LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK

DEFINÍCIÓ: A

v1 v 2 v 3 ...v n vektorok lineárisan függetlenek, ha

1  v1  2  v 2  3  v 3  ...  n  v n  0

DEFINÍCIÓ: A

csak úgy teljesül, ha minden

i  0

v1 v 2 v 3 ...v n vektorok lineárisan összefüggők, ha

1  v1  2  v 2  3  v 3  ...  n  v n  0

úgy is teljesül, hogy van olyan

i  0

Nézzünk ezekre pédákat! Vegyük mondjuk a

 1  2  3       v 1   1 v 2   3  v 3   4   1 0 1       vektorokat és nézzük meg, hogy ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációja mikor lesz nullvektor:

1  v1  2  v 2  3  v 3  0

1  2  3  0         1 1  2  3   3  4    0  1 0  1  0        

easymaths.hu Ha mindegyik

i  0

akkor nem meglepő, hogy nullvektort kapunk.

Az már érdekesebb, hogy ha

1  1 2  1 3  1

akkor

1  v1  1  v 2  13  v 3  0 1  2  3  0         1  1  1   3   1   4    0  1 0 1 0         Vagyis úgy is ki tud jönni a nullvektor, ha nem minden

i  0 , tehát ezek a vektorok lineárisan

összefüggők. 2 4

7  B   1 5 3   Ennek oka abban keresendő, hogy a harmadik vektor az első kettő összege, vagyis a harmadik vektor a többi vektor segítségével előállítható, összefügg velük. Ezt a tényt nevezzük úgy, hogy a vektorok lineárisan 2 4 7  összefüggők.

 B   1 5 3  

www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András

FÜGGETLENSÉG, ÖSSZEFÜGŐSÉG, BÁZIS

1

Nézzük meg, mi a helyzet a

1 0 0       v1   0  v 2   3  v 3   0  0 0  4       vektorokkal:

1  v1  2  v 2  3  v 3  0 1  0  0 0         1  0   2  3   3  0    0  0  0  4 0         Az, hogy ha mindegyik vektorból nullát veszünk, most is nullvektort kapunk nem túl meglepő. Ami érdekesebb, hogy ezúttal semmilyen más esetben nem kaphatunk nullvektort. Ha például az első vektorból nem nullát veszünk, biztosan nem kaphatunk nullvektort. A második és harmadik vektor első koordinátája ugyanis nulla, ők tehát nincsenek hatással az első koordináta alakulására. A második és harmadik vektorból így vehetünk bármennyit, ha az első vektorból nem nullát veszünk a lineáris kombináció első koordinátája sem lesz nulla. Márpedig ha nullvektort akarunk kapni nem ártana, hogy az első koordináta nulla legyen.

easymaths.hu

Ugyenez a helyzet a második vektorral. Ha nem nullát veszünk belőle, akkor a lineáris kombináció második koordinátája nem tud nulla lenni, mert az első és harmadik vektorok nincsenek hatással a második koordináta alakulására. És hasonló a helyzet a harmadik vektorral is. Ezek a vektorok tehát lineárisan függetlenek.

v1 v 2 v 3 ...v n vektorok generátor-rendszer, ha w  V vektor előáll w  1  v1  2  v 2  3  v 3  ...  n  v n alakban. DEFINÍCIÓ: Egy V vektortérben a

3

Vegyük például az R vektorteret, vagyis a hétköznapi értelemben vett teret. Ebben a vektortérben a

1 0 0       v1   0  v 2   3  v 3   0  0    4   2 4  07      B   1 5 3  vektorok generátor-rendszert alkotnak, mert segítségükkel minden vektor előáll. Ha ezekhez a

vektorokhoz egy újabb vektort hozzáveszünk, akkor ugyanúgy generátor-rendszert kapunk, ha viszont belőlük 7  elveszünk, akkor az már nem generátor-rendszer.  2 4 egyet

 B   1 5 3 3  A kérdés az, hogy R -ban hány darab vektor lehet független és hány darab vektor lehet generátorrendszer. Erről szól a következő táblázat.



2

vektorok száma

található-e ennyi vektor úgy, hogy független legyen

található-e ennyi vektor úgy, hogy generátor-rendszer

R 3 -ban

legyen

R 3 -ban

1 2 3 4 5

BÁZIS=FÜGGETLEN GENERÁTOR-RENDSZER

R 3 -ban pontosan három vektor adható meg úgy, hogy azok még éppen függetlenek, de már

generálnak. A független generátor-rendszert nevezzük bázisnak.

Egy vektortér dimenziója a bázis elemszáma. Így jutunk el tudományosan arra az álláspontra, hogy a tér három dimenziós.

