LIMIT FUNGSI 1. Limit f(x) untuk x c x2 x 2 , apakah fungsi f tersebut sama dengan x 1 fungsi g(x) = x -2 ? Daerah asal dari fungsi g adalah semua bilangan real, sedangkan daerah asal fungsi f adalah bilangan real tetapi x ≠ 1. Dengan demikian g(x) ≠ f(x) sebab daerah asal dan daerah hasilnya tidak sama. Nilai fungsi g untuk x = 1 adalah g(1) = 1 -2 = -1, sedangkan nilai f untuk x = 1 tidak 12 1 2 0 terdefinisi sebab f(1) = = merupakan bentuk tak tentu. 11 0 Pertanyaan selanjutnya, apakah untuk x sekitar 1 nilai f itu ada? Dengan menggunakan kalkulator, coba kita cari nilai-nilai f untuk nilai-nilai x yang dekat dengan 1, seperti 0,9, 0,95, 0,99 juga 1,1, 1,05, dan 1,01 seperti terlihat dalam tabel 1. Tabel 1 x x2 x 2 x 1 0,9 2,9 0,95 2,95 0,99 2,99 1 Tidak terdefinisi 1,01 3,01 1,05 3,05 1,1 3,1 Gambar 1
Tinjau sebuah fungsi f(x) =
Ternyata nilai f untuk sekitar x = 1 mendekati 3 baik untuk didekati dari kiri (bilangan kurang dari 1) maupun dari kanan (bilangan lebih dari 1). Nilai f (x) untuk x sekitar 1 disebut nilai limit f(x) untuk x menuju 1 ditulis x2 x 2 lim f ( x) lim =3 x 1 x 1 x 1 Nilai atau bilangan real x sekitar 1 maksudnya bilangan-bilangan x yang selisihnya dengan 1 sangat kecil (mendekati 0). x Sekarang perhatikan g(x) = untuk x = 0 jelas nilai g tak terdefinisi. Sekarang x kita cari nilai-nilai g untuk x sekitar 0 baik dari sebelah kiri 0 atau sebelah kanan 0.
192
y
Tabel 2 x
x
x -1 -1 -1 Tidak terdefinisi 1 1 1
-0,1 -0,01 -0,001 0 0,00 0,01 0,1
x 0
Gambar 2.
Didekati dari sebelah kiri 0 nilai g adalah -1 sedangkan untuk nilai sebelah kanan x 0 adalah 1. Nilai g untuk x sekitar 0 berbeda, bila demikian lim tidak ada x 0 x Tugas 1 Dengan menggambarkan grafik fungsi, bila ada carilah nilai limit fungsi berikut. 1. lim 4 x 6 x 2
2. lim
x 3
x2 x 6 x3
3. Periksa apakah lim
x 1
x 1
ada!
x 1
x2 , x 0 4. Perhatikan grafik fungsi f berikut ini, dengan f(x) = x 1, x 0
y 4 2
-4
-2
0
2
4
x
-2 -4
Gambar 3 Apakah lim f ( x) ada? Berikan alasan! x0
193
2. Teorema Subsitusi Ingat kembali fungsi sukubanyak f yang memiliki bentuk f ( x) a n x n a n 1 x n 1 ... a1 x a 0 Juga fungsi rasional dengan pembilang dan penyebutnya berupa fungsi sukubanyak dengan bentuk a x n an1 x n1 ... a1 x a0 f ( x) n m bm x bm1 x m1 ... b1 x b0
Jika f suatu fungsi sukubanyak maka lim f ( x ) f ( c )
Jika f suatu fungsi rasional dan untuk x = c penyebutnya tidak nol, maka lim f ( x ) f ( c )
x c
x c
Contoh 1 Hitunglah lim( 2 x 2 3 ) x 2
Jawab: Karena f(x) = 2x3 – 3 adalah suatu fungsi sukubanyak, maka lim 2 x 2 3 = f(2) = 2.22 -3 = 5 x 2
Contoh 2 7 x 3 x 2 5 x 40 x 2 3x 2 x 10
Carilah lim
Jawab: 7 x 3 x 2 5 x 40 7(2) 3 (2) 2 5.2 40 10 1 lim 2 = f(2) = 2 2 x 2 4 2 3.2 2 10 3x x 10 Contoh 3 x2 x 2 x2 x2 Karena untuk x = 2 nilai fungsi pembilang dan penyebut sama dengan 0, maka Teorema Subsitusi tidak berlaku. Bentuk 0/0 disebut bentuk tak tentu, dan untuk mencari nilai limitnya dilakukan penyederhanaan aljabar dengan faktorisasi seperti berikut.
