Natura 30. listopadu 2002
Kvantov´ a mechanika bez prostoroˇ casu zpracoval: Jiˇr´ı Svrˇsek
1
podle ˇcl´ anku T. P. Singha
Abstract Pravidla kvantov´e mechaniky pro svoji formulaci vyˇzaduj´ı ˇcasovou souˇradnici. Pojem ˇcasu obecnˇe souvis´ı s existenc´ı klasick´e prostoroˇcasov´e geometrie. Takov´ a geometrie podle obecn´e teorie relativity je ale vytv´ aˇrena klasick´ ymi hmotn´ ymi zdroji. Souˇcasn´ a formulace kvantov´e mechaniky tedy pˇredpokl´ ad´ a pˇr´ıtomnost klasick´ ych hmotn´ ych pol´ı. Existuje vˇsak hlubˇs´ı formulace kvantov´e mechaniky, kter´ a pojem ˇcasu nepouˇz´ıv´ a. Autor ˇcl´ anku [1] takovou formulaci popisuje pro jednu ˇc´ astici v nerelativistick´e kvantov´e mechanice. Autor d´ ale tvrd´ı, ˇze standardn´ı kvantov´ a mechanika a klasick´ a obecn´ a teorie relativity jsou aproximac´ı neline´ arn´ı teorie kvantov´e gravitace. Bezˇcasov´ a formulace kvantov´e mechaniky z takov´e teorie vych´ az´ı na z´ akladˇe pˇredpokladu, ˇze hmotnost ˇca ´stice je mnohem vˇetˇs´ı neˇz Planckova hmotnost. Pokud tomu tak je, lze hlubˇs´ı neline´ arn´ı teorii redukovat na klasickou kvantovou mechaniku a obecnou teorii relativity. Autor tak´e tvrd´ı, ˇze moˇzn´ ym kandid´ atem na hlubˇs´ı teorii je nekomutativn´ı diferenci´ aln´ı geometrie.
1 e-mail:
[email protected], WWW: http://natura.eridan.cz
References [1] T.P. Singh: Quantum Mechanics without Spacetime. A Possible Case for Noncommutative Differential Geometry? 20 Dec 2001. quant-ph/0112119 e-Print archive. Los Alamos National Laboratory. US National Science Foundation. http://xxx.lanl.gov/abs/quant-ph/0112119 [2] J. Madore: An Introduction to Noncommutative Differential Geometry and its Physical Applications. 2nd edition, Cambridge University Press, 1999.
1
1
Kvantov´ a mechanika bez prostoroˇ casu
ˇ Pravidla kvantov´e mechaniky pro svoji formulaci vyˇzaduj´ı koncept ˇcasu. Casov´ a souˇradnice urˇcuje volbu kanonick´e polohy a hybnosti, normalizaci vlnov´e funkce a samozˇrejmˇe evoluci kvantov´eho syst´emu. Z hlediska speci´aln´ı teorie relativity je ˇcas komponentou prostoroˇcasu. Obecn´a teorie relativity prostoroˇcas vybavuje pseudo-Riemannovou geometri´ı, kter´a je urˇcena rozloˇzen´ım klasick´e hmoty. Tato klasick´a hmota je limitn´ım pˇr´ıpadem hmoty podˇrizuj´ıc´ı se pravidl˚ um kvantov´e mechaniky. Proto kvantov´a mechanika kv˚ uli sv´e z´avislosti na ˇcase pˇredpokl´ad´a existenci klasick´e hmoty, jej´ıˇz vlastnosti by bylo nejprve tˇreba vysvˇetlit. Hlubˇs´ı formulace kvantov´e mechaniky se neodkazuje na pojem ˇcasu. Autor ˇcl´anku [1] navrhuje z´akladn´ı principy toho, co naz´ yv´a fundament´aln´ı kvantov´a mechanika (Fundemental Quantum Mechanics, FQM). Potˇreba fundament´aln´ı kvantov´e mechaniky vych´az´ı mimo jin´e tak´e z u ´vahy, ˇze Vesm´ır by v principu nemusel obsahovat ˇz´adnou klasickou hmotu. Vesm´ır by se napˇr´ıklad mohl skl´adat pouze z nerelativistick´ ych neklasick´ ych mikroskopick´ ych ˇc´astic, kter´e lze popsat standardn´ı nerelativistickou kvantovou mechanikou. Pokud ve Vesm´ıru nem´ame klasickou hmotu, nelze hovoˇrit o klasick´e prostoroˇcasov´e geometrii a