Lia Oosterwaal versie 2- december 2011

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Aftrekken een korte leerlijn Automatiseren Automatiseren en memoriseren Bussommen de opbouw van de lessenserie Breuken, een leerlijn Breuken, een lessenserie Cijferen Cijferend aftrekken Cijferend delen Cijferend optellen Cijferend vermenigvuldigen Compacten en de i-lijn Delen een leerlijn Delen met de zakrekenmachine Getalbegrip Getallen benoemen en schrijven Getallenlijn Grote getallen Hoofdrekenen Hulpboekje gebruiken Instructie geven; algemene suggesties Kladgebruik Kolomsgewijs vermenigvuldigen Kommagetallen Lengte doelen in groep 5 Levend rekenen versus realistisch rekenen Memoriseren Memoriseren en automatiseren Meten doelen in groep 5 en 6 Met sprongen vooruit Nul Oefenen algemene suggesties Onderzoeksles Oppervlakte Oppervlakte doelen in groep 6 Optellen een korte leerlijn Realistisch rekenen Rekengesprekken voeren Rekengesprek, instructie of onderzoeksles:wat is wat? Remidial Teaching Snelle rekenaars in de groep. Snelle rekenaars die vooruit lopen. Vermenigvuldigen een leerlijn Visie Windroos Levend rekenen versus realistisch rekenen Vingers mag je tijdelijk gebruiken Vragen stellen Werkafspraken per groep Zwakke rekenaars: aanbod.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011

Hulpboekje gebruiken Er is een goed hulpboekje met opzoekkaarten die je in een fotoboekje kunt doen. Je kunt er ook zelf kaarten bij maken (Er ligt een voorbeeld in de IB-kast). Handig is om nieuwe, zelf gemaakte kaarten op de server te bewaren! Er zijn kaarten die hulp geven hulp bij spelling en bij rekenen. Overzichtelijke indeling op kleur. Het boekje is te bestellen bij www.woordenhaai.nl Ouders bestellen het boekje zelf.

Getallen benoemen en schrijven Het blijft voor sommige kinderen lastig om getallen als 13 en 23 goed te schrijven. Het liefst zien we dat kinderen eerst een getal verkennen en het dan leren schrijven. Niet alle kinderen doen dat binnen dezelfde tijd. Probeer ieder kind de tijd te geven die het daarvoor nodig heeft. Groep 3 en 4 werken met een getal van de week. In die periode verkennen kinderen elk getal niet alleen, ook leren ze het dan schrijven. Wekelijks een getal, betekent dat er bij de toetsen een probleem is. Immers, tijdens de toets moeten ze alle getallen kunnen schrijven, ook die nog niet aan bod gekomen zijn. We vragen ook niet of kinderen letters schrijven die nog niet uitgebreid aan de orde zijn geweest, en dat beleid willen we eigenlijk ook hier toepassen. We hebben onderstaande afspraken gemaakt: 1. Voor kinderen komen er, op een makkelijk te bereiken plek, opzoekkaarten voor het schrijven van de cijfers bijv. in schrift/werkboekje op hun tafel. 2. Boven alle toetsen (en zeker boven de eerste 6 toetsen) komen stroken waarop de cijfers staan. Kinderen kunnen ze nl wel overschrijven, want ze weten wel hoe ze eruit zien. 3. De eerste weken veel aandacht geven aan het schrijven van het getal van de week, in combinatie met de betekenis van het cijfer. 4. Aandacht voor de 1 in getallen als 13- 15. bijvoorbeeld met de een van deze suggesties: a. De nul, een slimme uitvinding om veel getallen te kunnen maken. b. Waar zit het tiental? De nul, een slimme uitvinding om veel getallen te kunnen maken Zodra je telt en boven de 9 uitkomt, gebeurt er iets raars. Er zijn wel 10 cijfers, maar toch schrijf je 10 met een combinatie van twee cijfers. Waarom doen we dat? Welke voordelen heeft dat en hoe doen we dat? Het is interessant om hier over te praten met kinderen. Uitgaande van tien cijfers die we kennen - 0 t/m 9- kunnen we wel 10 getallen maken, maar de 10 zelf zit daar niet bij. Immers de tien is een combinatie van de 1 en de 0. Wil je na negen verder, dan moet je dus een nieuw symbool maken. En dat geldt ook voor alle volgende getallen. Nieuwe symbolen bedenken is niet alleen lastig, je moet ze dan ook allemaal apart onthouden. Een systeem bedenken, waarbij je gebruik maakt van combinaties was dus een logische stap. Vergelijk hoe dat met Romeinse cijfers zit.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Vroeger was er geen nul, dat gaf een ingewikkelde schrijfwijze! Waar zit het tiental? Leg eens 6 kralen op een rood blaadje en leg er 16 neer op een groen blaadje. Iedereen zal er tellend goed uitkomen. Hoe schrijven we die 6 en die 16 op? Wat hoor je bij 16? Een 6 en een tien. Waar ligt die 6 en die 10 kijkend naar de kralen in het groene bakje)? Leg de 16 uit het groene bakje in tiental en losse neer. 6: er is geen tiental; schrijf 0 - er zijn 6 losse schrijf 6; voeg samen tot 06 = 6 16: er is één tiental; schrijf 1 – er zijn 6 losse schrijf 6; voeg samen tot 16 In het Nederlands zeggen we geen tien-twee maar twaalf. Goed om over te praten en daar bewust van te zijn. Er zijn meer uitzonderingen. Er is een proef gedaan met andere uitspraak: tien-een, tien-vijf. Kinderen bleken hier minder moeite mee te hebben. De taal kunnen we niet veranderen. Het bewust omgaan ermee wel. Vanaf groep 5-bij de grotere getallen- is weer aandacht nodig voor de plaats van de getallen die bepalend is voor de waarde: 1 0 5 5 eenheden 1 5 0 5 tientallen 5 0 0 5 honderdtallen Er zijn materialen in de handel( o.a. K-2 Publisher) waarmee kinderen steeds getallen kunnen maken (http://www.k2-publisher.nl/ ). Door het werken met kaartjes die voor een tiental of een losse staan, kunnen kinderen manipuleren met de getallen.

Getallenlijn In groep 3, zo ergens in maart, april komt de getallenlijn aan bod. Er zijn voorbeeldlessen waarin de getallenlijn geïntroduceerd wordt, aansluitend bij een onderwerp in de klas. Wat het onderwerp ook was, steeds schreven kinderen getallen op die een kind ‘nodig had’. De kaartjes werden vervolgens opgehangen en nadat er veel kaartjes hingen kwam het gesprek, als vanzelf, op een logische volgorde van die getallen. Op deze manier ontstond op natuurlijke wijze een getallenlijn (de ene keer was de start het bedrag nodig om iets te kopen; een andere keer ging het over leeftijden van familieleden). ‘Met sprongen vooruit’ Naast de papieren versie is het belangrijk om fysiek te ervaren wat de afstanden tussen getallen zijn, hoe veel stappen je moet zetten om bij 48 te komen als je bij 1 begint of bij 45. Als bijvoorbeeld ‘dit’ de afstand tussen 30 en 40 is, waar ligt dan 35? En weet je dan ook waar 55 ligt? Tel ook achteruit op deze fysieke getallenlijn. Veel van dergelijke activiteiten zijn beschreven in ‘Met sprongen vooruit’. In de rekenkast staat de kist en de map. Er is ook een DVD aanwezig. Ook in groep 4 Ervaring leert dat je deze activiteiten heel groep 4 moet blijven doen. Immers, al deze spelletjes zijn zo moeilijk te maken als je wilt. Zorg dat je zeker weet dat alle kinderen de getallen op de getallenlijn, in het echt en op papier steeds weten

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 te vinden. Kinderen hebben goed begrip van de getallenlijn nodig, om ook meer te gaan begrijpen van getallenlijnen met grote getallen, breuken of kommagetallen. Spelletjes Er zijn veel spelletjes om bezig te zijn met getallenlijnen zoals ‘raad mijn getal’ – ‘straatje leggen’. Deze spelletjes zijn verzameld in de spelletjes map, die in elke klas staat.

Optellen en aftrekken Al vroeg beginnen kinderen met optellen en aftrekken. De eerste jaren gaat alles uit het hoofd. Pas later komen er hulpmiddelen bij als een getallenlijn en een rekenrek (eind groep 3). Daarna gaan kinderen strategieën gebruiken zoals rijgen, splitsen, een tribunesom maken (groep 4). Zodra kinderen verschillende strategieën gaan gebruiken is het belangrijk dat zij kunnen nadenken over welke strategie je het beste wanneer kunt inzetten. Immers, een strategie is slechts een middel om iets uit te zo makkelijk mogelijk rekenen. Bij deze denkstap hoort altijd eerst de vraag: kan het vlot uit het hoofd? Daarna - en dan zitten we halverwege groep 6- gaan kinderen cijferen. Ook hier past de vraag: gaan we cijferen of doen we het uit het hoofd? (voor cijferen is ook een apart document gemaakt) Tot groep 4 gaat het om getallen onder de 100. Pas in groep 6 komen de miljoenen en miljarden kijken. De stappen bij het optellen Hieronder een kort overzicht waarbij de groepen genoemd worden as indicatie. Het geheel is dan ook te zien als leerlijn. En wel een verkorte leerlijn. De strategieën die genoemd worden, zijn niet als zodanig aangeduid, omdat elke strategie eerst ontdekt moet worden door kinderen. In groep 3 1. Bussommen, een concrete voorstelling van wat je wilt gaan rekenen (zie groep 3/algemene document). Aanbieden van pijlentaal. 2. samennemen en weghalen. Het bepalen van het verschil. 3. Aandacht voor de betekenis van de symbolen + - = 4. Rekenrek als is hulpmiddel om kleine hoeveelheden snel te zien 5. Sommen eerst met materiaal aanbieden, daar de somnotatie er steeds bijschrijven. 6. 15+3 naar analogie 5+3 In groep 4 7. situatie omzetten naar rekentaal ( ik neem 3 dropjes mee) 8. opgaven ‘over het tiental’: a. doortellen of terugtellen b. gebruik maken van dubbelen en eentje meer: 6+6 =12 dus 6+7=13

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 c. gebruiken verwisseleigenschap 3+39= 39+3 d. gebruik maken van het steunpunt 10. 15-8 eerst 15-5 en dan nog 3 eraf. 9. 17-3=14 naar analogie van 7-3=4 en dus ook 27-3=24 10.het verschil bepalen: bij opgaven als 54 – 48 is het handiger om te kijken naar hoeveel er tussen 54 en 48 ligt dan er 48 vanaf te halen. Een grafiek laat dit mooi zien, zie vb als de vogelgrafiek. 11.optellen met rijgen: het eerste getal blijft heel. Op de getallenlijn kun je zelf kiezen met welke sprongen je rekent. Belangrijk bij de minsommen om een grote boog terug te tekenen, waarboven het aftrekgetal komt te staan. Binnen die boog, teken je kleine bogende stappen die het kind wil maken. Op deze manier blijft zichtbaar dat 47-28 met sprongen gaat: eerst 20, dan 7 en dan 1 eraf. Vaak vergeten kinderen die 1. 12.gebruik een rond getal: bij optellen gaat het hier om de tribunesom: 49+26 = 50+25 . Aftrekken met een rond getal doen wij niet in groep 4 (anders dan de methode aangeeft!) In groep 5 en 6 1. splitsen: 479-212=267 118-106= 2. met rijgen: het eerste getal blijft heel. Op de getallenlijn kun je zelf kiezen met welke sprongen je rekent. 3. Verschil tussen splitsen en rijgen: bij splitsen splits je aftrekker en aftrekgetal in h – t – e Dus 400-200=200 70-10=60 en 9-2=7. Vergissingen liggen op de loer, zodra het niet mooi uitkomt: 472-86=je zult dan moeten weken met ’tekort’. 4. rijgen op een lege getallenlijn. Waar zet je het getal neer? Bij aftrekken moet dit rechts staan, bij optellen links. Begrijpen kinderen waarom? 5. met een rond getal: bij optellen gaat het hier om de tribunesom: 49+26 = 50+25 . Bij aftrekken met een rond getal gaat het om de leeftijdssom: 54- 19 zien als 55-20 (als ik 54 ben en jij bent 19, dan verschillen we een jaar later evenveel. Ik ben dan 55 en jij 20. We verschillen nog steeds even veel in leeftijd, nl. 35 jaar. 6. langs een rond getal: 294+8 oplossen als 294+ 6 =300 dan nog erbij 2. en bij eraf:72- 8 eerst 2 eraf ben je bij 70 en dan nog 6 eraf. 7. 70-30=40 naar analogie van 7-3=4. 8. Kolomsgewijs optellen en aftrekken wordt aangeboden. Kinderen leren bewerkingen te maken met grote getallen; er wordt gerekend met de waarde van de cijfers, dat maakt het wezenlijk anders dan cijferen.

