LAMPIRAN
122
LAMPIRAN A Data Hasil Tahap Analysis dan Design
A.1.
Hasil Perumusan Indikator Pencapaian Kompetensi dan Tujuan Pembelajaran.
A.2.
Hasil Analisis Konsep
A.3.
Hasil Penyusunan Peta Kebutuhan LKS
123
Lampiran A.1 Hasil Perumusan Hasil Perumusan Indikator Pencapaian Kompetensi dan Tujuan Pembelajaran Indikator dan Tujuan Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi Tujuan Pembelajaran Pembelajaran 4.1 Memahami 4.1.1 Menjelaskan arti dan contoh dari pernyataan Siswa dapat menjelaskan arti dan contoh dari pernyataan dalam serta menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan dan kalimat terbuka, serta menentukan matematika dan pernyataan. nilai kebenaran suatu pernyataan. ingkaran atau 4.1.2 Menjelaskan arti dan contoh kalimat terbuka Siswa dapat menjelaskan arti dan contoh kalimat negasinya serta menentukan himpunan penyelesaiannya. terbuka serta menentukan himpunan penyelesaiannya. 4.1.3 Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu Siswa dapat menentukan ingkaran atau negasi dari pernyataan beserta nilai kebenarannya. suatu pernyataan beserta nilai kebenarannya. 4.2 Menentukan nilai 4.2.1 Menentukan nilai kebenaran dari suatu Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu kebenaran dari pernyataan majemuk berbentuk konjungsi. pernyataan majemuk berbentuk konjungsi. suatu pernyataan 4.2.2 Menentukan nilai kebenaran dari suatu Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu majemuk dan pernyataan majemuk berbentuk disjungsi. pernyataan majemuk berbentuk disjungsi. pernyataan 4.2.3 Menentukan nilai kebenaran dari suatu Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu berkuantor pernyataan majemuk berbentuk implikasi. pernyataan majemuk berbentuk implikasi. 4.2.4 Menentukan nilai kebenaran dari suatu Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk biimplikasi. pernyataan majemuk berbentuk biimplikasi. 4.2.5 Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu Siswa dapat menentukan ingkaran atau negasi dari pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. 4.2.6 Menentukan konvers, invers, dan kontraposisi Siswa dapat menentukan konvers, invers, dan dari pernyataan berbentuk implikasi beserta kontraposisi dari pernyataan berbentuk implikasi nilai kebenarannya. beserta nilai kebenarannya. 4.2.7 Menentukan nilai kebenaran dari suatu Siswa dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan berkuantor. pernyataan berkuantor. 124
4.3 Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. 4.4 Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah.
4.2.8 Menentukan ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor. 4.3.1 Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk. 4.3.2 Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan berkuantor. 4.3.3 Menyelidiki apakah suatu pernyataan majemuk merupakan suatu tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi. 4.4.1 Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus ponens. 4.4.2 Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus tolens. 4.4.3 Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip silogisme. 4.4.4 Memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika. 4.4.5 Membuktikan sebuah persamaan pernyataan dengan bukti langsung. 4.4.6 Membuktikan sebuah persamaan pernyataan dengan bukti tak langsung. 4.4.7 Membuktikan sebuah persamaan pernyataan dengan induksi matematika.
125
atau atau atau
Siswa dapat menentukan ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor. Siswa dapat memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk. Siswa dapat memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan berkuantor. Siswa dapat menyelidiki apakah suatu pernyataan majemuk merupakan suatu tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi. Siswa dapat menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus ponens. Siswa dapat menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus tolens. Siswa dapat menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan silogisme. Siswa dapat memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika. Siswa dapat membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan bukti langsung. Siswa dapat membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan bukti tak langsung. Siswa dapat membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan induksi matematika.
Hasil Analisis Konsep
Lampiran A.2 Hasil Analisis Konsep
Pernyataan Kalimat Terbuka Pernyataan
Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan tian Negasi Suatu Pernyataan Konjungsi Nilai Kebenaran dan Negasi dari Pernyataan Majemuk
Pernyataan Majemuk L O G I K A
Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Disjungsi Implikasi Biimplikasi
Tautologi dan Kontradiksi Pernyataan Berkuantor
Nilai Kebenaran dan Negasi dari Pernyataan Berkuantor
Universal Ekstensial
Pernyataan Majemuk Ekuivalensi Pernyataan Berkuantor
Modus ponens Penarikan Kesimpulan
Modus tolens Silogisme Bukti Langsung
Penyusunan Bukti
Bukti Tak Langsung Induksi Matematika
126
Lampiran A.3. Hasil Hasil Penyusunan Peta Kebutuhan LKS Penyusunan Peta Kebutuhan LKS Kompetensi Dasar Materi LKS
4.1 Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya
1. Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat terbuka, dan ingkaran.
4.2 Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.
2. Disjungsi dan Konjungsi
4.3 Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan.
4. Ekuivalensi dan negasi dari pernyataan majemuk, serta Konvers, Invers, dan Kontraposisi 5.
3. Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi
5. Pernyataan Berkuantor 4.4 Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah.
6. Penarikan Kesimpulan
7. Penyusunan Bukti (Pengayaan)
127
LAMPIRAN B Data Hasil Penelitian B.1.
Data Hasil Penilaian RPP oleh Ahli Materi dan Guru Matematika
B.2.
Data Hasil Penilaian LKS oleh Ahli Materi dan Guru Matematika
B.3.
Data Hasil Penilaian LKS oleh Ahli Media dan Guru Matematika
B.4.
Data Hasil Perhitungan Kualitas Perangkat Pembelajaran (RPP dan LKS)
B.5.
Data Hasil Angket Respon Guru
B.6.
Data Hasil Angket Respon Siswa
B.7.
Data Hasil Observasi Keterlaksanaan Pembelajaran
B.8.
Data Hasil Tes Hasil Belajar Siswa
128
Lampiran B.1 Data Hasil Penilaian RPP oleh Ahli Data Hasil Penilaian RPP dengan Pendekatan Kontekstual pada Materi Materi dan Logika untuk SMA Kelas X oleh Ahli Materi dan Guru Guru Penilai RataRataAspek No Matematika rata tiap Kriteria rata Kriteria Ahli Penilaian Butir Guru Aspek total Materi 1 5 5 2 5 5 3 5 5 Identitas Mata Sangat 4 5 5 4.93 Pelajaran Baik 5 5 5 6 5 5 7 5 4 8 4 4 Alokasi Waktu 4 Baik 9 4 4 10 5 4 Tujuan Sangat 11 5 4 4.5 Pembelajaran Baik 12 5 4 13 4 5 Pemilihan 14 4 4 4.17 Baik Materi 15 4 4 16 4 4 Pemilihan 17 4 4 Pendekatan dan 18 4 4 4 Baik metode 19 4 4 Pembelajaran 20 4 4 Sangat 4.29 21 5 4 Baik 22 5 4 23 5 4 24 5 4 25 4 5 Kegiatan 26 5 4 Pembelajaran dengan 27 4 3 4.19 Baik Pendekatan 28 5 4 Kontekstual 29 4 3 30 4 4 31 4 4 32 4 4 33 4 4 34 4 5 Pemilihan Sangat 4.5 Sumber Belajar Baik 35 4 5 36 4 4 37 4 4 Penilaian Hasil 38 4 4 4 Baik Belajar 39 4 4 40 4 4 129
Lampiran B.2 Data Hasil Penilaian LKS Data Hasil Penilaian LKS dengan Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk SMA Kelas X oleh Ahli Materi dan Guru oleh Ahli Materi dan Guru Matematika Penilaiai
RataRataAspek No rata Kriteria rata Kriteria Ahli Penilaian Butir Guru tiap total Materi Aspek 1 4 4 2 5 4 Kompetensi 4.13 Baik 3 4 4 4 4 4 5 4 5 6 4 5 7 4 4 Sangat Isi Materi 8 4 4 4.29 Baik 9 5 4 4.02 Baik 10 5 4 11 4 4 12 4 4 13 4 4 Kesesuaian 14 4 4 LKS dengan 15 4 3 3.64 Baik Pendekatan 16 4 3 Kontekstual 17 4 4 18 4 4
130
Lampiran B.3 Data Hasil Penilaian LKS Data Hasil Penilaian LKS dengan Pendekatan Kontekstual pada Materi oleh Ahli Logika untuk SMA Kelas X oleh Ahli Media dan Guru Media dan Guru Matematika Penilaiai RataRataAspek No rata Kriteria rata Kriteria Ahli Penilaian Butir Guru tiap total Media Aspek 1 5 4 2 4 4 3 4 4 Sangat Bahasa 4.25 Baik 4 4 4 5 5 4 6 5 4 7 5 4 8 5 4 9 4 4 Penyajian Sangat 4.42 Materi Baik 10 5 4 11 5 4 Sangat 12 5 4 4,28 Baik 13 5 4 14 4 4 15 5 4 16 4 4 17 5 4 Kegrafikan 18 4 4 4.18 Baik 19 4 4 20 4 4 21 5 4 22 4 3 23 5 4
131
Lampiran B.4 Data Hasil Perhitungan Data Hasil Perhitungan Kualitas Perangkat Pembelajaran dengan Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika Kualitas untuk SMA Kelas X Perangkat 1. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Pembelajaran Aspek Penilaian Rata-rata tiap Kriteria Rata-rata Kriteria Aspek total Identitas Mata Pelajaran 4.93 Sangat Baik Alokasi Waktu 4 Baik Tujuan Pembelajaran 4.5 Sangat Baik Pemilihan Materi 4.17 Baik Sangat Pemilihan Pendekatan dan metode Pembelajaran 4 Baik 4.29 Baik Kegiatan Pembelajaran dengan Pendekatan 4.19 Baik Kontekstual Pemilihan Sumber Belajar 4.5 Sangat Baik Penilaian Hasil Belajar 4 Baik 2. Lembar Kegiatan Siswa (LKS) Aspek Penilaian
Rata-rata tiap Aspek
Kriteria
4.13 4.29 3.64 4.25 4.42 4.18
Baik Sangat Baik Baik Sangat Baik Sangat Baik Baik
Kompetensi Isi Materi Kesesuaian LKS dengan Pendekatan Kontekstual Bahasa Penyajian Materi Kegrafikan 132
Rata-rata total
Kriteria
4.15
Baik
Lampiran B.5 Data Hasil Angket Data Hasil Angket Respon Guru terhadap Perangkat Pembelajaran dengan Respon Guru Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk SMA Kelas X
Aspek Penilaian
Penyajian Materi
Pendekatan kontekstual
RPP
LKS
Nomor Butir
Skor
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
5 5 5 5 4 4 5 5 4 5 5 5 5 5 3 5 5 5 4 4 4 4 5 5 5
Skor Rata-rata
133
Skor Ratarata tiap Aspek
Klasifikasi
5
Sangat Baik
4.57
Sangat Baik
4.6
Sangat Baik
4.6
Sangat Baik
4.69
Sangat Baik
Lampiran B.6 Data Hasil Angket Data Hasil Angket Respon Siswa terhadap LKS dengan Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk SMA Respon Kelas XSiswa
Siswa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
1 5 4 5 4 4 5 4 4 5 4 4 3 4 4 3 5 4 4 4
Pendekatan Kontekstual 2 3 4 5 5 5 5 5 4 4 4 4 5 4 4 4 4 4 4 4 5 4 4 5 5 5 4 5 4 4 4 4 5 4 5 5 4 4 5 3 5 5 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 5 5 4 4 5 5 4 4 3 4 5 4 4 4 4 4 4 5 4 3 4 4 4 4 3 4
6 5 4 4 4 4 5 5 4 4 5 4 4 4 4 3 4 5 4 3
7 5 3 5 4 3 4 4 5 4 5 4 3 4 4 4 5 4 4 4
Butir Pernyataan Keterbantuan 8 9 10 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 4 5 5 4 5 4 4 5 5 5 5 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4 3 3 4 5 4 5 5 4 5 4 4 4 4 4 4 134
Kemudahan 11 12 13 5 5 5 4 3 3 4 4 3 3 3 3 4 3 3 5 3 3 4 2 5 4 5 5 4 4 3 4 3 3 4 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 4 3 2 4 3 4 4 3 3 4 4 3
Kemenarikan 14 15 16 5 5 5 4 3 4 4 3 4 4 4 4 4 4 5 4 5 5 5 4 5 5 4 4 4 4 4 4 3 4 5 4 5 4 4 4 3 3 4 3 4 4 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 4
20 21 22 23 24 Rata-rata tiap Butir Rata-rata tiap Aspek Klasifikasi Rata-rata Keseluruhan Klasifikasi Keseluruhan
5 5 4 4 3
5 5 4 5 4
4 4 4 5 3
4 5 4 5 3
5 5 4 5 4
4 4 4 5 4
5 4 4 5 4
4 5 5 5 4
4 4 4 4 3
4 5 4 4 3
4 4 4 5 4
2 5 4 3 4
2 3 4 3 3
4 4 4 5 5
5 4 4 5 4
5 5 4 5 4
4.17
4.42
4.04
4.17
4.42
4.17
4.17
4.42
4.08
4.17
3.92
3.38
3.08
4.08
3.92
4.92
4.23
4.21
3.46
4.1
Sangat Baik
Sangat Baik
Baik
Baik
4 Baik
135
Data Hasil Observasi Keterlaksanaan Pembelajaran No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Total Persentase (%) Persentase Rata-rata (%) Kriteria
1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 21
2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22
91.30
95.65
Pertemuan ke3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 22 21 19 95.65
91.30
82.61
92.55 Sangat Baik
136
6 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 21 91.30
Lampiran B.7 Data Hasil Observasi Keterlaksanaa n Pembelajaran 7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 23 100
Data Tes Hasil Belajar Siswa No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Skor Objektif Uraian ANS 48 27 ANP 36 39 AP 36 30 DIP 48 38 ER 36 40 ED 44 31 GMP 56 35 H 36 33 MF 52 32 MWP 36 40 MN 36 40 NR 40 37 RPD 36 40 RK 52 38 RS 32 37 RN 44 39 RDA 44 40 RCIR 52 38 SDM 52 38 TRR 48 37 TO 28 40 VHP 56 37 WM 44 38 ZAP 36 27 Rata-rata Persentase Kelulusan Kriteria Keefektifan Nama
137
Lampiran B.8 Data Hasil Tes Hasil Belajar Siswa
Nilai
Keterangan
75 76 66 86 76 75 91 69 84 76 76 77 76 90 69 83 84 90 90 85 68 93 82 63
TUNTAS TUNTAS TIDAK TUNTAS TUNTAS TUNTAS TUNTAS TUNTAS TIDAK TUNTAS TUNTAS TUNTAS TUNTAS TUNTAS TUNTAS TUNTAS TIDAK TUNTAS TUNTAS TUNTAS TUNTAS TUNTAS TUNTAS TIDAK TUNTAS TUNTAS TUNTAS TIDAK TUNTAS 79.17 79.17 % Efektif
LAMPIRAN C Instrumen Penilaian Kualitas Perangkat Pembelajaran (RPP dan LKS) C.1.
Kisi-kisi Instrumen Penilaian RPP
C.2.
Deskripsi Komponen Instrumen Penilaian RPP
C.3.
Lembar Penilaian RPP
C.4.
Kisi-kisi Instrumen Penilaian LKS C.4.a. Kisi-kisi Instrumen Penilaian LKS oleh Ahli Materi C.4.b. Kisi-kisi Instrumen Penilaian LKS oleh Ahli Media C.4.c. Kisi-kisi Instrumen Penilaian LKS oleh Guru Matematika
C.5.
Deskripsi Komponen Instrumen Penilaian LKS
C.6.
Lembar Penilaian LKS
C.7.
Kisi-kisi Angket Respon Guru
C.8.
Angket Respon Guru
C.9.
Kisi-kisi Angket Respon Siswa
C.10.
Angket Respon Siswa
C.11.
Lembar Observasi Keterlaksanaan pembelajaran
C.12.
Kisi-kisi Tes Hasil Belajar Siswa
C.13.
Kunci Jawaban dan Rubrik Penilaian Tes Hasil Belajar Siswa
C.14.
Soal Tes Hasil Belajar Siswa
138
KISI-KISI INSTRUMEN PENILAIAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
No Aspek 1 Identitas RPP 2 3
4
5
6
7
8
Alokasi Waktu Rumusan indikator pencapaian kompetensi dan tujuan pembelajaran Pemilihan materi
Pemilihan pendekatan dan metode pembelajaran
Indikator Kejelasan dan kelengkapan identitas RPP Ketepatan alokasi waktu Kesesuaian rumusan indikator pencapaian kompetensi dan tujuan pembelajaran dengan kompetensi dasar (KD) Kesesuaian materi dengan tujuan pembelajaran Kesesuaian materi dengan kemampuan, kebutuhan, dan karakteristik siswa Kesesuaian pendekatan dan metode pembelajaran dengan tujuan pembelajaran
Kesesuaian pendekatan dan metode pembelajaran dengan karakteristik siswa Kegiatan Kesesuaian kegiatan pembelajaran pembelajaran dengan dengan standar proses serta pendekatan komponen pendekatan kontekstual kontekstual. Pemilihan sumber Kesesuaian sumber belajar dengan belajar tujuan pembelajaran dan karakteristik siswa Penilaian hasil belajar Kesesuaian teknik penilaian dengan tujuan pembelajaran Keberadaan dan kejelasan prosedur penilaian Jumlah butir
139
Lampiran C.1 Kisi-kisi Instrumen Penilaian RPP
Nomor Butir 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9 10, 11, 12
13 14, 15
16, 17
18, 19, 20
21-33
34, 35
36, 37, 38 39, 40 40
Lampiran C.2 Deskripsi Komponen DESKRIPSI BUTIR INSTRUMEN PENILAIAN Instrumen RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Penilaian RPP DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK SMA KELAS X
I.
Identitas RPP Butir Penilaian Deskripsi A. Kejelasan dan kelengkapan identitas 1. Pencantuman nama sekolah RPP mencantumkan nama sekolah dengan jelas 2. Pencantuman nama mata RPP mencantumkan nama mata pelajaran pelajaran dengan jelas 3. Pencantuman tingkatan kelas RPP mencantumkan tingkatan kelas dan dan semester semester dengan jelas 4. Pencantuman alokasi RPP mencantumkan alokasi waktu/jumlah waktu/jumlah pertemuan pertemuan sesuai dengan kebutuhan 5. Pencantuman standar RPP mencantumkan standar kompetensi kompetensi (SK) dan (SK) dan kompetensi dasar (KD) dengan kompetensi dasar (KD) jelas 6. Pencantuman indikator dan RPP mencantumkan indikator dan tujuan tujuan pembelajaran pembelajaran dengan jelas 7. Pencantuman materi pokok RPP mencantumkan materi pokok dengan jelas II.
Alokasi Waktu Butir Penilaian B. Ketepatan alokasi waktu 8. Keefektifan waktu yang dialokasikan untuk mencapai tujuan pembelajaran 9. Keefisienan waktu yang dialokasikan untuk mencapai tujuan pembelajaran
Deskripsi
Waktu yang dialokasikan dalam RPP untuk mencapai tujuan pembelajaran efektif Waktu yang dialokasikan dalam RPP sesuai dengan materi yang dipelajari, sehingga menjadi efisien untuk mencapai tujuan pembelajaran III. Rumusan Indikator Pencapaian Kompetensi dan Tujuan Pembelajaran Butir Penilaian Deskripsi C. Kesesuaian rumusan indikator pencapaian kompetensi dan tujuan pembelajaran dengan kompetensi dasar (KD) 10. Perumusan indikator Perumusan indikator pencapaian pencapaian kompetensi dan kompetensi dan tujuan pembelajaran tujuan pembelajaran dilakukan dengan mengacu pada KD yang mengacu pada KD telah diterapkan pemerintah dalam Permendiknas No. 22 Tahun 2006 tentang standar isi. 140
11. Penggunaan kata kerja operasional yang dapat diukur/diamati 12. Keterkaitan dan keterpaduan antara KD dan indicator pencapaian kompetensi serta tujuan pembelajaran
Dalam perumusan indikator pencapaian kompetensi dan tujuan pembelajaran menggunakan kata kerja operasional yang dapat diukur /diamati RPP disusun dengan memperhatikan keterkaitan dan keterpaduan KD, indikator pencapaian kompetensi, dan tujuan pembelajaran.
IV.
Pemilihan materi Butir Penilaian Deskripsi D. Kesesuaian dengan tujuan pembelajaran 13. Kesesuaian materi yang Materi yang disajikan dalam RPP memuat disajikan dengan tujuan fakta, konsep, prinsip, prosedur yang pembelajaran relevan ditulis dalam bentuk butir-butir sesuai dengan tujuan pembelajaran. E. Kesesuaian dengan kemampuan, kebutuhan, dan karakteristik siswa 14. Penyusunan materi yang Materi yang terdapat dalam RPP disusun memperhatikan kemampuan dengan memperhatikan kemampuan dan dan karakteristik siswa karakteristik siswa 15. Penyusunan materi yang Materi yang terdapat dalam RPP disusun sesuai pada kebutuhan siswa dengan menyesuaikan kebutuhan siswa V.
Pemilihan pendekatan dan metode pembelajaran Butir Penilaian Deskripsi F. Kesesuaian pendekatan dan metode pembelajaran dengan tujuan pembelajaran 16. Kesesuaian pendekatan Pendekatan yang digunakan sesuai dengan dengan tujuan pembelajaran tujuan pembelajaran 17. Kesesuaian metode Metode yang digunakan sesuai dan dengan pembelajaran dengan tujuan tujuan pembelajaran pembelajaran G. Kesesuaian pendekatan dan metode pembelajaran dengan karakteristik siswa 18. Kesesuaian pendekatan Pendekatan yang digunakan sesuai dengan dengan karakteristik siswa perkembangan fisik dan intelektual siswa 19. Kesesuaian metode Metode yang digunakan sesuai dengan pembelajaran dengan perkembangan fisik dan intelektual siswa karakteristik siswa 20. Keberpusatan pada siswa Pendekatan dan metode yang digunakan berdasarkan prinsip bahwa siswa memiliki posisi sentral untuk mengembangkan kompetensinya.
141
VI.
Kegiatan Pembelajaran dengan Pendekatan CTL Butir Penilaian Deskripsi H. Kesesuaian dengan standar proses Kegiatan pendahuluan 21. Penyiapan fisik dan mental Memuat kegiatan penyiapan fisik dan peserta didik untuk mengikuti mental peserta didik untuk mengikuti proses pembelajaran proses pembelajaran 22. Pemberian apersepsi yang Memuat ulasan atau pertanyaan untuk sesuai dengan materi yang akan mengaitkan pengetahuan sebelumnya dipelajari. sebagai prasyarat untuk materi yang akan dipelajari 23. Penyampaian motivasi yang Memuat kegiatan pemberian motivasi sesuai dengan materi yang akan kepada siswa dipelajari 24. Penyampaian tujuan Memuat kegiatan penyampaian tujuan pembelajaran dengan jelas. pembelajaran Kegiatan Inti 25. Kebermaknaan dan Memuat kegiatan yang berpusat pada keberpusatan kegiatan siswa sehingga dapat memberikan pembelajaran pada siswa, kesempatan pada siswa untuk sehingga siswa mampu mengkonstruksi pengetahuannnya secara mengkonstruksi atau bermakna melalui pengalaman nyata. membangun pengetahuannya (constructivism) 26. Penyusunan kegiatan Memuat rangkaian kegiatan yang dapat pembelajaran yang dapat memfasilitasi siswa untuk menemukan memfasilitasi siswa untuk konsep pada materi yang dipelajari menemukan konsep materi (inquiry) 27. Penyusunan kegiatan Memuat kegiatan yang dapat pembelajaran yang dapat membangkitkan respon dan pertanyaan membangkitkan respon dan dari siswa untuk membangun lebih pertanyaan dari siswa banyak lagi informasi (pengetahuan) dan (questioning) ketrampilan yang diperoleh siswa. 28. Pemberian kegiatan Memuat kegiatan yang dapat pembelajaran yang dapat memfasilitasi siswa untuk meciptakan memfasilitasi siswa dalam masyarakat belajar seperti melakukan menciptakan masyarakat belajar diskusi kelompok dalam menemukan (learning community) seperti konsep maupun memcahkan masalah. diskusi kelompok. 29. Penggunaan suatu contoh atau Memuat penampilan contoh atau ilustrasi ilustrasi masalah sebagai model masalah sebagai model pembelajaran pembelajaran agar siswa yang dapat merangsang siswa untuk terangsang untuk berpikir berpikir bagaimana menyelesaikan tahap (modeling) selanjutnya 142
Kegiatan Penutup 30. Pemberian refleksi terhadap kegiatan yang telah dilaksanakan termasuk menyimpulkan materi yang telah dipelajari (reflection) 31. Penilaian terhadap hasil pembelajaran yang dapat berupa latihan soal, kuis maupun tanya jawab (authentic assessment) 32. Pemberian apresiasi terhadap siswa
Memuat kegiatan refleksi terhadap kegiatan yang telah dilaksanakan dan menyimpulkan materi yang telah dipelajari Memuat kegiatan evaluasi dengan cara memberikan latihan soal, kuis, maupun tanya jawab singkat Memuat kegiatan penghargaan terhadap kerja siswa dalam bentuk pujian, tepuktangan, atau pemberian hadiah Memuat informasi tentang rencana pembelajaran pada pertemuan selanjutnya
33. Penyampaian rencana pembelajaran pada pertemuan selanjutnya VII. Pemilihan Sumber Belajar Butir Penilaian Deskripsi I. Kesesuaian sumber belajar dengan tujuan pembelajaran dan karakteristik siswa 34. Kesesuaian sumber belajar Sumber belajar yaitu LKS yang sesuai dan dengan tujuan pembelajaran mendukung ketercapaian tujuan pembelajaran 35. Kesesuaian sumber belajar Sumber belajar yaitu LKS sesuai dengan dengan karakteristik siswa perkembangan fisik dan intelektual siswa VIII. Penilaian Hasil Belajar Butir Penilaian Deskripsi J. Kesesuaian teknik penilaian dengan tujuan pembelajaran 36. Ketepatan pemilihan teknik Teknik penilaian yang terdapat dalam RPP penilaian yang sesuai dengan tepat untuk mengukur tujuan tujuan tujuan pembelajaran pembelajaran yang hendak dicapai 37. Kesesuaian butir-butir pada Butir pada instrumen yang dituangkan instrumen dengan tujuan dalam RPP sesuai dengan tujuan pembelajaran/indikator pembelajaran/indikator pencapaian pencapaian kompetensi kompetensi 38. Keterwakilan tujuan Butir instrumen yang disusun mewakili pembelajaran/indikator indikator pencapaian kompetensi/ tujuan pencapaian kompetensi oleh pembelajaran instrumen penilaian K. Keberadaan dan kejelasan prosedur penilaian 39. Keberadaan dan kejelasan Keberadaan dan kejelasan prosedur prosedur penilaian penilaian 40. Keberadaan instrumen Keberadaan instrumen penilaian, kunci penilaian, kunci jawaban jawaban soal, dan rubrik penyekoran soal, dan rubrik penyekoran 143
LEMBAR PENILAIAN RPP MATEMATIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK SISWA SMA KELAS X
Lampiran C.3 Lembar Penilaian RPP
Bapak/Ibu yang terhormat, Saya memohon bantuan Bapak/Ibu untuk mengisi lembar penilaian ini yang ditujukan untuk mengetahui pendapat Bapak/Ibu tentang Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Berbasis Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk kelas X SMA. Penilaian dari Bapak/Ibu akan sangat membantu untuk perbaikan RPP ini. Atas perhatian dan kesediaan Bapak/Ibu, saya ucapkan terimakasih. A. Petunjuk Pengisian Lembar Penilaian 1. Penilaian ini dilakukan dengan memberi tanda (√) pada kolom penilaian yang telah disediakan. Adapun keterangan pada skala penilaian adalah sebagai berikut. Keterangan Skor 5 = sangat baik Skor 4 = baik Skor 3 = cukup Skor 2 = kurang baik Skor 1 = tidak baik 2. Komentar dan saran perbaikan mohon diberikan secara singkat dan jelas pada poin C. 3. Bapak/Ibu dimohon untuk melingkari poin yang dianggap sesuai dengan RPP yang dinilai pada bagian kesimpulan. 144
B. LEMBAR PENILAIAN
Mata Pelajaran
: Matematika
Judul Penelitian
: Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Berbasis Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk kelas X SMA
Peneliti
: Hanifah Aabidah Fakhrunnisaa
Validator
:
Tanggal Validasi
:
I.
Identitas Mata Pelajaran Indikator Penilaian
Butir Penilaian 5
Kejelasan dan kelengkapan Identitas
1. Pencantuman nama sekolah 2. Pencantuman nama mata pelajaran 3. Pencantuman tingkatan kelas dan semester 4. Pencantuman alokasi waktu/jumlah pertemuan 5. Pencantuman standar kompetensi (SK) dan kompetensi dasar (KD) 6. Pencantuman indikator dan tujuan pembelajaran 7. Pencantuman materi pokok
145
Skala Penilaian 4 3 2
Keterangan 1
II.
Alokasi Waktu Indikator Penilaian Ketepatan Alokasi Waktu
III.
5
Skala Penilaian 4 3 2
1
5
Skala Penilaian 4 3 2
1
5
Skala Penilaian 4 3 2
1
Keterangan
8. Keefektifan waktu yang dialokasikan untuk mencapai tujuan pembelajaran 9. Keefisienan waktu yang dialokasikan untuk mencapai tujuan pembelajaran
Tujuan Pembelajaran Indikator Penilaian
IV.
Butir Penilaian
Butir Penilaian
Keterangan
Kesesuaian rumusan 10. Perumusan indikator pencapaian kompetensi dan tujuan pembelajaran mengacu pada KD tujuan pembelajaran 11. Penggunaan kata kerja operasional yang dengan KD dapat diukur/diamati 12. Keterkaitan dan keterpaduan antara KD dan indikator pencapaian kompetensi serta tujuan pembelajaran Pemilihan Materi Indikator Penilaian
Butir Penilaian
Kesesuaian dengan 13. Kesesuaian materi yang disajikan dengan tujuan pembelajaran tujuan pembelajaran 14. Penyusunan materi yang memperhatikan Kesesuaian dengan kemampuan dan karakteristik siswa kemampuan dan kebutuhan siswa 15. Penyusunan materi yang sesuai pada kebutuhan siswa 146
Keterangan
V.
Pemilihan Pendekatan dan Metode Pembelajaran Indikator Penilaian Kesesuaian pendekatan dan metode pembelajaran dengan tujuan pembelajaran Kesesuaian pendekatan dan metode pembelajaran dengan karakteristik siswa
VI.
Butir Penilaian
5
Skala Penilaian 4 3 2
1
5
Skala Penilaian 4 3 2
1
Keterangan
16. Kesesuaian pendekatan dengan tujuan pembelajaran 17. Kesesuaian metode pembelajaran dengan tujuan pembelajaran 18. Kesesuaian pendekatan dengan karakteristik siswa
19. Kesesuaian metode pembelajaran dengan karakteristik siswa 20. Keberpusatan pada siswa Kegiatan Pembelajaran dengan Pendekatan Kontekstual Indikator Penilaian Kesesuaian dengan standar proses
Butir Penilaian Kegiatan Pendahuluan 21. Penyiapan fisik dan mental peserta didik untuk mengikuti proses pembelajaran 22. Pemberian apersepsi yang sesuai dengan materi yang akan dipelajari. 23. Penyampaian motivasi yang sesuai dengan materi yang akan dipelajari 24. Penyampaian tujuan pembelajaran dengan jelas. 147
Keterangan
Kegiatan Inti 25. Kebermaknaan dan keberpusatan kegiatan pembelajaran pada siswa, sehingga siswa mampu mengkonstruksi atau membangun pengetahuannya (constructivism) 26. Penyusunan kegiatan pembelajaran yang dapat memfasilitasi siswa untuk menemukan konsep materi (inquiry) 27. Penyusunan kegiatan pembelajaran yang dapat membangkitkan respon dan pertanyaan dari siswa (questioning) 28. Pemberian kegiatan pembelajaran yang dapat memfasilitasi siswa dalam menciptakan masyarakat belajar (learning community) seperti diskusi kelompok. 29. Penggunaan suatu contoh atau ilustrasi masalah sebagai model pembelajaran agar siswa terangsang untuk berpikir (modeling) Kegiatan Penutup 30. Pemberian refleksi terhadap kegiatan yang telah dilaksanakan termasuk menyimpulkan materi yang telah dipelajari (reflection) 31. Penilaian terhadap hasil pembelajaran yang dapat berupa latihan soal, kuis maupun tanya jawab (authentic assessment) 148
32. Pemberian apresiasi terhadap siswa 33. Penyampaian rencana pembelajaran pada pertemuan selanjutnya VII.
Pemilihan Sumber Belajar Indikator Penilaian Kesesuaian sumber belajar dengan tujuan pembelajaran dan karakteristik siswa
Butir Penilaian
5
Skala Penilaian 4 3 2
1
5
Skala Penilaian 4 3 2
1
Keterangan
34. Kesesuaian sumber belajar dengan tujuan pembelajaran 35. Kesesuaian sumber belajar dengan karakteristik siswa
VIII. Penilaian Hasil Belajar Indikator Butir Penilaian Penilaian 36. Ketepatan pemilihan teknik penilaian Kesesuaian yang sesuai dengan tujuan pembelajaran teknik penilaian dengan tujuan 37. Kesesuaian butir-butir pada instrumen pembelajaran dengan tujuan pembelajaran/indikator pencapaian kompetensi 38. Keterwakilan tujuan pembelajaran/indikator pencapaian kompetensi oleh instrumen penilaian 39. Keberadaan dan kejelasan prosedur Keberadaan dan penilaian kejelasan prosedur 40. Keberadaan instrumen penilaian, kunci penilaian jawaban soal, dan rubrik penyekoran 149
Keterangan
C. Komentar dan Saran
………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… D. Kesimpulan Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) ini dinyatakan *): 1. Layak diujicobakan di lapangan tanpa ada revisi. 2. Layak diujicobakan di lapangan dengan revisi. 3. Tidak layak diujicobakan di lapangan *) Lingkari salah satu. Yogyakarta,
Desember 2015 Validator
___________________________
150
Lampiran C.4 Kisi-kisi Instrumen KISI-KISI LEMBAR PENILAIAN LKS MATEMATIKA MATERI Penilaian LKS LOGIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK SISWA SMA KELAS X OLEH AHLI MATERI
No 1
Aspek Kompetensi
Indikator Kesesuaian indikator dengan Kompetensi Dasar (KD) Ketercakupan materi Kesesuaian materi dengan tujuan pembelajaran Kesesuaian materi dengan tingkat pengetahuan siswa
2
Isi materi
Keakuratan isi materi
3
siswa untuk Kesesuaian LKS Pengarahan atau membangun dengan pendekatan mengkonstruksi pengetahuannya (constructivism) kontekstual Pengarahan siswa untuk menemukan konsep (inquiry) Pembangkitan respon dan pertanyaan dari siswa (questioning) Penciptaan masyarakat belajar yaitu berupa kelompok-kelompok diskusi (learning community) Ketersajian model pembelajaran berupa contoh atau ilustrasi masalah sehingga dapat merangsang siswa untuk berpikir (modeling) Penyampaian refleksi dari materi yang telah disajikan (reflection) Penilaian yang mengukur pengetahuan dan ketrampilan siswa dari penilaian kinerja dan dari tugas-tugas yang relevan dan kontekstual (authentic assessment) Jumlah Butir
151
Nomor Butir 1 2 3 4 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 12
13 14 15
16
17 18
18
KISI-KISI LEMBAR PENILAIAN LKS MATEMATIKA MATERI LOGIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK SISWA SMA KELAS X OLEH AHLI MEDIA
No 1
Aspek Bahasa
2
Penyajian
3
Kegrafikan
Indikator Kesesuaian dengan perkembangan siswa Ketepatan penggunaan kalimat dan bahasa Penggunaan istilah dan simbol Teknik penyajian Pendukung penyajian Kegiatan pembelajaran Ukuran LKS Desain LKS Isi LKS Jumlah Butir
152
Nomor Butir 1 2, 3, 4 5, 6 7, 8, 9 10, 11 12 13 14, 15, 16, 17, 18 19, 20, 21, 22, 23 23
KISI-KISI LEMBAR PENILAIAN LKS MATEMATIKA MATERI LOGIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK SISWA SMA KELAS X OLEH GURU No Aspek Indikator Nomor Butir 1 Kompetensi Kesesuaian indikator dengan Kompetensi 1 Dasar (KD) Ketercakupan materi 2 Kesesuaian materi dengan tujuan 3 pembelajaran Kesesuaian materi dengan tingkat 4 pengetahuan siswa 2 Isi materi Keakuratan isi materi 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 3 Kesesuaian LKS Pengarahan siswa untuk mengkonstruksi 12 dengan atau membangun pengetahuannya pendekatan (constructivism) kontekstual Pengarahan siswa untuk menemukan konsep 13 (inquiry) Keterbangkitan respon dan pertanyaan dari 14 siswa (questioning) Penciptaan masyarakat belajar yaitu berupa 15 kelompok-kelompok diskusi (learning community) Ketersajian model pembelajaran berupa 16 contoh atau ilustrasi masalah sehingga dapat merangsang siswa untuk berpikir (modeling) Penyampaian refleksi dari materi yang telah 17 disajikan (reflection) Penilaian yang mengukur pengetahuan dan 18 ketrampilan siswa dari penilaian kinerja dan dari tugas-tugas yang relevan dan kontekstual (authentic assessment) 4 Bahasa Kesesuaian dengan perkembangan siswa 19 Ketepatan penggunaan kalimat dan bahasa 20, 21, 22 Penggunaan istilah dan simbol 23, 24 5 Penyajian Teknik penyajian 25, 26, 27 Pendukung penyajian 28, 29 Kegiatan pembelajaran 30 6 Kegrafikan Ukuran LKS 31 Desain LKS 32, 33, 34, 35, 36 Isi LKS 37, 38, 39, 40, 41 Jumlah Butir 41 153
Lampiran C.5 Deskripsi Komponen DESKRIPSI INSTRUMEN BUTIR PENILAIAN LKS MATEMATIKA Instrumen MATERI LOGIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK Penilaian LKS SISWA SMA KELAS X A. Aspek Kompetensi No Butir Penilaian Deskripsi 1 Kesesuaian indikator dengan Indikator yang digunakan sesuai Kompetensi Dasar (KD) dengan KD (terlampir) 2 Ketercakupan materi Materi Logika yang diperlukan tersajikan dalam LKS secara lengkap guna mendukung tercapainya Kompetensi Dasar (KD) pada kurikulum KTSP serta mendukung materi pada buku pokok yang diberikan oleh pemerintah. 3 Kesesuaian materi dengan Materi yang disajikan dalam LKS tujuan pembelajaran sesuai dengan tujuan pembelajaran yang telah dirumuskan berdasarkan Kompetensi Dasar (KD) pada pokok bahasan Logika dalam silabus 4 Kesesuaian materi dengan Materi yang disajikan menyesuaikan tingkat pengetahuan siswa tingkat pengetahuan siswa yaitu dari mudah ke sulit dan dari materi yang dikenal sampai ke yang belum dikenal B. Aspek Isi Materi No Butir Penilaian 5 Keakuratan konsep
6
7
8
9
10
Deskripsi Konsep yang disampaikan sesuai dengan kaidah matematika serta tidak menimbulkan banyak tafsir oleh siswa Keakuratan data atau fakta Fakta atau data yang disajikan dalam LKS sesuai dengan keadaan nyata dalam kehidupan sehari-hari Keakuratan contoh dan kasus Contoh dan kasus yang disajikan sesuai dengan keadaan nyata dan efisien untuk meningkatkan pemahaman siswa. Keakuratan gambar dan Gambar dan ilustrasi yang digunakan ilustrasi sesuai serta mendukung pemahaman materi Keakuratan istilah Istilah yang digunakan dalam LKS sesuai dengan kelaziman yang berlaku pada materi Logika. Keakuratan notasi dan simbol Simbol dan notasi yang digunakan sesuai dengan kelaziman yang berlaku dibidang matematika 154
11
Keakuratan acuan pustaka
Pustaka disajikan secara akurat serta setiap pustaka diacu dalam teks dan sebaliknya setiap acuan dalam teks terdapat pustakanya.
