LÉGCSAVAROK AERODINAMIKAI SZÁMÍTÁSÁNAK GYAKORLATI MÓDSZEREI

LÉGCSAVAROK AERODINAMIKAI SZÁMÍTÁSÁNAK GYAKORLATI MÓDSZEREI Dr. Gausz Tamás – Dr. Gausz Zsanna

BME Repül gépek és Hajók tanszék 1. BEVEZETÉS Ez a cikk a légcsavarok impulzus és lapelem elmélet valamint az örvény-elmélet alkalmazásán alapuló gyakorlati számítási módszerek áttekintésével illetve ezek konkrét alkalmazási lehet ségeivel foglalkozik. A bemutatott számítási eljárások – természetesen – alkalmazhatók szélkerekek és tengelyirányú áramlásban m köd helikopter rotorok aerodinamikai vizsgálatára is. Összeállítjuk a légcsavar, illetve szélkerék lapátok m ködésére vonatkozó, az impulzus tétel és a lapelem elmélet egyesítésén valamint az örvény-elmélet és a lapelem elmélet egyesítésén alapuló alapegyenlet rendszert. Ebben figyelembe vesszük a véges lapáthossz hatását és a leveg összenyomhatóságát is. Iterációs módszert mutatunk be, amellyel mindkét alapegyenlet rendszer megoldható, tehát a vizsgált lapát m ködési paraméterei meghatározhatók. Konkrét példán mutatjuk be a lapát végességének és a leveg összenyomhatóságnak a hatását. 2. AZ EGYESÍTETT IMPULZUS ÉS LAPELEM ELMÉLET Az egyesített impulzus és lapelem elmélet hagyományos formában, a hazai szakirodalomban több helyen is olvasható – egy teljes leírás [12]-ben található meg. A hagyományos forma azt jelenti, hogy a légcsavarlapát metszet m ködését jellemz sebességi sokszögben az indukált sebességet tengelyirányú és érint irányú összetev re bontják fel. Ebben a cikkben, az egyesített impulzus és lapelem elmélet tárgyalása során egy másik lehetséges eljárást választunk: az ered indukált sebesség egyik összetev je a felhajtóer , a másik az ellenállás irányába mutat (1. ábra). Az 1-es ábrán bemutatott sebességek a légcsavarlapát metszet körül kialakuló áramlást jellemzik. Ezért ez a sebességkép érvényes lesz mind az impulzus és lapelem, mind az örvény-elmélet esetén, akkor is, ha az örvény-elmélet esetében a fentiekben hagyományosnak nevezett indukált sebesség összetev vel számolunk. Ez az, újnak nevezhet felbontás azért el nyös, mert megmutatja, hogy az indukált sebesség egy része a felhajtóer hatására, másik része az ellenállás hatására áll el , illetve ezért, els közelítésben ez a két összetev egymástól függetlennek tekinthet . Pontosabb vizsgálat esetén persze ez a feltétel nem áll meg. Ezt a sajátosságot az örvény-elméletnél használjuk majd ki.

1. ábra. Sebességi sokszög a lapelem elmélet esetében

A felhajtó er a profil körüli áramlást jellemz ered sebességre ( W ) mer legesen keletkezik. Ebben az esetben azonban az indukált ellenállással nem kell számolni, hiszen arra csak akkor lenne szükség, ha a felhajtó er t a zavartalan áramlás ered sebességére ( W0 ) mer legesen választanánk. Ebben a második esetben – amely tárgyalásmód a merevszárnyú repül gépek szárnya körül kialakuló áramlás vizsgálatához hasonló – szükség lenne az indukált ellenállásra, hogy végeredményben az általunk feltüntetett felhajtóer t kapjuk. A légcsavarok vizsgálatában alkalmazott választás részben szükségtelenné teszi az indukált ellenállás alkalmazását, részben feleslegessé teszi a karcsúság fogalmának a bevezetését és végeredményben megengedi a profiljellemz k közvetlen használatát. Az itt következ számítási eljárást, kifejleszt je nyomán Schmitz-féle eljárásnak is nevezik. Határozzuk meg el ször az állásszöget: α =ϑ − β ;

Egyszer geometriai megfontolásból következ en a felhajtóer indukált sebesség összetev t az alábbi módón számíthatjuk: vL = W0 sin ( β − β 0 ) ;

(1) irányába es (2)

