KVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple. Roman HAŠEK, Pavel PECH

KVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple Roman HAŠEK, Pavel PECH

Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích 2010

Obsah Předmluva

4

1 Kvadriky jako plochy 2. stupně 1.1 Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Vzájemná poloha přímky, roviny a kvadriky 1.3.1 Vzájemná poloha přímky a kvadriky 1.3.2 Vzájemná poloha roviny a kvadriky 1.4 Asymptotické směry . . . . . . . . . . . . . 1.5 Střed, singulární body kvadriky . . . . . . . 1.5.1 Singulární body . . . . . . . . . . . . 1.6 Singulární kvadriky . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Tečna a tečná rovina . . . . . . . . . . . . . 1.8 Rovina sdružená se směrem . . . . . . . . . 1.8.1 Polární rovina . . . . . . . . . . . . . 1.9 Průměrová rovina . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Hlavní směry . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Transformace soustavy souřadnic v E 3 . . . 1.12 Uvedení rovnice kvadriky na kanonický tvar 1.13 Klasifikace kvadrik . . . . . . . . . . . . . . 2 Popis jednotlivých kvadrik 2.1 Elipsoidy . . . . . . . . . . . . 2.2 Hyperboloidy . . . . . . . . . . 2.2.1 Jednodílný hyperboloid 2.2.2 Dvojdílný hyperboloid . 2.3 Paraboloidy . . . . . . . . . . . 2.3.1 Eliptický paraboloid . . 2.3.2 Hyperbolický paraboloid 2.4 Válcová plocha . . . . . . . . . 2.5 Kuželová plocha . . . . . . . . 3

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9 9 13 13 14 16 17 21 22 26 29 29 32 36 42 44 50

. . . . . . . . .

67 67 71 71 78 82 82 85 92 95

3 Užití Maple při řešení kvadrik 3.1 Základy práce s programem Maple 3.2 3D grafy v Maple . . . . . . . . . . 3.3 Modely vybraných ploch v Maple . 3.4 Řešený příklad . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

101 101 106 111 115

Závěr

123

Výsledky cvičení

125

Literatura

129

Rejstřík

130

Předmluva Cílem publikace, která leží před Vámi, je seznámit Vás se základními vlastnostmi algebraických ploch druhého stupně, kterým se zkráceně říká kvadriky. Knižka navazuje na publikaci ‘’Kuželosečky” od téhož autora.

V Českých Budějovicích

Pavel Pech

5

Úvod Křivky a plochy patří k základním objektům, se kterými se v životě setkáváme. Netřeba zdůrazňovat, jakou úlohu hrají kuželosečky. Královnou mezi nimi je kružnice, která má řadu užitečných vlastností, a kterou lidé v praktickém životě velmi používají. Nejinak tomu je i u ostatních kuželoseček – elipsa, parabola či hyperbola mají, díky svým jedinečným vlastnostem, široké použití v praxi, řídí se jimi zákony nebeské mechaniky apod. Roli obdobnou kružnici hraje v její trojrozměrné analogii plocha kulová. Ostatní kvadratické plochy — elipsoidy, hyperboloidy, paraboloidy, válcová a kuželová plocha — jsou prostorovou analogií kuželoseček. Kvadratické plochy se pro své jedinečné vlastnosti hojně využívají ve stavitelství, architektuře, v průmyslu aj. S dvojdílným rotačním hyperboloidem se setkáváme v systému GPS, který dokáže zjistit přesnou polohu místa na Zemi. Plochy tvaru hyperbolického paraboloidu se využívají k zastřešení objektů, jednodílný rotační hyperboloid se používá u chladicích věží elektráren, rotační paraboloid je základem vysílačů a přijímačů signálů, pro svou vlastnost soustředit paprsky daného směru do jediného bodu apod. Knížka je určena studentům základního kurzu geometrie na vysokých školách, může rovněž sloužit všem zájemcům o geometrii. Nejprve jsou systematicky vyloženy vlastnosti ploch druhého stupně. V další části je provedena jejich klasifikace. Na závěr jsou podrobně popsány vlastnosti jednotlivých ploch. V publikaci jsou použity obrázky vytvořené v programu Maple 13. Informace o tom, jak pracovat s tímto programem, spolu s komentovanými ukázkami zdrojových kódů řešení vybraných příkladů v Maple najde čtenář v závěrečné třetí kapitole. Záměrně je použito rozhraní „Classic Worksheet , které zachovává svou podobu již od verze Maple V. Ukázky by tedy měly být použitelné i v nižších verzích programu, než je verze 13. Zdrojové kódy ve formátu MWS ke všem obrázkům a řešeným příkladům jsou součástí CD, na němž je kniha publikována.

7

Kapitola 1

Kvadriky jako plochy 2. stupně 1.1

Úvod

Jak známo, každá rovina je v nějaké kartézské nebo afinní soustavě souřadnic dána rovnicí ax + by + cz + d = 0, tedy lineární rovnicí, která neobsahuje kvadratické členy x2 , y 2 , z 2 , xy, xz, yz ani žádné členy vyššího stupně. Existují ale plochy v prostoru E 3 , které jsou množinou bodů, jejichž souřadnice splňují rovnici, která obsahuje kvadratické členy a žádné členy stupně vyššího. Takové plochy nazýváme plochy 2. stupně nebo kvadratické plochy nebo stručně kvadriky . Těmito plochami se budeme v této knížce zabývat. Jejich důležitost plyne již například z faktu, že mezi tyto plochy patří nejen “královna” mezi plochami — plocha kulová , ale i válcová a kuželová plocha, jednodílný a dvoudílný hyperboloid, hyperbolický paraboliod a další plochy, které se mimo jiné hojně využívají ve stavební praxi. V celé knížce budeme při vyšetřování kvadrik pracovat v kartézské soustavě souřadnic, pokud nebude řečeno jinak.

1.2

Základní pojmy

Definice: Nechť je dána rovnice ve tvaru a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14 x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0, (1.1) kde koeficienty aij jsou reálná čísla a alespoň jedno z čísel aij , i, j = 1, 2, 3 je různé od nuly. Potom se množina všech bodů eukleidovského prostoru E 3 , jejichž souřadnice v nějaké kartézské soustavě souřadnic vyhovují rovnici (1.1) nazývá plocha 2. stupně, přesněji, plocha 2. stupně určená rovnicí (1.1). Místo plocha 2. stupně užíváme též název kvadratická plocha nebo stručně kvadrika. Body, které této rovnici vyhovují jsou body kvadriky. Stručně budeme hovořit o kvadrice, která je dána rovnicí (1.1), jako o kvadrice 9

10

KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ

(1.1). Přitom budeme předpokládat, že rovnice (1.1) je dána v nějaké kartézské soustavě souřadnic a nebudeme tuto skutečnost vždy zdůrazňovat. Rovnici kvadriky (1.1) lze také zapsat v ⎛ a11 a12 ⎜ a21 a22 x y z 1 ·⎜ ⎝ a31 a32 a41 a42

maticovém tvaru ⎞ ⎛ a13 a14 x ⎜ y a23 a24 ⎟ ⎟·⎜ a33 a34 ⎠ ⎝ z a43 a44 1

⎞ ⎟ ⎟ = 0, ⎠

(1.2)

kde aij = aji pro i, j = 1, 2, 3, 4, jak se lze snadno vynásobením příslušných matic přesvědčit. Označíme-li matici x y z 1 písmenem X a matici ⎛

a11 ⎜ a21 ⎜ ⎝ a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

⎞ a14 a24 ⎟ ⎟ a34 ⎠ a44

(1.3)

písmenem K, lze rovnici kvadriky (1.1) zapsat ve tvaru XKX = 0,

(1.4)

přičemž matice K je symetrická, tj. K = KT , kde KT značí transponovanou matici. Příklady kvadrik: x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 — kulová plocha se středem v počátku a poloměrem 1.

1

0

–1 –1

–1

0

0

1

1

Obrázek 1.1: Kulová plocha

1.2. ZÁKLADNÍ POJMY

11

(2x + 3y − 4z + 1)(3x + 4y + 7z − 3) = 0 — dvě různé roviny . 5

0

–5 5

x

0 –5 –5

0 5

y

Obrázek 1.2: Dvě různé roviny (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 0 — jediný bod o souřadnicích [1, 2, 3]. 4

3

z 2

1

0 x

1

1

y

2 3

2

Obrázek 1.3: Bod x2 + 2y 2 + 5z 2 − 1 = 0 — elipsoid. 0.5

z

0

–0.5 –1

–1

0

0

y

x 11

Obrázek 1.4: Elipsoid

12


x2 + y 2 − 1 = 0 — válcová plocha s poloměrem 1, jejíž osa je rovnoběžná s osou z. Abychom vyjádřili, že se jedná o množinu ve třírozměrném prostoru měli bychom správně psát {[x, y, z]; x2 + y 2 − 1 = 0}. 1

z

0

–1 –1 –1 0 y

0 x 11

Obrázek 1.5: Válcová plocha x2 + y 2 − z 2 = 0 — kuželová plocha s vrcholem v počátku.

5

0

–5 –5 –5 0

0 55

Obrázek 1.6: Kuželová plocha x2 + y 2 + z 2 + 1 = 0 — množina prázdná.

PŘÍKLAD 1.2.1 Odvoďte rovnici kulové plochy se středem v počátku a polo-

měrem r. PŘÍKLAD 1.2.2 Odvoďte rovnici rotační válcové plochy s osou v z a s polo-

měrem r. PŘÍKLAD 1.2.3 Hyperbolický paraboloid - příklad zborcené přímkové plochy

Hyperbolické paraboloidy tvoří zastřešení nástupišť na autobusovém nádraží v Českých Budějovicích (viz Obr. 2.27).

1.3. VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY, ROVINY A KVADRIKY

13

Obrázek 1.7: Hyperbolické paraboloidy jako prvky zastřešení (pořízeno s laskavým svolením správy Mercury centra)

1.3

Vzájemná poloha přímky, roviny a kvadriky

Ze vzájemné polohy přímky a kvadriky nebo roviny a kvadriky lze odvodit řadu důležitých vlastností ploch druhého stupně. Nejprve se budeme zabývat vzájemnou polohou přímky a kvadriky.

1.3.1

Vzájemná poloha přímky a kvadriky

Je dána kvadrika a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14 x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0 (1.5) a přímka s o rovnici X = M + tu, kde bod M má souřadnice M = [m, n, p] a pro směrový vektor u platí u = (u, v, w). Přímka s má parametrické rovnice x = m + tu y = n + tv z = p + tw.

(1.6)

Při vyšetřování vzájemné polohy přímky a kvadriky, můžeme postupovat podobně jako u kuželoseček. Abychom zjistili společné body přímky s a kvadriky (1.5), dosadíme x, y, a z ze soustavy (1.6) do rovnice (1.5). Pro parametr t společných bodů kvadriky a přímky dostaneme rovnici ve tvaru At2 + 2Bt + C = 0,

(1.7)


14 kde

A = a11 u2 + a22 v 2 + a33 w2 + 2a12 uv + 2a13 uw + 2a23 vw, B = u(a11 m + a12 n + a13 p + a14 ) + v(a21 m + a22 n + a23 p + a24 ) + w(a31 m +a32 n + a33 p + a34 ), 2

2

(1.8) 2

C = a11 m + a22 n + a33 p + 2a12 mn + 2a13 mp + 2a23 np + 2a14 m +2a24 n + 2a34 p + a44 . Poznámka: Všimněte si, že 1) koeficient A závisí pouze na souřadnicích vektoru u, 2) koeficent C vznikne dosazením souřadnic bodu M do levé strany rovnice kvadriky (1.5). Pro průsečík kvadriky a přímky mohou nastat tyto případy: a) A = 0, B = 0, C libovolné — rovnice (1.7) je lineární s jedním kořenem t = −C/(2B). Přímka má s kvadrikou společný jediný bod. b) A = 0, B = 0, C = 0 — rovnice (1.7) nemá žádný kořen. Přímka nemá s kvadrikou společný žádný bod. c) A = 0, B = 0, C = 0 — rovnice (1.7) je splněna pro každé t. Každý bod přímky je bodem kvadriky, přímka leží celá na kvadrice. d) A = 0, B 2 − AC > 0 — rovnice (1.7) má dva různé reálné kořeny. Přímka má s kvadrikou společné dva různé body — sečna kvadriky. e) A = 0, B 2 − AC = 0 — rovnice (1.7) má jeden dvojnásobný kořen. Přímka má s kvadrikou společný jeden (dvojnásobný) bod — tečna kvadriky. f) A = 0, B 2 − AC < 0 — rovnice (1.7) nemá reálné kořeny. Přímka kvadriku neprotíná — nesečna.

1.3.2

Vzájemná poloha roviny a kvadriky

Při vyšetřování vzájemné polohy kvadriky (1.5) a roviny je výhodné zvolit kartézskou soustavu souřadnic tak, aby rovina řezu měla rovnici z = 0. Předpokládejme, že kvadrika má rovnici (1.5). Potom průnikem kvadriky a roviny je křivka o rovnici a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a14 x + 2a24 y + a44 = 0

(1.9)

jak zjistíme dosazením z = 0 do rovnice kvadriky (1.5). Pokud je alespoň jeden z koeficientů a11 , a12 , a22 různý od nuly, potom je rovnice (1.9) rovnicí kuželosečky. Tedy průnikem roviny a kvadriky je v tomto případě kuželosečka — elipsa, parabola, hyperbola, dvě různoběžky, dvě rovnoběžky, dvojnásobná

1.3. VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY, ROVINY A KVADRIKY

15

přímka, bod či prázdná množina. Pokud a11 = a12 = a22 = 0 a alespoň jedno z čísel a14 , a24 je různé od nuly, potom je průnikem křivka o rovnici 2a14 x + 2a24 y + a44 = 0, tedy přímka (viz Obr. 1.8).

5

z

0

–5 0

–5 5

5

0

y

–5

x

Obrázek 1.8: Průnikem kvadriky s rovinou z = 0 je přímka Je-li a11 = a12 = a22 = a14 = a24 = a44 = 0, potom dostáváme rovnici z(2a13 x + 2a23 y + a33 z + 2a34 ) = 0, jejímž řešením je rovina z = 0, tedy rovina řezu, a rovina 2a13 x + 2a23 y + a33 z + 2a34 = 0. V tomto případě je průnikem roviny a kvadriky celá rovina (a kvadrika se skládá ze dvou rovin).

4 2 0 –2 –4

–5 0

5 0 x

–5

5

y

Obrázek 1.9: Průnikem kvadriky s rovinou z = 0 je rovina


16

Konečně, jestliže a11 = a12 = a22 = a14 = a24 = 0 a a44 = 0, je průnikem kvadriky a roviny množina prázdná.

10

z

0

–10 20 –20 0

0

y

x 20

Obrázek 1.10: Průnikem kvadriky s rovinou z = 0 je prázdná množina

1.4

Asymptotické směry

V této části budeme hovořit o asymptotických směrech kvadriky a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14 x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0 (1.10) Nejprve podáme definici směru. Definice: Směrem daným nenulovým vektorem u rozumíme jednorozměrný vektorový prostor {ku; k ∈ R}. Definice: Směr daný nenulovým vektorem u = (u, v, w), se nazývá asymptotickým směrem kvadriky (1.10), jestliže platí a11 u2 + a22 v 2 + a33 w2 + 2a12 uv + 2a13 uw + 2a23 vw = 0.

(1.11)

Poznámka: Rovnice (1.11) z definice asymptotického směru je podmínka A = 0, kde A je koeficient v rovnici (1.7) pro výpočet průsečíků přímky a kvadriky. Tedy v případě, že přímka má asymptotický směr, rovnice (1.7) není kvadratická. Příklad: Určete asymptotické směry válcové plochy o rovnici x2 + y 2 − 1 = 0.

(1.12)

Podle (1.11) pro asymptotické směry válcové plochy (1.12) platí rovnice u2 + v 2 = 0.

(1.13)

1.5. STŘED, SINGULÁRNÍ BODY KVADRIKY

17

Tato rovnice má jediné reálné řešení u = 0, v = 0. Rovnici (1.13) vyhovuje jediný směr daný např. vektorem u = (0, 0, 1). Je zřejmé, že se jedná o směr povrchových přímek válcové plochy (1.12).

3

2 z

1

0 –1 –1 0 y

0 1

1

x

Obrázek 1.11: Asymptotický směr válcové plochy

1.5

Střed, singulární body kvadriky

Při vyšetřování vzájemné polohy přímky s a kvadriky (1.10) jsme řešili rovnici At2 + 2Bt + C = 0,

(1.14)

jejíž koeficient B má tvar B = u(a11 m + a12 n + a13 p + a14 ) + v(a21 m + a22 n + a23 p + a24 ) +w(a31 m + a32 n + a33 p + a34 ). Zvolme bod M = [m, n, p] přímky s : X = M rovnice a11 m + a12 n + a13 p + a14 a21 m + a22 n + a23 p + a24 a31 m + a32 n + a33 p + a34

(1.15) + tu tak, aby byly splněny = 0 = 0 = 0.

(1.16)

Potom bez ohledu na souřadnice směrového vektoru u přímky s je podle (1.15) B = 0 a rovnice (1.14) má tvar At2 + C = 0.

(1.17)

Jestliže je kořenem této rovnice nějaké reálné číslo t0 , potom je kořenem (1.17) i číslo −t0 . Tedy na kvadrice leží při libovolné volbě vektoru společně s bodem X1 = M + t0 u také bod X2 = M − t0 u. Bod M je středem úsečky neboť 1 1 M = X1 + X2 . 2 2

18


Bod M je středem souměrnosti kvadriky. Zavedeme pojem středu kvadriky. Definice: Bod M nazveme střed kvadriky (1.10) jestliže pro libovolný bod X1 kvadriky existuje bod X2 kvadriky tak, že bod M je středem úsečky X1 X2 . O souřadnicích středu kvadriky platí následující věta: Věta: Bod M = [m, n, p] je středem kvadriky (1.10) právě když platí soustava (1.16). Důkaz: Je-li splněna soustava (1.16) potom M je středem kvadriky — toto jsme ukázali. Nyní předpokládejme, že bod M = [m, n, p] je středem kvadriky (1.10). Ukážeme, že potom platí (1.16). Nechť X1 = [x1 , y1 , z1 ] je libovolný bod kvadriky. Podle definice středu existuje bod X2 = [x2 , y2 , z2 ] kvadriky tak, že M = (X1 + X2 )/2, tj. platí m=

y1 + y2 z1 + z2 x1 + x2 , n= , m= . 2 2 2

(1.18)

Body X1 a X2 leží na přímce s o rovnici x = m + tu y = n + tv z = p + tw,

(1.19)

proto platí x1 = m + t1 u y 1 = n + t1 v z1 = p + t1 w

x2 = m + t 2 u y 2 = n + t2 v z2 = p + t2 w.

(1.20)

Dosazením rovnic (1.20) do (1.18) dostaneme podmínky u

t1 + t2 = 0, 2

v

t1 + t2 = 0, 2

w

t1 + t2 = 0. 2

Jelikož u, v a w nemohou být současně rovny nule, plyne odtud t1 + t2 = 0.

(1.21)

Protože t1 a t2 jsou kořeny rovnice (1.14), ze vztahu (1.21) plyne B = 0 a odtud, protože směr daný čísly u, v, w je libovolný, podmínky (1.16). Definice: Kvadrika, která má jediný střed, se nazývá středová kvadrika. Kvadrika má jediný střed právě když nastane právě když je determinant

a11

A44 =

a21

a31 různý od nuly. Odtud plyne

má soustava (1.16) jediné řešení. To a12 a13 a22 a23 a32 a33

(1.22)


19

Věta: Kvadrika je středová právě když A44 = 0. Příklad: Napište rovnici kvadriky, která prochází bodem A = [2, 0, −1], má střed S = [0, 0, −1] a protíná rovinu z = 0 v kuželosečce x2 − 4xy − 1 = 0.

(1.23)

2

0

–2

–2 –2

0 y

0 2

2 x

Obrázek 1.12: Zadání příkladu: Plocha je dána bodem, středem a průnikem s rovinou z = 0. Řešení: Kvadrika má rovnici a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14 x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0. (1.24) Označme ⎞ ⎛ a11 a12 a13 a14 ⎜ a21 a22 a23 a24 ⎟ ⎟ (1.25) K=⎜ ⎝ a31 a32 a33 a34 ⎠ a41 a42 a43 a44 matici hledané kvadriky. Budeme postupně hledat koeficienty aij , které se vyskytují v matici (1.25). Souřadnice středu S = [0, 0, −1] musí podle (1.16) splňovat soustavu a11 · 0 + a12 · 0 + a13 · (−1) + a14 = 0 a21 · 0 + a22 · 0 + a23 · (−1) + a24 = 0 a31 · 0 + a32 · 0 + a33 · (−1) + a34 = 0 .

(1.26)

a13 = a14 , a23 = a24 , a33 = a34 .

(1.27)

Odtud plyne Průnikem kvadriky (1.24) s rovinou z = 0 je křivka o rovnici a11 x2 + a22 y 2 + 2a12 xy + 2a14 x + 2a24 y + a44 = 0.

(1.28)

20


Porovnání rovnice (1.28) s rovnicí (1.23) dává a11 = 1, a22 = 0, a12 = −2, a14 = 0, a24 = 0, a44 = −1.

(1.29)

Dosazením hodnot (1.29) a podmínek (1.27) do (1.25) dostaneme matici hledané kvadriky ⎞ 1 −2 0 0 ⎜ −2 0 0 0 ⎟ ⎟ , K=⎜ ⎝ 0 0 a33 a33 ⎠ 0 0 a33 −1

(1.30)

x2 − 4xy + a33 z 2 + 2a33 z − 1 = 0.

(1.31)

⎛

tj. kvadrika má tvar

Zbývá určit hodnotu a33 , kterou zjistíme dosazením souřadnic bodu A = [2, 0, −1] kvadriky do rovnice (1.31). Dostaneme a33 = 3. Hledaná kvadrika má rovnici x2 − 4xy + 3z 2 + 6z − 1 = 0.

2

z

0

–2

–2 0 y

–2 2

0 2

x

Obrázek 1.13: Řešení příkladu: Plocha daná bodem, středem a průnikem s rovinou z = 0 (Pohled 1).


21

2

z

0

–2

2

–2 0 x

0 2

–2

y

Obrázek 1.14: Řešení příkladu: Plocha daná bodem, středem a průnikem s rovinou z = 0 (Pohled 2)

1.5.1

Singulární body

Je dána kvadrika a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14 x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0. (1.32) Definice: Bod M = [m, n, p] je singulárním bodem kvadriky (1.32) jestliže jeho souřadnice vyhovují soustavě rovnic a11 m + a12 n + a13 p + a14 a21 m + a22 n + a23 p + a24 a31 m + a32 n + a33 p + a34 a41 m + a42 n + a43 p + a44

= = = =

0 0 0 0.

(1.33)

Z definice plyne, že singulární bod kvadriky je zároveň středem kvadriky, protože první tři rovnice z (1.33) jsou rovnice (1.16). Čtvrtá rovnice z (1.33) pak znamená, že bod M je bodem kvadriky, neboť a11 m2 + a22 n2 + a33 p2 + 2a12 mn + 2a13 mp + 2a23 np + 2a14 m + 2a24 n + 2a34 p + a44 = m(a11 m + a12 n + a13 p + a14 ) + n(a21 m + a22 n + a23 p + a24 ) + p(a31 m + a32 n + a33 p + a34 ) + a41 m + a42 n + a43 p + a44 = 0. Můžeme tedy vyslovit větu: Věta: Bod M je singulárním bodem kvadriky právě když je jejím středem a zároveň na kvadrice leží. Vedeme-li singulárním bodem M přímku s : X = M + tu, potom pro průsečíky přímky s a kvadriky (1.32) platí rovnice (1.7), která se v tomto případě redukuje na tvar (1.34) At2 = 0,


22

neboť B = C = 0. Z rovnice (1.34) plyne, že přímka, procházející singulárním bodem kvadriky má s kvadrikou společný pouze tento singulární bod (je-li A = 0) nebo celá přímka na kvadrice leží (A = 0). Tedy platí věta: Věta: Každá přímka procházející singulárním bodem kvadriky, leží buď celá na kvadrice (v případě, že její směr je asymptotický) nebo má s kvadrikou společný pouze tento singulární bod (v případě, že její směr není asymptotický). Poznámka: Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kuželové plochy.

5

0

–5 5 0

5 0 –5

–5

Obrázek 1.15: Vrchol kuželové plochy jako příklad singulárního bodu

1.6

Singulární kvadriky

Označme písmenem Δ determinant ⎛

a11 ⎜ a21 Δ = det ⎜ ⎝ a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

⎞ a14 a24 ⎟ ⎟ a34 ⎠ a44

(1.35)

matice K kvadriky (1.32). Podle toho, zda Δ = 0 nebo Δ = 0 rozdělíme všechny kvadriky do dvou disjunktních skupin. Definice: Kvadrika se nazývá singulární jestliže Δ = 0. Jestliže Δ = 0 potom se kvadrika nazývá regulární. Platí následující věta, která nám dává vztah mezi singulární kvadrikou a singulárními body. Věta: Obsahuje-li kvadrika singulární bod, pak je to kvadrika singulární. Důkaz: Nechť bod M = [m, n, p] je singulárním bodem kvadriky (1.32). To

1.6. SINGULÁRNÍ KVADRIKY

23

znamená, že jsou splněny rovnice (1.33). Soustavu (1.33) přepíšeme do tvaru a11 m + a12 n + a13 p a21 m + a22 n + a23 p a31 m + a32 n + a33 p a41 m + a42 n + a43 p

= = = =

−a14 −a24 −a34 −a44 .

(1.36)

Podle Frobeniovy věty má soustava rovnic (1.36) alespoň jedno řešení právě tehdy, když hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy, tedy ⎛

a11 ⎜ a21 h⎜ ⎝ a31 a41

a12 a22 a32 a42

⎞ ⎛ a13 ⎜ a23 ⎟ ⎟ = h⎜ ⎝ a33 ⎠ a43

a11 a21 a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

⎞ −a14 −a24 ⎟ ⎟. −a34 ⎠ −a44

(1.37)

Matice soustavy je typu (4, 3), tedy její hodnost matice je menší nebo rovna třem, proto hodnost rozšířené matice soustavy je také menší nebo rovna třem. Odtud plyne, že Δ = 0. Poznámka: Obrácená věta neplatí. Válcová plocha je singulární kvadrikou, ale singulární bod neobsahuje. Definice: Bod kvadriky, který není singulární se nazývá regulární. V následujícím textu ukážeme příklady některých singulárních kvadrik. Protože v těchto případech vždy Δ = 0, je hodnost matice kvadriky ⎛

a11 ⎜ a21 K=⎜ ⎝ a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

⎞ a14 a24 ⎟ ⎟ a34 ⎠ a44

(1.38)

buď 3 nebo 2 nebo 1. Nechť h(K) = 3. Nejprve předpokládejme, že první tři řádky matice (1.38) jsou lineárně nezávislé. Dále předpokládejme, že kvadrika má jediný střed M = [m, n, p], tj. platí rovnice (1.16). Protože čtvrtý řádek matice K je lineární kombinací ostatních řádků, plyne odtud platnost rovnic (1.33), a bod M je tedy jediným singulárním bodem kvadriky. Plocha, která má tuto vlastnost se nazývá kuželová plocha.


