STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS
Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari • Satu atau beberapa himpunan • Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas • Operasi-operasi di atas memenuhi ketentuan atau aksioma tertentu
Pengantar Struktur Aljabar • Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi grup, semi grup, monoid, grupoid
• Sruktur aljabar dengan satu himpunan dan lebih dari satu operasi gelanggang, lapangan, daerah integral, dll
• Struktur aljabar dengan dua himpunan dan beberapa operasi ruang vektor, modul, dll
GRUP dan SUBGRUP
Operasi Biner (def 1.4.1) Bila A suatu himpunan, maka suatu Operasi biner T : A x A A adalah pemetaan yang mengawankan setiap pasang (a,b) A x A dengan satu unsur c A Notasi: T(a,b) = c aTb=c a. b = c, di mana a, b, c A.
Operasi biner Dengan kata lain… Terdapat operasi antara unsur-unsur dalam himpunan A yang bersifat tertutup, setiap dua unsur dalam A, bila dioperasikan menghasilkan unsur ketiga yang juga unsur dalam A kembali.
Operasi Biner • Dalam bahasa matematika: • ( a,b A ) (c A) a * b = c • dimungkinkan c = a atau c = b atau a dan c b.
c
Contoh Operasi Biner • Operasi (+) dan (.) pada himp bil bulat (Z) • Coba cek! Operasi * pada Z+ dengan n*m = n – m. Apakah biner?
GRUPOID Definisi 2.1.1 Suatu himpunan tidak kosong G dengan operasi biner ( *) di dalamnya, disebut grupoid Notasi: (G, *)
Contoh Grupoid • (Z,+) • (G,*) dgn G = { x, y, z } dan
*
x
y
z
x
x
y
y
y
y
x
y
z
z
y
x
Grupoid Abel • Grupoid dengan sifat komutatif • Jika (G, *) maka x, y G berlaku x*y= y*x
Semi Grup • Definisi 2.1.2 Suatu grupoid (G, * ) disebut semi-grup, apabila terhadap operasi biner dalam G berlaku sifat asosiatif sebagai berikut: x, y, z G berlaku (x * y) * z = x * (y * z)
Contoh Semi Grup • (Q,.) berlaku (n. m). p = n .( m. p ), n,m,p Q.
LATIHAN • Bila R’=R|{-1} himpunan bil riil tanpa -1 dan operasi dalam R’ ditentukan sbb: x*y = x + y + xy, dengan x, y R’. Apakah operasi * merupakan operasi biner?
LATIHAN Manakah di antara struktur aljabar berikut mrpk grupoid, grupoid yang komutatif dan yang berupa semi-grup: a). Operasi biner * dalam Z dgn a* b = a - b b). Operasi biner * dalam Q dgn a * b = ab + 1 c). Operasi biner * dalam Z+ dgn a * b = 2a b
LATIHAN • Bila S himpunan berhingga, A(S) = { f : S S / f pemetaan bijektif } maka A(S) merupakan semi-grup terhadap operasi komposisi, jelaskan !
Sifat-sifat istimewa dalam grupoid • Idempoten • Mempunyai unsur identitas • Mempunyai unsur invers
Sifat-sifat tersebut kadang terdapat pada grupoid
Sifat idempoten • Suatu unsur a G disebut idempoten jika a* a = a • Contoh: 1. Unsur 0 dalam semi-grup ( Z,+ ) 2. Unsur 1 dan 0 dalam Semi-grup ( Z, . ) Latihan : Tentukan unsur idempotent pada Z4 dan Z6
Unsur Identitas • Suatu unsur e G disebut unsur identitas kiri jika berlaku sifat:x G maka berlaku e * x = x. • unsur e’ disebut identitas kanan jika x G maka x * e’ = x.
