Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo zítra je neděle C: Dnes je úterý nebo zítra není neděle D: Dnes není úterý nebo zítra není neděle Kdo z nich měl pravdu, jestliže toho dne byl ve skutečnosti pátek? dnes je úterý…..p zítra je neděle……q A: p q B: (p) q C: p ( q) D: (p) (q) Pravdu měli B, C a D.
Kdo z nich neměl pravdu jestliže toho dne bylo úterý? Pravdu neměl B.
Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.
Příklad Error! No text of specified style in document.-1 Ivana ví, co jí sluší a proto se při oblékání řídí jistými vlastními zásadami: 1) K tmavé sukni neoblékne barevnou halenku 2) Když si oblékne barevnou halenku, potom si natáhne tmavé punčochy 3) Žádný kabát nenosí bez tmavých punčoch. V sobotu, jak sama řekla, si vzala tmavou sukni. Vzala si Ivana v sobotu do kina kabát? Řešení: Stanovme nejdříve elementární výroky obsažené v zadání: Má oblečenou tmavou sukni............... p Má oblečenou barevnou halenku........ q Má oblečené tmavé punčochy ............ r Má oblečený kabát.............................. s Potom můžeme složené výroky v zadání formulovat následovně: 1. p q 2. q r 3. s r Jestliže má mít kabát, potom musí platit následující vztah: (p q) (q r) (s r) s Platnost této formule můžeme prověřit pomocí pravdivostní tabulky nebo prostou úvahou. a. Kdyby byla premisa neplatná, potom je možno vyvodit pravdivý nebo nepravdivý závěr. To ale nevede k prověření, že má na sobě kabát. Tedy premisa musí být pravdivá. b. Pravdivost premisy je zaručena jen tenkrát, když je každý člen pravdivý. Je jasné, že p = 1 (vzala si tmavou sukni….prohlásila sama)
o (p q) = 1 má-li být implikace správná musí být typu 1 1, tedy q = 0. Ivana nemá oblečenou barevnou halenku. o (q r) = 1, po dosazení je implikace typu 0 r, řešení je r = 0,1 o (s r) = 1 dosadíme hodnoty za r (nejprve r = 1, tj. má oblečené tmavé punčochy). Potom je implikace typu s 1 nebo typu s 0 . Vzhledem k tomu, že oba typy musí být pravdivé, je řešením s = 0,1. Jelikož premisa musí být pravdivá, tak tomu vyhovuje řešení p =1, q = 0 a r = 1. Tedy musí mít i kabát, tj. s = 1 (protože černé punčochy nenosí bez kabátu). Případ p =1, q = 0 a r = 0 vede na s = 0. Nemá-li tedy tmavé punčochy, nemá ani kabát. Tedy jen v případě p =1, q = 0 a r = 1 má zcela jistě kabát.
Příklad Error! No text of specified style in document.-2 Dokažte že platí [(u ) ((u ) (m n)) (m n)] . Řešení: Cílem je najít si známou výchozí tautologii z níž po následných substitucích dosáhnou cílovou formuli. Takovou je např. tautologie p (p q) q (jak to víme???). Stačí dále, když provedeme následující substituce: pu q m n a dostaneme cílovou formuli. Podle věty o substitucích do tautologie je také cílová formule tautologií. Příklad Error! No text of specified style in document.-3 Zjednodušte zápis formule [r (s t)]. Řešení: Bude zajímavé z čeho vyjdeme. Je to zcela triviální tautologie (s t) (s t) , která vznikla z tautologie (p) p .. Zákon dvojí negace substitucí p (s t). Takže zjednodušení je r (s t).
Příklad Error! No text of specified style in document.-4 Dokažte, že : 1. Je-li (X Y), potom také platí X , Y. Z předpokladu plyne, že pravdivostní funkce formule (X Y) musí mít jen hodnotu 1. To není ale možné jinak než pravdivostní funkce pro X a Y mají hodnotu 1. Tedy musí to být tautologie. 2. Je-li X tautologie, jsou rovněž X Y a Y X tautologie. Víme, že X Y = Y X , X (X Y) a Y (X Y) – disjunkce je implikovaná každým ze svých členů. Jestliže platí X , potom aby byla implikace pravdivá musí být (X Y).
Zákony výrokového počtu
Uveďme teď některé tautologie, které mají bohaté použití. V logice teorie jsme je nazvali logickými teorémy. Tautologie s jedinou výrokovou proměnnou 1. 2.
[ (p p) ] .......... Zákon sporu: Dva výroky, z nichž jeden je negací druhého nemohou být najednou pravdivé. [(p p) ] .............. Zákon vyloučení třetího: Ze dvou výroků, z nichž jeden je negací druhého, je právě jeden pravdivý a druhý nepravdivý a třetí možnost není.
