M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.


1

± Číselné výrazy

Číselné výrazy, výpočty s reálnými čísly Výraz je matematický zápis, ve kterém se vyskytují čísla (např. 2, 76, 896), proměnné (např. x, y, z), znaky početních operací (např. +, -, :), případně i pomocné znaky (např. závorky). Pokud se ve výrazu nevyskytují proměnné, ale pouze čísla, hovoříme o číselném výrazu. Pozn.: Úpravy číselných výrazů budeme provádět zpaměti, tedy bez použití kalkulačky

Přehled základních operací s číselnými výrazy 1. Sčítání (odečítání) číselných výrazů členy při sčítání nazýváme sčítanci, výsledek pak součet; při odečítání nazýváme číslo, od něhož odečítáme, menšenec, číslo, které odečítáme, menšitel a výsledek rozdíl při sčítání využíváme vhodně komutativnost, případně asociativnost jedná-li se o složitější čísla, postupujeme odzadu, podobně jako při sčítání (odečítání) písemném - pozor na odpovídající si řády! zlomky sčítáme (odečítáme) tak, že je nejprve převedeme na společného jmenovatele

• • • •

2. Násobení číselných výrazů členy, které mezi sebou násobíme, nazýváme činitelé, výsledek pak jejich součin opět výhodně využíváme komutativnost nebo asociativnost složitější čísla si vynásobíme formou pomocného výpočtu pod sebe, případně můžeme využít některých dalších pomůcek (např. máme-li číslo vynásobit 25, je vhodné ho vynásobit stem a následně vydělit čtyřmi) násobíme-li desetinná čísla, má výsledek tolik desetinných míst, kolik jich měly všechny činitelé dohromady násobíme-li mezi sebou zlomky, pak součin jejich čitatelů lomíme součinem jejich jmenovatelů Pozn.: U zlomku horní číslo nazýváme čitatel, spodní jmenovatel

• • • • •

3. Dělení číselných výrazů číslo, které dělíme, nazýváme dělenec, číslo, kterým dělíme, nazýváme dělitel a výsledek podíl opět můžeme používat různé triky - např. chceme-li číslo dělit 25, pak ho vydělíme stem a následně vynásobíme čtyřmi dělíme-li mezi sebou desetinná čísla, postupujeme nejprve tak, že výpočet rozšíříme tak, aby v děliteli vymizelo desetinné číslo dělení často vyjadřujeme zlomkem Pozn.: Zlomky můžeme rozšiřovat (tj. můžeme násobit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly), dále je můžeme též krátit (tj. dělit jejich čitatele i jmenovatele stejným číslem různým od nuly). Při rozšiřování nebo krácení zlomků se nemění jejich hodnota. Zlomek je v základním tvaru, pokud už honelze dále krátit. dělíme-li mezi sebou dva zlomky, násobíme první zlomek (v nezměněné podobě) převrácenou hodnotou druhého zlomku Pozn.: Převrácenou hodnotu zlomku dostaneme tak, že jeho čitatele nahradíme jmenovatelem a naopak. Pokud u zlomku změníme jen znaménko, dostáváme zlomek opačný. Při této činnosti je jedno, zda napíšeme znaménko do čitatele, do jmenovatele nebo před zlomek.

• • • • •

4. Umocňování číselných výrazů umocňujeme-li desetinné číslo, pak výsledek má tolik desetinných míst, kolik je součin desetinných míst u původního čísla a exponentu mocniny umocňujeme-li číslo, které končí jednou nebo více nulami, pak umocníme tu část čísla, která vznikne po pomyslném odstranění nul a připíšeme tolik nul, kolik je součin jejich původního počtu a čísla v exponentu umocňujeme-li zlomek, pak umocňujeme jeho čitatele i jmenovatele druhé mocniny čísel do 20 musíme znát zpaměti 2 2 1 1 11 121 2 2 2 4 12 144 2 2 3 9 13 169

• • • •

2.12.2007 10:45:49

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 18

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 2

4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10

1 2

16 14 2 25 15 2 36 16 2 49 17 2 64 18 2 81 19 2 100 20 stejně tak musíme znát zpaměti třetí mocniny čísel do 10 3 1 1 3 2 8 3 3 27 3 4 64 3 5 125 3 6 216 3 7 343 3 8 512 3 9 729 3 10 1000

