ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
KATEDRA FYZIKY
LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméno
Datum měření
TUREČEK Daniel
Stud. rok Stud. skupina
Čís. úlohy
3
2006/2007 103
Ročník
2.
Lab. skupina
Datum odevzdání Klasifikace
Název úlohy
Spřažená kyvadla
13.12.2006 3.1.2007
1. Úkol měření 1. Změřte tuhost vazbové pružiny. 2. Změřte vlastní kruhovou frekvenci kyvadel. 3. Změřte kruhové frekvence kyvadel, koeficient vazby pro různé počáteční podmínky a různou polohu vazbové pružiny. 4. Proveďte porovnání výsledků mezi naměřenými a vypočtenými výsledky. 5. Vypočtěte moment setrvačnosti kyvadel. 6. U všech naměřených a vypočtených veličin určete chybu měření.
2. Teoretický úvod Nejjednodušším periodickým kmitavým pohybem je takový pohyb, při kterém se hmotný bod pohybuje po přímce. Kmitající bod potom nazýváme lineárním oscilátorem.Tím je například těleso zavěšené na pružině. Neuvažujeme-li tlumení, pak můžeme pohyb tělesa vyjádřit rovnicí:
d2y k =− y 2 dt m Kde y je okamžitá výchylka hmotného tělesa, t je časová proměnná, m je hmotnost zavěšeného tělesa a k je tuhost pružiny. Zároveň platí vztah
€
k = ω2 m
Mezi kruhovou frekvencí ω a frekvencí f či periodou T platí vztah:
€
ω = 2πf =
2π T
Označme podíly v následujícím vztahu způsobem:
€
mgL 2 kl 2 ω = ,Ω = J J 2 0
Dále potřebujeme ještě znát vztahy: Pro koeficient vazby κ€platí
kl 2 mgL + kl 2
κ=
Na základě předešlých vztahů můžeme psát
€
κ=
nebo
κ= €
€
Ω2 ω12 − ω 02 = ω 02 + Ω2 ω12 + ω 02
2ω 2ω 3 ω 22 + ω 32
3. Postup měření 1. Odstraňte opatrně pružinu z kyvadel 2. Zapněte oba čítače kyvů se stopkami a přepínač přepněte do polohy START. Obě kyvadla vychylte z rovn. polohy ke značkám, poté kyvadla uvolněte. 3. V libovolném okamžiku stiskněte tlačítko NULOVÁNÍ u obou čítačů. Čítač se vynuluje a od prvního průchodu rovnovážnou polohou začne počítat čas a kyvy. Při každém stém kyvu zůstane na displeji zobrazen čas stého kyvu po dobu asi 5s. 4. Změřte čas jednoho sta kyvů a porovnejte je u obou kyvadel. V případě, že se neshodují, je třeba posunout čočku jednoho z nich patřičným směrem, aby se dosáhlo časové shody. Shodují-li se časy 100 kyvů , zaznamenáme takto změřený čas a určíme z něj kruhový kmitočet ω0. 5. Pružinu zavěsíme na přípravek a zavěsíme na ni jedno závaží o hmotnosti M = 30g a odečteme jeho polohu. Pak přidáme další závaží o hmotnosti M a opět odečteme polohu. Z rozdílu poloh určíme protažení pružiny y a ze vztahu
k=
2M − M g Δy
určíme tuhost pružiny k. Pomocí vzorce k / m = ω 2 určíme, jakou frekvencí by kmitalo jedno ze závaží. 6. Ze závěsu sejmeme jedno z kyvadel a na laboratorních váhách jej zvážíme 7. Určíme polohu těžiště hledáním rovn. polohy při podepření € T tohoto kyvadla € kyvadla hranou opěrky židle 8. Zavěste kyvadlo a opět připevněte pružinu ke kyvadlům tak, aby oba její konce byly stejně vzdáleny od osy otáčení a pružina nevychylovala kyvadla z jejich rovnovážné polohy. Pružina rovněž nesmí být zbytečně prohnutá. Umístěte pružinu zhruba doprostřed fyzických kyvadel a změřte polohu pružiny vůči ose otáčení kyvadel –l 9. Zvolíme počáteční podmínky (a), dbáme přitom na to, aby se kyvadla kývala ve stejné rovině. Změříme dobu sta kyvů a z naměřeného času získáme kmitočet ω0, který porovnáme s hodnotou zjištěnou v bodě 4. 