LINEÁRNÍ ELEKTRICKÝ MOTOR V SYSTÉMU AKTIVNÍHO TLUMENÍ KRUCZEK ALEŠ, STŘÍBRSKÝ ANTONÍN České vysoké učení technické, Fakulta elektrotechnická Katedra řídicí techniky, Karlovo náměstí 13, 121 35 Praha 2 tel. +420 224 357 279, fax +420 224 357 330
[email protected],
[email protected]
Abstrakt: V tomto příspěvku je popsáno využití lineárního motoru v systému aktivního tlumení pérování automobilu. Zcela ojedinělý přístup k řízení těchto systémů spočívá právě ve využití lineárního motoru jako akčního členu pro generování potřebné síly. Aktivní tlumení pérování v automobilu má dva hlavní důvody použití – zvýšení komfortu pasažéra a zlepšení jízdních vlastností. Bohužel oba požadavky jsou protichůdné a není možné zároveň je splnit pouze pasivním tlumením. K návrhu regulátoru je použita metoda H∞, která byla implementována do programového prostředí Matlab a byl získán vhodný regulátor splňující jak výslednou kvalitu, tak robustnost regulátoru. Pro analýzu a syntézu problému byl použit čtvrtinový model automobilu. Ze získaných výsledků je patrné, že kombinace H∞ teorie a použití lineárního motoru v systému pérování tlumení je velice výhodné. Klíčová slova: aktivní tlumení pérování, lineární motor, H∞ řízení, robustní řízení, výstupní zpětná vazba
1 ÚVOD Cílem článku je představit nový přístup k řízení aktivního tlumení pérování v automobilu. Jako akční člen je použit lineární elektrický motor, čímž je možno získat několik zásadních výhod. Ta hlavní je, že lineární elektrický motor může obecně pracovat také v generátorovém režimu a tedy vyrábět elektrickou energii pro své další použití. Stručně řečeno, použití aktivního tlumení má dva hlavní důvody použití – zvýšit komfort vozidla pro pasažéra a vylepšit jízdní vlastnosti během řízení. Jízdní komfort může být popsán jako zmenšení zrychlení karoserie nebo jako omezení maximálního překmitu odpružené hmoty při průjezdu nerovnou vozovkou. Navíc je potřeba brát v úvahu, že člověk je na vertikální zrychlení nejcitlivější v rozsahu 4 až 8Hz. Dalším požadavkem tedy je zlepšení jízdního komfortu zejména v tomto frekvenčním pásmu. Jízdní vlastnosti lze charakterizovat jako stabilitu a řiditelnost vozu, tedy naklánění v podélném a příčném směru během brzdění a zatáčení. Další možností je sledovat odskakování pneumatiky, tedy (pro případ čtvrtinového modelu) zrychlení neodpružené hmoty auta. Aby bylo možné splnit všechny zmíněné požadavky, je nutné měnit charakter tlumení dynamicky podle situace na vozovce. Do systému je přidán akční člen a je získáno aktivní nebo poloaktivní tlumení. V příspěvku je poprvé použit jako akční člen lineární elektrický motor. Hlavním problém při řízení takového systému je robustnost, protože některé parametry auta se mění v poměrně velkém rozsahu. Z tohoto hlediska se použití H∞ teorie přímo nabízí. Všechna tato hlediska jsou brána v úvahu a je navržen regulátor splňující zmíněné požadavky, samozřejmě s některými malými kompromisy. V tomto článku je popsána analýza a syntéza aktivního tlumení pérování automobilu. Následně jsou provedeny některé simulace s využitím programového prostředí Matlab Simulink a jsou zobrazeny některé základní charakteristiky systému.