•

196 225 256 289 324 361 400

5. Odmocňování číselných výrazů provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) druhou odmocninu desetinného čísla, musíme nejprve číslo upravit tak, aby obsahovalo sudý počet desetinných míst a zároveň toto číslo zapsané bez ohledu na desetinnou čárku bylo v rozmezí od jedné do tisíce. To provedeme tak, že buď přidáme nulu na konec čísla, případně provedeme zaokrouhlení. U výsledku pak přibude polovina desetinných míst z jejich původního počtu. provádíme-li zpaměti (nebo pomocí tabulek) třetí odmocninu desetinného čísla, postupujeme úplně stejně, jen číslo v prvním kroku upravíme tak, aby počet desetinných míst byl násobkem tří. U výsledku pak přibude třetina desetinných míst z jejich původního počtu. jedná-li se o čísla naopak příliš velká (končí jednou nebo více nulami), provedeme zaokrouhlení tak, aby počet nul byl sudé číslo (pro druhou odmocninu) a číslo odpovídající násobku tří (pro třetí odmocninu) a zbytek čísla (po pomyslném oddělení nul) byl z rozmezí od jedné do tisíce. Po odmocnění posuneme desetinnou čárku o tolik míst doprava, kolik je polovina z celkového počtu nul (pro druhou odmocninu) nebo třetina z celkového počtu nul (pro třetí odmocninu)

• • •

Pokud se v číselném výrazu vyskytují závorky, řešíme je na prvním místě s tím, že v první fázi odstraňujeme závorky kulaté, dále hranaté a nakonec teprve závorky složené. Ukázkové příklady: Příklad 1:

Řešení:

Příklad 2: Vypočtěte:

2.12.2007 10:45:49


2 z 18


1

Řešení:

Příklad 3: Vypočtěte:

Řešení:

Pozn.: Sejdou-li se při úpravě číselného výrazu, pak postupujeme tak, že dvě shodná znaménka nahradíme znaménkem plus a dvě opačná znaménka nahradíme znaménkem minus.

2.12.2007 10:45:49


3 z 18


1

± Výpočty s reálnými čísly 1.

1896

Vypočti

Výsledek:

2.

Výsledek:

3.

3 1897

Vypočti

Výsledek:

4.

1916

Vypočti

-0,16 1902

Vypočti

Výsledek:

5.

1895

Vypočti

Výsledek:

6.

1907

Vypočti: Výsledek:

2.12.2007 10:45:49

-11,8


4 z 18

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 7.

1892

Vypočti

Výsledek:

8.

1

100 000 1925

Vypočti

Výsledek:

9.

1887

Zjednoduš:

Výsledek:

10.

Výsledek:

11.

1905

Vypočti

18,1 1893

Vypočti

Výsledek:

2.12.2007 10:45:49


5 z 18


1 1928

Vypočti

Výsledek:

13.

1913

Vypočti

Výsledek:

14.

Výsledek:

15.

2

Vypočti a výsledek zaokrouhli na dvě desetinná místa

Výsledek:

16.

1903

Vypočti

-8,43

Vypočtěte a zaokrouhlete na desítky Výsledek:

1922

1914

20

17.

1885

Výsledek:

2.12.2007 10:45:49

240


6 z 18


1906

Vypočti

Výsledek:

19.

1

4 1924

Vypočti

Výsledek:

20.

1926

Vypočti

Výsledek:

21.

Výsledek:

22.

1910

Vypočti 216

1904

Vypočti

Výsledek:

2.12.2007 10:45:49


7 z 18


834 1891

Vypočti Výsledek:

25.

1911

Vypočti Výsledek:

24.

1

0,23 1919

Vypočti

Výsledek:

26.

Vypočti číslo b a zapiš jeho převrácenou hodnotu

1888

Výsledek:

27.

1908

Vypočti

Výsledek:

28.

1909

Vypočti Výsledek:

2.12.2007 10:45:49

50


8 z 18


1 1901

Vypočti

Výsledek:

30.

Výsledek:

31.

1915

Vypočtěte

3 1921

Vypočti

Výsledek:

32.

1898

Vypočti

Výsledek:

33.

1918

Vypočti

Výsledek:

2.12.2007 10:45:49

-1


9 z 18


206

Zjednoduš zlomek a potom jej převeď na desetinné číslo zaokrouhlené na tisíciny.

