Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian

Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian Rio Yohanes1, Nora Hariadi2, Kiki Ariyanti Sugeng3 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia [email protected], [email protected], [email protected]

1

Abstrak Modul adalah struktur aljabar yang didefinisikan atas suatu gelanggang dilengkapi oleh dua operasi dengan syarat-syarat tertentu. Salah satu jenis modul yang dipelajari dalam teori modul adalah modul Noetherian. Suatu !-modul ! adalah modul Noetherian jika !-modul ! memenuhi kondisi rantai naik (ascending chain condition) atas submodul dari !, sedangkan suatu gelanggang dikatakan gelanggang Noetherian jika gelanggang tersebut memenuhi kondisi rantai naik (ascending chain condition) atas ideal dari !. Dalam makalah ini dibahas mengenai kriteria dari suatu modul agar menjadi modul Noetherian, kriteria dari gelanggang agar menjadi gelanggang Noetherian, dan kriteria dari gelanggang !, sehingga gelanggang polinomial ![!] dan gelanggang hasil bagi !/! menjadi gelanggang Noetherian.

Criteria on Algebraic Structure of Noetherian Modules and Rings Abstract Module, together with two operations satisfying some conditions, is an algebraic structure defined over a ring. Noetherian module is one type of module studied in module theory. An !-module ! is said to be Noetherian module if it satisfies an ascending chain condition on its submodules and any ring ! is a Noetherian ring if it satisfies ascending chain condition on ideals of !. This makalah discusses about some criterias for module to be considered as Noetherian module, criteria for any ring to be considered as Noetherian ring, and criteria for a ring ! so that the polynomial ring of ![!] and the quotient ring of !/!, where ! is any ideals of !, is Noetherian as well. Keywords : modules, ring, Noetherian modules, Noetherian rings

1.

Pendahuluan

Ruang vektor atas lapangan ! merupakan himpunan tak kosong ! yang anggota-anggotanya disebut sebagai vektor, dilengkapi dengan dua operasi aljabar yang memenuhi syarat tertentu. Kedua operasi ini disebut sebagai penjumlahan vektor dan perkalian skalar vektor (Kreyzig, 1978). Pada ruang vektor, operasi perkalian skalar vektornya adalah antara vektor di ruang vektor ! dengan skalar di lapangan !. Apabila skalar ini merupakan elemen dari gelanggang, yang belum tentu lapangan, maka diperoleh suatu struktur aljabar lain yang disebut sebagai modul. Beberapa sifat-sifat pada ruang vektor juga berlaku pada modul. Namun, terdapat sifat dari ruang vektor yang tidak dimiliki oleh struktur aljabar modul. Salah satunya adalah sifat subruang yang dibangkitkan secara berhingga. Ruang vektor dibangkitkan secara berhingga

Kriteria struktur aljabar ..., Rio yohaners, FMIPA UI, 2014

jika dan hanya jika ruang vektor tersebut memiliki basis yang berhingga. Dengan kata lain ruang vektor dibangkitkan secara berhingga jika dan hanya jika memiliki dimensi hingga (Roman, 2008). Telah diketahui pula bahwa subruang dari ruang vektor berdimensi hingga juga berdimensi hingga, sehingga ruang vektor dibangkitkan secara berhingga memiliki subruang yang dibangkitkan secara berhingga pula. Hal ini tidak berlaku secara umum pada struktur aljabar modul. Modul yang dibangkitkan secara berhingga tidak selalu memiliki submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Menurut Roman (2008), modul yang dibangkitkan secara berhingga atas gelanggang Noetherian memiliki sifat yang paling dekat dengan ruang vektor, yakni setiap submodulnya merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Modul yang dibangkitan secara berhingga atas gelanggang Noetherian disebut modul Noetherian (Roman, 2008). Gelanggang Noetherian juga merupakan salah satu struktur aljabar yang dipelajari dalam bidang geometri aljabar. Salah satu teorema yang dibahas dalam makalah ini, yang dijumpai dalam kajian geometri aljabar, adalah Teorema Basis Hilbert. 2.

Tinjauan Teoritis

Pada bab ini dijelaskan mengenai definisi dan beberapa konsep dasar dari grup, gelanggang, dan teori modul yang digunakan dalam pembahasan kriteria modul dan gelanggang Noetherian. Definisi 2.1 Himpunan tak-kosong G disebut grup jika pada ! didefinisikan operasi " ∗ " sedemikian sehingga: a) !, ! ∈ ! mengakibatkan ! ∗ ! ∈ !. b) Diberikan !, !, ! ∈ !, maka ! ∗ ! ∗ ! = ! ∗ ! ∗ !. c) Terdapat ! ∈ ! yang tunggal sedemikian sehingga ! ∗ ! = ! ∗ ! = !, untuk setiap ! ∈ !. d) Untuk setiap ! ∈ ! terdapat anggota ! ∈ ! yang tunggal sedemikian sehinggga !∗! =!∗! =! (! ditulis sebagai !!! dan ! disebut sebagai invers dari ! di !). (Herstein, 1996) Himpunan ! ⊆ ! yang tak-kosong disebut subgrup dari ! jika ! membentuk grup atas operasi yang sama di ! (Herstein, 1996).