Cijferen De uitgangspunten voor rekenen op de Windroos zijn levend rekenen voor zover mogelijk en realistisch rekenen zoals het bedoeld is (beschrijvingen hiervan zijn te vinden in het groene boek.) Cijferen staat hier haaks op: het is een truc die de kinderen moeten leren om handig en snel te kunnen rekenen, nadat er begripsmatig een goede basis is gelegd.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Om de truc goed toe te kunnen passen, moet worden voldaan aan bepaalde voorwaarden: - Een kort, helder taalgebruik is belangrijk - We gaan systematisch te werk - Zorgen voor een nette, duidelijke, overzichtelijke notatie. Cijferen begint halverwege groep 6 met optellen, vervolgens aftrekken. Dan vermenigvuldigen en delen in groep 7. Zie hiervoor de aparte beschrijvingen: cijferend optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Starten met kolomsgewijs optellen is van groot belang om de waarde van de getallen te ervaren (de honderdtallen, tientallen en eenheden blijven heel). Het accent ligt hierbij op de waarde. Dit is nog steeds geen truc. Daarna -en in het begin ernaast- cijferen. Het accent ligt dan op de cijfers en er wordt gecijferd van rechts naar links.

Cijferend optellen Het cijferend optellen begint met kolomsgewijs optellen om de waarde van de getallen te ervaren (de honderdtallen, tientallen en eenheden blijven heel). Het accent ligt hierbij op de waarde. Dit is nog steeds geen truc. Daarna wordt cijferen aangeboden. De eerste keer, naast elkaar, zodat de relatie wordt gezien. Ook wordt duidelijk gemaakt dat bij cijferen het accent ligt op de cijfers en er wordt gecijferd van rechts naar links. Kolom

cijferen

631 158 -------+ 700 80 9 rekenen

631 158 789

cijferen 1 631 149 ------+ ----- + 780

Kinderen moeten dit op den duur in 15 sec. uit kunnen

789

Naar de kinderen toe stellen we steeds de vragen:  Wat kun je er fout aan doen?  Wat is hier moeilijk aan? Op die manier ontstaat een lijst met aandachtspunten in hun hoofd.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Cijferend aftrekken Het cijferend aftrekken begint met kolomsgewijs aftrekken om de waarde van de getallen te ervaren (de honderdtallen, tientallen en eenheden blijven heel). Het accent ligt hierbij op de waarde. Dit is nog steeds geen truc. Daarna wordt cijferen aangeboden. De eerste keer, naast elkaar, zodat de relatie wordt gezien. Ook wordt duidelijk gemaakt dat bij cijferen het accent ligt op de cijfers en er wordt gecijferd van rechts naar links. Om te voorkomen dat de som onleesbaar wordt, schrijven en strepen we niet in de som, maar werken we met een streepje onder het leencijfer, waardoor dat eentje minder wordt. We noemen dit naar de kinderen toe als geheimtaal. Extra aandacht schenken: de berekening wordt altijd van boven naar beneden gemaakt. In drie stappen werken van rechts naar links: o kan zonder problemen - met één keer lenen (inwisselen) - met twee keer lenen (inwisselen) - met een 0 in het bovenste getal - Om aan te geven dat er één geleend is zetten we een streep onder het cijfer (geheimtaal voor 1 minder, er is iets met dat cijfer gebeurd). Dit voorkomt dat er gestreept of geschreven wordt in of boven de som. 768 132 ------- -

784 256 ------- -

754 268 -------- -

704 268 ------ -

Bij lenen verwoorden we: 4-6 kan niet; lenen bij de buren (streepje onder de 8); 14-6=8; 7-5=2; 7-2=5. Wat tussen haakjes staat: doen; verder wordt er dus geen woord meer gezegd. Weinig woorden, snel klaar. Let er vooral op dat kinderen ‘dat wat we eerder geheeimtaal hebben genoemd’ niet nog eens tijdens het maken gaan uitleggen: ‘dus die 8 is nu een 7 want…’ . Bij cijferen gaat het om snelheid, dus de focus ligt op rekenen. Naar -

de kinderen toe stellen we steeds de vragen: Wat kun je er fout aan doen? Wat is hier moeilijk aan? Waar letten we op bij ons taalgebruik?

Op die manier ontstaat een lijst met aandachtspunten in hun hoofd.

Cijferend vermenigvuldigen Het cijferend vermenigvuldigen begint met kolomsgewijs vermenigvuldigen om de waarde van de getallen te ervaren (de honderdtallen, tientallen en eenheden

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 blijven heel). Het accent ligt hierbij op de waarde. Dit is nog steeds geen truc. Daarna wordt cijferen aangeboden. De eerste keer, naast elkaar, zodat de relatie wordt gezien. Evenals bij het cijferend aftrekken, schrijven we hier niet in de som, maar wat je moet onthouden schrijf je rechts, klein, naast de opgave en streep je door als je het erbij geteld hebt. Er zijn drie somtypes te onderscheiden: 24 6x ------

243 6x -------

243 27 x -------

De laatste maken we inzichtelijk door aan te geven dat het gaat om 7 X 243 = 1701 en 20 x 243 = 4860 20x krijgt altijd een 0 op het eind (want …). Dat verklaart waarom we bij vermenigvuldigingen met tientallen altijd op de tweede regel een nul schrijven. Om verwarring te voorkomen maken van die bijzondere nul een nul met een stip erin: nulpunt en we zeggen erbij dat we vermenigvuldigen met tientallen. Naar de kinderen toe stellen we steeds de vragen: - Wat kun je er fout aan doen? - Wat is hier moeilijk aan? - Waar letten we op bij ons taalgebruik? Op die manier ontstaat een lijst met aandachtspunten in hun hoofd.

Delen Het blijft belangrijk om ook bij het cijferen af en toe weer stil te staan bij wat delen is. Kun je dat uitleggen met dropjes of blokjes? Waarom werkt: in groepjes herhaald aftrekken? De nieuwe staartdeling is eigenlijk geen cijferen. Immers, de hele handeling blijft inzichtelijk. Begin met een hulp-keer-tabel: hierin de vermenigvuldigingen gemaakt met verdubbelen. 10x hoeft er niet bij te staan, omdat je dat eronder kunt schrijven. Die reeks 10x -20x-40x-80x Zeker in het begin deze reeks eronder blijven schrijven. Snel zullen veel kinderen al snel niet meer nodig hebben. Prima. Dat kan iedereen zelf bepalen.

2431 : 2400 31 24 ------7

12 = 202 R 7 200 x 2x

1x 12 120

2x 24 240

4x 48 480

8x 96 960


Naar de kinderen toe stellen we steeds de vragen: - Wat kun je er fout aan doen? - Wat is hier moeilijk aan? - Waar letten we op bij ons taalgebruik? Op die manier ontstaat een lijst met aandachtspunten in hun hoofd.

Compacten en de i-lijn Rekenen in niveaugroepen of in de stamgroep? We zijn groot voorstander van rekenen in en met de eigen groep. Dit betekent niet dat we er van uit gaan dat alle kinderen op een zelfde niveau rekenen. Compacten en de i-lijn Kinderen rekenen in de eigen klas; ze volgen daar de rekengesprekken en de onderzoekslessen. De instructies volgen ze als dat nodig is. Goede en snelle rekenaars hebben vaak minder oefenstof nodig. In de tijd die zij daardoor ‘over’ hebben, krijgen zij interessant rekenwerk aangeboden. (zie hieronder verder) Voor kinderen die moeite hebben met rekenen is er extra hulp, kan er verlengde instructie gegeven worden of RT ingezet worden. In principe vanaf groep 5, maar bij voorkeur vanaf groep 6, kan besloten worden om over te stappen op de i-lijn Rekenrijk. (zie hieronder verder)

De goede rekenaar We zijn voorstander van rekenen in en met de eigen groep. Dit betekent niet dat we er van uit gaan dat alle kinderen op een zelfde niveau rekenen. Wel dat kinderen in de eigen klas rekenen; ze volgen daar de rekengesprekken en de onderzoekslessen. De instructies volgen ze als dat nodig is. Goede en snelle rekenaars hebben vaak minder oefenstof nodig. In Compacten is een overzicht te vinden van leerstof die gemaakt moet worden. In de tijd die zij daardoor ‘over’ hebben, krijgen zij interessant rekenwerk aangeboden. Bronnen hiervoor zijn bijvoorbeeld: somplex, Wisbaak boekjes, Rekentijger of werken aan programma’s zoals www.rekenweb/techniek/treintjes. Liefst doen ze dit in tweetallen. In elk geval moet het werk besproken met hen worden. Voor ouders en kinderen moet duidelijk zijn dat ze de rekengesprekken en instructie volgen, omdat het samen praten en denken over rekenen&wiskunde een ‘must’ is; dat zij niet alle sommen hoeven te maken maar wel veel tijd besteden aan rekenen om de diepgang te bevorderen en op peil te houden.


Leerlingen lopen wel vooruit op hun klas Er zijn uitzonderingen. Er kunnen en zullen altijd leerlingen zijn die de rekeninstructie in een andere groep volgen, op het niveau dat bij die leerling past. Uiteindelijk heeft dat in groep 7 of 8 verregaande consequenties. Dan krijgt deze leerling, die dan het boek 8 uit heeft, wiskunde met een VO boek aangeboden. Nadeel is dan wel dat de leerling vanaf dat moment alleen, zelfstandig het boek door moet werken. Vaak zal de leerling dan al in de bovenbouw zitten, waar het makkelijker is om nevenactiviteiten te verzinnen voor snelle rekenaars: zij kunnen werken aan andere vakken, aan studies, presentaties enz. Een goede afweging maken, op het beste moment, is lastig. De zwakke rekenaar We zijn voorstander van rekenen in en met de eigen groep. Dit betekent niet dat we er van uit gaan dat alle kinderen op een zelfde niveau rekenen. Wel dat kinderen zoveel mogelijk in de eigen klas rekenen; ze volgen daar de rekengesprekken en de onderzoekslessen. De instructies volgen ze als dat nodig is. In de bovenbouw is de kans groter, dat dit niet goed meer kan, omdat de achterstand te groot is. Die kinderen zijn gebaat met meer inzicht in het basale rekenen. Dan zijn intensieve gesprekken met kleine groepen nodig, waarbij ook ver terug gegaan kan worden in de leerstof. Belangrijk is om ervoor te waken dat kinderen twee jaar achter elkaar hetzelfde boek doorwerken en het de tweede keer nog steeds niet op eigen kracht kunnen. Hoe eerder leerlingen een dergelijke hulp aangeboden krijgen, hoe minder hun achterstand zal zijn. Immers: rekenen is gestapelde kennis. In principe vanaf groep 5, maar bij voorkeur vanaf groep 6, kan besloten worden om over te stappen op de i-lijn Rekenrijk. Kinderen volgen de instructie met de groep en hun werk is al uitgezocht en staat in een mooi “rekenboek”, het i-lijn-boek. Ze schrijven de antwoorden op in hun schrift en krijgen ook een kladblok. .

RT geven Er zijn verschillende mogelijkheden om extra ondersteuning te geven. In de groep tijdens de instructie/rekenles zit de RT-er aan een tafel bij een groep en kan tussendoor hun vragen beantwoorden, iets extra’s vertellen, een tussenantwoord geven enz. De ‘hulpgroep’ volgt dus de reguliere les, maar krijgt tegelijkertijd extra ondersteuning en aandacht. Er wordt een rekengroepje geformeerd dat redelijk permanent is me vaak bestaat uit leerlingen uit eenzelfde jaar, maar niet altijd uit eenzelfde klas. Er is ook ervaring opgedaan met beperkt aantal keren, 4-6 keer met de groep bijeen komen, gericht op een domein. Na een paar keer wisselt de groep.


Vragen stellen om het wiskundig denken te stimuleren (bron: TienVeertien, FI 2008) Om probleem oplossen te bevorderen/stimuleren  Wat moet je eigenlijk uitzoeken?  Welke gegevens/informatie heb je?  Welke strategie denk je te gebruiken?  Doe je het uit je hoofd? Met pen en papier? Met een getallenlijn/grafiek/tekening?  Denk je dat het helpt als je een rekenmachine gebruikt?  Welke gereedschappen/modellen/formules/ ... heb je nodig?  Wat zou er ongeveer uit moeten komen volgens jou? Om te helpen als leerlingen vastzitten  Vertel het probleem eens in eigen woorden.  Welke gegevens heb je?  Ontbreekt er een gegeven? Weet je daar zelf iets over?  Heb je al eerder een dergelijk probleem opgelost? Weet je nog hoe?  Zou je het eerst eens kunnen proberen met eenvoudigere getallen/met minder getallen?  Kun je een getallenlijn/verhoudingstabel gebruiken?  Als je eens alles overzichtelijk opschrijft?  Kun je een grafiek/tabel/tekening maken?  Zou je kunnen raden en dat dan controleren?  heb je jouw werk vergeleken met dat van iemand anders? Wat hebben de anderen uit je groep geprobeerd/gedaan? Om verbanden te leggen  Hoe is het als je dit vergelijkt met ...  Heb je hiervoor iets geleerd dat voor dit probleem goed te gebruiken is?  Heb je in de krant iets gelezen/gezien waarbij wiskunde gebruikt is?  Kun je mij een voorbeeld geven van ...? Om reflectie te bevorderen  Hoe ben je aan je antwoord gekomen?  Denk je dat je antwoord klop? Waarom?  Kun je jouw aanpak aan de klas uitleggen? Kun je uitleggen waarom deze werkte?  Welke aanpak vind jij handiger: die van ... of die van ... Waarom? Wat is er anders, wat hetzelfde?  Wat heb je geleerd vandaag?  Heb je vandaag nieuwe woorden geleerd? Wat betekenen ze? Hoe spel je ze?  Wat is de kern van deze les geweest volgens jou? Om leerlingen te helpen om hun zelfvertrouwen te vergroten en om te vertrouwen op wat ze zelf al weten/kunnen:  Waarom is dat waar?  Hoe ben je tot die conclusie gekomen?  Kun je een model/voorbeeld/tekening/schets laten zien?


