BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
Bab 7: Beberapa Topik Lanjut 1 Representasi Low Pass dari Sinyal Bandpass Tujuan Belajar 1 Peserta dapat melakukan sampling sinyal bandpass secara effisien, melalui teknik LP representation dari sinyal BP. Motivasi : x(n)
BPF
Analog
A/D
Misalkan x(t) adalah band-pass signal, maka dapat dibentuk representasi matematis sebagai berikut : X + ( F ) = 2V ( F ) X ( F ) dimana V(F) adalah unit step function X(F) adalah transformasi Fourier dari x(t) maka x+ (t ) =
∞
∫X
+
( F )e j 2πFt dF
−∞
x+ (t ) = F −1[2V ( F )] * F −1 [X ( F )] yaitu analytic or preenvelope of x(t) karena F −1 [ X ( F )] = x(t ) dan F −1 [2V ( F )] = δ (t ) + maka j x+ (t ) = δ (t ) + * x(t ) πt
VIII-1
j πt
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
1 * x(t ) = x(t ) + jxˆ (t ) πt ∞ 1 1 x(τ ) xt bila xˆ (t ) ≡ * x(t ) = ∫ dτ πt π −∞ t − τ = x(t ) + j
()
h(t)
xˆ (t )
∞
H ( F ) = ∫ h(t )e − j 2πFt dt −∞
− j F > 0 ∞ 1 1 − j 2πFt = ∫ e dt = 0 F = 0 π −∞t j F <0 1 − π F > 0 H (F ) = 1 θ (F ) = 2 1 π F <0 2 terjadi beda fasa sebesar 90o untuk semua frekuensi Representasi lowpass dari x+(t) dapat dinyatakan sebagai : 1. X l ( F ) ≡ X + ( F + Fc ) xl (t ) = x + (t )e − j 2πFc t
atau
= [x(t ) + jxˆ (t )]e − j 2πFct x(t ) + jxˆ (t ) = xe (t )e j 2πFct xe (t ) = uc (t ) + ju s (t ) → complex x(t ) = uc (t ) cos 2πFc t − u s (t ) sin 2πFc t xˆ (t ) = uc (t ) sin 2πFc t + u s (t ) cos 2πFc t
Komponen frekuensi rendah uc(t) dan us(t) dapat dilihat sebagai amplitude modulations dengan sinyal carrier masing-masing adalaah cos2πFct dan sin2πFct. Karena komponen carrier ini dalam fasa quadrature maka uc(t) dan us(t) disebut quadrature components dari bandpass signal x(t)
{
2. x(t ) = Re [uc (t ) + ju s (t )]e j 2πFct xe(t)
{
}
}
= Re xe (t )e jπFct ⇒ complex envelope of x(t) ⇒ equivalent lowpass signal
3. xe (t ) = a (t )e jθ (t ) dimana a (t ) = uc (t ) + u s (t ) dan θ (t ) = tan −1 2
2
VIII-2
u s (t ) uc (t )
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
[
[
]
]
maka x(t ) = Re xe (t )e j 2πFct = Re a (t )e j [2πFct +θ (t ) ] = a(t ) cos[2πFc t + θ (t )] a(t) adalah envelope x(t) dan θ(t) adalah sudut fasa dari x(t) Hubungan antara spektrum bandpass signal dan representasi lowpass dari BPS. X (F ) =
∞
∫ x(t )e
− j 2πFt
dt
−∞
=
∞
∫ {Re[x (t )e
j 2πFc t
e
−∞
(
]}e
− j 2πFt
dt
)
1 ξ +ξ* 2 ∞ 1 * ⇒ X ( F ) = ∫ x e (t)e j2πFc t + xe (t )e − j 2 Fc t e- j2πFtdt 2 -∞ Re(ξ ) =
[
=
]
[
1 * X e ( F − Fc ) + X e (− F − Fc ) 2
]
Spectrum dari X(F) dapat diperoleh dari XL(F) dengan frekuensi translasi. Sampling BPS.