C. Aspek Kesesuaian LKS dengan Pendekatan Kontekstual No Butir Penilaian Deskripsi 12 Pengarahan siswa untuk Permasalahan yang diberikan dapat mengkonstruksi atau membantu siswa untuk membangun pengetahuannya mengkonstruksi pengetahuannya (constructivism) sendiri 13 Pengarahan siswa untuk Langkah-langkah yang ada pada LKS menemukan konsep (inquiry) dapat mengarahkan siswa untuk menemukan konsep 14 Keterbangkitan respon dan Permasalahan yang ada pada LKS pertanyaan dari siswa merangsang siswa untuk bertanya dan (questioning) merespon bagaimana cara menyelesaikannya 15 Penciptaan masyarakat belajar LKS memfasilitasi siswa untuk yaitu berupa kelompok- belajar dalam kelompok diskusi kelompok diskusi (learning community) 16 Ketersajian model LKS menyajikan suatu contoh atau pembelajaran berupa contoh ilustrasi masalah agar siswa dapat atau ilustrasi masalah sehingga berfikir, bekerja, dan belajar dapat merangsang siswa untuk berpikir (modeling) 17 Penyampaian refleksi dari LKS memfasilitasi siswa untuk materi yang telah disajikan merangkum apa yang telah dipelajari (reflection) berupa kolom rangkuman dalam LKS 18 Penilaian yang mengukur LKS memuat soal latihan yang dapat pengetahuan dan ketrampilan mengukur kemampuan siswa siswa dari penilaian kinerja dan dari tugas-tugas yang relevan dan kontekstual (authentic assessment) D. Aspek Bahasa No Butir Penilaian Deskripsi 19 Penggunaan kalimat yang tidak Kalimat yang digunakan tidak ambigu ambigu atau tidak menimbulkan multitafsir bagi siswa. 20 Penggunaan bahasa yang Bahasa yang digunakan dapat sesuai dengan karakteristik dimengerti siswa sehingga siswa siswa dapat memahami informasi yang disajikan dalam LKS dengan baik. 155
21
Penggunaan struktur kalimat Struktur kalimat minimal yang benar dan jelas mengandung subjek, predikat, dan obyek sehingga arti kalimat menjadi jelas. 22 Kesesuaian ejaan dengan EYD Ejaan yang digunakan mengacu pada pedoman Ejaan Yang Disempurnakan (EYD) 23 Konsistensi simbol yang Simbol yang digunakan konsisten digunakan antar bagian LKS 24 Konsistensi istilah yang Istilah yang digunakan digunakan menggambarkan suatu konsep konsisten antar bagian LKS E. Aspek Penyajian No Butir Penilaian Deskripsi 25 Konsistensi sistematika Sistematika penyajian LKS pada tiap penyajian tiap bab topik konsisten. 26 Keruntutan materi yang Konsep yang disampaikan runtut diberikan sesuai dengan urutan materi pada bab Logika 27 Penggunaan kalimat yang Bahasa yang digunakan dapat mendorong siswa untuk membangkitkan rasa senang dan belajar mendorong siswa untuk mempelajari isi LKS 28 Ketersajian pengantar Pengantar diawal berisi tentang tujuan penggunaan LKS penulisan LKS, keterangan sistematika LKS, serta hal-hal lain yang dianggap penting bagi peserta didik dalam menggunakan LKS. 29 Kejelasan petunjuk Memuat petunjuk pengerjaan LKS pembelajaran yang disajikan yang jelas dan tidak membingungkan siswa. 30 Keutuhan makna dalam setiap Makna atau kesimpulan dari setiap materi per-LKS LKS disajikan secara utuh F. Aspek Kegrafikan No Butir Penilaian Deskripsi 31 Proporsionalitas ukuran kertas Ukuran kertas untuk LKS tidak terlalu LKS besar dan tidak terlalu kecil yaitu dengan menggunakan ukuran A4 32 Keterwakilan isi LKS oleh Desain cover LKS mewakili isi tampilan cover LKS. sehingga memberikan gambaran tentang isi materi matematika 33 Penentuan tata letak tepat Tata letak (judul, ilustrasi, keterangan LKS) sederhana dan tidak mengganggu penyajian materi 156
34
35
36
37
38
39
40
41
Kesesuaian bentuk, warna, dan Bentuk, warna, dan ukuran ilustrasi ukuran ilustrasi sesuai sehingga menarik dan tidak menimbulkan salah tafsir siswa Konsistensi tata letak unsur Tata letak (judul, petunjuk belajar, LKS informasi pendukung, aktivitas siswa) konsisten setiap LKS Keserasian dan kemenarikan Warna latar belakang setiap bagian warna latar belakang. LKS kontras dan menarik serta konsisten pada setiap LKS Ketepatan penggunaan ukuran Tidak terlalu banyak menggunakan dan jenis huruf jenis huruf dan ukuran. Jenis dan ukuran disesuaikan untuk memberikan penekanan pada LKS seperti judul dan aktivitas siswa Kesesuaian penggunaan variasi Variasi huruf ini dilakukan untuk huruf (italic, bold, underline) membedakan hirarki judul, sub judul serta memberikan tekanan pada susunan teks yang dianggap penting Kesesuaian spasi antar baris Jarak spasi antar baris tidak terlalu susunan teks lebar dan tidak terlalu rapat sehingga memudahkan siswa dalam membaca Kesesuaian pemberian Ilustrasi, gambar, grafik, dan foto ilustrasi, gambar, foto pada yang disajikan dalam LKS sesuai setiap LKS dengan materi yang dibahas pada setiap LKS Proporsionalitas susunan setiap Setiap bagian LKS disusun secara bagian LKS proposionalitas dan tidak mengganggu dalam pemahaman konsep siswa
157
Lampiran C.6 Lembar Penilaian LKS LEMBAR PENILAIAN LKS MATEMATIKA MATERI LOGIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK SISWA SMA KELAS X
Mata Pelajaran
: Matematika
Sasaran
: Siswa SMA Kelas X
Judul Penelitian
:
Peneliti
: Hanifah Aabidah Fakhrunnisaa
Validator
:
Tanggal Validasi
:
A. Petunjuk Pengisian 4. Lembar validasi ini dimaksudkan untuk mendapatkan informasi terkait dengan kevalidan LKS yang sedang dikembangkan berdasarkan komponen yang telah terlampir 5. Penilaian ini dilakukan dengan memberi tanda (√) pada kolom penilaian yang telah disediakan. Adapun keterangan pada skala penilaian adalah sebagai berikut: Keterangan Skor 5 = sangat baik Skor 4 = baik Skor 3 = cukup Skor 2 = kurang baik Skor 1 = tidak baik 6. Komentar dan saran perbaikan mohon diberikan secara singkat dan jelas pada poin C. 7. Bapak/Ibu dimohon untuk melingkari poin yang dianggap sesuai dengan LKS yang dinilai pada bagian kesimpulan. Kami sampaikan terimakasih atas kesediaan Bapak/Ibu untuk mengisi lembar penilaian ini.
158
B. Aspek Penilaian No
Kriteria Penilaian
5
Skala Penilaian 4 3 2
A. Aspek Kompetensi 1 Kesesuaian indikator dengan Kompetensi Dasar (KD) 2 Ketercakupan materi 3 Kesesuaian materi dengan tujuan pembelajaran 4 Kesesuaian materi dengan tingkat pengetahuan siswa B. Aspek Isi Materi 5 Keakuratan konsep 6 Keakuratan data atau fakta 7 Keakuratan contoh dan kasus 8 Keakuratan gambar dan ilustrasi 9 Keakuratan istilah 10 Keakuratan notasi dan simbol 11 Keakuratan acuan pustaka C. Aspek Kesesuaian LKS dengan Pendekatan CTL 12 Pengarahan siswa untuk mengkonstruksi atau membangun pengetahuannya (constructivism) 13 Pengarahan siswa untuk menemukan konsep (inquiry) 14 Keterbangkitan respon dan pertanyaan dari siswa (questioning) 15 Penciptaan masyarakat belajar yaitu berupa kelompok-kelompok diskusi (learning community) 159
Keterangan 1
16
Ketersajian model pembelajaran berupa contoh atau ilustrasi masalah sehingga dapat merangsang siswa untuk berpikir (modeling) 17 Penyampaian refleksi dari materi yang telah disajikan (reflection) 18 Penilaian yang mengukur pengetahuan dan ketrampilan siswa dari penilaian kinerja dan dari tugas-tugas yang relevan dan kontekstual (authentic assessment) D. Aspek Bahasa 19 Penggunaan kalimat yang tidak ambigu 20 Penggunaan bahasa yang sesuai dengan karakteristik siswa 21 Penggunaan struktur kalimat yang benar dan jelas 22 Kesesuaian ejaan dengan EYD 23 Konsistensi simbol yang digunakan 24 Konsistensi istilah yang digunakan E. Aspek Penyajian Materi 25 Konsistensi sistematika penyajian tiap bab 26 Keruntutan materi yang diberikan 27 Penggunaan kalimat yang dapat mendorong siswa untuk belajar 28 Ketersajian pengantar penggunaan LKS 29 Kejelasan petunjuk pembelajaran yang disajikan 160
30
Keutuhan makna dalam setiap materi per-LKS F. Aspek Kegrafikan 31 Proporsionalitas ukuran kertas LKS 32 Keterwakilan isi LKS oleh tampilan cover LKS. 33 Penentuan tata letak tepat 34 Kesesuaian bentuk, warna, dan ukuran ilustrasi 35 Konsistensi tata letak unsur LKS 36 Keserasian dan kemenarikan warna latar belakang. 37 Ketepatan penggunaan ukuran dan jenis huruf 38 Kesesuaian penggunaan variasi huruf (italic, bold, underline) 39 Kesesuaian spasi antar baris susunan teks 40 Kesesuaian pemberian ilustrasi, gambar, foto pada setiap LKS 41 Proporsionalitas susunan setiap bagian LKS
161
C. Komentar dan Saran Perbaikan
………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
D. Kesimpulan LKS pembelajaran ini dinyatakan *): 4. Layak diujicobakan di lapangan tanpa ada revisi. 5. Layak diujicobakan di lapangan dengan revisi. 6. Tidak layak diujicobakan di lapangan *) Lingkari salah satu.
Yogyakarta,
Desember 2015
Validator
___________________________
162
Lampiran C.7 Kisi-kisi Angket Respon KISI-KISI ANGKET RESPON GURU Guru TERHADAP PERANGKAT PEMBELAJARAN BERUPA RPP DAN LKS BERPASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA UNTUK SISWA SMA KELAS X Aspek yang Diamati
Indikator Penilaian
Nomor Butir
Materi
Penyajian Materi
1-3
Pendekatan kontekstual
Penggunaan pendekatan
4-10
kontekstual dalam perangkat pembelajaran. RPP
Penyajian RPP
11-15
LKS
Penyajian LKS
16-25
163
Lampiran C.8 Angket Respon Guru
ANGKET RESPON GURU TERHADAP PERANGKAT PEMBELAJARAN BERUPA RPP DAN LKS BERPASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA UNTUK SISWA SMA KELAS X
Angket ini dimaksudkan untuk mengetahui pendapat Bapak/Ibu tentang Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) dan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) untuk materi logika. Atas kesediaan Bapak/Ibu untuk mengisi lembar angket ini diucapkan terimakasih. A. Petunjuk 1. Pada angket ini terdapat 20 pernyataan. Pertimbangkan baik-baik setiap pertanyaan dalam kaitannya dengan perangkat pembelajaran berupa RPP dan LKS yang telah Bapak/Ibu gunakan. 2. Bapak/Ibu dimohon untuk memberikan tanda √ pada kolom yang sesuai dengan pendapat Bapak/Ibu untuk setiap pernyataan yang diberikan Keterangan Pilihan Jawaban: SS
= Sangat Setuju
S
= Setuju
KS
= Kurang Setuju
TS
= Tidak Setuju
STS
= Sangat Tidak Setuju
164
B. Angket No
Butir Penilaian
1
Materi pembelajaran disajikan secara runtut sehingga mudah dipahami. Materi yang disajikan sesuai dengan Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar. Materi yang disajikan sesuai dengan konsep logika. Materi dan permasalahan yang disajikan dikaitkan dengan konteks kehidupan seharihari. RPP dan LKS dapat membantu guru untuk membimbing siswa dalam menemukan konsep logika. RPP dan LKS dapat memudahkan guru dalam mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang dapat mendorong siswa untuk berpikir kritis. RPP dan LKS dapat memudahkan guru dalam melakukan kegiatan diskusi dalam kelas. RPP dan LKS dapat memudahkan guru untuk merefleksikan kegiatan pembelajaran yang telah dilakukan RPP dan LKS dapat membantu guru dalam memberikan contoh atau ilustrasi masalah. RPP dan LKS dapat memudahkan guru untuk melakukan penilaian yang dapat menguji pemahaman siswa terhadap materi logika Komponen RPP disajikan secara runtut dan jelas sehingga mudah dipahami Bahasa yang digunakan dalam RPP sesuai dengan kaidah Bahasa Indonesia. Tahapan pembelajaran yang tercantum dalam RPP jelas. Urutan kegiatan pembelajaran sesuai dengan pendekatan kontekstual. Alokasi waktu yang disediakan efektif untuk melaksanakan berbagai kegiatan dalam RPP. LKS dapat membantu guru untuk memfasilitasi siswa dalam berkomunikasi menyampaikan gagasan atau penjelasan. LKS mendorong siswa untuk berdiskusi atau bekerjasama dengan orang lain dalam suatu kelompok.
2 3 4
5
6
7 8
9 10
11 12 13 14 15 16
17
SS
165
Pilihan Jawaban S KS TS
STS
18 19 20
21
22
23 24 25
LKS memfasilitasi siswa untuk terlibat aktif dalam pembelajaran LKS menggunakan bahasa yang komunikatif dan mudah dipahami oleh siswa. Petunjuk kegiatan dalam LKS jelas sehingga memudahkan siswa melakukan kegiatan yang ada. Pemilihan jenis huruf, ukuran huruf, serta spasi yang digunakan sesuai sehingga mempermudah siswa dalam membaca LKS. Pemilihan gambar atau ilustrasi tepat sehingga mempermudah siswa untuk memahami materi atau permasalahan Aktivitas dalam LKS membantu siswa untuk menemukan konsep materi. Aktivitas dalam LKS mudah diimplementasikan dalam pembelajaran LKS yang digunakan membantu mendorong minat belajar siswa.
C. Saran ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………… Sleman,
Februari 2016
Responden
_______________________ NIP.
166
Lampiran C.9 Kisi-kisi Angket Respon KISI-KISI INSTRUMEN BUTIR ANGKET RESPON SISWA Siswa TERHADAP KEGIATAN PEMBELAJARAN MENGGUNAKAN LKS BERBASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA UNTUK SISWA SMA KELAS X
No 1
Aspek Kesesuaiaan
Indikator Kesesuaian LKS dengan hakekat dan
dengan Pendekatan prinsip-prinsip pendekatan kontekstual.
Nomor Butir 1, 2, 3, 4, 5, 6
Kontekstual 2
Kemudahan
Kemudahan pemnggunaan LKS dalam
11,12,13
pembelajaran 3
Keterbantuan
Keterbantuan siswa dalam pembelajaran
7,8,9,10
menggunaan LKS dengan pendekatan kontekstual 4
Kemenarikan
Kemenarikan isi dan tampilan LKS Jumlah Butir
No 1 2
Jenis Pernyataan Nomor Butir Positif 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,14,15,16 Negatif 12,13 Jumlah Butir
167
14,15,16 16
Jumlah 14 2 16
Lampiran C.10 Angket Respon Siswa
ANGKET RESPON SISWA TERHADAP KEGIATAN PEMBELAJARAN MENGGUNAKAN LKS BERBASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA UNTUK SISWA SMA KELAS X
Mata Pelajaran
: Matematika
Nama
: …………………………………………
Kelas
: …………………………………………
Hari, tanggal
: …………………………………………
Dalam rangka pengembangan perangkat pembelajaran matematika di kelas, kami mohon tanggapan adik-adik terhadap proses pembelajaran menggunakan LKS pada materi logika yang telah dilakukan. A. Petunjuk 1. Pada angket ini terdapat 20 pernyataan. Perhatikan baik-baik setiap pernyataan dalam kaitannya dengan LKS yang baru saja kamu pelajari. Berilah jawaban yang benar-benar cocok dengan pilihanmu. 2. Berilah tanda (√) pada kolom yang sesuai dengan pendapatmu untuk setiap pernyataan yang diberikan.
B. Keterangan Pilihan Jawaban SS
= Sangat Setuju
S
= Setuju
KS
= Kurang Setuju
TS
= Tidak Setuju
STS
= Sangat Tidak Setuju
168
C. Angket No 1
Pilihan Jawaban
Pernyataan Materi
dalam
LKS
SS
dikaitkan
dengan
kehidupan nyata 2
Langkah-langkah
kegiatan
dalam
LKS
membantu saya untuk menemukan konsep logika 3
Pertanyaan-pertanyaan
yang
diberikan
dalam LKS mendorong rasa ingin tahu saya dalam memecahkan masalah. 4
Permasalahan dalam LKS mendorong saya untuk bertanya.
5
Kegiatan dalam LKS
membantu saya
berdiskusi bersama teman dalam memahami materi logika. 6
Langkah-langkah
kegiatan
dalam
LKS
membantu saya untuk menyimpulkan materi yang telah dipelajari. 7
Contoh dan ilustrasi masalah dalam LKS membantu saya dalam memahami materi logika
8
Soal latihan pada LKS membantu saya untuk lebih memahami materi yang telah dipelajari.
9
Kegiatan
dalam
LKS
membantu
dan
memotivasi saya dalam memahami materi logika. 10
Penggunaan LKS membantu saya dalam memahami dan menyelesaikan masalah
169
S
KS
TS
STS
11
Bahasa yang digunakan dalam LKS mudah dipahami
12
Petunjuk yang digunakan dalam LKS tidak jelas dan membingungkan.
13
Saya sulit memahami simbol dan istilah yang digunakan dalam LKS.
14
Cover LKS menarik.
15
Tampilan
LKS
menarik
dan
tidak
membosankan 16
Ilustrasi atau gambar dalam LKS sesuai dengan materi yang dipelajari
D. Kesan dan Saran
Sleman, Siswa,
(…………………….) 170
Lampiran C.11 Lembar Observasi Lembar Pedoman Observasi Pelaksanaan Keterlaksanaan Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Kontekstual Pembelajaran Hari/Tanggal : Pokok Bahasan : Pertemuan ke: Waktu : Berilah tanda cek (√) pada kolom pilihan yang sesuai. Tulislah deskripsi hasil pengamatan selama pembelajaran berlangsung pada kolom “Deskripsi” No Aspek yang diamati Ya Tidak Deskripsi Kegiatan Pendahuluan 1 Guru memberikan salam dan memberi kesempatan siswa untuk berdoa terlebih dahulu. 2 Guru mengecek kehadiran dan kesiapan siswa dalam mengikuti pembelajaran. 3 Guru memberikan apersepsi yang sesuai dengan materi yang akan dipelajari. 4 Guru menyampaikan motivasi tentang manfaat mempelajari materi logika. 5 Guru menjelaskan tujuan dari pembelajaran secara jelas dan singkat. Kegiatan Inti Constructivism 6 Guru menghubungkan materi dengan konteks kehidupan sehari-hari 7 Guru memberikan pertanyaanpertanyaan atau contoh masalah yang sesuai dengan materi yang akan dipelajari. 8
Siswa diberi kesempatan untuk mengungkapkan idenya Inquiry 9 Siswa dibantu untuk merumuskan masalah 10 Siswa diberi kesempatan untuk mengerjakan LKS untuk memahami materi logika. 11 Siswa diberi pertanyaan untuk mengecek pemahaman mereka dalam mengerjakan LKS. 171
Questioning 12 Siswa yang bertanya pada guru *) Learning community 13 Siswa diarahkan untuk membentuk kelompok-kelompok belajar 14 Siswa mengerjakan LKS secara diskusi *) 15 Guru berkeliling untuk memantau kegiatan diskusi siswa. Modeling 16 Guru memberikan contoh dalam menyelesaikan masalah Reflection 17 Siswa diberi kesempatan untuk menyimpulkan. 18 Siswa memberikan kesimpulan mengenai apa yang telah dipelajari pada pertemuan hari ini *) 19 Guru menguatkan kembali kesimpulan siswa Authentic Assessment 21 Guru mengadakan presentasi untuk menilai proses belajar siswa. 22 Guru memberikan latihan soal atau tugas untuk menilai proses belajar siswa. Kegiatan Penutup 23 Guru menginformasikan materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya. 24 Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan membaca doa bersama. Keterangan: *) Aspek yang diamati terpenuhi jika lebih dari atau sama dengan 50% siswa melaksanakan kegiatan tersebut. Aspek yang diamati tidak terpenuhi jika kurang dari 50% siswa tidak melaksanakan kegiatan tersebut.
Sleman, Observer
(……………………………...)
172
Lampiran C.12 Kisi-kisi Tes Hasil Belajar KISI-KISI SOAL TES HASIL BELAJAR SISWA Siswa SETELAH MENGGUNAKAN LKS BERBASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA SMA KELAS X
Materi
: Logika Matematika
Kelas/ Semester
: X/ 2
Tipe soal
: Pilihan ganda dan esai
Banyak soal
: 15 pilihan ganda dan 3 esai
Standar Kompetensi: 4. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Nomor Soal Kompetensi Dasar Indikator Soal Pilihan Esai Ganda 4.1 Memahami pernyataan Membedakan pernyataan, bukan 1 1 dalam matematika dan pernyataan, dan kalimat terbuka ingkaran atau Menentukan penyelesaian dari suatu 2,3 negasinya kalimat terbuka 4.2 Menentukan nilai Menentukan nilai kebenaran suatu 4,5 kebenaran dari suatu pernyataan majemuk pernyataan majemuk Menentukan nilai kebenaran pernyataan 15 dan pernyataan berkuantor berkuantor Menentukan ingkaran suatu pernyataan majemuk 6,7,8 Menentukan ingkaran pernyataan berkuantor Menentukan konvers, invers, dan 9,10 kontraposisi dari suatu implikasi Menentukan suatu pernyataan majemuk 4.3 Merumuskan pernyataan yang setara termasuk tautologi atau kontradiksi 3 dengan pernyataan Menentukan pernyataan yang ekuivalen 11 majemuk atau dengan suatu pernyataan majemuk pernyataan berkuantor Menentukan pernyataan yang ekuivalen 12 yang diberikan. dengan suatu pernyataan berkuantor 4.4 Menggunakan prinsip Menarik kesimpulan menggunakan logika matematika modus ponen, modus tolens, dan 13,14 yang berkaitan dengan silogisme. pernyataan majemuk Memeriksa keabsahan penarikan dan berkuantor dalam kesimpulan menggunakan prinsip 2 penarikan kesimpulan logika matematika dan pemecahan Membuktikan sebuah persamaan atau (pengay (pengay masalah. pernyataan dengan induksi matematika. aan) aan) 173
Lampiran C.13 Kunci Jawaban dan Rubrik Penilaian Tes KUNCI JAWABAN DAN RUBRIK PENILAIAN SOAL TES HASIL Hasil Belajar BELAJAR SISWA SETELAH MENGGUNAKAN LKS BERBASIS Siswa PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA SMA KELAS X A. Pilihan Ganda No Soal 1 Perhatikan paragraf berikut. Indonesia merupakan Negara 1 Kepulauan. Jawa merupakan pulau terluas di Indonesia.2 Apakah kalian tahu berapa banyak pulau yang ada di Indonesia?3 Coba kalian cari tahu dari berbagai sumber!4 Indonesia dilewati oleh garis khatulistiwa.5 Oleh karena itu, Indonesia memiliki alam yang indah.6 Berdasarkan artikel di atas, kalimat yang merupakan pernyataan adalah… A. Kalimat nomor 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 B. Kalimat nomor 1, 2, 5, dan 6 C. Kalimat nomor 1, 2, dan 5 D. Kalimat nomor 1, 5, dan 6 E. Kalimat nomor 1 dan 5
2
3
Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka “𝒌 adalah bilangan prima kurang dari 10” adalah…. A. 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 B. 1,3,5,7,9 C. 2,3,5,7,9 D. 2,4,6,8 E. 2,3,5,7
Jawaban 1) Pernyataan karena memiliki nilai kebenaran (benar) 2) Pernyataan karena memiliki nilai kebenaran (salah) 3) Bukan pernyataan karena merupakan kalimat tanya atau tidak memiliki nilai kebenaran. 4) Bukan pernyataan karena merupakan kalimat perintah atau tidak memiliki nilai kebenaran. 5) Pernyataan karena memiliki nilai kebenaran (benar) 6) Bukan pernyataan karena nilai kebenarannya relatif. Jadi yang merupakan pernyataan adalah kalimat nomor 1, 2, dan 5 Jawaban: C A. Himpunan bilangan asli kurang dari 10. B. Himpunan bilangan ganjil kurang dari 10 C. 9 bukan merupakan bilangan prima. D. Himpunan bilangan genap kurang dari 10 E. Himpunan bilangan prima kurang dari 10 Jawaban: E Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponenkomponennya
“Itu adalah adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya” pengganti kata “itu” agar kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan bernilai benar adalah…. Jadi pengganti kata itu yang tepat 174
Skor
4
4
4
5
6
A. Tautologi B. Kontradiksi C. Ekuivalensi D. Konjungsi E. Disjungsi Diketahui pernyataan berikut. 𝑝: Segitiga sama sisi memiliki 𝑥 buah simetri lipat. 𝑞: Jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180°. Nilai 𝑥 yang memenuhi agar pernyataan majemuk 𝑝 ∧ 𝑞 bernilai benar adalah… A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 Diketahui 𝑝 merupakan pernyataan benar dan 𝑞 merupakan pernyataan salah. Pernyataan yang bernilai benar adalah… A. ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 B. 𝑝 ∧ 𝑞 C. 𝑝 ⟺ 𝑞 D. 𝑝 ⟺∼ 𝑞 E. 𝑝 ⟹ 𝑞 Dalam suatu percakapan Sita mengatakan, “Bahasa daerah adalah bahasa yang sulit atau tidak perlu dilesarikan”, tetapi Dian tidak setuju dengan pernyataan Sita, karena sebagai generasi penerus bangsa kita harus melestarikan Bahasa Daerah kita masing-masing. Pernyataan yang dapat digunakan oleh Dian untuk menyanggah (Negasi) pernyataan Sita adalah… A. Bahasa daerah adalah bahasa yang sulit dan tidak perlu dilestarikan B. Bahasa daerah adalah bahasa yang sulit dan perlu dilestarikan C. Bahasa daerah adalah bahasa yang mudah dan perlu dilestarikan. D. Bahasa daerah adalah bahasa yang mudah atau perlu dilestarikan E. Bahasa daerah adalah bahasa yang 175
adalah tautologi Jawaban: A Pernyataan 𝑞 bernilai benar, sehingga majemuk 𝑝 ∧ 𝑞 bernilai benar jika pernyataan 𝑝 bernilai benar pula. Segitiga sama sisi memiliki 3 buah simetri lipat. Jadi nilai 𝑥 yang memenuhi pernyataan 𝑝 agar pernyataan 𝑝 ∧ 𝑞 bernilai benar adalah 3. Jawaban: B 𝜏 𝑝 =𝐵 𝜏 𝑞 =𝑆 A. B. C. D. E.
𝑆 ∨ 𝑆, bernilai salah 𝐵 ∧ 𝑆, bernilai salah 𝐵 ⟺ 𝑆, bernilai salah 𝐵 ⟺ 𝐵, bernilai benar 𝐵 ⟹ 𝑆, bernilai salah
Jawaban: D Misal 𝑝: Bahasa daerah adalah bahasa yang sulit 𝑞: Bahasa daerah adalah bahasa yang tidak perlu dilestarikan 𝑝 ∨ 𝑞: Bahasa daerah adalah bahasa yang sulit atau tidak perlu dilesarikan ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞: Bahasa daerah adalah bahasa yang mudah dan perlu dilestarikan. Jadi, negasi dari pernyataan Sita adalah “Bahasa daerah adalah bahasa yang mudah dan perlu dilestarikan” Jawaban: C
mudah atau tidak perlu dilestarikan. 71. Negasi atau ingkaran dari pernyataan “Jika Gunung Merapi meletus maka semua warga mengungsi” adalah… A. Jika Gunung Merapi tidak meletus maka semua warga tidak mengungsi B. Jika Gunung Merapi tidak meletus maka beberapa warga tidak mengungsi C. Gunung Merapi tidak meletus dan semua warga tidak mengungsi D. Gunung Merapi meletus dan beberapa warga tidak mengungsi E. Gunung Merapi meletus atau beberapa warga tidak mengungsi
8
9
Negasi dari pernyataan “Beberapa siswa kelas X mengikuti latihan pramuka” adalah…. A. Beberapa siswa kelas X tidak mengikuti latihan pramuka. B. Semua siswa kelas X tidak mengikuti latihan pramuka. C. Semua siswa kelas X mengikuti latihan pramuka. D. Tidak ada siswa kelas X yang tidak mengikuti latihan pramuka. E. Sebagian kelas X tidak mengikuti latihan pramuka. Kontraposisi dari pernyataan “Jika pelajaran kosong maka siswa senang” adalah…. A. Jika siswa senang maka pelajaran kosong B. Jika siswa tidak senang maka pelajaran kosong C. Jika siswa tidak senang maka pelajaran tidak kosong D. Jika pelajaran tidak kosong maka siswa tidak senang E. Jika pelajaran tidak kosong maka siswa senang
176
Misal, 𝑝: Gunung Merapi meletus 𝑞: Semua warga mengungsi 𝑝 ⟹ 𝑞: Jika Gunung Merapi meletus maka semua warga mengungsi ∼ 𝑝 ⟹ 𝑞 ≡ 𝑝 ∧∼ 𝑞: Gunung Merapi meletus dan beberapa warga tidak mengungsi Jadi, negasi dari pernyataan “Jika Gunung Merapi meletus maka semua warga mengungsi” adalah “Gunung Merapi meletus dan beberapa warga tidak mengungsi ” Jawaban: D Misal kalimat berkuantor 𝑝: Beberapa siswa kelas X mengikuti latihan pramuka. Maka, ∼ 𝑝: Semua siswa kelas X tidak mengikuti latihan pramuka. Jawaban: B
Misal: 𝑝: Pelajaran kosong 𝑞: Siswa senang 𝑝 ⟹ 𝑞: Jika pelajaran kosong maka siswa senang Kontraposisisinya adalah: ~𝑝 ⟹ ~𝑞: Jika siswa tidak senang maka pelajaran tidak kosong Jawaban: C
4
102. Konvers dari pernyataan “Jika warga menggunakan transportasi umum maka kemacetan berkurang” adalah…. A. Jika kemacetan berkurang maka warga menggunakan transportasi umum. B. Jika warga tidak menggunakan transportasi umum maka kemacetan tidak berkurang C. Jika kemacetan tidak berkurang maka warga menggunakan transportasi umum. D. Jika kemacetan tidak berkurang maka warga tidak menggunakan transportasi umum. E. Jika warga menggunakan transportasi umum maka kemacetan tidak berkurang 113. Pernyataan “Jika Tika menyukai pelajaran matematika maka Tika tidak mengantuk di kelas” ekuivalen dengan…. A. Jika Tika tidak menyukai pelajaran matematika maka Tika mengantuk di kelas. B. Jika Tika tidak menyukai pelajaran matematika maka Tika tidak mengantuk di kelas. C. Tika menyukai pelajaran matematika atau Tika mengantuk di kelas. D. Tika tidak menyukai pelajaran matematika atau Tika mengantuk di kelas. E. Tika tidak menyukai pelajaran matematika atau Tika tidak mengantuk di kelas. 12 Pernyataan “Semua segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki” ekuivalen dengan…. A. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 bukan segitiga sama sisi, maka ∆𝐴𝐵𝐶 bukan segitiga sama kaki. B. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 sama kaki, maka ∆𝐴𝐵𝐶 sama sisi. C. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 sama sisi, maka ∆𝐴𝐵𝐶 177
Misal: 𝑝: Warga menggunakan transportasi umum 𝑞: Kemacetan berkurang Maka, Konvers dari 𝑝 ⟹ 𝑞 adalah 𝑞⟹𝑝 Atau Jika kemacetan berkurang maka warga menggunakan transportasi umum. Jawaban: A
Misal: 𝑝: Tika menyukai pelajaran matematika 𝑞: Tika mengantuk di kelas (𝑝 ⟹ 𝑞) ≡ (∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝) (kontraposisinya) atau (𝑝 ⟹ 𝑞) ≡∼ 𝑝 ∨ 𝑞 Jadi, pernyataan “Jika Tika menyukai pelajaran matematika maka Tika tidak mengantuk di kelas” ekuivalen dengan “Tika tidak menyukai pelajaran matematika atau Tika tidak mengantuk di kelas.” Jawaban: E Ambil sebarang segitiga, ∆𝐴𝐵𝐶, maka pernyataan “Semua segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki” ekuivalen dengan “Jika ∆𝐴𝐵𝐶 sama sisi, maka ∆𝐴𝐵𝐶 sama kaki” Jawaban: D
13
14
15
bukan segitiga sama kaki. D. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 sama sisi, maka ∆𝐴𝐵𝐶 sama kaki. E. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 bukan segitiga sama sisi, maka ∆𝐴𝐵𝐶 sama kaki. Diketahui premis-premis berikut. Premis (1): “Jika saya jujur, maka usaha saya berhasil” Premis (2): “Jika usaha saya berhasil, maka hidup saya bahagia” Dari premis-premis tersebut dapat disimpulkan bahwa…. A. Jika hidup saya bahagia, maka saya jujur. B. Jika saya jujur, maka hidup saya bahagia. C. Jika saya jujur, maka usaha saya berhasil. D. Jika usaha saya berhasil, maka hidup saya bahagia. E. Jika usaha saya berhasil, maka saya jujur. Diketahui premis-premis berikut. Premis (1): 𝑟 ⟹ (𝑝 ∧ 𝑞) Premis (2): 𝑟 Simpulan yang sah berdasarkan kedua premis di atas adalah…. A. ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 B. ∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 C. ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞 D. 𝑝 ∨ 𝑞 E. 𝑝 ∧ 𝑞 Jika diketahui himpunan semesta 𝐴 = {1,2,3,4,5,6} maka pernyataan berkuantor berikut yang memiliki nilai kebenaran “Salah” adalah…. A. ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 + 2 < 6 B. ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 − 3 < 4 1 C. ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 ≤ 1 D. ∃𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 + 4 = 9 1 E. ∃𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥−1 > 0
Misal: 𝑝: saya jujur 𝑞: usaha saya berhasil 𝑟: hidup saya bahagia Maka, 𝑃1 : 𝑝 ⟹ 𝑞 𝑃2 : 𝑞 ⟹ 𝑟 ∴𝑝⟹𝑟 Atau Jika saya jujur, maka hidup saya bahagia Jawaban: B
Diketahui: 𝑃1 : 𝑟 ⟹ (𝑝 ∧ 𝑞) 𝑃2 : 𝑟 ∴ (𝑝 ∧ 𝑞) Jawaban: E
A. Salah, karena ada 𝑥 = 5, sehingga 5 + 2 = 7 > 6 B. Benar, karena untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴 berlaku 𝑥 − 3 < 4 C. Benar, karena untuk semua 1 𝑥 ∈ 𝐴 berlaku 𝑥 ≤ 1 D. Benar, karena ada 𝑥 = 5, sehingga 5 + 4 = 9 E. Benar, karena ada 𝑥 = 4, 1 sehingga 3 > 0 Jawaban: A
178
4
4
4
B. Esai No 1
2
3
Soal Buatlah masing-masing 1 contoh untuk: a. “Pernyataan Benar” yang berhubungan dengan kebudayaan di sekitar kalian b. “Pernyataan Salah” yang berhubungan dengan lingkungan di sekitar kalian c. Kalimat terbuka Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut dengan menggunakan tabel kebenaran. ~𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ (~𝑞 ⇒ ~𝑝) a. Selidiki apakah pernyataan majemuk tersebut merupakan suatu tautologi atau kontradiksi. b. Selidiki apakah ~𝑝 ∨ 𝑞 ≡ ~𝑞 ⇒ ~𝑝 Selidiki apakah sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut. a. Premis 1: Pemerintah mengendalikan penambangan pasir di Gunung Merapi atau lingkungan terancam rusak. Premis 2: Lingkungan tidak terancam rusak Konklusi: Jadi, Pemerintah mengendalikan penambangan di Gunung Merapi b. Premis 1: Jika kita membeli produk lokal maka perekonomian lokal meningkat. Premis 2: Jika perekonomian lokal meningkat maka kesejahteraan rakyat membaik. Konklusi: Jadi, Jika kita membeli produk lokal maka kesejahteraan rakyat membaik.
