2012-a3b2/4dvr.tex
4. Parciální derivace a diferenciál 2. řádu Příklad 1. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar 2. diferenciálu, jeho hodnotu v daných bodech a jeho matici. a) f (x, y) = x2 + 3xy 3 − 4x + 2y + 5, a = (1, 0), b = (−1, 2). Řešení. Definičním oborem dané funkce je množina Df = R2 a funkce má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: ∂f = 2x + 3y 3 − 4, ∂x a
∂f = 9xy 2 + 2, ∂y
∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f = 2, = 18xy, = = 9y 2 . 2 2 ∂x ∂y ∂x∂y ∂y∂x Dosazením souřadnic daných bodů dostaneme: ∂ 2f (a) = 0, ∂y 2
∂ 2f (a) = 2, ∂x2
∂ 2f (a) = 0. ∂x∂y
∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f (b) = 2, (b) = −36, (b) = 36. ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y Po dosazení parciálních derivací do vzorce pro 2. diferenciál dostaneme d2 f = 2 dx2 + 18y 2 dxdy + 18 xy dy 2 , tedy d2 f (a) = 2 dx2 ,
d2 f (b) = 2 dx2 + 72 dxdy − 36 dy 2 .
Pro matice kvadratických forem 2. diferenciálu dostaneme
d2 f (a) :
2, 0 0, 0
d2 f (b) :
2, 36 36, −36
b) f (x, y) = ln(x + 2y), a = (2, 1), b = (0, −1). Řešení. Definičním oborem dané funkce je množina (polorovina) Df = {(x, y); x + 2y > 0} a funkce má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: 1 ∂f = , ∂x x + 2y
∂f 2 = , ∂y x + 2y 23
a
−1 ∂ 2f −4 ∂ 2f −2 ∂ 2f = , = , = . ∂x2 (x + 2y)2 ∂y 2 (x + 2y)2 ∂x∂y (x + 2y)2 Dosazením souřadnic daných bodů dostaneme: 1 ∂ 2f ( a ) = − , ∂x2 16
∂ 2f 1 ( a ) = − , ∂y 2 4
∂ 2f 1 (a) = − . ∂x∂y 8
Bod b = (0, −1) není bodem definičního oboru funkce, tudíž nelze v tomto bodě počítat parciální derivace, i když se souřadnice tohoto bodu dají do vyjádření pro derivace dosadit. Po dosazení parciálních derivací do vzorce pro 2. diferenciál dostaneme d2 f =
1 2 2 −dx − 4 dxdy − 4 dy , (x + 2y)2
tedy 1 1 1 dx2 − dxdy − dy 2 . 16 4 4 Pro matici kvadratické formy 2. diferenciálu dostaneme d2 f (a) = −
−1 , 16 −1 8 ,
d2 f (a) :
−1 8 −1 8
Příklad 2. Určete diferenciál d2 f druhého řádu funkce f = f (x, y) v obecném bodě (x, y) a v daných bodech. Napište obecný tvar 2. diferenciálu, jeho hodnotu v daných bodech a jeho matici. a) f (x, y) = 3x3 − 2x2 y + 5xy 2 − 6x + 3y − 10, a = (1, −1). Řešení. Definičním oborem dané funkce je množina Df = R2 a funkce má spojité derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: ∂f = 9x2 − 4xy + 5y 2 − 6, ∂x
∂f = −2x2 + 10xy + 3, ∂y
∂ 2f ∂ 2f = 18x − 4y, = 10x, ∂x2 ∂y 2 tudíž v obecném bodě (x, y) ∈ Df je
∂ 2f = 10y − 4x, ∂x∂y
d2 f = (18x − 4y)dx2 + 2(10y − 4x)dxdy + 10xdy 2 .