Az 1-es ábrán háromféle ered sebesség látható. A középs , index nélküli ( W ) a profil körüli áramlás ered sebessége. Ezt ismét a légcsavar el tti, zavartalan áramlás légcsavarhoz viszonyított ered sebességének ( W0 ) segítségével fejezhetjük ki: W = W0 cos ( β − β 0 ) − uD ;

(3)

Írjuk fel az 1-es ábrán látható légellenállás összetev t ( ∆D ) az impulzus tétel segítségével: ∆D = ∆ m ( 2 uD ) = ρ 2 π r ∆rW sin β ( 2uD ) ;

(4)

Írjuk fel ugyanezt az er összetev t a lapelem elmélet segítségével. A lapátszám (jele: B) figyelembe vételével írható: ∆D = B cD

ρ 2

(5)

W 2 h ∆r ;

A lapelem és impulzus tétel egyesítésének els következ képpen írható: ρ 2 π r ∆rW sin β ( 2uD ) = B cD

ρ 2

kapcsolati egyenlete tehát a (6)

W 2 h ∆r ;

Fejezzük ki a (6) kapcsolati egyenletb l a légellenállás irányú indukált sebesség összetev t: uD =

B z cD W; 8 π r sin β

(7)

Helyettesítsük be (7)-et (3)-ba, illetve fejezzük ki innen a zavartalan áramlás légcsavarhoz viszonyított ered sebességét ( W0 ): W0 =

W cos ( β − β 0 )

8π r sin β + h cD Bh ; 8π r sin β Bh

(8)

Határozzuk meg a második kapcsolati egyenletet is. Ebben az esetben a felhajtóer t írjuk fel az impulzus tétel és a lapelem elmélet segítségével: ρ (9) ∆L = ∆m ( 2 vL ) = ρ 2 π r ∆r W sin β ( 2 vL ) = BcL W 2 h ∆r ; 2

A (9) kifejezés utolsó egyenl ség jelének két oldalán látható a keresett kapcsolati egyenlet. Ebb l az egyenletb l, (2) felhasználásával, illetve a lehetséges egyszer sítések elvégzése után az alábbi kifejezést kapjuk: 2 π r sin β 2 W0 sin ( β − β 0 ) =

W B h cL ; 2

(10)

Helyettesítsük be (10)-be a zavartalan áramlás légcsavarhoz viszonyított ered sebességének ( W0 ) (8) szerinti alakját: 8π r sin β + h cD W W Bh (11) 2 π r sin β 2 sin ( β − β 0 ) = B h cL ; 8π r cos ( β − β 0 ) 2 sin β Bh

A (11) kifejezés, a lehetséges egyszer sítések elvégzése után az alábbi formában írható fel: h cL −

8π r sin β + h cD tan ( β − β 0 ) = 0 ; B

(12)

Ez az egyenlet a számítás alap-egyenlete. Amennyiben (12)-be a megoldást jelent ( cL , β , cD ) érték-hármast írjuk be, akkor a kifejezés értéke valóban nulla lesz. Ha azonban a megoldástól különböz értékekkel próbálkozunk, akkor nullától különböz értéket (reziduumot) kapunk: h cL −

8π r sin β + h cD tan ( β − β 0 ) = ℜ ; B

(13)

Ez egy nemlineáris egyenlet, amelyben azonban a ( cL , β , cD ) érték-hármas lényegében egyetlen ismeretlent jelent, hiszen a felhajtóer -tényez és az ellenállástényez értéke függ a β - szög értékét l. A numerikus számítást például a Newtoniteráció segítségével végezhetjük: βúj = β régi −

ℜ ; ∂ℜ ∂β

(14)

A tényleges számítás elvégzéséhez szükség van a felhajtóer -tényez és az ellenállás-tényez értékére. Ezek különböz változók függvényei (állásszög, Machszám, profilvastagság, lapát végessége miatt bevezetett tényez ). Mivel a profiljellemz ket mind a lapelem, mind az örvény-elmélet esetében azonosnak vesszük azért ezek a jellemz k leírása az örvény-elmélet tárgyalása után következik. 3. AZ ÖRVÉNY-ELMÉLET Ebben a cikkben az örvény-elmélet klasszikusnak, illetve legegyszer bbnek tekinthet változatával foglalkozunk. Az örvény-elmélet e változatát mind a mai napig elterjedten használják, s t fejlesztik is (pl. [4]). A 2. ábrán az örvény-elméletben alkalmazott sebességi sokszög látható, olyan formában, hogy összehasonlítható legyen az 1. ábrán látható, lapelem elméletre vonatkozó sebességi sokszöggel. Az örvény-elméletben nem szerepel a légellenállás súrlódásból származó része, az indukált ellenállás viszont, a korábbiakban leírtak szerint jelen van a számításban. Az örvény-elméletben alkalmazott összefüggések ideális közegre érvényesek csak – ezért nem szerepel az ábrán és persze a számítás els lépésében sem a súrlódási ellenállás. A súrlódási ellenállást azonban kés bb figyelembe vesszük!