Om leerlingen te helpen om te komen tot wiskundig redeneren:  Zou dat altijd waar zijn? Leg eens uit waarom je dat denkt.  Kun je een tegenvoorbeeld bedenken?  Hoe zou je dat bewijzen?  Welke aannames doe je? Om vooruitgang te kunnen zien:  Kun je uitleggen wat je tot nu toe gedaan hebt? Wat kun je nog meer doen?  Waarom heb je besloten om het op deze manier te doen?  Kun je nog een andere aanpak bedenken die ook gewerkt zou hebben?  Is er een handigere/efficiëntere manier?  Wat merk je op als ....?  Waarom heb je besloten om je werk op deze manier te organiseren?  Denk je dat dit met andere getallen ook zou werken?  Heb je wel aan alle mogelijkheden gedacht? Hoe weet je dat zeker? Om te helpen dat leerlingen samen zinvol met wiskunde bezig te zijn:  Wat vind je van wat .... heeft gezegd?  Ben je het daar mee eens? Waarom wel/niet?  Is er iemand die hetzelfde antwoord heeft maar het op een andere manier heeft gedaan/een andere strategie heeft gebruikt/een andere redenering heeft gebruikt?  Begrijp je wat ... heeft gezegd? vertel een in je eigen woorden wat ... heeft gezegd.  Kun je ons overtuigen dat jouw antwoord klopt (of jouw strategie juist is)? Om aan te moedigen om voorspellingen te doen  Wat zou er gebeuren als ...? Wat als ... niet ...?  Zie je een patroon/regelmaat? Kun je dat omschrijven?  Wat zijn de eventuele mogelijkheden?  Kun je een voorspelling doen over hoe het verder gaat (over de volgende ...)? En wat denk je van de laatste?  Welke beslissing zou hij/zij moeten maken volgens jou?

Levend rekenen vs. realistisch rekenen Levend rekenen Begint bij een ervaring van een kind, een verhaal, een belevenis, een voorwerp dat de kring binnenkomt. Natuurlijk kan ook de leerkracht een verhaal/voorwerp de kring inbrengen. Die ervaring is het uitgangspunt voor een rekengesprek. Al lange tijd wordt gezocht naar een manier om al het rekenen te vatten/te pakken binnen levend rekenen. Daar is nog geen oplossing voor gevonden. Er zijn veel mooie voorbeelden van op papier. Het in 2011 verschenen boek ‘Dat Telt’ wil een praktische gids zijn voor levend rekenwiskundeonderwijs (www.freinet.nl).


Principes van Realistisch rekenen Bij het woord realistisch wordt hier gebruikt in de betekenis van: zich realiseren wat de betekenis is, maar als reëel ervaren, als weten hoe je in die situatie zinvol kunt handelen. De context moet gebruikt worden voor zingeving en als startpunt voor het wiskundig redeneren. De uitgangspunten in het kort: 1. Construeren en concretiseren: leren is construeren ipv absorberen en start in concrete situaties. Het gaat om: a. Het oplossen van problemen b. Het zoeken van problemen in de maatschappelijke werkelijkheid c. Het organiseren van de oplossing ofwel het mathematiseren. 2. Guided reinvention: kinderen vinden de wiskunde zelf (weer) uit door te mathematiseren. Zij worden geholpen door de leraar die vragen stelt. De mate van ‘guidance’ hangt af van wat de leerlingen nodig hebben. Het moet leiden naar een wiskundige activiteit. (zie boven). 3. Niveaus en modellen: differentiatie niet (uitsluitend) naar tempo, maar naar oplossingsniveau (concreet, schematisch of abstract). 4. Reflectie en eigen productie: nadenken over eigen handelen en de eigen oplossingsmethoden. 5. Sociale context en interactie: samen ontdekken en leren van elkaar. 6. Structureren en verstrengelen: het vervlechten van leergangen. Realistisch rekenen is uitgewerkt in diverse methoden. Sterker: nagenoeg alle methoden zijn geschreven door schrijvers met een ‘realistisch rekenen’-bril op. Daar zit ‘m ook de kneep: er zijn een aantal belangrijke principes weggelaten. Zo is het aanbod in de methode in hap klare brokken opgedeeld; er worden voor de kinderen grote denkstappen gemaakt; en zo is er nog wel meer te zeggen als je de uitgangspunten van het realistisch rekenen vergelijkt met de inhoud van de boeken.

Visie Windroos op levend vs. realistisch rekenen Vastgesteld tijdens teamvergaderingen in schooljaar 2009-2010. Op de Windroos willen we graag levend rekenen geven. We willen echter wel kerndoel-proof zijn en alles aanbieden. We achten ons nu nog niet in staat om het juiste niveau te behalen als we de ervaringen van kinderen en de kringgesprekken als uitgangspunt nemen voor ons (levend) rekenen. Daarom nemen we andere uitgangspunten:  We gebruiken het leerlandschap en de methode om de leerlijnen en doelen vast te stellen.  We werken volgens de werkelijke principes van het realistisch rekenen: guided reinvention; eerst de concrete situatie, dan schematiseren en dan op abstract niveau; samen ontdekken en leren van elkaar; nadenken over eigen handelen en de eigen oplossingsmethoden; het vervlechten van leergangen. Deze principes zijn ons wel toevertrouwd. We zetten ze ook in bij ander werk.  Waar kan zetten we levend rekenen in.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011  



We gebruiken de methode; waar en wie dat kan, late hem los of gebruikt hem wat losser. We volgen de kinderen en leggen observaties vast. Tussentijds vinden toetsen plaats. Op dit moment wordt gebruik gemaakt van de toetsen uit Rekenrijk. Scores worden digitaal vastgelegd. Naarmate de methode meer wordt losgelaten en rekenen meer en meer levend en realistisch wordt, zal gewerkt worden met zelf ontwikkelde toetsen, afgestemd op leerstof die aan de orde is geweest. Bovendien zal twee keer per jaar de Cito rekentoets voor het betreffende leerjaar worden afgenomen. De leerstof ligt in grote lijnen per leerjaar vast en is terug te vinden onder hoofdstuk leerstof uitgewerkt in leerlijnen per onderdeel.

Rekengesprek Een rekengesprek kan over van alles en nog wat gaan, het gaat daarbij steeds wel om de rekenkundig/wiskundig insteek. Voorbeeld: Mark neemt een tol mee en vertelt erover. Je besluit: kunnen we deze tol gebruiken bij het rekenen? Ja, snelheid berekenen. Hoe doe je dat? Wat is snelheid eigenlijk? Een gecombineerde maat: tijd en afstand, enz. De leerkracht stelt vooral veel vragen. De kunst is om dit gesprek uit te bouwen tot rekenen. Het een moet verbonden worden met het ander. Dat is ingewikkeld en vraagt oefening. Evenals het stellen van goede vragen. In feite gaat het hier om hetzelfde verschil dat je hebt tussen een kringgesprek met en zonder diepgang. Een Kringgesprek kan over van alles gaan. Het mist de rekenkundige/ wiskundige insteek. Bij een instructie legt de leerkracht legt uit, geeft een toelichting. De leerkracht instrueert. De leerkracht of leerling kiest een onderwerp. Bij een onderzoeksles is het wiskundig onderwerp is bekend, in elk geval bij de leerkracht. Kinderen ontdekken zelf de wiskunde, onder begeleiding van de leerkracht. Er kan al dan niet gebruik gemaakt worden van bestaande lesuitwerkingen.

Getalbegrip Een website waar veel over dit onderwerp is geschreven is: http://www.rekenendoordenken.ou.nl

Een andere de website is: http://tule.slo.nl/RekenenWiskunde/F-L23.html

Breuken achtergrond In de blauwe rekenkast staat een ordner “breuken” met opdrachten en achtergronden. In deze kast ook een paar breukenspelletjes. De overige materialen staan in de rekenkast (halletje 3-4).

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Lees ook de TAL brochure: breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen. Veel breuken kennen kinderen uit de praktijk, zonder dat dit wellicht gekoppeld is aan het concept ’breuk’. Denk aan: een kwart appel; een halve taart. Ook woorden als een part, een kwart, een stukje van………. Kun je zien als informeel taalgebruik over breuken. Die moeten dus omgezet worden naar bewust gebruikte taal over breuken. Het concept “breuken” wordt compleet als het aangevuld wordt met belangrijke inzichten zoals:  Een breuk is een deel, maar alleen als dat geheel eerlijk opgedeeld is. Als ik een kopje laat vallen in 20 stukjes heb ik geen breuken gemaakt van 1/20 deel. Wat had ik dan moeten doen? (zie ook: Belgische breuken puzzels)  Een kwart kun je op verschillende manieren tekenen: welke manieren zijn dat? ( vb. zie “verkorte leergang breuken” som 2 :teken in deze figuur steeds op een andere manier het ¼ deel)  Een breuk is een relatief getal: ¼ kan heel groot zijn, maar ook klein. Het staat voor iets: ¼ van een reep, de benzine, enz. Als je dit gaat visualiseren, krijgt het direct meer betekenis. Vergelijken van breuken laat twee dingen zien: dat het om een relatief getal gaat en dat je breuken een waarde kunt toekennen, kunt vergelijken met elkaar. Denk aan de vraag: Piet slaapt 1/3 deel van de dag en Jan 3/5. Al tekenend op een klok, kun je zien wie langer slaapt. Je kunt het natuurlijk ook uitrekenen. Breuken: 1. kun je zien als getal: dat je op volgorde kunt zetten, op een getallenlijn. De breuk 2 1/4 ligt tussen 2 en 3 in. 2. geeft een verhouding weer: 2/5 als : 2 staat tot 5 oftewel: 2:5 3. een deling kan in de vorm van een breuk geschreven worden: 5 gedeeld door 2 = 5/2 en 2/3 betekent dan ook 2 gedeeld door 3 4. kun je zien als fractie/deel van iets: ¼ deel van 40 = 10. Het is belangrijk om dit onderscheid te maken. Hieraan wordt niet veel aandacht besteed, maar verhoogd het inzicht. Verschillende benaderingswijzen zijn dan ook belangrijk. Niet alleen uitgaan van een taart of postzegel model. De context moet verduidelijken over welk van de vier aspecten het nu gaat:  van de 20 kinderen in een klas zijn er 5 ziek. Hoeveelste deel is ziek?  Is de breuk een verhouding: 5 van de 20; 5/20 of ¼ is ziek.  van de 20 kinderen in een klas is ¼ deel ziek. Hoeveel kinderen zijn ziek? Nu kan de breuk beschouwd worden als een fractie: als ¼ van) Belangrijk is om ook de relatie tussen breuken en verhoudingen en procenten en kommagetallen te leggen. Soms kun je ze zo omzetten; soms kan dit in een bepaalde context niet. De taal is lastig en dus moet daar veel aandacht aan besteed worden. ½ x ¼ is lastiger dan neem eens ½ deel van ¼ . wat betekent: 2 van de 6? Noortje vertelde over haar werk bij de bakker: een klant bestelde 10 broodjes wit en bruin: 2 om 8.Correct taalgebruik, maar ………… Veel breuken gebruik je vaak in de praktijk, maar wanneer gebruik je nu ½ x ¼? Wat moet je hierbij voorstellen? Vertel dat je hier in het dagelijks leven wellicht niet veel mee doet, maar dat je er in de wiskunde veel mee doet. Daarom gaan

