Laporan Praktikum 14 Metode Komputasi Matematika (Latihan Bab 3 dari Buku J. Leon Aljabar Linear) Program Scilab Syarif Abdullah (G551150381)∗†
Matematika Terapan Departemen Matematika FMIPA IPB e-mail: syarif
[email protected] &
[email protected] 17 Januari 2016 Deskripsi: Mengambil 1 soal latihan MATLAB Bab 3 dari buku J. Leon Aljabar Linear, tuliskan dengan LaTex dan modifikasi menjadi soal untuk dikerjakan dalam Scilab. Soal yang harus dikerjakan: 2 digit terakhir NRP (modulo jumlah soal di Latihan(4))= soal no. 1. 1. (Perubahan basis). Tetapkan U = round(20 ∗ rand(4, 4)) − 10, V = round(10 ∗ rand(4, 4)) dan b = ones(4, 1). (a) Kita dapat menggunakan fungsi Scilab rank untuk menentukan apakah vektor-vektor kolom dari suatu matriks bebas linear atau tidak. Harus berapakah rank-nya jika vektor-vektor kolom dari U bebas linear? Hitunlah rank dari U dan buktikan bahwa vektor-vektor kolomnya bebas linear dan dengan demikian membentuk basis untuk R4 . Hitunglah rank dari V dan buktikan bahwa vektor-vektor kolomnya juga membentuk basis untuk R4 . (b) Gunakan Scilab untuk menghitung matriks transisi dari basis baku untuk R4 ke basis terurut E = [u1 , u2 , u3 , u4 ]. [Perlihatkan bahwa dalam Scilab notasi untuk vektor kolom ke-j yaitu uj adalah U (:, j)] Gunakan matriks transisi ini untuk menghitung vektor koordinat c dari b relatif terhadap E. Buktikan bahwa b = c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 + c4 u4 = U c (c) Gunakan Scilab untuk menghitung matriks transisi dari basis baku ke basis F = [v1 , v2 , v3 , v4 ] dan gunakan matriks transisi ini untuk mencari vektor koordinat d dari b relatif terhadap F . Buktikan bahwa ∗ http † File
://syarif abdullah.student.ipb.ac.id/ dibuat dengan LYX Program
1
b = d1 v1 + d2 v2 + d3 v3 + d4 v4 = V d. (d) Gunakan Scilab untuk menghitung matriks transisi S dari E dan F dan matriks transisi T dari F ke E. Bagaimanakah relasi antara S dan T ? Buktikan bahwa Sc = d dan T d = c. Jawab: + Pertama-tama dengan menggunakan program Scilab kia definisikan matriks U , V dan vektor b dengan perintah sebagai berikut: −− > U = round(20 ∗ rand(4, 4)) − 10 U= 5. −5. 6. 4. 9. −1. −5. 5. −6. 8. −2. −3. 2. 6. −3. 5. −− > V = round(10 ∗ rand(4, 4)) V = 5. 0. 1. 8. 10. 1. 2. 10.
7. 2. 5. 8.
8. 1. 8. 3.
−− > b = ones(4, 1) b= 1. 1. 1. 1. Karena matriks U memiliki jumlah kolom 4, maka untuk menunjukkan bahwa U mempunyai kolom-kolom yang bebeas linear haruslah matriks U memiliki rank = 4. Berikut adalah perintah pada Scilab untuk menunjukkan bahwa matriks U memiliki kolom-kolom bebas linear. −− > rankU = rank(U ) rankU = 4. Dapatpula kita gunakan pencarian matriks U mempunyai kolom-kolom yang bebas linear dengan menggunakan perintah det(U ) di mana untuk mencari determinant dari matriks U . −− > determinantU = det(U ) determinantU = 1072. Karena matriks U memiliki determinan 6= 0, sehingga dapat disimpulkan bahwa vektor-vektor kolom matriks U bebas linear dan dengan demikian membentuk basis untuk R4 . Karena matriks V memiliki jumlah kolom 4, maka untuk menunjukkan bahwa V mempunyai kolom-kolom yang bebeas linear haruslah matriks V 2
memiliki rank = 4. Berikut adalah perintah pada Scilab untuk menunjukkan bahwa matriks V memiliki kolom-kolom bebas linear. −− > rankV = rank(V ) rankV = 4. Dapatpula kita gunakan pencarian matriks V mempunyai kolom-kolom yang bebas linear dengan menggunakan perintah det(V ) di mana untuk mencari determinant dari matriks V . −− > determinantV = det(V ) determinantV = 1211. Karena matriks V memiliki determinan 6= 0, sehingga dapat disimpulkan bahwa vektor-vektor kolom matriks U bebas linear dan dengan demikian membentuk basis untuk R4 . + Misalkan diberikan basis baku untuk R4 yaitu {e1 , e2 , e3 , e4 } sebagai berikut, −− > e1 = [1; 0; 0; 0], e2 = [0; 1; 0; 0], e3 = [0; 0; 1; 0], e4 = [0; 0; 0; 1] e1 = 1. 0. 0. 0.