179
Jawaban a. Lenong adalah kesenian tradisional Suku Betawi (menyesuaikan jawaban siswa) b. Taman Nasional Ujung Kulon terletak di Cangkringan (menyesuaikan jawaban siswa) c. Dia adalah seorang pemain bulutangkis terkenal. (menyesuaikan jawaban siswa) (dilampirkan)
Skor
10
15
a. Misal: 𝑝: Pemerintah mengendalikan penambangan pasir di Gunung Merapi 𝑞: Lingkungan terancam rusak. Sehingga diperoleh: 𝑃1 : 𝑝 ∨ 𝑞 𝑃2 : ∼ 𝑞 Pernyataan 𝑃1 : 𝑝 ∨ 𝑞 ≡ ∼ 𝑝 ⇒ 𝑞 Sehingga, 𝑃1 : ∼ 𝑝 ⇒ 𝑞 𝑃2 : ∼ 𝑞 ∴ 𝐾: 𝑝 Jadi, penarikan kesimpulan tersebut sah
15
b. Misal: 𝑝: Kita membeli produk lokal 𝑞: Perekonomian lokal meningkat 𝑟: Kesejahteraan rakyat membaik Sehingga diperoleh: 𝑃1 : 𝑝 ⇒ 𝑞 𝑃2 : 𝑞 ⇒ 𝑟 Sehingga, 𝑃1 : 𝑝 ⇒ 𝑞 𝑃2 : 𝑞 ⇒ 𝑟 ∴ 𝐾: 𝑝 ⇒ 𝑟 Jadi, penarikan kesimpulan tersebut sah LAMPIRAN JAWABAN NO.2 2. Tabel kebenaran dari ~𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ (~𝑞 ⇒ ~𝑝) 𝒑
𝒒
~𝒑
~𝒒
~𝒑 ∨ 𝒒
~𝒒 ⇒ ~𝒑
~𝒑 ∨ 𝒒 ⟺ (~𝒒 ⇒ ~𝒑)
B
B
S
S
B
B
B
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
B
S
S
B
B
B
B
B
Dari tabel di atas diperoleh jawaban sebagai berikut. a. Selidiki apakah pernyataan majemuk tersebut merupakan suatu tautologi atau kontradiksi. Jawab: Ya, karena nilai kebenarannya semuanya benar. b. Selidiki apakah ~𝑝 ∨ 𝑞 ≡ ~𝑞 ⇒ ~𝑝 . Jawab: Ya, karena nilai kebenaran dari ~𝑝 ∨ 𝑞 sama dengan nilai kebenaran dari ~𝑞 ⇒ ~𝑝
180
Lampiran C.14 Soal Tes Hasil Belajar Siswa
SOAL TES HASIL BELAJAR SISWA SETELAH MENGGUNAKAN LKS BERBASIS PENDEKATAN KONTEKSTUAL PADA MATERI LOGIKA SMA KELAS X A. Pilihan Ganda Berilah tanda silang × pada huruf A, B, C, D, atau E di depan jawaban yang tepat!
3. “Itu adalah adalah pernyataan majemuk
1. Perhatikan paragraf berikut. Indonesia merupakan Negara Kepulauan.1
yang selalu bernilai benar untuk semua
Jawa
kemungkinan
merupakan
pulau
terluas
di
2
nilai
kebenaran pengganti
Indonesia. Apakah kalian tahu berapa
komponen-komponennya”
banyak pulau yang ada di Indonesia?3
kata “itu” agar kalimat terbuka tersebut
Coba kalian cari tahu dari berbagai
menjadi
sumber!4 Indonesia dilewati oleh garis
adalah….
khatulistiwa.5 Oleh karena itu, Indonesia
A. Tautologi
memiliki alam yang indah.
6
pernyataan
bernilai
benar
B. Kontradiksi
Berdasarkan artikel di atas, kalimat yang
C. Ekuivalensi
merupakan pernyataan adalah…
D. Konjungsi
A. Kalimat nomor 1, 2, 3, 4, 5, dan 6
E. Disjungsi
B. Kalimat nomor 1, 2, 5, dan 6 C. Kalimat nomor 1, 2, dan 5
4. Diketahui pernyataan berikut.
D. Kalimat nomor 1, 5, dan 6
𝑝: Segitiga sama sisi memiliki 𝑥 buah
E. Kalimat nomor 1 dan 5
simetri lipat. 𝑞: Jumlah ketiga sudut pada segitiga
2. Himpunan terbuka
penyelesaian
“𝒌
adalah
dari
bilangan
adalah 180°.
kalimat
Nilai 𝑥 yang memenuhi agar pernyataan
prima
kurang dari 10” adalah….
majemuk 𝑝 ∧ 𝑞 bernilai benar adalah…
A. 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
A. 2
B. 1,3,5,7,9
B. 3
C. 2,3,5,7,9
C. 4
D. 2,4,6,8
D. 5
2,3,5,7
E. 6
E.
181
5. Diketahui 𝑝 merupakan pernyataan benar dan 𝑞
7. Negasi atau ingkaran dari pernyataan “Jika Gunung Merapi meletus maka
merupakan pernyataan salah.
Pernyataan yang bernilai benar adalah…
semua warga mengungsi” adalah…
A. ∼ 𝑝 ∨ 𝑞
A. Jika Gunung Merapi tidak meletus
B. 𝑝 ∧ 𝑞
maka semua warga tidak mengungsi
C. 𝑝 ⟺ 𝑞
B. Jika Gunung Merapi tidak meletus
D. 𝑝 ⟺∼ 𝑞
maka
E. 𝑝 ⟹ 𝑞
mengungsi
beberapa
warga
tidak
C. Gunung Merapi tidak meletus dan semua warga tidak mengungsi
6. Dalam suatu percakapan Sita mengatakan,
D. Gunung Merapi meletus dan beberapa
“Bahasa daerah adalah bahasa yang
warga tidak mengungsi
sulit atau tidak perlu dilesarikan”, tetapi
E. Gunung Merapi meletus atau beberapa
Dian tidak setuju dengan pernyataan Sita,
warga tidak mengungsi
karena sebagai generasi penerus bangsa kita harus melestarikan Bahasa Daerah kita masing-masing. Pernyataan yang dapat
digunakan
oleh
Dian
8. Negasi dari pernyataan “Beberapa siswa kelas X mengikuti latihan pramuka”
untuk
menyanggah (Negasi) pernyataan Sita
adalah….
adalah…
A. Beberapa
siswa
kelas
X
tidak
mengikuti latihan pramuka.
A. Bahasa daerah adalah bahasa yang
B. Semua siswa kelas X tidak mengikuti
sulit dan tidak perlu dilestarikan
latihan pramuka.
B. Bahasa daerah adalah bahasa yang
C. Semua siswa kelas X mengikuti
mudah dan tidak perlu dilestarikan
latihan pramuka.
C. Bahasa daerah adalah bahasa yang
D. Tidak ada siswa kelas X yang tidak
mudah dan perlu dilestarikan.
mengikuti latihan pramuka.
D. Bahasa daerah adalah bahasa yang
E. Sebagian kelas X tidak mengikuti
mudah atau perlu dilestarikan
latihan pramuka.
E. Bahasa daerah adalah bahasa yang mudah atau tidak perlu dilestarikan.
182
9. Kontraposisi
dari
pernyataan
“Jika
11. Pernyataan
“Jika
Tika
menyukai
pelajaran kosong maka siswa senang”
pelajaran matematika maka Tika tidak
adalah….
mengantuk di kelas” ekuivalen dengan….
A. Jika siswa senang maka pelajaran
A. Jika Tika tidak menyukai pelajaran
kosong B. Jika
matematika maka Tika mengantuk di
siswa
tidak
senang
maka
kelas.
pelajaran kosong C. Jika
siswa
B. Jika Tika tidak menyukai pelajaran
tidak
senang
maka
matematika
pelajaran tidak kosong
maka
Tika
tidak
mengantuk di kelas.
D. Jika pelajaran tidak kosong maka
C. Tika menyukai pelajaran matematika
siswa tidak senang
atau Tika mengantuk di kelas.
E. Jika pelajaran tidak kosong maka
D. Tika
siswa senang
tidak
menyukai
pelajaran
matematika atau Tika mengantuk di kelas.
10. Konvers dari pernyataan “Jika warga
E. Tika
tidak
menyukai
menggunakan transportasi umum maka
matematika
kemacetan berkurang” adalah….
mengantuk di kelas.
A. Jika
kemacetan
warga
transportasi
adalah segitiga sama kaki” ekuivalen dengan….
warga
tidak
A. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 bukan segitiga sama sisi,
menggunakan
transportasi umum maka kemacetan
maka ∆𝐴𝐵𝐶
tidak berkurang
kaki.
menggunakan
transportasi
sama sisi. C. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 sama sisi, maka ∆𝐴𝐵𝐶
umum. D. Jika kemacetan tidak berkurang maka
bukan segitiga sama kaki. D. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 sama sisi, maka ∆𝐴𝐵𝐶
warga tidak menggunakan transportasi umum.
sama kaki. E. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 bukan segitiga sama sisi,
E. Jika warga menggunakan transportasi umum
bukan segitiga sama
B. Jika ∆𝐴𝐵𝐶 sama kaki, maka ∆𝐴𝐵𝐶
C. Jika kemacetan tidak berkurang maka warga
tidak
12. Pernyataan “Semua segitiga sama sisi
umum. B. Jika
Tika
maka
berkurang
menggunakan
atau
pelajaran
maka
kemacetan
maka ∆𝐴𝐵𝐶 sama kaki.
tidak
berkurang 183
15. Jika diketahui himpunan semesta 𝐴 =
13. Diketahui premis-premis berikut. Premis (1): “Jika saya jujur, maka usaha
{1,2,3,4,5,6} maka pernyataan berkuantor
saya berhasil”
berikut yang memiliki nilai kebenaran
Premis (2): “Jika usaha saya berhasil,
“Salah” adalah….
maka hidup saya bahagia”
A. ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 + 2 < 6
Dari
premis-premis
tersebut
B. ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 − 3 < 4
dapat
disimpulkan bahwa….
C. ∀𝑥 ∈ 𝐴,
A. Jika hidup saya bahagia, maka saya
1 𝑥
≤1
D. ∃𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 + 4 = 9
jujur.
E. ∃𝑥 ∈ 𝐴,
B. Jika saya jujur, maka hidup saya bahagia. C. Jika saya jujur, maka usaha saya berhasil. D. Jika usaha saya berhasil, maka hidup saya bahagia. E. Jika usaha saya berhasil, maka saya jujur.
14. Diketahui premis-premis berikut. Premis (1): (𝑝 ∧ 𝑞) ⟹∼ 𝑟 Premis (2): 𝑟 Simpulan yang sah berdasarkan kedua premis di atas adalah…. A. ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 B. ∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 C. ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞 D. 𝑝 ∨ 𝑞 E. 𝑝 ∧ 𝑞
184
1 𝑥−1
>0
B. Esai Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan uraian yang jelas dan tepat!
1. Buatlah masing-masing 1 contoh untuk: a. “Pernyataan Benar” yang berhubungan dengan kebudayaan di sekitar kalian b. “Pernyataan Salah” yang berhubungan dengan lingkungan di sekitar kalian c. Kalimat terbuka. 2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut dengan menggunakan tabel kebenaran. ~𝑝 ∨ 𝑞 ⟺ (~𝑞 ⇒ ~𝑝) a. Selidiki apakah pernyataan majemuk tersebut merupakan suatu tautologi atau kontradiksi. b. Selidiki apakah ~𝑝 ∨ 𝑞 ≡ ~𝑞 ⇒ ~𝑝 . 3. Selidiki apakah sah atau tidak penarikan kesimpulan berikut. a. Premis 1: Pemerintah mengendalikan penambangan pasir di Gunung Merapi atau lingkungan terancam rusak. Premis 2: Lingkungan tidak terancam rusak Konklusi: Jadi, Pemerintah mengendalikan penambangan di Gunung Merapi b. Premis 1: Jika kita membeli produk lokal maka perekonomian lokal meningkat. Premis 2: Jika perekonomian lokal meningkat maka kesejahteraan rakyat membaik. Konklusi: Jadi, Jika kita membeli produk lokal maka kesejahteraan rakyat membaik.
185
LAMPIRAN D Hasil Validasi Instrumen Penilaian dan Perangkat Pembelajaran D.1.
Lembar Validasi Instrumen Penilaian RPP
D.2.
Lembar Validasi Instrumen Penilaian LKS
D.3.
Lembar Validasi Instrumen Angket Respon Guru
D.4.
Lembar Validasi Instrumen Angket Respon Siswa
D.5.
Lembar Validasi Instrumen Observasi Keterlaksanaan Pembelajaran
D.6.
Lembar Validasi Instrumen Tes Hasil Belajar Siswa
D.7.
Lembar Penilaian RPP oleh Ahli Materi
D.8.
Lembar Penilaian RPP oleh Guru Matematika
D.9.
Lembar Penilaian LKS oleh Ahli Materi
D.10.
Lembar Penilaian LKS oleh Ahli Media
D.11.
Lembar Penilaian LKS oleh Guru Matematika
D.12.
Angket Respon oleh Guru
D.13.
Angket Respon oleh Siswa
D.14.
Lembar Observasi Keterlaksanaan Pembelajaran
D.15.
Lembar Jawab Tes Hasil Belajar Siswa
D.16.
Contoh Hasil Pengerjaan LKS Siswa
186
Lembar Validasi Instrumen Penilaian RPP
187
Lampiran D.1 Lembar Validasi Instrumen Penilaian RPP
188
189
190
191
Lembar Validasi Instrumen Penilaian LKS
192
Lampiran D.2 Lembar Validasi Instrumen Penilaian LKS
193
194
Lembar Validasi Instrumen Angket Respon Guru
195
Lampiran D.3 Lembar Validasi Instrumen Angket Respon Guru
196
197
Lembar Validasi Instrumen Angket Respon Siswa
198
Lampiran D.4 Lembar Validasi Instrumen Angket Respon Siswa
199
Lampiran D.5 Lembar Validasi Instrumen Lembar Validasi Lembar Observasi Keterlaksanaan Pembelajaran Observasi Keterlaksanaan Pembelajaran
200
201
202
Lembar Validasi Tes Hasil Belajar Siswa
203
Lampiran D.6 Lembar Validasi Instrumen Tes Hasil Belajar Siswa
204
205
206
207
208
209
Lembar Penilaian RPP oleh Ahli Materi
210
Lampiran D.7 Lembar Penilaian RPP oleh Ahli Materi
211
212
213
Lembar Penilaian RPP oleh Guru Matematika
214
Lampiran D.8 Lembar Penilaian RPP oleh Guru Matematika
215
216
217
Lembar Penilaian LKS oleh Ahli Materi
218
Lampiran D.9 Lembar Penilaian LKS oleh Ahli Materi
219
Lembar Penilaian LKS oleh Ahli Media
220
Lampiran D.10 Lembar Penilaian LKS oleh Ahli Media
221
222
Lembar Penilaian LKS oleh Guru Matematika
223
Lampiran D.11 Lembar Penilaian LKS oleh Guru Matematika
224
225
226
Lampiran D.12 Angket Respon oleh Guru
227
228
229
Lampiran D.13 Angket Respon oleh Siswa
230
231
232
233
Lampiran D.14 Lembar Observasi Keterlaksanaan Pembelajaran
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
Lampiran D.15 Lembar Jawab Tes Hasil Belajar Siswa
248
249
250
Lampiran D.16 Contoh Hasil Pengerjaan LKS Siswa
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
LAMPIRAN E Surat-surat E.1.
Surat Permohonan Ijin Penelitian
E.2.
Surat Keterangan telah Melakukan Penelitian
E.3.
Surat Permohonan Validasi Instrumen Penilaian
E.4.
Surat Permohonan Validasi Perangkat Pembelajaran
E.5.
Surat Keterangan Telah Melakukan Validasi
E.6.
Surat Keputusan Penunjukan Dosen Pembimbing
263
Lampiran E.1 Surat Permohonan Ijin Penelitian
264
265
266
Lampiran E.2 Surat Keterangan telah Melakukan Penelitian
267
Lampiran E. 3 Surat Permohonan Validasi Instrumen Penilaian
268
Lampiran E.4 Surat Permohonan Validasi Perangkat Pembelajaran
269
270
271
Lampiran E.5 Surat Keterangan Telah Melakukan Validasi
272
273
274
Lampiran E.6 Surat Keputusan Penunjukan Dosen Pembimbing
275
1
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) MATERI LOGIKA SMA KELAS X DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP)
1 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Pertemuan Pertama) Nama Sekolah
:
SMA N 1 Cangkringan
Mata Pelajaran
:
Matematika
Kelas/ Semester
:
X/ 2
Materi Pokok
:
Logika
Alokasi Waktu
:
2 × 45 menit (1 pertemuan)
Standar Kompetensi 4. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar 4.1. Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya. Indikator 4.1.1. Menjelaskan arti dan contoh dari pernyataan dan menentukan nilai kebenarannya. 4.1.2. Menjelaskan arti dan contoh dari kalimat terbuka dan menentukan himpunan penyelesaiannya. 4.1.3. Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan beserta nilai kebenarannya. A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menjelaskan arti dan contoh dari pernyataan dan menentukan nilai kebenarannya. 2. Peserta didik dapat menjelaskan arti dan contoh dari kalimat terbuka dan menentukan himpunan penyelesaiannya. 3. Peserta didik dapat menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan beserta nilai kebenarannya. B. Materi Ajar 1. Pernyataan dan nilai kebenarannya a. Pernyataan Pernyataan adalah sebuah kalimat yang memiliki nilai kebenaran benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Perhatikan contoh kalimat berikut. 1. Matahari terbit di sebelah timur. 2. Nasi goreng itu sangat enak. 3. Tujuh merupakan bilangan genap. 4. Ayo kita belajar! 5. Apakah sapi merupakan hewan herbivora?
2 Dari contoh kalimat di atas, kalimat nomor 1 dan 3 merupakan pernyataan. Sedangkan kalimat nomor 2 bukan pernyataan karena kebenarannya relatif. Kalimat nomor 4 dan 7 juga bukan pernyataan karena tidak memiliki nilai kebenaran. Pernyataan faktual adalah pernyataan yang untuk menentukan nilai kebenarannya perlu diadakan penyelidikan terlebih dahulu, contoh: Sekarang Presiden Jokowi sedang rapat dengan Menteri Pendidikan. b. Nilai kebenaran 1) Pernyataan bernilai Benar (Pernyataan Benar) jika pernyataan tersebut sesuai dengan fakta (kenyataan), aturan, kesepakatan, definisi, atau perjanjian. Jika sebaliknya maka pernyataan tersebut bernilai Salah (Pernyataan Salah). 2) Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf kecil, seperti
, , , , … , , , , , … dan seterusnya. Kata nilai kebenaran
dilambangkan dengan menggunakan huruf Yunani
(dibaca: tau). Nilai
kebenaran “Benar” dilambangkan dengan “B” dan nilai kebenaran “Salah” dilambangkan dengan “S”. Perhatikan contoh sebagai berikut. -
Pernyataan “7 adalah bilangan ganjil” dapat dinyatakan sebagai berikut. : 7 adalah bilangan ganjil ( ) = , dibaca “nilai kebenaran pernyataan
adalah Benar (B)”.
3) Jika kita mempunyai n pernyataan, maka kita dapat menentukan kombinasi nilai kebenaran yang mungkin sebanyak 2 . 2. Kalimat terbuka dan himpunan penyelesaiannya. a. Kalimat terbuka Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). b. Himpunan penyelesaiaan Penyelesaian adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat menjadi pernyataan benar. Himpunan yang anggotanya merupakan semua penyelesaian dari kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian. Contoh: Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka “Dia adalah mantan presiden Indonesia” dengan himpunan semesta pembicaraannya adalah orang Indonesia adalah {Soekarno, Soeharto, Habibi, Abrurrahman Wahid, Megawati, SBY}
3 3. Negasi dari suatu pernyataan dan nilai kebenarannya. Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan baru yang diperoleh dengan membubuhkan kata “tidak benar bahwa” di depan pernyataan semula atau bila memungkinkan dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan”, sehingga nilai kebenarannya saling berlawanan dengan pernyataan awal. Jika yang diketahui maka ingkaran atau negasi dari lambang “~ ” (Dibaca: tidak benar
adalah pernyataan
dapat ditulis dengan mengunakan
atau bukan )
Hubungan nilai kebenaran antara ingkaran sebuah pernyataan dengan pernyataan semula dapat ditentukan sebagai berikut. a. Jika
adalah pernyataan yang bernilai benar (B), maka ~ bernilai salah (S).
b. Jika
adalah pernyataan yang bernilai salah (S), maka ~ bernilai benar (B).
Tabel kebenaran dari negasi adalah sebagai berikut.
B S
~ S B
C. Pendekatan dan Metode Pembelajaran 1. Pendekatan
: Kontekstual
2. Metode
: Diskusi
D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Kegiatan Pendahuluan
Uraian Kegiatan Pembelajaran
1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran pada hari ini adalah untuk mengetahui pernyataan nilai kebenarannya,
Waktu 10 menit
A. Pembukaan
dan
Alokasi
kalimat terbuka dan
himpunan penyelesaiaanya, serta negasi dari suatu pernyataan. B. Motivasi Fase Relating 3. Guru menyampaikan bahwa komunikasi merupakan hal yang penting dalam kehidupan manusia sebagai
4 makhluk sosial. Dalam aktivitas sehari-hari, kita menggunakan berbagai macam kalimat, seperti kalimat berita, kalimat tanya, kalimat ajakan, kalimat perintah, dan lain-lain. Dalam matematika dikenal dua jenis kalimat yaitu kalimat terbuka dan kalimat tertutup (pernyataan). 4. Guru memberikan beberapa contoh kalimat seperti berikut.
SMA 1 Cangkringan merupakan sekolah berbasis budaya.
Apakah kalian pernah mencapai puncak gunung Merapi?
SMA 1 Cangkringan terletak di suatu kabupaten.
Guru memberikan pertanyaan kepada peserta didik, kalimat manakah yang merupakan kalimat tertutup (pernyataan) dan kalimat terbuka? Inti
70 menit
C. Eksplorasi Fase Experiencing 5. Peserta didik diarahkan untuk berdiskusi dengan teman sebangku dalam menyelesaikan kegiatan pada LKS 1. (Constructivism: permasalahan pada LKS dilengkapi dengan pertanyaan-pertanyaan membantu peserta didik dalam mengkonstruksi pengetahuan) 6. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami
permasalahan
pada
masing-masing
kegiatan di LKS 1 yang telah dibagikan. (Questioning: permasalahan dan kegiatan dalam LKS menimbulkan pertanyaan bagi peserta didik bagaimana menyelesaikannya) 7. Peserta didik termotivasi untuk bertanya bagaimana menyelesaikan permasalahan pada masing-masing kegiatan pada LKS 1.
5 D. Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok) (Modelling: pengisian tabel dan jawaban pertanyaan didahului dengan contoh) 8. Peserta didik berdiskusi untuk menjawab pertanyaan dan melengkapi tabel pada masing-masing kegiatan dalam LKS 1. 9. Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk-petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep) 10. Berdasarkan hasil diskusi kelompok pada Kegiatan 1.1 peserta didik dapat menemukan konsep mengenai pernyataan dan bukan pernyataan, pada Kegiatan 1.2 peserta didik menemukan konsep mengenai nilai kebenaran,
pada
Kegiatan
1.3
peserta
didik
menemukan konsep mengenai kalimat terbuka, dan pada Kegiatan 1.4 peserta didik menemukan konsep tentang negasi (ingkaran). Fase Applying 11. Guru memberikan kesempatan kepada 4 kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya masingmasing satu kegiatan dari LKS 1 di depan kelas. 12. Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 13. Guru memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. E. Konfirmasi Fase Transferring (Authentic Assessment: mengukur pengetahuan peserta didik)
6 14. Guru meminta peserta didik untuk mengerjakan soal latihan secara individual pada halaman “Ayo Berlatih” untuk mengukur seberapa jauh pemahaman peserta didik tentang konsep pernyataan, nilai kebenaran, kalimat terbuka, dan negasi. 15. Guru bersama-sama dengan peserta didik membahas jawaban yang tepat dari soal-soal tersebut. (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 16. Guru membimbing peserta didik untuk merefleksikan materi telah dipelajari hari ini, tentang pernyataan dan
nilai
kebenarannya,
kalimat
terbuka dan
himpunan penyelesaiaanya, serta negasi dari suatu pernyataan. Kemudian peserta didik menuliskannya pada kolom “Refleksi”. 17. Peserta didik diberi kesempatan untuk memberikan refleksi berupa masukan atau tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. Penutup
18. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik.
10 menit
19. Guru menginformasikan pada peserta didik materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya, yaitu pernyataan majemuk disjungsi dan konjungsi. 20. Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do’a dan salam. F. Alat dan Sumber Belajar 1. Alat
: LKS 1 tentang Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat terbuka, dan Negasi
2. Sumber Belajar
: Siswanto. 2015. Matematika untuk Kelas X SMA dan MA. Jakarta: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri
G. Penilaian Hasil Belajar a) Penilaian Pengetahuan Teknik
: Tes tertulis
Bentuk Instrumen
: Uraian
Instrumen Penilaian : Soal Latihan LKS 1
7 1. Buatlah masing-masing 1 contoh untuk: a. “Pernyataan Benar” tentang pelestarian lingkungan. b. “Pernyataan Salah” tentang budaya tradisional Yogyakarta. c. Bukan Pernyataan d. Kalimat Terbuka Perhatikan kalimat-kalimat berikut ini untuk menjawab pertanyaan nomor 2 sampai 5. a. Ludruk adalah kesenian tradisional yang berasal dari Jawa Timur. b. Hati-hati saat menyeberang! c. 111 adalah bilangan prima. d. Dani anak yang malas. e. Tokyo adalah Ibukota Jepang. f. Matematika adalah pelajaran yang mudah. g. Dia adalah pemeran utama film “Single”. h. 4 − 8 = 20 i. Segitiga sama sisi memiliki 6 simetri lipat. j. 4 +
< 18
2. Manakah diantara kalimat-kalimat di atas yang merupakan pernyataan? 3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan pada jawaban No.2 (gunakan lambang nilai kebenaran " "). 4. Manakah diantara kalimat-kalimat diatas yang merupakan kalimat terbuka? 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka pada jawaban No.4 6. Tentukan ingkaran dari pernyataan-pernyataan berikut. a. Bagian barat Indonesia dibatasi oleh Samudera Hindia. b. Singapura adalah Negara yang beriklim tropis. c. Ada bilangan prima yang genap. d. Matematika adalah pelajaran yang sulit. e. 2 + 5 < 15. Rubrik Penilaian No 1
:
Kunci Jawaban a. Pelestarian hutan dapat dilakukan dengan melakukan reboisasi b. Upacara Sekaten diadakan setahun sekali pada bulan Rajab. c. Dian adalah anak yang pandai. d. Dia adalah seorang pemain bulutangkis. (Jawaban nomor 1 menyesuaikan dengan jawaban peserta didik)
Skor 20
8 2 3
a, c, e, dan i a. Misal : Ludruk adalah kesenian tradisional yang berasal dari Jawa Timur. ( ) = c. Misal : 111 adalah bilangan prima. ( ) = e. Misal : Tokyo adalah Ibukota Jepang. ( ) = i. Misal : Segitiga sama sisi memiliki 6 simetri lipat. ( ) = 4 g, h, dan j 5 g. Dia adalah pemeran utama film “Single”. Himpunan penyelesaiannya adalah {Raditya Dika} h. 4 − 8 = 20 ⇔ 4 = 28 ⇔ = 7 Himpunan penyelesaiaanya adalah {7} j. 4 + = 18 Himpunan penyelesaianya adalah {(0,18), (1,14), (2,10),(3,6),(4,2)} 6 a. Bagian barat Indonesia tidak dibatasi oleh Samudera Hindia. b. Tidak benar bahwa Singapura adalah Negara yang beriklim tropis. a. Tidak ada bilangan prima yang genap b. Matematika bukan pelajaran yang sulit. c. 2 + 5 ≥ 15. Total Skor Nilai = Skor yang diperoleh
10 20
10 20
20
100
b) Penilaian partisipasi kelas No
Nama Peserta didik
Motivasi Belajar
Keterangan: (A = 4, B = 3, C = 2, K = 1) Skor: 33 s.d. 40 Nilai A (Amat Baik) Skor: 25 s.d. 32 Nilai B (Baik)
Aspek Keaktifan Berdiskusi
Kepercayaan Diri
Total Skor
Nilai
Skor: 18 s.d. 24 Nilai C (Cukup) Skor: 10 s.d. 17 Nilai K (Kurang) Sleman,
Januari 2016
Mengetahui, Guru Matematika
Peneliti
Marsiyam, S.Pd.Si.
Hanifah Aabidah F
NIP.: 19780814 201406 2 001
NIM. 12301241038
9 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Pertemuan Kedua) Nama Sekolah
:
SMA N 1 Cangkringan
Mata Pelajaran
:
Matematika
Kelas/ Semester
:
X/ 2
Materi Pokok
:
Logika
Alokasi Waktu
:
2 × 45 menit (1 pertemuan)
Standar Kompetensi 4
Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.
Kompetensi Dasar 4.2.
Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.
Indikator 4.2.1. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi. 4.2.2. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk disjungsi. A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi. 2. Peserta didik dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk disjungsi. B. Materi Ajar Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk. 1. Konjungsi a. Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan
dan
yang
dirangkai dengan menggunakan kata hubung “dan”. Konjungsi dari pernyataan dan pernyataan
ditulis dengan lambang “ ∧ ” (Dibaca:
dan ).
Contoh: Dono memiliki sepeda motor dan tersedia bensin. b. Nilai kebenaran konjungsi
∧
1)
∧
benar, jika
2)
∧
salah, jika salah satu
benar dan
dapat ditentukan dengan definisi berikut. benar atau
salah, atau jika
salah dan
salah.
10 ∧
c. Tabel kebenaran dari konjungsi
d. Menentukan
dapat ditunjukan pada tabel berikut. ∧ B S S S
B B B S S B S S pada kalimat ( ) ∧
1) Jika pernyataan
bernilai salah, maka setiap nilai
dalam ( ) menyebabkan kalimat majemuk ( ) ∧ 2) Jika pernyataan
yang disubtitusikan bernilai salah.
bernilai benar, maka kalimat majemuk ( ) ∧
bernilai
a) Benar, jika ( ) bernilai benar, b) Salah, jika ( ) bernilai salah. 2. Disjungsi a. Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan
dan
yang
dirangkai dengan menggunakan kata hubung “atau”. Disjungsi dari pernyataan dan pernyataan
ditulis dengan lambang “ ∨ ” (Dibaca:
atau ).
Contoh: Pak Darto memiliki koran atau radio. b. Nilai kebenaran disjungsi
∨
dapat ditentukan dengan definisi berikut.
1)
∨
benar, jika salah satu diantara
2)
∨
salah, jika
dan
B B S S pada kalimat (
1) Jika pernyataan
benar, atau jika
∨
benar
dapat ditunjukan pada tabel berikut.
B S B S )∨
∨ B B B S
bernilai benar maka setiap nilai
dalam ( ) menyebabkan kalimat majemuk ( ) ∨ 2) Jika pernyataan
dan
keduanya salah.
c. Tabel kebenaran dari disjungsi
d. Menentukan
dan
yang disubtitusikan bernilai benar.
bernilai salah, maka kalimat majemuk ( ) ∨
bernilai
a) Benar, jika ( ) bernilai benar, b) Salah, jika ( ) bernilai salah. 3. Konjungsi dan disjungsi pada rangkaian listrik Misalkan dalam suatu rangkaian arus listrik sederhana, dua terminal A dan B dihubungkan oleh beberapa susun kabel dan saklar. Susunan kabel dan saklar ini bisa di rangkai seri atau parallel. Perhatikan gambar berikut.
11 Rangkaian Seri A
B Rangkaian Paralel
A
dan
B mewakili saklar pada rangkaian. Saklar
dan
dapat “terbuka” (off) atau
“tertutup” (on). Setiap saklar yang tertutup diberi label nilai kebenaran B dan saklar yang terbuka diberi label nilai kebenaran S, sementara jika rangkaian menghantarkan arus dari A ke B diberi label nilai kebenaran B dan rangkaian yang tidak menghantarkan arus dari A ke B diberi label nilai kebenaran S. Diperoleh bahwa
Rangkaian listrik seri bersesuaian dengan konjungsi.
Rangkaian listrik paralel bersesuaian dengan disjungsi.
C. Metode Pembelajaran 1. Pendekatan
: Kontekstual
2. Metode
: Diskusi
D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Kegiatan
Alokasi
Uraian Kegiatan Pembelajaran
Waktu 10 menit
Pendahuluan A. Pembukaan 1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran pada hari
ini
adalah
untuk
mempelajari
pernyataan
majemuk konjungsi dan disjungsi serta menentukan nilai kebenarannya. B. Apersepsi Fase Relating 3. Guru
mengingatkan
kembali
tentang
materi
pembelajaran sebelumnya,
Apakah kalian masih ingat tentang bagaimana menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan tunggal?
12
Bagaimana jika kita menemukan dua atau lebih pernyataan tunggal yang dihubungkan oleh kata hubung logika? Bagaimana menentukan nilai kebenarannya?
C. Motivasi 4. Guru mengingatkan peserta didik mengenai materi tentang jaringan listrik.
Dalam jaringan listrik kita mengenal rangkaian listrik seri dan rangkaian listrik paralel. Saklar terbuka berarti tidak ada aliran listrik (off) dan saklar tertutup berarti ada aliran listrik (on). Dengan mempelajari logika, khususnya konjungsi dan disjungsi kita dapat mengetahui ada atau tidaknya aliran arus listrik pada rangkaian seri maupun paralel dengan memperhatikan terbuka atau tertutupnya saklar-saklar pada rangkaian.
Kegiatan Inti
75 menit
D. Eksplorasi Fase Experiencing 5. Peserta didik diberi kesempatan untuk menyebutkan kata
hubung
yang
dapat
digunakan
untuk
menggabungkan dua pernyataan menjadi sebuah pernyataan majemuk. 6. Peserta didik diarahkan untuk membuka bagian LKS 2 tentang Disjungsi dan Konjungsi. (Modelling: Kegiatan 2.1 menampilkan contoh pernyataanpernyataan majemuk yang disusun oleh dua pernyataan tunggal) 7. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami Kegiatan 2.1, yaitu mengenai pengertian pernyataan majemuk dan macam-macam kata hubung logika yang dapat digunakan untuk menghubungkan komponen-komponen pernyataan majemuk secara mandiri.
13 (Constructivism:
Permasalahan
pada
Kegiatan
2.1
membantu peserta didik untuk membangun pengetahuan mereka
tentang
pernyataan
majemuk
jika
diketahui
komponen-komponennya) 8. Peserta didik diberi kesempatan untuk menyelesaikan masalah pada kegiatan 2.1 secara mandiri. 9. Peserta didik dibagi dalam kelompok-kelompok diskusi yang terdiri dari 4-5 orang. (Constructivism: permasalahan pada LKS dilengkapi dengan pertanyaan-pertanyaan membantu peserta didik dalam mengkonstruksi pengetahuan) 10. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami permasalahan pada Kegiatan 2.2 dan Kegiatan 2.3 di LKS 2 yang telah dibagikan terlebih dahulu. (Questioning: permasalahan dalam
LKS
menimbulkan
pertanyaan bagi peserta didik bagaimana menyelesaikannya) 11. Peserta didik termotivasi untuk bertanya bagaimana menyelesaikan permasalahan pada Kegiatan 2.2 dan Kegiatan 2.3 di LKS 2. E. Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok) (Modelling: kolom catatan menbantu peserta didik dalam menyelesaikan masalah yang disajikan) 12. Peserta didik berdiskusi untuk menjawab pertanyaan dan melengkapi tabel Kegiatan 2.2 dan Kegiatan 2.3 di LKS 2. 13. Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk-petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep)
14 14. Berdasarkan hasil diskusi kelompok pada Kegiatan 2.2 peserta didik dapat menemukan konsep disjungsi dan nilai kebenarannya dan pada Kegiatan 2.3 peserta didk dapat menemukan konsep konjungsi dan nilai kebenarannya. Fase Applying 15. Guru memberikan kesempatan kepada 2 kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya untuk Kegiatan 2.2 dan Kegiatan 2.3 pada LKS 2 di depan kelas. 16. Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 17. Guru memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. 18. Peserta didik diberi kesempatan untuk memahami permasalahan pada halaman 27 yaitu “Menentukan Nilai Kebenaran Konjungsi dan Disjungsi dengan Analogi Rangkaian Listrik” secara individu. 19. Peserta didik dibimbing untuk menyelidiki hubungan antara rangkaian listrik seri dan rangkaian listrik paralel
dengan
nilai
kebenaran
konjungsi
dan
disjungsi. F. Konfirmasi Fase Transferring (Authentic Assessment: mengukur pengetahuan peserta didik) 20. Guru meminta peserta didik untuk mengerjakan soal latihan secara individual pada halaman “Ayo Berlatih” untuk mengukur seberapa jauh pemahaman peserta didik tentang konsep disjungsi dan konjungsi. 21. Guru bersama-sama dengan peserta didik membahas jawaban yang tepat dari soal-soal tersebut. 22. Guru memberi kesempatan peserta didik untuk menanyakan hal-hal yang masih belum dipahami.
