Kuliah#11 TKC205 Sistem Digital. Eko Didik Widianto. 11 Maret 2017

Operasi dan Rangkaian Aritmatika @2017,Eko Didik Widianto ([email protected]) Unit Penjumlah 1 Bit Operasi Aritmetika Biner

Operasi dan Rangkaian Aritmatika

Rangkaian Aritmetika Biner

Kuliah#11 TKC205 Sistem Digital

Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat

Eko Didik Widianto

Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya

Departemen Teknik Sistem Komputer, Universitas Diponegoro

Implementasi Rangkaian Aritmetika Penutup

11 Maret 2017

http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/

@2017,Eko Didik Widianto ([email protected])

Lisensi

1


Review Kuliah


I Di kuliah sebelumnya dibahas tentang: I

I

I

Unit Penjumlah 1 Bit

Representasi bilangan biner untuk bilangan bulat dan pecahan, baik tak bertanda maupun bertanda Bilangan bertanda dinyatakan dalam sign-magnitude, 1’s complement dan 2’s complement Bilangan pecahan dinyatakan dengan fixed-point, floating-point 32-bit dan 64-bit

Operasi Aritmetika Biner Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner

I Selanjutnya akan dibahas tentang: I

I

Operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan biner serta unit penjumlah/pengurang Rangkaian unit penjumlah/pengurang (ALU, Arithmetic Logic Unit) I

I

Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika

Penyusun: HA (half-adder), FA (full-adder)

Penutup

Susunan rangkaian penjumlah ripple-carry (RCA) I

I

Rangkaian Penjumlah Cepat

Lisensi

Rangkaian RCA mempunyai kekurangan terkait delay yang ditimbulkan

Rangkaian fast adder CLA (carry-lookahead adder) sebagai pengganti RCA



2


Review Kuliah: Operasi Bilangan

@2017,Eko Didik Widianto ([email protected]) Unit Penjumlah 1 Bit Operasi Aritmetika Biner

I

Operasi: penjumlahan dan pengurangan I

I

I

I


Penjumlahan A+B menghasilkan hasil jumlah (Sum) dan simpanan (Carry) Pengurangan A-B = A+(-B). (-B) dinyatakan dengan 2’s complement Rangkaian penjumlah/pengurang n bit dapat diwujudkan dengan n buah FA (full adder, penjumlah penuh) Kondisi overflow terjadi jika hasil operasi berada di luar jangkauan bilangan I

Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika Penutup Lisensi

Perlu rangkaian detektor overflow



3


Tentang Kuliah

@2017,Eko Didik Widianto ([email protected]) Unit Penjumlah 1 Bit Operasi Aritmetika Biner Rangkaian Aritmetika Biner

I

unit penjumlah 1 bit

I

operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan biner

I

kondisi overflow dalam operasi aritmetika

I

unit penjumlah/pengurang n bit

I

rangkaian penjumlah/pengurang dengan deteksi overflow


I

desain penjumlah cepat n bit

Implementasi Rangkaian Aritmetika

I

desain dan simulasi penjumlah cepat 32 bit

Penutup


Lisensi



4


Kompetensi Dasar


I


Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa akan mampu:

Operasi Aritmetika Biner

1. [C3] melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan biner 2. [C4] menganalis rangkaian penjumlah/pengurang bilangan biner 3. [C4] mampu menganalisis kondisi overflow dalam suatu operasi aritmetika 4. [C4] menganalisis rangkaian penjumlah/pengurang n-bit dengan deteksi overflow 5. [C5] mendesain dan menganalisis rangkaian penjumlah cepat n-bit I

Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika Penutup

Link I

I

Lisensi

Website: http://didik.blog.undip.ac.id/2017/03/06/ tkc205-sistem-digital-2016-genap/ Email: [email protected]



5


Buku Acuan/Referensi


Eko Didik Widianto, Sistem Digital: Analisis, Desain dan Implementasi, Edisi Pertama, Graha Ilmu, 2014 (Bab 9: Operasi dan Rangkaian Aritmetika Biner) I

Unit Penjumlah 1 Bit Operasi Aritmetika Biner Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika

Materi: I I

I I I I

I

Rangkaian Komparator Biner

9.1 Unit Penjumlah 1 Bit 9.2-3 Operasi dan Rangkaian Aritmetika Biner 9.4 Overflow Aritmetika 9.5 Rangkaian Komparator Biner 9.6 Rangkaian Penjumlah Cepat 9.7 Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya 9.8 Implementasi Rangkaian Aritmetika

Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika Penutup Lisensi

I Website: I

http://didik.blog.undip.ac.id/ buku/sistem-digital/



6


Bahasan


Unit Penjumlah 1 Bit Unit Penjumlah 1 Bit Operasi Aritmetika Biner




Overflow Aritmatika

Overflow Aritmatika

Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat






Penutup Lisensi

Implementasi Rangkaian Aritmetika Penutup Lisensi http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/


7


Unit Penjumlah


I

I

I

Komputer mempunyai unit aritmetik dan logika (ALU, arithmetic logic unit) untuk menjalankan operasi aritmetika dan logika dari bilangan biner n bit Operasi aritmetika penjumlahan dan pengurangan dilakukan oleh rangkaian penjumlah/pengurang

I



Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika

Unit penjumlah 1 bit dapat diwujudkan dengan rangkaian penjumlah setengah (HA, half-adder); dan/atau rangkaian penjumlah penuh (FA, full-adder).


Overflow Aritmatika


Rangkaian penjumlah/pengurang ini tersusun atas unit terkecil, yaitu unit penjumlah 1 bit I


Penutup Lisensi

8


Operasi Bilangan Unsigned


I

Operasi penjumlahan 2 bilangan 1-bit memberikan 4 kombinasi yang mungkin I I

I

Unit Penjumlah 1 Bit Operasi Aritmetika Biner

Terdapat 2 masukan: x dan y Menghasilkan Sum dan Carry-out

Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika

Diimplementasikan dengan HA (Half-Adder) I


Disebut HA karena tidak ada carry-in yang berasal dari unit penjumlah sebelumnya




9


Rangkaian Half-Adder (HA)

@2017,Eko Didik Widianto ([email protected]) Unit Penjumlah 1 Bit Operasi Aritmetika Biner Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya

c

= x ·y

s

= x ·y +x ·y

Penutup

= x ⊕y

Lisensi




10


Operasi Full-Adder (FA)


I Rangkaian FA menyertakan carry-in yang berasal dari carry-out FA

sebelumnya I

I


Terdapat 3 masukan: x, y dan carry-in. Selanjutnya dinotasikan dengan xi , yi dan ci Menghasilkan 2 keluaran: sum dan carry-out. Selanjutnya dinotasikan dengan si dan ci+1

Operasi Aritmetika Biner Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika Penutup Lisensi



11


Rangkaian Full-Adder (FA)


ci+1

=

X


m(3, 5, 6, 7)

Penutup

= xi yi + ci xi + ci yi

si

=

X

Lisensi

m(1, 2, 4, 7)

= c i x i yi + c i xi y i + ci x i y i + ci xi yi = ci ⊕ xi ⊕ y@2017,Eko i Didik Widianto ([email protected])


12


Rangkaian Dekomposisi FA

@2017,Eko Didik Widianto ([email protected]) Unit Penjumlah 1 Bit Operasi Aritmetika Biner Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika Penutup Lisensi

ci+1

= xi yi + ci (xi ⊕ yi ) = xi yi + ci x i yi + ci xi y i

si

= ci ⊕ xi ⊕ yi



13


Fungsi Full-Adder (Dekomposisi Lain)


I

I I

I


Persamaan:

Overflow Aritmatika

ci+1 = xi yi + xi ci + yi ci = xi yi + (xi + yi ) ci si = xi ⊕ yi ⊕ ci


Anggap gi = xi yi dan pi = xi + yi , maka ci+1 = gi + pi ci I

I


Struktur ini akan digunakan untuk mengurangi delay rangkaian di rangkaian adder n-bit, terutama propagasi nilai simpan (Carry) Digunakan di struktur CLA (carry look-ahead)

Implementasi Rangkaian Aritmetika Penutup Lisensi



14


Operasi Penjumlahan

@2017,Eko Didik Widianto ([email protected]) Unit Penjumlah 1 Bit

I


Operasi penjumlahan 2 bilangan dengan n-bit (n>1) I I


Tiap pasang bit ditambahkan Untuk tiap posisi bit i, operasi penjumlahannya mungkin melibatkan sebuah carry-in dari bit posisi (i-1)




