Technická univerzita v Liberci Fakulta strojní Katedra částí a mechanismů strojů
Kuželová kola se šikmými a zakřivenými zuby
Zpracoval: doc. Ing. Ludvík Prášil, CSc.
Liberec 2010
1
1.1. Úvod do geometrie bočních ploch Kuželových kol se šikmými a zakřivenými zuby se používá pro pohybu a momentu při různoběžných osách hřídelů a při větších nárocích na vlastnosti ozubení. Zakřivené zuby mají oproti přímým zubům řadu výhod (tichost chodu, větší únosnost, produktivnější způsob výroby, jednoduché omezení záběru ve střední části zubu, pak menší citlivost na vzájemnou polohu kol), pro které se jim dává přednost. Konstruktér však při návrhu musí respektovat závislost geometrie kuželových kol na zvolené výrobní metodě , na použitém výrobním stroji a nástrojích. Musí vycházet z výrobních možností výrobce a výpočet provádět ve spolupráci se specialistou. Většinou bývá úhel os kuželových soukolí 90° a proto bude v dalším textu pojednáváno o tomto případu. Tak jako ozubení čelních kol je vytvářeno odvalováním nástroje (hřebene, frézy) po roztečných (valivých) válcích, tak analogicky je možné ozubení kuželových kol vytvářet odvalováním základního rovinného kola po roztečných kuželích spoluzabírajících kol. Výchozím útvarem pro geometrický rozbor ozubení a posléze i pro výrobu těchto kol je příslušné rovinné kolo s nepřímými zuby. K tomu lze teoreticky dospět následující úpravou rozměrově stejného rovinného kola se zuby přímými. Zuby kola se rozčlení systémem soumezných válcových řezů na elementární mezikruhové segmenty, které se pak vzájemně natočí a uspořádají tak, aby jejich středy (při sledování ve valivé rovině kola) ležely na jisté předem zvolené "řídící křivce". Řídící křivka je průsečnicí roztečné roviny základního rovinného kola s boky zubů a je kritériem, podle kterého se rozdělují jednotlivé výrobní způsoby. Na obr.1 je schematicky znázorněno vytváření zubu šikmého a zubu kruhově zakřiveného. Jako "řídící" se volí křivky především technologicky výhodné. Jejich průběh lze charakterizovat pomocí úhlu sklonu zubu β , jenž se podél křivky mění. Úhel sklonu je ostrý úhel, který svírá tečna v daném bodě křivky s jeho průvodičem (dostředivým paprskem). Prakticky významné jsou úhly sklonu v bodech na středním a vnějším poloměru - úhly β m a β e (obr.1). Úhel β m je základní geometrický parametr ozubení. U geometrických prvků jako jsou: modul, rozteč, tloušťka zubu a šířka zubové mezery je nutno rozlišovat: a) hodnoty obvodové, měřené po obvodu valivých kružnic (průsečnic příčných válcových řezů s rovinou valivou) a označené indexem „t“ a b) hodnoty normálové, měřené v řezech kolmých na průběh zubu či zubové mezery a označené indexem „n“. Z nich jsou pak prakticky důležité především veličiny na středním a vnějším poloměru kola: mtm a mte , modul obvodový střední a vnější mnm a mne . modul normálový střední a vnější Tyto čtyři prvky jsou vázány vztahy: mnm m = cos β m , ne = cos β e , (1) mtm mte mtm Lm Le − 0, 5b = = = 1 − 0, 5ψ L . (2) mte Le Le Pro obvodové prvky platí přímá úměrnost mezi jejich velikostí a odlehlostí od vrcholu roztečného kužele kola. Obdobné relace možno napsat i pro rozteče, tloušťky zubu a šířky zubových mezer. Úhly záběru (profilu) rovinného kola jsou vázány vztahem
2
tg α nm tg α ne = ; cos β m cos β e obvodový úhel profilu α t je ve všech příčných válcových řezech stejný. tg α t =
(3)
Obr. 1. Věnec kuželových kol se zakřivenými zuby se navrhuje podle tvaru I, II nebo III, (obr. 2). Tvar I má nominální hodnoty ozubení v čelním vnějším řezu; modul mte se běžně normalizuje a úhel α t = 20° nebo 15°, ale také 14, 5° a 17, 5°. U tvaru II a III vystupují nominální hodnoty zpravidla v řezu středním; normalizovány jsou: modul mnm a úhel profilu α nm , tj. veličiny, které odpovídají parametrům výrobního nástroje. Moduly mnm a mte jsou vázány vztahem mnm mte = . (8) (1 − 0, 5ψ L ) cos β m Modul mte je potřeba pro výpočet výrobních a kontrolních rozměrů na vnější čelní ploše. Základní rozměry kuželového ozubení uvádí následující stať 1.5.
