VŠPJ
Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková
© RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7 Vydala Vysoká škola polytechnická Jihlava, Tolstého 16, Jihlava, 2015. Schválila ediční komise Vysoké školy polytechnické v Jihlavě jako učební text. Rukopis neprošel jazykovou úpravou.
Obsah 1.
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH (Zámková) .................................................. 1 1.1.
Vzdálenost bodů, norma ......................................................................................................... 1
1.2.
Okolí bodu, otevřená a uzavřená množina, oblast .................................................................. 3
1.3.
Definice funkce dvou proměnných ......................................................................................... 5
1.4.
Elementární funkce dvou proměnných – grafické znázornění .............................................. 11
1.5.
Úrovňové křivky - vrstevnice ................................................................................................. 12
1.6.
Spojitost funkce dvou proměnných ...................................................................................... 13
1.7.
Derivace funkcí dvou proměnných ........................................................................................ 14
1.7.1.
Parciální derivace........................................................................................................... 14
1.7.2.
Geometrický význam parciální derivace........................................................................ 17
1.7.3.
Tečná rovina a normála plochy ..................................................................................... 18
1.7.4.
Diferenciál funkce .......................................................................................................... 20
1.7.5.
Parciální derivace vyšších řádů ...................................................................................... 23
1.7.6.
Derivace složené funkce ................................................................................................ 27
1.7.7.
Věta o implicitní funkci .................................................................................................. 28
1.7.8.
Normálový vektor, gradient .......................................................................................... 30
1.8.
1.8.1.
Lokální extrémy funkcí dvou proměnných .................................................................... 33
1.8.2.
Globální (absolutní) extrémy funkcí dvou proměnných ................................................ 40
1.8.3.
Vázané extrémy funkcí dvou proměnných .................................................................... 46
1.9. 2.
Extrémy funkcí dvou proměnných ........................................................................................ 33
Cvičení ................................................................................................................................... 62
INTEGRÁLNÍ POČET (Krejčová) ...................................................................................................... 67 2.1.
Primitivní funkce a neurčitý integrál ..................................................................................... 67
2.2.
Výpočet neurčitého integrálu ................................................................................................ 68
2.2.1.
Metoda přímé integrace................................................................................................ 70
2.2.2.
Metoda integrace per partes......................................................................................... 73
2.2.3.
Metoda integrace substitucí.......................................................................................... 77
2.2.4.
Integrování racionálních lomených funkcí .................................................................... 84
2.3.
Určitý integrál ........................................................................................................................ 97
2.4.
Aplikace určitého integrálu ................................................................................................. 108
2.4.1.
Výpočet obsahu elementární oblasti v rovině ............................................................. 108
2.4.2.
Délka křivky ................................................................................................................. 117
2.4.3.
Objem rotačního tělesa ............................................................................................... 118
2.4.4.
Plášť rotačního tělesa .................................................................................................. 120
2.5.
Nevlastní integrál................................................................................................................. 122
2.5.1. 2.6. 3.
4.
Cvičení ................................................................................................................................. 128
POSLOUPNOSTI A ŘADY (Hojdarová) .......................................................................................... 132 3.1.
Konvergentní a divergentní posloupnosti ........................................................................... 132
3.2.
Nekonečné řady, základní pojmy ........................................................................................ 137
3.3.
Řady s kladnými členy ......................................................................................................... 141
3.4.
Alternující řady, absolutní a neabsolutní konvergence ....................................................... 145
3.5.
Funkční a mocninné řady .................................................................................................... 149
3.6.
Cvičení ................................................................................................................................. 154
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE (Hojdarová)......................................................................................... 156 4.1.
Základní pojmy .................................................................................................................... 156
4.2.
Existence a jednoznačnost řešení u diferenciální rovnice 1.řádu ....................................... 159
4.3.
Diferenciální rovnice 1. řádu řešitelná separací proměnných ............................................ 160
4.4.
Lineární diferenciální rovnice 1.řádu................................................................................... 166
4.5.
Příklady praktických úloh řešených diferenciální rovnicí 1.řádu ......................................... 170
4.6.
Lineární diferenciální rovnice 𝑛-tého řádu.......................................................................... 173
4.7.
Homogenní lineární rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty ......................................... 174
4.8.
Nehomogenní lineární rovnice 2.řádu s konstantními koeficienty ..................................... 177
4.9.
Řešení nehomogenní rovnice s konstantními koeficienty a obecnou pravou stranou ....... 183
4.10. 5.
Konvergence nevlastního integrálu. ............................................................................ 126
Cvičení ............................................................................................................................. 186
SEZNAM LITERATURY .................................................................................................................. 189
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 1.1.
VZDÁLENOST BODŮ, NORMA
Kartézská soustava souřadnic v rovině je tvořena dvěma navzájem kolmými přímkami, vodorovnou, kterou nazýváme osou 𝑥 a svislou nazývanou osou 𝑦. Průsečík 𝑂 těchto přímek označíme jako počátek souřadnicové soustavy (dále jen počátek). Na obou osách zvolíme stejnou jednotku délky a šipkou označíme na obou osách kladnou orientaci, viz obrázek č. 1. Každému bodu 𝑃 v rovině pak přiřazujeme v kartézské soustavě souřadnic uspořádanou dvojici reálných čísel. Bodem 𝑃 vedeme kolmici k ose 𝑥, její průsečík s osou 𝑥 je reálné číslo 𝑥𝑃 , které nazýváme x-ovou souřadnicí bodu 𝑃. Pak bodem 𝑃 vedeme kolmici k ose 𝑦, její průsečík s osou 𝑦 je reálné číslo 𝑦𝑃 , které nazýváme y-ovou souřadnicí bodu 𝑃. Souřadnice bodu v kartézské soustavě souřadnic se nazývají kartézské souřadnice.
Obrázek 1
Tímto způsobem je každému bodu 𝑃 v rovině jednoznačně přiřazena uspořádaná dvojice [𝑥𝑃 , 𝑦𝑃 ], což zapisujeme 𝑃[𝑥𝑃 , 𝑦𝑃 ]. Počátku 𝑂 souřadnicové soustavy je přiřazena dvojice [0, 0]. Zavedením souřadnicové soustavy v rovině jsme sestrojili bijektivní zobrazení množiny bodů roviny na množinu 𝑅 𝑥 𝑅 (označujeme také 𝑅 2). Množinu všech uspořádaných dvojic reálných čísel [𝑥, 𝑦] budeme nazývat dvojrozměrným prostorem nebo také rovinou 𝑥𝑦.
DEFINICE: VZDÁLENOST BODŮ V 𝑅 2 Nechť 𝐴[𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 ], 𝐵[𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 ] jsou body z 𝑅 2 . Vzdálenost bodů (metriku) 𝑑 definujeme jako 𝑑(𝐴, 𝐵) = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 .
1
DEFINICE: NORMA VEKTORU V 𝑅 2 Nechť 𝐴[𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 ], 𝐵[𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 ] jsou body z 𝑅 2 . Vektor 𝒖 = (𝑢1 , 𝑢2 ) = (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 , 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 ). Normu (velikost) vektoru 𝒖 definujeme ‖𝒖‖ = √𝑢12 + 𝑢22 . Uvědomme si tedy, že platí 𝑑(𝐴, 𝐵) = ‖𝒖‖, viz obrázek č. 2.
Obrázek 2
Uvažujme nyní soustavu tří os 𝑥, 𝑦, 𝑧 v prostoru navzájem kolmých a procházejících bodem 𝑂, který nazveme počátkem souřadnicové soustavy. Každé dvě ze souřadnicových os tvoří jednu ze tří souřadnicových rovin, a to 𝑥𝑦, 𝑦𝑧, 𝑧𝑥, které dělí celý trojrozměrný prostor na osm stejných částí, nazývaných oktanty. Obdobně jako v 𝑅 2 je každému bodu 𝑃 v prostoru jednoznačně přiřazena uspořádaná trojice [𝑥𝑃 , 𝑦𝑃 , 𝑧𝑃 ], což zapisujeme 𝑃[𝑥𝑃 , 𝑦𝑃 , 𝑧𝑃 ]. Počátku 𝑂 souřadnicové soustavy je přiřazena trojice [0, 0, 0], viz obrázek č. 3. Symbolem 𝑅 3 pak rozumíme kartézský součin 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 𝑅, kde normu vektoru definujeme ‖𝒖‖ = √𝑢12 + 𝑢22 + 𝑢32 . Uvědomme si, že norma vektoru ‖𝒗‖ = √𝑥𝑃2 + 𝑦𝑃2 + 𝑧𝑃2 , viz obrázek č. 3, je vzdáleností bodu 𝑃 od počátku.
2
Obrázek 3
Zobecněním výše uvedeného obdržíme prostor 𝑅 𝑛 , jakožto množinu uspořádaných n-tic reálných čísel, tj. 𝑅 𝑛 = 𝑅 𝑥 𝑅 𝑥 ⋯ 𝑥 𝑅. Vzdálenost bodů 𝑋[𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 ], 𝑌[𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , … , 𝑦𝑛 ] zde definujeme vztahem 𝑑(𝑋, 𝑌) = √(𝑦1 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑥2 )2 + ⋯ + (𝑦𝑛 − 𝑥𝑛 )2 , normu vektoru pak ‖𝒖‖ = √𝑢12 + 𝑢22 + ⋯ + 𝑢𝑛2 .
1.2.
OKOLÍ BODU, OTEVŘENÁ A UZAVŘENÁ MNOŽINA, OBLAST
Víme, že definičním oborem funkce jedné proměnné je vždy množina reálných čísel (nejčastěji interval), kterou je možno znázornit jako množinu bodů na přímce. Funkce více proměnných jsou definovány ve vícerozměrných oborech, jejichž prvky jsou body v prostoru 𝑅 𝑛 . V tomto odstavci se budeme zabývat některými význačnými body a množinami bodů v 𝑅 2, které budeme potřebovat při práci s funkcemi dvou proměnných.
DEFINICE: OKOLÍ BODU Množinu všech bodů 𝑋 v prostoru 𝑅 2, jejichž vzdálenost od daného bodu 𝐴 je menší než zvolené číslo 𝜀 > 0, nazýváme 𝜀-ovým okolím bodu 𝐴. Značíme jej 3
𝑈𝜀 (𝐴) = { 𝑋 ∈ 𝑅 2 ; 𝑑(𝑋, 𝐴) < 𝜀 }. Okolí bodu 𝐴, z něhož vyloučíme bod 𝐴, nazveme prstencovým 𝜀- ovým okolím bodu 𝐴. Značíme jej 𝑃𝜀 (𝐴) = {𝑋 ∈ 𝑅 2 ; 0 < 𝑑(𝑋, 𝐴) < 𝜀 }. V rovině, představuje okolí 𝑈𝜀 (𝐴) bodu 𝐴 množinu všech bodů uvnitř kruhu (tj. bez hraniční kružnice) se středem v bodě 𝐴 a poloměrem 𝜀. Poznamenejme, že index 𝜀 se někdy vynechává a píšeme pouze 𝑈(𝐴).
DEFINICE: VNITŘNÍ BOD Bod 𝐵 ∈ 𝑀 se nazývá vnitřním bodem množiny 𝑀, kde 𝑀 ⊆ 𝑅 2 , existuje-li jeho okolí 𝑈𝜀 (𝐶) ⊂ 𝑀.
DEFINICE: OTEVŘENÁ MNOŽINA Množina 𝐺 v 𝑅 2 je otevřená, jestliže každý její bod je jejím vnitřním bodem, tj. ke každému bodu 𝐴 ∈ 𝐺 existuje 𝜀 > 0, že 𝑈𝜀 (𝐴) ⊂ 𝐺.
DEFINICE: UZAVŘENÁ MNOŽINA Množina 𝐹 v 𝑅 2 je uzavřená, jestliže její doplněk 𝑅 2 \𝐹 je otevřená množina.
Obrázek 4 – otevřená množina (vlevo), uzavřená množina (vpravo)
DEFINICE: SOUVISLÁ MNOŽINA Množina 𝑁 se nazývá souvislá, jestliže každé dva body, ležící v množině 𝑁 lze spojit lomenou čarou, ležící v 𝑁.
DEFINICE: OBLAST Otevřená souvislá množina se nazývá oblast. Značíme ji 𝛺.
4
1.3.
DEFINICE FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
DEFINICE: FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Zobrazení 𝑓: 𝑅 2 → 𝑅 nazveme funkcí dvou proměnných. Je-li [𝑥, 𝑦], pak používáme značení 𝑓: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦).
DEFINICE: DEFINIČNÍ OBOR FUNKCE Definiční obor funkce 𝑓 (označujeme 𝐷𝑓 , popř. 𝐷(𝑓)) je množina všech bodů [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 , pro něž existuje 𝑧 ∈ 𝑅, že 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧. Není-li řečeno jinak, považujeme za definiční obor funkce 𝑓 množinu všech bodů [𝑥, 𝑦], pro které má 𝑓(𝑥, 𝑦) smysl.
Při vyšetřování definičního oboru funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) postupujeme tak, že nejprve popíšeme definiční obor systémem nerovností, pak určíme geometrické oblasti, odpovídající těmto nerovnostem a na závěr definiční obor znázorníme graficky. PŘÍKLAD: Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2 − 1 + ln(9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ). Řešení: Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tj. musí být splněna podmínka 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1 ≥ 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 1. Rovnice 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 je rovnicí kružnice se středem v počátku [0, 0] a poloměrem 𝑟 = 1. Množina všech bodů [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 splňující tuto nerovnost, je znázorněna na obrázku č. 5. Je to uzavřená množina v 𝑅 2.
Obrázek 5
5
Argument logaritmu musí být nezáporný a nesmí se rovnat nule, tj. musí být splněna podmínka 9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 > 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 < 9. Rovnice 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 je rovnicí kružnice se středem v počátku [0, 0] a poloměrem 𝑟 = 3. Množina všech bodů [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 splňující tuto nerovnost, je znázorněna na obrázku č. 6. Je to otevřená množina v 𝑅 2.
Obrázek 6
Definičním oborem zadané funkce 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 − 1 + ln(9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ) je pak množina všech bodů [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 splňující obě výše uvedené nerovnosti současně tzv. mezikruží, viz obrázek č. 7.
Obrázek 7
PŘÍKLAD: Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = arcsin (
𝑥+𝑦 ) − √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 . 2
Řešení: Definičním oborem prvního sčítance je množina bodů [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2, které splňují nerovnosti
6
−1 ≤
𝑥+𝑦 ≤1 2
−2 ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 2 −2 ≤ 𝑥 + 𝑦
𝑥+𝑦 ≤2
𝑦 ≥ −𝑥 − 2
𝑦 ≤2−𝑥 𝑥+𝑦 ) 2
Grafy křivek 𝑦 = −𝑥 − 2 a 𝑦 = 2 − 𝑥 jsou přímky a definičním oborem funkce 𝑧 = arcsin (
je
pás mezi nimi, viz obrázek č. 8.
Obrázek 8
Definičním oborem druhého sčítance je množina bodů [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2, pro které platí 4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ≥ 0. Rovnice 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 je rovnicí kružnice se středem v bodě [0, 0] a poloměrem 𝑟 = 2.
Obrázek 9
Množina všech bodů [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 splňující výše uvedené nerovnosti současně, tj. definiční obor funkce 𝑥+𝑦 ) − √4 2
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = arcsin (
− 𝑥 2 − 𝑦 2 , je znázorněna na obrázku č. 9. (Jedná se o překryv
modré, červené a zelené.) Je to uzavřená množina v 𝑅 2.
7
PŘÍKLAD: Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce: 4𝑥 − 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = √ . 𝑥2 − 𝑦 Řešení: Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tj. musí být splněna podmínka 4𝑥 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ≥ 0. 𝑥2 − 𝑦 To nastane právě když 4𝑥 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ≥ 0
a
𝑥2 − 𝑦 > 0
4𝑥 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ≤ 0
a
𝑥 2 − 𝑦 < 0.
nebo
Rovnice 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 = 0 je rovnicí kružnice se středem v bodě [2, 0] a poloměrem 𝑟 = 2, neboť tuto rovnici lze převést na tvar (𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 = 4. Rovnice 𝑦 = 𝑥 2 je rovnicí paraboly. Obě výše uvedené situace jsou znázorněny na obrázku č. 10 – vlevo je zachycena situace (𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 ≤ 4
a
𝑦 < 𝑥2,
(𝑥 − 2)2 + 𝑦 2 ≥ 4
a
𝑦 > 𝑥2.
vpravo pak
Obrázek 10
Množina všech bodů [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 splňující výše uvedené nerovnosti, tj. definiční obor funkce, je znázorněna na obrázku č. 11.
8
Obrázek 11
PŘÍKLAD: Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = √(𝑥 2 +
(𝑦 − 2)2 − 1) (𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥). 4
Řešení: Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, tj. musí být splněna podmínka (𝑥 2 +
(𝑦 − 2)2 − 1) (𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥) ≥ 0. 4
To nastane právě když 𝑥2 +
(𝑦 − 2)2 −1≥0 4
a
(𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥) ≥ 0
𝑥2 +
(𝑦 − 2)2 −1 ≤ 0 4
a
(𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥) ≤ 0.
nebo
Rovnice 𝑥 2 +
(𝑦−2)2 4
= 1 je rovnicí elipsy se středem v bodě [0, 2] a poloosami délek 𝑎 = 1 a 𝑏 = 2,
rovnice 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 = 0 je rovnicí kružnice se středem v bodě [3, 0] a poloměrem 𝑟 = 3, neboť tuto rovnici lze převést na tvar (𝑥 − 3)2 + 𝑦 2 = 9. Obě výše uvedené situace jsou znázorněny na obrázku č. 12.
9
Obrázek 12
Množina všech bodů [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 splňující výše uvedené nerovnosti, tj. definiční obor funkce, je znázorněna na obrázku č. 13. Je to uzavřená množina v 𝑅 2.
Obrázek 13
Obdobně, jako u funkce jedné proměnné, zavádíme obor hodnot, graf funkce i rovnost funkcí. DEFINICE: OBOR HODNOT FUNKCE Oborem hodnot funkce 𝑓 je množina všech 𝑧 ∈ 𝑅 takových, že 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) pro nějaké [𝑥, 𝑦] ∈ 𝐷𝑓 . DEFINICE: GRAF FUNKCE Grafem funkce 𝑓 je množina všech bodů [𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)] zobrazených v 𝑅 3 s kartézským systémem souřadnic. VĚTA: ROVNOST FUNKCÍ Funkce 𝑓, 𝑔 jsou si rovny, tj. 𝑓 = 𝑔, jestliže mají stejné grafy (jsou množinově stejné).
10
Obrázek 14: Graf funkce dvou proměnných
1.4.
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH – GRAFICKÉ ZNÁZORNĚNÍ
DEFINICE: ELEMENTÁRNÍ FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Elementární funkce dvou proměnných jsou funkce, které jsou vytvořeny ze základních funkcí (jedné proměnné) a projekcí 𝑃1 (𝑥, 𝑦) = 𝑥,
𝑃2 (𝑥, 𝑦) = 𝑦,
𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅.
Připomeňme, že projekcí chápeme algebraické operace (sčítání, odečítání, násobení, dělení) a skládání funkcí. Elementární funkce jedné proměnné jsou pak např.:
konstantní identita mocniny řádu 𝑛
𝑦 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎, 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑛,
odmocniny řádu 𝑛 exponenciála logaritmus sinus arkussinus arkustangens
𝑦 = √𝑥 , (𝑛 ∈ 𝑁), 𝑥 𝑦=𝑒 , 𝑦 = ln 𝑥, 𝑦 = sin 𝑥, 𝑦 = arcsin 𝑥, 𝑦 = arctg 𝑥, …
𝑛
11
(𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 ∈ 𝑅),
𝒙𝟐 +𝒚𝟐 𝟐
Obrázek 15: Elementární graf funkce dvou proměnných 𝒛 = −𝟖𝒙𝒚𝒆−
Podobně jako u funkce jedné proměnné budeme předpokládat, že funkce jsou spojité v každém vnitřním bodě definičního oboru. Pojmu spojitosti se budeme věnovat později v podkapitole (1.6.).
1.5.
ÚROVŇOVÉ KŘIVKY - VRSTEVNICE
Při znázornění funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) v kartézské soustavě souřadnic v prostoru je často užitečné sestrojit řezy grafu význačnými rovinami, jako jsou například souřadnicové roviny, roviny s nimi rovnoběžné nebo roviny procházející souřadnicovou osou. K významným řezům plochy 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) náleží její řezy rovinami 𝑧 = 𝐶 (kde 𝐶 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎), kolmými na osu 𝑧, které se nazývají úrovňové křivky – vrstevnice. Jsou to křivky o rovnicích 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑧 = 𝐶. Jejich znalost nám umožňuje utvořit si lepší představu o dané funkci.
Obrázek 16 – jedna z úrovňových křivek a její průmět do roviny 𝒙𝒚
Na obrázku č. 17 (a) je znázorněn graf funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), který znázorňuje povrch hory. Na obrázku č. 17 (b) je pomocí úrovňových křivek – vrstevnic vytvořena topografická mapa terénu.
12
Obrázek 17
1.6.
SPOJITOST FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
Spojitost v bodě funkce dvou proměnných se definuje analogicky jako pro funkci jedné proměnné. DEFINICE: SPOJITOST V BODĚ – LOKÁLNÍ SPOJITOST Funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) se nazývá spojitá v bodě 𝐴, jestliže ke každému 𝜀 > 0 existuje 𝛿 > 0 takové, že pro každé 𝑋[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑈𝛿 (𝐴) platí 𝑓(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑈𝜀 (𝑓(𝐴)). Takto definovaná spojitost funkce 𝑓 v bodě 𝐴 má smysl pouze, pokud je bod 𝐴 vnitřním bodem definičního oboru. VĚTA: SPOJITOST ELEMENTÁRNÍCH FUNKCÍ Elementární funkce 𝑓 je spojitá v každém vnitřním bodě svého definičního oboru. Je-li definičním oborem funkce 𝑓 otevřená množina, je 𝑓 spojitá na svém definičním oboru. Poznámka: Uvědomme si tedy, že všechny mnohočleny, goniometrické, cyklometrické, exponenciální a logaritmické funkce, obecná mocnina a dále všechny funkce, které z nich získáme konečným počtem operací sčítání, odečítání, násobení, dělení a skládání těchto funkcí navzájem jsou spojité v každém vnitřním bodě svého definičního oboru. 13
Poznámka: Pojem limity funkce dvou proměnných se zavádí analogicky jako u funkce jedné proměnné. Tedy funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) má limitu 𝐿, jestliže se funkční hodnoty 𝑓(𝑥, 𝑦) libovolně blíží číslu 𝐿, blíží-li se bod [𝑥, 𝑦] bodu [𝑥0 , 𝑦0 ]. Problém limity funkce dvou proměnných a jejího výpočtu je však mnohem složitější. Pro naše účely si stačí uvědomit, že výpočet limity lim 𝑓(𝑥, 𝑦) provádíme obdobně (𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 )
jako u funkce jedné proměnné, tedy dosazením 𝑥 = 𝑥0 a 𝑦 = 𝑦0 do funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Podrobněji např. viz [2]. PŘÍKLAD: Vypočítejte: 𝑦 + sin(𝑥 + 𝜋) (𝑥,𝑦)→(0,1) 𝑥 + 3𝑥𝑦 3 + 𝑦 lim
Řešení: Dosazením 𝑥 = 0, 𝑦 = 1 obdržíme výsledek: lim
(𝑥,𝑦)→(0,1)
1.7.
𝑦 + sin(𝑥 + 𝜋) 1+0 = = 1. 𝑥 + 3𝑥𝑦 3 + 𝑦 0+0+1
DERIVACE FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH
1.7.1. PARCIÁLNÍ DERIVACE DEFINICE: PARCIÁLNÍ DERIVACE 1. ŘÁDU Nechť funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) je definovaná v okolí bodu 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ]. 1. Má-li funkce 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) proměnné 𝑥 v bodě 𝑥 = 𝑥0 derivaci 𝑔′ (𝑥0 ), nazýváme ji parciální derivací 1. řádu nebo první parciální derivací podle 𝑥 funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) v bodě 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ] a značíme ji 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ). Platí tedy 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥,𝑦0 )−𝑓(𝑥0 ,𝑦0 ) . 𝑥−𝑥0
2. Má-li funkce ℎ(𝑦) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦) proměnné 𝑦 v bodě 𝑦 = 𝑦0 derivaci ℎ′ (𝑦0 ), nazýváme ji parciální derivací 1. řádu nebo první parciální derivací podle 𝑦 funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) v bodě 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ] a značíme ji 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ). Platí tedy 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = lim𝑦→𝑦0
𝑓(𝑥0 ,𝑦)−𝑓(𝑥0 ,𝑦0 ) . 𝑦−𝑦0
Parciální derivace v bodě značíme i různými jinými symboly, např.: 𝑓𝑥′ (𝑃0 ),
∂𝑓(𝑃0 ) , ∂𝑥
∂𝑧(𝑃0 ) , ∂𝑥 14
𝑧𝑥′ (𝑃0 ),
…
Nechť funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) má v každém bodě 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ] oblasti 𝛺, parciální derivaci 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ). Tím je na oblasti 𝛺 definována funkce přiřazující každému bodu 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ] hodnotu 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ). Tuto novou funkci budeme značit 𝑓𝑥′ (případně 𝑧𝑥′ ) a nazývat první parciální derivací podle 𝑥. Obdobným způsobem dospějeme k první parciální derivaci podle 𝑦, kterou značíme 𝑓𝑦′ (případně 𝑧𝑦′ ). Poznámka: Z definice vyplývá, že při výpočtu parciální derivace 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) považujeme 𝑥 za proměnnou, zatímco 𝑦 za konstantu. Obdobně při výpočtu 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) považujeme 𝑦 za proměnnou a 𝑥 za konstantu. Pracujeme tedy s funkcí 𝑓 jako s funkcemi jedné proměnné. Přitom zůstávají v platnosti pravidla a vzorce, která platí pro derivování funkce jedné proměnné. Budeme přitom předpokládat, že prováděné operace se uskutečňují na vnitřních bodech definičního oboru uvažovaných funkcí. Poznámka: Poznamenejme, že při praktickém výpočtu používáme pro výpočet parciálních derivací tatáž pravidla jako pro výpočet obyčejných derivací, tj. používáme vzorce pro derivaci součinu, podílu, složené funkce, součtu, rozdílu apod. Protože derivujeme podle základních derivačních vzorců, máme zajištěnu spojitost ve vnitřních bodech 𝐷𝑓 . Parciální derivace 1. řádu si nyní ukážeme na příkladech. Budeme přitom předpokládat, že prováděné operace se uskutečňují na vnitřních bodech definičního oboru uvažovaných funkcí. PŘÍKLAD: Určete parciální derivace 1. řádu funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5𝑥𝑦 2 − 3𝑥 + √𝑦 + 24 Řešení: 𝑧𝑥′ = 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 5𝑦 2 − 3 𝑧𝑦′ = 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 10𝑥𝑦 +
1 2√𝑦
PŘÍKLAD: Určete parciální derivace 1. řádu funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) ∙ ln 𝑥 Řešení: 𝑧𝑥′ = 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = ln 𝑥 + (𝑥 + 𝑦) ∙
1 𝑥 ∙ ln 𝑥 + 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 𝑥
𝑧𝑦′ = 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = ln 𝑥 15
PŘÍKLAD: Určete parciální derivace 1. řádu funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑦2
𝑥 +1
Řešení: 𝑧𝑥′ = 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) =
𝑦2
1 +1
𝑧𝑦′ = 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 𝑥 ∙ (−1) ∙ (𝑦 2 + 1)−2 ∙ 2𝑦 =
−2𝑥𝑦 (𝑦 2 + 1)2
PŘÍKLAD: Určete parciální derivace 1. řádu funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = arctg
𝑦 𝑥
Řešení: 𝑦 − 2 𝑦 𝑦 𝑧𝑥′ = 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = ∙ (− 2 ) = 2 𝑥 2 = − 2 𝑦 2 𝑥 + 𝑦 𝑥 𝑥 + 𝑦2 1 + (𝑥 ) 2 𝑥 1
𝑧𝑦′
=
𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦)
1 1 𝑥 = ∙ = 2𝑥 2 = 2 2 𝑦 𝑥 +𝑦 𝑥 𝑥 + 𝑦2 1 + (𝑥 ) 2 𝑥 1
PŘÍKLAD: Určete parciální derivace 1. řádu funkce v bodě [2, 1]: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥𝑦 +
𝑥 𝑦
Řešení:
𝑧𝑥′
𝑧𝑦′
=
=
𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦)
𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦)
=
1 𝑦+𝑦
=
,
𝑥 2√𝑥𝑦 + 𝑦 𝑥−
𝑥 𝑦2
𝑥 2√𝑥𝑦 + 𝑦
𝑓𝑥′ (2, 1)
𝑓𝑦′ (2, 1)
,
16
=
=
1+
1 1
2 2√2 ∙ 1 + 1 2−
2 12
2 2√2 ∙ 1 + 1
=
1 2
=0
DEFINICE: HLADKÁ FUNKCE – PRVNÍHO ŘÁDU Řekneme, že funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) je v bodě 𝐶[𝑐1 , 𝑐2 ] hladká prvního řádu, existuje-li okolí 𝑈(𝐶) tak, že parciální derivace 𝑧𝑥′ = 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) a 𝑧𝑦′ = 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) v tomto okolí existují a jsou v bodě 𝐶 spojité. PŘÍKLAD: Rozhodněte, zda funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 3 − 2𝑥𝑦 2 je v bodě [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 hladká prvního řádu. Řešení: Platí 𝑧𝑥′ = 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 3 − 2𝑦 2
𝑧𝑦′ = 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 𝑦 2 − 4𝑥𝑦.
Parciální derivace prvního řádu jsou elementární funkce v celém 𝑅 2 , a tedy spojité v libovolném bodě [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2. Odtud plyne, že zadaná funkce je hladká prvního řádu v libovolném bodě [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 .
1.7.2. GEOMETRICKÝ VÝZNAM PARCIÁLNÍ DERIVACE Parciální derivace funkce dvou proměnných 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) v bodě 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ] mají obdobný geometrický význam jako v případě funkce jedné proměnné. Nechť 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) je funkce definovaná v oblasti 𝛺. Bodem [𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ], kde 𝑧0 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ), veďme rovinu 𝑦 = 𝑦0 . Tato rovina je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou 𝑥𝑧 a protíná plochu 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) v křivce 𝑔(𝑥). Parciální derivace 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) je stejná jako derivace funkce 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦0 ) v bodě 𝑥 = 𝑥0 . Geometricky představuje směrnici tečny 𝑡1 , sestrojené v bodě [𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ] k řezu plochy 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) rovinou 𝑦 = 𝑦0 . Je tedy 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = tg 𝛼, kde 𝛼 značí úhel, který svírá příslušná tečna s kladnou částí osy 𝑥. Podobně parciální derivace 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) představuje směrnici tečny 𝑡2 sestrojené v bodě [𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ] k řezu plochy 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) rovinou 𝑥 = 𝑥0 . Je tedy 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = tg 𝛽, kde 𝛽 značí úhel, který svírá příslušná tečna s kladnou částí osy 𝑦, viz obrázky č. 18 a 19.
17
Obrázek 18 – Pozn.: 𝒛𝟎 = 𝒇(𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 )
Obrázek 19
1.7.3. TEČNÁ ROVINA A NORMÁLA PLOCHY V tomto odstavci budeme předpokládat, že funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) je hladká prvního řádu a bod 𝑃[𝑥0 , 𝑦0 ] je vnitřním bodem jejího definičního oboru. Mějme funkci 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), která má v bodě 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ] spojité parciální derivace 𝑓𝑥′ (𝑃0 ), 𝑓𝑦′ (𝑃0 ). Ty představují směrnice tečen 𝑡1 , 𝑡2 sestrojených v bodě 𝑃[𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ] ležícím na ploše 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) k jejím řezům rovinami 𝑦 = 𝑦0 , 𝑥 = 𝑥0 .
18
DEFINICE: TEČNÁ ROVINA A NORMÁLA PLOCHY Rovina, která je určená tečnami 𝑡1 , 𝑡2 , se nazývá tečná rovina plochy 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) v bodě 𝑃[𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ]. Její rovnice je 𝑧 − 𝑧0 = 𝑓𝑥′ (𝑃0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓𝑦′ (𝑃0 )(𝑦 − 𝑦0 ). Přímka kolmá na tečnou rovinu plochy v jejím bodě dotyku 𝑃 se nazývá normála plochy v tomto bodě. Její parametrické rovnice jsou: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑓𝑥′ (𝑃0 )𝑡,
𝑦 = 𝑦0 + 𝑓𝑦′ (𝑃0 )𝑡,
𝑧 = 𝑧0 − 𝑡,
kde 𝑡 ∈ 𝑅. PŘÍKLAD: Určete tečnou rovinu a normálu plochy o rovnici: 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2 − 𝑥𝑦 v bodě 𝑃[3, 4, ? ]. Řešení: Nejprve určíme hodnotu uvažované funkce v bodě 𝑃0 [3, 4]. 𝑓(𝑃0 ) = 𝑓(3, 4) = √32 + 42 − 3 ∙ 4 = −7. Dále vypočítáme parciální derivace: 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) =
𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) =
− 𝑦,
𝑦 √𝑥 2 + 𝑦 2
Hodnota těchto derivací v bodě 𝑃0 je: 𝑓𝑥′ (3, 4) = 𝑓𝑦′ (3, 4) =
3 √32 + 42 4 √32
+
42
−4=
3 17 −4=− , 5 5
−3=
4 11 −3=− . 5 5
Rovnice tečné roviny tedy je 𝑧 − (−7) = −
17 11 (𝑥 − 3) − (𝑦 − 4). 5 5
Po úpravě 17𝑥 + 11𝑦 + 5𝑧 − 60 = 0. Parametrické rovnice normály plochy v bodě 𝑃0 jsou 𝑥 =3− 19
17 𝑡, 5
− 𝑥.
𝑦 =4−
11 𝑡, 5
𝑧 = −7 − 𝑡, kde 𝑡 ∈ 𝑅.
1.7.4. DIFERENCIÁL FUNKCE Připomeňme, že diferenciálem funkce jedné proměnné v bodě 𝑥0 rozumíme přírůstek funkce na tečně vedené ke grafu funkce v bodě [𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )]. Označíme-li přírůstek nezávisle proměnné d𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 , pak diferenciál funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) v bodě 𝑥0 je lineární funkce proměnné d𝑥 d𝑓(𝑥0 ) = 𝑓 ′ (𝑥0 ) ∙ d𝑥. U funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) je tzv. totální diferenciál definován analogicky: je to přírůstek funkce na tečné rovině vedené ke grafu funkce bodem [𝑥0 , 𝑦0 , 𝑓(𝑥0 )]. Tečná rovina má s grafem funkce lokálně (tj. v okolí bodu, kde ji sestrojujeme) společný právě jeden bod.
DEFINICE: DIFERENCIÁL FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Nechť má funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) v bodě [𝑥0 , 𝑦0 ] spojité parciální derivace 1. řádu a označme přírůstky nezávisle proměnných jako d𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 ,
d𝑦 = 𝑦 − 𝑦0 .
Diferenciál funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) v bodě [𝑥0 , 𝑦0 ] je lineární funkce proměnných 𝑑𝑥 a 𝑑𝑦 tvaru d𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ d𝑥 + 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ d𝑦. Má-li funkce v daném bodě diferenciál, říkáme, že je v tomto bodě diferencovatelná. VĚTA: SPOJITOST Je-li funkce𝑓 diferencovatelná v bodě [𝑥0 , 𝑦0 ], pak je v tomto bodě spojitá. Poznámka: Opak této věty neplatí. Je-li funkce spojitá, nemusí být diferencovatelná, např. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2 v bodě [0, 0], promyslete samostatně. VĚTA: PŘIBLIŽNÁ HODNOTA FUNKCE Má-li funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) v bodě [𝑥0 , 𝑦0 ] totální diferenciál, má graf funkce v tomto bodě tečnou rovinu o rovnici
20
𝑧 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) + 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ (𝑦 − 𝑦0 ). Rovnice tečné roviny je nejlepší lineární aproximací funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) v okolí bodu [𝑥0 , 𝑦0 ]. Přibližná hodnota funkce je 𝑓(𝑥, 𝑦) =̇ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) + 𝑑𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ). PŘÍKLAD: Vypočítejte hodnotu totálního diferenciálu funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = arctg
𝑦 𝑥
v bodě [1, 1] pro d𝑥 = 0,01 a d𝑦 = 0,02. Řešení: Parciální derivace 1. řádu již známe: 𝑓𝑥′ = −
𝑦 , 𝑥2 + 𝑦2
𝑓𝑦′ =
𝑥 . 𝑥2 + 𝑦2
Hodnota totálního diferenciálu v bodě [1, 1] pro dané přírůstky je 1 1 1 d𝑓(1, 1) = − ∙ 0,01 + ∙ 0,02 = . 2 2 200 PŘÍKLAD: Pomocí totálního diferenciálu přibližně vypočtěte: 1,042,02 . Řešení: K výpočtu použijeme diferenciál funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦 v bodě [1, 2] s přírůstky d𝑥 = 0,04, d𝑦 = 0,02. Parciální derivace jsou 𝑓𝑥′ = 𝑦𝑥 𝑦−1 ,
𝑓𝑦′ = 𝑥 𝑦 ln 𝑥 .
Platí potom d𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑥 𝑦−1 ∙ d𝑥 + 𝑥 𝑦 ln 𝑥 ∙ d𝑦, d𝑓(1, 2) = 2 ∙ d𝑥 + 0 ∙ 𝑑𝑦 = 2d𝑥. A tedy podle výše uvedené věty 1,042,02 = 𝑓(1,04; 2,02) =̇ 𝑓(1, 2) + d𝑓(1, 2) 1,042,02 =̇ 12 + 2 ∙ 0,04 = 1,08.
21
PŘÍKLAD: Pomocí totálního diferenciálu přibližně vypočtěte: √(2,98)2 + (4,05)2 . Řešení: K výpočtu použijeme diferenciál funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2 v bodě [3, 4] s přírůstky d𝑥 = −0,02, d𝑦 = 0,05. Parciální derivace jsou 𝑓𝑥′ =
𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑓𝑦′ =
,
𝑦 √𝑥 2 + 𝑦 2
.
Platí potom d𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2
d𝑓(3, 4) =
∙ d𝑥 +
𝑦 √𝑥 2 + 𝑦 2
∙ d𝑦,
3 4 ∙ d𝑥 + ∙ d𝑦 . 5 5
A tedy podle výše uvedené věty √(2,98)2 + (4,05)2 =̇ 𝑓(3, 4) + d𝑓(3, 4) 3 4 √(2,98)2 + (4,05)2 =̇ 5 + ∙ (−0,02) + ∙ 0,05 5 5 1 √(2,98)2 + (4,05)2 =̇ 5 + ∙ 0,14 = 5,028. 5 PŘÍKLAD: Napište rovnici tečné roviny grafu funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 v bodě [1, 1, ? ]. Řešení: Dosazením do funkčního předpisu najdeme z-ovou souřadnici dotykového bodu 𝑧 = 12 + 12 = 2. Vypočteme parciální derivace 𝑓𝑥′ = 2𝑥,
𝑓𝑦′ = 2𝑦
A jak již umíme, přímým dosazením do vzorce pro tečnou rovinu dostáváme její rovnici 𝑧 = 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) + 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) ∙ (𝑦 − 𝑦0 ) 𝑧 = 2 + 2 ∙ (𝑥 − 1) + 2 ∙ (𝑦 − 1) 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 2 = 0.
22
Jak již víme, ze samotné existence parciálních derivací funkce v bodě [𝑥0 , 𝑦0 ] neplyne diferencovatelnost. Jsou-li však tyto derivace v tomto bodě spojité, je diferencovatelnost zaručena, jak ukazuje následující věta. VĚTA: Má-li funkce𝑓 v bodě [𝑥0 , 𝑦0 ] spojité parciální derivace 1. řádu, pak má v tomto bodě také diferenciál. Poznámka: Mějme funkci definovanou předpisem 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
1 0
když 𝑥 = 0 nebo 𝑦 = 0, tj. na osách, když 𝑥 ≠ 0 a 𝑦 ≠ 0, tj. mimo osy.
Grafem funkce je rovina 𝑥𝑦, z níž je „vyzdvižen“ osový kříž, viz obrázek č. 20, šedá barva. Zadaná funkce není v bodě [0, 0] spojitá, ale obě parciální derivace jsou v tomto bodě spojité, rovny nule. Rovina v bodě [0, 0] (v obrázku č. 20 červená) není tečnou rovinou ke grafu funkce v bodě [0, 0].
Obrázek 20
1.7.5. PARCIÁLNÍ DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ DEFINICE: PARCIÁLNÍ DERIVACE 2. ŘÁDU Nechť funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) má v každém bodě oboru 𝛺 parciální derivace 𝑓𝑥′ , 𝑓𝑦′. Mají-li tyto nové funkce 𝑓𝑥′ , 𝑓𝑦′ v oboru 𝛺1 ⊆ 𝛺 parciální derivaci podle 𝑥, případně podle 𝑦, nazýváme je parciálními ′′ (𝑥, ′′ (𝑥, derivacemi 2. řádu nebo druhými parciálními derivacemi a značíme je 𝑓𝑥𝑥 𝑦), 𝑓𝑥𝑦 𝑦), ′′ (𝑥, ′′ (𝑥, 𝑓𝑦𝑥 𝑦), 𝑓𝑦𝑦 𝑦). Parciální derivace druhého řádu značíme i jinak, např.:
23
∂2 𝑓(𝑥, 𝑦) , ∂𝑥 2
∂2 𝑓(𝑥, 𝑦) , ∂𝑥 ∂𝑦
′′ 𝑧𝑥𝑥 ,
∂2 𝑧 , ∂𝑥 ∂𝑦
…
Derivováním podle 𝑥 nebo podle y parciálních derivací 2. řádu dostaneme parciální derivace 3. řádu neboli třetí parciální derivace. Analogicky se definují parciální derivace funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) řádu 𝑛 > 3. Přitom pořadí symbolů 𝑥 a 𝑦 v indexu (případně ve jmenovateli) značí pořadí, v jakém jsme derivovali podle jednotlivých proměnných. Obecně parciální derivace k-tého řádu funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) dostaneme z parciálních derivací řádu 𝑘 − 1 opětovným derivováním podle 𝑥, popř. podle 𝑦. PŘÍKLAD: Určete parciální derivace 2. řádu funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑦3 . 1 − 𝑥2
Řešení: Nejprve určíme parciální derivace 1. řádu: 𝑧𝑥′ = 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) =
2𝑥𝑦 3 , (1 − 𝑥 2 )2
𝑧𝑦′ = 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) =
3𝑦 2 . 1 − 𝑥2
Jejich derivováním pak dostaneme parciální derivace 2. řádu: ′′ 𝑧𝑥𝑥 =
2𝑦 3 ∙ (1 − 𝑥 2 )2 − 2𝑥𝑦 3 ∙ 2(1 − 𝑥 2 )(−2𝑥) 2𝑦 3 (1 + 3𝑥 2 ) = ; (1 − 𝑥 2 )4 (1 − 𝑥 2 )3 ′′ 𝑧𝑦𝑦 =
′′ 𝑧𝑥𝑦 =
6𝑦 ; 1 − 𝑥2
6𝑥𝑦 2 ′′ = 𝑧𝑦𝑥 . (1 − 𝑥 2 )2
Vyšší parciální derivace, které vznikají derivováním podle různých proměnných, se nazývají smíšené ′′ ′′ derivace. Ve výše uvedeném příkladě jsou smíšené parciální derivace 𝑧𝑥𝑦 , 𝑧𝑦𝑥 stejné. Následující věta ukazuje, že nejde o náhodný jev. U smíšených parciálních derivací za jistých předpokladů nezáleží na pořadí proměnných, podle kterých derivujeme, ale pouze na tom, kolikrát podle jednotlivých proměnných derivujeme. VĚTA: SCHWARZOVA 1 VĚTA – ROVNOST SMÍŠENÝCH PARCIÁLNÍCH DERIVACÍ ′′ (𝑥, ′′ (𝑥, Jestliže smíšené parciální derivace 𝑓𝑥𝑦 𝑦), 𝑓𝑦𝑥 𝑦) funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) existují v okolí 𝑈(𝑃0 ) bodu 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ] a jsou v tomto bodě spojité, pak platí ′′ (𝑃 ) ′′ 𝑓𝑥𝑦 0 = 𝑓𝑦𝑥 (𝑃0 ).
1
Hermann Schwarz (1843–1921) byl německý matematik, známý především pro jeho práci v komplexní analýze a diferenciální geometrii.
24
PŘÍKLAD: Určete parciální derivace 2. řádu funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 2 + 𝑦 2 + 1). Řešení: Nejprve určíme parciální derivace 1. řádu: 𝑧𝑥′ = 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) =
𝑥2
2𝑥 , + 𝑦2 + 1
𝑧𝑦′ = 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) =
𝑥2
2𝑦 . + 𝑦2 + 1
Jejich derivováním pak dostaneme parciální derivace 2. řádu: ′′ 𝑧𝑥𝑥 =
2(𝑥 2 + 𝑦 2 + 1) − 4𝑥 2 2𝑦 2 − 2𝑥 2 + 2 = 2 ; (𝑥 2 + 𝑦 2 + 1)2 (𝑥 + 𝑦 2 + 1)2
′′ 𝑧𝑦𝑦 =
2(𝑥 2 + 𝑦 2 + 1) − 4𝑦 2 2𝑥 2 − 2𝑦 2 + 2 = 2 ; (𝑥 2 + 𝑦 2 + 1)2 (𝑥 + 𝑦 2 + 1)2 ′′ 𝑧𝑥𝑦 =
(𝑥 2
−4𝑥𝑦 ′′ = 𝑧𝑦𝑥 . + 𝑦 2 + 1)2
PŘÍKLAD: Určete parciální derivace 2. řádu funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = arctg
𝑦 𝑥
Řešení: Parciální derivace 1. řádu již známe: 𝑧𝑥′ = −
𝑥2
𝑦 , + 𝑦2
𝑧𝑦′ =
𝑥2
Jejich derivováním pak dostaneme parciální derivace 2. řádu: ′′ 𝑧𝑥𝑥 =
(𝑥 2
′′ 𝑧𝑦𝑦 =−
′′ 𝑧𝑥𝑦 =
2𝑥𝑦 ; + 𝑦 2 )2
(𝑥 2
2𝑥𝑦 ; + 𝑦 2 )2
𝑦2 − 𝑥2 ′′ = 𝑧𝑦𝑥 . (𝑥 2 + 𝑦 2 )2
PŘÍKLAD: Určete parciální derivace 2. řádu funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −𝑥
25
2 −𝑦 2
𝑥 . + 𝑦2
Řešení: Nejprve určíme parciální derivace 1. řádu: 𝑧𝑥′ = −2𝑥 ∙ 𝑒 −𝑥
2 −𝑦2
𝑧𝑦′ = −2𝑦 ∙ 𝑒 −𝑥
,
2 −𝑦2
.
Jejich derivováním pak dostaneme parciální derivace 2. řádu: ′′ 𝑧𝑥𝑥 = (−2 + 4𝑥 2 ) ∙ 𝑒 −𝑥
2 −𝑦 2
;
2 −𝑦2
;
′′ 𝑧𝑦𝑦 = (−2 + 4𝑦 2 ) ∙ 𝑒 −𝑥 ′′ 𝑧𝑥𝑦 = 4𝑥𝑦 ∙ 𝑒 −𝑥
2 −𝑦 2
′′ = 𝑧𝑦𝑥 .
DEFINICE: HLADKÁ FUNKCE Řekneme, že funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) je v bodě 𝐶[𝑐1 , 𝑐2 ] hladká řádu 𝑘, existuje-li okolí 𝑈(𝐶) tak, že všechny parciální derivace do řádu 𝑘 včetně, funkce 𝑓(𝑥, 𝑦), v tomto okolí existují a jsou v bodě 𝐶 spojité. Hladké funkce řádu 𝑘 pak označujeme 𝐶 𝑘 (𝛺). PŘÍKLAD: Rozhodněte, zda funkce: 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 3 − 2𝑥𝑦 2 je v bodě [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 hladká druhého řádu. Řešení: Již víme, že 𝑧𝑥′ = 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 3 − 2𝑦 2
𝑧𝑦′ = 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 𝑦 2 − 4𝑥𝑦.
Parciální derivace prvního řádu jsou elementární funkce v celém 𝑅 2 , a tedy jsou v 𝑅 2 spojité. Odtud plyne, že zadaná funkce je hladká prvního řádu v celém 𝑅 2 . Dále platí: ′′ 𝑧𝑥𝑥 = 2𝑦 3 ; ′′ 𝑧𝑦𝑦 = 6𝑥 2 y − 4𝑥; ′′ ′′ 𝑧𝑥𝑦 = 6𝑥𝑦 2 − 4y = 𝑧𝑦𝑥 .
Parciální derivace druhého řádu jsou opět elementární funkce v celém 𝑅 2 , a tedy spojité v libovolném bodě [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2. Odtud plyne, že zadaná funkce je hladká druhého řádu v libovolném bodě [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 .
26
1.7.6. DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE Na úvod připomeňme, jak se derivuje složená funkce jedné proměnné: Má-li funkce 𝑔 derivaci v bodě 𝑥0 a funkce 𝑓 derivaci v bodě 𝑢0 = 𝑔(𝑥0 ), je derivace složené funkce 𝑓(𝑔(𝑥0 )) rovna součinu derivací jejích jednotlivých funkcí (vnitřní a vnější), tj. ′
(𝑓(𝑔(𝑥0 ))) = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥0 )) ∙ 𝑔′(𝑥0 ). Nyní odvodíme podobné vztahy pro parciální derivace složené funkce dvou proměnných. Předpokládejme, že funkce jsou hladké.
VĚTA: DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE Nechť funkce 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦) mají parciální derivace prvního řádu v bodě [𝑥0 , 𝑦0 ], označme 𝑢0 = 𝑢(𝑥0 , 𝑦0 ), 𝑣0 = 𝑣(𝑥0 , 𝑦0 ). Je-li funkce 𝑧 = 𝑓(𝑢, 𝑣) diferencovatelná v bodě [𝑢0 , 𝑣0 ], pak složená funkce 𝑧 = 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣(𝑥, 𝑦)) má parciální derivace 1. řádu v bodě [𝑥0 , 𝑦0 ] a platí: 𝜕𝐹 𝜕𝑓 𝜕𝑢 𝜕𝑓 𝜕𝑣 (𝑥0 , 𝑦0 ) = (𝑢0 , 𝑣0 ) ∙ (𝑥0 , 𝑦0 ) + (𝑢0 , 𝑣0 ) ∙ (𝑥 , 𝑦 ) 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 0 0 𝜕𝐹 𝜕𝑓 𝜕𝑢 𝜕𝑓 𝜕𝑣 (𝑥0 , 𝑦0 ) = (𝑢0 , 𝑣0 ) ∙ (𝑥0 , 𝑦0 ) + (𝑢0 , 𝑣0 ) ∙ (𝑥 , 𝑦 ). 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 0 0 Zkráceně píšeme 𝑧𝑥′ = 𝑧𝑢′ ∙ 𝑢𝑥′ + 𝑧𝑣′ ∙ 𝑣𝑥′ , 𝑧𝑦′ = 𝑧𝑢′ ∙ 𝑢𝑦′ + 𝑧𝑣′ ∙ 𝑣𝑦′ .
PŘÍKLAD: Je dána funkce 𝑧 = 𝑒 𝑢 ∙ sin 𝑣, kde 𝑢 = 𝑥 ∙ 𝑦 a 𝑣 = 𝑥 + 𝑦. Vypočtěte 𝑧𝑥′ a 𝑧𝑦′ . Řešení: Protože vnitřní i vnější funkce mají spojité parciální derivace v celém 𝑅 2, má složená funkce parciální derivaci v každém bodě tohoto prostoru. Dosazením do vzorce dostáváme 𝑧𝑥′ = 𝑧𝑢′ ∙ 𝑢𝑥′ + 𝑧𝑣′ ∙ 𝑣𝑥′ = (𝑒 𝑢 ∙ sin 𝑣) ∙ 𝑦 + (𝑒 𝑢 ∙ cos 𝑣) ∙ 1, 𝑧𝑦′ = 𝑧𝑢′ ∙ 𝑢𝑦′ + 𝑧𝑣′ ∙ 𝑣𝑦′ = (𝑒 𝑢 ∙ sin 𝑣) ∙ 𝑥 + (𝑒 𝑢 ∙ cos 𝑣) ∙ 1. Zbývá dosadit za 𝑢 a 𝑣, 𝑢 = 𝑥 ∙ 𝑦 a 𝑣 = 𝑥 + 𝑦 a dostaneme
27
𝑧𝑥′ = 𝑒 𝑥𝑦 (𝑦 ∙ sin(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 + 𝑦)), 𝑧𝑦′ = 𝑒 𝑥𝑦 (𝑥 ∙ sin(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 + 𝑦)).
1.7.7. VĚTA O IMPLICITNÍ FUNKCI VĚTA: O IMPLICITNÍ FUNKCI Nechť 𝐹: 𝑅 2 → 𝑅 je funkce, která má spojité obě parciální derivace 𝑃[𝑥0 , 𝑦0 ]. Nechť navíc 𝐹(𝑥0 , 𝑦0 ) = 0 a
𝜕𝐹 (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑦
𝜕𝐹 𝜕𝑥
,
𝜕𝐹 𝜕𝑦
v nějakém okolí bodu
≠ 0. Potom existuje okolí 𝑈(𝑥0 ) a funkce 𝑓
definovaná na tomto okolí taková, že 𝑓(𝑥0 ) = 𝑦0
𝑎
𝐹(𝑥, 𝑓(𝑥)) = 0
ve všech bodech okolí 𝑈(𝑥0 ). Funkce 𝑓 je spojitá a spojitě diferencovatelná na 𝑈(𝑥0 ). Důsledkem je vzorec pro derivaci funkce 𝑓 v bodě 𝑥0 : 𝜕𝐹 (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓 ′ (𝑥0 ) = − 𝜕𝑥 . 𝜕𝐹 (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑦 Uvedenou větu je možné zobecnit pro funkce více proměnných a pro derivace vyšších řádů, podrobněji např. viz [2]. PŘÍKLAD: Vypočítejte 𝑓 ′ implicitní funkce dané rovnicí (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 − 3𝑥 2 𝑦 − 𝑦 3 = 0 v bodě [0, 1]. Řešení: Označme 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 − 3𝑥 2 𝑦 − 𝑦 3 . Platí 𝐹𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 2(𝑥 2 + 𝑦 2 )2𝑥 − 6𝑥𝑦,
𝐹𝑥′ (0, 1) = 0,
𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 2(𝑥 2 + 𝑦 2 )2𝑦 − 3𝑥 2 − 3𝑦 2 ,
𝐹𝑦′ (0, 1) = 1.