Nyquist → 2B2 samples/sec → geser
Fc =
B1 + B2 2
⇒ sampling terhadap low pass ⇒ shifting ⇒ xe j 2πFct = cos 2πFc t + j sin 2πFc t ⇒ lowpass filter to remove signals at 2Fc B B − B1 → Bandwidth ⇒ ≡ 2 ⇒ Nyquist B samples/sec 2 2 ⇒ terdapat 2B samples/sec
VIII-3
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
Sampling x(t) at comparable rates Let upper frequency = Fc + B/2 = kB
↓ positive integer bila x(t) → sample at 2B = 1/T sample/sec x(nT ) = U c (nT ) cos 2πFc nT − U s (nT ) sin 2πFc nT = U c (nT ) cos
karena Fc = kB −
πn(2k − 1) πn(2k − 1) − U s (nT ) sin 2 2
B dan 2
T=
1 2B
⇒ n genap = 2m x(2mT ) ≡ x(mT1 ) = uc (mT1 ) cos πm(2k − 1) = (-1)m uc (mT1 )
⇒ n ganjil = 2m - 1
• •
T T x(2mT − T ) ≡ x mT1 − 1 = u s mT1 − 1 (− 1) 2 2 Jadi even-numbered samples of x(t) yang muncul dengan rate B samples/sec, menghasilkan samples dari LPF uc(t) Odd-numbered samples of x(t) (juga dengan B samples per second) menghasilkan us(t)
Rekonstruksi xe(t) dari
uc(mT1) Us(mT1-T1/2)
Let T1 = 1/B
VIII-4
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
π sin (t − mT1 ) T ⇒ uc (t ) = ∑ uc (mT1 ) 1 π −∞ (t − mT1 ) T1 ∞
π T sin t − mT1 + 1 2 T T u s (t ) = ∑ u s (mT1 − 1 ) 1 2 π T −∞ t − mT1 + 1 2 T1 karena x(t ) = uc (t ) cos 2πFc t − u s (t ) sin 2πFc t ∞
maka x(t ) =
π sin (t − 2mT ) 2T m cos 2πFc t + (− 1) x(2mT ) π / 2T (t − 2mT )
∞
∑
m = −∞
π sin (t − 2mT + T ) 2T m +1 + (− 1) x((2M − 1)T ) sin 2πFc t π (t − 2mT + T ) 2T
(− 1)m cos 2πFct = cos 2πFc (t − 2mT ) m+ k dan (− 1) sin 2πFc t = cos 2πFc (t − 2mT + T )
tetapi
π sin (t − mT ) 2T cos 2πFc (t − mT ) ⇒ x(t ) = ∑ x(mT ) π m = −∞ (t − mT ) 2T T = 1/2Bs ∞
Secara Umum : B Fc ≥ 2 B Fc + 2 r= B
B → B1 ⇒
B
B 2 =r 1
Fc +
B B B1 1 ⇒ Fc = Fc + − 2 2 B cut off = Fc + = r.B1 2
B'
VIII-5
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
π sin + 1 t − mT 1 2 ⇒ x(t ) = ∑ x(n + 1) cos 2πFc1 t − mT 1 π n = −∞ + 1 t − mT 1 2 ⇒ x(t) can be represented by samples taken by 1 r1 = 2 B s/s, di mana T1 r B Fc + 2 = Fc + 1 dan r = r 1 r1 = B B 2 B r1 Jadi bila Fc + is not rB , sampling rate musti naik by 2 r 1 r Tetapi begitu Fc/B naik, →1 % increase tends to φ of sampling r
(
∞
)
(
(
)
)
[ ]
rate
Ctt. π sin 1 t − 2nT 1 n 2T uc (t ) = ∑ (− 1) x 2nT 1 π 1 n = −∞ 1 t − 2nT 2T π sin 1 t − 2nT 1 + T 1 ∞ n + r +1 2T u s (t ) = ∑ (− 1) x 2nT 1 − T 1 π 1 1 n = −∞ 1 t − 2nT + T 2 T r = [r1] ⇒ 2B ≤ Fs < 4B ↓ ↓ bila r = 1 r1 ≈ 2 (worst condition) bila Fc+B/2 = rB ∞
dan
(
(
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
2 Pemrosesan Sinyal Analog Secara Digital Tujuan Belajar 2 Peserta dapat melakukan pemrosesan sinyal waktu kontinu di domain waktu diskrit.
