PENDAHULUAN KALKULUS

Pendahuluan Kalkulus

PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu kah anda bilangan apa saja yang termasuk pada kategori bilangan-bilangan tersebut? Bilangan-bilangan yang merupakan anggota bilangan asli adalah 1, 2, 3, ... . Bilangan asli biasanya dinyatakan dengan ℕ. Secara matematis himpunan bilangan asli dapat ditulis sebagai berikut. ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, … Bilangan asli ini disebut juga sebagai bilangan yang paling sederhana. Himpunan bilangan asli ditambahkan dengan 0 maka himpunan bilangan tersebut menjadi {0,1, 2, 3, ... } . Himpunan bilangan tersebut merupakan bilangan cacah. Bilangan cacah biasanya dinotasikan dengan ℂ. Sehingga himpunan bilangan cacah dapat ditulis sebagai berikut. ℂ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Himpunan bilangan cacah ditambahkan negatif dari bilanganbilangan asli maka himpunan bilangan tersebut adalah bilangan bulat. Bilangan bulat dapat juga dinotasikan dengan ℤ. Secara matematis, himpunan bilangan bulat dapat ditulis sebagai berikut. ℤ = −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Dalam pengkuran, bilangan-bilangan bulat kurang memadai untuk digunakan karena tidak memiliki ketelitian yang cukup. Hal ini dapat menuntun kepada pembagian/rasio dua bilangan bulat yang dikenal sebagai bilangan rasional/terukur atau ℚ. Bilangan yang merupakan bilangan a rasional dapat dinyatakan ke dalam bentuk dengan b ≠ 0 , a dan b b adalah bilangan bulat. Sehingga bilangan rasional dapat dikatakan merupakan gabungan dari bilangan bulat dan pecahan. Kekurangan dari bilangan rasional dapat memberikan hasil berupa bilangan irrasional. Gabungan bilangan rasional dan irrasional yang dapat mengukur panjang (positif) beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut dan nol disebut juga bilangan real atau ℝ. Sistem bilangan tidak hanya berakhir pada bilangan real saja, melainkan dapat diperluas lagi menjadi sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks berbentuk a + ib

1 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd


dengan a dan b adalah bilangan real. Akan tetapi pembahasan sistem bilangan konsep ini akan dibahas pada bahasan fungsi kompleks. Setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai desimal, karena bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat. Jika pembilang dibagi dengan penyebut maka dihasilkan suatu bentuk desimal. Bilangan Real (ℝ) Bilangan Rasional (ℚ) Bilangan Bulat (ℤ) Bilangan Cacah (ℂ) Bilangan Asli (ℕ)

Ada dua dentuk desimal dari bilangan rasional, yaitu bentuk desimal berakhir dan bentuk desimal berulang. Bentuk desimal berakhir biasanya diakhiri dengan nol yang berulang. Contoh 1 : Bentuk desimal berakhir 2 1 6 = 0,4 = 0,4000000... = 0,375 = 0,375000000... = 2 = 2,000000 5 8 3 Bentuk desimal berulang 1 5 1 = 0,3333333333..... = 0,714285714285... = 0,1666666666... 3 7 6 Jika bilangan rasional dapat dinyatakan ke dalam bentuk desimal berakhir dan berulang, dapatkah berlaku kebalikannya yaitu bilang yang mempunyai bentuk desimal berakhir dan berulang dapat dikatakan sebagai bilangan rasional? Contoh 2 : Buktikan apakah 0,175 ; 0,136136136... ; 0,17171717... Jawab : 175 7 0,175 = = 1000 40 Misalkan x = 0,136136136... maka 1000x = 136,136136... sehingga



1000 x = 136,136136 ... x = 0,136136 ... 999 x = 136 x=

−

136 999

Misalkan y = 0,17171717... maka 100 x = 17,171717... sehingga 100 x = 17,171717 ...

x = 0,171717 ... 99 x = 17 x=

−

17 99

Jadi dapat disimpulkan bahwa bilangan bentuk desimal berakhir dan berulang merupakan bilangan rasional Bentuk akar dari bilangan rasional pada umumnya merupakan bilangan irrasional. Selain itu ada juga bilangan yang bukan bentuk akar yang juga merupakan bilangan irrasional. Contoh 3 : Bentuk Akar

2 = 1, ,414213562 ... 4

27 = 2,279507057...

