Modul Praktikum Metode Numerik
PENDAHULUAN SCILAB 1. Struktur Scilab Program Scilab sudah memiliki text editor di dalamnya. Perintah/kode program Scilab dapat dituliskan di dalam window Scilab Execution (Scilex) ataupun di window Scipad (text editor Scilab). Namun untuk praktikum Metode Numerik ini, program dituliskan di dalam Scipad.
2. File Extension File program Scilab memiliki extension .sce. File ini masih dalam bentuk text format. Untuk mengeksekusi file .sce, pertama kali file tersebut dibuka di dalam Scilab. Kemudian dieksekusi (ctrl + l).
3. Perintah Scilab 3.1. Vektor Cara untuk membuat vektor dalam Scilab sbb : (vektor disebut juga dengan array satu dimensi) x=[0 ;2 ; 5]
3.2. Matriks Cara untuk membuat matriks dalam Scilab sbb : (matriks disebut juga array dua dimensi)
[ ] 1 3 4 −1 2 5 4 −3 5
perintahnya sbb : A=[1 3 4 ;−1 2 5 ; 4 −3 5]
3.3. Vector Otomatis 1
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik Cara menciptakan vector secara otomatis dari 1 hingga 7 dengan faktor kenaikan sebesar 0.2 w = 1:0.2:7 3.4. Menjalankan Function pada Vector Vektor dapat diberlakukan suatu function secara bersamaan dengan perintah : z = sin(w) 3.5. Membuat Plot dari Vector Dua vector z dan w dapat dibuat plot w versus z dengan perintah : plot2d(w,z) 3.6. Matriks Bilangan Random Cara membuat matriks m x n yang berisi bilangan random sbb : rand(n,m) 3.7. Loops dan Condition Looping dan condition di dalam Scilab sbb :
ans = 0; n = 1; term = 1; while( ans + term ~= ans ) ans = ans + term; term = term*x/n; n = n + 1; end ans
kemudian dijalankan perintah sbb : 2
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik x = 1.0 exec(’ex.sci’) Selain itu : for j=4:2:6 disp(j**2) end Hasilnya adalah : 16, 4, 0, 4, 16, 36 3.8. Statement IF Statement IF di dalam Scilab sbb : if expression then statements else if expression then statements else statements end
3.9. Function Contoh function pada Scilab :
function y = ex(x) // EX A simple function to calculate exp(x) y = 0; n = 1; term = 1; while( y + term ~= y ) y = y + term; term = term*x/n; 3
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik n = n + 1; end endfunction
cara menjalankan : exec('ex.sci') ex(1.0)
4
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik
A. PENYELESAIAN AKARAKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK
Akarakar persamaan karakteristik adalah penyelesaian dari suatu persamaan polinomial. Polinomial tersebut berorde (berpangkat) 2 atau lebih, biasa disebut dengan persamaan Non Linear. Untuk persamaan orde 2 atau tiga masih mudah untuk menyelesaikan. Namun untuk persamaan berorde tinggi diperlukan metode numerik untuk mempermudah pencarian akar persamaan tersebut.
Beberapa metode yang bisa digunakan akan dijelaskan di bawah ini :
1. METODE BISECTION
Metode Bisection digunakan untuk mencari akar persamaan non linear melalui proses iterasi dengan persamaan :
X c= X a X b/2 ...(1.1) dimana nilai f X a. f X b 0 ...(1.2).
Kelemahan metode ini adalah : 1. Jika akar persamaan lebih dari satu, maka nilai tersebut hanya bisa ditemukan satu per satu/tidak bisa sekaligus. 2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner). 3. Proses iterasi tergolong lambat.
Berikut algoritma penyelesaian Metode Bisection :
5
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik
Langkah pertama, menentukan dua nilai x (Xa dan Xb) sebagai nilai awal perkiraan. Kedua nilai ini harus memenuhi syarat persamaan 1.2 Langkah kedua, jika nilai awal telah didapatkan selanjutnya menentukan nilai x (misal Xc) baru menggunakan persamaan 1.1 Langkah ketiga, mencari nilai f(Xc) Langkah selanjutnya, melakukan langkah 2 dan 3 hingga didapatkan f(Xc) = 0 atau mendekati 0.
