Laplace Transform Pengantar Matematika Teknik Kimia
Muthia Elma
Penemu Pierre-Simon LAPLACE 1749 – 1827 Ahli Matematika dari Perancis
Laplace Transform
Rumus lain….. ∞
X ( s ) = ∫ x(t ).e − st dt 0
σ + j∞
1 st x(t ) = X ( s ). e ds ∫ 2πj σ − j∞ s = σ + jω
• X(s) = [x(t)] • x(t) = -1[X(s)]
Konsep variabel kompleks •
Variabel kompleks « s » mempunyai dua komponen : 1. Komponen nyata « s » 2. Komponen khayal « ω »
Secara grafis….. • Komponen nyata « s » dinyatakan dengan sumbu s pada arah horizontal • Komponen khayal di ukur sepanjang sumbu vertikal ω
Perhatikan gambar berikut
Gambar bidang kompleks « s »
• Gambar diatas menggambarkan bidang kompleks s pada titik sembarang s = s1 yang ditentukan oleh koordinat = 1 atau ω = ω1 • Secara sederhana s1 =
1
+ j ω1
• Fungsi G(x) merupakan fungsi variabel kompleks s, jika setiap nilai s terdapat satu atau lebih nilai G(x) • Karena s memiliki bagian yang nyata dan khayal, maka fungsi G(s) juga dikatakan bagian yang nyata dan khayal
G(s)=Re G(s) + j Im G(s) Re G(s) : bagian nyata dari G(s) Im G(s) : bagian khayal dari G(s)
Pemetaan nilai tunggal dari bidang s ke bidang G(s)
Teorema Laplace • Penggunaan transformasi Laplace dalam berbagai hal disederhanakan dengan memanfaatkan sifat-sifat trans-j formasi. • Sifat-sifat ini dinyatakan dengan teorema berikut, dengan tidak memberikan bukti.
Teorema 1. Perkalian dengan suatu Konstanta
• Misal k adalah suatu konstanta dan F(s) adalah transformasi Laplace dari f(f).
Teorema 2. Penjumlahan dan Pengurangan
Teorema 3. Diferensiasi • Misal F(s) adalah transformasi Laplace dari f(t) dan f(O) adalah limit dari f(t) dengant mendekati 0. • Tranformasi Laplace dari turunan f(t) terhadap waktu adalah
Bentuk umum untuk turunan berorde lebih tinggi dari f(t),
Teorema 4. Integrasi • Transformasi Laplace dari intergral pertama f(t) terhadap waktu adalah transformasi Laplace dari f(f) dibagi dengan s; yaitu,
Untuk integrasi orde ke n,
Teorema 5. Pergeseran terhadap Waktu
• Transformasi Laplace dari f(f) yang ditunda dengan waktu T adalah sama dengan transformasi Lapace f(f) dikalikan dengan e-Ts;
• Dengan us(t-T) menyatakan fungsi undak satuan yang digeser terhadap waktu ke kanan sebesar T.
Teorema 6. Teorema nilai awal • Jika transformasi laplace f(t) adalah F(s), dan jika limitnya ada
Teorema 7. Teorema nilai akhir. • Jika transformasi (t) adalah F(s), dan sF(s) analitis pada sumbu khayal dan berada pada bagian kanan bidang s,
Teorema 8. Pergeseran Kompleks • Transformasi Laplace dari f(t) yang dikalikan dengan e±ar, dengan a merupakan suatu konstanta, akan sama dengan transformasi Laplace, dengan s diganti oleh s
Teorema 9. Konvolusi Nyata (Perkalian Kompleks)
• Misal F1(s) dan F2(s) adalah transformasi Laplace dari /j(t) dan/2(f), dan /1(t) = 0, • /2(t) = 0, untuk t < 0 ,
Transformasi Laplace x(t)
X(s)
ROC
(t)
1
Semua s
u(t) tn
Re(s)>0 Re(s)>0
u(t)
e-at u(t) u(t) Cos u(t) Sin
Re(s)+Re(a)>0 0t
0t
Re(s)>0 Re(s)>0
Sifat-sifat Transformasi Laplace Sifat
x(t)
X(s)
Kelinearan
a x(t) + b y(t)
a X(s) + b Y(s)
Penskalaan
x(at)
Geseran waktu
x(t-a)
e-sa X(s)