24
Po dosazení souřadnic daného bodu dostaneme, že d2 f (1, −1) = 22dx2 − 28dxdy + 10dy 2 . Pro matici kvadratické formy 2. diferenciálu dostaneme
d2 f (a) :
22, −14 −14, 10
x , a = (1, 3), b = (−3, 0). y Řešení. Definičním oborem dané funkce je množina Df = {(x, y); y 6= 0} a funkce má spojité derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: b) f (x, y) =
∂f 1 = , ∂x y
∂f x = − 2, ∂y y
∂ 2f = 0, ∂x2
∂ 2f 2x = , ∂y 2 y3
∂ 2f 1 = − 2, ∂x∂y y
tudíž v obecném bodě (x, y) ∈ Df je d2 f = −
2x 2 2 dxdy + dy . y2 y3
Po dosazení souřadnic bodu a = (1, 3) dostaneme, že 2 2 d2 f (1, 3) = − dxdy + dy 2 . 9 27 Bod b = (−3, 0) není bodem definičního oboru funkce, tudíž druhý diferenciál v tomto bodě nelze počítat. Pro matici kvadratické formy 2. diferenciálu dostaneme
d2 f (a) :
0, −1 9 ,
−1 9 2 27
Příklad 3. Určete diferenciál d2 f druhého řádu funkce f = f (x, y, z) v obecném bodě (x, y, z) a v daných bodech. Napište obecný tvar 2. diferenciálu, jeho hodnotu v daných bodech a jeho matici. 1 a) f (x, y, z) = √ 2 , a = (1, 0, −1). x + y2 + z2 Řešení. Definičním oborem dané funkce je množina Df = {(x, y, z); (x, y, z) 6= o} a funkce má spojité derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: ∂f −x ∂f −y ∂f −z q q =q 2 , = , = . ∂x (x + y 2 + z 2 )3 ∂x (x2 + y 2 + z 2 )3 ∂x (x2 + y 2 + z 2 )3 25
Při výpočtu využijeme shody funkce v jednotlivých proměnných. ∂ 2f = ∂x2 ∂ 2f = ∂xy ∂ 2f = ∂z 2
−1 3x2 q q = (x2 + y 2 + z 2 )3 (x2 + y 2 + z 2 )5 q
−1 3y 2 q = (x2 + y 2 + z 2 )3 (x2 + y 2 + z 2 )5
−1 3z 2 q q = (x2 + y 2 + z 2 )3 (x2 + y 2 + z 2 )5
∂ 2f = ∂x∂y
3xy q , (x2 + y 2 + z 2 )5 ∂ 2f = ∂z∂y
∂ 2f = ∂x∂z
q
2x2 − y 2 − z 2 q , (x2 + y 2 + z 2 )3 2y 2 − x2 − z 2 , (x2 + y 2 + z 2 )3
q
2z 2 − y 2 − x2 q , (x2 + y 2 + z 2 )3
3xz , (x2 + y 2 + z 2 )5
3zy , (x2 + y 2 + z 2 )5 tudíž v obecném bodě (x, y, z) ∈ Df je d2 f =
q
q
1 (2x2 − y 2 − z 2 )dx2 + (2y 2 − x2 − z 2 )dy 2 + 2 2 2 5 (x + y + z )
(2z 2 − y 2 − x2 )dz 2 + 6xydxdy + 6xzdxdz + 6yzdydz .
Po dosazení souřadnic bodu a = (1, 0, −1) dostaneme, že √ 2 2 d2 f (1, 3) = − dx − 2dy 2 + dz 2 − 6dxdz . 8 Pro matici kvadratické formy 2. diferenciálu dostaneme √ 1, 0, −3, 2 d2 f (a) : 0, −2, 0 8 −3, 0, 1 Příklad 4. Určete diferenciál d2 f druhého řádu funkce −
f = f (x) = e
n P i=1
x2i
v obecném bodě x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Napište jeho obecný tvar a jeho matici. Řešení. Funkce je definovaná a má spojité parciální derivace všech řádu v celém Rn . Pro derivace 1. řádu dostaneme podle pravidla o derivaci složené funkce vzorec n P
− x2i ∂f i=1 = (−2xk ) e , ∂xk
26
1 ≤ k ≤ n.
