ANALISIS VEKTOR
Vektor dan Skalar
Macam-macam kuantitas dalam fisika seperti: Macamseperti: temperatur,, volume, dan kelajuan dapat temperatur ditentukan dengan angka riil (nyata nyata). ). Kuantitas seperti itu disebut dengan skalar skalar.. Kuantitas yang lain seperti gaya gaya,, kecepatan kecepatan,, dan momentum memiliki memiliki spesifikasi arah dan besar. besar. Kuantitas seperti seperti itu disebut vektor vektor..
Vektor dan Skalar
Sebuah vektor direpresentasikan (dinyatakan) dengan sebuah anak panah atau bagian garis berarah yang mengindikasikan arahnya. arahnya. Besar vektor ditentukan dengan panjang dari anak panah, menggunakan satuan yang tepat (sesuai).. (sesuai)
Lambang dan notasi Vektor
Vektor ditulis v dengan huruf cetak tebal seperti A atau A r Besarnya ditunjukkan dengan A atau A. Vektor digambarkan dengan anak panah. panah. Ekor anak panah menunjukkan posisi titik tangkap sedangkan ujung anak panah menunjukkan titik terminal terminal..
Penggambaran Vektor Terminal
A
Titik Tangkap
Definisi
Kesamaan vektor A=B A B
Vektor yang berlawanan A=-B A B=-A B
Definisi
Perkalian vektor dengan skalar mA vektor
A
C C = 3A
Definisi
Penjumlahan vektor C = A + B VEKTOR A
B
B C=A+B
A
A C=A+B B
Definisi
Pengurangan vektor D = A - B = A + ((-B) VEKTOR -B B D=A-B A A
-B D=A-B A
Definisi
Vektor satuan a=A/A a=A /A (hanya penentu arah, besarnya 1 satuan) Sehingga suatu vektor biasa ditulis sbg : A = Aa Aa
Hukum Aljabar Vektor
1. 2.
3.
4. 5.
Jika A, B, C adalah vektor dan m, n adalah skalar. A+B=B+A Komutatif Penjumlahan A+(B+C)=(A+B)+C Asosiatif penjumlahan m(nA m(n A)=mn( )=mn(A A)=n(m )=n(mA A) Asosiatif perkalian skalar (m+n)A (m+n) A =mA =mA+nA +nA Distributif m( m(A+B A+B)) =mA =mA+mB Distributif
Komponen sebuah Vektor A = A1i + A2j + A3k z
A1i = komponen vektor A dalam arah sumbusumbu-x A2j = komponen vektor A dalam arah sumbusumbu-y A3k = komponen vektor A dalam arah sumbusumbu-z x
A A3k k A1i
i
j A2j
y
Penjumlahan Vektor A = A1i + A2j + A3k B = B1i + B2j + B3k C = A + B = (A1i + A2j + A3k) + (B1i + B2j + B3k) C = A + B = (A1+B1)i + (A2+B2)j + (A3+B3)k C = A - B = (A1i + A2j + A3k) - (B1i + B2j + B3k) C = A - B = (A1-B1)i + (A2-B2)j + (A3-B3)k
Perkalian Vektor dengan skalar A = A1i + A2j + A3k B = B1i + B2j + A3k
D = 3A = 3(A1i + A2j + A3k)
Besar Vektor Teorema Phytagoras :
z
(OP)2 = (OQ)2 + (QP)2
P
tapi A
(OQ)2 = (OR)2 + (RQ)2
A3k
Sehingga (OP)2 = (OR)2 + (RQ)2 + (QP)2 Atau A2
2
2
= A1 + A2 + A3
A=
A12 + A22 + A32
O y
R
2
atau
A1i
x
A2j
Q
Contoh soal Diketahui r1= 2i+ i+4 4j-5k dan r2 = i+2 i+2j+3 j+3k a. Tentukan resultan vektor r1 dan r2 b. Tentukan vektor satuan dalam arah resultan vektor tersebut Jawab :
a. R = r1+r2 =(2i+ i+4 4j-5k) + (i+ (i+2 2j+3 j+3k) = 3i + 6j – 2k b. R = (3i + 6 j − 2k ) = 9 + 36 + 4 =
R 3i + 6 j − 2 k r = = R 7 Cek besar vektor satuan = 1
49 = 7