3
Obr. 2.
4
1. 2. Rozdělení kol podle zakřivení zubů Hlavní druhy ozubení jsou shrnuty na obr. 3, kde zakřivené zuby v roztečném řezu rovinného kola jsou schematizovány jejich řídícími křivkami. Ke každému druhu ozubení se tradičně váže jméno firmy - výrobce obráběcích strojů, který jeho výrobu zavedl. Kola s šikmými zuby (obr.3b). Řídící křivkou je přímka, která na rozdíl od kol s přímými zuby (obr.3a) neprochází středem, ale dotýká se pomocné kružnice o poloměru e (excentricita). Zuby doslova šikmé jsou pouze u rovinného kola; na kole s úhlem δ < 90° se jeví jako šroubovitě vinuté. Věnec kol se provádí podle tvaru I s nominálními hodnotami ozubení ve vnější čelní ploše. Kuželovými koly se šikmými zuby se dosahuje poněkud lepších vlastností než u kol se zuby přímými. Úhel sklonu β e (někdy β m ) se volí v rozmezí 20º až 40º (zpravidla po 5º); zpravidla úhel profilu zubu α t = 20° , někdy 15o. Ozubení lze vyrobit na hoblovacích strojích, používaných pro výrobu kol se zuby přímými (stroje fy: Reincker-Bilgram, Heidenreich & Harbeck aj.). Kola s kruhovými zuby (metoda Gleason) (obr. 3c). Řídícími křivkami zubů jsou kružnice se středy na jisté kružnici pomocné. Úhel sklonu β m se volí v rozmezí 30° ÷ 45° , nejčastěji
β m = 35° . Úhel profilu α nm =
14, 5°; 17,5° nebo 20º. Technologicky výhodný je tvar věnce II;
používá se však i tvar I při zc = z12 + z22 < 30 a tvar III při zc > 100 . Zvláštním případem je ozubení s kruhovými zuby "Zerol" (obr.3d), které je charakteristické úhlem sklonu β m = 0 . Tento typ spojuje některé výhody zubů přímých (např. malé osové síly) s přednostmi zubů zakřivených. Kola s kruhovými zuby se vyrábějí na speciálních strojích firmy Gleason. Řídící křivkou je kružnice a boky zubů rovinného (plochého) kola jsou kuželové plochy. Nástroje jsou frézovací hlavy, nejčastěji se vsazenými noži. Frézování zubů je racionálnější než jejich obrážení u kol s přímými a šikmými zuby. Kola s paloidními zuby (metoda Klingelnberg) (obr. 3e). Řídicí křivkou zubu je prodloužená evolventa (paloida). Typický je tvar věnce III se zuby o stálé výšce. Úhel profilu α nm = 20º nebo 17,5º; úhel sklonu se volí v rozsahu β m = 30° ÷ 45° . Ozubení se vyrábí na strojích firmy Klingelnberg pomocí kuželové odvalovací frézy. Tento způsob výroby je již zastaralý. Kola se zuby eloidními (metoda Oerlikon) (obr. 3f). Řídicí křivkou zubu je část prodloužené epicykloidy a boky zubů rovinného kola jsou vytvořeny složitou zborcenou přímkovou plochou, vznikající vzájemným pohybem nástroje a obrobku. Běžně se používá tvar věnce III, úhel sklonu β m = 30° ÷ 45° a úhel profilu α nm = 17,5° . Ozubení se vyrábí na speciálních strojích firmy Oerlikon – Spiromatic pomocí kotoučové frézovací hlavy se vsazenými noži v několika skupinách. Každá skupina obsahuje nůž s vnějším a vnitřním ostřím, případně i nůž hrubovací. Kola se zuby spirálními (obr. 3g). Řídicí křivkou zubu je spirála, a to buď Archimedova nebo logaritmická. Kola se zuby paloidními, eloidními a spirálními jsou v poslední době stále častěji nahrazována koly se zuby kruhovými. Podle smyslu vinutí zubů se rozlišují kola „pravá“ a „levá“. Při pohledu od vrcholu a při sledování průběhu zubu od vnitřní čelní plochy k vnější se zuby „kola pravého“ stáčejí ve směru otáčení ručiček – zuby „kola levého“ proti směru otáčení ručiček hodinových (obr. 14). Zuby spoluzabírajících kol musí mít opačný smysl vinutí. Soukolí jako celek je charakterizováno smyslem vinutí u pastorku.
