OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA
DIFERENCIÁLNÍ OPERÁTORY VEKTOROVÉ ANALÝZY
DANIEL HRIVŇÁK
OSTRAVA 2002
1
OBSAH MODULU Úvod........................................................................................................................................... 3 1. Skalární a vektorové pole .................................................................................................. 5 2. Gradient .............................................................................................................................. 9 3. Divergence......................................................................................................................... 15 4. Rotace ................................................................................................................................ 19 5. Laplaceův operátor .......................................................................................................... 23 6. Vlastnosti diferenciálních operátorů .............................................................................. 27 Řešení úloh .............................................................................................................................. 31 Literatura ................................................................................................................................ 35
3
ÚVOD Tento modul je určen především studentům prvních nebo druhých ročníků přírodovědeckých a učitelských nematematických oborů jako součást základního kurzu aplikované matematiky. Předpokládá znalost středoškolské matematiky a základů diferenciálního počtu jedné reálné proměnné. Uváděný potřebný čas studia modulu a jednotlivých kapitol je třeba chápat jako čas minimální, potřebný pro pečlivé pročtení a pochopení probírané teorie a hladké vyřešení úloh. Pokud není matematika Vaším koníčkem, asi budete potřebovat čas delší. Předpokládám, že v nejhorším případě se může jednat asi o dvojnásobný čas, jinak pravděpodobně nemáte nutné vstupní vědomosti, uvedené výše. Po prostudování modulu budete znát: • • • • • • • • • •
definici skalárního a vektorového pole; definici a vlastnosti operátoru gradient; definici a vlastnosti operátoru divergence; definici a vlastnosti operátoru rotace; definici a vlastnosti Laplaceova oparátoru; definici symbolického nabla operátoru; vyjádření základních diferenciálních operátorů pomocí nabla operátoru; definici hladiny skalárního pole a vektorové čáry vektorového pole; klasifikaci vektorových polí na vírová a nevírová, zřídlová a nezřídlová; nejdůležitější vzorce platné pro diferenciální operátory.
Budete schopni: • •
aplikovat operátory gradientu, divergence, rotace a Laplaceův operátor na zadaná skalární nebo vektorová pole; klasifikovat vektorová pole.
Získáte: • • •
solidní přehled problematiky diferenciálních operátorů, dostatečný pro většinu praktických aplikací; představu o matematicko-fyzikálním významu jednotlivých operátorů; potřebnou výpočetní rutinu, která Vám umožní efektivně používat diferenciální operátory ve Vaší specializaci.
Čas potřebný k prostudování učiva předmětu: 8 + 14 hodin (teorie + řešení úloh) Průvodce studiem. Specifikem matematického textu jsou poznámky. Prosím, nechápejte je jako něco podřadného. Naopak, často jsou v poznámkách uvedeny velmi důležité věci, které nedílně doplňují definice, věty a důkazy a které objasňují jejich účel a motivaci.
1. Skalární a vektorové pole
5
1. SKALÁRNÍ A VEKTOROVÉ POLE
V této kapitole se dozvíte: •
co je to skalární a vektorové pole;
•
co rozumíme hladinou skalárního pole a vektorovou č árou (silo č árou) vektorového pole;
•
jak lze derivovat vektorové pole podle prom ě nné (parametru).
Budete schopni: • derivovat vektorové pole podle libovolné prom ě nné. Klíčová slova této kapitoly: skalární pole, vektorové pole, hladina skalárního pole, vektorová čára (siločára) vektorového pole, derivace vektorového pole podle proměnné (parametru). Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 1,5 hod in y (teorie + řeše ní úloh )
Definice. Funkci u ≡ u ( x, y, z ) tří proměnných – kartézských souřadnic x, y, z , definovanou v určité oblasti Ω , nazýváme skalárním polem. Plochy u = konst. jsou tzv. hladiny tohoto pole. Poznámka. a) Často je používán kratší zápis u ≡ u (r ) s použitím polohového vektoru r = ( x, y , z ) . b) Skalární pole tedy přiřazuje každému bodu oblasti Ω určitou číselnou hodnotu (skalár). Definice. Funkci a ≡ a ( x, y, z ) tří proměnných – kartézských souřadnic x, y, z, definovanou v určité oblasti Ω , nazýváme vektorovým polem. Poznámka. a) I zde je ovšem možný kratší zápis a ≡ a (r ) s použitím polohového vektoru r = ( x, y , z ) . b) Vektorové pole, na rozdíl od pole skalárního, přiřazuje každému bodu oblasti Ω určitý vektor.
polohový vektor
6
vektorová čára, siločára
Diferenciální operátory vektorové analýzy c) Křivka, pro kterou platí, že tečna k ní v každém jejím bodě má směr vektoru vektorového pole a v tomto bodě, se nazývá vektorovou čárou nebo také siločárou uvedeného vektorového pole. d) Vektorové pole je možno chápat v širším smyslu jako vektorovou funkci libovolného počtu proměnných. Kromě uvedeného případu se v praxi používá zejména vektorové pole a ≡ a (t ) jedné proměnné t, kde proměnná t mívá většinou význam času nebo délky oblouku křivky (pak se značí s). V praxi často používáme pole jedné proměnné, vzniklé z pole tří proměnných tím, že jednotlivé proměnné x , y , z jsou funkcí téhož parametru, např. A( s ) = a ( x ( s ) , y ( s ) , z ( s ) ) . e) Pro větší stručnost se běžně hovoří o vektoru a (r ) , resp. skaláru u (r ) . To si ovšem můžeme dovolit pouze tehdy, je-li z kontextu zřejmé, zda se nám jedná o celé pole (tj. funkci), nebo o hodnotu v konkrétním bodě (daném polohovým vektorem r ). Podobně, jako byly zavedeny derivace (obyčejné i parciální) u skalárních funkcí (polí), můžeme zavést derivace vektorových polí. Provedeme pouze pro vektorové pole jedné proměnné a derivaci prvního řádu, zobecnění na pole více proměnných a vyšší řády derivace je zřejmé.
Definice. Derivací vektoru a ≡ a (t ) podle proměnné (parametru) t rozumíme vektor da ( t ) a ( t + ∆t ) − a ( t ) da1 da2 da3 ′ a (t ) ≡ = lim = i+ j+ k = a1′i + a2′ j + a3′ k . ∆t → 0 dt ∆t dt dt dt Poznámka. a) Derivují se tedy všechny složky vektoru podle téže proměnné. b) Důležitým speciálním případem je vektorové pole r ( s ) , kdy parametrem s je délka oblouku křivky, kterou opisuje koncový bod polohového vektoru r . Pak dr vektor t = má jednotkovou délku a nazývá se jednotkový tečný vektor ds uvedené křivky.
důležité vzorce
Věta. Pro derivaci součtu, násobku skalárem, skalárního součinu a vektorového součinu vektorových polí platí věty analogické větám pro skalární funkce: ′ ′ a + b = a ′ + b′ , ( k ⋅ a )′ = k ⋅ a ′ , a ⋅ b = a ′ ⋅ b + a ⋅ b′ ,
(
)
(
)
( a × b )′ = a′ × b + a × b′ .
Důkaz. Stačí rozepsat jednotlivá vektorová pole na složky a aplikovat věty o derivaci součtu a součinu funkcí.