Definisi 2.2 Himpunan tak kosong ! disebut sebagai gelanggang jika ! memiliki dua operasi, yakni " + " dan " ∙ " sedemikian sehingga: a) !, ! ∈ ! mengakibatkan ! + ! ∈ !. b) ! + ! = ! + ! untuk setiap !, ! ∈ !. c)

! + ! + ! = ! + (! + !) untuk setiap !, !, ! ∈ !.

d) Terdapat 0 ∈ ! sedemikian sehingga ! + 0 = ! untuk setiap ! ∈ !. e) Diberikan ! ∈ !, terdapat elemen ! ∈ ! sedemikian sehingga ! + ! = 0 (! dapat ditulis sebagai −!). f) !, ! ∈ ! mengakibatkan ! ∙ ! ∈ !. g) ! ∙ ! ∙ ! = ! ∙ ! ∙ ! untuk setiap !, !, ! ∈ !. h) ! ∙ ! + ! = ! ∙ ! + ! ∙ ! dan ! + ! ∙ ! = ! ∙ ! + ! ∙ !, untuk setiap !, !, ! ∈ !. (Herstein, 1996) Suatu gelanggang disebut gelanggang komutatif apabila operator operasi perkalian “ ∙ “ memenuhi hukum komutatif dan sembarang gelanggang disebut sebagai gelanggang dengan satuan (ring with unit) bila terdapat 1 ∈ ! sedemikian sehingga ! ∙ 1 = !, untuk setiap ! ∈ !. Adapun subhimpunan tak-kosong ! ⊆ ! disebut ideal dari ! jika ! merupakan subgrup aditif dari ! dan jika ! ∈ !, maka !" ∈ ! dan !" ∈ ! untuk setiap ! ∈ ! (Herstein, 1996). Berikut diberikan definisi dari pemetaan yang mengawetkan kedua operasi pada gelanggang atau yang dikenal sebagai homomorfisma gelanggang. Definisi 2.3 Pemetaan ! ∶ ! → !′ dari gelanggang ! ke !! adalah homomorfisma jika a) ! ! + ! = ! ! + ! ! dan b) ! !" = ! ! !(!) untuk setiap !, ! ∈ !. (Herstein,1996) Kernel dari homomorfisma ! adalah ker ! = ! ∈ ! ! ! = 0 , dimana elemen 0 merupakan elemen identitas atas operasi penjumlahan pada gelanggang !′. Misalkan ! adalah ideal dari gelanggang !. Karena ! merupakan subgrup aditif dari !, maka !/! terdefinisi sebagai grup yang selanjutnya disebut sebagai grup hasil bagi, dimana !/! merupakan himpunan yang berisi seluruh koset ! + ! (Herstein,1996). Lebih jauh, jika !/! dilengkapi pula dengan operasi perkalian yang didefinisikan sebagai ! + ! ! + ! = !" + !, maka !/! membentuk struktur gelanggang yang disebut sebagai gelanggang hasil bagi.


Berikut diberikan beberapa teorema yang terkait dengan gelanggang hasil bagi yang dikutip dari Herstein (1996). Teorema 2.4 Misalkan ! adalah ideal dari !. Maka grup hasil bagi !/! sebagai grup komutatif adalah gelanggang dengan operasi perkalian ! + ! ! + ! = !" + !. Lebih jauh, pemetaan !: ! → !/! didefinisikan sebagai ! ! = ! + ! untuk ! ∈ ! adalah homomorfisma dari ! pada !/! dengan ! sebagai kernelnya. Teorema 2.5 (Teorema Korespondensi) Misalkan !: ! → !! merupakan homomorfisma dari ! pada !′ dengan kernel ! . Jika !′ adalah ideal dari !′ dan ! = {! ∈ !|! ! ∈ ! ! }, maka ! adalah ideal dari !, ! ⊃ ! dan !/! ≃ !′. Salah satu gelanggang yang dibahas dalam makalah ini adalah gelanggang polinomial. Himpunan polinomial dalam ! atas gelanggang komutatif ! dinotasikan dengan ! ! adalah himpunan yang beranggotakan ! ! = !! ! ! + !!!! ! !!! + ⋯ + !! ! + !! , dengan ! ≥ 0, !! ∈ ! adalah koefisien dari polinomial ! ! , dan koefisien !! disebut sebagai koefisien utama dari ! ! . Dua

polinomial

! ! = !! ! ! + !!!! ! !!! + ⋯ + !! ! + !!

dan

! ! = !! ! ! + !!!! ! !!! + ⋯ + !! ! + !! anggota ![!] dikatakan sama jika dan hanya jika koefisien-koefisien yang bersesuaian sama, yaitu !! = !! untuk setiap ! ≥ 0 (dengan !! = 0 ketika ! > ! dan !! = 0 ketika ! > !). Misalkan !(!) = !! ! ! + !!!! ! !!! + ⋯ + !! ! + !! dan ! ! = !! ! ! + !!!! ! !!! + ⋯ + !! ! + !! berada di ![!]. Didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial sebagai berikut: a) ! ! + ! ! = !! + !! ! ! + !!!! + !!!! ! !!! + ⋯ + !! + !! ! + !! + !! , dengan ! = max{!, !}, !! = 0 ketika ! > ! dan !! = 0 ketika ! > !. b) ! ! ! ! = !!!! ! !!! + !!!!!! ! !!!!! + ⋯ + !! ! + !!

,

dimana

!! = !! !! +

!!!! !! + ⋯ + !! !!!! + !! !! untuk setiap ! = 0, … , ! + !. Maka ! ! yang dilengkapi penjumlahan dan perkalian polinomial tersebut membentuk struktur aljabar gelanggang atau yang biasa dikenal sebagai gelanggang polinomial. (Gallian, 2010) Dilandasi oleh keinginan untuk membuat struktur aljabar atas suatu gelanggang, diperoleh pendefinisian struktur aljabar lain (abstraksi dari ruang vektor) yang disebut sebagai struktur aljabar modul. Modul atas gelanggang ! (!-modul) secara fundamental bergantung pada