Dosadíme do vzorce pro derivaci implicitní funkce a dostáváme 𝑓 ′ (𝑥0 )
𝜕𝐹 (𝑥0 , 𝑦0 ) = − 𝜕𝑥 𝜕𝐹 (𝑥 , 𝑦 ) 𝜕𝑦 0 0 28
→
→
𝑓 ′ (0) = −
𝐹𝑥′ (0, 1) 4𝑥 3 + 4𝑥𝑦 2 − 6𝑥𝑦 0 = − | [𝑥,𝑦]=[0,1] = − = 0. ′ (0, 2 3 2 2 𝐹𝑦 1) 4𝑥 𝑦 + 4𝑦 − 3𝑥 − 3𝑦 1
PŘÍKLAD: Vypočítejte 𝑓 ′ , 𝑓 ′′ implicitní funkce dané rovnicí 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 3 = 0 v bodě [1, 1]. Řešení: Označme 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 3. Dosadíme do vzorce pro derivaci implicitní funkce a dostáváme 𝑓 ′ (1) = −
𝐹𝑥′ (1, 1) 2𝑥 + 𝑦 3 =− | [𝑥,𝑦]=[1,1] = − = −1. ′ (1, 𝐹𝑦 1) 𝑥 + 2𝑦 3
Totéž můžeme získat i jiným způsobem. Budeme předpokládat v rovnici implicitní funkce závislost 𝑦 na 𝑥, rovnici derivujeme podle 𝑥 a vyjádříme 𝑦 ′ . 2𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 ′ + 2𝑦𝑦 ′ = 0
→
𝑦′ = −
2𝑥 + 𝑦 𝑥 + 2𝑦
→
3 𝑦 ′ (1) = 𝑓 ′ (1) = − = −1. 3
K získání druhé derivace implicitní funkce 𝑦 ′′ musíme rovnici implicitní funkce derivovat dvakrát podle 𝑥 a vyjádřit 𝑦 ′′ . Rovnici implicitní funkce jsme již jednou derivovali, stačí ji tedy derivovat ještě jednou podle 𝑥. (2𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 ′ + 2𝑦𝑦 ′ = 0)′
2 + 𝑦 ′ + 𝑦 ′ + 𝑥𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ 𝑦 ′ + 2𝑦𝑦 ′′ = 0,
→
po úpravě 2 + 2𝑦 ′ + 2(𝑦 ′ )2 + (𝑥 + 2𝑦)𝑦 ′′ = 0 𝑦 ′′ = − 𝑦 ′′ (1) = 𝑓 ′′ (1) = −
2 + 2𝑦 ′ + 2(𝑦 ′ )2 𝑥 + 2𝑦 2 + 2 ∙ (−1) + 2(−1)2 2 =− . 1+2∙1 3
PŘÍKLAD: Určete rovnici tečny a normály ke křivce dané rovnicí 𝑥 3 + 𝑦 3 − 2𝑥𝑦 = 0 v bodě [1, 1]. Řešení: Označme 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑦 3 − 2𝑥𝑦. Platí 𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 3𝑦 2 − 2𝑥, 29
𝐹𝑦′ (1, 1) = 1 ≠ 0, Jsou tedy splněny všechny předpoklady věty, tj. rovností 𝑥 3 + 𝑦 3 − 2𝑥𝑦 = 0 je v jistém okolí bodu [1, 1] určena implicitně funkce jedné proměnné 𝑦 = 𝑓(𝑥), pro jejíž derivaci v bodě 𝑥 = 1 dostáváme 𝜕𝐹 (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓 ′ (𝑥0 ) = − 𝜕𝑥 𝜕𝐹 (𝑥 , 𝑦 ) 𝜕𝑦 0 0
→
𝑓
′ (1)
𝐹𝑥′ (1, 1) 3𝑥 2 − 2𝑦 =− ′ =− 2 | [𝑥,𝑦]=[1,1] = −1 𝐹𝑦 (1, 1) 3𝑦 − 2𝑥
Rovnice tečny je pak 𝑡: 𝑦 − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓 ′ (𝑥0 ) ∙ (𝑥 − 𝑥0 ) 𝑡: 𝑦 − 1 = (−1) ∙ (𝑥 − 1) 𝑡: 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0. Rovnice normály je potom 𝑛: 𝑦 − 𝑓(𝑥0 ) = − 𝑛: 𝑦 − 1 = −
1 𝑓 ′ (𝑥0 )
∙ (𝑥 − 𝑥0 )
1 ∙ (𝑥 − 1) (−1)
𝑛: 𝑦 = 𝑥.
1.7.8. NORMÁLOVÝ VEKTOR, GRADIENT Uvažujme (podobně jako ve větě o implicitní funkci), že 𝐹: 𝑅 2 → 𝑅 je funkce, která má spojité obě parciální derivace
𝜕𝐹 𝜕𝐹 , 𝜕𝑥 𝜕𝑦
v jistém okolí bodu 𝑃[𝑥0 , 𝑦0 ], a platí 𝐹(𝑥0 , 𝑦0 ) = 0,
𝜕𝐹 (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝜕𝑦
≠ 0. Potom
je rovnice 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 v jistém okolí bodu 𝑃[𝑥0 , 𝑦0 ] rovnicí hladké křivky, kterou lze v tomto okolí vyjádřit také rovnicí 𝑦 = 𝑓(𝑥). Tečna v bodě [𝑥0 , 𝑦0 ] = [𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )] k této křivce má obecnou rovnici 𝑓 ′ (𝑥0 ) ∙ 𝑥 − 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥0 ) ∙ 𝑥0 − 𝑓(𝑥0 ), tedy vektor 𝑛 kolmý k této přímce (normálový vektor) je 𝑛 = (𝑓 ′ (𝑥0 ), −1). Podle věty o implicitní funkci snadno odvodíme 𝑛 = 𝑘 ∙ (𝑓 ′ (𝑥0 ), −1) = (
𝜕𝐹 𝜕𝐹 (𝑥0 , 𝑦0 ), (𝑥 , 𝑦 )) = ∇𝐹(𝑥0 , 𝑦0 ), 𝜕𝑥 𝜕𝑦 0 0
kde 𝑘 ∈ 𝑅\{0}.
30
Vektor 𝑛 je gradientem funkce 𝐹 v bodě [𝑥0 , 𝑦0 ]. Gradient zapisujeme pomocí Hamiltonova operátoru ∇ (nabla). PŘÍKLAD: Určete normálový vektor a rovnici tečny ke kružnici 𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑦 2 − 4𝑦 − 20 = 0 v bodě [4, −2]. Řešení: Označme 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 𝑦 2 − 4𝑦 − 20. Platí 𝐹𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 2,
𝐹𝑥′ (4, −2) = 6,
𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 2𝑦 − 4,
𝐹𝑦′ (4, −2) = −8,
tedy 𝑛 = ∇𝐹(4, −2) = (6, −8) = 6𝒊 − 8𝒋, kde 𝒊 = (1, 0) a 𝒋 = (0, 1). Tečna v bodě [4, −2] má obecnou rovnici 6𝑥 − 8𝑦 = 𝑐. Dosazením bodu [4, −2] vypočítáme číslo 𝑐 a rovnici pak upravíme na tvar: 6𝑥 − 8𝑦 = 40, 3𝑥 − 4𝑦 = 20.
31
Poznámka: Podobně jako u křivky zadané implicitně lze určit normálový vektor plochy zadané implicitně. Je-li plocha určená rovnicí 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 a 𝑃[𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ] je její bod, potom normálový vektor v tomto bodě je 𝑛=(
𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹 (𝑃0 ), (𝑃0 ), (𝑃 )) = ∇𝐹(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ). 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 0
PŘÍKLAD: Určete normálový vektor plochy určené 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 6 v bodě [1, 2, 1]. Řešení: Označme 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 6. Platí 𝐹𝑥′ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥,
𝐹𝑥′ (1, 2, 1) = 2,
𝐹𝑦′ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦,
𝐹𝑦′ (1, 2, 1) = 4,
𝐹𝑧′ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧,
𝐹𝑦′ (1, 2, 1) = 2.
Normálový vektor zadané kulové plochy je 𝑛 = ∇𝐹(1, 2, 1) = (2, 4, 2) = 2𝒊 + 4𝒋 + 2𝒌, kde 𝒊 = (1, 0, 0), 𝒋 = (0, 1, 0), 𝒌 = (0, 0, 1). Tečná rovina v bodě [1, 2, 1] má obecnou rovnici 2𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑐. Dosazením bodu [1, 2, 1] vypočítáme číslo 𝑐 a rovnici pak upravíme na tvar 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 6.
32
1.8.
EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH
1.8.1. LOKÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH DEFINICE: LOKÁLNÍ MAXIMUM, LOKÁLNÍ MINIMUM Řekneme, že funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) má v bodě [𝑥0 , 𝑦0 ], ve kterém je definována, 1. lokální maximum, jestliže existuje okolí bodu [𝑥0 , 𝑦0 ] tak, že pro všechny body [𝑥, 𝑦] z tohoto okolí platí 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦), 2. lokální minimum, jestliže existuje okolí bodu [𝑥0 , 𝑦0 ] tak, že pro všechny body [𝑥, 𝑦] z tohoto okolí platí 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦). Lokální maxima a minima nazýváme souhrnně lokální extrémy, viz obrázek 21. Platí-li v uvedené definici v nějakém prstencovém okolí bodu [𝑥0 , 𝑦0 ] ostré nerovnosti, mluvíme o ostrém lokálním maximu, resp. ostrém lokálním minimu. Poznámka: Z definice vyplývá, že lokální extrém (tj. lokální maximum, resp. lokální minimum) může mít funkce pouze ve vnitřním bodě svého definičního oboru. 33
Obrázek 21
VĚTA: FERMATOVA 2 – NUTNÁ PODMÍNKA PRO EXISTENCI LOKÁLNÍCH EXTRÉMŮ Jestliže funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) má v bodě 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ] lokální extrém (ostrý nebo neostrý), pak každá parciální derivace, která v tomto bodě existuje, je nulová. Platí tedy 𝑓𝑥′ (𝑃0 ) = 0,
𝑓𝑦′ (𝑃0 ) = 0.
DEFINICE: STACIONÁRNÍ BOD Bod 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ] z definičního oboru funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), ve kterém platí 𝑓𝑥′ (𝑃0 ) = 0 = 𝑓𝑦′ (𝑃0 ), se nazývá stacionárním bodem funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). PŘÍKLAD: Vyšetřete, zda funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦 2 má ve svých stacionárních bodech lokální extrémy. Řešení: 𝐷𝑓 = 𝑅 2 . Vypočítáme parciální derivace 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 2𝑥,
𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = −2𝑦
a řešením soustavy 2𝑥 = 0,
− 2𝑦 = 0
2
Pierre de Fermat (1601–1665) byl francouzský matematik, který se zasloužil o rozvoj matematiky v oblasti teorie čísel, teorie pravděpodobnosti, matematické analýzy a analytické geometrie.
34
určíme stacionární bod [0, 0]. Zkoumáme-li funkční hodnoty funkce 𝑓 ve stacionárním bodě a jeho okolí, je vidět, že 𝑓(0, 0) = 0, 𝑓(𝑥, 0) = 𝑥 2 > 0 pro všechna 𝑥 ≠ 0 a 𝑓(0, 𝑦) = −𝑦 2 < 0 pro všechna y ≠ 0. Daná funkce nemá tedy v bodě [0, 0] lokální extrém, neboť v jeho každém okolí existují body, pro které 𝑓(𝑥, 𝑦) > 0, a jiné, ve kterých platí 𝑓(𝑥, 𝑦) < 0, viz obrázek č. 22.
Obrázek 22 – Tato plocha se nazývá sedlo
VĚTA: POSTAČUJÍCÍ PODMÍNKA PRO EXISTENCI LOKÁLNÍCH EXTRÉMŮ Nechť 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ] je stacionárním bodem funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), která má v okolí 𝑈(𝑃0 ) spojité parciální derivace druhého řádu. Označme 𝐷(𝑃0 ) = |
′′ (𝑃 ) 𝑓𝑥𝑥 0 ′′ (𝑃 ) 𝑓𝑦𝑥 0
′′ (𝑃 ) 𝑓𝑥𝑦 0 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ (𝑃 )| = 𝑓𝑥𝑥 (𝑃0 ) ∙ 𝑓𝑦𝑦 (𝑃0 ) − 𝑓𝑦𝑥 (𝑃0 ) ∙ 𝑓𝑥𝑦 (𝑃0 ). 𝑓𝑦𝑦 0
′′ (𝑃 ) Je-li 𝐷(𝑃0 ) > 0 a 𝑓𝑥𝑥 0 < 0, má funkce v bodě 𝑃0 ostré lokální maximum. ′′ (𝑃 ) Je-li 𝐷(𝑃0 ) > 0 a 𝑓𝑥𝑥 0 > 0, má funkce v bodě 𝑃0 ostré lokální minimum.
Je-li 𝐷(𝑃0 ) < 0, potom funkce 𝑓 v bodě 𝑃0 nemá lokální extrém (má sedlový bod).
Funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) může mít lokální extrém nejen ve stacionárních bodech, ale i v bodech, v nichž obě parciální derivace 𝑓𝑥′ , 𝑓𝑦′ neexistují, nebo v bodech, v nichž jedna z nich neexistuje a druhá je rovna nule. Funkce sama musí být v takových bodech definovaná a tyto body musí být vnitřními body definičního oboru. Zda má funkce v těchto bodech lokální extrém, zjistíme vyšetřením jejího chování v jejich okolí.
35
Poznámka:
Ze spojitosti parciálních derivací druhého řádu v bodě 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ] plyne, že ′′ (𝑃 ) ′′ 𝑓𝑥𝑦 0 = 𝑓𝑦𝑥 (𝑃0 ). ′′ (𝑃 ) Odtud je pak vidět, že pokud 𝐷(𝑃0 ) > 0, pak 𝑓𝑥𝑥 0 ≠ 0.
Pokud je 𝐷(𝑃0 ) = 0, může, ale nemusí být v bodě 𝑃0 lokální extrém. Nelze výše uvedeným postupem o existenci lokálního extrému rozhodnout.
Číslo 𝐷(𝑃0 ) je determinantem tzv. Hessovy matice ′′ (𝑃 ) 𝑓𝑥𝑥 0 ( ′′ 𝑓𝑦𝑥 (𝑃0 )
′′ (𝑃 ) 𝑓𝑥𝑦 0 ′′ (𝑃 )) . 𝑓𝑦𝑦 0
Poznámka: Shrňme si nyní postup při vyšetřování lokálních extrémů funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦):
určíme definiční obor funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), vypočítáme parciální derivace 𝑓𝑥′ , 𝑓𝑦′ a položíme je rovny nule,
řešením vzniklých rovnic určíme stacionární body 𝑃𝑖 a ověříme, zda jsou vnitřními body definičního oboru funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), ′′ ′′ ′′ vypočítáme parciální derivace 𝑓𝑥𝑥 , 𝑓𝑥𝑦 , 𝑓𝑦𝑦 a hodnoty těchto derivací ve stacionárních bodech 𝑃𝑖 , určíme hodnotu determinantu 𝐷(𝑃𝑖 ) ve stacionárních bodech 𝑃𝑖 a při 𝐷(𝑃𝑖 ) ≠ 0 rozhodneme o existenci lokálních extrémů, ′′ (𝑃 ) podle znaménka 𝑓𝑥𝑥 𝑖 určíme typ extrému, vyšetříme chování funkce v okolí stacionárních bodů, ve kterých je příslušný determinant roven nule, a v okolí bodů, v nichž parciální derivace 𝑓𝑥′ , 𝑓𝑦′ nejsou definovány.
PŘÍKLAD: Vyšetřete lokální extrémy funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 𝑦. Řešení: 𝐷𝑓 = 𝑅 2 . Vypočítáme parciální derivace 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 − 2,
𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 − 1.
Řešením soustavy rovnic 2𝑥 + 𝑦 − 2 = 0, 𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 dostaneme jediný stacionární bod 36
𝑃0 [1, 0]. Tento bod je vnitřním bodem definičního oboru. Vypočítáme druhé parciální derivace: ′′ (𝑥, 𝑓𝑥𝑥 𝑦) = 2, ′′ (𝑥, 𝑓𝑥𝑦 𝑦) = 1, ′′ (𝑥, 𝑓𝑦𝑦 𝑦) = 2.
Nakonec určíme hodnotu determinantu 𝐷(𝑃0 ) pro stacionární bod. 2 1 ′′ (𝑃 ) | = 3 > 0, tedy v bodě 𝑃0 má funkce lokální extrém, protože 𝑓𝑥𝑥 0 =2>0 1 2 v bodě P0 je ostré lokální minimum o hodnotě 𝑓(1,0) = −1. 𝐷(𝑃0 ) = |
PŘÍKLAD: Vyšetřete lokální extrémy funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦 − 𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 2 . Řešení: 𝐷𝑓 = 𝑅 2 . Vypočítáme parciální derivace 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 3𝑦 − 2𝑥𝑦 − 𝑦 2 ,
𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑥 2 − 2𝑥𝑦.
Řešením soustavy rovnic 𝑦(3 − 2𝑥 − 𝑦) = 0, 𝑥(3 − 𝑥 − 2𝑦) = 0 dostaneme čtyři stacionární body 𝑃1 [0, 0];
𝑃2 [1, 1];
𝑃3 [3, 0];
𝑃4 [0, 3].
Všechny tyto body jsou vnitřními body definičního oboru. Vypočítáme druhé parciální derivace: ′′ (𝑥, 𝑓𝑥𝑥 𝑦) = −2𝑦, ′′ (𝑥, 𝑓𝑥𝑦 𝑦) = 3 − 2𝑥 − 2𝑦, ′′ (𝑥, 𝑓𝑦𝑦 𝑦) = −2𝑥
a jejich hodnoty ve stacionárních bodech 𝑃𝑖 pro 𝑖 = 1, 2, 3, 4 : ′′ ( 𝑓𝑥𝑥 𝑃1 ) = 0,
′′ ( 𝑓𝑥𝑦 𝑃1 ) = 3,
′′ ( 𝑓𝑦𝑦 𝑃1 ) = 0,
′′ ( 𝑓𝑥𝑥 𝑃2 ) = −2,
′′ ( 𝑓𝑥𝑦 𝑃2 ) = −1,
′′ ( 𝑓𝑦𝑦 𝑃2 ) = −2,
′′ ( 𝑓𝑥𝑥 𝑃3 ) = 0,
′′ ( 𝑓𝑥𝑦 𝑃3 ) = −3,
′′ ( 𝑓𝑦𝑦 𝑃3 ) = −6,
37
′′ ( 𝑓𝑥𝑥 𝑃4 ) = −6,
′′ ( 𝑓𝑥𝑦 𝑃4 ) = −3,
′′ ( 𝑓𝑦𝑦 𝑃4 ) = 0.
Nakonec určíme hodnotu determinantů 𝐷(𝑃𝑖 ) pro jednotlivé stacionární body. 𝐷(𝑃1 ) = |
0 3 | = −9 < 0, tedy v bodě 𝑃1 lokální extrém nenastává, 3 0
−2 −1 ′′ ( 𝐷(𝑃2 ) = | 𝑃2 ) = −2 < | = 3 > 0, tedy v bodě 𝑃2 má funkce lokální extrém, protože 𝑓𝑥𝑥 −1 −2 0 v bodě 𝑃2 je ostré lokální maximum o hodnotě 𝑓(1,1) = 1, 𝐷(𝑃3 ) = |
0 −3 | = −9 < 0, tedy v bodě 𝑃3 lokální extrém nenastává, −3 −6
𝐷(𝑃4 ) = |
−6 −3 | = −9 < 0, tedy ani v bodě 𝑃4 lokální extrém nenastává. −3 0
PŘÍKLAD: Vyšetřete lokální extrémy funkce 𝑥
𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 2 )𝑒 2 . Řešení: 𝐷𝑓 = 𝑅 2 . Vypočítáme parciální derivace 𝑥 𝑥 1 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 𝑒 2 + (𝑥 + 𝑦 2 ) ∙ 𝑒 2 ∙ , 2
𝑥
𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 2𝑦 ∙ 𝑒 2 .
Řešením soustavy rovnic 𝑥
𝑒 2 ∙ (𝑥 + 𝑦 2 + 2) = 0, 𝑥
2𝑦 ∙ 𝑒 2 = 0 dostaneme jediný stacionární bod 𝑃0 [−2, 0]. Tento bod je vnitřním bodem definičního oboru. Vypočítáme druhé parciální derivace: 𝑥 1 𝑥 ′′ (𝑥, 𝑓𝑥𝑥 𝑦) = 𝑒 2 + ∙ 𝑒 2 ∙ (𝑥 + 𝑦 2 ), 4 𝑥
′′ (𝑥, 𝑓𝑥𝑦 𝑦) = 𝑦 ∙ 𝑒 2 , 𝑥
′′ (𝑥, 𝑓𝑦𝑦 𝑦) = 2 ∙ 𝑒 2
a jejich hodnoty ve stacionárním bodě 𝑃0 [−2, 0]: ′′ ( 𝑓𝑥𝑥 𝑃0 ) =
1 , 2𝑒
′′ ( 𝑓𝑥𝑦 𝑃0 ) = 0,
38
′′ ( 𝑓𝑦𝑦 𝑃1 ) =
2 . 𝑒
Nakonec určíme hodnotu determinantu 𝐷(𝑃0 ) pro stacionární bod: 1 𝐷(𝑃0 ) = | 2𝑒 0
0
|=
2 𝑒
1 > 0, 𝑒2 1
′′ (𝑃 ) tedy v bodě 𝑃0 má funkce lokální extrém a z faktu 𝑓𝑥𝑥 0 = 2𝑒 > 0 vyplývá, že v bodě 𝑃0 je ostré 2
lokální minimum o hodnotě 𝑓(−2,0) = − 𝑒 =̇ − 0,736. PŘÍKLAD: Vyšetřete lokální extrémy funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 2 . Řešení: 𝐷𝑓 = 𝑅 2 . Vypočítáme parciální derivace 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) =
𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2
𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) =
,
𝑦 √𝑥 2 + 𝑦 2
.
Funkce 𝑓 nemá stacionární body, neboť rovnice 𝑥 √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦 √𝑥 2 + 𝑦 2
= 0, =0
nemají společné řešení. Parciální derivace 𝑓𝑥′ , 𝑓𝑦′ však nejsou definovány v bodě [0, 0], který je vnitřním bodem definičního oboru. Budeme-li zkoumat chování funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) v okolí tohoto bodu, zjistíme, že 𝑓(𝑥, 𝑦) > 0 pro všechny body z prstencového okolí bodu [0, 0] a přitom 𝑓(0, 0) = 0. Funkce má tedy v bodě [0, 0] ostré lokální minimum, viz obrázek č. 23.
Obrázek 23
39
1.8.2. GLOBÁLNÍ (ABSOLUTNÍ) EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH DEFINICE: SPOJITOST FUNKCE NA MNOŽINĚ Funkce 𝑓 je spojitá na množině 𝑀 ⊂ 𝐷𝑓 , jestliže je spojitá v každém bodě 𝑃0 ∈ 𝑀 vzhledem k množině 𝑀. Tj. ke každému 𝜀 > 0 existuje 𝛿 > 0 takové, že pro všechny body 𝑋[𝑥, 𝑦] platí 𝑋[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑈𝛿 (𝑃0 ) ∩ 𝑀 ⟹ 𝑓(𝑥) ∈ 𝑈𝜀 (𝑓(𝑃0 )).
Poznámka Spojitost funkce na množině 𝑀 znamená, že v každém bodě 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ] ∈ 𝑀 platí: blíží-li se bod 𝑋[𝑥, 𝑦] k bodu 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ], přičemž 𝑋[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑀 (může být dokonce [𝑥, 𝑦] = [𝑥0 , 𝑦0 ]), potom 𝑓(𝑥, 𝑦) se blíží k 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ). Pozor – funkce může být spojitá na množině 𝑀, ale nemusí být spojitá v žádném bodě této množiny! Např. funkce definovaná předpisem 𝑓(𝑥, 𝑦) = {
3 0
pro 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9, jinak,
je spojitá na kružnici (ve smyslu spojitosti na množině), ale není spojitá v žádném bodě, který leží na kružnici, viz obrázek č. 24.
Obrázek 24
DEFINICE: HROMADNÝ A IZOLOVANÝ BOD Řekneme, že bod 𝐴 je hromadným bodem množiny 𝑀 ⊂ 𝑅 𝑛 , jestliže pro každé 𝛿 > 0 existuje bod 𝑋 ∈ 𝑀 ∩ 𝑃𝛿 (𝐴). Množinu všech hromadných bodů množiny 𝑀 značíme 𝑀′ . Bod, který není hromadným bodem, se nazývá izolovaným bodem. 40
DEFINICE: OMEZENÁ MNOŽINA Množina 𝑀 se nazývá omezená, jestliže se vejde do nějakého dostatečně velkého okolí počátku, tj. existuje 𝑆 > 0 tak, že 𝑀 ⊂ 𝑈𝑆 (𝑂).
DEFINICE: KOMPAKTNÍ MNOŽINA V 𝑅 2 Množina 𝐾 ⊂ 𝑅 2 se nazývá kompaktní, jestliže je současně uzavřená a omezená. Poznámka Příkladem kompaktní množiny je:
Jednobodová množina, případně konečná množina, Uzavřený kruh 𝐷 = {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 ; 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑟 2 }, Kružnice 𝐾 = {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 ; 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 }, …
DEFINICE: HRANIČNÍ BOD Bod 𝑋 ∈ 𝑅 𝑛 je hraničním bodem množiny 𝑀, jestliže každé jeho okolí obsahuje jak body, které leží v množině 𝑀, tak i body, které leží mimo množinu 𝑀.
DEFINICE: HRANICE Hranice množiny je množina všech hraničních bodů této množiny.
DEFINICE: GLOBÁLNÍ (ABSOLUTNÍ) EXTRÉMY Nechť 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) je funkce s definičním oborem 𝐷𝑓 a ∅ ≠ 𝑀 ⊂ 𝐷𝑓 . Řekneme, že funkce 𝑓 má v bodě 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ] ∈ 𝑀 globální maximum (resp. globální minimum) na množině 𝑀, jestliže pro každý bod [𝑥, 𝑦] ∈ 𝑀 platí 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ),
resp.
𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ).
Globální maxima a globální minima souhrnně nazýváme globálními extrémy (Místo termínu globální extrém se používá často pojem absolutní extrém). Jsou-li nerovnosti ostré pro [𝑥, 𝑦] ≠ [𝑥0 , 𝑦0 ], hovoříme o ostrých globálních extrémech. Poznámka Globální minimum (resp. globální maximum) je ostré, pokud ho funkce 𝑓 na množině 𝑀 nabývá pouze v právě jednom bodě. Nabývá-li funkce 𝑓 hodnoty globálního extrému alespoň ve dvou různých bodech na množině 𝑀, hovoříme o neostrém globálním extrému.
41
VĚTA: WEIERSTRASSOVA 3 Nechť je funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) spojitá na kompaktní množině 𝐾 ⊂ 𝐷𝑓 . Potom existují body 𝐶1 , 𝐶2 ∈ 𝐾 takové, že funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) má v bodě 𝐶1 globální maximum a v bodě 𝐶2 globální minimum na množině 𝐾. Poznámka Funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) spojitá na kompaktní neprázdné množině 𝐾 ⊂ 𝐷𝑓 tedy nabývá svých globálních extrémů buď v bodech lokálních extrémů ležících uvnitř kompaktní množiny, nebo v některém hraničním bodě. Při vyšetřování globálních extrémů funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) spojité na kompaktní neprázdné množině postupujeme následovně:
Určíme stacionární body funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) a ověříme, zda leží uvnitř kompaktní množiny. Vyšetříme funkci 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) na hranici kompaktní množiny. Porovnáním funkčních hodnot ve všech bodech, které získáme popsaným postupem, určíme, ve kterých z nich nabývá daná funkce svých globálních extrémů.
Poznámka Poznamenejme, že není-li množina 𝐾 kompaktní, mohou, ale nemusí globální extrémy existovat, více viz [2].
Vyšetřování globálních extrémů si nyní ukážeme na příkladech. Budeme přitom předpokládat, že množina 𝑀 je neprázdná kompaktní množina. PŘÍKLAD: Vyšetřete globální extrémy funkce 𝑧 = 𝑥𝑦 − 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑥 + 𝑦 4
v trojúhelníku tvořeném souřadnými osami a tečnou ke grafu funkce 𝑦 = 𝑥 v bodě [2, 2]. 4
4
Řešení: Nejprve určeme rovnici tečny ke grafu funkce 𝑦 = 𝑥 . Platí 𝑦 ′ = − 𝑥 2 , tj. rovnice tečny je 4 𝑦 − 2 = − (𝑥 − 2) 4 𝑦 − 2 = −𝑥 + 2 𝑦 = 4 − 𝑥.
3
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897) byl německý matematik, často nazývaný jako „otec moderní matematické analýzy“.
42
Tedy množinou 𝑀, na níž hledáme absolutní extrémy, je množina 𝑀 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑦 ≤ 4 − 𝑥}. Určíme stacionární body funkce 𝑓 = 𝑥𝑦 − 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑥 + 𝑦: 𝑓𝑥′ = 𝑦 − 2𝑥 + 1 = 0 𝑓𝑦′ = 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0, odkud dostáváme stacionární bod [𝑥, 𝑦] = [1, 1] ∈ 𝑀. Funkční hodnota v tomto bodě je 𝑓(1, 1) = 1. Nyní vyšetříme funkci 𝑓 na hranici množiny 𝑀, která se skládá z úseček: I. 𝑦 = 0, 𝑥 ∈ [0, 4]; II. 𝑥 = 0, 𝑦 ∈ [0, 4]; III. 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑥 ∈ [0, 4]. I. 𝑦 = 0, 𝑥 ∈ [0, 4]. Dosazením dostáváme 𝑢 = 𝑓(𝑥, 0) = −𝑥 2 + 𝑥 a hledáme globální extrémy této 1
funkce jedné proměnné pro 𝑥 ∈ [0, 4]. Platí 𝑢′ = −2𝑥 + 1 = 0, odkud 𝑥 = 2 . Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou 1 1 2 1 1 𝑢( ) = −( ) + = , 2 2 2 4 𝑢(0) = 0, 𝑢(4) = −(4)2 + 4 = −12. II. 𝑥 = 0, 𝑦 ∈ [0, 4]. Dosazením dostáváme 𝑣 = 𝑓(0, 𝑦) = −𝑦 2 + 𝑦 a hledáme globální extrémy 1
této funkce jedné proměnné pro 𝑦 ∈ [0, 4]. Platí 𝑣 ′ = −2𝑦 + 1 = 0, odkud 𝑦 = 2 . Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou 1 1 2 1 1 𝑣( ) = −( ) + = , 2 2 2 4 𝑣(0) = 0, 𝑣(4) = −(4)2 + 4 = −12. III. 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑥 ∈ [0, 4]. Dosazením dostáváme 𝑤 = 𝑓(𝑥, 4 − 𝑥) = 𝑥(4 − 𝑥) − 𝑥 2 − (4 − 𝑥)2 + 𝑥 + 4 − 𝑥 = −3𝑥 2 + 12𝑥 − 12 a hledáme globální extrémy této funkce jedné proměnné pro 𝑥 ∈ [0, 4]. Platí 𝑤 ′ = −6𝑥 + 12 = 0, odkud 𝑥 = 2 . Funkční hodnoty ve stacionárním bodě a v krajních bodech intervalu jsou 𝑤(2) = −3 ∙ 22 + 12 ∙ 2 − 12 = 0, 𝑤(0) = −12, 43
𝑤(4) = −3 ∙ 42 + 12 ∙ 4 − 12 = −12. Porovnáním funkčních hodnot funkce 𝑓 na hranici (tj. hodnot funkcí 𝑢, 𝑣, 𝑤 v jejich stacionárních bodech a v krajních bodech intervalů, kde tyto funkce vyšetřujeme) s funkční hodnotou funkce 𝑓 v jediném stacionárním bodě [1, 1] vidíme, že 𝑓𝑚𝑖𝑛 = −12 pro [𝑥, 𝑦] = [0, 4] a [𝑥, 𝑦] = [4, 0], 𝑓𝑚𝑎𝑥 = 1 pro [𝑥, 𝑦] = [1, 1] . Zadaná funkce tedy nabývá svého ostrého globálního maxima v bodě [1, 1] a globálního minima v bodech [0, 4] a [4, 0]. Závěrem poznamenejme, že algebraické úpravy spojené s vyjádřením funkce 𝑓 na hranici bývají nejčastějším zdrojem numerických chyb. Máme však k dispozici poměrně dobrou průběžnou kontrolu. V bodě [𝑥, 𝑦] = [4, 0] se stýkají části hranice I. a III. a tedy funkce 𝑢 z I. musí pro 𝑥 = 4 nabývat stejné funkční hodnoty jako funkce 𝑤 z III. v 𝑥 = 4. V našem případě je 𝑢(4) = −12 = 𝑤(4). Podobně v bodě [0, 0] se stýkají části I. a II. a v bodě [0, 4] části II. a III. Také v těchto bodech průběžná kontrola vychází, neboť 𝑢(0) = 0 = 𝑣(0) a 𝑤(0) = −12 = 𝑣(4). PŘÍKLAD: Vyšetřete globální extrémy funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥𝑦 v kruhu 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 2. Řešení: Tedy množinou 𝑀, na níž hledáme globální extrémy, je množina 𝑀 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 2}. Určíme stacionární body funkce 𝑓 = 3𝑥𝑦: 𝑓𝑥′ = 3𝑦 = 0 𝑓𝑦′ = 3𝑥 = 0, odkud dostáváme stacionární bod [𝑥, 𝑦] = [0, 0] ∈ 𝑀. Funkční hodnota v tomto bodě je 𝑓(0, 0) = 0. Nyní vyšetříme funkci 𝑓na hranici množiny 𝑀, která se skládá ze dvou křivek: I. 𝑦1 = √2 − 𝑥 2 , 𝑥 ∈ [−√2, √2]; II. 𝑦2 = −√2 − 𝑥 2 , 𝑥 ∈ [−√2, √2]. I. Je-li 𝑦1 = √2 − 𝑥 2 , 𝑥 ∈ [−√2, √2]. Dosazením dostáváme 𝑢 = 𝑓(𝑥, √2 − 𝑥 2 ) = 3𝑥 ∙ √2 − 𝑥 2 a hledáme globální extrémy této funkce jedné proměnné pro 𝑥 ∈ [−√2, √2]. Platí
44
𝑢′ = 3 ∙ √2 − 𝑥 2 + 3𝑥 ∙
−2𝑥 2 ∙ √2 − 𝑥 2
=
3(2 − 𝑥 2 ) − 3𝑥 2 √2 − 𝑥 2
=
6 − 6𝑥 2 √2 − 𝑥 2
= 0,
odkud 6 − 6𝑥 2 = 0 a potom 𝑥1,2 = ±1. Funkční hodnoty ve stacionárních bodech a v krajních bodech intervalu jsou 𝑢(1) = 3 ∙ 1 ∙ √2 − 12 = 3, 𝑢(−1) = 3 ∙ (−1) ∙ √2 − (−1)2 = −3, 2
𝑢(−√2) = 3 ∙ (−√2) ∙ √2 − (−√2) = 0, 2
𝑢(√2) = 3 ∙ √2 ∙ √2 − (√2) = 0. II. Je-li 𝑦2 = −√2 − 𝑥 2 , 𝑥 ∈ [−√2, √2]. Dosazením dostáváme 𝑣 = 𝑓 (𝑥, −√2 − 𝑥 2 ) = −3𝑥 ∙ √2 − 𝑥 2 a opět hledáme globální extrémy této funkce jedné proměnné pro 𝑥 ∈ [−√2, √2]. Platí 𝑣′ = −
6 − 6𝑥 2 √2 − 𝑥 2
=0
odkud 𝑥1,2 = ±1. Funkční hodnoty ve stacionárních bodech a v krajních bodech intervalu jsou 𝑣(1) = −3 ∙ 1 ∙ √2 − 12 = −3, 𝑣(−1) = −3 ∙ (−1) ∙ √2 − (−1)2 = 3, 2
𝑣(−√2) = −3 ∙ (−√2) ∙ √2 − (−√2) = 0, 2
𝑣(√2) = −3 ∙ √2 ∙ √2 − (√2) = 0. Porovnáním funkčních hodnot funkce 𝑓 na hranici (tj. hodnot funkcí 𝑢, 𝑣 v jejich stacionárních bodech a v krajních bodech intervalů, kde tyto funkce vyšetřujeme) s funkční hodnotou funkce 𝑓 v jediném stacionárním bodě [0, 0] vidíme, že 𝑓𝑚𝑖𝑛 = −3 pro [𝑥, 𝑦] = [−1, 1] a [𝑥, 𝑦] = [1, −1], 𝑓𝑚𝑎𝑥 = 3 pro [𝑥, 𝑦] = [1, 1] a [𝑥, 𝑦] = [−1, −1] . Zadaná funkce tedy nabývá svého globálního maxima v bodech [1, 1] a [−1, −1], globálního minima pak v bodech [−1, 1] a [1, −1].
45
Podobně lze opět provést průběžnou kontrolu, kdy v bodech, kde se stýkají části hranice I. a II., tj. [√2, 0] a [−√2, 0] musí funkce nabývat stejné funkční hodnoty:
𝑢(√2) = 0 = 𝑣(√2),
𝑢(−√2) = 0 = 𝑣(−√2).
1.8.3. VÁZANÉ EXTRÉMY FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH Kromě lokálních a globálních extrémů je v praxi často potřeba určit extrémy funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) vázané podmínkou 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0. Takové extrémy budeme nazývat vázanými extrémy a lze je chápat jako extrémy na hranici. DEFINICE: VÁZANÉ EXTRÉMY Říkáme, že funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) má v bodě 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ], ve kterém je definována, 1.
vázané maximum, jestliže nerovnost 𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ).
platí v okolí 𝑈(𝑃0 ) bodu 𝑃0 za předpokladu, že proměnné 𝑥, 𝑦 splňují vedlejší podmínku 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0. 2.
vázané minimum, jestliže nerovnost 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ).
platí v okolí 𝑈(𝑃0 ) bodu 𝑃0 za předpokladu, že proměnné 𝑥, 𝑦 splňují vedlejší podmínku 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0. Vázané maximum a vázané minimum stručně nazýváme vázané extrémy. Poznámka – Geometrická interpretace vázaného extrému: Bodům, které leží v definičním oboru funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) a vyhovují rovnici 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0, odpovídají na ploše 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) za vhodných předpokladů body, tvořící křivku 𝑘. Body vázaných extrémů jsou pak takové body, v nichž funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) nabývá své největší nebo nejmenší hodnoty na křivce 𝑘, viz obrázek č. 25.
46
Obrázek 25
Rozdíl mezi lokálními a vázanými extrémy tedy spočívá v tom, že v případě lokálních extrémů vyšetřujeme funkci v jejím celém definičním oboru, zatímco při vázaných extrémech vyšetřujeme jen ty hodnoty funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), kterých nabývá v bodech křivky 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0.
Při vyšetřování vázaných extrémů lze postupovat několika způsoby: I.
Pokud rovnice 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 určuje implicitně funkci 𝑦 = 𝜑(𝑥), převede se úloha na nalezení vázaného extrému na úlohu určení extrému funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝜑(𝑥)) funkce jedné proměnné – metoda dosazovací.
PŘÍKLAD: Určeme vázaný extrém funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1 1 + 𝑥 𝑦
pro vazebnou podmínku 𝑥 + 𝑦 = 2 (přímka). 1
1
Řešení: Definičním oborem funkce 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 je celá rovina kromě bodů přímek 𝑥 = 0, 𝑦 = 0. Z podmínky 𝑥 + 𝑦 = 2 vyjádříme proměnnou 𝑦 a dosadíme ji do dané funkce. Dostaneme funkci jedné proměnné 𝑧=
1 1 + , 𝑥 2−𝑥
jejíž lokální extrémy budeme vyšetřovat. Pomocí první derivace 𝑧′ = −
1 1 + 2 (2 − 𝑥)2 𝑥 47
určíme stacionární bod 𝑥 = 1. Druhá derivace má pak tvar 𝑧 ′′ = 2
2 2 + 3 (2 − 𝑥)3 𝑥
2
a 𝑧 ′′ (1) = 13 + (2−1)3 = 4 > 0 . 1
1
1
1
Tedy v bodě 𝑥 = 1 má funkce 𝑧 = 𝑥 + 2−𝑥 lokální minimum a v bodě [1, 1] má funkce 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 vázané minimum o hodnotě 𝑧 = 2. PŘÍKLAD: Určeme vázaný extrém funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑦 3 − 3𝑥𝑦 pro vazebnou podmínku 𝑥 = 𝑦 2 (parabola). Řešení: Definičním oborem funkce 𝑧 = 𝑥 3 − 𝑦 3 − 3𝑥𝑦 je celá rovina. V podmínce 𝑥 = 𝑦 2 máme vyjádřenou proměnnou 𝑥 a dosadíme ji do dané funkce. Dostaneme funkci jedné proměnné 𝑧 = (𝑦 2 )3 + 𝑦 3 − 3𝑦 2 𝑦 = 𝑦 6 − 2𝑦 3 jejíž lokální extrémy budeme vyšetřovat. Pomocí první derivace 𝑧 ′ = 6𝑦 5 − 6𝑦 2 6𝑦 2 (𝑦 3 − 1) = 0 určíme stacionární body 𝑦 = 0 nebo 𝑦 = 1. Druhá derivace má pak tvar 𝑧 ′′ = 30𝑦 4 − 12𝑦 a po dosazení 𝑧 ′′ (0) = 0 … nelze o lokálním extrému rozhodnout 𝑧 ′′ (1) = 18 > 0 . Tedy v bodě 𝑦 = 1 má funkce 𝑧 = 𝑦 6 − 2𝑦 3 lokální minimum a v bodě [1, 1] má funkce 𝑧 = 𝑥 3 − 𝑦 3 − 3𝑥𝑦 vázané minimum o hodnotě 𝑧 = −1.
Poznámka – Aplikace v ekonomii Vázaných extrémů je často využíváno při výpočtech v ekonomických vědách, viz příklady – ekonomická aplikace 1 a 2.
48
PŘÍKLAD – EKONOMICKÁ APLIKACE 1: Vypočtěte maximální možný objem produkce při rozpočtu 100 tis. EUR na výrobu, která je popsána produkční funkcí 𝑃 = 𝑥 2 𝑦 2, kde 𝑥 označuje množství vloženého kapitálu (nájemné stroje je 10 tis. EUR za hodinu) a 𝑦 označuje množství vynaložené práce (náklady na jednu hodinu práce jsou 5 tis. EUR). Řešení – dosazovací metodou: Naším úkolem je tedy najít, jaké množství kapitálu a jaké množství práce je potřeba k výrobě maximálního množství výrobků. Hledáme proto vázané maximum funkce 𝑃 = 𝑥2𝑦2 na množině určené vazebnou podmínkou 𝑔(𝑥, 𝑦) = 10𝑥 + 5𝑦 − 100 = 0. Z vazebné podmínky vyjádříme jednu proměnnou pomocí druhé, např.: 10𝑥 + 5𝑦 − 100 = 0
⟹
𝑦 = 20 − 2𝑥,
a dosadíme ji za příslušnou proměnnou do funkce 𝑃: 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑥, 20 − 2𝑥) = 𝑥 2 (20 − 2𝑥)2 . Dostáváme tak funkci jedné proměnné, takže pro hledání extrémů opět využijeme známé metody. První derivace je 𝐹 ′ (𝑥) = 2𝑥 ∙ (20 − 2𝑥)2 + 𝑥 2 ∙ 2(20 − 2𝑥) ∙ (−2), po úpravě 𝐹 ′ (𝑥) = 2𝑥 ∙ (20 − 2𝑥) ∙ (20 − 4𝑥) Je pak vhodné požadovat 𝑥, 𝑦 > 0, proto je maximum 𝑥 = 5, 𝑦 = 10 . Maximální hodnota produkční funkce je tedy 𝑃(5, 10) = 2 500 výrobků.
49
PŘÍKLAD – EKONOMICKÁ APLIKACE 2: Výroba firmy je popsána produkční funkcí 𝑃 = 2√𝑥 ∙ 𝑦. Náklady na jednu hodinu práce jsou 100 Kč a nájemné stroje je 50 Kč za hodinu. Na výrobu byl vyčleněn rozpočet ve výši 5 000 Kč. Jaké maximální množství produkce je schopna firma v dané situaci vyrobit? Řešení – dosazovací metodou: Naším úkolem je tedy najít, jaké množství kapitálu a jaké množství práce je potřeba k výrobě maximálního množství výrobků. Hledáme opět vázané maximum funkce 𝑃 = 2√𝑥 ∙ 𝑦 na množině určené vazebnou podmínkou 𝑔(𝑥, 𝑦) = 50𝑥 + 100𝑦 − 5000 = 0. Z vazebné podmínky vyjádříme jednu proměnnou pomocí druhé, např.: 50𝑥 + 100𝑦 − 5000 = 0
1 𝑦 = 50 − 𝑥, 2
⟹
a dosadíme ji za příslušnou proměnnou do funkce 𝑃: 𝑥 𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑃 (𝑥, 50 − ) = 2√𝑥 ∙ √50 − . 2 2 Dostáváme tak funkci jedné proměnné, takže pro hledání extrémů opět využijeme známé metody. První derivace je 𝐹 ′ (𝑥) = 2 ∙
1 2√𝑥
∙ √50 −
𝑥 + 2√𝑥 ∙ 2
1
1 ∙ (− ), 2 𝑥 2√50 − 2
po úpravě 𝐹 ′ (𝑥) = √𝑥 ∙ √50 −
𝑥 100 − 2𝑥 ∙( ). 2 𝑥 ∙ (100 − 𝑥)
Je pak vhodné požadovat 𝑥, 𝑦 > 0, proto je maximum 𝑥 = 50, 𝑦 = 25 . Maximální hodnota produkční funkce je tedy 𝑃(50, 25) = 2 ∙ √50 ∙ 25 = 70,71 =̇ 70 výrobků.
50
II.
Uvedený postup však není možný, pokud žádnou z proměnných 𝑥, 𝑦 nelze z podmínky 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 vyjádřit. V tom případě používáme tzv. Lagrangeovu metodu neurčitých multiplikátorů. DEFINICE: LAGRANGEŮV MULTIPLIKÁTOR Nechť 𝑔 je daná funkce a nechť rovnicí 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 je dána podmínka pro vázaný extrém funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Funkci 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆) = 𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝜆 ∙ 𝑔(𝑥, 𝑦) nazveme Lagrangeovou funkcí, příslušnou k funkci 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) a podmínce 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0. Číslo 𝜆 se nazývá Lagrangeův multiplikátor. (Jedná se tedy o funkci dvou proměnných s parametrem 𝜆.) Má-li funkce 𝐿 při daném 𝜆 lokální extrém v bodě 𝑃0 [𝑥0 , 𝑦0 ], tedy splňuje nerovnost 𝐿(𝑥, 𝑦) ≥ 𝐿(𝑥0 , 𝑦0 )
nebo
𝐿(𝑥, 𝑦) ≤ 𝐿(𝑥0 , 𝑦0 )
pro všechny body z jistého okolí bodu 𝑃0 , pak tato nerovnost platí i pro body omezené podmínkou 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0, kde 𝐿(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥, 𝑦). Pro výpočet Lagrangeova multiplikátoru 𝜆 a odpovídajících stacionárních bodů pak dostáváme z rovnic 𝐿′𝑥 (𝑥, 𝑦) = 0 a 𝐿′𝑦 (𝑥, 𝑦) = 0 podmínky 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) − 𝜆 ∙ 𝑔𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 0
a
𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) − 𝜆 ∙ 𝑔𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 0,
které spolu s podmínkou 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 tvoří soustavu tří rovnic o třech neznámých 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) − 𝜆 ∙ 𝑔𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 0, 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) − 𝜆 ∙ 𝑔𝑦′ (𝑥, 𝑦) = 0,
(1)
𝑔(𝑥, 𝑦) = 0, ze které vypočítáme nejdříve 𝜆 a potom pro získané hodnoty 𝜆 souřadnice 𝑥, 𝑦 odpovídajících stacionárních bodů. O existenci a charakteru vázaného extrému rozhodneme podle následujících vět.
VĚTA: POSTAČUJÍCÍ PODMÍNKY PRO EXISTENCI VÁZANÝCH EXTRÉMŮ Nechť funkce 𝑓, 𝑔 jsou diferencovatelné v okolí množiny 𝑀 určené podmínkou 𝑀 = {[𝑥, 𝑦] ∈ 𝑅 2 , 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0} a nechť pro 𝜆 ∈ 𝑅, 𝑃0 ∈ 𝑀 platí podmínka 𝐿′𝑥 (𝑃0 ) = 0 a 𝐿′𝑦 (𝑃0 ) = 0. Má-li Lagrangeova funkce 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆) lokální minimum (resp. maximum) v bodě 𝑃0 , pak má funkce 𝑓 v bodě 𝑃0 vázané lokální minimum (resp. maximum) vzhledem k 𝑀.
51
Poznámka Poznamenejme, že Lagrangeova funkce 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆) v bodě 𝑃0 závisí na konkrétním 𝜆 odpovídajícímu tomuto bodu. Tedy pro každý bod 𝑃0 máme ve výše uvedené větě jinou funkci 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆). Dále je třeba si uvědomit, že tvrzení výše uvedené věty je pouze implikace. Může se stát, že funkce 𝑓 má v bodě 𝑃0 lokální vázaný extrém vzhledem k 𝑀 a příslušná Lagrangeova funkce 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆) má v 𝑃0 sedlový bod (tedy nikoliv lokální extrém).
VĚTA: VÁZANÉ LOKÁLNÍ MINIMUM, RESP. MAXIMUM Nechť 𝑃0 je stacionární bod funkce 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆), vyhovující rovnicím (1). Předpokládejme, že funkce 𝑓, 𝑔 mají spojité parciální derivace 2. řádu. Označme 𝐿′′𝑥𝑥 (𝑃0 ) 𝐷𝐿 (𝑃0 ) = − | 𝐿′′𝑦𝑥 (𝑃0 ) 𝑔𝑥′ (𝑃0 )
𝐿′′𝑥𝑦 (𝑃0 ) 𝑔𝑥′ (𝑃0 ) 𝐿′′𝑦𝑦 (𝑃0 ) 𝑔𝑦′ (𝑃0 )| . 𝑔𝑦′ (𝑃0 ) 0
Pak platí: a)
Je-li 𝐷𝐿 (𝑃0 ) > 0, má funkce 𝑓 v bodě 𝑃0 vázané lokální minimum.
b)
Je-li 𝐷𝐿 (𝑃0 ) < 0, má funkce 𝑓 v bodě 𝑃0 vázané lokální maximum.
PŘÍKLAD: Určete vázané extrémy a hodnotu 𝜆 funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 na křivce 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0. Řešení: Sestavíme Lagrangeovu funkci 𝐿: 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) − 𝜆 ∙ (𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 6). Vypočítáme parciální derivace: 𝐿′𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝜆) = 1 − 𝜆 ∙ (2𝑥 − 2), 𝐿′𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝜆) = 1 − 𝜆 ∙ (2𝑦 − 2). Soustava rovnic (1) má v tomto případě tvar 1 − 𝜆 ∙ (2𝑥 − 2) = 0, 1 − 𝜆 ∙ (2𝑦 − 2) = 0, 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 2𝑦 − 6 = 0. 52
Z první rovnice můžeme vyjádřit 𝜆=
1 2𝑥 − 2
a
𝑥 ≠ 1,
𝜆=
1 2𝑦 − 2
a
𝑦 ≠ 1,
obdobně z druhé rovnice
Přičemž je z prvních dvou rovnic zřejmé, že 𝜆 ≠ 0. Z rovnosti pravých stran řešené soustavy plyne rovnost jejich levých stran. Je tedy 1 − 𝜆 ∙ (2𝑥 − 2) = 1 − 𝜆 ∙ (2𝑦 − 2) Odtud plyne 2𝜆𝑥 = 2𝜆𝑦, 2𝜆(𝑥 − 𝑦) = 0, Je tedy 𝑥 = 𝑦. Dosadíme-li do vazebné podmínky, dostaneme 2𝑥 2 − 4𝑥 − 6 = 0 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0 Stacionární body jsou tedy dva 𝑃1 [3, 3] a 𝑃2 [−1, −1]. Vypočítáme potřebné parciální derivace 2. řádu, hodnotu 𝜆 a dosadíme do determinantu 𝐷𝐿 . 1
Pro bod 𝑃1 [3, 3] je 𝜆 = 4 a −
1 2
𝐷𝐿 (𝑃1 ) = − || 0 4
0
4
| = −16, 1 − 4| 2 4 0
tedy funkce 𝑓 má v bodě 𝑃1 vázané lokální maximum o hodnotě 𝑓( 𝑃1 ) = 6. 1
Pro bod 𝑃2 [−1, −1] je 𝜆 = − 4 a 1 2
0
−4
𝐷𝐿 (𝑃2 ) = − || 0
| = 16, 1 −4 | 2 −4 −4 0
tedy funkce 𝑓 má v bodě 𝑃2 vázané lokální minimum o hodnotě 𝑓( 𝑃2 ) = −2.