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 we dit ook leren. We maken steeds een overstap naar een praktijk, want je kunt het wel uitbeelden, maar we weten dat die praktijk niet vaak voorkomt in real life. Terug naar de keersom ½ x ¼: Voordoen door te laten zien dat 1 x 5 = 1 groepje van 5 en 2 x betekent: maak 2 groepjes van 5. Nu moet je dus ½ groepje neerleggen en het groepje bestaat niet uit 5 maar uit ¼ . aandacht voor: oeps, een piepklein groepje, kleiner dan 1! Vreemd is dat kinderen ingestampt hebben gekregen: bij keer wordt iets meer en nu is dat anders. Bespreek waarom dat logisch is ( ½ x is neem de helft; dus minder!) In de map breuken zit een kopie van een handleiding met werkboekjes “verkorte leergang breuken “ Gemaakt voor brugklas ter opfrissing van de breuken kennis. Het handige is dat je hierin snel doorziet wat een mooie opbouw in grote lijnen is, kijkend naar een hele leerlijn breuken en dat er overal uitstekende opdrachten bij gemaakt zijn. Korte leergang breuken Breuk en plaatje combineren Breuk in cirkel tekenen: een 60-cirkel voor de relatie klok en een 100-cirkel voor de relatie met procenten. Koppelen van een breuk aan een hoeveelheid Redeneren van een deel naar een geheel (als 1/3 is gegeven; wat is dan het geheel?) Rol van de getallenlijn Ordenen en vergelijken van breuken Aandacht voor breuken met 100 als noemer ( ivm procenten) Gelijknamig maken van breuken Breuk aal aanduiding van verhoudingen in bijv. een tegelpatroon. In Rekenrijk is de opbouw in groep 6 is per blok in grote lijnen als volgt: 1. introductie met pizza’s en taarten met stroken gelijknamig maken aanvullen tot een hele 2. breuken gebruiken bij maten relatie deelsom en breuk 3. breuk als operator: 1/3 van 60 4. breuken op de getallenlijn 5. relatie met verhoudingen, kommagetallen en procenten. Aanpak: Van eigen ervaring een rekenverhaal maken; uitwerken met materialen. Dan de materialen omzetten in een tekening; van tekening naar model/korte handige notatie; formele rekentaal gebruiken. Streven is om bij elk nieuw aanbod over dit onderwerp met twee of meer ‘beelden’ te werken. Dus ervaring- materialen- tekening. Later: tekening- modelrekentaal. Kinderen moeten sommen lang met materialen voor zicht kunnen zien. Het materiaal moet vanzelf overbodig worden. Dat zal per kind op een verschillend moment zijn.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Materialen: Breukenstokken in leerlingen doosjes en in het groot. Te inzichtelijk om niet te gebruiken! Gebruik ruitjes papier 1x1 om breuken te tekenen in balken/blokken/enz. Spelletjes: In de (blauwe) rekenkast diverse breukenspelletjes in doosjes Straatje maken met breuken (spelletjesmap) doel: breuken gelijknamig maken/op volgorde zetten. Computer: De wolkentrein; afsnijden;eerlijk verdelen;sokken drogen;breuken overschenken; rekenen met stroken; graaf Hendrik en InKaart. Mooie lessen Uit de breukenmap zou ik zeker de volgende suggesties gebruiken: Een kilometer stokbrood (Willem Bartjens jrg 19 nr. 5. 99/2000) Een heldere kijk op cake (Willem Bartjens jrg 21 nr. 4 . 2001/2002) Belgische breukenpuzzels ( rekenweb: Nationale rekendagen 2003: breuken bewezen) De eerste lessen breuken We hebben afgesproken om voor dit blok voldoende tijd uit te trekken. We hebben nu al 6 Instructie momenten gemaakt. Misschien moet er stof tussentijds herhaald, uitgebreid worden. De gekozen momenten laten meer over de opbouw zien. Na het eerste instructie moment is er nog geen oefenstof in het boek te vinden. Er worden kopieën gebruikt uit de map. Instructie moment 1 Je begint met een appel. Wat gebeurt er als ik hem doormidden snijd? Hoeveel appel heb ik dan in de ene hand? En als ik dit stuk dan weer doorsnijd? Je schrijft de twee breuken op het bord. Pak een kopje in je hand. Voorspel wat er gaat gebeuren als je dit laat vallen. Doel van voor- en nagesprek is dat kinderen weten dat: 1. breuken even grote delen zijn 2. van een geheel 3. elk brokje van de beker is dus een breuk, maar welke naam die breuk krijgt, is niet zo makkelijk te zeggen. Je moet eerst weten: hoe vaak zou dat ene brokje in de hele beker passen? Dat moet je voor elk brokje apart doen! 4. Opgeteld leveren alle brokjes samen 1 op: 1 beker, maar dat kan ook 1 euro zijn, of 1 miljoen euro 5. Een breuk is een relatief getal: de waarde weet je pas, als je weet waar je het over hebt (1 euro of 1 miljoen euro). 6. Je kunt brokken bij elkaar passen: lukt niet bij de beker, maar je zou kunnen zeggen: dit is ¼ en dat ook en dat ook enz. Dan onderdeel: (zie kopie cake en breuken) teken een balk: deel die eerlijk in 2 stukken; doe dat nog een keer. Hoe heet zo’n stukje, zo’n breuk? Zelfde: deel een stukje weer doormidden. Hoe heet dat stukje, de breuk nu? Er zijn

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 verschillende varianten: teken een strook; deel hem in 3 stukken. Elk stuk doormidden enz. Prima om vaker in de les te doen. Variant: kun je 1/7 tekenen? Laatste deel van de les is op ruitjes een creatieve ¼ maken. Instructie moment 2 Stokbrood-les: zie map. Loop rond en deel kinderen steeds de helft van je stokbrood uit; laat naam van het deel erop schrijven. Bespreek dat je hier eindeloos mee door kunt gaan!!! Laat kinderen per tafel kijken wat er te ontdekken valt aan hun serie stokbroden. Breukenstokken introduceren. De grote stokken gebruiken en praten over de relatie kleur breukenstokken. Nu zijn er veel opdrachten uit het boek te maken. Instructie moment 3 Pizza les: op welke manieren kunnen 2 kinderen 4 pizza’s verdelen? Instructie moment 4 Ordenen op de telrij. Op volgorde zetten van breuken. Hoe weet je welke breuk groter kleiner is? (deel eens een taart deel met 4 of met 10 mensen? Ga nu nog uit van teller =1. Later ook wat is meer en 1/5 of 2/5 en 1/5 of 2/12. Zie ook instructie 5 punt 4. Spelletje straatje leggen met breuken. Gebruik eerst makkelijke kaartjes/breuken! Een top spel. Instructie moment 5 Waarom hebben breuken soms dezelfde naam? Hoe kun je erachter komen of dat zo is? Waarom handig? (ik kan me meer voorstellen bij ½ dan bij 122/244 ) Oefenen met gelijknamig maken. Oefenen met aanvullen tot 1. Breng het aanvullen van een breuk tot een hele, in verband met de grootte van de breuk. Vergelijk 9/10: nog maar 1/10 erbij en je hebt al 1. Bij 8/9 moet er nog 1/9 bij om 1 te krijgen. Dus is 9/10 groter, want 1/10 is kleiner dan 1/9. Instructie moment 6 Verhoudingen: 1 op de 3 is gelijk aan 1/3 deel. Wat bedoelen we dan en hoe zit dat precies? Bussommen Met bussommen worden veel begrippen tegelijkertijd geïntroduceerd: + , eraf, - , de nul ,= , is, bij elkaar, een som, antwoord, (uitkomst). Het gaat daarbij vooral om het begrijpen van de begrippen en de symbolen. Van belang is dat er in de groep eerst voldoende aandacht is geweest voor structureren en flitsen. Dat zou een week vragen. Daarna drie weken bussommen inplannen en dan weer verder. In de methode komen eerst de bussommen aan bod en daarna het structureren en flitsen. Fases Zelf de situatie kunnen uitspelen en verwoorden in de speelzaal.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Zelf de situatie kunnen uitspelen en verwoorden met een speelgoedtrein en poppetjes op de kringtafel. tekening op papier zelf maken en lezen notatie met symbolen zelf maken en lezen. 1. Starten in de speelzaal. Je werkt zeker 4 keer max. een half uur in de speellokaal; misschien kun je het spel dan vereenvoudigd in de klas spelen, of buiten. Houd er rekening mee dat de versimpeling echt opgepakt wordt. Anders nog een paar keer de speelzaal. Notatie wordt op het verrijdbare bord aangeboden in de speelzaal. Eerst sommen erbij schrijven. Uitbreiding is welke som moet ik op het bord noteren. Tip: kinderen die de + en /of – lastig vinden, spelen zelf + /-. De laatste keer wordt gewerkt met kaartjes waarop + - of niets staat (je staat dan bij de halte en er gebeurt niets). 2a. Vereenvoudiging van het spel door het met minder attributen en kleiner in de klas of buiten te spelen. Noteren op bord en kaartjes . 2b. Spel uitspelen op tafel met treintjes en poppetjes. 3. Werkbladen invullen waarop bussen getekend zijn. 4. Sommen kunnen lezen en maken Zoals gebruikelijk is het belangrijk dat deze fases naast elkaar gebruikt worden. Liefst een combinatie van twee. Als de trein altijd klaarstaat in de klas, kunnen kinderen sommen die ze lastig vinden, met materiaal even naspelen. Inrichting van het speellokaal De lange mat is de weg. Pionnen of piramides met stok waarop briefjes geplakt worden, zijn de starthalte- halte 1 – halte 2 enz.- eindhalte ( alles is aanwezig in de speelzaal). Begin met drie haltes. Als haltes een bestemming hebben, zwembad oid kun je kinderen later in les 4 duidelijk maken dat ze bij de halte staan en niet instappen omdat zij niet naar het zwembad moeten zijn. Er zijn drie rollen te verdelen: chauffeur, wachtende kinderen bij de halte en reizigers die al in de bus zitten. Neem een pet voor de chauffeur en geef een hoepel als stuur. Rol van de kinderen aan de kant: som ontdekken. Eerste keer Eerst puur het uitspelen van in- en uitstappende mensen. Kinderen laten verwoorden wat er gebeurt. Als er mensen uit de bus gaan, vertaal dat dan in: er zitten nu minder mensen in de bus. Als er mensen instappen, er zitten nu meer mensen in de bus, het gaat om: erbij. Tweede keer Zelfde spelopbouw. Het verrijdbare bord gebruiken. Nu + en – gebruiken en dat noteren op het bord. Het = teken kun je wel gebruiken, maar nog niet benadrukken. Denk stimulerende vragen: Wat is erbij en eraf (ook in termen van plus, min en is) Is dit een plus of min som? Suggesties: Je schrijft eerst de som op: wie kan de kinderen ‘neerzetten’ ? Het antwoord kunnen kinderen uit spel halen. Maak een voorspelling van het antwoord. Speel een niet uitspeelbare som (er zitten 6 mensen in de bus; vraag of er 8 willen uitstappen).

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Derde keer: Uitbouw is dat kinderen jouw rol gaan nemen en dat het = teken duidelijk wordt. De 0 introduceren: met de som niemand stapt in. Bespreek dat er wel een som bij hoort, maar plus 1, dat past niet en min 1 ook niet. Wat gebeurt er dan? Dan zullen kinderen wellicht op de nul komen. Dan gaat het erom of de som kan zijn 6 reizigers + 0 of ook 6 – 0. En wat is de uitkomst. Suggesties: = teken weglaten en bespreken wat er nu staat. Zet een spel neer en vraag kinderen welke som op het bord geschreven moet worden. De bus rijdt met kinderen erin. Iedereen blijft zitten; niemand stapt in. Welke som hoort hierbij? Kinderen bedenken een som; kan die uitgespeeld worden. Zet zelf een niet uitspeelbare som op het bord neer. Vierde keer: * Sommen met kaartjes introduceren. * Het lege kaartje introduceren: bij plus sommen krijgen alle reizigers (dus kinderen die bij de start in de bus zitten) zo’n leeg kaartje. Ze spelen mee, maar blijven de hele rit zitten. Kinderen die met een leeg kaartje bij de halte staan, blijven staan en stappen niet in. * Wat betekent het om de + de - of het lege kaartje te spelen. Dit blijkt in praktijk opnieuw ontdekt te moeten worden, ook al is eerder gepraat over de begrippen. Denk stimulerende vragen: Waar moet je gaan staan met een plus? Kun je met een min kaartje in bus of bij een halte staan? Wat betekent het lege kaartje? Waar kan dat staan? (uitproberen!) Suggesties: Kaartje geheim houden. Leuk als kinderen aan de kant niet van te voren weten wie welk kaartje heeft zodat de som echt een verrassing is. Kinderen delen zelf de kaartjes uit die bij de opgegeven som passen.

Delen Leerlijn Wat is delen? Je hebt hier een hele berg fiches. We verdelen ze over 5 personen. a. Voordoen, nadruk op: eerst hebben we er heel veel, maar als je ze verdeelt, krijgt iedereen een klein beetje. b. Als je met meer mensen bent, krijgt iedereen minder: delen door 2 levert meer (snoepjes) op dan delen door 5. c. Altijd geldt: 12:4 kan nooit >12 zijn (deeltal 12) is altijd groter dan antwoord! 4 heet de deler en 3 noemen we het quotiënt. d. Gebruik taal dagelijks leven naast de rekentaal. Gebruik taal naast de notatie 12:4= 3. e. Pas op het moment dat formele taalgebruik begrepen en goed gebruikt wordt, de dagelijks taal en de voorbeelden loslaten. f. Als de uitkomst van een deling kleiner dan 1 is, wordt het quotiënt breuk genoemd, het deeltal teller en de deler noemer. .

