MA IPA. Rabu, 18 April 2012 ( )

1

DOKUMEN NEGARA SANGAT RAHASIA

Pembahasan soal oleh http://pak-anang.blogspot.com

D46

MATEMATIKA SMA/MA IPA MATEMATIKA SMA/MA

IPA

Pak Anang http://pak-anang.blogspot.com

MATEMATIKA

Rabu, 18 April 2012 (08.00 – 10.00)

A-MAT-ZD-M20-2011/2012

©Hak

Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan-BALITBANG-KEMDIKBUD

2



MATEMATIKA SMA/MA IPA

MATA PELAJARAN Mata Pelajaran Jenjang Program Studi

: MATEMATIKA : SMA/MA : IPA

WAKTU PELAKSANAAN Hari/Tanggal Jam

: Rabu, 18 April 2012 : 08.00 – 10.00

PETUNJUK UMUM 1.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

Isilah Lembar Jawaban Ujian Nasional (LJUN) Anda sebagai berikut: a. Nama Peserta pada kotak yang disediakan, lalu hitamkan bulatan di bawahnya sesuai dengan huruf di atasnya. b. Nomor Peserta, Tanggal Lahir, dan Paket Soal (lihat kanan atas sampul naskah) pada kolom yang disediakan, lalu hitamkan bulatan di bawahnya sesuai dengan angka/huruf di atasnya. c. Hitamkan bulatan pada kolom Nama Mata Ujian yang sedang diujikan. d. Nama Sekolah, Tanggal Ujian, dan Bubuhkan Tanda Tangan Anda pada kotak yang disediakan. Tersedia waktu 120 menit untuk mengerjakan Paket Soal tersebut. Jumlah soal sebanyak 40 butir, pada setiap butir soal terdapat 5 (lima) pilihan jawaban. Periksa dan laporkan kepada pengawas ujian apabila terdapat lembar soal yang kurang jelas, rusak, atau tidak lengkap. Tidak dizinkan menggunakan kalkulator, HP, tabel matematika atau alat bantu hitung lainnya. Periksalah pekerjaan Anda sebelum diserahkan kepada pengawas ujian. Lembar soal boleh dicoret-coret.

SELAMAT MENGERJAKAN

A-MAT-ZD-M20-2011/2012

©Hak


3

DOKUMEN NEGARA


SANGAT RAHASIA

1.


Persamaan kuadrat x  4 px  4  0 mempunyai akar-akar x1 dan x 2 . Jika x1 x 22  x12 x 2  32 , maka nilai p  .... 𝑥1 𝑥22 + 𝑥12 𝑥2 = 32 A. −4 ⇒ 𝑥1 𝑥2 (𝑥1 + 𝑥2 ) = 32 𝑥1 + 𝑥2 = −4𝑝 B. −2 ⇔ 4(−4𝑝) = 32 𝑥1 . 𝑥2 = 4 ⇔ −16𝑝 = 32 C. 2 32 D. 4 ⇔ 𝑝= −16 E. 8 2

⇔

2.

Persamaan kuadrat 2 x 2  2( p  4) x  p  0 mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah ....Akar-akar real berbeda ⇒ 𝐷 > 0 + − + 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 ≥ 0 A. p  2 atau p  8 2 2 8 ⇒ (2(𝑝 − 4)) − 4 . 2 . 𝑝 ≥ 0 B. p  2 atau p  8 4𝑝2 − 40𝑝 + 64 ≥ 0 Jadi daerah penyelesaian: C. p  8 atau p  2 ⇔ ⇔ 4(𝑝 − 2)(𝑝 − 8) ≥ 0 𝑝 < 2 atau 𝑝 > 8 D. 2  p  8 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ 𝑝 − 2 = 0 atau 𝑝 − 8 = 0 E.  8  p  2 ⇒

3.

𝑝 = −2

𝑝 = 2

𝑝=8

Umur Deksa 4 tahun lebih tua dari umur elisa. Umur elisa 3 tahun lebih tua dari umur Firda. Jika jumlah umur Deksa, Elisa dan Firda 58 tahun, jumlah umur Deksa dan Firda adalah .... 𝑑 =𝑒+4 Jadi, 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 58 A. 52 tahun Misal 𝑒 = 𝑓+3 ⇒𝑓 = 𝑒−3 ⇒ 𝑑 + 19 + 𝑓 = 58 B. 45 tahun 𝑑 = Umur Deksa 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 58 ⇔ 𝑑 + 𝑓 = 58 − 19 C. 42 tahun 𝑒 = Umur Elisa ⇒ (𝑒 + 4) + 𝑒 + (𝑒 − 3) = 58 𝑓 = Umur Firda ⇔ 𝑑 + 𝑓 = 39 D. 39 tahun ⇔ 3𝑒 + 1 = 58 E. 35 tahun ⇔ 3𝑒 = 57 ⇔

4.