Carilah lim
x2 x 2 ( x 2)(x 1) = lim = lim ( x 1) = 3 x2 x 2 x 2 x2 x2 Pembilang dan penyebut dapat dibagi (x-2) sebab untuk x 2 , x -2 ≠ 0 lim
Tugas 2 Carilah nilai limit berikut ini. 1. lim 3x 5 x 3
4y2 8y 2. lim y 2 y4
1
3
194
x 2 7 x 10 3. lim x 2 x2 2 x 14 51 x 2 5. lim x 3 x 2 4 x 21
x2 x 2 4. lim x 1 x2 1
3. Limit Fungsi di Takhingga dan Limit Fungsi Bernilai Takhingga
1 Perhatikan fungsi f(x) = , x ≠ 0, untuk menggambar grafik fungsi tersebut x perhatikan nilai f(x) yang disusun pada Tabel 3. Tabel 3 x … … … 0,0001 0,001 0,01 0,1 0,5 1 2 4 10 20 50 100 1.000 10.000 … … …
x
1 x
… … … 10000 1000 100 10 2 1 0,5 0,25 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001 0,0001 … … …
…. … … -0,0001 -0,001 -0,01 -0,1 -0,5 -1 -2 -4 -10 -20 -50 -100 -1.000 -10.000 … … …
1 x
…. … …. 10.000 1000 100 10 2 1 0,5 0,25 0,1 0,05 0,02 0,01 0,001 0,0001 … … …
Berdasarkan Tabel 3 di atas dapat digambarkan grafi f(x) = seperti terlihat pada Gambar 4 berikut
1 , dengan x 0 x
195
10 8 6 4 2
-2
-1
0
1x
2
Gambar 4
Berdasarkan Gambar 4 dan Tabel 3, dapat disimpulkan 1 (1) untuk x maka nilai f(x) = 0, x 1 (2) demikian pula x 0 nilai f(x) = , x 1 1 Dengan kata lain (1) lim 0 dan (2) lim , yang pertama merupakan x x x 0 x contoh nilai limit fungsi di takhingga, sedangkan yang kedua adalah limit fungsi bernilai tak hingga.
1 0 dapat diturunkan bahwa untuk k bilangan asli x x
Dari fakta lim
1 0, x x k
lim
k
1 1 1 karena lim k lim ( ) k lim ( ) 0 k 0 x x x x x x
Tugas 3 Tentukan nilai limit berikut 2 4x 1. lim 3 2. lim x x x x 2 2x 2x 3 4. lim 5. lim x x x x
3. lim x 1 x
196
4. Teorema Utama Limit Fungsi Bila n bilangan asli, k suatu konstanta, serta f dan g fungsi yang memiliki limit di x = c, maka (1) lim k k x c
(2) lim x c x c
(3) lim kf ( x ) k lim f ( x ) x c
x c
(4) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) x c
x c
x c
(5) lim [ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) x c
x c
x c
(6) lim f ( x ).g( x )] lim f ( x ).lim g( x ) x c
(7) lim x c
x c
x c
f(x) f ( x ) lim x c , lim g( x ) 0 g( x ) lim g( x ) x c x c
(8) lim [ f ( x )] n [ lim f ( x )] n x c
x c
(9) lim n f ( x ) n lim f ( x ) x c
x c
Penggunaan sifat-sifat limit fungsi di atas dapat dilihat dari contoh-contoh berikut. Contoh 1 Tentukan lim 4 x 2 x3
Jawab: lim 4 x 2 = 4 lim x 2 = 4 [lim x]2 = 4 [3]2 = 36 x3
x3
x3
(3) (8) Contoh 2 Tentukan lim (2 x 3 4 x)
(2)
x 2
Jawab: lim (2 x 3 4 x) = lim 2 x 3 lim 4 x = 2 lim x 3 4 lim x = 2(lim x) 3 4 lim x x 2
x 2
(5) = 2.(2)3 – 4.2 = 8
(2)
x 2
x 2
(3)
x 2
x 2
(8)
x 2
197
Contoh 3 Tentukan lim
x 1
10 x 2 2x
Jawab:
(9)
lim 10 x 2 10 x 2 lim = x1 = x 1 2x lim 2 x x 1
(7)
(5)
lim 10 lim x 2
lim 10 x 2 x 1
2 lim x
=
x 1
(3)
x 1
x 1
2 .1
(2)
(1)
=
1 1 10 1 = 4,5 10 (lim x) 2 = x1 2 2
(8)
(2)
Contoh 4 2 x 2 3x 10 Carilah lim 2 x x 5 x 2
Jawab: 2 x 2 3x 10 lim 2 = lim x x 5 x 2 x
3 10 x x 2 pembilang dan penyebut dibagi x2. 5 2 1 2 x x 2
Berdasarkan teorema utama limit diperoleh
3 10 1 1 2 lim 2 3 lim 10 lim 2 x x x x 200 x x = x 2 lim x 1 1 5 2 1 0 0 lim 1 5 lim 2 lim 2 1 2 x x x x x x x 2
198
Contoh 5
2x 1
Carilah lim
x
x2 3
Jawab: 1 2x 1 x = 20=2 lim = lim x x 3 1 x2 3 1 2 x Pembilang dan penyebut dibagi x dan ingat di dalam tanda akar harus dibagi x 2, 2
