STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya
i
ii
Daftar Isi Judul
i
Daftar Isi
iii
1 Himpunan
1
2 Partisi dan Relasi Ekuivalen
3
3 Grup
6
4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
14
iii
BAB 1 Himpunan Himpunan adalah koleksi dari objek yang well-defined. Himpunan S terdiri dari elemen-elemen. Jika a adalah elemen di S maka kita tulis a ∈ S. Himpunan yang tidak mempunyai elemen dinamakan himpunan kosong dan dinotasikan dengan ∅.
Definisi 1.1 Himpunan B adalah subset dari himpunan A dinotasikan B ⊆ A atau A ⊇ B jika setiap elemen di B ada di A. Notasi B ⊂ A digunakan jika B ⊆ A tetapi B 6= A.
Definisi 1.2 Jika A himpunan maka A adalah improper subset dari A. Setiap subset dari A adalah subset sejati dari A.
Contoh 1.1 Misalkan S = {1, 2, 3}. Hipunan S mempunyai 8 subset, yaitu , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} dan {1, 2, 3}
Beberapa himpunan yang digunakan dalam buku ini akan dinotasikan dengan simbol standart, sebagai berikut: • Himpunan bilangan bulat Z := {0, 1, −1, 2, −2, · · · },
1
• Himpunan bilangan bulat positif Z+ := {1, , 2, 3, · · · }, • Himpunan bilangan rasional Q := { m | m, n ∈ Z dan n 6= 0}, n • Himpunan bilangan rasional positif Q+ := { m | m, n ∈ Z+ dan n 6= 0}, n • Himpunan bilangan real R. • Himpunan bilangan real positif R+ . • Himpunan bilangan real yang tidak 0 R∗ . • Himpunan bilangan komplek C. • Himpunan bilangan komplek yang tidak 0 C∗ .
2
BAB 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen Telah kita ketahui bahwa himpunan bilangan rasional Q dapat digambarkan sebagai himpunan S dari semua ekspresi quotient demikian kita mempunyai
2 3
dan
4 6
m n
dengan m, n ∈ Z dan n 6= 0. Dengan
adalah ekspresi dari quotient yang sama. Faktanya
setiap elemen dari Q dapat direpresentasikan oleh sejumlah tak hingga dari elemen berbeda di S. Ilustrasi di atas membawa kita pada fakta bahwa himpunan Q dapat di partisi ke dalam subset yang dapat dipandang sebagai single arithmetic. Jika b adalah elemen dari sebuah himpunan partisi maka b mereprensentasikan subset dari semua elemen yang sama dengan b.
Contoh 2.1
2 3
= { 32 , −2 , 4 , −4 , 6 , −6 , · · · } −3 6 −6 9 −9
Definisi 2.1 Partisi dari himpunan S adalah decomposisi dari S ke dalam subset tak kosong sehingga setiap elemen dari himpunan adalah satu dan hanya satu dari subset. Subset ini kita namakan cells dari partisi.
3
Contoh 2.2 Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Satu partisi dari S diberikan oleh cells {1, 6},
{3},
{2, 4, 5}.
Subset {1, 2, 3, 4} dan {4, 5, 6} bukan partisi dari S karena 4 menjadi anggota dari kedua subset. Subset {1, 2, 3} dan {5, 6} juga bukan partisi dari S karena 4 bukan anggota dari keduanya.
Dua himpunan yang tidak mempunyai elemen bersama dikatakan disjoint. Dengan demikian cells dari partisi suatu himpunan adalah disjoint. Bagaimana kita mengetahui apakah dua quotient
m n
dan
r s
dalam himpunan partisi
S pada contoh 2.1 adalah cell yang sama, yaitu merepresentasikan bilangan rasional yang sama? Salah satu cara untuk mengetahuinya adalah dengan menyederhanakan kedua pecahan. Hal ini mungkin tidak mudah dikerjakan; sebagai contoh, 1403 3599
1909 4897
dan
merepresentasikan bilangan rasional yang sama, karena 23 · 83 1909 = 4897 59 · 83
1403 23 · 61 = . 3599 59 · 61
dan
Pada pecahan aritmatik kita mempunyai
m n
=
r s
jika dan hanya jika ms = nr. Ini
memberikan kepada kita kriteria yang lebih efisien dari masalah kita, yaitu (1999)(3599) = (4897)(1403) = 6870491. Misalkan a ∼ b menotasikan bahwa a ada dalam cell yang sama dengan b untuk partisi dari himpunan S yang memuat a dan b. Jelas sifat berikut selalu dipenuhi: • a ∼ a. Elemen a ada dalam cell yang sama dengan dirinya sendiri. • Jika a ∼ b maka b ∼ a. Jika a ada dalam cell yang sama dengan b maka b ada dalam cell yang sama dengan a.