15


Operasi Bilangan Bertanda


I

Sign-magnitude I

I

I


Misalnya: operasi 5-2=? ekivalen dengan 5+(-2)=3. Bagaimana implementasinya, apakah 0101+1010? Perlu rangkaian logika untuk membandingkan dan mengurangkan bilangan

Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat

1’s complement I

I


Misalnya: (-5)+(-2)=(-7). Ekivalen dengan 1010+1101=(1)0111. Carry 1 harus ditambahkan ke 0111 agar menghasilkan 1000 (=-7) Perlu koreksi untuk mendapatkan hasil yang benar


I

2’s complement I

penjumlahan selalu benar



16


Operasi Sign-Magnitude


I

Hitung operasi pengurangan X-Y jika X=5 dan Y=2

I

Solusi. X = 0101 dan Y = 0010. Nilai (−Y ) = −2 = 1010

I

I

Operasi Aritmetika Biner Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner

Operasi X+(-Y), harusnya menghasilkan 3 atau 0011 bi b4 b3 b2 b1 b0 Ci 0 0 0 0 Xi 0 1 0 1 (5) -Yi 1 0 1 0 + (-2) + Si 1 1 1 1 (-7)


Perlu rangkaian logika untuk membandingkan dan mengurangkan bilangan



17


Operasi 1’s Complement


I

Hitung operasi pengurangan X-Y jika X=5 dan Y=2


I

Solusi. X = 0101 dan Y = 0010. Nilai (−Y ) = −2 = 1101


Operasi X+(-Y), harusnya menghasilkan 3 atau 0011 bi b4 b3 b2 b1 b0 Ci 1 1 0 1 Xi 0 1 0 1 (5) -Yi 1 1 0 1 + (-2) + Si 0 0 1 0 2 Untuk mengoreksi hasil penjumlahan, nilai simpan C4 yang bernilai 1 perlu ditambahkan di S, sehingga menghasilkan hasil akhir S = 0011


I

I



Overflow Aritmatika


18




I

Penjumlahan

Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika Penutup Lisensi



19




I


Pengurangan




20


Penjumlahan Fixed-Point


I Diketahui bilangan fixed-point Q(3,4), A = −1, 625 dan B = 38h.

Tentukan hasil dari operasi berikut: A + B dan A − B


_


I Solusi. −A = 1, 625 = 0001_1010, sehingga A = 1110 0110

Nilai B = 0011_1000 atau bernilai pecahan B = 3, 5. Nilai −B = 1100_1000


bi Ci Ai

b4 1

Bi Si

b3 1 1

b2 1 1

b1 0 1

b0 0 0

b−1 0 0

b−2 0 1

b−3 0 1

b4

0 0

0 0

1 0

1 1

1 1

0 1

0 1

0 0


0


(-1,625) +

3,500 1,875

+


I Operasi pengurangan A − B = A + (−B) :

bi Ci Ai Bi Si

b4 1

Penutup

b3 1

b2 0

b1 0

b0 0

b−1 0

b−2 0

b−3 0

b4

1 1 1

1 1 0

1 0 1

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 0 1

0 0 0



Lisensi

+

(-1,625) (-3,500) (-5,125)


+

21


Recall:Operasi Penjumlahan


I


Operasi penjumlahan 2 bilangan dengan n-bit (n>1) I I


Tiap pasang bit ditambahkan Untuk tiap posisi bit i, operasi penjumlahannya mungkin melibatkan sebuah carry-in dari bit posisi (i-1)




22


Rangkaian Ripple Carry Adder (RCA) I I

I

Operasi penjumlahan dimulai dari pasangan digit paling kanan (LSB) sampai ke paling kiri (MSB) Jika sebuah carry dihasilkan dalam suatu posisi bit i, maka carry tersebut ditambahkan ke operasi penjumlahan di digit dengan posisi i+1 Operasi ini dapat diwujudkan dengan sebuah rantai full-adder (FA) yang dihubungkan seri I I I

Konfigurasi ini disebut sebagai penjumlah ripple-carry Sinyal carry ’ripple’ dari FA satu ke FA berikutnya RCA ini mempunyai kelemahan, yaitu adanya delay untuk meripple carry I

@2017,Eko Didik Widianto ([email protected]) Unit Penjumlah 1 Bit Operasi Aritmetika Biner Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika

Akan diperbaiki dengan struktur CLA

Penutup Lisensi



23


Operasi Rangkaian Penjumlah 4 Bit


I masukan X [3 : 0] = 0101 dan Y [3 : 0] = 0110 I FA0 mendapatkan masukan x0 = 1 dan y0 = 0 serta nilai c0 = 0 sebagai

nilai awalnya I I I

Penutup Lisensi

Keluaran dari FA0 adalah s0 = 1 membawa simpanan c1 = 0 ke FA1 Demikian seterusnya sampai FA3

I Rangkaian menghasilkan keluaran S[3 : 0] = 1011 dan C[4 : 1] = 0100




24


Unit Penjumlah dan Pengurang


I

Operasi pengurangan dapat direalisasikan sebagai operasi penjumlahan dengan menggunakan 2’s complement di pengurangnya (baik positif maupun negatif) I

I I

I


Overflow Aritmatika

Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika

x ⊕ 1 = x dan x ⊕ 0 = x Jika operasi pengurangan dilakukan, 1’s complementkan bilangan kedua dengan meng-XOR-kan semua bit dengan 1




Ini memungkinkan menggunakan rangkaian adder untuk melakukan penjumlahan dan pengurangan sekaligus

Note: (2’s complement) = (1’s complement) + 1 1’s complement dapat diimplementasikan dengan menggunakan XOR I


25

Penutup Lisensi


Unit Penjumlah dan Pengurang


I


Menggunakan 2’s complement di bilangan pengurang




26


Overflow Aritmatika


I Jika n-bit digunakan untuk merepresentasikan bilangan signed, maka

hasil penjumlahan atau pengurangan harus dalam jangkauan sampai +2n−1 − 1

−2n−1


I Jika hasil operasi tidak dalam jangkauan ini, maka telah terjadi overflow

aritmatika #Bit, n

Nama

4

nible, semioctet

8

byte, octet

Operasi Aritmetika Biner Rangkaian Aritmetika Biner

Jangkauan

Overflow Aritmatika

signed: − 23 s/d 23 − 1 unsigned: 0 s/d 24 − 1 signed: − 27 s/d 27 − 1

16

half-word, word, short

32

word, long, doubleword, int

64

doubleword, int64

n

Integer n-bit (bentuk umum)


unsigned: 0 s/d 28 − 1 signed: − 215 s/d 215 − 1 unsigned: 0 s/d 216 − 1 signed: − 231 s/d 231 − 1 unsigned: 0 s/d 232 − 1 signed: − 263 s/d 263 − 1 unsigned: 0 s/d 264 − 1 signed: − 2n−1 s/d 2n−1 − 1

Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika Penutup Lisensi

unsigned: 0 s/d 2n − 1 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/


27


Overflow Aritmatika


I

Untuk memastikan rangkaian aritmatika beroperasi dengan benar, perlu pendeteksi kejadian overflow I


Hasil operasi jika overflow, tidak valid

Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika

I

Untuk operasi 4-bit, jika c3 dan c4 mempunyai nilai yang sama, maka tidak terjadi overflow



Penutup Lisensi

28


Rangkaian Overflow Aritmatika


I

Overflow dapat dideteksi dengan: I

I


overflow = c3 ⊕ c4


Untuk bilangan n-bit I

Overflow Aritmatika

overflow = cn−1 ⊕ cn

Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika Penutup Lisensi



29


Contoh Overflow


I Diketahui bilangan fixed-point Q(3,4), A = −4, 625 dan B = 38h. Unit Penjumlah 1 Bit

Tentukan hasil dari operasi A + B dan A − B serta status overflow dari operasi tersebut bi Ci Ai

b4 0

Bi Si

b3 0 1

b2 1 0

b1 1 1

b0 0 1

b−1 0 0

b−2 0 1

b−3 0 1

b4

0 1

0 1

1 1

1 0

1 1

0 1

0 1

0 0

OV bi Ci Ai Bi Si

b4 1

=

Overflow Aritmatika

+

3,500 -1,125

+

Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya

b1 0

b0 0

b−1 0

b−2 0

b−3 0

b4

1 1 0

0 1 1

1 0 1

1 0 1

0 1 1

1 0 1

1 0 1

0 0 0


(-4,625)

