NME Közleményei, Miskolc, 111. Sorozat, Gépészet, 26(1 981) kötet, 1 37-1 48.
HAJLÉKONY RUDAK ALAKVÁLTOZÁSÁNAK VIZSGÁLATA SCHOLTZ PÉTER
A gyakorlatban előforduló olyan szerkezeti elemek alakváltozásának vizsgálatához, amelyekben a terhelés okozta elmozdulások nagyok, nem lehet alkalmazni a méretek változatlanságának és az erőhatások függetlenségének az elvét. Az alábbiakban olyan szerkezeti elemek alakváltozásának vizsgálatával foglalkozunk, amelyeknek: terhelés előtti alakja egyenes; hajlítómerevségük -legalább szakaszonként - állandó; a terhelés során rugalmas, síkbeli alakváltozást szenvednek és a rúdvégek egymáshoz közelednek. Mint látni fouk, az elmozdulásokat jellemző egyenletek nem lineárisak, így azo-
Kzı ez-.zz.ı< ıızfáziõvzı tudjuk megoldani.
Á, 1
,_ N
T
az M + “M
-
M
1. A rugalmas szál differenciálegyenlete
R
N U
F
Ű T
Őb
z É>~
- csomó _ C?t x dx 1 _ T Az állandó hajlítómerevségu, g rvı pontjain “erőkkel és erőpárokkal terhelt rúd z I. ábra tetszőleges szakaszát vizsgáljuk. Az elemi _ rúdszakasz egyensúlyi terhelése az 1. ábrán látható. A rúd önsúlyát elhanyagoljuk. A rúdelem kezdőpontján támadó erő- és erőpár-komponensek pozitív értelmét az elemvégi belső erő-komponensek pozitív értelmével ellentétesen vesszük
DR. SCHOLTZ PETER egyetemi adjunktus (it-.pelcmek Tanszék 35 15. Miskolc-Egyetemváros Kózirııt beérkezett: 1980. augusztus 5.
I 37
fel. Az elmozdulások, elfordulások,. erők és nyomaték pozitív értelmét a vizsgálathoz használt derékszögű, jobbsodrású koordináta tengelyek pozitív irányával vesszük azonosnak. A differenciálegyenlet felírásához független változónak az s ívhosszt választjuk, melyről feltételezhetjük, hogy hossza a terhelés során nem változik, mert a rúdnak a hajlitásból adódó elmozdulása jóval nagyobb mint a nyomásból vagy húzásból adódó hosszváltozása
Az elemi rúdszakasz egyensúlya alapján: dM = - Tdx + Ndy
.
(.l)
Az ívelem és a szögelfordulás:
dr
_
3-Í-= cosü ,
(3)
a görbületi sugár (p) és az elemi szögváltozás ill. hajlítónyomaték kapcsolata [l]:
1 de M p“ds"1E`
(4)
A belső erőket eredőjükkel kifejezve: N = - F cosõ b
;
(5)
T = F sin 6,,
,
(6)
,
(7)
valamint bevezetve a
5 = 0 + 6,, F 2 _ _
°” ˇ IE
(8)
összefüggéseket, a nıgalmas szál differenciálegyenlete:
d'B
.
Ã; = _ (I2S1Il,Ű .
(9)
2. A differencülegyenlet megoldása A (9) összefüggést integrálva:
[Ég ]2= 4zz2[~c, - 81112 138
,
(10)
ahol a C1 integrálási állandóról megállapíthatjuk, hogy: - értéke csak pozitív lehet, - maximális értéke ott van, ahol .13 értéke nulla, - ha a nyomaték nulla: C1
= Sin: "B5
,
azaz a rugalmas szálon, vagy meglıosszabbításán in exiós hely van.