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 2. Verschil verdelen en opdelen waar in de methode niet bij stilgestaan wordt, maar voor kinderen wellicht toch anders “voelt”: a. bij verdelen is aantal groepjes bekend. Schriften kosten 10 euro per 5. Wat kost 1 schrift? b. Opdelen is afmetend delen: Ik heb 12 euro en een schrift kost 1 euro. Hoeveel kan ik kopen? c. Het bus-probleem: voor een schoolreisje heb je bussen nodig: ook voor ‘de rest’ is een bus nodig! 3. Het verband laten zien tussen keer en delen. a. Werkend vanuit een berg fiches die je opdeelt over 4 personen: 20 hebben we verdeeld over 4 mensen. Iedereen krijgt er 5. Nu ligt er ook een tafel: 4x5= 20. Hoe kan dat? b. Vanuit rechthoekmodel: rechthoek van 4x5 dan volgt gesprek over: 20 : 5 = en 20 : 4 = ; de keersommen die je ook kunt zien in de rechthoek van 4 x 5 fiches. 4. Neem 10 fiches voor je en leg alle deelsommen neer. Noteer ze in je schrift. Steeds teruggrijpen op een voorbeeld: bijv. ik heb 12 dropjes die ik onder ons ga verdelen. Hoeveel krijgt iedereen er? Je hebt 10 fiches. In hoeveel groepjes kunnen we ze verdelen? In 2. hoeveel fiches heeft elk groepje er dan? Wat is dan de som? Wat is de overeenkomst tussen delen en vermenigvuldigen? 5. Daarna zelfde opdracht: Je kunt deelsommen maken waarbij je iets overhoudt. Sommen neerleggen en opschrijven in je schrift. Zie je de overeenkomst wat er op tafel ligt en de notatie en ook relatie x en : ? 6. Deelsommen staan in het schrift. Kun je een situatie bedenken; wanneer hebben we delen nodig? Welke keersom past hierbij? 7. strategieën: a. Rechthoekmodel: leg de 12 fiches in een rechthoek op tafel. Als je 12:3 moet uitrekenen, betekent het dat je 12 (dingen) moet verdelen over 3 groepjes. Laat kinderen meteen drie groepen maken en de fiches over die drie verdelen. Uitkomst: 4. Let op: 12: 3 = 4 per groepje. Controle: 3x4=12. Je zegt 3 x … = 12. De controlesom 4 x 3 =12 klopt natuurlijk wat betreft uitkomst, maar de som laat iets anders zien nl. 4 groepjes van 3 dingen en dat was- zo zagen we al- anders dan 3x4. Het gebruiken van dit model oefenen met materialen en mhv tekeningen (stippen/kruisjes in rechthoek). Bij de som 12:2 moeten er 2 rijen komen; en 12:4 levert 4 rijtjes op. Ook als kinderen niet weten hoeveel 43:7 is kunnen ze in elk geval 7 rijtjes tekenen/neerleggen en dan de 42 fiches over die rijen verdelen. Zo kunnen ze uitkomen op 6 en 1 rest. b. 252:6 via het splitsen van 252 : i. In tafelproducten: 240:6 + 12:6 ii. In veelvouden van 60 (delen door 6) 120 + 120 + 12 Het verschil tussen i en ii: bij i zien kinderen meteen dat 24:6 ‘kan’. Dus gebruiken ze 240: 6. Bij ii redeneer je: nemen van grote happan: 60-60-120-over 12. In een tabel zien kinderen het sneller: 252

:

6 60 60

= 10 10

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 120 12 252

:6 =

20 2 42

Deze manier van delen – kruispunt-delen – vinden kinderen vaak lange tijd erg makkelijk. Lang blijven doen: getal gevoeligheid wordt bevorderd (zien dat delen door 6 1x 9 2x9 4x9 8x9 iets met 60 heeft) en kinderen 9 18 36 72 werken heel gestructureerd en 10x 90 180 360 720 netjes. 100x Zo’n zelfde aanpak is er ook voor keersommen. (zie leerlijn keer). c. Andere aanpak: Als kinderen de relatie tussen delen en keer begrijpen kun je als oplossingsstrategie gebruik maken van een steun-tabel. Verwijs naar de Inca’s die rekenden alles door te verdubbelen: 1x-2x- 4x - 8x. En dan 10 x dus een nul erachter( aandacht geven aan het maken en lezen van zo’n tabel! Die moet er wel ‘eerst inzitten’). Het is dezelfde ‘tabel’ die we gebruiken bij cijferend delen! We hebben nu iets overzichtelijks en kinderen komen die aanpak later weer tegen. Het is een nette aanpak: in woorden zou het bij een som als 635 : 9 moeten gaan over: Ik wil 635 splitsen in allemaal getallen die makkelijk te delen zijn door 9. Die getallen staan in de tabel. Nu nog alleen zorgen dat de getallen samen 635 zijn, of bijna..dan heb ik een rest. Ik begin met het grootste getal 720 is teveel, dus neem ik 360; erbij 180 en dan nog 90 dan heb ik totaal 630 en dus heb ik rest 5. Notatie wijze: de splits getallen onder elkaar en erachter wat de deling oplevert. 360 40 180 20 90 10 630 ha mooi rest 5 dus 70 rest 5. Je kunt het natuurlijk ook zo doen als bij cijferend delen: Als we 635 moeten verdelen over 9 personen/… hoeveel kunnen we iedereen dan zeker geven? Kijk naar de tabel en je ziet40 x kan zeker. Dan zijn we er 360 kwijt en houden er nog 275 over, dan 20 x enz. (zie bij cijferend delen) d. Bij delen in groep 5 kun je ook al heel snel de aanpak gebruiken die bij cijferend delen gebruikt wordt. Voorbeeld: 37:4 Hoeveel krijgt iedereen er in elk geval? 10 x lukt niet, dan hadden we er 40 moeten hebben. 5x kan zeker dan geven we er 20 weg. Over 17. dan kunnen we er iedereen nog 4 geven = 16 weg en nog 1 over. 37:4 = 14 R1 . e. 995:5 via 1000:5 - 5:5 f. 810:9 naar analogie van 81:9 g. 600 : 50 omvormen naar 1200: 100 h. Delen met grote getallen (nulproblematiek) gebruik streepjes: 6000:50 = of gebruik het doorstrepen van nullen: 600ǿ:5 ǿ= 8. Maken van staartdelingen volgt daarna. Zeker bij zwakke leerlingen pas doen als de kruispuntsdeling er echt goed inzit.!

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 9. Staartdelingen: begin met een duidelijke notatie: som opschrijven en onder deelteken de verticale lijn naar beneden. Dan een hulptabel maken, uitgaande van verdubbelingen dus 1x – 2x - 4x - 8x . Meer is niet nodig! In het begin daar onder alleen de waarde van 10 x 20 x 40 x 80x . Daaronder weer een regel; totdat de keersom boven deeltal uitkomt. Kinderen moeten snappen waarom je stopt met de tabel. Na een poosje is de eerste regel voldoende. De eerste vraag is dan: wat is de grootste hap die je er af kunt halen? Wat is de grootste hoeveelheid die we alle … kunnen krijgen? Dat getal komt rechts van de streep op de precieze hoogte. Het precies, en net werken zorgt ervoor dat de fouten zichtbaar worden er uit te halen zijn. 2847 : 12 = 2400 200 x 447 20 x 240 247 Enzovoorts

1x 12

2x 24

4x 48

8x 96

De stap van het loslaten van materialen, moet laat gezet worden. Haal die materialen er ook weer af en toe bij. Vraag kinderen wat het betekent als je 89: 8 doet. Afhankelijk van de antwoorden een vervolg stap uitzetten.

Delen met de zakrekenmachine In groep 7, boek 7B blok 9 wordt de procedure geleerd om een deelsom met rest op de rekenmachine uit te rekenen. Het is ingewikkeld omdat er heel veel stappen nodig zijn en wordt nog ingewikkelder gemaakt omdat Rekenrijk wil dat er geschat wordt. Dat is ook wel nodig, maar wil je de procedure aanleren sla deze stap dan in het begin over. Begin met het verschil tussen delen met ZRM en cijferen. Soms moet je de ZRM gebruiken. Bijvoorbeeld als je alles op wilt delen. Soms moet dat eigenlijk niet, maar heb je zulke grote getallen, dat de rekenmachine wel erg handig is. Hoe kun je dan de ZRM dan inzetten? Dat leren we nu. Begin met makkelijke getallen: wellicht herkennen kinderen het antwoord op de ZRM op de som 21 : 4 = 5.25 Kunnen ze die 5 verklaren? En de .25 ?? Als je geen ZRM hebt en je de uitkomst niet in een kommagetal wil zetten, wat is dan de uitkomst? 5 ¼. Hoe schrijf je dat ? ja: 5.25 Zodra je rekent met een breuk of kommagetal ben je alles wat je hebt precies aan het opdelen. Als je dat niet kunt doen omdat je met mensen deelt (bijv. beroemde bus probleem) wat is dan de rest bij de som: 21 : 4 20 : 4 = 5. (want 5 x 4 = 20) We hebben er geen 20 maar net eentje meer, 21. de rest is dus 21-20=1 Kinderen vatten dit vaak wel. Toch levert een som als 5447 : 69 = vaak problemen op. Het boek wil daarnaast dat kinderen eerst een schatting maken.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Wij laten die stap nu achterwege, omdat 4 stappen genoeg zijn. Schatten komt later.. Aandacht voor het uitvoeren van de vier stappen: 5447 : 69 = Taalgebruik: 5447 heet deeltal en 69 is de deler. 1. op de ZRM: 5447 : 69 = 78.942028 dus 2. 78 x 69 = 5382 (ook op de ZRM) maar we hadden meer nl. 5447. Dus we houden over; we hebben een rest. 3. de rest is: 5447 – 5382 = 65 4. antwoord: 5447 : 69 = 78 rest 65

Vingers gebruiken om te rekenen Kinderen gebruiken als peuter al hun handen om aan te duiden hoeveel jaar ze zijn. Getallen en handen horen erg bij elkaar. Ze zien volwassenen ook vaak tellen terwijl ze met die handen aanwijzen. Begin groep 3 worden vingers en handen ook nog veel gebruikt om te laten zien wat 2 en 4 en 5 is. Maar dan....... komt er een moment waarop ze horen dat tellen op hun vingers niet meer nodig is/ niet meer mag. Als het kind die vingers nog wel nodig heeft, weet het maar een oplossing: onder tafel ermee. Nadeel: het kind ziet z’n vingers niet, terwijl die steun moeten geven bij het maken van een som. Je zou kunnen bedenken dat het oplossen dan nog veel moeilijker wordt. Een ander nadeel is dat ook de volwassenen, die het kind kan helpen, die vingers niet ziet en dus niet weet hoe het kind rekent. De eerste stap om deze kinderen te helpen is dus:handen boven tafel, laat mij al die vingers maar eens zien. En dan allerlei rekenspelletjes doen zodat die vingers ook gaan doen wat het kind zo graag wil: een hulp zijn bij het rekenen. Hieronder een aantal suggesties, die op allerlei manieren uit te breiden zijn met eigen verzinsels:      

Handen = 10 vingers op tafel leggen; ik dek er 5 af. Hoeveel over? Eventueel eerst met een hand doen. Kind haalt er nu zelf 3 af. Hoeveel blijven er over? Let op: welke vingers worden ‘weggehaald’. Zijn dat net die vingers zodat overig aantal snel geteld kan worden? Als kinderen steeds opnieuw tellen, vraag hen dan eens hoeveel er net lagen en ... hoeveel er nu dan nog zullen liggen. Dat moet wel eerst lukken, voordat de vingers niet meer nodig zijn. Laat het kind ook bij jou vingers weghalen. Bespreek welke jij weghaalt, zodat je snel weet wat er over blijft. Zelfde met ogen dicht. Immers streven is dat die vingers straks niet meer nodig zijn.

Laat kinderen al deze spelletjes ook met elkaar doen.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Dan zal er een moment komen dat er ook kinderen zijn die hun vingers niet meer willen gebruiken omdat het zonder sneller gaat. Bespreek dat; kinderen moeten weten dat ze erop kunnen vertrouwen dat ze iets weten en hun vingers niet meer nodig hebben. Ze moeten dus ook, bij die spelletjes ervaren dat zij het “ gewoon wisten” en niet meer hoefden te tellen.

Deze spelletjes zet je natuurlijk vooral in bij kinderen die ‘ maar niet los komen van hun vingers’. Er is natuurlijk niets op tegen om deze spelletjes begin groep 3 te doen met alle kinderen. De boodschap zal duidelijk zijn: tellen op je vingers mag; doe het vooral handig en als het even kan......doe het niet meer, want rekenen gaat sneller!