15 (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 23. Guru membimbing peserta didik untuk merefleksikan materi yang telah dipelajari, tentang konjungsi, disjungsi, serta hubungan antara rangkaian listrik dengan nilai kebenaran konjungsi dan disjungsi. Kemudian peserta didik menuliskannya pada kolom “Refleksi”. 24. Peserta didik diberi kesempatan untuk memberikan refleksi berupa masukan atau tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. Penutup
25. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik.
5 menit
26. Guru menginformasikan pada peserta didik materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya, yaitu implikasi, biimplikasi, tautologi, dan kontradiksi. 27. Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do’a dan salam. G. Alat dan Sumber Belajar 1. Alat
: LKS 2 (Konjungsi dan Disjungsi)
2. Sumber Belajar
: Siswanto. 2015. Matematika untuk Kelas X SMA dan MA. Jakarta: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri
H. Penilaian a) Penilaian Pengetahuan Teknik
: Tes tertulis
Bentuk Instrumen
: Uraian
Instrumen Penilaian : Soal Latihan LKS 2 1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut. a. Candi Borobudur dan Candi Prambanan terletak di Jawa tengah. b. 30 adalah bilangan yang habis dibagi 7 atau 4. 2. Tentukan nilai dan pengganti kata “itu” agar kalimat majemuk berikut bernilai benar. a. 25 adalah kelipatan 2 atau 2log 16 = b. Itu adalah planet yang paling dekat dengan Bumi dan Bumi mengelilingi Matahari.
16 3. Diketahui komponen pernyataan berikut. : Bali beribukota di Denpasar. : Bali terkenal dengan tari Kecak. Nyatakan dalam bentuk pernyataan majemuk berikut dan tentukan nilai kebenarannya. ∨∼
a. b. ∼
∧
Rubrik Penilaian No 1
: Kunci Jawaban
Benar Salah 2 =4 Mars 3 Bali beribukota di denpasar atau tidak terkenal dengan tari Kecak. Nilai kebenarannya adalah Benar b. Bali tidak beribukota di Denpasar dan terkenal dengan tari Kecak. Nilai kebenarannya adalah Salah Total Skor Nilai = Skor yang diperoleh b) Penilaian partisipasi kelas No
a. b. a. b. a.
Nama Peserta didik
Motivasi Belajar
Keterangan: (A = 4, B = 3, C = 2, K = 1) Skor: 33 s.d. 40 Nilai A (Amat Baik) Skor: 25 s.d. 32 Nilai B (Baik)
Aspek Keaktifan Berdiskusi
Kepercayaan diri
Total Skor
Skor 40 30 30
100
Nilai
Skor: 18 s.d. 24 Nilai C (Cukup) Skor: 10 s.d. 17 Nilai K (Kurang) Sleman,
Januari 2016
Mengetahui, Guru Matematika
Peneliti
Marsiyam, S.Pd.Si.
Hanifah Aabidah F
NIP.: 19780814 201406 2 001
NIM. 12301241038
17 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Pertemuan Ketiga) Nama Sekolah
:
SMA N 1 Cangkringan
Mata Pelajaran
:
Matematika
Kelas/ Semester
:
X/ 2
Materi Pokok
:
Logika
Alokasi Waktu
:
2 × 45 menit (1 pertemuan)
Standar Kompetensi 4
Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.
Kompetensi Dasar 4.3.
Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.
4.4.
Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan.
Indikator 4.2.3. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk implikasi. 4.2.4. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk biimplikasi. 4.3.2. Menyelidiki apakah suatu pernyataan majemuk merupakan suatu tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi. A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk implikasi. 2. Peserta didik dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk biimplikasi. 3. Peserta didik dapat menyelidiki apakah suatu pernyataan majemuk merupakan suatu tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi. B. Materi Ajar Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk. 1. Implikasi a. Implikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan dan
dalam bentuk jika
maka . Implikasi dari pernyataan
ditulis dengan lambang “ ⟹ ” (dibaca: jika
maka ).
Contoh: Jika Nita lulus ujian maka Nita mendaftar kuliah.
dan
dapat
18 ⟹
b. Nilai kebenaran implikasi definisi:
⟹
dapat ditentukan dengan menggunakan
dinyatakan salah, jika
benar dan
salah, kemungkinan
lainnya dinyatakan benar. c. Tabel kebenaran implikasi
d. Menentukan
⟹
B B S S pada kalimat (
1) Jika pernyataan
dapat ditunjukkan pada tabel berikut. ⟹ B S B B
B S B S )⟹
bernilai benar maka setiap nilai
yang disubtitusikan
dalam ( ) menyebabkan kalimat majemuk ( ) ⟹ 2) Jika pernyataan
bernilai benar.
bernilai salah, maka kalimat majemuk ( ) ⟹
bernilai
a) Benar, jika ( ) bernilai salah, b) Salah, jika ( ) bernilai benar. 2. Bimplikasi a. Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua pernyataan dan
dalam bentuk “ jika dan hanya jika ". Biimplikasi dari pernyataan
dan
dapat ditulis dengan lambang “ ⟺ ” (dibaca:
jika dan hanya jika ).
Contoh: Tim voli XA menang jika dan hanya jika memperoleh skor 25 b. Nilai kebenaran biimplikasi definisi:
⟺
⟺
dapat ditentukan dengan menggunakan
dinyatakan benar jika
( ) = ( ), dinyatakan salah jika
( ) ≠ ( ). c. Tabel kebenaran biimplikasi
d. Menentukan
B B S S pada kalimat (
1) Jika pernyataan
⟺
dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
B S B S )⟺
⟺ B S S B
bernilai benar maka kalimat majemuk ( ) ⟺
bernilai
a) Benar, jika ( ) bernilai benar, b) Salah, jika ( ) bernilai salah. 2) Jika pernyataan
bernilai salah, maka kalimat majemuk ( ) ⟺
a) Benar, jika ( ) bernilai salah, b) Salah, jika ( ) bernilai benar.
bernilai
19 Tautologi dan Kontradiksi 1. Tautologi Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Contoh tautologi adalah ( ∧ ) ⟹ . Implikasi logis merupakan implikasi yang merupakan tautologi. Sedangkan biimplikasi logis adalah biimplikasi yang merupakan tautologi. 2. Kontradiksi Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Contoh kontradiksi adalah ∼ ( ∨ ) ∧ . C. Metode Pembelajaran 1. Pendekatan
: Kontekstual
2. Metode
: Diskusi
D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Kegiatan
Alokasi
Uraian Kegiatan Pembelajaran
Waktu 10 menit
Pendahuluan A. Pembukaan 1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran pada
hari
ini
adalah
untuk
mempelajari
pernyataan majemuk berbentuk implikasi dan nilai
kebenarannya,
biimplikasi
dan
nilai
kebenarannya, serta tautologi dan kontradiksi. B. Apersepsi Fase Relating 3. Guru mengingatkan kembali materi pembelajran sebelumnya,
Apakah kalian masih ingat tentang bagaimana menentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk konjungsi dan disjungsi?
20 4. Guru meminta peserta didik untuk membuka kembali Kegiatan 2.1 pada LKS 2.
Pernyataan majemuk apa saja yang belum kita pelajari?
C. Motivasi 5. Guru memberikan motivasii dengan menyajikan permasalahan berikut.
Perhatikan gambar pada LKS 3.. Kemudian buatlah uatlah kalimat yang menyatakan hubungan sebab dan akibat berupa implikasi atau biimplikasi terkait dengan bencana kebakaran hutan.
Beberapa peserta didik diberi kesempatan untuk ntuk menuliskan kalimat yang telah mereka buat di papan tulis.
Manakah yang merupakan implikasi dan biimplikasi?
Apakah
kalian
dapat
menentukan
nilai
kebenaran dari pernyataan tersebut? Kegiatan Inti
D. Eksplorasi Fase Experiencing 6. Peserta didik dibagi dalam kelompok-kelompok kelompok diskusi yang terdiri dari 4-5 orang. (Constructivism Constructivism: permasalahan pada LKS dilengkapi dengan pertanyaan pertanyaan-pertanyaan pertanyaan membantu peserta didik dalam mengkonstruksi pengetahuan) pengetahuan
21 7. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami permasalahan pada Kegiatan 3.1 dan Kegiatan 3.2 di LKS 3 yang telah dibagikan terlebih dahulu. (Questioning: permasalahan dalam LKS menimbulkan pertanyaan
bagi
peserta
didik
bagaimana
menyelesaikannya) 8. Peserta
didik
termotivasi
untuk
bertanya
bagaimana menyelesaikan permasalahan pada Kegiatan 3.1 dan Kegiatan 3.2 di LKS 3. E. Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok) (Modelling: kolom catatan membantu peserta didik dalam menyelesaikan masalah) 9. Peserta
didik
berdiskusi
untuk
menjawab
pertanyaan dan melengkapi tabel Kegiatan 3.1 dan Kegiatan 3.2 di LKS 3. 10. Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep) 11. Berdasarkan
hasil
diskusi
kelompok
pada
Kegiatan 3.1 peserta didik dapat menemukan konsep implikasi dan nilai kebenarannya dan pada Kegiatan 3.2 peserta didik dapat menemukan konsep biimplikasi dan nilai kebenarannya. Fase Applying 12. Guru
memberikan
kelompok
untuk
kesempatan
kepada
mempresentasikan
2
hasil
diskusinya untuk Kegiatan 3.1 dan Kegiatan 3.2 pada LKS 2 di depan kelas.
22 13. Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 14. Peserta didik diarahkan untuk kembali ke tempat duduk
masing-masing
kemudian
guru
memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. Fase experiencing (Modelling: Kegiatan 3.3 menampilkan contoh mencari nilai kebenaran dari pernyataan majemuk menggunakan tabel kebenaran) 15. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami Kegiatan 3.3. tentang bagaimana menentukan nilai kebenaran dari pernyataan dengan menggunkan tabel kebenaran. (Constructivism dan Inquiry: permasalahan membantu peserta didik untuk mengkonstruksi dan menemukan konsep tautologi dan kontradiksi) 16. Peserta didik diberi kesempatan untuk memahami permasalahan pada Kegiatan 3.4 dan 3.5. 17. Peserta
didik
diberi
kesempatan
untuk
menyelesaikan masalah pada Kegiatan 3.4 dan Kegiatan 3.5 secara individu. 18. Peserta
didik
menemukan
konsep
tentang
tautologi dan kontradiksi. F. Konfirmasi Fase Transferring (Authentic Assessment: mengukur pengetahuan peserta didik) 19. Guru meminta peserta didik untuk mengerjakan soal latihan secara individual pada halaman “Ayo Berlatih” pemahaman
untuk
mengukur
peserta
didik
seberapa tentang
jauh konsep
implikasi dan biimplikasi serta tautologi dan kontradiksi
23 20. Guru
bersama-sama
dengan
peserta
didik
membahas jawaban yang tepat dari soal-soal tersebut. 21. Guru memberi kesempatan peserta didik untuk menanyakan hal-hal yang masih belum dipahami. (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 22. Guru
membimbing
merefleksikan
materi
peserta yang
didik telah
untuk
dipelajari,
tentang implikasi, biimplikasi, tautologi dan kontradiksi.
Kemudian
peserta
didik
menuliskannya pada kolom “Refleksi”. 23. Peserta
didik
memberikan
diberi
refleksi
kesempatan
berupa
masukan
untuk atau
tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. Penutup
24. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik. 25. Guru menginformasikan pada peserta didik materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya, yaitu tentang ekuivalensi dan konvers, invers, serta kontraposisi 26. Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do’a dan salam.
E. Alat dan Sumber Belajar 1. Alat
: LKS 3 (Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi)
2. Sumber Belajar
: Siswanto. 2015. Matematika untuk Kelas X SMA dan MA. Jakarta: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri
F. Penilaian a) Penilaian pengetahuan Teknik
: Tes tertulis
Bentuk Instrumen
: Uraian
Instrumen Penilaian : Soal Latihan LKS 3 1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut. a. Jika Pattimura adalah pahlawan nasional, maka tidak berasal dari Maluku.
24 b. 8 = 4 jika dan hanya jika adalah bilangan rasional. 2. Tentukan nilai
agar kalimat majemuk berikut bernilai benar.
a. Negara itu beribukota di Kuala Lumpur jika dan hanya jika kartun Upin Ipin berasal dari Negara itu. − 3 − 18 = 0, maka 18 habis dibagi 8
b. Jika
3. Diketahui komponen pernyataan berikut. : Ki Hajar Dewantara adalah pendiri sekolah Taman Siswa. : Ki Hajar Dewantara merupakan Bapak Pendidikan Indonesia. Nyatakan dalam bentuk pernyataan majemuk berikut dan tentukan nilai kebenarannya. a. ∼ b.
⟹∼ ⟺∼
4. Selidiki apakah bentuk pernyataan majemuk ~( ∨ ) ∧
merupakan
tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi. 5. Selidiki apakah bentuk pernyataan majemuk
⟹ [ ∨ ( ∧ )] merupakan
tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi. Rubrik Penilaian No 1 2
3
:
Kunci Jawaban c. Salah d. Benar 5 Malaysia 6 − 3 − 18 = 0 ⇔ ( + 3)( − 6) = 0 ⇔ = −3 atau = 6 Jadi pernyataan “Jika − 3 − 18 = 0, maka 18 habis dibagi 8” benar jika ≠ −3 atau ≠ 6 a. Jika Ki Hajar Dewantara bukan Bapak Pendidikan Indonesia, maka bukan pendiri sekolah Taman Siswa. Nilai kebenarannya adalah Benar b. Ki Hajar Dewantara adalah pendiri sekolah Taman Siswa jika dan hanya jika bukan merupakan Bapak Pendidikan Indonesia. Nilai
Skor 10 20
20
kebenarannya adalah Salah
4
20 ∨ B B B B S B S B B S S S Jadi, ~( ∨ ) ∧ adalah kontradiksi
~( ∨ ) S S S B
~( ∨ ) ∧ S S S S
25 5
30 B B B B S S S S
∧ B B B S S B B S B S S B B B B S S S B S S S S S ⟹ [ ∨ ( ∧ )] adalah tautologi
⟹ [ ∨ ( ∧ )]
∨( ∧ )
B B S S B B S S
B B B B B B B B
Jadi, Total Skor Nilai = Skor yang diperoleh
100
b) Penilaian partisipasi kelas No
Nama Peserta didik
Motivasi Belajar
Keterangan: (A = 4, B = 3, C = 2, K = 1) Skor: 33 s.d. 40 Nilai A (Amat Baik) Skor: 25 s.d. 32 Nilai B (Baik)
Aspek Keaktifan Berdiskusi
Kepercayaan diri
Total Skor
Nilai
Skor: 18 s.d. 24 Nilai C (Cukup) Skor: 10 s.d. 17 Nilai K (Kurang) Sleman,
Januari 2016
Mengetahui, Guru Matematika
Peneliti
Marsiyam, S.Pd.Si.
Hanifah Aabidah F
NIP.: 19780814 201406 2 001
NIM. 12301241038
26 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Pertemuan Keempat dan Kelima) Nama Sekolah
:
SMA N 1 Cangkringan
Mata Pelajaran
:
Matematika
Kelas/ Semester
:
X/ 2
Materi Pokok
:
Logika
Alokasi Waktu
:
4 × 45 menit (2 pertemuan)
Standar Kompetensi 4
Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor.
Kompetensi Dasar 4.2. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor 4.3. Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. Indikator 4.2.5. Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. 4.2.6. Menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berbentuk implikasi beserta nilai kebenarannya. 4.3.1 Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk. A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. 2. Peserta didik dapat menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berbentuk implikasi beserta nilai kebenarannya. 3. Peserta didik dapat memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk.
27 B. Materi Ajar Pertemuan Keempat 1. Ekuivalensi Dua Pernyataan Majemuk Dua buah pernyataan majemuk
dan
dikatakan ekuivalen, jika kedua
pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya, dilambangkan dengan “ ≡ Contoh: (∼
” (dibaca: A ekuivalen dengan B). ∨ )≡( ⟹ )
∼ ∼ ∨ B B S B B S S S S B B B S S B B Berdasarkan tabel di atas, dapat diperoleh bahwa (∼
⟹ B S B B ∨ ) = ( ⟹ ).
2. Negasi dari Pernyataan Majemuk a. Negasi Konjungsi
: ∼ ( ∧ ) ≡ (∼
∨∼ )
b. Negasi Disjungsi
: ∼ ( ∨ ) ≡ (∼
∧∼ )
c. Negasi Implikasi
: ∼ ( ⟹ ) ≡ ( ∧∼ )
d. Negasi Biimplikasi
: ∼ ( ⟺ ) ≡ ( ∧∼ ) ∨ ( ∧∼ ).
Pertemuan Kelima Hubungan antara Implikasi dengan Konvers, Invers, dan Kontraposisi Jika
dan
adalah suatu pernyataan maka dari suatu implikasi
⟹
dapat dibentuk
implikasi lain yaitu: ⟹
1.
⟹
, disebut Konvers dari dari implikasi
2. ∼
⟹∼
, disebut Invers dari implikasi
⟹
3. ∼
⟹∼
, disebut Kontraposisi dari implikasi
⟹
Hubungan nilai kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dapat diperlihatkan dengan menggunakan tabel kebenaran berikut.
B B S S
B S B S
∼ S S B B
∼ S B S B
Implikasi Konvers ⟹ ⟹ B B S B B S B B (1) (2)
Invers ∼ ⟹∼ B B S B (3)
Kontraposisi ∼ ⟹∼ B S B B (4)
28 1. Nilai kebenaran pada kolom (1) dan (4): ( ⟹ ) = (∼
⟹∼ ) artinya
⟹
≡∼
⟹∼
Jadi, implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya. 2. Nilai kebenaran pada kolom (2) dan (3): ( ⟹ ) = (∼
⟹∼ ) artinya
⟹
≡∼
⟹∼
Jadi, konvers dari suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya. C. Metode Pembelajaran 1. Pendekatan
: Kontekstual
2. Metode
: Diskusi
D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Pertemuan Keempat (2x45 menit) Kegiatan
Alokasi
Uraian Kegiatan Pembelajaran
Waktu 10 menit
Pendahuluan A. Pembukaan 1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran pada hari ini adalah untuk menyelidiki ekuivalesi antara dua pernyataan majemuk dan menentukan negasi dari pernyataan majemuk. B. Apersepsi Fase Relating 3. Guru mengingatkan kembali tentang nilai kebenaran dari
pernyataan
majemuk
disjungsi,
konjungsi,
implikasi, dan biimplikasi. C. Motivasi 4. Guru menyajikan masalah sebagai berikut. Jika kita ingin budaya Indonesia tetap ada, maka kita harus melestarikannya. Jika kita tidak melestarikan budaya Indonesia, maka budaya Indonesia akan hilang.
Apakah kedua pernyataan tersebut memiliki nilai yang sama (ekuivalen)?
29 Kegiatan Inti
75 menit
D. Eksplorasi Fase Experiencing 5. Peserta didik diarahkan untuk membuka LKS 4 tentang Ekuivalensi, konvers, invers, dan kontraposisi. (Constructivism: Petunjuk dan permasalahan pada Kegiatan 4.1 membantu peserta didik untuk membangun pengetahuan mereka tentang ekuivalensi) 6. Peserta didik diberi kesempatan untuk memahami petunjuk dan permasalahan pada kegiatan 4.1. (Inquiry: petunjuk dan pertanyaan pada kegiatan 4.1 membantu peserta didik menemukan konsep ekuivalensi) 7. Peserta didik diberi kesempatan untuk menyelesaikan masalah pada kegiatan 4.1 secara individu untuk menemukan konsep tentang ekuivalensi. (Modelling: Halaman 48 menampilkan contoh cara untuk menunjukkan dua pernyataan majemuk yang ekuivalen) 8. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami contoh penyelesaian masalah ekuivalensi pada kegiatan 4.1. 9. Peserta didik dibagi dalam kelompok-kelompok diskusi yang terdiri dari 4-5 orang. Pertanyaan-pertanyaan
(Constructivism:
dalam
LKS
membantu peserta didik mengkonstruksi pengetahuannya) 10. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami permasalahan pada Kegiatan 4.2 (Questioning:
permasalahan
dalam
LKS
menimbulkan
pertanyaan bagi peserta didik bagaimana menyelesaikannya) 11. Peserta
didik
termotivasi
bertanya
bagaimana
menyelesaikan permasalahan Kegiatan 4.2 Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok)
30 12. Peserta didik berdiskusi untuk menjawab pertanyaan dan melengkapi tabel Kegiatan 4.2 13. Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk-petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep) 14. Berdasarkan hasil diskusi kelompok pada Kegiatan 4.2 peserta didik dapat menemukan konsep negasi dari pernyataan majemuk disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Fase Applying 15. Guru memberikan kesempatan kepada 4 kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya tentang negasi dari masing-masing pernyataan majemuk. 16. Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 17. Guru memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. 18. Guru memberi kesempatan peserta didik untuk menanyakan hal-hal yang masih belum dipahami. Konfirmasi (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 19. Guru membimbing peserta didik untuk merefleksikan materi yang telah dipelajari, tentang ekuivalensi dan negasi dari pernyataan majemuk. Kemudian peserta didik menuliskannya pada kolom “Refleksi”. 20. Peserta didik diberi kesempatan untuk memberikan refleksi berupa masukan atau tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. Penutup
21. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik. 22. Guru menginformasikan pada peserta didik materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya, yaitu konvers, invers, dan kontraposisi.
5 menit
31 23. Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do’a dan salam. Pertemuan kelima (2x45 menit) Kegiatan
Uraian Kegiatan Pembelajaran
Alokasi Waktu 15 menit
Pendahuluan A. Pembukaan 1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran pada hari ini adalah untuk mempelajari konvers invers, dan kontraposisi. B. Apersepsi Fase Relating 3. Guru mengingatkan kembali tentang ekuivalensi dan negasi dari pernyataan majemuk.
Apakah yang dimaksud dengan ekuivalensi dari dua pernyataan majemuk?
Apa negasi dari disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi dari pernyataan majemuk yang komponen-komponennya, misal
dan ?
Jika diketahui komponen pernyataan berikut. : Indonesia adalah Negara agraris. : Indonesia mencapai swasembada pangan. Susunlah menjadi pernyataan majemuk disjungsi, konjungsi, implikasi, dan biimplikasi, kemudian tentukan negasinya.
Beberapa peserta didik diberi kesempatan untuk menuliskan jawaban yang mereka peroleh di papan tulis.
Guru memberikan klarifikasi terhadap jawaban peserta didik.
32 Kegiatan Inti
70 menit
C. Eksplorasi Fase Experiencing 4. Peserta didik diarahkan untuk membuka LKS 4 pada Kegiatan 4.3 5. Peserta didik dibagi dalam kelompok-kelompok diskusi yang terdiri dari 4-5 orang. (Constructivism: permasalahan pada LKS dilengkapi dengan pertanyaan-pertanyaan membantu peserta didik dalam mengkonstruksi pengetahuan) 6. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami permasalahan pada Kegiatan 4.3 (Questioning: permasalahan dalam
LKS
menimbulkan
pertanyaan bagi peserta didik bagaimana menyelesaikannya) 7. Peserta didik termotivasi untuk bertanya bagaimana menyelesaikan permasalahan pada Kegiatan 4.3 Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok) (Modelling: Pada halaman 51 terdapat contoh dalam menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari suatu implikasi) 8. Peserta didik berdiskusi untuk menjawab pertanyaan dan melengkapi tabel Kegiatan 4.3 9. Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk-petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep) 10. Berdasarkan hasil diskusi kelompok pada Kegiatan 4.3 peserta didik dapat menemukan konsep konvers, invers, dan kontraposisi.
33 Fase Applying 11. Guru memberikan kesempatan kepada salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya dari Kegiatan 4.3 di depan kelas 12. Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 13. Guru memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. Konfirmasi Fase Transferring (Authentic Assessment: mengukur pengetahuan peserta didik) 14. Guru meminta peserta didik untuk mengerjakan soal latihan secara individual pada halaman “Ayo Berlatih” untuk mengukur seberapa jauh pemahaman peserta didik tentang konsep ekuivalensi, negasi pernyataan majemuk, konvers, invers, dan kontraposisi. 15. Guru bersama-sama dengan peserta didik membahas jawaban yang tepat dari soal-soal tersebut. 16. Guru memberi kesempatan peserta didik untuk menanyakan hal-hal yang masih belum dipahami. (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 17. Guru membimbing peserta didik untuk merefleksikan materi yang telah dipelajari, tentang konvers, invers, dan
kontraposisi.
Kemudian
peserta
didik
menuliskannya pada kolom “Refleksi”. 18. Peserta didik diberi kesempatan untuk memberikan refleksi berupa masukan atau tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. Penutup
19. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik. 20. Guru menginformasikan materi yang dipelajari pada pertemuan selanjutnya, yaitu pernyataan berkuantor. 21. Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do’a dan salam.
5 menit
34 D. Alat dan Sumber Belajar 1. Alat
: LKS 4 tentang Ekuivalensi dan Konvers, Invers,
serta
Kontraposisi 2. Sumber Belajar
: Siswanto. 2015. Matematika untuk Kelas X SMA dan MA. Jakarta: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri
E. Penilaian Hasil Belajar a) Penilaian pengetahuan Teknik
: Tes tertulis
Bentuk Instrumen
: Uraian
Instrumen Penilaian : Soal Latihan LKS 4 1. Benarkan pernyataan-pernyataan berikut? a. [( ∧ ) ∨∼ ] ≡ ( ⟹ ) b. [ ⟹ ( ∨ )] ≡ ( ⟹ ) ∨ ( ⟹ ) 2. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut. a. Surabaya adalah ibukota Jawa Timur atau kota pahlawan. b. Pemuaian zat padat dipengaruhi oleh koefisien muai dan dipengaruhi oleh kenaikan suhu. c. Jika Rio Haryanto adalah pembalap Indonesia, maka memiliki banyak prestasi. d. Segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang. 3. Tentukan Konvers, invers, dan kotraposisi dari implikasi berikut. a. Jika kita cinta tanah air Indonesia, maka kita melestarikan budaya Indonesia. b. Jika < 0, maka > 0. c.
⟹ (∼
∨ )
4. Tentukan pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan berikut. a. Jika Ani tidak sarapan, maka ia mengantuk di sekolah. b. Banjir akan datang jika hujan lebat. Rubrik Penilaian No 1
:
Kunci Jawaban ( ∧ ) ∨∼ ∼ ∧ B B S B B B S S S S S B B S B S S B S B a. Jadi, terbukti bahwa [( ∧ ) ∨∼ ] ≡ ( ⟹ )
⟹ B S B B
Skor 30
35 ∨
⟹ ( ∨ )
⟹
⟹
( ⟹ ) ∨( ⟹ )
B B B B B B B B B B S B B B S B B S B B B S B B B S S S S S S S S B B B B B B B S B S B B B B B S S B B B B B B S S S S B B B B b. Jadi, terbukti bahwa [ ⟹ ( ∨ )] ≡ ( ⟹ ) ∨ ( ⟹ ) 2 a. Surabaya bukan ibukota Jawa Timur dan bukan kota pahlawan. b. Pemuaian zat padat tidak dipengaruhi oleh koefisien muai atau tidak dipengaruhi oleh kenaikan suhu. c. Rio Haryanto bukan pembalap Indonesia atau memiliki banyak prestasi. d. Segitiga sama sisi dan ketiga sisinya tidak samapanjang, atau segitiga tidak sama sisi dan ketiga sisinya sama panjang 3 a. Implikasi: Jika kita cinta tanah air Indonesia, maka kita melestarikan budaya Indonesia. Konvers: Jika kita melestarikan budaya Indonesia, maka kita cinta tanah air Indonesia Invers: Jika kita tidak cinta tanah air Indonesia, maka kita tidak melestarikan budaya Indonesia. Kontraposisi: Jika tidak melestarikan budaya Indonesia, maka kita tidak cinta tanah air Indonesia. b. Implikasi : Jika < 0, maka > 0. Konvers : Jika > 0, maka < 0 Invers : Jika ≥ 0, maka ≤0 Kontraposisi: Jika ≤ 0, maka ≥ 0 c. Implikasi : ⟹ (∼ ∨ ) Konvers : (∼ ∨ ) ⟹ Invers : ∼ ⟹∼ (∼ ∨ ) ≡∼ ⟹ ( ∧∼ ) Kontraposisi: ( ∧∼ ) ⟹∼ 4 a. Ani sarapan atau ia tidak mengantuk di sekolah. Atau Jika ani tidak mengantuk di sekolah, maka Ani sarapan. b. Hujan tidak lebat jika banjir tidak datang Total Skor Nilai = Skor yang diperoleh
28
30
12
100
36 b) Penilaian partisipasi kelas No
Nama Peserta didik
Motivasi Belajar
Keterangan: (A = 4, B = 3, C = 2, K = 1) Skor: 33 s.d. 40 Nilai A (Amat Baik) Skor: 25 s.d. 32 Nilai B (Baik)
Aspek Keaktifan Berdiskusi
Kepercayaan diri
Total Skor
Nilai
Skor: 18 s.d. 24 Nilai C (Cukup) Skor: 10 s.d. 17 Nilai K (Kurang)
Sleman,
Januari 2016
Mengetahui, Guru Matematika
Peneliti
Marsiyam, S.Pd.Si.
Hanifah Aabidah F
NIP.: 19780814 201406 2 001
NIM. 12301241038
37 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Pertemuan Keenam) Nama Sekolah
:
SMA N 1 Cangkringan
Mata Pelajaran
:
Matematika
Kelas/ Semester
:
X/ 2
Materi Pokok
:
Logika
Alokasi Waktu
:
2 × 45 menit (1 pertemuan)
Standar Kompetensi 4 Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar 4.2. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor 4.3. Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor yang diberikan. Indikator 4.2.7. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan berkuantor. 4.2.8. Menentukan ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor. 4.3.2. Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan berkuantor. A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan berkuantor. 2. Peserta didik dapat menentukan ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor. 3. Peserta didik dapat memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan berkuantor. B. Materi Ajar Pernyataan Berkuantor 1. Kuantor Universal a. Misalkan
( ) adalah sebuah kalimat terbuka, dengan
anggota himpunan
semesta pembicaraan . Maka untuk menyatakan penyelesaian dari ( ) pada himpunan semesta
dituliskan sebagai berikut.
(∀ ), ( ), dibaca: untuk semua
berlakulah ( ); atau
(∀ ∈ ), ( ), dibaca: untuk semua
anggota
berlakulah ( )
38 Penggunaan kata “untuk semua” pada kuantor universal, senilai dengan kata “untuk setiap”, “untuk tiap-tiap”, dan “untuk seluruh”. b. Pernyataan berkuantor universal “semua A adalah B” ekuivalen dengan penyataan implikasi “jika
∈ , maka
∈
”.
Contoh: Pernyataan berkuantor “Semua siswa SMA N 1 Cangkringan Kelas XA menyukai matematika” ekuivalen dengan pernyataan implikasi “Jika siswa SMA N 1 Cangkringan kelas XA, maka
adalah
menyukai matematika”.
c. Pernyataan berkuantor universal bernilai benar jika pernyataan tersebut benar untuk semua semesta yang dibicarakan. Pernyataan berkuantor bernilai salah jika terdapat sekurang-kurangnya satu anggota semesta yang menyebabkan pernyataan berkuantor salah 2. Kuantor Eksistensial a. Misalkan
( ) adalah sebuah kalimat terbuka, dengan
anggota himpunan
semesta pembicaraan . Maka untuk menyatakan penyelesaian dari ( ) pada himpunan semesta
dituliskan sebagai berikut.
(∃ ), ( ), dibaca: terdapat
sehingga berlakulah ( ); atau
(∃ ∈ ), ( ), dibaca: terdapat
sehingga berlakulah ( ).
anggota
Pernyataan di atas disebut dengan pernyataan berkuantor eksistensial. Kata “terdapat” senilai dengan kata “ada”, “beberapa”, “untuk suatu”, dan “untuk paling sedikit satu”. b. Pernyataan berkuantor eksistensial “terdapat A adalah B” ekuivalen dengan “sekurang-kurangnya ada sebuah
∈
yang merupakan ∈ ”.
Contoh: Pernyataan berkuantor eksistensial “Terdapat siswa SMA N 1 Cangkringan Kelas XA menyukai matematika” ekuivalen dengan pernyataan “Sekurangkurangnya ada seorang siswa SMA N 1 Cangkringan Kelas XA yang menyukai matematika”. c. Pernyataan berkuantor eksistensial bernilai benar jika sekurang-kurangnya satu anggota semesta menyebabkan pernyataan bernilai benar. Pernyataan berkuantor eksistensial bernilai salah jika tidak ada satupun dari anggota semesta menyebabkan kalimat menjadi benar
39 Negasi Pernyataan Berkuantor Negasi dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial. Sedangkan negasi pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal. Jika terdapat pernyataan berkuantor universal (∀ ), ( ) dan pernyataan berkuantor eksistensial (∃ ), ( ), negasi dari keduanya dapat ditulis sebagai berikut. ~[(∀ ), ( )] ≡ (∃ ), ~ ( ) ~[(∃ ), ( )] ≡ (∀ ), ~ ( ) C. Metode Pembelajaran 1. Pendekatan
: Kontekstual
2. Metode
: Diskusi
D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Kegiatan
Uraian Kegiatan Pembelajaran
Pendahuluan A. Pembukaan
Alokasi Waktu 10 menit
1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran hari ini adalah untuk dapat menentukan nilai kebenaran, ekuivalensi, dan negasi dari penyataan berkuantor, kesetaraan antara dua pernyataan berkuantor, dan negasi dari pernyataan berkuantor. Motivasi Fase Relating 3. Guru memberikan motivasi dengan menyajikan contoh dari suatu pernyataan berkuantor berikut. “Semua hewan karnivora memiliki taring”
Apakah ada hewan pemakan daging yang tidak memiliki taring?
Kegiatan Inti
B. Eksplorasi Fase Experiencing 4. Peserta didik dibagi dalam kelompok-kelompok diskusi yang terdiri dari 4-5 orang.
75 menit
40 pertanyaan-pertanyaan
(Constructivism:
dalam
LKS
membantu peserta didik mengkonstruksi pengetahuannya) 5. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami
permasalahan
pada
masing-masing
kegiatan di LKS 5. (Questioning: permasalahan dalam
LKS
menimbulkan
pertanyaan bagi peserta didik bagaimana menyelesaikannya) 6. Peserta didik termotivasi untuk bertanya bagaimana menyelesaikan permasalahan pada masing-masing kegiatan pada LKS 5. C. Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok) (Modelling: contoh dan catatan membantu peserta didik dalam menyelesaikan masalah) 7. Peserta didik berdiskusi menjawab pertanyaan dan melengkapi tabel pada setiap kegiatan dalam LKS 5. 8. Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk-petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep) 9. Berdasarkan hasil diskusi kelompok pada Kegiatan 5.1 peserta didik dapat menemukan konsep mengenai pernyataan berkuantor universal, pada Kegiatan 5.2 peserta
didik
menemukan
konsep
mengenai
pernyataan berkuantor eksistensial, pada Kegiatan 5.3 peserta didik menemukan konsep mengenai negasi dari pernyataan berkuantor. Fase Applying 10. Guru memberikan kesempatan kepada 3 kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya masingmasing satu kegiatan dari LKS 5 di depan kelas.
41 11. Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 12. Guru memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. D. Konfirmasi Fase Transferring (Authentic Assessment: mengukur pengetahuan peserta didik) 13. Guru meminta peserta didik untuk mengerjakan soal latihan secara individual pada halaman “Ayo Berlatih” untuk mengukur seberapa jauh pemahaman peserta didik tentang konsep pernyataan berkuantor 14. Guru bersama-sama dengan peserta didik membahas jawaban yang tepat dari soal-soal tersebut. (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 15. Guru membimbing peserta didik untuk merefleksikan materi yang telah dipelajari, tentang pernyataan berkuantor. Kemudian peserta didik menuliskannya pada kolom “Refleksi”. 16. Peserta didik diberi kesempatan untuk memberikan refleksi berupa masukan atau tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. Penutup
17. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik.
5 menit
18. Guru menginformasikan pada peserta didik materi yang akan dipelajari pada pertemuan selanjutnya, yaitu penarikan kesimpulan 19. Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do’a dan salam. E. Alat dan Sumber Belajar 1. Alat
: LKS 5 tentang Pernyataan Berkuantor
2. Sumber Belajar
: Siswanto. 2015. Matematika untuk Kelas X SMA dan MA. Jakarta: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri
42 F. Penilaian Hasil Belajar a) Penilaian Pengetahuan Teknik
: Tes tertulis
Bentuk Instrumen
: Uraian
Instrumen Penilaian : Soal Latihan LKS 5 1. Tulislah implikasi yang ekuivalen dengan pernyataan berkuantor universal berikut. a. Semua manusia berkewajiban untuk melestarikan lingkungan. b. Semua bilangan asli adalah bilangan cacah 2. Tulislah pernyataan berkuantor eksistensial yang ekuivalen dengan pernyataan berkuantor eksistensial berikut. a. Beberapa siswa kelas X memilih jurusan IPA ketika penjurusan di kelas XI. b. Beberapa persamaan kuadrat memiliki akar imajiner 3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor berikut, jika himpunan = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
semestanya adalah a. ∀ ∈ ,
+2<6
b. ∀ ∈ , | − 3| < 4 c. ∃ ∈ , d. ∃ ∈ ,
+ 4 = 11 >0
4. Tentukan negasi dari pernyataan berkuantor berikut. a. Semua persamaan kuadrat memiliki akar kembar. b. Beberapa orang tidak mengagumi keindahan alam Gunung Merapi.