je pak nutn´e pouˇz´ıt fundament´aln´ı kvantovou mechaniku. Za urˇcit´ ych velmi zvl´aˇstn´ıch podm´ınek (jako vhodnˇe vybran´ ych kvantov´ ych stav˚ u) lze pouˇz´ıt semiklasickou teorii gravitace (klasick´a gravitace vytv´aˇren´a kvantovou hmotou). Semiklasick´ y popis vˇsak obecnˇe neplat´ı. Fundament´aln´ı kvantovou mechaniku je nutn´e pouˇz´ıt tak´e v pˇr´ıpadˇe, ˇze typick´ y rozsah energi´ı ˇc´astic v syst´emu je menˇs´ı neˇz Planckova energie a ˇc´astice se pohybuj´ı nerelativisticky. Kv˚ uli co nejjednoduˇsˇs´ı formulaci fundament´aln´ı kvantov´e mechaniky autor ˇcl´anku [1] ˇreˇs´ı pouze probl´em nerelativistick´e kvantov´e mechaniky. Vytv´aˇr´ı jednoduch´ y model Vesm´ıru, jehoˇz diferenci´aln´ı varietou je 2-sf´era s jednou u ´hlovou souˇradnic´ı, kter´a popisuje prostor, a druhou souˇradnic´ı, kter´a popisuje ˇcas. Pˇr´ıpadn´e nefyzik´aln´ı vlastnosti tohoto modelu, jako jsou uzavˇren´e ˇcasupodobn´e kˇrivky, nebereme nyn´ı v u ´vahu. Nyn´ı si pˇredstavme, ˇze v tomto naˇsem vesm´ıru existuje jedin´ y objekt o hmotnosti m1 . Pokud objekt m1 ch´apeme klasicky, pak si lze pˇredstavit, ˇze prostoroˇcas na varietˇe a odpov´ıdaj´ıc´ı pseudo-Riemannova geometrie jsou d˚ usledkem tohoto objektu. Vnitˇrn´ı stavy objektu lze popsat trajektori´ı v prostoroˇcase nebo ve f´azov´em prostoru prostorov´e souˇradnice a souˇradnice hybnosti. Kl´ıˇcovou vlastnost´ı vnitˇrn´ıho stavu objektu je nepˇr´ıtomnost nˇejak´ ych superpozic´ı. Nyn´ı si pˇredstavme, ˇze hmotnost objektu m1 je mal´a a objekt jiˇz nen´ı klasick´ y, ale mus´ı se ˇr´ıdit z´akony kvantov´e mechaniky. Zd´a se zˇrejm´e, ˇze prostoroˇcasov´e pozad´ı tvoˇr´ı 2-sf´era. Nyn´ı si vˇsak lze pˇredstavit zcela delokalizovanou ˇc´astici, kter´a leˇz´ı na naˇs´ı 2-sf´eˇre. Neuvaˇzujeme jiˇz ˇz´adnou Riemanˇ astice, varieta novu prostoroˇcasovou geometrii na varietˇe ani p˚ uvodn´ı koncept prostoru a ˇcasu. C´ a jej´ı pseudo-Riemannova geometrie spl´ yvaj´ı. Dynamiku tohoto syst´emu lze popsat jen pomoc´ı geometrie 2- sf´ery. Tuto dynamiku oznaˇc´ıme jako nerelativistickou kvantovou gravitaci (Nonrelativistic Quantum Gravity, NQG). Stav syst´emu nem´a kauz´aln´ı v´ yvoj, ale existuje jako celek, jednou a vˇsude. Jinou moˇznost´ı, jak dospˇet k tomuto z´avˇeru, je uvaˇzovat situaci, kdy 2-sf´era obsahuje klasickou prostoroˇcasovou geometrii kv˚ uli existenci klasick´e hmoty a hodnota hmotnosti m1 (testovac´ı ˇc´astice) se postupnˇe zmenˇsuje. Dokud je m1 klasick´a ˇc´astice, jej´ım stavem je prostoroˇcasov´a trajektorie. Jakmile se ale m1 stane kvantovou ˇc´astic´ı, jej´ı stavy jsou pops´any jako prvky Hilbertova prostoru opatˇren´eho ˇcasovou souˇradnic´ı. Je ponˇekud nepˇrirozen´e si pˇredstavovat, ˇze se zmenˇsov´an´ım hmotnosti m1 stav ˇc´astice ”pˇreskoˇc´ı” z fyzik´aln´ıho prostoroˇcasu do abstraktn´ıho Hilbertova prostoru. Pˇrirozenˇejˇs´ı je ch´apat stav ˇc´astice m1 jako prvek fundament´aln´ı 2-sf´ery nerelativistick´e kvantov´e gravitace, kter´a vypad´a jako fyzik´aln´ı prostoroˇcas pro velk´e hodnoty m1 a jako direktn´ı souˇcin Hilbertova prostoru s ˇcasovou souˇradnic´ı pro mal´e hodnoty m1 .