1. Skalární a vektorové pole
Shrnutí kapitoly. Ve vektorové anal ýze v ystupují d ů ležité pojm y skalární a vektorové pole. Skalární pole p ř i ř azuje každému bodu ur č ité, zpravidla trojrozm ě rné oblasti č íslo (skalár). Oproti tomu vektorové pole p ř i ř azuje bod ů m dané oblasti vektor, tzn. uspo ř ádanou n -tici (zpravidla trojici) č ísel. Hladinami skalárního pole rozumíme ploch y, na kterých je hodnota tohoto pole stejná. Vektorov ými č árami nebo také silo č árami vektorového pole jsou m yšlen y k ř ivk y, které v každém bod ě mají sm ě r vektoru pole v tomto bod ě . Skalární i vektorové pole m ů žeme derivovat podle libovolné prom ě nné (sou ř adnice) podle b ě žn ých algoritm ů pro derivování funkcí více prom ě nných. V p ř ípad ě vektorov ých polí musíme ovšem provést n derivací jednotliv ých složek pole.
Otázky. • • •
Definujte skalární a vektorové pole. Co rozumíme hladinou skalárního pole a co vektorovou čárou vektorového pole? Jak derivujeme vektorové pole podle souřadnice či parametru?
Příklad. Vypočtěte derivaci vektorového pole a ( t ) = t ⋅ i + t 2 ⋅ j + t −1 ⋅ k podle parametru t .
Řešení: Derivujeme každou složku zvlášť: 1 da ( t ) d t dt 2 dt −1 1 = i+ j+ k= i + 2t ⋅ j − 2 k . dt dt dt dt t 2 t
Úloha 1.1. Vypočtěte derivaci vektorového pole a ( t ) podle parametru t : 1 a) a (t ) = (t , t 3 , 2 ) ; t 1 b) a (t ) = e−2t (t , t 3 , 2 ) . t
7
8
Diferenciální operátory vektorové analýzy
Úloha 1.2. Vypočtěte rychlost a zrychlení bodu, jehož pohyb je popsán vektorovým polem r (t ) : a) r (t ) = (cos t ,sin t , 0) - pohyb po kružnici v rovině xy; b) r (t ) = (cos t ,sin t , t ) - pohyb po spirále, navinuté kolem osy z; c) r (t ) = (t − sin t , 1 − cos t , 0) - pohyb po cykloidě v rovině xy; t d) r (t ) = ln tg + cos t , sin t , 0 - pohyb po křivce zvané traktrix v rovině xy; 2 Návod: Rychlost je dána první derivací polohového vektoru podle času dr ( t ) v= , zrychlení druhou derivací polohového vektoru podle času nebo-li dt 2 d r ( t ) dv ( t ) = první derivací rychlosti podle času a = . dt 2 dt
Průvodce studiem. Tak první, zah ř ívací kapitolu máte za sebou. Doufám, že to pro Vás zatím bylo snadné, ale p ř ijdou t ě žší v ě ci!
9
2. Gradient
2. GRADIENT V této kapitole se dozvíte: •
jak je definován diferenciální operátor zvan ý gradient a jak ý je jeho v ýznam;
•
č emu ř íkáme potenciální nebo také konzervativní pole a co jsou to ekvipotenciální ploch y;
•
jednoduché gradient ů ;
•
jak je definován tzv. nabla operátor a jak se dá tento operátor uplatnit p ř i zápisu gradientu.
matematické
vzorce
v ýhodné
při
v ýpo č tech
Budete schopni: •
aplikovat gradient na libovolné skalární pole.
Klíčová slova této kapitoly: gradient, potenciálové pole, konzervativní pole, ekvipotenciální plocha, Hamiltonův operátor nabla. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 2 hodin y (teorie + ř ešení p ř íklad ů ) Definice. Gradientem skalárního pole u ≡ u ( x, y, z ) se nazývá vektor (přesněji vektorové pole) ∂u ∂u ∂u grad u = i+ j+ k , ∂x ∂y ∂z kde vektory i , j , k jsou jednotkové vektory ve směru os x, y, z. Poznámka. 1. Gradient je tedy vektor, jehož složkami jsou parciální derivace skalárního pole podle jednotlivých souřadnic. Je tedy definován pouze v bodech, ve kterých existují všechny tři parciální derivace. 2. Někdy se pro zdůraznění vektorové povahy tohoto operátoru používá označení grad u . Připomeneme-li si definici diferenciálu funkce více proměnných ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz , zjistíme snadno, že platí následující věta. ∂x ∂y ∂z
Věta. Přírůstek du hodnoty skalárního pole při posunutí o malý vektor dr = dx ⋅ i + dy ⋅ j + dz ⋅ k se vypočte jako skalární součin du = grad u ⋅ dr .
gradient je vektor
10
Diferenciální operátory vektorové analýzy
Poznámka. 1. Z uvedeného plyne, že gradient skalárního pole je v každém bodě kolmý k jeho hladině. Důkaz je jednoduchý: u = konst. ⇔ du = 0 ⇔ grad u ⋅ dr = 0 ⇔ grad u ⊥ dr . Totéž se dá říci tak, že siločáry potenciálního pole jsou vždy kolmé k jeho ekvipotenciálám. 2. Z vyjádření skalárního součinu grad u ⋅ dr = grad u ⋅ dr ⋅ cos α ( α je úhel mezi oběma vektory) je zřejmé, že pro konstantní délku dr posunutí dr dosáhne přírůstek du skalárního pole největší hodnoty tehdy, je-li vektor dr rovnoběžný s gradientem ( α = 0 ). Gradient má tedy v každém bodě skalárního pole směr největšího růstu tohoto pole. Gradient představuje vektorové pole, které bylo zkonstruováno „nad“ skalárním polem u ≡ u ( x, y, z ) . Obráceně, existuje-li k vektorovému poli a (r ) takové skalární pole u (r ) , že a = grad u , pak vektorové pole a (r ) nazýváme potenciálním (konzervativním), skalární pole u (r ) potenciálem a hladiny tohoto pole ekvipotenciálními plochami (ekvipotenciálami).
Věta. Pro libovolná skalární pole u , v , konstantu k a funkci f ( p ) platí: důležité vzorce
grad ( u + v ) = grad u + grad v , grad ( k ⋅ u ) = k ⋅ grad u ( k je konstanta), grad ( u ⋅ v ) = u ⋅ grad v + v ⋅ grad u , grad f ( u ) = f ′ ( u ) ⋅ grad u .
Důkaz. Je triviální, stačí aplikovat základní věty platné pro derivace skalárních funkcí (viz příklad 2). Poznámka. V uvedené větě i dále v celém textu používáme spojení „libovolné pole“, „libovolná funkce“ apod. ve významu „libovolné se všemi potřebnými vlastnostmi“, zejména s potřebnými derivacemi. V praxi se velmi často používá jiného značení gradientu, a to s využitím tzv. Hamiltonova operátoru nabla (nabla operátoru). Tento symbolický operátor se značí ∇ a zavádí se takto: ∂ ∂ ∂ ∇=i + j +k . ∂x ∂y ∂z Je to vlastně vektor, jehož složkami jsou symboly parciálních derivací podle jednotlivých proměnných. Někdy se pro zdůraznění vektorové povahy tohoto operátoru používá označení ∇ . Gradient zapíšeme pomocí nabla operátoru takto: grad u = ∇u . Formálně se tento zápis dá číst jako násobení vektoru ∇ skalárem u , zapsané v méně obvyklém pořadí. Kromě gradientu se pomocí nabla operátoru dají vyjádřit i další diferenciální operátory, jak uvidíme v dalších kapitolách.
11
2. Gradient
Shrnutí kapitoly: Gradient je diferenciální operátor, aplikovateln ý na skalární pole. V ýsledkem je vektorové pole, jehož složkami jsou parciální derivace skalárního pole podle jednotliv ých (kartézsk ých) sou ř adnic. Gradient (jako vektor v ur č itém bod ě ) je kolm ý k hladin ě skalárního pole procházející dan ým bodem a udává sm ě r nejrychlejšího r ů stu hodnot pole v tomto bod ě . Snadno lze pomocí n ě j odhadnout p ř ír ů stek hodnot y skalárního pole p ř i dostate č n ě malém posunutí. Vektorové pole, které je gradientem n ě jakého skalárního pole, naz ýváme potenciálním nebo také konzervativním polem, uvedené skalární pole potenciálem a jeho hladin y ekvipotenciálními plochami. Gradient, stejn ě jako další diferenciální operátory, lze v ýhodn ě v yjád ř it pomocí s ymbolického operátoru nabla.
