LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K

LOGO

MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K.

BAB I. PENDAHULUAN

SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK

PERTAKSAMAAN

SISTEM KOORDINAT

GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA

www.themegallery.com

Company Logo

1.1. SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK Sistem bilangan real = dibangun oleh Himpunan bilangan ASLI (Natural Number), dengan notasi ; Himpunan bilangan BULAT (Integer), dengan notasi Z (berasal dari kata Zahlen) Himpunan bilangan RASIONAL, dengan notasi <

Himpunan bilangan IRRASIONAL, ditulis sebagai = \ <

1.1. SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK

1.1. SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK 

1.1. SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK 

1.1. SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK 

1.2. PERTAKSAMAAN (PTS) 1.2.1. PTS linier 1.2.2. PTS kuadrat 1.2.3. PTS bilinier

1.2.4. PTS polinom berderajat tinggi 1.2.5. PTS yang memuat nilai mutlak Trik dasar menyelesaikan PTS

1. Kedua ruas pertaksamaan ditambah dengan bilangan tak nol yang sama 2. Kedua ruas pertaksamaan dikalikan dengan bilangan positif yang tidak sama dengan 1. 3. Boleh mengalikan kedua ruas pertaksamaan dengan bilangan negatif namun jangan lupa mengubah tanda pertidaksamaan www.themegallery.com Company Logo

1.2.1. Pertaksamaan Linier

, , ,  Cara menyelesaikan:

1.2.2. Pertaksamaan Kuadrat

, , ,  Cara menyelesaikan:

1.2.3. Pertaksamaan Bilinear 𝑎𝑥+𝑏 Bentuk Umum: 𝑐𝑥+𝑑

⊕0

Cara menyelesaikan: 𝑏 𝑑 1. Lihat tanda di sekitar 𝑥 = − dan 𝑥 = − , 𝑎 𝑐 2. baca himpunan penyelesaiannya dari garis bilangan. 𝑑 3. Ingat-ingat .... 𝑥 ≠ − . 𝑐 𝑎𝑥+𝑏 Pengembangan Bentuk Umum: ⊕𝑝 𝑐𝑥+𝑑 Cara menyelesaikan: tambahkan −𝑝 pada kedua ruas, samakan penyebutnya, kembali ke bentuk umum bilinear awal. Caution: jangan mengalikan kedua ruas dengan 𝑐𝑥 + 𝑑, yaaa !!!

1.2.4. Pertaksamaan Polinom Berderajat tinggi Bentuk Umum: 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 ⊕ 0 Cara menyelesaikan: • Faktorkan bentuk 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 menjadi faktor-faktor linear dan faktor kuadrat yang tak dapat difaktorkan lagi • Lihat tanda di sekitar akar faktor-faktor linear • Baca himpunan penyelesaiannya berdasarkan tanda pada garis bilangan.

1.2.5. Pertaksamaan yang Memuat Nilai Mutlak Bentuk Umum: tidak ada Cara menyelesaikan: 1. Jika diketahui bahwa kedua ruas PTS bernilai positif, kedua ruas boleh dikuadratkan 2. Jika tidak, kembalikanlah ke definisi nilai mutlak. Sifat nilai mutlak yang lain: 1. 𝑥 2 = 𝑥 2. 𝑥 2 = 𝑥 2 3. 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ maka 𝑥 2 ≤ 𝑦 2 Sifat yang TIDAK BENAR: 1. −𝑥 = 𝑥 2. 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 2 ≤ 𝑦 2

Koreksi: 1. −𝑥 = 𝑥 2. 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝑥 2 ≤ 𝑦 2 , ∀𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

1.3. Sistem Koordinat  Sistem koordinat dua dimensi =2 = = x = atau KOORDINAT BIDANG yang sering kita gunakan adalah sistem koordinat Cartesius  Setiap titik di di bidang dinyatakan sebagai pasangan terurut (𝑥, 𝑦) dengan 𝑥, 𝑦 ∈R  Misalkan 𝑃 = (𝑥1 , 𝑦1 ) dan 𝑄 = (𝑥2 , 𝑦2 ) maka  Jarak antara P dan Q adalah 𝑃𝑄 = 𝑃 − 𝑄 = 𝑑 𝑃, 𝑄 = (𝑥1 − 𝑥2 )2 +(𝑦1 − 𝑦2 )2  Koordinat titik tengah ruas garis 𝑃𝑄 adalah 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 , 2 2  Persamaan lingkaran berpusat di P berjari-jari r adalah (𝑥 − 𝑥1 )2 +(𝑦 − 𝑦1 )2 = 𝑟 2

1.4 Grafik Persamaan Sederhana 1.Grafik persamaan linear 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 2.Grafik persamaan kuadrat 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 3.Grafik persamaan kubik 𝑦 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 4.Grafik 𝑦 =

1 𝑥

5.Grafik 𝑦 = 𝑥

6.Grafik 𝑦 = 𝑥

Operasi grafis terhadap suatu fungsi Bila grafik fungsi f(x) diketahui maka dapat disketsa grafik fungsi baru yang diperoleh dari fungsi f(x) dengan melakukan beberapa operasi secara grafis (geometris)

NO.

FUNGSI BARU

OPERASI

1.

f(x) + k, k > 0

Geser ke atas k satuan.

2.

f(x+k), k > 0

Geser ke kiri k satuan.

3.

- f(x)

Cerminkan terhadap sumbu x.

4.

f(-x)

Cerminkan terhadap sumbu y.

5.

| f(x) |

Abadikan bagian grafik f(x) yang di atas sumbu x, bagian grafik yang di bawah sumbu x dicerminkan terhadap sumbu x.

6.

f( | x | )

Abadikan bagian grafik f(x) yang di sebelah kanan sumbu y, bagian grafik yang di sebelah kiri sumbu y dihapus, diganti dengan hasil pencerminan bagian sebelah kanan terhadap sumbu y.

Contoh : Sketsa grafik fungsi y  x 2  6 x  8 dapat diperoleh dari grafik fungsi y  x 2 , sebab y  x 2  6 x  8  ( x  3) 2  1. Langkah  langkah : grafik y  x 2 digeser ke kiri 3 satuan, lalu digeser ke bawah 1 satuan . Selanjutny a bagian grafik yang di bawah sumbu x dicerminkan terhada p sumbu x. y  ( x  3) 2 y  x2 y  ( x  3) 2  1

y  ( x  3)2  1