Contoh : Carilah akar persamaan f x=x −7x1 3
Langkah pertama, menentukan dua nilai x awal. Misal : Xa = 2.6 dan Xb = 2.5. Kemudian cek apakah kedua nilai tersebut memenuhi syarat? f(Xa) = f(2.6) = 2.6 −72.61=0.376 3
f(Xb) = f(2.5) = 2.5 −72.51=−0.875 3
Karena f(Xa).f(Xb) < 0 maka kedua nilai perkiraan di atas benar.
Langkah kedua, mencari nilai Xc
X c= X a X b/2 atau X c=2.62.5/2 = 2.55 dan f X c =2.553−72.551=−0.2686 karena nilai f(Xc) negatif maka f(Xc) menggantikan f(Xb).
Langkah ketiga, mencari nilai Xd
6
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik X d=2.62.55/2=2.575 dan 3
f X d =2.575 −72.5751=−0.04886
Langkah keempat, mencari nilai Xe X e=2.62.575/2=2.5625 dan 3
f X e=2.5625 −7 5.56251=−0.11108
Langkah berikutnya, ulangi langkahlangkah di atas hingga menemukan f(Xn) yang mendekati nol atau f xn−1 − f x n e . Sedangkan e dapat ditentukan sendiri, misalnya E x 10−5
Tugas Anda 1. Buatlah program implementasi dari algoritma di atas! Hasil program di atas f(x) tidak pernah nol bulat (3,472 x 108) dengan x = 2.571201. 2. Seorang peneliti atom menemukan hubungan waktu luruh radioaktif (t) dengan energi (E) yang dimiliki atom tersebut dengan suatu persamaan t=4 E33 E−2 E2 . Berapakah energi yang diperlukan untuk meluruh dalam waktu nol.
7
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik 2. METODE NEWTON RAPHSON
Metode Newton Raphson juga digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear f(x). Rumus penyelesaian X n1= X n− f X n / f ' X n ... 2a Sedangkan persamaan non linear dapat diselesaikan jika memenuhi syarat sbb : ∣ f x 1 . f ' ' x 1 / f ' x 1 . f ' x 1 ∣ < 1 ... 2b dimana X 1 adalah titik awal yang ditentukan sebelum melakukan iterasi. Keterbatasan dari metode ini adalah : 1. jika fungsi f(x) mempunyai beberapa titik penyelesaian, maka akarakar penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara bersamaan. 2. Tidak dapat mencari akar imajiner(kompleks). 3. Tidak dapat mencari akar persamaan yang tidak memenuhi syarat persamaan 2b, meskipun sebenarnya persamaan memiliki akar persamaan. 4. Untuk persamaan yang sangat kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua sangatlah sulit.
Berikut algoritma Metode Newton Raphson : 1. Mencari turunan pertama dan kedua dari persamaan yang ada. 2. Menentukan nilai X 1 sebagai nilai perkiraan awal dan kemudian mengecek apakah memenuhi persyaratan persamaan 2b. 3. Jika memenuhi, maka iterasi dilakukan untuk mencari nilai X n . 4. Begitu seterusnya hingga antara X n−1− X n = 0 atau <= nilai e (error). Nilai error ini dapat ditentukan sendiri.
8
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik Contoh : Carilah persamaan non linear di bawah ini dengan Metode Newton Raphson : x
2
f x=e −3x =0 Langkah pertama, mencari turunan persamaan tersebut f ' x=e x−6x f ' ' x=ex −6 Langkah kedua, menentukan nilai X 1 , misalnya X 1 = 1. f(1) = e 3−312=−0.281718 3 f'(1) = e −61=−3.281718
f''(1) = e 3−6=−3.281718 jadi
∣ f x 1 . f ' 'x 1 / f ' x 1 . f 'x 1 ∣=0.0858451 karena syarat dipenuhi maka proses iterasi dapat dilanjutkan.
Langkah ketiga, melakukan iterasi persamaan 2a untuk mencari X n jika e (error) = E x 10−7 .
x2 =x 1 − f x 1/ f ' x1 =0.9141155 x1 −x 2 =0.0858845 Langkah keempat, karena selisih x lebih besar dari e dan bukan 0 maka
x3 =x 2 − f x 2/ f ' x2 =0.910018 x2 −x 3 =0.0040975
dst. hingga selisihnya sama dengan nol atau lebih kecil dari e.
Tugas Anda
9
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik 1. Buatlah program yang menerapkan algoritma di atas. Jika jawaban benar maka akar f(x) = 0.9100076 atau mendekatinya. 2. Seorang ekonom menemukan bahwa hubungan permintaan (x) dengan besar inflasi (y) adalah 4
2
−2
y =x −9x 2x
. Tentukan jumlah permintaan yang menandakan bahwa inflasi sebesar
nol! (error = 0.01).