struktur dari gelanggangnya itu sendiri. Perhatikan bahwa jika gelanggang ! memiliki struktur aljabar lapangan, maka struktur !-modul tersebut merupakan struktur yang selama ini dikenal sebagai ruang vektor. Pada subbab ini dibahas mengenai definisi-definisi dan teorema-teorema terkait dengan !-modul. Definisi 2.6 Misalkan ! adalah gelanggang komutatif dengan satuan, yang elemen-elemennya disebut sebagai skalar. Himpunan tak kosong ! disebut ! -modul (atau modul atas gelanggang) jika ! dilengkapi dua operasi, yaitu penjumlahan, yang diberi simbol " + ", dimana untuk setiap pasangan !, ! ∈ !×! dipetakan ke ! + ! ∈ ! dan perkalian, dimana untuk setiap pasangan !, ! ∈ !×! dipetakan ke elemen !" ∈ !, sedemikian sehingga sifatsifat berikut berlaku: 1. ! merupakan grup abelian terhadap penjumlahan. 2. Untuk setiap !, ! ∈ ! dan !, ! ∈ ! ! ! + ! = !" + !" dan ! + ! ! = !" + !" !" ! = ! !" 1! = !. Gelanggang ! disebut sebagai gelanggang dasar (base ring) dari !. (Roman, 2008) Untuk selanjutnya, ! disebut ! -modul ditulis sebagai ! -modul ! . Berikut ini adalah beberapa contoh dari modul, yaitu: 1. Ruang vektor atas lapangan ! merupakan !-modul (Rotman, 2002). 2. Gelanggang komutatif ! dengan satuan merupakan modul atas dirinya sendiri (!-modul ! ) dengan perkalian skalar modul !×! → ! didefinisikan sebagai operasi perkalian anggota-anggota di ! yang diberikan (Rotman, 2002). 3. Misalkan !! =

!

adalah

gelanggang

komutatif

dengan

satuan.

Himpunan

!! , !! , … , !! !! ∈ !, 1 ≤ ! ≤ !}, himpunan ! − !"#!" terurut anggota-anggota

!, juga merupakan !-modul (Roman, 2008). Berikut diberikan contoh suatu himpunan dilengkapi dengan dua operasi penjumlahan dan perkalian yang membentuk struktur aljabar !-modul, dimana gelanggang ! yang digunakan adalah himpunan bilangan bulat ℤ.


Contoh 2.7 Misalkan ! merupakan himpunan bilangan riil positif dilengkapi dengan operasi penjumlahan " + " yang didefinisikan sebagai perkalian bilangan riil positif yang telah dikenal, yaitu ! + ! = !" untuk setiap !, ! ∈ ! , dan perkalian " ∗ " yang didefinisikan sebagai ! ∗ ! = !! , ! ∈ ℤ. Perhatikan bahwa himpunan bilangan riil positif dilengkapi dengan operasi perkalian yang telah dikenal membentuk struktur aljabar grup, sehingga ! merupakan grup abelian atas operasi penjumlahan. Kemudian untuk setiap !, ! ∈ ! dan !, ! ∈ ℤ, berlaku ! ∗ ! + ! = ! ∗ !" = !"

!

= !!!! = !! + !! = ! ∗ ! + ! ∗ ! ,

kemudian

!+! ∗! =

! !!! = ! ! ! ! = ! ! + ! ! = ! ∗ ! + ! ∗ ! , lalu !" ∗ ! = ! !" = ! !" = ! !

!

=!∗

! ! = ! ∗ (! ∗ !), dan untuk 1 ∈ ℤ, berlaku 1 ∗ ! = !! = ! untuk setiap ! ∈ !. Sehingga menurut Definisi 2.1, ! dengan dua operasi tersebut membentuk struktur aljabar ℤ-modul. Sama halnya dengan struktur ruang vektor yang memiliki subruang, pada struktur aljabar modul juga dikenal istilah submodul seperti yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 2.8 Submodul dari !-modul ! adalah subgrup aditif S dari M sedemikian sehingga ! ∈ ! mengakibatkan !" ∈ ! untuk setiap ! ∈ !. (Grillet, 2007) Himpunan ! merupakan submodul dari ! dinotasikan dengan ! ≦ ! (Grillet, 2007). Telah diketahui sebelumnya bahwa gelanggang ! dapat dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri (!-modul !). Jika gelanggang ! merupakan gelanggang komutatif dengan satuan, maka submodul dari !-modul ! merupakan ideal gelanggang !, seperti yang dijelaskan pada lema di bawah ini. Lema 2.9 Misalkan ! adalah gelanggang komutatif dengan satuan dan !-modul ! adalah modul atas dirinya sendiri. Maka untuk setiap submodul dari !-modul ! merupakan ideal dari !. Demikian pula sebaliknya, untuk setiap ideal dari ! merupakan submodul dari !modul !. Konsep dari himpunan merentang (spanning set) pada ruang vektor juga didefinisikan pada struktur modul, yang dinyatakan sebagai berikut. Definisi 2.10 Submodul terentang (terbangkitkan) oleh subset ! dari !-modul !, adalah himpunan seluruh kombinasi linear dari elemen-elemen !: ≪ ! ≫= !! !! + !! !! + ⋯ + !! !! !! ∈ !, !! ∈ !, ! ≥ 1}.


