satu fungsi invers untuk y ∈ (1, 4] yaitu · · · . Fungsi peluang dari Y adalah f (y) = · · ·
1.3
Distribusi Bivariat
Suatu fungsi fX,Y (x, y) dikatakan fungsi peluang bivariat jika • fX,Y (x, y) ≥ 0, untuk semua x, y ∫∞ ∫∞ • −∞ −∞ fX,Y (x, y) dx dy = 1 Jika fX,Y (x, y) fungsi peluang bivariat maka ∫ x ∫ FX,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) = −∞
y
−∞
fX,Y (u, v) dvdu
Sifat-sifat fungsi distribusi bivariat: 1. FX,Y (x, ∞) = FX (x) 2. FX,Y (∞, y) = FY (y) 3. FX,Y (∞, ∞) = 1 4. FX,Y (−∞, y) = FX,Y (x, −∞) = FX,Y (−∞, −∞) = 0 MA6281 AnDat.Copula
5
K. Syuhada, PhD.
∂2 ∂x∂y
5. fX,Y (x, y) =
FX,Y (x, y)
fX,Y (x, y)△x△y adalah unsur peluang bersama, P (x ≤ X ≤ x + △x, y ≤ Y ≤ y + △y) = fX,Y (x, y)△x△y + o(△x△y) Contoh/Latihan: 1. Jika (X, Y ) ∼ U (a, b, c, d) maka fX,Y (x, y) = · · · 2. Untuk soal no 1 di atas, misalkan a = c = 0, b = 4, d = 6 maka P (2.5 ≤ X ≤ 3.5, 1 ≤ Y ≤ 4) = · · · P (X 2 + Y 2 > 16) = · · · 3. Jika fX,Y (x, y) = 6/5(x + y 2 ) untuk x ∈ (0, 1) dan y ∈ (0, 1). Tentukan P (X + Y < 1). Untuk menentukan fungsi peluang marginal, integralkan “peubah yang tidak diinginkan”: ∫ ∞ fX (x) = fX,Y (x, y) dy ∫ fY (y) =
−∞ ∞
−∞
fX,Y (x, y) dx
∫
fX,Y (x, y) =
∞
∫
−∞
∞
−∞
fW,X,Y,Z (w, x, y, z) dwdz
Pada fungsi peluang fX,Y (x, y) = 6/5(x + y 2 ) diperoleh fX (x) = · · · fY (y) = · · · dan ekspektasi ∫
∞
∫
∞
E(g(X, Y )) = E(X) = −∞
MA6281 AnDat.Copula
−∞
6
g(x, y) fX,Y (x, y) dx dy = · · ·
K. Syuhada, PhD.
BAB 2 Data dan Volatilitas 2.1 2.1.1
Ilustrasi Data risiko operasional
Data risiko operasional merupakan salah satu data penting, namun “terabaikan”, pada institusi perbankan. Menurut Basel II Accord, “operational risk is the risk of loss resulting from inadequate or failed internal processes, people and systems or from external events”. Pandang matriks data risiko operasional untuk delapan BLs dan tujuh ETs:
X11 X12 X21 X22 .. .. . . X81 X82
··· ··· ··· ···
X17 X27 ··· X87
• Xij , i = 1, 2, . . . , 8; j = 1, 2, . . . , 7 peubah acak menyatakan banyaknya kerugian (number of losses or loss events) per BL dan ET atau besar kerugian (loss amounts) • jumlah data, periode data • kasus: “high-frequency low-severity” (HFLS), “low-frequency high-severity” (LFHS) • asumsi independensi/kebebasan
1
2.1.2
Data “aneh”
Data merupakan informasi yang diharapakan dapat diinterpretasikan dengan baik dan akurat. Dalam praktiknya, data dapat terlihat “aneh”, seperti • jumlah data kecil (atau sedikit) namun/dan distribusinya diketahui/tidak diketahui • memiliki observasi bernilai NOL cukup banyak • mean sama dengan variansi
2.2
Jenis Data
Diskusi: • Apakah yang anda ketahui tentang jenis data dan berikan contohnya? • Apakah yang dimaksud dengan cross-sectional data dan longitudinal data ? • Jenis data: i.i.d data dan time series data Tugas: • Bagaimana kita dapat membangkitkan i.i.d. data? Tunjukkan bahwa data bivariat tersebut saling bebas. • Pandang pasangan data yang dibangun dari fungsi distribusi bivariat. Dapatkah anda menunjukkan bahwa data ini saling bebas dan berdistribusi identik? • Bangkitkan data yang berkorelasi. Mungkinkah korelasi dua peubah acak melibatkan syarat peubah acak yang lain? • Lakukan kalibrasi pada data (yang dianggap) berdistribusi Poisson namun memiliki mean yang tidak sama dengan variansi