Vermenigvuldigen leerlijn Waar kunnen we keersommen in het dagelijks leven zien?  In winkels (eierdozen, pakken zakdoekjes; frisdrankblikjes)  In de school (pakken wc papier, pakken schriften, pennen, potloden)  In en aan gebouwen ( de glazen wand in de Vikinghal)  Op straat (bomenrij; rijtjes auto’s)  In de krant ( soms prachtige foto’s) Bij vermenigvuldigen gaat het om de herhaling. Zeker in de winkel kun je die ontdekking laten doen. Kijk bijvoorbeeld eens naar een eierdoos: je ziet 2 rijtjes van 5 eieren. Maar kijk je naar de stapel eierdozen dan heb je te maken met de tafel van 10; er staan bijv. 20 eierdozen (met elk 10 eieren). Ook kun je ontdekken dat er 3 torens staan met in elke toren 6 dozen van 10 eieren. Zo kun je ook in de klas gaan stapelen met pakken waarin rollen wc papier zijn verpakt. Het is belangrijk dat iedereen begrijpt dat een keersom een snelle manier van tellen oplevert. Dus tellen met sprongen. Omdat je heel vaak snel wilt tellen en omdat morgen 3 x3 nog steeds 9 is, kun je dat net zo goed onthouden. Daarom zijn de “tafels” ontstaan. De mooiste start van het aanbieden van tafels, zou dan ook kunnen ontstaan:  Na een gesprek over verpakkingen  Na een bezoek aan de winkel  Nadat kinderen bijv. de glazen tegels willen tellen In elk geval nadat de noodzaak gevoeld wordt, om snel te tellen! Hieronder volgen eerst de denkstappen die kinderen moeten kunnen maken. Vervolgens een schematisch overzicht gericht op strategieën om van 3x4 naar 296 x 13 te komen. Tot slot volgt een overzicht cijferend vermenigvuldigen, inclusief kolomsgewijs vermenigvuldigen. Hieronder de denkstappen die kinderen moeten kunnen maken om te kunnen vermenigvuldigen:


1. Bundelen: groepen als geheel zien; begrijpen dat 2 pakken met ieder 6 blikjes, gezien kan worden als 2. 2. Tellen met sprongen is een snelle manier van tellen en dit kan het kind. 3. Wat is keer? Wanneer gebruik je dat? Waarom? a. Welke keersommen zien we om ons heen? Ramen, bankjes in de kring (op elke bank, dat weet je passen 5 kinderen: 5 bankjes dus ….nu hebben we een kring voor 25 kinderen); stapels boeken; rollen wc papier; pakken papier die bij fotokopieerapparaat liggen. Voorbeelden uit winkels halen(koekjes, zakdoekjes, blikjes) b. Vraag kinderen om een berg fiches te tellen. De meeste kinderen maken er rijtjes. Vraag door op waarom die ordening? Doen ze het niet, tel de fiches zelf en vraag of er verschil in aanpak is. Vermenigvuldigen is immers een zaak van super geordend snel tellen. c. Waarom bestaan er tafels die je uit je hoofd moet leren? 4. Ieder kind krijgt 6 blokjes. Welke keersommen kun je met deze zes blokjes neerleggen? Sommen neerleggen en noteren in je schrift. 5. Het verschil tussen 1x 50 en 50x1. Neem een zak/doosje drop in je hand. Hoeveel dropjes schat/denk je zitten er in deze zak, spreek maar wat af, bijv 50 dropjes. Ik heb dus: 1 keer een zak van 50 dropjes = 1 x 50 dropjes. Je geeft de zak nu aan een kind en vraagt of hij een keer een zak wil geven. Verwoorden: 1 x iets geven. Bij deze 50 dropjes hoort de som: 1 x 50 dropjes = 50 dropjes. Kun je in de winkel ook 50 x 1 dropje kopen? Aandacht: bij x wordt het meer! Dus 2 x …. Doen; voordoen. 6. Kinderen leggen met unifix (op een plaat 100veld) met verschillende kleuren blokjes de tafel van: 9-6 en dan 3. De ander die van 8-4 en dan 2. De laatste legt 5 en 10 neer. Zien dat de afstand tussen de blokjes gelijk moet zijn. Zien wat het patroon van de tafel is. 7. Welke patronen zie je als je de tafel opschrijft? Wat zie je bij de tafel van 5? Van 10? Van 9? Enz. 8. Hoeveel is: 7 x 4 = ? Waarom mag 5 x 4 erbij 2 x 4 ? Kun je dat neerleggen met blokjes? 9. Kleur de patronen van de keersommen op 1x1 ruitjespapier. 10.Tafels leren: Vermenigvuldigen met 10 en met 1 Gebruik maken van 3x5=15 en 5x3=15 Gebruik maken van strategieën: 10 x en 5x; 10x en 9x; 5x en 6x enz. verdubbelen. Gebruik maken van vertakkingen: 7x5 = 2x5 erbij 5x5 Verdubbelen ook als: 2x (3x6) = 6x6 Vanuit bekende feiten verder rekenen.


11.Tafels oefenen  Computer o Rekenweb: kikker/luchtpost/5 op een rij o Ambrasoft o Maatwerk  Spelletjes o Bordspelletjes (rekenkast) o Zelf maken o In de rekenkast in de teamkamer/groene ordner getalbewerkingen  tafelkaart maken o Met Word maakt kind een eigen kaart, waarbij met rood de antwoorden van de “moeilijke tafels” staan. Deze kaart regelmatig aanpassen. o Gebruikelijke voorgedrukte model.  Elkaar overhoren.

Van 3x4 naar 296 x 13 1. 3 x 4

als ◊◊◊◊

◊◊◊◊

◊◊◊◊

2. __________4_________8___________12 sprongen 3. xxxx xxxx xxxx

. . . wordt later . . . . . .

en dan

herhaald optellen op de getallenlijn met 4

________ ________ ________

3

4. het rechthoekmodel uitwerken van 50 3

5. kruispuntsom notatie

6. 10x13 5x13

3

X 50 8

50

8

150

24

3 150 24 174

9

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 9x13 1 kun je ook tekenen in een rechthoekmodel, zodat kinderen zien wat er gebeurt. 7. maak veel gebruik van de dubbel tabel: 1x 2x 4X 8X 12 24 48 96

Kolomsgewijs en cijferend vermenigvuldigen Deze leerlijn wordt gevolgd door vermenigvuldigen op papier. Dat begint met kolomsgewijs vermenigvuldigen. Daarna volgt het cijferen. In onderstaande maak ik gebruik van de som: 235 x 14 = 1. Bij kolomsgewijs werken kinderen eerst “van links naar rechts” (dus eerst 10x 200 dan 10 x 30 enz. vervolgens leren kinderen om bij kolomsgewijs de volgorde te veranderen: eerst 4x 200 dan 4x 30 enz. Het is belangrijk dat kinderen al direct bij kolomsgewijs zien dat ze alles keer alles doen, dat het allemaal door elkaar mag, mits je niets vergeet. Om dat te voorkomen, gebruiken we een bepaalde volgorde. Als kinderen dat vanaf het begin af aan weten, maakt het hen later ook niet uit, dat de volgorde nu verandert. 2. Kinderen moeten goed weten wat de verschillen zijn tussen cijferen en kolomsgewijs. Van dit verschil wordt ook al gebruik gemaakt bij cijferen optellen en aftrekken. 3. Bij cijferend vermenigvuldigen is het handig om de eerste keer naast elkaar een zelfde som te zetten die kolomsgewijs en cijferend is gemaakt. Kinderen kun je zo de verkorting laten zien. (begin bij x honderdtallen) Daarna is de dreun bij het cijferen van belang: hardop verwoorden totdat het mentaal verankerd is. Dat gaat het snelst als je steeds dezelfde tekst gebruikt. Gebruik in het begin makkelijke cijfers. Dan gaan de keersommen snel, en gaat de aandacht naar de procedure. Als de hele klas eenzelfde procedure met dezelfde woorden gebruikt, onthoud je dat makkelijker en kan iedereen snel horen en zien wat vergeten wordt. Cijferen is een truc; moeten kinderen ook weten; is een truc om sneller te rekenen; dat gaat dus ook echt gebeuren: snelheid is belangrijk!

235 14 x 800 120 20 200 30 20

235 14 x 940 235Θ 3290

21

dit zijn de onthoud getallen; doorstrepen na optelling Θ is het nulpunt; de nul maakt dat je meteen ziet of je hieraan gedacht hebt.


Het is belangrijk dat kinderen zelf de verkorting kunnen verklaren. Wat nemen ze samen. 4. Kijk regelmatig met kinderen naar welke sommen je uit het hoofd kunt uitrekenen, welke je cijferend oplost en bij welke je de rekenmachine gebruikt. 5. Aparte aandacht besteden aan 10X 54= en 30 x 54 = . Op het moment dat delen bekend is en ook daar aandacht voor delen door tiental is, wordt er vaak gegoocheld met nullen erbij en eraf. Het werken met een duidelijke en vooral nette notatie is dan noodzaak. Streepjes zijn dan handig: 30 x 540 = Kun je ook bij delen gebruiken: 450: 90 = je ziet zo snel het verschil met: 4500: 90 = Nullen wegstrepen kan natuurlijk ook.

Oppervlakte Er is een serie lessen gemaakt, waarin oppervlakte onderzocht wordt. De lessen zijn te vinden op Leraar 24. Je vindt er video fragmenten en lesbeschrijvingen http://www.leraar24.nl/video/2697 Oppervlakte is voor kinderen een lastig begrip. Wanneer hen gevraagd wordt om de oppervlakte te berekenen, hebben ze wel 'lengte maal breedte' paraat, maar waarom dat een oppervlaktemaat oplevert, kunnen ze niet uitleggen. Vaak geloven ze ook dat je alleen maar van rechthoekige vormen de oppervlakte kunt berekenen. Dat leerlingen zoveel moeite hebben met oppervlakte komt onder andere omdat we in het dagelijks leven het woord 'oppervlakte' niet vaak gebruiken. We zeggen vaak alleen maar dat iets 'groot' is, waarbij uit de context maar moet blijken of we lengte, oppervlakte of inhoud bedoelen. Een andere reden is dat de rekenmethoden betrekkelijk snel gaan. Al gauw ligt de nadruk op het rekenen met lengte en breedte, alsof het werken met oppervlaktematen vanzelfsprekend is. In feite moeten leerlingen echter heel wat leren. We kunnen die kennis als volgt samenvatten: – Oppervlakte heeft betrekking op de grootte van een vlak. – In principe kun je meten met allerlei zelfgekozen maten, maar als je oppervlaktes met elkaar wilt vergelijken is het natuurlijk handig als je steeds dezelfde maat gebruikt. – Je moet als maat een vorm kiezen die steeds aansluit. Met rondjes kun je daarom niet goed meten. – Om te bepalen hoeveel maal een maat past kun je vaak gebruik maken van vermenigvuldigen. – Als je wilt vermenigvuldigen is het handig om een vierkante vorm als maat te gebruiken. Bij een rechthoek ontstaan er problemen omdat je de rechthoek in verschillende richtingen kunt leggen. – Om te weten hoe vaak een maat in een bepaalde richting past kun je meten met een strook. Je kunt oppervlakte dus berekenen vanuit lengtes. – Het is handig om te werken met standaardmaten.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 – Net als bij het meten van lengte in standaard lengtematen (mm, cm, dm, m, enzovoort), kunnen we oppervlakte in de ene standaardmaat omrekenen naar een andere standaardmaat. – Als de lengte en breedte van een vlak twee keer zo groot worden, wordt de oppervlakte niet ook simpelweg twee keer zo groot. Het gaat om een verandering in twee richtingen. – Oppervlakte is niet gebonden aan een bepaalde vorm; ook niet-rechthoekige vormen hebben een oppervlakte. Het moeilijkst voor leerlingen is de overstap van het meten met vierkante blaadjes of een soortgelijke maat, naar het rekenen via lengtes. De redenering achter die overstap is: je wilt weten hoeveel vlakjes (maten) er in de ene richting passen en hoeveel in de andere richting. Als je dat wilt weten hoef je alleen te meten hoe vaak de maat past. Je kunt een liniaal of meetlint instrumenten voor het meten van lengte - dus ook gebruiken om oppervlakte te bepalen. Door de stap naar het rekenen met lengtes verdwijnt bij veel kinderen het idee dat het om het volleggen gaat. Ze weten dat ze iets moeten doen met 'lengte maal breedte', maar in die lengtematen zien ze geen relatie meer met oppervlakte.

Grote getallen Roeleke vertelt dat zij een groot getal op het bord schreef 835946712 en vroeg hoe je dat zou moeten uitspreken. Na wat gedoe, bedacht een van de kinderen dat je achteraan moest beginnen: dus 2-12-712-en toen volgde weer een discussie, want hoe verder. Als vanzelf gingen kinderen snappen dat een punt drie cijfers van achteren, heel handig is. Zo ontdekken ze zelf hoe dat systeem in elkaar zit. Dan is de brug slaan tussen 10-100-1000-………1.000.000. Oefen dan de volgende dag nog verder door er optellingen mee te doen!