2
ych Jedin´ ym pˇrirozen´ ym mˇeˇr´ıtkem, kter´e oddˇeluje velk´e klasick´e hodnoty hmotnosti m1 od mal´ p ”kvantovˇe mechanick´ ych” hodnot, je Planckova hmotnost mP l = ¯hc/G, kter´a je rovna asi 10−5 gramu. Obvykle na z´akladˇe naˇsich pozorov´an´ı oˇcek´av´ame, ˇze ”klasick´ y” a ”kvantov´ y” svˇet jsou od sebe oddˇeleny hmotnost´ı o nˇekolik ˇr´ad˚ u menˇs´ı neˇz je Planckova hmotnost. V naˇsem pˇr´ıpadˇe vˇsak budeme pˇredpokl´adat, ˇze rozdˇelen´ı ”klasick´eho” a ”kvantov´eho” svˇeta leˇz´ı pr´avˇe na Planckovˇe hmotnosti. Pro m1 À mP l (tj. h ¯ → 0, nebo G → ∞) se nerelativistick´a kvantov´a gravitace redukuje na klasickou prostoroˇcasovou trajektorii ˇc´astice a na nerelativistick´e Einsteinovy rovnice (tj. Newtonovu gravitaci) odpov´ıdaj´ıc´ı geometrie prostoroˇcasu. Protoˇze klasick´e objekty jsme nikdy nepozorovali v superponovan´ ych stavech, mus´ı b´ yt nerelativistick´a kvantov´a gravitace neline´arn´ı teori´ı: dvˇe ˇreˇsen´ı teorie nelze superponovat. Poznamenejme, ˇze neline´arn´ı kvantov´a gravitace nen´ı bezˇcasov´ ym popisem nerelativistick´e kvantov´e mechaniky, j´ıˇz hled´ame. Na rozd´ıl od standardn´ı kvantov´e mechaniky a na rozd´ıl od fundament´ aln´ı kvantov´e mechaniky je nerelativistick´a kvantov´a gravitace neline´arn´ı teori´ı a obsahuje gravitaˇcn´ı konstantu G pro popis gravitaˇcn´ıch jev˚ u ˇc´astice m1 . Pochopitelnˇe, pro limitu G → 0 (mP l → ∞ nebo m1 ¿ mP l ) nerelativistick´a kvantov´a gravitace jiˇz nem˚ uˇze popisovat gravitaci m1 a ani ji nelze redukovat na nˇejakou fundament´aln´ı kvantovou mechaniku jako line´arn´ı teorii bezˇcasov´e formulace standardn´ı nerelativistick´e kvantov´e mechaniky. Ve fundament´aln´ı kvantov´e mechanice stav m1 nem´a ˇz´adn´ y kauz´aln´ı v´ yvoj, ale existuje jako bezˇcasov´ y celek na 2-sf´eˇre. Dost´av´ame se do situace, kdy dynamiku objektu m1 na 2-sf´eˇre lze obecnˇe popsat nerelativistickou kvantovou gravitac´ı. Geometrii prostoroˇcasu a hmotu nelze navz´ajem od sebe oddˇelit. Nerelativistick´a kvantov´a gravitace se na jedn´e stranˇe (pro m1 À mP l ) redukuje na nerelativistick´e Einsteinovy rovnice a klasickou mechaniku (souˇradnice sf´ery pˇredstavuj´ı prostor a ˇcas) a na druh´e stranˇe (pro m1 ¿ mP l ) se redukuje na bezˇcasov´ y popis kvantov´e mechaniky. ˇ Casovˇ e z´avislou ekvivalentn´ı verzi fundament´aln´ı kvantov´e mechaniky pro ˇc´astici m1 dostaneme, pokud 2-sf´eru opatˇr´ıme klasickou geometri´ı prostoroˇcasu zp˚ usobenou dalˇs´ımi hmotn´ ymi zdroji. K tomu m˚ uˇze doj´ıt napˇr´ıklad v pˇr´ıpadˇe, pokud se na 2-sf´eˇre nach´az´ı jin´a ˇc´astice o hmotnosti m2 À mP l , jej´ıˇz stav je pops´an klasick´ ym prostoroˇcasem. m1 je nyn´ı testovac´ı ˇc´astice na 2-sf´eˇre v tom smyslu, ˇze m1 ¿ mP l ¿ m2 . Fundament´aln´ı kvantov´a mechanika pro ˇc´astici m1 nyn´ı pˇredstavuje standardn´ı interpretaci nerelativistick´e kvantov´e mechaniky. M˚ uˇzeme doj´ıt k z´avˇeru, ˇze zd´anliv´ y ˇcasov´ y v´ yvoj v kvantov´e mechanice je d˚ usledkem pˇr´ıtomnosti klasick´e hmoty ve Vesm´ıru, kter´a vytv´aˇr´ı klasick´ y prostoroˇcas. Na hlubˇs´ı u ´rovni kvantov´a mechanika popisuje fyzik´aln´ı stav syst´emu m1 , avˇsak nikoliv pomoc´ı v´ yvoje v ˇcase, ale dynamikou, v n´ıˇz prostoroˇcas a hmotu nelze oddˇelit. K d˚ uleˇzit´ ym z´avˇer˚ um o povaze nerelativistick´e kvantov´e gravitace lze dospˇet studiem moˇzn´ ych gravitaˇcn´ıch interakc´ı testovac´ı ˇc´astice m1 s gravitaˇcn´ım polem ˇc´astice m2 . R˚ uzn´e moˇznosti jsou naznaˇceny v n´asleduj´ıc´ı tabulce v z´avislosti na porovn´an´ı m1 , m2 s Planckovou hmotnost´ı mP l . m1 m1 m2
¿ mP l ∼ = mP l À mP l
m2 ¿ mP l NO X X
m∼ = mP l Test1 NQG X
m2 À mP l NRQM Test2 GR
Ve v´ yˇse uveden´e tabulce buˇ nka (11) pˇredstavuje situaci, kdy gravitaˇcn´ı interakce vymiz´ı, pokud jsou hmotnosti obou ˇc´astic menˇs´ı neˇz Planckova hmotnost. Buˇ nky (21), (31) pˇredstavuj´ı situaci, kdy ˇc´astice m1 nen´ı testovac´ı ˇc´astic´ı. Buˇ nka (12) pˇredstavuje nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı situaci. Laboratorn´ı experimenty mohou v principu odhalit nˇekter´e vlastnosti NQG studiem gravitaˇcn´ı interakce kvantovˇe mechanick´e ˇc´astice m1 s ”gravitaˇcn´ım polem” ˇc´astice m2 . Buˇ nka (22) pˇredstavuje gravitaˇcn´ı
3
interakci dvou ˇc´astic v nerelativistick´e kvantov´e gravitaci. Popisuje dynamiku, kter´a nahrazuje Newtonovu gravitaci k kvantov´e teorii gravitace. Buˇ nka (13) pˇredstavuje standardn´ı nerelativistickou kvantovou mechaniku s prostoroˇcasem na pozad´ı. Buˇ nka (23) pˇredstavuje situaci, kdy lze studovat chov´an´ı ˇc´astice v nerelativistick´e kvantov´e gravitaci vzhledem ke klasick´e geometrii prostoroˇcasu. Koneˇcnˇe buˇ nka (33) pˇredstavuje standardn´ı obecnou teorii relativity. Buˇ nky (13) a (33) splˇ nuj´ı princip ekvivalence a proto lze oˇcek´avat, ˇze tak´e buˇ nka (23) bude tento princip splˇ novat. Pak by nerelativistick´a kvantov´a gravitace byla obecnˇe kovariantn´ı teori´ı. Nˇekter´e vlastnosti nerelativistick´e kvantov´e gravitace lze odvodit z pˇredpokladu, ˇze k popisu kvantov´e mechaniky nen´ı nutn´a ˇcasov´a souˇradnice. Teorie, k n´ıˇz dospˇejeme (NQG) je limitou jak kvantov´e mechaniky (G → 0), tak nerelativistick´e gravitace (¯h → 0). Dynamiku nerelativistick´e kvantov´e gravitace (v naˇsem pˇr´ıpadˇe dynamiku 2-sf´ery) pak lze popsat nekomutativn´ı diferenci´aln´ı geometri´ı (Nomcommutative Differential Geometry, NDG), protoˇze tato geometrie jako speci´aln´ı pˇr´ıpady obsahuje jak komutativn´ı geometrii, kter´a popisuje