ANALISIS VEKTOR
Vektor dan Skalar
Macam-macam kuantitas dalam fisika seperti: Macamtemperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar. Kuantitas yang lain seperti gaya, kecepatan, dan momentum memiliki memiliki spesifikasi arah dan besar. Kuantitas seperti seperti itu disebut vektor.
Vektor dan Skalar
Sebuah vektor direpresentasikan (dinyatakan) dengan sebuah anak panah atau bagian garis berarah yang mengindikasikan arahnya. arahnya. Besar vektor ditentukan dengan panjang dari anak panah, menggunakan satuan yang tepat (sesuai).. (sesuai)
Lambang dan notasi Vektor
Vektor ditulis v dengan huruf cetak tebal seperti A atau A r Besarnya ditunjukkan dengan A atau A. Vektor digambarkan dengan anak panah. panah. Ekor anak panah menunjukkan posisi titik tangkap sedangkan ujung anak panah menunjukkan titik terminal terminal..
Penggambaran Vektor Terminal
A
Titik Tangkap
Definisi
Kesamaan vektor A=B A B
Vektor yang berlawanan A=-B A B=-A B
Definisi
Perkalian vektor dengan skalar mA vektor
A
C C = 3A
Definisi
Penjumlahan vektor C = A + B VEKTOR A
B
B C=A+B
A
A C=A+B B
Definisi
Pengurangan vektor D = A - B = A + ((-B) VEKTOR -B B D=A-B A A
-B D=A-B A
Definisi
Vektor satuan a=A/A a=A /A (hanya penentu arah, besarnya 1 satuan) Sehingga suatu vektor biasa ditulis sbg : A = Aa Aa
Hukum Aljabar Vektor
1. 2.
3.
4. 5.
Jika A, B, C adalah vektor dan m, n adalah skalar. A+B=B+A Komutatif Penjumlahan A+(B+C)=(A+B)+C Asosiatif penjumlahan m(nA m(n A)=mn( )=mn(A A)=n(m )=n(mA A) Asosiatif perkalian skalar (m+n)A (m+n) A =mA =mA+nA +nA Distributif m( m(A+B A+B)) =mA =mA+mB Distributif
Komponen sebuah Vektor A = A1i + A2j + A3k z
A1i = komponen vektor A dalam arah sumbusumbu-x A2j = komponen vektor A dalam arah sumbusumbu-y A3k = komponen vektor A dalam arah sumbusumbu-z x
A A3k k A1i
i
j A2j
y
Penjumlahan Vektor A = A1i + A2j + A3k B = B1i + B2j + B3k C = A + B = (A1i + A2j + A3k) + (B1i + B2j + B3k) C = A + B = (A1+B1)i + (A2+B2)j + (A3+B3)k C = A - B = (A1i + A2j + A3k) - (B1i + B2j + B3k) C = A - B = (A1-B1)i + (A2-B2)j + (A3-B3)k
Cara menyatakan vektor dalam komponen--komponennya komponen y
(7,4)
A = ???
A (2,2)
(0,0)
x
Cara menyatakan vektor dalam komponen--komponennya komponen y
(7,4) A (2,2) r r0
(0,0)
r = r0 + A A = r - r0 x
Cara menyatakan vektor dalam komponen--komponennya komponen y
A = (7i + 4j)-(2i +2j) (7,4) A (2,2) r r0
(0,0)
A = (5i + 2j) atau
A = (5,2) A = (7,4) – (2,2) x
Jadi vektor A dapat ditentukan dengan cara mengurangkan koordinat terminal dengan koordinat titik tangkap. tangkap.
Contoh Nyatakan dalam komponen-komponennya, sebah vektor C yang titik tangkapnya di (-1,2) dan terminalnya (4,3)
Jawab C = (4,3) – (-1,2) = (5,1) = 5i + j
Penjumlahan vektor secara analitis sama dengan secara grafis y
(4,4)
A
(6,2) B
(0,0)
x
Penjumlahan vektor secara analitis sama dengan secara grafis y (10,6) B (4,4) C=A+B C C = (10,6)-(0,0) = (10,6)
A
(6,2) B
(0,0)
x
Secara analitis A = 4 i + 4j B = 6i + 2 j C = A + B = (4 (4i + 4j) + (6 (6i + 2j) = 10i + 6j
Sama !!!