Odtud pro derivace 2. řádu máme vzorce n P
− x2i ∂ 2f 2 i=1 , = (4xk − 2) e ∂x2k
1 ≤ k ≤ n,
n P
− x2i ∂ 2f i=1 , 1 ≤ k, j ≤ n, k 6= j. = 4xk xj e ∂xk ∂xj Dosazením dostaneme vzorec pro diferenciál funkce ve tvaru −
d2 f = e
n P i=1
x2i
n X
n X
(4x2k − 2) dx2k +
k=1
4xk xj .
k,j=1,k6=j
Matice diferenciálu je symetrická a má tvar
d2 f :
n P
−
e
i=1
x2i
4x21 − 2, 4x1 x2 , 4x2 x1 , 4x22 − 2, ..., ..., 4xn x1 , 4xn x2 ,
. . . , 4x1 xn . . . , 4x2 xn ..., ... . . . , 4x2n − 2
Neřešené úlohy Úloha 1: Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. a) f (x, y) = ln(x2 + y 2 ), a = (1, 0), b = (−1, 1). [Df = R2 − {(0, 0)} a funkce má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny; 2 −x2 ) 2 −y 2 ) 2 2 ∂f ∂2f = x22x , ∂f = x22y ; ∂∂xf2 = 2(y , ∂∂yf2 = 2(x , ∂x∂y = (x−4xy 2 +y 2 )2 . ∂x +y 2 ∂y +y 2 (x2 +y 2 )2 (x2 +y 2 )2 ∂2f (a) ∂x2
= −2,
∂2f (a) ∂y 2
∂2f (a) ∂x2
(x +y) x2 +y 2 x2 +y 2f 2f ∂ ∂ 3 −1 = 7√7 , ∂y2 (a) = 28√7 , ∂x∂y (a) = 7√1 7 .
= 2,
∂2f (a) ∂x∂y
= 0;
∂2f (b) ∂x2
= 0,
∂2f (b) ∂y 2
∂2f (b) ∂x∂y
= 1.] √ 2 b) f (x, y) = x + y, a = (−2, 3), b = (1, −1), c = (1, −5). [Df = {(x, y); x2 + y ≥ 0} a funkce má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech množiny {(x, y); x2 + y > 0}. 2 2 ∂f ∂2f = √ x , ∂f = √ 1 ; ∂∂xf2 = √ 2y 3 , ∂∂yf2 = √ −12 3 , ∂x∂y = √ −x2 3 ; ∂x ∂y 4
= 0,
(x +y)
2
(x +y)
V bodě b = (1, −1) parciální derivace neexistují. Bod c = (1, −5) není bodem definičního oboru dané funkce, parciální derivace nelze počítat.] c) f (x, y) = 3 cos (2x − 3y + 5), a = (2π, −π), b = ( π2 , −π). [Df = R2 a funkce má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. ∂f = −6 sin (2x − 3y + 5), ∂f = 9 sin (2x − 3y + 5); ∂x ∂y 2 ∂2f ∂2f = −12 cos (2x − 3y + 5), ∂∂yf2 = −27 cos (2x − 3y + 5), ∂x∂y ∂x2 2 ∂2f ∂2f (a) = 12 cos 5, ∂∂yf2 (a) = 27 cos 5, ∂x∂y (a) = −18 cos 5; ∂x2 2 2 ∂ f ∂2f (b) = −12 cos 5, ∂∂yf2 (b) = −27 cos 5, ∂x∂y (b) = 18 cos 5.] ∂x2
27
= 18 cos (2x − 3y + 5);
d) f (x, y) = arctg(xy). [Df = R2 , ∂f = 1+xy2 y2 , ∂f = ∂x ∂y ∂2f ∂x∂y
=
1−x2 y 2 .] (1+x2 y 2 )2
=
ex , ∂f ex +ey ∂y
=
∂2f ∂x2
ey ; ex +ey
=
f) f (x, y) = x2 y + ln(x + 2y + 1). [Df = {(x, y); x + 2y + 1 > 0}, ∂f = 2xy + ∂x ∂2f
∂2f ∂y 2
=
−4 , (x+2y+1)2
g) f (x, y) = ex −y . 2 = 2xex −y , [Df = R2 , ∂f ∂x
∂f ∂y
= −ex
[ ∂x2 = 2y −
2 −2xy 3 , ∂∂yf2 (1+x2 y 2 )2
=
=
−2x3 y , (1+x2 y 2 )2
e) f (x, y) = ln(e + e ).