3.
(p p) .................... Zákon totožnosti: Každý výrok implikuje sám sebe.
4.
[p p) ] ............. Zákon dvojí negace: Dvojí negace každého výroku je s tímto výrokem ekvivalentní.
5.
[(p p) p],
[(p p) p]…..Zákon Claviův (reductio ad absurdum) Je-li výrok implikován svou vlastní negací, pak je pravdivý.
Poznámka: Buď p q základní tvar výroku implikace (podmíněný výrok). V dalších tautologiích budeme často potřebovat jisté obměny zmíněného výroku. Zavedeme rovněž jejich názvy: q p..................Konversní výrok …..Konjugované výroky p q ............Inversní výrok q p ............Kontrapositivní výrok
Tautologie s více výrokovými proměnnými 6.
(p q) (q p) ..................................... Zákon kontraposice: Kdykoliv je implikace pravdivá, je pravdivý i odpovídající kontrapositivní výrok.
7.
(q p) (p q) ........................................Varianty zákona kontrapozice (p q) (q p)
8.
((p q) (q r)) (p r)........................ Zákon hypotetického sylogismu: Tranzitivita implikace. Je to schéma často používaného myšlenkového postupu.
9.
((p q) (q r)) (p r) ........................ Tranzitivita ekvivalence: Jsou-li dva výroky ekvivalentní
třetímu, pak jsou ekvivalentní. 10.
(p p) q .................................................... Zákon Dunse Scota: Z nepravdy vyplývá cokoli (přijmeme-li nesprávný předpoklad, jsme nuceni přijmout i důsledky, které z něj vyplývají, ať už jsou jakékoliv).
11.
(p q) p ,
12.
p (pq)
(p q) q ...................... Konjunkce implikuje každý ze svých členů. q (p q) ........................... Disjunkce je implikována každým ze svých členů.
13. Další tautologie tvaru implikace 14.
(p q) (q p) ,
(p q) (q p)....... Komutativita konjunkce a disjunkce. Platí též pro ekvivalenci.
15.
((p q) r) (p (q r)) ............................. Asociativita konjunkce a platí též pro disjunkci.
16.
(p (q r)) ((p q) (p r)) .................... Distributivita konjunkce vzhledem k disjunkci. Platí i pro distributivitu disjunkce vzhledem ke konjunkci.
17.
[(p q) p q ]................................ de Morganovy zákony. Dualita konjunkce a disjunkce.
18.
(p (q r)) ((p q) r.......................... V postupné implikaci lze premisy sloučit v konjunkci.
19.
(p q) ((p q) (q p)) ....................... Ekvivalenci lze rozložit na konjunkci dvou obrácených implikací.
20.
(p q) (p q)........................................... Od ekvivalence lze přejít k implikaci.
21. Libovolný pravdivý výrok je zvláštním prvkem vůči a 22. Některé další tautologie tvaru ekvivalence. p (p q) q …… 23. Tautologie zachycující vzájemné vztahy logických spojek. To umožní pochopit "Úplný systém logických spojek" sestavený jen z , , (p q) ( p q).................................................. Převod implikace do a . (p q) ((p q) (q p)) ............................... Převod ekvivalence na ……………… implikaci a konjunkci.