𝑒 = 19

Diketahui fungsi f ( x)  2 x  3 dan g ( x)  x  2 x  3. Komposisi fungsi ( g  f )(x)  .... TRIK SUPERKILAT: A. 2 x 2  4 x  9 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) artinya substitusikan 𝑓(𝑥) ke 𝑔(𝑥). 2 = 𝑔(2𝑥 − 3) B. 2 x  4 x  3 Coba ah iseng saya substitusikan 𝑥 = 1 ke 𝑓(𝑥), 2 (2𝑥 = − 3) + 2(2𝑥 − 3) − 3 2 ternyata hasilnya 𝑓(1) = −1. C. 4 x  6 x  18 = (4𝑥 2 − 12𝑥 + 9) + (4𝑥 − 6) − 3 Iseng lagi ah, saya substitusikan 𝑥 = −1 ke 𝑔(𝑥), 2 D. 4 x  8 x = 4𝑥 2 − 8𝑥 ternyata hasilnya 𝑔(−1) = −4. Lalu saya substitusikan 1 ke semua pilihan E. 4 x 2  8 x 2

jawaban. Mana yang hasilnya −4? Ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban E saja!

5.

Diketahui vektor a  i  2 j  x k , b  3 i  2 j  k , dan c  2 i  j  2 k . Jika a tegak lurus c , A. B. C. D. E.

6.

maka −4 −2 0 2 4

 a  b  .  a  c  adalah .... Karena 𝑎⃗ ⊥ 𝑐⃗ ⇒

𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗ = 0 1 2 ⇔ ( 2 ) ∙ (1) = 0 −𝑥 2 ⇔ 2 + 2 − 2𝑥 = 0 ⇔ 𝑥=2

1+3 1−2 (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) ∙ (𝑎⃗ − 𝑐⃗) = ( 2 − 2 ) ∙ ( 2 − 1 ) −2 + 1 −2 − 2 4 −1 =( 0 )∙( 1 ) −1 −4 = −4 + 0 + 4 =0

Diketahui titik A (1, 0, −2), B (2, 1, −1), C (2, 0, −3). Sudut antara vektor AB dengan

AC adalah .... A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° E. 120°

A-MAT-ZD-M20-2011/2012

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = (1, 0, 1) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴 = (1, 0, −1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = cos ∠(𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝐵 1+0−1 = √2√2 =0 ∴ cos 𝜃 = 0 ⇒ 𝜃 = 90° ©Hak

TRIK SUPERKILAT: Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?. Kalau nol pasti siku-siku. Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.




4


7.

MATEMATIKA SMA/MA IPA Proyeksi orthogonal vektor a  4i  j  3k pada b  2i  j  3k adalah .... A. B. C. D. E.

8.


13 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ (2i  j  3k ) Proyeksi 𝑎⃗ 𝑘𝑒 𝑏⃗⃗ = 𝑏 14 |𝑏|2 15 8+1+9 ⃗⃗ (2i  j  3k ) = 2 (2𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 3𝑘 ) 14 (√4 + 1 + 9) 8 18 ⃗⃗ ) (2i  j  3k ) = (2𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 3𝑘 14 7 9 ⃗⃗ ) 9 = (2𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 3𝑘 7 (2i  j  3k ) 7 4i  2 j  6k

1 b4 Diketahui a  4, b  2, dan c  . Nilai ( a 1 ) 2  3 adalah .... c 2 𝑏4 24 1 (𝑎−1 )2 × −3 = (4−1 )2 × A. 𝑐 1 −3 ( ) 2 2 1 16 1 = × B. 16 8 4 1 1 = C. 8 8 1 D. 16 1 E. 32

Lingkaran L   x  1   y  3  9 memotong garis y  3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah .... TRIK SUPERKILAT: PGS lingkaran A. x  2 dan x  4 Memotong garis 𝑦 = 3 2 2 Gunakan sketsa lingkaran B. (𝑥 (3 (𝑥1 + 𝑎)(𝑥 + 𝑎) + (𝑦1 + 𝑏)(𝑦 + 𝑏) = 𝑟 2 𝑦 = 3 ⇒ + 1) + − 3) = 9 x  2 dan x  2 2 (𝑥 + 1) = 9 ⇔ C. x  2 dan x  4 ⇔ 𝑥 + 1 = ±3 (−4, 3) ⇒ (−4 + 1)(𝑥 + 1) + 0 = 9 D. x  2 dan x  4 ⇔ −3𝑥 − 3 = 9 ⇔ 𝑥 + 1 = −3 atau 𝑥+1=3 𝑦=3 E. x  8 dan x  10 ⇔ 𝑥 = −4 ⇔ 𝑥1 = −4 𝑥2 = 2 2

9.