Otázky: •
Definujte matematick y exaktn ě operátor gradient.
•
Jak ý má gradient v ýznam?
•
Jak pomocí gradientu odhadneme zm ě nu hodnot y skalárního pole p ř i posunutí o velmi malou vzdálenost?
•
V ysv ě tlete pojm y potenciální pole, potenciál, ekvipotenciální plocha. Jak je definován Hamilton ů v operátor nabla a jak pomocí n ě j zapíšeme gradient? Jaká je v ýhoda uvedeného zápisu?
•
Příklad.
Vypočtěte gradient skalárního pole u ( r ) = r . Řešení. Z definice gradientu plyne nutnost spočítat parciální derivace funkce u ( r ) podle jednotlivých souřadnic. Nejprve podle proměnné x :
∂ ( x2 + y2 + z 2 ) ∂u ∂ x 2 + y 2 + z 2 1 = = = ∂x ∂x ∂x 2 x2 + y 2 + z 2
=
2x 2 x +y +z 2
2
2
=
x
x = r x +y +z 2
2
2
Derivace podle proměnných x a y dopadnou obdobně:
∂u y ∂u z = , = . ∂y r ∂z r
Výsledek tudíž je: r ∂u ∂u ∂u x y z 1 grad r = i+ j + k = i + j + k = xi + yj + zk = = r0 . ∂x ∂y ∂z r r r r r
(
)
12
Diferenciální operátory vektorové analýzy
Příklad (složitější).
b ⋅(r × a ) Vypočtěte gradient pole u (r ) = , kde a , b jsou konstantní vektory. r Řešení: Nejprve si rozepíšeme funkci u (r ) tak, aby bylo zřejmé, jak vlastně vypadá. Nejprve vektorový součin: r × a = ( yaz − za y ) i + ( zax − xaz ) j + ( xa y − yax ) k . 1 Nyní zbytek: u (r ) = bx ( yaz − za y ) + by ( zax − xaz ) + bz ( xa y − yax ) . r Z definice gradientu je zřejmé, že budeme muset spočítat parciální derivace funkce u (r ) podle jednotlivých proměnných x, y, z. Začneme derivací podle x. Spočítejme nejprve dvě velmi užitečné derivace: ∂r ∂ 1 x = x2 + y2 + z 2 = 2x = a ∂x ∂x r 2 x2 + y 2 + z 2
)
(
∂ 1 1 ∂r 1 x x =− 2 =− 3 . =− 2 ∂x r r ∂x r r r Podle vzorce pro derivaci součinu dostaneme: ∂u (r ) ∂ 1 = ⋅ bx ( yaz − za y ) + by ( zax − xaz ) + bz ( xa y − yax ) + ∂x ∂x r 1 ∂ + ⋅ bx ( yaz − za y ) + by ( zax − xa z ) + bz ( xa y − yax ) r ∂x Výpočet první derivace na pravé straně jsme již provedli, druhá derivace je triviální, protože a , b jsou konstantní vektory, tj. nezávisí na x, y, z . Obdržíme: ∂u (r ) x 1 = − 3 ⋅ bx ( yaz − za y ) + by ( zax − xaz ) + bz ( xa y − yax ) + ⋅ ( −by az + bz a y ) . ∂x r r Nyní je čas uvážit, zda výsledek nelze zjednodušit nebo vyjádřit v názornější podobě. Ukazuje se, že máme dvě dobré možnosti: 1. bx ( yaz − za y ) + by ( zax − xaz ) + bz ( xa y − yax ) = b ⋅ ( r × a ) ; 2. ( −by az + bz a y ) = − b × a (mínus x-ová složka vektorového součinu b × a ).
(
)
x
Derivaci podle x můžeme tedy zapsat v kompaktním tvaru ∂u (r ) x 1 = − 3 ⋅b ⋅(r × a) − ⋅ b × a . x ∂x r r Protože původní výraz je symetrický vůči proměnným x, y, z (tzn. všechny tři proměnné v něm mají stejné postavení) derivace podle zbylých proměnných y, z dopadnou obdobně, jako derivace podle x. Musíme ovšem cyklicky zaměnit proměnné x, y, z, které se ve výrazu explicitně objevily. ∂u (r ) y 1 ∂u (r ) z 1 = − 3 ⋅b ⋅(r × a ) − ⋅ b × a , = − 3 ⋅b ⋅(r × a) − ⋅ b × a . z y ∂y r r ∂x r r Zbývá už jen složit gradient (je to vektor!) z výše uvedených složek. Pečlivou prohlídkou získaných výrazů zjistíme, že hledaný gradient lze vyjádřit takto: b ⋅(r × a) b × a u (r ) b × a grad u (r ) = − r− =− 2 r− . r3 r r r
(
(
)
)
(
)
2. Gradient
Úloha 2.1.
Vypočtěte gradient skalárního pole u ( r ) : 1 1 a) u (r ) = ≡ ; r r 1 1 b) u (r ) = 2 ≡ 2 ; r r c) u (r ) = a ⋅ r , kde a je konstantní vektor (nezávisí na r ); d) u (r ) = x ⋅ y ⋅ z ; e) u (r ) = e r ; f) u (r ) = A cos(κ ⋅ r + δ ) , kde κ je konstantní vektor, A a δ jsou konstanty; g) u (r ) = A cos(κ r + δ ) , kde κ , A a δ jsou konstanty. H) u (r ) = a × r , kde a je konstantní vektor.
Úloha 2.2. Dokažte, že pro libovolná skalární pole u , v , konstantu κ a funkci jedné proměnné f platí: a) grad ( u + v ) = grad u + grad v (aditivita);
b) grad (κ ⋅ u ) = κ ⋅ grad u (homogenita); c) grad ( u ⋅ v ) = u ⋅ grad v + v ⋅ grad u ; d) grad f ( u ) = f ′ ( u ) ⋅ grad u .
Návod: Začněte vždy levou stranou. Pokuste se nalézt v obdržených výsledcích strukturu pravé strany.
Průvodce studiem. Tak co ř íkáte na tuto kapitolku? Teorie je celkem snadná, ale výpo č ty už mohou dát leckomu zabrat. Je možné, že Vám d ě lá problém výpo č et derivací. V tom p ř ípad ě doporu č uji zopakovat si teoreticky základní pravidla derivování. Na jejich procvi č ení budete mít ješt ě hodn ě p ř íležitostí v následujících kapitolách.
13
3. Divergence
15
3. DIVERGENCE V této kapitole se dozvíte: •
jak je definován diferenciální operátor zvan ý divergence a jak ý je jeho v ýznam;
•
co jsou to z ř ídla a jak je definováno z ř ídlové a nez ř ídlové pole;
•
jednoduché matematické vzorce užite č né p ř i v ýpo č tu divergence;
•
jak se dá divergence zapsat pomocí nabla operátoru.
Budete schopni: •
aplikovat divergenci na libovolné vektorové pole.