10
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik
B. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SERENTAK
Persamaan Linear serentak adalah suatu persamaan dengan variabel bebas, misalnya : y1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 +... + a1nxn y2 = a21x1 + a22x2 + a23x3 +... + a2nxn y2 = a31x1 + a32x2 + a33x3 +... + a3nxn Penyelesaian dari persamaan tersebut bisa menggunakan bantuan matriks. Namun untuk ordo (jumlah variabel dan jumlah persamaan) yang tinggi, penyelesaian dapat menggunakan nilai pendekatan. Oleh sebab itu, metode numerik bisa digunakan untuk persamaan ini. Metode yang bisa dipakai akan dijelaskan di bawah ini.
1. METODE JACOBI
Metode iterasi Jakobi adalah metode penyelesaian persamaan serentak melalui proses iterasi dengan menggunakan persamaan sbb : n
x1n1=h i /aii− ∑ aij /aii x n ... 3a j j =1
dimana j <> i
Kelemahan dari metode ini adalah : 1. Jika ordo persamaan cukup tinggi maka konsumsi waktu untuk eksekusi program menjadi lama. 2. Metode ini hanya bisa dipakai jika persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat persamaan berikut n
∣a ii∣ ∑ ∣aij∣, i=1,2,... , N persamaan 3b j=1
11
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik dimana j <> I
Berikut algoritma Metode Jacobi 1. Cek apakah susunan persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat persamaan 3b. Jika ya, maka lanjut ke langkah kedua. 2. Menyusun matriks koefisien, matriks variabel, dan matriks hasil. 3. Langkah ketiga adalah menentukan titik variabel x awal kemudian melakukan iterasi dengan persamaan 3a hingga didapatkan nilai variabel x yang tidak berubah atau hampir tidak berubah dari iterasi yang sebelumnya.
Contoh : Carilah penyelesaian dari persamaan sbb : 8x 1x 2x 3=8 x1 −7x 22x 3=−4 x1 2x 29x 3=12
Langkah pertama, menyusun urutan persamaan sehingga memenuhi persyaratan pada persamaan 3b. Urutannya sebagai berikut : persamaan 8x 1x 2x 3=8 diletakkan pada posisi paling pertama dikarenakan koefisien a11 memiliki nilai paling besar. Kemudian posisi nomer dua adalah persamaan x1 −7x 22x 3=−4 dikarenakan koefisien a22 memiliki nilai paling besar dari ketiga persamaan. Dan yang terakhir adalah persamaan x1 2x 29x 3=12 .
Langkah kedua, menyusun matriks koefisien, matriks variabel dan matriks hasil. matriks koefisien : 12
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik
8 1 −1 A= 1 −7 2 1 2 9
matriks variabel :
x1 x= x 2 x3
matriks hasil :
8 h= −4 12
Langkah ketiga, menentukan titik awal variabel, misal diambil nilai awal dari x1, x2, x3 = 0. Kemudian melakukan iterasi dengan persamaan 3a hingga nilai x1, x2, x3 tidak berubah. Contoh iterasi pertama sbb :
a 8 a x1 = − 12 x 2 13 x 3 8 a11 a11
x1 =8/8−00=1
x2 =
a −4 a21 − x 1 23 x 3 −7 a22 a22
x2 =0.571−00=0.571
x3 =
a 12 a31 − x1 32 x 2 9 a33 a33
x3 =1.333−00=1.333 setelah dilanjutkan hingga iterasi ke 8 maka hasil dari x1, x2, x3 semuanya adalah 1.
13
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik
Tugas Anda 1. Buatlah program yang mengimplementasikan algoritma di atas. 2. Seorang peneliti melakukan penelitian mengenai lintasan elektron yang dipengaruhi oleh 3 faktor, katakanlah x, y, dan z. Hasil dari penelitian tersebut memberikan 3 buah persamaan sbb :
4x−10y6z=30 3x5y−7z=15 6x−8y6z=−8 Tugas Anda sebagai programmer adalah membantu peneliti tersebut dengan membuatkan program untuk mencari nilai x, y, dan z. nilai error = 0.01 dengan menggunakan Metode Jacobi.