5

125 = 2,626527804...

Bentuk Bukan Akar

π = 3,141592654 ... log 2 = 0,3010299957 ...

Akan tetapi ada bentuk akar yang hasilnya merupakan bilangan rasional sehingga bentuk akar tersebut tidak bisa dikategorikan sebagai bilangan irrasional seperti

16 = 4 ; 81 = 9 ; 3 125 = 5 ; 4 1296 = 6 . Selain itu, ada juga

bentuk bukan akar yang hasilnya merupakan bilangan rasional sehingga menjadikannya bukan bilangan irrasional seperti

log100 = 2 ; 2 log 8 = 3 ; 3 log 81 = 4 . SIFAT-SIFAT PADA BILANGAN REAL Sifat-sifat Operasi pada Bilangan Real Asosiatif Penjumlahan : a + (b + c) = (a + b) + c



Perkalian : a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c Komutatif Penjumlahan : a + b = b + a Perkalian : a ⋅ b = b ⋅ a Distributif Depan : a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c Belakang : (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a Identitas Penjumlahan : a + 0 = 0 + a = a Perkalian : a ⋅1 = 1 ⋅ a = a Invers (Kebalikan) Penjumlahan : a + (−a) = (−a) + a = 0

1 1 = ⋅a =1 a a dengan a, b, c adalah bilangan real. Perkalian : a ⋅

Sifat-sifat Urutan pada Bilangan Real Himpunan bilangan real yang anggotanya selain nol dipisahkan sama besar menjadi dua himpunan yaitu himpunan bilarang real positif dan negatif. Sehingga kita mengenal tanda-tanda seperti < (dibaca “lebih kecil daripada”), > (dibaca “lebih besar daripada”), = (dibaca “sama dengan”). Jika x < y maka y − x positif. Selain itu juga diperoleh bahwa x < y = y > x . Berikut ini adalah sifat-sifat urutan pada bilangan real yaitu a. Trikotomi Jika x dan y adalah bilangan real maka salah satu di antara tiga hal berikut ini akan berlaku x < y atau x = y atau x > y

b. Transitif Jika x < y dan y < z maka x < z , dengan x, y , z adalah bilangan real. Jika x > y dan y > z maka x > z , dengan x, y , z adalah bilangan real. c. Penjumlahan x < y ⇔ x+z < y+z; x > y ⇔ x+z > y+z d. Perkalian z adalah bilangan real positif, x < y ⇔ x ⋅ z < y ⋅ z , x > y ⇔ x ⋅ z > y ⋅ z

z adalah bilangan real negatif, x < y ⇔ x ⋅ z > y ⋅ z , x > y ⇔ x ⋅ z < y ⋅ z Tanda ≤ (dibaca “ lebih kecil daripada atau sama dengan”) dan ≥ (dibaca “ lebih besar daripada atau sama dengan”) juga melambangkan



urutan suatu bilangan real. Jika x ≤ y maka y − x positif atau nol. Jika x ≥ y maka x − y positif atau nol. Sifat-sifat b, c, dan d dapat juga berlaku untuk tanda ≤ dan ≥. 2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN INTERVAL Persamaan Persamaan adalah suatu kalimat matematika yang mengandung nilai-nilai yang belum diketahui (variabel/peubah) dan dihubungkan oleh tanda kesamaan (“=”). Persamaan biasanya didefinisikan berdasarkan banyak variabelnya, pangkat tertinggi variabel, atau jenis variabelnya. Penyelesaian dari persamaan adalah satu atau sejumlah bilangan berhingga yang membuat persamaan menjadi berlaku. Menyelesaikan suatu persamaan adalah tugas dasar dalam matematika. Contoh 4 : 15 = 5. Persamaan linear 3 x − 10 = 5 dengan penyelesaian adalah x = 3 Persamaan kuadrat x 2 − x − 6 = 0 dengan penyelesaian adalah x1 = 3 dan

x2 = −2 . 1

x

Persamaan eksponen 2 2 = 8 dengan penyelesaian adalah x = 6 . Pertidaksamaan dan Interval Pertidaksamaan Pertidaksamaan mempunyai karakteristik yang kurang lebih sama dengan persamaan. Perbedaannya terletak pada tanda hubung yang digunakan yaitu “<, >, ≤, ≥”. Selain itu himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan adalah seluruh bilangan yang berada pada interval bilangan. Contoh 5 :