Klíčová slova této kapitoly: divergence, zřídlové pole, nezřídlové pole, zřídlo. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 2 hodin y (teorie + ř ešení p ř íklad ů ) Definice. Divergencí vektoru (vektorového pole) a ( x, y, z ) nazýváme skalár (skalární pole) ∂a ∂a ∂a div a = 1 + 2 + 3 . ∂x ∂y ∂z
Poznámka. a) Slovně řečeno, jedná se o součet tří parciálních derivací, kde první člen je derivací první složky vektorového pole podle první proměnné, druhý člen derivací druhé složky podle druhé proměnné a třetí člen derivací třetí složky podle třetí proměnné. V každém sčítanci tudíž index složky odpovídá pořadí (indexu) proměnné. b) Tuto definici lze snadno zobecnit pro případ n proměnných. c) Na základě Gaussovy věty integrálního počtu můžeme pro divergenci psát vyjádření a ⋅ dS ∫∫ div a = lim ∆S . ∆V → 0 ∆V Plocha ∆S je kladně orientovaná uzavřená plocha ohraničující objem ∆V , který obsahuje zvolený bod. Hodnota divergence v určitém bodě představuje tok vektoru a z infinitezimálního objemu ∆V dělený tímto objemem neboli tok vektoru a z jednotkového objemu v daném bodě. d) Jednoduchý fyzikální model. Jestliže vektorové pole a ( x, y, z ) charakterizuje rychlost proudění kapaliny, pak div a v určitém bodě udává objemové množství kapaliny, které vyteče z jednotkového objemu za jednotku času, tzn. vydatnost tohoto jednotkového objemu jakožto zřídla kapaliny. Pole, pro které
divergence a Gaussova věta
16
zřídlové pole
Diferenciální operátory vektorové analýzy platí identicky (tj. v každém jeho bodě) div a = 0 (např. pole popisující nestlačitelnou kapalinu), se nazývá nezřídlové pole. Do libovolného objemu ohraničeného uzavřenou plochou stejné množství kapaliny vtéká i vytéká. Jestliže alespoň v jednom bodě platí div a ≠ 0 , pak pole a nazýváme zřídlovým. Zřídla se zápornou divergencí se někdy nazývají nory nebo také propady. e) Pomocí nabla operátoru lze zapsat divergenci jako symbolický skalární součin ∂ ∂ ∂ div a = , , ⋅ ( a1 , a2 , a3 ) = ∇ ⋅ a . ∂x ∂y ∂z
Věta. Pro libovolná vektorová pole a , b a libovolné skalární pole u platí: důležité vzorce
(
)
div a + b = div a + div b (aditivita divergence), div ( u ⋅ a ) = u ⋅ div a + a ⋅ grad u .
Důkaz. Důkaz uvedených vzorců je velmi jednoduchý, stačí rozepsat vektory na složky a použít pravidel pro derivaci součtu a součinu (viz také úlohu A3.2). Poznámka. a) Protože skalární součin vektorů, součin skaláru a vektoru i součin dvou skalárů se značí stejně, závisí interpretace součinu (např. v právě uvedeném vzorci) na tom, jakého typu jsou jednotliví činitelé. V tom je třeba mít jasno! b) Z druhého vzorce v poslední větě snadno plyne pro libovolnou konstantu k vztah div ( k ⋅ a ) = k ⋅ div a (homogenita divergence).
Shrnutí kapitoly: Divergence je diferenciální operátor, aplikovateln ý na vektorové pole. Výsledkem je skalární pole, které je sou č tem parciálních derivací první složk y vektorového pole podle první sou ř adnice, druhé složk y vektorového pole podle druhé sou ř adnice a t ř etí složk y vektorového pole podle t ř etí sou ř adnice. Divergence (její hodnota v ur č itém bod ě ) udává tok vektorového pole z jednotkového objemu v tomto bod ě . Je-li divergence v n ě jakém bod ě nenulová, naz ýváme tento bod z ř ídlem pole. N ě kd y se podrobn ě ji rozlišuje z ř ídlo (divergence kladná) a nora č i propad (divergence záporná). Vektorové pole, které má alespo ň jedno z ř ídlo, naz ýváme z ř ídlov ým polem. Jinak se jedná o nez ř ídlové pole. Divergenci vektorového pole lze v ýhodn ě v yjád ř it jako skalární sou č in s ymbolického operátoru nabla s tímto polem.
17
3. Divergence
Otázky: •
Definujte matematick y exaktn ě operátor divergence.
•
Jak ý má divergence v ýznam? Co je to z ř ídlo, nora, propad?
•
Vysv ě tlete pojm y z ř ídlové a nez ř ídlové pole.
•
Uve ď te dva nejpoužívan ě jší zp ů sob y ozna č ení (zápisu) divergence.
Příklad.
Aplikujte operátor divergence na vektorové pole a (r ) = r = ( x, y, z ) (polohový vektor). Řešení. Dosadíme do definičního vztahu pro divergenci a = r , tj. a1 = x , a2 = y , a3 = z : ∂x ∂y ∂z ∂a ∂a ∂a div a = 1 + 2 + 3 = + + = 1 + 1 + 1 = 3 ; ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
Příklad (složitější). r Aplikujte operátor divergence na vektorové pole a (r ) = = r
( x, y , z ) x2 + y2 + z 2
≡ r0
(jednotkový vektor ve směru polohového vektoru).
Řešení. Opět dosadíme za a do definice divergence. Výpočty derivací jsou nyní ovšem složitější.
∂a1 ∂ x ∂x −1 ∂r −1 ∂r x 1 x2 = = r +x = r −1 + x ( −1) r −2 = r −1 − xr −2 = − 3 . ∂x ∂x r ∂x ∂x ∂x r r r Obdobně
∂a2 1 y 2 ∂a3 1 z 2 = − , = − ∂y r r 3 ∂z r r 3 a tedy
1 x2 1 y2 1 z 2 3 x2 + y 2 + z 2 3 1 2 div a = − 3 + − 3 + − 3 = − = − = ≡ r r r r r r r r3 r r r
Všimněte si, jak bylo při řešení výhodně používáno označení výpočet se tím velmi zpřehlednil.
2 x2 + y2 + z 2
.
r ≡ x2 + y 2 + z 2
,
18
Diferenciální operátory vektorové analýzy
Úloha 3.1.
Aplikujte operátor divergence na vektorové pole a ( r ) : r r a) a (r ) = 3 ≡ 02 ; r r r0 r b) a (r ) = n ≡ n −1 ; r r v c) a (r ) = , kde v je konstantní vektor; r d) a (r ) = v × r , kde v je konstantní vektor; v × r v × r0 e) a (r ) = 3 ≡ 2 , kde v je konstantní vektor. r r Úloha 3.2. Dokažte, že pro libovolné skalární pole u a vektorové pole a platí:
div ( u ⋅ a ) = u ⋅ div a + a ⋅ grad u . Návod: Začněte derivací první složky pole na levé straně rovnice podle proměnné x . Obdobně dopadnou i derivace druhé, resp. třetí složky podle y , resp. z . Pokuste se nalézt v obdržených výsledcích strukturu pravé strany.
Průvodce studiem. Tato kapitolka Vás asi moc nep ř ekvapila. Jednoduchá teorie, ale pom ě rn ě náro č né výpo č ty derivací. Pokud máte pocit, že jsou p ř íliš obtížné, nezoufejte. S každým vy ř ešeným p ř íkladem p ů jde Vaše matematická zru č nost rychle nahoru!
4. Rotace
19
4. ROTACE V této kapitole se dozvíte: •
jak je definován diferenciální operátor zvan ý rotace a jak ý je jeho v ýznam;
•
co jsou to víry a jak je definováno vírové a nevírové pole;
•
jednoduché matematické v ě t y v ýhodné pro v ýpo č et rotace;
•
jak se dá rotace zapsat pomocí nabla operátoru.
Budete schopni: •
aplikovat rotaci na libovolné vektorové pole.