14
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik 2. METODE GAUSS SEIDEL Metode Gauss Seidel digunakan untuk menyelesaikan persamaan serentak. Metode ini lebih cepat dibandingkan dengan Metode Jacobi. Metode Gauss Seidel ini menggunakan persamaan sbb : xn1 = i
bi i−1 aij n1 N aij n −∑ x −∑ x j persamaan 4.a aii j=1 aii j j =i1 a ii
dimana : i = 1, 2,...N n = 1, 2, …
Algoritma Gauss Seidel, sbb : 1. Cek apakah susunan persamaan yang akan diselesaikan memenuhi syarat persamaan 4a. Jika ya, maka lanjut ke langkah kedua. 2. Menyusun matriks koefisien, matriks variabel, dan matriks hasil. 3. Menentukan titik variabel x awal kemudian melakukan iterasi dengan persamaan 4a hingga didapatkan nilai variabel x yang tidak berubah atau hampir tidak berubah dari iterasi yang sebelumnya.
Contoh : Carilah penyelesaian dari persamaan ini menggunakan metode Gauss Seidel : 8x 1x 2x 3=8 x1 −7x 22x 3=−4 x1 2x 29x 3=12
Langkah pertama, menyusun urutan persamaan sehingga memenuhi persyaratan pada persamaan 3b. Urutannya sebagai berikut : 15
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik persamaan 8x 1x 2x 3=8 diletakkan pada posisi paling pertama dikarenakan koefisien a11 memiliki nilai paling besar. Kemudian posisi nomer dua adalah persamaan x1 −7x 22x 3=−4 dikarenakan koefisien a22 memiliki nilai paling besar dari ketiga persamaan. Dan yang terakhir adalah persamaan x1 2x 29x 3=12 .
Langkah kedua, menyusun matriks koefisien, matriks variabel dan matriks hasil. matriks koefisien :
8 1 −1 A= 1 −7 2 1 2 9
matriks variabel :
x1 x= x 2 x3
matriks hasil :
8 h= −4 12
1 1 1 Langkah ketiga, menetukan titik awal misalnya : x1 , x 2 , x 3 =0 kemudian melakukan iterasi
dengan persamaan 4.a, yaitu : 0 h1 a1j n1 3 a1j n x = −∑ x −∑ xj a11 j=1 a11 j j=2 a 11 2 1
x12=
h1 a a −0− 12 x21 13 x31 a11 a11 a11
2
x1 =1−0−00=1
16
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik x22=
1 3 h2 a a2j n −∑ 2j x n1 − xj ∑ j a22 j=1 a22 j=3 a 22
x22=
h2 a a −0− 21 x12 23 x31 a 22 a 22 a22
2
x2 =0.571−−1 /70=0.7147 x32=
2 3 h2 a a3j n −∑ 3j x n1 − xj ∑ j a22 j=1 a33 j=4 a 33
x32=
h3 a a −0− 31 x12 32 x22 a33 a33 a33
2
x3 =1.333−2/90.714/9=1.032
Setelah dilanjutkan sampai iterasi keN ditemukan hasil dari x1 , x 2 , x 3=1 .
Tugas Anda : 1. Buatlah implementasi program dengan Scilab pada persoalan di atas. 3. Seorang peneliti melakukan penelitian mengenai lintasan elektron yang dipengaruhi oleh 3 faktor, katakanlah x, y, dan z. Hasil dari penelitian tersebut memberikan 3 buah persamaan sbb :
4x−10y6z=30 3x5y−7z=15 6x−8y6z=−8 Tugas Anda sebagai programmer adalah membantu peneliti tersebut dengan membuatkan program untuk mencari nilai x, y, dan z. nilai error = 0.01 menggunakan Metode Gauss Seidel.
17
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik
C. PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR SERENTAK
Persamaan Non Linear serentak adalah dua buah persamaan berordo(pangkat) lebih dari satu. Masing masing persamaan memiliki kaitan sehingga penyelesaian persamaan satu dapat digunakan sebagai penyelesaian dalam persamaan yang lainnya. Salah satu metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear serentak adalah Metode Newton Raphson.
METODE NEWTON RAPHSON Metode Newton Raphson ini memiliki proses iterasi yang cepat. Namun hanya terbatas pada persamaan berordo dua atau tiga. Untuk ordo yang lebih besar, persoalan akan menjadi kompleks dikarenakan ada penghitungan determinan matriks ordo tinggi.