NÉHÁNY IZGALMAS TULAJDONSÁG: Ha egy független rendszerből egy vagy több vektort elhagyunk, független rendszert kapunk (ha hozzáveszünk vektorokat, ki tudja, mi történik)

easymaths.hu Ha egy generátor-rendszerhez egy vagy több vektort hozzáveszünk, generátor-rendszert kapunk (ha elveszünk vektorokat, ki tudja, mi történik)

Ha

R n -ben van n darab független vektor, akkor az generátor-rendszer is

(mert bázis) n

Ha R -ben van n darab vektorból álló generátor-rendszer, akkor ezek a vektorok függetlenek is (mert bázis) n

A bázis minden vektort egyértelműen állít elő, míg R -ben azok a generátor-rendszerek peig, amelyek n-nél több vektorból állnak, minden vektort végtelensokféleképpen

LÁSSUNK NÉHÁNY FELADATOT!

a; b; c  R n vektorok. Az alábbi állítások közül melyik igaz? 2 4 7 a) HaB a; b; c lineárisan független, akkor a  b  c; b  c; c is lineárisan független.  1 5 3   c; c generátor-rendszer, akkor a; b; c is az. b) Ha a  b  c; b  Legyen

c4 lineárisan független, akkor a  b; b  c; c  a is lineárisan független. 7  c5 lineárisan független, akkor a  b; b  c is lineárisan független. 3  b  c generátor-rendszer, akkor a; b; c is az. f) Ha a  b; b  c generátor-rendszer, akkor a; b; c is az. g) Ha a; b; c generátor-rendszer, akkor a  b; b  c is az. c) Ha

a; b2; d) HaB a; b1;  e) Ha a  b;



3

a) Ha

a; b; c lineárisan független, akkor a  b  c; b  c; c is lineárisan független.

a  b  c; b  c; c függetlenek-e. Vegyük egy lineáris kombinációjukat: 1 a  b  c   2 b  c   3 c  0

Nézzük meg, hogy

Ha ez csak úgy teljesül, hogy

1 ; 2 ; 3

mindegyike nulla, akkor függetlenek, ha úgy is

lehetséges, hogy nem mindegyik nulla, akkor összefüggők. Vagyis az a kérdés, hogy mennyi

1 ; 2 ; 3 .

Felbontjuk a zárójeleket :

1 a  1 b  1 c  2 b  2 c  3 c  0

Aztán összegyűjtjük hány darab

a , hány darab b és hány darab c vektor van. 1 a  1  2 b  1  2  3 c  0

Mivel ez éppen az

a; b; c vektorok lineáris kombinációja és ezek a vektorok viszont függetlenek,

itt egészen biztos, hogy minden együttható nulla, vagyis

1  0 1  2  0 1  2  3  0

2  0

3  0

easymaths.hu Úgy tűnik

b) Ha

1 ; 2 ; 3

mindegyike nulla, vagyis

a  b  c; b  c; c lineárisan függetlenek.

a  b  c; b  c; c generátor-rendszer, akkor a; b; c is az.

a  b  c; b  c; c vektorok akkor generátor-rendszer, ha minden w  R n előáll: 1 a  b  c   2 b  c   3 c  w

Az

A kérdés az, hogy ugyenez a

w  R n előáll-e az a; b; c vektorokból is. Nézzük meg:


1 a  1 b  1 c  2 b  2 c  3 c  0


a , hány darab b és hány darab c vektor van. 1 a  1 22 4b 71  2  3 c  w    B   1 5 3   A jelek szerint w előáll. 2 4 7  B    1 5 3 c) Ha a; b; c lineárisan független, akkor a  b; b  c; c  a is lineárisan független. Ez egészen biztosan nem igaz, mert


1  a  b  1  b  c   1  c  a   0


4

d) Ha

a; b; c lineárisan független, akkor a  b; b  c is lineárisan független.

a  b; b  c függetlenek-e. Vegyük egy lineáris kombinációjukat: 1 a  b  2 b  c   0

Nézzük meg, hogy

Ha ez csak úgy teljesül, hogy

1 ; 2

mindketten nulla, akkor függetlenek, ha úgy is lehetséges,

hogy az egyik nem nulla, akkor összefüggők.

1 ; 2 .

Vagyis az a kérdés, hogy mennyi


1 a  1 b  2 b  2 c  0


1 a   1  2 b   2 c  0

Mivel ez éppen az

a; b; c vektorok lineárisan függetlenek, itt egészen biztos, hogy minden

együttható nulla, vagyis

e) Ha

a , hány darab b és hány darab c vektor van.

1  0

és

2  0

ami azt jelenti, hogy

a  b; b  c is független.

a  b; b  c lineárisan független, akkor a; b; c is lineárisan független.

easymaths.hu Ezúttal a

1 a  2 b  3 c  0

lineáris kombinációból indulunk ki. Ezt kéne valahogy visszavezetni az

a  b; b  c vektorok lineáris

kombinációjára. De néha nem árt kicsit gondolkodni. Vegyük ugyanis például azt az esetet, amikor

b nullvektor. Ekkor a  b  a és b  c  c ezek a vektorok függetlenek, de a; b; c egészen biztosan összefüggő, mert köztük van a nullvektor.

f) Ha

a  b; b  c generátor-rendszer, akkor a; b; c is az.

a  b; b  c generátor-rendszer, az azt jelenti, hogy ők minden vektort képesek előállítani. Mivel a; b; c vektorokból viszont a  b és b  c előáll, biztos, hogy a; b; c generátor rendszer. Az a; b; c vektorokból legyártjuk a  b és b  c vektorokat, akik utána már mindenkit Ha

előállítanak.