Ezeknek megfelelően a vizsgálandó rudat mindig felbonthatjuk olyan szakaszokra amelyeknél: _ a rúd kezdetén (végén) erő, végén (kezdetén) erő és erőpár hat, - a rúd kezdetén és végén azonos nagyságúerő és különböző nagyságú erőpár hat 2.1. A rúd kezdetén (végén) erő, végén (kezdetén) erőés erőpár hat
A rúd kezdetét b, végét j, az in exiós helyet i indexszel jelölve a (4) és (10) összevonásával :
,z =°=“'“”°`1"' `z`l»
(12)
melyből a C1 integrálási állandó _ B C1 =sm2-% a (l 1)-el azonos. Bevezetve a C1=k2; = ksintlı
(0
(13) (14)
összefüggéseket, a (10), (13) és (14) alapján Ép- _ +201: sılı ds _ 'ˇ co
(IS)
ahol a pozitív előjelet akkor kell használni, ha a rúd kezdőpontjában a rugalmas szál görbülete pozitív.
139
A (14) és (15) felhasználásával az elemi ívhossz: ds=:-i
:dúl * 1-kzsinz
(16)
,
melynek irıtegrálja - elsőfajú elliptikus integrálokkal kifejezve S] _ sb
Í
.
(17)
Az ívhossz helykoordinátái a (2), (3), (7) és (16) felhasználásával xi = xb i[BcOsôb + 2k(- cosglıj + cosılıb)sinô,Jla
(13)
yi = yb 1 I- Bsinôb + 2k( - costlıj + costlıb) sinõblla
(19)
ahol B első- és másod-fajú elliptikus integrálok kombinációja:
B = 2[E(w, . ff) - 1=`(~ız, . IO] -[F(~ı«,- . Iz) - Fm, . fel
(20)
Valamely keresztmetszetben a hajlítónyomaték a (4), (7) és (15) összevonásával M = 1 2kaIEcostlı
.
(21)
Mivel az elliptikus irıtegrálok kiszámítására használatos sorok [4] sp szögváltozója csak a
(22)
0
tartományra érvényes, és tlıb, új értéke ettől eltérő lehet, ekkor az elliptikus integrálok periódikus tulajdonságai alapján [4] a ı[ı=n1riı,a
(n=l,2,...)
(23)
transzformációval
F(~l×. k) = 2f1F(k) Í F(< , R) ;
(24)
E(\l'„ ff) = 2HE`(Íf) i E`(~P, k) ;
(25)
valamint előjel szempontjából:
F(- 111. Íf)="F(\l×,Íf) ;
(26)
P-`( _ W. ff) = -E(\l/, R)
(27)
összefüggést alkalmazzuk.
140
2.2. A rúd kezdetén és végén azonos erő, és különböző llagyágú erőpár hat A rúd kezdetét ismét b, végét j indexszel jelölve, a (4) és (10) összevonásával.
[%Š]2 8=Sz, 2 (%)2 = 4a2(C* _ Sin:
'
(23)
melyből a C1 integrálási állandó:
Mb Y
C1=[-2`&"`IE'
Ba
+SÍI12_
(29)
.
2
Bevezetvea 1 C1=;c-5
;
(0
,
izg
(30) (31)
összefüggéseket, a (10), (30) és (31) alapján az elemi ívhossz: kdılı ds_i a \/1 - k2 sm - 2 tl/
(32)
'
melynek integrálja elsőfajú elliptikus integrálokkal kifejezve: k
(33)
Az ívhossz helykoordinátái a (2), (3), (7) és (32) felhasználásával: xl-=xb i[Ccosõb + 2[-
+
+
smõ,,]fzzız ;
(34)
yi =y,, 1 [-csmõb + 2[- + +
zosõb] ızzk,
(35)
ahol C első- és másod-fajú elliptikus integrálok és a modulus kombinációja:
C = 2[E(zız, ,Ie -Em, Jo] - (2 - fõ:) Foz, ,fo - Fm, ,IO
(36)
A tetszés szerinti kereszmetszetben ébredő hajlítónyomaték a (4), (7) és (32) felhasználásával:
M = Í 21E% ~./1 - k2sin2,u .