Subset ! ⊆ ! dikatakan membangkitkan ! jika ! =≪ ! ≫. (Roman, 2008) Definisi 2.11 !-modul ! dikatakan modul yang dibangkitkan secara berhingga (finitely generated) jika ! memuat himpunan hingga yang membangkitkan !. (Roman, 2008) Dengan kata lain, ! dibangkitkan secara berhingga jika terdapat himpunan berhingga ! = !! , … , !! ⊆ ! sedemikian sehingga ! = ≪ ! ≫ . Sebagai kesepakatan, modul ! dibangkitkan secara berhingga oleh himpunan ! = !! , … , !! dapat ditulis sebagai ! = ≪ ! ≫ atau ! =≪ !! , !! , … , !! ≫ . Di bawah ini diberikan satu contoh modul yang dibangkitkan secara berhingga. Contoh 2.12 Misalkan ℝ merupakan himpunan bilangan riil yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang sudah dikenal. Karena himpunan bilangan riil merupakan gelanggang dengan satuan, maka untuk setiap ! ∈ ℝ berlaku ! = 1!, dimana 1 merupakan elemen satuan di ℝ. Sehingga terdapat {1} ⊆ ℝ sedemikian sehingga ℝ =≪ 1 ≫. Dengan demikian, ℝ -modul ℝ merupakan modul yang dibangkitkan secara berhingga, dengan 1 ⊆ ℝ sebagai pembangkitnya. Berikut ini diberikan teorema terkait submodul yang dibangkitkan secara berhingga, yang digunakan dalam pembahasan. Lema 2.13 Misalkan ! adalah submodul dari suatu ! -modul. Misalkan pula !! , !! , … , !! ⊆ ! adalah subhimpunan hingga di ! dan ! = !! , !! , … , !!

adalah

submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Maka ! ⊆ !. Sama halnya dengan grup dan gelangggang, konsep pemetaan homomor-fisma juga terdapat pada struktur aljabar modul. Berikut diberikan definisi dari homomorfima pada !-modul dan salah satu lema yang berkaitan dengan homomorfisma modul. Definisi 2.14 Misalkan ! dan ! adalah ! -modul. Pemetaan ! ∶ ! → ! disebut sebagai homomorfisma !-modul jika (a) ! ! + ! = ! ! + ! ! , untuk setiap !, ! ∈ !, dan (b) ! !" = !" ! , untuk setiap ! ∈ ! dan ! ∈ !.


Homomorfisma R-modul disebut epimorfisma jika homomorfisma modul tersebut surjektif, monomorfisma jika homomorfisma modul tersebut injektif, dan isomorfisma jika homomorfisma modul tersbut bersifat injektif dan surjektif. (Bosch, 2013) Lema 2.15 Misalkan ! dan ! adalah ! -modul. Misalkan

! ∶ ! → ! merupakan

homomorfisma ! -modul. Maka peta dari homomorfisma ! , !" ! = ! ∈ ! ! ! = !, ! ∈ !}, adalah submodul dari !.

3.

Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. 4.

Pembahasan

Pada bab ini dibahas mengenai salah satu kriteria suatu modul agar menjadi modul Noetherian, kriteria suatu gelanggang agar menjadi gelanggang Noetherian, dan kriteria gelanggang polinomial dan gelanggang hasil bagi agar menjadi gelanggang Noetherian. Adapun definisi dari modul dan gelanggang Noetherian diberikan sebagai berikut. Definisi 4.1 Modul Noetherian !-modul ! dikatakan memenuhi kondisi rantai naik (ascending chain condition), disingkat a.c.c, atas submodul jika untuk setiap barisan naik dari submodul-submodul di !, !! ⊆ !! ⊆ !! ⊆ ⋯ , pada suatu saat akan konstan (eventually constant), yaitu terdapat ! ∈ ℕ sedemikian sehingga !! = !!!! = !!!! = ⋯. Modul yang memenuhi a.c.c atas submodul disebut sebagai modul Noetherian. (Roman, 2008) Definisi 4.2 Gelanggang Noetherian Gelanggang ! dikatakan memenuhi kondisi rantai naik (ascending chain condition), disingkat a.c.c, atas ideal jika untuk setiap barisan naik dari ideal-ideal di !, !! ⊆ !! ⊆ !! ⊆ ⋯, pada suatu saat akan konstan (eventually constant), yakni terdapat ! ∈ ℕ

sedemikian

sehingga !! = !!!! = !!!! = ⋯ . Gelanggang yang memenuhi kondisi di atas disebut sebagai gelanggang Noetherian.


(Roman, 2008) Konsep dari modul dibangkitkan secara berhingga dipelajari dalam kajian modul Noetherian, dengan salah satu teorema kriteria modul Noetherian dalam makalah ini menyatakan bahwa !-modul ! adalah modul Noetherian jika dan hanya jika setiap submodul dari ! merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Namun, akan dibahas terlebih dahulu satu lema yang berguna dalam pembuktian kriteria modul Noetherian tersebut, yaitu gabungan dari submodul-submodul dengan tambahan syarat tertentu merupakan submodul dari modul yang sama. Lema 4.3 Misalkan ! adalah ! -modul dengan !! ⊆ !! ⊆ !! ⊆ ⋯ adalah barisan naik submodul-submodul dari ! pada suatu saat akan konstan. Maka ! =

! !!

juga merupakan

submodul dari !. Berikut diberikan syarat cukup dan perlu suatu !-modul merupakan modul Noetherian, yang menjadi salah satu kriteria suatu modul agar menjadi modul Noetherian. Teorema 4.4 !-modul ! dikatakan Noetherian jika dan hanya jika untuk setiap submodul dari ! merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga (finitely generated). (Roman, 2008) Bukti. (⇐) Misalkan setiap submodul dari ! dibangkitkan secara berhingga dan misalkan barisan naik submodul dari ! adalah !! ⊆ !! ⊆ !! ⊆ ⋯. Berdasarkan Lema 4.3, himpunan ! =

! !!

membentuk submodul dari !. Sehingga menurut

premis, ! merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Misalkan ! ditulis sebagai ! = !! , !! , … , !! . Karena !! ∈ !, maka terdapat !! ∈ ℕ sedemikian sehingga !! ∈ !! ! . Dengan memilih suatu ! yang merupakan nilai maksimum dari !! , !! , … , !! , ! = max !! , !! , … , !! , diperoleh !! , !! , … , !! ⊆ !! . Sehingga, menurut Lema 2.13, diperoleh ! = !! , !! , … , !! ! = !! , !! , … , !!