10. Bentuk 𝑥 = −4

𝑥=2

A. B. C. D. E.

2 2 3

2

Jadi titik potongnya di (−4, 3) dan (2, 3)

dapat disederhanakan menjadi bentuk .... 2 3 √2 − 2√3 √2 − 2√3 √2 + √3 43 6 = × √2 − √3 √2 − √3 √2 + √3 4 6 2 + √6 − 2√6 − 6 = 4 6 2−3 −4 − √6 4 6 = −1 4 6 = 4 + √6

A-MAT-ZD-M20-2011/2012

©Hak

(2, 3) ⇒ (2 + 1)(𝑥 + 1) + 0 = 9 ⇔ 3𝑥 + 3 = 9 ⇔ 𝑥=2


5




11. Diketahui log 3  x, log 10  y. Nilai log 120  .... 2

A. B. C. D. E.

2

6

TRIK SUPERKILAT:

Lihat bentuk logaritma. Cari angka yang sama. x  y  2 6 log 120 2 Paksakan angka itu menjadi basis logaritma! x  1 ⇒ log 120 2 log 3 = 𝑥 bertemu 3 tulis 𝑥 2 log 6 x 1 2 } log 10 = 𝑦 bertemu 10 tulis 𝑦 2 log(22 × 3 × 10) 2 x  y  2⇔ 2 bertemu 2 tulis 1 log 2 = 1 log(2 × 3) Ingat tanda kali diganti tambah ya. x 2 log 22 + 2 log 3 + 2 log 10 Cara cepat ini meringkas pengerjaan pada kotak biru ⇔ 2 log 2 + 2 log 3 xy  2 disamping lho! Lihat angka berwarna biru pada cara biasa di samping! xy  2 2 ∙ 2 log 2 + 2 log 3 + 2 log 10 ⇔ 2 log 2 + 2 log 3 Jadi, x faktorkan 2+𝑥+𝑦 sehingga ubah tanda 2 xy ⇔ kali menjadi muncul 1+𝑥 jadikan angka warna tambah,dan 2 x 1 2+𝑥+𝑦 pecahan 120 biru di atas 2 × 3 × 10 6

log 120 ⇒

6

⇒

2×3

⇒

1+𝑥

= 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡

12. Persamaan bayangan lingkaran x  y  4 bila dicerminkan terhadap garis x  2 dilanjutkan 2

2

  3 −3 ( ) 𝑀𝑥=2 dengan translasi   adalah .... 4 (𝑥, 𝑦) → (4 − 𝑥, 𝑦) → (1 − 𝑥, 𝑦 + 4)  4  ′ ′ 1−𝑥 ⇒𝑥 =1−𝑥 A. x 2  y 2  2 x  8 y  13  0 𝑥𝑦′ = = 𝑦 + 4 ⇒ 𝑦 = 𝑦′ − 4 B. x 2  y 2  2 x  8 y  13  0 2 2 (1 − 𝑥)2 + (𝑦 − 4)2 = 4 𝑥 +𝑦 =4⇒ 2 C. x 2  y 2  2 x  8 y  13  0 ⇔ 𝑥 − 2𝑥 + 1 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 16 = 4 2 2 ⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 17 = 4 D. x  y  2 x  8 y  13  0 2 ⇔ 𝑥 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 17 − 4 = 0 E. x 2  y 2  8 x  2 y  13  0 ⇔ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 8𝑦 + 13 = 0

TRIK SUPERKILAT: Bayangkan titik pusat (0, 0) dicerminkan terhadap 𝑥 = 2, akan berpindah ke (0, 4), lalu ditranslasi -3 satuan di sumbu X, dan 4 satuan di sumbu Y, maka titik tersebut sekarang berada di (1, 4). Jadi persamaan lingkaran dengan pusat (1, 4) adalah jawaban A!!!

  3  1  x 5 3 y   , B =   dan C =  . 9   5 1  y   3 6  8 5x   , maka nilai x  2 xy  y adalah .... Jika A + B – C =    x  4 8 5𝑥 𝐴+𝐵−𝐶 = ( ) A. 8 −𝑥 −4 Substitusi 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 4 𝑥+6 𝑦+6 8 5𝑥 B. 12 ⇒ ( )=( ) 𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 = 2 + 16 + 4 = 22 2−𝑦 −4 −𝑥 −4 C. 18 ⇔ 𝑥+6=8 D. 20 ∴𝑥=2 E. 22 ⇔ 2 − 𝑦 = −𝑥

13. Diketahui matriks A = 

∴𝑦=4

14. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3 2 x 1  9  28 .3 x  0, x  R adalah .... 32𝑥+1 + 9 − 28 . 3𝑥 > 0 A. x  1 atau x  2 ⇒ 3 ∙ 32𝑥 − 28 . 3𝑥 + 9 > 0 + − + B. x  1 atau x  2 Misal 𝑎 = 3𝑥 1/3 9 C. x  1 atau x  2 ⇒ 3𝑎2 − 28𝑎 + 9 > 0 (3𝑎 D. x  1 atau x  2 ⇔ − 1)(𝑎 − 9) > 0 Jadi daerah penyelesaian: 1 E. x  1 atau x  2 𝑃𝑒𝑚𝑏𝑢𝑎𝑡 𝑛𝑜𝑙 ∶ 𝑎 < atau 𝑎 > 9 ⇒ 3𝑎 − 1 = 0 atau 𝑎 − 9 = 0 1 ⇔ 𝑎= 𝑎 = 9 3

A-MAT-ZD-M20-2011/2012

©Hak

3 1 3 < atau 3𝑥 > 9 3 𝑥 ≤ −1 atau 𝑥 ≥ 2 𝑥


6




15. Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah .... A. B. C. D. E.

