Ringkasan Limit Fungsi Kelas XI IPS 1 NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com

1

Ringkasan Limit Fungsi Kelas XI IPS

NAMA

:

KELAS

:

theresiaveni.wordpress.com

2


LIMIT FUNGSI Limit dalam kata-kata sehari-hari: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas, sesuatu yang dekat tetapi tidak dapat dicapai. Ilustrasi limit –

Contoh: ( ) =

=

(

)(

)

Fungsi ini tak mempunyai nilai, bila x = 1 (mengapa??) Tapi jika x hanya mendekati 1 , f(x) mendekati nilai berapa……..? ( ) =

(

)(

)

Perhatikan tabel berikut ini : x

…

0,9

0,99 0,999 0,9999

1

1,0001 1,001

1,01

1,1 …

f(x)

…

2,8

2,98 2,998 2,9998

?

3,0002 3,002

3,02

3,2 …

Tabel di atas menunjukkan: 1. Nilai f(x) untuk x mendekati 1 dari kiri (dari bilangan yang lebih kecil) maka f(x) mendekati 3, 2 x2  x  1  3. dapat ditulis: lim x1 x 1 2. Nilai f(x) untuk x mendekati 1 dari kanan ( dari bilangan yang lebih besar ) maka f(x) mendekati 3,

2x2  x  1  3. x1 x  1

dapat ditulis: lim

2 x2  x  1  3. Jadi, lim x1 x 1 Kesimpulan: Definisi Limit secara intuitif

lim f ( x)  L , artinya jika x mendekati c dari kiri dan kanan sehingga nilai f(x) mendekati dari kedua xc arah maka nilai f(x) mendekati L.

1. Limit- limit fungsi berbentuk lim f ( x) xc Cara-cara untuk menentukan nilai limit, antara lain: a. Substitusi b. Faktorisasi c. Perkalian sekawan


3


a. Menentukan nilai limit dengan substitusi Jika diketahui lim f ( x) maka nilai f(x) dapat dicari dengan mensubtitusikan nilai x=c pada f(x). xc Cara ini dapat digunakan pada bentuk terdefinisi (tertentu) : yaitu bentuk yang nilainya ada dan tertentu, misalnya : 6 , 0 . Ketika nilai x =c sudah 3 4 disubstitusikan ke f(x), maka lim

x c

Contoh:

tidak ditulis.

Tentukan nilai limit dari: 1.

lim ( x3 2 x2 3x1) x2

2.

 x3  1   lim  x 2  x 2  3 x  2   

b. Menentukan nilai limit dengan memfaktorkan f ( x) Adakalanya nilai limit lim untuk x c tidak dapat diperoleh dengan subtitusi langsung. Jika xc g ( x)

nilai x =c disubtitusi langsung ke

f ( x) f ( x) 0 pada lim , diperoleh bentuk tak tentu, yaitu maka x c g ( x) 0 g ( x)

f ( x) perlu diubah bentuknya. Dengan perubahan tersebut dapat dihilangkan bentuk yang g ( x) 0 menyebabkan . Limit ini dapat diselesaikan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya, 0 kemudian membagi faktor yang sama, lalu substitusikan nilai x = c.

Contoh: Tentukan nilai limit dari: 1.

6 x2  4 x lim x 0 2 x2  x

2.

x2  1 lim x 1 x 2  3 x  2

c. Menentukan limit fungsi dengan perkalian sekawan f ( x) Adakalanya juga f(x) atau g(x) memuat bentuk akar dan nilai limit lim untuk x c tidak xc g ( x) f ( x) dapat diperoleh dengan subtitusi langsung. Jika nilai x =c disubtitusi langsung ke pada g ( x)


4


f ( x) f ( x) 0 , diperoleh bentuk tak tentu, yaitu maka perlu diubah bentuknya. Dengan lim xc g ( x) 0 g ( x) 0 . Jika pembilang atau 0 penyebutnya memuat bentuk akar, maka sebelum difaktorkan dikalikan dulu dengan bentuk sekawannya.

perubahan tersebut dapat dihilangkan bentuk yang menyebabkan

x23  5x1 2 x1 x 1

Contoh: Tentukan nilai limit dari : lim

Latihan 1: Tentukan nilai limit dari: 1.

x2  4 lim x 1 2 x 3  1

2.

x3  3 x  7 lim x 1 5 x 2  9 x  6

x3  2 x 2  3x lim x0 x 4  3x 2  x 2 4. lim x 5 x  6 x3 x 2 9

3.

5. 6. 7. 8.

9.

2 x2  2 x 1 2x2  x 1 lim x 3 3 x 2  x  2

lim x3

x 2  3 x  28 lim x  4 x 2  4 x  32 x2  4 lim x 2 x 2  3x  2

x 4 lim x4 x  24 2x

x3 10. lim x 3 x2  9

11.

x2 - x - 6 lim x 3 4 - 5x  1



5

12. lim 3x - 2  2 x  4 x6 x 6 4x

13. lim

x0 1 - 2x  1  2x

9  x2 14. lim x 3 4  x 2  7 15. lim x3

6x  2

 3x  7 x3

Teorema Limit Fungsi: 1.

lim c  c , x a

c  konstanta

Contoh:

2.

a.

lim 6  x 2

b.

lim 6  x 

lim x  a x a

Contoh: a. lim x  x2 b. lim x  x 0 c. 3.