Výsledek: 36.

1912

Vypočti Výsledek:

35.

1

1886

-0,182

1894

Vypočti

Výsledek:

37.

1889

Vypočti bez zaokrouhlování

Výsledek:

38.

Vypočtěte bez použití kalkulátoru:

410

é 1 æ 1ö ù 14 - 2 2 - ( -3) 2 + 6,4 : ( -0,8) - ê : ç - ÷ - (1,8 - 2,9) ú ë 4 è 2ø û Výsledek:

2.12.2007 10:45:49

-7,1


10 z 18


1 1923

Vypočti

Výsledek:

40.

1929

Vypočti

Výsledek:

41.

1890

Vypočti

Výsledek:

42.

Výsledek:

43.

1927

Vypočti

-5 406

Vypočtěte:

15,1 - ( -2) 3 + 6,3 : ( -0,7) - [( 2,5 - 3,7) : Výsledek:

2.12.2007 10:45:49

4 + 15,1] 625

14


11 z 18


1 1920

Vypočti

Výsledek:

45.

1899

Vypočti

Výsledek:

46.

1900

Vypočti

Výsledek:

47.

1917

Vypočti Výsledek:

262

± Algebraické výrazy

Algebraické výrazy Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Výraz s proměnnou obsahuje zpravidla čísla, znaky početních operací, proměnné a pomocné znaky (např. závorky). Přehled důležitých vzorců: 2 2 2 (A + B) = A + 2AB + B 2 2 2 (A - B) = A - 2AB + B 2 2 (A - B).(A + B) = A - B 3 3 2 2 3 (A + B) = A + 3A B + 3AB + B 3 3 2 2 3 (A - B) = A - 3A B + 3AB - B 3 3 2 2 A - B = (A - B).(A + AB + B ) 3 3 2 2 A + B = (A + B).(A - AB + B )

2.12.2007 10:45:49


12 z 18


1

Zjednodušování algebraických výrazů budeme říkat, že výrazy upravujeme.

Přehled základních operací s celistvými algebraickými výrazy: 1. Sčítání a odečítání výrazů Sčítat nebo odečítat můžeme výrazy, které mají stejný základ a stejný exponent. Příklady: 2 2 2x + 7x ... lze sečíst 2 2x + 3x ... nelze sečíst 2 2 2x + 3y ... nelze sečíst 2. Násobení výrazů a) jednočlen jednočlenem Pozn.: členy výrazu nám oddělují pouze znaménka + nebo 2 5 4 3x y z ... jednočlen 2 4 2 3 3x y - 7x y dvojčlen Při násobení jednočlenu jednočlenem postupujeme tak, že nejprve učíme znaménko výsledku, pak vynásobíme koeficienty a dále vynásobíme proměnné postupně podle abecedy. Využíváme při tom pravidla, že při součinu mocnin o stejném základu opíšeme základ a exponenty sečteme. Příklad: 2 6 5 2 7 8 3x y . (-6x y ) = -18x y Pozn.: Můžeme využívat i pravidla, že součin mocnin se stejným exponentem se rovná mocnině součinu. 3 3 3 Příklad: x . y = (xy) Platí to samozřejmě i obráceně. b) dvojčlen jednočlenem Roznásobíme jednočlenem každý člen v závorce. Příklad: 4 5 5 5 (2x - 3y ).(-2x) = -4x + 6xy Při tomto výpočtu je úplně jedno, jestli je v zadání nejprve jednočlen a pak závorka nebo obráceně. c) dvojčlen dvojčlenem Roznásobíme každý člen jedné závorky každým členem druhé závorky. Na pořadí provedených operací nezáleží. Vzniklý výraz zjednoduššíme. Příklad: 2 3 2 3 2 (2x - 5) . (3x - 1) = 6x - 2x - 15x + 5 = 6x - 15x - 2x + 5 Stejným způsobem postupujeme, pokud násobíme obecně mnohočlen mnohočlenem. 3. Dělení výrazů V tomto případě se nám dostane do dělitele (jmenovatele) výraz s proměnnou. Těmito výpočty se zabývá kapitola Úpravy lomených výrazů. 4. Umocňování výrazů Využíváme následující pravidla: - mocnina mocniny se vypočte tak, že základ opíšeme a exponenty mezi sebou vynásobíme

2.12.2007 10:45:49


13 z 18

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 35

1

15

Příklad: (x ) = x - pokud omocňujeme dvojčlen, postupujeme podle vzorců - viz začátek kapitoly 5. Rozklady výrazů na součin Využíváme následujících operací (v uvedeném pořadí) a) snažíme se ze všech členů vytknout co největší výraz b) použijeme některý ze známých vzorců c) použijeme postupné vytýkání V tomto případě musí být výslednou početní operací součin.