24

4 2 0

z

10

–2 –4 0

–10

y

0 x

10 –10

Obrázek 1.16: Kuželová plocha Najdeme její rovnici. Zvolme kartézskou soustavu souřadnic tak, aby pro singulární bod M platilo M = [0, 0, 0]. Protože M = [0, 0, 0] je řešením soustavy (1.33), plyne odtud a14 = a24 = a34 = a44 = 0 a rovnice kuželové plochy má tvar

a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz = 0.

(1.39)

Jiným příkladem singulární kvadriky, pro jejíž matici platí h(K) = 3, je válcová plocha daná rovnicí

ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0,

(1.40)

jejíž tvořící přímky procházejí regulární kuželosečkou (1.40) a jsou kolmé na souřadnicovou rovinu xy. Skutečně, matice kvadriky (1.40) ⎛

a ⎜ b ⎜ ⎝ 0 d

má hodnost 3.

b c 0 e

0 0 0 0

⎞ d e ⎟ ⎟, 0 ⎠ f

(1.41)

1.6. SINGULÁRNÍ KVADRIKY

25

5

z

0

5

–5 0 –5 0 x

y

–5 5

Obrázek 1.17: Válcová plocha Nechť h(K) = 2. Příkladem singulární kvadriky, jejíž matice má hodnost 2, je dvojice různoběžných rovin α a β α : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0

β : a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0.

(1.42)

5

z

0

–5

–5 –5

0 0 y

5

5

x

Obrázek 1.18: Dvě různoběžné roviny Rovnice příslušné kvadriky je (a1 x + b1 y + c1 z + d1 )(a2 x + b2 y + c2 z + d2 ) = 0. Matice kvadriky (1.43) má (po vynásobení dvěma) tvar ⎛ a1 b2 + a2 b1 a1 c2 + a2 c1 a1 d2 + a2 d1 2a1 a2 ⎜ b1 a2 + b2 a1 2b1 b2 b1 c2 + b2 c1 b1 d2 + b2 d1 ⎜ ⎝ c1 a2 + c2 a1 c1 b2 + c2 b1 2c1 c2 c1 d2 + c2 d1 d1 a2 + d2 a1 d1 b2 + d2 b1 d1 c2 + d2 c1 2d1 d2

(1.43)

⎞ ⎟ ⎟. ⎠

(1.44)

Hodnost matice lze vypočítat buď přímo, což je zdlouhavé nebo následujícím postupem. Označíme-li u1 = (a1 , b1 , c1 , d1 ) a u2 = (a2 , b2 , c2 , d2 ), potom

26


můžeme matici (1.44) napsat ve tvaru ⎞ ⎛ a2 u1 + a1 u2 ⎜ b2 u1 + b1 u2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ c2 u1 + c1 u2 ⎠ . d2 u1 + d1 u2

(1.45)

Protože roviny α a β jsou různoběžné, jsou vektory u1 , u2 lineárně nezávislé a hodnost matice (1.45) je rovna dvěma. Nechť h(K) = 1. Příkladem kvadriky, jejíž matice má hodnost 1 je dvojnásobná rovina. Rovnice příslušné kvadriky je (ax + by + cz + d)2 = 0. a její matice má tvar

⎛

a2 ⎜ ba ⎜ ⎝ ca da

ab b2 cb db

ac bc c2 dc

(1.46)

⎞ ad bd ⎟ ⎟. cd ⎠ d2

(1.47)

Označíme-li u = (a, b, c, d), potom (1.47) lze psát ve tvaru (au, bu, cu, du) . Je zřejmé, že hodnost matice (1.47) je rovna jedné.

2

0

–2

5 0

–5 0

x

–5 y

Obrázek 1.19: Dvojnásobná rovina Existují i další příklady singulárních kvadrik, které zde nebudeme uvádět. Výčet všech singulárních kvadrik uvedeme při jejich klasifikaci.

1.7

Tečna a tečná rovina

V této kapitole se budeme zabývat tečnou a tečnou rovinou v regulárním bodě kvadriky. Uvědomme si, že regulární bod je takový bod, který není singulárním bodem. Na regulární kvadrice jsou všechny body regulární, protože pokud by

1.7. TEČNA A TEČNÁ ROVINA

27

kvadrika obsahovala singulární bod, byla by kvadrikou singulární. Regulární body mohou ležet i na singulární kvadrice. Např. na kuželové ploše je jediným singulárním bodem vrchol kuželové plochy. Všechny ostatní body jsou regulární. Je dána kvadrika a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14 x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0 (1.48) a nechť M = [m, n, p] je regulární bod kvadriky. Budeme zkoumat tečnu kvadriky s dotykovým bodem v bodě M. Předpokládejme, že tečna t má tvar t : X = M + tu,

(1.49)

kde X = [x, y, z] a směr daný nenulovým vektorem u = (u, v, w) není asymptotický. Nejprve podáme definici tečny. Definice: Tečna kvadriky je přímka, která má v bodě dotyku s kvadrikou dvojnásobný průsečík. V rovnici At2 + 2Bt + C = 0

(1.50)

je C = 0, neboť bod M leží na kvadrice (1.48). Rovnice (1.50) má nyní tvar At2 + 2Bt = 0 .

(1.51)

Bod M bude dvojnásobným průsečíkem právě když 0 bude dvojnásobným kořenem rovnice (1.51). To nastane právě když v (1.51) B=0,

(1.52)

tj. platí-li podle (1.8) u(a11 m + a12 n + a13 p + a14 ) + v(a21 m + a22 n + a23 p + a24 ) + w(a31 m+ a32 n + a33 p + a34 ) = 0. (1.53) Množina řešení rovnice (1.53) je vektorový prostor ortogonální na vektor (a11 m + a12 n + a13 p + a14 , a21 m + a22 n + a23 p + a24 , a31 m + a32 n + a33 p + a34 ) . Jeho dimenze je tedy 2. Je nutné si uvědomit, že alespoň jeden z koeficientů ai1 m + ai2 n + ai3 p + ai4 pro i = 1, 2, 3, je různý od nuly. V opačném případě by totiž byl podle (1.33) bod M bodem singulárním. Odtud tvrzení: Věta: Přímka (1.49) je tečnou kvadriky (1.48) v regulárním bodě M právě → když vektor − u splňuje (1.53).

28


Z předchozí úvahy plyne, že všechny tečny kvadriky v bodě M leží v rovině τ τ : (a11 m + a12 n + a13 p + a14 )x + (a21 m + a22 n + a23 p + a24 )y + (a31 m+ a32 n + a33 p + a34 )z + a41 m + a42 n + a43 p + a44 = 0 . (1.54) Definice: Rovina τ o rovnici (1.54) se nazývá tečná rovina kvadriky (1.48) v bodě M. Bod M se nazývá bod dotyku. Je výhodné napsat rovnici tečné roviny ⎛ a11 a12 ⎜ a21 a22 τ = m n p 1 ·⎜ ⎝ a31 a32 a41 a42

τ (1.54) v maticovém tvaru ⎞ ⎛ ⎞ a13 a14 x ⎜ y ⎟ a23 a24 ⎟ ⎟·⎜ ⎟=0 , a33 a34 ⎠ ⎝ z ⎠ a43 a44 1

(1.55)

jak se můžeme snadno přesvědčit. Maticový tvar rovnice tečné roviny se totiž velmi podobá maticovému tvaru (1.2) rovnice kvadriky. Poznámka: Tečnou rovinu kvadriky v (regulárním) bodě M můžeme též definovat jako rovinu, v níž leží všechny tečny kvadriky v bodě M. Tečná rovina tak může obsahovat kromě bodu dotyku M ještě další body. Např. tečná rovina válcové plochy se této plochy dotýká podél celé povrchové přímky. Definice: Kolmici k tečné rovině procházející bodem M nazýváme normála kvadriky v bodě M. Příklad: Určete, při které hodnotě k se rovina x − 2y − 2z + k = 0 dotýká kvadriky x2 + 4y 2 + 16z 2 − 144 = 0. Řešení: Tečná rovina kvadriky má podle (1.55) rovnici ⎛ 1 ⎜ 0 m n p 1 ·⎜ ⎝ 0 0

(1.56)

(1.56) s bodem dotyku v bodě M = [m, n, p] ⎞ ⎛ 0 0 0 x ⎟ ⎜ 4 0 0 ⎟ ⎜ y · 0 16 0 ⎠ ⎝ z 0 0 −144 1

⎞ ⎟ ⎟=0, ⎠

(1.57)

tj. mx + 4ny + 16pz − 144 = 0.

(1.58)

Porovnáním rovnice x − 2y − 2z + k = 0 s rovnicí mx + 4ny + 16pz − 144 = 0 dostaneme podmínky 4n = −2m, 16p = −2m, −144 = mk.

(1.59)

K podmínkám (1.59) je nutné ještě přidat rovnici m2 + 4n2 + 16p2 − 144 = 0,

(1.60)

1.8. ROVINA SDRUŽENÁ SE SMĚREM

29

protože bod dotyku M = [m, n, p] náleží kvadrice (1.56). Hodnotu k dostaneme řešením soustavy čtyř rovnic (1.59), (1.60) o čtyřech m neznámých m, n, p, k. Dosazením za n = − m 2 , p = − 8 do (1.60) dostaneme m = ±8 a odtud k = ±18. Tečné roviny jsou dvě: hodnotě k = 18 odpovídá bod dotyku M1 = [8, −4, −1] a hodnotě k = −18 odpovídá bod dotyku M2 = [−8, 4, 1].

10

z

0

–10

–10 0

–10 0 y

10

x

10

Obrázek 1.20: Řešení příkladu: Tečné roviny kvadriky

1.8

Rovina sdružená se směrem

V předchozí kapitole jsme zkoumali tečnu a tečnou rovinu v daném regulárním bodě kvadriky. Nyní úlohu zobecníme tak, že budeme hledat rovnici tečny ke kvadrice z daného bodu R, který obecně na kvadrice neleží.

1.8.1

Polární rovina

Předpokládejme, že je dána kvadrika a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14 x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0 (1.61) a libovolný bod R = [r, s, u], který není středem kvadriky. Z bodu R vedeme ke kvadrice (1.61) tečnu p : X = R + t(T − R), kde T = [m, n, p] je bod dotyku. Potom směrový vektor T − R = (m − r, n − s, p − u) musí podle (1.53)

30


splňovat rovnici (m − r)(a11 m + a12 n + a13 p + a14 ) + (n − s)(a21 m + a22 n + a23 p + a24 )+ (p − u)(a31 m + a32 n + a33 p + a34 ) = 0. (1.62) Rozepsáním vztahu (1.62) s využitím faktu, že bod T leží na kvadrice, dostaneme (a11 r + a12 s + a13 u + a14 )m + (a21 r + a22 s + a23 u + a24 )n + (a31 r + a32 s+ a33 u + a34 )p + a41 r + a42 s + a43 u + a44 = 0. (1.63) Z rovnice (1.63) je zřejmé, že body dotyku všech tečen z bodu R ke kvadrice (1.61) leží v rovině π π : (a11 r + a12 s + a13 u + a14 )x + (a21 r + a22 s + a23 u + a24 )y + (a31 r + a32 s+ a33 u + a34 )z + a41 r + a42 s + a43 u + a44 = 0. (1.64) Definice: Rovina (1.64) se nazývá polární rovina bodu R = [r, s, u] vzhledem ke kvadrice (1.61). Bod R nazýváme pól polární roviny. Maticové vyjádření polární roviny π ⎛ a11 a12 ⎜ a21 a22 r s u 1 ·⎜ ⎝ a31 a32 a41 a42

je následující ⎞ ⎛ a13 a14 ⎜ a23 a24 ⎟ ⎟·⎜ ⎠ ⎝ a33 a34 a43 a44

⎞ x y ⎟ ⎟=0. z ⎠ 1

(1.65)

Poznámka: 1) Dotykové body tečen, vedených z bodu R ke kvadrice leží na kuželosečce. Z předchozí úvahy totiž víme, že dotykové body tečen leží v polární rovině, a ta protíná kvadriku v kuželosečce. 2) Zvolíme-li bod R na kvadrice, potom je polární rovina tečnou rovinou v daném bodě dotyku R, který je jejím pólem. Polární rovina je tedy zobecněním pojmu tečná rovina. 3) Pokud je bod R středem kvadriky (1.61), potom jsou všechny koeficienty u proměnných x, y, z v rovnici (1.64) rovny nule a polární rovina není definována. Na závěr této kapitoly zmiňme následující vlastnost pólu a jeho polární roviny vzhledem ke kvadrice. Věta: Polární rovina bodu R prochází bodem R právě když polární rovina bodu R obsahuje bod R. Důkaz: Prochází-li polární rovina (a11 r + a12 s + a13 u + a14 )x + (a21 r + a22 s + a23 u + a24 )y + (a31 r + a32 s+ a33 u + a34 )z + a41 r + a42 s + a43 u + a44 = 0. (1.66)

1.8. ROVINA SDRUŽENÁ SE SMĚREM

31

bodu R = [r, s, u] bodem R = [r , s , u ], potom (a11 r + a12 s + a13 u + a14 )r + (a21 r + a22 s + a23 u + a24 )s + (a31 r + a32 s+ a33 u + a34 )u + a41 r + a42 s + a43 u + a44 = 0. (1.67) Vztah (1.67) můžeme přepsat do tvaru (a11 r + a12 s + a13 u + a14 )r + (a21 r + a22 s + a23 u + a24 )s + (a31 r + a32 s + a33 u + a34 )u + a41 r + a42 s + a43 u + a44 = 0, (1.68) ze kterého plyne, že polární rovina bodu R obsahuje bod R. Důkaz opačné implikace je obdobný. Příklad: Polární rovina bodu R = [15, −4, 5] vzhledem ke kvadrice x2 + 4y 2 + 16z 2 − 144 = 0.

Obrázek 1.21: Polární rovina bodu R vzhledem k dané kvadrice (Pohled 1) 10

z

0

–10 10 x

0 –10

–10 0 10 y

Obrázek 1.22: Polární rovina bodu R vzhledem k dané kvadrice (Pohled 2)

32

1.9


Průměrová rovina

Předchozí úvahy dále zobecníme. Budeme vyšetřovat tečny kvadriky, které jsou rovnoběžné s daným směrem. Je dána kvadrika

a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14 x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0 (1.69) a nechť je dán neasymptotický směr vektorem u = (u, v, w). Označme

p : X = M + tu

(1.70)

tečnu ve směru u, kde M = [m, n, p] je bod dotyku tečny a kvadriky. Vektor u splňuje podle (1.53) rovnici

u(a11 m + a12 n + a13 p + a14 ) + v(a21 m + a22 n + a23 p + a24 ) + w(a31 m+ a32 n + a33 p + a34 ) = 0, (1.71) kterou lze přepsat na tvar

(a11 u + a12 v + a13 w)m + (a21 u + a22 v + a23 w)n + (a31 u + a32 v + a33 w)p+ +a41 u + a42 v + a43 w = 0. (1.72) Ze vztahu (1.72) plyne, obdobně jako v předchozí kapitole, že dotykové body M = [m, n, p] tečen, které jsou rovnoběžné s neasymptotickým směrem u = (u, v, w), leží v rovině

(a11 u + a12 v + a13 w)x + (a21 u + a22 v + a23 w)y + (a31 u + a32 v + a33 w)z+ a41 u + a42 v + a43 w = 0. (1.73) Odtud následující definice Definice: Nechť u = (u, v, w) je vektor neasymptotického směru. Potom se rovina (1.73) nazývá průměrová rovina sdružená se směrem u vzhledem ke kvadrice (1.69).

1.9. PRŮMĚROVÁ ROVINA

33

10

z 0 20 –10 10

0 0

x

y

–20

Obrázek 1.23: Průměrová rovina sdružená s daným směrem (Pohled 1)

10

z 0

–10 10

20 0 y

0 –20

x

Obrázek 1.24: Průměrová rovina sdružená s daným směrem (Pohled 2) Poznámka: 1) Alespoň jeden z koeficientů a11 u + a12 v + a13 w, a21 u + a22 v + a23 w, a31 u + a32 v + a33 w u proměnných x, y, z v rovnici (1.73) je různý od nuly. V opačném případě by totiž platilo

a11 u2 + a22 v 2 + a33 w2 + 2a12 uv + 2a13 uw + 2a23 vw = u(a11 u + a12 v + a13 w) +v(a21 u + a22 v + a23 w) + w(a31 u + a32 v + a33 w) = 0 (1.74) a směr určený vektorem u by byl asymptotický. Průměrová rovina je tedy pro neasymptotický směr vždy definována. 2) Rovnicí (1.73) můžeme definovat i průměrovou rovinu sdruženou s asymptotickým směrem s výjimkou případu, kdy všechny tři koeficienty u proměnných x, y, z v (1.73) jsou rovny nule. Průměrovou rovinu sdruženou s daným směrem u lze vyjádřit také v matico-


34 vém tvaru

⎛

a11 ⎜ a21 u v w 0 ·⎜ ⎝ a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

⎞ ⎛ a14 x ⎜ y a24 ⎟ ⎟·⎜ a34 ⎠ ⎝ z a44 1

⎞ ⎟ ⎟=0. ⎠

(1.75)

Průměrová rovina má následující vlastnost: Věta: Průměrová rovina sdružená se směrem u obsahuje středy tětiv kvadriky, které jsou rovnoběžné se směrem u.

5

z 0 10

0 –5 6

4

2

–10

x

0

y

Obrázek 1.25: Tětiva rovnoběžná se směrem u Důkaz: Nechť přímka s ve směru u protíná kvadriku (1.69) v bodech M1 a M2 . Potom pro střed M = [m, n, p] tětivy M1 , M2 platí M = 1/2M1 + 1/2M2 . Píšeme-li s : X = M + tu, potom je, podle předchozích úvah, v rovnici At2 + 2Bt + C = 0

(1.76)

koeficient B roven nule, tj.: u(a11 m + a12 n + a13 p + a14 ) + v(a21 m + a22 n + a23 p + a24 ) + w(a31 m+ a32 n + a33 p + a34 ) = 0. (1.77) Z (1.77) dostaneme rovnici (a11 u + a12 v + a13 w)m + (a21 u + a22 v + a23 w)n + (a31 u + a32 v + a33 w)p+ a41 u + a42 v + a43 w = 0, (1.78) ze které plyne, že střed tětivy M = [m, n, p] leží v průměrové rovině (1.73).

1.9. PRŮMĚROVÁ ROVINA

35

Poznámka: 1) Vlastnost průměrové roviny z předchozí věty se často užívá k její definici. Průměrová rovina je definována jako rovina, ve které leží středy tětiv daného směru. 2) V projektivním rozšíření prostoru E 3 se zavádějí dva druhy bodů – body vlastní a body nevlastní. Každý bod má místo tří souřadnic, souřadnice čtyři. Souřadnice vlastního bodu mají tvar [x, y, z, 1], kde [x, y, z] jsou kartézské (afinní) souřadnice daného bodu a čtvrtá souřadnice 1 značí, že se jedná o vlastní bod. Naproti tomu bod o souřadnicích [x, y, z, 0] je nevlastní bod, určený směrem vektoru (x, y, z). Průměrovou rovinu sdruženou se směrem u můžeme tedy podle vyjádření (1.75) chápat jako polární rovinu nevlastního bodu (u, v, w, 0) vzhledem ke kvadrice (1.69). Věta: Každá průměrová rovina obsahuje všechny středy kvadriky. Důkaz: Souřadnice středu M = [m, n, p] kvadriky vyhovují rovnicím

a11 m + a12 n + a13 p + a14 = 0 a21 m + a22 n + a23 p + a24 = 0 a31 m + a32 n + a33 p + a34 = 0.

(1.79)

Ze soustavy rovnic (1.79) plyne

(a11 u + a12 v + a13 w)m + (a21 u + a22 v + a23 w)n + (a31 u + a32 v + a33 w)p+ a41 u + a42 v + a43 w = u(a11 m + a12 n + a13 p + a14 ) + v(a21 m + a22 n + a23 p+ a24 ) + w(a31 m + a32 n + a33 p + a34 ) = 0 .

Tedy středy kvadriky vyhovují rovnici průměrové roviny (1.73). Věta je dokázána. Podle předchozí věty tedy dostáváme: Obsahuje-li kvadrika jediný střed, potom každá průměrová rovina prochází tímto bodem (např. kulová plocha). Obsahuje-li kvadrika přímku středů, potom každá rovina svazku, jehož osou je přímka středů, je průměrová rovina (např. válcová plocha). Konečně, je-li množinou středů kvadriky celá rovina, je průměrovou rovinou tato rovina středů (např. dvě rovnoběžné roviny).

36


20

10 z 20 0

0

–10

x

10 0 y

–10

–20

Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem rovnoběžná. Důkaz: Je-li asymptotický směr dán vektorem u = (u, v, w), potom pro normálový vektor průměrové roviny sdružené se směrem u (a11 u + a12 v + a13 w)x + (a21 u + a22 v + a23 w)y + (a31 u + a32 v + a33 w)z+ a41 u + a42 v + a43 w = 0 (1.80) podle (1.11) platí (a11 u + a12 v + a13 w)u + (a21 u + a22 v + a23 w)v + (a31 u + a32 v + a33 w)w = a11 u2 + a22 v 2 + a33 w2 + 2a12 uv + 2a13 uw + 2a23 vw = 0. (1.81) Ze vztahu (1.81) plyne, že průměrová rovina (1.80) je rovnoběžná s asymptotickým směrem u. Věta je dokázána.

1.10

Hlavní směry

Uvažujme kvadriku a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14 x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0 (1.82) Ke každému neasymptotickému směru u = (u, v, w) kvadriky (1.82) umíme podle předchozí kapitoly přiřadit průměrovou rovinu, sdruženou s tímto směrem. Rovnice této roviny je (a11 u + a12 v + a13 w)x + (a21 u + a22 v + a23 w)y + (a31 u + a32 v + a33 w)z+ a41 u + a42 v + a43 w = 0. (1.83)

1.10. HLAVNÍ SMĚRY

37

Naší snahou nyní bude najít takový směr u, který bude kolmý na průměrovou rovinu (1.83) sdruženou s tímto směrem. Takový směr nazveme směrem hlavním. Nejprve definice: Definice: Směr, který je kolmý k průměrové rovině s ním sdružené, se nazývá hlavní směr kvadriky. Příklad: Hlavní směry a hlavní roviny kvadriky x2 + 4y 2 + 16z 2 − 144 = 0.

5

z 0

–5 –10 –5 0

0 y

5

x 10

Obrázek 1.27: Hlavní směr u = (1, 0, 0)

5

z 0

–5 –10 –5 0

0 y

5

x 10



38

10

z 0

–10 –5 0

0 y

5

x 10


10

z 0

–5

–10

y

0

0 x

5 10

Obrázek 1.30: Hlavní roviny kvadriky x2 + 4y 2 + 16z 2 − 144 = 0 Při hledání hlavních směrů kvadriky si uvědomíme, že normálový vektor n průměrové roviny (1.83) má souřadnice n = (a11 u + a12 v + a13 w, a21 u + a22 v + a23 w, a31 u + a32 v + a33 w).

(1.84)

Vektor u je kolmý na rovinu (1.83) právě když u je kolineární s jejím normálovým vektorem n. To nastane právě když existuje reálné číslo λ tak, že


39

platí n = λu.

(1.85)

Rozepsáním vztahu (1.85) do souřadnic dostaneme soustavu rovnic a11 u + a12 v + a13 w = λu a21 u + a22 v + a23 w = λv a31 u + a32 v + a33 w = λw ,

(1.86)

kterou upravíme na tvar (a11 − λ)u + a12 v + a13 w = 0 a21 u + (a22 − λ)v + a23 w = 0 a31 u + a32 v + (a33 − λ)w = 0 .

(1.87)

Soustava (1.87) je homogenní soustava tří lineárních rovnic o neznámých u, v, w. Jak známo z lineární algebry, tato soustava má netriviální řešení právě když je determinant soustavy roven nule, tj. platí

a11 − λ a12 a13

a21 (1.88) a22 − λ a23

= 0 .

a31 a32 a33 − λ

Definice: Rovnice (1.88) se nazývá charakteristická rovnice kvadriky. Charakteristickou rovnici (1.88) rozepíšeme do tvaru λ3 − I1 λ2 + I2 λ − A44 = 0,

(1.89)

kde jsme označili I1

a a I2 =

11 12 a21 a22

= a11 + a22 + a33 ,

a11 a13 a22 a23

+

a31 a33 + a32 a33

.