• Identitas kiri = identitas kanan e tunggal
Contoh unsur Identitas • Unsur 0 dalam ( Z, + ) • Unsur 1 dalam (Z,. ) • unsur 1 dalam Z6 dengan operasi perkalian modulo 6
Unsur Invers • Pada grupoid ( G, * ) dgn unsur identitas e, unsur a G dikatakan mempunyai invers jika terdapat unsur a-1 G yang memenuhi a-1 *a = e = a * a-1
Contoh unsur invers • Setiap n dalam (Z,+) mempunyai invers yaitu (-n). • G = { a, b, c } dengan operasi biner seperti pada tabel sebagai berikut: *
a
b
c
unsur identitas : b
a
b
a
c
a-1=a dan b-1=b, c-1 =?
b
a
b
c
c
a
c
a
Perhatikan tabel berikut • G = { a, b, c } dengan operasi biner seperti pada tabel sebagai berikut: tentukan unsur identitas dan unsur inversnya?
*
a
b
c
a
b
a
c
b
a
b
c
c
a
c
b
GRUP Semi grup yang memuat unsur identitas dan setiap unsurnya mempunyai invers merupakan struktur aljabar yang disebut grup.
Grup (def 2.1.4) Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup jika di dalam G terdapat operasi biner, misalkan “ . ” yang memenuhi sifat sifat a,b,c G berlaku : a). Assosiatif : a . ( b . c ) = ( a . b ) . c b). e G a . e = e . a = a c). a G a-1 G a . a-1 = a-1 . a = e
Grup (def 2.1.4’) Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup jika di dalam G terdapat operasi * dan unsur-unsur dalam G memenuhi sifat a) tertutup: a,b G maka a *b = c dengan c G b) Assosiatif : a,b,c G berlaku a*(b*c ) = (a*b) *c c). e G a * e = e * a = a, a G d). a G a-1 G a * a-1 = a-1 * a = e
Contoh Grup • A(S) = { f : S S / f pemetaan bijektif, S } dengan operasi “komposisi “ • (Z, +) • (Z6, +) • Bagaimana dengan (Z,.) dan (Z6, .), apakah keduanya Grup?
LATIHAN • Apabila G = { 1, -1, i, -i } di mana i2 = -1 dengan operasi dalam G adalah perkalian bilangan kompleks, Selidiki apakah ( G,. ) merupakan suatu grup .
LATIHAN Apakah struktur aljabar brkt mrpk suatu grup, bila jawab ‘ya’ , buktikan dan bila jawab bukan , syarat grup mana yang tidak dipenuhi a). Himpunannya Z dengan operasi yang ditentukan a * b = ab b). Pada 2Z = { 2n / n Z } dengan operasi sebagai berikut: a * b = a + b
LATIHAN Selidiki manakah struktur aljabar berikut membentuk grup: a). Z ‘ = { 2n + 1 / n Z } dengan operasi + b). Z dengan operasi yang ditentukan a *b= a+b+1
LATIHAN • Buktikan dengan menggunakan tabel bahwa Z 4 merupakan grup terhadap penjumlahan modulo 4.
LATIHAN • Himpunan H = { 1, 2, 3 } dengan operasi perkalian modulo 4, apakah merupakan grup ? Bila bukan, syarat mana yang tidak dipenuhi. • Bagaimana dengan himpunan K={1, 2, 3, 4} terhadap operasi perkalian modulo 5, jelaskan dengan bukti.
Grup Komutatif Apabila dalam grup G juga dipenuhi sifat a∗b=b∗a
untuk setiap a,b ∈ G, maka grup G disebut sebagai grup komutatif Contoh : (Z, +)
Grup Komutatif • Bagaimana dengan (Z, .)? • Bukan merupakan grup karena tidak setiap unsur Z mempunyai invers
Grup Komutatif Jika M2(R) adalah semua matriks bertipe 2 x 2 dengan elemen-elemennya diambil dari himpunan bilangan riil, apakah merupakan suatu grup komutatif terhadap operasi perkalian matriks?
Jika M2(R) adalah semua matriks bertipe 2 x 2 dengan elemen-elemennya diambil dari himpunan bilangan riil, bukanlah suatu grup terhadap operasi pergandaan matriks. Jawab:
0 1 0 1 M 2 ( R ) , jelas bahwa Pandang 0 0 0 0 tidak mempunyai invers di dalam M2(R) Jadi M2(R) bukan grup terhadap pergandaan matriks.
38