⊆ !! , lebih jauh

⊆ !! ⊆ !!!! ⊆ ⋯ ⊆

! !!

=!

yang menunjukan sembarang barisan submodul naik, !! ⊆ !! ⊆ !! ⊆ ⋯ , pada suatu saat akan konstan. Terbukti bahwa ! merupakan modul Noetherian.


(⇒) Untuk arah sebaliknya, pembuktian dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan S merupakan submodul dari ! yang tidak dibangkitkan secara berhingga. Misalkan ! merupakan !-modul Noetherian, yakni pada ! memenuhi kondisi a.c.c. Misalkan !! ∈ ! dan pandang submodul !! sebagai submodul yang di-bangkitkan oleh !! , yakni !! = !!

⊆ !.

Karena S tidak dibangkitkan secara berhingga, maka tidak mungkin !! = !. Dengan kata lain, !! ≠ !. Sehingga terdapat !! ∈ ! − !! . Sekarang misalkan !! merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga oleh !! dan !! , atau !! = !! , !!

. Karena ! tidak

dibangkitkan secara berhingga, maka tidak mungkin !! = !. Sehingga terdapat !! ∈ ! − !! . Misalkan submodul !! merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga oleh !! , !! , dan !! , dengan alasan yang serupa tidak mungkin ! = !! . Sehingga terdapat !! ∈ ! − !! . Dengan meneruskan langkah di atas, diperoleh barisan naik submodul di !, !!

⊆ !! , !!

⊆ !! , !! , !!

⊆ ⋯ ⊆ !,

yang merupakan barisan naik tak-terhingga atas submodul dari !. Hal ini kontradiksi dengan premis yang menyatakan bahwa ! Noetherian, dimana setiap barisan naik submodulnya pada suatu saat akan konstan (eventually constant). Sehingga, haruslah S merupakan submodul dari ! yang dibangkitkan berhingga.∎ Dari Teorema 4.4, diperoleh kriteria dari modul Noetherian yaitu setiap submodulnya merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Karena gelanggang ! dapat dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri dan sembarang submodul dari !-modul ! merupakan ideal dari !, maka melalui cara yang serupa dengan pembuktian Teorema 4.4, diperoleh kriteria untuk sembarang gelanggang agar menjadi gelanggang Noetherian yang dinyatakan dalam teorema berikut. Akibat 4.5 Gelanggang ! dikatakan Noetherian jika dan hanya jika untuk setiap ideal dari ! merupakan ideal yang dibangkitkan secara berhingga. (Roman, 2008) Berikut ini merupakan contoh penggunaan Teorema 4.4 dan Akibat 4.5 untuk membuktikan ℝ -modul ℝ! merupakan modul Noetherian dan gelanggang ℤ merupakan gelanggang Noetherian.


Contoh 4.6 Misalkan ℝ merupakan himpunan bilangan riil. Perhatikan bahwa ℝ-modul ℝ! merupakan modul dengan submodul yang terdiri dari {0}, ! = !" ! ∈ ℝ, ! ≠ 0}, dan ℝ! itu sendiri. Menurut konvensi, ruang nol memiliki basis himpunan kosong, sehingga {0} dibangkitkan secara berhingga oleh himpunan kosong. Lalu, untuk submodul !, terdapat ! ⊆ ! sedemikian sehingga ! =≪ ! ≫, dan untuk submodul ℝ! , terdapat

1,0 , 0,1

⊆

ℝ! sedemikian sehingga ℝ! =≪ 1,0 , (0,1) ≫. Dari ketiga hal di atas diperoleh kesimpulan bahwa untuk setiap submodul dari ℝ-modul ℝ! , merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Sehingga menurut Teorema 4.4, ℝ-modul ℝ! merupakan modul Noetherian. Contoh 4.7 Misalkan ℤ merupakan gelanggang bilangan bulat. Perhatikan bahwa untuk sembarang ideal ! dari ℤ, ideal ! dinyatakan sebagai ! = !ℤ, dengan ! ≥ 0. Karena ! dapat dinyatakan sebagai ! = !ℤ, maka terdapat ! ⊆ ℤ sedemikian sehingga ! = ≪ ! ≫. Dengan kata lain, ideal ! merupakan ideal yang dibangkitkan secara berhingga. Sehingga menurut Akibat 4.5, gelanggang ℤ merupakan gelanggang Noetherian. Akibat 4.5 di atas menjelaskan bahwa salah satu kriteria dari sembarang gelanggang ! agar menjadi gelanggang Noetherian adalah setiap ideal dari ! merupakan ideal yang dibangkitkan secara berhingga. Teorema yang akan dibahas selanjutnya merupakan hubungan antara modul Noetherian dengan gelanggang Noetherian, sehingga dari teorema tersebut diperoleh kriteria lain dari modul Noetherian dan gelanggang Noetherian. Namun, sebelumnya dibahas terlebih dahulu lema-lema terkait yang nantinya digunakan dalam pembuktian teorema tersebut. Lema 4.8 Misalkan !! adalah !-modul yang berisi ! − !"#$% anggota-anggota gelanggang !. Misalkan pula !-modul ! dibangkitkan secara berhingga, ! = !! , !! , … , !! , dan ! adalah submodul dari !. Definisikan pemetaan ! ∶ ! ! → !, dengan ! !! , !! , … , !! = !! !! + !! !! + ⋯ + !! !! . Maka berlaku ketiga hal berikut: a)

! merupakan epimorfisma modul.

b)

! !! ! = ! ∈ !! !(!) ∈ !} membentuk submodul dari !-modul !! .

c)

! ! !! (!) = !.