± Úpravy celistvých algebraických výrazů 1.

Zjednoduš: 2 (2/3 - z) Výsledek: 4/9 - 4/3z + z2

2245

2.

Upravte daný výraz 3x y - {xyz - (2yz - x z) - 4x z + [3x y - (4xyz - 5x z)]}. Výsledek ověřte dosazením pro x = 1, y = -1, z = 0 Výsledek: 3xyz - 2x2z + 2yz

2070

3.

Zjednoduš: 3 2 2 3 (3/7u - 3u ) . (3u + 3/7u ) Výsledek: 9/49u6 - 9u4

2238

4.

Rozložte v součin výraz: 9s v - 4r v - 9u s + 4u r . Správnost ověřte dosazením u=-1, v=2, s=1, r=0 Výsledek: (v - u) . (v + u) . (3s - 2r) . (3s + 2r)

2066

5.

Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost 2 2 (... + 3y) = 4x + ... + ... Výsledek: 12xy

2052

6.

Vypočtěte: (4a b + 5a b ) = Výsledek: 16a4b2 + 40a5b3 + 25a6b4

2049

7.

Vypočtěte rozdíl výrazů x + 2 a x - 1 Výsledek: 3

2059

8.

Zjednodušte výraz 2x - [5x - 2(x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu ověřte dosazením za x = -3 Výsledek: -4(x + 3)

2048

9.

Zjednoduš: 2 2 (u + 10) Výsledek: u4 + 20u2 + 100

2240

2

2

2 2

2

2.12.2007 10:45:49

2 2

2 2

2

2

2

2 2

3 2 2


14 z 18


1 2

2

2

2

2

2

2050

Rozložte na součin: 4x (y – z ) + 25v (z – y ) (y - z) . (y + z) . (2x - 5v) . (2x + 5v)

Výsledek:

2

2

2

11.

Vypočítejte: (3 - x) - 3(x - 3) + (-2x) Výsledek: 2.(x2 - 3x + 9)

2071

12.

Zjednodušte výraz: (2h - 5s)(2h + 5s) - (2h + 5s) Výsledek: -10s.(5s + 2h)

13.

Výraz

2

Výsledek:

2

- (-2x + 1) se po úpravě rovná čemu? 2 -4x + 4x - 1

2055

2073

14.

Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+2 a x-1 Výsledek: Rozdíl 3, součin x2 + x - 2

15.

Upravte: (1,2x - 0,3y) Výsledek: 1,44x4 - 0,72x2y + 0,09y2

16.

Výraz (3k - 2) - 4k(2k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k=3 Výsledek: k2 - 2

17.

Rozložte na součin: a + 2ab + b – c Výsledek: (a + b + c) . (a + b - c)

18.

Zjednoduš: 3 2 2 3 (0,1a - 5a ) . (5a + 0,1a ) 6 4 Výsledek: 0,01a - 25a

19.

Umocněte: (10 - 2a) Výsledek: 100 - 40a + 4a2

2056

20.

Rozlož na součin: 2 2 2 2 16r s - 16rs + 4s 2 Výsledek: (4rs - 2s) = 4s2 . (2r - 1)2

2250

21.

Zjednoduš: 2 3 2 (x - x ) Výsledek: x4 - 2x5 + x6

2243

22.

Rozlož na součin: 2 2 4 9x + 6xy + y Výsledek: (3x + y2)2

2249

2

2

2062

2

2

2

2

2065

2076

2237

2

2.12.2007 10:45:49

2054


15 z 18


1 2

2

Rozložte na součin výrazy: a) 2x - 4xy + 2y 2 a) 2 . (x - y) b) (t + 5) . (5 - 2m)

b) 5t - 2tm - 10m + 25

2072

Výsledek:

24.