(37)
3. Alkalmazási példák
A következőkben két - a gyakorlatban előforduló - esetre alkalmazzuk a levezetett összefüggéseket. 3.1. Nyomott, két végén csuklós megfogású rúd A rúd deformált alakját a 2. ábrán láthatjuk. `< -eb-
yı"
í/X 60
F2 2. ábra
Határozzuk meg a 190 szög számítására alkalmas összefüggéseket, ha ismert a rúd terhelés előtti L hossza, és a deformáció utáni xz abszcissza értéke. A rugalmas szál szimmetriájából következik, hogy elegendő a rúd 0 - 1 szakaszát vizsgálnunk. A szakasz kezdőpontjában a görbületi sugár negatív. A terhelési eset a 2.1.ben leírtaknak felel meg, így az ott közölt összefüggéseket az alábbiak felhasználásával alkalmazzuk: 00 :U31 :S0 =y0 :X0 =0.
Az elliptikus integrálok amplitúdója a ( 14) felhasználásával: - a rúd kezdőpontjában tl/0 = Trl2, - a rúd végpontjában pedig simlıı = 0 alapján ıl/1 = 0. 142
A (17)-ből aza tényező 2 1r_ ___2 az-LFÍ2 ,kJ-LF(k), ahol F (k) elsőfajú teljes elliptikus integrál.
Az a kifejezését a (18)-ba helyettesítve és rendezve:
x 1+;
EÜ) _o, 2F(k)
melyből az elliptikus integrálok k modulusa iterációval tetszőleges pontossággal meghatározható. A k modulus ismeretében a kezdőpontbeli érintőszög a (11) alapján:
190 = 2 arc sin k
.
Valamely x abszcisszánál az y ordináta és a 19 érintőszög az alábbiak szerint határoz ható meg. A ( 19) alapján :
k cosılı
J' L 1-`(k) ahol ılı-t a (18) alapján
.
-5275 {2[E(1z) - E(zp, ız)]- Foz) _ F(uz, k)}= O iterációval tudjuk meghatározni, az érintő szög pedig (14) felhasználásával: ı9 = 2 arc sin (k sinılı)
.
Az előbbiekből látható, hogy a rúd deformált alakjához szükséges paramétereket
a rúd keresztmetszeti méretének ismerete nélkül sikerült meghatározni. A számítási eljárás ezen lehetőségét adott esetben a rúdszerkezet méretezésénél tudjuk hasznosítani. 3.2. Négytámaszú rúd A rúd támaszhelyeit és deformált alakját a 3. ábrán láthatjuk. A 0 és 4 helyeken csuklósan megfogott, terheletlen helyzetében L hosszúságú rudat az 1 és 3 helyen úgy támasztjuk alá, hogy a rugalmas szál yı ordinátával rendelkezzen. A súrlódástól eltekintve, ekkor az R, és R3 támasztóerők merőlegesek a rugalmas szál érintőjére. Határozzuk meg a 60, 60 , 191 szögeket, az yz Ordinátát, az R0 és R1 támasztócrőket, az M1 és M2 nyomatékokat kifejező egyenleteket, ha ismert L, y, , xl és x4 értéke. A rúd baloldali végén a görbületi sugár előjele negatív. A nıgalmas szál alakja szimmetrikus, xl = x4 - x3. 143
,l
l v
_
.
ül
yı :..V3 7
"
R,
R=
'90 1Õ
xl
x
xl
X4
x
Ro
RA
3. ábra
Bontsuk fel a rudat a 0-1 és 1-2 szakaszokra ill. az 1 csomópontra (4., 5., 6. ábra). Az l csomópont egyensúlya alapján: Rocosõo +F1 -R1 sinûı = 0 Rıcosúlı -R0 sinôo = 0
;
;
melyekből: F1 =R0 (sinõo tgı91- cosôo)
.
A 0-1 szakaszra vonatkozó összefüggéseket a 2.1. alapján írjuk fel, figyelembe véve, hog/
s0=y0=x0=0
;
F0=R0.
A (14) alapján (U0 = Trl2. Az s1 ívhossz a (17) felhasználásával:
Foz.) - Foz... ,ko S1
_
al
3
ahol k, ct indexe és ll/ második indexe az első szakaszra utal. 144
l
R0
y,
'91
1
X,
x
4. ábra
ül
M,_( F
M,
l
1
f
60
1-
JC,
5. ábra
x
yı
F,_
.vzif
,
NF
M2
19,
l
yıl lMı
„-
l
. 1.