Lema 4.9 Misalkan ! -modul !! =

!! , !! , … , !! !! ∈ !, 1 ≤ ! ≤ !}. Jika ! sembarang

submodul dari ! ! , maka himpunan !! =

!! , !! , … !!!! , !! ∈ ! !! = !! = ⋯ = !!!! =

0 } dan himpunan !! = { !! , !! , … , !!!! , !! ∈ !| !! = 0} juga membentuk submodul dari !! . Lema !=

4.10

Misalkan

!

merupakan

submodul

dari

!

-modul

!!

dan

!! , !! , … !!!! , !! ∈ ! !! = !! = ⋯ = !!!! = 0}. Definisikan pemetaan !: ! → !

dengan aturan 0, 0, … , 0, !! ↦ !! . Maka pemetaan ! merupakan monomorfisma modul antara ! dan !. Lema 4.11 Misalkan ! submodul !! , dan ! = { !! , !! , … , !!!! , !! ∈ !| !! = 0} . Definisikan pemetaan !: ! → !!!! dengan aturan (!! , !! , … , !!!! , 0) ↦ (!! , !! , … , !!!! ). Maka pemetaan ! merupakan monomorfimsa modul antara ! dan ! !!! . Lema 4.12 Misalkan !: ! → ! adalah monomorfisma modul antara ! dan !. Misalkan !" ! ≦ ! merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga, yaitu !" ! =≪ !! , !! , … , !! ≫ . Jika ! !! adalah invers dari ! , maka ! merupakan modul yang dibangkitkan secara berhingga, dengan ! =≪ ! !! !! , ! !! !! , … , ! !! !! ≫. Lema berikut merupakan bagian dari pembuktian salah satu teorema yang diambil dari Roman (2008), halaman 135. Adapun lema beserta bukti lengkapnya diberikan sebagai berikut. Lema 4.13 Untuk ! ∈ ℕ, misalkan ! merupakan gelanggang Noetherian dan ! sembarang submodul dari ! -modul ! ! , maka ! merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Berikut merupakan teorema yang menyatakan hubungan antara modul Noetherian dan gelanggang Noetherian, dimana struktur modul yang berperan dalam hal ini merupakan struktur modul yang dibangkitkan secara berhingga. Teorema 4.14 Misalkan ! adalah gelanggang komutatif dengan satuan. Gelanggang ! merupakan gelanggang Noetherian jika dan hanya jika untuk setiap ! -modul yang dibangkitkan secara berhingga merupakan modul Noetherian. (Roman, 2008) Bukti.


(⇐) ! adalah gelanggang komutatif dengan satuan. Sehingga, ! dapat dipandang sebagai !modul ! atau modul atas dirinya sendiri, yang dibangkitkan secara berhingga dengan 1! sebagai pembangkitnya. Menurut premis, !-modul ! merupakan modul Noetherian, maka berdasarkan Teorema 4.4 untuk setiap submodul dari !-modul ! merupakan submodul yang dibangkitkan secara berhingga. Menurut Lema 2.9, ideal dari ! merupakan submodul dari !modul ! , sehingga sembarang ideal dari ! merupakan ideal yang dibangkitkan secara berhingga. Dengan menggunakan Akibat 4.5, terbukti bahwa gelanggang ! merupakan gelanggang Noetherian. (⇒) Misalkan ! Noetherian dan misalkan ! = !! , !! , … , !!

merupakan !-modul yang

dibangkitkan secara berhingga. Perhatikan pemetaan berikut ! ∶ !! → !, dengan

! !! , !! , … , !! = !! !! + !! !! + ⋯ + !! !! . Berdasarkan Lema 4.8, ! merupakan

epimorfisma modul. Misalkan ! adalah submodul dari !, maka menurut Lema 4.8 pula prapeta ! !! ! = ! ∈ ! !(!) ∈ !} adalah

submodul

dari !! dan ! ! !! (!) = ! .

Berdasarkan Lema 4.13, sembarang submodul !! membentuk suatu modul yang dibangkitkan secara berhingga. Sehingga, ! !! ! , yang merupakan submodul dari !! , dibangkitkan secara berhingga. Misalkan ! !! ! =≪ !! , !! , … , !! ≫ . Karena ! ! !! (!) = ! , maka ! adalah submodul yang dibangkitkan secara berhingga oleh !(!! ), !(!! ), … , !(!! ) ⊆ ! atau ! =≪ !(!! ), !(!! ), … , !(!! ) ≫ . Menurut Lema 4.3, ! -modul ! merupakan modul Noetherian. Untuk sembarang ! -modul yang dibangkitkan secara berhingga dengan gelanggang ! Noetherian terbukti merupakan modul Noetherian.∎ Telah dibahas sebelumnya kriteria dari gelanggang abstrak menjadi gelanggang Noetherian. Pada teorema selanjutnya dibahas satu gelanggang yang cukup dikenal, yaitu gelanggang polinomial, agar menjadi gelanggang Noetherian. Pada teorema tersebut dijelaskan bahwa dibawah kondisi gelanggang ! Noetherian, gelanggang polinomial ! ! juga merupakan gelanggang Noetherian. Namun sebelumnya, akan dibahas terlebih dahulu dua lema yang merupakan bagian dari pembuktian suatu teorema yang diambil dari Roman (2008), halaman 136, yang nantinya digunakan untuk membuktikan pernyataan tersebut. Berikut lema beserta bukti lengkapnya. Lema 4.15 Misalkan ! ! adalah gelanggang polinomial dengan sembarang ideal ! ⊆ ! ! . Himpunan !! didefinisikan sebagai himpunan yang berisi 0 ∈ ! dan seluruh koefisien utama