e2 = 0. 1. 0. 0.
e3 = 0. 0. 1. 0.
e4 = 0. 0. 0. 1.
dan diberikan matriks E = [u1 , u2 , u3 , u4 ], di mana didapatkan dari vektor kolom ke-j yaitu dengan uj adalah U (:, j). Dengan perintah pada program Scilab adalah sebagai berikut: -− > u1 = U (:, 1), u2 = U (:, 2), u3 = U (:, 3), u4 = U (:, 4) u1 = 5. 9. −6. −1.
u2 = −5. −1. 8. 6.
u3 = 6. −5. −2. −3.
u4 = 4. 5. −3. 5.
Sehingga dibentuk matriks E sebagai berikut: −− > E = u1 u2 u3 u4 E= 5. −5. 6. 4. 9. −1. −5. 5. −6. 8. −2. −3. 2. 6. −3. 5. Uutuk menghitung matriks transisi dari basis baku untuk R4 ke basis terurut E = [u1 , u2 , u3 , u4 ] maka cukup digunakan inverse dari matriks U . Sehingga didapatkan dengan menggunakan Scilab sebagai berikut: −− > inv(U ) ans = 3
0.2322761 0.1688433 0.2220149 −0.1623134
0.2807836 0.1277985 0.0354478 −0.2444030
0.3656716 0.3059701 0.2089552 −0.3880597
−0.2472015 −0.0792910 −0.0876866 0.3414179
Sehingga untuk menghitung vektor koordinat c dari b relatif terhadap E kita dapatkan sebagai hasil perkalian antara inverse matriks U dan vektor bsebagai berikut: −− > c = inv(U ) ∗ b c= 0.6315299 0.5233209 0.3787313 −0.4533582 Maka didapatkan suatu kombinasi linear dari hasil perkalian entri-entri dari vektor c dengan vektor uj sebagai berikut, −− > c(1) ∗ u1 + c(2) ∗ u2 + c(3) ∗ u3 + c(4) ∗ u4 ans = 1. 1. 1. 1. Dari hasil perhitungan kombinasi linear di atas didapatkan hasil yang sama dengan vektor b. Begitu pula untuk perhitungan U ∗ c, −− > U ∗ c ans = 1. 1. 1. 1. Sehingga terbukti bahwa berlaku persamaan b = c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 + c4 u4 = U c. + Misalkan diberikan basis baku untuk R4 yaitu {e1 , e2 , e3 , e4 } sebagai berikut, −− > e1 = [1; 0; 0; 0], e2 = [0; 1; 0; 0], e3 = [0; 0; 1; 0], e4 = [0; 0; 0; 1] e1 = 1. 0. 0. 0.
e2 = 0. 1. 0. 0.
e3 = 0. 0. 1. 0.
e4 = 0. 0. 0. 1.
dan diberikan matriks F = [v1 , v2 , v3 , v4 ], di mana didapatkan dari vektor kolom ke-j yaitu dengan vj adalah V (:, j). Dengan perintah pada program Scilab adalah sebagai berikut: -− > v1 = V (:, 1), v2 = V (:, 2), v3 = V (:, 3), v4 = V (:, 4) 4
v1 = v2 = v3 = v4 = 5. 0. 7. 8. 1. 8. 2. 1. 10. 1. 5. 8. 2. 10. 8. 3. Sehingga dibentuk matriks F sebagai berikut: −− > F = v1 v2 v3 v4 F = 5. 0. 1. 8. 10. 1. 2. 10.
7. 2. 5. 8.
8. 1. 8. 3.
