Lecture 4 : Queueing Theory and Aplications. Hanna Lestari, M.Eng

Lecture 4 : Queueing Theory and Aplications

Hanna Lestari, M.Eng

Struktur Dasar Model – Model Antrian • Teori Antrian bertujuan untuk mengetahui/menentukan besaran kinerja sistem antrian. Ukuran kinerja sistem dalam kondisi steady state dapat kita lihat dari : a. Panjang antrian rata-rata b. Jumlah pelanggan rata – rata dalam sistem antrian c. Waktu tunggu (waktu antri rata – rata) d. Waktu rata – rata “sekarang” pelanggan dalam sistem antrian

• Kondisi steady state :

“ Kondisi dimana besaran koefisien beserta parameter yang diukur tetap”

Jenis Sistem Antrian 1. 2.

Jumlah server 1 atau lebih paralel Sumber input (sumber pelanggan) a. Tak terbatas jumlahnya ( λ tidak tergantung atas jumlah pelanggan dalam sistem antrian dan λ jumlahnya tetap) b. Terbatas 3. Panjang antrian a. tak terbatas jumlahnya b. terbatas 4. Pelayanan a. FCFS b. Prioritas - Preemtive : begitu ada prioritas datang dan ada yang sedang dilayani, yg sedang dilayani mundur dulu - Non Preemtive : Jika ada yang sedang dilayani kemudian prioritas datang maka orang yang sedang dilayani tetap dilayani.

Pelayanan Tunggal Sistem antrian pelayanan tunggal memiliki karakteristik sebagai berikut :

1. Populasi pelanggan yang tidak terbatas 2. Disiplin antrian “pertama datang, pertama dilayani” 3. Tingkat kedatangan Poisson

4. Waktu pelayanan eksponensial • Dengan karakteristik di atas ini, dan asumsi bahwa • λ = tingkat kedatangan • µ = tingkat pelayanan • λ<µ telah ditetapkan suatu formula untuk karakteristik operasi pelayanan tunggal seperti berikut ini

Sistem Pelayanan Tunggal Terminologi Notasi Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam suatu sistem antrian (baik sedang dalam antrian maupun sedang dilayani

Rumus   P0  1 -   µ n

Probabilitas terdapat n pelanggan dalam suatu sistem antrian

  Pn    .P 0 µ 

Rata-rata jumlah pelanggan dalam suatu sistem antrian

L

Rata-rata jumlah pelanggan yang berada dalam baris antrian

Lq 

Waktu rata-rata dihabiskan seorang pelanggan dalam keseluruhan sistem antrian (yaitu, waktu menunggu dan dilayani)

W

Waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan untuk menunggu dalam antrian sampai dilayani



(µ -  )



2

µ(µ -  ) 1 L  µ 

Wq 

  (   )

Sistem Pelayanan Tunggal Terminologi Notasi Probabilitas bahwa pelayan sedang sibuk (yaitu, probabilitas seorang pelanggan harus menunggu), dikenal dengan faktor utilisasi Probabilitas bahwa pelayan menganggur

Rumus

 P   w

I  1U  1

 P 

0

Hubungan L dan W L = λ.W Lq =λ.Wq W = Wq + ρn L = Lq + ρ Asumsi : ρn adalah konstan dan steady state , Jika ada asumsi waktu pelayanan konstan maka μn = μ

Con’t Terminologi Notasi Faktor penggunaan (utilisasi untuk fasilitas pelayanan yaitu ekspetasi perbandingan dari waktu sibuk para pelayan

Jumlah pelayan ( untuk saluran pelayanan paralel ) pada sistem antrian.

Rumus ρ = λ / s.μ

S

Dalam referensi lain utilisasi faktor disebut dengan traffic intensity dengan notasi R = λ/μ untuk pelayanan tunggal. Dimana R ≤ 1

Sistem Pelayanan Multiple • Sistem pelayanan multiple adalah baris antrian tunggal yang dilayani oleh lebih dari satu pelayan. • Contoh penerapan sistem ini terdapat pada bank yang ada bagian tertentu menangani pertanyaan-pertanyaan atau pengaduanpengaduan dari customer.

Con’t Berikut ini disajikan formula antrian untuk sistem pelayanan multiple. Formula ini dikembangkan berdasarkan asumsi :  Disiplin antrian pertama datang pertama dilayani  Kedatangan Poisson  Waktu pelayanan eksponensial

 Populasi yang tidak terbatas Parameter model pelayanan multiple adalah sebagai berikut λ

= tingkat kedatangan

μ = tingkat pelayanan c

= jumlah pelayan

cμ = rata-rata pelayanan efektif sistem tersebut, dimana nilainya harus melebihi tingkat kedatangan (cμ > λ)

Terminologi Notasi Probabilitas tidak adanya pelanggan dalam sistem tersebut Probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem antrian tersebut Jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem antrian tersebut

Rumus P0 

1 nc1 1    n  1   c  c             n0 n!     c!     c    n

L

Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem antrian tersebut Jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian tersebut

n

1   Pn  P 0 , untuk n  c; Pn    P 0 , untuk n  c n c    n c!c   1

 ( /  )c

P0 

c  1!c   2

W 

 

L



 L  L  q

Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrian menunggu untuk dilayani Probabilitas seorang pelanggan yang datang dalam sistem tersebut harus menunggu untuk dilayani

Wq  W  Pw 

1



1  c! 



Lq



c

   

c P0 c  

Con’t • Dalam formula di atas jika c=1(yaitu, terdapat satu pelayan), maka formula tersebut menjadi formula pelayanan tunggal.