Perkalian Vektor dengan skalar A = A1i + A2j + A3k B = B1i + B2j + B3k
D = 3A = 3(A1i + A2j + A3k)
Besar Vektor Teorema Phytagoras :
z
(OP)2 = (OQ)2 + (QP)2
P
tapi A
(OQ)2 = (OR)2 + (RQ)2
A3k
Sehingga (OP)2 = (OR)2 + (RQ)2 + (QP)2 Atau A2
2
2
= A1 + A2 + A3
A=
A12 + A22 + A32
O y
R
2
atau
A1i
x
A2j
Q
Contoh soal Diketahui r1= 2i+ i+4 4j-5k dan r2 = i+2 i+2j+3 j+3k a. Tentukan resultan vektor r1 dan r2 b. Tentukan vektor satuan dalam arah resultan vektor tersebut Jawab :
a. R = r1+r2 =(2i+ i+4 4j-5k) + (i+ (i+2 2j+3 j+3k) = 3i + 6j – 2k b. R = (3i + 6 j − 2k ) = 9 + 36 + 4 =
R 3i + 6 j − 2 k r = = R 7 Cek besar vektor satuan, |r| = 1
49 = 7
Perkalian Titik (Dot Product) Dot poduct antara A dan B Atau perkalian skalar didefinisikan : A . B = AB cos θ θ Adalah sudut terkecil yang diapit A dan B Secara fisis dot product adalah proyeksi suatu vektor terhadap vektor lainnya, sehingga sudut yang diambil adalah sudut yang terkecil
Perkalian Titik (Dot Product) A . B = (A A1i + A2j + A3k).(B1i + B2j + B3k) = (A A1i ).(B1i + B2j + B3k) + (A A2j).(B1i + B2j + B3k) + (A A3k).(B1i + B2j + B3k) = A1B1(i.i) + A1B2(i.j (i.j) + A1B3(i.k (i.k) + A2B1(j.i) + A2B2(j.j) + A2B3(j.k) + A3B1(k.i) + A3B2(k.j) +A3B3(k.k)
A.B = A1B1 + A2B2 + A3B3
i.i = i i cos 0o =1 i. j = j.i = i j cos 90o = 0
j. j = j j cos 0 o =1
j.k = k . j = j k cos 90o = 0
k .k = k k cos 0o =1
i.k = k .i = k i cos 90o = 0
Contoh dot product dalam Fisika F θ
F θ
S
W = FS cos θ =
F
F.S
W = usaha
θ
F = Vektor gaya S
S = Vektor perpindahan
Contoh dot product dalam Fisika nA
nA
B
B θ
θ
φ = BA cos θ =
B.A
φ = Fluks magnetik B = Medan magnetik A = arah bidang
Catatan : Bidang adalah vektor memiliki luas dan arah. Arah bidang adalah arah normal bidang di suatu titik. Normal = tegak lurus
Perkalian Silang (Cross Product) Cross poduct antara A dan B Atau perkalian vektor didefinisikan : A x B = AB sin θ u θ Adalah sudut terkecil yang diapit A dan B Hasil perkalian silang antara vektor A dan vektor B adalah sebuah vektor C yang arahnya tegak lurus bidang yang memuat vektor A dan B, sedemikian rupa sehingga A, B, dan C membentuk sistem tangan kanan (sistem skrup)
Perkalian Silang (Cross Product)
Perkalian Silang (Cross Product) B C
θ
B
A
θ
-C A
C=AxB
-C = B x A
Tidak memenuhi hukum komutatif perkalian
Pada sistem koordinat tegak lurus i×i =0
j× j =0
k ×k =0
i× j =k
j ×k =i
k ×i = j
j ×i =− k
k× j =−i
i×k =− j
j
k
i
Perkalian silang (Cross Product) A x B = (A A1i + A2j + A3k) x (B1i + B2j + B3k) = (A A1i )x(B1i + B2j + B3k) + (A A2j)x(B1i + B2j + B3k) + (A A3k)x(B1i + B2j + B3k) = A1B1(ixi) + A1B2(ixj (ixj) + A1B3(ixk (ixk) + A2B1(jxi) + A2B2(jxj) + A2B3(jxk) + A3B1(kxi) + A3B2(kxj) +A3B3(kxk)
= A1B1(0) + A1B2(k) + A1B3(-j) + A2B1(-k) + A2B2(0) + A2B3(i) + A3B1(j) + A3B2(-i) +A3B3(0)
Perkalian silang (Cross Product) A x B = A1B1(0) + A1B2(k) + A1B3(-j)
+ A2B1(-k) + A2B2(0) + A2B3(i) + A3B1(j) + A3B2(-i) +A3B3(0) A x B = (A A1B2 - A2B1) k + (A3B1-A1B3) j + (A2B3 - A3B2) i
i
j
k
A × B = A1 B1
A2 B2
A3 B3
Contoh perkalian silang dalam Fisika F θ r O
r r r r τ = r × F = r F sin θ = r × F
Contoh Soal Jika gaya F = 2i - j + 3k bekerja pada titik (2,-1,1), tentukan torsi dari F terhadap titik asal koordinat
Jawab F = 2i - j + 3k r = (2, (2,--1,1) – (0,0,0) = (2, (2,--1,1) = 2i – j + k
i j k τ = r × F = 2 −1 1 2 −1 3 = (-3i + 2j -2k) – (-2k –i -6j) = -2i + 8j
Gerak melingkar ω ω r v P
θ
r
v
r r r v =ω×r
PERSAMAAN GARIS LURUS DAN PERSAMAAN BIDANG
Definisi Garis
Dikatakan garis lurus
Dikatakan garis lengkung
Jadi apakah apakah garis itu?