3x − 10 < 5

x2 − x − 6 ≤ 0

Interval Ada tiga jenis interval yang biasanya dijumpai yaitu interval terbuka, tertutup, dan kombinasi keduanya. Interval terbuka biasanya menggunakan tanda “>”, “<” atau keduanya, misal a < x < b . Interval terbuka a < x < b sebenarnya terdiri dari dua buah pertidaksamaan x > a dan x < b yang menunjukkan semua bilangan di antara titik dan tapi tidak termasuk titik dan . Interval terbuka biasanya dinyatakan dengan tanda kurung “ ( , ) ”. Interval tertutup biasanya menggunakan tanda “≤”, “≥” atau



keduanya, misal a ≤ x ≤ b . Interval tertutup a ≤ x ≤ b sebenarnya terdiri dari dua buah pertidaksamaan x ≥ a dan x ≤ b yang menunjukkan semua bilangan di antara titik dan termasuk titik dan . Interval tertutup biasanya dinyatakan dengan tanda kurung “ [ , ] ”. Kombinasi dari interval tertutup dan terbuka seperti a ≤ x < b ; a < x ≤ b dapat dinyatakan dengan tanda kurung “ [ , ) “ dan “ ( , ] ”. Adapun beragam kemungkinan interval dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1. Ragam Kemungkinan Interval Penulisan Penulisan Grafik Himpunan Interval ( a, b) {x : a < x < b}

(

a

{x : a ≤ x ≤ b}

[a, b]

[

a

{x : a ≤ x < b}

[a, b )

[

a

{x : a < x ≤ b}

[a, b )

(

a

{x : x ≤ b}

(− ∞, b]

)

b

] b

) b

] b

] b

{x : x < b}

(− ∞, b )

] b

{x : x ≥ a}

[a, ∞ )

[

{x : x > a}

(a, ∞ )

(

a

a

ℝ

(− ∞, ∞ )

Penyelesaian Pertidaksamaan Pertidaksamaan dapat diselesaikan tanpa mengubah himpunan penyelesaian. Khususnya: a. Menjumlahkan bilangan yang merupakan invers penjumlahan pada kedua ruas dari suatu pertidaksamaan. 6 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd


b. Mengalikan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan positif. c. Mengalikan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan negatif, tetapi kemudian arah tanda pertidaksamaan harus dibalik. Contoh 6 : Selesaikan pertidaksamaan 2 x − 7 < 4 x − 2 dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaiannya. Jawab: 2x − 7 + 7 < 4x − 2 + 7 ( tambahkan 7) (−4 x) + 2 x < (−4 x) + 4 x + 5 ( tambahkan (−4 x)) − 2x < 5 1 1 − ⋅ (−2 x) < − ⋅ 5 2 2

x>−

5 2

 1 (kalikan  −  )  2  1 (ubah tanda karena perkalian dengan  −  )  2

(

− 3 − 2 −1 0 1 2 3 Contoh 7 : Selesaikan pertidaksamaan − 5 ≤ 2 x + 6 < 4 dan perlihatkan grafik himpunan penyelesaiannya. Jawab : − 5 ≤ 2x + 6 <4 − 5 + (−6) ≤ 2 x + 6 + (−6) < 4 + (−6) − 11 ≤ < −2 2x 1 1 1 − 6 − 5 − 4 − 3 − 2 −1 0 ⋅ (−11) ≤ ⋅ 2 x < ⋅ (−2) 2 2 2 11 − ≤ < −1 x 2 Contoh 8 :

[

)