4
• Jika a ∼ b dan b ∼ c maka a ∼ c. Jika a ada dalam cell yang sama dengan b dan b ada dalam cell yang sama dengan c maka a ada dalam cell yang sama dengan c.
Teorema 2.1 Misalkan S himpunan tak kosong dan ∼ adalah relasi antara elemen di S yang memenuhi sifat-sifat bahwa untuk setiap a, b, c ∈ S 1. (Refleksif ) a ∼ a 2. (Symetrik) Jika a ∼ b maka b ∼ a. 3. (Transitif ) Jika a ∼ b dan b ∼ c maka a ∼ c. Maka ∼ membentuk partisi natural dari S, dimana a = {a ∈ S|x ∼ a} adalah cell yang memuat a untuk setiap a ∈ S. Sebaliknya setiap partisi S memberikan relasi natural ∼ yang memenuhi sifat refleksif, symetrik dan transitif dengan a ∼ b jika dan hanya jika a ∈ b.
Bukti:
5
BAB 3 Grup Definisi 3.1 (Grup)
Suatu grup (G, ∗) adalah sebuah himpunan tak kosong G
dengan satu operasi biner ∗, yang didefinisikan pada G, dimana untuk setiap a, b, c ∈ G memenuhi aksioma-aksioma berikut. 1. a ∗ b ∈ G, 2. a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, 3. Terdapat unsur e ∈ G, sehingga untuk setiap a ∈ G, berlaku e ∗ a = a ∗ e = a (unsur e ini dinamakan unsur identitas dari grup G), 4. Untuk setiap a ∈ G, terdapat unsur a−1 ∈ R, sehingga a ∗ a−1 = (a−1 ∗ a = e, Grup G dikatakan komutatif jika a ∗ b = b ∗ a untuk setiap a, b ∈ G.
Selanjutnya notasi untuk grup (G, ∗) kita tulis G saja. Contoh 3.1 Himpunan Z = (Z, +) dan M2 = (M2 , ×) merupakan grup. Dalam hal ini Z merupakan grup komutatif, sedangkan M2 bukan.
6
Banyaknya unsur yang terkandung dalam suatu grup dinamakan order.
Teorema 3.1 Suatu grup G hanya memuat satu unsur identitas.
Bukti: Misalkan e dan d adalah unsur identitas di G maka untuk setiap g ∈ G berlaku ge = eg = g dan gd = dg = g. Jadi e = ed = d.
Teorema 3.2 Setiap unsur di G hanya mempunyai satu unsur invers.
Bukti: Misalkan unsur a ∈ G mempunyai invers b dan c. Maka berlaku ab = ba = e dan ac = ca = e. Sehingga kita punya b = be = b(ac) = (ba)c = ec = c. Teorema 3.3 Untuk setiap a dan b di G berlaku (a−1 )−1 = a dan (ab)−1 = b−1 a−1 . Bukti: Untuk setiap unsur a ∈ G berlaku aa−1 = a−1 a = e. Karena unsur a−1 hanya mempunyai satu invers maka (a−1 )−1 = a. Untuk unsur a dan b dengan menerapkan sifat assosiatif kita peroleh (ab)(b−1 a−1 ) = e dan (b−1 a−1 )(ab) = e. Karena invers unsur ab tunggal maka (ab)−1 = b−1 a−1 .
Definisi 3.2 (Subgrup)
Misal G grup dan H subhimpunan tak kosong dari G.
Maka H dikatakan subgrup dari G jika H merupakan grup terhadap operasi biner yang sama pada G.