Definisi Garis
Gabungan titik2 yang membentuk garis lurus
Gabungan titik2 yang membentuk garis lengkung
Garis adalah barisan titiktitik-titik secara kontinu yang membentuk satu kesatuan segmen ?
Definisi Garis Sebuah garis dalam bidang atau ruang dapat dinyatakan dalam suatu persamaan garis. garis. Suatu garis lurus dapat dinyatakan dalam persamaan garis lurus. Demikian juga untuk garis lengkung dapat dinyatakan dalam persamaan garis lengkung
Persamaan garis lurus y
garis (x,y) Q
B
(y-y0)
(x0,y0) P
(x-x0)
A b
r0
r
a x
Persamaan garis lurus Dari gambar : B = r – r0 Karena vektor B sejajar dengan vektor A maka perbandingan setiap komponen vektor akan sama. sama. B = (xi (xi+yj +yj)-(x0i+y0j) = (x(x-x0)i+(y (y--y0)j A = ai ai+bj +bj
Persamaan garis lurus Maka
x − x0 y − y0 = → 2D a b Disebut persamaan garis lurus simetrik dalam dua dimensi (x0,y0) adalah koordinat suatu titik dalam bidang yang dilalui oleh garis, dan a,b adalah komponen-komponen vektor arah dari garis.
Persamaan garis lurus Jika diperluas dalam 3 Dimensi
x − x0 y − y0 z − z0 = = → 3D a b c Disebut persamaan garis lurus simetrik dalam tiga dimensi (x0,y0,zo) adalah koordinat suatu titik dalam ruang yang dilalui oleh garis, dan a,b,c adalah komponen-komponen vektor arah dari garis.
Persamaan garis lurus Jika b sama dengan nol, maka persamaan garis simetrik ditulis
x − x0 z − z0 = , y = y0 a c
Persamaan garis lurus y
garis (x,y) Q
B
(y-y0)
(x0,y0) P
(x-x0)
A b
r0
r
a x
Persamaan garis lurus Dari gambar juga dapat dilihat :
r = r0 + B Tetapi B = tA
t adalah faktor pengali (skalar)
maka
r = r0 + At
Disebut persamaan garis r = (x0,y0) + (a,b)t parametrik dalam r = ix ix0 + jy jy0 + (a (ai+ i+b bj)t j)t dua dimensi
Persamaan garis lurus Jika diperluas dalam 3 Dimensi (Ruang)
r = r0 + At r = (x0,y0,z0) + (a,b,c (a,b,c)t )t r = ix ix0 + jy0+ kz0+ (a (ai+ i+b bj+ck)t Disebut persamaan garis parametrik dalam dua dimensi (x0,y0,zo) adalah koordinat suatu titik dalam ruang yang dilalui oleh garis, dan a,b,c adalah komponen-komponen vektor arah dari garis.
Contoh: Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (2,1,5) dan titik (3,3,1)!