(1.90) (1.91)

Koeficienty I1 , I2 a A44 v rovnici (1.89) jsou ortogonální invarianty. To znamená, že se při otočení a posunutí kartézské soustavy souřadnic jejich hodnota nezmění. Odtud plyne, že ortogonálním invariantem je celá charakteristická rovnice (1.88). Kořeny charakteristické rovnice se tedy při změně kartézské soustavy souřadnic nemění. Obdobně je ortogonálním invariantem determinant Δ ⎞ ⎛ a11 a12 a13 a14 ⎜ a21 a22 a23 a24 ⎟ ⎟ (1.92) Δ = det ⎜ ⎝ a31 a32 a33 a34 ⎠ a41 a42 a43 a44 matice kvadriky (1.82). Determinant Δ se také nazývá diskriminant kvadriky. Charakteristická rovnice (1.88) je kubická rovnice s neznámou λ, jak plyne

40


z rozepsaného tvaru (1.89). Kořeny charakteristické rovnice nazýváme vlastní čísla. Vlastním číslům odpovídají vlastní vektory. Při hledání hlavních směrů kvadriky (1.82) budeme postupovat následujícím způsobem. Nejprve určíme kořeny λ1 , λ2 , λ3 charakteristické rovnice (1.89). Každému vlastnímu číslu λi odpovídá vlastní vektor ui , který vypočítáme ze soustavy (1.87), když za λ dosadíme λi . Stačí nám k tomu nejvýše dvě rovnice z (1.87), protože všechny tři rovnice jsou lineárně závislé, jak plyne z podmínky (1.88). Vlastní vektory jsou hledané hlavní směry kvadriky. Při výpočtu vlastních čísel a vlastních vektorů využijeme následující vlastnosti charakteristické rovnice kvadriky (1.89): Věta: 1) Charakteristická rovnice (1.89) je ortogonální invariant. 2) Rovnice (1.89) má všechny tři kořeny reálné. 3) Třem různým vlastním číslům odpovídají tři navzájem kolmé vlastní vektory. 4) Vlastnímu číslu 0 odpovídá asymptotický směr kvadriky. Důkaz: Ad 1) Rovnici (1.88) lze napsat ve tvaru

kde A je matice

|A − λI| = 0,

(1.93)

⎞ a11 a12 a13 ⎝ a21 a22 a23 ⎠ a31 a32 a33

(1.94)

⎛

a I je jednotková matice 3 × 3. Je-li T ortogonální matice potom podle věty o násobení determinantů |T AT −1 − λI| = |T (A − λI)T −1 | = |A − λI| . Tvrzení je dokázáno. Ad 2) Jak známo, kubická rovnice (1.89) má vždy alespoň jeden reálný kořen, který označíme λ1 . Číslu λ1 odpovídá vlastní vektor u1 . Zvolme kartézskou soustavu souřadnic tak, aby osa x náležela směru u1 . Potom můžeme položit u1 = (1, 0, 0). Soustava (1.87), které vyhovují souřadnice vektoru u1 = (1, 0, 0), má nyní tvar (a11 − λ1 ) · 1 + a12 · 0 + a13 · 0 = 0 a21 · 1 + (a22 − λ1 ) · 0 + a23 · 0 = 0 a31 · 1 + a32 · 0 + (a33 − λ1 ) · 0 = 0 .

(1.95)


41

Odtud dostáváme λ1 = a11 , a21 = 0, a31 = 0. Po dosazení do charakteristické rovnice (1.88) obdržíme rovnici

λ1 − λ 0 0

(1.96) a23

= 0 , 0 a22 − λ

0 a32 a33 − λ

kterou upravíme na tvar

a22 − λ a23 λ1 − λ

a32 a33 − λ

= 0.

(1.97)

Rovnice (1.97) má kromě reálného kořene λ1 ještě další dva kořeny dané rovnicí

a22 − λ a23

= λ2 − λ(a22 + a33 ) + a22 a33 − a223 = 0 . (1.98)

a32 a33 − λ

Diskriminant rovnice (1.98) (a22 + a33 )2 − 4(a22 a33 − a223 ) lze napsat jako součet čtverců (a22 − a33 )2 + 4a223 . Odtud plyne, že diskriminant je větší nebo roven nule. Kvadratická rovnice (1.98) a tedy i charakteristická rovnice kvadriky (1.89) mají reálné kořeny. Ad 3) Vlastnímu číslu λ1 jsme přiřadili vlastní vektor u1 = (1, 0, 0). Soustava (1.87) má potom, jak jsme viděli v předchozí části, tvar (λ1 − λ)u

= 0 (a22 − λ)v + a23 w = 0 a32 v + (a33 − λ)w = 0 .

(1.99)

Dosazením vlastního čísla λ2 = λ1 za λ do (1.95) dostaneme soustavu (λ1 − λ2 )u

= 0 (a22 − λ2 )v + a23 w = 0 a32 v + (a33 − λ2 )w = 0 ,

(1.100)

Nechť vektor u2 = (0, 1, 0) je řešením soustavy (1.100). Potom dosazením souřadnic do (1.100) (λ1 − λ2 ) · 0

= 0 (a22 − λ2 ) · 1 + a23 · 0 = 0 a32 · 1 + (a33 − λ2 ) · 0 = 0 ,

dostaneme podmínky λ2 = a22 , a32 = 0.

(1.101)

42


Soustava (1.87) má potom tvar (λ1 − λ)u

= 0 = 0 (λ2 − λ)v (a33 − λ)w = 0 .

(1.102)

Dosadíme-li do rovnice (1.102) za λ hodnotu λ3 = λ1 = λ2 , potom pro vektor u3 = (0, 0, 1) dostaneme λ3 = a33 . Ukázali jsme, že k navzájem různým vlastním číslům λ1 = λ2 = λ3 , existují tři vzájemně kolmé vlastní vektory u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), u3 = (0, 0, 1). Ad 4) Jestliže λ = 0, potom dosazením do soustavy (1.87) dostaneme a11 u + a12 v + a13 w = 0 a21 u + a22 v + a23 w = 0 a31 u + a32 v + a33 w = 0 .

(1.103)

Odtud a11 u2 + a22 v 2 + a33 w2 + 2a12 uv + 2a13 uw + 2a23 vw = u(a11 u + a12 v + a13 w) + v(a21 u + a22 v + a23 w) + (a31 u + a32 v + a33 w) = 0 a směr daný vektorem (u, v, w) je podle (1.11) asymptotický. Definice: Průměrová rovina, která je kolmá ke směru, se kterým je sdružená (hlavní směr), se nazývá hlavní rovina kvadriky. Osa kvadriky je průsečnice dvou hlavních rovin (pokud existují). Průsečík kvadriky s její osou se nazývá vrchol kvadriky.

1.11

Transformace soustavy souřadnic v E 3

Uvažujme kvadriku, jejíž rovnice v nějaké kartézské soustavě souřadnic je a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14 x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0. (1.104) Budeme zkoumat rovnici kvadriky (1.104) při změně kartézské soustavy souřadnic na jinou kartézskou soustavu souřadnic. Nechť kartézská soustava souřadnic (k. s. s.) je dána počátkem P a uspořádanou trojicí vzájemně ortogonálních jednotkových vektorů e1 , e2 , e3 . Nechť souřadnice libovolného bodu X v prostoru E 3 v této k. s. s. jsou x, y, z tj. X = [x, y, z]. V jiné k. s. s., která je dána stejným počátkem P a uspořádanou trojicí vzájemně ortogonálních jednotkových vektorů e 1 , e 2 , e 3 , má tentýž bod X souřadnice X = [x , y , z ]. Jak známo, vztah mezi “nečárkovanými” a “čárkova-

1.11. TRANSFORMACE SOUSTAVY SOUŘADNIC V E 3

43

nými” souřadnicemi téhož bodu je dán rovnicemi x = t11 x + t21 y + t31 z y = t12 x + t22 y + t32 z

(1.105)

z = t13 x + t23 y + t33 z , což můžeme v maticovém tvaru zapsat takto

x y z

=

x y z

⎞ t11 t12 t13 ⎝ t21 t22 t23 ⎠ . t31 t32 t33 ⎛

(1.106)

Označíme-li matici (x, y, z), která je typu (1, 3), písmenem X, matici (x , y , z ) písmenem X a matici ⎞ ⎛ t11 t12 t13 ⎝ t21 t22 t23 ⎠ (1.107) t31 t32 t33 písmenem T, potom místo (1.106) můžeme psát X = X T.

(1.108)

Matice T je matice přechodu od ortonormální báze e1 , e2 , e3 k ortonormální bázi e 1 , e 2 , e 3 . Jak známo [4], matice T je ortogonální maticí, tj. platí T−1 = T .

(1.109)

Transformace (1.108) vyjadřuje změnu souřadnic bodu X při otočení soustavy souřadnic kolem společného počátku P. Nyní posuneme otočenou k. s. s. do bodu P , jehož souřadnice v původní “nečárkované” soustavě jsou [m, n, p]. Potom mezi původními a “novými” souřadnicemi je vztah x = t11 x + t21 y + t31 z + m y = t12 x + t22 y + t32 z + n

(1.110)

z = t13 x + t23 y + t33 z + p , neboli ⎛

x y z 1

=

x y z

t11 t12 t13 ⎜ t21 t22 t23 1 ⎜ ⎝ t31 t32 t33 m n p

⎞ 0 0 ⎟ ⎟ . 0 ⎠ 1

(1.111)


44

1.12

Uvedení rovnice kvadriky na kanonický tvar

V nějaké kartézské soustavě souřadnic je dána kvadrika rovnicí a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14 x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0. (1.112) Rovnici (1.112) můžeme napsat ve tvaru a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

⎞ ⎛ a14 x ⎜ y a24 ⎟ ⎟·⎜ a34 ⎠ ⎝ z a44 1

a11 ⎜ a21 K=⎜ ⎝ a31 a41

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

⎛

a11 ⎜ a21 x y z 1 ·⎜ ⎝ a31 a41 kde

⎛

⎞ a14 a24 ⎟ ⎟ a34 ⎠ a44

⎞ ⎟ ⎟ = 0, ⎠

(1.113)

(1.114)

je matice kvadriky (1.112). Matice K je symetrická, tj. K = K . Označíme-li X = (x, y, z, 1), potom rovnici kvadriky (1.112) můžeme napsat ve tvaru XKX = 0.

(1.115)

Při změně soustavy souřadnic na jinou kartézskou soustavu souřadnic bude mít matice kvadriky (1.112) tvar ⎛

t11 t12 t13 ⎜ t21 t22 t23 ⎜ ⎝ t31 t32 t33 m n p kde matice

⎞ ⎛ a11 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ a21 · 0 ⎠ ⎝ a31 a41 1

a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

⎞ ⎞ ⎛ a14 t11 t21 t31 m ⎟ ⎜ a24 ⎟ ⎟ · ⎜ t12 t22 t32 n ⎟ , a34 ⎠ ⎝ t13 t23 t33 p ⎠ a44 0 0 0 1 (1.116)

⎞ t11 t12 t13 ⎝ t21 t22 t23 ⎠ t31 t32 t33 ⎛

(1.117)

je ortogonální matice a m, n, p jsou prozatím neurčená čísla. Matici (1.116) kvadriky (1.112) v nové soustavě souřadnic můžeme napsat ve tvaru součinu matic (1.118) TKT , kde

⎛

t11 t12 t13 ⎜ t21 t22 t23 T=⎜ ⎝ t31 t32 t33 m n p

⎞ 0 0 ⎟ ⎟ 0 ⎠ 1

(1.119)

1.12. UVEDENÍ ROVNICE KVADRIKY NA KANONICKÝ TVAR

45

je matice transformace. Naší snahou je zvolit matici transformace T tak, aby matice (1.118) kvadriky byla co nejjednodušší. Nechť hlavní směry kvadriky (1.112) jsou dány jednotkovými vzájemně kolmými vektory u1 = (u1 , v1 , w1 ), u2 = (u2 , v2 , w2 ), u3 = (u3 , v3 , w3 ). Přitom předpokládáme, že vlastním číslům λ1 , λ2 , λ3 odpovídají po řadě vlastní vektory u1 , u2 , u3 . Matici transformace T zvolme takto: ⎞ ⎛ u1 v1 w1 0 ⎜ u2 v2 w2 0 ⎟ ⎟ (1.120) T=⎜ ⎝ u3 v3 w3 0 ⎠ , m n p 1 kde m, n, p jsou prozatím blíže neurčené konstanty. Matice T tedy obsahuje v prvých třech řádcích jednotkové vlastní vzájemně kolmé vektory. Potom matice kvadriky v “nové” soustavě souřadnic má tvar ⎞ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ a11 a12 a13 a14 u1 u2 u3 m u1 v1 w1 0 ⎜ u2 v2 w2 0 ⎟ ⎜ a21 a22 a23 a24 ⎟ ⎜ v1 v2 v3 n ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ u3 v3 w3 0 ⎠ · ⎝ a31 a32 a33 a34 ⎠ · ⎝ w1 w2 w3 p ⎠ . a41 a42 a43 a44 m n p 1 0 0 0 1 (1.121) Vynásobením prvních dvou matic vlevo v (1.121) vzhledem k (1.86) dostaneme ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ u1 u2 u3 m λ1 u1 λ1 v1 λ1 w1 a14 u1 + a24 v1 + a34 w1 ⎜ λ2 u2 λ2 v2 λ2 w2 a14 u2 + a24 v2 + a34 w2 ⎟ ⎜ v1 v2 v3 n ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ λ3 u3 λ3 v3 λ3 w3 a14 u3 + a24 v3 + a34 w3 ⎠ · ⎝ w1 w2 w3 p ⎠ , K L M N 0 0 0 1 (1.122) kde jsme označili K L M N

= = = =

a11 m + a12 n + a13 p + a14 , a21 m + a22 n + a23 p + a24 , a31 m + a32 n + a33 p + a34 , a41 m + a42 n + a43 p + a44 .

(1.123)

Nyní budeme vyšetřovat zvlášť středové kvadriky (tj. kvadriky s jediným středem) a zvlášť nestředové kvadriky. Středový případ: A44 = 0 Za čísla m, n, p v matici transformace T zvolíme souřadnice středu kvadriky. Potom podle (1.16) platí K = L = M = 0. Součin matic v (1.122) dává matici ⎞ ⎛ λ1 u21 λ1 u1 · u2 λ1 u1 · u3 0 ⎜ λ2 u2 · u1 λ2 u22 λ2 u2 · u3 0 ⎟ ⎟ , ⎜ (1.124) ⎝ λ3 u3 · u1 λ3 u3 · u2 λ3 u23 0 ⎠ 0 0 0 N

46


kde ui · uj značí skalární součin vektorů ui , uj . Při úpravě matice (1.124) jsme využili faktu, že tato matice je symetrická. Skutečně platí (TKT ) = (T ) K T = TKT , neboť matice K je symetrická (a tedy K = K). Vlastní vektory u1 = (u1 , v1 , w1 ), u2 = (u2 , v2 , w2 ), u3 = (u3 , v3 , w3 ) jsou jednotkové a vzájemně kolmé. Odtud plyne, že koeficienty u vlastních čísel λ1 , λ2 , λ3 na hlavní diagonále matice (1.124) jsou rovny jedné a skalární součiny ui · uj pro i = j jsou rovny nule. Ještě vyjádříme výraz N = a41 m + a42 n + a43 p + a44 na hlavní diagonále pomocí velkého determinantu Δ a hlavního minoru A44 . Ukážeme, že platí a41 m + a42 n + a43 p + a44 =

Δ . A44

(1.125)

Řešíme-li totiž soustavu rovnic pro výpočet středu kvadriky a11 m + a12 n + a13 p + a14 = 0 a21 m + a22 n + a23 p + a24 = 0 a31 m + a32 n + a33 p + a34 = 0 pomocí Cramerova

−a14 a12

−a24 a22

−a34 a32 m= A44

pravidla, potom pro hodnoty

a11 −a14 a13 a13

a21 −a24 a23 a23

a31 −a34 a33

a33 , n= A44

(1.126)

m, n, p

, p=

je

a11 a12 −a14

a21 a22 −a24

a31 a32 −a34

. A44 (1.127) Rozvineme-li determinant Δ podle posledního řádku, potom

a12 a13 a14

a11 a13 a14

a11 a12 a14

Δ = −a41

a22 a23 a24

+a42

a21 a23 a24

−a43

a21 a22 a24

+a44 A44 .

a32 a33 a34

a31 a33 a34

a31 a32 a34

(1.128) Po vydělení Δ výrazem A44 dostaneme ze vztahu (1.128), s použitím (1.127), tvrzení (1.125). Na základě předcházejících úvah dostáváme konečný tvar matice (1.124) pro středové kvadriky ⎞ ⎛ 0 λ1 0 0 ⎜ 0 λ2 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ (1.129) ⎝ 0 0 λ3 0 ⎠ . 0 0 0 AΔ44 Matici (1.129) odpovídá v maticovém vyjádření kvadrika ⎛ ⎞⎛ ⎞ λ1 0 0 0 x ⎟ ⎜ ⎜ 0 λ2 0 0 ⎟ ⎜ y ⎟ ⎟ x y z 1 ⎜ ⎝ 0 0 λ3 0 ⎠ ⎝ z ⎠ = 0 , 0 0 0 AΔ44 1

(1.130)


47

jejíž kanonický tvar je λ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 +

Δ = 0. A44

(1.131)

Nyní budeme vyšetřovat nestředové kvadriky. Nestředový případ: A44 = 0. Pokud kvadrika střed nemá nebo má nekonečně mnoho středů, potom je determinant A44 soustavy a11 m + a12 n + a13 p + a14 = 0 a21 m + a22 n + a23 p + a24 = 0 a31 m + a32 n + a33 p + a34 = 0

(1.132)

roven nule. Protože A44 = λ1 λ2 λ3 , znamená to, že alespoň jedno z vlastních čísel λ1 , λ2 , λ3 je rovno nule. Budeme předpokládat, že λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = 0.1 Součin matic (1.122) má tvar ⎛ λ1 u1 λ1 v1 λ1 w1 a14 u1 + a24 v1 + a34 w1 ⎜ λ2 u2 λ2 v2 λ2 w2 a14 u2 + a24 v2 + a34 w2 ⎜ ⎝ 0 0 0 a14 u3 + a24 v3 + a34 w3 K L M N

⎞ ⎛

⎞ u1 u2 u3 m ⎟ ⎜ v1 v2 v3 n ⎟ ⎟·⎜ ⎟ ⎠ ⎝ w1 w2 w3 p ⎠ , 0 0 0 1 (1.133)

kde K, L, M, N jsou výrazy K L M N

= = = =

a11 m + a12 n + a13 p + a14 , a21 m + a22 n + a23 p + a24 , a31 m + a32 n + a33 p + a34 , a41 m + a42 n + a43 p + a44 .

(1.134)

Vynásobením matic v (1.133), s využitím faktu, že vlastní vektory u1 , u2 a u3 jsou vzájemně kolmé a jednotkové, dostaneme ⎞ ⎛ λ1 0 0 E ⎜ 0 λ2 0 F ⎟ ⎟ ⎜ (1.135) ⎝ 0 0 0 G ⎠ , E F G H kde jsme označili E F G H 1

= = = =

Ku1 + Lv1 + M w1 , Ku2 + Lv2 + M w2 , Ku3 + Lv3 + M w3 = a14 u3 + a24 v3 + a34 w3 , Km + Ln + M p + N.

Případy, kdy λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = 0 jsou uvedeny v další kapitole.

(1.136)

48


Jako v případě středové kvadriky, opět jsme využili faktu, že matice (1.135) je symetrická. Nyní určíme konstanty m, n, p v (1.134). Nechť bod M = [m, n, p] leží v hlavní rovině (a11 u1 + a12 v1 + a13 w1 )x + (a21 u1 + a22 v1 + a23 w1 )y + (a31 u1 + a32 v1 + a33 w1 )z + a41 u1 + a42 v1 + a43 w1 = 0, (1.137) která přísluší nenulovému vlastnímu číslu λ1 , a je tedy kolmá na hlavní směr u1 = (u1 , v1 , w1 ). Potom je výraz E = Ku1 + Lv1 + M w1 v matici (1.135) roven nule, jak lze zjistit dosazením m, n, p za x, y, z do (1.137). Nechť bod M leží ještě v hlavní rovině (a11 u2 + a12 v2 + a13 w2 )x + (a21 u2 + a22 v2 + a23 w2 )y + (a31 u2 + a32 v2 + a33 w2 )z + a41 u2 + a42 v2 + a43 w2 = 0, (1.138) která přísluší nenulovému vlastnímu číslu λ2 , a která je kolmá na hlavní směr u2 = (u2 , v2 , w2 ). Potom je i výraz F = Ku2 + Lv2 + M w2 v matici (1.135) roven nule. Bod M náleží průniku dvou hlavních rovin, tedy podle definice leží na ose kvadriky, která náleží asymptotickému směru. Po této volbě má matice kvadriky tvar ⎞ ⎛ λ1 0 0 0 ⎜ 0 λ2 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ (1.139) ⎝ 0 0 0 G ⎠ , 0 0 G H Nyní naše úvahy rozdělíme. a) Pokud soustavě (1.132) pro určení středu vyhovuje přímka středů, potom K = L = M = 0 a odtud podle (1.136) plyne G = 0. Platí také obráceně: pokud G = 0 (a E = F = 0), potom K = L = M = 0, neboť soustava Ku1 + Lv1 + M w1 = 0, Ku2 + Lv2 + M w2 = 0, Ku3 + Lv3 + M w3 = 0,

(1.140)

má pro navzájem kolmé nenulové vlastní vektory (u1 , v1 , w1 ), (u2 , v2 , w2 ), (u3 , v3 , w3 ) pouze triviální řešení K = L = M = 0. Protože H = Km + Ln + M p + N, potom má matice kvadriky vzhledem k podmínkám K = L = M = 0 tvar ⎞ ⎛ λ1 0 0 0 ⎜ 0 λ2 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ (1.141) ⎝ 0 0 0 0 ⎠ . 0 0 0 N


49

Hodnotu N určíme dosazením souřadnic libovolného bodu M = [m, n, p] osy do rovnice (1.112). Je totiž Km + Ln + M p + N = (a11 m + a12 n + a13 p + a14 )m + (a21 m + a22 n + a23 p + a24 )n + (a31 m + a32 n + a33 p + a34 )p + a41 m + a42 n + a43 p + a44 = a11 m2 +a22 n2 +a33 p2 +2a12 mn+2a13 mp+2a23 np+2a14 +2a24 n+2a34 p+a44 = f (m, n, p). Jestliže f (m, n, p) = N = 0, potom je kvadrika eliptickou nebo hyperbolickou válcovou plochou (viz dále). Kanonický tvar válcové plochy je podle (1.141) λ1 x2 + λ2 y 2 + N = 0 ,

(1.142)

kde N = 0.2 Pokud je f (m, n, p) = N = 0, potom přímka středů náleží kvadrice a je tedy přímkou singulárních bodů. V tomto případě se jedná o dvě různoběžné roviny. b) Jestliže G = 0 v (1.139), potom je alespoň jeden z výrazů K, L, M různý od nuly a podle (1.132) kvadrika nemá žádný střed. Diskriminant Δ = λ1 λ2 G2 = 0 — kvadrika je v tomto případě regulární. Jedná se o kvadriku, která se nazývá paraboloid. Volbou bodu M = [m, n, p] ve vrcholu, tj. v průsečíku osy kvadriky, která je dána průsečnicí hlavních rovin (1.137), (1.138) s kvadrikou, dostaneme H = Km + Ln + M p + N = f (m, n, p) = 0 a matice kvadriky má tvar ⎞ λ1 0 0 0 ⎜ 0 λ2 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 G ⎠ . 0 0 G 0 ⎛

(1.143)

Výsledná rovnice paraboloidu v maticovém tvaru je ⎛

x y z

⎞⎛ λ1 0 0 0 x ⎜ 0 λ2 0 0 ⎟ ⎜ y ⎟⎜ 1 ⎜ ⎝ 0 0 0 G ⎠ ⎝ z 1 0 0 G 0

⎞ ⎟ ⎟ = 0, ⎠

(1.144)

kde G = a14 u3 + a24 v3 + a34 w3 , jejíž kanonický tvar je λ1 x2 + λ2 y 2 + 2Gz = 0 .

(1.145)

2 Obdobným způsobem zjistíme, že parabolická válcová plocha má kanonickou rovnici λ1 x2 + 2F y = 0.

50

1.13


Klasifikace kvadrik

V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a11 x2 +a22 y 2 +a33 z 2 +2a12 xy+2a13 xz+2a23 yz+2a14 x+2a24 y+2a34 z+a44 = 0 (1.146) nastat. Kvadriky budeme klasifikovat jednak podle toho, zda se jedná o regulární (Δ = 0) nebo singulární (Δ = 0) kvadriky, jednak podle toho, zda jsou středové (A44 = 0) nebo nestředové (A44 = 0). Všechny kvadriky tak rozdělíme do čtyř následujících skupin: I) středové regulární kvadriky: A44 = 0, Δ = 0 II) středové singulární kvadriky: A44 = 0, Δ = 0 III) nestředové regulární kvadriky: A44 = 0, Δ = 0 IV) nestředové singulární kvadriky: A44 = 0, Δ = 0. I) Středové regulární kvadriky: A44 = 0, Δ = 0 Předpokládejme, že A44 = 0, Δ = 0. Každou středovou kvadriku lze podle (1.131) převést vhodnou volbou kartézské soustavy souřadnic na kanonický tvar Δ = 0, (1.147) λ1 x2 + λ2 y 2 + λ3 z 2 + A44 který můžeme reprezentovat zápisem v maticovém tvaru ⎞⎛ ⎞ ⎛ 0 λ1 0 0 x ⎟⎜ y ⎟ ⎜ 0 λ2 0 0 ⎟⎜ ⎟ (1.148) x y z 1 ⎜ ⎝ 0 0 λ3 0 ⎠ ⎝ z ⎠ = 0 . 0 0 0 AΔ44 1 Z předchozí kapitoly víme, že determinant kvadriky Δ je ortogonální invariant, tedy jeho hodnota se při změně kartézské soustavy souřadnic nemění. Rovněž tak je ortogonálním invariantem determinant A44 . Z předpokladu A44 = 0 plyne, že λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = 0. Je totiž A44 = λ1 λ2 λ3 . Předpokládejme nejprve, že všechna vlastní čísla mají stejná znaménka. O takových kvadrikách říkáme, že jsou eliptického typu. Stačí se omezit na kladná vlastní čísla — v opačném případě rovnici (1.147) vynásobíme číslem minus jedna. Nechť λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 > 0. Je-li Δ/A44 < 0, potom po vydělení rovnice (1.147) výrazem −Δ/A44 dostaneme kvadriku, jejíž kanonický tvar je x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1. a2 b c

(1.149)

1.13. KLASIFIKACE KVADRIK

51

Zde jsme označili a2 = −Δ/(λ1 A44 ), b2 = −Δ/(λ2 A44 ), c2 = −Δ/(λ3 A44 ). Plocha o rovnici (1.149) se nazývá trojosý elipsoid. Pro Δ/A44 > 0 dostaneme analogicky rovnici kvadriky x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = −1, a2 b c

(1.150)

která se nazývá imaginární elipsoid. Tato kvadrika zřejmě neobsahuje žádné (reálné) body. Nyní budeme zkoumat středové regulární kvadriky, jejichž vlastní čísla λ1 , λ2 , λ3 nemají stejná znaménka. Takové kvadriky nazýváme kvadriky hyperbolického typu. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0. Jestliže Δ/A44 > 0, potom po vydělení rovnice (1.147) výrazem Δ/A44 dostaneme x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = −1, (1.151) a2 b c kde jsme označili a2 = Δ/(λ1 A44 ), b2 = Δ/(λ2 A44 ), c2 = Δ/(λ3 A44 ). Kvadrika o rovnici (1.151) se nazývá dvojdílný hyperboloid. Pokud Δ/A44 < 0, potom po vydělení rovnice (1.147) výrazem −Δ/A44 dostaneme rovnici x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1, (1.152) a2 b c kde jsme označili a2 = −Δ/(λ1 A44 ), b2 = −Δ/(λ2 A44 ), c2 = −Δ/(λ3 A44 ). Plocha, daná rovnicí (1.152), se nazývá jednodílný hyperboloid. II) Středové singulární kvadriky: A44 = 0, Δ = 0 Nechť středová kvadrika není regulární, tj. Δ = 0, A44 = 0. Nejprve předpokládejme, že vlastní čísla λ1 , λ2 , λ3 mají stejná znaménka. Potom dostaneme rovnici x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 0, (1.153) a2 b c které zřejmě vyhovuje jediný reálný bod [0, 0, 0]. Tato kvadrika se nazývá imaginární kuželová plocha. Nyní uvažujme singulární středovou kvadriku, jejíž vlastní čísla nemají stejná znaménka. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 < 0. V tomto případě dostaneme rovnici x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 0. a2 b c

(1.154)

52


Kvadriku, která má rovnici (1.154), nazýváme kuželová plocha. III) Nestředové regulární kvadriky: A44 = 0, Δ = 0 V této části budeme studovat nestředové regulární kvadriky, tj. takové kvadriky, pro které platí A44 = 0, Δ = 0. Tyto kvadriky se nazývají paraboloidy. Z předcházející kapitoly víme, že nestředovou regulární kvadriku, pro jejíž vlastní čísla platí λ1 = 0, λ2 = 0 a λ3 = 0, lze převést vhodnou volbou kartézské soustavy souřadnic na kanonický tvar λ1 x2 + λ2 y 2 + 2Gz = 0 , kde G = a14 u3 + a24 v3 + a34 w3 je matice kvadriky ⎛ λ1 ⎜ 0 Δ = det ⎜ ⎝ 0 0

(1.155)

různé od nuly, jak plyne z determinantu Δ ⎞ 0 0 0 λ2 0 0 ⎟ ⎟ = λ1 λ2 G2 . 0 0 G ⎠ 0 G 0

(1.156)

Nechť mají vlastní čísla λ1 , λ2 stejná znaménka (a λ3 = 0). Můžeme se omezit na případ, že platí λ1 > 0, λ2 > 0 (v opačném případě vynásobíme rovnici (1.155) číslem minus jedna). Je-li G < 0, potom můžeme rovnici (1.155) upravit na tvar x2 y 2 + 2 = 2z , (1.157) a2 b kde jsme označili a2 = −G/λ1 , b2 = −G/λ2 . Je-li G > 0, potom dostaneme rovnici x2 y 2 + 2 = −2z , a2 b

(1.158)

kde a2 = G/λ1 , b2 = G/λ2 . Rovnice (1.157), (1.158) jsou rovnicemi eliptického paraboloidu. Nechť mají vlastní čísla λ1 , λ2 různá znaménka (a λ3 = 0). Můžeme předpokládat, že λ1 > 0, λ2 < 0. Jestliže G < 0, potom z (1.155) dostaneme rovnici x2 y 2 − 2 = 2z , (1.159) a2 b kde a2 = −G/λ1 , b2 = −G/λ2 . Analogicky, pro G > 0 dostaneme rovnici x2 y 2 − 2 = −2z . a2 b Rovnice (1.159) a (1.160) jsou rovnicemi hyperbolického paraboloidu.