Teorema 3.4 Sebuah subset H pada suatu grup G disebut subgrup dari G jika dan hanya jika e ∈ H dan untuk setiap a, b ∈ H memenuhi ab−1 ∈ H.
7
Definisi 3.3 Misalkan G grup dan a ∈ G. Subgrup yang dibangun oleh unsur a dinotasikan (a) dinamakan grup siklik, yaitu (a) = {an |n ∈ Z. Unsur a dinamakan generator dari G.
Contoh 3.2
1. Z = (Z, +) adalah grup siklik dengan generator 1 dan −1.
2. Z4 adalah grup siklik dengan genarator 1 dan 3, yaitu (1) = (3) = Z4 . 3. Grup 4-Klein V yang dgambarkan dalam Tabel Cayley berikut adalah tidak siklik. ·
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b b
c
e
a
c
b
a
e
c
Semua subgrup tak trivial dari V adalah {e, a}, {e, b}, {e, c}. Diagram Lattice dari grup 4-Klein diperlihatkan pada Gambar ??.
Misalkan G grup dan a ∈ G. Jika subgrup siklik (a) dari G finite maka order dari a adalah |(a)|. Jika tidak maka a mempunyai order infinite. Dengan demikian jika a ∈ G mempunyai order finite m, maka m adalah bilangan bulat positif terkecil sehingga am = e. Dapat dibuktikan bahwa grup siklik adalah grup yang komutatif.
Teorema 3.5 (Algoritma Pembagian) Misalkan a, b ∈ Z dengan a > 0. Maka terdapat secara tunggal q, r ∈ Z sehingga b = qa + r dengan 0 ≤ r < a. Contoh 3.3 Dapatkan q, r ∈ Z jika
8
1. 38 dibagi 7. Jawab: 38 = (5)7 + 3. Jadi q = 5 dan r = 3. 2. −38 dibagi 7. Jawab: −38 = (−6)7 + 4. Jadi q = −6 dan r = 4.
Definisi 3.4 Permutasi σ dari himpunan A ke A adalah fungsi σ : A −→ A, σ : 1−1, pada.
Contoh 3.4 A = {1, 2, 3}. Fungsi σ : A −→ A yang didefinisikan oleh σ(1) = 2, σ(2) = 3 danσ(3) = 1 mrupakan permutasi karena σ : 1 − 1, pada, dan ditulis 1 2 3 . σ= 2 3 1 Definisikan operasi perkalian permutasi pada A sebagai berikut. Misal σ dan τ adalah permutasi pada A. Maka fungsi komposisi στ ) adalah permutasi di A jika στ : 1 − 1, pada. Contoh 3.5 Misal A = {1, 2, 3, 4} dan σ =
1 2 3 4
dan τ =
4 2 1 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 = . Maka στ = 4 2 1 3 3 1 4 2 1 4 3 2
1 2 3 4 3 1 4 2
.
Teorema 3.6 Misal A himpunan tak kosong dan SA adalah himpunan dari semua permutasi pada A. Maka SA membentuk grup terhadap operasi perkalian permutasi. Definisi 3.5 Misal A = {1, 2, · · · , n}. Grup semua permutasi pada A dinamakan grup symetric pada n letter dan dinotasikan Sn . Sn mempunyai n! unsur dengan n! = 1 · 2 · 3 · · · n.
9
Definisi 3.6 Misal σ permutasi pada A. Kelas ekivalensi dalam A yang ditentukan oleh relasi ekivalensi, untuk setiap a, b ∈ A berlaku a ∼ b jika dan hanya jika b = σ n (a) untuk suatu n ∈ Z adalah orbit dari σ. Definisi 3.7 Permutasi σ ∈ Sn adalah cycle jika mempunyai paling banyak 1 orbit yang memuat lebih dari satu unsur. Panjang cycle adalah banyaknya unsur dalam orbit terpanjang. Permutasi σ dapat ditulis sebagai hasil kali ganda cycle-cycle. Contoh 3.6 Orbit dari permutasi σ =
1 2 3 4 5 6 7 8
dalam S8 adalah
4 7 8 6 1 5 2 3 {1, 4, 6, 5}, {2, 7}, {3, 8}. Permutasi ini bisa kita tuliskan sebagai 1 2 3 4 5 6 7 8 = (1, 4, 6, 5)(2, 7)(3. 8). σ= 4 7 8 6 1 5 2 3
Definisi 3.8 Cycle dengan panjang 2 dinamakan transposisi. Permutasi dikatakan genap (atau ganjil) tergantung apakah ia dapat dinyatakan sebagai hasil kali ganda transposisi-transposisi sebanyak genap (atau ganjil).