Algoritma Newton Raphson 1. Menyelesaikan 2 persamaan Non Linear serentak menjadi :
F x 1 , x 2 =0 dan G x 1 , x 2 =0 2. Mencari nilai fungsi F x 1 , x 2 dan G x 1 , x 2 =0 dan turunan fungsi tersebut terhadap masingmasing variabelnya, yaitu dF /dx 1 , dF/ dx2 , dG/dx 1 , dG/dx 2 pada titik awal 0 0 yang ditentukan yaitu x1 dan x2 .
3. Mencari nilai r 1 dan s 1 ( r 1 dan s 1 adalah deviasi dari nilai x1 dan x2 ), dengan aturan sbb :
∣
r 1=
−F x 1 , x2 −Gx 1 , x2
∣
dF /dx 1 dG /dx 1
∣
dF /dx 2 dG/dx 2
∣
dF /dx 2 dG/dx 2
s 1=
∣
∣
dF /dx 1 −F x1 , x 2 dG/dx 1 −G x1 , x 2
∣
dF /dx 1 dG/ dx1
∣
dF /dx 2 dG /dx 2
kemudian dengan pendekatan didapatkan 18
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik 1
0
1
0
x1 =x 1 r 1
x2 =x 2 s 1 4. melakukan operasi iterasi dengan mengulang langkah kedua sampai didapatkan nilai r dan s nol atau mendekati nol/error.
Contoh : Carilah penyelesaian dari persamaan non linear serentak sbb : x2 x1 =12.6−x 1 e−x
2
4ln x 2x 210.3=3x 1 x 2
Penyelesaiannya adalah : Langkah pertama, menyusun persamaan di atas menjadi bentuk F x 1 , x 2 =0 G x 1 , x 2 =0 yaitu : −x2
F x 1 , x 2 =x1 e
−x2 x1 −12.6=0
G x 1 , x 2 =4ln x 2x 210.3−3x 1 x 2 0 0 Langkah kedua, Mencari nilai fungsi dan turunannya pada x1 dan x2 misalkan ditentukan nilai 0 0 awalnya sebesar x1 =4 dan x2 =3 akan didapatkan : −x2
F x 1 , x 2 =x1 e
−x2 x 1−12.6
F x 1 , x 2 =4exp−3−34−12.6 F x 1 , x 2 =−0.799148273 dan 2
G x 1 , x 2 =4ln x 2 x 10.3−3x 1 x2
19
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik 2
G x 1 , x 2 =4ln34 0.4−3 43
G x 1 , x 2 =−0.090160536 nilai turunannya : −x2
dF /dx 1 =−x 2e
=−3exp−3=2.9590212932
−x2
dF /dx 2 =−x 1−x 1 e
=−4−4exp−3=−4.199148273
dG /dx 1=2x 1−3x2 =24−3 3=2.803847577 dG /dx 2=4/x 2−3x1 /2x 2 =4/3−34/23=−2.130768282 Langkah ketiga, mencari nilai r 1 dan s 1
∣ ∣ ∣ ∣
r 1=
s 1=
∣ ∣ ∣ ∣
−0.799148273 −4.199148273 0.090160536 −2.130768282 −2.950212932 −4.199148273 2.803847577 −2.130768282
=0.115249096
−2.950212932 −0.799148273 2.803847577 0.090160536
−2.950212932−4.1994148273 2.803847577 −2.130768282
=0.109340978
sehingga 1
0
1
0
x1 =x 1 r 1=40.115249096=4.115249096 x2 =x 2 s 1=30.109340978=3.109340978
Langkah keempat, mengulang langkah kedua dan ketiga hingga didapatkan nilai r 1 dan s 1 sama dengan nol. Hasil akhirnya adalah x1 =4.1131531474 dan x2 =3.1080320798
Tugas Anda 1. Buatlah program menggunakan Scilab pada persoalan di atas. 2. Buatlah program untuk menyelesaikan persamaan non linear serentak dari persamaan sbb
20
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik
x1 =2 log x 2 x 1 x 2 dan x1 x2 =e x23−ln x21
21
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik
D. INTERPOLASI
Interpolasi adalah mencari nilai dari suatu fungsi yang tidak diketahui melalui nilainilai fungsi yang diketahui. Dengan kata lain, fungsi tersebut tidak diketahui persamaannya namun yang diketahui hanya nilainya. Misalnya suatu fungsi yang bernilai sbb : x
f(x)
0
0
0.2
0.406
0.4
0.846
0.6
1.386
0.8
2.060
1.0
3.114
1.2
5.114
Kemudian dicari nilai x dimana f(x) = 3.015.