2. ábra. Sebességi sokszög az örvény-elmélet esetében

Az örvény-elmélet – a súrlódástól eltekintve – ugyanazt a fizikai jelenségkört írja le, mint a lapelem elmélet, csak a számítás konkrét technikája más: a [4]-ben leírt módon egy segéd-szöget (ψ ) vezetünk be és a tényleges számítást ennek segítségével hajtjuk végre.

3. ábra. Számítási segéd szög bevezetése

A 3. ábra alapján felírhatók a következ összefüggések: Wa = V0 + v =

V0 W0 2 + sin (ψ ) , W0 = V02 + ( Ω r ) ; 2 2

Wt = Ω r − u =

Ω r W0 + cos (ψ ) ; 2 2

W = Wa2 + Wt 2 , illetve v = Wa − V0

(15) (16)

és u = ( Ω r ) − Wt ;

(17)

Az örvény-elmélet általunk vizsgált, hagyományosnak nevezhet formájában a lapát valamely sugaránál ébred hordozó örvény ( Γ ) által keltett kerületi indukált sebességet az alábbi formában számíthatjuk: 2π r u =

B Γ; 2

(18)

A (18)-ban szerepl indukált sebességet a mai, gyakorlati számításokban egy korrekciós összefüggéssel számítják át a 3. ábrán látható, kerületi irányú indukált sebesség összetev re: u = u F 1 + ( 4 λw R π B r ) ; 2

(19)

azaz: u=

BΓ 1 r Wa , ahol : λw = ; 4 π r F 1 + ( 4 λ R π B r )2 R Wt w

(20)

A (20) egyenletben szerepel a légcsavar geometriai sugara ( R ); a lapáton elhelyezked , a sugár függvényében változó hordozó örvény ( Γ = Γ ( r ) ) intenzitása; a – helyinek is nevezhet – el rehaladási fok ( λw ) és a Prandtl-féle lapátvég veszteségi tényez ( F ). A számítás alap-összefüggése az örvény-elmélet és a lapelem elmélet alábbi módon történ összekapcsolásával írható fel: Γ−

W h cL = 0 ; 2

(21)

Ez az egyenlet pontosan akkor teljesül, ha az egyes lapátmetszeteken keletkez , megfelel értéket helyettesítjük be. Ezeknek az értékeknek a megkeresése érdekében, a lapelem elméletnél alkalmazott módhoz hasonlóan vezessük be a reziduum értékét: Γ−

W h cL = ℜ ; 2

(22)

A tényleges számítás ebben az esetben is valamely nemlineáris egyenlet megoldó eljárás segítségével történhet.

Az örvény-elmélet esetében ismét a Newton-iteráció alkalmazását javasoljuk: ψ új = ψ régi −

ℜ ; ∂ℜ ∂ψ

(23)

E számítás során tehát lényegében ugyanúgy járunk el, mint a lapelem elmélet esetében – mindössze egy másik szög lesz az iterációs változó. Az örvény-elmélet esetében, a megoldás birtokában egy korrekciós lépés szükséges: a már ismert állásszög és egyéb értékeknek megfelel en, a profiljellemz kb l kiválasztjuk a súrlódási ellenállás-tényez t és az ered léger t (1. ábra, ∆R ) már ennek ismeretében határozzuk meg. A súrlódási ellenállás ilyen módon történ figyelembe vétele azért lehetséges, mert az 1. és 2. ábra alapján kijelenthet , hogy a súrlódásból származó indukált sebesség összetev ( uD ) els közelítésben csak az ered sebesség (W) nagyságát befolyásolja, az irányát nem. Ez a közelítés elegend en jó, amikor az ellenállás tényez a felhajtóer tényez höz képest elég kicsi. Vagyis a közelítés a lényegi, üzemi tartományban m ködik. A számítás azonban a túl nagy, illetve túl kis állásszögek esetén már – a bemutatott példaszámításból is láthatóan – már jelent sebb hibát tartalmaz, mivel a közvetlen függetlenség nem jelent teljes függetlenséget – a közvetett hatások akkor, azokban az üzemállapotokban, amikor a profil siklószáma nem elég jó, jelent sek.