53
PŘÍKLAD: Určete vázané extrémy a hodnotu 𝜆 funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 2 na křivce 𝑔(𝑥, 𝑦) = 2(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 𝑥 2 𝑦 2 = 0. Řešení: Sestavíme Lagrangeovu funkci 𝐿: 𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 2) − 𝜆 ∙ (2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 𝑥 2 𝑦 2 ). Vypočítáme parciální derivace: 𝐿′𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝜆) = 1 − 𝜆 ∙ (4𝑥 − 2𝑥𝑦 2 ), 𝐿′𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝜆) = 1 − 𝜆 ∙ (4𝑦 − 2𝑥 2 𝑦). Soustava rovnic (1) má v tomto případě tvar 1 − 𝜆 ∙ (4𝑥 − 2𝑥𝑦 2 ) = 0, 1 − 𝜆 ∙ (4𝑦 − 2𝑥 2 𝑦) = 0, 2𝑥 2 + 2𝑦 2 − 𝑥 2 𝑦 2 = 0. Z první rovnice můžeme vyjádřit 𝜆=
1 2𝑥(2 − 𝑦 2 )
pro
𝑥 ≠ 0 a 𝑦 ≠ ±√2 ,
𝜆=
1 2𝑦(2 − 𝑥 2 )
pro
𝑦 ≠ 0 a 𝑥 ≠ ±√2 .
obdobně z druhé rovnice
Z rovnosti pravých stran řešené soustavy plyne rovnost jejich levých stran. Je tedy 1 − 𝜆 ∙ (4𝑥 − 2𝑥𝑦 2 ) = 1 − 𝜆 ∙ (4𝑦 − 2𝑥 2 𝑦). Potom 4𝑥 − 2𝑥𝑦 2 = 4𝑦 − 2𝑥 2 𝑦 a po úpravě (𝑦 − 𝑥)(𝑥𝑦 + 2) = 0, takže je buď 𝑦 − 𝑥 = 0 nebo 𝑥𝑦 + 2 = 0. Dosadíme-li z těchto rovnic do vazebné podmínky, dostaneme dvojici stacionárních bodů 𝑃1 [2, 2] a 𝑃2 [−2, −2].
54
Vypočítáme potřebné parciální derivace 2. řádu, hodnotu 𝜆 a dosadíme do determinantu 𝐷𝐿 . Pro bod 𝑃1 [2, 2] je 𝜆 = −
1 8
a −
1 2
𝐷𝐿 (𝑃1 ) = − || −2 −8
−2
−8
1 2 −8
| = 192, −8 |
−
0
tedy funkce 𝑓 má v bodě 𝑃1 vázané lokální minimum o hodnotě 𝑓( 𝑃1 ) = 6. 1
Pro bod 𝑃2 [−2, −2] je 𝜆 = 8 a
𝐷𝐿 (𝑃2 ) = − ||
1 2 2 8
2 8 | = −192, 1 8| 2 8 0
tedy funkce 𝑓 má v bodě 𝑃2 vázané lokální maximum o hodnotě 𝑓( 𝑃2 ) = −2. Poznámka Metoda Lagrangeových multiplikátorů je založena na jednoduchém pozorování. Je-li v bodě 𝑃0 lokální vázaný extrém funkce 𝑓 vzhledem k vazebné podmínce 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0, potom se úrovňová křivka funkce 𝑓 procházející bodem 𝑃0 dotýká křivky 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0 v bodě 𝑃0 , tj. jejich normálové vektory (gradienty funkcí 𝑓, 𝑔) v bodě 𝑃0 jsou rovnoběžné, viz obrázek č. 26.
Obrázek 26
55
Tedy za podmínky, že 𝑓, 𝑔 jsou diferencovatelné v bodě 𝑃0 , ∇𝑔(𝑃0 ) ≠ 0, funkce 𝑔 je spojitá na nějakém okolí bodu 𝑃0 a funkce 𝑓 má lokální vázaný extrém v bodě 𝑃0 vzhledem k 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0, potom můžeme psát ∇𝑓(𝑃0 ) = 𝜆 ∙ ∇𝑔(𝑃0 ) .
(2)
Poznámka – Jacobiho determinant Podmínka (2) tedy znamená, že vektory ∇𝑓(𝑃0 ) a ∇𝑔(𝑃0 ) jsou lineárně závislé, což lze vyjádřit pomocí Jacobiho determinantu 𝑓𝑥′ (𝑃0 ) 𝑓𝑦′ (𝑃0 ) | ′ | = 0, 𝑔𝑥 (𝑃0 ) 𝑔𝑦′ (𝑃0 )
(3)
tzv. „Jakobiánu“. Uvědomme si, že se v podstatě jedná o další možnost, jak odhalit vázané lokální extrémy.
Vrátíme se nyní k řešení příkladů – ekonomická aplikace 1, 2 a vyřešíme je pomocí Lagrangeovy metody. Zopakujme vždy zadání: PŘÍKLAD – EKONOMICKÁ APLIKACE 1: Vypočtěte maximální možný objem produkce při rozpočtu 100 tis. EUR na výrobu, která je popsána produkční funkcí 𝑃 = 𝑥 2 𝑦 2, kde 𝑥 označuje množství vloženého kapitálu (nájemné stroje je 10 tis. EUR za hodinu) a 𝑦 označuje množství vynaložené práce (náklady na jednu hodinu práce jsou 5 tis. EUR). Řešení – Lagrangeovou metodou: V tomto případě je z povahy úlohy zřejmé, že hledané maximum bude v bodě, který splňuje podmínku (2).
56
Jelikož nepotřebujeme znát hodnotu Lagrangeova multiplikátoru 𝜆, použijeme při výpočtu ekvivalentní podmínku (3) – „Jakobián“: | 2𝑥𝑦 10
2
2𝑥 2 𝑦 | = 10𝑥𝑦 2 − 20𝑥 2 𝑦 = 0. 5
Druhou rovnici pro určení neznámých 𝑥, 𝑦 máme z vazebné podmínky: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 10𝑥 + 5𝑦 − 100 = 0. Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice [𝑥, 𝑦] = [5, 10], tedy (stejně jako při použití dosazovací metody) obdržíme maximální hodnotu produkční funkce 𝑃 = 2500 výrobků. Poznámka V ekonomických vědách vyjadřuje Lagrangeův multiplikátor poměr maximální hodnoty funkce 𝑓 k číslu 𝑘 = 𝑔(𝑥, 𝑦). Konkrétně tedy ve výše uvedeném příkladu je hodnota multiplikátoru pro vypočtené hodnoty [𝑥, 𝑦] = [5, 10] rovna 𝜆 = 100, což znamená, že kdyby se množství kapitálu zvýšilo o jeden tisíc EUR (tj. měli bychom vazebnou podmínku 10𝑥 + 5𝑦 = 101), pak by se produkce 𝑃 zvýšila o přibližně 100 výrobků. Vazebnou podmínku (např. 10𝑥 + 5𝑦 = 100) chápeme jako jistou omezující podmínku při výrobě (rozpočet je omezen 100 tis. EUR). Hodnotu Lagrangeova multiplikátoru lze tedy chápat jako vliv dané omezující podmínky na výrobu. Nízká hodnota 𝜆 představuje malý vliv odstranění omezení na množství produkce.
PŘÍKLAD – EKONOMICKÁ APLIKACE 2: Výroba firmy je popsána produkční funkcí 𝑃 = 2√𝑥 ∙ 𝑦. Náklady na jednu hodinu práce jsou 100 Kč a nájemné stroje je 50 Kč za hodinu. Na výrobu byl vyčleněn rozpočet ve výši 5 000 Kč. Jaké maximální množství produkce je schopna firma v dané situaci vyrobit? Řešení – Lagrangeovou metodou: V tomto případě je z povahy úlohy zřejmé, že hledané maximum bude opět v bodě, který splňuje podmínku (2). Jelikož nepotřebujeme znát hodnotu Lagrangeova multiplikátoru 𝜆, použijeme při výpočtu ekvivalentní podmínku (3) – „Jakobián“: |
2∙
1 2√𝑥𝑦 50
∙𝑦
2∙
po úpravě 57
1 2√𝑥𝑦 100
∙𝑥
| = 0,
√𝑥𝑦 | 𝑥 50
√𝑥𝑦 100√𝑥𝑦 50√𝑥𝑦 − = 0. 𝑦 |= 𝑥 𝑦 100
Druhou rovnici pro určení neznámých 𝑥, 𝑦 máme z vazebné podmínky: 𝑔(𝑥, 𝑦) = 50𝑥 + 100𝑦 − 5000 = 0. Řešením soustavy rovnic je uspořádaná dvojice [𝑥, 𝑦] = [50, 25], tedy (stejně jako při použití dosazovací metody) obdržíme maximální hodnotu produkční funkce 𝑃 =̇ 70 výrobků. PŘÍKLAD: Určete vázané extrémy funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 2 na kružnici 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2. Řešení: Vazebnou podmínkou je tedy 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2, což je kružnice se středem v počátku a poloměrem 𝑟 = √2. Jedná se tedy o kompaktní množinu. Funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 2 je spojitá v celém 𝑅 2, tedy i v této množině. Podle Weierstrassovy věty funkce 𝑓 na této množině nabývá svého maxima i minima. Jelikož opět nepotřebujeme znát hodnotu Lagrangeova multiplikátoru 𝜆, použijeme při výpočtu podmínku (3) – „Jakobián“. Sestavíme nejprve determinant prvních derivací, upravíme jej a pak položíme roven nule: 2𝑥𝑦 2 | 2𝑥
2𝑥 2 𝑦 | = 4𝑥𝑦 3 − 4𝑥 3 𝑦 = 4𝑥𝑦(𝑦 2 − 𝑥 2 ) = 0. 2𝑦
Potom 𝑥 = 0, nebo 𝑦 = 0, resp. 𝑥 2 = 𝑦 2 , tj. 𝑥 = 𝑦, resp. 𝑥 = −𝑦. Dosazením do vazebné podmínky dostaneme: 𝑥=0
⟹
𝑦 2 = 2, proto 𝑦1 = √2, 𝑦2 = −√2 ,
𝑦=0
⟹
𝑥 2 = 2, proto 𝑥1 = √2, 𝑥2 = −√2 ,
𝑥2 = 𝑦2
⟹
2𝑥 2 = 2, proto 𝑥3 = 1, 𝑥4 = −1 .
Z rovnice 𝑥 2 = 𝑦 2 plyne, že hodnotám 𝑥3 = 1, 𝑥4 = −1 odpovídají hodnoty 𝑦, pro něž 𝑦 2 = 1, tj. 𝑦1 = 1, 𝑦2 = −1. Body, v nichž pak může funkce 𝑓 nabývat extrémních hodnot na 𝑔(𝑥, 𝑦)jsou: 𝑃1 [0, √2];
𝑃2 [0, −√2];
𝑃5 [1, 1];
𝑃6 [1, −1];
𝑃3 [√2, 0]; 𝑃7 [−1, 1];
𝑃4 [−√2, 0]; 𝑃8 [−1, −1].
Protože je 𝑓(0, √2) = 𝑓(0, −√2) = 𝑓(√2, 0) = 𝑓(−√2, 0) = 0, 𝑓(1, 1) = 𝑓(1, −1) = 𝑓(−1, 1) = 𝑓(−1, −1) = 1, 58
nabývá funkce 𝑓 v bodech 𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 , 𝑃4 svého vázaného lokálního minima a v bodech 𝑃5 , 𝑃6 , 𝑃7 , 𝑃8 svého vázaného lokálního maxima na množině 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2. PŘÍKLAD: Určete vázané extrémy funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 na elipse 2𝑥 2 + 3𝑦 2 = 6. Řešení: Vazebnou podmínkou je 𝑔(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 6. Tuto podmínku lze zapsat
𝑥2 3
+
𝑦2 2
= 1, je
proto zřejmé, že se jedná o elipsu se středem v počátku a délkami poloos √3 a √2. Jedná se tedy o kompaktní množinu. Funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 je spojitá v celém 𝑅 2, tedy i v této množině. Podle Weierstrassovy věty funkce 𝑓 na této množině nabývá svého maxima i minima. Jelikož opět nepotřebujeme znát hodnotu Lagrangeova multiplikátoru 𝜆, použijeme při výpočtu podmínku (3) – „Jakobián“. Sestavíme nejprve determinant prvních derivací, upravíme jej a pak položíme roven nule: 𝑦 |4𝑥
𝑥 2 2 6𝑦| = 6𝑦 − 4𝑥 = 0.
Rovnici pak lze zapsat ve tvaru 3𝑦 2 = 2𝑥 2, dosadíme-li do vazebné podmínky za 2𝑥 2 výraz 3𝑦 2 dostaneme 6𝑦 2 = 6,
tj.
𝑦1 = 1,
𝑦2 = −1.
Dosadíme-li naopak do vazebné podmínky za 3𝑦 2 výraz 2𝑥 2 , pak z rovnice 4𝑥 2 = 6 plyne 3 2
3 2
𝑥1 = √ , 𝑥2 = −√ . Body, v nichž pak může funkce 𝑓 nabývat extrémních hodnot na 𝑔(𝑥, 𝑦) jsou: 3 𝑃1 [√ , 1] ; 2
3 𝑃2 [√ , −1] ; 2
3 𝑃3 [−√ , 1] ; 2
3 𝑃4 [−√ , −1]. 2
Protože je 3 3 3 𝑓 (√ , 1) = 𝑓 (−√ , −1) = √ , 2 2 2 3 3 3 𝑓 (√ , −1) = 𝑓 (−√ , 1) = −√ . 2 2 2 nabývá funkce 𝑓 v bodech 𝑃1 , 𝑃4 svého vázaného lokálního maxima a v bodech 𝑃2 , 𝑃3 svého vázaného lokálního minima na množině 𝑔(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 6.
59
PŘÍKLAD: Určete vázané extrémy funkce 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑥 na kruhu 𝑔(𝑥, 𝑦): 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1. Řešení: Využijeme větu o postačujících podmínkách pro existenci vázaných extrémů (str. 51). Sestavíme Lagrangeovu funkci 𝐿: 𝑧 = (1 − 𝑥) − 𝜆 ∙ (𝑥 2 + 𝑦 2 ). Vypočítáme parciální derivace: 𝐿′𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝜆) = −1 − 𝜆 ∙ (2𝑥), 𝐿′𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝜆) = −𝜆 ∙ (2𝑦). Podmínka 𝐿′𝑥 (𝑃0 ) = 0 a 𝐿′𝑦 (𝑃0 ) = 0 má v tomto případě tvar −1 − 2𝜆𝑥 = 0, −2𝜆𝑦 = 0. Z první rovnice můžeme vyjádřit 𝜆=−
1 2𝑥
𝑎
𝑥 ≠ 0.
Protože jsou splněny všechny předpoklady, body, ve kterých mohou být lokální vázané extrémy, nalezneme pomocí Jakobiánu: |
−1 0 | = 0, tj. 𝑦 = 0. 2𝑥 2𝑦
Dosadíme-li do vazebné podmínky, dostaneme dvojici podezřelých bodů 𝑃1 [−1, 0] a 𝑃2 [1, 0]. Pro 1
1
bod 𝑃1 [−1, 0] je 𝜆 = 2 a pro bod 𝑃2 [1, 0] je 𝜆 = − 2 . Hessova matice pro funkci 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆) je 𝐿′′𝑥𝑥 (P0 ) 𝐿′′𝑥𝑦 (P0 ) −2𝜆 ( ′′ )=( 𝐿𝑦𝑥 (P0 ) 𝐿′′𝑦𝑦 (P0 ) 0
0 ). −2𝜆
Podle postačující podmínky pro existenci lokálních extrémů (viz str. 35) platí, že funkce 𝐿(𝑥, 𝑦, 𝜆) má v bodě 𝑃1 [−1, 0] lokální minimum a v bodě 𝑃2 [1, 0] pak lokální maximum. Tedy podle výše uvedené věty (postačující podmínky pro existenci vázaných extrémů) je v bodě 𝑃1 [−1, 0] lokální vázané minimum a v bodě 𝑃2 [1, 0] lokální vázané maximum funkce 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑥 na kružnici 𝑔(𝑥, 𝑦): 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1.
60
Poznámka – Dosazovací metoda versus Lagrangeova metoda Dosazovací metoda: -
-
Spolehlivě najde lokální vázaný extrém a určí, o jaký extrém (max., min.) se jedná. Je nutné však počítat s tím, že lokální vázaný extrém může být na kraji definičního oboru příslušné funkce jedné proměnné (takže se nejedná o lokální extrém funkce jedné proměnné). Tuto metodu nemůžeme použít, když z vazebné podmínky neumíme vyjádřit jednu proměnnou pomocí druhé.
Lagrangeova metoda: -
-
Pomocí této metody lze většinou snadno najít podezřelé body, tj. body, ve kterých mohou být lokální vázané extrémy. Hodí se tedy hlavně ke hledání globálních extrémů na kompaktní množině. Někdy je obtížné určit, zda v nalezeném podezřelém bodě je nebo není lokální vázaný extrém. Lagrangeova metoda vyžaduje silnější předpoklady na funkce 𝑓, 𝑔.
61
1.9.
CVIČENÍ
1) Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce: 𝑥 2 +𝑦2 −4𝑥
a) 𝑧 = √2𝑥−𝑥 2 −𝑦2 ; b) 𝑧 = √36 − 4𝑥 2 − 9𝑦 2 ; c) 𝑧 = d) 𝑧 =
√𝑦−2𝑥 2 ln(1−𝑥 2 −𝑦2 ) 𝑥+𝑦 arcsin . 𝑥
;
[a)
;
b)
;
c)
;
62
d)
]
2) Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce: a) 𝑧 = 𝑥 2 𝑦 3 + 𝑥 3 𝑦 2 ; 𝑥 b) 𝑧 = 𝑦2 ; c) 𝑧 = 𝑥 ∙ sin(𝑥 + 𝑦) ; d) 𝑧 = arcsin 𝑥𝑦 ; √𝑥 2 +𝑦 2 − 𝑥
e) 𝑧 = ln (
√𝑥 2 +𝑦 2 + 𝑥
). [a) 𝑧𝑥′ = 2𝑥𝑦 3 + 3𝑥 2 𝑦 2 ; 𝑧𝑦′ = 3𝑥 2 𝑦 2 + 2𝑥 3 𝑦; b) 𝑧𝑥′ =
1 ; 𝑦2
𝑧𝑦′ = −
2𝑥 ; 𝑦3
c) 𝑧𝑥′ = sin(𝑥 + 𝑦) + 𝑥 ∙ cos(𝑥 + 𝑦) ; 𝑧𝑦′ = 𝑥 ∙ cos(𝑥 + 𝑦) ; d) 𝑧𝑥′ = e) 𝑧𝑥′ = −
𝑦 √1−𝑥 2 𝑦 2 2 √𝑥 2 +𝑦 2
; 𝑧𝑦′ =
; 𝑧𝑦′ =
𝑥 √1−𝑥 2 𝑦 2 2𝑥
𝑦√𝑥 2 +𝑦 2
;
.]
3) Vypočtěte parciální derivace 1. a 2. řádu funkce: a) 𝑧 =
𝑥+𝑦 2 ; 𝑦−1
b) 𝑧 = (𝑥 + 𝑦) ∙ 𝑒 −𝑥 ; c) 𝑧 = ln(𝑥 + 𝑦 2 ) ; d) 𝑧 =
cos 𝑥 2 . 𝑦 1
[a) 𝑧𝑥′ = 𝑦−1 ; 𝑧𝑦′ =
𝑦 2 −2𝑦−𝑥 ; (𝑦−1)2
1
2𝑥+2
′ ′ ′ ′ 𝑧𝑥𝑥 = 0; 𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 = − (𝑦−1)2 ; 𝑧𝑦𝑦 = − (𝑦−1)3 ;
′ b) 𝑧𝑥′ = −𝑒 −𝑥 (−1 + 𝑥 + 𝑦); 𝑧𝑦′ = 𝑒 −𝑥 ; 𝑧𝑥𝑥 = 𝑒 −𝑥 (−2 + 𝑥 + 𝑦);
63
′ ′ ′ 𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 = −𝑒 −𝑥 ; 𝑧𝑦𝑦 = 0; 1
2𝑦
1
2𝑥−2𝑦 2
2𝑦
′ ′ ′ ′ c) 𝑧𝑥′ = 𝑥+𝑦 2 ; 𝑧𝑦′ = 𝑥+𝑦2 ; 𝑧𝑥𝑥 = − (𝑥+𝑦2 )2 ; 𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 = − (𝑥+𝑦2 )2 ; 𝑧𝑦𝑦 = (𝑥+𝑦2 )2 ;
d) 𝑧𝑥′ = −
2𝑥 sin 𝑥 2 ; 𝑦
𝑧𝑦′ = −
cos 𝑥 2 ; 𝑦2
′ ′ 𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 =
′ 𝑧𝑥𝑥 =
−2 sin 𝑥 2 −4𝑥 2 cos 𝑥 2 ; 𝑦
2𝑥 sin 𝑥 2 ; 𝑦2
′ 𝑧𝑦𝑦 =
2 cos 𝑥 2 . 𝑦3
]
4) Vypočtěte parciální derivace 1. řádu následujících funkcí v daných bodech: a) 𝑧 = 𝑦 2 + 𝑦 ∙ √1 + 𝑥 2 b) 𝑧 = ln (𝑥 +
𝑦 ) 2𝑥
v bodě [2, 5]; v bodě [1, 2]. [a) 𝑧𝑥′ = 2√5; 𝑧𝑦′ = 10 + √5; 1
b) 𝑧𝑥′ = 0; 𝑧𝑦′ = 4. ]
5) Určete tečnou rovinu a normálu dané plochy v bodě 𝑃: 𝜋 2
a) 𝑧 = 𝑥 ∙ sin2 𝑦
v bodě 𝑃 [1, , ? ] ;
b) 𝑧 = ln(𝑥 2 + 𝑦 2 )
v bodě 𝑃[1, 0, ? ]. 𝜋
[a) 𝑥 − 𝑧 = 0; 𝑥 = 1 + 𝑡, 𝑦 = 2 , 𝑧 = 1 − 𝑡; b) 2𝑥 − 𝑧 − 2 = 0; 𝑥 = 1 + 2𝑡, 𝑦 = 0, 𝑧 = −𝑡. ]
6) Určete diferenciál funkce: 𝑥
a) 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑥+𝑦
b) 𝑧 = arctg 1−𝑥𝑦
v bodě [1, 1]; v bodě [√3, 1]. [a) 2 d𝑥; b)
1 d𝑥 4
1
− 2 d𝑦.]
7) Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně: a) √(0,98)2 + (2,03)3 ; b) arctg
1,02 0,95
. [a) 3,053̅; 𝜋
b) 4 + 0,035.] 64
8) Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce v daném bodě: a) 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 2𝑦 2 b) 𝑧 = 𝑒
𝑥 2 +𝑦 2
v bodě [1, 1, 4]; v bodě [0, 0, ? ]. [a) 3𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 4 ; b) 𝑧 = 1. ]
9) Vyšetřete lokální extrémy zadaných funkcí 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦): a) b) c) d) e)
𝑧 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 9𝑦; 𝑧 = 2𝑥𝑦 − 2𝑥 − 4𝑦; 𝑧 = 𝑥 3 − 6𝑥 − 6𝑥𝑦 + 6𝑦 + 3𝑦 2 ; 𝑧 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 𝑦 3 − 3𝑦; 𝑧 = 𝑥 3 + 𝑦 3 − 6𝑦 2 − 3𝑥 + 9;
f)
𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑦;
8
𝑥
2
2
g) 𝑧 = 𝑒 −𝑥 −𝑦 ; h) 𝑧 = ln(1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 ). [a) v bodě 𝑃0 [1, 4] má funkce 𝑓 ostré lokální minimum o hodnotě 𝑓(1, 4) = −21; b) v bodě 𝑃0 [2, 1] není lokální extrém; c) v bodě 𝑃1 [2, 1] má funkce 𝑓 ostré lokální minimum o hodnotě 𝑓(2, 1) = −7 a v bodě 𝑃2 [0, −1] není lokální extrém; d) v bodě 𝑃1 [1, 1] má funkce 𝑓 ostré lokální minimum o hodnotě 𝑓(1, 1) = −4, v bodě 𝑃2 [−1, −1] má funkce 𝑓 ostré lokální maximum o hodnotě 𝑓(−1, −1) = 4 a v bodech 𝑃3 [−1, 1] a 𝑃4 [1, −1] lokální extrém nenastane; e) v bodě 𝑃1 [−1, 0] má funkce 𝑓 ostré lokální maximum o hodnotě 𝑓(−1, 0) = 11, v bodě 𝑃2 [1, 4] má funkce 𝑓 ostré lokální minimum o hodnotě 𝑓(1, 4) = −25 a v bodech 𝑃3 [1, 0] a 𝑃4 [−1, 4] lokální extrém nenastane; f) v bodě 𝑃0 [4, 2] má funkce 𝑓 ostré lokální minimum o hodnotě 𝑓(4, 2) = 6; g) v bodě 𝑃0 [0, 0] má funkce 𝑓 ostré lokální maximum o hodnotě 𝑓(0, 0) = 1; h) v bodě 𝑃0 [0, 0] má funkce 𝑓 ostré lokální minimum o hodnotě 𝑓(0, 0) = 0. ]
10) Vyšetřete globální extrémy zadaných funkcí 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) na uzavřené množině 𝑀: a) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 8𝑦 na obdélníku 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2; 65
b) 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 2𝑦 2 − 3𝑥 − 5𝑦 na trojúhelníku, jehož hranice tvoří přímky: 2𝑥 + 3𝑦 = 6, 𝑥 = 0, 𝑥 − 3𝑦 = 3; [a) Funkce 𝑓 nabývá svého ostrého globálního maxima 𝑓𝑚𝑎𝑥 = 17 v bodě [1, 2] a ostrého globálního minima 𝑓𝑚𝑖𝑛 = −3 v bodě [1, 0]; b) Funkce 𝑓 nabývá svého ostrého globálního maxima 𝑓𝑚𝑎𝑥 = 7 v bodě [0, −1] a ostrého globálního minima 𝑓𝑚𝑖𝑛 = −3 v bodě [1, 1].]
11) Vyšetřete vázané lokální extrémy zadaných funkcí 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦): a) b) c) d) e) f) g)
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 na kružnici 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 4 = 0; 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 na kružnici 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 45 = 0; 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 − 𝑦 3 − 3𝑥𝑦 na parabole 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦 2 = 0; 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 4𝑦 2 na elipse 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑦 2 − 4 = 0 ; 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑦 3 na přímce 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0; 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 na elipse 𝑔(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 2 + 𝑦 2 − 8 = 0; 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥𝑦 na kružnici 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2 = 0; [a) Funkce 𝑓 na dané kompaktní množině 𝑔 nabývá vázaného lokálního maxima v bodě 𝑃1 [√2, √2] a vázaného lokálního minima v bodě 𝑃2 [−√2, −√2] ; b) Funkce 𝑓 na dané kompaktní množině 𝑔 nabývá vázaného lokálního maxima v bodě 𝑃1 [−3, −6] a vázaného lokálního minima v bodě 𝑃2 [3, 6] ; c) Funkce 𝑓 na dané kompaktní množině 𝑔 nabývá vázaného lokálního 3
3
minima v bodě 𝑃1 [ √4, √2] ; d) Funkce 𝑓 na dané kompaktní množině 𝑔 nabývá vázaného lokálního maxima v bodě 𝑃1 [2, 0] a vázaného lokálního minima v bodě 𝑃2 [−2, 0] ; e) Funkce 𝑓 na dané kompaktní množině 𝑔 nabývá vázaného lokálního 3 3
minima v bodě 𝑃1 [2 , 2] ; f) Funkce 𝑓 na dané kompaktní množině 𝑔 nabývá vázaného lokálního maxima v bodech 𝑃1 [1, 2] a 𝑃2 [−1, −2], vázaného lokálního minima pak v bodech 𝑃3 [−1, 2] a 𝑃4 [1, −2] ; g) Funkce 𝑓 na dané kompaktní množině 𝑔 nabývá vázaného lokálního maxima v bodech 𝑃1 [1, 1] a 𝑃2 [−1, −1], vázaného lokálního minima pak v bodech 𝑃3 [−1, 1] a 𝑃4 [1, −1]. ]
66
2. INTEGRÁLNÍ POČET 2.1.
PRIMITIVNÍ FUNKCE A NEURČITÝ INTEGRÁL
V této kapitole zavedeme pojmy primitivní funkce a neurčitý integrál. DEFINICE: PRIMITIVNÍ FUNKCE Nechť 𝑓 a 𝐹 jsou funkce definované na intervalu 𝐽. Funkce 𝐹 je primitivní funkcí k funkci 𝑓 na intervalu 𝐽, jestliže pro každý bod 𝑥 ∈ 𝐽 tohoto intervalu platí 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥). Poznámka: Pokud k intervalu 𝐽 náleží některý z jeho krajních bodů, pak v tomto bodě uvažujeme příslušnou jednostrannou derivaci. PŘÍKLAD: Uvažujme následující funkce 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3, 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 + 5. Dle definice je funkce 𝐹 primitivní funkcí k funkci 𝑓 na 𝑅. Protože derivace konstanty je nula, je primitivní funkcí k funkci 𝐹 na 𝑅 také například funkce 𝐺(𝑥) = 𝑥 2 − 3𝑥 − 7. Tuto skutečnost popisují následující dvě věty. VĚTA Nechť funkce 𝐹 je primitivní funkcí k funkci 𝑓 na intervalu 𝐽. Potom funkce 𝐺 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶, kde 𝐶 ∈ 𝑅 je konstanta, je také primitivní funkcí k 𝑓 na intervalu 𝐽. VĚTA Nechť funkce 𝐹 a 𝐺 jsou primitivní funkce k funkci 𝑓 na intervalu 𝐽. Potom existuje konstanta 𝐶 ∈ 𝑅 tak, že pro každé 𝑥 ∈ 𝐽 je 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶. Poznámka: V předchozí větě je podstatné, že množina 𝐽 je interval, jinak tvrzení nemusí platit. Například funkce 1
𝐹(𝑥) = arctg 𝑥 je primitivní funkce k funkci 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +1 na 𝑅 a funkce 𝐺(𝑥) = arccotg
67
1 𝑥
je
primitivní funkcí také k funkci 𝑓 ale na (−∞; 0) ∪ (0; ∞). Pro tyto funkce ale neexistuje konstanta 𝐶 tak, že 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶 na (−∞; 0) ∪ (0; ∞). Následující věta uvádí postačující podmínku pro existenci primitivní funkce. VĚTA Je-li 𝑓 funkce spojitá na intervalu 𝐽, pak k ní na tomto intervalu existuje primitivní funkce 𝐹. Poznámka: Jelikož všechny elementární funkce jsou na svém definičním oboru spojité, plyne z předchozí věty jednoduchý důsledek: Je-li 𝑓 elementární funkce definovaná na intervalu 𝐽, pak k ní na tomto intervalu existuje primitivní funkce 𝐹. DEFINICE: NEURČITÝ INTEGRÁL Množina všech primitivních funkcí k funkci 𝑓 na intervalu 𝐽 se nazývá neurčitý integrál funkce 𝑓 na intervalu 𝐽. Pro neurčitý integrál používáme zápis: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, kde 𝑑𝑥 je diferenciál integrační proměnné, 𝐹(𝑥) je nějaká primitivní funkce k funkci 𝑓(𝑥) a 𝐶 ∈ 𝑅 je integrační konstanta. Poznámka: Diferenciál integrační proměnné 𝑑𝑥 označuje, co je proměnná. Například pokud budeme uvažovat funkci s proměnnou 𝑦, používáme 𝑑𝑦. PŘÍKLAD: Neurčitý integrál k funkci 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 můžeme tedy zapsat: ∫(2𝑥 − 3 )𝑑𝑥 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 𝐶.
2.2.
VÝPOČET NEURČITÉHO INTEGRÁLU
Nyní si ukážeme základní metody výpočtu neurčitého integrálu. Podobně jako u derivací, i zde při praktickém počítání používáme vzorce pro integraci některých elementárních funkcí.
68
VĚTA Pro integraci základních elementárních funkcí platí vzorce: ∫ 0𝑑𝑥 = 𝐶
na (−∞; ∞),
∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
na (−∞; ∞),
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1 𝑛+1
+ 𝐶 (𝑛 ≠ −1)
1
na (0; ∞) (resp. 𝑅 nebo 𝑅\{0}),
∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶
na (−∞; 0) nebo na (0; ∞),
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶
na (−∞; ∞),
𝑎𝑥
∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑎 + 𝐶
(𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)
na (−∞; ∞),
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
na (−∞; ∞),
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶
na (−∞; ∞),
1
na (𝑘𝜋; 𝜋 + 𝑘𝜋), 𝑘 ∈ 𝑍,
1
na (− 2 + 𝑘𝜋; 2 + 𝑘𝜋) , 𝑘 ∈ 𝑍,
∫ sin2 𝑥 𝑑𝑥 = −cotg 𝑥 + 𝐶
𝜋
∫ cos2 𝑥 𝑑𝑥 = tg 𝑥 + 𝐶 1
𝜋
na (−∞; ∞),
∫ 1+𝑥2 𝑑𝑥 = arctg 𝑥 + 𝐶 1
na (−1; 1).
∫ √1−𝑥2 𝑑𝑥 = arcsin 𝑥 + 𝐶 Poznámka:
Definiční obor u integrace funkce 𝑥 𝑛 závisí na 𝑛. Necháváme čtenáři k promyšlení. V následujících příkladech již tyto intervaly uvádět nebudeme. Doporučujeme čtenářům jako cvičení na definiční obory.
VĚTA Nechť funkce 𝑓, 𝑔 mají na intervalu 𝐽 primitivní funkce. Potom také funkce (𝑓 + 𝑔), (𝑓 − 𝑔) a (𝑐 ∙ 𝑓), kde 𝑐 ∈ 𝑅, mají na 𝐽 primitivní funkce a platí: ∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥, ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥, ∫ 𝑐𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
69
Poznámka: Zdůrazněme, že neexistují žádné vzorce pro přímé integrování součinu a podílu dvou funkcí, jako tomu bylo u derivací. 2.2.1. METODA PŘÍMÉ INTEGRACE Jedná se o nejjednodušší metodu výpočtu neurčitého integrálu. Při výpočtu používáme základní integrační vzorce a pravidla z předchozí věty, případně použijeme základní algebraické úpravy výrazů. Snažíme se převést zadaný výraz na součet, resp. rozdíl, násobků elementárních funkcí, které umíme integrovat. PŘÍKLAD: 1
3
1
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ (√𝑥 5 − 𝑥 + 𝑥 3 +
1 √𝑥
− 3𝑥 ) 𝑑𝑥.
Jedná se o součet a rozdíl základních elementárních funkcí. K řešení využijeme pravidla z předchozí věty a vzorce pro integrování: 3
∫ ( √𝑥 5 −
5 1 1 1 1 1 + 2+ − 3𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 − ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥 𝑥 √𝑥 8
1
3
𝑥3 𝑥 −1 𝑥 2 3𝑥 3√𝑥 8 1 3𝑥 = − ln|𝑥| + + − +𝐶 = − ln|𝑥| − + 2√𝑥 − + 𝐶. 8 1 −1 ln 3 8 𝑥 ln 3 3 2 Poznámka: Poznamenejme, že pokud příklad sestává ze součtu (resp. rozdílu) více integrálů, stačí ve výsledku uvádět jednu integrační konstantu 𝐶. PŘÍKLAD: 3 𝑥
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ (2 sin 𝑥 − + 4) 𝑑𝑥. K řešení využijeme pravidla z předchozí věty a vzorce pro integrování: ∫ (2 sin 𝑥 −
3 1 + 4) 𝑑𝑥 = 2 ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑑𝑥 + 4 ∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥 = −2 cos 𝑥 − 3 ln|𝑥| + 4𝑥 + 𝐶.
PŘÍKLAD: 4
3
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ (sin2 𝑥 − 𝑥 2 +1 −
5 √1−𝑥 2
) 𝑑𝑥.
K řešení využijeme pravidla z předchozí věty a vzorce pro integrování: 70
4 3 5 1 1 1 ∫( 2 − 2 − ) 𝑑𝑥 = 4 ∫ 2 𝑑𝑥 − 3 ∫ 2 𝑑𝑥 − 5 ∫ 𝑑𝑥 = sin 𝑥 𝑥 + 1 √1 − 𝑥 2 sin 𝑥 𝑥 +1 √1 − 𝑥 2 = −4cotg 𝑥 − 3 arctg 𝑥 − 5 arcsin 𝑥 + 𝐶. PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
5𝑥 3 −2𝑥+4 𝑑𝑥. 𝑥2
Vzhledem k tomu, že je se jedná o podíl dvou funkcí, musíme výraz nejprve upravit na součet (resp. rozdíl) elementárních funkcí. V tomto případě to lze provést pouhým vydělením. ∫
5𝑥 3 − 2𝑥 + 4 5𝑥 3 2𝑥 4 2 𝑑𝑥 = ∫ − 2 + 2 ) 𝑑𝑥 = ∫ (5𝑥 − + 4𝑥 −2 ) 𝑑𝑥 = ( 2 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 =
5𝑥 2 4𝑥 −1 5𝑥 2 4 − 2 ln|𝑥| + +𝐶 = − 2 ln|𝑥| − + 𝐶 2 −1 2 𝑥
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ ∫
2𝑥 − 3 √𝑥
2𝑥−3 𝑑𝑥. √𝑥
1 1 2𝑥 3 𝑑𝑥 = ∫ ( 1 − 1 ) 𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥 2 − 3𝑥 −2 ) 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑥2 3
1
2𝑥 2 3𝑥 2 4√𝑥 3 = − +𝐶 = − 6√𝑥 + 𝐶 3 1 3 2 2 PŘÍKLAD: 3
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ √𝑥 (3𝑥 − 2) 𝑑𝑥. Výraz se skládá ze součinu dvou funkcí, musíme je tedy nejprve vynásobit. 1
3
4
1
∫ √𝑥 (3𝑥 − 2) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 3 (3𝑥 − 2)𝑑𝑥 = ∫ (3𝑥 3 − 2𝑥 3 ) 𝑑𝑥 = 7
4
3
3
3𝑥 3 2𝑥 3 9√𝑥 7 3√𝑥 4 = − +𝐶 = − +𝐶 7 4 7 2 3 3
71
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
2𝑥 −1 𝑑𝑥. 5𝑥
2 𝑥 1 𝑥 ( ) ( ) 2 −1 2 1 5 − 5 +𝐶 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ ) − ( ) 𝑑𝑥 = (( ) 2 1 5𝑥 5 5 ln ( ) ln ( ) 5 5 𝑥
𝑥
𝑥
PŘÍKLAD: 2
Vypočítejme neurčitý integrál ∫
(√𝑥−3) 𝑥2
𝑑𝑥.
2
3 𝑥 − 6√𝑥 + 9 1 (√𝑥 − 3) − 2 + 9𝑥 −2 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ ( − 6𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑥 1
6𝑥 −2 9𝑥 −1 12 9 = ln|𝑥| − + + 𝐶 = ln|𝑥| + − +𝐶 1 −1 √𝑥 𝑥 −2 PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ tg 2 𝑥 𝑑𝑥. K výpočtu použijeme vzorce: tg 𝑥 =
sin 𝑥 cos 𝑥
a sin2 𝑥 = 1 − cos 2 𝑥.
sin2 𝑥 1 − cos2 𝑥 1 ∫ tg 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ ( − 1) 𝑑𝑥 = tg 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 cos 2 𝑥 cos2 𝑥 cos2 𝑥 2
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
𝑐𝑜tg2 𝑥−3 𝑑𝑥. cos2 𝑥
K výpočtu použijeme vzorec cotg 𝑥 =
cos 𝑥 . sin 𝑥
cos 2 𝑥 −3 cotg 2 𝑥 − 3 1 3 sin2 𝑥 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ ( 2 − ) 𝑑𝑥 = −cotg 𝑥 − 3tg 𝑥 + 𝐶 2 2 cos 𝑥 cos 𝑥 sin 𝑥 cos2 𝑥 PŘÍKLAD: cos 2𝑥
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ cos2 𝑥 𝑑𝑥. K výpočtu použijeme vzorce: cos 2𝑥 = cos2 𝑥 − sin2 𝑥 a sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥. ∫
cos 2𝑥 cos 2 𝑥 − sin2 𝑥 cos 2 𝑥 − (1 − cos2 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = cos 2 𝑥 cos2 𝑥 cos2 𝑥 72
=∫
2cos 2 𝑥 − 1 1 𝑑𝑥 = ∫ (2 − ) 𝑑𝑥 = 2𝑥 − tg 𝑥 + 𝐶 2 cos 𝑥 cos2 𝑥
2.2.2. METODA INTEGRACE PER PARTES Víme, že na integraci součinu dvou funkcí neexistuje vzorec jako je tomu u derivací. Na některé případy součinu dvou funkcí však lze použít metodu per partes. VĚTA: INTEGRACE PER PARTES Nechť funkce 𝑢, 𝑣 mají spojité derivace 𝑢´ a 𝑣´ na intervalu 𝐽. Potom na tomto intervalu platí ∫ 𝑢(𝑥)𝑣´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑢´(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥. Poznámka: Tato metoda byla odvozena ze vzorce pro derivaci součinu dvou funkcí. (𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))´ = 𝑢´(𝑥)𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥)𝑣´(𝑥) Rovnost můžeme přepsat na tvar 𝑢(𝑥)𝑣´(𝑥) = (𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))´ − 𝑢´(𝑥)𝑣(𝑥) Integrací obou stran této rovnosti získáme uvedený vzorec. ∫ 𝑢(𝑥)𝑣´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫(𝑢(𝑥)𝑣(𝑥))´𝑑𝑥 − ∫ 𝑢´(𝑥)𝑣(𝑥) 𝑑𝑥 ∫ 𝑢(𝑥)𝑣´(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑢´(𝑥)𝑣(𝑥) 𝑑𝑥
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥. Při výpočtu použijeme metodu per partes. Na začátku se rozhodneme, kterou funkci označíme 𝑢 a kterou 𝑣´. Pak dopočítáme funkci 𝑢´ a 𝑣. Tedy funkci, kterou označíme 𝑢, budeme derivovat a funkci, kterou označíme 𝑣´, budeme integrovat. V tomto příkladu označení provedeme následovně: ∫ 𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 = |
𝑢 = ln 𝑥 𝑢´ =
𝑣´ = 𝑥 | 𝑣=
Opačné označení by zde k výsledku nevedlo. Pokud by 𝑣´ = ln 𝑥, nemohli bychom určit funkci 𝑣, protože primitivní funkci k funkci ln 𝑥 neznáme. Dopočítáme nyní chybějící funkce a dosadíme dle vzorce pro integraci per partes.
73
∫ 𝑥 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 = |
=
𝑢 = ln 𝑥 1 𝑢´ = 𝑥
𝑣´ = 𝑥 𝑥2 1 𝑥2 𝑥 2 | = ln 𝑥 ∙ − ∫ ∙ 𝑑𝑥 = 2 𝑥 2 𝑣= 2
𝑥2 1 𝑥2 𝑥2 ln 𝑥 − ∫ 𝑥𝑑𝑥 = ln 𝑥 − + 𝐶 2 2 2 4
Poznámka: Z uvedeného postupu vyplývá, že za 𝑣´ je většinou vhodné volit funkci, kterou umíme integrovat. Tedy například funkce ln 𝑥 , log 𝑥, arcsin 𝑥, arctg 𝑥 raději volíme za 𝑢, protože neznáme jejich primitivní funkce. PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 2𝑥 ∙ arctg 𝑥 𝑑𝑥. ∫ 2𝑥 ∙ arctg 𝑥 𝑑𝑥 = |
𝑢 = arctg 𝑥 𝑢´ =
𝑣´ = 2𝑥
1 1+𝑥 2
𝑣 = 𝑥2 + 1
1
| = (𝑥 2 + 1)arctg 𝑥 − ∫ 1+𝑥 2 (𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 =
= (𝑥 2 + 1)arctg 𝑥 − ∫ 1𝑑𝑥 = (𝑥 2 + 1)arctg 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 V tomto příkladu opět nelze volit 𝑣´ = arctg 𝑥, neboť k této funkci neznáme primitivní funkci. Je dobré si uvědomit, že pokud 𝑣´ = 2𝑥, pak 𝑣 = 𝑥 2 + 𝐶. Většinou se za konstantu 𝐶 volí 0, ale v tomto příkladu bylo vhodné zvolit 𝐶 = 1, protože nám tato volba výrazně ulehčí integraci ∫
1 (𝑥 2 + 1)𝑑𝑥 = ∫ 1𝑑𝑥. 1 + 𝑥2
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥. ∫ 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = |
𝑢=𝑥 𝑢´ = 1
𝑣´ = sin 𝑥 | = −𝑥 cos 𝑥 − ∫ − cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑣 = − cos 𝑥
= −𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶 Poznámka: Dle předchozí poznámky jsme v tomto příkladu za 𝑣´ mohli zvolit obě funkce, neboť známe jejich integraci. Pokud bychom položili 𝑣´ = 𝑥, pak 𝑢 = sin 𝑥 ∫ 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = | 𝑢´ = cos 𝑥
𝑣´ = 𝑥 𝑥2 𝑥2 𝑥 2 | = sin 𝑥 − ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥. 2 2 𝑣= 2
Je patrné, že ve výsledku máme opět integrál ze součinu dvou funkcí, takže nám tento postup k výpočtu nepomůže. Obecně můžeme říci, že pokud umíme integrovat obě funkce v zadaném
74
součinu a jedna z nich je polynom, volíme za 𝑢 polynom, protože derivací se snižuje jeho stupeň. Tedy po konečném počtu kroků dostaneme z polynomu konstantu. PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫(4𝑥 + 1) ∙ 5𝑥 𝑑𝑥. 𝑢 = 4𝑥 + 1 ∫(4𝑥 + 1) ∙ 5 𝑑𝑥 = | 𝑢´ = 4 𝑥
=
𝑣´ = 5𝑥 5𝑥 4∙5𝑥 (4𝑥 + 1) − ∫ 5𝑥 | = 𝑑𝑥 = ln 5 ln 5 𝑣= ln 5
5𝑥 4 5𝑥 4 ∙ 5𝑥 (4𝑥 + 1) − (4𝑥 + 1) − 2 + 𝐶 ∫ 5𝑥 𝑑𝑥 = ln 5 ln 5 ln 5 ln 5
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 𝑥 2 ∙ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥. ∫ 𝑥 2 ∙ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = |
𝑢 = 𝑥2 𝑢´ = 2𝑥
𝑣´ = 𝑒 𝑥 | = 𝑥𝑘 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑣 = 𝑒𝑥
Po provedení metody per partes nám v integrálu vyjde opět součin dvou funkcí, ale mocnina polynomu se zmenšila. Takže pokud použijeme metodu per partes znovu, bude možné již integrál spočítat. = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − ∫ 2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = |
𝑢 = 2𝑥 𝑢´ = 2
𝑣´ = 𝑒 𝑥 | = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − (2𝑥𝑒 𝑥 − ∫ 2𝑒 𝑥 𝑑𝑥) = 𝑣 = 𝑒𝑥
= 𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑒 𝑥 + 𝐶 Poznámka: Z předchozího příkladu vidíme, že metodu per partes je někdy nutné použít opakovaně. Například při výpočtu ∫ 𝑥 4 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 musíme tuto metodu použít čtyřikrát za sebou, než dospějeme k výsledku. PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫(𝑥 2 − 3) ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥. 2 ∫(𝑥 2 − 3) ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = |𝑢 = 𝑥 − 3 𝑣´ = cos 𝑥 | = (𝑥 2 − 3) sin 𝑥 − ∫ 2𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢´ = 2𝑥 𝑣 = sin 𝑥
=|
𝑢 = 2𝑥 𝑢´ = 2
𝑣´ = sin 𝑥 | = (𝑥 2 − 3) sin 𝑥 − (−2𝑥 cos 𝑥 – ∫ − 2 cos 𝑥 𝑑𝑥) = 𝑣 = − cos 𝑥 = (𝑥 2 − 3) sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 𝐶
75
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ sin2 𝑥 𝑑𝑥. 𝑢 = sin 𝑥 ∫ sin2 𝑥 𝑑𝑥 = | 𝑢´ = cos 𝑥
𝑣´ = sin 𝑥 | = − sin 𝑥 cos 𝑥 − ∫ −cos2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑣 = − cos 𝑥
= − sin 𝑥 cos 𝑥 + ∫(1−sin2 𝑥)𝑑𝑥 = − sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑥 − ∫ sin2 𝑥 𝑑𝑥 Při výpočtu jsme použili vzorec cos2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥. Protože nám vyšel stejný integrál jako bylo v zadání, lze nyní příklad dopočítat jako rovnici s neznámým integrálem: ∫ sin2 𝑥 𝑑𝑥 = − sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑥 − ∫ sin2 𝑥 𝑑𝑥 2 ∫ sin2 𝑥 𝑑𝑥 = − sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑥 ∫ sin2 𝑥 𝑑𝑥 =
− sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑥 +𝐶 2
Poznámka: Jak vidíme z předchozího příkladu, v některých případech, když po použití metody per partes dospějeme ke stejnému integrálu, jaký byl v zadání příkladu, dopočítává se příklad jako rovnice. Obecně můžeme tento postup zapsat takto: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) − 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
(𝑘 ∈ 𝑅 − {−1})
(1 + 𝑘) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝐹(𝑥) +𝐶 1+𝑘
Pomocí metody per partes se integruje i funkce ln 𝑥, jejíž primitivní funkci nemáme mezi základními vzorci. PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥. ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 1 ∙ ln 𝑥 𝑑𝑥 = |
𝑢 = ln 𝑥 1 𝑢´ = 𝑥
𝑣´ = 1
1 | = 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑣= 𝑥 𝑥
= 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶
76
2.2.3. METODA INTEGRACE SUBSTITUCÍ Další metodou, kterou můžeme při integraci využít, je substituce. Tato metoda je důsledkem věty o derivování složené funkce. VĚTA: METODA INTEGRACE SUBSTITUCÍ Nechť 𝑓 je funkce spojitá na intervalu 𝐽 a 𝐹 je funkce k ní primitivní na 𝐽. Dále předpokládejme, že funkce 𝑔 má první defivaci 𝑔´(𝑥) ve všech bodech 𝑥 ∈ 𝐼 a že 𝑔(𝑥) ∈ 𝐽 pro každé 𝑥 ∈ 𝐼. Pak složená funkce 𝐹(𝑔(𝑥)) je primitivní funkcí k funkci 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔´(𝑥) na intervalu 𝐼. Výpočet integrálu pomocí substituce lze popsat takto: 𝑡 = 𝑔(𝑥) ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = | | = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑡) + 𝐶 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 𝑑𝑡 = 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 Tedy funkci 𝑔(𝑥) nahradíme proměnnou 𝑡 a zároveň 𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 nahradíme pomocí 𝑑𝑡. Tedy původní integrál přejde na tvar ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡. Nyní stačí vypočítat tento neurčitý integrál s proměnnou 𝑡 a do výsledku za 𝑡 dosadit zpět 𝑔(𝑥). Tato metoda se nejčastěji používá, pokud se zadaný integrál skládá ze součinu složené funkce a derivace její vnitřní funkce. PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ sin3 𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥. 𝑡4 sin4 𝑥 t = sin 𝑥 3 ∫ sin3 𝑥 ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥 = | = ∫ 𝑡 𝑑𝑡 = + 𝐶 = +𝐶 | dt = cos 𝑥 𝑑𝑥 4 4 Vidíme, že v integrálu je součin složené funkce, jejíž vnitřní funkce je funkce sin 𝑥, a derivace této vnitřní funkce. Za 𝑡 volíme vnitřní funkci a 𝑑𝑡 vyjádříme pomocí derivace vnitřní funkce. V novém integrálu nahradíme všechny výskyty vnitřní funkce proměnnou 𝑡 a součin derivace vnitřní funkce a 𝑑𝑥 nahradíme pomocí 𝑑𝑡. Vypočítáme nový integrál a do výsledné primitivní funkce dosadíme zpět za 𝑡 výraz s proměnnou 𝑥. PŘÍKLAD: 2
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 3𝑥 ∙ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥. Za 𝑡 zvolíme vnitřní funkci 𝑥 2 . Derivace 𝑥 2 je 2𝑥. Pokud nám v příkladu chybí pouze číselný násobek, lze jednoduše příklad danou hodnotou rozšířit. V tomto příkladu tedy vytkneme před integrál trojku a pak celý výraz vynásobíme a vydělíme dvěma. 2 3 2 2 2 ∫ 3𝑥 ∙ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥 ∙ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥 ∙ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = | 𝑡 = 𝑥 | = 2 𝑑𝑡 = 2𝑥𝑑𝑥
77
3 3 3 2 = ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 + 𝐶 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 2 2 2 Po nalezení primitivní funkce se vrátíme k původní proměnné 𝑥, tedy nezapomeneme zpět do výsledku dosadit použitou substituci (tzn. místo 𝑡 výraz 𝑥 2 ). PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 𝑥 2 ∙ √𝑥 3 − 4 𝑑𝑥. 3 4 | = 1 ∫ 3𝑥 2 ∙ √𝑥 3 − 4 𝑑𝑥 = 1 ∫ 𝑡𝑑𝑡 = ∫ 𝑥 2 ∙ √𝑥 3 − 4 𝑑𝑥 = | 𝑡 = 𝑥 − √ 2 3 3 𝑑𝑡 = 3𝑥 𝑑𝑥 3
1 𝑡2 1 2 2 = ∙ + 𝐶 = ∙ ∙ √𝑡 3 + 𝐶 = √(𝑥 3 − 4)3 + 𝐶 3 3 3 3 9 2 Poznámka: V následujícím příkladu vidíme, že se substituce nepoužívá pouze k integrování složených funkcí. Nyní ji použijeme k integraci podílu dvou funkcí. PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ ∫
– arctg 𝑥 𝑥 2 +1
𝑑𝑥.