(leading coefficient) dari polinomial-polinomial yang berderajat ! di ! ⊆ ![!]. Maka !! merupakan ideal dari !. Lema 4.16 Misalkan ! ! adalah gelanggang polinomial dengan sembarang ideal ! ⊆ ![!]. Himpunan ! didefinisikan sebagai himpunan yang berisi 0 ∈ ! dan seluruh koefisien utama (leading coefficient) dari polinomial-polinomial di !. Maka ! merupakan ideal dari !. Teorema 4.17 Teorema Basis Hilbert (Hilbert Basis Theorem) Jika ! adalah suatu gelanggang Noetherian, maka gelanggang polinomial ![!] juga merupakan gelanggang Noetherian. (Roman, 2008) Bukti. Misalkan ! adalah sembarang ideal dari ![!] , akan ditunjukkan ! adalah ideal yang dibangkitkan secara berhingga. Misalkan ! merupakan himpunan dari seluruh koefisien utama dari polinomial-polinomial di ! dan 0 ∈ !, Berdasarkan Lema 4.15, ! merupakan ideal dari !. Karena ! adalah ideal, dan ! adalah Noetherian, maka menurut Akibat 4.5, ! merupakan ideal yang dibangkitkan secara berhingga dan ! dapat ditulis sebagai ! =≪ !! , !! , … , !! ≫. Karena !! ∈ ! , maka terdapat polinomial !! ! ∈ ! dengan koefisien utama !! . Dengan mengalikan !! ! dan variabel ! yang berderajat tertentu, diperoleh deg !! ! = ! = max{deg(!! ! ), deg( !! ! ), … , deg( !! ! )} untuk setiap ! = 1,2, … , !. Perhatikan untuk ! = 0, … , ! − 1, misalkan himpunan !! berisi 0 ∈ ! dan seluruh koefisien utama dari polinomial-polinomial berderajat ! di !. Berdasarkan Lema 4.15, !! merupakan ideal dari !, sedemikian sehingga menurut Akibat 4.5, !! dibangkitkan secara berhingga. Misalkan !! =≪ !! ≫, dimana !! = {!!,! , !!,! , … , !!,!! }. Sehingga terdapat polinomialpolinomial !! = !!,! ! , !!,! ! , … , !!,!! (!) , dimana !!,! merupakan koefisien utama dari polinomial yang bersesuaian !!,! , untuk setiap ! = 1,2, … , !! . Pandang himpunan hingga berikut !!!

!=

!! ∪ !! ! , … , !! ! . !!!

Misalkan ! adalah ideal yang dibangkitkan oleh !, ! =≪ ! ≫. Perhatikan bahwa ! (karena !! ⊆ !) dan !! ! , … , !! !

!!! !!! !!

⊆

⊆ ! , maka ! ⊆ !. Sehingga, menurut Lema 2.13


diperoleh ! = ≪ ! ≫ ⊆ ! . Selanjutnya ditunjukkan bahwa ! ⊆ ! . Pembuktian dilakukan melalui induksi matematika pada derajat polinomial di !. Misalkan ! = 0, akan tunjukan sembarang polinomial berderajat 0 di ! merupakan polinomial yang berada di !. Misalkan ! ! ∈ ! merupakan polinomial berderajat 0, maka koefisien utama dari ! ! merupakan !(!) itu sendiri. Sehingga ! ! ∈ !! . Karena !! merupakan pembangkit dari !! , maka ! ! ∈ ≪ !! ≫. Lebih jauh, !! = !! . Sehingga, ! ! ∈≪ !! ≫ ⊆ ! . Diperoleh kesimpulan bahwa sembarang polinomial berderajat 0 di ! merupakan polinomial yang berada di ! . Sehingga dapat dirumuskan hipotesis induksi yaitu, untuk 0 ≤ ! < !, sembarang polinomial berderajat kurang dari ! di ! merupakan polinomial di !. Langkah selanjutnya yang dilakukan adalah menunjukan bahwa asumsi berlaku untuk ! = !. Pandang kasus ! < !. Misalkan ! ! ∈ ! berderajat !. Misalkan koefisien utama dari !(!) adalah !. Karena !! dibangkitkan secara berhingga oleh !! , maka ! dapat dinyatakan sebagai ! = !! !!,! + !! !!,! + ⋯ + !!! !!,!! untuk suatu !! ∈ ! , !!,! ∈ !! , dengan ! = 1,2, … , !! . Untuk setiap !!,! ∈ !! terdapat !!,! (!) ∈ !! dimana !!,! adalah koefisien utama untuk polinomial !!,! (!) , ! = 1,2, … , !! . Perhatikan bentuk jumlahan berikut. !! !!! !! !!,!

! = = =

!! !!! !!

!!,! ! ! + ⋯ + !

!! ! !!!(!! !!,! ! !! ! !!! !! !!,! !

= !! ! + ⋯ + Sehingga terdapat ℎ ! =

!! !!! !! !!,!

+ ⋯ + !! !) !! !!! !! !

+ ⋯+ !! !!! !! ! .

! ∈ ≪ !! ≫ ⊆ ! , sedemikian sehingga polinomial

! ! ∈ ! dan ℎ ! ∈ ! ⊆ ! memiliki koefisien utama yang sama. Pandang kasus ! ≥ !. Misalkan ! ! ∈ ! berderajat ! dengan koefisien utama !. Perhatikan bahwa !! ! ∈ ! , ! !!! ∈ ! ! , dan ! adalah ideal, maka ! !!! !! ! ∈ ! dengan deg ! !!! !! ! = ! untuk setiap ! = 1,2, … , ! . Karena ! ∈ ! dan !! , … , !! pembangkit dari ! , maka ! dapat dinyatakan sebagai ! = !! !! + ⋯ + !! !! untuk suatu !! ∈ ! , ! = 1,2, … , !. Pandang bentuk jumlahan berikut. ! !!! !! !!! !! !

! =

! !!! (!! ! ! !!! !! !

=

! ! !!!(!! !! !

=

! ! !!! !! !! !

+ ⋯ + !)

+ ⋯ + !! !! !!! ) + ⋯+

! !!! !!! !! !!