Kommagetallen Er is een serie lessen beschikbaar waarin kinderen de kommagetallen zelf heruitvinden http://www.fi.uu.nl/talbovenbouw/lessen/kommagetallen_heruitvinden.pdf Stel dat we lengtes nog steeds in voeten zouden meten. In veel gevallen zouden we met hele voeten niet uitkomen, want wat je meten wil is bijvoorbeeld langer dan 3 voet, maar korter dan 4 voet. Dat maakt een verfijning van de maat nodig, wat kan door met breuken te werken: 1/2 voet, 1/4 voet, 1/8 voet, enzovoort. Het kan ook door naast de voet een kleinere maateenheid te gebruiken, dus iets is bijvoorbeeld 3 voet en 7 duim. Pas rond 1600 kwam men op het idee van de decimale breuken. De Nederlander Simon Stevin legde het systeem uit in een boek met de titel 'De Thiende'. Het voordeel van tiendelige breuken of kommagetallen - Stevin noteerde ze nog niet met een komma - is dat je ermee kunt rekenen alsof het gewone getallen zijn.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Bovendien kun je de verfijning op een simpele manier eindeloos voortzetten: als 3,6 niet precies genoeg is ga je naar 3,64 of 3,642 enzovoort. Het is een mooi, elegant systeem dat de decimale structuur van de gehele getallen - eenheden, tientallen, honderdtallen, enzovoort - doortrekt naar de andere kant. Kinderen hebben vaak moeite met kommagetallen. Ze denken bijvoorbeeld dat na 8,9 het getal 8,10 komt, wat in de hand wordt gewerkt door de manier waarop we de getallen meestal uitspreken. Het is voor hen ook lastig dat op de zakrekenmachine de nullen op het eind verdwijnen, zodat 15,34 + 2,05 op het machientje 17,39 geeft, maar 15,34 + 2,06 de uitkomst 17,4. En waarom moet je die 0 in 2,05 wel schrijven? Het feit dat kinderen voortdurend kommagetallen tegenkomen in het dagelijks leven betekent niet automatisch dat ze het systeem er achter doorzien. Daar komt nog bij dat wij het bij kommagetallen hebben over 'tienden' en 'honderdsten', maar die tienden en honderdsten lijken helemaal niet op de breuken waar de kinderen inmiddels vertrouwd mee zijn. De introductie van kommagetallen In veel methoden wordt begonnen met het verkennen van kommagetallen uit het dagelijks leven. Wij denken dat het beter is om kinderen eerst het kernidee achter kommagetallen - steeds opnieuw een tiende nemen - te laten onderzoeken. De lessen die we daarvoor hebben ontworpen zijn op twee punten afwijkend: De leerlingen onderzoeken wat je kunt doen als de maateenheid waar je mee meten wilt te grof is. In dat proces vinden ze, als het ware, het idee van verfijnen opnieuw uit. De leerlingen gebruiken in het begin de gewone breuken-notatie, dus bijvoorbeeld 4/10 of 55/100 (maar dan onder elkaar geschreven); van daaruit wordt de stap gemaakt naar de kommagetalnotatie. In de eerste les proberen de leerlingen dingen op te meten met een strook van een meter lang, maar zonder dat die strook als meter wordt benoemd. Om met zo'n lange strook te meten is het nodig om op de strook een onderverdeling te maken. De activiteiten zijn bedoeld voor groep 7 of 8. Afhankelijk van de reacties van leerlingen heeft u een of twee lessen nodig voor de beschreven activiteiten.

Achtergrond In deze les onderzoeken de leerlingen hoe je metingen kunt verfijnen via herhaald .decimeren.. De les is bedoeld als het begin van een lessenserie over kommagetallen, maar in deze les wordt alles nog genoteerd met gewone breuken. Een meetresultaat wordt bijvoorbeeld opgeschreven als: .2 stroken + 7/10 strook., of als .95/100 strook.. Er zijn een aantal argumenten om eerst te werken met de gewone breuknotatie: - In de gewone breuknotatie wordt via de noemer heel expliciet aangegeven of het om .tienden., .honderdsten., of eventueel .duizendsten. gaat. Bij kommagetallen gebeurt dat veel implicieter, namelijk via de plaats van de cijfers. Een van de struikelblokken bij kommagetallen is dat leerlingen denken dat 0,19 meer is dan 0,9, .want 19 is meer dan 9.; ze realiseren zich niet dat het eerste voor 19/100 staat en het tweede voor 9/10. - Bij gewone breuken kan hetzelfde meetresultaat op verschillende manieren worden opgeschreven. Wat in kommagetallen 0,95 zou zijn, kan met breuken worden genoteerd als .9/10 strook + 5/100 strook., maar ook als .95/100 strook.. - Bij gewone breuken kan zonder problemen over .19/10 strook. worden gesproken.


Dat betekent weliswaar dat je eigenlijk 1 strook en nog eens 9/10 strook hebt, maar de notatie als zodanig is correct. 19/10 strook is echter heel wat anders dan 19/100 strook. Breuken worden in deze lesbeschrijving met een schuine streep geschreven. In de klas zal de notatie onder elkaar worden gebruikt.

Materiaal Stroken van 1 meter lang, niet onderverdeeld. Voldoende stroken om bijvoorbeeld de klas op te meten. Voor elk groepje leerlingen is er ook een strook waarop met streepjes een verdeling in 10 gelijke stukken is aangegeven. Deze stroken laat de leerkracht pas zien als er over verfijnen is gesproken.

Lesverloop - De leerkracht gaat als inleiding kort in op de verschillende lengtematen die in de loop van de eeuwen gebruikt zijn. Daarna laat ze de lege, onverdeelde stroken zien en legt het volgende probleem voor: Stel je voor dat je alleen deze stroken zou hebben om te meten en dat de woorden .meter., .centimeter., .millimeter. enzovoort nog niet uitgevonden zijn. Je moet dus alles opschrijven als .zo en zoveel stroken.. Hoe zou je dat doen? - Een paar leerlingen meten de klas op. Waarschijnlijk zal blijken dat de strook nogal grof is als maat, althans als je alles enkel in hele stroken zou moeten uitdrukken. - Besproken wordt hoe je .zoveel hele stroken en nog een stukje. preciezer zou kunnen maken. Waarschijnlijk komen kinderen met de suggestie om een strook te vouwen, zodat je ook een halve strook of kwart stroken kunt gebruiken. Je maakt dan gebruik van breuken. Er zullen ook kinderen zijn die voorstellen om de strook 2

in honderd stukjes te verdelen, net als bij de meter. - Als duidelijk is geworden dat er in feite verschillende mogelijkheden zijn, laat de leerkracht de al onderverdeelde stroken zien en legt uit dat het onder andere kan met een verdeling in tien gelijke stukjes. - De klas wordt nogmaals opgemeten, maar nu wordt een onderverdeelde strook gebruikt om de lengte van het laatste stuk te bepalen. De klas is dus bijvoorbeeld .8 stroken en 4/10 strook. breed. De leerkracht vraagt of de leerlingen dit nauwkeurig genoeg vinden. - Vervolgens krijgen de leerlingen de opdracht om iets op hun tafeltjes op te meten, bijvoorbeeld een boek of een schrift. Waarschijnlijk zal iedereen het er over eens zijn dat de indeling in tienden van een strook te grof is. De leerkracht stelt de vraag hoe het meten verder verfijnd zou kunnen worden. Ook nu zijn er verschillende mogelijkheden. De leerkracht kiest er uiteindelijk voor om 1/10 strook nog weer eens in 10 stukjes te verdelen. - Geconstateerd wordt dat de grote stroken precies 1 meter lang zijn, als dat nog niet duidelijk was. Leerlingen gebruiken hun eigen meetlatje om op een van de al onderverdeelde stroken een stuk met streepjes in tien kleine stukjes te verdelen. - Besproken wordt dat je de kleine stukjes kunt benoemen als .1/10 van 1/10 strook., maar ook als .1/100 strook.. De leerlingen meten de eerder gemeten voorwerpen preciezer op en noteren hun resultaten. Waarschijnlijk zullen kinderen zowel .3/10 strook + 4/100 strook ., als .34/100 strook. opschrijven. Wanneer veel tijd nodig was voor dit eerste stuk, kan het volgende stuk van de les naar een volgende dag worden verschoven. - Geconstateerd wordt dat je de papieren stroken eigenlijk ook zou kunnen gebruiken


om in centimeters en meters te meten. De volgende opdrachten zijn echter de andere kant op: als je al weet dat iets bijvoorbeeld 48 cm lang is, hoe zou je dat dan in .stroken. beschrijven? - Andere opgaven zijn: 60 cm 2 meter en 37 cm 501 cm 24 1/2 cm - De laatste opgave leidt tot de vraag of een verder verfijning gewenst is, en hoe die verfijning dan zou kunnen worden genoteerd. Als de stap naar 1/1000 strook is gemaakt kan gevraagd worden of je nog verder zou kunnen verfijnen, en in wat voor situaties zoiets zinvol is. Vingers mag je tijdelijk gebruiken Kinderen gebruiken als peuter al hun handen om aan te duiden hoeveel jaar ze zijn. Getallen en handen horen erg bij elkaar. Ze zien volwassenen ook vaak tellen terwijl ze met die handen aanwijzen. Begin groep 3 worden vingers en handen ook nog veel gebruikt om te laten zien wat 2 en 4 en 5 is. Maar dan....... komt er een moment waarop ze horen dat tellen op hun vingers niet meer nodig is/ niet meer mag. Als het kind die vingers nog wel nodig heeft, weet het maar een oplossing: onder tafel ermee. Nadeel: het kind ziet z’n vingers niet, terwijl die steun moeten geven bij het maken van een som. Je zou kunnen bedenken dat het oplossen dan nog veel moeilijker wordt. Een ander nadeel is dat ook de volwassenen, die het kind kan helpen, die vingers niet ziet en dus niet weet hoe het kind rekent. De eerste stap om deze kinderen te helpen is dus:handen boven tafel, laat mij al die vingers maar eens zien. En dan allerlei rekenspelletjes doen zodat die vingers ook gaan doen wat het kind zo graag wil: een hulp zijn bij het rekenen. Hieronder een aantal suggesties die op allerlei manieren uit te breiden zijn met eigen verzinsels:      

Handen = 10 vingers op tafel leggen; ik dek er 5 af. Hoeveel over? Eventueel eerst met een hand doen. Kind haalt er nu zelf 3 af. Hoeveel blijven er over? Let op: welke vingers worden ‘weggehaald’ ; zijn dat net die vingers zodat overig aantal snel geteld kan worden? Als kinderen steeds opnieuw tellen, vraag hen dan eens hoeveel er net lagen en ... hoeveel er nu dan nog zullen liggen. Dat moet wel eerst lukken, voordat de vingers niet meer nodig zijn. Laat het kind ook bij jou vingers weghalen. Bespreek welke jij weghaalt, zodat je snel weet wat er over blijft. Zelfde met ogen dicht. Immers streven is dat die vingers straks niet meer nodig zijn.

Laat kinderen al deze spelletjes ook met elkaar doen. Dan zal er een moment komen dat er ook kinderen zijn die hun vingers niet meer willen gebruiken omdat het zonder sneller gaat. Bespreek dat; kinderen moeten weten dat ze erop kunnen vertrouwen dat ze iets weten en hun vingers

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 niet meer nodig hebben. Ze moeten dus ook, bij die spelletjes ervaren dat zij het “ gewoon wisten” en niet meer hoefden te tellen. Deze spelletjes zet je natuurlijk vooral in bij kinderen die ‘ maar niet los komen van hun vingers’ . Er is natuurlijk niets op tegen om deze spelletjes begin groep 3 te doen met alle kinderen. De boodschap zal duidelijk zijn: tellen op je vingers mag; doe het vooral handig en als het even kan......doe het niet meer, want rekenen gaat sneller!

Meten in groep 5 en 6, de doelen zoals afgesproken in 2010 De doelen voor meten die in groep 5 behaald moeten worden betreffen naast oriëntatie voor lengte:  begrippen die te maken hebben met lengte opmeten.  Verwarring leveren: lengte, breedte, hoogte, diepte enz. het verschil tussen lengte en breedte is simpel: de langste maat levert de lengte op. Bij een vierkant zie je dus geen verschil. Bespreek wanneer je hoogte en diepte gebruikt.  Kinderen kennen de maten op volgorde.  Kunnen de maten herleiden  Weten wat een mm en wat een km is. Waar denk je aan? Maar ook: wijs eens aan met je handen  Weten wat omtrek is. In        

groep 6 komt daarbij kennis over en meten met oppervlaktematen: verschil begrijpen tussen opmeten van de lengte en de oppervlakte. De maten kennen waarin oppervlakte gemeten wordt. Weten waarom je oppervlakte kunt uitrekenen met lxb. Weten dat oppervlakte niet verandert als de vorm verandert. Relatie omtrek en oppervlakte zien. Kinderen kennen de maten op volgorde. Kunnen de maten herleiden. Een beeld hebben bij een maat.

Oefenen verschillende vormen Hieronder een aantal opmerkingen over oefenen van verschillende soorten sommen. Algemeenheden die bij elkaar gezet zijn en uitgebreid kunnen worden. 1. Terugkomend op instructie en kinderen laten oefenen in tweetallen: Hanteer een strakke uitleg en laat de kinderen het elkaar duidelijk en helder uitleggen. 2. Bespreek interessante sommen, maar ook interessante blunders, zodat ze zien wat er mis gaat. Bij minsommen bijvoorbeeld, vergeten kinderen vaak dat ze bij beide getallen een gelijk aantal op moeten tellen (of achteraf bij de uitkomst). Soms gebruiken ze , een zelfde aanpak als bij de tribunesom.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Aanleren van tafels: memoriseren lukt als het fenomeen vermenigvuldigen goed begrepen is en er gebruik gemaakt wordt van verkortingen. Realiseer je dat als je nog materiaal moet gebruiken, je dan in feite in de beginfase zit. Memoriseren is dan echt niet aan de orde. Na het begrijpen van vermenigvuldigen, van het waarom van tafels, is extra oefening nodig om de tafels “in je hoofd te krijgen”. Kinderen zullen dit in de regel pas goed oppakken, wanneer ze er de noodzaak van gaan inzien. Leg de verantwoordelijkheid bij de kinderen: je kunt keersommen steeds opnieuw uitrekenen, maar je kunt ook de tafels uit je hoofd leren omdat het antwoord toch steeds hetzelfde is. Wat gaat sneller??? Realiseer je wel dat kinderen nog weinig ervaring hebben met het uit hun hoofd leren. Hoe doe je dat eigenlijk???? Veel sommen laten maken en de verkortingen bespreken. Laat zien dat je steeds minder denkstappen nodig hebt. Voorkom herhaald optellen. 3. Geef kinderen zowel bij tafels als hoofdrekenen de tijd die ervoor gegeven is. Laat ze streepjes zetten als ze het niet weten. Ze zullen dan de noodzaak voelen dat ze aan tempo moeten werken. De ervaring leert dat als je dit consequent toepast, je zult zien dat kinderen gaan versnellen. 4. Wat zeggen de getallen? Wat zie ik in dit rijtje opgaven? Kan ik daar iets mee doen? Je begint dus met 10 seconden kijken naar die getallen. Als dat geen antwoord oplevert en een kind blijft kijken/staren naar het papier, dan zal het kind waarschijnlijk geen aanpak weten. Leer kinderen dan te tekenen, te schrijven: pak je potlood en papier en doe iets. Het is belangrijk dat kinderen klad gebruiken. Denken over een som is vaak staren en vervolgens wegglijden van het werk.