(1.160)


53

IV) Nestředové singulární kvadriky: A44 = 0, Δ = 0 V této části vyšetříme kvadriky, které jsou nestředové a singulární, tj. takové, pro které platí A44 = 0, Δ = 0. IVa) λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = 0. Nejprve předpokládejme, že pro vlastní čísla platí λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = 0. Potom nutně, díky podmínce Δ = 0, musí být v matici v (1.156) G = 0. Uvažujme matici kvadriky ve tvaru ⎞ ⎛ λ1 0 0 0 ⎜ 0 λ2 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ (1.161) ⎝ 0 0 0 0 ⎠. 0 0 0 k Je-li k = 0, potom má matice kvadriky (1.161) hodnost tři a kvadrika je válcovou plochou. Předpokládejme, že vlastní čísla mají stejná znaménka. Opět můžeme předpokládat, bez újmy na obecnosti, že λ1 > 0, λ2 > 0. Je-li k < 0, potom rovnice x2 y 2 + 2 = 1, (1.162) a2 b kde a2 = −k/λ1 , b2 = −k/λ2 , je rovnicí eliptické válcové plochy. Je-li k > 0, potom rovnice x2 y 2 + 2 = −1, a2 b

(1.163)

kde a2 = k/λ1 , b2 = k/λ2 , je rovnicí imaginární eliptické válcové plochy. Mají-li vlastní čísla λ1 , λ2 různá znaménka (a k = 0), potom dostaneme rovnici x2 y 2 − 2 = 1, a2 b která je rovnicí hyperbolické válcové plochy.

(1.164)

Je-li k = 0, potom matice (1.161) má pro λ1 = 0, λ2 = 0 hodnost dvě. Rozlišíme dva případy: Mají-li λ1 , λ2 stejná znaménka, potom rovnice x2 y 2 + 2 = 0 a2 b

(1.165)

je rovnicí přímky, neboť rovnici (1.165) vyhovuje každý bod o souřadnicích [0, 0, z] a žádný jiný. Říkáme též, že rovnice (1.165) je rovnicí imaginárních různoběžných rovin, které se protínají v reálné přímce. Mají-li λ1 , λ2 různá znaménka, potom rovnice x2 y 2 − 2 = 0 a2 b

(1.166)

54


je rovnicí dvou různoběžných rovin, jak můžeme nahlédnout z rozkladu x y x y + − = 0. a b a b IVb) λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = 0. Nyní budeme předpokládat, že jediné vlastní číslo kvadriky (1.146) je různé od nuly. Můžeme položit λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = 0. Nechť k = 0. Potom matice

⎛

0 0 0 0

λ1 ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 0

0 0 0 0

⎞ 0 0 ⎟ ⎟ 0 ⎠ k

(1.167)

vede, v případě, že kλ1 < 0, na rovnici x2 = 1 a2

(1.168)

která je rovnicí dvou rovnoběžných rovin, jak můžeme vidět z rozkladu x x +1 − 1 = 0. a a Jestliže kλ1 > 0, potom rovnice x2 = −1 a2

(1.169)

je rovnice imaginárních rovnoběžných rovin. Nechť k = 0. Potom matice (1.167) obsahuje jediný nenulový prvek λ1 a její hodnost je tedy rovna jedné. Tento případ vede na rovnici x2 = 0, a2

(1.170)

která je rovnicí dvojnásobné roviny. Zbývá vyšetřit případ, kdy matice ⎛ λ1 ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 0

kvadriky má tvar ⎞ 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟, 0 0 k ⎠ 0 k 0

(1.171)

pro k = 0. Potom hodnost matice (1.171) je tři. Je-li kλ1 < 0, vede matice (1.171) na rovnici x2 = 2kz, a2

(1.172)


55

jestliže kλ1 > 0, dostaneme rovnici x2 = −2kz . a2

(1.173)

Plocha o rovnicích (1.172), (1.173) se nazývá parabolická válcová plocha. Vyšetřili jsme všechny případy kvadriky (1.146), které mohou nastat. Klasifikace kvadrik je tímto provedena. Příklad 1: Vyšetřete kvadriku [2], [5] 7x2 + 6y 2 + 5z 2 − 4xy − 4yz − 22x + 24y + 2z + 30 = 0.

(1.174)

Řešení: Nejprve vypočteme diskriminant Δ kvadriky (1.174) buď rozvinutím podle některého řádku nebo sloupce nebo použijeme služeb některého matematického software. Vyjde

7 −2 0 −11

−2 6 −2 12

2 5 (1.175) Δ =

= −2 · 3 . 0 −2 5 1

−11 12 1 30

Diskriminant je různý od nuly, tedy se jedná o regulární kvadriku. Hodnota A44 je rovna

7 −2

0

6 −2

= 2 · 34 . A44 = −2

0 −2 5

(1.176)

Determinant A44 je různý od nuly, proto se jedná o středovou kvadriku. Nyní vyřešíme charakteristickou rovnici kvadriky

7 − λ −2

0

−2 6 − λ −2 = 0, (1.177)

0 −2 5 − λ

kterou můžeme napsat ve tvaru λ3 − 18λ2 + 99λ − 162 = 0.

(1.178)

Kořeny charakteristické rovnice (1.178) najdeme buď pomocí některého matematického programu (Derive, Maple, Mathematica,. . .) nebo se snažíme alespoň jeden kořen (1.178) uhodnout. V tomto případě uhodneme kořen 3. Zbývající kořeny dostaneme tak, že rovnici (1.178) vydělíme faktorem λ − 3, čímž snížíme stupeň rovnice na 2. Zbylou kvadratickou rovnici řešíme známým způsobem. Dostaneme tak kořeny 3, 6, 9.

56


Vlastní čísla označíme např. takto: λ1 = 3, λ2 = 6, λ3 = 9. Ještě vypočteme hodnotu Δ −22 · 35 = = −24 · 3 = −6, A44 2 · 34 kterou budeme potřebovat při vyjádření kanonického tvaru kvadriky. Podle (1.131) má kanonická rovnice kvadriky (1.174) tvar3 3x2 + 6y 2 + 9z 2 − 6 = 0.

(1.179)

Tuto rovnici ještě upravíme podle (1.149) na tvar x2 y 2 z 2 + + 2 = 1, 2 1 3

(1.180)

ze kterého budeme vidět délky poloos. Podle (1.180) se jedná o trojosý elipsoid √ (viz obrázek 3.4) s délkami poloos a = 2, b = 1, c = 23 .

1

0

z –1

–2

–4 –3

–3

2 1 x

–1

–2 y

0

Obrázek 1.31: Trojosý elipsoid Nyní vyšetříme polohu kvadriky (1.174) v původní kartézské soustavě souřadnic. 3 Ve vyjádření (1.179) uvádíme kvůli zjednodušení místo “čárkovaných” proměnných x , y , z proměnné x, y, z “bez čárek”.


57

Protože se jedná o středovou kvadriku, vypočítáme střed S = [m, n, p], pro který podle (1.16) platí: 7m − 2n + − 11 = 0 −2m + 6n − 2p + 12 = 0 − 2n + 5p + 1 = 0.

(1.181)

Řešením soustavy je trojice m = 1, n = −2, p = −1, tedy S = [1, −2, −1]. Hlavní směry zjistíme vyjádřením vlastních vektorů u1 , u2 , u3 , které po řadě přísluší vlastním číslům λ1 , λ2 , λ3 . Pro λ1 = 3 řešíme podle (1.87) soustavu 4u − 2v = 0 −2u + 3v − 2w = 0 − 2v + 2w = 0 , které vyhovuje vlastní vektor u1 = (1, 2, 2). Dále stavu u − 2v = −2u + − 2w = − 2v − w =

(1.182)

pro λ2 = 6 dostaneme sou0 0 0,

(1.183)

která dává řešení u2 = (2, 1, −2). Podobně získáme i souřadnice třetího vlastní vektoru, pro který platí u3 = (−2, 2, −1). Pomocí skalárního součinu snadno ověříme, že vlastní vektory u1 , u2 , u3 , jsou vzájemně kolmé. Hlavní směry, dané vektory u1 , u2 , u3 , společně se středem S určují hledanou polohu kvadriky (1.174) v původní kartézské soustavě souřadnic. Rovnice os a souřadnice vrcholů určovat nebudeme. Příklad 2: Vyšetřete kvadriku 5x2 − y 2 + z 2 + 4xy + 6xz + 2x + 4y + 6z − 8 = 0. Řešení: Pro diskriminant Δ platí

5 2

2 −1 Δ =

0

3

1 2

3 1 0 2 1 3 3 −8

tedy se jedná o regulární kvadriku. Pro determinant A44 dostaneme

5 2 3

A44 =

2 −1 0

3 0 1

= 16,

= 0,

(1.184)

(1.185)

(1.186)

58


což znamená, že kvadrika (1.184) je nestředová regulární — tedy se jedná o paraboloid. Určíme kanonickou rovnici (1.184) a hlavní směry. Nejprve vypočítáme kořeny charakteristické rovnice

5−λ

2 3

2 −1 − λ 0

= 0, (1.187)

3 0 1−λ

která má v rozepsaném stavu tvar λ3 − 5λ2 − 14λ = 0, tj.

(1.188)

λ(λ2 − 5λ − 14) = λ(λ − 7)(λ + 2) = 0.

Odtud určíme vlastní čísla λ1 , λ2 , λ3 λ1 = 7, λ2 = −2, λ3 = 0. Nyní najdeme hlavní směry kvadriky. Ty, jak známo, určují vlastní vektory, které jsou přiřazené vlastním číslům λ1 , λ2 , λ3 . Vlastnímu číslu λ1 = 7 odpovídá soustava −2u + 2v + 3w = 0 2u − 8v = 0 3u − 6w = 0 ,

(1.189)

jejíž řešením je vlastní vektor u1 = (4, 1, 2). Obdobně vlastnímu číslu λ2 = −2 odpovídá soustava 7u + 2v + 3w = 0 2u + v = 0 3u + 3w = 0 ,

(1.190)

jejímž řešením je vlastní vektor u2 = (1, −2, −1). Konečně hodnotě λ3 = 0 odpovídá řešení soustavy 5u + 2v + 3w = 0 2u − v = 0 3u + w = 0,

(1.191)

kterým je vlastní vektor u3 = (1, 2, −3), který určuje asymptotický směr kvadriky. Pro kanonickou rovnici kvadriky budeme ještě potřebovat normovaný vektor směru, který je určený vektorem u3 . Snadno zjistíme, že takový vektor má souřadnice 1 2 −3 1 u3 . (1.192) = √ (1, 2, −3) = √ , √ , √ |u3 | 14 14 14 14


59

Matice kanonické rovnice (1.184) je podle (1.143) ve tvaru ⎞ 7 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 −2 0 0 ⎟ , ⎜ ⎝ 0 0 0 u3 + 2v3 + 3w3 ⎠ 0 0 u3 + 2v3 + 3w3 0 ⎛

kde u3 , v3 , w3 jsou souřadnice vektoru u3 + 2v3 + 3w3 v (1.193) je

u3 |u3 |

(1.193)

= ( √114 , √214 , √−3 ). Hodnota výrazu 14

4 9 4 1 u3 + 2v3 + 3w3 = √ + √ − √ = − √ . 14 14 14 14 Dosazením do (1.193) dostaneme ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

7 0 0 0 −2 0 0 0 0 √ 0 0 − 414

0 0

− √414 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ , ⎠

(1.194)

a odtud kanonickou rovnici (1.184) 8 7x2 − 2y 2 − √ = 0. 14

(1.195)

Kvadrika je tedy hyperbolický paraboloid (viz obrázky 1.32 a 1.33).

6

4 z 2

0 –5 –5 0 0

y

x 5

5

Obrázek 1.32: Hyperbolický paraboloid (Pohled 1)


60

6 4 z 2 0 5

y

0 5 0 x

–5 –5

Obrázek 1.33: Hyperbolický paraboloid (Pohled 2) Nyní vyhledáme hlavní roviny, osu a vrchol paraboloidu. Hlavnímu směru, určenému vlastním vektorem u1 = (4, 1, 2), odpovídá průměrová rovina, která je něj kolmá, a která se nazývá hlavní rovina. Hlavní rovina má podle (1.73) rovnici ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 5 2 3 1 x ⎟ ⎜ y ⎟ ⎜ 2 −1 0 2 ⎟·⎜ ⎟=0 , 4 1 2 0 ·⎜ (1.196) ⎝ 3 0 1 3 ⎠ ⎝ z ⎠ 1 2 3 −8 1 tj. 28x + 7y + 14z + 12 = 0.

(1.197)

Pro hlavní rovinu, sdruženou s hlavním směrem daným vlastním vektorem u2 = (1, −2, −1), podobným způsobem dostaneme x − 2y − z + 3 = 0.

(1.198)

Průnik hlavních rovin (1.197), (1.198) dává osu paraboloidu. Průnik osy paraboloidu s paraboloidem je vrchol V. Určíme jej jako společné řešení rovnic (1.184), (1.197), (1.198). S použitím počítače dostaneme 617 113 1011 ,− , . V = − 392 196 392 Příklad 3: Vyšetřete kvadriku √ √ 3x2 + 3y 2 + 3z 2 + 4 2xy + 2yz + 6x + 2y(2 2 − 1) − 6z − 9 = 0.

(1.199)


61

Řešení: Diskriminant kvadriky Δ je √

3 0 2 2

√ √3

2 2 3 1 2 2−1 Δ =

0 1 3 −3

√

3 2 2 − 1 −3 −9 Diskriminant je roven nule, tedy se jedná o Hodnota A44 je rovna √

2 3 2

√ Δ =

2 2 3

0 1

= 0.

(1.200)

singulární kvadriku.

0 1 3

= 0,

Determinant A44 je roven nule — jedná se o nestředovou kvadriku. Řešením soustavy rovnic (1.16) pro určení středu kvadriky √ +3√ = 0 3m − 2 2n √ 3n + p −1 − 2 = 0 2 2m + n + 3p −3 = 0

(1.201)

(1.202)

je přímka středů o rovnici √ √ m = −2 2 − 1 + 2 2t, n = 3 − 3t, p = t

(1.203)

která je osou kvadriky. Směr osy, daný vektorem o souřadnicích √ (2 2, −3, 1),

(1.204)

je asymptotickým směrem kvadriky, což snadno můžeme ověřit, řešíme-li rovnici (1.205) pro asymptotické směry √ (1.205) 3u2 + 3v 2 + 3w2 + 4 2uv + 2vw = 0. Rovnici (1.205) upravíme na tvar u 2√2 2 w 1 2 + + + = 0, v 3 v 3 ze kterého plyne (1.204). Vyšetříme charakteristickou rovnici √

3−λ 2 2 0

√

Δ= 2 2 3−λ 1

0 1 3−λ tj.

= 0,

λ(λ2 − 9λ + 18) = λ(λ − 3)(λ − 6) = 0.

(1.206)

(1.207)

(1.208)


62

Řešením rovnice jsou vlastní čísla λ1 = 3, λ2 = 6, λ3 = 0,

(1.209)

kterým po řadě odpovídají hlavní směry √ √ √ u1 = ( 2, 0, −4), u2 = (3 2, 3, 1), u3 = (2 2, −3, 1).

(1.210)

Z vyjádření (1.210) vidíme, že směr, daný vektorem u3 , který odpovídá vlastnímu číslu λ3 = 0, je asymptotický v souladu s (1.204). Výraz G = a14 u3 + a24 v3 + a34 w3 je roven nule, jak se můžeme přesvědčit přímým dosazením. Zde ovšem u3 , v3 , w3 jsou souřadnice normovaného vektoru |uu33 | . Je √ 2 1 1 1 u3 = √ · 2 2, −3, 1 = , −√ , √ . |u3 | 3 3 2 2 3 2 Potom skutečně a14 u3 + a24 v3 + a34 w3 = 3 ·

√ 1 2 1 − (2 2 − 1) · √ − 3 · √ = 0. 3 2 3 2

Zbývá zjistit hodnotu výrazu H = Km + Ln + M p + N, kde M = [m, n, p] je libovolný bod osy. Z její rovnice (1.203) dosazením za parametr např. t = 1 vychází bod X = [−1, 0, 1]. Protože K = L = M = 0, je H = N a platí √ N = a14 m + a24 n + a34 p + a44 = 3 · (−1) + 0 · (2 2 − 1) + 1 · (−3) − 9 = −15. Matice kvadriky (1.199) je ⎛

3 ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0 0

0 6 0 0

⎞ 0 0 0 0 ⎟ ⎟ , 0 0 ⎠ 0 −15

(1.211)

a kanonická rovnice je ve tvaru 3x2 + 6y 2 − 15 = 0,

(1.212)

x2 + 2y 2 − 5 = 0 .

(1.213)

tj. po vydělení

Jedná se o eliptickou válcovou plochu (viz obrázek 1.34), jejíž řez rovinou kolmou na osu je elipsa (1.213).


63

4 z

2 0 10 x

0 –10

–10

0

10

y

Obrázek 1.34: Eliptická válcová plocha Příklad 4: Vyšetřete kvadriku 8x2 − 8y 2 − 3z 2 − 12xy + 10xz + 10yz − 2x + 14y − 10z − 3 = 0 Řešení: Pro diskriminant Δ kvadriky (1.214) je

8 −6

5 −1

−6 −8 5 7

Δ=

=0. 5 −3 −5

5

−1 7 −5 −3

Diskriminant je roven nule, tedy se jedná o singulární kvadriku. Hodnota A44 je rovna

8 −6

5

5

= 0, Δ = −6 −8

5 5 −3

(1.214)

(1.215)

(1.216)

Determinant A44 je roven nule — jedná se tedy o nestředovou singulární kvadriku. Charakteristická rovnice

8−λ

−6 5

−6 −8 − λ

= 0, 5 (1.217)

5

5 −3 − λ která má v rozepsaném stavu tvar λ3 + 3λ2 − 150λ = 0, má kořeny

√

(1.218)

√ 609 3 609 3 − , λ2 = − − , λ3 = 0. (1.219) λ1 = 2 2 2 2 Dvě vlastní čísla λ1 a λ2 jsou různá od nuly, v úvahu tedy přicházejí eliptická nebo hyperbolická válcová plocha nebo dvojice různoběžných rovin.

64


Soustava rovnic pro určení středu (1.132) má v našem případě tvar 8m − 6n + 5p −6m − 8n + 5p 5m + 5n − 3p

−1 = 0 +7 = 0 −5 = 0 .

(1.220)

Jejím řešením je přímka středů o rovnici m=

1 1 7 1 − t, n = + t, p = t . 2 10 2 10

(1.221)

Nyní určíme, zda přímka středů (1.221) náleží kvadrice. Podle (1.134) dosadíme souřadnice přímky (1.221) do rovnice −m + 7n − 5p − 3 = 0

(1.222)

a zjistíme, že pro všechny body přímky (1.221) je rovnice (1.222) splněna. Tedy se jedná o přímku singulárních bodů a kvadrika je dvojicí různoběžných rovin (viz obrázek 1.35).

4

2

z

0

–2

–4

4 2

4 2

0 y

0

–2

–2 –4

x

–4

Obrázek 1.35: Dvojice různoběžných rovin K tomu, abychom určili rovnice obou rovin v původní soustavě souřadnic, stačí najít jeden bod každé z obou rovin, který neleží na jejich společné průsečnici (1.221). Dosazením za x = 0 y = 0 do rovnice (1.214) získáme rovnici 3z 2 + 10z + 3 = 0, která má řešení z1 = −3 a z2 = − 13 . Každý z bodů o souřadnicích [0, 0, −3] a [0, 0, − 13 ] leží jedné z obou rovin. Přímka (1.221) a bod [0, 0, −3] určují rovinu 4x + 2y − z − 3 = 0,


65

přímka (1.221) a bod [0, 0, − 13 ] dávají rovnici druhé roviny 2x − 4y + 3z + 1 = 0. Na závěr uveďme, že původní rovnici kvadriky (1.214) můžeme napsat ve tvaru (4x + 2y − z − 3)(2x − 4y + 3z + 1) = 0, ze kterého můžeme roznásobením ověřit správnost našeho výpočtu. Cvičení: 1) Napište rovnici kulové plochy se středem v bodě [−3, 2, −5] procházející počátkem. 2) Určete střed a poloměr kulové plochy o rovnici x2 + y 2 + z 2 − 10x + 8y − 14z − 10 = 0. 3) Vyšetřete kvadriky: a)

7x2 − 13y 2 + 6z 2 + 24xy − 12xz + 12yz − 84x + 90y − 24z − 63 = 0,

b) 4x2 + 4y 2 + 12z 2 + 4xy − 12yz + 4x + 2y + 3z = 0, c)

x2 + 9y 2 + 16z 2 − 6xy − 8xz + 24yz − 4z − 2 = 0,

d) x2 + 2y 2 + z 2 + 2xy − 2yz − 6x − 8y + 2z + 10 = 0, e)

2x2 + 2y 2 + z 2 − 4x + 4y − 12 = 0,

f) x2 + 2y 2 − 2xy + 3yz − 6x + 7y + 6z + 7 = 0, g)

5x2 − 4y 2 + z 2 − 8xy + 6xz + 2x − 8y + 6z − 8 = 0,

h) 11x2 + 10y 2 + 6z 2 − 12xy + 4xz − 8yz − 22x − 1 = 0, i)

9x2 + 4y 2 + z 2 − 12xy + 6xz − 4yz + 3x − 2y + z − 2 = 0,

j) x2 + 2y 2 + 4z 2 − 2xy − 4yz + 2x − 2y − 4 = 0, k)

3x2 − 2y 2 − z 2 + 5xy − 2xz + 3yz − 8x + 5y − 4z − 3 = 0,

l)

5x2 + 5y 2 + 5z 2 + 4xz + 3yz − 14x − 13y − 17z + 30 = 0,

m) 2x2 + 2y 2 + 2z 2 + 2xy − 2xz + 2yz − 6x + 18y + 24z = 0, n) x2 + 9y 2 + z 2 − 6xy + 2xz − 6yz + 8x − 24y + 8z + 16 = 0, o)

x2 + y 2 + 3z 2 + 10xy + 6xz + 6yz − 10x − 2y − 6z + 37 = 0,

p) xy + xz + yz − 1 = 0, q)

3x2 − 3y 2 + z 2 + 8xy − 4xz − 2yz − 4x + 6y + 2z = 0,

r) 15x2 + 15y 2 − 2z 2 − 34xy − 30x + 34y + 15 = 0, s) 13x2 + 4y 2 + 9z 2 + 12yz + 5x − z + 1 = 0.

66


4) Napište rovnici rotačního hyperboloidu, který vznikne otočením hyperboly x2 − 3y 2 − 3 a) kolem hlavní osy, b) kolem vedlejší osy. 5) Napište rovnici rotační válcové plochy o poloměru 5, jehož osa má rovnici x = 1 + 2t, y = −1 − t, z = 3 + 4t . Poznámka: Výsledky cvičení jsou uvedeny v závěru knihy

Kapitola 2

Popis jednotlivých kvadrik V této kapitole se budeme zabývat některými kvadrikami podrobněji. Nejprve budeme uvažovat elipsoidy a hyperboloidy, které patří do skupiny regulárních středových kvadrik. Poté uvedeme vlastnosti paraboloidů. V další části budeme zkoumat kuželové a válcové plochy, které patří do skupiny singulárních kvadrik. Uvedeme vlastnosti, které jsou pro dané plochy charakteristické, rovněž připojíme možnosti použití uvedených ploch v praxi.