MA6281 AnDat.Copula
2
K. Syuhada, PhD.
2.3
Volatilitas
• Apakah yang anda ketahui tentang Volatilitas (volatility)? • Volatilitas adalah variansi bersyarat • Volatiltas berubah menurut waktu atau time-varying • Zhou (1996): “volatilitas berubah menurut waktu karena informasi yang menyebabkan perubahan tersebut tidak konstan” • Mungkinkah kita melihat/mengobservasi volatilitas pada data yang saling bebas dan berdistribusi identik? Diskusi: • Pandang proses stokastik {ϵt } dengan ϵt ∼ N (0, 1). Bagaimana perilaku volatilitasnya? • Bagaimana dengan model stokastik berikut: Yt = ϵt , ϵt ∼ N (0, σ 2 ), Yt = σ ϵt , ϵt ∼ N (0, 1), Yt = σt ϵt , ϵt ∼ N (0, 1), • Berikan model volatilitas yang baik! Misalkan {Rt } proses stokastik return. Mean dan variansi bersyaratnya adalah mt = E(Rt | ·) dan ht = E((Rt − mt )2 | ·) Dapatkah anda menghitung “volatility of volatility”?
2.4
Kestasioneran
Pandang data dan perhatikan mean dan variansi menurut waktu. Apa yang dapat anda simpulkan? Mungkinkah mean dan variansi akan konstan untuk waktu yang akan datang? Diskusi: • Kestasioneran merupakan sifat/karakteristik dari data deret waktu. • Jenis kestasioneran: kuat (strong stationarity) dan lemah (weak stationarity atau covariance stationary) MA6281 AnDat.Copula
3
K. Syuhada, PhD.
2.5
Prediksi
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak berukuran n dari X yang berdistribusi G. Dapatkah kita memprediksi observasi masa depan? Apa prediktor terbaik untuk Xn+1 ? Diskusi: • Lakukan simulasi untuk melihat prediksi masa depan; hubungkan dengan fungsi distribusi! • Apakah yang anda tahu tentang konsep pivotal? • Bagaimana menguji keakuratan prediksi? Misalkan proses stokastik {Xt } dengan distribusi peluang ditentukan oleh vektor parameter ω. Misalkan data yang tersedia adalah X1 , X2 , . . . , Xn . Dapatkah kita memprediksi observasi masa depan?
MA6281 AnDat.Copula
4
K. Syuhada, PhD.
BAB 3 Konsep Copula 3.1
Pengantar: Copula atau Asosiasi?
Misalkan kita memandang dua peubah acak yang tidak saling bebas. Apa yang dapat kita lakukan pada keduanya? • Mencari hubungan/asosiasi • Menentukan fungsi distribusi/peluang bersama Jika kita mencari/mengukur asosiasi dua peubah acak, (i) hal-hal apa saja yang harus kita perhatikan? (ii) bagaimana kita menginterpretasikan nilai asosiasi tersebut? (iii) apabila terjadi ketidaksinkronan antara tafsir intuitif dan numerik, mana yang akan kita jadikan rujukan? Jika kita ingin menentukan fungsi distribusi/peluang bersama/bivariat kedua peubah acak tersebut, bagaimana kita melakukannya? untuk apa?