C3 ⊕ C4 = 0 ⊕ 0 = 0

b2 0

=


0

b3 0

OV


Implementasi Rangkaian Aritmetika Penutup

+

Lisensi

(-4,625) (-3,500) 7,875

+

C3 ⊕ C4 = 0 ⊕ 1 = 1 @2017,Eko Didik Widianto ([email protected])

30


Rangkaian Komparator Bilangan


I

Misalnya: Bandingkan dua bilangan X = x3 x2 x1 x0 dan Y = y3 y2 y1 y0 I I

Overflow Aritmatika

Bisa diimplementasikan dengan rangkaian pengurang (X-Y) Terdapat 3 output: Z, N, V I I I

I


Z=1 jika (X-Y)=0, hasil lainnya Z=0 N=1 jika (X-Y)<0, hasil lainnya N=0 V=1 jika terjadi overflow aritmatika, kalau tidak ada overflow V=0



Tunjukkan bagaimana Z, N, V digunakan untuk menentukan X=Y, XY dan X≥Y



31

Penutup Lisensi


Solusi


I

Misalnya X < Y, kemungkinan yang akan terjadi I

I

I

I

Jika X dan Y mempunyai tanda yang sama, tidak akan terjadi overflow, sehingga V=0. Dan untuk semua nilai X dan Y (positif/negatif) menghasilkan nilai negatif N=1 Saat X negatif dan Y positif, maka (X-Y) akan negatif (N=1) jika tidak ada overflow (V=0) dan (X-Y) akan positif (N=0) jika terdapat overflow (V=1) Sehingga jika X
Hasil I I

I

Operasi Aritmetika Biner Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika

X=Y terdeteksi saat Z=1 XY terdeteksi jika Z + (N ⊕ V ) = 1. X≥Y terdeteksi jika (N ⊕ V ) = 1



Penutup Lisensi

32


Rangkaian Komparator 4-bit




33


Isu Performansi I


Penjumlahan dan pengurangan merupakan operasi dasar di sistem komputer sebagai perangkat komputasi I

I


Performansi operasi ini (mis: kecepatan) membawa pengaruh signifikan terhadap performansi keseluruhan Meningkatkan performansi dapat menggunakan rangkaian yang lebih cepat

Operasi Aritmetika Biner Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika

I

I

Menggunakan teknologi terbaru yang mengurangi delay gerbang dasar


Performansi bisa diperoleh dengan mengubah struktur rangkaian fungsional




34


Kekurangan Ripple Carry Adder


I Tiap FA mempunyai delay tertentu sebelum keluaran si dan ci+1 valid I


disebut delay propagasi FA dari input ke output


I Misalnya, delay propagasi ∆t I

I

I

Carry dari FA pertama, c1 , akan sampai di FA kedua dalam waktu ∆t setelah input x0 dan y0 Carry dari FA kedua, c2 , akan sampai di FA ketiga dalam waktu ∆t setelah input x1 , y1 dan c1 atau total 2∆t Dan seterusnya. Sinyal cn−1 valid setelah (n − 1) ∆t, dan jumlah total akan tersedia setelah delay (n) ∆t

I Delay total tersebut semakin besar seiring semakin banyak jumlah bit

bilangan yang harus ditambahkan I



Lisensi

Jalur yang menyebabkan delay ini disebut critical path



Penutup

Penjumlahan bilangan n-bit akan membutuhkan waktu (n) ∆t dari bit-bit masukan tersedia sampai keluaran valid

I Delay terbesar dalam rangkaian disebut critical-path delay I

Overflow Aritmatika

35


Performansi Adder/Subtractor


I I

Identifikasi jalur yang menyebabkan delay terbesar (critical path) Recall critical path di RCA:




36


Carry-lookahead Adder/CLA


I Untuk mengurangi delay akibat propagasi carry di RCA

(critical-path-delay) I

I


Evaluasi tiap stage FA apakah carry-in dari stage sebelumnya akan mempunyai nilai 0 atau 1 Jika evaluasi dapat dilakukan dengan cepat, performasi adder dapat ditingkatkan


I Recall FA yang ada di tiap stage:




37


Carry-lookahead Adder (CLA)


I I

Fungsi carry-out dari stage i (satu FA) adalah ci+1 = xi yi + xi ci + yi ci = xi yi + (xi + yi ) ci Anggap gi = xi yi dan pi = xi + yi , maka ci+1 = gi + pi ci I