4. A PROFILJELLEMZ K MEGHATÁROZÁSA 4.1 A lapát végességének figyelembe vétele A léger -tényez k adott profil esetében függvényei a profil geometriájának, az állásszögnek, a profil körül kialakuló áramlás Reynolds- és Mach számának és a profil felületi érdességének. A mért vagy számított értékek azonban alapvet en síkáramlásra igazak. A légcsavar (forgószárny) lapátok azonban, bár nagy karcsúságú szárnynak felelnek meg, véges hosszúságúak, ezért a körülöttük kialakuló áramlás térbeli, vagyis háromdimenziós.

A térbeli áramlás vizsgálatára az örvény-elméletek alkalmasak – ezek részletes tárgyalása túllépi e cikk kereteit. Ludwig Prandtl fejlesztett ki egy viszonylag egyszer összefüggést, amelyet sok munkában mind a mai napig az eredeti formájában alkalmaznak. Ez az összefüggés megadja a kapcsolatot a sík és a térbeli áramlásban értelmezett felhajtóer -tényez között: (23)

cL = F cL∞ ;

ahol: F=

2

π

Arc cos exp −

B R−r 1 2 R sin β

;

(24)

Az „ F ” tényez értéke egynél kisebb, legfeljebb 1, a lapátvégen mindig nullára csökken. A lapátvég tartományban adódó változás jellegének jelent s hatása van az e tartományban értelmezett m ködési jellemz k alakulására. Néhány szerz a (24)-gyel analóg formulát vezet be a lapátt re is, azonban a lapátt ben keletkez felhajtó-er általában nem számottev , ezért a lapátt -veszteséggel a következ kben nem számolunk. A lapelem elmélet esetében szükség van ennek a tényez nek a β szög szerinti deriváltjára: ∂F B =− ∂β π

R−r R

cos β ⋅ exp −

R−r 1 R sin β

B 2

sin 2 β ⋅ 1 − exp −

B 2

R−r 1 R sin β

2

;

(25)

Az örvény-elmélet esetében a ψ szög szerinti deriváltra lesz szükség – ezt azonban, az örvény-elméletnél megszokott módon összetett deriváltak segítségével számítjuk ki: TSR =

1

λw

=

Wt R , és Wa r

∂Wt R ∂Wa − TSR ∂ TSR ∂ψ r ∂ψ = ; Wa ∂ψ

(25)

Válasszuk ki a Prandtl féle veszteség tényez függvényb l (24) a következ részt: f = exp −

B R−r 1 2 R sin β

≅ exp −

B R−r TSR ; 2 R

(26)

Ekkor felírható: ∂f B r =−f 1− ; ∂ TSR 2 R

(27)

Illetve: ∂F 2 1 ∂f =− ; 2 π 1 − f ∂ TSR ∂ TSR

(28)

Végül a keresett derivált: ∂F ∂ F ∂ TSR = ; ∂ψ ∂ TSR ∂ψ

(29)

4.2 Az összenyomhatóság hatása Az összenyomhatóság hatása már viszonylag kis Mach szám esetén is ( 0.3 0.4 ) lényeges. Ugyanakkor err l a hatásról csak kevés ismeret áll rendelkezésre. Egy, a szakirodalomból származó képen (4. ábra) a NACA 0012-es profil méréséb l láthatóan, kétféle hatással kell számolni: - a felhajtóer -tényez lineáris szakasz meredekségének növekedése; - a legnagyobb állásszög csökkenése.

4. ábra. Az összenyomhatóság hatása a NACA 0012 profilnál

A felhajtóer -tényez egyenes szakasz meredekségének növekedése jól ismert jelenség, figyelembe vétele a Prandtl-Glauert szabály segítségével lehetséges: α

cLkompr =

cαLinkompr 1− M

2

(30)

;

A másik hatás, a legnagyobb elérhet felhajtóer -tényez csökkenése, a kritikus állásszög változása mellett nem számítható ilyen egyszer en. Ezt a hatást a példa számításban becsléssel vettük figyelembe. A példában egyébként az [1]-ben található profil család szerepel. A légcsavar tulajdonságait az alkalmazott profil dönt mértékben befolyásolja. Nagyon fontos tehát – többek között – a profilok aerodinamikai tulajdonságainak a lehet legpontosabb ismerete. Nagyon sok esetben magyarázza az elmélet és a gyakorlat közti különbséget a profiltulajdonságok leírásában elkövetett kisebb-nagyobb hiba, illetve a kivitelezés során megvalósuló gyártási pontatlanság (a tényleges lapátprofil jelent sen tér el a tervezésnél figyelembe vett profilkontúrtól).