Selesaikan pertidaksamaan x 2 − x − 6 < 0 . Jawab : x2 − x − 6 < 0 ( x − 3)( x + 2) < 0 dari perhitungan diperoleh x − 3 = 0 ⇔ x = 3 dan x + 2 = 0 ⇔ x = −2 . Jadi titik -2 dan 3 adalah titik pemisah.Untuk penyelesaian dari pertidaksamaan tentukan terlebih dahulu titik uji pada interval (−∞,−2), (−2,3) dan (3, ∞) . Pada interval (−∞,−2) titik uji yang dipilih adalah − 3 , pada interval (−2,3) 7 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd


titik uji yang dipilih adalah 0 dan pada interval (3, ∞) titik uji yang dipilih adalah 4 . Maka proses selanjutnya adalah Titik Uji Nilai dari ( x − 3) ( x + 2) − −3 − − + 0 + + 4

Tanda ( x − 3)( x + 2) + − +

Karena ( x − 3)( x + 2) < 0 maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut berada pada interval (−2, 3)

atau

x > −2 dan

x < 3 . Grafik

himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dapat digambarkan sebagai berikut. Titik uji

(

−3 −2 − 1 0 1 2 − + Titik Pemisah

)

3 4 +

Titik Pemisah

Nilai Mutlak Nilai mutlak suatu bilangan real

x , dinyatakan oleh

x ,

didefinisikan sebagai

x =x

jika x ≥ 0

x = −x

jika x < 0

Contoh 9 : 6 =6

0 =0

− 5 = − ( −5) = 5

Dari definisi nilai mutlak tidak ada menjelaskan bahwa

− x = x (lihat

Contoh 9). Akan tetapi adalah benar bahwa x selalu taknegatif dan adalah benar juga bahwa − x = x . Mencoba membayangkan x sebagai jarak antara x dengan titik asal yaitu 0 dan x − a sebagai jarak antara titik x dengan a merupakan salah satu cara terbaik untuk memahami nilai mutlak. −x =x

−x

x =x

0

x−a = a−x

x


a

x


Sifat-sifat Nilai Mutlak a. a ⋅ b = a ⋅ b b.

a a = b b

c. a + b ≤ a + b d. a − b ≥ a − b Pertidaksamaan yang Melibatkan Nilai Mutlak a. x < a ⇔ −a < x < a b. x > a ⇔ x < − a

x>a

atau

Contoh 10 : Selesaikanlah pertidaksamaan x − 4 < 2 . Jawab : Jika ditambahkan 4 pada ketiga ruas maka diperoleh x − 4 < 2 ⇔ −2 < x − 4 < 2 ⇔ −2 + 4 < x − 4 + 4 < 2 + 4 ⇔2< x<6

Jika memandang x − 4 < 2 sebagai jarak maka jarak antara titik x dan 4 harus lebih kecil daripada 2 .

1

(

2 3

4 5

)

6

7

Sehingga nilai x yang memenuhi adalah seluruh bilangan yang ada di antara 2 dan 6, yaitu 2 < x < 6 . Contoh 11 : Selesaikanlah pertidaksamaan 3 x − 5 ≥ 1 . Jawab :

3x − 5 ≥ 1 ⇔

3 x − 5 ≤ −1

⇔ 3x − 5 + 5 ≤ −1 + 5 ⇔ 3x ≤ 4 ⇔

x≤

4 3

atau

3x − 5 ≥ 1

atau atau

3x − 5 + 5 ≥ 1 + 5 3x ≥ 6

atau

] 2[

x≥2

3 4 5 Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah gabungan dua interval 4  yaitu  − ∞,  ∪ [ 2 , ∞ ) . 3 

−1


0 1


Kuadrat yang Melibatkan Nilai Mutlak a. x

2

= x2

b. x = x 2 Apakah operasi kuadrat mempertahankan pertidaksamaan? Misal − 4 < 3 tetapi

(− 4)2 > 32 ,

sebaliknya 2 < 4 dan 2 2 < 4 2 . Dari dua hal tersebut

diperoleh bahwa pertidaksamaan.

operasi

kuadrat

tidak

selalu

mempertahankan

Jika bekerja hanya pada bilangan taknegatif maka a < b ⇔ a 2 < b 2 . Sehingga jika mengingat bahwa nilai mutlak suatu bilangan real adalah taknegatif maka x < y ⇔ x 2 < y 2 . Contoh 12 : 3x + 1 < 2 x − 6 ⇔

⇔

3x + 1 < 2 x − 12

(3x + 1)2 < (2 x − 12)2

⇔ 9 x 2 + 6 x + 1 < 4 x 2 − 48 x + 144 ⇔ 5 x 2 + 54 x − 143 < 0 ⇔ ( x + 13)(5 x − 11) < 0 Diperoleh tiga interval yaitu (−∞,−13) , (− 13, 115 ) dan

(115 , ∞) .