Penyelesaian dari interpolasi dapat menggunakan bantuan Tabel Beda Hingga. Berikut penjelasan mengenai Tabel Beda Hingga.
Tabel Beda Hingga dari kasus di atas jika dibuat tabel beda hingga sbb : x 0.0
f(x) 0.000
0.2
0.406
∆f(x)
∆f(x)2 ∆f(x)3 ∆f(x)4 ∆f(x)5 ∆f(x)6
0.406 0.034 0.440 0.4
0.846
0.048 0.082
0.552 0.6
1.368
0.170 0.692
0.8
2.060
0.361
22
1.2
3.114
0.254 0.318
0.422 0.614
0.976 2.030
5.144
0.064 0.104
0.192
1.054 1.0
0.040 0.088
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik
1. INTERPOLASI METODE NEWTON GREGORY FORWARD (NGF) Interpolasi metode NewtonGregory Forward adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi dengan menggunakan persamaan sbb : f x s= f 0 s f 0 s
s−1 2 s s−1s−2 3 s s−1s−2... s−n1 n f 0 f 0... f0 2! 3! n!
persamaan 1.D dimana s=
x s−x 0 dan f 0 didapatkan melalui Tabel Beda Hingga. h
Metode ini memiliki keterbatasan antara lain : 1. Hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi equispaced. ( x1 −x 0 =x 2−x 1=x 3−x 2=...=x n−x n−1 =konstan atau h = konstan) 2. Hanya cocok untuk menyelesaikan persoalan interpolasi untuk nilai xs terletak di dekat nilai awal x1 dan x0 (nilai errornya kecil). 3. Tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan interpolasi balik (invers interpolation). Namun metode ini sangat efektif digunakan untuk mencari nilai f(x) di sekitar titik awal.
Algoritma NGF Langkah pertama, mencari nilainilai beda hingga dari f(x) dengan bantuan Tabel Beda Hingga. Langkah kedua, mencari nilai s dan nilai fungsi f(xs) dengan persamaan 1.D.
Contoh : Carilah nilai dari f(xs) dengan xs = 1.03 menggunakan metode NGF. 23
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik n
x
f(x)
0
1.0
1.449
1
1.3
2.060
2
1.6
2.645
3
1.9
3.216
4
2.2
3.779
5
2.5
4.338
6
2.8
4.898
Penyelesaian : Langkah pertama, mencari nilainilai beda hingga dari data yang diberikan. s x 0 1
f(x)
1.45
1 1.3 2.06 2 1.6 2.65 3 1.9 3.22 4 2.2 3.78 5 2.5 4.34 6 2.8 4.9
∆f(x)
∆f(x)2
∆f(x)3 ∆f(x)4
∆f(x)5 ∆f(x)6
0.611 -0.026 0.585
0.012 -0.014
0.571
-0.006 0.006
-0.008 0.563
0.004 -0.002
0.004 -0.004
0.559
-0.001 0.003
0.001 0.005
0.001 0.560
Langkah kedua, mencari nilai s dengan persamaan 1D. s=
x s−x 0 1.03−1 = =0.1 h 1.3−1
2 3 dengan bantuan tabel didapatkan f 0=0.611 ; f 0 =−0.026 ; f 0 =0.012 ;
4 f 0=0.006 ; 5 f 0 =0.004 ; 6 f 0=−0.001 sehingga :
24
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik f x s= f 0 s f 0
s s−1 2 s s−1 s−2 3 f 0 f 0 2! 3!
s s−1s−2 s−3 4 s s−1s−2 s−3 s−4 5 f 0 f0 4! 5!
s s−1s−2 s−3 s−4s−5 6 f 0=1.5118136 6!
Tugas Anda 1. Buatlah program menggunakan Scilab dari persoalan di atas. 2. Buatlah program untuk mendapatkan nilai f(x) dimana x = 2.09 menggunakan NGF
25
n
x
f(x)
0
1.0
4.90
1
1.25
5.00
2
1.5
5.243
3
1.75
5.467
4
2.0
5.689
5
2.25
5.887
6
2.5
6.03
7
2.75
6.288
8
3
6.489
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik 2. INTERPOLASI METODE STIRLING Interpolasi Metode Stirling adalah metode penyelesaian interpolasi menggunakan persamaan sbb :
∣ ∣∣∣
f −1 f 0 f x s= f 0 s 2 1
∣∣
∣ ∣∣ ∣
s1 s s2 s1 3 3 f f 2 2 2 4 4 −2 −1 f −1 s1 4 f −2 2 2 2 3
∣ ∣
∣ ∣∣ ∣
s3 s2 6 s2 f −3 f −2 6 6 f −3... persamaan 2.D 2 2 5
∣ ∣
5
5
dimana : s= dan
x s−x 0 h
∣sk j∣= s js j−1s j−2k!s j−3... s j−k1
Keuntungan dari metode ini adalah jika nilai f(x) yang dicari berada di sekitar nilai tengah maka nilai errornya kecil.