Y

f ( x)  3 x f ( x)  3 x 1 f ( x)  3 x 1 f ( x)  3 x  1 f ( x)  3 x  1

TRIK SUPERKILAT: Grafik tersebut adalah grafik eksponen yang didapatkan dari hasil pergeseran pada sumbu Y untuk grafik 𝑦 = 3𝑥 Jadi grafik tersebut adalah 𝑦 = 3𝑥 + 1

10

 4 2

-3 -2 -1 0

1 2

3

X

16. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan S n  n 2  3n. Suku ke-20 deret aritmetika tersebut adalah .... A. 38 TRIK SUPERKILAT: B. 42 𝑈20 = 𝑆20 − 𝑆19 C. 46 = (202 − 192 ) + 3(20 − 19) = 39 + 3 D. 50 = 42 E. 54



17. Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda Ternyata fungsi objektif balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah .... (warna biru) berada di E (titik potong atau TRIK SUPERKILAT: (harga dalam ribuan rupiah) A. Rp13.400.000,00 hasil eliminasi substitusi dua fungsi kendala) Sepeda Sepeda Jumlah Perbandingan B. Rp12.600.000,00 Gunakan metode determinan matriks gunung balap koef 𝑥 dan 𝑦 25 1 1 1 25 1/1 | | 8.000 C. Rp12.500.000,00 Jumlah 𝑥 = 42.000 2.000 = = 16; Harga 1.500 2.000 42.000 3/4 1 1 500 D. Rp10.400.000,00 Untung 500 | | 600 5/6 1.500 2.000 E. Rp8.400.000,00 Urutkan perbandingan dari kecil ke besar. 𝑥 + 𝑦 = 25 ⇒ 16 + 𝑦 = 25 ⇒ 𝑦 = 9; Y 3/4

E 5/8 2

Jadi nilai maksimumnya adalah:

X 1/1

18. Suku banyak berderajat 3, jika dibagi x  x  2 bersisa 2 x  1 , jika dibagi x 2  x  3

𝑓(𝑥, 𝑦) = 500(16) + 600(9) = Rp13.400

bersisa 3 x  3 . Suku banyak tersebut adalah .... TRIK SUPERKILAT: A. x 3  x 2  2 x  3 𝑓(𝑥) dibagi (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) bersisa (2𝑥 − 1) 3 2 B. x  x  2 x  3 Artinya: 𝑓(−2) = 2(−2) − 1 = −5 C. x 3  x 2  2 x  3 𝑓(1) = 2(1) − 1 = 1 D. x 3  2 x 2  x  2 (𝑥 2 + 𝑥 − 3) bersisa (3𝑥 − 3) 𝑓(𝑥) dibagi E. x 3  2 x 2  x  2 Karena 𝑥 2 + 𝑥 − 3 tidak bisa difaktorin. Biarin aja lah… 

Misal kita pilih satu fungsi saja, 𝑓(1) = 1 Jadi, pilih diantara jawaban dimana jika disubstitusikan 𝑥 = 1 maka hasilnya adalah 1. Dan ternyata hanya dipenuhi oleh jawaban B saja. 

19. Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar 1.960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit sampai tahun ke-16. Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah .... 𝑛 𝑎 = 1.960 A. 45.760 𝑆𝑛 = (2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 2 𝑏 = −120 B. 45.000 16 𝑆16 = ? C. 16.960 𝑆16 = (2(1.960) + (15)(−120)) 2 D. 16.000 = 8(3.920 − 1.800) E. 19.760 = 8(2.120) = 16.960

A-MAT-ZD-M20-2011/2012

©Hak


7

DOKUMEN NEGARA


SANGAT RAHASIA


20. Barisan geometri dengan U 7  384 dan rasio = 2. Suku ke-10 barisan tersebut adalah .... A. B. C. D. E.

1.920 3.072 4.052 4.608 6.144

𝑈7 𝑟 𝑈10 𝑈10

= 𝑎𝑟 6 = 384 =2 =? = 𝑎𝑟 9 = (𝑎𝑟 6 )𝑟 3 = 384(2)3 = 384 ∙ 8 = 3.072

21. Diketahui premis-premis berikut: Premis I Premis II

: “Jika hari ini hujan maka saya tidak pergi.” : “Jika saya tidak pergi maka saya nonton sepak bola.”

Silogisme : Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah .... 𝐻𝑢𝑗𝑎𝑛 ⇒ ∼ 𝑃𝑒𝑟𝑔𝑖 A. Jika hujan maka saya tidak jadi nonton sepak bola. ∼ 𝑃𝑒𝑟𝑔𝑖 ⇒ 𝑁𝑜𝑛𝑡𝑜𝑛 B. Jika hari ini hujan maka saya nonton sepak bola. ∴ 𝐻𝑢𝑗𝑎𝑛 ⇒ 𝑁𝑜𝑛𝑡𝑜𝑛 C. Hari hujan dan dan saya nonton sepak bola. Jadi kesimpulannya Jika hari ini D. Saya tidak nonton sepak bola atau hari tidak hujan. hujan maka saya nonton sepak bola. E. Hari tidak hujan, saya tidak pergi tetapi saya nonton sepak bola.