Titik Uji

Nilai dari Tanda ( x + 13 )(5 x − 11) ( x + 13) (5x − 11) − − + − 14 + − − 0 + + + 3 Karena ( x + 13)(5 x − 11) < 0 maka himpunan penyelesaiannya adalah semua bilangan yang berada pada interval (− 13, 115 ) . 3. SISTEM KOORDINAT CARTESIUS Koordinat Cartesius dibentuk oleh dua garis bilangan real yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik nol kedua garis. Garis mendatar di sebut sumbu dan garis tegak disebut sumbu . Titik potong keduanya dinamakan titik asal dan diberi label Ο. Sumbu-sumbu koordinat membagi bidang menjadi empat daerah yang disebut kuadran, yaitu kuadran I, II, III, dan IV (Lihat Gambar 2). Tiap titik P (Lihat Gambar 3) pada bidang koordinat dapat dinyatakan oleh sepasang bilangan sebagai titik koordinatnya. Jika P mempunyai koordinat ( , ), maka suatu garis tegak yang melalui P akan



memotong sumbu di , dan suatu garis mendatar yang melalui akan memotong sumbu di . Titik ( , ) merupakan pasangan terurut dan sehingga urutannya tidak bisa dibalik. Bilangan pertama di koordinatdan bilangan kedua di koordinat- Bilangan disebut absis dan bilangan disebut ordinat. y y

P(a,b) b Kuadran I

Kuadran II

x

Ο

Kuadran III

a

Ο

x

Kuadran IV

Gambar 2

Gambar 3

Rumus Jarak y

Q ( x2 , y2 ) d

P ( x1 , y 1 ) Ο

Jarak

(d )

x

Gambar 4 antara dua titik P dan Q yang masing-masing mempunyai

koordinat ( x1 , y1 ) dan ( x2 , y2 ) adalah:

d ( P, Q ) =

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

Contoh 13 : Carilah jarak antara (−2, 3) dan (4, − 1) ! Jawab :



d= =

(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 (4 − (−2))2 + ((−1) − 3)2

= 6 2 + (−4) 2 = 36 + 16 = 52 ≈ 7,21 Rumus Titik Tengah Dua titik P ( x1 , y1 ) dan Q ( x2 , y 2 ) dengan x1 ≤ x2 dan y1 ≤ y 2 . Jika P dihubungkan oleh sebuah garis lurus ke Q maka jarak antara x1 dan x2 adalah x2 − x1 serta jarak antara y1 dan y 2 adalah y 2 − y1 . Titik tengah ruas garis yang menghubungkan P dan Q berada pada pertengahan garis penghubung kedua titik tersebut. Pertengahan garis penghubung kedua titik tersebut dapat dicari dengan membagi dua jarak antara x1 dan x2 serta

x2 − x1 y − y1 dan 2 . Titik tengah 2 2 ruas garis yang menghubungkan P dan Q adalah x −x 2 x + x 2 − x1 x1 + x2 = x1 + 2 1 = 1 2 2 2 y − y1 2 y1 + y 2 − y1 y1 + y 2 = = y1 + 2 2 2 2 Jadi titik tengah ruas garis yang menghubungkan P dan Q adalah  x1 + x 2 y1 + y 2  ,   2   2

jarak antara y1 dan y 2 . Sehingga diperoleh

Contoh 14 : Tentukan jarak antara

(−2,3) dengan titik tengah ruas garis yang

menghubungkan titik (−2,−2) dan (4,3) . Jawab : Titik tengah ruas garis yang menghubungkan titik (−2,−2) dan (4,3) adalah  x1 + x2 y1 + y 2   − 2 + 4 − 2 + 3  , ,  =  2  2   2  2 2 1 = ,  2 2  1 = 1,   2