Algoritma Stirling Langkah pertama, mencari nilai beda hingga dan membuat Tabel Beda Hingga. Langkah kedua, mencari nilai s dan mencari nilai f(xs) dengan persamaan 2D.
Contoh Carilah nilai f(xs) pada xs = 1.87 dengan Metode Stirling
26
n
x
f(x)
3
1.0
1.449
2
1.3
2.060
1
1.6
2.645
0
1.9
3.216 Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik 1
2.2
3.779
2
2.5
4.338
3
2.8
4.898
Penyelesaian : Langkah pertama, mencari nilai beda hingga dari data di atas. s x -3 1
f(x)
1.45
-2 1.3 2.06 -1 1.6 2.65 0 1.9 3.22 1 2.2 3.78 2 2.5 4.34 3 2.8 4.9
∆f(x)2
∆f(x)
∆f(x)3 ∆f(x)4
∆f(x)5 ∆f(x)6
0.611 -0.026 0.585
0.012 -0.014
0.571
-0.006 0.006
-0.008 0.563
0.004 -0.002
0.004 -0.004
0.559
-0.001 0.003
0.001 0.005
0.001 0.560
Langkah kedua, mencari nilai s dan f(xs) s=
x s−x 0 1.87−1.9 = =−0.1 h 1.3−1
2 dari tabel beda hingga diketahui f −1=0.571 ; f 0=0.563 ; f −1 =−0.008 ;
3 f −2=0.006 ; 3 f −1 =0.004 ;4 F −2 =−0.002 ; 5 f −3=0.004 ; 5
6
f −1=0.003 ; f −3 =−0.001 sehingga f −1 f 0 f x5 = f 0 1 2 5
∣∣ ∣∣ ∣ ∣
∣ ∣∣∣
51 5 3 3 f −2 f −1 2 2 2 f −1 51 2 2 3
∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣
52 51 51 52 5 5 f f 4 4 6 6 −3 −2 4 6 f −2 52 f −3=3.159402 2 2 2 5
27
∣ ∣
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik jadi f(1.87) = 3.159402
Tugas Anda 1. Buatlah program menggunakan Scilab dari implementasi permasalahan di atas. 2. Buatlah program untuk mendapatkan nilai f(x) dimana x = 1.89 menggunakan Metode Stirling
28
n
x
f(x)
0
1.0
4.90
1
1.25
5.00
2
1.5
5.243
3
1.75
5.467
4
2.0
5.689
5
2.25
5.887
6
2.5
6.03
7
2.75
6.288
8
3
6.489
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik 3. Interpolasi Metode Lagrange
Interpolasi Lagrange memiliki penyelesaian dengan persamaan sbb : f x=
x−x 1 x−x2 x−x 3 ... x−x n f x 0−x1 x0 −x2 x0 −x3 ... x 0−x n 0 x−x0 x−x2 x−x 3 ... x−x n f x1 −x0 x1 −x2 x1 −x 3 ... x 1−x n 1 x−x0 x−x1 x−x 3 ... x−x n f x2 −x0 x2 −x1 x2 −x 3 ... x 2−x n 2 x−x0 x−x 1 x−x 2 ... x−xn f x3 −x1 x3 −x 2 x3 −x 3 ... x 3−x n 3 ...
x−x 1 x−x 2 x−x 3 ... x−xn−1 f ......persamaan 3.D x n −x 1 x n −x 2 x n −x 3 ... x n−x n−1 n
Kelebihan dari metode Lagrange adalah : 1. Interpolasi Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan interpolasi equispaced (h = konstan) atau non equispaced (h= todak konstan). 2. Metode Lagrange dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus interpolasi dan invers interpolasi (interpolasi balik). 3. Metode Lagrange dapat digunakan untuk mencari nilai fungsi yang variabelnya terletak di daerah awal, akhir, maupun tengah. 4. Tidak membutuhkan tabel beda hingga dalam proses penyelesaiannya sehingga penyelesaian persoalaan lebih mudah.