Klíčová slova této kapitoly: rotace, vírové pole, nevírové pole, vír. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 2,5 hodin y (teorie + ř ešení úloh) Definice. Rotací vektorového pole a ( x, y, z ) nazýváme vektorové pole ∂a ∂a ∂a ∂a ∂a ∂a rot a = 3 − 2 i + 1 − 3 j + 2 − 1 k . ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
Poznámka. a) Stačí si zapamatovat pouze tvar první složky, ostatní složky dostaneme cyklickou záměnou indexů a proměnných. b) Tuto definici není možné zobecnit na případ jiného počtu proměnných než tří. c) Na základě Stokesovy věty integrálního počtu můžeme pro rotaci psát vyjádření rotace a a ⋅ dl ∫ rot n a ≡ rot a ⋅ cosα = lim ∆l . Stokesova věta ∆S → 0 ∆S Plocha ∆S je orientovaná rovinná plocha obsahující zvolený bod a ohraničená kladně orientovanou křivkou ∆l , úhel α je úhel mezi vektorem rot a a normálou k ploše ∆S . Vzorec je třeba chápat tak, že hodnota kolmé složky divergence k infinitezimální rovinné plošce ∆S (jejíž poloha je určena jejím normálovým vektorem) je dána podílem cirkulace vektoru a po ohraničující křivce ∆l a velikosti plochy ∆S . Jinak řečeno, směr a orientace vektoru rot a ve zvoleném bodě odpovídají směru a orientaci normály k jednotkové (dostatečně malé) plošce ∆S , jejíž poloha (sklon) maximalizuje cirkulaci a ⋅ dl ). Velikost vektoru vektoru a po její hraniční křivce (tj. veličinu ∫ ∆l rot a je dána maximální hodnotou uvedené cirkulace.
20
vírové pole
Diferenciální operátory vektorové analýzy d) V modelu proudící kapaliny (viz divergence) vektor rot a určuje směr osy, kolem které se kapalina v okolí uvažovaného bodu otáčí, a jeho velikost je rovna dvojnásobku rychlosti otáčení (v obloukové míře). Body, ve kterých je rot a ≠ 0 , označujeme jako víry. Pole, pro které platí identicky (tj. v každém jeho bodě) rot a = 0 , se nazývá nevírové pole. Pole, v jehož alespoň jednom bodě je rot a ≠ 0 , nazýváme vírovým polem. e) Pomocí nabla operátoru lze zapsat divergenci jako symbolický vektorový ∂ ∂ ∂ součin rot a = , , × ( a1 , a2 , a3 ) = ∇ × a . ∂x ∂y ∂z
Věta. Pro libovolná vektorová pole a , b a libovolné skalární pole u platí:
(
)
rot a + b = rot a + rot b (aditivita), rot ( u ⋅ a ) = u ⋅ rot a − a × grad u , div a × b = b ⋅ rot a − a ⋅ rot b .
důležité vzorce
(
)
Důkaz. Důkaz všech uvedených vzorců je jednoduchý, stačí rozepsat argumenty na jednotlivé složky a použít pravidel pro derivaci součtu a součinu (viz úlohu 4.2). Poznámka. Z druhého vzorce v poslední větě snadno plyne pro libovolnou konstantu k vztah rot ( k ⋅ a ) = k ⋅ rot a (homogenita rotace).
Shrnutí kapitoly: Rotace je diferenciální operátor, aplikovateln ý na vektorové pole. Výsledkem je vektorové pole, jehož složkami jsou v ýraz y obsahující parciální derivace složek v ýchozího vektorového pole podl e sou ř adnic. Je-li rotace vektorového pole v n ě jakém bod ě nenulová, nazýváme tento bod vírem pole. Velikost vektoru rotace v tomto bod ě pak udává rychlost ví ř ení a sm ě r a orientace tohoto vektoru ur č ují sm ě r a orientaci pravoto č ivé normál y k rovin ě maximálního víru. Vektorové pole, které má alespo ň jeden vír, naz ýváme vírov ým polem. Jinak se jedná o nevírové pole. Rotaci vektorového pole lze v ýhodn ě v yj ád ř it jako vektorov ý sou č in s ymbolického operátoru nabla s tímto polem.
Otázky: •
Definujte matematick y exaktn ě operátor rotace.
•
Jak ý má rotace v ýznam? Co je to vír?
•
Vysv ě tlete pojm y vírové a nevírové pole.
•
Uve ď te dva nejpoužívan ě jší zp ů sob y ozna č ení (zápisu) rotace.
21
4. Rotace
Příklad.
Aplikujte operátor rotace na vektorové pole a (r ) = r = ( x, y, z ) (polohový vektor). Řešení. Dosadíme do definičního vztahu pro rotaci a = r , tj. a1 = x , a2 = y , a3 = z : ∂a ∂a ∂a ∂a ∂a ∂a rot a = 3 − 2 i + 1 − 3 j + 2 − 1 k = ∂z ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x = − i + − j + − k = ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y = ( 0 − 0 ) i + ( 0 − 0 ) j + ( 0 − 0 ) k = 0i + 0 j + 0k = 0.
Příklad (složitější). r Aplikujte operátor divergence na vektorové pole a (r ) = = r
( x, y , z ) x +y +z 2
2
2
≡ r0
(jednotkový vektor ve směru polohového vektoru).
Řešení. Opět dosadíme za a do definice rotace. Nejprve vypočteme první složku:
∂a3 ∂a2 ∂ z ∂ y ∂r −1 ∂r −1 ∂r ∂r − = − = z −y = z ( −1) r −2 − y ( −1) r −2 = ∂y ∂z ∂y r ∂z r ∂y ∂z ∂y ∂z ∂r ∂r y z zy yz = z ( −1) r −2 − y ( −1) r −2 = − zr −2 + yr −2 = − 3 + 3 = 0 . ∂y ∂z r r r r
( rot a )1 =
Obdobně dopadne výpočet druhé a třetí složky, tudíž rot a = 0i + 0 j + 0k = 0 .
Poznámka. Všimněte si, jak bylo při řešení výhodně používáno označení r ≡ x 2 + y 2 + z 2 , výpočet se tím velmi zpřehlednil.
22
Diferenciální operátory vektorové analýzy
Úloha 4.1.
Aplikujte operátor rotace na vektorové pole a ( r ) : r r a) a (r ) = 3 ≡ 02 ; r r r0 r b) a (r ) = n ≡ n −1 ; r r v c) a (r ) = , kde v je konstantní vektor; r d) a (r ) = v × r , kde v je konstantní vektor; v × r v × r0 e) a (r ) = 3 ≡ 2 , kde v je konstantní vektor. r r Úloha 4.2.
Dokažte, že pro libovolné skalární pole u a vektorová pole a , b platí:
a) rot ( u ⋅ a ) = u ⋅ rot a − a × grad u ; b) div a × b = b ⋅ rot a − a ⋅ rot b .
(
)
Návod: Začněte na levé straně rovnice podle definice daného operátoru. Pokuste se nalézt v obdržených výsledcích strukturu pravé strany.
Průvodce studiem. Ani charakter této kapitoly se nijak nevymyká p ř edchozím kapitolám, dokonce jsou výpo č ty ješt ě trochu obtížn ě jší, protože operátor rotace je asi nejsložit ě jší. Ale asi je Vám již jasné, že se v podstat ě jedná o jedno a to samé – o um ě ní derivovat.
23
5. Laplaceův operátor
5. LAPLACEŮV OPERÁTOR V této kapitole se dozvíte: •
jak je definován diferenciální Laplace ů v operátor a jak ý je jeho v ýznam;
•
jak aplikovat Laplace ů v operátor na skalární a vektorové pole;
•
jednoduché matematické vzorce pro práci s Laplaceov ým operátorem;
•
jak se dá Laplace ů v operátor v yjád ř it pomocí nabla operátoru.