lim x  x 

lim c . f ( x )  c . lim f ( x ) , c = konstanta x a x a

Contoh:

lim 3x  x 2 b. lim 3x  x0 c. lim 3 x  a.

x 

4.

lim  f ( x )  g ( x )   lim f ( x )  lim g ( x ) x a x a x a

Contoh: a. lim (3x  6)  x2 b. lim (3 x  6 )  x 


6


5.

lim  f ( x )  g ( x )   lim f ( x )  lim g ( x ) x a x a x a

Contoh: a. lim (3x  6)  x2 b. lim ( 6  3 x )  x 

6.

lim  f ( x ). g ( x )   lim f ( x ). lim g ( x ) x a x a x a

Contoh: lim x 2  x 2

7.

f ( x) f ( x)  xlim , dengan lim g ( x )  0 lim   a lim g ( x) xa  g ( x)  x a x a Contoh: lim x 1  x4 x3

 





n n lim  f ( x)  lim f ( x) xa xa 8. Contoh: lim2 x  1  3

x 3

1 lim  0 x x 9. 10.

k lim   (tak hingga) x0 x n

2. Limit Fungsi di tak Hingga a. Limit Bentuk   Limit ini dapat diselesaikan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, kemudian digunakan rumus : lim ax  0 . x 

Contoh:

6 x3  2 x 2  5 x 1. lim  x 12 x3  7 x 2  8 x

6 x3  7 x 2  3 x 2. lim  x  2 x 4  x3  4 x 2

5 x 4  3x 2  2  3. lim x  2 x 3  4 x 2  7


7


Kesimpulan: Jika f ( x)  a0 x n  a1x n1 ..... a n dan g ( x )  b0 x m  b1 x m1 ..... bm , maka: 1.

f ( x ) a0 lim  untuk n = m x  g ( x ) b0

5 4 3 Contoh: lim 2 x  x 7 x  x 6 x5 2 x38 x2

f ( x) lim  0 untuk n < m x g ( x) 10 8 7 Contoh: lim x 2 x 3 x  x x12 12 x5  x2 f ( x)   atau - untuk n > m 3. lim x g ( x) 2.

7 4 Contoh: lim 3x  6 x  2  x  6 2x  7x 4  x3

b. Limit Bentuk     lim f ( x)  g ( x) x 

Caranya: lim x 

Kalikan dengan bentuk sekawannya !

 f ( x )  g ( x)  

f ( x)  g ( x)    lim f ( x )  g ( x )  x 

f ( x ) g ( x ) f ( x)  g ( x)

Contoh: 1.

lim x 2  6 x  2 x 

2.

lim 2 x 2  x  x

3.

lim 4 x 2  2 x  3  5 x 2  4 x  7 x

4.

lim 2 x  3  2 x  7 x

5.

lim 2 x  3  x  2 x

6.

lim x  6  3x  2 x



x2  4 x  1

x 2  3x



8

Latihan 2: Tentukan nilai limit dari: 1. 2. 3. 4.

x3 lim x   x 2  x  12 6x3  3x lim x   3 x  12 x 2  2 x 3 x4  2x  4 lim x  2 x 2  x  7 4 x  15 lim x  x  1

8x 2  3x  7 5. lim x 3 16x 2 6.

lim x

3  2x  4x3  6x 2  5

3x3  2x 2 lim 7. x  4x3  x 2  3x  1 8.

lim ( x  5)  x 2  3x  4 x

9.

lim 2 x  5  4 x  21 x

10. lim

x

x (x  5)  ( 2x 1 )

11. lim 2 x  9  2 x  11 x

2 2 12. lim 9x  x  4  9x  5x  3 x 

13. lim x 

2x 1 9x 2  x  4  x 2  2

2 14. lim x  2 x  2 x  1 x

15. lim 3x  2  x  4 x


9


Secara umum: lim ax 2  bx  c  px 2  qx  r  x

1)

bq , jika 2 a

a=p

2)

+  , jika

a>p

3)

-  , jika

a
lim ax  b  px  q  x 1)

0, jika a = p

2)

+  , jika

a>p

3)

-  , jika

a
Penggunaan Limit Misal pada grafik y = f(x), kita akan menghitung gradien garis singgung.

Gradien tali busur AB:

y f (c  h)  f (c) f (c  h)  f (c) mAB    x c hc h Bila h  0, maka A dan B berhimpit di x = c sehingga gradien garis singgung di A:

mA  lim h0

f (c  h)  f (c) h

Untuk rumus lebih umum, gradien garis singgung di setiap x:

m  lim h0

f ( x  h)  f ( x)  f ' ( x) . h

Contoh: Misalkan f(x) = x2 – 5x + 4. Tentukan f  (2), f  (0), f  (-1)! 1. 2. Jumlah penduduk suatu daerah pada saat tertentu (per minggu) memenuhi persamaan f(t) = t2 + 2t, t ≥ 0. Hitung laju pertumbuhan penduduk pada saat t = 2 dan t =5!

Latihan 3: Tentukan nilai f’ (x), f ‘ (0) dan f (-1) dari f(x) berikut: 1. f (x) = 2x + 5 2. f (x) = x2 - 3x + 4


Ringkasan Limit Fungsi Kelas XI IPS 1 NAMA : KELAS : theresiaveni.wordpress.com

Recommend Documents