3.2
Konsep dan Manfaat Copula
Peubah acak-peubah acak dapat dihubungkan (linked) karena setiap peubah acak memiliki fungsi distribusi (kumulatif); saat kita memiliki dua peubah acak atau lebih maka akan dipunyai fungsi distribusi bersama. Namun, mengonstruksi fungsi distribusi bersama tidak mudah, bahkan sering kali kita tidak dapat memperoleh fungsi distribusi bersama tersebut. Dengan kata lain, misalkan kita punyai peubah acak-peubah acak X dan Y , bagaimana kita dapat membentuk HX,Y (x, y) ? 1
Copula adalah salah satu teknik untuk mendapatkan fungsi distribusi bersama. Selain itu, dengan Copula kita akan memperoleh manfaat sebagai berikut: • ketidakharusan syarat identik untuk distribusi marginal-distribusi marginal • deteksi asosiasi tak linier dari peubah acak-peubah acak Pandang poin pertama diatas. Jika setiap peubah acak dapat ditransformasi melalui f.d. ke suatu nilai diantara nol dan satu, mengapa tidak kita langsung mengambil sampel acak dari distribusi Uniform dengan parameter (0, 1)? Copula adalah fungsi distribusi. • Perlukah kita membuktikan ini? Mungkinkah ada fungsi yang bermain diantara nilai nol dan satu namun bukan fungsi distribusi? • Apakah manfaat fungsi distribusi bersama? kuantilnya?
Dapatkah kita mencari
Copula membantu kita untuk mengaitkan dua peubah acak melalui fungsi distribusi. Adakah manfaat lain dari Copula? • Menentukan distribusi fungsi peubah acak seperti X + Y dan ukuran lain yang membutuhkan f.d. bersama darinya, misalnya... • Mengukur ukuran kebergantungan/asosiasi (iya gitu?)
3.3
Ukuran Kebergantungan
Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak (atau kerugian acak yang menyatakan risiko). Ukuran kebergantungan atau dependence measure untuk (X, Y ) adalah (a) Korelasi linier Pearson atau Pearson linear correlation (b) Korelasi ranking atau rank correlation (c) Koefisien kebergantungan ekor atau coefficients of tail dependence, Ukuran (b) dan (c) digolongkan sebagai ukuran kebergantungan berbasis copula (copula-based dependence measures). Dengan kata lain, ukuran (b) dan (c) dapat dinyatakan dalam Copula. Perhatikan bahwa perbedaan antara asosiasi (association) dan korelasi (correlation) adalah bahwa korelasi adalah asosiasi linier. MA6281 AnDat.Copula
2
K. Syuhada, PhD.
Seperti sudah dinyatakan sebelumnya, ukuran asosiasi rank correlation adalah satu ukuran kebergantungan yang dapat dinyatakan dalam copula. Ukuran asosiasi Kendall’s τ , misalnya, adalah ∫ ∫ τ =4 C(u, v) dC(u, v) − 1, yang dapat ditunjukkan secara teoritis. Ukuran yang lain adalah Spearman’s ρ: ∫ ∫ ρ = 12 C(u, v) dudv − 3. Catatan: Ukuran asosiasi Pearson’s correlation tidak dapat dinyatakan dalam copula. Korelasi linier Pearson bersifat invariant under strictly increasing linear transformations. Artinya, ρ(a1 + b1 X1 , a2 + b2 X2 ) = ρ(X1 , X2 ). Namun demikian, tidak invariant under nonlinear strictly increasing transformations. Selain itu, korelasi hanya terdefinisi jika variansi X1 dan X2 hingga. Pandang contoh berikut (Cherubini dkk, 2004, hal.100,102): Data mingguan dua indeks saham DAX30 dan S&P500 pada periode Januari 1992 hingga Juni 2001 (n = 248). Nilai asosiasi yang diperoleh adalah • Kendall’s τ : 0.44 • Spearman’s ρ: 0.67 • Pearson’s ρ: 0.67 Dari ketiga nilai asosiasi tersebut kita dapat menduga tidak adanya hubungan linier yang kuat antara kedua peubah acak ini. Catatan: Umumnya Pearson’s ρ ≤ Spearman’s ρ.
3.4
Copula, Kebergantungan, dan VaR
Perhatikan ilustrasi berikut: Jika X1 dan X2 saling bebas maka korelasi linier Pearson ρ(X1 , X2 ) = 0, namun tidak berlaku sebaliknya. Contoh (McNeil dkk, 2005, hal.203):