Werkafspraken per groep 

  

Spreek af wie verantwoordelijk is voor welke ‘klas’ . Taken zijn dan om voor de eigen ‘klas’ de planning te maken en de toetsen na te kijken en in te voeren. In de planning staan per datum de onderwerpen waar een rekengesprek over gaat, welke instructies gegeven worden en ook welke oefenstof wanneer aangeboden wordt ( weektaak-werk) Nieuwe leerstof wordt zoveel mogelijk aangeboden door de leerkrachten die dit in de rekenvergadering hebben voorbereid. Als je instructie moet geven en geen “onderwerp” hebt, kies dan iets uit waarvan je denkt dat verdieping geen kwaad kan. Wandelgangen zijn er voor uitwisseling, even vragen hoe… enz.

Instructie geven 1. gebruik veel klad voor sommige kinderen is een kladblok handig. Het tekenen of uitschrijven van de bewerking, is een stap in het automatiseringsproces. Van uitgebreide notatie steeds korter noteren. Soms weer even terug gaan. “Klad” heeft meer te maken met het papier waar je op werkt, dat kan wel


2. 3. 4.

5. 6.

7.

8.

weg. Je bewerking moet netjes uitgevoerd worden. De bewerking noteren is geen klad! gebruik het bord een tekening, een bewerking voor je zien levert snel meer inzicht op. werk met kleuren kleur zorgt over overzicht. In deze periode kun je kleuren gebruiken bijv. door voor TD - D - H andere kleuren te gebruiken. aandacht voor taal en jargon soms worden er per blok afspraken over gemaakt. Probeer zelf op te schrijven welke taal je gebruikt; welke vragen of opmerkingen blijven hangen/een eigen leven kunnen gaan leiden in je klas. Een naam van een leerling daaraan koppelen, kan helpen. Vb. denk eens aan de tractor van Tarik; denk aan het nulpunt van Chantal, was bij mij ooit een gevleugelde uitspraak. bedenk zelf of je in groepjes van 2-3 of 4 laat samenwerken. Houd de groepen wel een tijd hetzelfde, zodat kdn aan elkaar kunnen wennen. Bespreek regelmatig gewenst gedrag en verwachtingen. hoofdrekenen: je mag tussengetallen opschrijven; je gaat niet cijferen; da’s ook niet nodig. Per som bepaal je (vooraf) hoeveel tijd nodig is om het antwoord op te schrijven. Geef nooit te veel tijd. Als kinderen het antwoord niet binnen die tijd weten: leer aan: zet een streepje. Na een rijtje kort bespreken, door kinderen te laten vertellen hoe ze die som uitgerekend hebben. Dan geef je het volgende rijtje. Wellicht dat meer kinderen de som nu wel kunnen maken. Ook bij de toets: geef niet meer tijd dan nodig/gewenst is. Kinderen kunnen hoofdrekenen ook mhv de computer oefenen. sommen op het bord. Soms is het probleem bij hoofdrekenen dat kinderen moeite hebben om een som die ze horen te vertalen in een som op papier. Welk getal zeg ik eigenlijk? Moet dan meer geoefend worden. Begin met makkelijke getallen; voer het niveau op tot complexe getallen en ook tot bewerkingen. 34 is makkelijker dan 1034 en dat weer makkelijker dan wat ligt precies tussen 200 en 250? verschil tussen zelf ontdekken en uitgelegd krijgen. Bijna altijd geldt dat dingen die je zelf ontdekt & uitgevonden hebt, beklijven beter. Dat geldt zeker voor rekenen. Daarom kiezen we voor het zelf laten heruitvinden van het systeem grote getallen en gaan we dit niet uitleggen. In vervolglessen kunnen we dan ook steeds zeggen: weet je nog wat…pietje toen ontdekt had? Pietje, kun je nog eens vertellen……

Rekengesprekken voeren Bijna altijd geldt dat dingen die je zelf ontdekt en uitgevonden hebt, beter beklijven. Dat geldt zeker voor rekenen. Daarom kiezen we voor het zelf laten heruitvinden en gaan we dit niet uitleggen. In vervolglessen kunnen we dan ook steeds zeggen: weet je nog wat…pietje toen ontdekt had? Pietje, kun je nog eens vertellen…… Over het voeren van een rekengesprek nog een paar aandachtspunten: Dat verloopt in grote lijnen als volgt: 1. Kinderen werken wisselend in kleine groepjes en met hele groep. Plaatsen zo kiezen dat dit organisatorisch ook kan. Bedenk eerst hoe je de kleine


2. 3.

4.

5. 6.

7.

groepjes wilt samenstellen. Hoe groot is zo’n groepje? 2- 3 of 4 kinderen? Mogen kinderen zelf een groepje kiezen? Let je op verschil in niveau en geslacht? Laat ze een tijd samenwerken om dit ook te oefenen. Laat ze op eenzelfde plek zitten en zorg dat iedereen zijn spullen heeft, voordat je begint. Klad en potlood bijv. Je start met een echt probleem, een vraag waar echt over te praten valt. Je stelt je vraag en dan is het exact 1 minuut doodstil in de klas. Eerst denkt ieder kind zelf na over zijn eigen antwoord. In het begin zullen kinderen willen overleggen; kap dat af. Je zult merken dat al heel snel kinderen iets gaan doen. Het biedt de mogelijkheid dat ook stille of onzekere kinderen met een antwoord komen. Ook kinderen die het niet zo goed weten gaan iets opschrijven. Tenminste…..als je dit punt aandacht geeft! Na deze minuut zelf nadenken, gaat de kleine groep aan het werk. Ze beginnen met in het eigen groepje een rondje wie heeft wat bedacht. Iedereen moet een beurt krijgen om dat kort te vertellen. Dan wordt nagedacht over een gezamenlijke oplossing. Hele groepje moet het ermee eens zijn en begrijpen. Dat vergt dus veel uitleggen aan elkaar. Als kinderen weten dat hun tijd beperkt is (bijv. doordat ze een keer hebben moeten zeggen dat ze nog niet klaar waren) zullen ze sneller aan de slag gaan. Soms merk je dat kinderen niet verder komen omdat ze teveel vragen hebben. Neem het dan weer centraal en vraag wie iets bedacht heeft. Dat kan soms al na 5 minuten het geval zijn. Groepjes presenteren aan elkaar de gevonden oplossing. Anderen luisteren naar elkaars redenering en kijken of die klopt. Ook nu weer is het belangrijk om na te denken over hoe je die presentaties wilt organiseren. Het hangt ook af van de vraag. Gaat het om “iets simpels” dan kun je een of twee groepjes de beurt geven, reacties van de groep vragen en doorgaan. Soms wil je alle groepen het woord geven. Belangrijk is natuurlijk dat dit een doel dient: vergelijk elkaars aanpak, bespreek de verschillen. Zo kun je kinderen een stap hoger brengen. Je kunt ervoor kiezen dat groepjes hun oplossing op ‘een papiertje’ noteren, of op het bord schrijven. Mooi vond ik ook: een leerling van het groepje schrijft op het bord, een ander geeft de toelichting. En alle beurten wisselen natuurlijk. Zo komt dan ook echt iedereen aan de beurt. Een lastige blijft: noteren op het bord kost veel tijd; hoe krijg je het voor elkaar dat alle groepen dat tegelijkertijd doen, zodat er weinig tijd verloren gaat? Op flappen laten schrijven is misschien een oplossing, maar die moeten dan wel zichtbaar blijven zodat oplossingen/presentaties vergeleken kunnen worden. Niet elke vraag hoeft in kleine groepjes besproken te worden. Soms kies je ervoor om een tijd met de hele groep te werken. Soms laat je de groepjes iets uitwerken, gaat verder met hele groep om weer een vraag bij de groepjes neer te leggen. Die afwisseling houdt iedereen ook goed bij de les!

Rekengesprek Kan over van alles en nog wat gaan, het gaat daarbij steeds wel om de rekenkundig/wiskundig insteek.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Voorbeeld: Mark neemt een tol mee en vertelt erover. Je besluit: kunnen we deze tol gebruiken bij het rekenen? Ja, snelheid berekenen. Hoe doe je dat? Wat is snelheid eigenlijk? Een gecombineerde maat: tijd en afstand, enz. De leerkracht stelt vooral veel vragen. De kunst is om dit gesprek uit te bouwen tot rekenen. Het een moet verbonden worden met het ander. Dat is ingewikkeld en vraagt oefening. Evenals het stellen van goede vragen. In feite gaat het hier om hetzelfde verschil dat je hebt tussen een kringgesprek met en zonder diepgang. Kringgesprek zoals voorafgaand, maar mist de rekenkundige/ wiskundige insteek. Instructie leerkracht of leerling kiezen onderwerp; leerkracht legt uit; geeft een toelichting, instrueert. Onderzoeksles wiskundig onderwerp is bekend, in elk geval bij de leerkracht. Kinderen ontdekken zelf de wiskunde, onder begeleiding van de leerkracht. Er kan al dan niet gebruik gemaakt worden van bestaande lesuitwerkingen.

Automatiseren en Memoriseren Het zijn begrippen die dicht tegen elkaar aan liggen en uitleg nodig hebben.

Automatiseren Automatiseren is het verwerven van standaard-procedures die rechtstreeks naar een oplossing voeren en zonder nadenken uitgevoerd kunnen worden. Bij het toepassen van geautomatiseerde vaardigheden is het inzicht in de werkwijze vaak naar de achtergrond verschoven. Automatiseren slaat op het vrijwel routinematig uitvoeren van rekenhandelingen, in tegenstelling tot memoriseren dat het uit het hoofd kennen van rekenfeiten inhoudt. Zo heeft een leerling een opgave als 9x12 geautomatiseerd als vlot de uitkomst wordt gegeven door 9x10 en 9x2 uit te rekenen en de antwoorden op te tellen. Worden rekenfeiten (geautomatiseerd) uit het hoofd gekend, dan spreekt men wel van geautomatiseerde kennis Memoriseren Kennis memoriseren is het uit het hoofd leren (inprenten) en kunnen reproduceren van weetkennis, zoals bij optellingen tot twintig of de tafels van vermenigvuldiging. Een leerling heeft de keersom 7 x 8 gememoriseerd als deze direct (zonder het uit te rekenen) zegt dat het antwoord 56 is. Deze leerling zou de keersom 7 x 8 geautomatiseerd hebben, wanneer hij nog snel enkele denkstappen uitvoert (bijvoorbeeld: 7 x 8 = 8 x 8 – 8 = 64 – 8 = 56) en het antwoord niet direct, maar na enkele seconden noemt. Een ander voorbeeld is het uit het hoofd weten van grote aantallen telefoonnummers. Daarbij is altijd sprake van memoriseren, omdat er geen strategie bestaat om deze nummers te onthouden.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011 Bij memoriseren haal je kennis op uit je geheugen. Dat kan omdat je weet: a) wat je moet ophalen en b) waar die kennis ‘verstopt’ zit. Je kent het antwoord; dat rolt er zo uit. Je hoeft er niet meer over na te denken; soms moet je zelfs even nadenken om te bedenken waarom dat het goede antwoord is. Aan het memoriseren gaat altijd weten, kennis hebben van, begrijpen vooraf. De overstap van automatiseren naar memoriseren Van automatiseren naar memoriseren verloop niet altijd vanzelf. Automatiseren is verkorten en handig rekenen. Toch moet je bewust de overstap maken naar memoriseren: naar duidelijk maken dat je de som in een keer kan maken. Bijvoorbeeld: 13- 5 de 5 kan er ook in een keer van af; hoeft niet in 3 eraf en dan 2 eraf. Natuurlijk is het soms ook verhelderend om te zeggen: we hebben deze som al zo vaak uitgerekend, het antwoord is steeds hetzelfde, vandaag en morgen ook. Hoe zorg je voor een goed verloop? Kinderen zullen zeker verkort en snel het type som moeten kunnen uitrekenen, voordat memoriseren haalbaar is. Het zomaar uit het hoofd leren van onbegrijpelijke formules is een heel tijdrovende en vaak onhaalbare zaak. Verkorten en snelheid worden van nature afgedwongen door spelletjes waarbij de tijd van belang is. Activiteiten/spelletjes Op rekenweb.nl vind je tal van geschikte spelletjes. Maak ze een tijdje populair in je groep. Darten levert bijvoorbeeld snelle en correcte minsommen op.

Lia Oosterwaal versie 2- december 2011

Recommend Documents