Perkalian Titik (Dot Product) Dot poduct antara A dan B Atau perkalian skalar didefinisikan : A . B = AB cos θ θ Adalah sudut terkecil yang diapit A dan B Secara fisis dot product adalah proyeksi suatu vektor terhadap vektor lainnya, sehingga sudut yang diambil adalah sudut yang terkecil
Perkalian Titik (Dot Product) A . B = (A A1i + A2j + A3k).(B1i + B2j + B3k) = (A A1i ).(B1i + B2j + B3k) + (A A2j).(B1i + B2j + B3k) + (A A3k).(B1i + B2j + B3k) = A1B1(i.i) + A1B2(i.j (i.j) + A1B3(i.k (i.k) + A2B1(j.i) + A2B2(j.j) + A2B3(j.k) + A3B1(k.i) + A3B2(k.j) +A3B3(k.k)
A.B = A1B1 + A2B2 + A3B3
i.i = i i cos 0o =1 i. j = j.i = i j cos 90o = 0
j. j = j j cos 0 o =1
j.k = k . j = j k cos 90o = 0
k .k = k k cos 0o =1
i.k = k .i = k i cos 90o = 0
Contoh dot product dalam Fisika F θ
F θ
S
W = FS cos θ =
F
F.S
W = usaha
θ
F = Vektor gaya S
S = Vektor perpindahan
Contoh dot product dalam Fisika nA
nA
B
B θ
θ
φ = BA cos θ =
B.A
φ = Fluks magnetik B = Medan magnetik A = arah bidang
Catatan : Bidang adalah vektor memiliki luas dan arah. Arah bidang adalah arah normal bidang di suatu titik. Normal = tegak lurus
Perkalian Silang (Cross Product) Cross poduct antara A dan B Atau perkalian vektor didefinisikan : A x B = AB sin θ u θ Adalah sudut terkecil yang diapit A dan B Hasil perkalian silang antara vektor A dan vektor B adalah sebuah vektor C yang arahnya tegak lurus bidang yang memuat vektor A dan B, sedemikian rupa sehingga A, B, dan C membentuk sistem tangan kanan (sistem skrup)
Perkalian Silang (Cross Product)
Perkalian Silang (Cross Product) B θ
C B
A
θ
-C A
C=AxB
-C = B x A
Pada sistem koordinat tegak lurus i×i =0
j× j =0
k ×k =0
i× j =k
j ×k =i
k ×i = j
j ×i =− k
k× j =−i
i×k =− j
j
k
i
Perkalian silang (Cross Product) A x B = (A A1i + A2j + A3k) x (B1i + B2j + B3k) = (A A1i )x(B1i + B2j + B3k) + (A A2j)x(B1i + B2j + B3k) + (A A3k)x(B1i + B2j + B3k) = A1B1(ixi) + A1B2(ixj (ixj) + A1B3(ixk (ixk) + A2B1(jxi) + A2B2(jxj) + A2B3(jxk) + A3B1(kxi) + A3B2(kxj) +A3B3(kxk)
= A1B1(0) + A1B2(k) + A1B3(-j) + A2B1(-k) + A2B2(0) + A2B3(i) + A3B1(j) + A3B2(-i) +A3B3(0)
Perkalian silang (Cross Product) A x B = A1B1(0) + A1B2(k) + A1B3(-j)
+ A2B1(-k) + A2B2(0) + A2B3(i) + A3B1(j) + A3B2(-i) +A3B3(0) A x B = (A A1B2 - A2B1) k + (A3B1-A1B3) j + (A2B3 - A3B2) i
iˆ ˆj kˆ A× B = A1 A2 A3 B1 B2 B3
Contoh perkalian silang dalam Fisika F θ r O
r r r r τ = r × F = r F sin θ = r × F
Contoh Soal Jika gaya F = 2i - j + 3k bekerja pada titik (2,-1,1), tentukan torsi dari F terhadap titik asal koordinat
Gerak melingkar ω
v P
θ
r
r r r v =ω×r
Perkalian tiga vektor
(
r r r r r r r r r B C sin θ A cos φ = B × C A cos φ = A • B × C
)
Aplikasi Perkalian Skalar Tiga Vektor F
n r L
O
Komponen torsi terhadap garis L :
τ II
(
r r = nˆ •τ = nˆ • r × F r
)
Contoh Soal Jika gaya F = i + 3j – k bekerja pada titik (1,1,1), tentukan komponen torsi dari F terhadap garis r = 3i + 2k + (2i - 2j + k)t. )t.