22. Negasi dari pernyataan: “Jika ada ujian sekolah maka semua siswa belajar dengan rajin.” adalah ... A. B. C. D. E.

∼ [𝑢𝑗𝑖𝑎𝑛 ⇒ (∀𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎, 𝑟𝑎𝑗𝑖𝑛)] ≡ 𝑢𝑗𝑖𝑎𝑛 ∧ ∼ (∀𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎, 𝑟𝑎𝑗𝑖𝑛) ≡ 𝑢𝑗𝑖𝑎𝑛 ∧ (∃𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎, ∼ 𝑟𝑎𝑗𝑖𝑛)

Ada ujian sekolah dan semua siswa tidak belajar dengan rajin. Ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin. Ada ujian sekolah dan ada siswa yang belajar dengan rajin. Tidak ada ujian sekolah dan semua siswa belajar dengan rajin. Tidak ada ujian sekolah dan beberapa siswa tidak belajar dengan rajin.

23. Suku ke-tiga dan suku ke-tujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah .... A. 500 𝑈3 = 16 = 𝑎𝑟 2 B. 504 𝑈7 = 256 = 𝑎𝑟 6 C. 508 𝑆7 = ? 6 D. 512 𝑈7 = 256 ⇒ 𝑎𝑟 = 16 ⇒ 𝑟 4 = 16 ⇒ 𝑟 = 2 2 E. 516 𝑈3 16 𝑎𝑟2 𝑈3 = 16 ⇒ 𝑎𝑟 = 16 ⇒ 4𝑎 = 16 ⇒ 𝑎 = 4

2  x 1 2 − √𝑥 + 1  .... lim 𝑥→1 𝑥−3 x 3 x3 1 A.  4 1 B.  2 C. 1 D. 2 E. 4

24. Nilai lim

A-MAT-ZD-M20-2011/2012

= lim

𝑥→3

= lim

2 − √𝑥 + 1 2 + √𝑥 + 1 × 𝑥−3 2 + √𝑥 + 1 4 − (𝑥 + 1)

𝑥→3 (𝑥

= lim

𝑥→3 (𝑥

= lim

𝑥→3 (2

=

− 3) ∙ (2 + √𝑥 + 1) (3 − 𝑥)

𝑎(𝑟 7 − 1) 𝑟−1 4(128 − 1) = 2−1 = 4(127) = 508

𝑆7 =

TRIK SUPERKILAT: 2 − √𝑥 + 1 −1 1 1 lim = ∙ =− 𝑥→3 𝑥−3 1 2∙2 4

− 3) ∙ (2 + √𝑥 + 1) −1 + √𝑥 + 1)

−1

2 + √4 1 =− 4

©Hak


8

DOKUMEN NEGARA


SANGAT RAHASIA

25. Nilai


(1 − 2 sin2 2𝑥) − 1 cos 4𝑥 − 1 cos 4 x  1 TRIK SUPERKILAT: lim = lim lim  ....𝑥→0 𝑥 tan 2𝑥 𝑥→0 𝑥 tan 2𝑥 x 0 x tan 2 x 1 cos 4𝑥 − 1 − 2 ∙ 4 ∙ 4 −2 sin2 2𝑥 A. 4 lim = = lim 𝑥→0 𝑥 tan 2𝑥 1∙2 𝑥→0 𝑥 tan 2𝑥 B. 2 = −4 −2 sin 2𝑥 sin 2𝑥 2𝑥 2𝑥 = lim ∙ ∙ C. −1 𝑥→0 𝑥 tan 2𝑥 2𝑥 2𝑥 D. −2 sin 2𝑥 sin 2𝑥 2𝑥 2𝑥 = lim −2 ∙ ∙ ∙ ∙ E. −4 𝑥→0 2𝑥 2𝑥 tan 2𝑥 𝑥 = −2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 2 = −4

26. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya 5 x 2  10 x  30  dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah .... A. Rp10.000,00 𝑈(𝑥) = 50𝑥 − (5𝑥 2 − 10𝑥 + 30)𝑥 = −5𝑥 3 + 10𝑥′2 + 20𝑥 Karena 𝑥 mewakili jumlah barang, maksimum untuk 𝑥 yang memenuhi 𝑈 (𝑥) = 0 tidak mungkin negatif sehingga B. Rp20.000,00 𝑈(𝑥)akan ⇒ 𝑈 ′ (𝑥) = 0 yang memenuhi hanya 𝑥 = 2 C. Rp30.000,00 ⇔ −15𝑥 2 + 20𝑥 + 20 = 0 (dibagi − 5) Substitusikan 𝑥 = 2 ke 𝑈(𝑥), D. Rp40.000,00 ⇔ 3𝑥 2 − 4𝑥 − 4 = 0 diperoleh: E. Rp50.000,00 ⇔ (3𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 𝑈(𝑥) = −5(2)3 + 10(2)2 + 20(2) ⇔

𝑥=−

2 atau 𝑥 = 2 3

= −40 + 40 + 40 = Rp40

27. Himpunan penyelesaian persamaan cos4x  3sin 2x  1 ; 0  x  180 adalah .... Soal ini tidak ada jawabannya, mungkin maksudnya pilihan jawaban B bukan 150°, tapi salah ketik. Seharusnya 105°.