𝑡 = arctg 𝑥 – arctg 𝑥 𝑡2 arctg 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = = ∫ −𝑡 𝑑𝑡 = − + 𝐶 = − +𝐶 | | 𝑑𝑡 = 2 𝑥2 + 1 2 2 𝑥 +1
PŘÍKLAD: 𝑥2
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ cos2 𝑥 3 𝑑𝑥. ∫
2 𝑥2 𝑡 = 𝑥 3 | = 1 ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 = 1 ∫ 1 𝑑𝑡 = 1 tg 𝑡 + 𝐶 = 1 tg 𝑥 3 + 𝐶 𝑑𝑥 = | cos2 𝑥 3 3 cos 2 𝑥 3 3 cos2 𝑡 3 3 𝑑𝑡 = 3𝑥 2 𝑑𝑥
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 32𝑥−5 𝑑𝑥. ∫ 32𝑥−5 𝑑𝑥 = |
1 1 1 3𝑡 32𝑥−5 𝑡 = 2𝑥 − 5 +𝐶 = +𝐶 | = ∫ 2 ∙ 32𝑥−5 𝑑𝑥 = ∫ 3𝑡 𝑑𝑡 = ∙ 𝑑𝑡 = 2 𝑑𝑥 2 2 2 ln 3 2 ln 3
78
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
4 𝑑𝑥. 𝑥(ln 𝑥−2)
𝑡 = ln 𝑥 − 2 4 4 𝑑𝑥 | = ∫ 𝑑𝑡 = 4 ln|𝑡| + 𝐶 = 4 ln|ln 𝑥 − 2| + 𝐶 ∫ 𝑑𝑥 = | 𝑑𝑡 = 𝑥(ln 𝑥 − 2) 𝑡 𝑥
Poznámka: Někdy je třeba navíc ze substituce vyjádřit proměnnou 𝑥 a nahradit v zadaném integrálu všechny výskyty proměnné 𝑥 výrazy s proměnnou 𝑡. Po provedení substituce nikdy nesmí zůstat v integrálu obě dvě proměnné, tedy 𝑥 a 𝑡. Viz následující příklad. PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
𝑒 2𝑥 √𝑒 𝑥 −1
𝑑𝑥.
𝑡 = 𝑒𝑥 − 1 1 1 (𝑡 + 1)𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = |𝑑𝑡 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 | = ∫ = ∫ (𝑡 2 + 𝑡 −2 ) 𝑑𝑡 = √𝑒 𝑥 − 1 √𝑒 𝑥 − 1 √𝑡 𝑡 + 1 = 𝑒𝑥 𝑒 2𝑥
𝑒𝑥 ∙ 𝑒𝑥
3
1
𝑡2 𝑡2 2 2 = + + 𝐶 = √𝑡 3 + 2√𝑡 + 𝐶 = √(𝑒 𝑥 − 1)3 + 2√𝑒 𝑥 − 1 + 𝐶 3 1 3 3 2 2 Použili jsme substituci za vnitřní funkci 𝑒 𝑥 − 1. Po dosazení 𝑡 a 𝑑𝑡 v čitateli zlomku zbyde 𝑒 𝑥 , tedy je třeba nahradit také toto. Proto ze substituce 𝑡 = 𝑒 𝑥 − 1 vyjádříme 𝑡 + 1 = 𝑒 𝑥 . PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ ∫
=∫
𝑥 2 +3𝑥−1 𝑑𝑥. 𝑥+1
𝑡 =𝑥+1 (𝑡 − 1)2 + 3(𝑡 − 1) − 1 𝑥 2 + 3𝑥 − 1 𝑑𝑥 = | 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 | = ∫ 𝑑𝑡 = 𝑥+1 𝑡 𝑡−1=𝑥
(𝑥 + 1)2 𝑡2 + 𝑡 − 3 3 𝑡2 𝑑𝑡 = ∫ (𝑡 + 1 − ) 𝑑𝑡 = + 𝑡 − 3 ln|𝑡| + 𝐶 = +𝑥+1 𝑡 𝑡 2 2 𝑥2 3 − 3 ln|𝑥 + 1| + 𝐶 = + 2𝑥 + − 3 ln|𝑥 + 1| + 𝐶 2 2
Poznámka: Předchozí příklad lze také řešit pomocí postupu, který si ukážeme v následující kapitole (Integrování racionálních lomených funkcí).
79
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
arccos2 𝑥 √1−𝑥 2
𝑑𝑥.
𝑡 = arccos 𝑥 −arccos2 𝑥 𝑡3 arccos 3 𝑥 ∫ 𝑑𝑥 = |𝑑𝑡 = −𝑑𝑥 | = − ∫ 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑡 2 𝑑𝑡 = − + 𝐶 = − +𝐶 2 3 3 √1 − 𝑥 2 √1 − 𝑥 2 √1 − 𝑥 arccos 2 𝑥
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ ∫
5𝑥 √1−4𝑥 2
𝑑𝑥.
5𝑥
1 2 5 −8𝑥 5 1 5 𝑑𝑥 = | 𝑡 = 1 − 4𝑥 | = − ∫ 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑑𝑡 = − ∫ 𝑡 −2 𝑑𝑡 = 8 √1 − 4𝑥 2 8 √𝑡 8 𝑑𝑡 = −8𝑥𝑑𝑥 √1 − 4𝑥 2 1
5 𝑡2 5 =− ∙ + 𝐶 = − √1 − 4𝑥 2 + 𝐶 8 1 4 2 PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
5 √1−4𝑥 2
𝑑𝑥.
Zde nelze použít stejnou substituci jako v předchozím příkladu, protože v čitateli zlomku již není obsažen člen 𝑥, který je součástí derivace 𝑡. Můžeme ale použít takovou substituci, kterou převedeme integrál na tvar ∫ ∫
1 √1−𝑡 2
5 √1 −
4𝑥 2
𝑑𝑡 = arcsin 𝑡. 𝑑𝑥 = 5 ∫
1 √1 −
(2𝑥)2
𝑡 = 2𝑥 𝑑𝑥 = | |= 𝑑𝑡 = 2𝑑𝑥
5 2𝑑𝑥 5 𝑑𝑡 = ∫ = ∫ = 2 √1 − (2𝑥)2 2 √1 − 𝑡 2 5 5 = arcsin 𝑡 + 𝐶 = arcsin 2𝑥 + 𝐶 2 2 Podobně vypočítáme i následující integrály. PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
1 √4−9𝑥 2
𝑑𝑥.
Opět použijeme takovou substituci, abychom převedli integrál na tvar ∫
80
1 √1−𝑡 2
𝑑𝑡.
3𝑥 1 1 1 1 2 |= ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = | 3 2 2 2 2 √4 − 9𝑥 9𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 √4 (1 − √1 − (3𝑥 ) 4 ) 2 2 𝑡=
=
1 2 ∙ ∫ 2 3
3 2
3𝑥 2√1 − ( ) 2
𝑑𝑥 =
1 2 1 ∙ ∫ 𝑑𝑡 = 2 3 √1 − 𝑡 2
1 1 3𝑥 = arcsin 𝑡 + 𝐶 = arcsin + 𝐶 3 3 2 PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ ∫
1 √1 − (𝑥 −
3)2
1 √1−(𝑥−3)2
𝑑𝑥.
𝑑𝑡 𝑡 =𝑥−3 𝑑𝑥 = | = arcsin 𝑡 + 𝐶 = arcsin(𝑥 − 3) + 𝐶 |=∫ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 √1 − 𝑡 2
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ ∫
4 𝑥 ∙ √1 − ln2 𝑥
𝑑𝑥 = |
4 𝑥∙√1−ln2 𝑥
𝑑𝑥.
𝑡 = ln 𝑥 4 𝑑𝑡 1 |=∫ = 4 arcsin 𝑡 + 𝐶 = 4 arcsin(ln 𝑥) + 𝐶 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 √1 − 𝑡 2 𝑥
Poznámka: Pokud použijeme metodu substituce na funkci ve tvaru ∫
𝑓ˇ(𝑥) , 𝑓(𝑥)
dostaneme
𝑓´(𝑥) 𝑑𝑡 𝑡 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = | | = ∫ = ln|𝑡| + 𝐶 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶. 𝑑𝑡 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑥) 𝑡
Tento výsledek lze použít jako vzorec pro integrování: 𝑓ˇ(𝑥)
∫ 𝑓(𝑥) dx = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶. PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
−sin 𝑥−1 𝑑𝑥. cos 𝑥−𝑥
V čitateli zlomku je derivace jmenovatele zlomku. Tedy platí zde vzorec (4) a výsledek je: ∫
−sin 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = ln|cos 𝑥 − 𝑥| + 𝐶 cos 𝑥 − 𝑥 81
(4)
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ ∫
𝑒 𝑥 −2𝑥+4 𝑑𝑥. 𝑒 𝑥 −𝑥 2 +4𝑥
𝑒 𝑥 − 2𝑥 + 4 𝑑𝑥 = ln|𝑒 𝑥 − 𝑥 2 + 4𝑥| + 𝐶 𝑒 𝑥 − 𝑥 2 + 4𝑥
PŘÍKLAD: 1
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 𝑥+4 𝑑𝑥. ∫
1 𝑑𝑥 = ln|𝑥 + 4| + 𝐶 𝑥+4
PŘÍKLAD: 1
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥. Zde stačí zlomek přepsat na složený tvar a je hned patrné, že vzorec (4) lze opět použít. 1 1 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln|ln 𝑥| + 𝐶 𝑥 ln 𝑥 ln 𝑥 PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
𝑥 𝑑𝑥. 𝑥 2 −3
Vzorec (4) nyní nemůžeme použít přímo, protože v čitateli potřebujeme výraz 2𝑥. Zlomek lze ale jednoduše rozšířit dvěma a tím upravit na tvar vhodný pro integraci dle daného vzorce. ∫
𝑥2
𝑥 1 2𝑥 1 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 = ln|𝑥 2 − 3| + 𝐶 −3 2 𝑥 −3 2
PŘÍKLAD: 2
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 3𝑥−1 𝑑𝑥. ∫
2 2 3 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ln|3𝑥 − 1| + 𝐶 3𝑥 − 1 3 3𝑥 − 1 3
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ tg 𝑥 𝑑𝑥. ∫ tg 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
sin 𝑥 − sin 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶 cos 𝑥 cos 𝑥 82
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ cotg 𝑥 𝑑𝑥. ∫ cotg 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
cos 𝑥 𝑑𝑥 = ln|sin 𝑥| + 𝐶 sin 𝑥
Poznámka: Některé příklady se počítají kombinací výše uvedených metod. Například integrály k cyklometrickým funkcím. PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ arccotg 𝑥 𝑑𝑥. Nejprve použijeme metodu per partes. 𝑢 = arccotg 𝑥 −1 ∫ arccotg 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 1 ∙ arccotg 𝑥 = | 𝑢´ = 1 + 𝑥2 = 𝑥 arccotg 𝑥 − ∫
𝑣´ = 1 𝑣= 𝑥
|=
−𝑥 𝑑𝑥 = 1 + 𝑥2
Dále k výpočtu použijeme vzorec (4) 1 2𝑥 1 = 𝑥 arccotg 𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 arccotg 𝑥 + ln|1 + 𝑥 2 | + 𝐶 2 2 1+𝑥 2 PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫ arcsin 𝑥 𝑑𝑥. Nejprve použijeme metodu per partes. 𝑢 = arcsin 𝑥 1 ∫ arcsin 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 1 ∙ arcsin 𝑥 = |𝑢´ = √1 − 𝑥 2 = 𝑥 arcsin 𝑥 − ∫
𝑥 √1 − 𝑥 2
𝑑𝑥
Nový integrál dopočítáme pomocí substituce. ∫
𝑥 √1 −
2
𝑥2
𝑑𝑥 = | 𝑡 = 1 − 𝑥 | = 𝑑𝑡 = −2𝑥 𝑑𝑥
1 1 1 1 = − ∫ 𝑑𝑡 = − ∫ 𝑡 −2 𝑑𝑡 = 2 √𝑡 2
83
𝑣´ = 1 𝑣= 𝑥|=
1
1 𝑡2 =− ∙ + 𝐶 = −√1 − 𝑥 2 + 𝐶 2 1 2 Celý výsledek tedy je ∫ arcsin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 arcsin 𝑥 + √1 − 𝑥 2 + 𝐶
2.2.4. INTEGROVÁNÍ RACIONÁLNÍCH LOMENÝCH FUNKCÍ Než přejdeme k integrování racionálních lomených funkcí, připomeňme důležité vlastnosti polynomů a racionálních lomených funkcí. DEFINICE: POLYNOM Polynom stupně 𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁, je funkce definovaná předpisem 𝑃𝑛 : 𝑦 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , kde 𝑎𝑛 ≠ 0. Jsou-li všechna čísla 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ∈ 𝑅, nazýváme 𝑃𝑛 reálným polynomem. DEFINICE: NULOVÝ BOD POLYNOMU Nulovým bodem polynomu 𝑃𝑛 nazveme (reálné nebo komplexní) číslo 𝑥, pro které platí 𝑃𝑛 (𝑥) = 0. VĚTA: ZÁKLADNÍ VĚTA ALGEBRY Polynom 𝑃𝑛 má v množině komplexních čísel 𝐶 aspoň jeden nulový bod.
𝑃(𝑥)
Podíl polynomů 𝑅(𝑥) = 𝑄(𝑥), kde 𝑄(𝑥) ≠ 0, se nazývá racionální lomená funkce. Je-li stupeň polynomu 𝑃 vyšší nebo roven stupni polynomu 𝑄, lze racionální funkci 𝑅 jednoznačně vyjádřit jako součet polynomu a další racionální funkce. Tedy 𝑅(𝑥) =
𝑃(𝑥) 𝑃1 (𝑥) = 𝑃0 (𝑥) + , 𝑄(𝑥) 𝑄(𝑥)
kde 𝑃1 je polynom stupně nižšího než je stupeň polynomu 𝑄. Racionální lomenou funkci převedeme na tento tvar pomocí algoritmu pro dělení polynomů. Funkce
𝑃1 (𝑥) 𝑄(𝑥)
se nazývá ryze racionální funkce a
pro její integraci existují standardní postupy. Nejprve si připomeňme si algoritmus pro dělení polynomu polynomem.
84
PŘÍKLAD: Vydělme polynomy
𝑥 3 +𝑥 2 −8𝑥−4 . 𝑥 2 −2𝑥−3
: (𝑥 2 − 2𝑥 − 3) = = 𝑥 + 3
(𝑥 3 + 𝑥 2 − 8𝑥 − 4) −(𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥) 3𝑥 2 − 5𝑥 − 4 −(3𝑥 2 − 6𝑥 − 9) zbytek: 𝑥 + 5 Tedy
𝑥 3 + 𝑥 2 − 8𝑥 − 4 𝑥+5 = 𝑥+3+ 2 . 2 𝑥 − 2𝑥 − 3 𝑥 − 2𝑥 − 3
Ryze racionální lomenou funkci
𝑃1 (𝑥) , 𝑄(𝑥)
kde 𝑃1 je polynom nižšího stupně než polynom 𝑄, lze
jednoznačně rozložit na součet parciálních zlomků typu
1 , kde je ve jmenovateli mocnina lineárního členu, 𝑘 ∈ 𝑁, nebo (𝑎𝑥+𝑏)𝑘 𝛼𝑥+𝛽 , kde je ve jmenovateli mocnina kvadratického nerozložitelného (𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐)𝑘
trojčlenu, 𝑘 ∈ 𝑁.
Tyto zlomky lze již integrovat standardními metodami.
Uveďme nejprve tři příklady rozkladu racionální lomené funkce. Správnost rozkladu lze ověřit zpětným sečtením, pravidla jeho vytvoření budou postupně rozebrána v dalších úlohách. 3𝑥 2 + 𝑥 + 4 3𝑥 2 + 𝑥 + 4 2 𝑥−3 = = + 2 3 2 2 𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 𝑥(𝑥 + 2𝑥 + 2) 𝑥 𝑥 + 2𝑥 + 2 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 7𝑥 − 2 2𝑥 2 + 9𝑥 − 2 1 3 2 = 1 + =1+ + − 3 2 𝑥 + 𝑥 − 2𝑥 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 𝑥 𝑥−1 𝑥+2 3𝑥 4 − 3𝑥 3 + 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 1 2 1 4 1 = 3− 2− + + 3 2 𝑥 (𝑥 − 1) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)2 U třetího příkladu zdůrazněme, že pokud jmenovatel obsahuje mocninu nějakého výrazu, pak v rozkladu se mohou objevit také zlomky se všemi nižšími mocninami. 85
Proberme nyní integraci parciálních zlomků obou uvedených typů: I.
Ve jmenovateli mocnina lineárního členu
Jedná se o integrál typu ∫
1 𝑑𝑥, (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘
𝑘 ∈ 𝑁,
k jehož výpočtu použijeme substituci za vnitřek závorky. Označíme-li 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑓(𝑥), jedná se o dvě základní integrační úlohy, které lze obecně popsat následovně. Pro 𝑘 = 1 ∫
𝑓´(𝑥) 𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶. 𝑓(𝑥)
Tato úloha byla již uvedena jako vzorec v předchozí kapitole. Pro 𝑘 = 2, 3, … ∫
𝑑𝑡 𝑡 −𝑘+1 𝑡 = 𝑓(𝑥) −𝑘 𝑑𝑥 = = ∫ = ∫ 𝑡 𝑑𝑡 = + 𝐶= | | 𝑘 𝑑𝑡 = 𝑓´(𝑥)𝑑𝑥 𝑡𝑘 −𝑘 + 1 (𝑓(𝑥)) 𝑓´(𝑥)
=
II.
1 1 1 +𝐶 = − ∙ + 𝐶. 𝑘−1 −(𝑘 − 1)𝑡 𝑘 − 1 (𝑓(𝑥))𝑘−1
Ve jmenovateli kvadratický nerozložitelný trojčlen
Jedná o integrál typu 𝐼=∫
𝛼𝑥+𝛽 𝑑𝑥, 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐
kde diskriminant 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0.
Tento integrál upravíme na tvar 𝐼 = 𝐴𝐼1 + 𝐵𝐼2 , kde 𝐴, 𝐵 jsou vhodné konstanty a 2𝑎𝑥+𝑏
𝐼1 = ∫ 𝑎𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 𝑑𝑥 = ln|𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐| + 𝐶, 𝐼2 = ∫
𝑎𝑥 2
1 𝑑𝑥. + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑑𝑡
Integrál 𝐼2 se vhodnou substitucí převede na tvar ∫ 1+𝑡 2 = arctg 𝑡 + 𝐶.
86
(5)
Poznámka: Integrace parciálních zlomků s mocninou kvadratického nerozložitelného trojčlenu ve jmenovateli přesahuje rámec těchto skript. Touto situací se tedy zabývat nebudeme.
Uveďme si nyní příklady na integraci obou typů parciálních zlomků. Začneme prvním typem, kdy je ve jmenovateli lineární člen nebo jeho mocnina. PŘÍKLAD: 1
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 5𝑥+7 𝑑𝑥. ∫
1 1 5 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ln|5𝑥 + 7| + 𝐶 5𝑥 + 7 5 5𝑥 + 7 5
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
3 𝑑𝑥. (3𝑥+1)4
Zde použijeme substituci za vnitřek závorky. ∫
3 𝑑𝑡 𝑡 −3 1 1 𝑡 = 3𝑥 + 1 −4 𝑑𝑥 = = ∫ = ∫ 𝑡 𝑑𝑡 = + 𝐶 =− ∙ +𝐶 | | 4 4 𝑑𝑡 = 3𝑑𝑥 (3𝑥 + 1) 𝑡 −3 3 (3𝑥 + 1)3
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
5 𝑑𝑥. 𝑥 2 −4𝑥+4
Jmenovatel lze upravit pomocí vzorce 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)2 na druhou mocninu lineárního členu, za který pak provedeme substituci. ∫
𝑥2
5 1 𝑡 =𝑥−2 𝑑𝑥 = 5 ∫ 𝑑𝑥 = | |= 2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 − 4𝑥 + 4 (𝑥 − 2)
= 5∫
𝑑𝑡 5𝑡 −1 −5 −2 = 5 ∫ 𝑡 𝑑𝑡 = + 𝐶= +𝐶 2 𝑡 −1 𝑥−2
PŘÍKLAD: –𝑥−14
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 𝑥 2 +3𝑥−4 𝑑𝑥. Jedná se o ryze racionální funkci, jejíž jmenovatel lze rozložit na součin kořenových činitelů (diskriminant je kladný). Tyto lineární členy budou jmenovateli příslušných parciálních zlomků.
87
– 𝑥 − 14 – 𝑥 − 14 ? ? = = + 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 (𝑥 + 4)(𝑥 − 1) 𝑥 + 4 𝑥 − 1 Zbývá určit čitatele obou parciálních zlomků. Označíme je jako neznámé konstanty 𝐴, 𝐵 a postupujeme jako při řešení rovnice, tedy obě strany rovnice vynásobíme výrazem (𝑥 + 4)(𝑥 − 1), abychom odstranili zlomky. – 𝑥 − 14 𝐴 𝐵 = + (𝑥 + 4)(𝑥 − 1) 𝑥 + 4 𝑥 − 1 −𝑥 − 14 = 𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 4) Dále stačí za 𝑥 dosadit takovou hodnotu, abychom se v rovnici zbavili neznámé 𝐴 a snadno dopočítali neznámou 𝐵. Podobně pak dosadíme tak, abychom se zbavili neznámé 𝐵 a dopočítali neznámou 𝐴. V našem případě stačí za 𝑥 zvolit 𝑥 = 1. −1 − 14 = 𝐴(1 − 1) + 𝐵(1 + 4) −15 = 5𝐵 𝐵 = −3 Nyní zvolíme 𝑥 = −4 a dostaneme −(−4) − 14 = 𝐴(−4 − 1) + 𝐵(−4 + 4) −10 = −5𝐴 𝐴=2 Zadanou racionální lomenou funkci lze přepsat – 𝑥 − 14 2 3 = − (𝑥 + 4)(𝑥 − 1) 𝑥 + 4 𝑥 − 1 a integrujeme ji po sčítancích ∫ = 2∫
– 𝑥 − 14 2 3 𝑑𝑥 = ∫ ( − ) 𝑑𝑥 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 𝑥+4 𝑥−1
1 1 𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑑𝑥 = 2 ln|𝑥 + 4| − 3 ln|𝑥 − 1| + 𝐶 𝑥+4 𝑥−1
PŘÍKLAD: 𝑥−8
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 𝑥 2 −𝑥−6 𝑑𝑥. Jedná se o ryze racionální funkci, jejíž jmenovatel lze rozložit na součin kořenových činitelů (tedy diskriminant je kladný).
88
𝑥−8 𝑥−8 = 𝑥 2 − 𝑥 − 6 (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) Rozklad na parciální zlomky má tvar 𝑥−8 𝐴 𝐵 = + . (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 𝑥 − 3 𝑥 + 2 Neznámé konstanty 𝐴, 𝐵 dopočteme z rovnosti 𝑥 − 8 = 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 3), která je splněna pro každé reálné 𝑥. Volbou 𝑥 = −2 dostáváme −10 = −5𝐵 𝐵 = 2 Dále volbou 𝑥 = 3 dopočteme −5 = 5𝐴 𝐴 = −1 Zadanou racionální lomenou funkci pak integrujeme po sčítancích. ∫ = −∫
𝑥−8 −1 2 𝑑𝑥 = ∫ ( + ) 𝑑𝑥 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 𝑥−3 𝑥+2
1 1 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥 = − ln|𝑥 − 3| + 2 ln|𝑥 + 2| + 𝐶 𝑥−3 𝑥+2
V dalších příkladech se zaměříme na integraci parciálních zlomků druhého typu, které mají ve jmenovateli nerozložitelný kvadratický trojčlen, t.j. se záporným diskriminantem. Začneme integrály typu 𝐼2 , kdy je v čitateli pouze konstanta a které stačí vhodnou substitucí převést na tvar ∫
𝑑𝑡 = arctg 𝑡 + 𝐶. 1 + 𝑡2
PŘÍKLAD: 5
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 16+3𝑥2 𝑑𝑥. Polynom ve jmenovateli racionální lomené funkce má záporný diskriminant, tedy nemá reálné kořeny. V čitateli je pouze konstanta, jedná se tedy o integrál ve tvaru 𝐼2 , který se vhodnou substitucí 𝑑𝑡
převede na úlohu ∫ 1+𝑡 2 = arctg 𝑡 + 𝐶.
89
∫
5 𝑑𝑥 = ∫ 16 + 3𝑥 2
5 3𝑥 2 16 (1 + 16 )
𝑑𝑥 =
5 ∫ 16
1
2 𝑑𝑥
√3𝑥 1+( 4 )
=
√3𝑥 4 | = 5 ∙ 4 ∫ 1 𝑑𝑡 = 5 arctg 𝑡 + 𝐶 = 5 arctg √3𝑥 + 𝐶 = || | 16 4 4√3 4√3 √3 √3 1 + 𝑡 2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 4 𝑡=
PŘÍKLAD: 1
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 𝑥 2 +4𝑥+5 𝑑𝑥. Jmenovatel racionální lomené funkce má opět záporný diskriminant a v čitateli je pouze konstanta. Provedeme vhodnou substituci doplněním do čtverce. ∫
𝑥2
=|
1 1 1 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = (𝑥 + 2)2 + 1 + 4𝑥 + 5 𝑥 + 4𝑥 + 4 + 1 1 𝑡 =𝑥+2 𝑑𝑡 = arctg 𝑡 + 𝐶 = arctg (𝑥 + 2) + 𝐶 |=∫ 2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑡 +1
PŘÍKLAD: 1
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 𝑥 2 −2𝑥+10 𝑑𝑥. Jmenovatel racionální lomené funkce má záporný diskriminant a v čitateli je pouze konstanta. Provedeme vhodnou substituci doplněním do čtverce. ∫
𝑥2
1 1 1 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = (𝑥 − 1)2 + 9 − 2𝑥 + 10 𝑥 − 2𝑥 + 1 + 9
𝑥−1 𝑡= 1 1 1 1 3 | = 1 ∙ 3 ∫ 1 𝑑𝑡 = = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = | 2 2 1 (𝑥 − 1) 9 9 9 𝑡2 + 1 𝑥−1 + 1 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 ( ) + 1 9 3 3 1 1 𝑥−1 = arctg 𝑡 + 𝐶 = arctg +𝐶 3 3 3
Nyní se zaměříme na případy, kdy jmenovatel má záporný diskriminant a čitatel je polynom stupně jedna, tedy lineární výraz αx + β, kde α ≠ 0. Tento integrál upravíme na tvar 𝐼 = 𝐴𝐼1 + 𝐵𝐼2 = 𝐴 ∫
2𝑎𝑥 + 𝑏 1 𝑑𝑥 + 𝐵 ∫ 2 𝑑𝑥, 2 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 90
kde pak k výpočtu integrálu 𝐼1 použijeme vzorec ∫
𝑓ˇ(𝑥) 𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶 𝑓(𝑥)
a integrál 𝐼2 vypočítáme pomocí právě probrané substituce vedoucí na funkci arctg. PŘÍKLAD: 2𝑥−3
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 𝑥 2 −6𝑥+10 𝑑𝑥. Jmenovatel má záporný diskriminant a v čitateli je lineární výraz, jedná se o parciální zlomek druhého typu. Převedeme ho na součet dvou zlomků s týmž jmenovatelem tak, aby v prvním zlomku byl čitatel derivací jmenovatele (nebo násobkem derivace jmenovatele) a v druhém zlomku byl čitatel pouze konstanta. V čitateli prvního zlomku tedy potřebujeme derivaci jmenovatele, neboli výraz 2𝑥 − 6. Proto si čitatele přepíšeme na tvar 2𝑥 − 3 = 2𝑥 − 6 + 3. A dostáváme součet ∫
𝑥2
2𝑥 − 3 2𝑥 − 6 + 3 2𝑥 − 6 3 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 − 6𝑥 + 10 𝑥 − 6𝑥 + 10 𝑥 − 6𝑥 + 10 𝑥 − 6𝑥 + 10
První integrál vypočítáme dle vzorce (5), resp. (4). ∫
2𝑥 − 6 𝑑𝑥 = ln|𝑥 2 − 6𝑥 + 10| + 𝐶 𝑥 2 − 6𝑥 + 10
Druhý integrál vypočítáme pomocí substituce. ∫
3 1 1 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑑𝑥 = (𝑥 − 3)2 + 1 𝑥 2 − 6𝑥 + 10 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 + 1
=|
1 𝑡 = 𝑥−3 𝑑𝑡 = 3 arctg 𝑡 + 𝐶 = 3 arctg (𝑥 − 3) + 𝐶 | = 3∫ 2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑡 +1
Konečný výsledek tedy je ∫
𝑥2
2𝑥 − 3 𝑑𝑥 = ln|𝑥 2 − 6𝑥 + 10| + 3 arctg (𝑥 − 3) + 𝐶 − 6𝑥 + 10
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
𝑥+3 𝑑𝑥. 𝑥 2 +8𝑥+20
Jmenovatel má záporný diskriminant a v čitateli je lineární výraz, jedná se opět o parciální zlomek druhého typu. Převedeme ho na součet dvou zlomků s týmž jmenovatelem tak, aby v prvním zlomku byl čitatel derivací jmenovatele (nebo násobkem derivace jmenovatele) a v druhém zlomku byl čitatel pouze konstanta.
91
Derivace jmenovatele je 2𝑥 + 8. V čitateli máme pouze 1𝑥. Zlomek tedy nejprve rozšíříme dvěma a dostaneme ∫
𝑥2
𝑥+3 1 2𝑥 + 6 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 = + 8𝑥 + 20 2 𝑥 + 8𝑥 + 20
Poté si čitatel rozložíme na součet derivace jmenovatele a konstanty. 1 2𝑥 + 8 − 2 = ∫ 2 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 8𝑥 + 20 1 2𝑥 + 8 2 = (∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥) = 2 𝑥 + 8𝑥 + 20 𝑥 + 8𝑥 + 20 1 2𝑥 + 8 1 = ∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥 2 𝑥 + 8𝑥 + 20 𝑥 + 8𝑥 + 20 První integrál vypočítáme dle vzorce (5), resp. (4). ∫
𝑥2
2𝑥 + 8 𝑑𝑥 = ln|𝑥 2 + 8𝑥 + 20| + 𝐶 + 8𝑥 + 20
Druhý integrál vypočítáme pomocí substituce. ∫
𝑥2
1 1 1 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = (𝑥 + 4)2 + 4 + 8𝑥 + 20 𝑥 + 8𝑥 + 16 + 4
𝑥+4 𝑡= 1 1 2 | = 1 ∙ 2 ∫ 1 𝑑𝑡 = 1 arctg 𝑡 + 𝐶 = 1 arctg (𝑥 + 4) + 𝐶 = ∫ 𝑑𝑥 | 2 1 4 4 𝑡2 + 1 2 2 2 𝑥+4 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 ( 2 ) +1 2 Konečný výsledek tedy je ∫
𝑥2
𝑥+3 1 1 𝑥+4 𝑑𝑥 = ln|𝑥 2 + 8𝑥 + 20| − arctg ( )+𝐶 + 8𝑥 + 20 2 2 2
V dalších úlohách využijeme znalost integrace parciálních zlomků obou typů, integraci většinou předchází dělení polynomů a příp. i rozložení na parciální zlomky. Pro jednoduchost se omezíme jen na (racionální lomené) funkce, které mají ve jmenovateli polynom stupně nejvýše dva. PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
𝑥 3 +𝑥 2 −8𝑥−4 𝑑𝑥. 𝑥 2 −2𝑥−3
Polynom v čitateli racionální lomené funkce je vyššího stupně než polynom ve jmenovateli. Musíme tedy nejprve provést dělení polynomů. Toto jsme již počítali v příkladu na straně 85. Víme tedy, že 𝑥 3 + 𝑥 2 − 8𝑥 − 4 𝑥+5 = 𝑥+3+ 2 . 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 𝑥 − 2𝑥 − 3 92
Jmenovatel racionální lomené funkce má kladný diskriminant, lze tedy rozložit na součin. 𝑥2
𝑥+5 𝑥+5 = − 2𝑥 − 3 (𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
Rozklad na parciální zlomky je tvaru 𝑥+5 𝐴 𝐵 = + (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) 𝑥 − 3 𝑥 + 1 𝑥 + 5 = 𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 − 3) odkud vypočteme konstanty 𝐴, 𝐵. Volbou 𝑥 = −1. 4 = −4𝐵 𝐵 = −1 Dále volbou 𝑥 = 3. 8 = 4𝐴 𝐴=2 Zadanou funkci integrujeme po sčítancích. ∫
𝑥 3 + 𝑥 2 − 8𝑥 − 4 𝑥+5 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 + 3 + ) 𝑑𝑥 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = ∫ (𝑥 + 3 + =
2 1 − ) 𝑑𝑥 = 𝑥−3 𝑥+1
𝑥2 + 3𝑥 + 2 ln|𝑥 − 3| − ln|𝑥 + 1| + 𝐶 2
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
2𝑥 3 +𝑥 2 +29𝑥−52 𝑑𝑥. 𝑥 2 +2𝑥+17
Protože polynom v čitateli je vyššího stupně než polynom ve jmenovateli, musíme nejprve provést dělení polynomů.
93
(2𝑥 3 + 𝑥 2 + 29𝑥 − 52) : (𝑥 2 + 2𝑥 + 17) =
2𝑥 – 3
−(2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 34𝑥) −3𝑥 2 − 5𝑥 − 52 −(−3𝑥 2 − 6𝑥 − 51) zbytek: 𝑥 − 1 Platí tedy ∫
2𝑥 3 + 𝑥 2 + 29𝑥 − 52 𝑥−1 = ∫ (2𝑥 − 3 + 2 ) 𝑑𝑥. 2 𝑥 + 2𝑥 + 17 𝑥 + 2𝑥 + 17
Jmenovatel racionální lomené funkce má záporný diskriminant a zároveň v čitateli je polynom stupně jedna, upravíme racionální lomenou funkci na součet dvou zlomků. V prvním zlomku bude v čitateli derivace výrazu ze jmenovatele a v druhém zlomku bude v čitateli pouze konstanta. ∫
𝑥2
𝑥−1 1 2𝑥 − 2 1 2𝑥 + 2 − 4 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 = + 2𝑥 + 17 2 𝑥 + 2𝑥 + 17 2 𝑥 + 2𝑥 + 17 1 2𝑥 + 2 4 = (∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥) = 2 𝑥 + 2𝑥 + 17 𝑥 + 2𝑥 + 17 1 2𝑥 + 2 2 = ∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥 2 𝑥 + 2𝑥 + 17 𝑥 + 2𝑥 + 17
První integrál vypočítáme dle vzorce (5), resp. (4). ∫
2𝑥 + 2 𝑑𝑥 = ln|𝑥 2 + 2𝑥 + 17| + 𝐶 𝑥 2 + 2𝑥 + 17
Druhý integrál vypočítáme pomocí substituce. ∫
𝑥2
2 2 2 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = (𝑥 + 1)2 + 16 + 2𝑥 + 17 𝑥 + 2𝑥 + 1 + 16
𝑥+1 𝑡= 2 1 4 | = 1 ∙ 4 ∫ 1 𝑑𝑡 = 1 arctg 𝑡 + 𝐶 = 1 arctg (𝑥 + 1) + 𝐶 = ∫ 𝑑𝑥 | 2 1 16 8 𝑡2 + 1 2 2 4 𝑥+1 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 ( 4 ) +1 4 Výsledek tedy je ∫
2𝑥 3 + 𝑥 2 + 29𝑥 − 52 𝑥−1 = ∫ (2𝑥 − 3 + 2 ) 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 2𝑥 + 17 𝑥 + 2𝑥 + 17
94
1 2𝑥 + 2 2 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥 − ∫ 3𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 2𝑥 + 17 𝑥 + 2𝑥 + 17 1 1 𝑥+1 = 𝑥 2 − 3𝑥 + ln|𝑥 2 + 2𝑥 + 17| − arctg ( )+𝐶 2 2 4 PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
2𝑥 2 −16𝑥+30 𝑑𝑥. 𝑥 2 −6𝑥
Polynom v čitateli je stejného stupně jako polynom ve jmenovateli. Musíme tedy nejprve provést dělení polynomů. (2𝑥 2 − 16𝑥 + 30)
: (𝑥 2 − 6𝑥) = 2
−(2𝑥 2 − 12𝑥) zbytek: − 4𝑥 + 30 Platí tedy ∫
2𝑥 2 − 16𝑥 + 30 −4𝑥 + 30 𝑑𝑥 = ∫ (2 + 2 ) 𝑑𝑥. 2 𝑥 − 6𝑥 𝑥 − 6𝑥
Jmenovatel racionální lomené funkce má kladný diskriminant, lze tedy rozložit na součin. −4𝑥 + 30 −4𝑥 + 30 = 𝑥 2 − 6𝑥 𝑥(𝑥 − 6) Rozklad na parciální zlomky je ve tvaru −4𝑥 + 30 𝐴 𝐵 = + 𝑥(𝑥 − 6) 𝑥 𝑥−6 −4𝑥 + 30 = 𝐴(𝑥 − 6) + 𝐵𝑥 Dosazením 𝑥 = 6 dopočítáme 𝐵 = 1. Dosazením 𝑥 = 0 dostaneme 𝐴 = −5. Konečný výsledek je ∫
2𝑥 2 − 16𝑥 + 30 5 1 𝑑𝑥 = ∫ (2 − + ) 𝑑𝑥 = 2 𝑥 − 6𝑥 𝑥 𝑥−6 = 2𝑥 − 5 ln|𝑥| + ln|𝑥 − 6| + 𝐶
95
PŘÍKLAD: Vypočítejme neurčitý integrál ∫
−𝑥 2 +10𝑥−22 𝑑𝑥. 𝑥 2 −10𝑥+25
Polynom v čitateli je stejného stupně jako polynom ve jmenovateli. Musíme tedy nejprve provést dělení polynomů. (−𝑥 2 + 10𝑥 − 22) : (𝑥 2 − 10𝑥 + 25) = −1 −(−𝑥 2 + 10𝑥 − 25) zbytek: 3 Platí tedy −𝑥 2 + 10𝑥 − 22 3 ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ (−1 + 2 ) 𝑑𝑥. 𝑥 − 10𝑥 + 25 𝑥 − 10𝑥 + 25 Jmenovatel racionální lomené funkce má nulový diskriminant, lze tedy převést na druhou mocninu lineárního členu (𝑥 − 5). K integrování použijeme substituci za vnitřek závorky. ∫ (−1 +
𝑥2
3 3 ) 𝑑𝑥 = ∫ −1𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 = − 10𝑥 + 25 𝑥 − 10𝑥 + 25
= −𝑥 + 3 ∫
1 𝑡 =𝑥−5 𝑑𝑥 = | | = −𝑥 + 3 ∫ 𝑡 −2 𝑑𝑡 = 2 (𝑥 − 5) 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥
= −𝑥 +
3𝑡 −1 3 + 𝐶 = −𝑥 − +𝐶 −1 𝑥−5
PŘÍKLAD: 4𝑥−3
Vypočítejme neurčitý integrál ∫ 𝑥 2 −2𝑥+6 𝑑𝑥. Polynom v čitateli je menšího stupně než ve jmenovateli, nemusíme polynomy dělit. Diskriminant polynomu ve jmenovateli je záporný. Jedná se o parciální zlomek druhého typu, který rozložíme následovně 3 1 2𝑥 − 2 2𝑥 − 2 + 2 4𝑥 − 3 ∫ 2 𝑑𝑥 = 2 ∫ 2 𝑑𝑥 = 2 ∫ 2 𝑑𝑥 = 𝑥 − 2𝑥 + 6 𝑥 − 2𝑥 + 6 𝑥 − 2𝑥 + 6 1 2𝑥 − 2 = 2 (∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 2 2 𝑑𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 6 𝑥 − 2𝑥 + 6 = 2∫
2𝑥 − 2 1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝑥 2 − 2𝑥 + 6 𝑥 2 − 2𝑥 + 6 96
Vypočítáme první integrál dle vzorce (5). ∫
𝑥2
2𝑥 − 2 𝑑𝑥 = ln|𝑥 2 − 2𝑥 + 6| + 𝐶 − 2𝑥 + 6
Druhý integrál vypočítáme substitucí. ∫
𝑥2
1 1 1 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = (𝑥 − 1)2 + 5 − 2𝑥 + 6 𝑥 − 2𝑥 + 1 + 5 𝑡=
𝑥−1
1 1 √5 | = 1 ∙ √5 ∫ 1 𝑑𝑡 = = ∫ 𝑑𝑥 = = || | 2 1 5 5 𝑡2 + 1 𝑥−1 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 ( ) +1 √5 √5 =
𝑥−1 √5 √5 arctg 𝑡 + 𝐶 = arctg +𝐶 5 5 √5
Výsledek je roven ∫
2.3.
𝑥2
4𝑥 − 3 𝑥−1 √5 𝑑𝑥 = 2 ln|𝑥 2 − 2𝑥 + 6| + arctg + 𝐶. − 2𝑥 + 6 5 √5
URČITÝ INTEGRÁL
Určitý integrál spočívá v myšlence výpočtu obsahu. Uvažujme funkci 𝑓, která je nezáporná a spojitá na uzavřeném intervalu < 𝑎; 𝑏 >. Chceme určit obsah rovinného útvaru 𝑀, ohraničeného shora grafem funkce 𝑓, zdola osou 𝑥, zleva přímkou o rovnici 𝑥 = 𝑎 a zprava přímkou o rovnici 𝑥 = 𝑏.
Cílem je rovinný útvar 𝑀 nahradit jednodušším útvarem, jehož obsah umíme vypočítat, a navíc takovým, že se jeho obsah příliš neliší od obsahu útvaru 𝑀. Postupujeme tak, že interval < 𝑎; 𝑏 > rozdělíme dělícími body a útvar 𝑀 pokryjeme obdélníky. Toto uděláme dvěma způsoby a to tak, že nový útvar z obdélníků bude buď vepsaný množině 𝑀 (obrázek 27) nebo opsaný množině 𝑀 (obrázek 28). 97
Obrázek 27
Obrázek 28
Je zřejmé, že obsah obrazce 𝑀 leží mezi hodnotami obsahu množiny 𝑄𝑚𝑖𝑛 a množiny 𝑄𝑚𝑎𝑥 . Chyba, které se při výpočtu dopustíme je maximálně rozdíl obsahů 𝑄𝑚𝑖𝑛 a 𝑄𝑚𝑎𝑥 . Postup, který jsme si nyní nastínili, vychází z definice Riemannova4 určitého integrálu. Můžeme se setkat i s dalšími určitými integrály (například Newtonův5, Lebesgueův6), které se navzájem liší také v tom, pro které skupiny funkcí jsou zavedeny. Kdykoli však pro danou funkci a interval existují dva určité integrály různých typů, vždy se číselně rovnají. Dále uvedeme základní definice a věty. DEFINICE: DĚLENÍ INTERVALU, INTEGRÁLNÍ SOUČET Nechť je dán uzavřený interval < 𝑎; 𝑏 >. Množinu bodů 𝐷 = {𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 } ⊂< 𝑎; 𝑏 > splňující podmínku 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 nazveme dělením intervalu < 𝑎; 𝑏 >. Norma dělení 𝐷 je číslo 𝑣(𝐷), které je rovno největší vzdálenosti dvou sousedních bodů dělení 𝐷, tj. 𝑚𝑎𝑥 (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ). 𝑣(𝐷) = 𝑖 ∈ {1, … , 𝑛}
4
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866) byl německý matematik, který výrazně přispěl k rozvoji matematické analýzy a diferenciální geometrie. 5
Isaac Newton (1643 – 1727) byl anglický fyzik a matematik. V matematice se dělí s Gottfriedem Leibnizem o zásluhy na
objevu integrálního počtu. Přispěl také k výzkumu mocninných řad. 6
Henri Léon Lebesgue (1875 –1941) byl francouzský matematik. Zabýval se matematickou analýzou, vybudoval moderní teorii míry a integrálu.
98
Pro dané dělení 𝐷 nechť 𝐵 = {𝑐1 , … , 𝑐𝑛 } je množina bodů z intervalu < 𝑎; 𝑏 > tak, že 𝑐𝑖 ∈ < 𝑥𝑖−1 ; 𝑥𝑖 >, 𝑖 = 1,2, … 𝑛. Označme 𝑛
𝑆(𝑓, 𝐷, 𝐵) = ∑ 𝑓(𝑐𝑖 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 ) 𝑖=1
integrální součet příslušný dělení 𝐷 a množině 𝐵. DEFINICE: RIEMANNŮV INTEGRÁL Nechť 𝑓 je omezená funkce definovaná na uzavřeném intervalu < 𝑎; 𝑏 >. Existuje-li číslo 𝑅 takové, že 𝑙𝑖𝑚𝑣(𝐷)→0+ 𝑆(𝑓, 𝐷, 𝐵) = 𝑅, řekneme, že funkce 𝑓 je riemannovsky integrovatelná na intervalu < 𝑎; 𝑏 >. Číslo 𝑅 nazveme Riemannovým určitým integrálem funkce 𝑓 na intervalu <𝑎; 𝑏 >. Píšeme 𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑅. 𝑎
Pokud žádné číslo 𝑅 uvedených vlastností neexistuje, říkáme, že funkce 𝑓 nemá na < 𝑎; 𝑏 > Riemannův integrál. Poznámka: Zdůrazněme, že Riemannův určitý integrál je definován pouze pro funkce omezené na uzavřeném intervalu. Každá omezená funkce na uzavřeném intervalu však nemusí být riemannovsky integrovatelná. VĚTA Je-li funkce 𝑓 spojitá na uzavřeném intervalu < 𝑎; 𝑏 >, pak je také riemannovsky integrovatelná na tomto intervalu.
K výpočtu určitého integrálu používáme následující vzorec. VĚTA: NEWTONŮV-LEIBNIZŮV 7 VZOREC Nechť funkce 𝑓 je spojitá na uzavřeném intervalu < 𝑎; 𝑏 > a nechť 𝐹 je její primitivní funkce na < 𝑎; 𝑏 >. Potom platí rovnost 𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).
7
(6)
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716) byl německý matematik, který nezávisle na Isaacu Newtonovi objevil integrální kalkulus a jeho způsob zápisu se používá dodnes.
99
Při výpočtu budeme používat následující označení 𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). 𝑎
Pravá strana v uvedeném vzorci nezávisí na konkrétním výběru primitivní funkce 𝐹, neboli na volbě konstanty 𝐶, neboť 𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥) + C]𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) + 𝐶 − (𝐹(𝑎) + C) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). 𝑎
Integrační konstantu 𝐶 lze tedy při výpočtu určitého integrálu vypustit, resp. volit 𝐶 = 0. Spodní hodnotu 𝑎 u určitého integrálu nazýváme dolní mez, horní hodnotu 𝑏 horní mez určitého integrálu. Při výpočtu určitého integrálu nejprve určíme primitivní funkci, tedy neurčitý integrál funkce 𝑓. K tomu lze použít všechny postupy, které jsme uvedli u neurčitého integrálu. Metodu per partes a substituci v určitém integrálu upřesníme později. Dál počítáme podle vzorce (6), tj. do primitivní funkce postupně dosadíme za 𝑥 horní mez a dolní mez a funkční hodnoty od sebe odečteme. Ukažme si tento postup na příkladu. PŘÍKLAD: 2
Vypočítejme určitý integrál ∫0 𝑥 𝑑𝑥 . Nejprve vypočítáme neurčitý integrál dané funkce, tedy ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2 2
+ 𝐶. Za 𝐶 volíme nulu. Dále
dosadíme do primitivní funkce nejprve horní mez určitého integrálu, tedy hodnotu 2, a od toho odečteme hodnotu primitivní funkce pro dolní mez, tedy pro 𝑥 = 0. Zapisujeme takto: 2
2
x2 22 02 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = [ ] = − = 2. 2 0 2 2 0 Poznámka: Jak jsme uvedli na začátku kapitoly, pokud uvažujeme funkci 𝑓 nezápornou a spojitou na uzavřeném intervalu < 𝑎; 𝑏 >, pak hodnota určitého integrálu vyjadřuje obsah plochy ohraničené funkcí 𝑓, osou 𝑥 a přímkami o rovnicích 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏. Výsledek předchozího příkladu je tedy obsah trojúhelníka vyznačeného na obrázku č. 29.
100
Obrázek 29
Pokud uvažujeme funkci 𝑓, která je nekladná a spojitá na uzavřeném intervalu < 𝑎; 𝑏 >, pak určitý integrál bude záporné číslo. V tomto případě nebo v případě, kdy funkce 𝑓 mění znaménko, hodnotu určitého integrálu nelze interpretovat jako obsah. Ukážeme si to na modifikaci předchozího příkladu. PŘÍKLAD: 2
Vypočítejme určitý integrál ∫−2 𝑥 𝑑𝑥 . 2
2
x2 22 (−2)2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = [ ] = − = 0. 2 −2 2 2 −2
Výsledek tohoto určitého integrálu lze odvodit i bez výpočtu. Dle předchozího příkladu platí 2
∫0 𝑥 𝑑𝑥 = 2. Vzhledem k tomu, že je funkce 𝑓(𝑥) = 𝑥 lichá (graf je symetrický dle počátku), pak 0
0
určitý integrál ∫−2 𝑥 𝑑𝑥 má stejnou hodnotu, ale zápornou, tedy ∫−2 𝑥 𝑑𝑥 = −2, protože má funkce 𝑓 záporné znaménko. Proto výsledná hodnota je nula. V tomto případě hodnotu určitého integrálu nelze interpretovat jako obsah plochy.
101
Poznámka: Z předchozího, lze tedy odvodit následující tvrzení, která nám mohou v některých případech usnadnit výpočet:
Je-li 𝑓 funkce lichá a spojitá na intervalu < −𝑎; 𝑎 >, pak platí 𝑎
∫−𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0.
Je-li 𝑓 funkce sudá a spojitá na intervalu < −𝑎; 𝑎 >, pak platí 𝑎
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. −𝑎
0
Poznámka: 1
Při výpočtu určitého integrálu je důležitá spojitost integrované funkce. Například funkci 𝑥 na intervalu < −1; 1 > zintegrovat nelze, protože není na tomto intervalu spojitá. Nelze tedy tvrdit, že 1 1
platí∫−1 𝑑𝑥 = 0, protože je funkce lichá. 𝑥
Ze vzorce (6) vyplývá následující definice a základní vzorce. DEFINICE: Nechť 𝑎 > 𝑏, pak vzhledem k (6) definujeme 𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , 𝑎
𝑏
a dále definujeme 𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0. 𝑎
VĚTA Nechť 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, 𝑘 ∈ 𝑅. Potom platí rovnosti 𝑏
𝑏
∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
𝑏
∫ (𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥, 𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑎
𝑎
𝑐
pokud určité integrály na obou stranách rovností existují. 102
Uveďme si nyní několik řešených příkladů na určitý integrál. Při výpočtu použijeme přímou integraci 𝑓´(𝑥)
nebo vzorec ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶. PŘÍKLAD: 2
Vypočítejme určitý integrál ∫1 (4𝑥 3 − 2𝑥 − 3)𝑑𝑥 . Nejprve vypočítáme neurčitý integrál dané funkce. ∫(4𝑥 3 − 2𝑥 − 3) 𝑑𝑥 = 𝑥 4 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 𝐶 Za 𝐶 volíme nulu. Dále dosadíme do primitivní funkce nejprve horní mez určitého integrálu, tedy hodnotu 2, a od toho odečteme hodnotu primitivní funkce pro dolní mez, tedy pro 𝑥 = 1. 2
∫ (4𝑥 3 − 2𝑥 − 3)𝑑𝑥 = [𝑥 4 − 𝑥 2 − 3𝑥]12 = (24 − 22 − 3 ∙ 2) − (14 − 12 − 3 ∙ 1) = 6 − (−3) = 9. 1
PŘÍKLAD: 1
Vypočítejme určitý integrál ∫0 (𝑥 − 2𝑥 3 + √𝑥)𝑑𝑥 . 1
1
𝑥 2 𝑥 4 2 √𝑥 3 2 2 ∫ (𝑥 − 2𝑥 + √𝑥)𝑑𝑥 = [ − + ] = −0= . 2 2 3 3 3 0 3
0
PŘÍKLAD: 2 √𝑥√𝑥
Vypočítejme určitý integrál ∫1
2√
∫
1
𝑥√𝑥
3
√𝑥
2 (𝑥
𝑑𝑥 = ∫
3
√𝑥
∙
𝑑𝑥 .
1 1 2 𝑥2) 1
1
2
𝑑𝑥 = ∫ 1
𝑥3
3
𝑥4
1 𝑑𝑥
𝑥3
12
2
=∫ 1
5 𝑥 12 𝑑𝑥
17 2
12
12
12 √217 12 12( √217 − 1) = − = 17 17 17 PŘÍKLAD: 1 𝑒 2𝑥 +𝑒 𝑥
Vypočítejme určitý integrál ∫0
𝑒𝑥
𝑑𝑥 .