5. A TELJES LÉGCSAVAR JELLEMZ INEK SZÁMÍTÁSA A teljes légcsavar számítása az egyes metszetek m ködési viszonyainak ismeretében válik lehet vé. Határozzuk meg el ször az egységnyi lapáthosszra es vonóer t. Vegyük figyelembe rögtön a lapátok számát (B) is: ∂T ρ ρ = B W 2 h cN = B W 2 h ( cL cos β − cD sin β ) ; ∂r 2 2

(31)

A fentihez hasonlóan számítsuk ki a forgatáshoz szükséges, egységnyi lapáthosszra es nyomatékot: ∂M ∂Q ρ ρ =r = r W 2 B h cQ = r W 2 B h ( cL sin β + cD cos β ) ; ∂r ∂r 2 2

(32)

Az egész légcsavar ered vonóereje, illetve a forgatáshoz szükséges teljesítmény a következ módon számítható: T=B

ρ 2

R

W 2 h ( cL cos β − cD sin β ) dr ;

(33)

0

P = ΩM = ΩB

ρ 2

R

0

r W 2 h ( cL sin β + cD cos β ) dr ;

(34)

Nagyon fontos a légcsavar hatásfoka, amelyet légcsavar esetében az alábbi módon számíthatunk: η=

T V0 ; P

(35)

A propulziós hatásfok feletti hatásfok részt az alkalmazott lapát profil javításával emelhetjük. A szakirodalomban ugyan vannak különféle összefüggések, amelyek a legjobbnak tekinthet m ködési viszonyok elérését célozzák, azonban a rendelkezésre álló adatok bizonytalansága miatt ezeket nem érdemes túl szigorúan venni. Végeredményben adott esetben, számítógéppel végzett légcsavar vizsgálat esetén a legjobbnak tekinthet geometriát valamilyen keresési algoritmussal érdemes megközelíteni. Az örvény-elmélet esetében a fent szerepl cD tényez külön veend figyelembe, mivel az alapmegoldásból csak a felhajtóer -tényez és az állásszög adódik. Ez utóbbi ismeretében viszont, a légellenállás-tényez a profiljellemz k közül választható és így a számítás a súrlódási ellenállással kiegészíthet , illetve kiegészítend . 6. PÉLDA SZÁMÍTÁS A fentiekben leírt módszerek teljesebb bemutatása, illetve összehasonlítása érdekében konkrét számítási példát dolgoztunk ki. Ebben a példában egy 3 méter átmér j , 3 lapátos légcsavart vizsgáltunk, melynek lapátprofiljai az [1]-b l származnak. A légcsavar szögsebessége 115 [ r s ] . A geometriai adatokat az 5. ábrán tüntettük fel:

5. ábra. A példa-légcsavar adatai

A példaszámítást elvégeztük mind az egyesített impulzus és lapelem, mind az örvény-elmélet segítségével. Az eredmények közül csak a leglényegesebbnek ítélhet ket mutatjuk be. A 6. ábrán a kétféle módszerrel számított vonóer t tüntettük fel. Mindenek el tt leszögezhetjük, hogy 23-tól 35 m/s sebességig a két görbe lényegében azonos. Ezek szerint, mivel legalább ezen a sebesség tartományon a két számítás eredménye nem különbözik, itt bármelyik módszer használható. Különbséget találunk a két módszer által szolgáltatott vonóer között, ha a sebesség kisebb, mint 23, vagy nagyobb, min 35 m/s. Ez a különbség a kisebb sebességek felé nagyobb. Ezekben az esetekben az örvény-elmélettel számított vonóer valamivel nagyobb, mint a lapelem elmélettel számítható vonóer . Véleményünk szerint az örvény-elmélet azért ad kissé nagyobb vonóer t (vagy éppen jobb hatásfokot), mert a súrlódási ellenállást csak utólag vettük figyelembe és ezzel a súrlódási ellenállás közvetett hatásait elhanyagoltuk.