A. B. C. D. E.

cos 4𝑥 + 3 sin 𝑥 = −1 {120, 150} (1 − 2 sin2 2𝑥) + 3 sin 2𝑥 + 1 = 0 ⇒ {150, 165} ⇔ −2 sin2 2𝑥 + 3 sin 2𝑥 + 2 = 0 {30, 150} ⇔ (−sin 2𝑥 + 2)(2 sin 2𝑥 + 1) = 0 {30, 165} ⇔ − sin 2𝑥 + 2 = 0 atau 2 sin 2𝑥 + 1 = 0 1 sin 2𝑥 = − {15, 105} ⇔ sin 2𝑥 = 2 (mustahil) 2

1 sin 2𝑥 = − = − sin 30° = sin(−30°) 2 1 sin 2𝑥 = − = − sin 150° = sin(−150°) 2 Penyelesaiannya: 2) 𝑥 = −30° + 𝑘 ∙ 360° = −15° + 𝑘 ∙ 180° = 165°

1) 𝑥 = −150° + 𝑘 ∙ 360° = −75° + 𝑘 ∙ 180° = 105°

28. Keliling suatu segienam beraturan adalah 72 cm. Luas segienam tersebut adalah .... A. B. C.

432 3 cm 432 cm 216 3 cm

D. E.

216 2 cm 12 216 cm

Karena bangun 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−𝑛 segienam, maka segitiga yang ⇒ 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖−6 terbentuk adalah segitiga sama sisi. 12 Akibatnya semua sisi segitiga adalah 12 cm.

12

29. Nilai dari sin 75  sin 165 adalah .... A. B. C. D. E.

1 4 1 4 1 4 1 2 1 2

2 6

6 2 6

A-MAT-ZD-M20-2011/2012

𝑛 2 360° 𝑟 sin 2 𝑛 6 360° 2 = (12) sin 2 6 = 3 ∙ 144 ∙ sin 60° 1 = 432 ∙ √3 2 = 216√3 cm2 =

TRIK SUPERKILAT: Karena segienam, berarti sudut pusatnya 60°, sementara jari-jari lingkaran luar adalah bilangan bulat tanpa bentuk akar, jadi jawabannya pasti memuat √3 yang berasal dari nilai sin 60°. Dari sini tanpa menghitung kita akan tahu bahwa jawaban yang benar hanya A atau C saja.

𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 sin 𝐴 − sin 𝐵 = 2 cos ( ) sin ( ) 2 2 75° + 165° 75° − 165° ⇒ sin 75° − sin 165° = 2 cos ( ) sin ( ) 2 2 = 2 cos 120° sin(−45°) (ingat sin(−𝑥) = − sin 𝑥) = −2 cos 120° sin 45° = −2 cos(180° − 60°) sin 45° (ingat cos(180° − 𝑥) = − cos 𝑥) = −2 (−cos 60°) sin 45° = 2 cos 60° sin 45 1 1 = 2 ∙ ∙ √2 2 2 1 = √2 2

©Hak


9




30. Diketahui nilai sin α  cos β 

3 1 dan sin (α  β)  untuk 0  α  180 dan 0  β  90. 5 5

Nilai sin (α  β)  sin(𝛼 .... − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 (diketahui dari soal sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 = 1 dan sin(𝛼 − 𝛽) = 3) 5 5 3 1 3 ⇒ = − cos 𝛼 sin 𝛽 A.  5 5 5 2 ⇔ cos 𝛼 sin 𝛽 = − 5 2 B.  5 sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 1 1 2 ⇒ sin(𝛼 + 𝛽) = + (− ) C.  5 5 5 1 ⇔ sin(𝛼 + 𝛽) = − 5 1 D. 5 3 E. 5

31. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2  3x  4 dan y  1  x adalah .... TRIK SUPERKILAT: 𝑦1 = 𝑦2 ⇒ 𝑥 2 + 3𝑥 + 4 = 1 − 𝑥 ⇔ 𝑥 2 + 4𝑥 + 3 = 0

A. B.

2

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝐷 = 𝑏 − 4𝑎𝑐 = 4 𝐷√𝐷 4√4 𝐿= = 2 6𝑎 6 ∙ 12 8 = 6 4 = satuan luas 3



C. D. E.

Y 2 satuan luas 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 4 3 4 4 satuan luas 2 3 1 7 satuan luas X -1 -3 4 𝑦 =1−𝑥 8 satuan luas 3 15 satuan luas 3