1 2𝑥
∫ 0
𝑒
1 + 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (𝑒 𝑥 + 1)𝑑𝑥 = [𝑒 𝑥 + 𝑥]10 = 𝑒 + 1 − 𝑒 0 = 𝑒. 𝑒𝑥 0
103
2
𝑥 12 12 √𝑥 17 =[ ] = ] =[ 17 17 1 12 1
PŘÍKLAD: 𝜋
Vypočítejme určitý integrál ∫0 (2 cos 𝑥 − sin 𝑥) 𝑑𝑥. 𝜋
∫ (2 cos 𝑥 − sin 𝑥) 𝑑𝑥 = [2 sin 𝑥 + cos 𝑥]𝜋0 = 0
= 2 sin 𝜋 + cos 𝜋 − (2 sin 0 + cos 0) = 0 − 1 − (0 + 1) = −2 PŘÍKLAD: 3 3
𝑥
3
Vypočítejme určitý integrál ∫1 (𝑥 − 4+𝑥2 − 2+5𝑥) 𝑑𝑥 . 3 3 3 3 3 𝑥 3 3 𝑥 3 ∫ ( − − ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 2 2 4+𝑥 2 + 5𝑥 1 𝑥 1 𝑥 1 4+𝑥 1 2 + 5𝑥 3
= 3∫ 1
1 1 3 2𝑥 3 3 5 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 2 1 4 + 𝑥2 5 1 2 + 5𝑥
3 1 3 = [3ln|𝑥| − ln|4 + 𝑥 2 | − ln|2 + 5𝑥|] = 2 5 1
1 3 1 3 = 3ln3 − ln13 − ln17 + ln5 + ln7 2 5 2 5
Nyní si ukážeme, jak se postupuje při počítání určitých integrálů pomocí metody per partes. VĚTA: METODA PER PARTES PRO URČITÝ INTEGRÁL Nechť funkce 𝑢, 𝑣 mají spojité derivace 𝑢´, 𝑣´ na uzavřeném intervalu < 𝑎; 𝑏 >. Potom platí rovnost 𝑏
𝑏
∫ 𝑢(𝑥)𝑣´(𝑥)𝑑𝑥 = [𝑢(𝑥)𝑣(𝑥)]𝑏𝑎 − ∫ 𝑢´(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥. 𝑎
𝑎
Tedy při použití metody per partes postupujeme podobně jako u neurčitého integrálu. PŘÍKLAD: 𝜋
Vypočítejme určitý integrál ∫0 𝑥 cos 𝑥𝑑𝑥. 𝜋
𝑢=𝑥 ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = | 𝑢´ =1 0
𝜋
𝑣´ = cos 𝑥 | = [𝑥 sin 𝑥]𝜋0 − ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑣 = sin 𝑥 0
= 𝜋 sin 𝜋 − 0 − [− cos 𝑥]𝜋0 = 𝜋 sin 𝜋 + [cos 𝑥]𝜋0 = 0 + cos 𝜋 − cos 0 = −2
104
PŘÍKLAD: 𝑒
Vypočítejme určitý integrál ∫1 𝑥 2 ln 3𝑥 𝑑𝑥 . 2
𝑢 = ln 2𝑥 1 1 ∫ 𝑥 ln 2𝑥 𝑑𝑥 = | 1 𝑢´ = ∙2= 2 2𝑥 𝑥 𝑒
2
=
𝑒 𝑣´ = 𝑥 2 𝑒 𝑥3 1 𝑥3 𝑥 3 | = [ ln 2𝑥] − ∫ ∙ 𝑑𝑥 = 1 𝑥 3 3 1 𝑣= 2 3 2
𝑒 𝑒3 1 1 ln 2𝑒 − ln 1 − ∫ ∙ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 1 3 3 8∙3 2
𝑒
𝑒3 𝑥3 = (ln 2 + ln 𝑒) − 0 − [ ] = 3 9 1 2
=
𝑒3 𝑒3 1 (ln 2 + 1) − ( − )= 3 9 8∙9 =
𝑒3 2 1 (ln 2 + ) + 3 3 72
Při výpočtu jsme využili vzorec pro součet logaritmů: ln(𝑎 ∙ 𝑏) = ln 𝑎 + ln 𝑏, kde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0. PŘÍKLAD: 1
Vypočítejme určitý integrál ∫0 𝑥3𝑥 𝑑𝑥. 1 𝑣´ = 3𝑥 1 𝑥 𝑥3𝑥 3 3 1 1 𝑥 3𝑥 | = [ 𝑑𝑥 = −0− ∫ 3 𝑑𝑥 = ] −∫ 𝑣= ln 3 0 ln 3 ln 3 0 0 ln 3 ln 3
𝑢=𝑥
1
∫ 𝑥3𝑥 𝑑𝑥 = | 𝑢´ = 1 0 =
3 1 3𝑥 1 3 1 3 1 1 2 − ∙[ − ∙( − )= ∙ (3 − ) ] = ln 3 ln 3 ln 3 0 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 ln 3
PŘÍKLAD: 0
Vypočítejme určitý integrál ∫−1 𝑥 arccotg 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑢 = arccotg 𝑥 0 ∫ 𝑥 arccotg 𝑥 𝑑𝑥 = | −1 𝑢´ = −1 1 + 𝑥2
0 𝑣´ = 𝑥 0 𝑥2 −1 𝑥 2 ∙ 𝑑𝑥 = 𝑥 2 | = [ arccotg 𝑥] − ∫ 2 2 2 𝑣= −1 1 + 𝑥 −1 2
1 1 0 𝑥2 = 0 − arccotg(−1) + ∫ 2 𝑑𝑥 2 2 −1 𝑥 + 1 Nový integrál je racionální lomená funkce, která má v čitateli a ve jmenovateli polynom stejného stupně. Je tedy nejprve třeba provést dělení polynomů a pak lze přistoupit k integraci. Řešení necháváme na čtenářích. Ukažme si jednodušší způsob výpočtu pomocí vhodně zvolené integrační 105
konstanty ve funkci 𝑣. Pokud místo 𝑣 =
𝑥2 2
zvolíme 𝑣 =
krátit výrazem 𝑥 2 + 1 a výpočet se výrazně zjednodušší. 0
∫ 𝑥 arccotg 𝑥 𝑑𝑥 = | −1
𝑥2 2
1
+ 2, můžeme v racionálně lomené funkci
𝑢 = arccotg 𝑥 −1 𝑢´ = 1 + 𝑥2
𝑣´ = 𝑥 𝑥 2 1| = 𝑣= + 2 2
0
0 𝑥2 + 1 −1 𝑥 2 + 1 =[ arccotg 𝑥] − ∫ ∙ 𝑑𝑥 = 2 2 2 −1 1 + 𝑥 −1 0 1 1 1 𝜋 3 1 0 = arccotg 0 − arccotg(−1) + ∫ 𝑑𝑥 = ∙ − 𝜋 + [ 𝑥] = 2 2 2 4 2 −1 −1 2
=
𝜋 3𝜋 −1 −𝜋 1 − +0− = + 4 4 2 2 2
Dále ukážeme výpočet určitého integrálu substitucí. VĚTA: SUBSTITUČNÍ METODA PRO URČITÝ INTEGRÁL Nechť 𝑓 je funkce spojitá na intervalu < 𝐴; 𝐵 >. Nechť 𝑔 je funkce, která má spojitou první derivaci 𝑔´ na intervalu < 𝑎; 𝑏 >, a platí 𝑔(𝑥) ∈< 𝐴; 𝐵 > pro všechny body 𝑥 ∈< 𝑎; 𝑏 >. Potom platí rovnost 𝑏
𝑔(𝑏)
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔´(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑎
𝑓(𝑡)𝑑𝑡.
𝑔(𝑎)
Při substituci postupujeme podobně jako u neurčitého integrálu, ale po záměně proměnné 𝑡 za proměnnou 𝑥 je nutné přepočítat meze pro novou proměnnou 𝑡. Po nalezení primitivní funkce se již nevracíme k původní proměnné 𝑥 jako u neurčitého integrálu, ale rovnou dosadíme přepočítané meze. Postup si ukážeme na následujících příkladech. PŘÍKLAD: 𝜋
Vypočítejme určitý integrál ∫0 sin(𝑥 − 𝜋)𝑑𝑥. 𝜋
∫ sin(𝑥 − 𝜋)𝑑𝑥 = | 0
0
𝑡=𝑥−𝜋 | = ∫ sin 𝑡 𝑑𝑡 = [− cos 𝑡]0−𝜋 = − cos 0 + cos(−𝜋) = −1 − 1 = −2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 −𝜋
Provedli jsme substituci 𝑡 = 𝑥 − 𝜋. Poté jsme přepočetli obě meze pro novou proměnnou 𝑡, a to dosazením původní dolní a horní meze do substituce. 𝑥 = 𝜋 → 𝑡 = 𝑥 − 𝜋 = 𝜋 − 𝜋 = 0. 𝑥 = 0 → 𝑡 = 𝑥 − 𝜋 = 0 − 𝜋 = −𝜋.
106
Dále po nalezení primitivní funkce již dosazujeme tyto přepočítané meze přímo do této funkce, nedosazujeme zpět za 𝑡 = 𝑥 − 𝜋, jako tomu bylo u neurčitého integrálu. PŘÍKLAD: 𝑒 cos(ln 𝑥)
Vypočítejme určitý integrál ∫1
𝑥
𝑑𝑥.
𝑡 = ln 𝑥 1 cos(ln 𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 ∫ =| | = ∫ cos 𝑡 𝑑𝑡 = [sin 𝑡]10 = sin 1 − sin 0 = sin 1 𝑑𝑡 = 𝑥 1 0 𝑥 𝑒
PŘÍKLAD: 4
Vypočítejme určitý integrál ∫0 𝑥√𝑥 2 + 9𝑑𝑥 . 25 4 2 1 25 1 2 1 250 98 ∫ 𝑥 √𝑥 2 + 9𝑑𝑥 = |𝑡 = 𝑥 + 9| = ∫ √𝑡𝑑𝑡 = [ √𝑡 3 ] = ( − 18) = 2 9 2 3 2 3 3 𝑑𝑡 = 2𝑥𝑑𝑥 9 0
PŘÍKLAD: 1
Vypočítejme určitý integrál ∫02 1 2
∫
0
√1 − 3𝑥 2
=
√3
√1−3𝑥 2
.
1 2
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
√3
𝑑𝑥
=∫
2
0
√1 − (√3𝑥) √3
[arcsin 𝑡]02 =
1 √3
1 2 𝑑𝑡 = | 𝑡 = √3𝑥 | = ∫ = 𝑑𝑡 = √3 𝑑𝑥 √3 0 √1 − 𝑡 2
(arcsin
1 𝜋 𝜋 √3 − arcsin 0) = ∙ = 2 √3 3 3√3
PŘÍKLAD: 1
2𝑥+5
Vypočítejme určitý integrál ∫−1 𝑥 2 +4𝑥+5 𝑑𝑥 . 1
1 1 1 2𝑥 + 5 2𝑥 + 4 + 1 2𝑥 + 4 1 ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 = −1 𝑥 + 4𝑥 + 5 −1 𝑥 + 4𝑥 + 5 −1 𝑥 + 4𝑥 + 5 −1 𝑥 + 4𝑥 + 5 1
1 1 1 𝑑𝑥 = ln 10 − ln 2 + ∫ 𝑑𝑥 = 2 2 −1 𝑥 + 4𝑥 + 4 + 1 −1 (𝑥 + 2) + 1
= [ln|𝑥 2 + 4𝑥 + 5|]1−1 + ∫
3 1 𝑡 =𝑥+2 =| 𝑑𝑡 = ln 5 + [arctg 𝑡]13 = | = ln 5 + ∫ 2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑡 + 1 1
= ln 5 + arctg 3 − arctg 1 = ln 5 + arctg 3 − 𝑎
𝜋 4
Při úpravě výrazu jsme použili vzorec ln 𝑎 − ln 𝑏 = ln 𝑏 , kde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0. 107
PŘÍKLAD: 4
Vypočítejme určitý integrál ∫0 𝑒 √𝑥 𝑑𝑥. 4 2 𝑡 = √𝑥 ∫ 𝑒 √𝑥 𝑑𝑥 = | 𝑡 2 = 𝑥 | = ∫ 2𝑡 ∙ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 0 0 2𝑡𝑑𝑡 = 𝑑𝑥
Příklad dopočítáme pomocí metody per partes. 2
∫ 2𝑡 ∙ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = |𝑢 = 2𝑡 𝑢´ = 2 0
2
𝑣´ = 𝑒 𝑡 | = [2𝑡 ∙ 𝑒 𝑡 ]2 − ∫ 2𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 0 𝑣 = 𝑒𝑡 0
= 4𝑒 2 − [2𝑒 𝑡 ]20 = 4𝑒 2 − 2𝑒 2 + 2𝑒 0 = 2𝑒 2 + 2
2.4.
APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU
Určitý integrál je jednoznačně definované reálné číslo na rozdíl od neurčitého integrálu, který představuje funkci. Jakou má toto číslo geometrickou interpretaci, jsme uvedli při definici Riemannova určitého integrálu. Nyní ukážeme i další užití určitého integrálu. Integrální počet má velmi široké využití nejen v matematice, ale zejména v přírodních a technických vědách. V této kapitole uvedeme stručný přehled nejběžnějších aplikací určitých integrálů v geometrii. 2.4.1. VÝPOČET OBSAHU ELEMENTÁRNÍ OBLASTI V ROVINĚ Na základní a střední škole jste se seznámili se vzorci pro výpočet obsahu základních geometrických obrazců. Tyto vzorce a obsahy obecnějších obrazců lze odvodit právě pomocí určitého integrálu.
Obrázek 30
108
Dále předpokládáme, že funkce 𝑓 je spojitá na intervalu < 𝑎; 𝑏 >. Obsah rovinného obrazce mezi grafem nezáporné funkce 𝑓 a osou 𝑥 na intervalu < 𝑎; 𝑏 >, viz obrázek č. 30, je dán 𝑏
𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 . 𝑎
Obrázek 31
Pokud je graf spojité funkce 𝑓 na intervalu < 𝑎; 𝑏 > pod osou 𝑥, tedy funkce 𝑓 je záporná, viz obrázek č. 31, její určitý integrál je také záporný. Obsah obrazce 𝑀 je 𝑏
𝑆 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 . 𝑎
Pokud spojitá funkce 𝑓 na intervalu < 𝑎; 𝑏 > střídá znaménko, je při výpočtu obsahu rovinného obrazce M potřeba najít nulové body ohraničující funkce a rovinný obrazec rozdělit na obrazce nad a pod osou 𝑥.
Obrázek 32
Například obsah rovinného obrazce 𝑀 na obrázku č. 32 vypočítáme
109
𝑐
𝑑
𝑏
𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. 𝑎
𝑐
𝑑
Můžeme také určit obsah části roviny sevřené dvěma (či více) funkcemi na intervalu 〈𝑎; 𝑏〉.
Obrázek 33
Předpokládejme, že jsou funkce 𝑓, 𝑔 spojité na intervalu < 𝑎; 𝑏 > a platí 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) pro každé 𝑥 ∈< 𝑎; 𝑏 >. Pak pro obsah obrazce (viz obrázek č. 33) ohraničené zdola grafem funkce 𝑔, shora grafem funkce 𝑓 a přímkami 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 platí 𝑏
𝑆 = ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥. 𝑎
Obecně by mohly funkce 𝑓 a 𝑔 protínat osu 𝑥 a část obrazce by ležela pod osou 𝑥. V tomto případě, když přičteme k oběma funkcím vhodnou konstantu 𝐶 tak, aby byly obě funkce 𝑓(𝑥) + 𝐶, 𝑔(𝑥) + 𝐶 nezáporné, je patrné, že obsah uvažovaného obrazce se nezmění. Z toho vyplývá, že při výpočtu obsahu obrazce mezi grafy dvou funkcí není důležité, zda tento obrazec nebo jeho část leží nad či pod osou 𝑥. Tedy obsahy obou ploch na obrázcích č. 34 a 35 se vypočítají stejně, a to 𝑏
𝑆 = ∫ (𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥. 𝑎
110
Obrázek 34
Obrázek 35
Je-li obrazec, jehož obsah počítáme, ohraničen grafy více funkcí, rozdělíme jej podle potřeby na několik částí. Například obsah rovinného obrazce 𝑀 na obrázku č. 36 lze vyjádřit takto: 𝑏
𝑐
𝑆 = ∫ (𝑓(𝑥) − ℎ(𝑥))𝑑𝑥 + ∫ (𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥))𝑑𝑥 . 𝑎
𝑏
Obrázek 36
Uveďme si nyní několik řešených příkladů. PŘÍKLAD: Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥 2 a osou 𝑥. U příkladů tohoto typu je dobré si udělat náčrtek, abychom zjistili, jak daná oblast vypadá, jestli je funkce 𝑓 kladná nebo záporná apod.
111
Z náčrtku je patrné, že obrazec je nad osou 𝑥 a krajní body intervalu jsou 𝑎 = 0, 𝑏 = 3. Obsah tedy integrálu:
vypočítáme
𝑏
3
pomocí
určitého
𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (3𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = 𝑎
0 3
3𝑥 2 𝑥 3 9 =[ − ] = 2 3 0 2
PŘÍKLAD: Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥 − 2, osou 𝑥 a přímkami 𝑥 = −2, 𝑥 = 3. Grafem funkce 𝑓 je parabola. Načrtneme ji a vypočteme její průsečíky s osou 𝑥. Z náčrtku vidíme, že funkce mění znaménko. Zadaný obrazec se skládá ze tří částí a jeho obsah vypočteme jako součet obsahů jednotlivých částí.
−1
2
3
𝑆 = ∫ (𝑥 2 − 𝑥 − 2)𝑑𝑥 − ∫ (𝑥 2 − 𝑥 − 2)𝑑𝑥 + ∫ (𝑥 2 − 𝑥 − 2)𝑑𝑥 = −2
−1
2
−1
2
3
𝑥3 𝑥2 𝑥3 𝑥2 𝑥3 𝑥2 = [ − − 2𝑥] − [ − − 2𝑥] + [ − − 2𝑥] = 3 2 3 2 3 2 −2 −1 2 7 −4 −10 7 −3 −10 49 = ( − ( )) − ( − )+( −( )) = 6 6 3 6 2 3 6
PŘÍKLAD: Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou 𝑓(𝑥) =
2−𝑥 , 2𝑥
osou 𝑥 a přímkami 𝑥 = 1,
𝑥 = 4. Nejprve si funkci opět načrtneme a spočítáme průsečík funkce 𝑓 s osou 𝑥. Z náčrtku vidíme, že funkce mění znaménko. Zadaný obrazec se skládá ze dvou částí.
112
2
𝑆=∫ 1
4 2−𝑥 2−𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 2𝑥 2𝑥 2
2 4 1 1 1 1 = ∫ ( − ) 𝑑𝑥 − ∫ ( − ) 𝑑𝑥 = 2 2 1 𝑥 2 𝑥
1 2 1 4 = [ln|𝑥| − 𝑥] − [ln|𝑥| − 𝑥] = 2 1 2 2 1 1 = ln 2 − 1 + − (ln 4 − 2 − ln 2 + 1) = 2 2
PŘÍKLAD: Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou 𝑓(𝑥) = 𝑥 sin 𝑥, osou 𝑥 a přímkami 𝑥 = 0, 𝑥 = 2𝜋. Graf této funkce načrtnout neumíme, ale je zřejmé, že na intervalu < 0; 2𝜋 > je 𝑥 ≥ 0, avšak funkce sin 𝑥 bude měnit znaménko. Proto bude 𝑥 sin 𝑥 ≥ 0 pro 𝑥 ∈< 0; 𝜋 > a 𝑥 sin 𝑥 ≤ 0 pro 𝑥 ∈< 𝜋; 2𝜋 >. Hledaný obrazec se skládá ze dvou částí. Pro představu jsme si zobrazili graf funkce. Funkce má průsečíky s osou 𝑥 v každém násobku 𝜋. 𝜋
2𝜋
𝑆 = ∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 0
𝜋
Primitivní funkci nalezneme metodou per partes: ∫ 𝑥 ∙ sin 𝑥 𝑑𝑥 = |
𝑢=𝑥 𝑣´ = sin 𝑥 |= 𝑢´ = 1 𝑣 = − cos 𝑥
= −𝑥 cos 𝑥 − ∫ −cos 𝑥 𝑑𝑥 = = −𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝐶 Tedy 𝑆 = [−𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥]𝜋0 − [−𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥]2𝜋 𝜋 = 4𝜋
113
PŘÍKLAD: Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami 𝑦 = 3 − 𝑥 2 𝑎 𝑦 = 2𝑥. První křivkou je parabola a druhou je přímka. Funkce si opět načrtneme. Abychom určili meze určitého integrálu, musíme zjistit průsečíky křivek. Řešíme tedy rovnici 3 − 𝑥 2 = 2𝑥 0 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 0 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) Tedy průsečíky daných funkcích jsou 𝑥 = −3 a 𝑥 = 1. Obrazec je ohraničen shora grafem funkce 𝑦 = 3 − 𝑥 2 a zdola grafem funkce 𝑦 = 2𝑥. Pro obsah tedy platí 1
𝑆 = ∫ (3 − 𝑥 2 − 2𝑥)𝑑𝑥 = −3 1
𝑥3 = [3𝑥 − − 𝑥 2 ] = 3 −3 =
5 32 − (−9) = 3 3
PŘÍKLAD: Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami 𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑦 = 𝑒 −𝑥 a 𝑦 = 𝑒. Obrazec je ohraničen grafy dvou exponenciálních funkcí a vodorovnou přímkou. Funkce si načrtneme. Pro určení mezí určitého integrálu zjistíme průsečíky těchto křivek. Řešíme tedy rovnice 𝑒𝑥 = 𝑒
𝑒 −𝑥 = 𝑒
Hledané průsečíky jsou 𝑥 = −1, 𝑥 = 0 a 𝑥 = 1.
114
𝑒 −𝑥 = 𝑒 𝑥
Obrazec je ohraničen shora grafem funkce 𝑦 = 𝑒 a zdola na intervalu < −1; 0 > grafem funkce 𝑦 = 𝑒 −𝑥 a na intervalu < 0; 1 > grafem funkce 𝑦 = 𝑒 𝑥. Obsah sestává ze dvou částí. 0
1
𝑆 = ∫ (𝑒 − 𝑒 −𝑥 )𝑑𝑥 + ∫ (𝑒 − 𝑒 𝑥 )𝑑𝑥 −1
0
Primitivní funkci k funkci 𝑒 −𝑥 určíme substitucí. ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = |
𝑡 = −𝑥 | = − ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = −𝑒 −𝑥 + 𝐶 𝑑𝑡 = −𝑑𝑥
𝑆 = [𝑒𝑥 + 𝑒 −𝑥 ]0−1 + [𝑒𝑥 − 𝑒 𝑥 ]10 = 2 Poznámka: V předchozím příkladě lze využít symetrie zadaného obrazce podle osy 𝑦. Tedy obsah můžeme také vypočítat takto: 1
𝑆 = 2 ∙ ∫ (𝑒 − 𝑒 𝑥 )𝑑𝑥 0
PŘÍKLAD: Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 a 𝑦 = 𝑥 + 4. První křivkou je parabola a druhou je přímka. Funkce si načrtneme. Pro určení mezí určitého integrálu zjistíme jejich průsečíky. Řešíme tedy rovnici 𝑥 2 − 2𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = 0 (𝑥 + 1)(𝑥 − 4) = 0 Tedy průsečíky daných funkcích jsou 𝑥 = −1 a 𝑥 = 4.
115
Obrazec je ohraničen shora grafem funkce 𝑦 = 𝑥 + 4 a zdola grafem funkce 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥. Pro obsah tedy platí 4
𝑆 = ∫ (𝑥 + 4 − (𝑥 2 − 2𝑥))𝑑𝑥 = −1 4
4
3𝑥 2 𝑥 3 = ∫ (3𝑥 − 𝑥 + 4)𝑑𝑥 = [ − + 4𝑥] = 2 3 −1 −1 125 = 6 2
PŘÍKLAD: Vypočtěme obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami 𝑦 = √𝑥, 𝑦 = √2 − 𝑥 a 𝑦 = 0. Načrtneme obě paraboly, grafem funkce 𝑦 = 0 je osa 𝑥. Pro určení mezí určitého integrálu, zjistíme průsečíky ohraničujících křivek. Řešíme tedy rovnici √𝑥 = √2 − 𝑥 x=2−𝑥 Průsečík grafů odmocnin je tedy 𝑥 =1. Další průsečíky s osou 𝑥 jsou zřejmě 𝑥 = 0 a 𝑥 = 2. Obrazec se skládá ze dvou částí. První část leží mezi grafem funkce 𝑦 = √𝑥 a osou 𝑥 a druhá část leží mezi grafem funkce 𝑦 = √2 − 𝑥 a osou 𝑥. Pro obsah tedy platí 1
2
𝑆 = ∫ √𝑥𝑑𝑥 + ∫ √2 − 𝑥 𝑑𝑥 = 0
1
1
0
1 𝑡 =2−𝑥 =| | = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ √𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 = −𝑑𝑥 0 1 3 1
3 0
𝑥2 𝑡2 2 2 4 =[ ] −[ ] = + = 3 3 3 3 3 2 0 2 1
116
2.4.2. DÉLKA KŘIVKY Další aplikací určitého integrálu je výpočet délky oblouku grafu funkce 𝑓 na intervalu < 𝑎; 𝑏 >, která je dána vzorcem 𝑏
2
𝑙 = ∫ √1 + (𝑓´(𝑥)) 𝑑𝑥 . 𝑎
Délku křivky značíme 𝑙 podle anglického „length“. PŘÍKLAD: Vypočtěme délku křivky 𝑦 = √9 − 𝑥 2 na intervalu < 0; 1 >. Do vzorce na délku křivky potřebujeme znát derivaci funkce 𝑓, tedy 𝑓´(𝑥) =
−𝑥 √9−𝑥 2
.
1 1 1 2 −𝑥 9 − 𝑥2 + 𝑥2 3 𝑙 = ∫ √1 + ( ) 𝑑𝑥 = ∫ √ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = 2 2 9−𝑥 √9 − 𝑥 2 0 0 0 √9 − 𝑥
𝑥 1 3 1 3 1 3 =∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = | 𝑑𝑡 = | = 3∫ 1 2 2 2 𝑥 0 𝑥 0 0 √1 − 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 √1 − ( ) 3√1 − 9 3 3 1
𝑡=
1
=
1 3[arcsin 𝑡]30
= 3 arcsin
1 3
PŘÍKLAD: 1 4
1 2
Vypočtěme délku křivky 𝑦 = 𝑥 2 − ln 𝑥 na intervalu < 1; 𝑒 >. 1
1
Nejprve určíme derivaci funkce 𝑓´(𝑥) = 2 𝑥 − 2𝑥 = 𝑒
𝑙 = ∫ √1 + ( 1
𝑥 2 −1 . 2𝑥
2
𝑒 𝑒 𝑥2 − 1 4𝑥 2 + 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1 𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1 √ √ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ) 𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥 4𝑥 2 4𝑥 2 1 1 𝑒
𝑒 (𝑥 2 𝑒 2 + 1)2 𝑥 +1 1 𝑒 1 1 𝑥2 =∫ √ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 + ) 𝑑𝑥 = [ + ln|𝑥|] = 4𝑥 2 2𝑥 2 1 𝑥 2 2 1 1 1
1 𝑒2 1 1 𝑒2 1 = ( + ln 𝑒 − − ln 1) = ( + ) 2 2 2 2 2 2
117
2.4.3. OBJEM ROTAČNÍHO TĚLESA Necháme-li rovinný útvar rotovat kolem osy x, vznikne rotační těleso, jehož objem můžeme vypočítat pomocí určitého integrálu.
Objem rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu funkce 𝑓 na intervalu < 𝑎; 𝑏 > kolem osy 𝑥 je roven 𝑏
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑑𝑥. 𝑎
PŘÍKLAD: Vypočtěme objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ohraničeného křivkou 𝑦 = 𝑥 2 na intervalu <0; 2 >. 2
2
𝑉 = 𝜋 ∫ (𝑥 2 )2 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ 𝑥 4 𝑑𝑥 = 0
0 2
𝑥5 32 = 𝜋[ ] = 𝜋 5 0 5
118
PŘÍKLAD: Vypočtěme objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ohraničeného křivkou 𝑥+1
𝑦 = √𝑥 2 +1 na intervalu < −1; 3 >.
3
2
3 𝑥+1 𝑥+1 𝑉 = 𝜋∫ √ 2 𝑑𝑥 = 𝜋 ∫ 2 𝑑𝑥 = −1 𝑥 + 1 −1 𝑥 + 1
=
𝜋 3 2𝑥 + 2 𝜋 3 2𝑥 2 ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ ( 2 + 2 ) 𝑑𝑥 = = 2 −1 𝑥 + 1 2 −1 𝑥 + 1 𝑥 + 1 = =
𝜋 [ln|𝑥 2 + 1| + 2 arctg 𝑥]3−1 = 2
𝜋 (ln 10 + 2 arctg 3 − ln 2 − 2 arctg(−1)) = 2 =
𝜋 𝜋 (ln 5 + 2 arctg 3 + ) 2 2
PŘÍKLAD: Vypočtěme objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ohraničeného křivkami 1
1
𝑦 = 3 √36 − 4x 2 , 𝑦 = 2 √6 − 𝑥 2 na intervalu < 0; 3 >. Pokud si křivky načrtneme (obrázek č. 37), zjistíme, že se jedná o rotaci obrazce sevřeného mezi dvěma elipsami. Objem tedy vypočítáme tak, že nejdříve určíme objem tělesa vytvořeného rotací 1
horní funkce (𝑦 = 3 √36 − 4x 2 ), viz obrázek č. 38, dále objem tělesa vytvořeného rotací dolní funkce 1
(𝑦 = 2 √6 − 𝑥 2 ), viz obrázek č. 39, a výsledky odečteme.
119
Obrázek 37
Obrázek 38
Obrázek 39
2 2 3 3 1 1 𝑉 = 𝜋 ∫ ( √36 − 4x 2 ) 𝑑𝑥 − 𝜋 ∫ ( √6 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = 0 3 0 2
1 3 1 3 = 𝜋 ( ∫ (36 − 4𝑥 2 )𝑑𝑥 − ∫ (6 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 ) = 9 0 4 0 3
3
𝜋 4𝑥 3 𝜋 𝑥3 = [36𝑥 − ] − [6𝑥 − ] = 9 3 0 4 3 0 =
𝜋 π 23 ∙ 72 − ∙ 9 = 𝜋 9 4 4
2.4.4. PLÁŠŤ ROTAČNÍHO TĚLESA Vedle objemu rotačního tělesa můžeme pomocí určitého integrálu spočítat i povrch (obsah pláště) tohoto tělesa. Pro výpočet povrchu rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu funkce 𝑓 na intervalu < 𝑎; 𝑏 > kolem osy 𝑥 platí vzorec 𝑏
2
𝑆𝑝𝑙 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + (𝑓´(𝑥)) 𝑑𝑥. 𝑎
PŘÍKLAD: Vypočtěme obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ohraničeného křivkou 𝑦 = √2 − 𝑥 na intervalu < −1; 2 >. Pro výpočet potřebujeme derivaci funkce
120
𝑓´(𝑥) =
−1 2√2 − 𝑥
2 2 −1 𝑆𝑝𝑙 = 2𝜋 ∫ √2 − 𝑥 √1 + ( ) 𝑑𝑥 = 2√2 − 𝑥 −1 2 4(2 − 𝑥) + 1 = 2𝜋 ∫ √2 − 𝑥 √ 𝑑𝑥 = 4(2 − 𝑥) −1 2
= 2𝜋 ∫ √2 − 𝑥
√9 − 4𝑥
𝑑𝑥 2√2 − 𝑥 2 √9 − 4𝑥 = 2𝜋 ∫ 𝑑𝑥 = 2 −1
−1
2
𝑡 = 9 − 4𝑥 = 𝜋 ∫ √9 − 4𝑥𝑑𝑥 = | | 𝑑𝑡 = −4𝑑𝑥 −1 −𝜋 1 = ∫ √𝑡 𝑑𝑡 = 4 13 1
𝜋 2√𝑡 3 −𝜋 2 2√133 =− [ ] = ( − ) 4 3 13 4 3 3
PŘÍKLAD: Vypočtěme obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného útvaru ohraničeného 1
křivkou 𝑦 = √1 − 𝑥 2 na intervalu < 0; 2 >. Pro výpočet potřebujeme derivaci funkce 𝑓´(𝑥) =
−𝑥 √1−𝑥 2
. 1 2
2 −𝑥 𝑆𝑝𝑙 = 2𝜋 ∫ √1 − 𝑥 2 √1 + ( ) 𝑑𝑥 = √1 − 𝑥 2 0 1 2
1 − 𝑥2 + 𝑥2 = 2𝜋 ∫ √1 − 𝑥 2 √ 𝑑𝑥 = 1 − 𝑥2 0 1 2
= 2𝜋 ∫ √1 − 0
𝑥2
1 2
1 √1 − 𝑥 2 1
𝑑𝑥 = 2𝜋 ∫ 1𝑑𝑥 =
= 2𝜋[𝑥]20 = 𝜋
121
0
2.5.
NEVLASTNÍ INTEGRÁL
V definici Riemannova integrálu jsme na integrovanou funkci 𝑓 měli dva hlavní požadavky, aby byla definovaná a omezená na celém uzavřeném intervalu < 𝑎; 𝑏 >. Nyní tuto definici rozšíříme na obecnější případy. V zásadě mohou nastat dvě situace. Jednak může být jeden nebo oba koncové body intervalu nekonečné (pak přirozeně nelze uvažovat uzavřený interval), v tomto případě mluvíme o nevlastním integrálu vlivem meze (mezí). Anebo 𝑎, 𝑏 jsou konečné hodnoty a funkce je na daném intervalu neomezená, případně není definovaná v některém z krajních bodů. Pak mluvíme o nevlastním integrálu vlivem funkce. V obou případech budeme předpokládat, že je funkce 𝑓 spojitá na otevřeném intervalu (𝑎, 𝑏). ∞1
Příklad nevlastního integrálu vlivem meze ∫1
𝑥
𝑑𝑥 . Pravý krajní bod intervalu je +∞. Viz obrázek
č. 40. 11
Příklad nevlastního integrálu vlivem funkce ∫0 𝑑𝑥. Funkce není na tomto intervalu omezená, viz 𝑥 obrázek č. 41.
Obrázek 41
Obrázek 40
DEFINICE: NEWTONŮV NEVLASTNÍ INTEGRÁL Nechť funkce 𝑓 je spojitá na intervalu (𝑎, 𝑏), −∞ ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ ∞, a 𝐹 je její primitivní funkce na (𝑎, 𝑏). Potom definujeme 𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim− 𝐹(𝑥) − lim+ 𝐹(𝑥). 𝑎
𝑥→𝑏
122
𝑥→𝑎
Poznámka:
V definici je zahrnuta situace, kdy je třeba počítat pomocí limit hodnoty v obou krajních bodech intervalu. Může ale také nastat situace, kdy počítáme pomocí limity pouze hodnotu v jednom krajním bodě. Pokud je krajní bod 𝑎 nebo 𝑏 roven +∞ (resp. −∞), nepočítáme jednostranné limity ale přímo lim𝑥→∞ 𝐹(𝑥) (resp. lim𝑥→−∞ 𝐹(𝑥)).
Jsou-li všechny limity na pravé straně vlastní, říkáme, že integrál konverguje. Je-li výraz na pravé straně roven −∞ nebo +∞, řekneme, že integrál diverguje. Pokud některá z limit na pravé straně neexistuje nebo výraz na pravé straně je typu ∞ − ∞, řekneme, že integrál neexistuje. PŘÍKLAD: ∞1
Vypočítejme nevlastní integrál ∫1
𝑥
𝑑𝑥.
Jedná se o nevlastní integrál vlivem meze, protože pravý krajní bod je +∞. Tuto funkci máme zobrazenu na obrázku č. 36. Při výpočtu postupujeme tak, že „problematickou“ mez nahradíme parametrem 𝑐. Dále postupujeme stejně jako při výpočtu určitého integrálu, a nakonec spočítáme limitu. ∞
∫ 1
𝑐 1 1 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑑𝑥 = lim [ln|𝑥|]1𝑐 = lim ln|𝑐| − ln 1 = ∞ c→∞ 𝑐→∞ 𝑐→∞ 𝑥 1 𝑥
Integrál diverguje. Obsah plochy (vyznačené na obr. 40) tedy není konečný. PŘÍKLAD: ∞ 1 𝑑𝑥. 𝑥2
Vypočítejme nevlastní integrál ∫1
Jedná se o nevlastní integrál vlivem meze, protože pravý krajní bod je +∞. ∞
𝑐 1 1 ∫ 2 𝑑𝑥 = lim ∫ 2 𝑑𝑥 = 𝑐→∞ 1 𝑥 1 𝑥
−1 𝑐 −1 = lim [ ] = lim +1=1 𝑐→∞ 𝑥 1 𝑐→∞ 𝑐
Integrál konverguje.
123
Všimněme si, že výsledek je obsah plochy, která není ohraničená, přesto ale má konečný obsah. Důvodem je, že se graf blíží k ose 𝑥 velice rychle. U předchozího příkladu tomu tak nebylo. PŘÍKLAD: 𝜋
Vypočítejme nevlastní integrál ∫02 tg𝑥𝑑𝑥. Jedná se o nevlastní integrál vlivem funkce, protože funkce není definovaná v pravém krajním bodě. 𝜋 2
𝑐
𝑐
∫ tg 𝑥 𝑑𝑥 = lim ∫ tg 𝑥 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝜋− 𝜋− 𝑐→
0
2
𝑐→
0
0
2
𝑐 sin 𝑥 − sin 𝑥 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑑𝑥 ) = (− − 𝜋 cos 𝑥 𝑐→ 0 cos 𝑥 2
[− ln|cos 𝑥| ]c0 = lim (− ln|cos 𝑐|) + ln cos 0 = + ∞ = lim 𝜋− 𝜋− 𝑐→
𝑐→
2
2
PŘÍKLAD: 2
Vypočítejme nevlastní integrál ∫1
𝑥 𝑑𝑥 . 𝑥−1 √
Jedná se o nevlastní integrál vlivem funkce, protože funkce není definovaná v levém krajním bodě. 2
∫ 1
2
𝑥 √𝑥 − 1
𝑑𝑥 = lim+ ∫ 𝑐→1
𝑐
𝑥 √𝑥 − 1
𝑑𝑥
V případě složitější funkce doporučuje se primitivní funkci určit zvlášť jako neurčitý integrál.
∫
𝑡 = 𝑥−1 𝑡+1 𝑑𝑥 = | 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 | = ∫ 𝑑𝑡 = 𝑡 √𝑥 − 1 √ 𝑡+1 = 𝑥 𝑥
=
1 ∫ (𝑡 2
−1 + 𝑡 2 ) 𝑑𝑡
=
=
3
1
𝑡2 𝑡2 = + +𝐶 = 3 1 2 2
2√𝑡 3 + 2√𝑡 + 𝐶 = 3
2√(𝑥 − 1)3 + 2√𝑥 − 1 + 𝐶 3
Nyní dopočítáme nevlastní integrál. 2
2
2
2√(𝑥 − 1)3 ∫ 𝑑𝑥 = lim+ ∫ 𝑑𝑥 = lim+ [ + 2√𝑥 − 1] = 𝑐→1 𝑐 √𝑥 − 1 𝑐→1 3 1 √𝑥 − 1 𝑥
𝑥
𝑐
124
=
8 2√(𝑐 − 1)3 8 8 − lim+ ( + 2√𝑐 − 1) = − 0 = 3 𝑐→1 3 3 3
Integrál konverguje. PŘÍKLAD: ∞
Vypočítejme nevlastní integrál ∫−∞
1 𝑑𝑥. 1+𝑥 2
Jedná se o nevlastní integrál vlivem meze, protože jsou krajní body +∞, −∞. Pro snažší zápis integrál rozdělíme na součet dvou nevlastních integrálů: ∞
0 ∞ 1 1 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 2 2 2 −∞ 1 + 𝑥 −∞ 1 + 𝑥 0 1+𝑥
∫
= lim [arctg 𝑥]0𝑐 + lim [arctg 𝑥]𝑐0 = 𝑐→−∞
𝑐→∞
𝜋 𝜋 = arctg 0 − lim arctg c + lim arctg c − arctg 0 = − (− ) + = 𝜋 𝑐→−∞ 𝑐→∞ 2 2 Integrál konverguje. PŘÍKLAD: ∞ arctg2 𝑥 𝑑𝑥 . 1+𝑥 2
Vypočítejme nevlastní integrál ∫−∞
Jedná se o nevlastní integrál vlivem meze, protože jsou krajní body +∞, −∞. Určíme si nejprve primitivní funkci k zadané funkci. 𝑡 = arctg 𝑥 arctg 2 𝑥 𝑡3 arctg3 𝑥 2 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑥 = = ∫ 𝑡 𝑑𝑡 = + 𝐶 = +𝐶 | | 𝑑𝑡 = 1 + 𝑥2 3 3 2 1+𝑥 Nevlastní integrál rozdělíme na součet dvou nevlastních integrálů: ∞
∫ −∞
0 ∞ arctg 2 𝑥 arctg 2 𝑥 arctg 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 2 1 + 𝑥2 1 + 𝑥2 −∞ 1 + x 0 0
𝑐
arctg 3 𝑥 arctg 3 𝑥 = lim [ ] + lim [ ] = 𝑐→−∞ 𝑐→∞ 3 3 𝑐 0 arctg 3 𝑐 arctg 3 𝑐 𝜋3 + lim −0 = 𝑐→−∞ 𝑐→∞ 3 3 12
= 0 − lim Integrál konverguje.
125
PŘÍKLAD: ∞
Vypočítejme nevlastní integrál ∫0 cos 𝑥 𝑑𝑥. Jedná se o nevlastní integrál vlivem meze, protože je horní mez +∞. ∞
c
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = lim ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = lim [sin 𝑥]c0 = lim sin 𝑐 − sin 0 𝑐→∞ 0
0
𝑐→∞
𝑐→∞
Hodnota limity lim sin 𝑐 neexistuje, tedy nevlastní integrál také neexistuje. c→∞
2.5.1. KONVERGENCE NEVLASTNÍHO INTEGRÁLU. Často při vyšetřování nevlastních integrálů nás zajímá, jestli integrál konverguje nebo diverguje, ale nepotřebujeme znát jeho přesnou hodnotu. Předpokládejme, že funkce 𝑓 je spojitá a nezáporná na intervalu (𝑎, 𝑏). Pak 𝑏
buď ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∞,
anebo integrál konverguje, tj. ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 < ∞.
𝑏
Ke zjištění, zda nevlastní integrál konverguje, není nutné tento integrál vypočítat. Můžeme použít následující srovnávací kritérium. VĚTA: SROVNÁVACÍ KRITÉRIUM Nechť 𝑓, 𝑔 jsou funkce spojité na otevřeném intervalu (𝑎, 𝑏), −∞ ≤ 𝑎 < 𝑏 ≤ ∞. Nechť 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ve všech bodech 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Potom platí: 𝑏
𝑏
𝑏
𝑏
∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 < ∞ ⟹ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 < ∞,
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∞ ⟹ ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∞.
PŘÍKLAD: ∞
Vyšetřeme konvergenci integrálu ∫1
1 𝑑𝑥 . 2𝑥−√𝑥
Je zřejmé, že platí 1 2𝑥 − √𝑥 ∞1
Z příkladu na straně 123 víme, že ∫1
𝑥
≥
1 . 2𝑥
𝑑𝑥 diverguje, tedy diverguje i
126
∞ 1 ∞1 1 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥. 2 1 𝑥 1 2𝑥 ∞
Podle srovnávacího kritéria diverguje také integrál ∫1
1 𝑑𝑥. 2𝑥−√𝑥
PŘÍKLAD: ∞
Vyšetřeme konvergenci integrálu ∫1
𝑥 √𝑥 6 +1
𝑑𝑥 .
Zřejmě platí 𝑥 √𝑥 6 + 1 ∞ 1 𝑑𝑥 𝑥2
Z příkladu na straně 123 víme, že ∫1 ∞ 𝑥 integrál ∫0 𝑑𝑥 . √𝑥 6 +1
≤
𝑥 √𝑥 6
=
1 . 𝑥2
konverguje. Podle srovnávacího kritéria konverguje také
127
2.6.
CVIČENÍ
1. Vypočtěte neurčitý integrál metodou přímé integrace: 2
3
a) ∫ (𝑥 2 − 2𝑥) 𝑑𝑥
c)
3
√𝑥 (𝑥−1) 𝑑𝑥 2𝑥 4 2 ∫ (𝑥 2 +1 − √1−𝑥 2 2
b) ∫
5
− sin2 𝑥) 𝑑𝑥
d) ∫ cotg 𝑥 𝑑𝑥 e) ∫
𝑒 𝑥 −2 𝑑𝑥 3𝑥
3 4𝑥 3 1 33 3 − 12 ln|𝑥| + + 𝐶, b) ( √𝑥 4 − 3 √𝑥 ) + 𝐶, 3 𝑥 3 2 4 c) 4arctg 𝑥 − 2 arcsin 𝑥 + 5cotg 𝑥 + 𝐶, d) − cotg 𝑥 − 𝑥 + 𝐶, 𝑒 𝑥 1 𝑥 (3) 2 (3) e) +𝐶 𝑒 − 1 ln ln [ 3 ] 3 a) −
2. Vypočtěte neurčitý integrál pomocí metody per partes: a) ∫ 𝑥 3 ln 𝑥 𝑑𝑥 b) ∫ 𝑥 2 cos 𝑥 𝑑𝑥 c) ∫ 𝑥 arccotg 𝑥 𝑑𝑥 d) ∫ cos2 𝑥 𝑑𝑥 e) ∫(1 + 𝑥)𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑥4 𝑥4 a) ln 𝑥 − + 𝐶 , b) 𝑥 2 sin 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 − 2 sin 𝑥 + 𝐶, 4 16 𝑥2 + 1 1 c) arccotg 𝑥 + 𝑥 + 𝐶, 2 2 1 d) (sin 𝑥 cos 𝑥 + 𝑥) + 𝐶, e)𝑥𝑒 𝑥 + 𝐶 [ ] 2 3. Vypočtěte neurčitý integrál pomocí substituce: cos 𝑥
a) ∫ sin3 x 𝑑𝑥 3𝑥
b) ∫ 𝑑𝑥 √1−x2 3
c) ∫ 2 𝑑𝑥 𝑥 +9 d) ∫ 10𝑥(𝑥 2 + 13)12 𝑑𝑥 4
e) ∫ 𝑑𝑥 √1−25x2 a)
[
128
1 x c , b) 3 1 x 2 c , c) arctg c , 2 2 sin x 3 13 5 4 d) x 2 13 c , e) arcsin 5 x c 13 5 ]
4. Vypočtěte neurčité integrály racionálních lomených funkcí: 4 a) dx 2 x 32 2x b) 2 dx x 6x 5 c) 2 1 dx x 4x 6 3x 4 d) 2 dx x 2x 2 x3 3 e) 2 dx x 3x a)
1 x2 2 5 1 arctg + C, b) ln x 5 ln x 1 + C, c) + C, 2x 3 2 2 2 2
d) ln x 2 2 x 2 arctg x 1 + C, e) x 2 3x 10 ln x 3 ln x + C 2 2 [ ]
3
1
5. Vypočtěte neurčitý integrál (různé metody): a) b) c)
x
2
2x dx 6x 5
e)
sin(3x 2) e dx
2
ln xdx
1
f) ∫ 4−𝑥2 𝑑𝑥
2 x 1
x
1
g) ∫ 4+𝑥2 𝑑𝑥
2x 1 dx 2 x 6 x 12
h) ∫ 𝑥 2 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥
d) x 1 2 dx x 2 2 x 9 3x 9
5 1 1 1 ln x 5 ln x 1 + C, b) cos(3x 2) e 2 x 1 C, 2 2 3 2 7 x 3 1 2 2 arctg c) ln x 6 x 12 + C, d) ln x 2 2 x 9 ln 3x 9 + C, 2 3 3 3 a)
e) [
1 1 1 𝑥 1 3 1 x ln x x 3 + C, f) ln|2 + 𝑥| − ln|2 − 𝑥| + 𝐶, g) arctg + 𝐶, 4 4 2 2 3 9 h) −𝑒 −𝑥 (𝑥 2 + 2𝑥 + 2) + 𝐶,
129
]
6. Vypočtěte určitý integrál: 𝜋
𝑒 2 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑥 4 ∫1 √𝑥(1 + 𝜋 cos 𝑥 𝑑𝑥 ∫02 1+sin 𝑥 2 𝑥−1 ∫1 2𝑥−1 𝑑𝑥
a) ∫0 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥
g) ∫𝑒
b) ∫−4 √17 + 4𝑥𝑑𝑥
h)
2
c) d) e) f)
4 𝑑𝑥 ∫3 𝑥 2 −3𝑥+2 𝑒 ∫1 √𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 ∫1 𝑥 2 +2𝑥 2 ∫1 (3𝑥 + 2) ln 𝑥𝑑𝑥
i) j)
2√𝑥)𝑑𝑥
62 4 2 1 3 17 a) 𝜋, b) , c) ln , d) ( √𝑒 3 + 2) , e) ln , f) 10 ln 2 − , 3 3 9 2 2 4 ] [ 59 1 1 g) ln 2, h) , i) ln 2 , j) − ln 3 3 2 4
7. Vypočtěte nevlastní integrál a určete, jestli diverguje či konverguje: 1
a)
ln xdx 0
b)
x
2
1 dx 9
c)
cos xdx 0
0
d)
x e
2 x3
dx
e)
2
x 0
2
1 dx 4x 3
𝜋 a) − 1 konverguje, b) konverguje, c) neexistuje diverguje, 3 [ ] 1 d) konverguje, e) diverguje 3
8. Vypočtěte obsah rovinného útvaru ohraničeného grafy funkcí: a) 𝑦 = 9 − 𝑥 2 , 𝑦 = 0 2
b) 𝑦 = 𝑥 , 𝑥 = 1, 𝑥 = 2, 𝑦 = 0
c) 𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 2 d) 𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑦 = 1, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1 e) 𝑦 = 𝑥 2 − 1, 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑦 = 1 − 𝑥 , vyberte obrazec, který obsahuje počátek. [a) 36, b)2 ln 2, c)
130
9 1 7 , d) 𝑒 + − 2 , e) ] 2 𝑒 3
9. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného danými křivkami kolem osy 𝑥: a) 𝑦 = 𝑥, 𝑦 = b) c) d) e)
1 𝑥
, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2
𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑥 2 𝑦 = 𝑥 2 + 3, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0 𝑦 = 1 − 𝑥2, 𝑦 = 𝑥2 𝜋 𝜋 𝑦 = 2 + sin 𝑥 na intervalu < − 2 ; 2 > [a)
5 2 112 2√2 9 𝜋, b) 𝜋, c) 𝜋, d) 𝜋, e) 𝜋 2 ] 6 15 5 3 2
10. Vypočtěte obsah pláště rotačního tělesa, které vznikne rotací útvaru ohraničeného danou křivkou: a) 𝑦 = 1 − 𝑥 na intervalu < 0; 1 > b) 𝑦 = √𝑥 na intervalu < 0; 2 > c) 𝑦 = √4 − 𝑥 2 [a) 𝜋√2, b)
13 𝜋, c) 16𝜋] 3
11. Vypočtěte délku křivky: a) 𝑦 =
2√𝑥 3 3
na intervalu < 0; 1 >
b) 𝑦 = √4 − 𝑥 2 na intervalu < 0; √2 > 4
c) 𝑦 = √𝑥 3 na intervalu < 0; 3 > [a)
131
4√2 − 2 𝜋 112 , b) , c) ] 3 2 27
3. POSLOUPNOSTI A ŘADY 3.1.
KONVERGENTNÍ A DIVERGENTNÍ POSLOUPNOSTI
Nekonečná posloupnost je nekonečná množina čísel 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … 𝑎𝑛 , …, která jednoznačně korespondují s přirozenými čísly 1, 2, 3, …, 𝑛, … . Pokud jsou čísla 𝑎1 , 𝑎2 , … reálná, hovoříme o reálné (nekonečné) posloupnosti. Posloupnost je uspořádaná, pokud je prvek 𝑎1 přiřazen číslu 1, prvek 𝑎2 číslu 2, atd. Slovo „nekonečná“ se často vynechává a rozumí se samo sebou. DEFINICE: NEKONEČNÁ POSLOUPNOST
Nekonečná posloupnost je funkce, jejímž definičním oborem je množina přirozených čísel 𝑁. Obor hodnot reálné posloupnosti je množina reálných čísel. Způsoby zadání posloupnosti:
pomocí tvaru 𝒏-tého členu 𝒂𝒏 , zapisujeme {𝑎𝑛 }. rekurentně, což znamená, že je dán první nebo několik prvních členů, a dále pravidlo, jak se spočítá člen 𝑎𝑛+1 z předchozích 𝑛 členů posloupnosti. výčtem dostatečného počtu členů, z něhož lze zjistit zákonitost posloupnosti 5𝑛
Tedy například posloupnost daná 𝑛-tým členem {𝑛+1} má 1. člen roven dosadili číslo 1), její druhý člen je
10 3
5 2
, (za 𝑛 jsme
, (za 𝑛 bylo dosazeno číslo 2), atd.
Příkladem rekurentního zadání je aritmetická a geometrická posloupnost, které bývají dány rekurentně. To znamená, že je dán 1. člen, a dále pravidlo, jak se spočítá člen 𝑎𝑛+1 z předchozích 𝑛 členů posloupnosti. Pro aritmetickou posloupnost platí 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 𝑑 pro každé 𝑛 𝜖 𝑁, (d je diference 𝑛 aritmetické posloupnosti). Pro součet jejích prvních 𝑛 členů platí vzorec 𝑠𝑛 = 2 ∙ (𝑎1 + 𝑎𝑛 ) . Pro geometrickou posloupnost platí
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑞
posloupnosti), a její součet prvních 𝑛 členů je 𝑠𝑛 = 𝑎1 ∙
1−𝑞 𝑛 1−𝑞
( q je kvocient geometrické .
PŘÍKLAD:
Najděme první čtyři členy posloupností 1
a) {𝑛2 } , b) 𝑎1 = 2, 𝑎𝑛+1 = 3𝑎𝑛 − 1 a) Posloupnost je dána 𝑛-tým členem. Dosazujeme za 𝑛 postupně přirozená čísla 1, 2, 3, 4, a 1 1
1
dostáváme posloupnost 1, 4 , 9 , 16, … 132
b) Posloupnost je dána rekurentně. Za 𝑛 dosadíme číslo 1 a dostáváme 𝑎2 = 3𝑎1 – 2 , tedy 𝑎2 = 4 . Za 𝑛 dosadíme číslo 2 a získáme 𝑎3 = 3𝑎2 – 2 , tedy 𝑎3 = 10, atd. První čtyři členy jsou 2, 4, 10, 28, …
PŘÍKLAD: 1
Najděme součet prvních deseti členů geometrické posloupnosti {2𝑛}. Posloupnost je geometrická s kvocientem 𝑞 =
1 2
. První člen 𝑎1 je též roven jedné polovině.