6. ábra. Vonóer a lapelem, illetve az örvény-elmélet alapján

Az eltérés ott, ahol a súrlódási ellenállás kicsi – a kedvez állásszög tartományban – alig vehet észre. A túl kis állásszögeknél (nagy repülési sebesség) valamelyest ismét megnövekszik a két görbe eltérése. A nagy, esetleg kritikusnál nagyobb állásszögek esetében biztosan nagy, vagy igen nagy lesz az ellenállás-tényez , közvetett hatásának hiánya jól észlelhet a magasabban haladó, örvény-elmélettel számított görbén.

Ezek alapján levonható az a következtetés, hogy a két, lényegében azonos módszer közül az impulzus és lapelem egyesítésén alapuló eljárás alkalmazása célszer bb, mivel a tervezett m ködési tartománytól távolabbi állapotokban is a valóságoshoz közelebbi eredményt szolgáltat. Ez a következtetés természetesen csak az általunk vizsgált örvény-elmélet típusra vonatkozik. Ennél ma már korszer bb eljárások is m ködnek, de azok számításigénye messze meghaladja az általunk ismertetett módszerek számításigényét. Az ismertetett módszer szerinti, viszonylag gyors számolás teheti lehet vé valamilyen szempontból legkedvez bb kialakítás keresését – ilyen optimum keresése korszer nek tekinthet CFD módszerrel még ma sem igazán lehetséges. A 7. ábrán az összenyomhatóság hatását mutatjuk be. Az összenyomhatóság hatása láthatóan még ennél, a mérsékelt sebesség tartományban m köd légcsavarnál is lényeges.

7. ábra. Az összenyomhatóság hatása

Nagyobb eltérést érdekes módon a kisebb sebességeknél találunk – ez minden bizonnyal arra vezethet vissza, hogy az állásszög növekedésével a legnagyobb felhajtóer -tényez érték is csökken. A sebességnövekedésével az eltérés értéke csökken. A két görbe a felhajtóer tényez értékének csökkenésével közeledik egymáshoz. A görbék az átlagosan nulla felhajtóer tényez értéknél metszik egymást.

A példaszámítás egy légcsavarok számára kifejlesztett profil-család jellemz inek felhasználásával, illetve ezen jellemz k szükséges kiterjesztésével készült. A következtetések bizonyosságát fokozná ha mód lenne olyan profil-családdal dolgozni, melynek minden szükséges jellemz je rendelkezésre áll. Megjegyzend , hogy a légcsavar lapátok gyakorlati kivitelezése során a profilh ségre nagyon kell ügyelni. A tervezésben alkalmazott profilkontúrtól való jelent sebb eltérés egy másik (eltér ) profil alkalmazását jelenti. Adott esetben – amikor ez az eltérés jelent s – a tényleges jellemz k jelent sen eltérhetnek a számított jellemz kt l. Megfelel min ség profiljellemz k alkalmazása és elegend en gondos gyártás esetében – véleményünk szerint – a cikkben ismertetett számítási eljárások a gyakorlattal jól egyez , ténylegesen használható eredményeket adnak. FELHASZNÁLT IRODALOM [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]

ALEKSZANDROV, V. L.: Légcsavarok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1953 BITTNER, W.: Flugmechanik der Hubschrauber, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2005 DOMMASCH, D. O.: Elements of Propeller and Helicopter Aerodynamics, Pitman & Sons, London, 1953 DRELA, M.: QPROP Formulation, MIT Aero & Astro, 2006 GASCH, R – TWELE, J.: Windkraftanlagen, Teubner Verlag, Wiesbaden, 2005 GAUSZ, T.: Helikopterek, BME Mérnöki Továbbképz Intézet, Budapest, 1982 GAUSZ, T.: Szárnyprofil, szárny és légcsavar vizsgálata, BME Repül gépek és Hajók Tanszék kiadványa, 1995 GLAUERT, H.: Die Grundlagen der Tragflügel- und Luftschraubentheorie, Springer Verlag, Berlin, 1929 GRÚBER, J. – BLAHÓ, M.: Folyadékok mechanikája, Tankönyvkiadó, Budapest, 1971 LARRABEE, E, E.: Propellers for Human-Powered Vehicles, Human Power, Vol. 9. No. 2. 1984 LEISHMAN, J. G.: Principles of Helicopter Aerodynamics, Cambridge University Press, 2000 RÁCZ, E.: A repülés mechanikája, Tankönyvkiadó, Budapest, 1953 REISSNER, H.: A Generalised Vortex Theory of the Screw Propeller and its Application; NACA TN 750, 1940 WALD, Q. E.: The aerodynamics of propellers, ScienceDirect, 2006