2.1

Elipsoidy

Trojosý elipsoid je středová regulární kvadrika, která má rovnici x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1. a2 b c

(2.1)

Kladná čísla a, b, c jsou délky os elipsoidu, obr. 2.1 Souřadnicová rovina z = 0 protíná elipsoid (2.1) v elipse o rovnici x2 y 2 + 2 = 1, a2 b

(2.2)

jak se lze snadno přesvědčit dosazením za z = 0 do rovnice elipsoidu (2.1). Vezmeme-li místo souřadnicové roviny z = 0 rovinu s ní rovnoběžnou z = k, pro nějakou konstantu k, vidíme, že pro |k| > c rovina elipsoid neprotíná, pro |k| < c rovina z = k protíná elipsoid v elipse, která je podobná elipse (2.2). Pro k = c je průnikem jediný bod [0, 0, c], který je bodem dotyku tečné roviny z = c. Obdobné platí pro rovinu z = −c. Ostatní souřadnicové roviny y = 0 a x = 0 protínají elipsoid po řadě v elipsách o rovnicích y2 z2 x2 z 2 + = 1 a + 2 = 1. a2 c2 b2 c 67

KAPITOLA 2. POPIS JEDNOTLIVÝCH KVADRIK

68

Obrázek 2.1: Trojosý elipsoid

x2 a2

+

y2 b2

+

z2 c2

= 1.

Analogický výsledek jako pro rovinu z = k dostaneme, vezmeme-li místo rovin y = 0 a x = 0 roviny s nimi rovnoběžné y = k a x = k, pro nějakou reálnou konstantu k. Vrcholy elipsoidu A, B, C, D, E, F jsou body o souřadnicích A = [a, 0, 0], B = [0, b, 0], C = [0, 0, c], D = [−a, 0, c], E = [0, −b, c], F = [0, 0, −c]. Vrcholy leží v průsečících tří os elipsoidu (které v našem případě splývají s osami souřadnic x, y, z) s elipsoidem.

1 z

0 –1

2 1 0 x

0 y –1

–2

Obrázek 2.2: Trojosý elipsoid Speciálním případem je rotační elipsoid, jehož dvě osy mají stejnou délku. Jestliže a = b > c, potom se elipsoid nazývá zploštělý rotační elipsoid s osou

2.1. ELIPSOIDY

69

rotace z. 2

z

0

–2 2

y

2

0 0 –2 –2

x

Obrázek 2.3: Zploštělý rotační elipsoid Jestliže a = b < c, potom se jedná o vejčitý (protáhlý) rotační elipsoid s osou

Obrázek 2.4: Vejčitý rotační elipsoid

rotace v ose z, obr. 2.4.

x2 a2

+

y2 a2

+

z2 c2

= 1.

70


2

z

0

–2

2

y

2

0 0 –2 –2

x

Obrázek 2.5: Vejčitý rotační elipsoid Pokud a = b = c = r, potom se tato plocha nazývá kulová plocha o poloměru r. Její rovnice je x2 + y 2 + z 2 = r 2 . Kulová plocha má mnoho zajímavých vlastností a je skutečnou “královnou” mezi plochami. Jednou z vlastností je tzv. izoperimetrická vlastnost kulové plochy: “Mezi všemi konvexními plochami o daném povrchu má kulová plocha největší objem”. Této vlastnosti se využívá např. při výrobě nádrží, obalů apod.

Obrázek 2.6: Mýdlové bubliny svým tvarem potvrzují izoperimetrickou vlastnost kulové plochy (zdroj obrázku: http://www.google.cz, bubbles.jpg)

2.2. HYPERBOLOIDY

71

Kvadratická plocha, jejíž rovnice je x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = −1 , (2.3) a2 b c se nazývá imaginární elipsoid. Jedná se o regulární kvadriku, která, jak vidíme z rovnice (2.3), neobsahuje žádný reálný bod.

2.2

Hyperboloidy

Hyperboloidy patří společně s elipsoidy mezi středové regulární kvadriky. Vlastní čísla jsou nenulová a mají, na rozdíl od elipsoidů, různá znaménka. Rozlišujeme dva druhy hyperboloidů — jednodílný a dvojdílný. Nejprve se budeme věnovat jednodílnému hyperboloidu.

2.2.1

Jednodílný hyperboloid

Jednodílný hyperboloid má rovnici x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1. a2 b c Kladná čísla a, b, c jsou délky os hyperboloidu.

(2.4)

2

z

0

–2 5 2 0

0 y

x –2 –5

Obrázek 2.7: Jednodílný hyperboloid Souřadnicová rovina x = 0 protíná hyperboloid (2.4) v hyperbole y2 z2 − 2 = 1, (2.5) b2 c jak plyne dosazením x = 0 do rovnice (2.4). Analogicky, rovina y = 0 protne hyperboloid v hyperbole x2 z 2 − 2 = 1, (2.6) a2 c


72

Vezmeme-li místo roviny x = 0 rovinu s ní rovnoběžnou x = k, kde k je nějaká reálná konstanta, potom pro |k| < a je průnikem roviny x = k a hyperboloidu (2.4) hyperbola, která je podobná hyperbole (2.5). Je-li |k| > a dostaneme hyperbolu, která je podobná hyperbole z2 y2 − 2 = 1. c2 b

(2.7)

Pro hodnotu k = a protíná rovina x = a hyperboloid (2.4) v křivce o rovnici y2 z2 − 2 = 0, b2 c

(2.8)

která vyjadřuje dvě různoběžky y z + = 0, b c

y z − = 0. b c

Rovina x = a je tečnou rovinou a bod [a, 0, 0] je jejím bodem dotyku. Obdobně rovina x = −a je tečnou rovinou hyperbolidu v bodě dotyku [−a, 0, 0]. Analogický výsledek dostaneme pro rovinu y = k, která je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou y = 0. Třetí souřadnicová rovina z = 0 protne hyperboloid v elipse x2 y 2 + 2 = 1. a2 b

(2.9)

Tato elipsa se někdy nazývá hrdlová elipsa či zkráceně hrdlo. 5 2

x 0

0

y

–2 –5 z

Obrázek 2.8: Hrdlová elipsa (hrdlo) Roviny z = k, které jsou rovnoběžné s rovinou z = 0, protínají hyperboloid (2.4) pro libovolné k v elipsách, které jsou podobné elipse (2.9). Speciálním případem hyperboloidu (2.4) je rotační jednodílný hyperboloid, pro

2.2. HYPERBOLOIDY

73

jehož délky os platí a = b. Takový hyperboloid vznikne rotací hyperboly kolem vedlejší osy.

2

z

0

–2

4 2 y

4

0

2 0

–2 –2

x

–4 –4

Obrázek 2.9: Rotační jednodílný hyperboloid Hyperboloid, jehož rovnice je x2 + y 2 − z 2 = r 2 , se nazývá rovnoosý rotační jednodílný hyperboloid. Zde jsme označili a = b = c = r. Jeho řezy rovinami, které procházejí osou rotace z, jsou rovnoosé hyperboly.

2

z

0

–2

4 2 y

4

0

2 0

–2 –2

x

–4 –4

Obrázek 2.10: Rovnoosý rotační jednodílný hyperboloid Jednodílný hyperboloid má několik důležitých vlastností, pro které se využívá např. ve stavebnictví, strojírenství apod. Jednou z těchto vlastností je, že se jedná o přímkovou plochu, tj. o plochu, kterou lze sestavit pouze z přímek.

74


Obrázek 2.11: Chladící věže jaderné elektrárny v Temelíně - rotační jednodílné hyperboloidy Ukážeme, že jednodílný hyperboloid, jehož rovnice je x2 y 2 z 2 + 2 − 2 =1, a2 b c

(2.10)

je přímková plocha. Abychom to dokázali, vyjádříme rovnici (2.10) ve tvaru y2 x2 z 2 − = 1 − . a2 c2 b2

(2.11)

Všimněte si, že ve vztahu (2.11) jsou obě strany rovnice ve tvaru rozdílu čtverců a místo (2.10) můžeme tedy psát x z x z y y + · − = 1+ · 1− . (2.12) a c a c b b Uvažujme soustavu rovnic x z + = β 1+ α a c x z − = α 1− β a c

y b y , b

(2.13)

kde α, β jsou reálná čísla, která nejsou současně rovna nule. Pro pevná α, β vyjadřuje soustava (2.13) přímku, neboť se jedná o průnik dvou rovin. Každé řešení (2.13) vyhovuje rovnici (2.12). To znamená, že každá přímka (2.13), kde α, β probíhají všechna reálná čísla, (α, β) = (0, 0), vyhovuje kvadrice (2.10). Platí věta:

2.2. HYPERBOLOIDY

75

Věta: Každým bodem X0 = [x0 , y0 , z0 ] kvadriky (2.4) prochází právě jedna přímka plochy daná soustavou (2.13). Důkaz: K danému bodu X0 = [x0 , y0 , z0 ] plochy (2.10) najdeme koeficienty α, β, kterými je určena přímka (2.13) plochy, procházející bodem X0 . Rovnice přímky (2.13) přepíšeme do tvaru x z0 y0 0 + : 1+ β:α = b a y c x z0 0 0 : − , (2.14) β:α = 1− b a c přičemž zároveň platí x z0 y0 y0 x0 z0 0 + : 1+ = 1− : − . a c b b a c

(2.15)

Ze vztahů (2.14), vzhledem k rovnosti (2.15), vidíme, že hodnota poměru β : α je dána např. první rovnicí v (2.14). Jestliže současně xa0 + zc0 = 0 a 1 + yb0 = 0, tj. není-li poměr β : α definován, potom hodnotu β : α určíme z druhé rovnice v (2.14). Pokud totiž 1 + yb0 = 0, potom je vždy 1 − yb0 = 0. Ukázali jsme, že bodem [x0 , y0 , z0 ] kvadriky (2.4) prochází právě jedna přímka plochy daná soustavou (2.13). Snadno se ukáže, že se žádné dvě přímky soustavy (2.13) neprotínají. Pokud by se přímky protínaly v bodě Y0 , potom by bodem Y0 , který je bodem plochy, protože obě přímky na ploše leží, procházely dvě přímky soustavy (2.13), a to je spor s předchozí větou. Obdobně se ukáže, že žádné dvě přímky soustavy (2.13) nejsou rovnoběžné. Všechny přímky soustavy (2.13) jsou tedy navzájem mimoběžné. Množinu všech přímek soustavy (2.13) nazveme 1. regulus. Analogicky dostaneme z vyjádření (2.12) soustavu x z y + = β 1 − ) α b a zc y x − = α 1+ , β a c b

(2.16)

kde α , β probíhají všechna reálná čísla, s výjimkou případu (α , β ) = (0, 0). Pro pevná α , β představují rovnice (2.16) přímku. Každé řešení soustavy (2.16) vyhovuje rovnici kvadriky (2.10). Platí věta analogická předchozí větě: Věta: Každým bodem X0 = [x0 , y0 , z0 ] kvadriky (2.10) prochází právě jedna přímka soustavy (2.16). Množinu všech přímek soustavy (2.16) nazveme 2. regulus. Výsledky obou předchozích vět můžeme shrnout do následující věty: Věta: Na kvadrice (2.10) existují dva reguly přímek dané soustavami (2.13), (2.16). Každým bodem kvadriky (2.10) prochází právě jedna přímka 1. regulu


76

a právě jedna přímka 2. regulu. Ještě ukážeme následující vlastnost přímek z různých regulů: Věta: Každá přímka jednoho regulu protíná všechny přímky druhého regulu. Důkaz: Libovolnou přímku 1. resp. 2. regulu můžeme zadat, položíme-li β : α = u resp. β : α = v, kde u, v jsou nějaká reálná čísla. Podle (2.13) a (2.16) potom platí u 1+ x − u a v 1− x − v a

y b z c y b z c

x z + a c y = 1− b x z = + a c y = 1+ . b =

(2.17)

Snadno se přesvědčíme, že soustava (2.17), která se skládá ze čtyř rovnic o třech neznámých x, y, z, má jediné řešení x=a·

uv + 1 , u+v

y =b·

v−u , u+v

z =c·

uv − 1 u+v

(2.18)

a přímky se protínají v jednom bodě. Jestliže u = −v v (2.18), potom jsou přímky (2.13), (2.16) rovnoběžné (a mají společný jediný nevlastní bod). To nahlédneme takto: Přímka daná prvními dvěma rovnicemi soustavy (2.17) má směr u, který je kolmý na normálové vektory obor rovin, tj.: u=

1 −u 1 u 1 −u u2 − 1 2u u2 + 1 , , × , , = , , . a b c a b c bc ac ab

(2.19)

Analogicky, druhá přímka, která je dána třetí a čtvrtou rovnicí v (2.17), má směr v, pro který platí: v=

1 v 1 v −1 −v −v 2 + 1 2v −v 2 − 1 , , × , , = , , . a b c a b c bc ac ab

(2.20)

Z (2.19) a (2.20) vidíme, že pro v = −u jsou směry u a v rovnoběžné. Příklad: Ukažte, že rotací přímky kolem osy, která je s přímkou mimoběžná, vznikne rotační jednodílný hyperboloid. Řešení: Osu rotace zvolme v ose z. Přímka p, která bude rotovat okolo osy z, nechť má rovnici p : X = P + tu. (2.21)

2.2. HYPERBOLOIDY

77

Bez újmy na obecnosti můžeme volit P = [0, a, 0], kde a = 0, u = (u, 0, w), kde u = 0, w = 0. Přímku (2.21) vyjádříme ve tvaru x = 0 + t·u y = a + t·0 z = 0 + t·w .

(2.22)

Pevně zvolenému parametru t je přiřazen jediný bod X = [x, y, z], daný 6

6

4

4

2

2

z

z –4 –2 –4

–2 x

–4

4

4

–2

2 y2

–4

4

–2 x

2 y2 4

–2

–2

–4

–4

Obrázek 2.13: Rotace přímky kolem osy z

Obrázek 2.12: Přímka

rovnicemi (2.22). Při tomto pevně zvoleném t se při rotaci přímky p kolem osy z, pohybuje bod X po kružnici, která leží v rovině rovnoběžné se souřadnicovou rovinou z = 0, která má rovnici x2 + y 2 = t2 u2 + a2 ,

(2.23)

jak plyne z prvních dvou rovnic v (2.22). Ze třetí rovnice v (2.22) vyjádříme parametr t, pro který t = wz a dosadíme jej do vztahu (2.23). Dostaneme x2 + y 2 =

z2 2 u + a2 , w2

(2.24)

což po úpravě dává x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1, a2 a c

(2.25)

kde jsme označili c = wa/u. Rovnice (2.25) je rovnicí rotačního jednodílného hyperboloidu s délkami os a, a, c.


78 6

4

2

0

–2

–4

–4

4

–2

2

0

0

2

–2 4

Obrázek 2.14: Výsledný rotační jednodílný hyperboloid (kód řešení v Maple viz str. 111)

2.2.2

Dvojdílný hyperboloid

Dvojdílný hyperboloid má rovnici x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = −1, a2 b c

(2.26)

kde kladná čísla a, b, c jsou délky os hyperboloidu, obr. 2.16.

5

z

0

–5 5

5 0

0 y

–5 –5

x

Obrázek 2.15: Dvojdílný hyperboloid Kanonická rovnice (2.26) dvojdílného hyperboloidu se liší od rovnice (2.4) jednodílného hyperboloidu pouze znaménkem konstanty na prvé straně rovnice. Z rovnice (2.26) můžeme vidět, že souřadnicová rovina z = 0 hyperboloid

2.2. HYPERBOLOIDY

79

neprotíná. Průnikem je totiž křivka o rovnici x2 y 2 + 2 = −1, a2 b které nevyhovuje žádný reálný bod. Pokud místo roviny z = 0 vezmeme rovinu s ní rovnoběžnou z = k, potom pro |k| > c dostaneme elipsu, která je podobná elipse x2 y 2 + 2 = 1. (2.27) a2 b 5 5 x 0

0

y

–5

z 0

–5

Obrázek 2.16: Dvojdílný hyperboloid (2.26) - pohled ve směru osy z Pro |k| < c rovina z = k kvadriku neprotíná, pro k = c nebo k = −c dostaneme vrcholy kvadriky [0, 0, c] nebo [0, 0, −c]. Rovina x = k protíná hyperboloid v hyperbole, která je podobná hyperbole −

y2 z2 + 2 = 1. b2 c

(2.28)

Obdobně rovina y = k protíná hyperboloid (2.26) pro každou hodnotu k v hyperbole, která je podobná hyperbole −

x2 z 2 + 2 = 1. b2 c

(2.29)

Z našich úvah plyne, že dvojdílný hyperboloid (2.26) se skládá ze dvou částí, které odděluje např. rovina z = 0. Speciálním případem je rotační dvojdílný hyperboloid, pro který a = b. Jeho rovnice je x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = −1. (2.30) a2 a c


80

5

z

0

–5

5 0 y

5 0 –5

–5

x

Obrázek 2.17: Rotační dvojdílný hyperboloid Rotační dvojdílný hyperboloid dostaneme rotací hyperboly kolem hlavní osy. Položíme-li a = b = c = r potom rovnice x2 + y 2 − z 2 = −r 2 vyjadřuje rovnoosý rotační dvojdílný hyperboloid. Poznámka: Dvojdílný hyperboloid není na rozdíl od jednodílného hyperboloidu přímková plocha. Z tohoto důvodu by se mohlo zdát, že využití dvojdílného hyperboloidu v praxi není tak časté. Opak je však pravdou. Rotační dvojdílný hyperboloid hraje zásadní úlohu při použití GPS (Global Positioning System) — systému, pomocí kterého dovedeme zjistit naši přesnou polohu na Zemi [3]. Jedná se o zobecnění zvukoměřičské úlohy v rovině, při níž využíváme vlastnosti hyperboly, viz [4]. Princip GPS je následující, obr. 2.18: Ve čtyřech různých místech A, B, C, D v prostoru byl zaznamenán signál po řadě v časech t1 , t2 , t3 , t4 . Určete místo zdroje signálu. Předpokládejme, že platí t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t4 . V místě A byl signál zaznamenán nejdříve, v místě B se zpožděním t2 − t1 sekund vůči místu A. Označíme-li v rychlost šíření signálu, je zdroj signálu X o (t2 −t1 )·v metrů dál od místa B než od místa A. Pro rozdíl vzdáleností |XB|−|XA| platí |XB|−|XA| = (t2 −t1 )v a zdroj signálu X tedy leží na dvojdílném rotačním hyperboloidu, jehož ohniska jsou v bodech A, B a vzdálenost jeho vrcholů je rovna (t2 − t1 )v. Uvažujeme pouze ten díl hyperboloidu, který je blíže bodu A. Obdobně zjistíme polohu zdroje signálu X vzhledem k bodům B, C. Pro vzdálenosti |XB|, |XC| platí |XC| − |XB| = (t3 − t2 )v a bod X leží na dvojdílném

2.2. HYPERBOLOIDY

81

Obrázek 2.18:

rotačním hyperboloidu, jehož ohniska jsou v bodech B, C a vzdálenost jeho vrcholů je rovna (t3 − t2 )v. Uvažujeme pouze ten díl hyperboloidu, který je blíže bodu B. Analogicky, množina bodů X, jejichž rozdíl vzdáleností od bodů C, D je roven |XC| − |XD| = (t4 − t3 )v, je dvojdílný rotační hyperboloid, jehož ohniska jsou v bodech C, D a vzdálenost jeho vrcholů je rovna (t4 − t3 )v. Uvažujeme pouze ten díl hyperboloidu, který je blíže bodu C. Zdroj signálu X tedy musí ležet v průniku tří shora zmíněných hyperboloidů. Uvážíme-li, že dva hyperboloidy se protínají v prostorové křivce, potom průnik tří hyperboloidů je roven průniku prostorové křivky s hyperboloidem. Je zřejmé, že výpočet celé procedury je velmi složitý, a není prakticky proveditelný bez použití počítače.

Obrázek 2.19: Ilustrace principu GPS - určení polohy jako společného bodu tří hyperboloidů


82

2.3

Paraboloidy

Paraboloidy jsou regulární kvadriky, jejichž charakteristická rovnice má jedno nulové a dvě nenulová řešení. Mají-li obě nenulová řešení stejná znaménka, jedná se o eliptický paraboloid, jsou-li znaménka různá, hovoříme o hyperbolickém paraboloidu.

2.3.1

Eliptický paraboloid

Eliptický paraboloid je kvadrika, která má v nějaké kartézské soustavě souřadnic rovnici x2 y 2 + 2 = 2z. a2 b

(2.31)

Kladná čísla a, b jsou délky os eliptického paraboloidu.

5 z

0 5

5 0

0 y

–5

x

–5

Obrázek 2.20: Eliptický paraboloid (2.31) Rovina x = 0 protíná kvadriku (2.31) v parabole y 2 = 2b2 z,

(2.32)

jak zjistíme přímým dosazením x = 0 do (2.31). Pro libovolné k protíná rovina x = k kvadriku (2.31) v parabole y 2 = 2b2 z − b2 která je shodná s parabolou (2.32).

k2 , a2

2.3. PARABOLOIDY

83

5 z

0

x

0

–5

0

5

y

Obrázek 2.21: Eliptický paraboloid (2.31) - pohled ve směru osy x Analogicky, souřadnicová rovina y = 0 protíná paraboloid v parabole x2 = 2a2 z.

(2.33)

Rovina y = k, kde k je nějaké reálné číslo, která je rovnoběžná s rovinou y = 0, protíná paraboloid v parabole shodná s parabolou (2.33). Můžeme říci, že roviny rovnoběžné s hlavní rovinou y = 0 protínají paraboloid ve shodných parabolách, jejichž osy leží v hlavní rovině x = 0.

5 z

0 y

0

5

0

–5 x

Obrázek 2.22: Eliptický paraboloid (2.31) - pohled ve směru osy y Konečně souřadnicová rovina z = 0 protíná kvadriku (2.31) v jediném bodě [0, 0] — ve vrcholu paraboloidu. Pro k > 0 protíná rovina z = k paraboloid v elipse x2 y 2 + 2 = 2k, a2 b

84


je-li k < 0, rovina z = k paraboloid neprotíná. Jestliže a = b v rovnici (2.31) eliptického paraboloidu, potom kvadriku nazýváme rotační paraboloid. Rotační paraboloid se v praxi používá k různým účelům jako parabolické zrcadlo, pomocí kterého: a) paprsky různých směrů vycházející z určitého zdroje, dovedeme usměrnit do jediného směru, či naopak, b) rovnoběžné paprsky umíme soustředit do jediného bodu. Parabolické zrcadlo se podle a) využívá v reflektorech a svítilnách, ve vysílačích apod. Všude, kde je zapotřebí paprsky různých směrů soustředit do jediného směru.

Obrázek 2.23: Tradiční ceremoniál zažehnutí olympijské pochodně pomocí slunečních paprsků soustředěných parabolickým zrcadlem. Řecká Olympie, rok 2004 (http://www.tribuneindia.com/2004/20040325/sports.htm). Vlastnosti rotačního paraboloidu podle b) využíváme při konstrukci parabolických antén pro příjem televizního nebo rádiového signálu, při konstrukci slunečních elektráren aj. Všude, kde je nutné soustředit svazek rovnoběžných paprsků (např. sluneční záření) do jediného bodu. Říká se, že Archimédes chtěl pomocí soustavy zrcadel umístěných ve tvaru paraboloidu zapálit nepřátelské lodě.

2.3. PARABOLOIDY

85

Obrázek 2.24: Nejrozsířenější satelitní anténa, tzv. „offsetová parabola . Jedná se o výřez z plochy rotačního paraboloidu tak, aby přijímač v ohnisku (LNB konvertor) stál co nejméně v cestě dopadajícího signálu (http://www.digizone.cz/).

2.3.2

Hyperbolický paraboloid

Hyperbolický paraboloid je kvadrika, jejíž rovnice v nějaké kartézské soustavě souřadnic je x2 y 2 − 2 = 2z. (2.34) a2 b Kladná čísla a, b jsou délky os hyperbolického paraboloidu.

10

5

z 0

–5

5 0 y

5 0 –5

–5

x

Obrázek 2.25: Hyperbolický paraboloid (2.34) Souřadnicová rovina x = 0 protíná hyperbolický paraboloid (2.34) v parabole −y 2 = 2b2 z.

(2.35)


86

Rovina x = k protíná kvadriku (2.34) v parabole, která je shodná s parabolou (2.35). Souřadnicová rovina y = 0 protíná kvadriku v parabole x2 = 2a2 z.

(2.36)

Všimněte si, že parabola (2.36) je opačně orientovaná než parabola (2.35). Rovina y = k protíná pro libovolné k paraboloid v parabole, která je shodná s parabolou (2.36). Z našich úvah plyne možnost vytvoření plochy (2.34) ze systému shodných parabol ležících v rovinách rovnoběžných s hlavní rovinou x = 0, které mají vrchol na parabole, která leží v hlavní rovině y = 0. Třetí souřadnicová rovina z = 0 protíná paraboloid ve dvojici různoběžek x y x y x2 y 2 + · − = 0. − = 0 ⇔ a2 b2 a b a b

(2.37)

Rovina z = 0 je tečnou rovinou kvadriky (2.34) v bodě dotyku [0, 0] — vrcholu plochy. Tento bod také nazýváme sedlovým bodem plochy (2.34).1 Rovina z = k protíná plochu v hyperbole x2 y 2 − 2 = 2k a2 b

(2.38)

x z 0

5

0

–5

–5

0

y

5

Obrázek 2.26: Hyperbolický paraboloid (2.34) - pohled ve směru osy z Opět si všimněme, že pro k > 0 jsou hyperboly opačně orientované oproti hyperbolám, které dostaneme pro k < 0. Hyperbolický paraboloid je plocha, která je v praxi velmi hojně používána. 1

Tvar plochy v okolí bodu [0, 0] připomíná koňské sedlo.