5
Obr. 3.
1. 3. Záběrové poměry U soukolí se zakřivenými zuby je žádoucí otáčivý pohyb převážně v jednom smyslu. Smysl vinutí zubů se pak volí tak, aby zuby vstupovaly do záběru svými silnějšími konci, tj. na vnější čelní ploše kol (obr. 4) a aby u zubu pastorku byl pracovním jeho vydutý bok; axiální síly v ozubení mají pak tendenci oba členy v záběru vytlačovat. Při změně smyslu otáčení je pastorek nepříznivě „vtahován“ do kola (tato nevýhoda odpadá u ozubení Zerol). Na rozdíl od kol se zuby přímými je vstup zakřiveného zubu do záběru i jeho výstup pozvolný. Teoretický průběh záběru na zubu hnacího pastorku je naznačen na obr. 4: dotyk se postupně šíří do bodu E , pokračuje podle skloněných dotykových čar a opět se úží do bodu F . V praxi se však Obr. 4. řadou technologických úprav usiluje o to, aby se záběr realizoval pouze na jisté plošce boku označované jako „zrcátko“. Toto opatření podstatně snižuje citlivost ozubení na nepřesnosti výroby a uložení kola a prakticky vylučuje hranový záběr zubů. S rostoucím zatížením se plocha zrcátka zvětšuje a mírně posouvá k silnějšímu konci zubu. Určitému pastorku přísluší po správném zaběhnutí zcela určité kolo.
6
1. 4. Soukolí porovnávací (bivirtuální) a jeho použití Podobně jako u kuželových kol se zuby přímými lze i každému kuželovému kolu se zuby zakřivenými přiřadit pomyslné evolventní kolo válcové se zuby přímými, jejichž profil je prakticky stejný jako normálový profil zubů kuželového kola v jeho středním příčném řezu. Myšlenkový postup při odvozování tohoto porovnávacího kola možno sledovat na obr. 5. Sestává se ze dvou základních kroků: První krok spočívá v rozvinutí středního doplňkového kužele, v doplnění vzniklé výseče a v rozšíření kola na šířku b . Vede k virtuálnímu kolu, jehož průměr a počet zubů je dán vztahy: dm d v´ z ´ ´ dv = a zv = = , (9) mtm cos δ cos δ čárky u veličin d v´ a zv´ signalizují, že tu nejde o hodnoty konečné (jak je tomu u kuželových kol s přímými zuby); patří totiž válcovému kolu se zuby šikmými o úhlu sklonu β m . Druhý krok řešení spočívá v přechodu od zmíněného kola se šikmými zuby k příslušnému porovnávacímu kolu s přímými zuby, které je pak konečným výsledkem řešení. Za použití známých vztahů odvozených pro porovnávací kola čelních ozubených kol se šikmými zuby platí pro toto „bivirtuální“ kolo
d v´ dm = , 2 cos β m cos δ ⋅ cos 2 β m
(10)
zv´ z zv = = . 3 cos β m cos δ ⋅ cos3 β m
(11)
dv =
Porovnávací kolo je obecně definováno počtem zubů z v , parametry profilu mnm, αnm,
h , c , rf* , součiniteli posunutí x , xτ a šířkou věnce bn = b / cos β m . * a
*
Obr. 5.
7
Jeho využití je prakticky stejné jako u kuželových kol se zuby přímými. Kolo typu N bez podříznuté evolventy musí např. splňovat podmínku
zv =
2ha* z z ≥ = ; Mt cos δ ⋅ cos3 β m sin 2 α nm
(12)
minimální součinitel posunutí x m při zV < zMt je dán vztahem z − zv xMt = ha* Mt zMt a soukolí typu V-N lze realizovat při splnění zv1 + zv 2 ≥ 2 zMt . Teoretický součinitel trvání záběru ε γ je u soukolí se zakřivenými zuby dán vztahem
ε γ = εα + ε β ;
(13)
Součinitel ε α odpovídá záběru profilem a určí se známým způsobem ze záběrových poměrů virtuálních kol při počtech zubů z´v1 a zv´ 2 , při úhlu záběru α t . Součinitel ε β , příslušející záběru krokem, je dán vztahem k k εβ = e = e , (14) pte π mte kde krok k e se nejsnáze určí odměřením z rozměrového náčrtku – např. z obr. 1. Při větších úhlech β m je hodnota ε β natolik výrazná, že je možno přejít na ozubení se sníženou výškou hlavy ha* < 1 , aniž se tím citelně sníží celková hodnota ε γ . Zvětšení β m a
snížení ha* působí ve vztahu (12) souhlasnou tendencí, tj. umožňuje použití pastorku o velmi malém počtu zubů bez podříznutých pat, např. až pro počet zubů z = 5 . Soukolí s takovým pastorkem je pak rozměrově nenáročné a dovoluje realizaci vysokých převodových čísel až u = 10 . Pro volbu součinitele ha* , přiměřeného úhlu β m , se někdy doporučuje vztah ha* = cos β m .