VZTAHY MEZI LOGICKÝMI SPOJKAMI V této části půjde o klasifikaci tzv. "Úplného systému" logických spojek, který je postaven jen na , , . Důležitá je následující věta. Věta Error! No text of specified style in document.-1 Ke každé formuli existuje formule obsahující pouze spojky , , taková, že . Důkaz lze provést několika způsoby. Např. ukázáním, že v každé formuli lze ostatní spojky nahradit spojkami z Úplného systému. Dokonce lze definovat Úplné systémy spojek jen z dvojic , , . Výzkum v matematické logice objevil dvě zvláštní spojky: …Peirceova spojka p q ( p q) (p q) …Schefferova spojka p q ( p q)
(p q)
Pomocí každé z nich lze definovat Úplný systém logických spojek. Jak převedeme ,, na nebo ? Např. převody: pq
převedeme na ( p q) (p q)
… systém ,
pq
převedeme na ( p q) (p q)
… systém ,
NEGACE SLOŽENÝCH VÝROKŮ Negace složitých výroků se dá vyřešit pomocí tzv. principu duality. K tomu slouží následující věta. Věta Error! No text of specified style in document.-2 Nechť X je formule obsahující pouze spojky , , a proměnné x1, x2, …, xn . Sestrojme formuli Y tak, že: a) každou ze spojek , nahradíme druhou ze dvojice, (X Y) . b) každou proměnnou nahradíme její negací. Potom platí, že Důkaz se dá provést indukcí. Příklad Error! No text of specified style in document.-5 Podle principu duality negujte následující formule (žlutě jsou označeny výsledky): pq................ p q pq................ pq p q ............ ( p q)……p q ……………….T23 p q ............ ((p q) (q p))………. ( p q) (q p)… (p q) (pq)
DEDUKTIVNÍ SOUSTAVA Následující skupinová věta dává možnosti rozhodnout, zda je úsudek/důsledek správný, ale nedokáže odvozovat. Rozhodnutí, zda je úsudek správný je převedeno na problém zda daná formule je nebo není tautologie (viz červeně označený důsledek). Věta Error! No text of specified style in document.-3 a) Nechť P1, P2, …, Pm jsou formule a p1, p2, …, pk jejich výrokové proměnné. Říkáme, že platí P1, P2, …, Pm Z právě když: pro libovolnou k-tici pravdivostních hodnot přiřazenou argumentům pravdivostních funkcí formulí P1, P2, …, Pm , Z tj. p1, p2, …, pk platí: Nabývají-li pravdivostní funkce definované formulemi P1, P2, …, Pm současně hodnoty 1 a nabývá i pravdivostní funkce definovaná formulí Z hodnoty 1. b) Nechť P1, P2, …, Pm , Z a P jsou formule. Potom P1, P2, …, Pm Z platí právě když P1 P2 … Pm P Z platí právě když (P Z ) c) Nechť P1, P2, …, Pm a Z jsou formule. Pak P1, P2, …, Pm Z právě když P1 , …, Pr-1 rm Důsledek: Nechť P1, P2, …, Pm , Z jsou formule. (P1 P2 … Pm Z)
P1, P2, …, Pm
Z
(Pr (…(Pm Z) ,
Z právě když
Toto je nejcennější výsledek, protože je již snadné prověřit zda implikace důsledku z konjunkce formulí premisy je tautologie. Příklad Error! No text of specified style in document.-6 a) Prověřte na základě části a) Věty 4-7, zda je následující úsudek správný: p q , q p (jestliže prší pak je mokro), (není pravda, že je mokro) (není pravda, že prší) p
q
pq
q
p
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
Úsudek je správný, viz Věta 4-7 a
b) Na základě důsledku Věty 4-7 ukažte, zda úsudek z případu a) je správný: p q , q p Aby tento úsudek byl správný, musí platit [(p q) q] p což se pomocí pravdivostní tabulky jistě podaří. p
q
0 0 1 1
0 1 0 1
p q q (p q) q 1 1 0 1
Odvození důsledku
1 1 0 0
1 0 0 0
p
[(p q) q] p
1 1 0 0
1 1 1 1
Část a) následující skupinové věty vedou na způsob jak odvodit z dané premisy důsledek pomocí pravidla odloučení, které je nazýváno "Modus ponens". Věta Error! No text of specified style in document.-4 a) Nechť X, Y jsou formule. Potom platí (X, X Y) XY můžeme odvodit důsledek Y.
Y To znamená, že z formulí X a
Důkaz se provede úpravou T22 (substituce pX, qY) a tak dostaneme Věty 4-7 platí (X, X Y) Y.
X (XY) Y a podle důsledku
Pomocná pravidla odvození: Buď X formule, xj její proměnná. Jestliže do X za xj dosadíme formuli A, pak X S(A/xj, X)……………SUBSTITUČNÍ PRAVIDLO PRO PROMĚNNOU. Formuli S, kterou získáme nahrazením části A formule X formulí B, můžeme považovat za důsledek daný následujícím zápisem: X S(B/A, X)…………….SUBSTITUČNÍ PRAVIDLO PRO FORMULI b) Formule Z je důsledkem formulí P1, P2, …, Pm tehdy a jen tehdy, když existuje posloupnost formulí X1, X2, …, Xn taková, že Xn = Z a pro každé Xi je buď 1. Xi premisa, tj. Xi = Pj pro vhodné j, nebo 2. Xi vznikne z libovolné tautologie Y aplikací některého z pomocných pravidel odvození, tj. Xi = S(A/y, Y) nebo Xi = S(B/A, Y), nebo 3. Xi je důsledkem aplikace pravidla modus ponens na některé z formulí X1, X2, …, Xi-1 , tj. Xr, Xs Xi , r,s i , Xr Xs Xi Posloupnost X1, X2, …, Xn se nazývá odvozením formule Z z formulí P1, P2, …, Pm . Příklad Error! No text of specified style in document.-7 Dokažte odvozením, že platí a b, a c, b d cd Bude provedeno ve cvičení jako ukázka.