2.3. PARABOLOIDY

87

Jednou z příčin proč tomu tak je, je skutečnost, že se jedná o přímkovou plochu. To nyní dokážeme: Rovnici

x2 y 2 − 2 = 2z. a2 b přepíšeme do ekvivalentního tvaru x y x y + · − = 2 · z. a b a b Uvažujme soustavu dvou rovnic s reálnými parametry α, β x y + = βz α a b x y − = 2α, β a b

(2.39)

(2.40)

(2.41)

kde α, β nejsou současně rovna nule. Pro každou dvojici α, β je řešením soustavy (2.41) přímka, neboť se jedná o průnik dvou rovin. Každé řešení soustavy (2.41) vyhovuje (vynásobíme-li spolu levé strany rovnic a pravé strany rovnic) rovnici (2.34). To znamená, že pro každé α, β přímka (2.41) leží na hyperbolickém paraboloidu. Platí věta: Věta: Každým bodem X0 = [x0 , y0 , z0 ] plochy (2.34) prochází právě jedna přímka soustavy (2.41). Důkaz: Pro daný bod X0 = [x0 , y0 , z0 ] potřebujeme nalézt hodnoty α, β, kterými je hledaná přímka určena. V bodě [x0 , y0 , z0 ] plochy platí: x y0 0 + : z0 β:α = a b x0 y0 − . (2.42) β:α = 2: a b a protože X0 náleží ploše (2.34), je splněna rovnice x x y0 y0 0 0 + : z0 = 2 : − . a b a b

(2.43)

Odtud vidíme, díky (2.43), že stačí určit hodnotu podílu β : α např. z druhé rovnice v (2.42). Důkaz je proveden. Definice: Množina všech přímek, které vyhovují soustavě (2.41) pro všechna α, β, která nejsou současně rovna nule, se nazývá 1. regulus plochy (2.34). Každé dvě přímky 1. regulu jsou mimoběžné. Pokud by se totiž protínaly v nějakém bodě X, potom by bodem X, který leží na ploše, procházely dvě přímky 1. regulu, a to je spor s předcházející větou. Na hyperbolickém paraboloidu existuje ještě jeden regulus přímek. Záměnou

88


členů v (2.41) získáme následující soustavu x y + = 2β α a b x y − = αz, β a b

(2.44)

kde α , β jsou libovolná reálná čísla, která nejsou současně rovna nule. Množina všech přímek, které jsou řešením soustavy (2.44) leží na kvadrice (2.34) a tvoří tak 2. regulus přímek plochy. Obdobně se ukáže, že každým bodem plochy (2.34) prochází jediná přímka 2. regulu. Všechny přímky 2. regulu jsou navzájem mimoběžné. Výsledky shrneme do následující věty: Věta: Na kvadrice (2.34) existují dva reguly přímek dané soustavami (2.41), (2.44). Každým bodem kvadriky (2.34) prochází právě jedna přímka 1. regulu a právě jedna přímka 2. regulu. Přímky z různých regulů hyperbolického paraboloidu se vzájemně protínají. Platí věta: Věta: Každá přímka jednoho regulu protíná všechny přímky druhého regulu. Důkaz: Uvažujme libovolnou přímku 1. regulu, která odpovídá hodnotě u = β/α v soustavě (2.41) a libovolnou přímku 2. regulu, která odpovídá hodnotě v = β /α v soustavě (2.44). Dostaneme soustavu čtyř rovnic x y + uz = a b x y − = 2, u a b x y + 2v = a b x y − = z v a b

(2.45)

o třech neznámých x, y, z, která má jediné řešení x=a·

v+1 , u

y =b·

v−1 , u

z =2·

v . u

Věta je dokázána. Ještě ukážeme, že všechny přímky jednoho regulu jsou rovnoběžné s rovinou. Libovolná přímka, která je řešením soustavy (2.41), kterou můžeme přepsat do tvaru x y + uz = a b x y − = 2, u a b

(2.46)

2.3. PARABOLOIDY

89

kde u = β/α, má směrový vektor u −u −u2 −u2 −2u 1 1 , , −u × , ,0 = , , , a b a b b a ab který určuje stejný směr jako vektor 2 . a, b, u

(2.47)

Z vyjádření (2.47) vidíme, že směrový vektor každé přímky 1. regulu má prvé dvě souřadnice konstantní a je tedy rovnoběžný s např. s rovinou bx − ay = 0.

(2.48)

Analogicky, přímky 2. regulu jsou rovnoběžné s rovinou bx + ay = 0.

(2.49)

Výsledek můžeme zformulovat do následující věty: Věta: Všechny přímky 1. regulu jsou rovnoběžné s rovinou (2.48), všechny přímky 2. regulu jsou rovnoběžné s rovinou (2.49). Uvedených vlastností soustav přímek hyperbolického paraboloidu se využívá ve stavebnictví. Z hlediska stavbně technické praxe se přímková plocha jeví jako vhodná plocha pro různé konstrukce. Často se hyperbolický paraboloid používá k zastřešení prostoru ve tvaru prostorového čtyřúhelníku, který vzniká při zástavbě proluk mezi domy.

Obrázek 2.27: Detail hyperbolických paraboloidů užitých jako prvky zastřešení na autobusovém nádraží v Českých Budějovicích (pořízeno s laskavým svolením správy Mercury centra)

90


Ukážeme si, jakým způsobem se zastřešení provádí. Příklad: V daném prostorovém čtyřúhelníku ABCD, který leží na hyperbolického paraboloidu sestrojte přímky 1. a 2. regulu, obr. 2.28, 2.29. Řešení: Především je zapotřebí si uvědomit, že čtyřmi přímkami AB, BC, CD, DA, v prostoru je zadán hyperbolický paraboloid. Dva páry mimoběž-

Obrázek 2.28: Konstrukce hyperbolického paraboloidu nad prostorovým čtyřúhelníkem ABCD ných přímek AB, CD a BC, AD se navzájem protínají v bodech A, B, C, D a vytváří tak základ 1. a 2. regulu hyperbolického paraboloidu. K tomu, abychom nalezli další přímku 1. regulu, který je určen mimoběžkami AB, CD, si uvědomíme, že tato přímka musí protínat všechny přímky 2. regulu, to znamená i mimoběžky BC, AD a zároveň musí být rovnoběžná s rovinou, se kterou jsou rovnoběžné přímky AB, CD. Protože každým bodem hyperbolického paraboloidu procházejí právě dvě přímky, lze daným bodem X přímky AD vést jedinou přímku, která má shora uvedené vlastností. Obvykle postupujeme tak, že spojíme středy úseček BC, AD. Tato spojnice náleží do 1. regulu, neboť protíná přímky BC a AD a je rovnoběžná s rovinou, se kterou jsou rovnoběžné přímky AB, CD. To nahlédneme z této úvahy. Označíme-li S1 , S2 po řadě středy úseček BC, AD, potom 1 S1 = (B + C), 2 a odtud

1 S2 = (A + D) 2

1 1 (2.50) S1 − S2 = (B − A) + (C − D). 2 2 Směrový vektor S1 − S2 přímky S1 S2 je podle (2.50) lineární kombinací vektorů B −A, a C −D. Tedy přímka S1 S2 je rovnoběžná s rovinou, jejíž zaměření je generováno vektory B − A, C − D. Obdobně přímka T1 T2 , kde T1 , T2 jsou středy úseček AB, CD, je přímkou 2.

2.3. PARABOLOIDY

91

Obrázek 2.29: Hyperbolický paraboloid nad prostorovým čtyřúhelníkem ABCD regulu hyperbolického paraboloidu. Dále postupujeme stejným způsobem. Další přímka 1. regulu je spojnice středů úseček BS1 a AS2 atd. Rozdělením stran AB, CD na 2n shodných dílů dostaneme spojením příslušných dělících bodů 2n − 1 příček.

Obrázek 2.30: Hyperbolický paraboloid v Maple (kód řešení viz str. 113)

Obrázek 2.31: Zastřešení budovy hyperbolickým paraboloidem - kampus Claude Bernard University Lyon


92

2.4

Válcová plocha

Válcová plocha patří mezi nestředové singulární kvadriky, jejichž matice má hodnost tři. Jedná se o přímkovou plochu. Vhodnou volbou kartézské soustavy souřadnic získáme rovnici x2 y 2 + 2 = 1, a2 b

(2.51)

která je rovnicí eliptické válcové plochy.

2

z

0

–2

2

2 0 y

0 –2

–2

x

Obrázek 2.32: Eliptická válcová plocha Válcovou plochu (2.51) můžeme vytvořit z přímek rovnoběžných s osou z, které procházejí elipsou, danou stejnou rovnicí (2.51). Rovina z = k, k ∈ R protíná válcovou plochu v elipsách shodných s elipsou (2.51). Rovina x = k pro |k| < a protíná válcovou plochu ve dvojici rovnoběžek, pro rovinu x = k dostaneme dvojnásobnou přímku, podél které se rovina dotýká válcové plochy. Je-li |k| > a, potom rovina x = k, jak můžeme nahlédnout z rovnice (2.51), plochu neprotíná. Analogický výsledek dostaneme pro roviny y = k. Jestliže a = b (2.51), jedná se rotační válcovou plochu, kterou získáme rotací přímky rovnoběžné s osou rotace z.

2.4. VÁLCOVÁ PLOCHA

93

2

z

0

–2

2 0 y

2 0 –2

x

–2

Obrázek 2.33: Rotační válcová plocha Mezi eliptické válcové plochy patří i plocha x2 y 2 + 2 = −1, a2 b

(2.52)

která je rovnicí imaginární eliptické válcové plochy. Tato plocha neobsahuje žádný reálný bod. Rovnice

x2 y 2 − 2 = 1 a2 b

(2.53)

je rovnicí hyperbolické válcové plochy.

10

5 z 0

–5

5

y

0 5 –5

0 –5

x

Obrázek 2.34: Hyperbolická válcová plocha


94

Hyperbolickou válcovou plochu můžeme dostat jako množinu všech přímek rovnoběžných s osou z, které procházejí hyperbolou, která má stejnou rovnici jako (2.53). Rovina z = k, k ∈ R protíná válcovou plochu (2.53) v hyperbole, která je shodná s (2.53). Rovina x = k pro |k| > a protíná válcovou plochu (2.53) ve dvojici rovnoběžek. Je-li k = a nebo k = −a potom se rovina x = k válcové plochy (2.53) dotýká podél přímky a je tak tečnou rovinou válcové plochy. Jestliže |k| < a, potom rovina x = k plochu neprotíná. Analogický výsledek obdržíme pro řezy rovinami y = k. Válcová plocha, jejíž rovnice ve vhodně zvolené kartézské soustavě souřadnic je x2 = 2kz, a2

(2.54)

kde k = 0, se nazývá parabolická válcová plocha.

10

5

z

0

–5 5 0 y

–5

–5

5

0 x

Obrázek 2.35: Parabolická válcová plocha Parabolická válcová plocha (2.54) se skládá z přímek, které procházejí parabolou o rovnici (2.54), které jsou rovnoběžné s osou z. Rovina y = m, m ∈ R protíná válcovou plochu (2.54) v parabole, která je shodná s parabolou (2.54). Rovina x = m protíná válcovou plochu (2.54) v přímce, která je rovnoběžná s osou y. Rovina z = m protíná plochu (2.54) v případě, že m · k > 0 ve dvojici rovnoběžek. Jestliže m = 0, potom se rovina z = 0 dotýká válcové plochy podél osy y = 0 a je její tečnou rovinou. Je-li že m · k < 0, potom rovina z = m plochu (2.54) neprotíná.

2.5. KUŽELOVÁ PLOCHA

95

Válcová plocha, zvláště rotační, má široké použití v praxi — ve stavebnictví, v dopravě, v průmyslu apod.

2.5

Kuželová plocha

Kuželová plocha je středová singulární kvadrika, pro kterou platí a44 = 0. Kvadrika, která má ve vhodně zvolené kartézské soustavě souřadnic rovnici x2 y 2 z 2 + 2 − 2 =0 (2.55) a2 b c se nazývá kuželová plocha. Bod V = [0, 0, 0] je vrchol kuželové plochy.

2

0

–2 4 2

2 0 0

–2 –2 –4

Obrázek 2.36: Kuželová plocha Rovina z = k, protíná pro k = 0 kuželovou plochu (2.55) v elipse, která je podobná elipse x2 y 2 + 2 = 1. (2.56) a2 b Rovina z = 0 protne plochu (2.55) v jediném bodě — ve vrcholu V = [0, 0, 0] kuželové plochy. Rovina x = k protíná kuželovou plochu pro libovolné k = 0 v hyperbole, která je podobná hyperbole y2 z2 (2.57) − 2 + 2 = 1. b c Průnik roviny x = 0 a kuželové plochy (2.55) je dvojice různoběžek y z y z y2 z2 + − = 0. (2.58) − = 0 ⇔ b2 c2 b c b c Obdobná situace nastane pro řezy rovinami y = k. Jestliže a = b, potom se kvadrika (2.55) nazývá rotační kuželová plocha. Rotační kuželovou plochu dostaneme rotací přímky, která je různoběžná s osou


96 rotace z. Ukažme to.

2

0

–2

4 2

4 2

0 0 –2

–2 –4 –4

Obrázek 2.37: Rotační kuželová plocha Příklad: Ukažte, že rotací přímky, která je různoběžná s osu rotace dostaneme rotační kuželovou plochu. Řešení: Osu z umístíme do osy rotace. Předpokládejme, že přímka p prochází počátkem V = [0, 0, 0] a její směrový vektor je u = (u, 0, w), kde u = 0, w = 0. Potom můžeme psát p : X(t) = [ut, 0, wt] nebo v rozepsaném tvaru: p:

x = u·t y = 0·t

(2.59)

z = w · t. Bod X(t) = [ut, 0, wt] při rotaci přímky p kolem osy z opisuje kružnici o rovnici x2 + y 2 = u2 t2 .

(2.60)

Dosazením za t do rovnice (2.60) z (2.59) dostaneme x2 + y 2 −

u2 2 x2 y2 z2 z = 0 ⇔ + − = 0, w2 u2 u2 w2

což je rovnice hledané kuželové plochy. Porovnáním s (2.55) dostaneme geometrický význam parametrů a, b, c, kdy vychází a = b = u, c = w. Poznámka: 1) Ukázali jsme, že roviny, které jsou rovnoběžné se souřadnicovými rovinami protínají kuželovou plochu v elipse nebo hyperbole, či v jejich singulárních analogiích — v bodě nebo ve dvojici různoběžek. Pokud se rovina řezu dotýká kuželové plochy podél povrchové přímky (a je


97

tedy její tečnou rovinou), potom je průnikem této roviny a kvadriky (dvojnásobná) přímka. Vezmeme-li rovinu, která je s tečnou rovinou rovnoběžná, potom je řezem parabola, viz [4]. Rovinným řezem kuželové plochy (2.55) jsou tedy téměř všechny kuželosečky včetně kuželoseček singulárních. Které chybějí? 2) Válcovou plochu můžeme, pokud připustíme existenci nevlastních bodů, také považovat za kuželovou plochu. Sice za kuželovou plochu s vrcholem v nevlastním bodě, který je dán směrem povrchových přímek válcové plochy. 3) Kuželovou plochu můžeme také definovat jako množinu všech přímek, které procházejí kuželosečkou a daným bodem — vrcholem, který neleží v rovině kuželosečky. Tuto vlastnost můžeme nahlédnout z této úvahy: Obsahuje-li kuželová plocha (2.55) bod X0 = [x0 , y0 , z0 ], potom obsahuje i spojnici bodu X0 s vrcholem V = [0, 0, 0]. Tedy přímka X(t) = [x0 t, y0 t, z0 t], t ∈ R, leží na kuželové ploše, neboť rovnice (2.55) je splněna pro každé t, jak se můžeme přesvědčit přímým dosazením.

Obrázek 2.38: Rotační kuželová plocha na zastřešení věže sídla Krajského soudu v Českých Budějovicích Příklad: Napište rovnici kuželové plochy s vrcholem v bodě V = [3, 0, 0], jejíž tvořící přímky svírají s osou x úhel ϕ = 30◦ . Řešení: Ze zadání plyne, že se jedná o rotační kuželovou plochu s osou rotace v ose x, jejíž kanonická rovnice je

−

x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 0. a2 b b

(2.61)

98


Protože vrchol má souřadnice V = [3, 0, 0], potom má rovnice hledané kuželové plochy tvar −

(x − 3)2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 0. a2 b b

(2.62)

Vynásobením rovnice (2.62) výrazem b2 dostaneme rovnici −k(x − 3)2 + y 2 + z 2 = 0,

(2.63)

kde jsme označili k = b2 /a2 . Získáme tak rovnici o jediné neznámé k. Její hodnotu zjistíme dosazením nějakého bodu kuželové plochy (který je různý od vrcholu) do rovnice (2.63). Protože povrchové přímky kuželové plochy svírají s osou x úhel ϕ = 30◦ , potom pro bod Z = [0, 0, m], který leží v průsečíku plochy (2.63) a osy z, √ platí, obr. 2.39, tan 30◦ = m/3 a odtud m = 3.

Obrázek 2.39: √ Souřadnice bodu Z = [0, 0, 3] dosadíme do (2.63) a dostaneme hodnotu k = 1/3. Hledaná rovnice kuželové plochy je (x − 3)2 − 3y 2 − 3z 2 = 0.


99

1

0

–1

0

–1 1

0 2

1 3

Obrázek 2.40: Rotační kuželová plocha v Maple (kód řešení viz str. 114) Rovněž kuželová plocha má široké uplatnění jak v praktickém, tak teoretickém užití.

100


Kapitola 3

Užití Maple při řešení kvadrik 3.1

Základy práce s programem Maple

Počítačový algebraický systém MapleTM je produktem kanadské společnosti Maplesoft, Waterloo Maple Inc. Jedná se o špičkový produkt v kategorii programů CAS (Computer Algebra System), který je téměř každý rok aktualizován. V době vydání této knihy byla na trh uvedena verze Maple 14. Uživatel má k dispozici několik typů rozhraní pro komunikaci s programem a pro využívání jeho výpočetních prostředků. Dva základní módy práce s programem nabízejí uživatelská prostředí Standard worksheet a Classic worksheet. První z nich, Standard worksheet (generuje soubory s příponou mw), představuje plně grafické uživatelské rozhraní, v jehož pojetí se promítají nejnovější trendy ve vývoji komunikačních rozhraní mezi uživatelem a počítačovým programem. Konkrétně se jedná o snahu zprostředkovat uživateli možnost intuitivního ovládání programu, bez nutnosti znát syntax jeho příkazů. „Konzervativním protipólem tohoto grafického uživatelského rozhraní je prostředí Classic worksheet (generuje soubory s příponou mws). To zachovává design charakteristický pro Maple již od jeho verze 5, zároveň však plně využívá nejnovější výpočetní jádro systému spolu se všemi jeho funkcemi. Zřejmou výhodou prostředí Classic worksheet jsou nižší nároky na velikost paměti počítače a rychlost jeho procesoru. Pro běžného uživatele, který nemá důvod pro investování do každoročního upgrade, je ještě významnějším plusem tohoto prostředí nadčasovost jeho vzhledu, stejně jako způsobu práce. Příklady v něm vytvořené jsou tak ve většině případů přenositelné mezi různými verzemi programu. Z tohoto důvodu jsou všechny řešené příklady i ukázky řešení dílčích problémů v této knize realizovány v prostředí Classic worksheet Maple 13. Příslušné kódy, uložené v souborech mws, jsou k dispozici na CD spolu s touto knihou. Zevrubné informace o programu Maple, příklady jeho použití, instruktážní videa apod, stejně jako popisy dalších produktů firmy Maplesoft, najde zájemce na webové stránce http://www.maplesoft.com.

101

102

KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK

1. Zadávání příkazů Na jednom řádku může být uvedeno více příkazů, každý z nich však musí být ukončen středníkem (;) nebo dvojtečkou (:) a řádek potvrzen klávesou Enter (bez ohledu na to, kde je v něm kurzor). Například 2 a 3 sečteme příkazem „2+3;. Příkaz ukončený středníkem se vykoná a jeho výsledek se zobrazí na následujícím řádku, příkaz ukončený dvojtečkou se rovněž vykoná, výsledek se však nezobrazí. Nový výpočet s proměnnými je vhodné zahájit příkazem „restart;, který vymaže hodnoty všech proměnných. Vyhneme se tak případným komplikacím se starými hodnotami při opakování výpočtu. Pokud potřebujeme vymazat obsah konkrétní proměnné, například proměnné a, použijeme příkaz „a:=’a’;. Nápovědu ke konkrétnímu příkazu Maple vyvoláme zadáním příkazu ve tvaru ?jméno (zde nemusíme ukončit středníkem, stačí Enter). Například, zadáním „?plot získáme kompletní nápovědu k příkazu plot i s odkazy na příbuzná témata. Velkým zdrojem informací a inspirace jsou příklady konkrétního použití, které jsou součástí nápovědy ke každému příkazu. Příklady je možno pomocí Ctrl+C, Ctrl+V kopírovat do pracovního okna programu Maple, tam je vyzkoušet a následně třeba modifikovat pro potřeby našich výpočtů. 2. Přibližná hodnota výrazu Maple pracuje v symbolickém režimu. Pokud potřebujeme přibližné vyjádření hodnoty nějakého výrazu desetinným rozvojem, můžeme použít příkaz „evalf(výraz, počet cifer);. Například po zadání „evalf(Pi,20); dostaneme hodnotu π na 19 desetinných míst. Parametr počet cifer je nepovinný. Vyzkoušejte „evalf(sqrt(2));. 3. Balíčky příkazů Velká část příkazů programu Maple je uložena v tzv. balíčcích (packages). Například příkazy pro počítání s vektory a maticemi jsou uloženy v balíčcích linalg a LinearAlgebra. Při zobrazování křivek a ploch pak využíváme příkazy z balíčků plots a plottools. Jsou dvě možnosti, jak se k takovým příkazům dostat. 1) Načíst do paměti celý balíček příkazem „with. Například balíček linalg načteme příkazem „with(linalg);. Ukončíme-li příkaz středníkem, je vypsán seznam všech příkazů z balíčku. Pokud o takový přehled nestojíme, ukončíme příkaz dvojtečkou. 2) Aniž bychom balíček otvírali, můžeme konkrétní příkaz v něm obsažený zavolat příkazem ve tvaru „jméno balíčku[jméno funkce](parametry funkce);. Viz například volání příkazu linalg[genmatrix], které je uvedeno v partii věnované řešení soustav rovnic na straně 105.

3.1. ZÁKLADY PRÁCE S PROGRAMEM MAPLE

103

4. Funkce jedné proměnné Definice funkce. Chceme-li definovat například funkci f : y = x2 − 4x, máme možnost využít těchto dvou příkazů: > f:=x->x^2-4*x; nebo f:=unapply(x^2-4*x,x); Základním příkazem pro zobrazení grafu funkce je příkaz „plot(f(x),x);. Podobu grafu můžeme ovlivnit jeho doplněním o další parametry a volby. Například graf s definovaným rozsahem os zobrazíme příkazem > plot(f(x),x=-5..5,y=-4..4); Všechny volby (options), kterými můžeme modifikovat výsledek příkazu plot, zobrazíme zadáním „?plot,options. U nespojitých funkcí například oceníme volbu discont=true. Porovnejte příkazy: > plot(tan(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-4..4); > plot(tan(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-4..4,discont=true); Derivace funkce. První, respektive n-tá derivace funkce (výrazu) f (x) se vypočítá zadáním příkazu > diff(f(x),x); resp. diff(f(x),x$n); Chceme-li s derivací dále pracovat jako s funkcí, je vhodné zadat ji pomocí operátoru D. První, respektive n-tá derivace jako funkce proměnné x se potom vyjádří příkazem > D(f)(x); resp. (D@@n)(f)(x); Neurčitý a určitý integrál. Neurčitý, resp. určitý (s mezemi 2, 4) integrál funkce (výrazu) f (x) vypočítáme příkazem > int(f(x),x); resp. int(f(x),x=2..4); Vyzkoušejte příkaz pro výpočet objemu tělesa vzniklého rotací grafu funkce f (x) kolem osy x na intervalu 0, 5 (zobrazení tohoto rotačního tělesa je popsáno ne straně 108): > Int(Pi*f(x)^2,x=0..5)=int(Pi*f(x)^2,x=0..5); Limita funkce. Výpočet limity ve vlastním a nevlastním bodě, stejně jako výpočet jednostranné limity funkce f (x) ilustrují následující příklady: > limit(f(x),x=4); limit(f(x),x=infinity); > limit(f(x),x=4,right); > limit(f(x),x=4,left); 5. Funkce více proměnných Definice funkce. Opět máme dvě možnosti, jak definovat funkci, např. g : z = x2 sin y: > g:=(x,y)->x^2*sin(y); nebo g:=unapply(x^2*sin(y),x,y); Graf funkce zobrazíme příkazem: „plot3d(g(x,y),x=-5..5,y=-5..5); Pro zobrazení plochy dané rovnicí F (x, y, z) = 0, například x2 − y − z 2 = 0, použijeme příkaz implicitplot3d z balíčku plots: > plots[implicitplot3d](x^2-y^2-z=0,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5); Zobrazená plocha není příliš „hladká . Vyzkoušejte přidat do výše uvedeného příkazu implicitplot3d jako nepovinný parametr volbu grid=[30,30,30].

104


Více informací o možnostech ovlivnit podobu grafu získáme zadáním „?plot3d,options. Derivace funkce. Parciální derivace funkce g(x, y) podle x, respektive podle y, se určí příkazem > diff(g(x,y),x); resp. diff(g(x,y),y); Při použití operátoru D, který umožňuje nakládat s derivací jako s funkcí proměnných x, y, pak vypočítáme uvedené parciální derivace takto: > D[1](g)(x,y); resp. D[2](g)(x,y); ∂5g se potom zadá příkazem Smíšená parciální derivace ∂x2 ∂y 3 > diff(g(x,y),x$2,y$3); nebo > D[1$2,2$3](g)(x,y); 6. Řešení rovnice Symbolické řešení. K symbolickému řešení rovnice, např. x2 − 4x − 5 = 0, použijeme příkaz > Res:=solve(x^2-4*x-5,x); resp. Res:=solve(x^2-4*x-5,{x}); Výsledek potom dostaneme ve tvaru Res:=5,-1, resp. Res:={x=5},{x=-1}. Na jednotlivé kořeny rovnice se odkazujeme pomocí indexů, které odpovídají jejich pořadí ve výpisu výsledku příkazu „solve, tj. příkazy: Res[1]; a Res[2]; Příkaz solve řeší rovnici v oboru komplexních čísel. Pokud nás zajímají jenom reálné kořeny, můžeme použít alternativní příkaz RealDomain[solve] z balíčku RealDomain. Pro ilustraci porovnejte výstupy následujících příkazů: > solve(x^3+2*x+1,x); a > RealDomain[solve](x^3+2*x+1,x); Při grafickém řešení rovnice oceníme příkazy „lhs(rov) a „rhs(rov) pro „uchopení levé a pravé strany rovnice rov. Například rovnici xx = 0.750.75 bychom graficky řešili touto posloupností příkazů: > rov:=x^x=0.75^0.75; plot({lhs(rov),rhs(rov)},x=-2..2); Důležitou součástí řešení rovnice je ověření jeho správnosti dosazením, tj. zkouška. Pro postupné dosazení jednotlivých řešení do rovnice r můžeme použít příkaz subs nebo příkaz eval. Podmínkou použití příkazu eval, které ilustruje následující příklad, je uzavření neznámé x v příkazu solve do složených závorek: > r:=x^3-2*x+1=0; solve(r,{x}); eval(r,Res[1]); eval(r,Res[2]); Někdy potřebujeme provést rozklad mnohočlenu na jedné (např. levé) straně rovnice. Použijeme-li příkaz factor(lhs(r)), záhy zjistíme, že má své limity (viz ?factor). Lepší službu vykoná následující série příkazů: > polytools[split](lhs(r),x); > convert(%,radical); Symbol % představuje jméno (systémové) proměnné, v níž je uložen výsledek naposledy vykonaného (tj. potvrzeného klávesou Enter) příkazu. Podobně symbol %% odkazuje na výsledek předposledního vykonaného příkazu.