Budete schopni: •
aplikovat Laplace ů v vektorové pole.
operátor
na
libovolné
skalární
nebo
Klíčová slova této kapitoly: Laplaceův operátor.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 2,5 hodin y (teorie + ř ešení úloh) Definice. Laplaceovým operátorem rozumíme symbolický operátor ∆≡
∂2 ∂2 ∂2 + + . ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
∂2u ∂2u ∂2u Aplikace na skalární pole: ∆u ≡ 2 + 2 + 2 . ∂x ∂y ∂z Aplikace na vektorové pole: ∆a ≡ i ∆a1 + j ∆a2 + k ∆a3 .
Poznámka. a) Definici je možné zobecnit na případ n proměnných. b) Jedná se o jediný operátor, který lze aplikovat na skalární i vektorové pole. Výsledné pole je téhož typu jako pole výchozí. c) Výraz ∆u se místo dlouhého „Laplaceův operátor aplikovaný na pole u “ obvykle zkracuje na „Laplace u“ apod. Čtení „delta u“ je zde zcela nepřípustné, neboť je vyhrazeno pro přírůstek veličiny u. Stejné grafické označení v praxi nevadí, neboť z kontextu je vždy jasné, který případ nastává. d) Laplaceův operátor nemá tak názorný význam jako např. divergence nebo rotace, ale uplatňuje se značně v přírodních vědách, např. v elektřině a magnetismu, v nauce o vlnění, v rovnicích pro difúzi atd.
24
Diferenciální operátory vektorové analýzy e) Laplaceův operátor lze také vyjádřit pomocí nabla operátoru, a to jako formální skalární součin nabla operátoru sama se sebou ∆ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ 2 , tzn. jako druhá mocnina operátoru nabla. Z důvodu ortonormality báze i , j , k totiž platí ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = ∇ ⋅ ∇ = ∇2 = i + j + k ⋅i + j +k = ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂2 ∂2 ∂2 = + + = + + . ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 Věta. Pro libovolná skalární pole u , v , vektorová pole a , b a konstantu k platí:
∆ ( u + v ) = ∆u + ∆v (aditivita), ∆ ( u ⋅ v ) = v∆u + u ∆v + 2 ⋅ grad u ⋅ grad v , ∆ a + b = ∆a + ∆b (aditivita), ∆ ( ka ) = k ∆a (homogenita).
důležité vzorce
(
)
Důkaz Důkaz uvedených vzorců je opět velmi jednoduchý (viz též úlohu A5.3). Poznámka. Z druhého vzorce v poslední větě snadno plyne pro libovolnou konstantu k vztah ∆ ( k ⋅ u ) = k ∆u (homogenita Laplaceova operátoru při aplikaci na skalární pole). Shrnutí kapitoly: Laplace ů v operátor je diferenciální operátor, aplikovateln ý na skalární i vektorové pole. Výsledkem je pole téhož t ypu. P ř i aplikaci Laplaceova operátoru na skalární pole vzniká skalární pole, které je sou č tem druh ých parciálních derivací pole podle jednotliv ých sou ř adnic. Aplikace na vektorové pole spo č ívá v trojnásobné „skalární“ aplikaci na všechn y t ř i složk y pole. A č koliv Laplace ů v operátor nemá tak názorn ý v ýznam jako gradient, divergence č i rotace, hraje d ů ležitou roli v mnoha partiích matematik y, fyzik y a dalších p ř írodních v ě d. Laplace ů v operátor lze v yjád ř it a zapsat jako druhou mocninu nabla operátoru. Otázky: •
Definujte matematick y exaktn ě Laplace ů v operátor.
•
Na jaké t yp y polí lze Laplace ů v operátor aplikovat a jakého t ypu je v ýsledek?
•
jaké jsou dva nejpoužívan ě jší zp ů sob y ozna č ení (zápisu) Laplaceova operátoru?
5. Laplaceův operátor
Příklad. Aplikujte Laplaceův operátor na skalární pole u ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 ≡ r (velikost polohového vektoru).
Řešení. Aplikace Laplaceova operátoru na skalární pole u je definována takto: ∂ 2u ∂2u ∂ 2u ∆u = 2 + 2 + 2 . ∂x ∂y ∂z Vypočteme nejprve parciální derivace pole u podle x : ∂u ∂r x ∂ 2 u ∂ ∂u ∂ x 1 x 2 = = , = = = − . ∂x ∂x r ∂x 2 ∂x ∂x ∂x r r r 3 Derivace podle y a z dopadnou z důvodu symetrie derivovaného výrazu podle všech proměnných obdobně: ∂ 2u 1 y 2 ∂ 2u 1 z 2 = − , = − . ∂y 2 r r 3 ∂z 2 r r 3 Nyní stačí sečíst nalezené parciální derivace druhého řádu: 1 x2 1 y2 1 z 2 3 x2 + y 2 + z 2 3 1 2 ∆u = − 3 + − 3 + − 3 = − = − = . r r r r3 r r r r r r r Příklad.
Aplikujte Laplaceův operátor na vektorové pole a (r ) = r = ( x, y, z ) (polohový vektor). Řešení. Dosadíme do definičního vztahu pro Laplaceův operátor a = r , tj. a1 = x , a2 = y , a3 = z : ∆a = i ∆a1 + j ∆a2 + k ∆a3 = i ∆x + j ∆y + k ∆z = ∂2 x ∂2 x ∂2 x ∂2 y ∂2 y ∂2 y ∂2 z ∂2 z ∂2 z = i 2 + 2 + 2 + j 2 + 2 + 2 +k 2 + 2 + 2 = ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x ∂x ∂ 2 x ∂ 2 y ∂ 2 z ∂1 ∂1 ∂1 =i 2 + j 2 +k 2 =i + j +k = 0i + 0 j + 0 k = 0 . ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
Úloha 5.1. Aplikujte Laplaceův operátor na skalární pole u ( x, y, z ) . a) u ( x, y, z ) =
1
≡
1 ; r
x +y +z 1 1 b) u ( x, y, z ) = 2 ≡ 2; 2 2 x +y +z r 1 c) u ( x, y, z ) = n . r 2
2
2
25
26
Diferenciální operátory vektorové analýzy
Úloha 5.2.
Aplikujte Laplaceův operátor na vektorové pole a ( r ) . r r a) a (r ) = 3 ≡ 02 ; r r r0 r b) a (r ) = n ≡ n −1 ; r r v c) a (r ) = , kde v je konstantní vektor; r d) a (r ) = v × r , kde v je konstantní vektor; v × r v × r0 e) a (r ) = 3 ≡ 2 , kde v je konstantní vektor. r r Úloha 5.3. Dokažte, že pro libovolná skalární pole u , v platí vzorec
∆ ( u ⋅ v ) = v∆u + u ∆v + 2 ⋅ grad u ⋅ grad v . Návod: Začněte na levé straně rovnice podle definice daného operátoru. Pokuste se nalézt v obdržených výsledcích strukturu pravé strany.
Průvodce studiem. Asi to op ě t pro Vás nebylo výpo č etn ě jednoduché, protože Laplace ů v operátor obsahuje druhé derivace, ale mám pro Vás p ř íjemnou zprávu: Laplaceovým operátorem kon č íme. V poslední kapitole tohoto modulu Vás č eká už jen p ř ehled vlastností všech č ty ř probraných diferenciálních operátor ů .
6. Vlastnosti diferenciálních operátorů
27
6. VLASTNOSTI DIFERENCIÁLNÍCH OPERÁTORŮ V této kapitole se dozvíte: •
co rozumíme linearitou diferenciálních operátor ů ;
•
jak se dají diferenciální operátory p ř ehledn ě zapsat pomocí s ymbolického nabla operátoru;
•
o č em hovo ř í tzv. operátorové identit y aneb jak dopadne postupná aplikace (skládání) dvou r ů zn ých diferenciálních operátor ů ;
•
jak se dají explicitn ě popsat nevírová a nez ř ídlová pole.