VIII-6
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
Gambar diatas adalah konfigurasi umum pemroses digital dari sinyal analog. Pertamatama yang perlu diperhatikan adalah besarnya bandwidth dari sinyal yang akan diproses, karena besarnya bandwidth menentukan sampling rate minimum. Prefilter, adalah sebuah antialiasing filter yaitu filter analog dengan dua fungsi. Pertama, memastikan bahwa bandwidth dari sinyal yang akan disampling terbatas pada frekuensi yang telah ditentukan, jadi semua komponen frekuensi diatas Fs/2 diredam agar distorsi sinyal akibat aliasing dapat dihilangkan. Fungsi kedua antialiasing filter adalah untuk membatasi spektrum noise dan interferensi lainnya. Setelah menentukan prefilter dan memilih sampling rate yang dikehendaki, selanjutnya adalah merancang algoritma pemrosesan sinyal. Pemilihan sampling rate Fs = 1/T, dimana T adalah interval sampling, tidak sekedar menentukan frekuensi tertinggi yang akan diproses tetapi juga sebagai faktor skala yang berpengaruh pada spesifikasi filter digital dan sistem waktu diskrit yang diproses. Contoh : Terdapat sinyal analog dengan bandwidth 3000 Hz dan disampling pada 8000 Hz, hendak dirancang sebuah differensiator. Dalam hal ini, Fs = 8000 Hz mempunyai folding frequency 4000 Hz, yang dalam sistem waktu diskrit sesuai dengan ω = π. Jadi bandwidth sinyal 3000 Hz sesuai dengan frekuensi ωc = 0.75π. Jadi, differensiator yang dirancang akan mempunyai passband pada 0 ≤ |ω| ≤ 0.75π.
3 Multirate Signal Processing Tujuan Belajar 3 Peserta dapat menjelaskan motivasi, definisi dan untung-rugi teknik multirate DSP, termasuk konversi sampling rate. Sampling rate conversion dapat dilihat sebagai sebuah proses linear filtering
x(n) Fx=1/Tx
y(n)
Linear Filter
Fy=1/Ty
h(n,m)
Tujuannya adalah untuk merubah frekuensi sampling Fy I = → Relatively Prime Integers Fx D Sampling rate conversion dapat dianggapa sebagai proses digital resampling dari sinyal analog yang sama.
VIII-7
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
y(m) adalah versi x(n) dengan waktu tergeser. Realisasi dapat dilakukan dengan menggunakan linear filter dengan - flat magnitude response - linear phase response ⇒ e − jωτ i ↓ time delay ⇒ delay τi berbeda dari sample ke sample ⇒ gunakan sejumlah e-jωτI untuk semua τI Sampling rate convesion dapat berupa desimasi (down sampling) dengan faktor D atau interpolasi (up sampling) dengan faktor I. Tujuan Belajar 4 Peserta mengerti proses desimasi dengan faktor D, beserta karakteristik di domain frekuensi Misal x(n) dengan spektrum X(ω) ingin dilakukan down-sampling dengan faktor D X(ω) non zero 0 ≤ |ω| ≤ ω |F| ≤ Fx/2 Bila x(n) langsung disubsampling maka terjadi aliasing. Jadi x(t) difilter dulu agar bandwitdth menjadi Fmax= Fx/2D atau ωmax= π/D