R057 - 1
2 ČTVRTINOVÝ MODEL Základním matematickým modelem aktivního tlumení pérování automobilu, kterým je možné popsat chování automobilu, je čtvrtinový model. Skládá se z kola, pružiny, tlumiče, řízeného zdroje síly a čtvrtiny hmotnosti vozidla. Takový model umožňuje simulovat tlak v pneumatice, vertikální zrychlení a polohu karoserie. Obrázek 1 znázorňuje čtvrtinový model automobilu. V další kapitole jsou popsány pohybové rovnice modelu (1) a odvozen stavový model. Rozšíření na poloviční model automobilu je popsáno v [1].
mb ks
k12
zb Fa zw
mw k01
zr
Obrázek 1 - Čtvrtinový model automobilu. 2.1 Diferenciální rovnice Pomocí obrázku 1 mohou být odvozeny pohybové rovnice čtvrtinového modelu popisující systém aktivního tlumení. Tyto rovnice jsou: mb &z&b = Fa − k12 (z b − z w ) − k s (z& b − z& w ) m w &z&w = − Fa + k12 (z b − z w ) − k 01 (z w − z r ) + k s (z& b − z& w )
Přičemž: z r ........ vertikální poloha poruchy vozovky, z w ....... poloha neodpružené hmoty, z b ........ poloha karoserie, Fa ....... síla řízeného zdroje, mb ....... čtvrtina hmotnosti automobilu, m w ...... hmotnost kola a čtvrtina neodpružené hmoty, k s ........ konstanta tlumení tlumiče, k 01 ....... tuhost pneumatiky, k12 ....... tuhost pružiny tlumení.
2.2 Stavový model Stavy a vstupní veličiny jsou zvoleny takto: x1 = z b − z w x2 = z w − z r x 3 = z& b
u1 = z& r u 2 = Fa
x 4 = z& r
R057 - 2
(1)
Nyní je již převod z diferenciálních rovnic do stavového popisu jednoduchý: x& = Ax + B1u1 + B 2 u 2
(2)
3 LINEÁRNÍ ELEKTRICKÝ MOTOR Po navržení regulátoru byly provedeny experimenty na matematickém modelu lineárního elektrického motoru TBX3810 (Thrusttube) v programovém prostředí Matlab Simulink. Důležité vlastnosti tohoto motoru shrnuje následující výčet: -
maximální špičková síla 2027N
-
maximální špičkový proud 21,8A
-
dlouhodobá síla 293,2N
-
elektrická časová konstanta 1,26ms
-
pracovní napětí 320Vac
-
maximální pracovní teplota 100°C
Obrázek 2 ilustruje princip řízení lineárního motoru. Je patrné, že výsledná síla není dána pouze řídicím napětím, ale také rychlostí pohybu motoru. Charakteristika předpokládá, že je k dispozici nepřetržité pracovní napětí v motoru (tedy bez omezení v zesilovači). Force / velocity profile 2500
2000
Force [N]
1500
1000
control input 500
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Velocity [m/s]
Obrázek 2 - lineární motor: profil síla/rychlost. 4 H∞ REGULÁTOR Regulátor je navržen s využitím H∞ teorie, proto je tato kapitola věnována některým základním principům této teorie. 4.1 Rozšíření soustavy Regulátor je počítán jako minimalizace nekonečné normy T y1u1 , kde T y1u1 je přenos uzavřené smyčky z prvního portu vstupu na první výstupní port. Je tedy možné vytvarovat přenos uzavřené smyčky tak, aby byly vylepšeny vlastnosti celého systému. Podrobnější vysvětlení teorie H∞ je možné
R057 - 3
nalézt například v [2]. Model aktivního tlumení pérování není v klasickém seskupení (s řízením na žádanou hodnotu), ale rušení z vozovky je použito přímo jako vstupní signál. Vzhledem k tomu není možné použít funkce augtf a augss z Robust Control Toolboxu v Matlabu. Princip rozšíření soustavy je znázorňen na obrázku 3 a vlastní schéma rozšíření na obrázku 4. Vstupním signálem první části vstupů je porucha od nerovností vozovky, která je ještě upravena faktorem Sv. První skupina vstupů ještě také zahrnuje signál f, což je předpokládané rušení působící na měřenou zpětnou vazbu. Druhým