Klíčová slova této kapitoly: linearita operátorů, nabla operátor, operátorové identity, skládání diferenciálních operátorů, nevírová a nezřídlová pole. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 0,0 hodin y (teorie + ř ešení úloh) Věta. Všechny probrané diferenciální operátory, tedy gradient, divergence, rotace a Laplaceův operátor jsou lineární, tzn. homogenní (pro k-násobný argument linearita operátorů obdržíme k-násobek hodnoty pro argument) a aditivní (pro součet argumentů obdržíme součet hodnot pro jednotlivé argumenty). Důkaz. Byl uveden v kapitolách týkajících se jednotlivých operátorů. Obecně se dá říci, že linearita diferenciálních operátorů plyne z linearity derivace. Vyjádření pomocí nabla operátoru. Všechny probrané diferenciální operátory lze vyjádřit pomocí symbolického operátoru nabla a operací vektorové algebry. Přehledně to ukazuje následující tabulka. Blíže viz předchozí kapitoly věnované jednotlivým operátorům. gradient divergence rotace Laplaceův operátor
grad u = ∇ ⋅ u div a = ∇ ⋅ a rot a = ∇ × a ∆ = ∇ ⋅ ∇ = ∇2
součin vektoru ∇ a skaláru u skalární součin vektoru ∇ a vektoru a vektorový součin vektoru ∇ a vektoru a skalární součin vektoru ∇ se sebou samým
Úkol. Rozepište naznačené operace s nabla operátorem a ověřte, že uvedené vzorce platí.
28
Diferenciální operátory vektorové analýzy Jak dopadnou postupné aplikace nebo-li skládání různých operátorů, ukazují následující vzorce, zvané operátorové identity.
Věta. Pro libovolné skalární pole u a vektorové pole a platí:
operátorové identity
div grad u = ∆u , grad div a = rot rot a + ∆a , ∆grad u = grad ∆u , ∆rot a = rot ∆a , rot grad u = 0 , div rot a = 0 .
Důkaz. Přenechávám čtenáři jako cvičení (viz též úlohu 6.1). Poznámka. a) První dvě identity se zabývají skládáním divergence a gradientu. Výsledek je vždy netriviální a lze jej vyjádřit pomocí ostatních operátorů. b) Další dvě identity konstatují fakt, že při skládání Laplaceova operátoru a gradientu , resp. rotace nezáleží na pořadí. Uvedené dvojice operátorů komutují. c) Poslední dvě identity vyjadřují důležitý poznatek, že pole grad u (potenciální pole) je vždy nevírové (jeho rotace je identicky rovna nule) a pole rot a je nutně nezřídlové (jeho divergence je identicky nulová). Toto tvrzení platí za určitých, značně obecných podmínek (uvažovaná oblast Ω musí být jednoduše souvislá) také obráceně, tzn. je-li nějaké vektorové pole v určité oblasti Ω nevírové ( rot a = 0 ), musí být gradientem nějakého skalárního pole ( a = grad u ), a je-li pole v Ω nezřídlové ( div b = 0 ), musí být rotací nějakého vektorového pole ( b = rot a ). d) Uvedené identity můžeme názorně zdůvodnit vyjádřením operátorů pomocí nabla operátoru a použitím jednoduchých pravidel pro skalární a vektorový součin. Např. v předposlední identitě výraz rot grad u nabývá tvaru ∇ × ( ∇u ) , který můžeme přepsat na ( ∇ × ∇ ) u (veličina u zde hraje roli skaláru). Protože vektorový součin dvou vektorů téhož směru je roven nulovému vektoru, je ∇ × ∇ = 0 , a tedy ( ∇ × ∇ ) u = 0u = 0 . Obdobně v poslední identitě výraz div rot a přepíšeme na ∇ ⋅ ( ∇ × a ) . Vektorový součin b ≡ ∇ × a je, jak
známo, kolmý k oběma činitelům, tedy také k symbolickému vektoru ∇ . To ovšem znamená, že skalární součin ∇ ⋅ b = 0 , neboť skalární součin dvou navzájem kolmých vektorů je z definice nulový.
Úkol. Zkuste operátorové identity formulovat zpaměti. Nepokračujte dále, dokud se Vám to nepodaří!
6. Vlastnosti diferenciálních operátorů
Shrnutí kapitoly: Všechn y probrané operátory (gradient, divergence, rotace, Laplace ů v operátor) jsou lineární, tzn. homogenní a aditivní. Každ ý z uveden ých operátor ů lze zapsat pomocí s ymbolického nabla operátoru a operací vektorové algebry. Výsledek postupné aplikace nebo-li skládání dvou r ů zn ých diferenciálních operátor ů v yjad ř ují vzorce zvané operátorové identit y. Z t ě chto identit pl ynou n ě které d ů ležité záv ě ry, nap ř . to, že nevírové pole se dá v yjád ř it jako gradient n ě jakého skalárního pole (potenciálu) a nez ř ídlové pole lze vyjád ř it jako rotaci ur č itého vektorového pole. Otázky: •
Co rozumíme linearitou operátoru? Které diferenciální operátory jsou lineární?
•
Jak zapíšeme gradient, divergenci, rotaci a Laplace ů v operátor pomocí nabla operátoru?
•
Co v yjad ř ují jednotlivé operátorové identit y? Formulujte slovn ě .
•
Jak se dají explicitn ě v yjád ř it nevírová a nez ř ídlová pole? Odkud tato v yjád ř ení pl ynou?
Úloha 6.1. Dokažte, že pro libovolné skalární pole u platí vzorec div grad u = ∆u .
Návod: Začněte na levé straně rovnice podle definice daného operátoru. Pokuste se nalézt v obdržených výsledcích strukturu pravé strany.
Průvodce studiem. Práv ě jste ukon č il(a) tento modul, k č emuž Vám srde č n ě gratuluji. Pokud jste opravdu poctiv ě propo č ítal(a) v ě tšinu úloh, ovládáte problematiku diferenciálních operátor ů na úrovni, která bohat ě sta č í pro ř ešení v ě tšiny praktických problém ů . Nyní již pouze vy ř ešte koresponden č ní úkoly a zašlete je tutorovi kurzu, v rámci kterého tento modul studujete. Hodn ě zdaru!
Korespondenční úkol. Zvolte si libovolné, ne příliš jednoduché skalární a vektorové pole tří kartézských souřadnic x, y, z a aplikujte na ně všechny probrané diferenciální operátory, které je možné aplikovat na daný typ pole.
29
Ŕešení úloh
ŘEŠENÍ ÚLOH 1. Skalární a vektorové pole. 1.1a) a ′(t ) = (1, 3t 2 , −2t −3 ) ; 1.1b) a ′(t ) = e−2t (1 − 2t , 3t 2 − 2t 3 , −2t −2 − 2t −3 ) .
1.2a) v = ( − sin t , cos t , 0 ) , a = − r ; 1.2b) v = ( − sin t , cos t , 1) ; a = −(cos t ,sin t , 0) ; 1.2c) v = (1 − cos t , sin t , 0 ) , a = ( sin t , cos t , 0 ) 1 cos t 1.2d) v = − sin t , cos t , 0 , a = − 2 − cos t , − sin t , 0 . sin t sin t
2. Gradient. r r ; 2.1b) grad u = − 2 ; 2.1c) grad u = a ; 3 4 r r r r 2.1d) grad u = ( yz , xz , xy ) ; 2.1e) grad u = e ≡ e r r0 ; r 2.1f) grad u = − A sin(κ ⋅ r + δ )κ ; 2.1g) grad u = − Aκ sin(κ r + δ ) ⋅ r0 ;
2.1a) grad u = −
2.1h) grad u =
(a × r ) × a a×r
.