2 4 7  B   1 5 3   g) Ha a; b; c generátor-rendszer, akkor a  b; b  c is az. 2 4 7 a; b; c generátor-rendszer egyben független rendszer is, vagyis  1 5 3   a; b; c bázis, és mivel hárman vannak, a dimenzió három. Ekkor viszont nem lehet kételemű

Előfordulhat B   olyan eset, amikor

generátorrendszer, tehát ilyenkor


a  b; b  c egészen biztosan nem generátor-rendszer.


5

ALTEREK

DEFINÍCIÓ: A V vektortérnek W altere, ha W  V és W maga is vektortér a V -beli műveletekre.

TÉTEL: A V vektortérnek W altere, ha V -beli műveletek nem vezetnek ki W -ből.

Vizsgáljuk meg, hogy

W altere-e R 3 -nak, ha igen, adjunk meg egy bázist W -ben.

 a      W   b  a; b  R   a  1     Az előző tétel miatt elegendő annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki. Kezdjük az összeadással. Azt nézzük meg, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e.

 a2   a1      v1   b1  v 2   b2   a  1  a  1  2   1 

easymaths.hu  a1   a 2   a1  a 2        v1  v 2   b1    b2    b1  b2   a  1  a  1  a  a  2  2  1   2   1 

A jelek szerint nem, tehát

W nem altér.

Vizsgáljuk meg, hogy W altere-e

R 4 -nek, ha igen, adjunk meg egy bázist W -ben.

 a  a; b; c; d  R     ab   b  W     c  2 4 és 7    B   d  1 5c 33d   

2 4miatt 7  elegendő most is annyit ellenőrizni, hogy a műveletek nem vezetnek-e ki. Az előző tétel   B  Kezdjük az1 összeadással. Azt nézzük meg, hogy két ilyen típusú vektor összege is ilyen típusú-e. 5 3 





6

Nézzük meg először az összegüket:

 a1   a2       b1  b  v1    v 2   2  c c  1  2 d  d   1  2

itt

a1  b1 a2  b 2

c1  3d1 c 2  3d 2

az összegük:

 a1   a 2   a1  a 2         b1   b2   b1  b2  v1  v 2         c c c  c2   1  2  1  d  d  d  d  2  1  2  1 Aztán jön a

a1 a 2  b1  b2

c1  c2  3d1  d 2 

 -szoros:

 a1    b  v1   1  c  1 d   1

a1  b1

 a1     b1    v1   c   1  d   1

a1  b1

c1  3d1

c1  3d1

easymaths.hu

A jelek szerint nem, tehát W tehát altér. A dimenzió a szabadon megadható paraméterek száma. Két szabadon megadható paraméter van, az egyik az a és akkor a  b miatt b már nem szabad, a másik pedig c és akkor c  3d miatt d már nem szabad. A dimenzió tehát kettő, bázist pedig úgy kapunk, hogy a szabad paraméterek közül egyet egynek, a többit nullának vesszük és ezt végijátszuk az összes lehetséges módon. A bázis tehát:

a 1 c  0 1   1 b1    0   0  

a  0 c 1 0   0 b2    1    3  

Feladatok

a; b; c R n -beli vektor. Mely állítások igazak? a) Ha a; b; c lineárisan független, akkor a  b; b  c; c  a is lineárisan független. 5.1. Legyen b) Ha

a; b; c lineárisan összefüggő, akkor a  b; b  c; c  a is lineárisan összefüggő.

c) Ha

a  b; b  c; c  a generátor-rendszer, akkor a; b; c is az.

d) Ha

a  b; b  c; c  a lineárisan független, akkor a; b; c is az



7

5.2. Vizsgáljuk meg, hogy a W  V halmaz altér-e V -ben. Ha igen, adjuk meg a dimenzióját és egy bázisát.

 a      W   b  a; b  R   a  b      5.3. Vizsgáljuk meg, hogy a W  V halmaz altér-e V -ben. Ha igen, adjuk meg a dimenzióját és egy bázisát.

 a      W   b  a; b  R   a  b      5.4. Vizsgáljuk meg, hogy a W  V halmaz altér-e V -ben. Ha igen, adjuk meg a dimenzióját és egy bázisát.

 a  a  2b     W   b  b  3c   c  a; b; c  R     5.5. Vizsgáljuk meg, hogy a dimenzióját és egy bázisát.

W  V halmaz altér-e V -ben. Ha igen, adjuk meg a

 a  a  2b     W   b  b 2  c 2   c  a; b; c  R     5.6. Vizsgáljuk meg, hogy a W  V halmaz altér-e V -ben. Ha igen, adjuk meg a dimenzióját és egy bázisát.

 a     ab  c  W   b    c  a; b; c  R    



8

LINEÁRISAN FÜGGETLEN ÉS LINEÁRISAN ÖSSZEFÜGGŐ VEKTOROK. csak úgy teljesül, ha minden 0. úgy is teljesül, hogy van olyan 0

Recommend Documents