MA6281 AnDat.Copula
3
K. Syuhada, PhD.
• Pandang model 1: (X1 , X2 ) berdistribusi normal bivariat standar dimana X1 dan X2 saling bebas (artinya ρ(X1 , X2 ) = 0), • Model 2: (Y1 , Y2 ) = (X1 , V X1 ), dimana V adalah peubah acak diskrit sedemikian hingga P (V = 1) = P (V = −1) = 0.5. Model 2 memiliki distribusi marginal normal dan ρ(Y1 , Y2 ) = 0 namun Y1 dan Y2 tidak saling bebas atau saling bergantung. Kita ingin menentukan distribusi X1 + X2 dan Y1 + Y2 untuk kemudian menghitung (1 − α)-kuantil dari distribusi-distribusi tersebut (selanjutnya, kuantil ini akan didefinisikan sebagai V aR1−α . Kita akan gambarkan nilai-nilai kuantil untuk kedua distribusi tersebut pada α ∈ (0, 0.10). Karena Xi ∼ N (0, 1) maka X1 + X2 ∼ N (0, 2). VaR, pada tingkat peluang 1 − α, adalah nilai x sedemikian hingga ( P
P (X1 + X2 ≤ x) = 1 − α ) X1 + X2 x √ ≤√ =1−α 2 2 ( ) x Φ √ =1−α 2
Jadi, V aR1−α (X1 + X2 ) = x =
√ −1 2 Φ (1 − α).
Sementara itu, Y1 + Y2 = 2X1 ∼ N (0, 4) dengan peluang 1/2. Artinya ( P
P (Y1 + Y2 ≤ y) = 1 − 2 ) Y1 + Y2 y ≤ = 1 − 2α 2 2 (y ) = 1 − 2α Φ 2
MA6281 AnDat.Copula
4
K. Syuhada, PhD.
Jadi, V aR1−α (Y1 + Y2 ) = y = 2Φ−1 (1 − 2α). Plot kedua VaR adalah sebagai berikut. Perhatikan bahwa nilai VaR jumlahan risiko tidak bergantung pada distribusi marginal sifat korelasi.
3.5
“More on Copula”
Pandang dua peubah acak X dan Y memiliki f.d. berturut-turut FX dan GY . Kita dapat membentuk peubah acak baru U = FX (X) dan V = GY (Y ). Fungsi distribusi bersama dari X dan Y adalah HX,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) = C(u, v), dimana C(u, v) adalah Copula. Teorema Sklar (Tse, 2009, hal.367) Misalkan H fungsi distribusi bersama dengan fungsi distribusi marginal (margin) F dan G. Terdapat suatu Copula untuk semua (x, y) sedemikian hingga H(x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) = C(P (X ≤ x), P (Y ≤ y)) = C(F (x), G(y)) = C(u, v), Sedangkan fungsi (kepadatan) peluang atau pdf (probability density function) yang berkorespondensi adalah hX,Y (x, y) = fX (x)gY (y)c(u, v), dimana c(u, v) =
∂ 2 C(u, v) ∂u∂v
adalah densitas Copula. Perhatikan bahwa c(u, v) = 1 jika X dan Y saling bebas. Sebaliknya, jika c(u, v) ̸= 1 maka X dan Y saling bergantung (dependent). Copula adalah salah satu ukuran kebergantungan atau ukuran asosiasi (measure of dependence). Sifat-sifat Copula adalah sebagai berikut (analog dengan sifat fungsi distribusi univariat): • Grounded MA6281 AnDat.Copula
5
K. Syuhada, PhD.
• Uniform marginals • Two-Increasing Untuk setiap Copula C(u, v), terdapat batas-batas, disebut “Frechet bounds”, max{u + v − 1, 0} ≤ C(u, v) ≤ min{u, v}. Batas-batas ini juga membentuk Copula: countermonotonicity dan comonotonicity Copula, yang menunjukkan perfectly negatively/positively dependent. Copula dapat dikategorikan menjadi • fundamental Copula • implicit Copula • explicit Copula dimana tiap kategori memberikan ”manfaat” yang berbeda dalam kaitannya dengan ukuran kebergantungan. Kita pandang salah satu kelompok explicit Copula yaitu kelas Archimedean Copula yaitu Clayton Copula, misalnya, H(x, y) = CC (u, v; θ) = (u−θ + v −θ − 1)−1/θ , dimana θ ∈ [−1, ∞) dan densitas Copula: c(u, v) =
1+θ (u−θ + v −θ − 1)−2−1/θ , (u, v)1+θ
untuk 0 ≤ u, v ≤ 1. Kita dapat menentukan syarat-syarat agar model Clayton Copula dapat dikatakan sebagai model yang baik.
MA6281 AnDat.Copula
6
K. Syuhada, PhD.