25.

Rozlož na součin: 4 6 a -b Výsledek: (a2 - b3) . (a2 + b3)

2247

Rozložte na součin: (2m - 1).5x – 8.(2m - 1) (2m - 1) . (5x - 8)

2058

Výsledek:

2

2

26.

Doplňte: (? - 3) = 16x - ? + ? Výsledek: První ? = 4x; druhý ? = 24x; třetí ? = 9

2068

27.

Zjednoduš: 2 2 (a b - 10) . (a b + 10) 4 2 Výsledek: a b - 100

2235

28.

Zjednoduš: 2 3 2 3 (4x + 3y ) . (4x - 3y ) Výsledek: 16x4 - 9y6

2236

29.

Zjednoduš: 2 (c + 1,2) Výsledek: c2 + 2,4c + 1,44

2241

30.

Zjednoduš: 2 (2x - 3) Výsledek: 4x2 - 12x + 9

2239

31.

Upravte: a 3b ab.2b a 4b Výsledek: 24a6b9

32.

Výraz 4k - (2k + 1) - 4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = 3 Výsledek: -8k + 7

33.

Rozložte na součin: 4 – x Výsledek: (2 - x) . (2 + x)

34.

Zjednoduš: 2 2 (0,1rs - 10r ) Výsledek: 0,01r2s2 - 2r3s + 100r4

35.

Rozložte na součin výraz: 18xy - 21x y Výsledek: 3xy.(6y - 7x)

2.

2

2.12.2007 10:45:49

2.

2 3.

4

2064

2

2

2053

2057

2244

2

2


2051

16 z 18


1

Rozlož na součin: 2 3 4 0,04a - 1,2a + 9a Výsledek: (0,2a - 3a2)2

2252

Vypočtěte součin výrazů x + 2 a x - 1 2 x +x-2

2060

38.

Rozlož na součin: 4 49 - c Výsledek: (7 - c2) . (7 + c2)

2248

39.

Výraz K = 16a – a x rozložte na součin aspoň tří činitelů Výsledek: K = a2.(4 - ax).(4+ax)

2075

40.

Upravte: (2x - 0,2y) . (2x + 0,2y) Výsledek: 4x2 - 0,04 y2

2063

41.

Upravte: (2x - 5) - (2x - 3).(5x + 2) Výsledek: -6x2 - 9x + 31

2069

42.

Zjednodušte a ověřte dosazením za x = -2 2 2 8x - [2x – 6.(x - 1) + 2] - (3x - 5x).2 Výsledek: 4.(x + 1)

2074

43.

Upravte: [(a b ) ] Výsledek: a12b18

2061

44.

Rozlož na součin: 4 2 2 1/9u + 2u v + 9v Výsledek: (1/3u2 + 3v)2

2254

45.

Rozlož na součin: 2 4 1/4x - 1/36y Výsledek: (1/2x - 1/6y2) . (1/2x + 1/6y2)

2253

46.

Rozložte na součin: x - 2xy + y - x + y Výsledek: (x - y) . (x - y - 1)

2067

47.

Zjednoduš: 3 3 (c - 1/3) . (c + 1/3) 6 Výsledek: c - 1/9

2234

48.

Rozlož na součin: 8 6 0,25a - b Výsledek: (0,5a4 - b3) . (0,5a4 + b3)

2251

37.

Výsledek:

2

4 2

2

2 3 3 2

2

2.12.2007 10:45:49

2


17 z 18


1

49.

Zjednoduš: (2m - n) . (2m + n) Výsledek: 4m2 - n2

2232

50.

Zjednoduš: 2 2 (3a + 2b ) Výsledek: 9a2 + 12ab2 + 4b4

2242

51.

(5v + 2/5uv) Výsledek: 25v8 + 4uv5 + 4/25u2v2

2246

52.

Zjednoduš: 2 2 (x - 3) . (x + 3) 4 Výsledek: x - 9

2231

53.

Zjednoduš: (0,8 - y) . (0,8 + y) Výsledek: 0,64 - y2

2233

4

2.12.2007 10:45:49

2


18 z 18


1

Obsah Číselné výrazy Výpočty s reálnými čísly Algebraické výrazy Úpravy celistvých algebraických výrazů

2.12.2007 10:45:49


1 4 12 14

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

Recommend Documents