prostoroˇcas a gravitaci, tak strukturu nekomutativn´ı algebry, kter´a popisuje kvantovou mechaniku v bˇeˇzn´em prostoroˇcase. Nyn´ı pop´ıˇseme dynamiku nerelativistick´e kvantov´e gravitace na 2-sf´eˇre. Budeme pˇredpokl´adat, ˇze 2-sf´era je nekomutativn´ım prostorem, na nˇemˇz algebra funkc´ı je obecnˇe nekomutativn´ı. Nechˇt A a B oznaˇcuj´ı ”souˇradnice” na 2-sf´eˇre, kter´e jsou spojeny s ”hybnostmi” pA a pB . Tyto ˇctyˇri veliˇciny popisuj´ı ˇca´stici m na 2-sf´eˇre. Autor ˇcl´anku [1] navrhuje na 2-sf´eˇre n´asleduj´ıc´ı komutaˇcn´ı relace: [A, B] = i.L2P l F1 (m/mP l ) [A, pA ] = [B, pB ] = i.¯hF2 (m/mP l ) [pA , pB ] = i.
¯2 h F3 (m/mP l ) L2P l
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze funkce F1 , F2 , F3 jsou rovny nule v limitˇe m À mP l . Pak vˇsechny ˇctyˇri veliˇciny, kter´e popisuj´ı ˇc´astici m, budou pˇri velk´e hmotnosti m komutovat. V tomto pˇr´ıpadˇe lze povaˇzovat A, B za bˇeˇznou ˇcasovou a prostorovou souˇradnici a pA a pB za bˇeˇznou energii a hybnost. V limitˇe m ¿ mP l tyto komutaˇcn´ı relace popisuj´ı fundament´aln´ı kvantovou mechaniku. Protoˇze zde neexistuje ˇz´adn´e prostoroˇcasov´e pozad´ı, funkce F1 (m/mP l ) v t´eto limitˇe nem˚ uˇze vymizet. Fundament´ aln´ı kvantov´a mechanika je pak pops´ana pomoc´ı veliˇcin, kter´e nejsou standardn´ımi prostoroˇcasov´ ymi souˇradnicemi a hybnostmi. Tento popis je ekvivalentn´ı standardn´ı kvantov´e mechanice za pˇr´ıtomnosti vnˇejˇs´ıho prostoroˇcasu. Dnes vˇsak nen´ı jasn´e, jak k tomu m˚ uˇze doj´ıt. Pˇr´ıtomnost hmotnosti m v komutaˇcn´ı relaci [A, B] lze ch´apat jako analogii Riemannovy geometrie, v n´ıˇz je nekomutativita kovariantn´ıch derivac´ı urˇcena Riemannov´ ym tensorem, kter´ y popisuje rozloˇzen´ı hmoty prostˇrednictv´ım vztahu Riemannova tensoru s tensorem hybnosti-energie v Einsteinov´ ych rovnic´ıch. Autor ˇcl´anku [1] se domn´ıv´a, ˇze na fundament´aln´ı u ´rovni nejen kovariantn´ı derivace, ale i souˇradnice nekomutuj´ı, coˇz m˚ uˇze souviset s hmotou. Fyzik´aln´ı stav syst´emu v nerelativistick´e kvantov´e gravitaci je nekomutativn´ı analogi´ı vektorov´eho pole nebo ekvivalentnˇe nekomutativn´ı analogi´ı derivace na 2-sf´eˇre. D´ale v souvislosti s diferenci´ aln´ı strukturou prostoru urˇcen´eho souˇradnicemi A, B existuje koncept kˇrivosti v nekomutativn´ım prostoru. Pˇresn´a definice kˇrivosti v nekomutativn´ı diferenci´aln´ı geometrii je pops´ana napˇr´ıklad v knize [2]. Autor ˇcl´anku [1] tvrd´ı, ˇze tato kˇrivost je d˚ usledkem pˇr´ıtomnosti hmoty ve smyslu obecn´e teorie relativity. V komutativn´ı limitˇe se dynamick´e rovnice vztah˚ u kˇrivosti s hmotnost´ı m redukuj´ı na Einsteinovy rovnice. Podrobn´a podstata dynamiky v nekomutativn´ı diferenci´aln´ı geometrii je dosud studov´ana.