Dosadíme do vzorce pro součet prvních 𝑛 členů geometrické posloupnosti: 𝑠10 =
1 10 2 1 1− 2
1−( )
=2−
2 210
= 2− 2−9 .
Vzhledem k tomu, že posloupnost je funkce, můžeme u ní hovořit o stejných vlastnostech jako u ostatních funkcí. Posloupnost může být rostoucí nebo klesající, nerostoucí nebo neklesající, konstantní, periodická, omezená nebo neomezená. Všechny tyto vlastnosti byly definovány ve skriptech Matematika 1, a jsou tedy jasné. Posloupnost nabývá hodnot pouze pro přirozená čísla a graf posloupnosti je tvořen izolovanými body. Žádný z těchto izolovaných bodů není hromadným bodem, nemůže v něm tedy existovat limita. 5𝑛
Např. posloupnost {𝑛+1} uvedená výše je rostoucí omezená posloupnost, jejíž graf je na následujícím obrázku č. 42 vyznačen modrými izolovanými puntíky. (Černou čarou je pak vyznačen tvar spojité funkce pro reálný argument). Je vidět, že všechny členy této posloupnosti jsou menší než pět a s rostoucím 𝑛 se k pěti přibližují. Tento poznatek nás vede k zavedení pojmu limita posloupnosti v plus nekonečnu. V zápise limity můžeme vynechat 𝑛 → +∞, jelikož žádná jiná limita posloupnosti není definována a nemůže tedy dojít k nejasnostem.
133
Obrázek 42: Posloupnost {
𝟓𝒏
𝒏+𝟏
}
DEFINICE: VLASTNÍ LIMITA POSLOUPNOSTI
Posloupnost {𝑎𝑛 } má vlastní limitu 𝐴 – konverguje k 𝐴 -- značíme lim 𝑎𝑛 = 𝐴 , jestliže pro každé 𝜀 > 0 existuje číslo 𝑛0 𝜖 𝑁 tak, že pro všechna 𝑛 > 𝑛0 platí |𝑎𝑛 − 𝐴| < 𝜀 . Jestliže takové číslo 𝐴 neexistuje, posloupnost nemá vlastní limitu, a říkáme, že diverguje.
Pokud můžeme volbou dostatečně velkého 𝑛0 dosáhnout buď libovolně velké nebo libovolně malé hodnoty, hovoříme o nevlastní limitě. Zapisujeme potom lim 𝑎𝑛 = + ∞ nebo lim 𝑎𝑛 = −∞
DEFINICE: NEVLASTNÍ LIMITY POSLOUPNOSTI:
lim 𝑎𝑛 = +∞ znamená, že pro každé kladné reálné číslo K existuje 𝑛0 𝜖 𝑁 takové, že pro 𝑛 > 𝑛0 je 𝑎𝑛 > 𝐾, lim 𝑎𝑛 = −∞ znamená, že pro každé záporné reálné číslo K existuje 𝑛0 𝜖 𝑁 takové, že pro 𝑛 > 𝑛0 je 𝑎𝑛 < 𝐾.
5𝑛
Na obrázku č. 42 je znázorněna vlastní limita posloupnosti na posloupnosti {𝑛+1}, Obrázek č. 43 ilustruje nevlastní limitu posloupnosti na posloupnosti {𝑛}, a na obrázku č. 44 je znázorněna posloupnost {sin 𝑛}, která tak zvaně osciluje, a limitu nemá. Jak v případě nevlastní limity, tak v případě, že limita neexistuje, říkáme, že posloupnost je divergentní.
134
Obrázek 43: Posloupnost {𝒏}
Obrázek 44: Posloupnost {𝐬𝐢𝐧 𝒏}
Pro výpočet limit posloupností je důležitá následující věta: VĚTA:
Mějme nekonečnou posloupnost {𝑎𝑛 }, a nechť funkce f(𝑥), pro kterou platí f(𝑛) = 𝑎𝑛 , existuje pro každé 𝑥 𝜖 𝑅, 𝑥 ≥ 1. Potom platí: a) jestliže lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 𝐴 , pak též lim 𝑎𝑛 = 𝐴, b) jestliže lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = + ∞ (𝑛𝑒𝑏𝑜 − ∞), pak též lim 𝑎𝑛 = +∞ (𝑛𝑒𝑏𝑜 − ∞). Ilustrace této věty je na obrázku č. 42. Vybereme-li totiž z definičního oboru pouze hodnoty v přirozených číslech, limitní chování funkce se tím nemění. Z uvedené věty vyplývá, že limity posloupností lze počítat stejně jako limity reálných funkcí, a je možné používat veškeré věty platné pro výpočet limit funkcí, včetně věty o sevření a L´Hospitalova pravidla. Uveďme ještě jednu důležitou větu hovořící o existenci limity: VĚTA:
Každá ohraničená, monotónní, nekonečná posloupnost má vlastní limitu, tedy je konvergentní. 135
PŘÍKLAD: 1
Zjistěme, zda posloupnost {1+𝑛2 } je rostoucí nebo klesající. Vytvořme si člen 𝑎𝑛+1 a proveďme rozdíl 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 . Bude-li rozdíl kladný, je posloupnost rostoucí, bude-li záporný, je posloupnost klesající. 1
Je 𝑎𝑛+1 = 1+(𝑛+1)2 .
1
1+𝑛2 −1− (𝑛+1)2
1
−2𝑛−1
𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = 1+(𝑛+1)2 - 1+𝑛2 = (1+(𝑛+1)2 )(1+(𝑛+1)2 )∙ = (1+(𝑛+1)2 )(1+(𝑛+1)2 )
pro každé 𝑛 ≥ 1. Jmenovatel je kladný, čitatel je záporný, tedy celý zlomek je záporný. Je 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 pro každé 𝑛 ≥ 1, a posloupnost je klesající. PŘÍKLADY:
Hledejme limity následujících posloupností a zjistěme, zda jsou konvergentní nebo divergentní: 1 𝑛
3𝑛−5
𝑛3 +7𝑛
a) {2𝑛+4} b) {8𝑛 + 5} c) {(1 + 𝑛) } d) { a) Limita typu tedy
3 2
∞ ∞
𝑛2
} e) {
sin 𝑛 𝑛2
𝑛
} f) {√𝑛 + 1 − √𝑛} g) {𝑒 𝑛}
, kde nejvyšší mocniny v čitateli a jmenovateli jsou stejné. Výsledek limity je
a posloupnost je konvergentní.
b) Podle věty o součtu limit je limita rovna +∞ + 5 , neboli +∞ . Posloupnost je divergentní. c) Pro limitu funkce tohoto tvaru platí vzorec, který udává výslednou hodnotu 𝑒. Posloupnost má tutéž limitu a je tedy konvergentní. d) Mocnina v čitateli je vyšší než mocnina ve jmenovateli – limita je rovna +∞ a posloupnost je divergentní. e) Na zlomek použijeme sevření −
1 𝑛2
≤
sin 𝑛 𝑛2
≤
1 𝑛2
. Oba krajní zlomky mají limitu rovnou
číslu 0. Tedy je limita posloupnosti rovna nule a posloupnost je konvergentní. f) Tuto limitu musíme počítat rozšířením na zlomek. = lim
(√𝑛+1−√𝑛)(√𝑛+1+√𝑛) √𝑛+1+√𝑛
=lim
𝑛+1−𝑛 √𝑛+1+√𝑛
= lim
1 √𝑛+1+√𝑛
= 0 . Posloupnost je konvergentní.
g) Lze použít L´Hospitalovo pravidlo. Dostaneme podíl Posloupnost je konvergentní.
136
Je lim (√𝑛 + 1 − √𝑛) =
1 𝑒𝑛
, který je v limitě roven nule.
3.2.
NEKONEČNÉ ŘADY, ZÁKLADNÍ POJMY
DEFINICE: NEKONEČNÁ ŘADA
Nechť {𝑎𝑛 } je nekonečná posloupnost. Potom součet 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ se nazývá nekonečná řada, nebo krátce řada. Jednotlivé sčítance se nazývají členy řady. Pokud jsou členy řady reálná čísla, hovoříme o číselné řadě. Pokud jsou členy řady funkce, hovoříme o funkční řadě. Je-li znám tvar 𝑛-tého členu řady, lze řadu popsat sumou zvanou sumační vzorec tvaru ∞
∑ 𝑎𝑛 𝑛=1
My se budeme nejprve zabývat řadami číselnými, poté krátce řadami funkčními. Vzhledem k tomu, že nekonečnou řadu nesčítáme vždy od 𝑛 = 1, ale někdy též od 𝑛 = 0 nebo 𝑛 > 1, (např. když výraz pro 𝑛-tý člen není pro 𝑛 = 1 definován), budeme někdy, pokud se bude jednat o konvergenci a ne o přesnou hodnotu součtu, psát v definicích a větách sumu bez této specifikace. Sčítáme vždy do +∞. DEFINICE: ČÁSTEČNÝ SOUČET A POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ
𝒌-tý částečný součet nekonečné řady ∑𝑘𝑛=1 𝑎𝑛 , 𝑘 𝜖 𝑁, je výraz 𝑆𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑘 . Posloupnost částečných součtů pro řadu ∑ 𝑎𝑛 je posloupnost 𝑆1 , 𝑆2 , … , 𝑆𝑘 , … .
DEFINICE: KONVERGENCE ŘADY:
Nekonečná řada ∑∞ 𝑛=1 𝑎𝑛 je konvergentní (nebo krátce konverguje), jestliže posloupnost částečných součtů pro tuto řadu {𝑆𝑛 } je konvergentní. lim𝑛→+∞ 𝑆𝑛 = 𝑆 se nazývá součet řady ∑ 𝑎𝑛 a je 𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ Nekonečná řada je divergentní (diverguje), je- li posloupnost částečných součtů pro tuto řadu divergentní. Divergentní řada nemá součet.
137
PŘÍKLAD: 1
Vyšetřeme konvergenci řady ∑∞ 𝑛=1 𝑛(𝑛+1)
Napišme si prvních několik členů řady 1 1∙2
+
1 2∙3
+
1 3∙4
+ …+
1 𝑛∙(𝑛+1)
+ … a proveďme rozklad jednotlivých členů řady na parciální
zlomky. 1
1
Je 𝑛∙(𝑛+1) = 𝑛 − 1−
1 2
1
+2−
1 3
1 𝑛+1 1
. Dosaďme tento rozklad za jednotlivé členy – dostaneme 1
1
+3−4+…+𝑛−
1 𝑛+1
+ … . 𝑛-tý částečný součet je tedy roven 𝑆𝑛 = 1 −
1 𝑛+1
1
neboť sčítance se vyruší až na první a poslední. Dále je lim𝑛→+∞ (1 − 𝑛+1) = 1. Řada je tedy konvergentní a její součet 𝑆 je roven jedné.
Pokud dokážeme vyjádřit 𝑛-tý částečný součet 𝑆𝑛 jako funkci proměnné 𝑛, snadno potom výpočtem limity zjistíme, zda je řada konvergentní nebo divergentní, a jaký je v případě konvergence součet 𝑆. Tato situace ovšem nenastává často. Řada bývá dána sumačním vzorcem, z něhož nelze obecně 𝑛-tý částečný součet zjistit. Uvedený příklad byl spíše výjimkou. 𝑛-tý částečný součet může být bez problémů nalezen u geometrických řad. Geometrická řada vzniká sečtením členů geometrické posloupnosti, u níž existuje vzorec pro součet prvních 𝑛 členů posloupnosti. Ale to je vlastně v názvosloví řad 𝑛-tý částečný součet. Čili známe vzorec pro 𝑆𝑛 . Je 𝑆𝑛 = 𝑎1
1−𝑞 𝑛 1−𝑞
. Ptáme se nyní na limitu lim𝑛→+∞ 𝑆𝑛 .
Je zřejmé, že pokud je 𝑞 > 1 ,
s rostoucím n bude čitatel zlomku velký záporný, jmenovatel je též záporný a čitatel poroste do nekonečna. Výsledkem je tedy +∞, a řada je divergentní. Pokud je 𝑞 < −1, bude jmenovatel kladný, ale čitatel bude růst a přitom oscilovat – pro sudé 𝑛 bude záporný a pro liché 𝑛 bude kladný. Limita částečných součtů tedy neexistuje a řada je divergentní. Pro 𝑞 = 1 a 𝑞 = −1 v jsou řady divergentní – představme si řady 1 + 1 + 1 + 1 +….. a 1 − 1 + 1 – 1 +… U první z nich je 𝑆𝑛 = 𝑛 a lim 𝑆𝑛 = +∞ , u druhé částečné součty oscilují mezi nulou a jedkničkou a lim 𝑆𝑛 neexistuje. Zbývá případ |𝑞| < 1. V tomto případě je limita čitatele zlomku rovna jedné a je tedy
lim𝑛→∞ 𝑆𝑛 =
𝑎1
1−𝑞
jako větu.
138
, což je konečná hodnota. Závěr vyslovíme
VĚTA:
Nechť 𝑎1 ≠ 0. Geometrická řada 𝑎1 + 𝑎1 ∙ 𝑞 + 𝑎1 ∙ 𝑞 2 + ⋯ + 𝑎1 ∙ 𝑞 𝑛 + ⋯ konverguje pro 𝑎 |𝑞| < 1 a její součet je 𝑆 = 1 . Pro |𝑞| ≥ 1 geometrická řada diverguje. 1−𝑞
PŘÍKLAD:
Číslo s periodickým desetinným rozvojem 1, 121212….. napišme pomocí zlomku. 12
12
12
Číslo si přepišme jako 1 + 100 + 10000 + 100000 + …. . První jedničku ponecháme stranou. Zbylé 1
sčítance tvoří geometrickou řadu s kvocientem 𝑞 = 100 . 𝑞 < 1 , řada konverguje a její součet je S = 111 99
12 100 1 1− 100
=
12 99
. K tomuto zlomku připočteme „schovanou“ jedničku a dostáváme zlomek
, který vyjadřuje naše číslo s nekonečným desetinným rozvojem.
Zřejmě tedy každé číslo s nekonečným desetinným rozvojem, jehož rozvoj je periodický, lze napsat pomocí zlomku. PŘÍKLAD: 1
1
Sečtěme řadu 1 + 2 + 3 +
1
1
1
+9+8+ 4
1
+ 27
1 16
+⋯
Tato řada geometrická není. Ale přerovnáme-li pořadí jejích sčítanců, lze ji napsat jako součet dvou nekonečných řad, které jsou již geometrické, takto: 1
1+3+
1
+ 9
1
+⋯ 27
+
1
+ 2
1
+ 4
1
+ 8
1 16
+⋯ 1
První část je tvořena lichými členy řady, 𝑎1 = 1 a 𝑞 = 3 . Druhá část je tvořena sudými členy, 𝑎1 = Obě části lze sečíst a je 𝑆1 =
1 1−
1 3
=
3 2
1 2
a 𝑆2 =
1
a 𝑞 = 2. 1 2
1−
1 2
= 1.
𝑆 = 𝑆1 + 𝑆2 = 2,5.
Jak již bylo poznamenáno, pokud řada není geometrická, nelze obecně najít 𝑛-tý částečný součet a sečítat řadu přes jeho limitu. Budeme si tedy klást nižší cíl, a budeme chtít alespoň zjistit, zda je řada konvergentní nebo divergentní, bez nalezení jejího součtu v případě konvergence. Základ pro naše zkoumání dává následující věta.
139
VĚTA: NUTNÁ PODMÍNKA KONVERGENCE
Je-li nekonečná řada ∑ 𝑎𝑛 konvergentní, potom lim 𝑎𝑛 = 0. Víme, že 𝑛-tý člen řady 𝑎𝑛 lze vyjádřit jako 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 . Jestliže je lim 𝑆𝑛 = S , pak je též lim 𝑆𝑛−1 = S , a proto lim(𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1 ) = S – S = 0 , což je důkaz této důležité věty. Větu nelze obrátit. Pokud platí lim 𝑎𝑛 = 0 , neplyne z toho, že řada je konvergentní. Říkáme, že věta je nutnou podmínkou pro konvergenci řady, ale není podmínkou postačující. Pokud nutná podmínka splněna není, řada určitě nekonverguje. Pokud nutná podmínka splněna je, musíme ve zkoumání konvergence dále pokračovat.
PŘÍKLAD:
Zjistěme, zda platí nutná podmínka konvergence u následujících řad: 𝑛
1
∞ ∞ a) ∑∞ 𝑛=1 3𝑛+5 b) ∑𝑛=1 𝑛3 c) ∑𝑛=1 𝑛
𝑒𝑛 𝑛
.
1
a) Limita zlomku 3𝑛+5 je rovna 3 . Řada tedy diverguje. b) Limita zlomku
1 𝑛3
je rovna nule. Nutná podmínka konvergence je splněna. Zatím ještě
nevíme, jestli řada konverguje nebo diverguje. c) Limita zlomku
𝑒𝑛 𝑛
je +∞ . (Stačí jedenkrát použít L´Hospitalovo pravidlo). Řada tedy
diverguje.
Nyní uvedeme několik vět pro počítání s řadami. VĚTA:
Jestliže ∑ 𝑎𝑛 a ∑ 𝑏𝑛 jsou konvergentní řady se součty po řadě 𝐴, 𝐵 , potom jsou též konvergentní řady 1) ∑(𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 ) , a má součet A ± 𝐵 2) 𝑘 ∙ ∑ 𝑎𝑛 , kde 𝑘 𝜖 𝑅, a má součet 𝑘 ∙ 𝐴
140
VĚTA:
Je-li ∑ 𝑎𝑛 konvergentní řada divergentní.
a ∑ 𝑏𝑛 divergentní řada, potom je
řada
∑(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )
VĚTA:
Vynecháme-li z konvergentní řady konečný počet členů, zůstane řada konvergentní. Vynecháme-li z divergentní řady konečný počet členů, zůstane řada divergentní.
Otázkou zatím zůstává, jaký vliv má na součet řady změna pořadí členů řady. Ukazuje se, že někdy můžeme členy přerovnat bez dalšího vlivu na konvergenci řady a její součet, někdy to nelze. Vrátíme se k tomuto problému později. PŘÍKLAD:
Zjistěme, zda konvergují řady : a) 1
b) ∑∞ 𝑛=1 (3𝑛 −
5𝑛 2
1 2
+
1 32
+
1 64
+
1 128
1
1
1
+ 256 + 512 + 1024 + ⋯
) 1
Řada a) konverguje, neboť ji získáme z konvergentní geometrické řady ∑∞ 𝑛=1 2𝑛 vynecháním tří členů (druhého, třetího a čtvrtého) 1
Řada b) diverguje, jelikož je rozdílem geometrické konvergentní řady ∑ 3𝑛 a divergentní řady ∑
5𝑛 2
, u níž není splněna nutná podmínka konvergence.
3.3.
ŘADY S KLADNÝMI ČLENY
Uveďme nyní několik vět, které nám umožní rozhodnout o konvergenci nebo divergenci řady s kladnými členy ( 𝑎𝑛 > 0 pro všechna 𝑛), v případě, že nutná podmínka konvergence je splněna. Řady s kladnými členy jsou základem pro vyšetřování obecnějších řad, jejichž konvergence se často určuje na základě příbuzné řady s kladnými členy.
141
VĚTA: PODÍLOVÉ KRITÉRIUM
Mějme řadu s kladnými členy ∑ 𝑎𝑛 . Nechť
lim
𝑎𝑛+1
𝑛→+∞ 𝑎𝑛
=𝐴.
Potom: je-li 𝐴 < 1 , řada konverguje; je-li 𝐴 > 1, řada diverguje, je-li 𝐴 = 1, nelze rozhodnout.
Podílové kritérium vychází z geometrické řady ∑ 𝑎𝑛 = 1 + 𝐴 + 𝐴2 + ⋯ 𝐴𝑛 + ⋯ . U této 𝑎𝑛+1 geometrické řady je = 𝐴 . Přitom řada je konvergentní pro |𝐴| < 1. Smyslem 𝑎 𝑛
podílového kritéria je zjistit, zda se zkoumaná řada „limitně“ chová jako konvergentní nebo 𝑎 divergentní geometrická řada. Zřejmě pokud bude platit 𝑎𝑛+1 > 1, nemůže být splněna 𝑛
nutná podmínka konvergence. PŘÍKLAD: 2𝑛
1
1
∞ ∞ Rozhodněme o konvergenci řad: a) ∑∞ 𝑛=1 𝑛2 ; b) ∑𝑛=1 5𝑛 ; c) ∑𝑛=1 𝑛
U obou řad je splněna nutná podmínka konvergence. Budeme je dále vyšetřovat podílovým kritériem. a) lim
𝑎𝑛+1
𝑛→+∞ 𝑎𝑛
=
1
lim
𝑛→+∞
(𝑛+1)2
∙
𝑛2 1
= lim
𝑛2
𝑛→+∞ (𝑛+1)2
=1
Kritérium nedává výsledek, zda řada konverguje nebo ne. b) lim
𝑎𝑛+1
𝑛→+∞ 𝑎𝑛
c) lim
𝑎𝑛+1
𝑛→+∞ 𝑎𝑛
= lim
𝑛→+∞
= lim
2𝑛+1
∙ 5𝑛+1 1
𝑛→+∞ 𝑛+1
∙
𝑛 1
5𝑛 22
2
= 5 < 1 . Řada konverguje.
= 1, a kritérium opět nedává výsledek.
Následující kritérium je užitečné, pokud 𝑎𝑛 obsahuje 𝑛-tou mocninu. VĚTA: ODMOCNINOVÉ KRITÉRIUM
Mějme řadu s kladnými členy ∑ 𝑎𝑛 . Nechť
lim 𝑛√𝑎𝑛 = 𝐴 .
𝑛→+∞
Potom: je-li 𝐴 < 1 , řada konverguje; je-li 𝐴 > 1, řada diverguje, je-li 𝐴 = 1, nelze rozhodnout.
142
PŘÍKLAD: 1
Rozhodněme o konvergenci řady ∑∞ 𝑛=2 (ln 𝑛)𝑛 . 1
Nutná podmínka je splněna. 𝑛√𝑎𝑛 = ln 𝑛 . Dále je
lim
1
𝑛→+∞ ln 𝑛
= 0 < 1 . Řada je konvergentní.
Uvedená dvě kritéria jsou snadná na použití, ale mají poměrně omezený dosah. Velmi často se ukáže, že selhávají, neboť limita je rovna jedné. Další kritérium, které si uvedeme, tak zvané integrální kritérium, lze odvodit z Riemannovy definice určitého integrálu. Toto kritérium je velmi účinné, je ovšem třeba umět vypočítat konkrétní nevlastní integrál. VĚTA: INTEGRÁLNÍ KRITÉRIUM
Je dána řada s kladnými členy ∑ 𝑎𝑛 , pro kterou je 𝑎1 ≥ 𝑎2 ≥ ⋯ ≥ 𝑎𝑛 … a dále nechť funkce 𝑓(𝑥), pro kterou je 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛) pro všechna 𝑛 𝜖 𝑁 je spojitá pro 𝑥 ≥ 1. Potom: ∞
jestliže konverguje (existuje) nevlastní integrál ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , potom konverguje i řada ∑ 𝑎𝑛 , ∞
jestliže diverguje (neexistuje) nevlastní integrál ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , potom diverguje i řada ∑ 𝑎𝑛 . ∞
V případě konvergence platí odhad zbytku tvaru 𝑅𝑛 ≤ ∫𝑛 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , což je odhad chyby, které se dopustíme, nahradíme-li neznámý součet řady 𝑆 hodnotou jejího 𝑛-tého částečného součtu. PŘÍKLAD:
Rozhodněme o konvergenci následujících řad : (o tom, že všechny čtyři řady splňují nutnou podmínku konvergence se přesvědčte sami) 1
a) ∑∞ 𝑛=1
𝑛
b) ∑∞ 𝑛=1
1 √𝑛
1
c) ∑∞ 𝑛=1 𝑛2 +1
d) ∑∞ 𝑛=1
∞1
a) vypočtěme nevlastní integrál. ∫1 Integrál diverguje, řada diverguje též.
∞
√
𝑑𝑥 = [ln 𝑥]1∞ = lim𝑛→+∞ ln 𝑛 − ln 1 = +∞ .
∞
∞ 1
b) ∫1
𝑥
𝑛 𝑛2 +1
dx = [2√𝑥]1 = lim𝑛→+∞ 2√𝑛 – 2 = +∞ . Integrál diverguje, řada též diverguje. 𝑥 1
c) ∫1 𝑥 2 +1 𝑑𝑥 = [arctg 𝑥]1∞ = lim𝑛→+∞ arctg 𝑛 − arctg 1 = řada též konverguje. ∞
d) ∫1
𝑥
1
∞
1
1
2
𝑑𝑥 = [2 ln(𝑥 2 + 1)] = +∞ − 𝑥 2 +1
𝜋 2
𝜋
−4 =
𝜋 4
. Integrál konverguje,
ln 2 = + ∞ . Integrál i řada jsou divergentní.
143
1
V příkladu části a) jsme dokázali divergenci řady ∑ 𝑛 . Tato řada má pro svou důležitost v ekonomických aplikacích název – hovoříme o harmonické řadě.
DEFINICE: HARMONICKÁ ŘADA 1
Řada ∑ 𝑛 se nazývá harmonická řada. Harmonická řada diverguje (jak jsme v minulém příkladu zjistili pomocí integrálního kritéria). PŘÍKLAD:
Najděme chybu, které se dopustíme při stanovení součtu řady, sečteme-li prvních 10 členů 1
řady ∑∞ 𝑛=1 𝑛2 . 1
Nejprve najdeme 𝑆10 : 𝑆10 = 1 + 4 + ∞ 1
1 9
+
1 16
1
+
25
1 ∞
Následně najdeme zbytek: je ∫10 𝑥 2 𝑑𝑥 = [− 𝑥]
10
+
1 36
1
1
1
+ 49 + 64 + 81 +
1 100
≅ 2,01
1
= 0 + 10 = 0,1. Chyba určení součtu řady je
tedy na prvním desetinném místě a můžeme psát 𝑆 ≈ 2 ± 0,1 .
Jako poslední kritérium pro řady s kladnými členy uvedeme kritérium, které řeší konvergenci zkoumané řady pomocí jejího porovnání s jinou řadou, kterou již známe, nebo ji umíme prozkoumat snáze – např. příslušný integrál je jednodušší, apod. VĚTA: SROVNÁVACÍ KRITÉRIUM
Mějme dvě řady s kladnými členy ∑ 𝑎𝑛 a ∑ 𝑏𝑛 . Nechť je dále 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 pro každé 𝑛 𝜖 𝑁. Potom : jestliže řada ∑ 𝑏𝑛 konverguje, konverguje též řada ∑ 𝑎𝑛 , jestliže řada ∑ 𝑎𝑛 diverguje, diverguje též řada ∑ 𝑏𝑛 .
Toto kritérium lze použít např. k jinému způsobu zjištění divergence řady ∑
1 √𝑛
, které jsme
prováděli výše integrálním kritériem. Lze si uvědomit, že √𝑛 ≤ 𝑛 pro každé 𝑛 𝜖 𝑁 . Je tedy také
1 √𝑛
řada ∑
≥ 1 √𝑛
1 𝑛
1
. Řada ∑ 𝑛 je známá harmonická řada, o níž víme, že diverguje. Námi zkoumaná
musí tedy divergovat též.
144
PŘÍKLAD:
Pomocí srovnávacího kritéria vyšetřeme konvergenci řad: 1
𝜋
a) ∑∞ 1 3+2𝑛
b) ∑∞ 1 sin 2𝑛
c) ∑∞ 1
𝑛+ln 𝑛 𝑛2 +1
d) ∑∞ 2
ln 𝑛 𝑛3
3𝑛
e) ∑∞ 2 2𝑛2 −7
Všechny řady splňují nutnou podmínku konvergence – ověřte sami. a) Je 3 + 2𝑛 > 2𝑛 , a tedy
1 3+2𝑛
<
1 2𝑛
1
1
. Řada ∑ 2𝑛 je geometrická řada s kvocientem 𝑞 = 2 ,
tedy se jedná o konvergentní řadu. Řada a) je podle srovnávacího kritéria též konvergentní. b) Je sin 1
𝜋 2𝑛
<
𝜋 2𝑛
𝜋
, (protože pro 𝑥 > 0 platí sin 𝑥 < 𝑥). Řada ∑ 2𝑛 je geometrická, kvocient
𝑞 = 2 , jedná se o konvergentní řadu. Podle srovnávacího kritéria je řada b) též konvergentní. c)
𝑛+ln 𝑛 𝑛2 +1 ∞
Je ∫1
>
𝑛
𝑛
𝑛2 +1
. Řadu ∑ 𝑛2 +1 vyšetříme integrálním kritériem.
𝑥
∞
1
𝑑𝑥 = [2 ln 𝑥] = +∞ . 𝑥 2 +1 1
Integrál diverguje, pomocná řada též diverguje. Podle srovnávacího kritéria diverguje i řada c) . d) Je
ln 𝑛 𝑛3
<
𝑛 𝑛3
1
, jelikož platí ln 𝑛 < 𝑛. Vyšetřujeme nejprve tedy řadu ∑ 𝑛2 . Integrální
kritérium dává její konvergenci (proveďte sami). Podle srovnávacího kritéria je pak konvergentní i řada d). 3𝑛
3𝑛
3
e) Je 2𝑛2 −7 > 2𝑛2 = 2 ∙
1
(poněvadž jmenovatel dané řady je menší o sedm, než jmenovatel
𝑛
pomocné řady). Vyšetřujme tedy řadu
3 2
1
3
∑∞ 2 ∑ 𝑛 , což je ovšem harmonická řada násobená konstantou 2 . Je
to tedy divergentní řada. Proto řada e) je podle srovnávacího kritéria též divergentní.
3.4.
ALTERNUJÍCÍ ŘADY, ABSOLUTNÍ A NEABSOLUTNÍ KONVERGENCE
Dále budeme vyšetřovat konvergenci řad, které obsahují jak kladné tak záporné členy, a to nejdůležitější z nich, tak zvané alternující řady. DEFINICE: ALTERNUJÍCÍ ŘADA:
Alternující řada neboli řada se střídavými znaménky je řada 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯ + (−1)𝑛−1 𝑎𝑛 + ⋯
případně 145
𝑎1 − 𝑎2 + 𝑎3 − 𝑎4 + ⋯ + (−1)𝑛+1 𝑎𝑛 + ⋯ nebo řada −𝑎1 + 𝑎2 − 𝑎3 + 𝑎4 − ⋯ + (−1)𝑛 𝑎𝑛 + ⋯ , kde 𝑎𝑛 > 0 .
Sumační vzorce těchto řad jsou postupně ∑(−1)𝑛−1 𝑎𝑛 , ∑(−1)𝑛+1 𝑎𝑛 , ∑(−1)𝑛 𝑎𝑛 . Uveďme pro ně následující kritérium konvergence: VĚTA: LEIBNIZOVO KRITÉRIUM
Je-li 𝑎1 > 𝑎2 > 𝑎3 > ⋯ > 0 a je-li lim 𝑎𝑛 = 0, potom je alternující řada konvergentní.
Vidíme tedy, že nutná podmínka pro příslušnou řadu s kladnými členy, kterou získáme vynecháním členu (−1)𝑛 případně (−1)𝑛±1 se stává postačující podmínkou konvergence řady alternující v případě, že posloupnost členů řady je klesající. PŘÍKLAD: 𝑛 Rozhodněme o konvergenci alternujících řad a) ∑∞ 𝑛=1(−1)
1 √𝑛
𝑛+1 b) ∑∞ 𝑛=1(−1)
U řady a) se jedná skutečně o klesající posloupnost členů 𝑎𝑛 a je lim 𝑎𝑛 = lim
1 √𝑛
2𝑛 3𝑛−1
= 0. Podle
Leibnizova kritéria řada konverguje. 2𝑛
U řady b) není lim 𝑎𝑛 rovna nule, ale lim 𝑎𝑛 = lim 3𝑛−1 =
2 3
. Nutná podmínka konvergence
není splněna, řada b) diverguje. U integrálního kritéria jsme dokázali odhadnout chybu, o kterou se po sečtení 𝑛 členů lišíme od součtu řady. Podobný odhad existuje i u Leibnizova kritéria. VĚTA: ODHAD ZBYTKU ALTERNUJÍCÍ ŘADY:
Pokud alternující řada konverguje podle Leibnizova kritéria, je chyba v přibližném výpočtu jejího součtu pomocí n-tého částečného součtu 𝑆𝑛 menší než člen 𝑎𝑛+1 . PŘÍKLAD:
Dokažme, že řada
𝑛−1 ∑∞ 𝑛=1(−1)
1 (2𝑛−1)!
je konvergentní, a vypočtěme její součet
s přesností na 5 desetinných míst. Zřejmě je posloupnost členů 𝑎𝑛 klesající a lim𝑎𝑛 = 0 , tedy podle Leibnizova kritéria řada konverguje. 146
Použijeme –li pro výpočet součtu řady částečný součet 1
1
1
< 0,000005 . Tedy výpočet S = 0,84147 je přesný na pět desetinných míst.
9!
= 1−
6
120
−
1
než 𝑎5 =
7!
+
1
5!
1
−
1
𝑆4 = 1− 3! +
5040
≈ 0,841468 , je chyba podle předchozí věty menší
Povšimněme si, že daná řada je Taylorovou řadou pro funkci sin 𝑥 v bodě 𝑥 = 1, a je tedy sin 1 ≈ 0,84147.
Je vidět, že konvergence alternující řady je dosaženo snáze, než konvergence řady s kladnými členy. Konvergence příslušné řady s kladnými členy a stejnými koeficienty 𝑎𝑛 je obtížněji dosažitelná a je v určitém smyslu silnější. Vysvětlíme si to dále. DEFINICE – ABSOLUTNÍ KONVERGENCE:
Nekonečná řada ∑ 𝑎𝑛 je absolutně konvergentní, jestliže ∑|𝑎𝑛 | je konvergentní.
1
To znamená, že např. řada ∑(−1)𝑛 𝑛2 +1 je absolutně konvergentní, poněvadž tato řada se střídavými znaménky konverguje dle Leibnizova kritéria a řada absolutních hodnot jejích 1
členů, čili řada ∑ 𝑛2 +1 , konverguje dle integrálního kritéria. Příští věta říká, že z absolutní konvergence vyplývá konvergence řady alternující, a nejen to. Vyplývá z ní konvergence jakékoliv řady, která má některé členy se záporným znaménkem (není třeba, aby se znaménka přímo střídala). VĚTA:
Každá absolutně konvergentní řada je konvergentní.
1
Např. řada ∑ 𝑛2 je řada s kladnými členy, která je konvergentní dle integrálního kritéria (zjistěte sami). Jelikož u řady s kladnými členy znamená konvergence totéž jako absolutní konvergence, můžeme ji považovat za absolutně konvergentní řadu. Z věty plyne, že tedy 1
1
alternující řady ∑(−1)𝑛 𝑛2 a ∑(−1)𝑛−1 𝑛2 konvergují též, a dále konvergují všechny řady, 1
které mají znaménko mínus u kterýchkoli členů řady ∑ 𝑛2 . 1
1
1
Např. tedy určitě konverguje řada 1 + 4 + 9 + 16 −
147
1 25
1
− 36 + ⋯
.
DEFINICE: NEABSOLUTNÍ KONVERGENCE
Nekonečná řada ∑ 𝑎𝑛 je neabsolutně konvergentní, jestliže řada ∑ 𝑎𝑛 je konvergentní a ∑|𝑎𝑛 | je divergentní. U řad s kladnými členy neabsolutní konvergence nastat nemůže, alternující řady mohou ale konvergovat neabsolutně. PŘÍKLAD: 1
𝑛+1 Ukažme, že řada ∑∞ konverguje neabsolutně. (Tato řada se nazývá Leibnizova 𝑛=1(−1) 𝑛
řada.) Daná řada splňuje podmínky Leibnizova kritéria – klesající posloupnost členů a lim 𝑎𝑛 = 0 . Tedy konverguje. Ale řada absolutních hodnot, neboli řada ∑∞ 𝑛=1
1 𝑛
je harmonická řada , o níž víme, že je
divergentní. 1
𝑛+1 Daná řada ∑∞ je tedy pouze neabsolutně konvergentní. 𝑛=1(−1) 𝑛
Slovo pouze bylo uvedeno proto, že absolutní konvergence znamená víc. Pokud je řada absolutně konvergentní, konvergují vlastně řady dvě; a to původní řada alternující, a dále řada absolutních hodnot jejích členů. U neabsolutní konvergence konverguje pouze alternující řada. PŘÍKLAD: 𝑛−1 Zjistěme typ konvergence řady ∑∞ 𝑛=1 (−1)
1 √𝑛
Řada je zcela jistě konvergentní dle Leibnizova kritéria. Zkoumejme řadu absolutních hodnot ∑∞ 𝑛=1 Je
1 √𝑛
1 √𝑛
.
>
1 𝑛
, a proto srovnáním s harmonickou řadou naše řada absolutních hodnot diverguje
𝑛−1 dle srovnávacího kritéria. Daná řada ∑∞ 𝑛=1 (−1)
1 √𝑛
konverguje neabsolutně.
PŘÍKLAD: 3
𝑛−1 Zjistěme typ konvergence řady ∑∞ 𝑛=1(−1) 𝑛2 3
Podle Leibnizova kritéria řada konverguje. Řada absolutních hodnot ∑∞ 𝑛=1 𝑛2 konverguje dle integrálního kritéria. Daná řada proto konverguje absolutně. 148
A nyní se vraťme k možnosti přerovnávání řad, kterou jsme použili v příkladu s geometrickou řadou na str.138. VĚTA: O PŘEROVNÁVÁNÍ ŘAD
Je-li nekonečná řada absolutně konvergentní, nemění se její součet žádným přerovnáním. Je-li řada neabsolutně konvergentní, můžeme vhodným přerovnáním dosáhnout toho, aby řada konvergovala k libovolnému předem zvolenému číslu, aby její součet byl +∞ či −∞, nebo aby oscilovala. Řady s kladnými členy tedy lze přerovnávat. U alternujících řad můžeme přerovnávat beze změny jejich součtu jen některé, a to ty, které jsou absolutně konvergentní. 1
1
1
1
1
1
Vezměme např. řadu −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − ⋯ , tedy řadu ∑(−1)𝑛 𝑛 , o níž víme, že je neabsolutně konvergentní. Přerovnáme ji tak, aby divergovala k +∞. Provedeme to takto: sečteme tolik kladných členů řady, aby jejich součet byl větší než číslo 1. (U nás je třeba sečíst první čtyři kladné členy). Potom odečteme první záporný člen. Přičítáme dále kladné členy, až součet přesáhne číslo 2. Odečteme druhý záporný člen, atd. Tímto způsobem dostaneme řadu, která zřejmě diverguje k +∞.
3.5.
FUNKČNÍ A MOCNINNÉ ŘADY
DEFINICE: POSLOUPNOST FUNKCÍ
Nechť 𝑥 ∈ 𝑅. Nekonečná posloupnost funkcí je posloupnost 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥), … , 𝑓𝑛 (𝑥), … , kde ke každému 𝑛 𝜖 𝑁 je přiřazena funkce 𝑓𝑛 (x) . Tato posloupnost je definována na průniku definičních oborů funkcí 𝑓𝑘 (𝑥), kde 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛, … DEFINICE: NEKONEČNÁ FUNKČNÍ ŘADA
Nechť {𝑓𝑛 (𝑥)} je nekonečná posloupnost funkcí. Potom součet 𝑓1 (𝑥) + 𝑓2 (𝑥) + ⋯ + 𝑓𝑛 (𝑥) + ⋯ nazýváme nekonečná funkční řada. Tato řada je v R definována na průniku definičních oborů všech 𝑓𝑘 (𝑥), 𝑘 =1, 2, …,𝑛,…. . Poznámka: Nekonečnou řadu lze definovat i na množině komplexních čísel 𝐶. Tím se zde nebudeme zabývat.
149
Funkční řada se nemusí chovat stejně ve všech bodech, kde je definována. Pro některá 𝑥 z definičního oboru může konvergovat a pro některá divergovat. 𝑛 2 3 𝑛 Vezměme si např. funkční řadu ∑∞ 𝑛=1 𝑥 , neboli řadu 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + ⋯ + 𝑥 + ⋯. Tato řada existuje pro všechna 𝑥 𝜖 𝑅.
Snadno nahlédneme, že daná řada je geometrická s kvocientem 𝑞 = 𝑥. Proto může konvergovat pouze pro |𝑞| < 1. Řada tedy konverguje pro 𝑥 𝜖 (−1,1). Pro ostatní reálná 𝑥 je řada divergentní. Lze ji též sečíst podle vzorce pro součet geometrické řady. Je 𝑆 =
𝑥 1−𝑥
. Tento vzorec lze použít
pro každé 𝑥 𝜖 (−1, 1). Pro ostatní 𝑥 řada součet nemá. Naopak lze říci, že funkce 𝑦 =
𝑥 1−𝑥
𝑛 je v intervalu (− 1, 1) reprezentována řadou ∑∞ 𝑛=1 𝑥 .
Funkční hodnoty je možno v tomto intervalu počítat pomocí řady s předem stanovenou přesností.
DEFINICE: OBOR KONVERGENCE
Mějme funkční řadu ∑ 𝑓𝑛 (𝑥). Množina všech reálných 𝑥, pro která řada konverguje, se nazývá obor konvergence funkční řady.
𝑛 Oborem konvergence řady ∑∞ 𝑛=1 𝑥 je otevřený interval (−1, 1).
Funkční řady lze vyšetřovat stejným způsobem jako číselné řady. Většinou vyšetřujeme absolutní konvergenci, tedy můžeme použít kritéria pro řady s kladnými členy. PŘÍKLAD: 𝑛+1
Vyšetřeme konvergenci funkční řady ∑∞ 𝑛=1 (𝑥−1)𝑛 . 𝑛+2
Vyšetřujme absolutní konvergenci podílovým kritériem. Je lim |(𝑥−1)𝑛+1 | ∙ lim
𝑛+2 𝑛+1
∙
1 |𝑥−1|
= 1∙ lim
1 |𝑥−1|
1
|(𝑥−1)𝑛 | 𝑛+1
= |𝑥−1| . Aby řada konvergovala, musí platit, že
=
1 |𝑥−1|
< 1, to
znamená |𝑥 − 1| > 1 . Řešením této nerovnice s absolutní hodnotou dostáváme, že x 𝜖 (−∞, 0) ∪ (2, +∞ ). V tomto sjednocení je řada konvergentní. Body 0 a 2, kdy je limita rovna jedné a podílové kritérium selhává, musíme vyšetřit zvlášť. Postupným dosazením
150
těchto dvou bodů do funkční řady dostaneme řady číselné, jejichž konvergenci umíme vyšetřit. Dosazením čísla 0 do funkční řady dostaneme alternující číselnou řadu ∑(−1)𝑛 (𝑛 + 1), která je divergentní podle Leibnizova kritéria (lim 𝑎𝑛 ≠ 0); dosazením čísla 2 do funkční řady dostáváme číselnou řadu s kladnými členy ∑(𝑛 + 1), která je divergentní (není splněna nutná podmínka konvergence). Obor konvergence dané funkční řady je tedy sjednocení otevřených intervalů Obor konvergence je tedy (−∞, 0) ∪ (2, +∞ ). Pro čísla mimo obor konvergence řada diverguje. Speciální případ funkční řady je řada mocninná. U mocninných řad je zvykem sčítat od 𝑛 = 0.
DEFINICE: MOCNINNÁ ŘADA
Nechť 𝑥 𝜖 𝑅. Funkční řada tvaru ∑ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)𝑛 se nazývá mocninná řada, číslo 𝑐 𝜖 𝑅 se nazývá střed řady, 𝑎𝑛 jsou koeficienty řady.
VĚTA: O KONVERGENCI MOCNINNÉ ŘADY
Mějme mocninnou řadu ∑ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑐)𝑛 . Pak existuje 𝑟 𝜖 ⟨0, ∞) tak, že řada konverguje pro všechna reálná čísla x pkro která je |𝑥 − 𝑐| < 𝑟 , a diverguje pro všechna reálná 𝑥, pro která je |𝑥 − 𝑐| > 𝑟. V bodech, kde je |𝑥 − 𝑐| = 𝑟 řada konvergovat může a nemusí. Číslo r se nazývá poloměr konvergence mocninné řady. a) je-li 𝑟 = 0, konverguje řada pouze ve svém středu 𝑐, b) je-li 𝑟 = ∞, řada konverguje pro všechna 𝑥 𝜖 𝑅, c) je-li 𝑟 𝜖 ⟨0, +∞) , řada konverguje pro reálná 𝑥 splňující |𝑥 − 𝑐| < 𝑟 , a to absolutně. Poloměr konvergence lze zjišťovat buď tak, že vyšetřujeme obvyklým způsobem absolutní konvergenci s použitím známých kritérií, nebo můžeme použít dále uvedených vzorců. V každém případě je třeba v bodech c ± 𝑟, o kterých věta nehovoří, vyšetřit konvergenci zvlášť - dosazením a vyšetřením příslušné číselné řady.
151
VĚTA: POLOMĚR KONVERGENCE
Poloměr konvergence lze určit pomocí jedné z následujících limit pro 𝑛 → +∞ , pokud příslušná limita existuje : 𝑎𝑛
𝑟 = lim |𝑎
𝑛+1
|
nebo 𝑟 = lim | 𝑛
1
√𝑎𝑛
| .
PŘÍKLAD:
Vyšetřujme konvergenci mocninné řady ∑∞ 𝑛=0
1 𝑛∙2𝑛
(𝑥 + 2)𝑛 .
1
Střed této řady je c = − 2 . |𝑎𝑛 | = 𝑛∙2𝑛 . Použijme první ze vzorců, a dostáváme 𝑟 = lim
𝑛+1 𝑛
∙ 2 = 2 . Poloměr konvergence je tedy r = 2, a řada konverguje ve vnitřních
bodech intervalu (−4, 0) . Krajní body intervalu je třeba vyšetřit zvlášť. 1
Dosaďme do řady 𝑥 = 0 . Dostáváme číselnou řadu ∑∞ 𝑛=0 𝑛 , což je divergentní harmonická řada. Dosaďme do řady 𝑥 =− 4. Dostáváme číselnou řadu ∑∞ 𝑛=0
(−1)𝑛 𝑛
, která konverguje dle
Leibnizova kritéria. Daná mocninná řada
𝑛 ∑∞ 𝑛=0 (−1)
(𝑥−3)𝑛 𝑛+1
proto konverguje v polouzavřeném intervalu
⟨−4, 0) , ilustrace poloměru konvergence je na obrázku č. 45 . V bodě 𝑥 = −4 je konvergence neabsolutní, všude jinde absolutní.
Obrázek 45
152
PŘÍKLAD: 𝑛 Vyšetřeme konvergenci mocninné řady ∑∞ 𝑛=0 𝑛! (𝑥 + 1) .
Střed řady je c = −1 . Opět použijeme první ze vzorců a je lim
𝑛! (𝑛+1)!
= lim
1 𝑛+1
=0
Poloměr konvergence je 𝑟 = 0 . Řada konverguje pouze ve svém středu. PŘÍKLAD:
Vyšetřeme konvergenci řady ∑∞ 𝑛=0
5𝑛 (𝑛+1)!
𝑥𝑛 .
Střed c = 0. Podle prvního ze vzorců je lim
5𝑛 (𝑛+1)!
∙
(𝑛+2)! 5𝑛+1
= lim
𝑛+2 5
= +∞ . Řada tedy
konverguje pro všechna 𝑥 𝜖 𝑅 .
Poznámka: Mocninné řady lze derivováním nebo integrací někdy převádět na geometrické řady, a poté sčítat s využitím vzorce pro součet geometrické řady. Výraz pro součet mocninné řady potom představuje vzorec pro součty číselných řad po dosazení jakéhokoli 𝑥 ležícího v oboru konvergence mocninné řady. Na začátku této podkapitoly jsme viděli, že funkce může být reprezentována mocninnou řadou v oboru konvergence této mocninné řady. My již důležité příklady této vlastnosti známe. Stačí si uvědomit, že Taylorova řada ∑∞ 𝑛=0
𝑓 (𝑛) (𝑐) 𝑛!
(𝑥 − 𝑐)𝑛 , o níž jsme hovořili
v Matematice 1, je mocninná řada se středem v bodě 𝑐 a s koeficienty
𝑓 (𝑛) (𝑐) 𝑛!
. Na základě
této řady byly uvedeny reprezentace funkcí 𝑒 𝑥 , sin 𝑥, cos 𝑥 a dalších. Jak se tyto reprezentace využívají, bylo uvedeno v Matematice 1.
153
3.6.
CVIČENÍ
1. Napište prvních 5 členů řad sin 𝑛∙
𝜋
2 ∞ a) ∑∞ 𝑛=1 cos 𝑛𝜋 ; b) ∑𝑛=1
2𝑛+1 ; 𝑛+2
𝑛 c) ∑∞ 𝑛=1 (−1) 5
7
1 𝑛2 9
[a) − 1 + 0 + 1 + 0 − 1 … ; b) 1 + 4 + 5 + 6 +
11 7
1 4
1 9
+ ⋯ ; c) − 1 + − +
1 1 − + 16 25
⋯ ]
2. Je dán 𝑛-tý částečný součet 𝑆𝑛 . Je řada konvergentní nebo divergentní? a) 𝑆𝑛 =
𝑛2 +1 𝑛+2
; b) 𝑆𝑛 = (−1)𝑛 ∙ 𝑛 ; c) 𝑆𝑛 =
3𝑛+2 𝑛2 +1
;
3
d) 𝑆𝑛 = 1 − 𝑛2 ;
[a) divergentní; b) divergentní ; c) konvergentní ; d) konvergentní]
3. Zjistěte, zda je splněna nutná podmínka konvergence řady 1
𝑛
b) ∑ 2𝑛+1 ;
a) ∑ 1+𝑛2 ;
c) ∑ ln 𝑛 ; [a) je ; b) není ; c) není ]
4. Najděte sumační vzorec, je-li dán 𝑛-tý částečný součet řady a) 𝑆𝑛 = 1 −
1 2𝑛
; b) 𝑆𝑛 =
(−1)𝑛 𝑛
; ∞
∞
𝑛=1
𝑛=2
1 2𝑛 − 1 ;] [a) ∑ 𝑛 ; b) ∑ 2 𝑛(𝑛 − 1)
5. Zjistěte, zda následující geometrické řady konvergují, a pokud ano, sečtěte je 2 𝑛
5 𝑛
∞ 𝑛 a) ∑∞ 𝑛=1 (3) ; b) ∑𝑛=1 (−1) (4)
; c) 1 − 0,1 + 0,01 − 0,001 + 0,0001 − ⋯
[a) konverguje, 𝑆 = 2 ; b) diverguje ; c) konverguje, 𝑆 =
10 ] 11
6. S použitím vhodného kritéria konvergence zjistěte, zda konvergují řady s nezápornými členy a) ∑∞ 𝑛=1
3𝑛+1 2𝑛
; b) ∑∞ 𝑛=2
1 𝑛 𝑙𝑛2 𝑛
; c) ∑∞ 𝑛=1
3𝑛 𝑛2 +4
∞ 𝑛 ; d) ∑∞ 𝑛=1 arctg 𝑛 ; e) ∑𝑛=1
𝑎rctg 𝑛 1+𝑛2
;
[a) konv. (podílové k. ); b) konv. (srovnávací a integrální k. ; c)div. ; d) div. ; e) konv. (integrální k. )]
154
7. S použitím vhodného kritéria rozhodněte o konvergenci řad a) ∑∞ 𝑛=1
𝑛𝑛 10𝑛
; b) ∑∞ 𝑛=2
1 (ln 𝑛)𝑛
1
∞ ; c) ∑∞ 𝑛=1 5 𝑛 ; d) ∑𝑛=1
3𝑛2 +1 𝑛3 +2
; e) ∑∞ 𝑛=1
10𝑛 𝑛!
;
[a) div. ; b) konv. (odmocninové k. ); c) div. ; d) div. (srovnávací a integrální k. ); e) konv. (podílové k. ) ]
8. Zjistěte, zda konvergují alternující řady, a pokud ano, určete, jestli konvergují absolutně nebo neabsolutně 𝑛 a) ∑∞ 𝑛=2 (−1)
1 𝑛√ln 𝑛
𝑛 −𝑛 𝑛 ; b) ∑∞ ; c) ∑∞ 𝑛=1 (−1) 𝑒 𝑛=1 (−1)
5 𝑛2 +1
𝑛+1 𝑛 ; d) ∑∞ √𝑛 ; 𝑛=1 (−1)
[a) konv. neabsolutně; b) konv. absolutně; c) konv. absolutně; d) div. ]
9. Rozhodněte o konvergenci alternující řady, případně o typu konvergence 𝑛−1 a) ∑∞ 𝑛=1 (−1)
2𝑛 4𝑛2 −3
𝑛−1 ; b) ∑∞ 𝑛=1(−1)
𝑛 4𝑛+5
𝑛 ; c) ∑∞ 𝑛=1(−1)
ln 𝑛 𝑛
𝑛
𝑛+1 ; d) ∑∞ ; 𝑛=2(−1) ln 𝑛
[a)konv. neabsolutně; b) div. ; c) konv. neabsolutně; d) div. ]
10. S jakou chybou lze určit přibližně součet řady pomocí součtu prvních 10 členů 1
∞ 𝑛−1 a) ∑∞ 𝑛=1 𝑛2 +1 ; b) ∑𝑛=1(−1)
1 𝑛2 +1
; [a) 𝑆 = 0,67 ± 0,1 ; b) 𝑆 = 0,36 ± 0,09]
11. Najděte poloměr konvergence mocninné řady a její obor konvergence a) ∑∞ 𝑛=1
𝑛 𝑛2 +1
𝑥 𝑛 ; b) ∑∞ 𝑛=1
1 (𝑥 𝑛5𝑛
− 2)𝑛 ; c) ∑∞ 𝑛=0
𝑛+1 (𝑥 10𝑛
ln 𝑛 (𝑥 − 𝑒)𝑛 ; 𝑒𝑛 1 𝑛 ∑∞ 𝑛=0 2𝑛+1 (𝑥 + 3)
− 4)𝑛 ; d) ∑∞ 𝑛=1 e)
[a) 𝑟 = 1, ⟨−1, 1) ; b) 𝑟 = 5, ⟨−3, 7) ; c) 𝑟 = 10, (−6,10) ; d) 𝑟 = 𝑒, (0,2𝑒) ; e) 𝑟 = 1, ⟨−4, −2) ]
155
4. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 4.1.