= !! ! + ⋯ + Sehingga terdapat ℎ ! =

! !!! !! !!! !! !

! !!! . !!! !! !!

! , dimana ℎ ! ∈≪ ! !!! !! ! , ! !!! !! ! , … ,

! !!! !! ! ≫ ⊆ ! , sedemikian sehingga ! ! ∈ ! dan ℎ ! ∈ ! ⊆ ! memiliki koefisien utama yang sama. Pada kedua kasus di atas diperoleh suatu polinomial ℎ ! ∈ ! ⊆ ! yang memiliki koefisien utama yang sama dengan koefisien utama dari polinomial ! ! ∈ ! . Karena ℎ ! ∈ ! , ! ! ∈ ! dan kedua polinomial tersebut memiliki koefisien utama yang sama dengan derajat polinomial yang sama pula (sama dengan ! ), maka ! ! − ℎ ! ∈ ! dan deg(! ! − ℎ(!)) < !. Sehingga menurut hipotesis, ! ! − ℎ ! ∈ ! mengakibatkan ! ! − ℎ ! ∈ !. Perhatikan bahwa ! ! dapat dinyatakan sebagai ! ! = ! ! − ℎ !

+ ℎ(!). Diketahui

bahwa ! ! − ℎ ! ∈ ! dan ℎ ! ∈ ! , maka ! ! ∈ ! . Diperoleh kesimpulan sembarang ! ! ∈ ! mengakibatkan ! ! ∈ ! . Sehingga, dengan induksi matematika terbukti untuk sembarang polinomial di ! berderajat ! juga berada di !. Dengan kata lain, ! ⊆ !. Karena ! ⊆ ! dan ! ⊆ ! dan ! merupakan ideal yang dibangkitakan secara berhingga oleh !, maka ! = ! merupakan ideal yang dibangkitkan secara berhingga. Berdasarkan Akibat 4.5 terbukti bahwa gelanggang polinomial ![!] Noetherian. ∎ Teorema berikut menyatakan bahwa gelanggang hasil bagi !/! merupakan gelanggang Noetherian jika gelanggang ! adalah gelanggang Noetherian. Teorema 4.18 Misalkan ! adalah gelanggang Noetherian. Jika ! merupakan ideal dari !, maka !/! merupakan gelanggang Noetherian. (Roman, 2008) Bukti. Misalkan !! ⊆ !! ⊆ ⋯ ⊆ !! ⊆ !!!! ⊆ ⋯ merupakan sembarang barisan naik dari ideal-ideal di !/! . Definisikan pemetaan !: ! → !/! dengan ! ! = ! + ! . Menurut Teorema 2.4, ! merupakan pemetaan yang surjektif. Misalkan !! = ! ∈ ! ! ! ∈ !! } untuk setiap !, maka menurut Teorema 2.5 (Teorema Korespondensi), !! adalah suatu ideal dari !, ! ⊆ !! , dan !! /! ≅ !! . Lebih jauh, !! /! = !! , dengan !! ⊆ !!!! untuk setiap !. Maka ! ⊆ !! ⊆ !! ⊆ ⋯ ⊆ !! ⊆ ⋯ merupakan suatu barisan naik dari ideal-ideal di !. Karena ! merupakan gelanggang Noetherian, tedapat suatu ! ∈ ℕ sedemikian sehingga !! = !! untuk ! ≥ ! , sehingga !! = !! /! = !! /! = !! untuk ! ≥ !. Maka dari itu berdasarkan Definisi 4.2, gelanggang hasil bagi !/! merupakan gelanggang Noetherian.∎


5.

Kesimpulan

Dalam makalah ini telah dibahas kriteria dari suatu modul agar menjadi modul Noetherian. Dari Teorema 4.4 diperoleh kesimpulan bahwa !-modul merupakan modul Noetherian jika setiap submodulnya merupakan modul yang dibangkitkan secara berhingga. Karena gelanggang ! dapat dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri dan sembarang ideal dari ! merupakan submodul dari !-modul !, diperoleh kriteria dari gelanggang Noetherian, yang tertulis dalam Akibat 4.5, yaitu setiap ideal dari ! merupakan ideal yang dapat dibangkitkan secara berhingga. Dari Teorema 4.14, diperoleh kriteria dari suatu !-modul yang dibangkitkan secara berhingga dikatakan modul Noetherian, jika gelanggang ! merupakan gelanggang Noetherian. Dari Teorema 4.14 pula diperoleh kriteria lain dari gelanggang Noetherian, yaitu setiap modul yang dibangkitkan secara berhingga atas gelanggang tersebut merupakan modul Noetherian. Berdasarkan Teorema 4.17, gelanggang polinomial ![!] merupakan gelanggang Noetherian, jika gelanggang ! adalah gelanggang Noetherian. Di bawah kondisi yang sama, gelanggang hasil bagi !/!, dengan ! ideal dari !, merupakan gelanggang Noetherian menurut Teorema 4.18. 6.

Daftar Referensi

[1] Bosch, Siegfried. 2013. Algebraic Geometry and Commutative Algebra. London: Springer-Verlag. [2] Gallian, Joseph. 2010. Contemporary Abstract Algebra. USA: Brooks/Cengange Learning [3] Grillet, Pierre Antonie. 2007. Abstract Algebra. USA: Springer. [4] Herstein, I.N. 1996. Abstract Algebra. New Jersey: Prentice Hall, Inc. [5] Kreyzig, Erwin. 1978. Introductory functional analysis with applications. USA: John Wiley & Sons, Inc. [6] Roman, Steven. 2008. Advanced Linear Algebra 3ed. USA: Springer. [7] Rotman, Joseph. 2002. Advanced Modern Algebra. New Jersey: Pearson Education, Inc.


Kriteria Struktur Aljabar Modul Noetherian dan Gelanggang Noetherian

Recommend Documents