x2
karena x = Contoh 6
Carilah lim ( 2 x 2 3x 2 x 2 5 ) x
Jawab: lim ( 2 x 2 3x 2 x 2 5 ) =
x
lim ( 2 x 2 3x 2 x 2 5 )
2 x 2 3x 2 x 2 5
= 2 x 2 3x 2 x 2 5 3x 5 (2 x 2 3x) (2 x 2 5) )= = lim ( lim ( 2 2 x 2 2 x 2 x 3 x 2 x 5 2 x 3x 2 x 5
x
3 lim (
x
2
5 x
3 5 2 2 x x
)=
3 0 20 20
=
3 2 2
3 2 4
Tugas 4 Untuk soal nomor 1 sampai dengan 3 diketahui lim f ( x) 3 dan 4. lim g ( x) 1 x a
Carilah nilai limit berikut. 1. lim
xa
f 2 ( x) g 2 ( x)
2. lim 3 g ( x)[ f ( x) 3] x a
3. lim f ( x) 3g ( x) x a
Hitunglah x2 4. lim x ( x 5)( 3 x )
5. lim
x
x2 x 3 x2 1
x a
199
x 2 3x 2 x x3 1
6. lim
7. lim
y
9y3 1 y2 2y 2
8. lim ( x 2 2 x x) x
Untuk soal nomor 9 dan 10. carilah lim
x 2
f ( x) f (2) apabila lim f ( x) 3 x a x2
2
9. f(x) = 3x + 2x + 1 3 10. f(x) = 2 x 5. Limit Fungsi Trigonometri Pada fungsi trigonometri sering digunakan dua macam satuan sudut yaitu derajat dan radian. Simbol sin x0 berarti satuan yang digunakan adalah satuan derajat, sedangkan bila satuan radian disimbolkan sin x saja. Dalam limit trigonometri satuan yang digunakan adalah satuan radian. Seperti telah kita ketahui bahwa 1 putaran = 3600 = 2 radian = 2.(3,14) radian, atau 1 radian 57, 30 . Perlu diingat bahwa satuan radian tidak pernah ditulis dibelakang ukuran sudut. Jadi bila ukuran sudut tidak ada simbul derajatnya berarti satuannya adalah radian. Sebagai contoh, sin 30 tidak sama dengan sin300 , sin 300 = ½ tetapi sin 30 artinya sin 30 radian = - 0,99. Teorema subsitusi dapat digunakan untuk menentukan nilai limit fungsi di suatu titik dari fungsi sukubanyak sebab grafik fungsi tersebut berupa kurva yang tidak terputus putus (ingat daerah asalnya bilangan real). Sekarang kita mengingat kembali tentang grafik fungsi f(x) = sin x, g(x) = cos x, dan h(x) = cos x.
1
0.5
0
x
-0.5
-1
f(x) = sin x
200
1
0.5
0
x
-0.5
-1
g(x) = cos x 10 8 6 4 2 0 -2
7
x
-4 -6 -8 -10
h(x) = tan x
Tugas 5 Berdasarkan gambar-gambar di atas, carilah nilai limit berikut. 1. lim sin x 2. lim cos x 3. lim tan x x
x
x
2
4. lim sin x xa
6. Adakah nilai lim tan x ? Mengapa?
5. lim cos x x b
x
2
Sebelum kita membicarakan limit fungsi trigonometri, sekarang perhatikan suatu teorema yang penting mengenai limit fungsi yang dikenal dengan Teorema Apit: Misalkan f, g, dan h adalah fungsi yang memenuhi f(x) g(x) h(x) untuk semua x yang memuat c. Jika lim f ( x) lim h( x) L , maka lim g ( x) L x c
x c
x c
201
y
f
4 g
2
-1
0
1
2
3
x
h
-2 -4
Gambar 4 Sebagai contoh, perhatikan sketsa grafik f, g, dan h pada Gambar 4., f(x) = x2 -2x + 3, g(x) = ¼ x + 7/4, dan h(x) = -x2 + 2x +1. Untuk -1 x 3 terlihat f(x) g(x) h(x). sehingga lim f ( x) lim g ( x) lim h( x) lim ( x 2 2 x 3) lim g ( x) lim ( x 2 2 x 1) x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
1 7 1 7 2 lim ( x ) 2 lim ( x ) 2 x 1 4 x 1 4 4 4 Ambil kasus untuk c = 0, akan ditunjukkan bahwa lim sin t 0 . Misalkan t > 0 t 0
dan titik A,B, dan P dengan lingkaran berjari-jari satu satuan (lingkaran satuan). Dari Gambar 5., dapat diperoleh kesimpulan 0 < BP < Busur AP. Sedangkan BP t BP 2.1 = t, sehingga disimpulkan 0 < = = sin t dan panjang busur AP = 2 1 sin t < t. Berdasarkan teorema apit 0 < lim sin t lim t 0< lim sin t < 0 lim sin t = 0. t 0
t 0
t 9
t 9
y
P(cos t, sin t) 1 t O
Gambar 5.