(15)
1. 5. Základní rozměry ozubení Vztahy pro výpočet geometrických prvků jsou uspořádány do tří statí a to podle tvaru ozubeného věnce. Jsou uvedeny v obecném tvaru, platném pro kuželové soukolí typu V-N s nepřímými zuby a pro úhel os Σ = δ 1 + δ 2 = 90° ; u soukolí typu N ( x = xτ = 0 ). Kuželové soukolí typu V-N s nepřímými zuby je obecně určeno: a) parametry kol: z1 , z2 , δ1 , δ 2 , β m , b , x, xτ , b) parametry základního profilu: m, α , ha* , c* , rf* . Kuželové soukolí se nevyrábí normalizovaným nástrojem hřebenového typu jako u kol válcových, ale samostatnými noži. Je snaha uplatňovat normalizované parametry základního profilu. Co se týče posunutí, pak kromě výškového posunutí, určeného jednotkovým součinitelem x, lze realizovat obvodové posunutí nožů, dané součinitelem xτ. Toto posunutí vede ke zvětšení nebo zmenšení tloušťky zubu na roztečné kružnici. Posunutí obvodové se zpravidla kombinuje s posunutím výškovým.
8
Obr. 6. Poloha nožů ve vnější čelní ploše výrobního kola je zakreslena na obr. 6, a to pro: a) soukolí typu N (posunutí jsou nulová) b) soukolí typu V-N s výškovým posunutím xmte ( x = x1 = − x2 ; xτ = 0) c) soukolí s obvodovým posunutím xτ mte ( xτ = xτ 1 = − xτ 2 ; x = 0) . Obdobou výrobního hřebene je rovinné (ploché) výrobní kuželové kolo (obr. 7.). Jde o pomyslné rovinné kolo, jehož zuby doplněné hlavovou nástavbou, by při záběru s vyráběným kolem odvalily příslušné boční a patní plochy.
Obr. 7.
9
Každému kuželovému soukolí (dvojici sdružených kol) přísluší jedno společné rovinné výrobní kolo (veličiny se označují indexem c), obr. 8. Jeho valivá rovina se dotýká obou roztečných (resp. valivých) kuželů v jejich společné površce a při otáčení kuželových kol se sama otáčí okolo osy oc úhlovou rychlostí ωc, podle vztahu
ωc =
ω1 ω2 = . sin δ1 sin δ 2
Do přímého styku s roztečnými kužely přichází z valivé roviny pouze jeho část, valivé mezikruží. Vnější roztečný průměr výrobního kola dec a jeho počet zubů zc jsou dány vztahy d d d z z d ec = 2 Le = e1 = e 2 ; zc = ec = 1 = 2 . mte sin δ1 sin δ 2 sin δ1 sin δ 2 Pro nejčastější případ, kdy Σ = 90° , platí
d ec = d e21 + d e22 ; z c = z12 + z22
.
Obr. 8.
1. 5. 1. Tvar věnce I; zuby přímé, šikmé a kruhové (obr. 9) Nominální hodnoty ozubení vystupují ve vnější čelní ploše; určující je modul mte , který se upravuje podle normalizované řady a úhel profilu α t , který u kol s přímými zuby bývá α t = 20° nebo 15° , u kol se zuby kruhově zakřivenými jsou hodnoty těchto parametrů v podkapitole 1. 5. 2. Pro kolo se zuby přímými dále platí: β m = β = 0, mte = m ne = me , mtm = m nm = m m ,
10
Kuželová vzdálenost vnější
Le = 0,5 mte z c = 0,5 mte z12 + z 22 ,
(16)
Kuželová vzdálenost střední
Lm = Le − 0,5 b = Le (1 − 0,5ψ L ) ,
(17)
Šířka věnce
b = ψ L ⋅ Le ,
(18)
Prvky na vnější čelní ploše: Průměry roztečné
d e1 = mte z1 ;
d e 2 = mte z 2
Výška hlavy zubu
hae1 = (ha* + x) mte hae 2 = (ha* − x) mte
Výška paty zubu
Výška zubu:
(19)
(20)
h fe1 = (ha* + c * − x) mte h fe 2 = (ha* + c * + x) mte
(21)
he1 = he 2 = (2ha* + c * ) mte
(22)
Obr. 9.