∂f ∂x
[Df = R2 ,
∂2f ∂x2
x ; 1+x2 y 2 x y
1 , (x+2y+1)2
∂2f ∂y 2
∂2f ex+y , ∂x∂y (ex +ey )2
=
1 , x+2y+1
∂2f ∂x∂y
∂f ∂y
= 2x −
= x2 +
=
−ex+y .] (ex +ey )2
2 ] x+2y+1
2 .] (x+2y+1)2
2
∂2f ∂x∂y
= −2xe
x2 −y
[Df = R2 ,
2 −y
∂2f ∂x2
;
= (2 + 4x2 )ex
2 −y
,
∂2f ∂y 2
= ex
2 −y
,
.] h) f (x, y) = 3xy + 6x − 5y + 7. ∂f ∂x
= 3y + 6,
∂f ∂y
∂2f ∂x2
= 3x − 5;
= 0,
∂2f ∂y 2
= 0,
∂2f ∂x∂y
= 3.]
Úloha 2: Určete diferenciál d2 f druhého řádu funkce f = f (x, y) v obecném bodě (x, y) a v daných bodech. √ a) f (x, y) = x2 + y 2 , a = (1, 0), b = (0, 0). [Df = R2 a funkce má spojité derivace druhého řádu v bodech množiny R2 −{(0, 0)}. 2 2 2 2 ∂2f ∂f = − √ x2 2 , ∂f = − √ 2y 2 ; ∂∂xf2 = √ 2y 2 3 , ∂∂yf2 = √ x2 2 3 , ∂x∂y = √ −xy ; ∂x ∂y 2 2 3 2
df =
x +y √ 21 2 3 (x +y )
x +y
2
2
2
(x +y ) 2 2
(y dx − 2xydxdy + x dy ) ;
(x +y ) 2
(x +y )
d f (1, 0) = dy . V bodě b = (0, 0) nemá
funkce parciální derivace, tudíž ani diferenciál druhého řádu v tomto bodě neexistuje.]
∂f ∂x 2
b) f (x, y) = arctg(x + y), a = (2, 0), b = (1, −1). [Df = R2 a funkce má spojité derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. −2(x+y) ∂2f ∂2f ∂2f 1 = ∂f = 1+(x+y) 2 ; ∂x2 = ∂y 2 = ∂x∂y = (1+(x+y)2 )2 , ∂y
df=
−2(x+y) (dx2 +2dxdy+dy 2 ); (1+(x+y)2 )2
4 d2 f (2, 0) = − 25 (dx2 +2dxdy+dy 2 ); d2 f (1, −1) = 0.]
c) f (x, y) = ex sin y. [Df = R2 , d2 f = ex (sin ydx2 + 2 cos ydxdy − sin ydy 2 )] d) f (x, y) = 3x − 2y + 5 +
y x
+ xy .
[Df = {(x, y); x 6= 0, y 6= 0}, d2 f =
2y dx2 x3
2
2
− 2 xx2+y dxdy + y2
2x dy 2 ] y3
e) f (x, y) = arctg xy . [Df = {(x, y); y 6= 0}, d2 f =
2 (−xydx2 (x2 +y 2 )2
+ (x2 − y 2 )dxdy + xydy 2 )]
f) f (x, y) = x4 + y 3 − 3x2 y + 5y − 6x + 12. [Df = R2 , d2 f = (12x2 − 6y)dx2 − 12xdxdy + 6ydy 2 ]
28