Luas daerah diarsir: 𝑏

𝐿 = ∫ 𝑦1 − 𝑦2 𝑑𝑥 𝑎 −1

= ∫ (1 − 𝑥) − (𝑥 2 + 3𝑥 + 4) 𝑑𝑥 −3 −1

= ∫ (−𝑥 2 − 4𝑥 − 3) 𝑑𝑥 −3

−1 1 = [− 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥] 3 −3 1 1 3 = (− (−1) − 2(−1)2 − 3(−1)) − (− (−3)3 − 2(−3)2 − 3(−3)) 3 3 1 = ( − 2 + 3) − (9 − 18 + 9) 3 4 = satuan luas 3

32. Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh kurva y  x 2 dengan Volume benda putar y  2 x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360° adalah .... 𝑏 2 Y 2 A. 2π satuan volume 𝑦 = 𝑥 𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑦12 − 𝑦22 𝑑𝑥 = − 𝜋 ∫ (2𝑥)2 − (𝑥 2 )2 𝑑𝑥 𝑎 0 1 2 B. 3 π satuan volume 4 15 = − 𝜋 ∫ (4𝑥 2 − 𝑥 4 ) 𝑑𝑥 0 4 𝒚= 𝟑−𝒙 C. 4 π satuan volume 4 3 1 5 2 = −𝜋 [ 𝑥 − 𝑥 ] 15 3 5 0 X 2 4 4 1 4 1 D. 12 π satuan volume 3 = −𝜋 [( (2) − (2)5 ) − ( (0)3 − (0)5 )] 15 3 5 3 5 𝑦 = 2𝑥 32 32 2 = −𝜋 ( − ) E. 14 π satuan volume 5 3 15 96 − 160 = −𝜋 (

𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑

A-MAT-ZD-M20-2011/2012

©Hak

=

15

)

64 4 𝜋 = 4 𝜋 satuan volume 15 15


10

DOKUMEN NEGARA


SANGAT RAHASIA


1 π 3

33. Nilai dari

 (sin 2 x  3 cos x) dx  .... 1 𝜋 3

0

A. B. C. D. E.

1

𝜋 3 1 (sin ∫ 2𝑥 + 3 cos 𝑥) 𝑑𝑥 = [− cos 2𝑥 + 3 sin 𝑥] 3 2 2 3 0 0 4 1 1 = (− cos 240° + 3 sin 60°) − (− cos 0° + 3 sin 0°) 3 2 2 3 3 1 1 3 1 4 = (− (− ) + √3) − (− + 0) 2 2 2 2 1 1 3 1 1 2 3 = + √3 + 4 4 2 2 3 3 2 1 2 3 = + √3 4 2 4 3 3 = (1 + 2√2) 1 2 3 4

   4

  

34. Hasil dari  3x 3x 2  1 dx  .... A. B. C. D. E.

2 1 𝑑(3𝑥 2 + 1)  (3x 2  1) 3x 2  1  C 2 + 1 𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥(3𝑥 2 + 1)2 √ ∫ 3𝑥 3𝑥 3 6𝑥 1 1 1 2 2 2 2 = ∫(3𝑥 + 1)2 𝑑(3𝑥 + 1)  (3x  1) 3x  1  C 2 2 3 1 2 1 = ∙ ∙ (3𝑥 2 + 1)2 + C 2 2 2 3 (3x  1) 3x  1  C 1 3 = (3𝑥 2 + 1)√3𝑥 2 + 1 + C 3 1 (3x 2  1) 3x 2  1  C 2 2 (3x 2  1) 3x 2  1  C 3

 2 x 3

35. Nilai dari

2

1

A. B. C. D. E.



 4 x  3 dx  ....

1 3 1 27 2 1 37 3 1 37 2 1 51 2 27

2 3 2 ∫ (2𝑥2 + 4𝑥 − 3) 𝑑𝑥 = [ 𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥] 3 0 1 2 3 2 = ( (3) + 2(3)2 + 3(3)) − ( (1)3 + 2(1)2 + 3(1)) 3 3

18 2 = ( + 18 + 9) − ( + 2 + 3) 3 3

18 2 = ( + 27) − ( + 5) 3 3 18 2 = 27 − 5 + − 3 3 16 = 22 + 3 1 = 22 + 5 3 1 = 27 3

36. Banyak susunan kata yang dpat dibentuk dari kata ”WIYATA” adalah .... A. B. C. D. E.

360 kata 180 kata 90 kata 60 kata 30 kata

A-MAT-ZD-M20-2011/2012

Permutasi 6 unsur dari dengan ada 2 unsur yang sama, yakni huruf A: 6! 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = = 360 kata 2! 2∙1