11
Běžně se volí: - pro přímé zuby ha* = 1; c * = 0,2; - pro šikmé a kruhové ozubení se sníženou výškou hlavy možno použít vztah ha* = cos β m . Průměry hlavových kružnic:
d ae1 = mte z1 + 2(ha∗ + x) cos δ 1 d ae 2 = mte z2 + 2(ha∗ + x) cos δ 2
Průměry patních kružnic:
Tloušťka zubu a šířka mezery: Výška hlavového kužele:
(23)
d fe1 = mte z1 − 2(ha∗ + c∗ − x) cos δ 1 d fe 2 = mte z2 − 2(ha∗ + c∗ − x) cos δ 2
(24)
se 2 = ( 0,5π − 2 x ⋅ tgα t − xτ ) mte = ee1
(25)
se1 = (0,5π + 2 x ⋅ tgα t + xτ )mte = ee 2 A1 = Le cos δ 1 − hae sin δ 1 A2 = Le cos δ 2 − hae sin δ 2
(26)
Prvky úhlové:
Úhel hlavového kužele:
hae1 h ; tgθ a 2 = ae 2 ; Le Le h fe1 h fe 2 ; tgθ f 2 = ; tgθ f 1 = Le Le δ a1 = δ 1 + θ a1 ; δ a 2 = δ 2 + θ a 2 ;
Úhel patního kužele:
δ f 1 = δ1 − θ f 1 ; δ f 2 = δ 2 − θ f 2 ;
tgθ a1 =
Úhel hlavy zubu: Úhel paty zubu:
(27) (28) (29) (30)
Vztahy pro θ a1 a θ a 2 odpovídají klasickému provedení, kdy i radiální vůle v ozubení lineárně klesá směrem k vrcholu V - při V ≡ V f ≡ Va . Někdy se uplatňuje požadavek konstantní radiální vůle c∗ ⋅ mte podél celého zubu; místo (27) třeba pak použít vztahy:
θ a1 = θ f 1 ; θ a 2 = θ f 2 ;
(31)
úhel sklonu β m a β e u kol se šikmými zuby jsou vázány vztahem Lm ⋅ sin β m = Le ⋅ sin β e = e ,
(32)
kde e je excentricita (obr. 1). úhel sklonu β m a β e u kruhově zakřivených zubů jsou vázány vztahem:
β e = β m + ∆β , C kde ∆β = b C A − B Lm
57,3 , C A = , C B = 28,65tgβ m , d N = (1,5 ÷ 2,3)Lm . d N ⋅ cos β m
(33)
1. 5. 2. Tvar věnce II; zuby kruhově zakřivené (obr. 10.) Nominální hodnoty ozubení vystupují ve středním příčném řezu, odkud se převádějí do vnější čelní plochy; určující je modul mnm a úhel profilu α nm . Kuželová vzdálenost střední: Kuželová vzdálenost vnější: Šířka věnce:
Lm = 0,5mnm z c = 0,5mnm z12 + z 22 ; Lm ; Le = Lm + 0,5b = 1 − 0,5ψ L b = ψ L Le ;
kde ψ L ≤ 0,35 ; 12
(34) (35) (36)
Prvky uprostřed šířky zubu: mnm mnm z1 ; d m 2 = mtm z 2 = z2 ; cos β m cos β m
Průměr roztečné kružnice:
d m1 = mtm z1 =
Výška hlavy zubu:
ha1 = ( ha* + x ) mnm ; ha 2 = ha∗ − x mnm ;
Výška paty zubu:
(
(
(
)
)
)
h f 1 = ha∗ + c ∗ − x mnm ; h f 2 = ha∗ + c ∗ + x mnm ,
(37) (38) (39)
kde ha∗ = 1 ; c ∗ = 0,25 .
Obr. 10. Normálová tloušťka zubu:
s nm1 = (0,5π + 2 xtgα nm + xτ )mnm ;
s nm 2 = (0,5π − 2 xtgα nm − xτ )mnm .