Uutuk menghitung matriks transisi dari basis baku untuk R4 ke basis terurut F = [v1 , v2 , v3 , v4 ] maka cukup digunakan inverse dari matriks V . Sehingga didapatkan dengan menggunakan Scilab sebagai berikut: −− > inv(V ) ans = −0.2312139 −0.1676301 0.2097440 0.1131296 0.0057803 0.1791908 −0.0123865 −0.0421140 −0.0751445 −0.3294798 0.0181668 0.2617671 0.3352601 0.3930636 −0.1469860 −0.2997523 Sehingga untuk menghitung vektor koordinat d dari b relatif terhadap F kita dapatkan sebagai hasil perkalian antara inverse matriks V dan vektor bsebagai berikut: −− > d = inv(V ) ∗ b d= −0.0759703 0.1304707 −0.1246903 0.2815855 Maka didapatkan suatu kombinasi linear dari hasil perkalian entri-entri dari vektor d dengan vektor vj sebagai berikut, −− > d(1) ∗ v1 + d(2) ∗ v2 + d(3) ∗ v3 + d(4) ∗ v4 ans = 1. 1. 1. 1. Dari hasil perhitungan kombinasi linear di atas didapatkan hasil yang sama dengan vektor b. Begitu pula untuk perhitungan V ∗ d, −− > V ∗ d ans = 1. 1. 1. 1. 5
Sehingga terbukti bahwa berlaku persamaan b = d1 v1 + d2 v2 + d3 v3 + d4 v4 = V d. + Berikut akan digunakan program Scilab untuk menghitung matriks transisi S dari E dan F dan matriks transisi T dari F ke E. Untuk menghitung matriks transisi S dari E dan F dapat dihitung dari hasil perkalian matriks antara inverse matriks F dan matriks E sebagai berikut, −− > S = inv(F ) ∗ E S= −3.6969447 1.6317093 −2.926507 5.4962841
3.6804294 −0.5598679 2.4211396 −5.0437655
−1.3080099 −0.7101569 0.3748968 1.2394715
−1.8265896 0.7456647 −0.6936416 2.2485549
Untuk menghitung matriks transisi T dari F dan E dapat dihitung dari hasil perkalian matriks antara inverse matriks E dan matriks F sebagai berikut, −− > T = inv(E) ∗ F T = 4.6044776 3.8731343 3.0597015 −4.2537313
0.1399254 0.5354478 −0.3843284 1.0708955
2.0382463 2.3330224 1.9682836 −0.8339552
4.3227612 3.6884328 3.2201493 −3.6231343
Adapun untuk menunjukkan hubungan antara matriks transisi S dan T adalah sebagai berikut, −− > inv(S) ans = 4.6044776 3.8731343 3.0597015 −4.2537313
0.1399254 0.5354478 −0.3843284 1.0708955
2.0382463 2.3330224 1.9682836 −0.8339552
4.3227612 3.6884328 , dan 3.2201493 −3.6231343
3.6804294 −0.5598679 2.4211396 −5.0437655
−1.3080099 −0.7101569 0.3748968 1.2394715
−1.8265896 0.7456647 −0.6936416 2.2485549
−− > inv(T ) ans = −3.6969447 1.6317093 −2.926507 5.4962841 −− > S ∗ T ans = 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0.
0. 0. 1. 0.
0. 0. 0. 1. 6
Sehingga didapatkan hubungan bahwa inverse dari matriks S adalah matriks T , begitu pula inverse dari matriks T adalah mariks S, sehingga didapatkan notasi S −1 = T dan T −1 = S atau S ∗ T = I di mana matriks I adalah matriks identitas pada R4 . Selanjutnya akan dicari hubungan antara perkalian matriks transisi S dan vektor koordinat c dengan vektor koordinat d, begitupula hubungan antara perkalian matriks transisi T dan vektor koordinat d dengan vektor koordinat c. −− > S ∗ c ans = −0.0759703 0.1304707 −0.1246903 0.2815855 −− > T ∗ d ans = 0.6315299 0.5233209 0.3787313 −0.4533582 dari perhitungan di atas didapatkan hasil bahwa perkalian matriks transisi S dan vektor koordinat c menghasilkan vektor koordinat d, begitupula hasil perkalian antara matriks transisi T dan vektor koordinat d menghasilkan vektor koordinat c. Sehingga terbukti bahwaSc = d dan T d = c. Sekian Pembahasan kali ini. Kurang lebihnya mohon maaf. Semoga bermanfaat. Amin. Profile: Nama : Syarif Abdullah Tmpt/Tgl Lahir : Gresik, 26 Januari 1986 Alamat : Leran Manyar Gresik Jawa Timur NRP : G551150381 Jurusan : Matematika Terapan Departement : Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas : Institut Pertanian Bogor Hobby : Baca buku dan utek-utek soal E-mail : syarif
[email protected] Web/Blog : http ://syarif abdullah.student.ipb.ac.id/
7