ZÁKLADNÍ POJMY
Diferenciální rovnice je rovnice, v níž je neznámou funkce. V rovnici vystupují derivace této neznámé funkce až do řádu 𝑛, (nebo její diferenciály), samotná neznámá funkce, a její argument. Pokud je neznámá funkce funkcí více proměnných a derivace jsou parciální, hovoříme o parciální diferenciální rovnici, pokud je neznámá funkce funkcí jedné proměnné a derivace jsou obyčejné, jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici. My se budeme zabývat nadále pouze obyčejnými diferenciálními rovnicemi a slovo obyčejná budeme v názvu vynechávat. Oblast zkoumání a řešení diferenciálních rovnic je velmi rozsáhlá, diferenciálních rovnic je mnoho různých typů a studují se též soustavy rovnic. Tato kapitola budiž pouze úvodem k této důležité partii matematiky.
DEFINICE: POJEM DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
Diferenciální rovnice je vztah mezi nezávisle proměnnou 𝑥, hledanou funkcí 𝑦 = 𝑓(𝑥), a jejími derivacemi. Její obecný tvar je 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦´, 𝑦´´, … , 𝑦 (𝑛) ) = 0, (tak zvaný implicitní tvar), kde 𝐹 je funkce (𝑛+2) proměnných definovaná v oblasti 𝐷 ⊂ 𝑅 𝑛+2 . Řád diferenciální rovnice je řád nejvyšší derivace, která se v rovnici vyskytuje. Řešením diferenciální rovnice pro 𝒙𝝐 𝐽 je každá funkce 𝑦 = 𝑓(𝑥) definovaná na intervalu 𝐽, (může být i v implicitním tvaru), mající derivace až do řádu 𝑛 v každém bodě intervalu 𝐽, po jejímž dosazení včetně jejích příslušných derivací přejde v intervalu 𝐽 rovnice 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦´, … 𝑦 (𝑛) ) = 0 v identitu. Řešit rovnici znamená najít všechna její řešení. Grafy jednotlivých řešení diferenciální rovnice se nazývají integrální křivky. Uvažujme např. rovnici 𝑦´´ − 5 = 0 . To znamená, že 𝑦´´ = 5, a tuto rovnici dokážeme vyřešit velmi snadno dvojí integrací. Je 𝑦´ = ∫ 5 𝑑𝑥 = 5𝑥 + 𝐶1 , a dále je
𝑦 = ∫(5𝑥 + 𝐶1 )𝑑𝑥 =
5𝑥 2 2
+ 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 .
Řešením naší diferenciální rovnice je tedy každá funkce tvaru 𝑦 =
5𝑥 2 2
+ 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 ,
𝑥 ∈ 𝑅, pro libovolné navzájem nezávislé konstanty 𝐶1 , 𝐶2 𝜖 𝑅. Na tomto příkladu je názorně vidět, že pokud bude diferenciální rovnice řešitelná, pak je počet nezávislých libovolných konstant v řešení rovnice roven řádu rovnice. Takže v řešení rovnice 1.řádu bude vystupovat jedna libovolná konstanta, v řešení rovnice 2.řádu dvě libovolné nezávislé konstanty, atd. Odtud vyplývá, že každá řešitelná diferenciální rovnice má nekonečně mnoho řešení. Chceme-li z nich vybrat konkrétní řešení, musíme pro ně zadat 156
podmínku, (případně více podmínek), např. že řešení má procházet konkrétním bodem v rovině. Takové podmínky se nazývají počáteční podmínky. Počátečních podmínek musí být tolik, kolik je neurčitých konstant. Kromě počátečních podmínek lze zadat i tak zvané okrajové podmínky, jimiž může též být konkrétní řešení určeno. Okrajovými podmínkami se zde nebudeme zabývat. DEFINICE: OBECNÉ A PARTIKULÁRNÍ ŘEŠENÍ, POČÁTEČNÍ PODMÍNKY
Řešení diferenciální rovnice 𝑛-tého řádu, 𝑛 = 1, 2, …, obsahuje 𝑛 neurčitých na sobě nezávislých konstant a nazývá se obecné řešení diferenciální rovnice. Počáteční podmínky určují na základě obecného řešení partikulární řešení diferenciální rovnice příslušné k daným počátečním podmínkám. Počáteční podmínky jsou tvaru 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , 𝑦´(𝑥0 ) = 𝑦1 , 𝑦´´(𝑥0 ) = 𝑦2 , … , 𝑦 (𝑛−1) (𝑥0 ) = 𝑦𝑛−1 . Počáteční podmínky nám tedy udávají, jaká je v jednom určitém bodě 𝑥0 hodnota funkce a všech jejích derivací až do řádu (𝑛 − 1). Partikulární řešení jsou obsažena v obecném řešení pro konkrétní volbu konstant. Někdy se však stává, že rovnice má ještě další řešení, které není v obecném řešení obsaženo pro žádnou volbu konstant. Takové řešení se nazývá singulární řešení . PŘÍKLAD :
Přesvědčme se : a) že funkce 𝑦 = (𝑥 + 𝐶)2 je obecným řešením diferenciální rovnice 𝑦´ = 2√𝑦 pro 𝑥 ≥ −𝐶 , 𝐶 ∈ 𝑅. b) že rovnice má v intervalu 𝑥 ≥ −𝐶 singulární řešení tvaru 𝑦 = 0 c) najděme partikulární řešení, které splňuje počáteční podmínku 𝑦(1) = 4 d) nakresleme integrální křivky dané rovnice a) Obecné řešení musí po derivování a dosazení do rovnice vytvořit identitu. Derivujme obecné řešení. Dostáváme 𝑦´ = 2(𝑥 + 𝐶) . Dosaďme do rovnice za 𝑦´ a za 𝑦 . Je 2(x + C) = 2√(𝑥 + 𝐶)2 = 2|𝑥 + 𝐶| = 2(𝑥 + 𝐶) pro 𝑥 ≥ −𝐶. Dostáváme tedy identitu. b) Dále dosaďme do rovnice y = 0. Vidíme, že 0 = 0, funkce y = 0 je tedy též řešením rovnice. Na intervalu (−∞, −𝐶) je jediným řešením rovnice. Ale na intervalu (−𝐶, +∞) ať volíme v obecném řešení konstantu jakkoliv, nikdy nedostaneme rovnici y = 0 , vždy tam zůstává proměnná 𝑥 . V bodech osy 𝑥 existují tedy řešení dvě. Řešení 𝑦 = 0, které není obsaženo v obecném řešení se nazývá singulární řešení. 157
c) Dosaďme do obecného řešení z počáteční podmínky 𝑥 = 1, 𝑦 = 2 . Dostáváme rovnici pro konstantu 𝐶. Má být 4 = (1 + 𝐶)2 . Odtud máme |1 + 𝐶| = 2 a následně je C = 1 , nebo C = −3, přičemž má platit 1 ≥ −𝐶, tedy 𝐶 ≥ −1. Podmínce vyhovuje pouze 𝐶 = 1 . Partikulární řešení je proto funkce 𝑦 = (𝑥 + 1)2 , 𝑥 ≥ −1. 𝑥 = −1.
Na obrázku č. 46 je to křivka, která se dotýká osy 𝑥 v bodě
d) Integrální křivky pro několik různých konstant 𝐶 jsou na obrázku č. 46. Jedná se o pravé poloviny parabol s vrcholy na ose 𝑥. Dalším řešením je osa 𝑥, která na intervalu (−𝐶, +∞) představuje singulární řešení. Je totiž takovou integrální křivkou , v jejímž libovolném bodě z intervalu (−𝐶, +∞) řešení nejsou lokálně jednoznačně určena počáteční podmínkou předepsanou libovolným z jejích bodů.
Obrázek 46: Integrální křivky rovnice 𝒚´
= 𝟐√𝒚
PŘÍKLAD :
Přesvědčme se, že diferenciální rovnice 𝑦´´ − 25𝑦 = 0 má obecné řešení tvaru 𝑦 = 𝐶1 𝑒 5𝑥 + 𝐶2 𝑒 −5𝑥 a najděme partikulární řešení, které vyhovuje počátečním podmínkám 𝑦(0) = 3 , 𝑦´(0) = 5 . Derivujme dvakrát obecné řešení. Je 𝑦´ = 5𝐶1 𝑒 5𝑥 − 5𝐶2 𝑒 −5𝑥 a 𝑦´´ = 25𝐶1 𝑒 5𝑥 + 25𝐶2 𝑒 −5𝑥 . Dosaďme vypočtené derivace do diferenciální rovnice. Dostáváme
158
(25𝐶1 𝑒 5𝑥 + 25𝐶2 𝑒 −5𝑥 ) − 25(𝐶1 𝑒 5𝑥 + 𝐶2 𝑒 −5𝑥 ) = 0 a po úpravě dostaneme 0 = 0. Uvedená funkce je tedy skutečně obecným řešením dané rovnice. Nyní dosadíme první ze dvou počátečních podmínek do obecného řešení, druhou počáteční podmínku do derivace tohoto řešení. Dostáváme soustavu rovnic 𝐶1 + 𝐶2 = 3 a 5𝐶1 − 5𝐶2 = 5 . Odtud snadno dostáváme, že 𝐶1 = 2 𝑎 𝐶2 = 1. Partikulárním řešením příslušným k počátečním podmínkám je funkce 𝑦 = 2𝑒 5𝑥 + 𝑒 −5𝑥 . PŘÍKLAD :
Najděme diferenciální rovnici soustavy křivek 𝑦 = 𝐶𝑥 3 . Obecnou funkci 𝑦 = 𝐶𝑥 3 derivujeme, dostáváme 𝑦´ = 3𝐶𝑥 2 . Potřebujeme vyloučit konstantu 𝐶, proto ji vypočítáme jak z funkce, tak z derivace, a výsledky porovnáme. Je 𝐶 =
𝑦 𝑥3
, a též 𝐶 =
𝑦´ 3𝑥 2
. To znamená, že je
𝑦 𝑥3
=
𝑦´ 3𝑥 2
, a po úpravě je 𝑥𝑦´ − 3𝑦 = 0 , což
je hledaná diferenciální rovnice.
4.2.
EXISTENCE A JEDNOZNAČNOST ŘEŠENÍ U DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU
Základní otázkou teorie diferenciálních rovnic je problém, za jakých předpokladů je daná diferenciální rovnice řešitelná, a za jakých dalších podmínek je řešení v konkrétním bodě jednoznačné. Tento problém je velmi důležitý i v aplikacích diferenciálních rovnic. Uveďme si větu, která na tuto otázku odpovídá. Omezme se na diferenciální rovnici 1.řádu v explicitním tvaru 𝑦´ = 𝐹(𝑥, 𝑦) s počáteční podmínkou y(𝑥0 ) = 𝑦0 . Tato úloha je jednou z nejdůležitějších úloh teorie diferenciálních rovnic a nazývá se počáteční úloha nebo též Cauchyova8 úloha. VĚTA: O LOKÁLNÍ EXISTENCI A JEDNOZNAČNOSTI ŘEŠENÍ ROVNICE 𝑦´ = 𝐹(𝑥, 𝑦):
Nechť funkce F(𝑥, 𝑦) je spojitá v okolí bodu [𝑥0 , 𝑦0 ]. Potom existuje alespoň jedno řešení 𝑦 = 𝑓(𝑥) spojité v okolí bodu 𝑥0 splňující počáteční podmínku 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 . Jestliže navíc má funkce 𝐹(𝑥, 𝑦) v okolí bodu [𝑥0 , 𝑦0 ] spojitou parciální derivaci f´𝑦 podle proměnné 𝑦, pak existuje právě jedno takové řešení splňující počáteční podmínku 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 . Geometrická interpretace uvedené věty spočívá v tom, že pokud je funkce 𝐹(𝑥, 𝑦) spojitá v nějaké oblasti ℬ, pak každým bodem této oblasti prochází alespoň jedna integrální křivka diferenciální rovnice 𝑦´ = 𝐹(𝑥, 𝑦). Pokud je navíc splněna podmínka spojitosti parciální 8
A.L. Cauchy (1789-1857) byl francouzský matematik, který se zabýval oblastí matematické analýzy a komplexní analýzy. 159
derivace funkce 𝐹 podle proměnné 𝑦, prochází každým bodem oblasti ℬ právě jedna integrální křivka rovnice 𝑦´ = 𝐹(𝑥, 𝑦) . Nyní se vraťme k příkladu z podkapitoly 4.1. Pracovali jsme s rovnicí 𝑦´ = 2√𝑦 . Je tedy funkce 𝐹(𝑥, 𝑦) = 2√𝑦 . Tato funkce je spojitá ve svém definičním oboru, kterým je horní polorovina nad osou 𝑥 včetně samotné osy 𝑥. Proto v každém bodě této poloroviny má rovnice alespoň jedno řešení. Právě jedno řešení má ve vnitřních bodech této poloroviny, kde je parciální derivace 𝐹´𝑦 ≠ 0. Je 𝐹´𝑦 =
1 √𝑦
. Na hranici, kterou je osa 𝑥, není parciální
derivace definována, neboť jmenovatel je roven nule. Na části osy 𝑥, na intervalu(−𝐶, +∞), je tedy porušena podmínka jednoznačnosti řešení. Na obrázku 46 můžeme vidět, že v každém bodě osy 𝑥 existují na intervalu (−𝐶, +∞) řešení dvě. Jedno získáme z obecného řešení, druhé je singulární řešení 𝑦 = 0 na (−𝐶, +∞).
4.3.
DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU ŘEŠITELNÁ SEPARACÍ PROMĚNNÝCH
Separací proměnných (neboli vlastně oddělením proměnných) lze řešit takovou rovnici 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦´) = 0 , kterou lze algebraickými úpravami převést na tvar 𝑦´ = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑦) . Poté můžeme za 𝑦´ dosadit podíl diferenciálů
𝑑𝑦 𝑑𝑥
a převést rovnici na tvar
𝑑𝑦 ℎ(𝑦)
= 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 , a tím
separujeme výrazy s proměnnou 𝑦 na levou stranu rovnice a výrazy s proměnnou 𝑥 na pravou stranu rovnice. Dále řešíme integrací obou stran rovnice. Shrňme si postup výpočtu do jednotlivých bodů: a) odstraníme součet nebo rozdíl, pokud se v rovnici vyskytuje b) za 𝑦´ dosadíme zlomek
𝑑𝑦 𝑑𝑥
a celou rovnici vynásobíme výrazem 𝑑𝑥
c) Převedeme výrazy obsahující 𝑦 na levou stranu rovnice pomocí násobení nebo dělení, a podobně výrazy obsahující 𝑥 převedeme na pravou stranu rovnice d) obě strany rovnice integrujeme e) vyjádříme z rovnice 𝑦, pokud není vhodnější ponechat výslednou funkci v implicitním tvaru. PŘÍKLAD :
Řešme diferenciální rovnici 𝑦´ = −2𝑥 a najděme partikulární řešení příslušné k počáteční podmínce 𝑦(1) = 2 .
160
𝑑𝑦
Přepíšeme si rovnici takto:
𝑑𝑥
= −2𝑥 , a tedy 𝑑𝑦 = −2𝑥 𝑑𝑥 . Proměnné jsou separovány.
Integrujeme obě strany rovnice. Integrační konstantu stačí napsat pouze jednu, neboť je libovolná. Píšeme ji na pravou stranu k proměnné 𝑥 . Je ∫ 𝑑𝑦 = ∫ −2𝑥𝑑𝑥 , a dále je 𝑦 = −𝑥 2 + 𝐶 , což je obecné řešení rovnice. Řešením jsou tedy kvadratické funkce. Nyní vypočítáme partikulární řešení. Do obecného řešení dosadíme počáteční podmínku a je 2 = −12 + 𝐶 , a odtud je 𝐶 = 3. Hledaným partikulárním řešením je funkce 𝑦 = 3 − 𝑥 2 . Grafy integrálních křivek jsou na obrázku 47, červená integrální křivka je grafem hledaného partikulárního řešení.
Obrázek 47: Integrální křivky rovnice 𝒚´
= −𝟐𝒙
PŘÍKLAD:
Řešme diferenciální rovnici 𝑦´ = Přepíšeme rovnici na tvar
𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑦 𝑥
𝑦
= 𝑥 a vynásobíme rovnici výrazem 𝑑𝑥. Dostáváme 𝑑𝑦 =
𝑦 𝑥
𝑑𝑥
Nyní je třeba vydělit rovnici výrazem 𝑦 (přepokládejme tedy, že 𝑦 ≠ 0). Dostaneme 𝑑𝑦 𝑦
=
𝑑𝑥 𝑥
. Proměnné jsou separovány a můžeme rovnici integrovat. Je ∫
dostáváme ln |𝑦| = ln |𝑥| + 𝐶 .
161
𝑑𝑦 𝑦
= ∫
𝑑𝑥 𝑥
, a odtud
Toto je výhodné zapsat jako ln|𝑦| = ln|𝑥| + ln|𝐶| pro 𝐶 ≠ 0 kvůli snadnému odlogaritmování. (Proti libovolnosti konstanty jsme se tak „provinili“ pouze tím, že jsme vynechali 𝐶 = 0, neboť logaritmus není v bodě 0 definován). Po odlogaritmování dostáváme |𝑦| = |𝐶𝑥|. Vzhledem k tomu, že konstanta 𝐶 je libovolná, můžeme psát 𝑦 = 𝐶𝑥 (znaménko ±, které vznikne při odstraňování absolutní hodnoty zmizí v libovolnosti konstanty). Řešením rovnice jsou funkce 𝑦 = 𝐶𝑥 , integrální křivky jsou přímky procházející počátkem s různými směrnicemi. Při výpočtu jsme vynechali funkci 𝑦 = 0. Dosazením se snadno přesvědčíme, že rovnici vyhovuje též. Není singulárním řešením, neporušuje podmínku jednoznačnosti řešení v 𝑅 a je obsažena v obecném řešení při volbě konstanty 𝐶 = 0, kterou jsme z početních důvodů vynechali a která patří k původně vynechanému řešení.
PŘÍKLAD:
Řešme diferenciální rovnice 𝑦´𝑦 = ±𝑥 Jedná se o dvě rovnice. Opět je přepišme jako
𝑑𝑦 𝑑𝑥
∙ 𝑦 = ±𝑥 , a násobme výrazem 𝑑𝑥.
Dostáváme 𝑦 𝑑𝑦 = ±𝑥 𝑑𝑥. Je separováno, můžeme integrovat. Dostáváme
𝑦2 2
=±
𝑥2 2
+𝐶
a po vynásobení poslední rovnice číslem 2 je 𝑦 2 = ±𝑥 2 + 𝐶 . Ponechme řešení v implicitním tvaru 𝑥 2 ± 𝑦 2 = 𝐶. Tak postupujeme v případě, jedná-li se nám spíše o integrální křivky nežli přímo o funkce, které jsou řešením rovnice. Okamžitě vidíme, že v případě rovnice 𝑦´𝑦 = −𝑥 jsou integrálními křivkami pro 𝐶 > 0 soustředné kružnice se středem v počátku, pro 𝐶 = 0 je řešením počátek soustavy souřadnic, pro 𝐶 < 0 nemá výsledný vztah smysl. V případě rovnice 𝑦´𝑦 = 𝑥 jsou pro 𝐶 ≠ 0 integrálními křivkami hyperboly se středem v počátku. Pro 𝐶 = 0 dostáváme osy 1. a 3. kvadrantu, viz obrázek č. 48. Osa 𝑥 k řešení nepatří s výjimkou počátku soustavy souřadnic.
162
. Obrázek 48: Integrální křivky rovnic 𝒚´𝒚 = ±𝒙
PŘÍKLAD:
Řešme diferenciální rovnici 𝑦´ = 𝑦 𝑑𝑦
Rovnici přepíšeme jako 𝑑𝑥 = 𝑦 , a vynásobíme výrazem 𝑑𝑥. Je pak 𝑑𝑦 = 𝑦 𝑑𝑥 , a dále je 𝑑𝑦 𝑦
= 𝑑𝑥 𝑝𝑟𝑜 𝑦 ≠ 0 . Integrujeme a dostáváme ln|𝑦| = 𝑥 + 𝐶, a po odlogaritmování
|𝑦| = 𝑒 𝑥+𝐶 To je výhodné zapsat jako |𝑦| = 𝑒 𝑥 𝑒 𝐶 neboli lze psát |𝑦| = 𝐶𝑒 𝑥 ,(kde konstanta 𝑒 𝐶 byla opět označena 𝐶). Nyní již můžeme odstranit absolutní hodnotu, aniž bychom měli v řešení znaménka ± , což by vlastně představovalo řešení dvou různých tvarů, neboť konstanta 𝐶 může být libovolná, tedy kladná i záporná. Výsledné obecné řešení rovnice je tedy 𝑦 = 𝐶𝑒 𝑥 a integrální křivky jsou exponenciální funkce. Snadno se přesvědčíme dosazením do rovnice, že funkce 𝑦 = 0, (osa 𝑥) kterou jsme vynechali kvůli dělení, je též řešením. Dostaneme ji volbou konstanty 𝐶 = 0. Integrální křivky vidíme na obrázku 49.
Obrázek 49: Integrální křivky rovnice 𝒚´ = 𝒚
163
PŘÍKLAD :
Řešme diferenciální rovnici (1 + 2𝑦)𝑥 𝑑𝑥 + (1 + 𝑥 2 )𝑑𝑦 = 0 Rovnice je v tak zvaném diferenciálovém tvaru. Odstraníme součet a budeme separovat 1
proměnné. Je (1 + 𝑥 2 )𝑑𝑦 = −(1 + 2𝑦)𝑥 𝑑𝑥 , a dále je, (pro 𝑦 ≠ − 2), Můžeme integrovat a dostaneme
1 2
𝑑𝑦 1+2𝑦
=−
𝑥𝑑𝑥 1+𝑥 2
.
1
ln|1 + 2𝑦| = − 2 ln(1 + 𝑥 2 ) + ln|𝐶| , kde 𝐶 ≠ 0. Po
vynásobení dvěma je ln(1 + 2𝑦 ) = − ln(1 + 𝑥 2 ) + ln|𝐶 2 | . Ale 𝐶 2 je opět konstanta – lze tedy psát pouze 𝐶. Po odlogaritmování dostáváme 1+2𝑦 = 1
𝐶 1+𝑥 2
, a nakonec 𝑦 =
𝐶 1+𝑥 2
−
1 2
Vyloučená funkce 𝑦 = − 2 je též řešením, (zkontrolujte dosazením do dané rovnice), tedy konstanta 𝐶 může být též rovna nule. PŘÍKLAD :
Řešme diferenciální rovnici (1 + 𝑦 2 ) + (1 + 𝑥 2 )𝑦´ = 0 s počáteční podmínkou 𝑦(0) = 1 Odstraňme součet. Je (1 + 𝑥 2 ) 𝑦´ = −(1 + 𝑦 2 ). Dále nahraďme 𝑦´ a vynásobme výrazem 𝑑𝑥. Dostáváme (1 + 𝑥 2 ) 𝑑𝑦 = −(1 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 . Separujme pomocí dělení. Je
𝑑𝑦 1+𝑦 2
= −
𝑑𝑥 1+𝑥 2
.
Nyní můžeme obě strany rovnice integrovat. Dostáváme arctg 𝑦 = −arctg 𝑥 + C . To je obecné řešení v implicitním tvaru. Dosaďme počáteční podmínku a dostáváme arctg 1 = −arctg 0 + 𝐶 . Odtud máme 𝐶 =
𝜋 4
.
𝜋
Je tedy arctg 𝑦 = −arctg 𝑥 + 4 , a dále je s použitím inverzní funkce 𝑦 = tg (−arctg 𝑥 +
𝜋 4
funkce dostáváme 𝑦 =
). S použitím vzorce tg(𝛼 − 𝛽) = 𝜋 4
tg −𝑥 1+𝑥∙tg
𝜋 4
, neboli 𝑦 =
1−𝑥 1+𝑥
tg 𝛼−tg 𝛽 1+tg 𝛼∙tg 𝛽
a vlastností inverzní
, což je jak víme lineární lomená funkce.
Obecné řešení pak stejným způsobem můžeme převést do tvaru 𝑦 =
𝑘−𝑥 1+𝑘𝑥
.
Integrálními křivkami jsou tedy rovnoosé hyperboly. PŘÍKLAD : 𝜋
Řešme Cauchyovu úlohu 𝑥𝑦´ = (1 + 𝑦 2 )arctg 𝑦 , 𝑦 ( 4 ) = 1 𝑑𝑦
Rovnici upravíme na tvar 𝑥 𝑑𝑥 = (1 + 𝑦 2 )arctg 𝑦 a separujeme. Dostaneme 𝑑𝑦 (1+𝑦 2 )arctg 𝑦
=
𝑑𝑥 𝑥
pro 𝑦 ≠ 0 , a integrujeme obě strany rovnice.
164
𝑑𝑦
Je ∫ (1+𝑦 2 )arctg 𝑦 = ln|arctg 𝑦| + 𝐶 (substitucí za arctg 𝑦), dostáváme tedy rovnici ln|arctg 𝑦| = ln|𝑥| + ln|𝐶| a po odlogritmování je arctg 𝑦 = 𝐶𝑥 , neboli 𝑦 = tg 𝐶𝑥 . Dosazením do dané rovnice se přesvědčíme, že osa 𝑦 = 0, kterou jsme z početních důvodů vynechali, je též řešením rovnice. Dostaneme ji volbou konstanty 𝐶 = 0 , není tedy singulárním řešením. 𝜋
Dosaďme nyní počáteční podmínku – raději do implicitního tvaru funkce: arctg 1 = 𝐶 4 , tedy 𝜋 4
𝜋
= 𝐶 4 , a odsud je 𝐶 = 1 . Partikulární řešení příslušné k dané počáteční podmínce je
funkce 𝑦 = tg 𝑥 .
Poznámka: Někdy lze převést diferenciální rovnici na separovatelnou rovnici pomocí vhodné substituce. 𝒚
Ukažme si tento postup na rovnici tvaru 𝒚´ = 𝑓( 𝒙 ) , na niž se užívá substituce 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑧(𝑥) , (neboli 𝑧(𝑥) =
𝑦 𝑥
)
potom je 𝑦´ = 𝑧(𝑥) + 𝑥 ∙ 𝑧´(𝑥) , (podle vzorce pro derivaci součinu), kde 𝑧(𝑥) je substituovaná funkce, pro niž řešíme vzniklou rovnici separací. (Tato rovnice bývá nazývána diferenciální rovnice 1.řádu s homogenní pravou stranou, my ale budeme slovo homogenní dále používat převážně v jiném významu, a to u rovnic, které mají na pravé straně nulu.) Ukažme si vše na příkladu. PŘÍKLAD:
Řešme diferenciální rovnici 𝑥𝑦´ = 𝑥 + 𝑦 Tato diferenciální rovnice není separovatelná. Je 𝑦´ = 𝑦
𝑥+𝑦 𝑥
, a dále můžeme upravit na
𝑦´ = 1 + 𝑥 . Rovnice je výše uvedeného typu, je to rovnice 1. řádu s homogenní pravou stranou. Udělejme doporučenou substituci 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑧(𝑥) a dostáváme 𝑧 + 𝑥𝑧´ = 1 + 𝑧. Odtud odečtením 𝑧 od obou stran rovnice dostáváme rovnici 𝑥𝑧´ = 1 , která je již separovatelná. Vyřešíme ji. Je 𝑥
𝑑𝑧 𝑑𝑥
= 1 , neboli 𝑑𝑧 =
𝑑𝑥 𝑥
a integrací dostáváme 𝑧 = ln|𝑥| + ln|𝐶| , kde 𝐶 ≠ 0.
To znamená, že 𝑧 = ln|𝐶𝑥. | Nyní zpět za 𝑧 dosadíme 𝑧 = Řešením dané rovnice jsou funkce 𝑦 = 𝑥 ∙ ln|𝐶𝑥| . 165
𝑦 𝑥
a máme
𝑦 𝑥
= ln|𝐶𝑥|.
PŘÍKLAD:
Řešme rovnici 𝑦´ =
𝑦 2 −𝑥2 2𝑥𝑦
. 𝑦
Tato rovnice by se převáděla na tvar 𝑓 (𝑥 ) obtížněji. Jiný test homogenity provádíme tak, že za proměnnou 𝒚 na pravé straně rovnice 𝒚´ = 𝒇(𝒙, 𝒚) dosadíme 𝒌𝒙. Pokud se proměnná 𝒙 ve zlomku vykrátí, jedná se o rovnici s homogenní pravou stranou. Zkusme tento test: je po dosazení
𝑘 2 𝑥 2 −𝑥 2 2𝑘𝑥 2
, a odtud je skutečně možné 𝑥 2 krátit.
Provedeme substituci potom 𝑧 + 𝑥𝑧´ =
𝑧 2 −1 2𝑧
𝑦 = 𝑥𝑧 doporučenou pro rovnici s homogenní pravou stranou, a je
, a dále je 𝑥𝑧´ =
Po integraci máme 𝑦
−1−𝑧 2 2𝑧
. Separujeme a dostáváme
2𝑧𝑑𝑧 𝑧 2 +1
=−
𝑑𝑥 𝑥
.
ln(𝑧 2 + 1) = − ln|𝑥| + ln|𝐶|, kde 𝐶 𝜖 𝑅 − {0} . Odlogaritmujeme a
dosadíme 𝑧 = 𝑥 . Dostáváme
𝑦 2 +𝑥 2 𝑥2
=
𝐶 𝑥
,
a dále po úpravě je
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝐶𝑥 . To je
implicitní tvar řešení, který vyjadřuje dobře integrální křivky diferenciální rovnice, jsou to kružnice s posunutým středem po ose 𝑥. Integrální křivky vidíme na obrázku č. 50. Funkce, které jsou řešením, mají tvar 𝑦 = ± √𝐶𝑥 − 𝑥 2 .
Obrázek 50: Integrální křivky rovnice 𝒚´ =
4.4.
𝒚𝟐 −𝒙𝟐 𝟐𝒙𝒚
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁL NÍ ROVNICE 1.ŘÁDU
DEFINICE: LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1.ŘÁDU
Lineární diferenciální rovnice 1.řádu je rovnice tvaru 𝑓1 (𝑥) 𝑦´ + 𝑓2 (𝑥)𝑦 = 𝑓3 (𝑥), kde 𝑦 je hledaná funkce proměnné 𝑥, 𝑓1 (𝑥), 𝑓2 (𝑥) 𝑎 𝑓3 (𝑥) jsou dané reálné funkce. Tuto rovnici lze upravit na tvar 𝑦´ + 𝑓(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥). Předpokládejme, že funkce 𝑓(𝑥)a 𝑔(𝑥)jsou spojité pro 𝑥 𝜖 (𝑎, 𝑏). 166
Rovnice se nazývá lineární proto, že neznámá funkce 𝑦 i její derivace 𝑦´ jsou v první mocnině. Lineární rovnici s nulovou pravou stranou (𝑔(𝑥) = 0) lze řešit separací. Její obecné řešení je vždy součinem reálné konstanty 𝐶 a jisté funkce proměnné 𝑥. Lineární rovnici, která má na pravé straně rovnice nenulovou funkci 𝑔(𝑥), tak zvanou nehomogenní lineární rovnici, nelze řešit separací. Prvním krokem řešení bude nalezení obecného řešení příslušné homogenní rovnice (𝒈(𝒙) = 𝟎) separací. Poté provedeme u získaného obecného řešení variaci konstanty. Variace konstanty spočívá v tom, že konstantu 𝐶 v obecném řešení začneme považovat za funkci 𝐶(𝑥) proměnné 𝑥; takto pozměněné obecné řešení derivujeme, dosadíme do dané diferenciální rovnice nehomogenní (𝒈(𝒙) ≠ 𝟎), a vypočítáme integrací neznámou funkci 𝐶(𝑥), kterou pak místo konstanty 𝐶 dosadíme do obecného řešení homogenní rovnice. Tím získáme řešení nehomogenní rovnice. PŘÍKLAD:
Řešme lineární rovnici 𝑥𝑦´ − 3𝑦 = 𝑥 2 Rovnice je lineární . Nejprve vyřešíme separací příslušnou homogenní rovnici 𝑥𝑦´ − 3𝑦 = 0. Postupně je 𝑥𝑦´ = 3𝑦 , 𝑥 𝑑𝑦 = 3𝑦 𝑑𝑥 ,
𝑑𝑦 𝑦
=3
𝑑𝑥 𝑥
, ∫
𝑑𝑦 𝑦
= 3∫
𝑑𝑥 𝑥
, a je tedy
ln|𝑦| = 3ln|𝑥| + ln|𝐶| a obecné řešení je tvaru 𝑦 = 𝐶𝑥 3 , 𝐶𝜖𝑅. Nyní proveďme variaci konstanty. Řešení dané rovnice nehomogenní předpokládejme ve tvaru 𝑦 = 𝐶(𝑥)𝑥 3 . Toto řešení derivujeme, samozřejmě jako součin. Je y´ = 𝐶´(𝑥)𝑥 3 + 3𝐶(𝑥)𝑥 2 . Dosaďme nyní za 𝑦 𝑎 𝑦´ do dané rovnice. Dostáváme 𝑥(𝐶´𝑥 3 + 3𝐶𝑥 2 ) − 3𝐶𝑥 3 = 𝑥 2 , kde 𝐶 je funkcí 𝑥. Upravme rovnici a dostáváme 𝐶´𝑥 4 = 𝑥 2 , neboli 𝐶´ =
1 𝑥2
1
1
Integrací dále spočítáme, že je 𝐶(𝑥) = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = − 𝑥 + 𝐷. Toto nové
.
𝐶(𝑥), které je funkcí proměnné 𝑥, dosaďme za původní konstantní 𝐶 do (červeného) obecného řešení homogenní rovnice. Dostáváme 1
𝑦 = (− 𝑥 + 𝐷)𝑥 3 neboli 𝑦 = 𝐷𝑥 3 − 𝑥 2 . To je obecné řešení rovnice nehomogenní. Toto řešení má vlastnost jednoznačnosti z věty o jednoznačnosti všude tam, kde jsou spojité funkce 𝑓(𝑥) =
−3 𝑥
a 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 . Je zřejmé, že to je všude v 𝑅 kromě bodu 𝑥 = 0. (V bodě
𝑥 = 0 dokážeme snadno nalézt např. řešení 𝑦 = 0, (vyhovuje dané rovnici), a též 𝑦 = −𝑥 2 (pro 𝐷 = 0).) 167
Z uvedeného příkladu vidíme, že obecné řešení rovnice nehomogenní lze psát jako součet dvou funkcí. První sčítanec představuje obecné řešení rovnice homogenní (rovnice s nulovou pravou stranou), druhý sčítanec je jedním partikulárním řešením rovnice nehomogenní, které samo o sobě musí vyhovovat dané rovnici. To lze použít jako zkoušku správnosti řešení. Proveďme ji. Derivujme funkci 𝑦 = −𝑥 2 a dosaďme ji do dané rovnice. Dostaneme 𝑥(−2𝑥) − 3(−𝑥 2 ) = 𝑥 2 . Tato rovnost skutečně platí, a vidíme, že partikulární řešení opravdu vyhovuje dané rovnici. Povšimněme si dále, že po variaci konstanty nám při úpravě rovnice po dosazení vymizely členy s funkcí 𝐶, zůstal pouze člen s její derivací 𝐶´. Tento jev je obecný. Pokud by nám v rovnici 𝐶 nevymizelo, musíme hledat chybu v předchozím postupu. Jednotlivé kroky postupu řešení tedy jsou: a) řešíme separací rovnici s nulovou pravou stranou (homogenní) b) provedeme variaci konstanty 𝑪 c) derivujeme nový tvar obecného řešení homogenní rovnice a dosadíme ho do dané nehomogenní rovnice d) integrací vypočteme funkci 𝑪(𝒙) e) dosadíme funkci 𝑪(𝒙) za konstantu 𝑪 do obecného řešení homogenní rovnice a výsledek upravíme. VĚTA:
Pro všechna 𝑥0 𝜖 (𝑎, 𝑏), v němž jsou funkce 𝑓(𝑥) a 𝑔(𝑥) spojité a 𝑓(𝑥) ≠ 0, je počáteční podmínkou 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 určeno jediné řešení lineární diferenciální rovnice 1.řádu 𝑦´ + 𝑓(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥). PŘÍKLAD:
Řešme lineární diferenciální rovnici 𝑦´ + 𝑦 tg 𝑥 =
1 𝑐os 𝑥
Nejdříve řešíme rovnici 𝑦´ + 𝑦 tg 𝑥 = 0. Separujeme proměnné. Je postupně 𝑑𝑦 𝑑𝑥
= −𝑦 tg 𝑥 , 𝑑𝑦 = −𝑦 tg 𝑥 𝑑𝑥 ,
𝑑𝑦 𝑦
= −tg 𝑥 𝑑𝑥 , ∫
𝑑𝑦 𝑦
= ∫
− sin 𝑥 cos 𝑥
𝑑𝑥 ,
ln|𝑦| = ln|cos 𝑥| + ln|𝐶|, a konečně 𝑦 = 𝐶 cos 𝑥 . Provedeme variaci 𝑦 = 𝐶(𝑥) cos 𝑥 . Argument𝑥 dále pro zjednodušení zápisu nevypisujeme, nicméně jsme si vědomi, že 𝐶 je funkce). Je pak 𝑦´ = 𝐶´ cos 𝑥 − 𝐶 sin 𝑥 . 168
Dosadíme do dané rovnice 𝑦 a 𝑦´. Je 𝐶´ cos 𝑥 − 𝐶 sin 𝑥 + 𝐶 cos x tg x = za tg 𝑥 a vykrácení dostane rovnice tvar 𝐶´ cos 𝑥 =
1 cos x
neboli 𝐶´ =
1 cos2 𝑥
1 cos x
. Po dosazení
.
Integrujeme a je 𝐶(𝑥) = tg 𝑥 + 𝐷 . Dosadíme 𝐶(𝑥) za 𝐶 do obecného řešení homogenní rovnice. Je 𝑦 = (tg 𝑥 + 𝐷) cos 𝑥 , tedy 𝑦 = 𝐷 cos 𝑥 + tg 𝑥 cos 𝑥, a po úpravě druhého sčítance je 𝑦 = 𝐷 cos 𝑥 + sin 𝑥 , což je obecné řešení dané rovnice. PŘÍKLAD:
Řešme lineární diferenciální rovnici 𝑦´ + 2𝑦 = 𝑒 2𝑥 (U této rovnice je funkce 𝑓(𝑥) konstantní. Takové rovnice se naučíme později řešit ještě jiným způsobem). Separujme a řešme homogenní rovnici. Je postupně y ´ = −2𝑦 , 𝑑𝑦 = −2𝑦 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 𝑦
= −2𝑑𝑥 , ln|𝑦| = −2𝑥 + 𝐶, |𝑦| = 𝑒 −2𝑥+𝐶 , 𝑦 = 𝐶𝑒 −2𝑥 .
Provedeme variaci konstanty 𝑦 = 𝐶(𝑥)𝑒 −2𝑥 a derivujeme. 𝑦´ = C´𝑒 −2𝑥 − 2𝐶𝑒 −2𝑥 . Dosadíme 𝑦 a 𝑦´ do dané rovnice, a dostáváme
C´𝑒 −2𝑥 − 2𝐶𝑒 −2𝑥 + 2𝐶𝑒 −2𝑥 = 𝑒 2𝑥 . Po
úpravě je C´𝑒 −2𝑥 = 𝑒 2𝑥 , a tedy 𝐶´ = 𝑒 4𝑥 . Je C(𝑥) = ∫ 𝑒 4𝑥 𝑑𝑥 = 1
1 4
𝑒 4𝑥 + 𝐷 . Dosazením
do obecného řešení homogenní rovnice dostáváme 𝑦 = (4 𝑒 4𝑥 + 𝐷)𝑒 −2𝑥 , a tedy po úpravě 𝑦 = 𝐷𝑒 −2𝑥 +
1 4
𝑒 2𝑥 .
PŘÍKLAD:
Řešme Cauchyovu úlohu pro rovnici 𝑥𝑦´ + 2𝑦 = 3𝑥, 𝑦(1) = 1 . Rovnice je lineární. Řešíme obvyklým způsobem a hledáme nejprve obecné řešení. Je postupně 𝑥𝑦´ = −2𝑦 , 𝑥𝑑𝑦 = −2𝑦 𝑑𝑥 ,
𝑑𝑦 𝑦
= −2
𝑑𝑥 𝑥
, a po integraci obou stran rovnice je
ln|𝑦| = −2ln|𝑥| + ln|𝐶| , neboli po odlogaritmování je 𝑦 = Po variaci konstanty 𝑦 =
𝐶(𝑥) 𝑥2
Dosadíme do dané rovnice 𝑥
derivujeme jako podíl 𝑦´ = 𝐶´𝑥 2 −2𝐶𝑥 𝑥4
𝐶
𝐶 𝑥2
.
𝐶´𝑥 2 −2𝐶𝑥 𝑥4
.
+ 2 𝑥 2 = 3𝑥 , a upravíme. Máme
𝐶´ 𝑥
= 3𝑥 , neboli
𝐶´ = 3𝑥 2 . Integrujeme a dostáváme 𝐶(𝑥) = 𝑥 3 + 𝐷. Dosazením funkce 𝐶(𝑥) za konstantu 𝐶 do obecného řešení homogenní rovnice dostáváme řešení rovnice nehomogenní.
169
Je 𝑦 =
𝑥 3 +𝐷 𝑥2
, tj. 𝑦 =
𝐷 𝑥2
+ 𝑥, což je obecné řešení dané rovnice.
Nyní dosadíme počáteční podmínku do řešení. Dostáváme 1 =
𝐷 1
+ 1, a odtud je D = 0.
Partikulární řešení příslušné k dané počáteční podmínce je 𝑦 = 1 .
4.5.
PŘÍKLADY PRAKTICKÝCH ÚLOH ŘEŠENÝCH DIFERENCIÁLNÍ ROVNICÍ 1.ŘÁDU
Diferenciální rovnice se vyskytují v mnoha oblastech lidského konání. Jejich řešení je tedy vysoce praktickou záležitostí. Uveďme si pro ilustraci alespoň tři úlohy z různých oblastí, které vedou na diferenciální rovnici 1.řádu. PŘÍKLAD:
Mnoho běžných antibiotik – např. penicilin – je eliminováno z krevního oběhu rychlostí, která je úměrná množství léku dosud přítomného v organizmu. a) předpokládejme , že 𝒚𝟎 [𝑚𝑔] léku je injekčně vpraveno do krevního oběhu. Jaká je závislost pro množství léku zůstávajícího ův organizmu na čase 𝒕 ? Řešení: Množství léku v organismu označme 𝒚(𝒕). Rychlost změny tohoto množství je pak 𝒚´(𝒕). Můžeme tedy závislost napsat takto: 𝒚´ = −𝒌𝒚 , 𝑘 > 0 je konstanta přímé úměrnosti, znaménko minus je v rovnici proto, že množství léku se zmenšuje. Řešme sestavenou rovnici separací proměnných: ∫
𝑑𝑦 𝑦
𝑑𝑦 𝑑𝑡
= −𝑘𝑦 ,
𝑑𝑦 𝑦
= −𝑘 𝑑𝑡,
𝑑𝑦 = ∫ −𝑘 𝑑𝑡 , ln|𝑦| = −𝑘𝑡 + 𝐶 , a konečně 𝒚 = 𝑪 ∙ 𝒆−𝒌𝒕 , což je obecná závislost.
Dosaďme nyní do poslední rovnice počáteční podmínku 𝑦(0) = 𝑦0 . Je pak 𝑦0 = 𝐶 ∙ 1 , je tedy C= 𝑦0 , a hledaná závislost je 𝒚 = 𝒚𝟎 ∙ 𝒆−𝒌𝒕 . b) Jestliže lék je podán nitrožilně infuzí při rychlosti 𝑰 [𝑚𝑔/𝑚𝑖𝑛], pak je 𝒚´ = −𝒌𝒚 + 𝑰 , a počáteční podmínka je 𝑦(0) = 0 . Řešení: 𝑑𝑦
Rovnice je opět řešitelná separací proměnných: -−𝑘𝑦+𝐼 = 𝑑𝑡 , ln|𝐼 − 𝑘𝑦| = −𝑘𝑡 + 𝐶 , 𝐼 − 𝑘𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒 −𝑘𝑡 , a tedy je 𝑦 = 𝐼
𝐼
𝐼 𝑘
1
− 𝑘 ln|𝐼 − 𝑘𝑦| = 𝑡 + 𝐶,
−𝐶𝑒 −𝑘𝑡 . Dosaďme počáteční
podmínku a dostáváme 0 = 𝑘 − 𝐶 ∙ 1 , a odtud je 𝐶 = 𝑘 . Dosadíme do obecné závislosti
170
za 𝐶, a dostáváme závislost množství léku v organismu na čase v případě nitrožilní infuze, 𝑰
a to 𝒚 =
𝒌
(𝟏 − 𝒆−𝒌𝒕 ) .
c) Je-li poločas odbourání léku v organizmu 2 hodiny, odhadněme rychlost infuze, při níž bude dlouhodobě množství léku v organismu rovno 100 mg . Řešení: 50 = 100 ∙ 𝑒 −120𝑘 , 𝑒 −120𝑘 =
Z výsledné závislosti části a) vypočteme 𝑘. Je
ln 2
Zlogaritmujeme a dostáváme −120𝑘 = ln 1 − ln 2 , 𝑘 = části b) vypočteme infuzní množství 𝐼 . Je 100 = neboli 100 =
𝐼∙120 ln 2
1
(1 − 𝑒 𝑙𝑛2 ), tedy je
𝐼=
𝐼∙120 ln 2
(1 − 𝑒
100𝑙𝑛2 120∙
1 2
120
=
5 6
1 2
.
. Nyní z výsledné závislosti
−120∙ln 2 120
ln 2
),
≈ 0,58 . Pro dosažení
dlouhodobého množství 100 mg léku v organizmu je zapotřebí rychlost infuze 0,58mg/min . PŘÍKLAD:
Z horkovzdušného balonu se uvolnil objekt o hmotě 𝑚 [𝑔]. Vypočtěme vzdálenost, kterou urazí za 𝑡 sekund, je-li síla odporu vzduchu přímo úměrná rychlosti objektu. Řešení: Označme 𝒔(𝒕) [𝑚] dráhu, kterou objekt urazí za 𝑡 sekund. Rychlost 𝒗 objektu v čase 𝒕 je pak 𝒔´(𝒕) [𝑚/𝑠], a zrychlení 𝑎 = 𝑣´(𝑡) = 𝑠´´(𝑡) [𝑚/𝑠 2 ] . Je-li 𝑔 [𝑚/𝑠 2 ] gravitační konstanta, je objekt přitahován k zemi silou 𝐹1 = 𝑚 ∙ 𝑔 , a proti této síle působí opačná síla přímo úměrná rychlosti, tedy 𝐹2 = −𝑘𝑣 . Výsledná síla je 𝐹1 + 𝐹2 = 𝐹 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 [𝑁]. Podle druhého Newtonova zákona je 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝑣´(𝑡) . Dostáváme tak diferenciální rovnici 𝑚𝑣´(𝑡) = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣(𝑡), neboli po úpravě dostáváme lineární rovnici 1.řádu 𝑣´ + Označme
𝑘 𝑚
𝑣
𝑣 =𝑔.
= 𝑐 , a dostáváme rovnici 𝑣´ + 𝑐𝑣 = 𝑔, pro rychlost 𝑣 = 𝑣(𝑡).
Řešíme nejprve rovnici s nulovou pravou stranou separací: je 𝑑𝑣
𝑘 𝑚
= −𝑐 𝑑𝑡 ,
𝑑𝑣 𝑑𝑡
= −𝑐𝑣 , a tedy je
ln|𝑣| = −𝑐𝑡 + 𝐶 a konečně 𝑣 = 𝐾𝑒 −𝑐𝑡 . Variací konstanty dostaneme
𝐾´𝑒 −𝑐𝑡 = 𝑔 , a tedy 𝐾´ = 𝑔 ∙ 𝑒 𝑐𝑡 a 𝐾(𝑡) = ∫ 𝑔 𝑒 𝑐𝑡 𝑑𝑡 =
𝑔 𝑐
𝑒 𝑐𝑡 + 𝐿 .
Dosaďme 𝐾(𝑡) 𝑧𝑎 𝐾 do obecného řešení homogenní rovnice a je po úpravě 𝑣 = 𝐿𝑒 −𝑐𝑡 + 𝑔 𝑐
. Nyní dosadíme počáteční podmínku 𝑣(0) = 0 - ( pro 𝑡 = 0 je rychlost nulová ) - a
dostaneme 0 = 𝐿 +
𝑔 𝑐
, je tedy 𝐿 = −
𝑔 𝑐
a výsledná závislost pro rychlost je 171
𝑣(𝑡) =
𝑔 𝑐
−
𝑔 𝑐
𝑒 −𝑐𝑡 [𝑚/𝑠]. Tuto rovnici nyní integrujeme a dostaneme rovnici dráhy.
𝑔
Je 𝑠(𝑡) = ∫ ( 𝑐 −
𝑔 𝑐
𝑒 −𝑐𝑡 ) 𝑑𝑡 =
jejím dosazení dostáváme 0 =
𝑔 𝑐 𝑔 𝑐2
𝑔
𝑡 + 𝑐 2 𝑒 −𝑐𝑡 + 𝑀 . Počáteční podmínka je 𝑠(0) = 0 . Po + 𝑀 , a odtud je 𝑀 = −
do rovnice dráhy dostaneme konečný výsledek 𝒔(𝒕) =
𝒈 𝒄𝟐
𝑔
𝑐2
. Po dosazení vypočteného 𝑀
( 𝒄𝒕 + 𝒆−𝒄𝒕 − 𝟏) [𝑚] .
(Pokud bychom neuvažovali odpor vzduchu, dostali bychom stejným způsobem známý fyzikální vzorec 𝑠(𝑡) =
1 2
𝑔𝑡 2 ).
PŘÍKLAD:
Křivka učení se používá k popsání rychlosti, jakou jsou získávány nové dovednosti. Předpokládejme, že výrobce přijme nového pracovníka a odhadne, že pracovník vyrobí první den 𝐴 výrobků, pak bude jeho dovednost stoupat a bude vyrábět za den výrobků čím dál víc, až dosáhne maxima 𝑀 výrobků za den. Označme 𝑦(𝑡) počet vyrobených kusů ve dni 𝑡 , 𝑡 ≥ 1 . Předpokládejme, že rychlost produkce je úměrná výrazu 𝑀 − 𝑦(𝑡). (To znamená, že zpočátku se člověk učí rychle jednoduché základní věci, poté již se rychlost učení složitějších věcí snižuje). a) Najděme vzorec pro 𝑦(𝑡) b) Je-li 𝑀 = 30, 𝑦(1) = 5 a 𝑦(2) = 8 ,odhadněme počet výrobků vyrobených 20.den Řešení: Rychlost růstu vyrobených kusů za den je 𝑦´(𝑡). Příslušná diferenciální rovnice je 𝑦´ = 𝑘(𝑀 − 𝑦) . Řešme ji separací. 𝑑𝑦 𝑀−𝑦
= 𝑘 𝑑𝑡 , − ln|𝑀 − 𝑦| = 𝑘𝑡 + 𝐶 ,
ln|𝑀 − 𝑦| = −𝑘𝑡 + 𝐶 , 𝑀 − 𝑦 = 𝐶𝑒 −𝑘𝑡 ,
a tedy konečně 𝒚(𝒕) = 𝑴 − 𝑪𝒆−𝒌𝒕 . Nyní dosadíme do 𝑦(𝑡) počáteční podmínku 𝑦(1) = 𝐴. Dostáváme 𝐴 = 𝑀 − 𝐶𝑒 −𝑘 , tedy 𝐶𝑒 −𝑘 = 𝑀 − 𝐴 , a dále je 𝐶 = (𝑀 − 𝐴)𝑒 𝑘 . Dosaďme za 𝐶 do 𝑦(𝑡), a dostaneme 𝑦(𝑡) = 𝑀 − (𝑀 − 𝐴)𝑒 𝑘 𝑒 −𝑘𝑡 = 𝑀 + (𝐴 − 𝑀)𝑒 𝑘(1−𝑡) . Nalezený vzorec je 𝒚(𝒕) = 𝑴 + (𝑨 − 𝑴)𝒆𝒌(𝟏−𝒕) , kde 𝑘 je konstanta přímé úměrnosti. b) Dosadíme do získaného vzorce pro 𝑦(𝑡) dané hodnoty pro první a druhý den a dostaneme dvě rovnice pro neznámé 𝐴 a 𝑘 . Je 5 = 30 + (30 − 𝐴)𝑒 𝑘(1−1) 8 = 30 + (30 − 𝐴)𝑒 𝑘(1−2)
172
a po úpravě máme soustavu rovnic 5 = 30 + (30 − 𝐴) 8 = 30 + (30 − 𝐴) 𝑒 −𝑘 . Z první rovnice dostáváme 𝐴 = 55, a po dosazení 𝐴 do druhé rovnice je 𝑒 −𝑘 =
22
.
25 22 19
Hledejme nyní 𝑦(20). 𝑦(20) = 30 − 25𝑒 −19𝑘 to znamená, že 𝑦(20) = 30 − 25 (25) . Na kalkulačce vypočteme, že 𝑦(20) ≈ 27,8. Pracovník vyrobí 20.den přibližně 28 výrobků.
4.6.