d ((− 2,3), (1, 12 )) =

(1 − (−2))2 +  1 − 3  2

2



2

25 61  5 = 3 + −  = 9 + = ≈ 3,91 4 4  2 2

4. GARIS DAN PERSAMAAN GARIS Garis Pengertian Garis atau garis lurus adalah objek geometri yang terbentuk dari paling sedikitnya dua titik yang terhubung. Dari satu titik dapat dibuat tak terhingga banyaknya garis, namun dari dua titik hanya dapat dibuat satu garis. Kedudukan Dua Garis Dua garis berpotongan Dua garis dikatakan berpotongan jika keduanya berpotongan di satu titik yang disebut titik potong. Jika perpotongan dua garis tersebut pada satu membentuk sudut 90 maka dua garis itu disebut saling tegak lurus. Dua garis sejajar Dua garis dikatakan sejajar jika garis tersebut berada pada satu bidang dan jika diteruskan tidak akan berpotongan atau dengan kata lain kedua garis tersebut tidak mempunyai titik potong. Dua garis berhimpit Dua garis dikatakan berhimpit jika kedua garis mempunyai paling sedikit dua titik potong. Gradien/Kemiringan y

B ( x2 , y2 ) y2 − y1

A ( x1 , y1 )

x2 − x1 Ο

Gambar 5


x


Umumnya (Gambar 5) untuk sebuah garis melalui A( x1 , y1 ) dan

B(x2 , y 2 ) dengan x1 ≠ x2 , kemiringan ( ) dari garis tersebut adalah m=

y 2 − y1 x2 − x1

(*)

Contoh 15 : Gradien garis yang melalui titik (3,2 ) dan (4,0 ) adalah m=

y 2 − y1 0 − 2 − 2 = = = −2 x2 − x1 4 − 3 1

Berdasarkan (*), maka untuk gradien garis-garis horizontal (sejajar sumbu ) adalah bernilai 0, sedangkan garis-garis vertikal (sejajar sumbu ) nilainya tidak didefinisikan (karena adanya pembagian dengan 0). Dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama: m1 = m2 . Sedangkan dua garis yang saling tegak lurus mempunyai gradien yang 1 . saling berlawanan dan berkebalikan: m1 = − m2 Persamaan Garis Persamaan garis dapat disusun dari dua titik koordinat yang dilalui garis atau satu titik koordinat yang dilalui dan besar kemiringannya. Bentuk umum persamaan garis lurus adalah Ax + By + C = 0 Persamaan garis yang melalui satu titik ( x1 , y1 ) dengan gradien m adalah

y − y1 = m ( x − x1 ) Jika satu garis mempunyai titik potong di sumbu

misal di titik (0, b )

seperti maka kemiringan garis tersebut adalah

y = mx+b Garis yang melalui dua titik A( x1 , y1 ) dan B(x2 , y 2 ) maka persamaan garisnya adalah x − x1 y − y1 = x2 − x1 y 2 − y1

Contoh 16 : Tentukan persamaan garis yang melalui titik (− 4,2) dan (6,−1) ! Jawab : y − y1 −1 − 2 3 = =− m= 2 x2 − x1 6 − (−4) 10 Pilih salah satu titik dan gunakan persamaan garis yang melalui satu titik.



y − y1 = m ( x − x1 )

y − y1 = m ( x − x1 )

3 3 ( x − ( − 4) ) y − (−1) = − ( x − 6 ) 10 10 3 18 3 y − 2 = − (x + 4) y +1 = − x + 10 10 10 3 12 3 18 y =− x− +2 y = − x + −1 10 10 10 10 3 8 3 8 y =− x+ y =− x+ 10 10 10 10 3 4 3 4 y =− x+ y =− x+ 10 5 10 5 atau tanpa menghitung gradiennya, dapat juga dicari dengan menggunakan persamaan garis yang melalui dua titik. x − x1 y − y1 3 = y−2 = − (x + 4) x2 − x1 y 2 − y1 10 3 12 x − ( − 4) y−2 y =− x− +2 = 10 10 6 − (−4) − 1 − 2 3 8 x+4 y−2 y =− x+ = 10 10 6+4 −1− 2 3 4 x+4 y−2 y =− x+ = 10 5 10 −3 y−2=−