Rubrik Penilaian No 1
2
3
:
Kunci Jawaban a. Jika kita adalah manusia, maka kita berkewajiban untuk melestarikan lingkungan. b. Jika bilangan asli, maka bilangan cacah. a. Sekurang-kurangnya ada seorang siswa kelas X yang memilih jurusan IPA ketika penjurusan di kelas XI. a. Sekurang-kurangnya ada satu persamaan kuadrat yang memiliki akar imajiner a. Salah, karena ada = 5, sehingga + 2 > 6 b. Benar, karena untuk semua ∈ , berlaku | − 3| < 4 c. Benar, karena tidak ada ∈ , sehingga berlaku + 4 = 11 d. Benar, karena ada = 3 sehingga >0
Skor 20
20
40
43 4
a. Semua persamaan kuadrat memiliki akar kembar. b. Semua orang mengagumi keindahan alam Gunung Merapi. Total Skor Nilai = Skor yang diperoleh
20 100
b) Penilaian partisipasi kelas Aspek No
Nama Peserta didik
Motivasi
Keaktifan
Kepercayaan
Belajar
Berdiskusi
diri
Keterangan: (A = 4, B = 3, C = 2, K = 1) Skor: 33 s.d. 40 Nilai A (Amat Baik) Skor: 25 s.d. 32 Nilai B (Baik)
Total Skor
Nilai
Skor: 18 s.d. 24 Nilai C (Cukup) Skor: 10 s.d. 17 Nilai K (Kurang)
Sleman,
Februari 2016
Mengetahui, Guru Matematika
Peneliti
Marsiyam, S.Pd.Si.
Hanifah Aabidah F
NIP.: 19780814 201406 2 001
NIM. 12301241038
44 RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (Pertemuan Ketujuh) Nama Sekolah
:
SMA N 1 Cangkringan
Mata Pelajaran
:
Matematika
Kelas/ Semester
:
X/ 2
Materi Pokok
:
Logika
Alokasi Waktu
:
2 × 45 menit (1 pertemuan)
Standar Kompetensi 5. Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Kompetensi Dasar 4.4. Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah. Indikator 4.4.1. Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus ponens. 4.4.2. Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus tolens. 4.4.3. Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip silogisme. 4.4.4. Memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika. A. Tujuan Pembelajaran 1. Peserta didik dapat menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus ponens. 2. Peserta didik dapat menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus tollens. 3. Peserta didik dapat menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip silogisme. 4. Peserta didik dapat memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika.
45 B. Materi Ajar Penarikan Kesimpulan 1. Modus Ponen Misalkan diketahui premis-premis diambil konklusi
⟹
dan . Dari premis-premis tersebut dapat
. Penarikan kesimpulan tersebut dinamakan modus ponen.
Modus ponen disajikan dalam susunan sebagai berikut. ⟹
Premis 1
:
Premis 2
:
Konklusi
:∴
Tanda " ∴ " dibaca “maka” atau “jadi” Dalam bentuk implikasi, modus ponen di atas dapat ditulis menjadi: [( ⟹ ) ∧ ] ⟹ Modus ponen dikatakan sah apabila pernyataan implikasi [( ⟹ ) ∧ ] ⟹ merupakan suatu tautologi. Dengan demikian untuk menguji sah atau tidaknya modus ponen dapat ditettukan dengan menggunakan tabel kebenaran. B B S S
⟹ B S B B
B S B S
[( ⟹ ) ∧ ] B S S S
[( ⟹ ) ∧ ] ⟹ B B B B
Berdasarkan tabel diatas pada kolom kelima tampak bahwa [( ⟹ ) ∧ ] ⟹ adalah suatu tautologi. Jadi, modus ponen adalah argumentasi yang sah. 2. Modus Tollens Misalkan diketahui premis-premis
⟹
dan ∼ . Dari premis-premis tersebut
dapat diambil konklusi ∼ . Penarikan kesimpulan tersebut dinamakan modus tollens. Modus tollens disajikan dalam susunan sebagai berikut. ⟹
Premis 1
:
Premis 2
:∼
Konklusi
: ∴∼
Dalam bentuk implikasi, modus tollens di atas dapat ditulis menjadi: [( ⟹ ) ∧∼ ] ⟹∼ Modus tollens dikatakan sah apabila pernyataan implikasi [( ⟹ ) ∧∼ ] ⟹∼ merupakan suatu tautologi. Dengan demikian untuk menguji sah atau tidaknya modus tollens dapat ditettukan dengan menggunakan tabel kebenaran.
46 [( ⟹ ) ∧∼ ] ⟹∼ B B B B Berdasarkan tabel diatas pada kolom ketujuh tampak bahwa [( ⟹ ) ∧∼ ] ⟹∼ B B S S
B S B S
∼ S S B B
∼ S B S B
[( ⟹ ) ∧∼ ] S S S B
⟹ B S B B
adalah suatu tautologi. Jadi, modus tollens adalah argumentasi yang sah. 3. Silogisme ⟹
Misalkan diketahui premis-premis
dan
⟹ . Dari premis-premis tersebut
⟹ . Penarikan kesimpulan tersebut dinamakan
dapat diambil konklusi
silogisme. Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut. Premis 1
:
⟹
Premis 2
:
⟹
Konklusi
:∴
⟹
Dalam bentuk implikasi, modus tollens di atas dapat ditulis menjadi: [( ⟹ ) ∧ ( ⟹ )] ⟹ ( ⟹ ) Silogisme dikatakan sah apabila pernyataan implikasi [( ⟹ ) ∧ ( ⟹ )] ⟹ ( ⟹ )merupakan suatu tautologi. Dengan demikian untuk menguji sah atau tidaknya silogisme dapat ditettukan dengan menggunakan tabel kebenaran. B B B B S S S S
B B S S B B S S
B S B S B S B S
⟹
⟹
⟹
( ⟹ )∧( ⟹ )
[( ⟹ ) ∧ ( ⟹ )] ⟹ ( ⟹ )
B B S S B B B B
B S B B B S B B
B S B S B B B B
B S S S B S B B
B B B B B B B B
Berdasarkan tabel diatas pada kolom kedelapan tampak bahwa [( ⟹ ) ∧ ( ⟹ )] ⟹ ( ⟹ ) adalah suatu tautologi. Jadi, silogisme adalah argumentasi yang sah. C. Metode Pembelajaran 1. Pendekatan
: Kontekstual
2. Metode
: Diskusi
47 D. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Kegiatan
Alokasi
Uraian Kegiatan Pembelajaran
Waktu 10 menit
Pendahuluan A. Pembukaan 1. Guru membuka pembelajaran dengan berdoa dan mengecek kesiapan peserta didik. 2. Guru menyampaikan bahwa tujuan pembelajaran kita
pada
hari
ini
adalah
untuk
menarik
kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dan memeriksa kebsahannya dengan menggunkan prinsip logika. B. Apersepsi Fase Relating 3. Guru mengingatkan kembali tentang tautologi. C. Motivasi 4. Guru memberikan motivasi dengan memberikan peserta didik dua pernyataan berikut. “Jika seekor bunglon dalam keadaan bahaya, bunglon melakukan mimikri” “Jika seekor bunglon melakukan mimikri, maka warna tubuhnya akan berubah sesuai dengan tempat dia berada”
Simpulan apa yang dapat kalian ambil dari dua pernyataan tersebut?
Kegiatan Inti
D. Eksplorasi Fase Experiencing 5. Peserta didik diarahkan untuk membuka pada bagian LKS 6 tentang Penarikan Kesimpulan. 6. Peserta didik dibagi dalam kelompok-kelompok diskusi yang terdiri dari 4-5 orang. (Constructivism: permasalahan pada LKS dilengkapi dengan pertanyaan-pertanyaan membantu peserta didik dalam mengkonstruksi pengetahuan)
75 menit
48 7. Peserta didik diberi kesempatan untuk membaca dan memahami permasalahan pada Kegiatan 6.1, Kegiatan 6.2, dan Kegiatan 6.3. (Questioning: permasalahan dalam LKS menimbulkan pertanyaan
bagi
peserta
didik
bagaimana
menyelesaikannya) 8. Peserta
didik
termotivasi
untuk
bertanya
bagaimana menyelesaikan permasalahan pada Kegiatan 6.1, Kegiatan 6.2, dan Kegiatan 6.3. E. Elaborasi Fase Cooperating (Learning Community: LKS memfasilitasi peserta didik untuk terlibat dalam diskusi kelompok) (Modelling: kolom catatan membantu peserta didik dalam menyelesaikan masalah) 9. Peserta
didik
berdiskusi
untuk
menjawab
pertanyaan dan melengkapi tabel Kegiatan 6.1, Kegiatan 6.2, dan Kegiatan 6.3. 10. Guru memantau jalannya diskusi dan memberikan bimbingan jika diperlukan. (Inquiry: petunjuk pemecahan masalah pada LKS membimbing peserta didik untuk menemukan konsep) 11. Berdasarkan
hasil
diskusi
kelompok
pada
Kegiatan 6.1 peserta didik dapat menemukan konsep modus ponen dan pada Kegiatan 6.2 peserta didk dapat menemukan konsep modus tollens, dan pada Kegiatan 6.3 peserta didik menemukan konsep silogisme. Fase Applying 12. Guru
memberikan
kelompok
untuk
kesempatan
kepada
mempresentasikan
3
hasil
diskusinya untuk Kegiatan 6.1, Kegiatan 6.2, dan Kegiatan 6.3 pada LKS 6 di depan kelas.
49 13. Peserta didik lain diminta untuk memperhatikan dan memberi tanggapan. 14. Guru memberikan klarifikasi terhadap hasil diskusi. F. Konfirmasi Fase Transferring (Authentic Assessment: mengukur pengetahuan peserta didik) 15. Guru meminta peserta didik untuk mengerjakan soal latihan secara individual pada halaman “Ayo Berlatih” untuk mengukur pemahaman peserta didik tentang konsep penarikan kesimpulan. 16. Guru
bersama-sama
dengan
peserta
didik
membahas jawaban yang tepat dari soal-soal tersebut. 17. Guru memberi kesempatan peserta didik untuk menanyakan hal-hal yang masih belum dipahami. (Reflection: peserta didik dibimbing untuk merangkum) 18. Guru
membimbing
merefleksikan
peserta
materi
yang
didik telah
untuk
dipelajari,
tentang penarikan kesimpulan. Kemudian peserta didik menuliskannya pada kolom “Refleksi”. 19. Peserta
didik
memberikan
diberi
refleksi
kesempatan
berupa
masukan
untuk atau
tanggapan terhadap kegiatan pembelajaran dengan metode tanya jawab. Penutup
20. Guru memberikan apresiasi kepada peserta didik. 21. Guru menginformasikan pada peserta didik bahwa pada pertemuan selanjutnya akan diadakan tes hasil belajar peserta didik untuk materi logika yang telah dipelajari sebelumnya. 22. Guru menutup kegiatan pembelajaran dengan do’a dan salam.
5 menit
50 G. Alat dan Sumber Belajar 3. Alat
: LKS 6 tentang Penarikan Kesimpulan
4. Sumber Belajar
: Siswanto. 2015. Matematika untuk Kelas X SMA dan MA. Jakarta: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri
H. Penilaian Hasil Belajar a) Penilaian pengetahuan Teknik
: Tes tertulis
Bentuk Instrumen
: Uraian
Instrumen Penilaian : Soal Latihan LKS 6 1. Tentukan simpulan yang sah dari premis-premis berikut. a. Premis 1: Jika Indonesia melewati garis khatulistiwa, maka Indonesia beriklim tropis. Premis 2: Indonesia tidak beriklim tropis. b. Premis 1: Mereka tidak mengeksploitasi sumber daya alam secara berlebihan atau mereka merusak kelestarian alam. Premis 2: Saya mengeksploitasi sumberdaya alam secara berlebihan. c. Premis 1: Jika saya rajin belajar, maka saya lulus ujian. Premis 2: Jika saya tidak bisa melanjutkan sekolah, maka saya tidak lulus ujian. 2. Selidiki sah atau tidaknya penarikan simpulan berikut. ⟹∼
:
Premis 2
:
Premis 2
:
Konklusi
: ∴∼
Konklusi
:∴
b. Premis 1
:∼
Premis 2
:∼
Konklusi
:∴
Rubrik Penilaian
c. Premis 1
:∼
a. Premis 1
⟹∼ ⟹ ⟹
∧
:
No Kunci Jawaban 1 a. Indonesia tidak melewati garis khatulistiwa b. Mereka merusak kelestarian alam e. Jika saya rajin belajar, maka saya melanjutkan sekolah. 2 Bentuk implikasinya adalah: [( ⟹∼ ) ∧ ] ⟹∼ B B S S
B S B S
∼ S S B B
∼ S B S B
⟹∼ S B B B
Karena [( ⟹∼ ) ∧ ] ⟹∼
[( ⟹∼ ) ∧ ] S S B S
[( ⟹∼ ) ∧ ] ⟹∼ B B B B
adalah tautologi, penarikan kesimpulan sah
Skor 30
20 20 30
51 Bentuk implikasinya adalah: [(∼ B B S S
∼ S S B B
B S B S
(∼
∧ ) ∧∼ ] ⟹
[(∼
∧ ) S S B S
∧ ) ∧∼ ] S S B S
[(∼
∧ ) ∧∼ ] ⟹ B B B B
Karena [(∼ ∧ ) ∧∼ ] ⟹ adalah tautologi, maka penarikan kesimpulan tersebut sah Bentuk implikasinya adalah: [(∼ ⟹∼ ) ∧ ( ⟹ )] ⟹ ( ⟹ ) ∼
B B B B S S S S
B B S S B B S S
B S B S B S B S
S S S S B B B B
∼
S S B B S S B B
∼ ⟹∼
⟹
⟹
B B B B S S B B
B S B B B S B B
B S B S B B B B
Karena [(∼ ∧ ) ∧∼ ] ⟹ tersebut tidak sah Total Skor Nilai = Skor yang diperoleh b) Penilaian partisipasi kelas
[(∼ ⟹ ∼ )∧ ( ⟹ )] B S B B S S B B
[(∼ ⟹∼ ) ∧ ( ⟹ )] ⟹ ( ⟹ ) B B B S B B B B
bukan tautology, maka penarikan kesimpulan 100
Aspek No
Nama Peserta didik
Motivasi
Keaktifan
Kepercayaan
Belajar
Berdiskusi
diri
Keterangan: (A = 4, B = 3, C = 2, K = 1) Skor: 33 s.d. 40 Nilai A (Amat Baik) Skor: 25 s.d. 32 Nilai B (Baik)
Total Skor
Nilai
Skor: 18 s.d. 24 Nilai C (Cukup) Skor: 10 s.d. 17 Nilai K (Kurang) Sleman,
Februari 2016
Mengetahui, Guru Matematika
Peneliti
Marsiyam, S.Pd.Si.
Hanifah Aabidah F
NIP.: 19780814 201406 2 001
NIM. 12301241038
L E M B A R K E G I ATA N S I SWA MATEMATIKA UNTUK SMA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL (KUNCI JAWABAN)
L
O G
I K A
KTSP ⋁ ⟹ ⟺
⋀
𝝉 𝒑 ∼𝒑
≡
𝒒 ≢ ∴
∼𝒒 KELAS
NAMA
:
KELAS
:
SEKOLAH
:
X SEMESTER 2
HANIFAH AABIDAH F
ii
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) LOGIKA Matematika Kurikulum KTSP Berbasis Pendekatan Kontekstual Untuk siswa kelas X Semester 2 Penulis : Hanifah Aabidah Fakhrunnisaa Pembimbing : Dr. Ali Mahmudi Penilai : 1. Fitriana Yuli Saptanningtyas, M.Si. 2. Bambang Sumarno H.M., M.Kom. Desain Cover : Hanifah Aabidah Fakhrunnisaa Ukuran LKS : 21 𝑐𝑚 × 29,7 𝑐𝑚 (A4) LKS ini disusun dan dirancang oleh penulis dengan menggunakan Microsoft Office Word 2007
iii
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas selesainya penyusunan Lembar Kegiatan Siswa (LKS) Matematika Berbasis Pendekatan Kontekstual pada Materi Logika untuk SMA Kelas X. LKS ini disusun sebagai salah satu sumber atau media pembelajaran yang dapat digunakan sebagai panduan bagi siswa SMA kelas X dalam mempelajari matematika, khususnya pada meteri logika. LKS matematika “Logika” ini disusun dengan menggunakan pendekatan kontekstual. Melalui LKS ini diharapkan siswa akan lebih termotivasi dan tertarik untuk mempelajari matematika, khususnya materi logika. Hal ini dikarenakan penyajian materi dari LKS ini dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari. Sehingga nantinya siswa dapat memahami logika serta dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan sehari-hari. Konsep LKS yang disajikan dengan bahasa sederhana, mudah dipahami, dan menarik diharapkan mampu memenuhi kebutuhan bahan ajar untuk belajar siswa. Penulis mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyususnan LKS ini. Penulis menyadari bahwa LKS ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran diharapkan dapat digunakan sebagai bahan evaluasi atau revisi dari LKS ini.
Yogyakarta,
Desember 2015
Penulis
iv
PETA KEDUDUKAN LKS Urutan kegiatan dan topik yang akan dipelajari
Ilustrasi dan penjelasan dari penerapan topik dalam kehidupan sehari-hari
Indikator pencapaian kompetensi dan petunjuk umum dalam menggunakan LKS
Urutan kegiatan dan nama sub-topik
Masalah dan pertanyaanpertanyaan yang dapat membantu siswa untuk mengkonstuksi pengetahuannya
Kolom catatan menyajikan catatancatatan pada bagian yang perlu penekanan untuk menambah pengetahuan siswa
v
PETA KEDUDUKAN LKS Kolom contoh soal dan pembahasannya untuk memudahkan siswa dalam mengerjakan soal secara mandiri
Kolom refleksi untuk merangkum apa yang telah siswa pelajari pada setiap topik
Kolom “Ayo Berlatih” pada setiap akhir topik yang digunakan untuk mengukur pemahaman siswa
Kolom jawaban digunakan untuk menuliskan jawaban yang telah diperoleh siswa
vi
PETA KONSEP
Nilai Kebenaran dan Negasi Suatu Pernyataan Pernyataan Kalimat Terbuka dan Himpunan Penyelesaiannya Konjungsi Nilai Kebenaran dan Negasi dari Pernyataan Majemuk Pernyataan Majemuk
Konvers, Invers, dan
Disjungsi Implikasi Biimplikasi
Kontraposisi Tautologi dan Kontradiksi L O G
Pernyataan
Nilai Kebenaran dan Negasi
Berkuantor
dari Pernyataan Berkuantor
I K A
Ekuivalensi Modus ponens Penarikan Kesimpulan
Modus tolens Silogisme
Bukti Langsung Penyusunan Bukti
Bukti Tak Langsung Induksi Matematika
Universal Ekstensial
vii
LOGIKA SMA KELAS X SEMESTER 2 STANDAR KOMPETENSI Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. KOMPETENSI DASAR 1.
Memahami pernyataan dalam matematika dan ingkaran atau negasinya
2. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dan pernyataan
berkuantor 3. Merumuskan pernyataan yang setara dengan pernyataan majemuk atau pernyataan
berkuantor yang diberikan. 4. Menggunakan prinsip logika matematika yang berkaitan dengan pernyataan majemuk
dan berkuantor dalam penarikan kesimpulan dan pemecahan masalah. INDIKATOR 1.
Menjelaskan arti dan contoh dari pernyataan serta menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan.
2.
Menjelaskan arti dan contoh kalimat terbuka serta menentukan himpunan penyelesaiannya.
3.
Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan beserta nilai kebenarannya.
4.
Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
5.
Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.
6.
Menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berbentuk implikasi beserta nilai kebenarannya.
7.
Menentukan nilai kebenaran dan ingkaran dari suatu pernyataan berkuantor.
8.
Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk.
9.
Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan berkuantor.
10.
Menyelidiki apakah suatu pernyataan majemuk merupakan suatu tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi.
11.
Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus ponens, modus tollens, dan silogisme.
12.
Memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika.
13.
Membuktikan sebuah persamaan atau pernyataan dengan bukti langsung, bukti tidak langsung, dan induksi matematika.
viii
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL……………………………………………………………………
i
HALAMAN PENULIS……….…………………………………………………….....
ii
KATA PENGANTAR…………………………………………………………………
iii
PETA KEDUDUKAN LKS………………………………………………….……….
iv
PETA KONSEP………………………………………………………………………
vi
LOGIKA SMA KELAS X SEMESTER 2…………………………………………..
vii
DAFTAR ISI…………………………………………………………………………..
viii
LOGIKA LKS 1. Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi…
1
LKS 2. Konjungsi dan Disjungsi…………………………………………..
17
LKS 3. Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi……………..
28
LKS 4. Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, Invers, dan Kontraposisi…………………………………………..
41
LKS 5. Penyataan Berkuantor…………………………………………….
58
LKS 6. Penarikan Kesimpulan……………………………………..……..
69
LKS 7. Pembuktian Sifat dan Teorema (Pengayaan)...……….……....
79
DAFTAR PUSTAKA………………………………………………………………....
89
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) 1 Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi Indikator: 1.
Menjelaskan arti dan contoh dari pernyataan serta menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan.
2. Menjelaskan arti dan contoh dari kalimat terbuka serta menentukan himpunan penyelesaiannya. 3. Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan beserta nilai
Gambar 1. Komunikasi antara penjual dan pembeli di pasar Sumber: http://2.bp.blogspot.com
kebenarannya.
Komunikasi merupakan hal yang penting dalam Petunjuk umum:
kehidupan manusia sebagai makhluk sosial.
1. Bacalah setiap petunjuk
komunikasi antara penjual dan pembeli. Mereka
yang ada dalam LKS ini dengan teliti 2. Diskusikan penyelesaiannya dengan teman sekelompokmu. 3. Tanyakan kepada Bapak/
Contohnya
di
pasar
kita
akan
melihat
menggunakan berbagai macam kalimat, seperti kalimat berita, kalimat tanya, kalimat ajakan, kalimat
perintah,
dan
lain-lain.
Dalam
matematika dikenal dua jenis kalimat yaitu kalimat
terbuka
dan
kalimat
tertutup
Ibu Guru jika ada kalimat
(pernyataan). Kalimat manakah yang kalian
atau perintah yang kurang
gunakan dalam kehidupan sehari-hari yang
jelas.
merupakan pernyataan atau kalimat terbuka?
2
KEGIATAN 1.1 PERNYATAAN Bacalah artikel di bawah ini! Gunung Merapi terletak di bagian tengah Pulau Kalimantan1. Gunung Merapi merupakan salah satu gunung api aktif di Indonesia2. Gunung Merapi memiliki pemandangan yang sangat indah3. Apakah kalian pernah pergi kesana?4 Kawasan hutan di sekitar puncaknya menjadi kawasan Taman Nasional Gunung Merapi5. Ayo kita lestarikan alam di Gunung Merapi!6
Gambar 2. Gunung Merapi
Sumber: http://7linesholiday.co.id
Perhatikan setiap kalimat pada artikel di atas. Tentukan nilai kebenaran dari masingmasing kalimat tersebut, kemudian tulislah pada tabel berikut. Tabel 1. Pernyataan dan Bukan Pernyataan
Kalimat ke-
Nilai kebenaran Tidak Benar Salah diketahui
1 2
Pernyataan
√
Bukan pernyataan
Gunung Merapi terletak di Pulau Jawa
√
√
Alasan
√
3
√
√
Nilai kebenaranya relatif
4
√
√
Kalimat tanya
√
Kalimat ajakan
5 6
√
√ √
Jawablah pertanyaan berikut berdasarkan nilai kebenaran dari kalimat pada Tabel 1, 1) Apa yang menyebabkan suatu kalimat termasuk dalam bukan pernyataan? Kalimat yang tidak dapat ditentukan nilai kebenarannya seperti kalimat tanya, kalimat perintah, kalimat ajakan, serta kalimat yang nilai kebenarannya relatif. 2) Apa yang menyebabkan suatu kalimat dapat disebut sebagai pernyataan? Memiliki nilai kebenaran benar atau salah Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
3
Jadi, Apa yang dimaksud dengan pernyataan? Pernyataan adalah sebuah kalimat yang memiliki nilai kebenaran, yaitu benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Perhatikan contoh kalimat pada tabel berikut. Berikan tanda centang (√) pada kolom yang tepat dan berikan alasan sesuai dengan pendapat kalian! Tabel 2. Pernyataan dan Bukan Pernyataan
No 1
2
3 4 5
6
Kalimat
Pernyataan
Tradisi Upacara Labuhan Merapi dilaksanakan setiap tanggal 30 Rajab. Vokalis Band Nidji memiliki suara yang sangat merdu. Jepang adalah salah satu Negara di Benua Afrika. Ayo kita lestarikan hutan di Indonesia! Bilangan ganjil ditambah dengan bilangan genap hasilnya adalah bilangan ganjil. Berapa banyaknya suku yang ada di Indonesia?
Bukan Pernyataan
√
√ √ √
Alasan Memiliki nilai kebenaran, yaitu benar. Kebenarannya relatif tergantung pada keadaan. Memiliki nilai kebenaran, yaitu salah Kalimat ajakan Memiliki nilai kebenaran benar
√
√
Kalimat tanya
Perhatikan kalimat berikut.
Sekarang Presiden Jokowi sedang rapat dengan dengan Menteri Pendidikan Kemudian jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut. 1. Apakah kalimat di atas memiliki kemungkinan nilai kebenaran benar atau salah? Ya, 2. Dapatkah kalian menentukan nilai kebenaran dari kalimat di atas? Berikan alasannya. Belum dapat menentukan nilai kebenarannya karena belum mengetahui faktanya. 3. Apakah kalimat tersebut merupakan pernyataan? Berikan alasannya. Ya, karena meskipun belum diketahui kalimat diatas memiliki nilai kebenaran benar atau salah. Kalimat tersebut merupakan contoh dari Pernyataan Faktual. Jadi apa yang dapat kalian simpulkan tentang pernyataan faktual? Pernyataan faktual adalah pernyataan yang untuk menentukan nilai kebenarannya perlu diadakan penyelidikan terlebih dahulu Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
4
KEGIATAN 1.2 NILAI KEBENARAN CATATAN
Pernyataan bernilai Benar (Pernyataan Benar) jika pernyataan tersebut sesuai dengan fakta (kenyataan), aturan, kesepatakan, definisi, atau perjanjian. Jika sebaliknya maka pernyataan tersebut bernilai Salah (Pernyataan Salah).
Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf kecil, seperti
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … , 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠, … dan seterusnya.
Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan 𝜏 (dibaca: tau).
Nilai kebenaran “Benar” dilambangkan dengan huruf “B” dan nilai kebenaran “Salah” dilambangkan dengan huruf “S”
Berikan tanda centang (√) pada kolom benar atau salah sesuai pendapatmu tentang pernyataan-pernyataan berikut. Tabel 3. Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan
No 1
Pernyataan Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh satu dan bilangan itu sendiri.
2
Nilai Kebenaran Benar √
Gunung Merapi adalah salah satu gunung api aktif yang
√
terletak di Jawa Barat. 3
Ki Hajar Dewantara adalah bapak pendidikan di Indonesia.
4
Angklung merupakan alat musik tradisional khas Madura.
5
Di Yogyakarta keris digunakan sebagai senjata tradisional.
Salah
√ √ √
Berdasakan pernyataan-pernyataan pada Tabel 3, 1. Pernyataan-pernyataan nomor berapakah yang merupakan pernyataan benar? Pernyataan nomor 1, 3, dan 5
2. Pernyataan-pernyataan nomor berapakah yang merupakan pernyataan salah? Pernyataan nomor 2 dan 4.
Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
5
3. Nyatakan pernyataan dan nilai kebenaran dari pernyataan pada Tabel 3 dalam simbol-simbol.
1. Pernyataan “Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh satu dan bilangan itu sendiri” dapat dinyatakan sebagai berikut. 𝑝: Bilangan prima adalah bilangan yang hanya bisa dibagi oleh satu dan bilangan itu sendiri. 𝜏 𝑝 = 𝐵, dibaca “nilai kebenaran pernyataan 𝑝 adalah Benar (B)”. 2. Pernyataan “Gunung Merapi adalah salah satu gunung api aktif yang terletak di Jawa Barat” dapat dinyatakan sebagai berikut. 𝑝: Gunung Merapi adalah salah satu gunung api aktif yang terletak di Jawa Barat. 𝜏 𝑝 = 𝑆, dibaca “nilai kebenaran pernyataan 𝑝 adalah salah (S)”. 3. Pernyataan “Ki Hajar Dewantara adalah Bapak Pendidikan Indonesia.” dapat dinyatakan sebagai berikut. 𝑝: Ki Hajar Dewantara adalah Bapak Pendidikan Indonesia. 𝜏 𝑝 =𝐵 4. Pernyataan “Angklung merupakan alat musik tradisional khas Madura.” dapat dinyatakan sebagai berikut. 𝑝: Angklung merupakan alat musik tradisional khas Madura. 𝜏 𝑝 =𝑆 5. Pernyataan “Di Yogyakarta keris digunakan sebagai senjata tradisional” dapat dinyatakan sebagai berikut. 𝑝: Di Yogyakarta keris digunakan sebagai senjata tradisional. 𝜏 𝑝 =𝐵
Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
6
Jika kita memiliki satu pernyataan, maka nilai kebenaran yang mungkin adalah Benar (B) atau Salah (S), tetapi tidak keduanya. Bagaimana jika terdapat dua atau tiga pernyataan? Berapa kombinasi nilai kebenaran yang mungkin kita peroleh?
Perhatikan diagram berikut! 1. Jika terdapat 1 pernyataan maka nilai kebenaran yang mungkin adalah B atau S. Pernyataan 1
B Nilai Kebenaran S Jadi, jika terdapat 1 pernyataan, maka berapa nilai kebenaran yang mungkin? 2 nilai kebenaran yang mungkin, yaitu Benar atau salah 2. Jika terdapat 2 pernyataan maka kombinasi nilai kebenaran yang mungkin adalah seperti contoh berikut. Pernyataan 1
Pernyataan 2
Kombinasi nilai kebenaran
B
BB
S
BS
B
SB
S
SS
B Nilai Kebenaran S
Jadi, jika terdapat 2 pernyataan, maka berapa kombinasi nilai kebenaran yang mungkin? 4 kombinasi nilai kebenaran yang mungkin Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
7
Lengkapi tabel berikut untuk menunjukkan kombinasi tersebut. Tabel 4. Tabel Kombinasi Nilai Kebenaran yang Mungkin dari 2 Pernyataan
Pernyataan 𝒑
𝒒
B
B
B
S
S
B
S
S
3. Bagaimana jika terdapat 3 pernyataan? Tentukan kombinasi nilai kebenaran yang mungkin dengan menggambar diagram seperti contoh di atas.
Pernyataan 1
Pernyataan 2
B
Pernyataan 3
Kombinasi nilai kebenaran
B
BBB
S
BBS
B
BSB
S
BSS
B
SBB
S
SBS
B
SSB
S
SSS
B S Nilai Kebenaran B S S
Jadi, jika terdapat 3 pernyataan, maka berapa kombinasi nilai kebenaran yang mungkin? 8 kombinasi nilai kebenaran yang mungkin
Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
8
Lengkapi tabel berikut yang menunjukkan kombinasi tersebut. Tabel 5. Tabel Kombinasi Nilai Kebenaran yang Mungkin dari 2 Pernyataan
𝒑
Pernyataan 𝒒
𝒓
B
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
S
S
B
S
S
S
Kesimpulan apa yang dapat kalian peroleh? 1. Jika kita mempunyai 1 pernyataan, maka nilai kebenaran yang mungkin adalah B atau salah saja. Jadi, banyaknya nilai kebenaran yang mungkin adalah 2 = 21 . 2. Jika kita mempunyai 2 pernyataan, maka kita dapat menentukan kombinasi nilai kebenaran yang mungkin sebanyak 4 = 22 . 3. Jika kita mempunyai 3 pernyataan, maka kita dapat menentukan kombinasi nilai kebenaran yang mungkin sebanyak 8 = 23 . Jadi, jika kita mempunyai n pernyataan, maka kita dapat menentukan kombinasi nilai kebenaran yang mungkin sebanyak 𝟐𝒏 .
Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
9
KEGIATAN 1.3 KALIMAT TERBUKA Tentukan nilai kebenaran dari kalimat berikut dengan memberikan tanda centang (√) pada kolom yang tersedia. Tabel 6. Pernyataan dan Kalimat Terbuka
Nilai Kebenaran No
Kalimat
Benar
Salah
Belum Diketahui
1
Yogyakarta merupakan kota pelajar
2
Danau Toba terletak di suatu provinsi
√
3
𝑥+3=5
√
4
Dia adalah seorang penyanyi
√
5
Reog
Ponorogo
merupakan
√
tarian
√
tradisional dari Jawa Tengah.
Perhatikan kalimat nomor 2, 3, dan 4 pada Tabel 6. Apakah kalian dapat menentukan nilai kebenaran dari semua kalimat tersebut? Mengapa? Tidak. Karena beberapa kalimat tersebut masih memuat peubah, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya Kalimat-kalimat nomor 2, 3, dan 4 pada Tabel 6 dinamakan kalimat terbuka. Bandingkan kalimat pada Tabel 6 dengan kalimat-kalimat pada tabel di bawah ini. Tabel 7. Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan
Nilai Kebenaran No 1
Kalimat Danau
Toba
Benar
terletak
di
Provinsi
di
Provinsi
Sumatera Utara. 2
Danau
Toba
terletak
Diketahui
√
3
𝑥 + 3 = 5 untuk 𝒙 = 𝟐, 𝑥 ∈ ℝ
√
4
Raisa adalah seorang penyanyi
√
5
Bambang
adalah
Belum
√
Kalimantan Selatan
Pamungkas
Salah
seorang
penyanyi
√
Apakah kalian dapat menentukan nilai kebenaran dari kalimat-kalimat pada Tabel 7? Ya, Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
10
Jadi, apa yang dimaksud dengan kalimat terbuka? Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).
Apa hubungan antara kalimat terbuka dengan pernyataan? Untuk mengetahuinya, Jawablah pertanyaan di bawah ini! 1. Apakah kalimat terbuka dapat diubah menjadi suatu pernyataan? Ya, kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan 2. Bagaimana cara mengubah kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan? Mengganti peubah dengan kata yang merupakan anggota dari semesta pembicaraan pada kalimat terbuka.
Perhatikan kalimat dibawah ini. Kalimat terbuka “Dia adalah mantan presiden Indonesia” dengan semesta pembicaraan orang dapat diubah menjadi pernyataan seperti berikut.
Jika kita
Dia
adalah mantan presiden Indonesia
Jusuf
adalah mantan presiden Indonesia
mengganti kata “dia” dengan kata “Jusuf Kalla”
Kalla
Pernyataan Salah
“Jusuf Kalla” bukan penyelesaian dari kalimat terbuka “Dia adalah mantan presiden Indonesia”
Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
11
Jika kita
Dia
adalah mantan presiden Indonesia
SBY
adalah mantan presiden Indonesia
mengganti kata “Dia” dengan kata “SBY”
Pernyataan Benar
“SBY” adalah penyelesaian dari kalimat terbuka “Dia adalah mantan presiden Indonesia”
Penyelesaian adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan benar. Sebutkan semua penyelesaian dari kalimat terbuka “Dia adalah mantan presiden Indonesia”. Soekarno, Soeharto, Habibi, Abdurrahman Wahid, Megawati, dan SBY
Himpunan yang anggotanya merupakan semua penyelesaian dari suatu kalimat terbuka disebut Himpunan Penyelesaian dari kalimat terbuka. Jadi, Apa himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka “Dia adalah mantan presiden Indonesia”? {Soekarno, Soeharto, Habibi, Abdurrahman Wahid, Megawati, dan SBY }
1. Tentukan himpunan penyelesaiannya 2𝑥 + 3 = 11 , 𝑥 ∈ ℕ Kalimat terbuka 2𝑥 + 3 = 11 , 𝑥 ∈ ℕ menjadi pernyataan benar, jika 2𝑥 + 3 = 11 ⟺ 2𝑥 = 11 − 3 ⟺ 2𝑥 = 8 ⟺ 𝑥 = 4 Jadi, 𝑥 = 4 adalah penyelesaian dari 2𝑥 + 3 = 11 , 𝑥 ∈ ℕ.
Dan
Himpunan
Penyelesaiannya adalah {4}. 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0 , 𝑥 ∈ ℕ Kalimat terbuka 2𝑥 + 3 = 11 , 𝑥 ∈ ℕ menjadi pernyataan benar, jika 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0 ⟺ 𝑥 − 3 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 1 𝑥 = 3 atau 𝑥 = 1 adalah penyelesaian dari 2𝑥 + 3 = 11 , 𝑥 ∈ ℕ. Dan Himpunan Penyelesaiannya adalah {1,3}
Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
12
KEGIATAN 1.4 NEGASI Tentukan nilai kebenaran dari penyataan-pernyataan berikut. Tabel 8. Nilai Kebenaran dari Penyataan
No 1
Nilai Kebenaran
Pernyataan Tidak
benar
bahwa
Benar
bilangan
prima
Salah
adalah
bilangan yang hanya bisa dibagi oleh satu dan
√
bilangan itu sendiri. 2
Gunung Merapi bukan salah satu gunung api aktif yang terletak di Jawa Barat.
3
√
Ki Hajar Dewantara bukan merupakan bapak
√
pendidikan di Indonesia. 4
Tidak benar bahwa angklung merupakan alat musik tradisional khas Madura.