(3,3,1)
B (2,1,5) x0=2 y0=1 z0 =5
Jawab : (Persamaan garis parametrik) Vektor arah garis ditentukan sbb : A = (3,3,1) – (2,1,5) = (1,2,(1,2,-4) A = i+2j +2j-4k berarti : a = 1, 1, b = 2, 2, c = -4 Dan suatu titik yang dilalui garis memiliki koordinat: (2,1,5) Sehingga persamaan garis parametriknya: r = (2,1,5) + (1,2,(1,2,-4)t atau r = 2i+j+5k +5k+(i +(i+2j +2j-4k)t Vektor titik yang dilalui
arah
Jawab : (Persamaan garis simetrik)
karena : a = 1, 1, b = 2, 2, c = -4 Dan suatu titik yang dilalui garis memiliki koordinat: (x0=1,y0=2,z0=5) Maka persamaan garis simetriknya:
x − 2 y −1 z − 5 = = 1 2 −4
Latihan Soal 1. Tentukan suatu persamaan garis lurus melalui (3,2,1) dan sejajar dengan vektor (3i-2j+6k)! 2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (3,0-5) dan sejajar dengan garis r = (2,1,-5) + (0,-5,1)t !
Persamaan Bidang
Apa itu bidang ????
Persamaan Bidang
B(x,y,z)
A(x0,y0,z0)
Tinjau dua titik dalam bidang, yaitu : A dan B
Persamaan Bidang z N = ai+bj+ck
B(x,y,z)
A(x0,y0,z0)
y
x
Vektor AB=(B-A)=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k, yaitu vektor yang menghubungkan titik A dan titik B N = ai + bj + ck adalah vektor tegak lurus bidang(disebut vektor normal bidang) yaitu vektor yang menunjukkan arah bidang di titik A. Lakukan dot product antara AB dan N N(AB) = N AB cos 90o = 0 (ai+bj+zk)[(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z0)k]=0 a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 atau ax+by+cz=ax0+by0+cz0 Persamaan terakhir ini disebut Persamaan Bidang
Untuk menentukan persamaan suatu bidang, minimal diperlukan 1. Vektor normal bidang (N (N) 2. Suatu titik pada bidang Atau Diketahui 3 titik pada bidang.
N
Catatan: 1. Arah bidang di suatu titik selalu tegak lurus terhadap bidang 2. Untuk bidang datar arah garis normal di setiap titik adalah sejajar (satu arah bidang) 3. Untuk bidang lengkung tidak demikian
Contoh Soal: Tentukan persamaan bidang yang mencakup 3 titik : A=(0 =(0,1,1); B=(2 =(2,1,3); C=(4 =(4,2,1)
C=(4,2,1)
B=(2,1,3) A=(0,1,1)
Jawab N C=(4,2,1)
θ
A=(0,1,1)
B=(2,1,3)
AB=B-A AB=(2,1,3)-(0,1,1) AB=(2,0,2) AC=C-A AC=(4,2,1)-(0,1,1) AC=(4,1,0)
N=AB x AC N=(2,0,2) i xj (4,1,0) k N= 2 0 2 4 1 0 N=0+8 =0+8jj+2k +2k+0+0-2i+0 N=-2i+8j+ +8j+2 2k , maka didapat a=-2, b=8, c=2
Lanjutan… Solusi
Tinjau titik A=(0,1,1) sehingga x0=0; y0=1; z0=1 Dengan demikian persamaan bidang tersebut adalah ax+by+cz= ax0+by0+cz0 -2x+8y+2z=8+2 -2x+8y+2z=10
Latihan Soal 1.
Tentukan persamaan bidang yang mencakup titik (1,-1,0) dan sejajar dengan garis : r=(5i+j-2k)+(2i-j+k)t
Perkalian tiga vektor
(
r r r r r r r r r B C sin θ A cos φ = B × C A cos φ = A • B × C
)
Aplikasi Perkalian Skalar Tiga Vektor F
n r L
O
Komponen torsi terhadap garis L :
τ II
(
r r = nˆ •τ = nˆ • r × F r
)
Contoh Soal Jika gaya F = i + 3j – k bekerja pada titik (1,1,1), tentukan komponen torsi dari F terhadap garis L = 3i + 2k + (2i - 2j + k)t. )t.
Solusi: Pertama kita tentukan vektor torsi terhadap sebuah titik pada garis yaitu titik (3,0,2). Torsi tersebut adalah τ = r x F dimana r adalah vektor berasal dari titik pada garis ke titik dimana dimana F bekerja, yaitu dari (3,0,2) ke (1,1,1), sehingga r = (1,1,1) - (3,0,2) = (-2,1,-1). Dengan demikian vektor torsi τ :
r r r τ =r × F r
i
j
k
τ = − 2 1 − 1 = 2i − 3 j − 7k 1
3 −1
Solusi....lanjutan Solusi ....lanjutan 2i − 2 j + k 2i − 2 j + k 2 2 1 nˆ = = = i− j+ k 2i − 2 j + k 3 3 3 9