Jadi persamaan garis yang melalui titik (− 4,2) dan (6,−1) adalah

y=−

3 4 x+ 10 5

5. EVALUASI Latihan 1 1) Sederhanakanlah soal berikut ini: a. 4 − 2(8 − 11) + 6 b. 5(− 1(7 + 12 − 16) + 4) + 2 c.

3 3 1 + − 4 − 7 21 6

14  2    d. 21  5 − 13 

e. f.

( (

)( 7)

2

5+ 3 3+

5− 3

)

2



2) Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini. a. (3x − 9)(2 x + 1)

b.

(2 x − 11)3

x2 − x − 6 x+2 2 y d. + 2 6 y − 2 9 y −1

c.

3) Ubahlah bilangan rasional ini menjadi desimal. 11 a. 3 5 b. 17 15 c. 8 3 d. 8 4) Ubahlah desimal berikut ini menjadi suatu hasil bagi bilangan bulat. a. 0,123123123 … b. 2,5656565656 … c. 0,375 d. 0,64 Latihan 2 1) Gambarlah grafik dari interval berikut ini. a. (− 5, 3) 2  b.  ,5 8   3  c. − ,2   4  7  d.  − 2,  2  2) Nyatakan himpunan penyelesaiannya dalam cara penulisan interval dan sketsalah grafiknya. a. x − 7 < 2 x − 5 e. (2 x + 3)( x − 1)( x − 3) > 0 b. 5 x − 3 > 6 x − 4 f. x 3 − 5 x 2 − 6 x < 0 c. − 3 < 1 − 6 x ≤ 4 g. x − 2 ≥ 5 2 <5 d. h. 4 x + 5 ≤ 7 x 16 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd


i. j.

2x −1 ≥ x −1

k.

3x − 1 < 2 x − 6

2 2 x − 3 < x + 10

Latihan 3 1) Gambarlah titik-titik berikut ini dalam bidang koordinat dan carilah jarak antara titik-titik tersebut. a. (2,−1), (5,3) b. c. d.

(4,2), (2,4) (− 1,5), (6,3) (4,5), (5,−8)

2) Buktikan bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya adalah (5,3), (− 2,4) dan

(10,8) adalah sama kaki. (− 2,3) dengan menghubungkan (− 2,−2) dan (4,3) .

3) Tentukan jarak antara

titik tengah ruas garis yang

4) Carilah titik pada sumbu-x yang berjarak sama dari (3,1) dan (6,4) . 5) Carilah panjang ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah dengan ruas-ruas AB dan CD dengan A = (1,3), B = (2,6), C = (4,7 ) dan

D = (3,4 ) . Latihan 4 1) Carilah kemiringan dari garis yang melalui dua titik berikut ini. a. (1,1) dan (2,2) b. (2,3) dan (- 5,-6) c. (3,5) dan (4,7 ) d. (2,−4) dan (0,-6) e. (3,0) dan (0,5) f.

(− 6,0) dan (0,6)

2) Carilah persamaan untuk tiap garis dan tulislah dalam bentuk Ax + By + C = 0 .

a. Melalui (3,4 ) dan gradien −1. b. Melalui (2,3) dan gradien 4. c. Memotong sumbu- di 3 dan gradien 2. d. Memotong sumbu- di 5 dan gradien 3. e. Melalui (2,3) dan (4,8) f. Melalui (4,1) dan (8,2 )



3) Carilah gradien dan perpotongan pada sumbu- untuk tiap garis berikut ini. a. 3 y = −2 x + 1

b. 2 y = 5 x + 2 c. 2 x + 3 y = 6 d. 5 x + 4 y = 20 4) Tulislah persamaan garis yang (3,−3) yang:

a.

Sejajar garis y = 2 x + 5

b. Sejajar garis yang melalui (− 1,2)dan (3,-1) c.

Tegak lurus garis 2 x + 3 y = 6

===SELAMAT BEKERJA===


PENDAHULUAN KALKULUS

Recommend Documents