I
xi
QD
JC,
X
6. ábra
Az 1 csomópont koordinátái alapján a (18) és (19) összevonásával: 5 tg
2Xıkı 00S\Üı.r “'J*'ıB 0 _ Bx1+ zyıkı COSŰL1
ahol
,
~
B =2[F(kz)`-Eta... .ml-[F(k.> - F(zız,,, ,zz,)] _ Az M1 hajlítónyomaték az (1), (5), (6) és (21) alapján: M1 = -R0(sinô0x, + cosôoyı) = - 2k1IEa1 cosılım
melyből az R0 támasztóerő: R0
,
,
Ékıcoswhı
]z
.
xı l õg +y1 COSŐQ
Az 1 - 2 szakaszra vonatkozó összefüggéseket a 2.2. alapján írjuk fel, figyelembe véve, hogy ., 51 =1r; -a(7) és (31) alapjan -tb, =1rI2; Az 1 - 2 szakasz ívhossza a (33) felhasználásával: S1 ˇ- S2 = ?]š2“[F(\Ü1,2 8
2
146
,(2)
'
19 + ılım =-*Él
.
Az ívhossz koordinátái a (34) és (35) alapján:
x, z zz, +{2[E(kz> -E(w,,, ,kz)]- (2 - kã)lF0<) - F(w,,, ,kz>]}ı«zrz ; yz = yi + {2[~/É - ~/1 - kš sin* »ız-,,,]ˇ}lıaz kz. Az M2 hajlítónyomaték az (1), (S), (6) és (37) felhasználásával: 0!
Mz =-21E-,Š ×/1-ki =M1+Fzóz -yz) , melyből az elliptikus integrálok kz modulusa: kz Í 2
sirıôotgüı - cosõo kš coS2 ,pm + sim Ű/1,2(sirrõ0 tgı5*1 - cosôo)
É
A felírt összefüggésekből megállapítható, hogy a 60 és 61 szögeket csak iteráció val tudjuk meghatározni. Ezért a megadottnak tekintett adatokon kívül (xl , yı , x,_, 1.) ha felvesszük B0 és B, értékét az iteráció elvégezhető. A felvett B0 és B1 értékek megfelelőek, ha az ls, -% |<e
ésaz
lxz -xl -`x jšë
feltételek egyidejűleg teljesülnek, ahol: E tetszés szerinti piciny pozitív szám, F(«pı,Ífı) + S
2
="'“"_“_"'
ar
k2F(S02>Íf2)
zz,\/ızmõ,,ıgz9, -cosõoı
F(*P1§k1)=F(k)_F(W1,1 ak!)
al
`;"
x ._
2kı 005lÍfı,ı
_
_
J
xı smõo +y1 cosôo
_ 8
Š
2E(*P2 „ kz) “(2 _ kã)F(S02 JC:)
a smõoıga, -008801
E(„p, . kz)-~~!=`(kz) -E(w,_, Jfz) 147
Ha az iteráció során nem tudjuk E értékét kielégíteni, akkor a megadottnak tekintett y 1 értékét vagy x4 értékét csökkenteni ill. L értékét növelni kell, hogy a feladat rugalmasságtani alapon megoldható legyen, különben csak képlékeny alakvaltozas útján lehetne az adott L hosszúságú rudat az adott 0, 1, 3, 4 pontokon elhelyezni.
IRODALOM
1. 2.
PONOMARJ OV, SZ. D.:Szr`Iándságı' számítások a gépészetben. 2 Műszaki Könyvkiadó, Bp. 1964. ORTEGA, J. M. - RHEINBOLDT, W. C.:1teratı've solution of nonlínear equations in several variables. Academic Press. New York and London. 1970. (Orosz fordítás: MIR. Moszkva. 1975.)
3.
BRONSTEJN, I. N. - SZEMENGYAJEV, K. A.:Matematikai zsebkönyv. Művelt Nép. Bp. 1955.