3.1. ZÁKLADY PRÁCE S PROGRAMEM MAPLE

105

Numerické řešení. K numerickému řešení rovnice je určen příkaz fsolve. Pokud má rovnice více nulových bodů, je možné v tomto příkazu specifikovat bod, v jehož okolí chceme řešení hledat. Například výše uvedenou rovnici xx = 0.750.75 bychom, po jejím grafickém řešení, kompletně numericky vyřešili následující posloupností příkazů: > rov:=x^x=0.75^0.75; fsolve(rov,x=0); fsolve(rov,x=1); 7. Řešení soustavy lineárních rovnic. Operace s maticemi a s vektory. Řešme následující (regulární) soustavu lineárních rovnic: x + y + 2z = 1, 3x − y − z = −4, 2x + 3y − z = −6 Přímé řešení provedeme příkazem > solve({x+y+2*z=1,3*x-y-z=-4,2*x+3*y-z=-6},{x,y,z}); Ověření řešitelnosti (Frobeniova podmínka). Rozšířenou matici Aroz, matici soustavy A i vektor pravých stran b vytvoříme následujícími příkazy: > Aroz:=linalg[genmatrix]({x+y+2*z=1,3*x-y-z=-4,2*x+3*y-z=-6}, [x,y,z],flag); > A:=linalg[genmatrix]({x+y+2*z=1,3*x-y-z=-4,2*x+3*y-z=-6}, [x,y,z],b); Poznámka: Opakem příkazu genmatrix je příkaz geneqns. Hodnost matice A zjistíme příkazem „linalg[rank](A);, Gaussovu eliminaci provedeme příkazem „linalg[gausselim](A);, Gauss-Jordanovu eliminaci pak realizujeme příkazem „linalg[gaussjord](A);. Eliminaci můžeme provádět i krok za krokem, například užitím příkazu „pivot. Lineární soustavu můžeme řešit i užitím speciálního příkazu „linsolve z knihovny linalg. Na tomto místě je třeba uvést, že balíček příkazů linalg je již staršího data a jeho obsah není nijak aktualizován. V novějších verzích Maple je sice nadále trpěn (s přívlastkem „deprecated ), avšak jeho funkci přebírá balíček moderněji naprogramovaných příkazů LinearAlgebra (viz ?LinearAlgebra). Řešení regulární soustavy užitím inverzní matice. Řešení soustavy AX = b můžeme vyjádřit vztahem X = A−1 b, kde A−1 je inverzní matice k matici A. Inverzní matici k matici A získáme zadáním příkazu „inverse(A);. Součin matic A−1 a b můžeme provést jedním z následujících dvou příkazů: > evalm(inverse(A)&*b); nebo linalg[multiply](inverse(A),b); Cramerovo pravidlo. Matice A1 , A2 , A3 vytvoříme například pomocí příkazů submatrix a augment knihovny linalg. Determinant matice A potom vypočítáme příkazem linalg[det](A); Poznámka: Pokud používáme více příkazů z nějaké knihovny, vyplatí se jí otevřít příkazem „with, v našem případě „with(linalg):. Potom bude výpočet, např. pro neznámou x2 , vypadat následovně. Nejprve vytvoříme matici A2 příkazem

106


> A2:=augment(submatrix(A,1..3,[1]),b,submatrix(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu x2 : > x2:=det(A2)/det(A); Zadání matice. Matici M typu (2, 3) zadáme jedním z příkazů: > M:=linalg[matrix](2,3,[1,2,3,4,5,6]); > M:=linalg[matrix]([[1,2,3],[4,5,6]]); Operace s vektory. Vektory, např. u = (1, −2, 3) a v = (0, −5, 4), zadáme příkazy „u:=[1,-2,3]; a „v:=[0,-5,4]; Skalární, respektive vektorový součin vektorů u, v provedeme následující aplikací příkazu dotprod, resp. crossprod: > linalg[dotprod](u,v,’orthogonal’); > linalg[crossprod](u,v); Normu (eukleidovskou) vektoru u spočítáme příkazem „linalg[norm](u,2);. Pozor na záměnu s výpočtem absolutní hodnoty výrazu x. Ta se určí příkazem „abs(x);. Úhel vektorů u, v spočítáme následující posloupností příkazů. První z nich otevře balíček příkazů linalg, druhý uvede velikost úhlu α v radiánech a pomocí třetího příkazu potom tento údaj převedeme na velikost úhlu ve stupních: > with(linalg): > alpha:=arccos(dotprod(u,v)/(norm(u,2)*norm(v,2))); > evalf(convert(alpha,degrees));

3.2

3D grafy v Maple

V této příloze se budeme nejprve podrobně věnovat možnostem znázornění trojrozměrných křivek a ploch pomocí prostředků rozhraní Classic worksheet programu Maple. V závěru přílohy potom zmíníme dvě konkrétní aplikace programu Maple, které dovolují uživatelsky nenáročným způsobem, bez znalosti jakéhokoliv příkazu, konstruovat grafické znázornění ploch a provádět analýzu ploch druhého stupně. Jedná se o takzvané maplety. První z těchto mapletů, Interactive Plot Builder, je asistentem pro kreslení 3D grafů dodávaným spolu s programem. Takovýchto asistentů má uživatel programu Maple k dispozici více, pouze však v prostředí Standard worksheet (pro více informací stačí zadat „?assistants). Druhý z představených mapletů je příkladem uživatelsky naprogramované aplikace. Byl vytvořen v roce 2008 studentem Padagogické fakulty JU Markem Dvorožňákem. Pojetí této aplikace přesně odpovídá jejímu účelu, kterým je provedení kompletní analýzy zadané křivky spolu s jejím grafickým znázorněním. 1. Křivka Křivka zvaná šroubovice je dána parametrickými rovnicemi x = r cos ω, y = r sin ω, z = v0 ω, kde r je poloměr příslušného otáčení, ω je úhel tohoto otáčení

3.2. 3D GRAFY V MAPLE

107

a v0 je parametr šroubového pohybu, tzv. redukovaná výška závitu (posunutí podél osy rotace příslušné otočení o jeden radián). Zadáme parametrické rovnice, zvolíme si hodnoty r a v0 a odpovídající šroubovici zobrazíme. > H:=omega->[r*cos(omega),r*sin(omega),v0*omega]; > r:=5: v0:=0.1: Pro grafické znázornění křivky H(omega) můžeme použít buď příkaz spacecurve z balíčku plots, nebo příkaz plot3d. Zde jsou obě možnosti: > plots[spacecurve](H(t),t=0..4*Pi,axes=frame); > plot3d(H(t),t=0..4*Pi,s=0..1,numpoints=10000); V druhém případě používáme kvůli dané syntaxi příkazu plot3d (očekává dva parametry) „klamný parametr s, který s křivkou nijak nesouvisí. Výslednou podobu grafů můžeme opět ovlivnit prostřednictvím nepovinných parametrů, tzv. voleb (options). 2. Plocha Následují příklady různých způsobů zobrazení plochy v závislosti na jejím zadání. Použité příkazy jsou ve většině případů uvedeny v základním tvaru. Tomu může odpovídat kvalita výsledných grafů. Jejich podobu lze dále ovlivnit, a tím i vylepšit, řadou volitelných parametrů, jejichž kompletní přehled získáme zadáním ?plot3d,options. Za vyzkoušení určitě stojí například volby grid, numpoints, style, caption a lightmodel. Plocha daná rovnicí ve tvaru z = f (x, y). Plocha zvaná Plückerův konoid x2 − y 2 . K jejímu zobrazení můžeme použít buď příkaz je dána rovnicí z = 2 x + y2 plot3d: > z:=(x,y)->(x^2-y^2)/(x^2+y^2); > plot3d(z(x,y),x=-10..10,y=-10..10); nebo příkaz implicitplot3d z balíčku plots: > plots[implicitplot3d](z=(x^2-y^2)/(x^2+y^2),x=-2..2,y=-2..2, z=-2..2, grid=[40,40,10]); Plocha daná rovnicí ve tvaru F (x, y, z) = 0. Trojosý elipsoid, daný rovnicí x2 + 2y 2 + 5z 2 − 1 = 0, zobrazíme například pomocí příkazů > Kv:=x^2+2*y^2+5*z^2-1=0; > plots[implicitplot3d](Kv,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1); Jak bylo řečeno v úvodu, můžeme příkazy pro kreslení grafu doplnit různými nepovinnými parametry ovlivňujícími kvalitu obrázku. Vyzkoušejte: > plots[implicitplot3d](Kv,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1, grid=[20,20,20],style=patchcontour,color=red,lightmodel=light1, scaling=constrained); Plocha daná parametricky. K zobrazení parametrického vyjádření plochy použijeme příkaz plot3d. Například kulovou plochu o středu S = [1, 2, 3] a poloměru r = 2 zobrazíme užitím parametrického grafu takto: > S:=[1,2,3]; r:=2;

108


> plot3d([S[1]+r*cos(u)*cos(t),S[2]+r*cos(u)*sin(t),S[3]+r*sin(u)], t=0..2*Pi,u=-Pi/2..Pi/2,axes=frame); Plocha daná rozměry a souřadnicemi středu/vrcholu. Balíček plottools obsahuje příkazy pro zobrazení různých rovinných křivek (mimo jiné elipsy a hyperboly) a trojrozměrných těles (např. koule, válec, rovnoběžnostěn, osmistěn apod.). Nás z nich na tomto místě mohou zajímat kužel, válec a koule, jejichž povrchy jsou částmi příslušných kvadratických ploch. Kulovou plochu o středu S = [1, 2, 3] a poloměru r = 2 tak můžeme zobrazit pomocí příkazu sphere ze zmíněného balíčku plottools takto: > Koule:=plottools[sphere]([1,2,3],2): > plots[display](Koule,color=green,lightmodel=light2,axes=frame); Příkazy z balíčku plottools negenerují obrázky, ale pouze data potřebná pro jejich vykreslení, které potom musíme provést příkazem plots[display]. Podobně jako kulovou plochu bychom zobrazili také válec a kužel. Použili bychom příkazy plottools[cylinder] a plottools[cone]. Pro více informací viz „?plottools . 3. Rotační plochy - parametrický graf Na straně 103 jsme počítali objem tělesa, které vznikne rotací grafu funkce f (x) = x2 − 4x kolem osy x na intervalu 0, 5 . Toto těleso lze snadno zobrazit (viz obrázek 3.1) pomocí parametrického grafu takto: > f:=x->x^2-4*x; > P:=[x,f(x)*cos(u),f(x)*sin(u)]; > plot3d(P,x=0..5,u=-Pi..Pi,scaling=constrained);

Obrázek 3.1: Rotační plocha 4. Průnik ploch Průniková křivka kulové plochy s válcovou plochou, které jsou dány rovnicemi x2 + y 2 + z 2 = 4r, (x − r)2 + y 2 = r 2 , se nazývá Vivianiho křivka nebo též Vivianiho okno (viz obrázek 3.2). Nejprve zobrazíme příslušnou kulovou a válcovou plochu pro konkrétní hodnotu r. Průnikovou křivku těchto dvou ploch potom vyjádříme parametricky a zobrazíme ve stejném obrázku. Výsledek by měl zhruba odpovídat obrázku 3.2.

3.2. 3D GRAFY V MAPLE

109

Definujeme obě plochy a zvolíme hodnotu r = 5 : > Sph:=x^2+y^2+z^2=4*r^2; Cyl:=(x-r)^2+y^2=r^2; > r:=5: Výstupy příkazů implicitplot nezobrazíme (proto je ukončíme dvojtečkou), ale uložíme do proměnných SphG, CylG: > SphG:=plots[implicitplot3d](Sph,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10, color=grey): > CylG:=plots[implicitplot3d](Cyl,x=-10..10,y=-10..10,z=-10..10, color=pink): K jejich zobrazení do jedné soustavy souřadnic pak použijeme příkaz display z balíčku plots: > plots[display](SphG,CylG); Průnikovou křivku získáme řešením soustavy rovnic daných ploch. Pro získání kompletního řešení použijeme příkaz allvalues: > Sol:=allvalues(solve({Cyl,Sph},{x,y})); Abychom převedli obě řešení do tvaru uspořádaných trojic, použijeme příkaz eval následujícím způsobem: > VW1:=eval([x,y,z],Sol[1]); VW2:=eval([x,y,z],Sol[2]); K zobrazení použijeme příkaz spacecurve z balíčku plots. Opět výstup uložíme do proměnné a ukončíme dvojtečkou: > VWG:=plots[spacecurve]({VW1,VW2 },z=-10..10, color=red, thickness=3, numpoints=1000): Všechny tři objekty (dvě plochy a průnikovou křivku) zobrazíme do jedné soustavy souřadnic: > plots[display3d](SphG,CylG,VWG):

Obrázek 3.2: Vivianiho okno

Poznámka: Chceme-li dostat úplně stejný obrázek, jako je Obr.3.2, musíme příslušné plochy zadat parametricky: > SphG2:=plot3d([2*r*cos(t)*cos(u),2*r*cos(t)*sin(u),2*r*sin(t)], t=-Pi..Pi, u=0..2*Pi, scaling=constrained): > CylG2:=plot3d([r*cos(u)+r,r*sin(u),t], t=-3*r..3*r, u=-Pi..Pi, scaling=constrained): > plots[display3d](SphG2,CylG2,VWG):

110


5. Aplikace pro kreslení 3D grafů Interactive Plot Builder. V prostředí Standard worksheet můžeme využít řadu jednoúčelových aplikací - mapletů, které jsou součástí systému Maple. Více informací získáme po zadání ?assistants, resp. ?tutors.

Obrázek 3.3: Interactive Plot Builder - asistent pro tvorbu 3D grafů

3.3. MODELY VYBRANÝCH PLOCH V MAPLE

111

Maplet „Vyšetření kvadrik Pro podporu výuky křivek druhého stupně a jako doplněk této knihy naprogramoval student Pedagogické fakulty Jihočeské univerzity Marek Dvorožňák v roce 2008 tento maplet provádějící úplnou klasifikaci kvadrik krok za krokem.

Obrázek 3.4: Maplet Vyšetření kvadrik

Aplikace je dostupná na zdrojovém CD knihy Maplety mohou být spuštěny nezávisle na běhu programu Maple. Bohužel je však nutné, aby byl program Maple (verze 9.5 nebo vyšší) na počítači nainstalován. Maplety využívají jeho výpočetní jádro.

3.3

Modely vybraných ploch v Maple

Tato příloha je věnována užití Maple k odvození parametrických rovnic a grafickému znázornění vybraných kvadratických ploch. Uvedená řešení v Maple jsou inspirována příklady, které najdeme v knize na následujících stranách: str. 76 (rotační jednodílný hyperboloid), str. 90 (hyperbolický paraboloid) a str. 97 (rotační kuželová plocha). 1. Rotační jednodílný hyperboloid Příklad: Ukažte, že rotací přímky kolem osy, která je s přímkou mimoběžná, vznikne rotační jednodílný hyperboloid (Str. 76).


112

Zobrazení v Maple: > restart; with(linalg): Úlohu budeme řešit nejprve obecně. Proto zadáme bod tvořící přímky A a její směrový vektor u jako obecné uspořádané trojice: > A:=vector(3): u:=vector(3): Tvořící přímku zadáme parametricky: > p:=A+t*u; > p:=evalm(p); Potom definujeme matici rotace kolem osy z > Rot_z:=matrix([[cos(s),-sin(s),0],[sin(s),cos(s),0],[0,0,1]]); a vynásobíme s ní parametricky dané souřadnice přímky p > ph:=evalm(Rot_z(s)&*p); Výsledkem je parametrické vyjádření plochy, která vznikne příslušnou rotací přímky p.

ph = [(A1 +tu1 ) cos s−(A2 +tu2 ) sin s, (A1 +tu1 ) sin s+(A2 +tu2 ) cos s, A3 +tu3 ]

Po dosazení konkrétních souřadnic bodu A a vektoru u > A:=[3,0,0]; u:=[-1,2,5]; můžeme přistoupit k zobrazení tvořící přímky: > plot3d(p,t=-2..1,k=-1..1,axes=normal,labels=[x,y,z], scaling=constrained,view=[-4.2..4.2,-4.2..4.2,-4..6], tickmarks=[3,3,3],thickness=3); případně, s pomocí příkazu seq, celé posloupnosti jejích poloh během rotace kolem osy z: > ph:=map(unapply,ph,s,t): > plot3d([seq(evalm(ph(s/5,t)),s=0..30)],t=-2..1,k=-1..1,axes=normal, labels=[x,y,z],scaling=constrained,view=[-4.2..4.2,-4.2..4.2,-4..6]); Nakonec zobrazíme výslednou plochu - jednodílný rotační hyperboloid: > plot3d(ph(s,t),s=0..2*Pi,t=-6..1,axes=frame,labels=[x,y,z], scaling=constrained,view=[-4.2..4.2,-4.2..4.2,-4..6],tickmarks=[3,3,3], orientation=[-40,70]);

3.3. MODELY VYBRANÝCH PLOCH V MAPLE

113

6

4

2

0

–2

–4

–4

4

–2

2

0

0

2

–2 4

Obrázek 3.5: Výsledný rotační jednodílný hyperboloid

2. Hyperbolický paraboloid

Příklad: V daném prostorovém čtyřúhelníku ABCD, který leží na hyperbolického paraboloidu sestrojte přímky 1. a 2. regulu, obr. 2.28, 2.29 (Str. 90).

Zobrazení v Maple: Vyjdeme z obrázku 2.28 na straně 90. Nejprve definujeme přímky (úsečky) AD, BC: > restart; > p:=A+t*u; q:=B+t*v; Každá přímka 1. regulu, určeného přímkami AB, CD, se dá vyjádřit parametricky následující rovnicí, kde s je reálný parametr: > X:=p+s*(q-p); Po dosazení konkrétních hodnot do proměnných A, B, u a v: > A:=[0,0,0]: u:=[5,0,2]: B:=[0,25,10]: v:=[5,0,-2]: definujeme obrazy úseček AD, BC (usecky) a plochy jimi určené (plocha): > usecky:=plot3d(evalm(p),evalm(q),t=0..5,k=-1..1,thickness=6): > plocha:=plot3d(evalm(X),t=0..5,s=0..1): Nakonec úsečky i plochu vykreslíme příkazem display: > plots[display](usecky,plocha,scaling=constrained);


114

Obrázek 3.6: Výsledný hyperbolický paraboloid 3. Rotační kuželová plocha

Příklad: Napište rovnici kuželové plochy s vrcholem v bodě V = [3, 0, 0], jejíž tvořící přímky svírají s osou x úhel ϕ = 30◦ (Str. 97). Zobrazení v Maple: Jednotlivé kroky řešení se objevily v řešeních předcházejících úloh. Proto je již nebudeme komentovat. > restart; > X:=V+t*u; > V:=[3,0,0]; u:=[-3,0,sqrt(3)]; > plot3d(evalm(X),t=0..1,k=-1..1,axes=normal,thickness=5, tickmarks=[3,3,3]);

1.5

1 –1 0.5

1

1

2 3

Obrázek 3.7: Část tvořící přímky

> Rot:=matrix([[1,0,0],[0,cos(s),-sin(s)],[0,sin(s),cos(s)]]); > Xh:=evalm(Rot&*X); > plot3d(Xh,s=-Pi..Pi,t=0..1,scaling=constrained,axes=frame, tickmarks=[3,3,3],color=grey,light=[90,-5,1,1,1]);

3.4. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD

115

1

0

–1

0

–1 1

0 2

1 3

Obrázek 3.8: Část výsledné kuželové plochy

3.4

Řešení Příkladu 1 (str.55) v programu Maple

Zadání: Vyšetřete kvadriku [2], [5] 7x2 + 6y 2 + 5z 2 − 4xy − 4yz − 22x + 24y + 2z + 30 = 0.

(3.1)

Kompletní kód řešení v Maple: Poznámka: Výstupy některých příkazů kódu nejsou v textu uvedeny. Většinou se jedná o případy, kdy výstup pouze kopíruje zadaný příkaz. > restart; > with(LinearAlgebra): with(linalg): with(plots): Obecnou rovnici kvadriky můžeme zapsat a vytvořit užitím matice kvadriky K: > X:=Vector[row]([x,y,z,1]); > K:=Matrix(a,1..4,1..4,shape=symmetric); ⎡ ⎤ a(1, 1) a(1, 2) a(1, 3) a(1, 4) ⎢ a(1, 2) a(2, 2) a(2, 3) a(2, 4) ⎥ ⎥ K := ⎢ ⎣ a(1, 3) a(2, 3) a(3, 3) a(3, 4) ⎦ a(1, 4) a(2, 4) a(3, 4) a(4, 4) > Kvadrika:=sort(expand(X.K.Transpose(X)),[x,y,z])=0; Kvadrika := a(1, 1) x2 + 2 a(1, 2) x y + 2 a(1, 3) x z + a(2, 2) y 2 + 2 a(2, 3) y z +a(3, 3) z 2 + 2 a(1, 4) x + 2 a(2, 4) y + 2 a(3, 4) z + a(4, 4) = 0 Rovnice kvadriky dle zadání: > RovKv:=7*x^2+6*y^2+5*z^2-4*x*y-4*y*z-22*x+24*y+2*z+30=0;


116

Hodnoty koeficientů rovnice dané kvadriky, potřebné pro vytvoření její matice, získáme porovnáním obecného tvaru rovnice kvadriky Kvadrika s danou konkrétní rovnicí RovKv. To vede na soustavu jednoduchých rovnic SoustRovKoef, z nichž každá má jako neznámou jeden z koeficientů a(1,1), ..., a(4,4) (viz následující řádky kódu). Poznámka: Mohli jsme také určit každý koeficient zvlášť opakovaným použitím funkce coeff na levou stranu rovnice RovKv. > SoustRovKoef:={coeffs(lhs(collect(RovKv-Kvadrika, [x,y,z],distributed)))}; > KoefRovKv:=solve(SoustRovKoef,{a(1,1),a(1,2),a(1,3), a(1,4),a(2,2),a(3,3),a(2,3),a(2,4),a(3,4),a(4,4)}); Rovnosti a(i,j)=číslo převedeme na přiřazovací příkazy užitím funkce assign. > assign(KoefRovKv); Tím se do obecného tvaru matice kvadriky K dosadí konkrétní hodnoty. Matice K dané kvadriky má pak tvar: > K;

⎡

⎤ 7 −2 0 −11 ⎢ −2 6 −2 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0 −2 5 1 ⎦ −11 12 1 30

Diskriminant kvadriky Δ > Delta:=det(K); Δ := −972 Diskriminant je různý od nuly. Kvadrika je tedy regulární. Hlavní minor kvadriky A44 > SubK:=submatrix(K,1..3,1..3); ⎡ ⎤ 7 −2 0 SubK := ⎣ −2 6 −2 ⎦ 0 −2 5 > A44:=det(SubK); A44 := 162 Hlavní minor kvadriky A44 je různý od nuly. Kvadrika je tedy středová. Charakteristická rovnice kvadriky Nejprve vytvoříme jednotkovou matici E:


117

> E:=evalm(array(1..3,1..3,identity)); ⎡ ⎤ 1 0 0 E := ⎣ 0 1 0 ⎦ 0 0 1 Potom definujeme matici ChM příslušné homogenní soustavy, která vede k charakteristické rovnici ChR: > ChM:=evalm(SubK-lambda*E); ⎡ ⎤ 7 − λ −2 0 ChM := ⎣ −2 6 − λ −2 ⎦ 0 −2 5 − λ > ChR:=det(ChM)=0; ChR := 162 − 99 λ + 18 λ2 − λ3 = 0 Kořeny charakteristické rovnice jsou vlastní čísla kvadriky: > ResChR:=solve(ChR,lambda); ResChR := 3, 6, 9 Pro snazší manipulaci můžeme vlastní čísla zapsat jako složky vektoru (uspořádané trojice) λ : > lambda:=[ResChR]; λ := [3, 6, 9] Potom ke konkrétnímu vlastnímu číslu přistoupíme prostřednictvím odpovídajícího indexu (pořadového čísla v uspořádané trojici): > lambda[1]; lambda[2]; lambda[3]; 3 6 9 Kanonický tvar rovnice kvadriky Absolutní člen rovnice

Δ : A44

> Delta/A44; −6 > kr:=lambda[1]*x^2+lambda[2]*y^2+9*z^2=-Delta/A44; kr := 3 x2 + 6 y 2 + 9 z 2 = 6 Konečná podoba kanonického tvaru rovnice dané kvadriky: > KanRovKv:=kr/(abs(Delta/A44)); 3 z2 x2 + y2 + =1 KanRovKv := 2 2


118

Danou kvadrikou je trojosý elipsoid. Délky poloos elipsoidu: > a=sqrt(1/coeff(lhs(KanRovKv),x,2)); > b=sqrt(1/coeff(lhs(KanRovKv),y,2)); > c=sqrt(1/coeff(lhs(KanRovKv),z,2)); √ a= 2 b=1 √ 6 c= 3 Zobrazení elipsoidu v transformované soustavš souřadnic provedeme pomocí funkce implicitplot > implicitplot3d(KanRovKv,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,grid=[30,30,30], style=patchcontour,orientation=[40,55],axes=frame,tickmarks=[3,3,3], color=COLOR(RGB,250/255,250/255,250/255),light=[90,-5,1,1,1]);

2

–2

–2 z x

y

2

2 –2

Vyšetření polohy kvadriky v původní soustavě souřadnic Souřadnice středu kvadriky. Uvažujme vzájemnou polohu přímky Primka a dané kvadriky RovKv: > Primka:=[x=m+t*u,y=n+t*v,z=p+t*w]; > RovKv; 7 x2 + 6 y 2 + 5 z 2 − 4 x y − 4 y z − 22 x + 24 y + 2 z + 30 = 0 Dosazení parametrických rovnic přímky za x, y, a z do rovnice kvadriky vede k následující rovnici s proměnnou t :