I


Fungsi gi = 1 jika xi = 1 dan yi = 1, tanpa pengaruh ci . Stage i pasti membangkitkan carry-out, sehingga g disebut fungsi generate Fungsi pi = 1 jika salah satu xi = 1 atau yi = 1 atau keduanya 1. Stage i membangkitkan carry-out jika ci = 1. Nilai ci = 1 ini dipropagasikan lewat FA di stage i, sehingga p disebut fungsi propagate



38



Carry-lookahead Adder


I

Ekspansi persamaan ci+1 = gi + pi ci . Dengan ci = gi−1 + pi−1 ci−1 , akan menghasilkan ci+1

Unit Penjumlah 1 Bit Operasi Aritmetika Biner Rangkaian Aritmetika Biner

= gi + pi (gi−1 + pi−1 ci−1 )

Overflow Aritmatika

= gi + pi gi−1 + pi pi−1 ci−1 I


Ekspansi sampai stage 0:


ci+1

=

gi + pi gi−1 + pi pi−1 gi−2 + · · · + pi pi−1 · · · p2 p1 g0


+pi pi−1 · · · p2 p1 p0 ci−1

Penutup Lisensi

I

Ekspresi tersebut menggambarkan rangkaian AND-OR 2-level yang memungkinkan ci+1 dapat dihasilkan dengan cepat I

Ini disebut carry-lookahead adder



39


Critical Path CLA




40


Keterbatasan CLA


I

I

Persamaan carry-out di CLA menghasilkan solusi adder yang cepat karena hanya merupakan fungsi AND-OR 2-level Namun, batasan fan-in dapat membatasi kecepatan CLA

Unit Penjumlah 1 Bit Operasi Aritmetika Biner Rangkaian Aritmetika Biner Overflow Aritmatika

I I I

I

I I

FA0 : AND dan OR 2-input, c1 = g0 + p0 c0 FA1 : AND dan OR 3-input, c2 = g1 + p1 g0 + p1 p0 c0 FA2 : AND dan OR 4-input, c3 = g2 + p2 g1 + p2 p1 g0 + p2 p1 p0 c0 FAn : AND dan OR (n+2)-input

Rangkaian Komparator Biner Rangkaian Penjumlah Cepat Rangkaian Penjumlah Bilangan Lainnya Implementasi Rangkaian Aritmetika

Device seperti FPGA seringkali menggunakan rangkaian khusus untuk implementasi fast adder Kompleksitas CLA n-bit akan bertambah jika n bertambah I

Penutup Lisensi

Untuk menguranginya, digunakan pendekatan hirarki untuk mendesain adder yang lebih besar



41


Desain Adder 32-bit


I I

Misalnya diinginkan rangkaian penjumlah 32-bit Bagi adder ini menjadi 4 blok sehingga I I I I

I


Blok 0 untuk operasi bit b7 − b0 Blok 1 untuk operasi bit b15 − b8 Blok 2 untuk operasi bit b23 − b16 Blok 3 untuk operasi bit b31 − b24


Tiap blok dibangun dengan adder CLA 8-bit I

I



Carry-out untuk tiap blok adalah c8 , c16 , c24 dan c32


Terdapat 2 pendekatan untuk menghubungkan ke-empat blok I I

Penutup Lisensi

Ripple-carry Carry-lookahead level-2



42


Ripple-Carry Antar Blok




43


Carry-lookahead Level-2




44


Carry-lookahead Level-2


I

Persamaan CLA level-2 P0 = p7 p6 p5 p4 p3 p2 p1 p0 G0 = g7 + p7 g6 + p7 p6 g5 + · · · + p7 p6 p5 p4 p3 p2 p1 g0 c8 = G0 + P0 c0 c16 = G1 + P1 c8 = G1 + P1 G0 + P1 P0 c0 c24 = G2 + P2 G1 + P2 P1 G0 + P2 P1 P0 c0 c32 = G3 + P3 G2 + P3 P2 G1 + P3 P2 P1 G0 + P3 P2 P1 P0 c0




45


Analisis Rangkaian CLA Hirarki


I


Asumsi konstrain fan-in adalah 4 masukan, waktu yang diperlukan untuk melakukan operasi penambahan 2 bilangan 32-bit meliputi: I

Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner

Lima delay gerbang untuk membentuk term Gi dan Pi , 3 delay gerbang untuk CLA level-2, dan satu delay untuk menghasilkan bit sum akhir I

I



Sebenarnya bit sum final diperoleh setelah 8 delay karena c32 tidak digunakan untuk menghitung bit sum

Operasi lengkap, termasuk deteksi overflow (c31 ⊕ c32 ), membutuhkan 9 delay gerbang I



Bandingkan 65 delay di ripple-carry adder



46


Rangkaian Penjumlah BCD




47


Operasi Penjumlah BCD


I

Diketahui bilangan BCD X = 6 dan Y = 5. Nyatakan hasil penjumlahan BCD X + Y .

I

Solusi. Bilangan BCD X = 0110 dan Y = 0101. Operasi penjumlahannya adalah sebagai berikut: X 0 1 1 0 6 Y + 0 1 0 1 + 5 + Z 1 0 1 1 11 0 1 1 0 + S 1 0 0 0 1 Hasil penjumlahan lebih dari 9, sehingga perlu ditambahan dengan 6 atau 0110 untuk menghasilkan nilai jumlah S = 10001 yang merupakan bilangan BCD dari desimal 11.

I



48



Rangkaian Penjumlah BCD 1 Digit




49


IC TTL untuk Operasi Aritmetika


IC TTL

Overflow Aritmatika

Deskripsi

Contoh

7480

Penjumlah penuh (FA) 1 bit

Biner SN7480 (Texas Instruments)

7482

Penjumlah penuh (FA) 2 bit

Rangkaian Penjumlah NTE7482 (NTE Electronics) Cepat

Penjumlah penuh (FA) 4 bit (CLA)

74HC283 (Philips)

Quad penjumlah/pengurang serial 4-bit

74LS385 (Texas Instruments)

Rangkaian Komparator

7483/74283 74385




50


IC 74283


I


Struktur CLA, 4 bit




51


Struktur IC 74283


Sumber: datasheet Philips 74HC283 http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/


52


Implementasi Rangkaian Penjumlah 4 Bit


I

Implementasikan rangkaian penjumlah/pengurang 4 bit menggunakan 74HC283. Gunakan masukan kontrol Add/Sub untuk mengeset operasi rangkaian sebagai penjumlah atau pengurang I

(Petunjuk: -B diperoleh dengan menggunakan 4 gerbang XOR-2 dan mengeset Cin = 1)



53


Ringkasan Kuliah


I


Yang telah kita pelajari hari ini: I

I

I I I

I I


Operasi penjumlahan bilangan biner 1 bit dengan HA dan FA Operasi penjumlahan/pengurangan bilangan tak bertanda dan bertanda Rangkaian penjumlah n bit dengan RCA Overflow dan rangkaian detektornya Rangkaian penjumlah cepat dengan CLA dan performansinya Rangkaian penjumlah BCD Implementasi rangkaian penjumlah dengan IC 7400

I

Bab berikutnya akan dijabarkan rangkaian kombinasional dan sekuensial sebagai blok penyusun sistem komputer

I

Pelajari: http://didik.blog.undip.ac.id/2017/03/06/ tkc205-sistem-digital-2016-genap/




54


Lisensi


Creative Common Attribution-ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-SA 3.0)


I Anda bebas: I

I


untuk Membagikan — untuk menyalin, mendistribusikan, dan menyebarkan karya, dan untuk Remix — untuk mengadaptasikan karya

Overflow Aritmatika Rangkaian Komparator Biner

I Di bawah persyaratan berikut: I

I


Atribusi — Anda harus memberikan atribusi karya sesuai dengan cara-cara yang diminta oleh pembuat karya tersebut atau pihak yang mengeluarkan lisensi. Atribusi yang dimaksud adalah mencantumkan alamat URL di bawah sebagai sumber. Pembagian Serupa — Jika Anda mengubah, menambah, atau membuat karya lain menggunakan karya ini, Anda hanya boleh menyebarkan karya tersebut hanya dengan lisensi yang sama, serupa, atau kompatibel.


I Lihat: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License I Alamat URL: http://didik.blog.undip.ac.id/buku/sistem-digital/



55

Kuliah#11 TKC205 Sistem Digital. Eko Didik Widianto. 11 Maret 2017

Recommend Documents