(40)
Prvky úhlové: Celkový úhel pat zubů:
θ f Σ = θ f 1 +θ f 2 =
a , sin β m
C1 + C2 Lm 10800tg β m 2C sin β m ; C1 = ; C2 = 1 ; d N = (1,5 ÷ 2,3)Lm zc tgα nm dN (pomocná veličina a se zaokrouhluje na násobek 10-ti ) s θ f 1 = θ fΣ nm 2 ; θ f 2 = θ fΣ − θ f 1 Úhel paty zubu: πmnm (zaokrouhluje se na 1΄)
kde
a=
Úhel hlavy zubu:
θ a1 = θ f 2 ; θ a 2 = θ f 1 ;
13
(41) (42)
(43)
(44)
(požadavek konstantní radiální vůle); Úhly δ a a δ f - viz vztahy pro tvar věnce I. Prvky na vnější čelní ploše: Modul:
mte =
mnm . (1− 0,5ψ L )cos β m
(45)
Výška hlavy zubu: hae1 = ha1 + ∆ha1 ; hae 2 = ha 2 + ∆ha 2 ; přírůstek výšky se určí ze vztahů: ∆ha1 = 0,5btgθ a1 ; ∆ha 2 = 0,5btgθ a 2 ;
(47)
h fe1 = h f 1 + ∆h f 1 ; h fe 2 = h f 2 + ∆h f 2 ;
(48)
∆h f 1 = ∆ha 2 ; ∆h f 2 = ∆ha1 ;
(49)
Výška paty zubu:
(46)
Průměry d e , d ae , d fe , tloušťka zubu se , šířka mezery ee a výška hlavových kuželů A se určí ze vztahů pro tvar věnce I.
1. 5. 3: Tvar věnce III; zuby kruhově i jinak zakřivené (obr. 11.) Nominální hodnoty ozubení vystupují ve středním příčném řezu, odkud se přepočítávají do vnější čelní plochy; určující je modul mnm a úhel profilu α nm . Kuželová vzdálenost Lm a Le a šířka věnce b viz vztahy pro tvar věnce II. Prvky ve středním řezu: mnm d m1 = z1 ; Roztečné průměry: cos β m mnm d m2 = z2 ; cos β m
(50) (51)
kde
ha1 = (ha ∗ + x)mnm , ha 2 = (ha ∗ − x)mnm , ha∗ = 1; c∗ = 0, 25 .
(52)
Výška zubu:
h1 = h2 = (2ha∗ + c∗ )mnm .
(53)
Normálová tloušťka zubu:
snm1 = (0,5π + 2 x ⋅ tgα nm + xτ )mnm ,
Výška hlavy zubu:
snm 2 = (0, 5π − 2 x ⋅ tgα nm − xτ )mnm . Úhel hlavového a patního kužele: δa1 = δf 1 = δ 1 , δa 2 = δf 2 = δ 2 ,
(54) (55)
Prvky na vnější čelní ploše: Modul:
mte =
mnm . (1 − 0,5ψ L ) cos β m
Ostatní prvky se určí ze vztahu pro tvar věnce I. Poznámka: U kol paloidních, nebo eloidních aj. je vždy nutno respektovat pokyny, které uvádí výrobce příslušného výrobního zařízení.
14
(56)
Obr. 11.
1. 6. Volba součinitelů posunutí Správnou volbu součinitelů posunutí x = x1 = − x2 - u soukolí typu V-N lze dosáhnout výrazného zlepšení jednotlivých vlastností soukolí, a tím i lepšího využití materiálů kol. Optimální součinitel x není, jak známo univerzální, ale záleží na tom, které vlastnosti soukolí se preferují. V tab. 1. jsou např. uvedené příslušné hodnoty x podle toho, zda se vyžaduje zvýšená pevnost zubů v ohybu, či zvýšená odolnost boků zubů proti opotřebení a zadírání. Jisté "komplexní" zlepšení vlastností umožňuje kombinace výškového posunutí x a obvodového posunutím (ve směru tečny) xτ . Podle výrobních podkladů lze příslušné součinitele určit ze vztahu:
x = 2(1 −
1 cos3 β m , ) z1 u2
xτ = a + b(u − 2,5) .