Cvičící
Další jednoduché vlastnosti odvozování Buď a ' množiny formulí, a,b,c formule. Pak a) jestli a , ' b potom , ' a b...... konjunkce důsledků b) jestli a b, potom a nebo b........ c) jestli , a b , potom a b .................. d) a, ' a b , potom ,' b.................. e) , a c , ',b c , potom ,', ab c ........ disjunkce premis f) a, potom ab .......................................... b, potom ab g) a, b, a, ' b , potom ,' a ......... h) a , potom a ..................................... i) ,a, ' c , potom , ', a c ............................ pořadí premis lze změnit Příklad Error! No text of specified style in document.-8 Mrzne jsou zhoršené jízdní podmínky prší je nebezpečí smyku Pak snadno uvedeme, že mrzne, prší jsou zhoršené jízdní podmínky a je nebezpečí smyku Poznámka: Buď množinou formulí P1, P2, …, Pm. Jestliže máme dokázat odvození
a b , tak místo toho často dokazujeme P1, P2, …, Pm , a (nehledáme důsledek a b , ale jen důsledek b , viz jednoduchá vlastnost c). P1, P2, …, Pm
b.
Této techniky můžeme použít i v případě, že důsledek není ve tvaru implikace, protože jsme schopni ho na implikaci převést [(a b) (a b)]. Definice Error! No text of specified style in document.-1 Buď množinou formulí P1, P2, …, Pm , p1, p2, …, pk jejich výrokové proměnné. je splnitelnou množinou formulí, právě když existuje alespoň jedna k-tice hodnot proměnných p1, p2, …, pk pro kterou nabývají všechny formule z najednou pravdivostní hodnotu 1. Jestliže taková k-tice neexistuje, je nesplnitelnou množinou formulí. j) je-li nesplnitelná, pak platí
a, kde a je libovolná formule.
Příklad Error! No text of specified style in document.-9 Je následující úsudek správný? Dnes je zima, dnes není zima Dnes jdu do kina Formálně je toto odvození ve tvaru p, p q Množina formulí v premise je nesplnitelná, proto je jejich důsledkem libovolná formule. (Použitím důsledku Věty 4-7 se dostaneme k T10 – zákon Dunse Scota). Zmíněný úsudek je správný. Věta Error! No text of specified style in document.-5 Buď množinou formulí P1, P2, …, Pm . Jestliže důsledkem je kontradikce, je nesplnitelná. k) Jestliže a , pak platí b a ............................. tautologie je důsledkem libovolné formule b l) Jestliže a , a b , pak platí b ........... důsledkem tautologie je opět tautologie m) Jestliže a , pak také , b a................... správnost úsudku zůstane zachována i když k premisám přidáme libovolnou formuli b
Příklad Error! No text of specified style in document.-10 V hospodě u stolu se sešli tři neznámí muži. Když se představili, tak vyšlo najevo, že se jmenují Hrobař, Stolař a Zámečník a přitom jejich povoláními jsou hrobař, stolař a zámečník. Je zajímavé, řekl ten, který byl hrobařem, "že žádný z nás nemá povolání podle svého jména". "Máte pravdu" odpověděl Zámečník "a přitom ještě můj dědeček byl zámečníkem". Jaké povolání vlastně každý z mužů má? Řešení: Označme symbolem Xp obecný výrok, že muž, který se jmenuje X má povolání p. Jelikož každý z nich nemá povolání totožné se svým jménem, tak pro každého z nich existují jen dvě možnosti zapsané v disjunkci, která musí být pravdivá: Hs Hz , Sh Sz , ZhZs . Vedle těchto disjunkcí máme k dispozici jen výroky z dialogu Zámečník – hrobař. Z dialogu plyne, že Zámečník nemůže být hrobařem. Tedy Zh = 0. Jaké povolání má Zámečník? Musíme najít důsledek formule Zh Zs: 1. Zh Zs .....................................výchozí 2. (Zh Zs) (Zh Zs) ........S(Zh/p, Zs/q), dostaneme (p q) (p q)
3. Zh Zs.................................(1), (2) (3) 4. Zh...........................................přidáme premisu Zh 5. Zs..............................................(4), (3) (5)……… Zh, Zh Zs Zs Jelikož Zh = 0 je výsledek tvaru Zh Zs, Zh Zs Zámečník je stolařem. Zbytek povolání: Hrobař je zámečník, Stolař je hrobař.