©Hak


11

DOKUMEN NEGARA


SANGAT RAHASIA


37. Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah .... 3 S = kejadian mengambil 3 kelereng sekaligus dari 7 kelereng A. 7! 7∙6∙5 35 n(S) = 7 C3 = = = 35 (7 − 3)! 3! 3 ∙ 2 ∙ 1 4 B. 35 A = kejadian terambil 2 kelereng putih dari pengambilan 3 kelereng sekaligus 4! 3! 4∙3 3 7 n(A) = 4 C2 ∙ 3 C1 = ∙ = ∙ = 18 C. (4 − 2)! 2! (3 − 1)! 1! 2 ∙ 1 1 35 dari pengambilan 3 kelereng sekaligus 12 B = kejadian terambil 34!kelereng putih 3! D. 35 n(B) = 4 C3 ∙ 3 C0 = (4 − 3)! 3! ∙ (3 − 0)! 0! = 4 ∙ 1 = 4 22 Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih dari pengambilan 3 kelereng sekaligus: E. 𝑛(𝐴) 𝑛(𝐵) 18 4 22 35 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) =

𝑛(𝑆)

+

𝑛(𝑆)

=

35

+

35

=

35

38. Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut: Kelas 20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 − 89

Frekuensi 3 7 8 12 9 6 5

Nilai modus dari data pada tabel adalah .... 40 A. 49,5  𝑑1 = 12 − 8 = 4 7 𝑑2 = 12 − 9 = 3 36 𝑇𝑏 = 50 − 0,5 = 49,5 B. 49,5  𝑖 = 10 7 𝑑1 36 𝑀𝑜 = 𝑇𝑏 + ∙𝑖 C. 49,5  𝑑1 + 𝑑2 7 4 40 = 49,5 + ∙ 10 4+3 D. 49,5  40 7 = 49,5 + 7 48 E. 49,5  7

39. Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E dengan bidang BGD adalah .... G

H F

E

E′

D A

P 8 cm

B. C 8 cm

B

A.

C. D. E.

1 3 2 3 4 3 8 3 16 3

E

Jarak titik ke bidang adalah jarak titik ke proyeksi titik pada bidang.

3 cm

3 cm 3 cm

4√2 cm

P

Cari proyeksi titik E pada garis potong kedua bidang (GP) dengan membuat garis yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG.

EP = √EA2 + AP2 = √82 + (4√2)

Proyeksi titik E pada bidang BDG adalah E ′ .

= √64 + 32 = √96 = √16√6 = 4√6 cm

Sehingga jarak titik E ke bidang BDG adalah jarak E ke E’.

2

3 cm 3 cm

A-MAT-ZD-M20-2011/2012

P′

Buat bidang yang melewati E dan tegak lurus bidang BDG, bidang tersebut adalah bidang diagonal ACGE.

8 cm A

E

Perhatikan segitiga EGP, segitiga tersebut segitiga samakaki, karena EP = GP = 4√6 cm. Sedangkan EG adalah diagonal sisi, EG = 8√2 cm.

©Hak

G

E′ P A

C Perhatikan sudut EGP 𝐸𝐸 ′ 𝑃𝑃 ′ = 𝐸𝐺 𝐺𝑃 ′ 𝑃𝑃 ⇒ 𝐸𝐸 ′ = ∙ 𝐸𝐺 𝐺𝑃 8 = × 8√2 4√6 16 = √3 cm 3 sin ∠𝐸𝐺𝑃 =


12

DOKUMEN NEGARA


SANGAT RAHASIA

MATEMATIKA SMA/MA IPA 40. Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 4 cm. Sudut antara AE dan bidang AFH adalah  . Nilai sin  = .... A. B. C. D. E.

1 2 1 2 1 3 2 3 3 4

H

2 E

G P

F

3 D

3

2 3

A

C 4 cm 4 cm

B

Kubus rusuk 4 cm.

E

EG adalah diagonal sisi, maka EG = 4√2 cm.

4 cm

Karena P perpotongan diagonal sisi atas, maka 1 𝐸𝑃 = 𝐸𝐺 ⇒ 𝐸𝑃 = 2√2 cm

2√2 cm P

AP = √AE2 + EP 2 = √(4)2 + (2√2) = √16 + 8 = √24 = 2√6 cm

A

2

Perhatikan garis AE dan bidang AFH yang berwarna biru, sudut yang dibentuk oleh garis AE dan AFH bisa dicari lewat bidang segitiga yang berwarna biru.

Jika sudut antara AE dan AFH adalah 𝛼 dan ∆𝐴𝐹𝐸 siku-siku di 𝐸, maka sin 𝛼 =

𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑑𝑖𝑑𝑒𝑝𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑑𝑢𝑡 𝐸𝑃 ⇒ sin 𝛼 = 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝑃 2√2 = 2√6 1 = √3 1 = √3 3

Naskah Soal Ujian Nasional Matematika SMA 2012 Paket D46 Zona D ini diketik ulang oleh Pak Anang. Silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com untuk download naskah soal UN 2012 beserta pembahasannya untuk paket soal UN Matematika 2012 yang lain. Juga tersedia soal serta pembahasan UN 2012 untuk mata pelajaran yang lain.

A-MAT-ZD-M20-2011/2012

2

©Hak


MA IPA. Rabu, 18 April 2012 ( )

Recommend Documents