Contoh : Carilah nilai dari f(x) pada x = 1.03 dengan tabel sbb : n 29
x
f(x) Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik 0
1.0
0.000
1
1.2
0.2625
2
1.5
0.9123
3
1.9
2.3170
4
2.1
3.2719
5
2.5
5.7268
6
3.0
9.8875
Penyelesaian : f x=
x−x 1 x−x2 x−x3 x−x 4 x−x 5 x−x 6 f x 0−x1 x0 −x2 x0 −x3 x0 −x 4 x0 −x 5 x 0 −x 6 0 x−x0 x−x2 x−x 3 x−x 4 x−x 5 x−x6 f x1 −x0 x1 −x 2 x1 −x 3 x 1−x 4 x 1 −x 5 x 1−x 6 1 x−x0 x−x1 x−x 3 x−x 4 x−x 5 x−x6 f x2 −x0 x2 −x 1 x2 −x 3 x 2−x 4 x 2 −x 5 x 2−x 6 2 x−x0 x−x1 x−x 2 x−x 4 x−x 5 x−x6 f x3 −x0 x3 −x 1 x3 −x 2 x 3−x 4 x 3 −x 5 x 3−x 6 3 x−x 0 x−x 1 x−x2 x−x3 x−x 5 x−x 6 f x 4−x0 x 4−x1 x 4−x2 x 4−x 3 x 4−x 5 x 4−x 6 4 x−x0 x−x1 x−x 2 x−x 3 x−x 4 x−x6 f x5 −x0 x5 −x 1 x5 −x 2 x 5−x 3 x 5−x 4 x 5−x 6 5 x−x0 x−x1 x−x 2 x−x 3 x−x 4 x−x5 f x6 −x0 x6 −x 1 x6 −x 2 x 6−x 3 x 6−x 4 x 6−x 5 6 =0.031352
Tugas Anda : 1. Buatlah implementasi program dengan Scilab dari persoalan di atas. 2. Carilah nilai f(x) dengan x = 2.39 30
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik
31
n
x
f(x)
0
1.0
4.90
1
1.3
5.00
2
1.5
5.243
3
1.75
5.467
4
2.0
5.689
5
2.4
5.887
6
2.5
6.03
7
2.75
6.288
8
3
6.489
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik
E. INTEGRASI NUMERIK
1. Integrasi Numerik Metode Trapzoida Integrasi numerik adalah proses menyelesaikan nilai dari suatu integral f(x) pada batas tertentu ( x=x 0−x n ) dengan menggunakan persamaan 1.E untuk non equispaced dan 2.E untuk equispaced.
∫ f x dx=
x 1−x0 x −x x −x f 1 f 0 2 1 f 2 f 1 ... n n−1 f n f n−1 ........1.E 2 2 2
∫ f x dx= h2 [ f 0 2 f 1 f 2 f 3...f n−1 f n ]........2.E dimana h=x 1−x 0=x 2−x 1=... dst
Contoh : Carilah nilai integral dengan batas x = 1.0 sampai x = 2.8 dari tabel di bawah ini dengan Metode Trapzoida. n
x
f(x)
0
1.0
1.449
1
1.3
2.060
2
1.6
2.645
3
1.9
3.216
4
2.2
3.779
5
2.5
4.338
6
2.8
4.898
Penyelesaian : Dari tabel di atas diketahui bahwa persamaan yang digunakan adalah equispaced (persamaan 2.E)
∫ f x dx= h2 [ f 0 2 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 ] 32
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik =
1.3−1.0 1.44922.0602.6453.2163.7794.3384.898 2
=5.76345 Tugas Anda : 1. Buatlah program implementasi dari penyelesaian persoalan di atas dengan Scilab dan Metode Trapzoida. 2. Carilah nilai dari integral dari x = 1.0 hingga x = 3 dengan Metode Trapzoida dari tabel berikut :
33
n
x
f(x)
0
1.0
4.90
1
1.3
5.00
2
1.5
5.243
3
1.75
5.467
4
2.0
5.689
5
2.4
5.887
6
2.5
6.03
7
2.75
6.288
8
3
6.489
Lab Komputer Dasar
Modul Praktikum Metode Numerik
Modul ini disadur dari :
34
•
Munif, Abdul, Metode Numerik
•
ANU Computational Teaching Modules, Scilab Tutorials
Lab Komputer Dasar