5
√
Di Yogyakarta keris tidak digunakan sebagai
√
senjata tradisional Bandingkan
nilai
kebenaran
dari
pernyataan-pernyataan
pada Tabel
8 dengan
pernyataan-pernyataan pada Tabel 3. Apa yang dapat kalian temukan? Nilai kebenaran pada Tabel 3 dan Tabel 8 saling berlawanan.
Pernyataan-pernyataan pada Tabel 8 merupakan negasi dari pernyataan-pernyataan pada Tabel 3. Jadi, apa yang dimaksud dengan negasi dari suatu pernyataan? Pernyataan baru yang diperoleh dengan membubuhkan kata “tidak benar bahwa” didepan pernyataan semula atau bila memungkinkan dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan” dalam pernyataan semula, sedemikian sehingga nilai kebenarannya saling berlawanan dengan pernyataan awal.
Negasi dapat dinotasikan dengan simbol ~
Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
13
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut.
𝑝:
Tahun 2014 terjadi letusan Gunung
~𝑝:
Tidak benar bahwa pada tahun 2014
Merapi.
terjadi letusan Gunung Merapi.
Lengkapi tabel kebenaran untuk negasi di bawah ini. Tabel 9. Tabel Nilai Kebenaran untuk Negasi
𝒑
~𝒑
B
S
S
B
Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
𝜏 𝑝 =
B
𝜏 ~𝑝 =
S
14
REFLEKSI
Apa yang telah kita pelajari hari ini?
Pernyataan adalah kalimat yang memiliki nilai kebenaran benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
Apa saja ciri-ciri kalimat yang bukan merupakan pernyataan? nilai kebenarannya bersifat relatif, berupa kalimat tanya, kalimat perintah, kalimat ajakan, kalimat permohonan, dan lain-lain.
Apa yang dimaksud dengan pernyataan faktual? Pernyataan yang untuk menentukan nilai kebenarannya perlu diadakan penyelidikan terlebih dahulu
Jika kita memiliki 2 pernyataan, berapa banyaknya kombinasi nilai kebenaran yang mungkin? 4 kombinasi yang mungkin
Jika kita memiliki 𝑛 pernyataan, berapa banyaknya kombinasi nilai kebenaran yang mungkin? 2𝑛 kombinasi yang mungkin
Apa
yang
dimaksud
dengan
kalimat
terbuka?
Kalimat
yang
memuat
peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).
Apa yang dimaksud dengan penyelesaian suatu kalimat terbuka? Suatu nilai pengganti yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi suatu pernyataan benar
Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah Himpunan yang anggotanya merupakan semua penyelesaian dari kalimat terbuka
Bagaimana menentukan negasi dari suatu pernyataan? membubuhkan kata tidak benar di depan pernyataan semula atau bila memungkinkan dengan menyisipkan kata tidak atau bukan dalam pernyataan semula.
Tabel kebenaran dari negasi atau ingkaran adalah sebagai berikut.
𝒑
~𝒑
B
S
S
B
Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
15
AYO BERLATIH! 1. Buatlah masing-masing 1 contoh untuk: a. “Pernyataan Benar” tentang pelestarian lingkungan. b. “Pernyataan Salah” tentang budaya tradisional Yogyakarta. c. Bukan Pernyataan d. Kalimat Terbuka Jawab: a. Pelestarian hutan dapat dilakukan dengan melakukan reboisasi (menyesuaikan jawaban siswa) b. Upacara Sekaten diadakan pada bulan Rajab. (menyesuaikan jawaban siswa) c. Apakah Dian anak yang pandai? (menyesuaikan jawaban siswa) d. Dia adalah seorang pemain bulutangkis. (menyesuaikan jawaban siswa)
Perhatikan kalimat-kalimat berikut ini untuk menjawab pertanyaan nomor 2 sampai 5. a. Ludruk adalah kesenian tradisional yang berasal dari Jawa Timur. b. Hati-hati saat menyeberang! c. 111 adalah bilangan prima. d. Hari ini Cangkringan diguyur hujan deras. e. Tokyo adalah Ibukota Jepang. f. Matematika adalah mata pelajaran yang mudah. g. Dia adalah pemeran utama film “Single”. h. 4𝑥 − 8 = 20 i. Segitiga sama sisi memiliki 6 simetri lipat. j. 4𝑥 + 𝑦 < 18 2. Manakah diantara kalimat-kalimat di atas yang merupakan pernyataan? Jawab:
a, c, e, dan i
3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan pada jawaban No.2 (gunakan lambang nilai kebenaran "𝜏"). Jawab: a. Misal 𝑝: Ludruk adalah kesenian tradisional yang berasal dari Jawa Timur. 𝜏 𝑝 =𝐵 c. Misal 𝑞: 111 adalah bilangan prima. 𝜏 𝑞 = 𝑆
e. Misal 𝑟: Tokyo adalah Ibukota Jepang. 𝜏 𝑟 = 𝐵 i. Misal 𝑠: Segitiga sama sisi memiliki 6 simetri lipat. 𝜏 𝑠 = 𝑆 Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
16
4. Manakah diantara kalimat-kalimat di atas yang merupakan pernyataan faktual? Jawab:
d
5. Manakah diantara kalimat-kalimat diatas yang merupakan kalimat terbuka? Jawab:
g, h, dan j
6. Tentukan himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka pada jawaban No.4 Jawab: g. Dia adalah pemeran utama film “Single”. Himpunan penyelesaiaannya adalah {Raditya Dika} h. 4𝑥 − 8 = 20 ⇔ 4𝑥 = 28 ⇔ 𝑥 = 7 Himpunan penyelesaiaanya adalah {7} j. 4𝑥 + 𝑦 = 18 Himpunan penyelesaiaanya adalah {(0,18), (1,14), (2,10),(3,6),(4,2)}
7. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut. a. Bagian barat Indonesia dibatasi oleh Samudera Hindia. b. Singapura adalah Negara yang beriklim tropis. c. Ada bilangan prima yang genap. d. Matematika adalah pelajaran yang sulit. e. 2 + 5 < 15. Jawab: a. Bagian barat Indonesia tidak dibatasi oleh Samudera Hindia. b. Tidak benar bahwa Singapura adalah Negara yang beriklim tropis. c. Tidak ada bilangan prima yang genap d. Matematika bukan pelajaran yang sulit. e.
2 + 5 ≥ 15.
Pernyataan, Nilai Kebenaran, Kalimat Terbuka, dan Negasi
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) 2 Konjungsi dan Disjungsi
Indikator: 1.
Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi.
2. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk disjungsi. Petunjuk umum: 1. Bacalah setiap
Gambar 1 Rangkaian Listrik Seri dan Paralel http://skemaku.com
petunjuk yang ada dalam LKS ini dengan
Dalam jaringan listrik kita mengenal rangkaian
teliti
listrik seri dan rangkaian listrik paralel. Saklar
2. Diskusikan penyelesaiannya dengan teman sekelompokmu. 3. Tanyakan kepada Bapak/ Ibu Guru jika ada kalimat atau perintah yang kurang jelas.
terbuka berarti tidak ada aliran listrik (off) dan saklar tertutup berarti ada aliran listrik (on). Dengan mempelajari logika, khususnya konjungsi dan disjungsi kita dapat mengetahui ada atau tidaknya aliran arus listrik pada rangkaian seri maupun paralel dengan memperhatikan terbuka atau tertutupnya saklar-saklar pada rangkaian tersebut.
18
KEGIATAN 2.1 PERNYATAAN MAJEMUK Perhatikan kalimat-kalimat berikut. 1. Perwira Angkatan Darat yang menjadi korban PKI di Yogyakarta adalah Kolonel Katamso dan Letnan Kolonel Sugiyono. 2. Di Papua Barat kita bisa berwisata di Wisata Bawah Laut Raja Ampat atau Pantai Pasir Putih. 3. Jika semua burung bisa terbang, maka burung unta bisa terbang. 4. Jakarta tidak banjir jika
dan
hanya
jika warganya menjaga kebersihan
lingkungannya. Pernyataan-pernyataan di atas merupakan pernyataan majemuk yang disusun oleh pernyataan-pernyataan tunggal yang disebut komponen pernyataan majemuk. Berikut ini adalah kata hubung yang digunakan dalam pernyataan majemuk. Tabel 1. Kata Hubung Logika
Kata Hubung Logika
Lambang
Istilah
… dan …
∧
Konjungsi
… atau …
∨
Disjungsi
Jika … , maka …
⟹
Implikasi
… jika dan hanya jika …
⟺
Biimplikasi
Diberikan komponen-komponen pernyataan majemuk berikut. 𝑝: Nana berangkat latihan menari. 𝑞: Hari ini tidak hujan. Susunlah pernyataan 𝑝 dan 𝑞 di atas menjadi pernyataan majemuk berikut. 1. Konjungsi 𝑝 ∧ 𝑞: Nana berangkat latihan menari dan hari ini tidak hujan. 2. Disjungsi 𝑝 ∨ 𝑞: Nana berangkat latihan menari atau hari ini tidak hujan. 3. Implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞: Jika Nana berangkat latihan menari, maka hari ini tidak hujan. 4. Biimplikasi 𝑝 ⟺ 𝑞: Nana berangkat latihan menari jika dan hanya jika hari ini tidak hujan.
Konjungsi dan disjungsi
19
KEGIATAN 2.2 KONJUNGSI CATATAN Konjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan 𝑝 dan 𝑞 yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “dan”. Konjungsi pernyataan 𝑝 dan 𝑞 ditulis dengan lambang sebagai berikut. 𝒑∧𝒒 Dibaca: 𝒑 dan 𝒒
Bagaimana cara menentukan nilai kebenaran dari konjungsi? Perhatikan masalah berikut. Dono adalah seorang petani. Suatu hari Dono
harus
pergi
ke
pasar
untuk
membeli pupuk karena persediaan pupuk sudah habis. Dari rumah Dono tidak ada kendaraan umum untuk menuju ke pasar. Satu-satunya
cara
menggunakan
sepeda
adalah motor
dengan yang
dimilikinya. Sepeda motor hanya dapat dijalankan jika tersedia bensin.
Diketahui pernyataan sebagai berikut. 𝑝: Dono memiliki sepeda motor 𝑞: Tersedia bensin Jika kita hubungkan kedua pernyataan tersebut dengan kata hubung “dan” diperoleh konjungsi: 𝑝 ∧ 𝑞: Dono memiliki sepeda motor dan tersedia bensin. Jika “Dono memiliki sepeda motor dan tersedia bensin” apakah Dono bisa pergi ke pasar? Bagaimana jika dalam keadaan lainnya?
Konjungsi dan Disjungsi
20
Lengkapilah tabel berikut. Tabel 2. Kemungkinan nilai kebenaran konjungsi
Kemungkinan kombinasi pernyataan Dono memiliki dan Tersedia bensin sepeda motor B B Dono memiliki dan Tidak tersedia sepeda motor bensin
B Dono tidak memiliki sepeda motor S Dono tidak memiliki sepeda motor S
dan
dan
S Tersedia bensin
B Tidak tersedia bensin S
Akibat Dono bisa pergi ke pasar B Meskipun ada sepeda motor, tetapi tidak dapat dijalankan karena tidak tersedia bensin, sehingga Dono tidak bisa pergi ke pasar S Meskipun ada bensin, Dono tidak bisa pergi ke pasar karena tidak ada sepeda motor. S Jelas Dono tidak bisa pergi ke pasar karena tidak ada sepeda motor maupun bensin. S
Jadi berdasarkan Tabel 2, apa yang menyebabkan suatu pernyataan konjungsi (𝑝 ∧ 𝑞) bernilai benar? Semua nilai kebenaran dari masing-masing komponen pernyataannya adalah Benar
Lengkapi tabel kebenaran dari Konjungsi 𝑝 ∧ 𝑞 berikut. Tabel 3. Tabel Kebenaran Konjungsi
𝒑
𝒒
𝒑∧𝒒
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Konjungsi dan disjungsi
21 Bagaimana cara menentukan nilai 𝑥 pada kalimat 𝑝(𝑥) ∧ 𝑞? Jika diketahui 𝑝 𝑥 adalah suatu kalimat terbuka?
Perhatikan tabel kebenaran konjungsi pada Tabel 5 di atas. 1. Jika di ketahui pernyataan 𝑞 bernilai Salah, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk 𝒑(𝒙)? Lengkapi tabel berikut.
𝒑(𝒙) B S
𝒒 S S
𝒑(𝒙) ∧ 𝒒 S S
Apakah untuk pernyataan 𝑞 bernilai salah kalimat majemuk 𝒑(𝒙) ∧ 𝒒 mungkin untuk bernilai benar? Tidak mungkin. Jadi, Jika pernyataan 𝑞 bernilai salah, maka untuk semua nilai 𝑥 bagaimana nilai kebenaran dari kalimat majemuk 𝒑(𝒙) ∧ 𝒒 ? Selalu bernilai SALAH 2. Jika di ketahui pernyataan 𝑞 bernilai Benar, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk 𝒑(𝒙)? Lengkapi tabel berikut.
𝒑(𝒙) B S
𝒒 B B
𝒑(𝒙) ∧ 𝒒 B S
Jadi, Jika pernyataan 𝑞 bernilai benar, kalimat majemuk 𝒑(𝒙) ∧ 𝒒 bernilai: a. Benar, jika 𝑝(𝑥) bernilai Benar b. Salah, jika 𝑝(𝑥) bernilai Salah Contoh: Tentukan nilai 𝑥 agar kalimat majemuk “5𝑥 = 20 dan 20 adalah bilangan genap” bernilai: a. Benar untuk nilai 𝑥 = 4 b. Salah untuk nilai 𝑥 ≠ 4
Konjungsi dan Disjungsi
22
KEGIATAN 2.3 DISJUNGSI CATATAN Disjungsi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan 𝑝 dan 𝑞 yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “atau”. Disjungsi pernyataan 𝑝 dan pernyataan 𝑞 ditulis dengan lambang sebagai berikut. 𝒑∨𝒒 Dibaca: 𝒑 atau 𝒒
Bagaimana cara menentukan nilai kebenaran dari disjungsi? Perhatikan masalah berikut. Sebelum adanya televisi dan internet masyarakat mendapatkan informasi melalui radio. Akan tetapi, bagi sebagian masyarakat yang tidak memiliki radio mereka dapat memperoleh informasi penting melalui media cetak berupa Koran.
Diketahui pernyataan sebagai berikut. 𝑝: Pak Darto memiliki koran 𝑞: Pak Darto memiliki radio Jika kita hubungkan kedua pernyataan tersebut dengan kata hubung “atau” diperoleh disjungsi: 𝑝 ∨ 𝑞: Pak Darto memiliki koran atau radio Jika “Pak Darto memiliki koran atau radio” apakah Pak Darto dapat memperoleh informasi-informasi penting bisa pergi ke pasar? Bagaimana jika dalam keadaan lainnya?
Konjungsi dan disjungsi
23
Lengkapilah tabel berikut. Tabel 3. Kemungkinan nilai kebenaran disjungsi
Kemungkinan kombinasi pernyataan Pak Darto memiliki atau Pak Darto Koran memiliki radio B B Pak Darto memiliki atau Pak Darto tidak Koran memiliki radio B Pak Darto tidak memiliki Koran S Pak Darto tidak memiliki Koran
atau
S Pak Darto memiliki radio
atau
B Pak Darto tidak memiliki radio
S
S
Akibat Pak Darto dapat memperoleh informasi penting B Meskipun tidak memiliki radio pak Darto dapat memperoleh informasi melalui koran B Meskipun tidak memiliki koran pak Darto dapat memperoleh informasi melalui radio B Karena Pak Darto tidak memiliki Koran maupun radio, Pak Darto tidak dapat memperoleh informasi S
Jadi berdasarkan Tabel 8 di atas, apa yang menyebabkan suatu pernyataan disjungsi (𝑝 ∨ 𝑞) bernilai salah? Semua nilai kebenaran dari masing-masing komponen pernyataan majemuknya adalah Salah Lengkapi tabel kebenaran dari Disjungsi 𝑝 ∨ 𝑞 berikut. Tabel 2 Tabel Kebenaran Disjungsi
𝒑
𝒒
𝒑∨𝒒
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Konjungsi dan Disjungsi
24
Bagaimana cara menentukan nilai 𝑥 pada kalimat 𝑝(𝑥) ∨ 𝑞? Jika diketahui 𝑝 𝑥 adalah suatu kalimat terbuka?
Perhatikan tabel kebenaran disjungsi pada Tabel 9 di atas. 1. Jika di ketahui pernyataan 𝑞 bernilai Benar, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk 𝒑(𝒙)? Lengkapi tabel berikut.
𝒑(𝒙) B S
𝒒 B B
𝒑(𝒙) ∨ 𝒒 B B
Apakah untuk pernyataan 𝑞 bernilai benar kalimat majemuk 𝒑(𝒙) ∨ 𝒒 mungkin untuk bernilai salah? Tidak mungkin Jadi, Jika pernyataan 𝑞 bernilai benar, maka untuk semua nilai 𝑥 bagaimana nilai kebenaran dari kalimat majemuk 𝒑(𝒙) ∨ 𝒒 ? Selalu bernilai Benar 2. Jika di ketahui pernyataan 𝑞 bernilai Salah, Lengkapi tabel berikut.
𝒑(𝒙) B S
𝒒 S S
𝒑(𝒙) ∨ 𝒒 B S
Jadi, Jika pernyataan 𝑞 bernilai salah, kalimat majemuk 𝒑(𝒙) ∨ 𝒒 bernilai: a. Benar, jika 𝑝(𝑥) bernilai Benar b. Salah, jika 𝑝(𝑥) bernilai Salah Contoh: Tentukan nilai 𝑥 agar kalimat majemuk “2𝑥 < 30 atau 11 adalah bilangan genap” bernilai: a. Benar untuk nilai 𝑥 < 15 b. Salah untuk nilai 𝑥 ≥ 15
Konjungsi dan disjungsi
25
Menentukan Nilai Kebenaran Konjungsi dan Disjungsi dengan Analogi Rangkaian Listrik. Rangkaian listrik secara umum dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu rangkaian seri dan rangkaian parallel. Perhatikan gambar berikut.
A
𝑝
𝑞
B
Rangkaian Seri
𝑝 B
A
Rangkaian Paralel
𝑞 𝑝 dan 𝑞 mewakili saklar pada rangkaian. Saklar 𝑝 dan 𝑞 dapat “terbuka” (off) atau “tertutup” (on). Pada suatu rangkaian listrik jika sambungan terhubung atau ada arus listrik yang mengalir, dilambangkan dengan 1 dan jika sambungan tidak terhubung atau tidak ada arus listrik yang mengalir dilambangkan dengan 0. Lengkapilah tabel kebenaran berikut untuk setiap kondisi yang mungkin dari saklar 𝑝 dan 𝑞 untuk rangkaian seri dan paralel. Selanjutnya selidiki hubungan antara tabel tersebut dengan nilai kebenaran pada konjungsi dan disjungsi. 𝒑
𝒒
Rangkaian Paralel
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
𝒑
𝒒
1
1
1
Rangkaian Seri
Kesimpulan: Jadi, lambang 1 bersesuaian dengan lambang B pada logika dan lambang 0 bersesuaian dengan lambang S pada logika. Dengan demikian diperoleh bahwa rangkaian listrik seri bersesuaian dengan konjungsi dan rangkaian listrik parallel bersesuaian dengan disjungsi
Konjungsi dan Disjungsi
26
REFLEKSI
Apa yang telah kita pelajari hari ini?
Konjungsi adalah dua pernyataan yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “dan” sehingga membentuk suatu pernyataan baru. Konjungsi pernyataan 𝑝 dan pernyataan 𝑞 ditulis dengan lambang 𝑝 ∧ 𝑞 (dibaca: 𝑝 dan 𝑞) Tabel kebenaran Konjungsi adalah
𝒑
𝒒
𝒑∧𝒒
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung “atau”. Disjungsi pernyataan 𝑝 dan pernyataan 𝑞 ditulis dengan lambang 𝑝 ∨ 𝑞 (dibaca: 𝑝 dan 𝑞) Tabel kebenaran Disjungsi adalah
𝒑
𝒒
𝒑∨𝒒
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Konjungsi dan disjungsi
27
AYO BERLATIH! 1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut. a. Candi Borobudur dan Candi Prambanan terletak di Jawa tengah. b. 30 adalah bilangan yang habis dibagi 7 atau 4. a. Benar
Jawab:
b. Salah
2. Tentukan penyelesaian dari kalimat berikut. a. 25 adalah kelipatan 2 atau 2log 16 = 𝑥 a. Itu adalah planet yang paling dekat dengan Bumi dan Bumi mengelilingi Matahari. b. Jawab:
a. 𝑥 = 4 b. Mars
3. Diketahui komponen pernyataan berikut. 𝑝: Bali beribukota di Denpasar. 𝑞: Bali terkenal dengan tari Kecak. Nyatakan
dalam
bentuk
pernyataan
majemuk
berikut
dan
tentukan
kebenarannya. a. 𝑝 ∨∼ 𝑞 b. ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 Jawab: a. Bali beribukota di denpasar atau tidak terkenal dengan tari Kecak. Nilai kebenarannya adalah Benar b. Bali tidak beribukota di Denpasar dan terkenal dengan tari Kecak. Nilai kebenarannya adalah Salah
Konjungsi dan Disjungsi
nilai
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) 3 Implikasi, Bimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi Indikator: 1.
Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk implikasi.
2. Menentukan nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk berbentuk biimplikasi. 3. Menyelidiki apakah suatu pernyataan majemuk merupakan suatu tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan
Gambar 1 kebakaran hutan http://sinarharapan.co
kontradiksi. Petunjuk umum:
Ketika kalian melihat kejadian di atas, apa yang
1. Bacalah setiap
kalian pikirkan? Kebakaran hutan menyebabkan
petunjuk yang ada dalam LKS ini dengan teliti 2. Diskusikan penyelesaiannya dengan teman sekelompokmu. 3. Tanyakan kepada Bapak/ Ibu Guru jika
polusi udara yang dapat berdampak buruk bagi kesehatan. Kebakaran hutan tidak akan terjadi jika dan hanya jika penegakan hukum di Indonesia kuat. Jika terjadi kebakaran hutan, maka banyak begitu banyak
makhluk
habitatnya. merupakan
hidup
yang
akan
Pernyataan-pernyatan pernyataan
majemuk
kehilangan tersebut
implikasi
dan
ada kalimat atau
biimplikasi. Apakah kalian dapat menentukan nilai
perintah yang kurang
kebenaran dari pernyataan tersebut?
jelas.
29
KEGIATAN 3.1 IMPLIKASI CATATAN Implikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan 𝑝 dan 𝑞 dalam bentuk jika 𝒑 maka 𝒒. Implikasi “jika 𝑝 maka 𝑞” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut. 𝒑⟹𝒒 (dibaca: jika 𝒑 maka 𝒒)
Bagaimana cara menentukan nilai kebenaran dari implikasi? Perhatikan masalah berikut. Sebelum pengumuman hasil UN Nita berjanji bahwa jika Nita lulus ujian nasional maka Nita mendaftar kuliah. Ketika Nita membaca berita, Nita memperoleh informasi bahwa siswa yang tidak lulus ujian nasional tetap bisa mendaftar kuliah dengan syarat lulus ujian paket C.
Diketahui pernyataan sebagai berikut. 𝑝: Nita lulus ujian nasional 𝑞: Nita mendaftar kuliah Jika kita hubungkan kedua pernyataan tersebut dengan kata hubung “jika…maka…” diperoleh implikasi: 𝑝 ⟹ 𝑞: Jika Nita lulus ujian maka Nita mendaftar kuliah Jika Nita lulus ujian kemudian mendaftar kuliah, apakah Nita memenuhi janjinya? Bagaimana jika dalam keadaan lainnya?
Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi
30
Lengkapilah tabel berikut. Tabel 1. Kemungkinan nilai kebenaran implikasi
Kemungkinan kombinasi pernyataan Jika
Nita lulus
maka
ujian nasional
Akibat
Nita mendaftar
Nita memenuhi janjinya karena
kuliah
setelah lulus ujian Nita mendaftar kuliah
B Jika
Nita lulus
maka
ujian nasional
B
B
Nita tidak
Nita tidak memenuhi janjinya karena
mendaftar
meskipun lulus ujian, Nita tidak
kuliah
mendaftar kuliah
S
S
Nita mendaftar
Nita memenuhi janjinya karena
kuliah
meskipun tidak lulus ujian Nita
B Jika
Nita tidak
maka
lulus ujian nasional
mendaftar kuliah dengan mengikuti ujian paket C terlebih dahulu
S Jika
B
B
Nita tidak
Nita memenuhi janjinya sebab Nita
lulus ujian
mendaftar
tidak mendaftar kuliah dikarenakan
nasional
kuliah
Nita tidak lulus ujian
S
S
B
Nita tidak
maka
Jadi berdasarkan Tabel 1, apa yang menyebabkan suatu pernyataan implikasi (𝑝 ⟹ 𝑞) bernilai salah? Nilai kebenaran dari komponen pernyataan majemuk yang pertama (𝑝) benar dan komponen majemuk yang kedua (𝑞) salah Lengkapi tabel kebenaran dari Implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞 berikut. Tabel 1. Tabel Kebenaran dari Implikasi
𝒑
𝒒
𝒑⟹𝒒
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi
31
Bagaimana cara menentukan nilai 𝑥 pada kalimat 𝑝(𝑥) ⟹ 𝑞? Jika diketahui 𝑝 𝑥 adalah suatu kalimat terbuka?
Perhatikan tabel kebenaran implikasi pada Tabel 4. 1. Jika diketahui pernyataan 𝑞 bernilai Benar, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk 𝒑(𝒙)? Lengkapi tabel berikut.
𝑝(𝑥)
𝑞
𝑝(𝑥) ⟹ 𝑞
B
B
B
S
B
B
Apakah untuk pernyataan 𝑞 bernilai benar kalimat majemuk 𝒑(𝒙) ⟹ 𝒒 mungkin untuk bernilai salah? Tidak Jadi, Jika pernyataan 𝑞 bernilai benar, maka untuk semua nilai 𝑥 bagaimana nilai kebenaran dari kalimat majemuk (𝒙) ⟹ 𝒒 ? Selalu bernilai BENAR 2. Jika diketahui pernyataan 𝑞 bernilai Salah, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk 𝒑(𝒙)? Lengkapi tabel berikut.
𝑝(𝑥)
𝑞
𝑝(𝑥) ⟹ 𝑞
B
S
S
S
S
B
Jadi, Jika pernyataan 𝑞 bernilai salah, kalimat majemuk 𝒑(𝒙) ⟹ 𝒒 bernilai: a. Benar, jika 𝑝(𝑥) bernilai Salah b. Salah, jika 𝑝(𝑥) bernilai Benar Contoh: Tentukan nilai 𝑥 agar kalimat majemuk “jika 2𝑥 + 3 = 7, maka 7 > 14” bernilai: a. Benar untuk nilai 𝑥 ≠ 2 b. Salah untuk nilai 𝑥 = 2
Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi
32
KEGIATAN 3.2 BIIMPLIKASI CATATAN Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan 𝑝 dan 𝑞 dalam bentuk “𝑝 jika dan hanya jika 𝑞". Biimplikasi “𝑝 jika dan hanya jika 𝑞” dapat ditulis dengan lambang sebagai berikut. 𝒑⟺𝒒 (dibaca: jika dan hanya jika 𝒒) Bagaimana cara menentukan nilai 𝒑kebenaran dari biimplikasi? Perhatikan masalah berikut.
SMA Negeri 1 Cangkringan mengadakan pertandingan voli. Aturan pertandingannya adalah jika salah satu tim memperoleh skor 25 maka tim tersebut menang dan jika tim tersebut menang maka skor yang diperoleh adalah 25.
Diketahui pernyataan sebagai berikut. 𝑝: Tim XA menang 𝑞: Tim XA memperoleh skor 25 Jika kita hubungkan kedua pernyataan tersebut dengan kata hubung “jika dan hanya jika” diperoleh biimplikasi: 𝑝 ⟺ 𝑞: Tim XA menang jika dan hanya jika memperoleh skor 25 Jika Tim XA memperoleh skor 25 maka Tim XA menang dan jika tim XA menang maka memperoleh skor 25, apakah pertandingan tersebut berjalan sesuai dengan aturan? Bagaimana jika dalam keadaan lainnya?
Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi
33
Lengkapilah tabel berikut. Tabel 2. Kemungkinan nilai kebenaran biimplikasi
Kemungkinan kombinasi pernyataan
Akibat
Tim XA
Jika dan
Tim XA memperoleh
Sesuai dengan aturan
menang
hanya jika
skor 25
pertandingan
B
B
B Tim XA
Jika dan
Tim XA tidak
Tidak sesuai dengan aturan
menang
hanya jika
memperoleh skor 25
pertandingan, karena Tim XA menang padahal tidak memperoleh skor 25
B
S
S
Tim XA
Jika dan
Tim XA memperoleh
Tidak sesuai dengan aturan
kalah
hanya jika
skor 25
pertandingan, karena Tim XA memperoleh skor 25 tetapi dinyatakan kalah
S
B
S
Tim XA
Jika dan
Tim XA tidak
Sesuai dengan aturan
kalah
hanya jika
memperoleh skor 25
pertandingan
S
B
S
Jadi berdasarkan tabel 2 di atas, apa yang menyebabkan nilai kebenaran suatu pernyataan biimplikasi (𝑝 ⟺ 𝑞) bernilai benar? Nilai kebenaran dari komponen-komponennya sama
Lengkapi tabel kebenaran dari Biimplikasi 𝑝 ⟺ 𝑞 berikut. Tabel 3. Tabel Kebenaran Biimplikasi
𝑝
𝑞
𝑝⟺𝑞
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi
34
Bagaimana cara menentukan nilai 𝑥 pada kalimat 𝑝(𝑥) ⟺ 𝑞? Jika diketahui 𝑝 𝑥 adalah suatu kalimat terbuka?
Perhatikan tabel kebenaran biimplikasi pada Tabel 8 di atas. 1. Jika diketahui pernyataan 𝑞 bernilai Benar, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk 𝒑(𝒙)? Lengkapi tabel berikut.
𝒑(𝒙)
𝒒
𝒑(𝒙) ⟺ 𝒒
B
B
B
S
B
S
Jika pernyataan 𝑞 bernilai benar, kalimat majemuk 𝒑(𝒙) ⟺ 𝒒 bernilai: a. Benar, jika 𝑝(𝑥) bernilai Benar b. Salah, jika 𝑝(𝑥) bernilai Salah Contoh: Tentukan nilai 𝑥 agar kalimat majemuk “𝑥 − 4 < 8 jika dan hanya jika 8 adalah bilangan genap” bernilai: a. Benar untuk nilai 𝑥 < 12 b. Salah untuk nilai 𝑥 ≥ 12 2. Jika diketahui pernyataan 𝑞 bernilai Salah, maka apa nilai kebenaran yang mungkin untuk 𝒑(𝒙)? Lengkapi tabel berikut.
𝑝(𝑥)
𝑞
𝑝(𝑥) ⟺ 𝑞
B
S
B
S
S
S
Jika pernyataan 𝑞 bernilai salah, kalimat majemuk 𝒑(𝒙) ⟺ 𝒒 bernilai: a. Benar, jika 𝑝(𝑥) bernilai Salah b. Salah, jika 𝑝(𝑥) bernilai Benar Contoh: Tentukan nilai 𝑥 agar kalimat majemuk “𝑥 − 4 < 8 jika dan hanya jika 8 adalah bilangan genap” bernilai: a. Benar untuk nilai 𝑥 ≥ 12 b. Salah untuk nilai 𝑥 < 12 Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi
35
KEGIATAN 3.3 MENENTUKAN NILAI KEBENARAN DARI PERNYATAAN MAJEMUK TIDAK SEDERHANA Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan tunggal (komponen) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika. Jadi, pernyataan majemuk dapat terdiri dari 2 atau lebih pernyataan-pernyataan tunggal, 𝑝, 𝑞, 𝑟, …, dan seterusnya., disertai gabungan operasi ingkaran (~), konjungsi ( ∧ ), disjungsi ( ∨ ), implikasi (⟹), dan biimplikasi(⟺). Bagaimana cara mencari nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk tidak sederhana dengan menggunakan tabel kebenaran? Contoh: Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk (∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ 𝑝. (1)
Kolom Ke-
Langkah ke-
1
(2)
(3)
(4)
𝑝
𝑞
∼𝑝
∼𝑝∧𝑞
(∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ 𝑝
B
B
S
S
B
B
S
S
S
B
S
B
B
B
S
S
S
B
S
B
Tentukan semua
Tentukan nilai
kemungkinan nilai
kebenaran dari ∼𝒑
kebenaran dari pernyataan 𝑝 dan pernyataan 𝑞
(5)
2
Tentukan nilai kebenaran dari (∼ 𝒑 ∧ 𝒒) ⟹ 𝒑
4
Tentukan nilai kebenaran dari ∼𝒑∧𝒒
3
Nilai kebenaran pernyataan (∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ 𝑝 dapat dibaca dari atas ke bawah pada kolom (5), yaitu B, B, S, B. dengan menggunakan simbol nilai kebenaran pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut 𝝉 ∼𝒑∧𝒒 ⟹𝒑 =𝑩𝑩𝑺𝑩
Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi
36
KEGIATAN 4.4 TAUTOLOGI TAUTOLOGI Pernyataan majemuk berikut merupakan Tautologi. “Jika penebangan hutan tanpa diiringi upaya pelestarian dan terjadi kerusakan alam, maka penebangan hutan tanpa diiringi upaya pelestarian”. Bagaimana nilai kebenaran dari pernyataan tersebut? Misalkan peryataan majemuk tersebut dalam simbol sebagai berikut. 𝒑: Banyak penebangan hutan tanpa diiringi upaya pelestarian 𝒒: Terjadi kerusakan alam 𝒑 ∧ 𝒒: Banyak penebangan hutan tanpa diiringi upaya pelestarian dan terjadi kerusakan alam 𝒑 ∧ 𝒒 ⟹ 𝒑: Jika penebangan hutan tanpa diiringi upaya pelestarian dan terjadi kerusakan alam maka penebangan hutan tanpa diiringi upaya pelestarian Lengkapilah tabel kebenaran berikut ini. Nilai kebenaran yang mungkin 𝑝 𝑞
Nilai kebenaran 𝑝∧𝑞 𝑝∧𝑞 ⟹𝑝
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
Diketahui bahwa pernyataan majemuk 𝑝 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑝 adalah suatu tautologi. Berdasarkan nilai kebenaran dari 𝑝 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑝, apa yang dapat kalian simpulkan mengenai tautologi? Tautologi adalah pernyataan majemuk memiliki nilai kebenaran yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Implikasi Logis adalah implikasi yang merupakan tautologi Biimplikasi Logis adalah biimplikasi yang merupakan tautologi
Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi
37
KEGIATAN 3.5 KONTRADIKSI Pernyataan majemuk berikut merupakan suatu kontradiksi. “Tidak benar bahwa Nisa berasal dari Aceh atau mahir menari Saman, dan Nisa berasal dari Aceh” Bagaimana nilai kebenaran dari pernyataan tersebut? Misalkan peryataan majemuk tersebut dalam simbol sebagai berikut. 𝒑: Nisa berasal dari Aceh 𝒒: Nisa mahir menari Saman 𝒑 ∨ 𝒒: Nisa berasal dari Aceh atau mahir menari Saman ∼ (𝒑 ∨ 𝒒): Tidak benar bahwa Nisa berasal dari Aceh atau mahir menari Saman ∼ 𝒑 ∨ 𝒒 ∧ 𝒑: Tidak benar bahwa Nisa berasal dari Aceh atau mahir menari Saman, dan Nisa berasal dari Aceh. Lengkapilah tabel kebenaran berikut ini. Nilai kebenaran yang mungkin 𝑝 𝑞
𝑝∨𝑞
Nilai kebenaran ∼ 𝑝∨𝑞 ∼ 𝑝∨𝑞 ∧𝑝
B
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
S
S
S
S
B
S
Diketahui
bahwa
pernyataan
majemuk ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑝
adalah
suatu
kontradiksi.
Berdasarkan nilai kebenaran dari∼ 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑝, apa yang dapat kalian simpulkan mengenai kontradiksi? Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi
38
REFLEKSI
Apa yang telah kita pelajari hari ini?
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan 𝑝 dan 𝑞 dalam bentuk jika 𝒑 maka 𝒒. Implikasi dapat ditulis dengan lambang 𝑝 ⟹ 𝑞 (dibaca: jika 𝑝 maka 𝑞).
Tabel kebenaran Implikasi adalah
𝑝
𝑞
𝑝⟹𝑞
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari dua buah pernyataan 𝑝 dan 𝑞 dalam bentuk “𝑝 jika dan hanya jika 𝑞". Biimplikasi dapat ditulis dengan lambang 𝑝 ⟺ 𝑞 (dibaca: 𝑝 jika dan hanya jika 𝑞)
Tabel kebenaran Biimplikasi adalah
Tautologi
adalah
𝑝
𝑞
𝑝⟺𝑞
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
pernyataan
majemuk
yang
selalu
benar
untuk
semua
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya
Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi
39
AYO BERLATIH! 1. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut. a. Jika Pattimura adalah pahlawan nasional, maka tidak berasal dari Maluku. 2
2
b. 83 = 4 jika dan hanya jika 3 adalah bilangan rasional. a. Salah
Jawab:
b. Benar 2. Tentukan penyelesaian dari kalimat terbuka berikut. a. Negara itu beribukota di Kuala Lumpur jika dan hanya jika kartun Upin Ipin berasal dari Negara itu. b. Jika 𝑥 2 − 3𝑥 − 18 = 0, maka 18 habis dibagi 8. Jawab: a. Malaysia b. 𝑥 2 − 3𝑥 − 18 = 0 ⇔ 𝑥+3 𝑥−6 =0 ⇔ 𝑥 = −3 atau 𝑥 = 6 Jadi pernyataan “Jika 𝑥 2 − 3𝑥 − 18 = 0, maka 18 habis dibagi 8” benar jika 𝑥 ≠ −3 atau 𝑥 ≠ 6 3. Diketahui komponen pernyataan berikut. 𝑝: Ki Hajar Dewantara adalah pendiri sekolah Taman Siswa. 𝑞: Ki Hajar Dewantara merupakan Bapak Pendidikan Indonesia. Nyatakan
dalam
bentuk
pernyataan
majemuk
berikut
dan
tentukan
nilai
kebenarannya. a. ∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝 b. 𝑝 ⟺∼ 𝑞 Jawab: a. Jika Ki Hajar Dewantara bukan Bapak Pendidikan Indonesia, maka bukan pendiri sekolah Taman Siswa. Nilai kebenarannya adalah Benar b. Ki Hajar Dewantara adalah pendiri sekolah Taman Siswa jika dan hanya jika bukan merupakan Bapak Pendidikan Indonesia. Nilai kebenarannya adalah Salah
Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi
40
4. Selidiki apakah bentuk pernyataan majemuk 𝑞 ∧ (𝑝 ∧ ~𝑞) merupakan tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi? a. Lengkapi tabel kebenaran berikut ini.