Karena HD(ω) menghapus π/D < ω < π maka signal yang dikehendaki tidak boleh ada di daerah yang dihapus tersebut Keluaran dari filter, v(n) adalah ∞
v ( n ) = ∑ h( k ) x ( n − k ) k =0
Down-sampling dengan faktor D y (m) = V (mD) ∞
= ∑ h(k)x(mD-k) k =0
→ time variant system] x(n) → y(m) x(n-no) → y(n-no)
kecuali bila no = kD
Karakteristik frekuensi :
VIII-8
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
V (n) n = 0, ± D, ± 2D Misalkan Vˆ (n) = otherwise 0 maka vˆ(n) = v(n) × p (n) ↑ periodic train of impulses p(n) dengan perioda D p (n) =
1 D −1 j 2πkn / D ← Fourier Series ∑e D k =0
D=3 Jadi
vˆ(n) = v(n) p (n) dan y (m) = v(mD) = v(mD) p (mD) = v(mD)
Y ( z) =
∞
∑
y ( m) z − m =
m = −∞
Y ( z) =
∞
∑ vˆ(mD) z
−m
m = −∞
∞
∑ vˆ(m) z
−m / D
m = −∞
karena Vˆ (m) = 0 kecuali pada kD 1 D −1 j 2πmk / D −m / D v ( m ) ∑ D ∑e z m = −∞ k =0 D −1 ∞ 1 Y ( z ) = ∑ ∑ v(m) e − j 2πk / D z1 / D D k =0 m= −∞ ∞
maka Y ( z ) =
(
(
)
)
=
1 D −1 ∑V e − j 2πk / D z1/ D D k =0
=
1 D −1 H D e − j 2πk / D z1 / D X e − j 2πk / D z1 / D ∑ D k =0
(
) (
karena V(z) = HD(z)X(z) pada z = ejω maka ω y =
) 2πF = 2πFTy Fy
Fx 2πF → ω y = Dω x karena ω x = = 2πFTx D Fx π down sampling ⇒ 0 ≤ ω x ≤ ditarik ke 0 ≤ ω y ≤ π D ω y − 2πk ω y − 2πk 1 D −1 X Jadi Y (ωy ) = ∑ H D D D D k =0 Fy =
Bila HD didesain dengan baik, tidak terjadi aliasing ωy ωy 1 ωy 1 Y (ωy ) = H D X = X D D D D D
VIII-9
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
0 ≤ |ωy| ≤ π
Tujuan Belajar 5 Peserta mengerti proses interpolasi dengan faktor I, beserta karakteristik di domain frekuensi Interpolasi adalah mengisi mengisi I-1 sample diantara sample dengan nilai 0. x(m / I ) m = 0,± I ,±2 I ,... v(m ) = 0 otherwise rate v(m) = rate y(m) V (z ) =
∞
∑ v(m)z
−m
m = −∞ ∞
∑ v(m)z ⇒ V (ω ) = X (ω I ) =
− mI
( )
= X zI
m = −∞
y
y
relatif terhadap Fy , ω y = 2πF / Fy ⇒ Fy = IFx → ω y =
ωx I
VIII-10
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
(
CX ω y I Y (ω y ) = 0
π I otherwise
)
0 ≤ ωy ≤
C dipilih agar y(m) = X(m/I) untuk m = 0, ±1, ±2, ±… Pada m = 0 π π /I 1 C y (0) = Y (ω y )dω y = X (ω y I )dω y 2π −∫π 2π −π∫/ I karena ωy = ωx/I, C 1 y (o ) = I 2π
π
C ∫ X (ω )d (ω ) = I x(o) x
x
−π
⇒C = I
Akhirnya, y (m) = V (n ) * h(n ) y ( m) =
∞
∑ h(m − k )v(k )
k = −∞
=
∞
∑ h(m − kI )x(k )
k = −∞
karena v(k) = 0, kecuali k = nI Tujuan Belajar 6 Peserta dapat melakukan konversi sampling rate dengan faktor rasional I/D
VIII-11
BAB 7 Beberapa Topik Lanjut
x(n)
I H (ω v ) =
↑I
v(k)
h(e)
ω(l)
↓D
0 ≤ ω ≤ min(π / D,π / I ) 2πF 2πF ω x dimana ω v = = = Fv IFx I 0 otherwise
l x l = 0,± I ,±2 I ,... V (l ) = I 0 otherwise
VIII-12
y(m)