vstupem do soustavy je akční veličina, respektive požadovaná síla, protože ta bude teprve generována lineárním motorem. První výstup se pak skládá ze dvou částí: 1) výstupu nominálního systému, váženého MIMO přenosovou funkcí Wperf a přenásobeno konstantní maticí Sy a 2) akční veličiny vážené funkcí Wrob. Druhý výstup je tvořen součtem nominálního výstupu y2 a rušícího vstupu f (aditivní model neurčitosti). Aby se zabránilo problémům se singularitou v nule nominálního přenosu z u2 na y2 při tvorbě přenosové funkce Wrob, byla použita aditivní forma neurčitosti. Přičemž funkce Wrob není myšlena jako robustnost v klasickém pojetí stability, ale je brána jako celkové vážení nelinearit lineárního motoru, rušení v zpětnovazební smyčce a dalších neurčitostí. Před syntézou vlastního regulátoru je nejdříve nutné vybrat vážící funkce a poté jaký druh zpětné vazby bude zaveden. V tomto návrhu je použita zpětná vazba od výstupu a jako výstup (y2) je vzata rychlost pohybu tlumiče, neboť je nutné měřit tuto veličinu již při řízení samotného lineárního motoru. v
y1
Sv
active suspension state-space description
u2
d
Wrob
y2
Wperf
p
Sy
y2
+
f D
H-infinity controller
Obrázek 3 - rozšíření soustavy váhovými funkcemi - princip v f
u2
y1
u1
Sv
y1 active suspension state-space description
Wperf
Sy
Wrob
y2
+
Obrázek 4 - rozšíření soustavy váhovými funkcemi - schéma
R057 - 4
p d
y2
Navíc je vhodné v řídicím výstupu y1 vážit důležité signály, které ovlivňují požadavky na systém. Vliv vážících funkcí a konstant je většinou zřejmý a navíc byl ověřen pomocí simulací. V prvním výstupu tedy jsou následující veličiny: 1. x1 = zb –zw ....váženo konstantou, zlepšuje odchylku v ustáleném stavu 2. x2 = zw –zr .....váženo konstantou, zlepšuje proces ustálení odchylky 3. x3 = zb’...........váženo funkcí, tvaruje rychlost karoserie. Je to funkce (Wperf1), protože je vzhledem k citlivosti lidského těla na různé frekvence potřeba také aplikovat různé váhy pro dané frekvence. Toto vážení upravuje přímo jízdní komfort vozidla. 4. x4 = zw’ ..........váženo funkcí, tvaruje rychlost neodpružené hmoty automobilu. Jedná se o funkci (Wperf2), protože tato vlastnost ovlivňuje stabilitu na vozovce a je tedy vhodné mít možnost ovlivňovat jízdní vlastnosti vozidla ve frekvenční oblasti. 5. Wrob .............. nakonec je konstantou vážena také funkce Wrob, aby bylo možné najít optimální hodnotu pro splnění všech požadavků, protože výsledné řešení musí být vždy kompromisem. Pozorný čtenář by mohl namítnout, že pro zlepšení jízdního komfortu je vážena rychlost místo zrychlení, které bylo v úvodu zmíněno jako míra komfortu. Návrh ale probíhá ve frekvenční oblasti, kde jediným rozdílem mezi rychlostí a zrychlením je jeden integrátor, tedy stoupání amplitudové frekvenční charakteristiky. Fázová charakteristika je v H∞ případě v podstatě nezajímavá, protože regulátor je vypočítán jako minimalizace nekonečné normy amplitudové části přenosu. Proto abychom zabránili některým problémům pro frekvenci jdoucí do nekonečna, byly váženy rychlosti odpružené a neodpružené hmoty místo jejich zrychlení. Princip vážení je patrný z komplementárních váhových funkcí (viz. Obrázek 5 a Obrázek 6). Jako řídicí výstup (y1) byly zvoleny stavy sytému a jako zpětná vazba (y2) byla zvolena rychlost pohybu tlumiče. Potom je možné jednoduchým algebraickým způsobem získat matice C1, C2 a D11 až D22 a doplnit tak stavový popis nominálního systému (2) následujícími rovnicemi: y1 = Cx + D11u1 + D12 u 2