𝒑
𝒒
~𝒒
𝒑 ∧ ~𝒒
𝒒 ∧ (𝒑 ∧ ~𝒒)
B
B
S
S
S
B
S
B
B
S
S
B
S
S
S
S
S
B
S
S
b. Berdasarkan tabel kebenaran yang diperoleh pada soal a, apakah pernyataan majemuk 𝑞 ∧ (𝑝 ∧ ~𝑞)
merupakan tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau
bukan kontradiksi? Jawab:
Karena nilai kebenarannya semua SALAH, maka 𝑞 ∧ (𝑝 ∧ ~𝑞) adalah suatu kontradiksi
5. Selidiki apakah bentuk pernyataan majemuk 𝑝 ⟹ [𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 ] merupakan tautologi, kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi? a. Lengkapi tabel kebenaran berikut.
𝒑
𝒒
𝒓
𝒒∧𝒓
𝒑∨ 𝒒∧𝒓
𝒑 ⟹ [𝒑 ∨ 𝒒 ∧ 𝒓 ]
B
B
B
B
B
B
B
B
S
S
B
B
B
S
B
S
B
B
B
S
S
S
B
B
S
B
B
B
B
B
S
B
S
S
S
B
S
S
B
S
S
B
S
S
S
S
S
B
b. Berdasarkan tabel kebenaran yang diperoleh pada soal a, apakah pernyataan majemuk 𝑝 ⟹ [𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 ] merupakan tautologi kontradiksi, bukan tautologi, atau bukan kontradiksi? Jawab:
Karena nilai kebenarannya semua BENAR, Jadi, 𝑝 ⟹ [𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 ] adalah tautologi
Implikasi, Biimplikasi, Tautologi, dan Kontradiksi
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) 4 Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, Invers, dan Kontraposisi Indikator: 1.
Menentukan ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.
2. Menentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berbentuk implikasi beserta nilai kebenarannya. 3. Memeriksa atau membuktikan kesetaraan antara dua pernyataan majemuk.
Petunjuk umum: 1. Bacalah setiap petunjuk yang ada dalam LKS ini dengan teliti 2. Diskusikan penyelesaiannya dengan teman sekelompokmu. 3. Tanyakan kepada Bapak/ Ibu Guru jika ada kalimat atau perintah yang kurang jelas.
Gambar 1 Berbagai Kebudayaan di Indonesia https://baguswahyudi85.files.wordpress.com
Indonesia
memiliki
budaya
yang
sangat
beragam. Setiap daerah memiliki kekhasan budayanya
masing-masing.
Akan
tetapi
kemajuan jaman menyebabkan budaya Indonesia semakin dilupakan oleh para generasi penerus bangsa. Oleh karena itu, jika kita ingin budaya Indonesia
tetap
ada,
maka
kita
harus
melestarikannya. Hal tersebut dikarenakan jika kita tidak melestarikan budaya Indonesia, maka budaya Indonesia akan hilang. Kedua pernyataan terakhir tersebut memiliki nilai yang sama (ekuivalen). Pernyataan terakhir merupakan sebelumnya.
kontraposisi
dari
pernyataan
42
KEGIATAN 4.1 EKUIVALENSI DARI DUA PERNYATAAN MAJEMUK
CATATAN Dua buah pernyataan majemuk 𝐴 dan 𝐵 dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya, dilambangkan dengan 𝑨 ≡ 𝑩 (dibaca: A ekuivalen dengan B)
Perhatikan masalah berikut ini. Risa dan Angga tinggal saling berdekatan. Mereka selalu berangkat kesekolah bersama-sama. Ketika dalam perjalanan menuju sekolah mereka mendiskusikan tentang besaran pokok dalam pengukuran. Keduanya saling berdiskusi sebagai berikut.
Angga, menurut kamu
Menurutku, besaran
apakah benar jika besaran
massa bukan merupakan
massa merupakan besaran
besaran skalar atau
skalar, maka besaran massa
memiliki ukuran besar
memiliki ukuran besar saja?
saja.
Apakah pernyataan Angga ekuivalen dengan pernyataan Risa? Mengapa? Iya karena memiliki nilai kebenaran yang sama.
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk
43
Akan diselidiki dengan menggunakan tabel kebenaran apakah kedua pernyataan majemuk tersebut ekuivalen. Misal, 𝒑: Besaran massa merupakan besaran skalar. 𝒒: Besaran massa memiliki ukuran besar saja. 𝒑 ⟹ 𝒒: Jika besaran massa merupakan besaran skalar, maka besaran massa memiliki ukuran besar saja. ∼ 𝒑 ∨ 𝒒: Besaran massa bukan merupakan besaran skalar atau memiliki ukuran besar saja Lengkapi tabel kebenaran berikut. Tabel 1. Tabel Kebenaran dari Pernyataan Majemuk
𝒑
𝒒
∼𝒑
∼𝒑∨𝒒
𝒑⟹𝒒
B
B
S
B
B
B
S
S
S
S
S
B
B
B
B
S
S
B
B
B
Berdasarkan tabel di atas, dapat diperoleh bahwa 𝜏 ∼ 𝒑 ∨ 𝒒 = BSBB 𝜏 𝒑 ⟹ 𝒒 = BSBB Menurut nilai kebenaran yang telah kalian peroleh, maka apa kesimpulan yang dapat kalian ambil? Karena nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ∼ 𝒑 ∨ 𝒒 sama dengan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk 𝒑 ⟹ 𝒒, maka keduanya saling ekuivalen. ∼ 𝒑 ∨ 𝒒 ≡ (𝒑 ⟹ 𝒒)
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
44
CONTOH Buktikan bahwa ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 ekuivalen dengan ∼ (∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞)! Jawab: Perhatikan tabel kebenaran dari ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 dan ∼ (∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞) pada tabel berikut. Tabel 2. Tabel Kebenaran Pernyataan Majemuk
𝒑
𝒒
∼𝒑
∼𝒒
∼𝒑∧𝒒
∼ 𝒑 ⟹∼ 𝒒
∼ (∼ 𝒑 ⟹∼ 𝒒)
B
B
S
S
S
B
S
B
S
S
B
S
B
S
S
B
B
S
B
S
B
S
S
B
B
S
B
S
sama
Pada Tabel 2 dapat diperoleh bahwa nilai kebenaran dari ∼ 𝒑 ∧ 𝒒 sama dengan nilai kebenaran dari ∼ (∼ 𝒑 ⟹∼ 𝒒). Dengan demikian kesimpulan apa yang dapat kalian ambil tentang pernyataan majemuk ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 dan ∼ (∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞)?
Pernyataan majemuk ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 ekuivalen dengan ∼ (∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞). ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ (∼ ∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞 )
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk
45
KEGIATAN 4.2 NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK 1. Negasi dari Konjungsi Perhatikan pernyataan berikut. “Contoh dari komponen abiotik adalah hewan dan tumbuhan” Apakah kalian setuju dengan pernyataan tersebut? Jika tidak, bagaimana menyanggah pernyataan tersebut? Tidak, karena contoh dari komponen abiotik adalah bukan hewan atau bukan tumbuhan. Pernyataan sanggahan tersebut disebut sebagai negasi dari pernyataan sebelumnya. Mari kita selidiki apakah jawaban kalian benar dengan menggunakan tabel kebenaran. Apakah benar jika ∼ 𝑝 ∧ 𝑞 ekuivalen dengan ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 ?. Tabel 3 Tabel Kebenaran Negasi Konjungsi
𝒑
𝒒
∼𝒑
∼𝒒
𝒑∧𝒒
∼ 𝒑∧𝒒
(∼ 𝒑 ∨∼ 𝒒)
B
B
S
S
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
B
S
B
B
Berdasarkan tabel diatas apakah 𝜏 ∼ 𝑝 ∧ 𝑞
= 𝜏[ ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 ]? YA
Jadi, berdasakan pengertian ekuivalensi dari dua pernyataan majemuk apa yang dapat kalian peroleh?
∼ 𝑝 ∧ 𝑞 ≡ ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞 Apakah jawaban kalian benar? Jika belum, apa pernyataan yang benar untuk menyanggah pernyataan Nia “Contoh dari komponen abiotik adalah hewan dan tumbuhan”? Ya, jawaban di atas telah benar (menyesuaikan dengan jawaban awal siswa)
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
46
2. Negasi dari Disjungsi Perhatikan masalah berikut. Terdapat suatu pernyataan bahwa “Rumah gadang adalah rumah adat Yogyakarta atau Jawa Tengah”. Apakah kalian setuju dengan pernyataan tersebut? Bagaimana Kalian menyanggah pernyataan tersebut? Tidak, karena rumah gadang bukan rumah adat yogyakarta dan bukan rumah adat Jawa Tengah Pernyataan sanggahan tersebut disebut sebagai negasi dari pernyataan “Rumah gadang adalah rumah adat Yogyakarta atau Jawa Tengah”. Mari kita selidiki apakah sanggahan kalian benar dengan menggunakan tabel kebenaran. Apakah benar jika ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 ekuivalen dengan ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 ?. Tabel 4 Tabel Kebenaran Negasi Disjungsi
𝒑
𝒒
∼𝒑
∼𝒒
𝒑∨𝒒
∼ 𝒑∨𝒒
∼ 𝒑 ∧∼ 𝒒
B
B
S
S
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
S
S
S
B
B
S
B
B
Berdasarkan tabel diatas apakah 𝜏 ∼ 𝑝 ∨ 𝑞
= 𝜏[ ∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞 ]? Ya
Jadi, berdasakan pengertian ekuivalensi dari dua pernyataan majemuk apa yang dapat kalian peroleh? ∼ 𝒑 ∨ 𝒒 ≡ ∼ 𝒑 ∧∼ 𝒒
Apakah jawaban kalian benar? Jika belum, apa pernyataan yang benar untuk menyanggah pernyataan “Rumah gadang adalah rumah adat Yogyakarta atau Jawa Tengah”? Ya, jawaban di atas telah benar (menyesuaikan dengan jawaban awal siswa)
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk
47
3. Negasi dari Implikasi Perhatikan masalah berikut. Terdapat suatu pernyataan bahwa “Jika air dapat menguap saat dipanaskan, maka air adalah benda padat”. Apakah kalian setuju dengan pernyataan tersebut? Bagaimana Kalian menyanggah pernyataan tersebut? Tidak, karena air dapat menguap saat dipanaskan dan air bukanlah benda padat. Pernyataan sanggahan tersebut disebut sebagai negasi dari pernyataan “Jika air dapat menguap saat dipanaskan, maka air adalah benda padat”. Mari kita selidiki apakah sanggahan kalian benar dengan menggunakan tabel kebenaran. Apakah benar jika ∼ 𝑝 ⟹ 𝑞 ekuivalen dengan 𝑝 ∧∼ 𝑞 . Tabel 5 Tabel Kebenaran Negasi Implikasi
𝑝
𝑞
∼𝑞
𝑝⟹𝑞
∼ 𝑝⟹𝑞
(𝑝 ∧∼ 𝑞)
B
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
B
S
B
S
B
S
S
S
S
B
B
S
S
Berdasarkan tabel diatas apakah 𝜏 ∼ 𝑝 ⟹ 𝑞
= 𝜏[ 𝑝 ∧∼ 𝑞 ]? Ya
Jadi, berdasakan pengertian ekuivalensi dari dua pernyataan majemuk apa yang dapat kalian peroleh? ∼ 𝑝 ⟹ 𝑞 ≡ 𝑝 ∧∼ 𝑞
Apakah jawaban kalian benar? Jika belum, apa pernyataan yang benar untuk menyanggah pernyataan “Jika air dapat menguap saat dipanaskan, maka air adalah benda padat”? Ya, jawaban di atas telah benar (menyesuaikan dengan jawaban awal siswa)
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
48
4. Negasi dari Biimplikasi Perhatikan masalah berikut. Terdapat suatu pernyataan bahwa “9 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 9 habis dibagi 2”. Apakah kalian setuju dengan pernyataan tersebut? Bagaimana Kalian menyanggah pernyataan tersebut? Tidak, karena 9 adalah bilangan ganjil dan 9 tidak habis dibagi 2, atau 9 habis dibagi 2 dan 9 bukan bilangan ganjil. Pernyataan sanggahan tersebut disebut sebagai negasi dari pernyataan “9 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 9 habis dibagi 2”. Mari kita selidiki apakah sanggahan kalian benar dengan menggunakan tabel kebenaran. Apakah benar jika ∼ 𝑝 ⟺ 𝑞 ekuivalen dengan 𝑝 ∧∼ 𝑞 ∨ (𝑞 ∧∼ 𝑝). Tabel 6. Tabel Kebenaran Negasi Implikasi
𝒑⟺𝒒
∼ 𝒑⟺𝒒
(𝒑 ∧∼ 𝒒)
(𝒒 ∧∼ 𝒑)
𝒑 ∧∼ 𝒒 ∨ (𝒒 ∧∼ 𝒑)
S
B
S
S
S
S
S
B
S
B
B
S
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
B
S
S
S
S
𝒑
𝒒
∼𝒑 ∼𝒒
B
B
S
B
S
S S
Berdasarkan tabel diatas apakah 𝜏 ∼ 𝒑 ⟺ 𝒒
= 𝜏[ 𝒑 ∧∼ 𝒒 ∨ (𝒒 ∧∼ 𝒑)]?
Jadi, berdasakan pengertian ekuivalensi dari dua pernyataan majemuk apa yang dapat kalian peroleh? ∼ 𝒑 ⟺ 𝒒 ≡ 𝒑 ∧∼ 𝒒 ∨ (𝒒 ∧∼ 𝒑)
Apakah jawaban kalian benar? Jika belum, apa pernyataan yang benar untuk menyanggah pernyataan “9 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 9 habis dibagi 2”? Ya, jawaban di atas telah benar (menyesuaikan dengan jawaban awal siswa)
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk
49
KEGIATAN 4.3 HUBUNGAN ANTARA IMPLIKASI DENGAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISINYA CATATAN Jika 𝑝 dan 𝑞 adalah suatu pernyataan maka dari suatu implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞 dapat dibentuk implikasi lain yaitu: 1. 𝑞 ⟹ 𝑝 , disebut Konvers dari dari implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞 2. ∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞 , disebut Invers dari implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞 3. ∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝 , disebut Kontraposisi dari implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞
Perhatikan pernyataan-pernyataan majemuk berikut.
1
2
3
4
Jika harga minyak naik, maka harga barang naik.
Jika harga barang naik, maka harga minyak naik.
Jika harga minyak tidak naik, maka harga barang tidak naik.
Jika harga barang tidak naik, maka harga minyak tidak naik.
Dari pernyataan-pernyataan majemuk diatas, pernyataan nomor berapa saja yang memiliki nilai kebenaran yang sama? Pernyataan nomor 1 sama dengan pernyataan nomor 4 dan pernyataan nomor 2 sama dengan pernyataan nomor 3
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
50
Untuk mengetahui nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan majemuk di atas, kita dapat menggunakan tabel kebenaran. Misal: 𝑝: Harga minyak naik. 𝑞: Harga barang naik. Sehingga dari pernyataan-pernyataan majemuk di atas diperoleh, 1. 𝑝 ⟹ 𝑞: Jika harga minyak naik, maka harga barang naik. 2. 𝑞 ⟹ 𝑝: Jika harga barang naik, maka harga minyak naik. 3. ∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞: Jika harga minyak tidak naik, maka harga barang tidak naik. 4. ∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝: Jika harga barang tidak naik, maka harga minyak tidak naik. Lengkapi tabel kebenaran berikut.
Implikasi
Konvers
Invers
Kontraposisi
𝑝
𝑞
∼𝑝
∼𝑞
𝑝⟹𝑞
𝑞⟹𝑝
∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞
∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
Perhatikan nilai kebenaran dari Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi di atas. Manasaja yang memiliki nilai kebenaran yang sama atau saling berlawanan? Kesimpulan apa saja yang dapat kalian peroleh?
Nilai kebenaran dari implikasi sama dengan nilai kebenaran dari Kontraposisinya. Nilai kebenaran dari konvers sama dengan nilai kebenaran dari invers. Jadi, Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya, 𝑝 ⟹ 𝑞 ≡ ∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝 Konvers ekuivalen dengan invers, (𝑞 ⟹ 𝑝) ≡ ∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk
51
CONTOH Tentukan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari implikasi berikut. a. Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian. b. Jika 𝑥 = 5, maka 𝑥 2 = 25. (tentukan pula nilai kebenarannya) c. 𝑝 ⟹ (𝑝 ∧ 𝑞) Jawab: a. Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian. Misal: 𝑝: saya belajar dengan giat 𝑞: saya lulus ujian Sehingga dapat diperoleh,
Konversnya (𝑞 ⟹ 𝑝)
: Jika
saya
lulus
ujian,
maka
saya
belajar dengan giat.
Inversnya (∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞)
: Jika saya tidak belajar dengan giat, maka saya tidak lulus ujian.
Kontraposisinya (∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝)
: Jika saya tidak lulus ujian, maka saya tidak belajar dengan giat.
b. Jika 𝑥 = 5, maka 𝑥 2 = 25 Misal: 𝑝: 𝑥 = 5 𝑞: 𝑥 2 = 25 Sehingga dapat diperoleh,
Konversnya (𝑞 ⟹ 𝑝)
: Jika 𝑥 2 = 25, maka 𝑥 = 5 (salah)
Inversnya (∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞)
: Jika 𝑥 ≠ 5, maka 𝑥 2 ≠ 25 (salah)
Kontraposisinya (∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝)
: Jika 𝑥 2 ≠ 25, maka 𝑥 ≠ 5 (benar)
c. Jika diketahui implikasi 𝑝 ⟹ (𝑝 ∧ 𝑞), maka: Konversnya
: (𝑝 ∧ 𝑞) ⟹ 𝑝
Inversnya
: ~𝑝 ⟹ ~(𝑝 ∧ 𝑞) atau ekuivalen dengan ~𝑝 ⟹ (~𝑝 ∨ ~𝑞)
Kontraposisinya : ∼ (𝑝 ∧ 𝑞) ⟹∼ 𝑝 atau ekuivalen dengan (~𝑝 ∨ ~𝑞) ⟹∼ 𝑝
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
52
REFLEKSI Apa yang telah kita pelajari hari ini?
Apa yang menyebabkan dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen? jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya.
Negasi
dari
pernyataan
majemuk
dapat
ditunjukkan
dengan
menggunakan
ekuivalensi. 1. Negasi dari Konjungsi
∼ 𝑝∧𝑞
≡
(∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞) HUKUM
2. Negasi dari Disjungsi
∼ (𝑝 ∨ 𝑞)
DE MORGAN
≡
(∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞)
≡
(𝑝 ∧∼ 𝑞)
≡
𝑝 ∧∼ 𝑞 ∨ (𝑞 ∧∼ 𝑝)
3. Negasi dari Implikasi
∼ 𝑝⟹𝑞 4. Negasi dari Biimplikasi
∼ 𝑝⟺𝑞
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk
53
Jika diketahui suatu Implikasi Konversnya:
𝑞⟹𝑝
Inversnya:
∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞
Kontraposisinya:
∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝
𝑝⟹𝑞
, maka:
Berdasarkan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi, diperoleh:
𝑝⟹𝑞
≡
∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝
𝑞⟹𝑝
≡
∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
54
AYO BERLATIH! 1. Benarkan pernyataan-pernyataan berikut? a.
𝑝 ∧ 𝑞 ∨∼ 𝑝 ≡ (𝑝 ⟹ 𝑞)
b.
𝑝 ⟹ 𝑞∨𝑟
≡ 𝑝 ⟹ 𝑞 ∨ (𝑝 ⟹ 𝑟)
Jawab: 𝒑
𝒒
∼𝒑
𝒑∧𝒒
𝒑 ∧ 𝒒 ∨∼ 𝒑
𝒑⟹𝒒
B
B
S
B
B
B
B
S
S
S
S
S
S
B
B
S
B
B
S
S
B
S
B
B
Jadi berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa
a.
𝑝 ∧ 𝑞 ∨∼ 𝑝 ≡ (𝑝 ⟹ 𝑞)
𝒑
𝒒
𝒓
𝒒∨𝒓
𝒑⟹ 𝒒∨𝒓
𝒑⟹𝒒
𝒑⟹𝒓
𝒑 ⟹ 𝒒 ∨ (𝒑 ⟹ 𝒓)
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
S
S
S
S
S
S
S
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
B
B
B
B
B
S
S
B
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
B
B
b.
Jadi berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa 𝑝 ⟹ 𝑞 ∨ 𝑟
≡ 𝑝 ⟹ 𝑞 ∨ (𝑝 ⟹ 𝑟)
2. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut. a. Surabaya adalah ibukota Jawa Timur atau kota pahlawan. b. Pemuaian zat padat dipengaruhi oleh koefisien muai dan dipengaruhi oleh kenaikan suhu. c. Jika Rio Haryanto adalah pembalap Indonesia, maka memiliki banyak prestasi. d. Segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang. Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk
55 Jawab: Surabaya bukan ibukota Jawa Timur dan bukan kota pahlawan.
a.
b. Pemuaian zat padat tidak dipengaruhi oleh koefisien muai atau tidak dipengaruhi oleh kenaikan suhu. c. Rio Haryanto bukan pembalap Indonesia atau memiliki banyak prestasi. d. Segitiga sama sisi dan ketiga sisinya tidak samapanjang, atau segitiga tidak
sama sisi dan ketiga sisinya sama panjang 3. Tunjukkan bahwa sifat komutatif, asosiatif, dan distributif berlaku pada konjungsi dan disjungsi. a. Sifat komutatif
𝑝∧𝑞 ≡𝑞∧𝑝
𝑝∨𝑞 ≡𝑞∨𝑝
b. Sifat asosiatif
𝑝∧𝑞 ∧𝑟 ≡𝑝∧ 𝑞∧𝑟
𝑝 ∨ 𝑞 ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)
c. Sifat distributif
Distributif konjungsi terhadap disjungsi 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ 𝑟 ≡ 𝑝 ∧ 𝑞 ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)
Distributif disjungsi terhadap konjungsi 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ 𝑟 ≡ 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
Jawab: a. Sifat komutatif 𝑝
𝑞
𝑝∧𝑞
𝑞∧𝑝
𝑝∨𝑞
𝑞∨𝑝
B
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
S
B
B
S
S
S
S
S
S
Berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa berlaku sifat komutatif pada konjungsi dan disjungsi.
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
56 b. Asosiatif 𝑝 𝑞 𝑟 𝑝∧𝑞
𝑞∧𝑟
𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)
(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟
𝑝∨𝑞
𝑞∨𝑟
𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)
(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
S
S
B
B
B
B
B
S
B
S
S
S
S
B
B
B
B
B
S
S
S
S
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
B
S
S
B
B
B
B
S
B
S
S
S
S
S
B
B
B
B
S
S
B
S
S
S
S
S
B
B
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
Berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa berlaku sifat asosiatif pada konjungsi dan disjungsi. c. Distributif
Distributif konjungsi terhadap disjungsi
𝑝
𝑞
𝑟
𝑞∨𝑟
𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)
𝑝∧𝑞
𝑝∧𝑟
𝑝 ∧ 𝑞 ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
S
S
S
S
S
S
S
B
B
B
S
S
S
S
S
B
S
B
S
S
S
S
S
S
B
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
𝑝∨𝑟
𝑝 ∨ 𝑞 ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
𝑝
Distributif disjungsi terhadap konjungsi 𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟) 𝑞 𝑟 𝑞∧𝑟 𝑝∨𝑞
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
B
S
B
B
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
S
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
S
S
B
S
S
S
S
B
S
S
S
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
Berdasarkan kedua tabel di atas, terbukti bahwa berlaku sifat distributif pada konjungsi dan disjungsi.
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk
57
4. Tentukan Konvers, invers, dan kotraposisi dari implikasi berikut. a. Jika kita cinta tanah air Indonesia, maka kita melestarikan budaya Indonesia. b. Jika 𝑥 < 0, maka 𝑥 2 > 0. c. 𝑝 ⟹ (∼ 𝑝 ∨ 𝑞) Jawab: a. Implikasi: Jika kita cinta tanah air Indonesia, maka kita melestarikan budaya Indonesia. Konvers: Jika kita melestarikan budaya Indonesia, maka kita cinta tanah air Indonesia Invers: Jika kita tidak cinta tanah air Indonesia, maka kita tidak melestarikan budaya Indonesia. Kontraposisi: Jika tidak melestarikan budaya Indonesia, maka kita tidak cinta tanah air Indonesia. b. Implikasi Konvers Invers
: Jika 𝑥 < 0, maka 𝑥 2 > 0. : Jika 𝑥 2 > 0, maka 𝑥 < 0 : Jika 𝑥 ≥ 0, maka 𝑥 2 ≤ 0
Kontraposisi: Jika 𝑥 2 ≤ 0, maka 𝑥 ≥ 0 c. Implikasi Konvers Invers
: 𝑝 ⟹ ∼𝑝∨𝑞 : (∼ 𝑝 ∨ 𝑞) ⟹ 𝑝 : ∼ 𝑝 ⟹∼ ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 ≡∼ 𝑝 ⟹ (𝑝 ∧∼ 𝑞)
Kontraposisi: (𝑝 ∧∼ 𝑞) ⟹∼ 𝑝 5. Tentukan pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan berikut. a. Jika Ani tidak sarapan, maka ia mengantuk di sekolah. b. Banjir akan datang jika hujan lebat. Jawab: a. Ani sarapan atau ia tidak mengantuk di sekolah. atau Jika ani tidak mengantuk di sekolah, maka Ani sarapan. b. Hujan tidak lebat jika banjir tidak datang
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) 5 Pernyataan Berkuantor
Indikator: 1.
Menentukan
nilai
kebenaran dari suatu pernyataan berkuantor. 2. Menentukan ingkaran dari
suatu
pernyataan
Gambar 1 Elang http://gambardanfoto.com
berkuantor. 3. Memeriksa
atau
membuktikan kesetaraan dua
antara
Gambar 2 Harimau http://4.bp.blogspot.com
pernyataan
berkuantor. Petunjuk umum: 1. Bacalah setiap petunjuk yang ada dalam LKS ini dengan teliti 2. Diskusikan
Gambar 3 Serigala http://11gambarfotokeren.blogspot.com
Jika dalam suatu diskusi ada teman kalian yang mengatakan,
“Semua
hewan
karnivora
memiliki
penyelesaiannya
taring”. Apakah kalian setuju dengan pernyataan
dengan teman
tersebut? Apakah ada hewan pemakan daging yang
sekelompokmu. 3. Tanyakan kepada
tidak memiliki taring?
Bapak/ Ibu Guru jika
Pernyataan
ada kalimat atau
taring”
perintah yang kurang
berkuantor.
jelas.
“Semua
merupakan
hewan contoh
karnivora dari
memiliki
pernyataan
59
KEGIATAN 5.1 KUANTOR UNIVERSAL Perhatikan pernyataan berikut. Semua ikan hidup di air.
Jika, U = Himpunan semua binatang A = Himpunan semua binatang yang hidup di air
Gambar 4. Ikan https://www.selasar.com
B = Himpunan semua ikan yang hidup di air Temukan hubungan antara pernyataan “binatang yang hidup di air” dan pernyataan “semua ikan hidup di air” dengan menggambar himpunan-himpunan tersebut dalam diagram venn berikut. U
A B
Apa hubungan antara himpunan A dan Himpunan B? Himpunan B merupakan himpunan bagian dari A
Jadi, jika 𝑥 ∈ 𝐴 maka 𝑥 ∈ 𝐵. Dengan demikian pernyataan “Semua ikan hidup di air” ekuivalen dengan pernyataan Jika piranha adalah ikan, maka piranha hidup di air.
Pernyataan Berkuantor
60
CONTOH 1.
“Semua makhluk hidup membutuhkan air”, ekuivalen dengan “Jika manusia adalah makhluk hidup, maka manusia membutuhkan air”.
2. “Semua bilangan prima adalah bilangan asli”, ekuivelen dengan “Jika 𝑥 adalah bilangan prima, maka 𝑥 adalah bilangan asli”. 3. “Semua B adalah A”, ekuivalen dengan “Jika 𝑥 ∈ 𝐵, maka 𝑥 ∈ 𝐴”.
Berdasarkan ilustrasi di atas, apakah kalian dapat menentukan nilai kebenaran dari kalimat “Mereka hidup di air”? Mengapa? Tidak, karena masih terdapat variabel atau peubah “mereka”.
Jika dari kalimat di atas, kata ”mereka” diganti dengan kuantor universal, sehingga menjadi
pernyataan
sebagai
berikut.
Apakah
kalian
dapat
menentukan
nilai
kebenarannya? “Semua ikan hidup di air”, nilai kebenarannya adalah Benar “Semua binatang hidup di air”, nilai kebenarannya adalah Salah Apakah kalian dapat menentukan nilai kebenarannya? Iya Jadi,
kalimat
terbuka
dapat
kita
ubah
menjadi
suatu
pernyataan
dengan
membubuhkan kuantor universal. CATATAN Misalkan 𝑝(𝑥) adalah sebuah kalimat terbuka, dengan 𝑥 anggota himpunan semesta pembicaraan 𝑆. Pernyataan berkuantor universal dapat ditulis sebagai berikut. (∀𝒙), 𝒑(𝒙) dibaca: untuk semua 𝒙 berlakulah 𝒑(𝒙) Atau ∀𝒙 ∈ 𝑺 , 𝒑(𝒙) dibaca: untuk semua 𝒙 anggota 𝑺 berlakulah 𝒑(𝒙) Penggunaan kata “untuk semua” pada kuantor universal, senilai dengan kata “untuk setiap”, “untuk tiap-tiap”, dan “untuk seluruh”.
Pernyataan Berkuantor
61
Diketahui kalimat terbuka berikut. 𝑝: Semua ikan bernafas dengan insang. Kita tahu bahwa ikan lumba-lumba bernafas dengan paru-paru. Karena sekurang-kurangnya ada 1 ikan yang tidak bernafas dengan insang, maka pernyataan tersebut salah. 𝜏 𝑝 = 𝑆.
𝑞: untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 2 + 3 > 0 . Karena 𝑥 2 ≥ 0 untuk semua 𝑥 ∈ ℝ, sehingga 𝑥 2 + 3 > 0 untuk semua 𝑥 ∈ ℝ. Jadi, pernyataan tersebut bernilai benar. 𝜏 𝑞 = 𝐵
Jadi, Pernyataan berkuantor universal dapat memiliki nilai kebenaran Benar, jika Pernyataan tersebut benar untuk semua semesta yang dibicarakan.
Pernyataan berkuantor universal dapat memiliki nilai kebenaran Salah, jika Terdapat sekurang-kurangnya satu anggota semesta yang menyebabkan kalimat berkuantor salah
Pernyataan Berkuantor
62
KEGIATAN 5.2 KUANTOR EKSISTENSIAL Perhatikan pernyataan berikut. Beberapa pahlawan nasional adalah perempuan
Jika, U = Himpunan semua orang. A = Himpunan semua pahlawan nasional B = Himpunan semua perempuan.
Gambar 5. Pahlawan Nasional http://i2.wp.com/www.pusakaindonesia.org/
Temukan hubungan antara pernyataan “Orang yang meninggal karena berjuang pada masa kemerdekaan adalah pahlawan nasional” dan pernyataan “Beberapa pahlawan nasional adalah perempuan” dengan menggambar himpunan A dan B dalam diagram venn berikut. U
B
A
Apa hubungan antara himpunan A dan Himpunan B? Himpunan A saling beririsan dengan himpunan B
Jadi, sekurang-kurangnya ada sebuah 𝑥 ∈ 𝐵 yang merupakan ∈ 𝐴. Dengan demikian pernyataan “beberapa pahlawan nasional adalah perempuan” ekuivalen dengan pernyataan Sekurang-kurangnya ada satu perempuan yang merupakan pahlawan nasional.
Pernyataan Berkuantor
63
CONTOH 1.
“Beberapa kuda berwarna coklat”, ekuivalen dengan “Sekurang-kurangnya ada seekor kuda yang berwarna coklat.
2. “Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima”, ekuivalen dengan “sekurangkurangnya ada satu bilangan genap yang merupakan bilangan prima”. 3. “Beberapa B adalah A”, ekuivalen dengan “sekurang-kurangnya ada sebuah 𝑥 ∈ 𝐵 yang merupakan ∈ 𝐴” Berdasarkan ilustrasi di atas, apakah kalian dapat menentukan nilai kebenaran dari kalimat “Mereka adalah perempuan”? Mengapa? Tidak, karena kalimat tersebut masih memuat variabel atau peubah
Jika dari kalimat di atas, kata ”mereka” diganti dengan kuantor eksistensial, sehingga menjadi
pernyataan
sebagai
berikut.
Apakah
kalian
dapat
menentukan
nilai
kebenarannya? “Beberapa pahlawan nasional adalah perempuan”, nilai kebenarannya adalah Benar “Beberapa makhluk hidup tidak membutuhkan oksigen”, nilai kebenarannya adalah Salah Jadi, kalimat terbuka dapat kita ubah menjadi suatu pernyataan dengan membubuhkan kuantor eksistensial. CATATAN Misalkan 𝑝(𝑥) adalah sebuah kalimat terbuka, dengan 𝑥 anggota himpunan semesta pembicaraan 𝑆. Pernyataan berkuantor eksistensial dapat ditulis sebagai berikut. (∃𝒙), 𝒑(𝒙) dibaca: terdapat 𝒙 sehingga berlakulah 𝒑(𝒙) Atau ∃𝒙 ∈ 𝑺 , 𝒑(𝒙) dibaca: terdapat 𝒙 anggota 𝑺 sehingga berlakulah 𝒑 𝒙 Penggunaan kata “terdapat” senilai dengan kata “ada”, “beberapa”, “untuk suatu”, dan “untuk paling sedikit satu”.
Pernyataan Berkuantor
64
Diketahui kalimat terbuka berikut. 𝑝: Ada pahlawan nasional yang berasal dari Sulawesi Selatan. Kita tahu bahwa Sultan Hasanuddin adalah pehlawan nasional yang berasal dari Sulawesi Selatan. Karena kita dapat menunjukkan sekurang-kurangnya 1 pahlawan nasional yang berasal dari Sulawesi Selatan, maka pernyataan tersebut bernilai benar. 𝜏 𝑝 = 𝐵.
𝑞: Ada bilangan prima yang kurang dari 0. Karena kita tidak dapat menunjukkan satupun bilangan prima yang kurang dari 0, maka pernyataan tersebut bernilai salah. 𝜏 𝑞 = 𝑆
Jadi, Pernyataan berkuantor eksistensial dapat memiliki nilai kebenaran Benar, jika Sekurang-kurangnya satu anggota semesta menyebabkan pernyataan bernilai benar.
Pernyataan berkuantor eksistensial dapat memiliki nilai kebenaran Salah, jika Tidak ada satupun dari anggota semesta menyebabkan kalimat menjadi benar
Pernyataan Berkuantor
65
KEGIATAN 5.3 NEGASI KALIMAT BERKUANTOR 1. Kuantor Universal Perhatikan pernyataan berikut.
Semua presiden Indonesia dari tahun 1945 sampai sekarang adalah laki-laki Gambar 6 Presiden Indonesia http://cdn.klimg.com/merdeka.com/
Apakah pernyataan tersebut benar? Bagaimana menyangkal pernyataan diatas? Tidak, karena ada presiden Indonesia dari tahun 1945 sampai sekarang yang perempuan Pernyataan berkuantor apa yang kalian gunakan untuk menyangkal pernyataan di atas? Pernyataan berkuantor eksistensial
Menyangkal suatu pernyataan berarti kamu telah membuat negasi dari pernyataan tersebut. Dengan demikian, berdasarkan kalimat sangkalan di atas, negasi dari pernyataan “Semua presiden Indonesia dari tahun 1945 sampai sekarang adalah lakilaki” adalah Terdapat presiden Indonesia dari tahun 1945 sampai sekarang yang bukan lakilaki CATATAN Jika terdapat pernyataan berkuantor universal ∀𝑥 , 𝑝(𝑥), maka negasinya dapat ditulis sebagai berikut.
~[ ∀𝒙 , 𝒑 𝒙 ] ≡ ∃𝒙 , ~𝒑(𝒙) Pernyataan Berkuantor
66
2. Kuantor Eksistensial Perhatikan pernyataan berikut. Terdapat kucing yang berkembangbiak dengan cara bertelur.
Gambar 7 Kucing https://radipt.files.wordpress.com/
Apakah pernyataan tersebut benar? Bagaimana menyangkal pernyataan diatas? Tidak, karena semua kucing berkembang biak dengan beranak.