(57) (58)
U kol s přímými zuby je β m = 0 ; posunutí xτ se realizuje jen v případech, kdy u = z2 / z1 > 2,5; pomocné veličiny a, b se určí z tab. 2. Poznámka: Součinitelé posunutí x1 = − x2 ≡ x by měly být vždy větší (minimálně rovny) než je příslušné posunutí x m , odpovídající mezi podřezání paty zubu dané vztahem
xm =
zMt − zv , z Mt
kde zv a zMt plynou ze vztahu (12).
15
Tab. 1.: Součinitelé posunutí x1 = − x 2 pro kuželová kola zv1
zv2
12 15 18 22 26 0.25 0.22 0.19 0.17 22 0.328 0.201 0.101 0.000 0.28 0.26 0.23 0.20 0.17 26 0.378 0.259 0.164 0.071 0.000 0.30 0.29 0.26 0.22 0.20 30 0.400 0.298 0.207 0.121 0.056 0.34 0.32 0.30 0.28 0.25 34 0.432 0.329 0.238 0.158 0.100 0.38 0.36 0.34 0.32 0.30 42 0.466 0.372 0.288 0.216 0.155 0.42 0.41 0.39 0.37 0.36 50 0.487 0.398 0.326 0.251 0.190 0.48 0.47 0.46 0.45 0.44 65 0.518 0.433 0.364 0.297 0.240 0.54 0.52 0.52 0.51 0.50 80 0.534 0.454 0.390 0.326 0.264 0.57 0.57 0.56 0.56 0.56 100 0.468 0.408 0.342 0.270 Poznámka: A…při požadavku zvýšené pevnosti v ohybu v patě zubu B…při požadavku zvýšené odolnosti boků zubů
30 0.19 0.000 0.22 0.047 0.28 0.101 0.35 0.138 0.43 0.198 0.49 0.222 0.55 0.200
A B A B A B A B A B A B A B A B A B
Tab. 2. Pomocné veličiny pro stanovení obvodového posunutí
βm a b
0°-15° 0,03 0.008
15°-29° 0.07 0.010
29°-40° 0.11 0.010
40°0.15 0.012
1. 7. Silové poměry Rozbor silových poměrů vychází ze statické rovnováhy jednoho členu soukolí, např. pastorku, na který působí: a) silová dvojice M, přiváděná hřídelem a zpravidla známá i co do velikosti b) osamělá síla FN - výslednice silového působení ze strany protikola; její působiště se klade do středního příčného řezu (kolmého) na površku roztečného kužele. Hlavní část řešení spočívá v rozkladu obecně orientovaného vektoru normálové síly FN do tří vzájemně kolmých složek, které mají vůči ose kola výsadní postavení. Jde o složku tečnou – Ft, radiální Fr a axiální Fa. Řešení vychází z kolmého řezu na površku roztečného kužele uprostřed šířky ozubení. Rozklad vektoru síly FN lze názorně sledovat pro zuby přímé na obr. 12 a pro zuby zakřivené na obr.13. Poněvadž složka Ft je jediná v rovnováze se známou vnější momentovou dvojicí M, pak vyšetření její velikosti je nasnadě. Je účelné vyjadřovat velikosti i ostatních složek výsledné síly (tj. radiální a axiální) v závislosti na složce Ft.
16
Pro kola s přímými zuby platí vztahy (α = αt): 2M Ft = , dm Fr = Ft ⋅ tan α ⋅ cos δ ,
(59) (60)
Fa = Ft ⋅ tan α ⋅ sin δ , F FN = t . cos α
(61)
(62)
Obr. 12 Pro kola se zakřivenými (nepřímými) zuby obvodovou složku Ft vypočítáme z rovnice (59). Všeobecně pro všechna kuželová kola s libovolným úhlem os a úhlem sklonu zubů βm s přihlédnutím ke smyslu otáčení a vinutí šroubovice platí rovnice : pro axiální složku - hnací kolo (pastorek) Ft Fa1 = ( sin δ1 ⋅ tan α nm ± cos δ1 ⋅ sin β m ) , cos β m - hnané kolo Ft Fa2 = ( sin δ 2 ⋅ tan α nm ∓ cos δ 2 ⋅ sin β m ) . cos β m
(63)
(64)
pro radiální složku - hnací kolo (pastorek) Ft Fr1 = ( cos δ1 ⋅ tan α nm ∓ sin δ1 ⋅ sin β m ) , cos β m - hnané kolo Ft Fr2 = ( cos δ 2 ⋅ tan α nm ± sin δ 2 ⋅ sin β m ) . cos β m
(65)
(66)
17
Poznámka: V předcházejících rovnicích platí pro výraz v závorce horní znaménka + nebo -, když smysl otáčení kola a vinutí šroubovice zubů jsou stejné a dolní znaménka, když smysl otáčení kola a smysl vinutí šroubovice zubů nejsou stejné. Výsledná normálová síla FN =
Ft . cos α nm ⋅ cos β m
(67)
Zatímco u soukolí ze zuby přímými jsou oba členy působením sil Fr a Fa vždy ze záběru vytlačovány, u soukolí se zuby nepřímými může nastat i jejich vtahování. Správné znaménko ve vztazích (64), (65), (66) a (67) závisí na smyslu vinutí zubů a smyslu M, které ovlivňují smysl sil Fr a Fa. Tyto síly, stejně jako u čelních kol se šikmými zuby, jsou přiměřeně směrodatné pro stanovení zatížení ložisek a ohybového momentu zatěžující hřídel s kuželovým kolem. Je ovšem nutno si uvědomit, že síly byly určeny podle jmenovitého točivého momentu tak, že při případných extrémních provozních podmínkách musí být vynásobeny součinitelem vnějších dynamických sil KA.