4
Podobnˇe jako prostoroˇcas, tak´e metrika je konceptem, kter´ y plat´ı pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze ve Vesm´ıru pˇrevl´ad´a klasick´a hmota. Zde proveden´e nerelativistick´e u ´vahy nemohou vysvˇetlit lorentzovsk´ y v´ yznam metriky prostoroˇcasu. Autor ˇcl´anku [1] douf´a, ˇze se jeho t´ ymu podaˇr´ı v budoucnosti tyto u ´vahy zobecnit na relativistick´ y pˇr´ıpad. Navrhovan´a struktura nekomutativn´ı diferenci´aln´ı geometrie v sobˇe obsahuje zaj´ımavou moˇznost ˇreˇsen´ı probl´emu kolapsu vlnov´e funkce bˇehem mˇeˇren´ı a ˇreˇsen´ı Einsteinova-Podolsk´eho-Rosenova paradoxu. Bˇehem kvantov´eho mˇeˇren´ı doch´az´ı k n´ahl´emu pˇrechodu hodnoty m1 z oblasti m ¿ mP l do oblasti m1 À mP l (kdy mikroskopick´ y syst´em pˇrich´az´ı do kontaktu s makroskopickou mˇeˇr´ıc´ı aparaturou). Odpov´ıdaj´ıc´ı geometrie se mˇen´ı z delokalizovan´eho bezˇcasov´eho popisu 2-sf´ery v nekomutativn´ı diferenci´aln´ı geometrii na klasickou prostoroˇcasovou trajektorii. Dostateˇcn´e pochopen´ı nekomutativn´ı diferenci´aln´ı geometrie by mohlo objasnit p˚ uvod pravdˇepodobnostn´ıho popisu |φ|2 pˇri kvantov´em mˇeˇren´ı. Zd´anliv´e poruˇsen´ı unitarity Schrodingerovy rovnice bˇehem mˇeˇren´ı m˚ uˇze souviset s t´ım, ˇze nekomutativn´ı diferenci´aln´ı geometrie pˇrech´az´ı z line´arn´ı teorie s m ¿ mP l do neline´arn´ı teorie s m À mP l . Tato pˇredstava tak´e podporuje Penroseovu pˇredstavu, ˇze kolaps vlnov´e funkce zp˚ usobuje gravitace. Autor ˇcl´anku [1] se domn´ıv´a, ˇze k zaj´ımav´ ym v´ ysledk˚ um lze dospˇet tak´e spojen´ım teorie superstrun a M -teorie s nekomutativn´ı diferenci´aln´ı geometri´ı, kdy souˇradnice polohy D-br´any by byly nekomutativn´ı. Einsteinova kritika, ˇze kvantov´a mechanika je ne´ upln´a, zˇrejmˇe souvis´ı s t´ım, ˇze kvantov´a teorie pouˇz´ıv´a ve sv´em pozad´ı ˇcas. Bezˇcasov´a verze t´eto teorie by mohla jej´ı ne´ uplnost odstranit.
5