Pernyataan apa yang kalian gunakan untuk menyangkal pernyataan di atas? Pernyataan berkuantor universal
Menyangkal suatu pernyataan berarti kamu telah membuat negasi dari pernyataan tersebut. Dengan demikian, berdasarkan kalimat sangkalan di atas, negasi dari pernyataan “Terdapat kucing yang berkembang biak dengan cara bertelur.” adalah
Semua kucing berkembangbiak tidak dengan cara bertelur
CATATAN Jika terdapat pernyataan berkuantor Eksistensial
∃𝑥 , 𝑝(𝑥), maka negasinya
dapat ditulus sebagai berikut.
~[ ∃𝒙 , 𝒑 𝒙 ] ≡ ∀𝒙 , ~ 𝒑(𝒙)
Pernyataan Berkuantor
67
REFLEKSI
Apa yang telah kita pelajari hari ini?
Misalkan 𝑝(𝑥) adalah sebuah kalimat terbuka, dengan 𝑥 anggota himpunan semesta pembicaraan 𝑆 ,maka: Pernyataan berkuantor universal dapat ditulis sebagai (∀𝑥), 𝑝(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (∀𝑥 ∈ 𝑆), 𝑝(𝑥) dan Pernyataan berkuantor eksistensial dapat ditulis sebagai (∃𝑥), 𝑝(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢 ∃𝑥 ∈ 𝑆 , 𝑝(𝑥)
Negasi dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor eksistensial
Negasi dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah pernyataan berkuantor universal Dilambangkan sebagai berikut. ~[ ∀𝑥 , 𝑝 𝑥 ] ≡ ∃𝑥 , ~𝑝(𝑥) ~[ ∃𝑥 , 𝑝 𝑥 ] ≡ ∀𝑥 , ~ 𝑝(𝑥)
Pernyataan Berkuantor
68
AYO BERLATIH!
1. Tulislah implikasi yang ekuivalen dengan kalimat berkuantor universal berikut. a. Semua manusia berkewajiban untuk melestarikan lingkungan. b. Semua bilangan asli adalah bilangan cacah Jawab:
a.
Jika kita adalah manusia, maka kita berkewajiban untuk melestarikan lingkungan.
b. Jika 𝑥 bilangan asli, maka 𝑥 bilangan cacah.
2. Tulislah kalimat berkuantor eksistensial yang ekuivalen dengan kalimat berkuantor eksistensial berikut. a. Beberapa siswa kelas X memilih jurusan IPA ketika penjurusan di kelas XI. b. Beberapa persamaan kuadrat memiliki akar imajiner Jawab: a.
Sekurang-kurangnya ada seorang siswa kelas X yang memilih jurusan IPA ketika penjurusan di kelas XI.
b. Sekurang-kurangnya ada satu persamaan kuadrat yang memiliki akar imajiner
3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor berikut, jika himpunan semestanya adalah 𝐴 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . a. ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 + 2 < 6 b. ∀𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 − 3 < 4 c. ∃𝑥 ∈ 𝐴, 𝑥 + 4 = 11 d. ∃𝑥 ∈ 𝐴, Jawab:
1 𝑥−1
>0 a.
Salah, karena ada 𝑥 = 5, sehingga 𝑥 + 2 > 6
b. Benar, karena untuk semua 𝑥 ∈ 𝐴, berlaku 𝑥 − 3 < 4 c.
Benar, karena tidak ada 𝑥 ∈ 𝐴, sehingga berlaku 𝑥 + 4 = 11
d. Benar, karena ada 𝑥 = 3 sehingga
1 𝑥−1
>0
4. Tentukan negasi dari pernyataan berkuantor berikut. a. Semua persamaan kuadrat memiliki akar kembar. b. Beberapa orang tidak mengagumi keindahan alam Gunung Merapi. Jawab:
a.
Terdapat persamaan kuadrat yang tidak memiliki akar kembar.
b. Semua orang mengagumi keindahan alam Gunung Merapi. Pernyataan Berkuantor
LEMBAR KEGIATAN SISWA (LKS) 6 Penarikan Kesimpulan Indikator: 1.
Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip modus ponens.
2. Menentukan kesimpulan dari beberapa premis Gambar 1
yang diberikan dengan prinsip modus tolens. 3. Menentukan kesimpulan dari beberapa premis yang diberikan dengan prinsip silogisme. 4. Memeriksa keabsahan
Gambar 2 Mimikri pada Bunglon http://cdn.idntimes.com
penarikan kesimpulan menggunakan prinsip logika matematika.
Dalam
pelajaran
biologi
tentu
kalian
mengetahui bahwa jika seekor bunglon dalam Petunjuk umum:
keadaan bahaya, bunglon melakukan mimikri.
1. Bacalah setiap petunjuk
Jika seekor bunglon melakukan mimikri, maka
yang ada dalam LKS ini dengan teliti 2. Diskusikan penyelesaiannya dengan teman sekelompokmu. 3. Tanyakan kepada Bapak/ Ibu Guru jika ada kalimat atau perintah yang kurang jelas.
warna tubuhnya akan berubah sesuai dengan tempat dia berada. Dari dua pernyataan tersebut, simpulan apa yang dapat kalian ambil? Selanjutnya bagaimana
kalian
akan
menyimpulkan
belajar dan
keabsahan dari suatu kesimpulan.
tentang
memeriksa
70
KEGIATAN 6.1 MODUS PONEN Jika Soekarno menyampaikan proklamasi kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus 1945, maka Indonesia telah merdeka. Dan sejarah telah mencatat bahwa Soekarno menyampaikan proklamasi
Jadi, kesimpulan
kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus 1945.
apa yang dapat kamu peroleh?
Karena Soekarno menyampaikan proklamasi kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus 1945, maka kesimpulannya adalah Indonesia telah merdeka
Mari kita cek kebenaran dari kesimpulan yang kalian ambil dengan menggunakan tabel kebenaran. Misal, 𝑝 ∶
Soekarno menyampaikan proklamasi kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus 1945
𝑞 ∶ 𝑝 ⟹ 𝑞:
Indonesia telah merdeka Jika Soekarno menyampaikan proklamasi kemerdekaan pada tanggal 17
Agustus 1945, maka Indonesia telah merdeka. Untuk memeriksa keabsahan dari penarikan kesimpulan di atas, lengkapi tabel kebenaran dari [ 𝑝 ⟹ 𝑞 ∧ 𝑝] ⟹ 𝑞 berikut. 𝒑
𝒒
𝒑⟹𝒒
𝒑⟹𝒒 ∧𝒑
[ 𝒑 ⟹ 𝒒 ∧ 𝒑] ⟹ 𝒒
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
S
B
S
S
B
S
B
Apa nilai kebenaran dari [ 𝑝 ⟹ 𝑞 ∧ 𝑝] ⟹ 𝑞 ? BBBB
Penarikan Kesimpulan
71
Penarikan kesimpulan dengan menggunakan metode tersebut dinamakan modus ponen. Suatu penarikan kesimpulan dikatakan sah apabila pernyataan implikasinya, merupakan suatu tautologi. Apakah Modus Ponen merupakan argumentasi yang sah? Mengapa? Ya, Modus Ponen merupakan argumentasi yang sah karena nilai kebenaran dari pernyataan implikasinya [(𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ 𝑝] ⟹ 𝑞 semuanya bernilai benar (tautologi)
CATATAN Modus ponen dapat disajikan dalam susunan sebagai berikut. Premis 1
: 𝒑⟹𝒒
Premis 2
: 𝒑
Konklusi
: ∴𝒒
Tanda " ∴ " dibaca “maka” atau “jadi” Dalam bentuk implikasi, modus ponen di atas dapat ditulis menjadi: [(𝑝 ⟹ 𝑞) ∧ 𝑝] ⟹ 𝑞
Penarikan Kesimpulan
72
KEGIATAN 6.2 MODUS TOLLENS 𝑘
𝑙
𝑘
A
𝑙 Jika garis 𝑘 dan garis 𝑙 saling berpotongan, maka kedua garis tersebut memiliki titik potong. Diketahui bahwa kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong. Jadi, kesimpulan apa yang dapat kamu ambil? Karena kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong, maka kesimpulannya adalah garis 𝑘 dan garis 𝑙 tidak saling berpotongan
Mari kita cek kebenaran dari kesimpulan yang kalian ambil dengan menggunakan tabel kebenaran. Misal, ∶ garis 𝑘 dan garis 𝑙 saling berpotongan.
𝑝
𝑞 ∶ kedua garis tersebut memiliki titik potong. 𝑝 ⟹ 𝑞: Jika garis 𝑘 dan garis 𝑙 saling berpotongan, maka kedua garis tersebut memiliki titik potong. ∼𝑞
∶ kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong
Untuk memeriksa keabsahan dari penarikan kesimpulan di atas, lengkapi tabel kebenaran dari [ 𝑝 ⟹ 𝑞 ∧∼ 𝑞] ⟹∼ 𝑝 berikut.
𝒑
𝒒
∼𝒑
∼𝒒
𝒑⟹𝒒
𝒑 ⟹ 𝒒 ∧∼ 𝒒
[ 𝒑 ⟹ 𝒒 ∧∼ 𝒒] ⟹∼ 𝒑
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
S
B
S
S
B
B
B
B
B
Penarikan Kesimpulan
73
Apa nilai kebenaran dari [ 𝑝 ⟹ 𝑞 ∧∼ 𝑞] ⟹∼ 𝑝 ? BBBB
Penarikan kesimpulan dengan menggunakan metode tersebut dinamakan modus tollens. Suatu penarikan kesimpulan dikatakan sah apabila pernyataan implikasinya merupakan suatu tautologi. Apakah Modus Tollens merupakan argumentasi yang sah? Mengapa? Ya, Modus Tollens merupakan argumentasi yang sah karena nilai kebenaran dari pernyataan implikasinya [ 𝑝 ⟹ 𝑞 ∧∼ 𝑞] ⟹∼ 𝑝 semuanya bernilai benar (tautologi)
CATATAN Modus tollens dapat disajikan dalam susunan sebagai berikut. Premis 1
: 𝒑⟹𝒒
Premis 2
: ∼𝒒
Konklusi
: ∴∼ 𝒑
Dalam bentuk implikasi, modus ponen di atas dapat ditulis menjadi: [ 𝑝 ⟹ 𝑞 ∧∼ 𝑞] ⟹∼ 𝑝
Penarikan Kesimpulan
74
KEGIATAN 6.3 SILOGISME Banjir merupakan salah satu bencana alam yang diakibatkan oleh perilaku manusia. Salah satu kota yang menjadi langganan banjir adalah Jakarta. Jakarta menjadi kota yang identik dengan banjir ketika musim hujan tiba. Salah satu sebabnya adalah kebiasaan warga Jakarta membuang sampah di sungai. Jika warga Jakarta membuang sampah di sungai, maka aliran sungai tersumbat. Oleh karena itu, jika aliran sungai tersumbat maka ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir.
Jadi, berdasarkan dua pernyataan terakhir dari paragraf di atas kesimpulan apa yang dapat kamu ambil? Jika warga Jakarta membuang sampah di sungai, maka ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir. Mari kita cek kebenaran dari kesimpulan tersebut dengan menggunakan tabel kebenaran. Misal, 𝑝: Warga Jakarta membuang sampah di sungai. 𝑞: Aliran sungai tersumbat. 𝑟: Ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir. 𝑝 ⟹ 𝑞: Jika warga Jakarta membuang sampah di sungai, maka aliran sungai tersumbat. 𝑞 ⟹ 𝑟: Jika aliran sungai tersumbat, maka ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir. 𝑝 ⟹ 𝑟: Jika warga Jakarta membuang sampah di sungai, maka ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir.
Penarikan Kesimpulan
75
Untuk memeriksa keabsahan dari penarikan kesimpulan di atas, lengkapi tabel kebenaran dari [ 𝑝 ⟹ 𝑞 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑟 ] ⟹ 𝑝 ⟹ 𝑟 berikut. 𝒑
𝒒
𝒓
𝒑⟹𝒒
𝒒⟹𝒓
𝒑⟹𝒓
𝒑⟹𝒒 ∧ 𝒒⟹𝒓
[ 𝒑⟹𝒒 ∧ 𝒒⟹𝒓 ]⟹ 𝒑⟹𝒓
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
B
S
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
B
Apa nilai kebenaran dari [ 𝑝 ⟹ 𝑞 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑟 ] ⟹ 𝑝 ⟹ 𝑟 ? BBBBBBBB
Penarikan kesimpulan dengan menggunakan metode tersebut dinamakan silogisme. [ 𝑝⟹𝑞 ∧ 𝑞⟹𝑟 ]⟹ 𝑝⟹𝑟
adalah
tautologi.
Sehingga,
silogisme
merupakan
argumentasi yang sah. CATATAN Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut. Premis 1
: 𝒑⟹𝒒
Premis 2
: 𝒒⟹𝒓
Konklusi
: ∴𝒑⟹𝒓
Dalam bentuk implikasi, silogisme di atas dapat ditulis menjadi: 𝑝⟹𝑞 ∧ 𝑞⟹𝑟
⟹ (𝑝 ⟹ 𝑟)
Silogisme dikatakan sah apabila pernyataan implikasinya merupakan suatu tautologi.
Penarikan Kesimpulan
76
REFLEKSI
Apa yang telah kita pelajari hari ini?
Bagaimana penarikan kesimpulan dengan metode konvers? Premis 1
:𝑝⟹𝑞
Premis 2
:𝑝
Konklusi
:∴𝑞
Bagaimana penarikan kesimpulan dengan metode invers? Premis 1
:𝑝⟹𝑞
Premis 2
:∼𝑞
Konklusi
: ∴∼ 𝑝
Bagaimana penarikan kesimpulan dengan metode silogisme?
Premis 1
:𝑝⟹𝑞
Premis 2
:𝑞⟹𝑟
Konklusi
:∴𝑝⟹𝑟
Penarikan Kesimpulan
77
AYO BERLATIH! 1. Tentukan simpulan yang sah dari premis-premis berikut. a. Premis 1: Jika Indonesia dilewati garis khatulistiwa, maka Indonesia beriklim tropis. Premis 2: Indonesia tidak beriklim tropis. b. Premis 1: Mereka tidak mengeksploitasi sumber daya alam secara berlebihan atau mereka merusak kelestarian alam. Premis 2: Mereka mengeksploitasi sumber daya alam secara berlebihan. c. Premis 1: Jika saya rajin belajar, maka saya lulus ujian. Premis 2: Jika saya tidak bisa melanjutkan sekolah, maka saya tidak lulus ujian. Jawab: a.
Indonesia tidak dulewati garis khatulistiwa
b. Mereka merusak kelestarian alam c.
Jika saya rajin belajar, maka saya bisa melanjutkan sekolah.
2. Selidiki sah atau tidaknya penarikan simpulan berikut. a. Premis 1
: 𝑝 ⟹∼ 𝑞
Premis 2
:𝑞
Konklusi
: ∴∼ 𝑝
b. Premis 1
: ∼𝑝∧𝑞
Premis 2
:∼𝑝
Konklusi
:∴𝑞
c. Premis 1
: ∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞
Premis 2
:𝑞⟹𝑟
Konklusi
:∴𝑝⟹𝑟
Penarikan Kesimpulan
78
Jawab: a. Bentuk implikasinya adalah: [(𝑝 ⟹∼ 𝑞) ∧ 𝑞] ⟹∼ 𝑝 𝑝
𝑞
∼𝑝
∼𝑞
𝑝 ⟹∼ 𝑞
[(𝑝 ⟹∼ 𝑞) ∧ 𝑞]
[(𝑝 ⟹∼ 𝑞) ∧ 𝑞] ⟹∼ 𝑝
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
B
S
S
B
B
B
S
B
Karena [(𝑝 ⟹∼ 𝑞) ∧ 𝑞] ⟹∼ 𝑝 adalah tautologi, maka penarikan kesimpulan tersebut sah. b. Bentuk implikasinya adalah: [(∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ∧∼ 𝑝] ⟹ 𝑞
𝑝
𝑞
∼𝑝
∼𝑝∧𝑞
[(∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ∧∼ 𝑝]
[(∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ∧∼ 𝑝] ⟹ 𝑞
B
B
S
S
S
B
B
S
S
S
S
B
S
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
B
Karena [(∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ∧∼ 𝑝] ⟹ 𝑞 bukan merupakan tautologi, maka penarikan kesimpulan tersebut tidak sah. c. Bentuk implikasinya adalah:
∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑟
⟹ (𝑝 ⟹ 𝑟)
𝑝
𝑞
𝑟
∼𝑝
∼𝑞
∼𝑝 ⟹∼ 𝑞
𝑞 ⟹𝑟
𝑝 ⟹𝑟
∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞 ∧ 𝑞⟹𝑟
∼ 𝑝 ⟹∼ 𝑞 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑟 ⟹ (𝑝 ⟹ 𝑟)
B
B
B
S
S
B
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
B
B
S
B
S
S
B
B
B
S
S
B
B
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
B
B
B
Karena (∼ 𝑝 ∧ 𝑞) ∧∼ 𝑝 ⟹ 𝑞 bukan tautologi, maka penarikan kesimpulan tersebut tidak sah
Penarikan Kesimpulan
LEMBAR KEGIATAN SISWA (PENGAYAAN) Pembuktian Sifat dan Teorema Matematika Indikator: 1.
Membuktikan sebuah persamaan atau
pernyataan
dengan
bukti
langsung. 2. Membuktikan
sebuah persamaan atau
pernyataan
dengan bukti tak langsung.
Gambar 1 Phytagoras https://www.pinterest.com
3. Membuktikan
sebuah persamaan atau
pernyataan
dengan matematika.
induksi
Rumus Phytagoras sering kita gunakan dalam kehidupan
sehari-hari
maupun
dalam
menyelesaikan masalah dalam matematika. akan tetapi apakah kalian dapat membuktikan bahwa, “Jika ∆𝐴𝐵𝐶 siku-siku di A, maka 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 ” Dalam matematika pembuktian dapat dilakukan dengan bukti langsung, bukti tidak langsung, dan induksi matematika. Dengan mempelajarinya kita dapat membuktikan sifa-sifat matematika yang nantinya dapat digunakan dalam kehidupan seharihari maupun dalam menyelesaikan masalah dalam matematika itu sendiri.
80
KEGIATAN 7.1 PEMBUKTIAN DENGAN BUKTI LANGSUNG CATATAN Pembuktian dengan bukti langsung digunakan untuk membuktikan sifat dalam matematika dengan implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞. Pembuktian ini menggunakan nilai kebenaran pernyataan (implikasi), yaitu Jika diketahui 𝒑 bernilai benar dan implikasi bernilai benar, kemudian dengan langkah-langkah yang benar pasti dihasilkan 𝒒 yang bernilai benar.
Contoh: 1. Buktikan bahwa jika 𝑥 2 − 4 = 0 maka 𝑥 = 2 atau 𝑥 = −2. Bukti: Diketahui 𝑥 2 − 4 = 0, kemudian akan dibuktikan bahwa 𝑥 = 2 atau 𝑥 = −2. Karena 𝑥 2 − 4 = 0, maka diperoleh 𝑥2 − 4 = 0 ⇔ 𝑥+2 𝑥−2 =0 ⇔ 𝑥 = 2 atau 𝑥 = −2 Jadi, terbukti bahwa jika 𝑥 2 − 4 = 0 maka 𝑥 = 2 atau 𝑥 = −2. 2. Coba kalian buktikan bahwa jika 𝑥 − 6 = 11, maka 𝑥 = 17. Bukti: Diketahui 𝑥 − 6 = 11, kemudian akan dibuktikan 𝑥 = 17. Karena 𝑥 − 6 = 11, maka diperoleh 𝑥 − 6 = 11 ⇔ 𝑥 = 11 + 6 ⇔ 𝑥 = 17 Jadi, terbukti bahwa jika 𝑥 − 6 = 11, maka 𝑥 = 17.
Pembuktian Sifat dan Teorema
81
3. Buktikan bahwa jika 𝑥 dan 𝑦 bilangan rasional, maka 𝑥 + 𝑦 bilangan rasional. Bukti:
Karena 𝑥 dan 𝑦 bilangan rasional, maka dapat
Apakah kalian masih
dimisalkan sebagai berikut. 𝑎
ingat bahwa suatu
𝑐
bilangan rasional 𝑝
𝑥 = 𝑏 , a dan b adalah bilangan bulat 𝑦 = 𝑑 , c dan d adalah bilangan bulat
𝑥+𝑦
dapat ditulis dalam
Akan dibuktikan bahwa 𝑥 + 𝑦 bilangan rasional.
𝑚
bentuk 𝑛 , dimana 𝑚 dan
𝑎 𝑐 =𝑏 +𝑑 𝑎𝑑 +𝑏𝑐 = 𝑏𝑑
𝑛 adalah bilangan bulat?
Karena 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan 𝑑 adalah bilangan bulat, maka 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 dan 𝑏𝑑 adalah bilangan bulat.
Diperoleh bahwa
𝑎𝑑 +𝑏𝑐 𝑏𝑑
adalah bilangan rasional.
Jadi, terbukti bahwa jika 𝑥 dan 𝑦 bilangan rasional, maka 𝑥 + 𝑦 bilangan rasional.
4. Perhatikan contoh di atas kemudian coba kalian buktikan bahwa jika 𝑚 dan 𝑛 bilangan genap, maka 𝑚 + 𝑛 bilangan genap. Bukti: Karena 𝑚 dan 𝑛 bilangan genap, maka dapat dimisalkan
Apakah kalian masih
sebagai berikut.
ingat bahwa suatu
𝑚 = 2𝑎 , a adalah bilangan bulat
dapat ditulis dalam
𝑛 = 2𝑏 , b adalah bilangan bulat
bentuk 2𝑎, dimana 𝑎
bilangan genap 𝑘
adalah bilangan
Akan dibuktikan 𝑚 + 𝑛 bilangan genap
bulat?
𝑚 + 𝑛 = 2𝑎 + 2𝑏 =2 𝑎+𝑏 Karena
𝑚 + 𝑛 = 2(𝑎 + 𝑏),
maka
𝑚 + 𝑛 juga
merupakan
bilangan genap. Jadi terbukti bahwa jika 𝑚 dan 𝑛 bilangan genap, maka 𝑚 + 𝑛 bilangan genap.
Pembuktian Sifat dan Teorema Matematika
82
KEGIATAN 7.2 PEMBUKTIAN DENGAN BUKTI TAK LANGSUNG 1. Kontraposisi CATATAN Ingat: nilai kebenaran implikasi sama dengan nlai kebenaran kontraposisinya. Jadi, pembuktian dengan kontraposisi digunakan untuk membuktikan sifat matematika yang mempunyai implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞 dilakukan dengan menunjukkan kebenaran sifat kontraposisinya, yaitu ∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝. Contoh: 1) Buktikan bahwa: Jika 𝑛2 bilangan bulat ganjil, maka 𝑛 bilangan bulat ganjil. Bukti: Pernyataan: Jika
𝑛2 bilangan bulat ganjil,
maka
𝑛 bilangan bulat ganjil.
Pernyataan tersebut berbentuk implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞, dengan: 𝑝: 𝑛2 bilangan bulat ganjil 𝑞: 𝑛 bilangan bulat ganjil
Untuk membuktikan 𝒑 ⟹ 𝒒 benar, maka kita buktikan bahwa ∼ 𝒒 ⟹∼ 𝒑 benar. ∼ 𝑝: 𝑛2 bukan bilangan bulat ganjil ∼ 𝑞: 𝑛 bukan bilangan bulat ganjil ∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝: Jika 𝑛 bukan bilangan bulat ganjil, maka 𝑛2 bukan bilangan bulat ganjil. atau ∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝: Jika 𝑛 bilangan bulat genap, maka 𝑛2 bilangan bulat genap.
Diketahui 𝑛 merupakan bilangan bulat genap. Misalkan 𝑛 = 2𝑎 sehingga diperoleh: 𝒏𝟐 = 𝟐𝒂
𝟐
⇔ 𝒏𝟐 = 𝟒𝒂𝟐 ⇔ 𝒏𝟐 = 𝟐 𝟐𝒂𝟐
Karena 𝑛2 dapat dinyatakan dalam bentuk 2(2𝑎2 ), maka 𝑛2 merupakan bilangan bulat genap. Oleh karena itu ∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝 benar, sehingga 𝑝 ⟹ 𝑞 juga benar. Jadi, “Jika 𝑛2 bilangan bulat ganjil, maka 𝑛 bilangan bulat ganjil” merupakan suatu pernyataan benar. Pembuktian Sifat dan Teorema
83
2) Perhatikan contoh di atas kemudian coba kalian buktikan bahwa: Jika, 𝑥𝑦 habis dibagi 4 maka 𝑥 dan 𝑦 bilangan genap. Bukti: Misal, 𝑝: 𝑥𝑦 habis dibagi 4 𝑞: 𝑥 dan 𝑦 bilangan genap
Untuk membuktikan 𝑝 ⟹ 𝑞 benar, maka kita buktikan bahwa ∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝 benar. ∼ 𝑝: 𝑥𝑦 tidak habis dibagi 4 ∼ 𝑞: 𝑥 atau 𝑦 bukan bilangan genap ∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝: Jika 𝑥 atau 𝑦 bukan bilangan genap, maka 𝑥𝑦 tidak habis dibagi 4 atau ∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝: Jika 𝑥 atau 𝑦 bilangan ganjil, maka 𝑥𝑦 tidak habis dibagi 4 Karena 𝑥 atau 𝑦 bilangan ganjil, Misal 𝑥: 2𝑎, 𝑎 adalah bilangan bulat 𝑦: 2𝑏 + 1, 𝑏 adalah bilangan bulat Sehingga diperoleh 𝑥𝑦 = 2𝑎. 2𝑏 + 1 𝑥𝑦 = 4𝑎𝑏 + 2𝑎 4𝑎𝑏 habis dibagi 4, tetapi 2𝑎 tidak habis dibagi 4. Oleh karena itu diperoleh bahwa 𝑥𝑦 tidak dapat dibagi 4. Hal ini juga berlaku jika 𝑦 dimisalkan ganjil dan 𝑥 genap, atau keduanya dimisalkan ganjil. Jadi , terbukti bahwa Jika, 𝑥𝑦 habis dibagi 4 maka 𝑥 dan 𝑦 bilangan genap.
Pembuktian Sifat dan Teorema Matematika
84
2. Kontradiksi CATATAN Pembuktian dengan kontradiksi dapat digunakan untuk membuktikan sifat matematika yang merupakan suatu implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞, dengan mengandaikan tidak 𝐪. Selanjutnya, jika dihasilkan kontradiksi (sesuatu yang salah, misalkan tidak 𝑝 sedangkan yang diketahui adalah 𝑝), berarti pengandaian salah. Oleh karena itu pengandaian harus diingkar. Jadi diperoleh 𝒒 Contoh: 1) Buktikan bahwa 2 adalah bilangan irrasional. Bukti: Andaikan 2=
𝑥 𝑦 𝑥
2 bilangan rasional maka terdapat bilangan asli 𝑥 dan 𝑦 sehingga
, dengan 𝑥 dan 𝑦 tidak mempunyai faktor persekutuan.
2=𝑦⟺
2
2
=
𝑥 2 𝑦
𝑥2
⟺ 2 = 𝑦2 ⟺ 𝑥 2 = 2𝑦 2 Oleh karena itu, 𝑥 2 merupakan bilangan genap. Akibatnya, 𝑥 merupakan bilangan genap sebab jika 𝑥 bilangan ganjil maka 𝑥 2 juga merupakan bilangan ganjil. Karena 𝑥 bilangan genap maka terdapat bilangan asli 𝑧 sehingga 𝑥 = 2𝑧 Selanjutnya, 𝑥 2 = 2𝑦 2 ⟺ 2𝑧 2 = 2𝑦 2 ⟺ 4𝑧 2 = 2𝑦 2 ⟺ 2𝑧 2 = 𝑦 2 Tampak bahwa, 𝑦 2 merupakan bilangan genap. Akibatnya, y merupakan bilangan genap. Karena 𝑥 dan 𝑦 merupakan bilangan genap maka pasti mempunyai faktor persekutuan. Hal ini kontradiksi dengan ketentuan awal yang mengatakan bahwa 𝑥 dan 𝑦 tidak mempunyai faktor persekutuan. Akibatnya pengandaian harus diingkar. Jadi terbukti bahwa 2 adalah bilangan irrasional. 2) Buktikan bahwa: 2+4=6 Bukti: Andaikan 2 + 4 ≠ 6, maka 2 + 4 − 4 ≠ 6 − 4 atau 2 ≠ 2. Hal ini kontradiksi dengan ketentuan bahwa 2 = 2. Akibatnya pengandaian harus diingkar sehingga terbukti bahwa 2 + 4 = 6 Pembuktian Sifat dan Teorema
85
KEGIATAN 7.2 PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKA CATATAN Pembuktian dengan induksi matematika digunakan untuk membuktikan sifat matematika yang memuat bilangan asli. Misalkan akan dibuktikan bahwa untuk setiap 𝑛 bilangan asli, berlaku 𝑃(𝑛).
Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut. a. Dibuktikan berlaku P(n) untuk n=1 b. P(n) dianggap benar untuk n=k. Selanjutnya dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n=k+1. c. Dari langkah a dan b dapat disimpulkan bahwa untuk setiap n bilangan asli berlaku P(n) Contoh: 1. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa: 1 12 + 22 + ⋯ + 𝑛2 = 𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1) 6 Bukti: 1
Misal, 𝑃 𝑛 : 12 + 22 + ⋯ + 𝑛2 = 6 𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1). 1
1
a. Untuk 𝑛 = 1 berlaku 12 = 6 . 1 1 + 1 2.1 + 1 ⇔ 1 = 6 2 3 ⇔ 1 = 1 Jadi, 𝑃(𝑛) berlaku untuk 𝑛 = 1. b. 𝑃(𝑛) dianggap benar untuk 𝑛 = 𝑘, berarti 1 12 + 22 + ⋯ + 𝑘 2 = 𝑘 𝑘 + 1 (2𝑘 + 1) 6 Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa 𝑃(𝑛) benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1. 12 + 22 + ⋯ + 𝑘 2 + 𝑘 + 1
2
1 6 1 = 6 1 = 6 1 =6
= 𝑘 𝑘 + 1 2𝑘 + 1 + 𝑘 + 1
2
𝑘 + 1 [𝑘 2𝑘 + 1 + 6 𝑘 + 1 ] 𝑘 + 1 [2𝑘 2 + 𝑘 + 6𝑘 + 6] 𝑘 + 1 (2𝑘 2 + 7𝑘 + 6)
Pembuktian Sifat dan Teorema Matematika
86
1
= 6 𝑘 + 1 𝑘 + 2 (2𝑘 + 3) 1
=6 𝑘+1
𝑘 + 1 + 1 [2 𝑘 + 1 + 1]
c. Dari a dan b, disimpulkan bahwa untuk setiap 𝑛 bilangan asli berlaku 12 + 22 + ⋯ + 1
𝑛2 = 6 𝑛 𝑛 + 1 (2𝑛 + 1) 2. Perhatikan contoh di atas kemudian dengan induksi matematika coba kalian dengan buktikan bahwa:
Bukti:
1 2 + 5 + 8 + 11 + ⋯ + 3𝑛 − 1 = 𝑛(3𝑛 + 1) 2
1 2
Misal, 𝑃 𝑛 : 2 + 5 + 8 + 11 + ⋯ + 3𝑛 − 1 = 𝑛(3𝑛 + 1) 1
1
a. Untuk 𝑛 = 1 berlaku 2 = 2 𝑛 3𝑛 + 1 ⇔ 2 = 2 . 1 3.1 + 1 ⇔ 2 = 2 Jadi, 𝑃(𝑛) berlaku untuk 𝑛 = 1. b. 𝑃(𝑛) dianggap benar untuk 𝑛 = 𝑘, berarti 1 2 + 5 + 8 + 11 + ⋯ + 3𝑘 − 1 = 𝑘(3𝑘 + 1) 2 Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa 𝑃(𝑛) benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1. 1 2 1 = 3𝑘 2 + 𝑘 + (3𝑘 + 2) 2 3 1 = 2 𝑘 2 + 2 𝑘 + 3𝑘 + 2 1 = 2 (3𝑘 2 + 𝑘 + 6𝑘 + 4 ) 1 = 2 (3𝑘 2 + 7𝑘 + 4 ) 1 = 2 (𝑘 + 1) 3𝑘 + 4 1 = 2 𝑘 + 1 [(3 𝑘 + 1 + 1]
2 + 5 + ⋯ + 3𝑘 − 1 + 3 𝑘 + 1 − 1 = 𝑘 3𝑘 + 1 + 3 𝑘 + 1 − 1
c. Dari a dan b, disimpulkan bahwa untuk setiap 𝑛 bilangan asli berlaku 1 2 + 5 + 8 + 11 + ⋯ + 3𝑛 − 1 = 𝑛(3𝑛 + 1) 2
Pembuktian Sifat dan Teorema
87
REFLEKSI
Apa yang telah kita pelajari hari ini?
Bagaimana cara membuktikan sifat matematika dengan menggunakan bukti langsung? Jika diketahui 𝑝 bernilai benar dan implikasi bernilai benar, kemudian dengan langkah-langkah yang benar pasti dihasilkan 𝑞 yang bernilai benar.
Bagaimana
cara
membuktikan
sifat
matematika
dengan
menggunakan
Kontraposisi? Menunjukkan kebenaran sifat kontraposisinya, yaitu ∼ 𝑞 ⟹∼ 𝑝.
Bagaimana
cara
membuktikan
sifat
matematika
dengan
menggunakan
Kontradiksi? Membuktkan suatu implikasi 𝑝 ⟹ 𝑞, dengan mengandaikan tidak q. Selanjutnya, jika dihasilkan kontradiksi (sesuatu yang salah, misalkan tidak 𝑝 sedangkan yang diketahui adalah 𝑝), berarti pengandaian salah. Oleh karena itu pengandaian harus diingkar. Jadi diperoleh 𝑞
Sebutkan langkah-langkah pembuktian dengan menggunakan induksi matematika. Dibuktikan berlaku P(n) untuk n=1
P(n) dianggap benar untuk n=k. Selanjutnya dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n=k+1.
Dari langkah a dan b dapat disimpulkan bahwa untuk setiap n bilangan asli berlaku P(n)
Pembuktian Sifat dan Teorema Matematika
88
AYO BERLATIH! 1. Dengan bukti langsung, buktikan bahwa Untuk semua bilangan real 𝑥, jika 𝑥 = 3 maka 𝑥 2 = 9. Diketahui 𝑥 = 3, jika kedua ruas dikuadratkan diperoleh 𝑥 2 = 9.
Jawab:
Jadi, terbukti bahwa jika 𝑥 = 3 maka 𝑥 2 = 9. 2. Dengan bukti tak langsung, buktikan bahwa Untuk setiap bilangan bulat 𝑛, jika 𝑛2 genap, maka 𝑛 genap Jawab: Andaikan 𝑛 ganjil, maka dapat dimisalkan sebagai 𝑛 = 2𝑎 + 1. Sehingga diperoleh 𝑛2 = 2𝑎 + 1
2
= 4𝑎2 + 4𝑎 + 1. Karena
𝑛2 = 4𝑎2 + 4𝑎 + 1 maka 𝑛2 ganjil. Karena
diketahui 𝑛2 genap, maka muncul kontradiksi, sehingga pengandaian salah. Diperoleh 𝑛 genap. Jadi, terbukti bahwa jika 𝑛2 genap, maka 𝑛 genap 3. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa 1
1 + 4 + 7 + 10 + ⋯ + 3𝑛 − 2 = 2 𝑛(3𝑛 − 1) Jawab:
1
Misal, 𝑃 𝑛 : 1 + 4 + 7 + 10 + ⋯ + 3𝑛 − 2 = 2 𝑛(3𝑛 − 1) 1
1
a. Untuk 𝑛 = 1 berlaku 1 = 2 𝑛 3𝑛 − 1 ⇔ 1 = 2 . 1 3.1 − 1 ⇔ 1 = 1 Jadi, 𝑃(𝑛) berlaku untuk 𝑛 = 1. b. 𝑃(𝑛) dianggap benar untuk 𝑛 = 𝑘, berarti 1 1 + 4 + 7 + 10 + ⋯ + 3𝑘 − 2 = 𝑘(3𝑘 − 1) 2 Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa 𝑃(𝑛) benar untuk 𝑛 = 𝑘 + 1. 1
1 + 4 + ⋯ + 3𝑘 − 2 + 3 𝑘 + 1 − 2 = 2 𝑘 3𝑘 − 1 + 3 𝑘 + 1 − 2 1 3𝑘 2 − 𝑘 + (3𝑘 + 1) 2 3 1 = 2 𝑘 2 − 2 𝑘 + 3𝑘 + 1 1 = (3𝑘 2 − 𝑘 + 6𝑘 + 2 ) 2 1 = 2 (3𝑘 2 + 5𝑘 + 2 ) 1 = (𝑘 + 1) 3𝑘 + 2 2 1 = 2 𝑘 + 1 [(3 𝑘 + 1 − 1]
=
c. Dari a dan b, disimpulkan bahwa untuk setiap 𝑛 bilangan asli berlaku 1 1 + 4 + 7 + 10 + ⋯ + 3𝑛 − 2 = 𝑛(3𝑛 − 1) 2
Pembuktian Sifat dan Teorema
89
DAFTAR PUSTAKA
Abdul Halim F. 2012. Matematika Hakikat dan Logika. Yogyakarta: Ar-Ruzz Media Frans Susilo. 2012. Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu. Noormandiri dan Endar Sucipto. 2004. Matematika SMA untuk Kelas X. Jakarta Erlangga. Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 22 Tahun 2006 Tentang Standar isi untuk Pendidikan Dasar dan Menengah Sartono Wirodrikokromo. 2004. Matematika untuk SMA Jilid 2. Jakarta: Erlangga. Siswanto. 2015. Matematika untuk Kelas X SMA dan MA. Jakarta: Tiga Pustaka Mandiri
Serangkai
Sri Kurnianingsih, dkk. 2007. Matematika SMA dan MA untuk Kelas X Semester 2. Jakarta: Erlangga.
90