(3)
y 2 = Cx + D 21u1 + D 22 u 2
Pro převod váhových funkcí do stavového popisu (v kanonické formě) je použit funkce tf2ss z Matlabu. Dynamika všech váhových funkcí je sloučena dohromady a je tak získán jeden vážící systém s mnoha vstupy a mnoha výstupy. Nejdříve jsou sloučeny funkce Wperf1 a Wperf2 a převedeny do stavového popisu MIMO soustavy a poté je převedena také funkce Wrob: W perfA W perf ( s ) → W perfC
W perfB , W perfD
W W rob ( s ) → robA W robC
W robB W robD
(4)
Nyní je možné rozšířit původní soustavu. Definujme stavy výsledné soustavy takto: x x = xW xW
perf
rob
(5)
Z předchozích stavových rovnic, zvolených stavů a schématu rozšíření (Obrázek 3 a 4) je možné algebraickými úpravami získat složitější matice stavového popisu váženého systému a získat rovnice dvouportového MIMO systému, který bude použit pro návrh regulátoru: x& = A x + B1u1 + B 2 u 2 y1 = C1 x + D11 u1 + D12 u 2 y 2 = C 2 x + D 21u1 + D 22 u 2
R057 - 5
4.2 Váhové funkce Váhová funkce Wperf1 tvaruje potlačení zrychlení odpružené hmoty vozidla. Člověk je nejcitlivější ve frekvenčním rozsahu mezi 4 až 8 Hz, tedy mezi 25 až 50rad/s. Potom přenosová funkce Wperf1 musí být typu pásmové propusti. Obrázek 5 znázorňuje komplementární váhovou funkci 1/Wperf1, která má tudíž charakter pásmové zádrže. Metodou pokus omyl byla ještě přidána drobná korekce na frekvenci 7rad/s, aby bylo dosaženo lepší kvality potlačení zrychlení. Po několika simulačních testech byla zvolena váhová funkce Wperf2 konstantní, protože uspokojivých výsledků bylo dosahováno i při vážení pouze konstantou. Poslední váhovou přenosovou funkcí je Wrob. Tato funkce by měla respektovat nelinearity a některé nepřesnosti modelování lineárního motoru a rušení působící na měřený výstup. Obrázek 6 ilustruje tuto komplementární váhovou funkci 1/Wrob. Magnitude Bode Diagram
Magnitude Bode Diagram
0
300
−2 250
200
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
−4
−6
150
−8
100
−10
−12 −1 10
0
10
1
2
10
10
3
10
50 −6 10
4
10
Frequency (rad/sec)
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Obrázek 5 - komplementární váhová funkce 1/Wperf1
Obrázek 6 - komplementární váhová funkce 1/Wrob
4.3 H∞ regulátor Máme-li k dispozici soustavu rozšířenou váhovými funkcemi a konstantami, je možné navrhnout samotný H∞ regulátor. Pro výpočet byla použita funkce hinf z Matlab Robust Toolboxu, která počítá suboptimální H∞ regulátor tak, aby norma uzavřené smyčky, pro dané γ , byla T y1u1 ⋅ γ ∞ < 1 . 5 EXPERIMENTY Experimenty jsou simulovány v programu Matlab a Matlab Simulink. Kvůli kvalitativnímu porovnání provedených experimentů jsou charakteristiky vyneseny zároveň s výsledky pasivního tlumení. Simulace jsou vybrány tak, aby ilustrovaly splnění požadovaných parametrů. 5.1 Nominální soustava Nejdříve bylo prověřeno zlepšení jízdního komfortu, byla tedy vykreslena odezva polohy karoserie na jednotkový skok vozovky (Obrázek 7), aby bylo možné určit potlačení maximálního překmitu. Potlačení zrychlení v potřebném frekvenčním pásmu je zobrazeno na amplitudové frekvenční charakteristice přenosu zrychlení odpružené části (Obrázek 9). Dále byla simulována jízdní stabilita automobilu, to znamená rychlost neodpružené části (Obrázek 8). Tato rychlost byla vynesena také ve frekvenční oblasti (Obrázek 10). Nakonec byla vykreslena akční veličina, aby bylo možné určit, zda nebyly překročeny meze dané limitacemi vybraného lineárního motoru (Obrázek 11).