119

> RovKvPr:=simplify(eval(RovKv,Primka)); RovKvPr := 7 m2 + 14 m t u + 7 t2 u2 + 6 n2 + 12 n t v + 6 t2 v 2 + 5 p2 + 10 p t w +5 t2 w2 − 4 m n − 4 m t v − 4 t u n − 4 t2 u v − 4 n p − 4 n t w − 4 t v p −4 t2 v w − 22 m − 22 t u + 24 n + 24 t v + 2 p + 2 t w + 30 = 0 Rovnici můžeme zapsat ve tvaru A t2 + B t + C = 0, kde koeficienty A, B, C mají následující tvar: > A:=coeff(lhs(RovKvPr),t^2); A := 7 u2 + 6 v 2 + 5 w2 − 4 u v − 4 v w > B:=1/2*coeff(lhs(RovKvPr),t); B := 7 m u + 6 n v + 5 p w − 2 m v − 2 u n − 2 n w − 2 v p − 11 u + 12 v + w > C:=coeff(lhs(RovKvPr),t,0); C := 7 m2 + 6 n2 + 5 p2 − 4 m n − 4 n p − 22 m + 24 n + 2 p + 30 Středem kvadriky je bod S = [m, n, p], pro jehož souřadnice je koeficient B roven nule, tj. B = 0, bez ohledu na souřadnice [u, v, w] směrového vektoru přímky. > B1:=collect(B,[u,v,w]); B1 := (7 m − 11 − 2 n) u + (6 n − 2 m + 12 − 2 p) v + (−2 n + 5 p + 1) w Souřadnice středu kvadriky tak určíme řešením následující homogenní soustavy rovnic s neznámými m, n, p : > RStr:=coeffs(B1,[u,v,w]); RStr := 6 n − 2 m + 12 − 2 p, −2 n + 5 p + 1, 7 m − 11 − 2 n > RStr_res:=solve({RStr},{m,n,p}); RStr res := {m = 1, p = −1, n = −2} Střed kvadriky: > S:=eval([m,n,p],RStr_res); S := [1, −2, −1] Hlavní směry kvadriky Řešíme příslušné homogenní soustavy rovnic, postupně pro všechny tři vlastní čísla. 1) λ1 = 3 > MatHlSm1:=evalm(SubK-lambda[1]*E);


120

⎡

⎤ 4 −2 0 MatHlSm1 := ⎣ −2 3 −2 ⎦ 0 −2 2 > RovHlSm1:=geneqns(MatHlSm1,[u,v,w]); RovHlSm1 := {−2 u + 3 v − 2 w = 0, −2 v + 2 w = 0, 4 u − 2 v = 0} > HlSm1:=solve(RovHlSm1,{u,v,w}); HlSm1 := {v = 2 u, w = 2 u, u = u} > u1:=eval([u,v,w],HlSm1); u1 := [u, 2 u, 2 u] Hlavní směr u1 : > u1:=eval(u1,u=1); u1 := [1, 2, 2] 2) λ2 = 6 > MatHlSm2:=evalm(SubK-lambda[2]*E); ⎡ ⎤ 1 −2 0 MatHlSm2 := ⎣ −2 0 −2 ⎦ 0 −2 −1 > RovHlSm2:=geneqns(MatHlSm2,[u,v,w]); RovHlSm2 := {u − 2 v = 0, −2 v − w = 0, −2 u − 2 w = 0} > HlSm2:=solve(RovHlSm2,{u,v,w}); HlSm2 := {u = 2 v, w = −2 v, v = v} > u2:=eval([u,v,w],HlSm2); u2 := [2 v, v, −2 v] Hlavní směr u2 : > u2:=eval(u2,v=1); u2 := [2, 1, −2] 3) λ3 = 9 > MatHlSm3:=evalm(SubK-lambda[3]*E); ⎡ ⎤ −2 −2 0 MatHlSm3 := ⎣ −2 −3 −2 ⎦ 0 −2 −4


121

> RovHlSm3:=geneqns(MatHlSm3,[u,v,w]); RovHlSm3 := {−2 u − 2 v = 0, −2 u − 3 v − 2 w = 0, −2 v − 4 w = 0} > HlSm3:=solve(RovHlSm3,{u,v,w}); HlSm3 := {u = 2 w, v = −2 w, w = w} > u3:=eval([u,v,w],HlSm3); u3 := [2 w, −2 w, w] Hlavní směr u3 : > u3:=eval(u3,w=1); u3 := [2, −2, 1] Hlavní roviny Odvodíme obecnou rovnici průměrové roviny sdružené se směrem [u, v, w] > U:=Vector[row]([u,v,w,0]); U := [u, v, w, 0] > PrumerR:=collect(expand(evalm(U&*K&*Transpose(X))),[x,y,z])=0; PrumerR := (7 u − 2 v) x + (−2 u + 6 v − 2 w) y + (−2 v + 5 w) z − 11 u + 12 v + w = 0 Postupným dosazením hlavních směrů dostaneme obecné rovnice příslušných hlavních rovin: > HlR1:=eval(PrumerR,[u=u1[1],v=u1[2],w=u1[3]]); > HlR2:=eval(PrumerR,[u=u2[1],v=u2[2],w=u2[3]]); > HlR3:=eval(PrumerR,[u=u3[1],v=u3[2],w=u3[3]]); HlR1 := 3 x + 6 y + 6 z + 15 = 0 HlR2 := 12 x + 6 y − 12 z − 12 = 0 HlR3 := 18 x − 18 y + 9 z − 45 = 0 Zobrazení kvadriky v původní poloze spolu s jejími osami a hlavními rovinami Můžeme si definovat barvu(y) pro obarvení grafu(ů): > col1:=COLOR(RGB,250/255,250/255,250/255): Jednotlivé grafy uložíme do proměnných: 1) Kvadrika: > Kvg:=implicitplot3d(RovKv,x=-2..3,y=-4..0,z=-3..2,axes=frame, color=col1,style=patchnogrid,grid=[40,40,40],light=[60,20,1,1,1], tickmarks=[3,3,3],orientation=[52,63],scaling=constrained):


122 2) Osy elipsoidu:

> o1g:=plot3d(evalm(S+t*u1),t=-2..2,j=-1..1,thickness=3): > o2g:=plot3d(evalm(S+t*u2),t=-2..2,j=-1..1,thickness=3): > o3g:=plot3d(evalm(S+t*u3),t=-2..2,j=-1..1,thickness=3): 3) Hlavní roviny: > HlR1g:=plot3d(solve(HlR1,z),x=-2..3,y=-4..0,color=grey, style=patchnogrid,contours=60): > HlR2g:=plot3d(solve(HlR2,z),x=-2..3,y=-4..0,color=red, style=patchnogrid,contours=60): > HlR3g:=plot3d(solve(HlR3,z),x=-2..3,y=-4..0,color=green, style=patchnogrid,contours=60): K zobrazení více grafů v jedné soustavě použijeme příkaz plots[display]: > display(Kvg,o1g,o2g,o3g,HlR1g,HlR2g,HlR3g,axes=frame, scaling=constrained,orientation=[143,75],view=[-2..3,-4..0,-3..2]);

2

0 z

–2

2 0 x

–2

–1

–2 y

–3

–4

Závěr V této publikaci jsme se seznámili se základy teorie kvadrik, která navazuje na teorii kuželoseček. Po úvodní teoretické části, která se zabývá obecnými vlastnostmi kvadratických ploch, jsou ve druhé části studovány vlastnosti jednotlivých kvadrik se zřetelem k jejich použití v praxi. Svými jedinečnými vlastnostmi jsou kvadriky nedílnou součástí našeho života.

123

Výsledky cvičení z kapitoly 1 Cvičení 1: (x + 3)2 + (y − 2)2 + (z + 5)2 = 38. Cvičení 2: (x − 5)2 + (y + 4)2 + (z − 7)2 = 100, S = [5, −4, 7], r = 10. Cvičení 3: a) středová regulární, dvojdílný hyperboloid, Δ = −172872, A44 = −2058, = 1,−2, 23 , , u λ1 = 7, λ2 = 14, λ3 = −21, u1 = 1, 32 ,3 , u2 = 3,1, −3 3 2 √ √ 2 2 2 kanonická rovnice : x12 + y6 − z4 = −1, a = 2 3, b = 6, c = 2, 21 α : 7 x + 21 2 y + 21 z − 2 = 0, β : 42 x + 14 y − 21 z − 63 = 0, γ : −21 x + 42 y − 14 z − 140 = 0, o1 : x = 32 + 32 r, y = −3 r, z = r, o2 : x = −9 + 3 q, y = q, z = − 32 q + 72 , o3 : x = p, y = 32 p + 3, z = 3 p − 1, S = [0,3,−1] b) nestředová paraboloid, Δ √ regulární, eliptický √ √ A44 = 0, √ = −27, λ1 = 10 − 2 7, λ2 = 10 + 2 7, λ3 = 0, u1 = 1,3 − 7,−5 + 2 7 , √ √ u2 = 53 − 23 7, 13 − 13 7,1 , u3 = [1,−2,−1], √ 2 2 y√ 6√ x√ 1 + 1 = 2 z, a = 2 , kanonická rovnice : 1 6√ 6√ 10−2 7 4 10+2 7 √ 4 10−2 7 6√ , b = 12 10+2 7 √ √ √ √ α : 10 − 2 7 x + 44 − 16 7 y + −78 + 30 7 z − 52 + 2 7 = 0, √ √ √ √ 10 8 5 7 x + −4 7 y + 10 + 2 7 z + 31 7 = 0, β : 22 3 − 3 3 − 3 6 − 3 5 −137 7 41 − r, y = + 2 r, z = r, V = , , o1 : x = −2 3 24 144 9 144 c) nestředová singulární, parabolická plocha, Δ = 0, A44 = 0, −1 válcová 4 λ1 = 26, λ2 = 0, λ3 = 0, u1 = 3 ,1, 3 , u2 = [3,1,0], u3 = [4,0,1], √ √ 2 4 1 17 z, a = 26 26, kanonická rovnice : x1 = 17 α : − 26 3 x + 26 y +

26

104 3

z−

8 3

=0

d) nestředová singulární, přímka (imaginární různoběžné roviny), Δ = 0, A44 = 0, λ1 = 1, λ2 = 3, λ3 = 0, u1 = [1,0,1], u2 = [1,2,−1], u3 = [1,−1,−1], √ 2 2 kanonická rovnice : x1 + y1 = 0, a = 1, b = 13 3, α : x − 2 + z = 0, 3

β : 3 x + 6 y − 3 z − 12 = 0, o1 : x = p, y = −p + 3, z = −p + 2 125

e) středová regulární, vejčitý rotační elipsoid, Δ = −64, A44 = 4, λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 2, u1 = [0,0,1], u2 = [1,0,0], u3 = [0,1,0], √ √ 2 2 2 kanonická rovnice : x16 + y8 + z8 = 1, a = 4, b = 2 2, c = 2 2, α : z = 0, β : 2 x − 2 = 0, γ : 2 + 2 y = 0, o1 : x = 1, y = q, z = 0, o2 : x = p, y = −1, z = 0, o3 : x = 1, y = −1, z = r, S = [1,−1,0] f ) středová singulární, kuželová plocha, Δ = 0, A44 = −2.25, λ1 = 3.17, λ2 = −0.942, λ3 = 0.762, u1 = [1,−2.17,−1.02], u2 = [1,1.94,−3.11], u3 = [1,0.242,0.468], y2 x2 z2 − 1.06 + 1.32 = 0, a = 0.562, b = 1.03, c = 1.15, kanonická rovnice : 0.316 α : 3.17 x − 6.89 y − 3.26 z − 13.7 = 0, β : −0.942 x − 1.80 y + 2.91 z − 5.56 = 0, γ : 0.762 x + 0.180 y + 0.35 z − 0.76 = 0, o1 : x = 4.19 q + 9.36, y = q, z = 1.96 q + 4.93, o2 : x = 0.526 q + 2.05, y = q, z = −1.60 q − 2.20, o3 : x = 0.08 − 0.466 q, y = q, z = 0.471 q + 1.94, S = [1,−2,1] g) nestředová paraboloid, = 64, A44 = 0, √ regulární, hyperbolický √ √ Δ√ λ1 = 1 − 3 5, λ2 = 1 + 3 5, λ3 = 0, u1 = − 5,− 5 − 3,1 , √ √ 5, 5 − 3,1 , u3 = [1,−1,−3], u2 = √ √ 2 2 y√ x√ 2 11√ + = 2 z, a = 11 , kanonická rovnice : − 4 11√ 4 11 11 −1+3 5 √ 11 −1+3 5 11 1+3 5 √ √ 2 11 √ 11 , b = 11 1+3 5 √ √ √ √ α : − 5 + 15 x + 8 5 + 12 y + 1 − 3 5 z + 3 5 + 15 = 0, √ √ √ √ 5 + 15 x + −8 5 + 12 y + 1 + 3 5 z − 3 5 + 15 = β: 0, 12 21 −1433 377 2451 o1 : x = p, y = −p − 11 , z = −3 p − 11 , V = 968 , 968 , 968 h) středová regulární, trojosý elipsoid, Δ = −5648, A44 = 324, λ1 = 3, λ2 = 6, λ3 = 18, u1 = 12 ,1,1 , u2 = [2,1,−2], u3 = [2,−2,1], √ √ y2 x2 z2 2 1 + 706 + 706 = 1, a = 27 1059, b = 27 2118, kanonická rovnice : 1412 243 243 729 √ 1 706, α : 32 x + 3 y + 3 z − 11 c = 27 2 = 0, β : 12 x + 6 y − 12 z − 22 = 0, 11 γ : 36 x − 36 y + 18 z − 22 = 0, o1 : x = 11 9 + 2 r, y = 9 − 2 r, z = r, 55 55 o2 : x = −11 27 + 2 q, y = q, z = −2 q + 27 , o3 : x = p, y = 2 p − 27 , 77 121 77 11 z = 2 p − 27 , S = 81 , 81 , 81 i) nestředová singulární, dvě rovnoběžné roviny, Δ = 0, A44 = 0, −1 ,1, λ1 = 14, λ2 = 0, λ3 = 0, u1 = −3 2√ 2 , u2 = [1,0,−3], u3 = [0,1,2], x2 1 kanonická rovnice : 1 = 1, a = 4 2, α : −21 x + 14 y − 7 z − 72 = 0 8

j) nestředová eliptická válcová plocha, = 0, √A44 = 0,√ √ singulární, √ Δ 7 1 7 1 −5 λ1 = 2 − 2 13, λ2 = 2 + 2 13, λ3 = 0, u1 = 1, 2 + 12 13,3 − 13 , √ √ 1 13,3 + 13 , u3 = [2,2,1], u2 = 1, −5 2 − 2 2

2

√

√

x + y5 √ = 1, a = 7 15 √ , b = 7 15 √ , kanonická rovnice : 5 7 − 1 √13 7 + 1 13 ( − 13) ( 2 + 2 13) 2 2 √ √ 2 2 7 1 √ 2 2 7 1 √ α : 2 − 2 13 x + −12 + 3 13 y + 17 − 5 13 z + 2 − 2 13 = 0,

√ √ √ β : 72 + 12 13 x + −12 − 3 13 y + 17 + 5 13 z + o1 : x = −1 + 2 r, y = 2 r, z = r

7 2

+

1 2

√

13 = 0,

k) nestředová singulární, plocha, Δ = 0, A√ 44 = 0, √ √ hyperbolická válcová √ 7 −8 1 − 66,1, − 66 , λ1 = − 12 66, λ2 = 12 66, λ3 = 0, u1 = 20 19 38 19 38 √ 29 √ −40 7 4 u2 = 1, 43 + 43 66, 43 − 43 66 , u3 = [1,−4,−7], 2

2

3

3

1 1 66 4 , b = 33 66 4 , kanonická rovnice : − 2 x√66 + 2 y√66 = 1, a = 33 33 √ 33 √ √ 231 10 √ 1 4 y + 33 66 z − 33 + 15 66 = 0, α: 38 − 19 66 x − 2√ 66 38 + 19 √ √ 38 330 19 51 √ −132 1 231 20 29 β : 2 66 x + 43 − 43 66 y + 43 + 86 66 z − 43 + 86 66 = 0, o1 : x = p, y = −4 p + 2, z = −7 p + 1

5 = 375 l) středová regulární, imaginární 4 −5 elipsoid, −4Δ = 750, A44 4 , λ1 = 2 , 15 4 5 λ2 = 5, λ3 = 2 , u1 = 3 ,1, 3 , u2 = 1, 3 ,0 , u3 = 3 ,1, 3 , √ √ √ 2 2 2 4 15, kanonická rovnice : x16 + y8 + z16 = −1, a = 45 5, b = 25 10, c = 15 5

5

15

5 25 5 20 5 α : 10 3 x + 2 y − 6 z − 3 = 0, β : 5 x − 3 y + 3 = 0, 15 25 −1 4 γ : 10 x + 2 y + 2 z − 30 = 0, o1 : x = 3 + 3 q, y = q, z = 53 q − 23 , 4 5 8 o2 : x = p, y = − 43 p + 73 , z = 1, o3 : x = −1 3 + 3 q, y = q, z = − 3 q + 3 , S = [1,1,1]

m) nestředová singulární, rotační válcová plocha, Δ = 0, A44 = 0, λ1 = 3, λ2 = 3, λ3 = 0, u1 = [1,0,−1], u2 = [0,1,1], u3 = [1,−1,1], √ √ 2 2 kanonická rovnice : x26 + y26 = 1, a = 26, b = 26, α : 3 x − 15 − 3 z = 0, β : 21 + 3 y + 3 z = 0, o1 : x = p, y = −p − 2, z = −5 + p n) nestředová singulární, dvojnásobná rovina, Δ = 0, A44 = 0, λ1 = 11, λ2 = 0, λ3 = 0, u1 = [1,−3,1], u2 = [1,0,−1], u3 = [0,1,3], √ 2 1 11, α : 11 x − 33 y + 11 z + 44 = 0 kanonická rovnice : x1 = 0, a = 11 11

o) nestředová singulární, hyperbolická válcová plocha, Δ = 0, A44 = 0, λ1 = −4, λ2 = 9, λ3 = 0, u1 = [1,−1,0], u2 = [1,1,1], u3 = [1,1,−2], 2 2 kanonická rovnice : x9 − y4 = 1, a = 3, b = 2, α : −4 x + 4 y − 4 = 0, β : 9 x + 9 y + 9 z − 9 = 0, o1 : x = p, y = p + 1, z = −2 p 1 p) středová regulární, rotační dvojdílný hyperboloid, Δ = −1 4 , A44 = 4 , −1 u3 = [−1,0,1], λ1 = 1, λ2 = −1 2 , λ3 = 2 , u1 = [1,1,1], u2 = [−1,1,0], √ √ 2 y2 x z2 kanonická rovnice : − 1 + 2 + 2 = −1, a = 1, b = 2, c = 2, α : x + y + z = 0, β : 12 x − 12 y = 0, γ : 12 x − 12 z = 0, o1 : x = p, y = p, z = −2 p, o2 : x = p, y = −2 p, z = p, o3 : x = p, y = p, z = p, S = [0,0,0]

q) nestředová regulární, hyperbolický paraboloid, Δ = 16, A44 = 0, λ1 = −5, λ2 = 6, λ3 = 0, u1 = [1,−2,0], u2 = [2,1,−1], u3 = [2,1,5], √ √ √ √ 2 2 1 1 6 4 30, b = 15 5 4 30, kanonická rovnice : − 2 x√30 + 1 y√30 = −2 z, a = 15 75

45

α : −5 x + 10 y − 8 = 0, β: 12 x + 6 y −6 z − 2 = 0, o1 : x = −739 701 −571 y = q, z = 5 q − 53 15 , V = 900 , 1800 , 360

−8 5

+ 2 q,

r) středová singulární, rotační kuželová plocha, Δ = 0, A44 = 128, λ1 = 32, λ2 = −2, λ3 = −2, u1 = [−1,1,0], u2 = [1,1,0], u3 = [0,0,1], √ √ √ 2 2 2 kanonická rovnice : − x1 + y1 + z1 = 0, a = 18 2, b = 12 2, c = 12 2, 32

2

2

α : −32 x + 32 y + 32 = 0, β : −2 x − 2 y + 2 = 0, γ : −2 z = 0, o1 : x = 1, y = 0, z = r, o2 : x = q + 1, y = q, z = 0, o3 : x = −q + 1, y = q, z = 0, S = [1,0,0]

s) nestředová regulární, rotační paraboloid, −3 A44 = 0, λ1 = 13, Δ = −13, 3 λ2 = 13, λ3 = 0, u1 = [1,0,0], u2 = 0,1, 2 , u3 = 0, 2 ,1 , √ √ 2 2 1 4 1 4 13, b = 13 13, kanonická rovnice : 1 x√13 + 1 y√13 = 2 z, a = 13 169

169

α : 13 x + 52= 0, β : −3 4 + 13 y + −501 90 , , z = r, V = −5 26 676 169

39 2

z = 0, o1 : x =

−5 26 ,

y=

3 52

− 32 r,

Literatura [1] Alexandrov, P.S.: Kurs analytičeskoj geometriji i linějnoj algebry. Nauka, Moskva 1979. [2] Bydžovský, B.: Úvod do analytické geometrie. Nakladatelství Československé akademie věd, Praha 1956. [3] Černý, J., Kočandrlová, M.: Kvadriky při řešení úloh GPS. Sborník 23. konference o geometrii a počítačové grafice, Hojsova Stráž–Brčálník, ZČU FAV v Plzni 2003. [4] Pech, P.: Kuželosečky. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, České Budějovice 2004. [5] Rektorys, K.: Přehled užité matematiky. SNTL – Státní nakladatelství technické literatury, Praha 1988. [6] Kratochvíl, L.: Budova DOC Mercury České Budějovice s autobusovým nádražím na střeše stavby [online]. Časopis stavebnictví. číslo 08/07 http://www.casopisstavebnictvi.cz

129

Rejstřík asymptotický směr, 16, 36, 58, 61, 62

hyperboloidy, 71 charakteristická rovnice kvadriky, 39, 40, 58, 61, 63, 116

bod dotyku, 28 Classic worksheet, 101

imaginární elipsoid, 51, 71 imaginární eliptická válcová plocha, 53 imaginární kuželová plocha, 51 imaginární rovnoběžné roviny, 54 imaginární různoběžné roviny, 53 imaginární válcová plocha, 93 Interactive Plot Builder, 110 izoperimetrická vlastnost, 70

diskriminant kvadriky, 39, 61, 63, 116 dvojdílný hyperboloid, 51, 78 dvojice různoběžek, 95 dvojice různoběžných rovin, 25, 64 dvojnásobná rovina, 26, 54 dvě rovnoběžné roviny, 35, 54 dvě různoběžné roviny, 54 dvě různé roviny, 11

jediný bod, 11 jednodílný hyperboloid, 51, 71

elipsa, 95 elipsoid, 11 elipsoidy, 67 eliptická válcová plocha, 53, 62, 92 eliptický paraboloid, 52, 82

kanonický tvar rovnice, 49 kanonický tvar rovnice kvadriky, 47, 49, 56, 117 klasifikace kvadrik, 50 kulová plocha, 9, 10, 35, 70 kuželosečky, 97 kuželová plocha, 12, 23, 52, 95 kvadratická plocha, 9 kvadrika, 9 kvadriky eliptického typu, 50 kvadriky hyperbolického typu, 51 křivky a plochy v Maple, 106

GPS, 80 hlavní minor kvadriky, 116 hlavní rovina, 42 hlavní roviny kvadriky, 37, 60, 121, 122 hlavní směr, 37 hlavní směry kvadriky, 40, 57, 58, 62, 119 hrdlo, 72 hrdlová elipsa, 72 hyperbola, 95 hyperbolická válcová plocha, 53, 93 hyperbolický paraboloid, 12, 52, 59, 85, 90, 113

maplet, 106, 111 matice kvadriky, 115 matice přechodu, 43 maticový tvar rovnice kvadriky, 10 množina prázdná, 12 nesečna, 14 130

nestředová kvadrika, 61 nestředová singulární kvadrika, 63 nestředové kvadriky, 47 nestředové regulární kvadriky, 52 nestředové singulární kvadriky, 53, 92 nevlastní body, 35 normovaný vektor směru, 58 normálový vektor, 38 nápověda Maple, 102 obecná rovnice kvadriky, 115 ortogonální invarianty, 39 ortogonální matice, 43 osa paraboloidu, 60 osy elipsoidu, 122 parabola, 86 parabolická válcová plocha, 55, 94 parabolické zrcadlo, 84 paraboloid, 52, 58, 82 polární rovina, 30 program Maple, 101 prostorový čtyřúhelník, 89 průměrová rovina, 32, 42, 60, 121 průnik ploch, 108 příkazy Maple, 102 přímka, 53 přímka singulárních bodů, 64 přímková plocha, 73, 87, 92 regulus, 75, 87, 88 regulární bod, 23 regulární kvadrika, 22, 55, 57 rotační dvojdílný hyperboloid, 79 rotační elipsoid, 68 rotační jednodílný hyperboloid, 72, 111 rotační kuželová plocha, 95, 114 rotační paraboloid, 84 rotační plocha v Maple, 108 rotační válcová plocha, 92 rovnice středu, 17 rovnice tečné roviny, 28

rovnoosý rotační dvojdílný hyperboloid, 80 rovnoosý rotační jednodílný hyperboloid, 73 sedlový bod, 86 sečna kvadriky, 14 singulární bod, 21 singulární kvadrika, 22, 61, 63 směr, 16 Standard worksheet, 101 střed kvadriky, 18, 57, 119 středová kvadrika, 18, 45, 55, 116 středové regulární kvadriky, 50, 71 středové singulární kvadriky, 51 tečna kvadriky, 14, 27 tečná rovina kvadriky, 28, 86 tečná rovina válcové plochy, 94 transformace soustavy souřadnic, 42 trojosý elipsoid, 51, 56, 67, 118 tětiva kvadriky, 34 vejčitý rotační elipsoid, 69 vlastní body, 35 vlastní vektory, 40, 57, 58 vlastní čísla kvadriky, 40, 58, 62, 63, 117, 119 vrchol kuželové plochy, 22, 95 vrchol kvadriky, 42 vrchol paraboloidu, 60, 83 vrcholy elipsoidu, 68 válcová plocha, 12, 24, 35, 53, 92 zobrazení kvadriky v Maple, 121 zploštělý rotační elipsoid, 68 základní rovnice kvadriky, 9

Vydavatel: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Název: Kvadratické plochy a jejich reprezentace v programu Maple Autoři: Mgr. Roman Hašek, Ph.D., prof. RNDr. Pavel Pech, CSc. Vydání: 1. České Budějovice, 2010 Počet kusů: 200 ISBN 978-80-7394-271-7

KVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple. Roman HAŠEK, Pavel PECH

Recommend Documents