B
A x
202
Selanjutnya dengan menggunakan identitas trigonometri dapat dicari
lim cost lim 1 sin 2 t 1 lim sin t t 0
t 0
t 0
2
1 02 1
Sekarang akan ditunjukkan lim sin t sin c . Misalkan h = t –c, sehingga t c
h 0 ekivalen dengan t c lim sin t lim sin(c h) lim sin c cos h cosc sin h t c
h0
h0
Ingat identitas sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B lim sin c cos h cosc sin h sin c lim cos h cosc lim sin h = sin c. 1 + cos c. 0 = h0
h0
h0
sin c. Dengan menggunakan identitas cos t = 1 sin 2 t dapat ditunjukkan lim cos t cos c t c
lim cost lim 1 sin 2 t 1 lim sin t t c
t c
t c
2
1 sin 2 c cos2 c cosc .
Teorema Limit Trigonometri Khusus t sin t 1. lim 2. lim 1 1 t 0 sin t t 0 t tan t t 3. lim 4. lim 1 1 t 0 t 0 tan t t Bukti: t lim 1 t 0 sin t Perhatikan luas daerah OAP, luas juring OAP, dan luas daerah OAQ pada Gambar 6., diperoleh kesimpulan y
P Q (1,tan t) 1 t O
Gambar 5.
B
A x
203
Luas daerah OAP Luas Juring OAP Luas daerah OAQ Luas daerah OAP =
alas tinggi OA BP 1 sin t sin t 2 2 2 2
t luas lingkaran t (1) 2 t 2 2 2 alas tinggi OA AQ 1 tan t tan t Luas daerah OAQ = 2 2 2 2 Selanjutnya diperoleh sin t t tan t t 1 sin t t tan t 1 2 2 2 sin t cost t 1 t t 1 1 lim 1 lim lim 1 lim lim 1. t 0 t 0 sin t t 0 cost t 0 sin t t 0 sin t lim cost
Luas Juring OAP =
t 0
Berdasarkan Teorema Apit disimpulkan lim t 0
t 1 sin t
Bukti: sin t lim 1 t 0 t 1 sin t lim lim t 0 t 0 t t sin t
1 1 1 t 1 lim t 0 sin t
sin t tan t lim lim cost t 0 t 0 t t 1.1=1
lim sin t lim sin t 1 lim sin t lim 1 = t 0 cost cost t 0 t t 0 t cost t 0 t
Contoh Carilah nilai limit berikut sin 4 x sin 3 x (a) lim (b) lim x 0 x 0 x tan 2 x Jawab: sin 4 x sin 4 x sin 4 x (a) lim = lim 4 = 4 lim =4.1 =4 x 0 x 0 x 0 x 4x 4x
204
sin 3 x 1 sin 3x 1 sin 3x lim sin 3 x 3 x = 2 x 0 3 x (b) lim = lim 6 x = lim 2 x 0 tan 2 x x 0 1 x 0 tan 2 x tan 2 x 1 tan 2 x lim 6x 3 2x 3 x 0 2 x Misalkan y = 3x dan z = 2x, jika x 0, maka y 0 dan z0 1 sin y 1 sin 3x 1 lim lim y 0 2 y 3 x 0 2 3x = = 2 1 tan z 1 tan 2 x 1 2 lim lim 3 z 0 z 3 x 0 2 x 3 Tugas 5 Hitunglah cos 2 t t 0 1 sin t
1. (a) lim
sin 3 0 2 sin(3t ) 4t 3. (a) lim t 0 t sec t 2. (a) lim
sin x cos x 1 tan x x
4. lim
4
3 x tan x x 0 sin x
(b) lim
tan 5 0 sin 2 1 cos2t (b) lim t 0 t2 cos2 z (b) lim z 1 sin z (b) lim
2
f ( x h) f ( x ) untuk h 0 h (a) f(x) = sin x (b) f(x) = tan x
5. Hitunglah lim