10. Zvolíme poč. podmínky (b) a obdobným způsobem určíme ω1. 11. Zvolíme poč. podmínky (c). Kyvadla pustíme, přičemž periodu rázů kyvadla τ2, které začíná kmitat z rovnovážné polohy, měříme pomocí stopek tak, že určíme čas, za který kyvadlo dosáhne osmého minima amplitudy. Kruhovou frekvenci ω3 měříme za pomoci čítače kyvů u kyvadla, které kmitání započne s nenulovou výchylkou. 12. Měření pro body 9 –11 opakujeme ještě jednou pro jinou vzdálenost vazbové pružiny l. 13. Podle (2.2) a (2.3) vypočítáme κ. Takto vypočítané výsledky porovnáme z hlediska přesnosti. Vyp. κ dosadíme do (2.1) a určíme tak tuhost vazbové pružiny k. Výsledek porovnáme s hodnotou získanou v bodě 5. Na základě (2.4) vypočítáme ω1, ω2 a ω3 a porovnáme je s naměřenými hodnotami. 14. Na základě (1.4) určíme moment setrvačnosti J kyvadel.Vyhodnoťte vliv polohy vazbové pružiny od osy otáčení kyvadel
4. Seznam použitých přístrojů a pomůcek Dvě fyzická kyvadla, dva závěsy s optickým snímačem, vazbová pružina, dva čítače kyvů se stopkami, stopky, pravítko, ocelové měřítko, přípravek k měření protažení pružiny se dvěma závažími., laboratorní váhy se sadou závaží
5. Tabulky naměřených hodnot a zpracování výsledků 5.1. Parametry kyvadel
• • •
Prodloužení pružiny Δy = (33,0 ± 0,5) mm Hmotnost kyvadla m = (1,2680 ± 0,0005) kg Vzdálenost těžiště od osy otáčení L = (490,0 ± 0,5)mm
€ pružiny 5.2. Výpočet tuhosti € (2M − M)g 0,03⋅ 9,80665 € k= = = 8,915 Δy 0,033
€
∂k 2 2 ∂k 2 2 M ⋅ g 2 2 g 2 2 ϑk = ϑ Δy + ϑ M = 0,201 N /m ϑ = − ϑ Δy + 2 ∂M M ∂Δy Δy Δy
k = (8,915 ± 0,201) N /m € 5.3. Vlastní kruhová frekvence kyvadel
€
100τ 0' = 77,38 s 100τ 0'' = 77,40 s
τ 0 = (0,774 ± 0,005) s €
ω 0 = 2πf =
€
€
€
ϑ ω0
2π π π = = = 4,059 s−1 T τ 0 0,774
π 2 2 π 2 = 2 ϑτ0 = ⋅ 0,005 2 = 0,026 s−1 2 τ 0,774 0
ω 0 = (4,059 ± 0,026) s−1 5.4. Kruhová frekvence pro počáteční podmínky (a)
€
l= 36 cm
l= 22,5 cm
100τ 01 = 77,02 s τ 01 = (0,770 ± 0,005) s
100τ 02 = 77,02 s τ 02 = (0,770 ± 0,005) s
€
€
π = 4,079 s−1 0,770 π 2 = ⋅ 0,005 2 = 0,026 s−1 2 0,770
ω 02 =
ϑ ω 01
ϑ ω 02
€ €
π = 4,079 s−1 0,770 € π 2 2 −1 = ⋅ 0,005 = 0,026 s 0,770 2 €
ω 01 =
ω 01 = (4,079 ± 0,026) s−1
€
€
ω 02 = (4,079 ± 0,026) s−1
5.5. Kruhová frekvence pro počáteční podmínky (b) l= 36 cm
l= 22,5 cm
100τ 01 = 65,95 s τ 01 = (0,660 ± 0,005) s
100τ 02 = 72,07 s τ 02 = (0,721± 0,005) s
π = 4,764 s−1 0,660 € π 2 ϑ ω11 = ⋅ 0,005 2 = 0,036 s−1 2 0,660 € −1 ω11 = (4,764 ± 0,036) s
ω12 =
ω11 =
€ €
€
€
ϑ ω12
π = 4,359 s−1 0,721 π 2 2 −1 = ⋅ 0,005 = 0,030 s 0,7212
ω12 = (4,359 ± 0,030) s−1
5.6. Kruhová frekvence pro počáteční podmínky (c)
€
l= 36 cm
€
Tr1 = (73,06 ± 0,5) s τ r1 = (9,133 ± 0,5) s ω 21 =
€ ϑ ω 21
8π 8π = = 2,752 s−1 τ r 9,133
8π 2 = ⋅ 0,5 2 = 0,002 s−1 2 9,133
€
€
€
Tr2 = (134,03 ± 0,5) s τ r2 = (16,754 ± 0,5) s ω 22 =