LINEÁRNÍ DIFERENCIÁL NÍ ROVNICE 𝑛-TÉHO ŘÁDU
DEFINICE: LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 𝑛-TÉHO ŘÁDU
Lineární diferenciální rovnice 𝑛-tého řádu je rovnice tvaru 𝑓0 (𝑥)𝑦 (𝑛) + 𝑓1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) + 𝑓2 (𝑥)𝑦 (𝑛−2) + ⋯ + 𝑓𝑛−1 (𝑥)𝑦´ + 𝑓𝑛 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) . Funkce 𝑓0 , 𝑓1 , … , 𝑓𝑛 jsou reálné funkce jedné proměnné se stejným definičním oborem. Je-li 𝑔(𝑥) = 0 nazývá se rovnice homogenní, je-li 𝑔(𝑥) ≠ 0, nazývá se rovnice nehomogenní. Jsou-li funkce 𝑓0 , 𝑓1 , …, 𝑓𝑛 konstantní, jedná se o lineární diferenciální rovnici 𝑛-tého řádu s konstantními koeficienty. Řešením rovnice na intervalu (∝, 𝛽) nazveme takovou funkci 𝜑, která má derivace až do řádu 𝒏 v intervalu (∝, 𝛽) a vyhovuje diferenciální rovnici ve všech bodech intervalu (∝, 𝛽). VĚTA: O EXISTENCI A JEDNOZNAČNOSTI ŘEŠENÍ
Nechť funkce 𝑓0 , 𝑓1 , … , 𝑓𝑛 z předchozí definice jsou spojité na intervalu (∝, 𝛽), 𝑓0 (𝑥) ≠ 0 všude v (∝, 𝛽). Potom je Cauchyova úloha s počátečními podmínkami 𝜑(𝑥0 ) = 𝑦0 , 𝜑´(𝑥0 ) = 𝑦1 , … , 𝜑 (𝑛−1) (𝑥0 ) = 𝑦𝑛−1 jednoznačně řešitelná pro libovolné 𝑥0 𝜖(∝, 𝛽) a libovolná 𝑦0 , … 𝑦𝑛−1 𝜖 𝑅. VĚTA: TVAR OBECNÉHO ŘEŠENÍ
Obecné řešení homogenní rovnice na intervalu (∝, 𝛽) je tvaru 𝜑(𝑥) = 𝑢(𝑥) = 𝑐 1 𝑢1 (𝑥) + 𝑐2 𝑢2 (𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑢𝑛 (𝑥), kde 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 jsou lineárně nezávislá řešení na intervalu (∝, 𝛽) a 𝑐1 , … , 𝑐𝑛 jsou libovolné reálné konstanty.
173
Obecné řešení nehomogenní rovnice na intervalu (∝, 𝛽) je tvaru 𝜑(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑢∗ (𝑥), kde 𝑢(𝑥) je řešení příslušné rovnice homogenní a 𝑢∗ (𝑥) je jedno z partikulárních řešení rovnice nehomogenní. Pojem lineární závislosti a nezávislosti byl vysvětlen ve skriptech Matematika 1, viz [8]. Řešení 𝑢∗ (𝑥) rovnice nehomogenní se naučíme pro rovnici 2.řádu nalézt v následujícíům textu v odstavcích 4.8. a 4.9.
4.7.
HOMOGENNÍ LINEÁRNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY
Budeme se zabývat řešením rovnice 𝒂𝟎 𝒚´´ + 𝒂𝟏 𝒚´ + 𝒂𝟐 𝒚 = 𝟎,
(7)
kde 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 𝜖 𝑅 jsou konstanty. Je-li 𝑎0 = 1 je rovnice tak zvaně normovaná – u nejvyšší derivace je konstanta rovna jedné. Pokud by konstanta u této derivace byla rovna jinému nenulovému číslu, lze převést rovnici na normovanou rovnici pomocí dělení tímto nenulovým číslem. Dvě lineárně nezávislá řešení této rovnice lze najít pomocí tak zvané charakteristické rovnice. DEFINICE: CHARAKTERISTICKÁ ROVNICE
Mějme diferenciální rovnici 𝒂𝟎 𝒚´´ + 𝒂𝟏 𝒚´ + 𝒂𝟐 𝒚 = 𝟎 . Potom charakteristická rovnice příslušná k diferenciální rovnici je tvaru 𝑎0 𝑘 2 + 𝑎1 𝑘 + 𝑎2 = 0. VĚTA:
Funkce 𝑢1 (𝑥) = 𝑒 𝑘1 𝑥 a 𝑢2 (𝑥) = 𝑒 𝑘2 𝑥 jsou nezávislými řešeními diferenciální rovnice (7), právě když jsou čísla 𝑘1 , 𝑘2 kořeny, (reálné nebo komplexní), příslušné charakteristické rovnice. Ukažme si, proč je tomu tak: Předpokládejme řešení tvaru 𝑢1 (𝑥) = 𝑒 𝑘1 𝑥 . Potom je 𝑢1 ´(𝑥) = 𝑘1 𝑒 𝑘1 𝑥 a 𝑢1 ´´(𝑥) = 𝑘12 𝑒 𝑘1 𝑥 . Dosadíme-li 𝑢1 (𝑥) a jeho obě derivace do diferenciální rovnice (7) a vytkneme-li před závorku 𝑒 𝑘1 𝑥 , dostáváme 𝑒 𝑘1 𝑥 (𝑎0 𝑘12 + 𝑎1 𝑘1 + 𝑎2 ) = 0 . Jelikož výraz 𝑒 𝑘1 𝑥 se nemůže nikdy rovnat nule, je třeba, aby se rovnala nule závorka ( 𝑎0 𝑘12 + 𝑎1 𝑘1 + 𝑎2 ), a tedy musí být splněna rovnice 𝑎0 𝑘12 + 𝑎1 𝑘1 + 𝑎2 = 0. Stejně bychom si počínali s řešením 𝑢2 (𝑥) . Obrácená implikace plyne přímo z věty o existenci a jednoznačnosti.
174
Pokud má charakteristická rovnice dvojnásobný kořen, nedostali bychom výše uvedeným způsobem dvě lineárně nezávislá řešení. V tomto případě platí: VĚTA:
Má-li charakteristická rovnice příslušná k diferenciální rovnici (7) jeden dvojnásobný kořen 𝑘1 , potom funkce 𝑢1 (𝑥) = 𝑒 𝑘1 𝑥 a 𝑢2 (𝑥) = 𝑥 𝑒 𝑘1 𝑥 jsou řešeními diferenciální rovnice (7) a jsou lineárně nezávislé. Má-li charakteristická rovnice záporný diskriminant, a tedy dva komplexně sdružené komplexní kořeny 𝑘1 = 𝑝 + 𝑖𝑞ů , 𝑘2 = 𝑝 − 𝑖𝑞, lze obecné řešení psát ve tvaru 𝑦 = 𝑒 𝑝𝑥 (𝐶1 𝑒 𝑖𝑞𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑖𝑞𝑥 )
(8)
Toto řešení dále upravíme s použitím řad pro funkce 𝑒 𝑥 , sin 𝑥 a cos 𝑥, které byly uvedeny v kapitole Nekonečné řady. Je 𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 + sin 𝑥 = 𝑥 − cos 𝑥 = 1 −
𝑥2
+ …+
2!
𝑥3 3! 𝑥2 2!
𝑥5
+ +
5!
𝑥4 4!
𝑥𝑛 𝑛!
+… 𝑥 2𝑛+1
− ⋯ + (−1)𝑛+1 (2𝑛+1)! + ⋯ 𝑥 2𝑛
− ⋯ + (−1)𝑛+1 (2𝑛)! + ⋯ , pro 𝑥 ∈ 𝑅.
Uvedené řady existují i v komplexním oboru a vezmeme-li v úvahu mocniny imaginární jednotky, dostáváme pro 𝑒 𝑖𝑧 řadu 𝑒 𝑖𝑥 = 1 + 𝑖𝑥 − 𝑒 𝑖𝑥 = (1 −
𝑥2 2!
+
𝑥2 2!
−𝑖
𝑥4 4!
𝑥3 3!
+
𝑥4 4!
− ⋯ , která může být uzávorkována do tvaru
− ⋯ ) + 𝑖(𝑥 −
𝑥3 3!
+
𝑥5 5!
− ⋯ ).
Pokud nyní použijeme řady pro cos 𝑥 a sin 𝑥 , dostaneme výsledek známý jako Eulerova9 identita. VĚTA: EULEROVA9 IDENTITA
Pro každé reálné číslo 𝑥 platí 𝑒 𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥.
Podle této věty je
𝑒 𝑖𝑞𝑥 = cos 𝑞𝑥 + 𝑖 sin 𝑞𝑥, 𝑒 −𝑖𝑞𝑥 = cos 𝑞𝑥 − 𝑖 sin 𝑞𝑥, z čehož dále je
9
Leonhard Euler (1707-1783) byl švýcarský matematik, který provedl mnoho objevů na poli diferenciálního počtu a teorie grafů. 175
𝑒 𝑖𝑞𝑥 +𝑒 −𝑖𝑞𝑥
cos 𝑞𝑥 =
2
a
sin 𝑞𝑥 =
𝑒 𝑖𝑞𝑥 −𝑒 𝑖𝑞𝑥 2𝑖
.
1
Zvolíme-li nyní v řešení (8) 𝐶1 = 𝐶2 = 2 , dostaneme s použitím vztahu pro cos 𝑞𝑥 𝑦 = 𝑒 𝑝𝑥 (𝐶1 𝑒 𝑖𝑞𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑖𝑞𝑥 ) =
1 2
𝑒 𝑝𝑥 (2 cos 𝑞𝑥) = 𝑒 𝑝𝑥 cos 𝑞𝑥 .
Tedy je funkce y = 𝑒 𝑝𝑥 cos 𝑞𝑥 řešením diferenciální rovnice (7). Podobně jinou volbou 𝐶1 a 𝐶2 dostaneme další nezávislé reálné řešení 𝑦 = 𝑒 𝑝𝑥 sin 𝑞𝑥 . Lze tedy obecné řešení rovnice (7) při charakteristické rovnici se záporným diskriminantem psát ve tvaru 𝑦 = 𝑒 𝑝𝑥 (𝐶1 cos 𝑞𝑥 + 𝐶2 sin 𝑞𝑥). Shrnutí: Má-li charakteristická rovnice
diskriminant 𝑫 > 0 a kořeny 𝑘1 , 𝑘2 , je obecné řešení diferenciální rovnice tvaru 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝒌𝟏 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒆𝒌𝟐 𝒙 diskriminant 𝑫 = 𝟎 a dvojnásobný kořen 𝑘1 , je obecné řešení diferenciální rovnice tvaru 𝒚 = 𝑪𝟏 𝒆𝒌𝟏 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒙𝒆𝒌𝟏 𝒙 diskriminant 𝑫 < 0 a komplexně sdružené kořeny 𝑘1 = 𝑝 + 𝑖𝑞, 𝑘2 = 𝑝 − 𝑖𝑞, je obecné řešení diferenciální rovnice tvaru 𝒚 = 𝒆𝒑𝒙 (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒒𝒙 + 𝑪𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒒𝒙) .
𝐶1 , 𝐶2 jsou libovolné reálné konstanty. PŘÍKLAD:
Řešme diferenciální rovnici 𝑦´´ − 3𝑦´ − 28𝑦 = 0 . Charakteristická rovnice je tvaru 𝑘 2 − 3𝑘 − 28 = 0 . Tato rovnice má dva reálné různé kořeny 𝑘1 = 7, 𝑘2 = −4. Lineárně nezávislými řešeními diferenciální rovnice jsou tedy funkce 𝑢1 (𝑥) = 𝑒 7𝑥 a 𝑢2 (𝑥) = 𝑒 −4𝑥 . Všechna řešení diferenciální rovnice lze napsat jako lineární kombinaci těchto řešení, tedy je 𝑦 = 𝐶1 𝑒 7𝑥 + 𝐶2 𝑒 −4𝑥 , pro libovolná reálná 𝐶1 , 𝐶2 . PŘÍKLAD:
Řešme diferenciální rovnici 𝑦´´ − 4𝑦´ + 4𝑦 = 0 . Charakteristická rovnice 𝑘 2 − 4𝑘 + 4 = 0 má dvojnásobný kořen 𝑘1 = 2 . Řešení dané diferenciální rovnice je tedy 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 2𝑥 pro libovolná reálná 𝐶1 , 𝐶2 .
176
PŘÍKLAD:
Řešme diferenciální rovnici 2𝑦´´ + 4𝑦´ + 20𝑦 = 0 . Charakteristická rovnice 2𝑘 2 + 4𝑘 + 20 = 0 má 𝐷 < 0. Komplexně sdružené kořeny jsou 𝑘1 = −1 + 3𝑖 , 𝑘2 = −1 − 3𝑖. Obecné řešení dané rovnice je proto 𝑦 = 𝑒 −𝑥 (𝐶1 cos 3𝑥 + 𝐶2 sin 3𝑥) pro libovolná reálná 𝐶1 , 𝐶2 .
PŘÍKLAD:
Řešme Cauchyovu úlohu 𝑦´´ − 5𝑦´ + 4𝑦 = 0 , 𝑦(0) = 5 , 𝑦´(0) = 8 . Nejprve najdeme obecné řešení rovnice: charakteristická rovnice 𝑘 2 − 5𝑘 + 4 = 0 má řešení 𝑘1 = 4, 𝑘2 = 1 . Obecné řešení diferenciální rovnice je tedy 𝑦 = 𝐶1 𝑒 4𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 pro libovolná reálná 𝐶1 , 𝐶2 . Nyní nalezneme partikulární řešení vyhovující daným počátečním podmínkám. První z počátečních podmínek dosadíme do obecného řešení a dostaneme 5 = 𝐶1 𝑒 0 + 𝐶2 𝑒 0 , neboli 𝐶1 + 𝐶2 = 5 . Derivujeme obecné řešení 𝑦´ = 4𝐶1 𝑒 4𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑥 a dosadíme druhou počáteční podmínku. Je 8 = 4𝐶1 𝑒 0 + 𝐶2 𝑒 0 , neboli 4𝐶1 + 𝐶2 = 8. Řešením získané soustavy dvou rovnic o dvou neznámých dostáváme 𝐶1 = 1, 𝐶2 = 4 . Partikulární řešení vyhovující počátečním podmínkám je funkce 𝑦 = 𝑒 4𝑥 + 4𝑒 𝑥 .
4.8. NEHOMOGENNÍ LINEÁRNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY
V odstavci 4.6. bylo řečeno, že řešení rovnice nehomogenní získáme jako součet obecného řešení příslušné homogenní rovnice se stejnými koeficienty a jednoho partikulárního řešení rovnice nehomogenní 𝜑(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑢∗ (𝑥). Nyní se budeme zabývat tím, jak lze získat partikulární řešení 𝑢∗ (𝑥), pokud pravá strana rovnice 𝑔(𝑥) má jistý speciální tvar. Metoda založená na odhadu partikulárního řešení na základě tvaru pravé strany rovnice se v literatuře nazývá metoda neurčitých koeficientů. Pravá strana, pro kterou lze tuto metodu použít, je obecně tvaru 𝒈(𝒙) = 𝒆𝜶𝒙 (𝑷𝟏𝒎 (𝒙) 𝐜𝐨𝐬 𝜷𝒙 + 𝑷𝟐𝒏 (𝒙) 𝐬𝐢𝐧 𝜷𝒙), nebo je součtem funkcí daného tvaru. 177
VĚTA: ODHAD PARTIKULÁRNÍHO ŘEŠENÍ ROVNICE
Mějme lineární diferenciální rovnici 2.řádu s konstantními koeficienty 𝑎0 𝑦´´ + 𝑎1 𝑦´ + 𝑎2 𝑦 = 𝑔(𝑥)
(9)
a) nechť nenulová pravá strana 𝑔(𝑥) je tvaru 𝒈(𝒙) = 𝒆𝜶𝒙 𝑷𝒎 (𝒙), kde 𝛼 je reálné číslo a 𝑃𝑚 (𝑥) je mnohočlen 𝑚 –tého stupně proměnné 𝑥. (V tomto případě je 𝛽 = 0 a mnohočlen na pravé straně rovnice je pouze jeden). Potom partikulární řešení diferenciální rovnice (9) má tvar 𝑢∗ (𝒙) = 𝒆𝜶𝒙 𝑸𝒎 (𝒙)𝒙𝒓, kde 𝑄𝑚 (𝑥) je obecný úplný mnohočlen 𝑚 – tého stupně (tj. mnohočlen s obecnými neznámými koeficienty, kde není vynechána žádná mocnina), a 𝑟 (exponent v mocnině 𝑥 𝑟 ) udává, kolikanásobným kořenem charakteristické rovnice je číslo 𝛼. (Pro rovnici druhého řádu může tedy 𝑟 být buď 0 nebo 1 nebo 2.) b) nechť nenulová pravá strana je tvaru 𝒈(𝒙) = 𝒆𝜶𝒙 (𝑷𝟏𝒎 (𝒙) 𝐜𝐨𝐬 𝜷𝒙 + 𝑷𝟐𝒏 (𝒙) 𝐬𝐢𝐧 𝜷𝒙) , kde 𝑎 je reálné číslo,𝑃𝑚1 (𝑥) a 𝑃𝑛2 (𝑥) jsou po řadě mnohočleny 𝑚 - tého a 𝑛 - tého stupně proměnné 𝑥, 𝛽 ≠ 0 je reálné číslo. Potom partikulární řešení diferenciální rovnice (9) má tvar 𝑢∗ (𝒙) = 𝒆𝜶𝒙 (𝑸𝟏𝒔 (𝒙) 𝐜𝐨𝐬 𝜷𝒙 + 𝑸𝟐𝒔 (𝒙) 𝐬𝐢𝐧 𝜷𝒙)𝒙𝒓 , kde 𝑄𝑠1 (𝑥)𝑎 𝑄𝑠2 (𝑥) jsou obecné úplné mnohočleny stupně 𝑠 = max(𝑚, 𝑛), a 𝑟 je násobnost kořene 𝛼 + 𝑖𝛽 v charakteristické rovnici. (Pro rovnici 2.řádu může tedy 𝑟 být buď 0 nebo 1.) Při hledání partikulárního řešení 𝑢∗ (𝑥) je nejprve odhadneme, po té odhad dvakrát derivujeme, dosadíme do dané rovnice, a určíme neznámé koeficienty mnohočlenu tak, aby nastala identita. Postup si ukážeme na příkladech. Nadále čísla 𝐶1 , 𝐶2 představují vždy libovolné reálné konstanty.
Poznámka (pro objasnění pojmu úplný mnohočlen): Úplný mnohočlen nultého stupně je konstanta 𝐾, prvního stupně je lineární dvojčlen 𝑎𝑥 + 𝑏 druhého stupně je kvadratický mnohočlen 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 atd.
178
PŘÍKLAD:
Řešme rovnici 𝑦´´ + 2𝑦´ + 𝑦 = 𝑥 2 + 9𝑥 Nejprve řešíme homogenní rovnici 𝑦´´ + 2𝑦´ + 𝑦 = 0 pomocí charakteristické rovnice. Z té dostáváme kořeny 𝑘1 = 𝑘2 = −1 . Obecné řešení homogenní rovnice je tedy 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −𝑥 . Pravá strana dané rovnice je tvaru a). Předpokládáme tedy řešení nehomogenní rovnice ve tvaru 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑢∗ (𝑥), a odhadneme 𝑢∗ (𝑥). Na pravé straně rovnice není exponenciální funkce, to znamená, že 𝛼 = 0. Zeptáme se, zda číslo nula je kořenem charakteristické rovnice. Odpověď zní: není. Proto je 𝑟 = 0. Odhad bude sestávat tedy pouze z mnohočlenu 2.stupně, který má neurčité koeficienty a je úplný, tedy odhad je 𝑢∗ = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 . Tento odhad dvakrát derivujeme. Je 𝑢∗ ´ = 2𝑎𝑥 + 𝑏 , a dále 𝑢∗ ´´ = 2𝑎 . Nyní dosadíme 𝑢∗ a jeho obě derivace do původní rovnice a dostáváme 2𝑎 + 2(2𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 2 + 9𝑥 , neboli 𝑎𝑥 2 + (4𝑎 + 𝑏)𝑥 + (2𝑎 + 2𝑏 + 𝑐) = 𝑥 2 + 9𝑥. Porovnáním koeficientů u stejných mocnin na obou stranách rovnice musí tedy být 𝑎 = 1, 4𝑎 + 𝑏 = 9 a 2𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 . Z druhé rovnice je 𝑏 = 5 , ze třetí je 𝑐 = −12 . Partikulární řešení je 𝑢∗ = 𝑥 2 + 5𝑥 − 12 . Toto řešení přičteme k obecnému řešení homogenní rovnice a dostáváme obecné řešení nehomogenní rovnice, a to 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑥 2 + 5𝑥 − 12. PŘÍKLAD:
Řešme rovnici 𝑦´´ + 3𝑦´ = 9𝑥 Řešíme homogenní rovnici a pomocí charakteristické rovnice, jejíž kořeny jsou 0 a −3, dostáváme 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 −3𝑥 . Řešení nehomogenní rovnice je 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 −3𝑥 + 𝑢∗ . Odhad 𝑢∗ : 𝛼 = 0. Nula je jednonásobným kořenem charakteristické rovnice, tedy 𝑟 = 1. Mnohočlen na pravé straně rovnice je 1. stupně – úplný mnohočlen s neurčitými koeficienty je 𝑎𝑥 + 𝑏 . Je proto odhad 𝑢∗ = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 . Je 𝑢∗ ´ = 2𝑎𝑥 + 𝑏 , 𝑢∗ ´´ = 2𝑎. Dosadíme do dané rovnice, a dostáváme 2𝑎 + 3(2𝑎𝑥 + 𝑏) = 9𝑥 , neboli 6𝑎𝑥 + (2𝑎 + 3𝑏) = 9𝑥. Musí proto být 3
6𝑎 = 9, 2𝑎 + 3𝑏 = 0. Odtud je 𝑎 = 2 a 𝑏 = −1 . Získali jsme 𝑢∗ =
179
3 2
𝑥 2 − 𝑥.
3
Obecné řešení nehomogenní rovnice je 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 −3𝑥 + 2 𝑥 2 − 𝑥 . PŘÍKLAD:
Řešme rovnici 𝑦´´ + 4𝑦 = 𝑒 𝑥 Charakteristická rovnice je 𝑘 2 + 4 = 0 a má komplexně sdružené kořeny ± 2𝑖 . Obecné řešení homogenní rovnice je tedy tvaru 𝑦 = 𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2 sin 2𝑥 . Odhad 𝑢∗ : před funkcí 𝑒 𝑥 je jednička, která představuje mnohočlen nultého stupně neboli konstantu. Dále 𝛼 = 1 a není kořenem charakteristické rovnice , tedy 𝑟 = 0. Odhad má tvar 𝑢∗ = 𝐾𝑒 𝑥 . První i druhá derivace odhadu je též 𝐾𝑒 𝑥 . Dosadíme do dané rovnice a máme 1
𝐾𝑒 𝑥 + 4𝐾𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 , to znamená 5𝐾𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 . Odtud rychle dostáváme 𝐾 = 5 a obecné řešení dané rovnice je 𝑦 = 𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2 sin 2𝑥 +
1 5
𝑒𝑥 .
PŘÍKLAD:
Řešme rovnici 𝑦´´ + 12𝑦´ + 36𝑦 = 𝑒 −6𝑥 (𝑥 2 + 12) . Homogenní rovnice má řešení 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −6𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −6𝑥 . Provedeme odhad, přičemž 𝛼 = −6 a číslo −6 je dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice. Mnohočlen na pravé straně rovnice je druhého stupně. Tvar odhadu je tedy 𝑢∗ = 𝑒 −6𝑥 (𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑥 2 = 𝑒 −6𝑥 (𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 3 + 𝑐𝑥 2 ). Dále je 𝑢∗ ´ = −6𝑒 −6𝑥 (𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 3 + 𝑐𝑥 2 ) + 𝑒 −6𝑥 (4𝑎𝑥 3 + 3𝑏𝑥 2 + 2𝑐𝑥)
a
𝑢∗ ´´ = 36𝑒 −6𝑥 (𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 3 + 𝑐𝑥 2 ) − 12𝑒 −6𝑥 (4𝑎𝑥 3 + 3𝑏𝑥 2 + 2𝑐𝑥) + 𝑒 −6𝑥 (12𝑎𝑥 2 + 6𝑏𝑥 + 2𝑐) . Po dosazení do dané diferenciální rovnice a úpravě dospějeme k rovnici 𝑒 −6𝑥 (12𝑎𝑥 2 + 6𝑏𝑥 + 2𝑐) = 𝑒 −6𝑥 (𝑥 2 + 12) . 1
Odtud je 12𝑎𝑥 2 = 𝑥 2 , a tedy 𝑎 =
12
, dále je 𝑏 = 0 a 2𝑐 = 12, tedy 𝑐 = 6 .
1
Je 𝑢∗ = 𝑒 −6𝑥 (12 𝑥 4 + 6𝑥 2 ) a obecné řešení dané rovnice je 1
𝑦 = 𝐶1 𝑒 −6𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −6𝑥 + 𝑒 −6𝑥 (12 𝑥 4 + 6𝑥 2 ) .
180
PŘÍKLAD:
Řešme rovnici 𝑦´´ − 6𝑦´ = 16𝑥 + 5 − 𝑒 6𝑥 Tentokrát nemá pravá strana rovnice předepsaný tvar, ale lze ji rozložit na dva sčítance 𝑔1 (𝑥) a 𝑔2 (𝑥), které již tohoto tvaru jsou. Je 𝑔1 (𝑥) = 16𝑥 + 5 a 𝑔2 (𝑥) = −𝑒 6𝑥 . Vypočteme zvlášť partikulární řešení pro pravou stranou 𝑔1 (𝑥) a získáme tak řešení 𝑢∗1 , a partikulární řešení pro pravou stranu 𝑔2 (𝑥), které nazveme 𝑢∗2 . Obecné řešení dané rovnice je pak 𝑦 = 𝑢(𝑥) + 𝑢∗1 (𝑥) + 𝑢∗2 (𝑥). Kořeny příslušné charakteristické rovnice 𝑘 2 − 6𝑘 = 0 jsou 0 a 6. Je tedy řešení homogenní rovnice 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 6𝑥 . Odhad pro pravou stranu 𝑔1 (𝑥) je 𝑢∗1 = (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥. (𝛼1 = 0, 𝑟1 = 1). Je 𝑢1∗ ´ = 2𝑎𝑥 + 𝑏 a 𝑢∗1 ´´ = 2𝑎. Po dosazení do dané rovnice je 4
23
4
23
2𝑎 − 12𝑎𝑥 − 6𝑏 = 16𝑥 + 5. Odtud je 𝑎 = − 3 , 𝑏 = − 18 , a je 𝑢∗1 = − 3 𝑥 2 − 18 𝑥. Odhad pro pravou stranu 𝑔2 (𝑥) je 𝑢∗2 = 𝐾𝑥𝑒 6𝑥 , (𝛼2 = 6, 𝑟2 = 1). Dále je 𝑢∗2 ´= 𝐾𝑒 6𝑥 + 6𝐾𝑥𝑒 6𝑥 a 𝑢∗2 ´´ = 12𝐾𝑒 6𝑥 + 36𝐾𝑥𝑒 6𝑥 . 1
Dosazením do dané rovnice dostáváme po úpravě 6𝐾𝑒 6𝑥 = −𝑒 6𝑥 , a odtud je 𝐾 = − 6 . 1
Proto je 𝑢∗2 = − 6 𝑥𝑒 6𝑥 , a obecné řešení dané diferenciální rovnice je 4
23
1
𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 6𝑥 + − 3 𝑥 2 − 18 𝑥 − 6 𝑥𝑒 6𝑥 . PŘÍKLAD:
Řešme Cauchyovu úlohu 2𝑦´´ + 𝑦´ − 𝑦 = 2𝑒 𝑥 , 𝑦(0) = 3, 𝑦´(0) = 1. Nejprve najdeme obecné řešení nehomogenní rovnice. Charakteristická rovnice 2𝑘 2 + 𝑘 − 1 = 0 má kořeny −1 a 1
1 2
, takže obecné řešení rovnice homogenní je
𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑒 2𝑥 . Odhad je 𝑢∗ = 𝐾𝑒 𝑥 , neboť α = 0, 𝑟 = 0. Derivujeme odhad, dosadíme do dané rovnice a dostáváme rovnici 2𝐾𝑒 𝑥 + 𝐾𝑒 𝑥 − 𝐾𝑒 𝑥 = 2𝑒 𝑥 . Odtud je 𝐾 = 1 a obecné řešení 1
nehomogenní rovnice je 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑒 2𝑥 + 𝑒 𝑥 . Nyní vypočítáme partikulární řešení. Dosazením čísla 0 do řešení dostaneme z první počáteční podmínky rovnici 3 = 𝐶1 + 𝐶2 + 1 , neboli 𝐶1 + 𝐶2 = 2. Obecné řešení 181
derivujeme. Je 𝑦´ = −𝐶1 𝑒 −𝑥 + Je −𝐶1 + 4
1
𝐶 2 2
1
1
𝐶 𝑒 2𝑥 +𝑒 𝑥 , a dosadíme z druhé počáteční podmínky. 2 2
= 0 . Řešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých pak dostaneme 2
4 1
2
𝐶2 = 3 a 𝐶1 = 3 . Partikulární řešení Cauchyovy úlohy je 𝑦 = 3 𝑒 −𝑥 + 3 𝑒 2𝑥 + 𝑒 𝑥 . PŘÍKLAD:
Řešme rovnici 𝑦´´ − 4𝑦 = sin 𝑥. Řešením charakteristické rovnice jsou čísla 2 a (−2) . Řešení homogenní rovnice je 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 . Pravá strana rovnice je tvaru b). Je 𝛼 = 0, 𝛽 =, 𝑟 = 0. Mnohočlen 𝑃1 je nulový a mnohočlen 𝑃2 je nultého stupně neboli konstanta. Proto odhad 𝑢∗ provedeme takto: 𝑢∗ = 𝐾1 cos 𝑥 + 𝐾2 sin 𝑥. Derivujeme a dostáváme 𝑢∗ ´ = −𝐾1 sin 𝑥 + 𝐾2 cos 𝑥 a 𝑢∗ ´´ = −𝐾1 cos 𝑥 − 𝐾2 sin 𝑥 . Dosadíme do dané rovnice a je −𝐾1 cos 𝑥 − 𝐾2 sin 𝑥 − 4𝐾1 cos 𝑥 − 4𝐾2 sin 𝑥 = sin 𝑥, neboli − 5𝐾1 cos 𝑥 − 5𝐾2 sin 𝑥 = sin 𝑥. Odtud dostaneme porovnáním koeficientů u funkcí 1
sin 𝑥 a cos𝑥 na obou stranách rovnice, že 𝐾1 = 0 , 𝐾2 = − 5 .
1
Obecné řešení nehomogenní rovnice je 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 − 5 sin 𝑥 . PŘÍKLAD:
Řešme Cauchyovu úlohu 𝑦´´ + 𝑦 = sin 𝑥 , 𝑦(0) = 1, 𝑦´(0) = 0. Charakteristická rovnice 𝑘 2 + 1 = 0 má komplexně sdružené kořeny ± 𝑖 rovnice má tedy obecné řešení 𝑦 = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥.
a homogenní
Pravá strana dané rovnice má tvar b), kde α = 0, 𝛽 = 1. Číslo (0 + 1𝑖) je kořenem charakteristické rovnice, proto je 𝑟 = 1. Nejvyšší stupeň mnohočlenu je nultý – konstanta. Odhad partikulárního řešení je tedy 𝑢∗ = (𝐾1 cos 𝑥 + 𝐾2 sin 𝑥)𝑥. Derivujeme odhad: 𝑢∗ ´ = (−𝐾1 sin 𝑥 + 𝐾2 cos 𝑥)𝑥 + 𝐾1 cos 𝑥 + 𝐾2 sin 𝑥, 𝑢∗ ´´ = ( −𝐾1 cos 𝑥 − 𝐾2 sin 𝑥)𝑥 − 2 𝐾1 sin 𝑥 + 2𝐾2 cos 𝑥. Dosadíme derivace do diferenciální rovnice a dostáváme po úpravě 1
−2𝐾1 sin 𝑥 + 2𝐾2 cos 𝑥 = sin 𝑥 . Odtud ihned vyplývá 𝐾1 = − 2 , 𝐾2 = 0 . Obecné řešení 1
nehomogenní diferenciální rovnice je tak 𝑦 = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥 − 2 𝑥 cos 𝑥. Dosadíme z první počáteční podmínky a je 𝐶1 = 1 . Derivujeme obecné řešení. Je 182
𝑦´ = −𝐶1 sin 𝑥 + 𝐶2 cos 𝑥 − a je 𝐶2 =
1 2
.
1 2
cos 𝑥 +
1 2
𝑥 sin 𝑥 . Dosadíme z druhé počáteční podmínky
Partikulární řešení vyhovující počátečním podmínkám Cauchyovy úlohy je 𝑦 = cos 𝑥 +
1 1 sin 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥 . 2 2
Důležitá poznámka: Výše uvedeným způsobem lze též řešit lineární diferenciální rovnici 1.řádu 𝑦´ + 𝑓(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) – viz odstavec 4.4., pokud je funkce 𝑓(𝑥) konstantní. Vyřešme si takto znovu příklad, který byl v tomto odstavci řešen metodou variace konstanty. PŘÍKLAD:
Řešme rovnici 𝑦´ + 2𝑦 = 𝑒 2𝑥 Charakteristická rovnice je tentokrát lineární rovnice tvaru 𝑘 + 2 = 0 a má jediný kořen 𝑘 = −2 . Řešení příslušné rovnice homogenní je tedy 𝑦 = 𝐶𝑒 −2𝑥 , 𝐶𝜖𝑅, (lineární kombinace řešení se zredukovala pouze na násobek). Odhad pro partikulární řešení nehomogenní rovnice je 𝑢∗ (𝑥) = 𝐾𝑒 2𝑥 , (𝛼 = 2, 𝑟 = 0). Jeho 1.derivace je 𝑢∗ ´ = 2𝐾𝑒 2𝑥 . Dosadíme do dané rovnice a máme 2𝐾𝑒 2𝑥 + 2𝐾𝑒 2𝑥 = 𝑒 2𝑥 , 1
tedy 4𝐾𝑒 2𝑥 = 𝑒 2𝑥 . Odtud je 𝐾 = . 4
1
Řešením dané rovnice je funkce 𝑦 = 𝐶𝑒 −2𝑥 + 4 𝑒 2𝑥 . Stejný výsledek jsme obdrželi v 4.4. metodou variace konstanty.
4.9. ŘEŠENÍ NEHOMOGENNÍ ROVNICE S KONSTANTNÍMI KOEFICIENTY A OBECNOU PRAVOU STRANOU
Pokud pravá strana nehomogenní diferenciální rovnice není ani tvaru a) ani b) , řešíme rovnici metodou variace konstant, to znamená, že v obecném řešení rovnice homogenní příslušné k rovnici nehomogenní považujeme konstanty za funkce (podobně jako u lineární rovnice 1.řádu), a tyto funkce se snažíme nalézt.
183
VĚTA: VARIACE KONSTANT
Nechť 𝑦 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 je obecné řešení homogenní rovnice 𝑎0 𝑦´´ + 𝑎1 𝑦´ + 𝑎2 𝑦 = 0, 𝑎0 ≠ 0, 𝑎1 , 𝑎2 𝜖 𝑅. Potom obecné řešení nehomogenní rovnice 𝑎0 𝑦´´ + 𝑎1 𝑦´ + 𝑎2 𝑦 = 𝑔(𝑥) je tvaru 𝑦 = 𝐶1 (𝑥)𝑦1 + 𝐶2 (𝑥)𝑦2 , kde funkce 𝐶1 ´(𝑥) a 𝐶2 ´(𝑥) jsou řešením soustavy rovnic 𝐶1 ´(𝑥) 𝑦1 + 𝐶2 ´(𝑥)𝑦2 = 0 𝐶1 ´(𝑥)𝑦1 ´ + 𝐶2 ´(𝑥)𝑦2 ´ =
𝑔(𝑥) 𝑎0
Tuto soustavu lze řešit s výhodou Cramerovým pravidlem. Determinant matice soustavy, tj. 𝑦1 𝑦2 determinant 𝑊 = |𝑦 ´ 𝑦 ´| , který je vzhledem k nezávislosti řešení 𝑦1 a 𝑦2 vždy 1 2 nenulový, se nazývá Wronského10 determinant (tzv. Wronskián), Je potom
𝐶1 ´(𝑥) =
𝑊1 𝑊
0 |𝑔(𝑥)
𝑦2
| 𝑦2 ´
𝑎0
=
𝑊
𝐶2 ´(𝑥) =
a
𝑊2 𝑊
=
𝑦1 0 𝑔(𝑥)| | 𝑦1 ´ 𝑎0
𝑊
.
Dále je 𝐶1 (𝑥) = ∫ 𝐶1 ´(𝑥)𝑑𝑥 a 𝐶2 (𝑥) = ∫ 𝐶2 ´(𝑥)𝑑𝑥 .
PŘÍKLAD:
Řešme rovnici 𝑦´´ − 2𝑦´ + 𝑦 =
𝑒𝑥
pro 𝑥 ≠ 0
𝑥
Nejprve nalezneme řešení homogenní rovnice: charakteristická rovnice má dvojnásobný kořen 1, tedy řešení homogenní rovnice je 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 𝑥 . Proto je 𝑦1 = 𝑒 𝑥 a 𝑦2 = 𝑥𝑒 𝑥 . Wronskián 𝑊 = |
Dále je 𝐶1 ´(𝑥) =
𝑒𝑥 𝑒𝑥
𝑊1 𝑊
𝑥𝑒 𝑥 | = 𝑒 2𝑥 + 𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑥𝑒 2𝑥 = 𝑒 2𝑥 . 𝑒 + 𝑥𝑒 𝑥 𝑥
0 |𝑒𝑥
=
𝑥
𝑥𝑒 𝑥
| 𝑒 𝑥 +𝑥𝑒 𝑥 𝑊
=
−𝑒 2𝑥 𝑊
= − 1 a 𝐶2 ´(𝑥) =
𝑊2 𝑊
=
𝑒𝑥 | 𝑥 𝑒 𝑊
0
𝑒𝑥 | 𝑥
=
𝑒2𝑥 𝑥
𝑊
1
= 𝑥.
Integrujeme funkce 𝐶1 ´(𝑥) a 𝐶2 ´(𝑥) a dostáváme ∫(−1)𝑑𝑥 = −𝑥 + 𝐷1 a 1
∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐷2 , kde 𝐷1 , 𝐷2 𝜖 𝑅 jsou libovolné navzájem nezávislé konstanty vzniklé integrací.
10
H. Wronski (1778-1853) byl polský matematik, který se zabýval teorií algebraických a diferenciálních rovnic. 184
Nyní dosadíme získané funkce do obecného řešení homogenní rovnice a dostaneme obecné řešení nehomogenní rovnice: 𝑦 = 𝐷1 𝑒 𝑥 + 𝐷2 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑥ln|𝑥|𝑒 𝑥 . 2. a 3. sčítanec lze sloučit, (je totiž 𝐷2 − 1 opět konstanta), a můžeme psát výsledek ve tvaru 𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝐷1 + 𝐷2 𝑥 + 𝑥ln|𝑥|) . PŘÍKLAD:
Řešme rovnici 𝑦´´ + 2𝑦´ + 𝑦 =
2𝑥+1 𝑥2𝑒 𝑥
pro 𝑥 ≠ 0
Řešení homogenní rovnice je 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 −𝑥 , je tedy 𝑦1 = 𝑒 −𝑥 , 𝑦2 = 𝑥𝑒 −𝑥 . 𝑒 −𝑥 Wronskián 𝑊 = | −𝑥 −𝑒
𝑥𝑒 −𝑥 𝑒 −𝑥 − 𝑥𝑒 −𝑥 | = −
0
𝑊1 = |2𝑥+1 𝑥2𝑒 𝑥
Dále je 𝐶1 (𝑥) = − ∫
𝑥𝑒 −𝑥 | = 𝑒 −2𝑥 , 𝑒 −𝑥 − 𝑥𝑒 −𝑥
2𝑥+1 𝑥
𝑑𝑥 a
𝑒 −𝑥 a 𝑊2 = |−𝑒 −𝑥
2𝑥+1 𝑥𝑒 2𝑥
𝐶2 (𝑥) = ∫
2𝑥+1 𝑥2
0
2𝑥+1| 𝑥2𝑒 𝑥
=
2𝑥+1 𝑥 2 𝑒 2𝑥
.
𝑑𝑥. 1
Integrujeme a dostáváme 𝐶1 (𝑥) = −2𝑥 − ln|𝑥| + 𝐷1 a 𝐶2 (𝑥) = 2ln|𝑥| − 𝑥 + 𝐷2 . Dosadíme do obecného řešení homogenní rovnice za 𝐶1 , 𝐶2 a dostáváme obecné řešení nehomogenní rovnice: 1
𝑦 = 𝐷1 𝑒 −𝑥 + 𝐷2 𝑥𝑒 −𝑥 − (2𝑥 + ln|𝑥|)𝑒 −𝑥 + (2ln|𝑥| − 𝑥) 𝑥𝑒 −𝑥 = 𝑒 −𝑥 (𝐷1 + 𝐷2 𝑥 − 2𝑥 − ln|𝑥| + 2𝑥ln|𝑥| − 1 ) = 𝑒 −𝑥 (𝐷1 + 𝐷2 𝑥 + (2𝑥 − 1)ln|𝑥|) , kde 𝐷1 , 𝐷𝜖 𝑅 . (Číslo (−1 ) lze vnořit do konstanty 𝐷1 a výraz (−2𝑥) do výrazu 𝐷2 𝑥. )
Poznámka: Metodou variace konstant je možno řešit i rovnice se speciální pravou stranou tvaru a) a b). Není to ale příliš vhodné, poněvadž tyto typy pravých stran vedou často na složité integrály, které je zpravidla nutno řešit několikanásobným užitím metody „per partes“.
185
4.10.
CVIČENÍ
1. Najděte obecné řešení diferenciální rovnice 1. řádu metodou separace: a) 𝑥 2 𝑦´ + 𝑦 = 0 ; b) 𝑦´ = 𝑒 𝑥+𝑦 ; c) 𝑦´tg 𝑥 = 𝑦 ; d) 𝑥𝑦(1 + 𝑥 2 )𝑦´ = 1 + 𝑦 2 1
[a) 𝑦 = 𝐾𝑒 𝑥 ; b) 𝑦 = −ln|𝐶 − 𝑒 𝑥 | ; c) 𝑦 = 𝐶sin 𝑥 ; d) (1 + 𝑦 2 )(1 + 𝑥 2 ) = 𝐶𝑥 2 ] 2. Řešte rovnice: a) (𝑥𝑦 2 + 𝑥)𝑑𝑥 + (𝑦 − 𝑥 2 𝑦)𝑑𝑦 = 0 ;
b) 3𝑒 𝑥 tg 𝑦 𝑑𝑥 =
𝑒 𝑥 −1 cos2 𝑦
𝑑𝑦
[a) 𝑦 2 = 𝐶(1 − 𝑥 2 ) − 1 ; b) tg 𝑦 = 𝐶(𝑒 𝑥 − 1)3 ]
3. Najděte partikulární řešení rovnice 𝑦´ = 2√𝑦 ln 𝑥 , 𝑦(𝑒) = 1. [ 𝑦 = (𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 1)2 ]
4. Pomocí substituce převeďte rovnici na separovatelnou rovnici a vyřešte ji: a) 𝑥𝑦´ = 2𝑦 − 𝑥 ; b) 𝑥 2 𝑦´ = 𝑦 2 ; c) 𝑥 2 𝑦´ − 𝑦 2 = 𝑥𝑦 𝑥
𝑥
[ a) 𝑦 = 𝐶𝑥 2 + 𝑥 ; b) 𝑦 = 1−𝐶𝑥 ; c) 𝑦 = − ln|𝐶𝑥|] 5. Řešte lineární diferenciální rovnice 1. řádu: a) 𝑥(𝑦´ − 𝑦) = 𝑒 𝑥 ; b) 𝑥𝑦´ − 2𝑦 = 𝑥 + 1 ; c) 𝑦´cos 𝑥 + 2𝑦 sin 𝑥 = 2sin 𝑥 1
[a) 𝑦 = 𝐷𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 ln|𝑥| ; b) 𝑦 = 𝐷𝑥 2 − 𝑥 − 2 ; c) 𝑦 = 𝐷 cos 2 𝑥 + 1]
6. Řešte Cauchyovu úlohu: a) 𝑦´ + 𝑥 2 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦(2) = 1;
b) 𝑦´ + 𝑦 = cos 𝑥 , 𝑦(0) = 1 a) 𝑦 = 1 , (obec. řeš. 𝑦 = 𝐷𝑒 −
𝑥3 3
+ 1) ; [ ] 1 cos 𝑥+sin 𝑥 −𝑥 −𝑥 b) 𝑦 = (𝑒 + sin 𝑥 + cos 𝑥) , ( obec. řeš. 𝑦 = 𝐷𝑒 + ) 2
2
7. Řešte homogenní rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty: a) 𝑦´´ + 3𝑦´ = 0 ; b) 𝑦´´ + 8𝑦´ + 25 = 0 ; c) 𝑦´´ + 7𝑦´ + 12𝑦 = 0 ; d) 𝑦´´ − 12𝑦´ + 36𝑦 = 0 ; e) 𝑦´´ + 9𝑦 = 0 [a) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 −3𝑥 ; b) 𝑦 = 𝑒 −4𝑥 (cos 3𝑥 + sin 3𝑥) ; c) 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −3𝑥 + 𝐶2 𝑒 −4𝑥 ; 186
d) 𝑦 = 𝐶1 𝑒 6𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 6𝑥 ; e) 𝑦 = cos 3𝑥 + sin 3𝑥 ]
8. Řešte nehomogenní rovnice 1. a 2. řádu s konstantními koeficienty: a) 𝑦´ + 3𝑦 = 𝑒 −3𝑥 ; b) 𝑦´ − 𝑦 = 𝑥 2 + 1 ; c) 𝑦´´ + 𝑦 = 𝑥 2 ; d) 𝑦´´ − 4𝑦 = 8𝑥 3 [a) 𝑦 = 𝐶𝑒 −3𝑥 + 𝑥𝑒 −3𝑥 ; b) 𝑦 = 𝐶𝑒 𝑥 − 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 ; c) 𝑦 = 𝐶1 cos 𝑥 + 𝐶2 sin 𝑥 + 𝑥 2 − 2 ; d) 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 − 2𝑥 3 − 3𝑥 ]
9. Řešte nehomogenní rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty: a) 𝑦´´ − 2𝑦´ + 𝑦 = 𝑒 2𝑥 ; b) 𝑦´´ − 2𝑦´ − 3𝑦 = 𝑒 3𝑥 ; c) 𝑦´´ − 2𝑦´ + 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑥
𝑥
[ a) 𝐶1 𝑒 + 𝐶2 𝑥𝑒 + 𝑒
2𝑥
; b) 𝑦 = 𝐶1 𝑒
3𝑥
+ 𝐶2 𝑒
−𝑥
𝑥 3𝑥 𝑥2 𝑥 + 𝑒 ; c) 𝑦 = (𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + ) 𝑒 ] 4 2
10. Řešte rovnice: a) 𝑦´´ − 3𝑦´ = 𝑥𝑒 𝑥 ; b) 𝑦´´ − 6𝑦´ = 16𝑥 + 5 − 𝑒 6𝑥 ; c) 𝑦´´ − 2𝑦´ + 5𝑦 = 𝑒 𝑥 (3𝑥 + 4) 𝑥 1 4 23 1 [𝑎) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 3𝑥 + 𝑒 𝑥 (− + ) ; b) 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 6𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥 − 𝑥𝑒 6𝑥 ; 2 4 3 18 6 3 𝑥 c) 𝑦 = 𝑒 (𝐶1 cos 2𝑥 + 𝐶2 sin 2𝑥 + 4 𝑥 + 1 ) ]
11. Řešte rovnice: a) 𝑦´´ − 4𝑦 = sin 𝑥 ; b) 𝑦´´ − 7𝑦´ + 6𝑦 = sin 𝑥 ; c) 𝑦´´ − 𝑦´ − 2𝑦 = 5 sin 2𝑥 1 1 [ a) 𝑦 = 𝐶1 𝑒 2𝑥 + 𝐶2 𝑒 −2𝑥 − sin 𝑥 ; b) 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 6𝑥 + (7 cos 𝑥 + 5 sin 𝑥) ; 5 74 1 3 c) 𝑦 = 𝐶1 𝑒 −𝑥 + 𝐶2 𝑒 2𝑥 + 4 cos 2𝑥 − 4 sin2𝑥 ]
12. Řešte Cauchyovu úlohu: 3𝑥
a) 4𝑦´´ + 18𝑦´ + 15𝑦 = 4𝑒 − 2 , 𝑦(0) = 3, 𝑦´(𝑦) = − b) 𝑦´´ + 𝑦 = cos 2𝑥
𝜋 , 𝑦 (2
)=
𝜋 1, 𝑦( 2 )
11 2
;
=5 3𝑥
5𝑥
2
1
[ a) 𝑦 = (1 + 𝑥)𝑒 − 2 + 2𝑒 2 ; b) 𝑦 = −5 cos 𝑥 + sin 𝑥 − cos 2𝑥 ] 3 3
13. Řešte rovnice metodou variace konstant: 1
𝑒𝑥
𝑒 −𝑥
a) 𝑦´´ + 3𝑦´ + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 +1 ; b) 𝑦´´ − 2𝑦´ + 𝑦 = 𝑥 2 ; c) 𝑦´´ + 2𝑦´ + 𝑦 = 1+𝑥 2
[ a) 𝑦 = 𝐷1 𝑒 −𝑥 + 𝐷2 𝑒 −2𝑥 + (𝑒 −𝑥 + 𝑒 −2𝑥 ) ln(𝑒 𝑥 + 1) ; b) 𝑦 = (𝐷1 + 𝐷2 𝑥 − ln|𝑥|)𝑒 𝑥 ; 187
c) 𝑦 = 𝑒 −𝑥 (𝐷1 + 𝐷2 𝑥 −
1 2
ln(1+𝑥 2 ) + 𝑥 arctg 𝑥) ]
14. Řešte metodou variace konstant: 1
a) 𝑦´´ + 𝑦 = cos3 𝑥 ; b) 4𝑦´´ + 𝑦 =
1
𝑥 2
cos
1 + tg 𝑥 sin 𝑥 ; 2 cos 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 b) 𝑦 = 𝐷1 cos + 𝐷2 sin + cos ln |cos | + sin ] 2 2 2 2 2 2 [𝑎) 𝑦 = 𝐷1 cos 𝑥 + 𝐷2 sin 𝑥 −
188
5. SEZNAM LITERATURY 1)
Coufal, J. – Klůfa, J.: Učebnice matematiky I. 1.vyd. Vysoká škola ekonomická, Praha 1996.
2)
ISBN: 978-80-86119-76-9. Došlá, Z. – Došlý, O.: Diferenciální počet funkcí více proměnných. Přírodovědecká fakulta
3)
Masarykovy univerzity, Brno 2005, ISBN 80-210-4159-5. Došlá, Z.: Matematika pro chemiky 2. Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, Brno 2011.
4)
ISBN 978-80-210-5432-5. Došlá, Z. – Liška, P.: Matematika pro nematematické obory s aplikacemi v přírodních a technických vědách. 1. vyd. Grada Publishing, Praha 2014. ISBN 978-80-247-5322-5.
5)
Došlá, Z. – Plch, R. – Sojka, P: Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem maple V. Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, Brno 1999. ISBN 80-210-2203-5.
6)
Gillman, L. – McDowell, R.: Matematická analýza. 1. vyd. Nakladatelství technické literatury,
7)
Praha 1980. Gurka, P.: Přednášky k předmětu Matematika 2. Jihlava 2014.
8)
Hojdarová, M. – Krejčová, J. – Zámková, M.: Matematika 1, VŠPJ, 2014. ISBN 978-80-87035-94-
9) 10)
8. Jarník, V.: Diferenciální počet I. Academia, Praha 1974. Jarník, V.: Diferenciální počet II. Academia, Praha 1984.
11) 12)
Kamarýt, A. – Mičunek, O. – Ptáček, M.: Matematika 3, VŠZ Praha,1979, 60-206-79 Kaňka, M. – Coufal, J. – Klůfa, J.: Učebnice matematiky pro ekonomy. 1. vyd. Ekopress, Praha
13)
2007. ISBN 978-80-86929-24-8. Kaňka, M.: Matematické praktikum – sbírka řešených příkladů z matematiky pro studenty vysokých škol. 1. vyd. Ekopress, Praha 2010. ISBN 978-80-86929-65-1.
14)
Kaňka, M.: Sbírka řešených příkladů z matematiky pro studenty vysokých škol. 1. vyd. Ekopress,
15) 16)
Praha 2009. ISBN 978-80-86929-53-8. Klůfa, J.: Matematika pro studenty VŠE. 1. vyd. Ekopress, Praha 2011. ISBN 978-80-86929-74-3. Kraus, M.: Matematika 2, VŠPJ, 2008. ISBN 978-80-87035-09-2.
17)
Mařík, R.: Interaktivní matematika – diferenciální počet. Home Page of Robert Mařík [online].
18)
2013, [cit. 2014-10-21]. Dostupné z: http://user.mendelu.cz/marik/wiki/doku.php?id=interaktivni_matematika.md Moučka, J. – Rádl, P.: Matematika pro studenty ekonomie. 1. vyd. Grada Publishing, Praha 2010.
19)
ISBN 978-80-247-3260-2. Rektorys, K.: Přehled užité matematiky I. 7.vyd. Prometheus, Praha 2000. ISBN 80-7196-180-9.
20) 21)
Růžička, J: Matematika 3, VŠZ Praha, 1981, 2944/80 Swokowski, E.W.: Calculus with analytic geometry, PWS Kent Publishing Company,1988, ISBN
22)
0-87150-008-6 Veselý, J.: Matematická analýza pro učitele, druhý díl. 1. vyd. Matfyzpress, Praha 1997. ISBN 8085863-62-6.
189