2.2a) Stačí použít aditivity derivace (derivace součtu se rovná součtu derivací): ∂ (u + v ) ∂ (u + v ) ∂ (u + v ) i+ j+ k= ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v = + i + + j + + k = ∂x ∂x ∂z ∂z ∂y ∂y ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v = i+ j+ k+ i + j + k = grad u + grad v. ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
grad ( u + v ) =
2.2b) Použijeme homogenity derivace (z derivace můžeme vytknout multiplikativní konstantu):
grad (κ ⋅ u ) = +κ
∂ ( κ ⋅ u ) ∂ (κ ⋅ u ) ∂ (κ ⋅ u ) ∂ (u ) i+ j+ k =κ i+ ∂x ∂y ∂z ∂x
∂ (u ) ∂ (u ) ∂ (u ) ∂ (u ) ∂ (u ) j +κ k =κ i+ j+ k = κ ⋅ grad u. ∂y ∂z ∂ x ∂ y ∂ z
31
32
Diferenciální operátory vektorové analýzy
2.2c) Aplikujeme větu o derivaci součinu: ∂ ( u.v ) ∂ ( u.v ) ∂ ( u.v ) ∂v ∂u i + j+ k = u + v i + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂v ∂v +u + v j + u + v k = u i + u j +u k + ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂z ∂y ∂u ∂u ∂u +v i +v j + v k = u grad v + v grad u. ∂x ∂y ∂z
grad ( u.v ) =
2.2d) Využijeme větu o derivaci složené funkce: ∂ f (u ) ∂ f (u ) ∂ f (u ) i+ j+ k= ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u = f ′ (u ) . i + f ′ (u ) j + f ′ ( u ) k = f ′ ( u ) grad u. ∂x ∂y ∂z
grad f ( u ) =
3. Divergence. v ⋅r 3− n 3.1a) div a = 0 ; 3.1b) 1b) div a = n ; 3.1c) 1c) div a = − 3 ; r r 3.1d) 1d) div a = 0 ; 3.1e) 1e) div a = 0 .
3.2) Vyjdeme z definice operátoru divergence. Při výpočtu je nutno použít věty o derivaci součinu. ∂ ( u.a1 ) ∂ ( u.a2 ) ∂ ( u.a3 ) ∂u ∂a ∂u ∂a + + = a1 + u 1 + a2 + u 2 + div ( u ⋅ a ) = ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂y ∂x ∂a ∂u ∂a ∂a ∂u ∂a ∂u ∂u + a3 + u 3 = a1 + u 1 + a2 + u 2 + a3 + u 3 = ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂z ∂a ∂a ∂a = u 1 + u 2 + u 3 ∂y ∂z ∂x
∂u ∂u ∂u a2 + a3 = u ⋅ div a + a ⋅ grad u. + a1 + ∂y ∂z ∂x
4. Rotace. v ×r 4.1a) rot a = 0 ; 4.1b) rot a = 0 ; 4.1c) rot a = 3 ; 4.1d) rot a = 2v ; r v v ⋅r 4.1e) rot a = − 3 + 3 5 r . r r
Ŕešení úloh 4.2a) Podle definice rotace platí:
∂ ( u.a3 ) ∂ ( u.a2 ) ∂ ( u.a1 ) ∂ ( u.a3 ) ∂ ( u.a2 ) ∂ ( u.a1 ) rot ( u.a ) = − − − i + j + k = ∂z ∂x ∂y ∂y ∂z ∂x ∂ a3 ∂u ∂ a3 ∂ a2 ∂u ∂ a1 ∂u ∂u = a3 + u − a2 − u − a3 − u j+ i + a1 + u ∂y ∂z ∂z ∂z ∂x ∂x ∂z ∂y ∂ a2 ∂u ∂a ∂u ∂ a ∂ a2 ∂ a1 ∂ a3 + a2 + u − a1 − u 1 k = u 3 − − j+ i + u ∂x ∂y ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y ∂ a2 ∂ a1 ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u +u − − a3 − a1 j − a1 − a2 k − a2 i − a3 k = ∂y ∂y ∂z ∂x ∂x ∂x ∂z ∂y = u ⋅ rot a − a × grad u . 4.2b) Protože a × b = ( a2 b3 − a3 b2 ) i + ( a3 b1 − a1b3 ) j + ( a1b2 − a2 b1 ) k , můžeme rozepsat: ∂ ∂ ∂ div a × b = ( a2 b3 − a3 b2 ) + ( a3 b1 − a1b3 ) + ( a1b2 − a2 b1 ) = ∂x ∂y ∂z ∂b ∂a ∂b ∂a ∂b ∂a ∂b ∂a = 2 b3 + a2 3 − 3 b2 − a3 2 + 3 b1 + a3 1 − 1 b3 − a1 3 + ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y
(
)
∂a1 ∂b ∂a ∂b ∂a ∂a ∂a ∂a b2 + a1 2 − 2 b1 − a2 1 = b1 3 − 2 + b2 1 − 3 + ∂z ∂z ∂z ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂a ∂a ∂b ∂b ∂b ∂b ∂b ∂b +b3 2 − 1 − a1 3 − 2 − a2 1 − 3 − a3 2 − 1 = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y = b rot a − a rot b . +
5. Laplaceův operátor. 5.1a) ∆u = 0 ; 5.1b) ∆u =
n ( n − 1) 2 ; 5.1c) ∆u = . 4 r r n+2
n ( n − 3) 5.2a) ∆a = 0 ; 5.2b) ∆a = r ; 5.2c) ∆ a = 0 ; 5.2d) ∆ a = 0; r n+ 2 v ×r 5.2e) ∆a = 12 5 . r
33
34
Diferenciální operátory vektorové analýzy
5.3) Vyjdeme jako obvykle z definice operátoru na levé straně dokazované rovnice. ∆ ( u.v ) = +
∂ 2 ( u.v ) ∂x
2
+
∂ 2 ( u.v ) ∂y
2
+
∂ 2 ( u.v ) ∂z
2
=
∂ ∂u ∂v ∂ ∂u ∂v v + u + v + u + ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y
∂ ∂u ∂v ∂ 2 u ∂u ∂v ∂ 2 v ∂v ∂u ∂ 2 u ∂u ∂v ∂ 2 v v u v u+ v + u = + + + + + + ∂z ∂z ∂z ∂x 2 ∂x ∂x ∂x 2 ∂x ∂x ∂y 2 ∂y ∂y ∂y 2
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂v ∂u ∂ 2 u ∂u ∂v ∂ 2 v ∂v ∂u + + v+ + u+ = v 2 + 2 + 2 + ∂y ∂y ∂z 2 ∂z ∂z ∂z 2 ∂z ∂z ∂y ∂z ∂x ∂2v ∂2v ∂2v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v +u 2 + 2 + 2 + 2 + + = v∆u + u ∆v + 2 grad u ⋅ grad v. ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x
6. Vlastnosti diferenciálních operátorů.
6.1) Vyjdeme z levé strany rovnice a definic jednotlivých operátorů:
∂u ∂u ∂u div grad u = div i + j+ k= ∂y ∂z ∂x 2 2 ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ u ∂ u ∂ 2u = + + = + + ≡ ∆u. ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Další zdroje
LITERATURA 1. KALUS, R., HRIVŇÁK, D. Breviář vyšší matematiky. 1. vyd. Ostrava: Ostravská univerzita, 2001. 132 s. ISBN 80-7042-819-8. 2. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
35
37
POZNÁMKY