Solusi: Pertama kita tentukan vektor torsi terhadap sebuah titik pada garis yaitu titik (3,0,2). Torsi tersebut adalah τ = r x F dimana r adalah vektor berasal dari titik pada garis ke titik dimana dimana F bekerja, yaitu dari (3,0,2) ke (1,1,1), sehingga r = (1,1,1) - (3,0,2) = (-2,1,-1). Dengan demikian vektor torsi τ :
r r r τ =r × F
Contoh Torsi:
Torsi untuk garis adalah n.( .(rrxF) dimana n adalah vaktor satuan sepajang garis, dengan n = 1/3(2i 1/3(2i2j+k). Kemudian torsi untuk garis adalah n.( .(rrxF) = 1/3(2i 1/3(2i2j+k).(2 ).(2ii-3j-7k)=1
Aplikasi Tripel Scalar Product
Aplikasi Tripel Scalar Product salah satunya pada momentum linear
PERSAMAAN GARIS LURUS DAN PERSAMAAN BIDANG
Persamaan Garis Lurus y (x,y) B (x0,y0) P
r0
(x-x0) r
garis Q (y-y0) A b a
x
Definisi Garis Apakah garis itu? Garis adalah deretan titiktitik-titik secara kontinu Dari gambar : B = r – r0 dan A // B (Perbandingan setiap komponen akan sama dimana B = (xi (xi+yj +yj)-(x0i+y0j) = (x(x-x0)i+(y (y--y0)j dan A = ai ai+bj +bj
sehingga
x − x0 y − y0 → 2D = a b x − x0 y − y0 z − z0 = = → 3D a b c Disebut persamaan persamaan garis lurus simetris (x0,y0,z0) adalah suatu titik yang dilalui garis a,b,c. Komponen vektor arah.
Dari gambar di atas juga :
r = r0 + B dan B = tA sehingga r = r0 +At +At = (x0,y0,z0) + (a,b,c)t atau r = ix ix0 + jy jy0 + kz kz0 + (a (ai+ i+b bj+z j+zk)t k)t Disebut persamaan persamaan garis lurus parametrik
Contoh Tentukan persamaan garis lurus parametrik dan simetrik yang melalui titik (2,1,5) dan titik (3,3,1)!
(3,3,1)
(2,1,5) x0=2 y0=1 zo=5
A
Solusi A = (3,3,1) – (2,1,5) = (1,2,(1,2,-4) A = i+2j +2j-4k a = 1, 1, b = 2, 2, c = -4 Sehingga : r = (2,1,5) + (1,2,(1,2,-4)t atau r = 2i+j+5k +5k+(i +(i+2j +2j-4k)t Titik yang dilalui
Arah garis
Persamaan garis parametrik
Lanjutan… x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c x − 2 y −1 z − 5 = = 1 2 −4 y −1 z − 5 x−2 = = 2 −4
Persamaan Garis Simetrik
Latihan Soal 1.
Cari suatu persamaan garis lurus melalui (3,2,1) dan sejajar dengan vektor (3i-2j+6k)!
2. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (3,0-5) dan sejajar dengan garis r = (2,1,-5) + (0,-5,1)t !
Persamaan Bidang z N = ai+bj+ck
B(x,y,z) A(x0,y0,z0)
y
x
AB=(x AB=(x--x0)i+(y +(y--y0)j+(z +(z--z0)k N = ai ai + bj bj + ck ck Lakukan dot product antara AB dan N o NAB = NABcos 90 = 0 (a (aii+bj +bj+zk +zk)[(x )[(x--x0)i+(y +(y--y0)j+(z +(z--z0)k]=0 a(x a(x--x0)+b(y )+b(y--y0)+c(z )+c(z--z0)=0
ax+by+cz=ax0+by0+cz0
Yang diperlukan minimal: 1. 2.
Vektor normal bidang (N (N) Suatu titik pada bidang Jika diketahui 3 titik pada bidang bisa juga. Catatan: Jika suatu garis sejajar dengan arah bidangnya, maka θ=0.
N Garis
Catatan: Arah bidang selalu tegak lurus terhadap bidang
Contoh Soal: 1.
Tentukan persamaan bidang yang mencakup 3 titik A=(0,1,1); B=(2,1,3); C=(4,2,1) N
C=(4,2,1)
θ
A=(0,1,1)
AB=B-A AB=(2,1,3)-(0,1,1) AB=(2,0,2)
B=(2,1,3)
AC=C-A AC=(4,2,1)-(0,1,1) AC=(4,1,0)
N=ABxAC N=(2,0,2)x(4,1,0) N= i j k 2 4
0 1
2 0
N=0+8 =0+8jj+2k +2k+0+0-2i+0 N=-2i+8j+ +8j+2 2k a=-2, b=8, c=2
Lanjutan… Solusi Titik yang ditinjau A=(0,1,1) x0=0; y0=1; z0=1 ax+by+cz= ax0+by0+cz0 -2x+8y+2z=8+2 -2x+8y+2z=10
Latihan Soal: 1.
Cari persamaan bidang melalui titik (1,--1,0) dan sejajar dengan garis (1, r=(5 =(5i+j i+j--2k)+(2 )+(2ii-j+k)t !