Obr. 13. Poněvadž uvažované veličiny M a FN (resp. Ft , Fr a Fa ) jsou nesourodé, rovnovážný stav celku "kola a hřídele" je možný pouze za přítomnosti dalších sil, které se indukují v oporách hřídele – v ložiskách. Jejich řešení je schématicky znázorněno na obr. 14. pro letmo uložený pastorek. Obvodovou složku Ft je třeba doplnit na dvojici, s čím souvisí vznik síly o velikosti Ft v ose hřídele (vektor s plnou šipkou). Zatímco složku Fr stačí po její nositelce posunout, a složku Fa lze přeložit do osy a připojit dvojici Fa ⋅ 0,5d m . Hřídel pastorku pak odpovídá nosníku na dvou podporách, jehož převislý konec je zatížen v jedné rovině silou Ft a v druhé rovině ohybovou dvojicí Fa ⋅ 0,5d m a silou Fr ; nosník je dále nakrucován momentem M a vystaven působení osové síly Fa . Vyšetření reakcí v ložiskách a namáhání hřídele je pak již
18
zřejmé. Ze vzájemné kolmosti os pastorku a kola a z principu akce a reakce pro výše uvažované síly platí: Ft1 = Ft 2 = Ft ; FN 1 = FN 2 = FN ; Fa1 = Fr 2 ; Fr1 = Fa 2 . Řešení silových složek stačí tudíž provést pouze u jednoho členu, zpravidla u pastorku.
Obr. 14.
Příklady: Př. 1.: Pro kuželové soukolí se šikmými zuby zadané parametry z1 = 12; z2 = 35; Σ = δ1 + δ2 = 90o; βe = 20o; ψL = b/Le = 0,3; x = 0; mte = 6, αt = 20o; vypočítejte pro tvar věnce I: a) úhel sklonu zubu na středním poloměru βm, b) průměry roztečných kružnic kol dv1, dv2 a počty zubů zv1, zv2 bivirtuálních kol, c) stanovte vhodné jednotkové posunutí x pro korekci V-N soukolí (Tab. 1.).
Př. 2.: Pro kuželové soukolí s kruhově zakřivenými zuby zadané parametry z1 = 12; z2 = 35; Σ = δ1 + δ2 = 90o; βm = 20o; ψL = b/Le = 0,3; x = 0; mnm = 6, αnm = 20o; vypočítejte pro tvar věnce I: a) úhel sklonu zubu βe na vnějším poloměru, b) průměry roztečných kružnic kol dv1, dv2 a počty zubů zv1, zv2 bivirtuálních kol, c) stanovte vhodné jednotkové posunutí x pro korekci V-N soukolí (Tab. 1.).
Př. 3.: Pro kuželové soukolí se šikmými zuby zadané parametry z1 = 10; z2 = 38; Σ = δ1 + δ2 = 90o; βe = 20o; ψL = b/Le = 0,3; mte = 5, αt = 20o; P1 = 12 kW; n1 = 24 s-1; l = 110 mm, vypočítejte síly zatěžující ložiska letmo uloženého kuželového pastorku (viz obr. 14). Zvolte: - vzdálenost působiště sil v ozubení od ložiska A, - smysl vinutí šroubovice a točivého momentu tak, aby radiální i axiální složka působila v kladném smyslu, viz obr. 13. a obr.14.).
19