Geseran frekuensi
e-at x(t)
X(s+a)
Konvolusi waktu
x(t) * y(t)
X(s) Y(s)
Sifat-sifat Transformasi Laplace Sifat Konvolusi frekuensi (modulasi) Diferensiasi frekuensi Diferensiasi waktu
x(t)
X(s)
x(t) y(t) (-t)n x(t)
Untuk TL dua sisi
Sifat-sifat Transformasi Laplace Sifat Integrasi waktu
Teorema nilai awal Teorema nilai akhir
x(t)
X(s)
Pecahan Parsial X(s) • Jika X(s) berbentuk pecahan parsial yang pembilang dan penyebutnya berbentuk polinomial
P( s) X ( s) = Q( s) • Derajat P(s) < derajat Q(s)
Pecahan Parsial X(s) • Akar-akar Q(s) berbeda, tidak ada yang sama P( s) X ( s) = ( s + p1 )( s + p2 )...( s + pn ) An A1 A2 X ( s) = ... + ( s + p1 ) ( s + p2 ) ( s + pn ) Ak = lim ( s + pk ). X ( s ) s → − pk
k = 1,2,...n x(t) menjadi : x(t ) = A1e − p1t + A2 e − p2t + ... + An e − pnt
Pecahan Parsial X(s) • Jika pi = pk*, maka penyelesaian dapat diselesaikan secara khusus yang menghasilkan x(t) merupakan fungsi Cosinus dan Sinus
Pecahan Parsial X(s) • Q(s) mempunyai akar rangkap X ( s) =
P( s) ( s + p1 ) r ( s + p2 )...(s + pn )
A11 A12 A1r + + ... + X ( s) = 2 ( s + p1 ) ( s + p1 ) ( s + p1 ) r An A2 + + ... + ( s + p2 ) ( s + pn ) Ak = lim ( s + pk ). X ( s) s → − pk
1 d r −l r + Akl = lim ( s p ) . X ( s ) k s = − pk (r − l )! ds r −l s →− pk
Transformasi Laplace s+4 ( s + 1)( s + 2)( s + 3) A A A X (s) = 1 + 2 + 3 s +1 s + 2 s + 3 s+4 3 = A1 = ( s + 2)( s + 3) s = −1 2
• Contoh soal X ( s) =
A2 =
s+4 = −2 ( s + 1)( s + 3) s = −2
A3 =
s+4 1 = ( s + 1)( s + 2) s = −3 2
1 2 − + 2 X (s) = s +1 s + 2 s + 3 x(t ) = 32 e −t − 2e − 2t + 12 e −3t 3
t >0
2
Contoh soal..... 1 s ( s 2 + 2 s + 2) A s + A3 A X ( s) = 1 + 2 2 s s + 2s + 2 A1 ( s 2 + 2 s + 2) + s ( A2 s + A3 ) X ( s) = s ( s 2 + 2 s + 2) X ( s) =
( A1 + A2 ) s 2 + (2 A1 + A3 ) s + 2 A1 X ( s) = s ( s 2 + 2 s + 2) 1 A1 = 2 1 A2 = − 2 A3 = −1
Transformasi Laplace s +1 X (s) = − 2 s s + 2s + 2 1 1 s+2 2 X (s) = − s 2 ( s + 1) 2 + 12 1 1 s +1 1 1 2 X (s) = − − 2 2 s 2 ( s + 1) + 1 2 ( s + 1) 2 + 12 1
2
1 2
x(t ) = 12 − 12 e −t Cos (t ) − 12 e −t Sin(t ) t >0
Transformasi Laplace X (s) =
s ( s + 1)( s + 2) 2
X (s) =
A1 A A12 + 11 + s + 1 s + 2 ( s + 2) 2
A1 =
s = −1 ( s + 2) 2 s = −1
A11 =
1 d s 1 = =1 ( 2 − 1)! ds s + 1 s = −2 ( s + 1) 2 s = −2
A12 =
1 s =2 ( 2 − 2)! s + 1 s = −2
X (s) =
1 2 −1 + + s + 1 s + 2 ( s + 2) 2
x (t ) = −e −t + e −2t + 2te − 2t t>0
Transformasi Laplace ••
•
•
y + 7 y + 10 y = x + 3 x
dengan −t
x(t ) = e , t > 0 −
y (0 ) = 1 •
−
y (0 ) =
1 2
[
]
. 2 − − − − − − + − + = − s Y ( s ) sy ( 0 ) y ( 0 ) 7 sY ( s ) y ( 0 ) 10 Y ( s ) sX ( s ) x ( 0 ) + 3X (s) walaupun x(0+ ) = e0 = 1, x(0− ) = 0 karena belum ada masukan
[s Y (s) − s − ]+ 7[sY(s) −1] +10Y (s) = sX (s) + 3X (s) (s + 7s +10)Y (s) − s − 7 = (s + 3)X (s) (s + 7s +10)Y (s) − s − 7 = (s + 3) s 1+1 2
1 2
2
1 2
2
1 2
Y (s) =
( s +3) ( s +1) 2
+ s + 152
s + 7s +10 s + 152 (s + 3) + 2 Y (s) = 2 (s +1)(s + 7s +10) (s + 7s +10) s + 152 (s + 3) + Y (s) = (s +1)(s + 2)(s + 5) (s + 2)(s + 5) 5 12 − 13 − 16 112 + + + + 2 Y (s) = (s +1) (s + 2) (s + 5) (s + 2) (s + 5) y(t ) = 12 e−t − 13 e−t − 16 e−t + 112 e−t + 52 e−t