R057 - 6
0.16
4 passive
0.14
3 ac
tiv
0.12
e
road input
0.1
2
0.08
1 passive
0.06
0.04
0 active
0.02
−1 0
−0.02
0
0.5
1
1.5
2
−2
2.5
Obrázek 7 - odezva polohy karoserie na jednotkový skok vozovky
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Obrázek 8 – odezva polohy kola na jednotkový skok vozovky
Frequency response zb**/zr*
Frequency response zw*/zr*
30
10
passive
passive
20
active 0
active 10
−10
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
0
−10
−20
−30
−20
−30
−40 −40 −50
−60 −1 10
0
1
10
2
10
−50 −1 10
3
10
10
0
1
10
2
10
Frequency (rad/sec)
3
10
10
Frequency (rad/sec)
Obrázek 9 - amplitudová frekvenční charakteristika přenosu zrychlení karoserie
Obrázek 10 - amplitudová frekvenční charakteristika přenosu zrychlení kola
2000
Step Response for Robustness Test 0.18
1500
0.16 passive active
0.14
1000
0.12
500 0.1
0
0.08
0.06
−500
0.04
−1000 0.02
−1500 0
−2000
−0.02
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Obrázek 11 - akční signál (jednotkového skok)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Obrázek 12 – prověření robustnosti systému
5.2 Robustnost Měl by být proveden ještě další důležitý test – prověření robustního chování systému. Byly změněny nejcitlivější parametry automobilu (hmotnost odpružené části automobilu a tuhost pružiny v systému tlumení), aby byl respektován nejhorší případ, který může nastat. Na odezvě jednotkového skoku jsou znázorněny charakteristiky pro všechna nastavení parametrů zároveň (Obrázek 12).
R057 - 7
6 ZÁVĚR V tomto příspěvku byl navrhován H∞ regulátor pro aktivní tlumení pérování automobilu s využitím lineárního elektrického motoru. Cílem tohoto článku bylo dokázat, že elektrický lineární motor je pro takový systém dobře použitelný. Na příkladu běžně dostupného průmyslově vyráběného motoru (TBX3810) bylo simulováno, že motor má dostatečné mezní parametry a je schopen pracovat jako akční člen v systému aktivního tlumení. Požadavky na chování uzavřené smyčky – komfort pasažéra a jízdní stabilita – jsou vzájemně protichůdné. Regulátor tedy musel být navržen jako kompromis. Výše znázorněné simulace ukazují, že bylo dosaženo zvýšení komfortu, tj. došlo ke zmenšení překmitů polohy a potlačení zrychlení karoserie, přičemž opačný požadavek (jízdní stabilita) byl mírně vylepšen také. Zlepšení obou vlastností bylo samozřejmě dosaženo jen na určitých frekvencích, protože není možné upravit oba požadavky najednou v celém frekvenčním rozsahu. Další důležitou vlastností H∞ regulátoru je robustnost uzavřené smyčky. Tato vlastnost je velmi důležitá, protože parametry automobilu se mohou měnit v poměrně širokém rozmezí, měřený výstup je často rušen a navíc byly zanedbány některé nelinearity akčního členu. Návrh regulátoru s využitím teorie H∞ zaručuje robustní chování systému aktivního tlumení již ve své podstatě. Literatura [1] KRUCZEK A.; STŘÍBRSKÝ A.; HONCU J.; HYNIOVÁ K. H∞ Control of an Automotive Active Suspension. In.: Proceedings of Process Control ’03, Štrbské Pleso, Slovensko, 2003. Str. 33.1-33.7. [2] ZHOU K.; DOYLE J. C. Essentials of Robust Control. Prentice Hall, 1998. PODĚKOVÁNÍ Tento výzkum je podporován projektem MŠMT číslo LN00B073 „Výzkumné centrum spalovacích motorů a automobilismu Josefa Božka“.
R057 - 8