4.
BYRD, P. F. - FRIEDMAN, M. 0.: Handbook of elliptic integrals for engineers and physicísts. Springer-Verlag. Berlin-Göttingen-Heidelberg. 1954. INVESTIGATION OF DEFORMATION OF FLEXIBLE BARS
W P. SCHOLTZ S um m ary The paper deals with the large deformations of rods when the principle of invariablility of sizes and the independity of forces cannot be applied. The nonlinear equations describing the displacements can be solved by means of elliptic integrals by using an iteration procedure.
BErTRAG zus EERECHNUNG DER VERSCHIEBUNGEN voN BIEGSAMEN STÃBEN von P. SCHOLTZ
Zusammenfassung Die Arbeit beschäftigt sich mit der groíăen Deformationen von Stäben, so das Prinzip der Unveränderlichkeit der Abmessungen und der Unabhängigkeit der Kraftwirkungen nicht angewendet werden kann. Die Lösung der die Verschiebungen beschreibenden nichtlinearen Gleichungen kann mit elliptischen Integralen gegeben werden, welche mit einer Iteration berechnen kann. HCCIIEIIOBAHHE JIEOOPMAHHH FPIBKHX CTEPIICI-IEH l`I. IIIOJˇITII
Pearoıvre Aıarop aaırımaercn öonsmuıun nerpopıualı urr crepııoreit, y Koropbıx Hemzarr ııprrmeıorrız npımırıur o Henasrennocrır paaıuepon K neaaancımocrn crm. Hennr-reinrrzıe ypaanerrna cıvreurennü peuıarorcsr c noıvroursro anımmmıecknx rnırerpanoa c rrpırMeı~rer~rneıvı H'l'6palJ.Hñ.
148
A NEHEzıPARı MŰSZAKI EGYETEM KÖZLEMÉNYEI
III. sorozat
GÉPESZET 26. KÖTET, 3 - 4. FÜZET
MISKOLC, 1981
HU--ISSN 0324-6728
SZERKESZTÖ BIZOTTSÁG:
TERPLÁN ZENÓ felelős szerkesztő CZIBERE TIBOR, KOZÁK IMRE, ROMVÁRI PÁL, TAJNAFŐI JÓZSEF
Kiadja a Nehézipari Műszaki Egyetem Kiadásért felelős: Dr. Kozák Imre rektorhelyettes NME Sokszorosító Üzeme Nyomdaszám: KSZ-81-2390 -NME
Miskolc-Egyetemváros, 1981. Engedély száma: M'IˇI`H-III-3183I1976.
Sajtó alá rendezte: Dr. Farkas József egyetemi tanár Technikai szerkesztő: Németh Zoltánné Megjelent az NME Közleményei Szerkesztőségének gondozásában
Kézirat szedése: 1981. márc. 15. - 1981. máj. 15. Sokszorosítóba leadva: 1981. aug. 24. Példányszám: 350
Készült IBM-7 2 Elektronikus Composer szedéssel, rotaprint lemezről az MSZ 5601-59 és MSZ 5602-55 szabványok szerint, 8 BI5 ív terjedelemben. A sokszorosításért felelős: Tóth Ottó mb. iizemvezető
TARTALOMJEGYZÉK
Scholtz Péter: Hajlékony rudak alakváltozásának vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Scholtz Péter: Hajlékony kötélnek modellezett kábelipari sodrat gyártásközbeni egyensúlyi alakjának vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . _ Bencsik Zsolt: Adott térgörbére illeszkedő csavarfelületet burkoló forgásfelület alámetszésének vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gımda Mihály - Takácsi Nagy Andrásné: Legömbölyítéssel nyert átmeneti felület a forgásfelületek áthatási vonala mentén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gábry Gabriella - Balogh András -Orosz László: Gyémántvasalt, dörzshegesztett kötésíí, takarék kivitelű többélű foıgácsolószerszámok korróziós fáradása . . . . . . . . . . .
191
Kalcsár Béla: Futódaruhidak dinamikai modellezése
209
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137 149 169 177
247