€
ω 21 = (2,752 ± 0,002) s−1
l= 36 cm
€
8π 2 ϑ ω 22 = ⋅ 0,5 2 = 0,001 s−1 2 1,500
€
€
ω 22 = (1,500 ± 0,001) s−1
l= 22,5 cm
100τ 02 = 76,74 s τ 02 = (0,767 ± 0,005) s
π = 4,090 s−1 0,768 € π 2 2 −1 = ⋅ 0,005 = 0,027 s 0,768 2 €
π = 4,094 s−1 0,767 π 2 = ⋅ 0,005 2 = 0,027 s−1 2 0,767
ω 31 =
ω 32 =
ϑ ω 31
ϑ ω 32
€
€
8π 8π = = 1,500 s−1 τ r 16,754
€
100τ 01 = 76,81 s τ 01 = (0,768 ± 0,005) s
€
l= 22,5 cm
ω 31 = (4,090 ± 0,027) s−1
€
€
ω 32 = (4,094 ± 0,027) s−1
5.7. Výpočet koeficientů vazby
κ 1, κ 2
l= 36 cm
κ11 =
€ 2€− 4,079 2 ω12 − ω 02 4,764 = = 0,154 s−1 ω12 + ω 02 4,764 2 + 4,079 2
κ 21 =
2ω 2ω 3 2 * 2,752 * 4,09 = = 0,926 s−1 2 2 ω 2 + ω 3 2,752 2 + 4,09 2
€
€
ϑ κ 11
4ω ω 2 2 2 −4ω 2ω 2 2 = 2 1 02 2 ϑ ω1 + 2 1 20 2 ϑ ω 0 = 0,010 s−1 (ω1 + ω 0 ) (ω1 + ω 0 )
ϑ κ 21
2ω 3 (ω 32 − ω 22 ) 2 2 2ω 2 (ω 22 − ω 32 ) 2 2 = ϑ ω2 + ϑ ω 3 = 0,002 s−1 2 2 2 2 2 2 (ω 2 + ω 3 ) (ω 2 + ω 3 )
€ €
κ1 = (0,154 ± 0,010) s−1 κ 2 = (0,926 ± 0,002) s−1 l= 22,5 cm
€
κ12 =
ω12 − ω 02 4,359 2 − 4,079 2 = = 0,070 s−1 2 2 2 2 ω1 + ω 0 4,359 + 4,079
κ 22 =
2ω 2ω 3 2 *1,5 * 4,094 = = 0,646 s−1 2 2 ω 2 + ω 3 1,5 2 + 4,094 2
€
€
€
ϑ κ 12
4ω ω 2 2 2 −4ω 2ω 2 2 = 2 1 02 2 ϑ ω1 + 2 1 20 2 ϑ ω 0 = 0,009 s−1 (ω1 + ω 0 ) (ω1 + ω 0 )
2ω 3 (ω 32 − ω 22 ) 2 2 2ω 2 (ω 22 − ω 32 ) 2 2 ϑ κ 22 = ϑ ω2 + ϑ ω 3 = 0,003 s−1 2 2 2 2 2 2 (ω 2 + ω 3 ) (ω 2 + ω 3 ) −1 κ1 = (0,070 ± 0,009) s
κ 2 = (0,646 ± 0,003) s−1 € 5.8. Výpočet tuhosti vazbové pružiny k1, k2
€
€
k1 =
κ1mgL = (8,557 ± 0,050) N ⋅ m−1 2 l1 (1− κ1 )
k2 =
κ1mgL = (8,554 ± 0,050) N ⋅ m−1 2 l1 (1− κ1 )
k = (8,556 ± 0,050) N ⋅ m−1
€ €
5.9. Výpočet teoretických kruhových frekvencí l= 36 cm
2kω 02 l 2 + ω 02 = 4,741 s−1 mgL kω 0 l 2 ω2 = = 0,369 s−1 2mgL kω 0 l 2 ω3 = + ω 0 = 4,450 s−1 2mgL
ω1 =
€
€
l= 22,5 cm
€
2kω 02 l 2 + ω 02 = 4,338 s−1 mgL kω 0 l 2 ω2 = = 0,144 s−1 2mgL kω 0 l 2 ω3 = + ω 0 = 4,204 s−1 2mgL
ω1 =
€
€ €
€
5.10. Výpočet momentu setrvačnosti J
J=
mgL 1,269 ⋅ 9,80665 ⋅ 0,49 = = 0,366 kg ⋅ m 2 2 2 ω0 4,079
gL 2 2 gm 2 −2gLm 2 2 2 ϑJ = 2 ϑm + 2 ϑL + ϑ ω 0 = 0,026 kg ⋅ m 3 ω0 ω0 ω0 J = (0,366 ± 0,026) kg ⋅ m 2
€ €
6. Zhodnocení výsledků měření Námi vypočtená hodnota tuhosti pružiny k se od naměřené liší o 4,03 %. Hodnoty kruhových frekvencí změřené z doby kyvu a hodnoty vypočtené z naměřené vzdálenosti těžiště L a vzdálenosti vazebné pružiny l se výrazněji liší v případě ω2, protože v tomto případě bylo měření nejvíce ovlivněno nepřesností při odečtu periody rázů, kdy se nedal přesně určit moment, kdy rázu došlo. Touto nepřesností je ovlivněno i měření tuhosti pružiny. Z měření je patrné, že pokud jsou kyvadla rozkývána se stejnou fází, nedochází k přenosu energie a kruhová frekvence není nijak ovlivněna připojenou pružinou a je tedy stejná jako kruhová frekvence samotného kyvadla. Pokud rozkýváme kyvadla s opačnou fází, má kruhová frekvence ω1 větší hodnotu než ω0 a je úměrná vzdálenosti vazebné pružiny od osy otáčení.
7. Seznam prostudované literatury [1] Bednařík, Koníček, Jiříček: Fyzika I a II - Fyzikální praktikum, Vydavatelství ČVUT 1999