Contoh 3.7 Dalam S6 , σ = (1, 4, 5, 6)(2, 1, 5) = (1, 6)(1, 5)(1, 4)(2, 5)(2, 1). Jadi σ merupakan permutasi ganjil.
Jika n ≥ 2, koleksi dari semua permutasi genap dari {1, 2, · · · , n} membentuk subgrup dengan order 21 n! dari grup symetric Sn . Jadi banyaknya permutasi genap dalam Sn sama dengan banyaknya permutasi ganjil dalam Sn .
10
BAB 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor Teorema 4.1 Di dalam grup G terhadap subgrup H dari G, relasi ≡ ( mod H) adalah sutu relasi ekivalensi.
Relasi ≡ ( mod H) pada grup G mengakibatkan suatu partisi pada grup. Definisi 4.1 (Koset Kanan) Misal G grup, a ∈ G dan H subgrup dari G. Subhimpunan Ha = {ha | h ∈ H} disebut koset kanan terhadap subgrup H. Sedangkan koset kiri terhadap subgrup H adalah aH = {ah | h ∈ H}. Perlu kita perhatikan bahwa a ≡ b( mod H) didefinisikan oleh persyaratan ab−1 ∈ H. Pengertian koset kanan Ha = {ha | h ∈ H} pada hakekatnya ditimbulkan oleh persyaratan ab−1 ∈ H ini. Dengan demikian, di dalam grup G untuk setiap subgrup H dari G kita punya
11
himpunan koset kanan K = {Ha | a ∈ G} dan himpunan koset kiri L = {aH | a ∈ G}. Catatan: Misal G grup dan H subgrup dari G. • Banyaknya koset kanan dan koset kiri di grup G terhadap suatu subgrup H selalu sama, kita namakan indeks subgrup H di G yang dinotasikan dengan [G : H] • Himpunan koset kanan (kiri) membentuk partisi di G, yaitu untuk setiap a, b ∈ S G berlaku Ha = Hb atau Ha ∩ Hb = ∅ dan Ha = G. a∈G
Teorema 4.2 (Teorema Lagrange) Misal G grup dengan order hingga dan H subgrup G. Maka order H adalah pembagi order G, yaitu |H|\|G|. Akibatnya grup dengan order prim selalu siklis.
Definisi 4.2 Subgrup H dari grup G dikatakan normal jika Hg = gH untuk setiap g ∈ G.
Teorema 4.3 Misalkan G grup dan H subgrup G. Maka pernyataan berikut ekivalen: 1. H subgrup normal di G. 2. gHg −1 ⊆ H untuk setiap g ∈ G. 3. gHg −1 = H untuk setiap g ∈ G.
Definisi 4.3 (Homomorphisma Grup)
Suatu pemetaan ϕ dari grup G ke
grup G0 disebut homomorphisma grup jika untuk setiap a, b ∈ G memenuhi ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). Teorema 4.4 Misalkan ϕ : G −→ G0 suatu homomorphisma grup, maka:
12
1. ϕ(e) = e0 . 2. ϕ(a−1 ) = (ϕ(a))−1 untuk setiap a ∈ G Definisi 4.4 (Kernel) Misalkan ϕ : G −→ G0 merupakan homomorphisma grup, maka kernel dari ϕ dinotasikan Ker(ϕ), didefinisikan sebagai Ker(ϕ) = ϕ−1 [e0 ] = {a ∈ G | ϕ(a) = e0 } dengan e0 adalah identitas di G0 . Teorema 4.5 Misalkan ϕ : G −→ G0 suatu homomorphisma grup, maka ϕ : 1 − 1 jika dan hanya jika Ker(ϕ) = e.
Definisi 4.5 (Isomorphisma Grup)
Jika ϕ : G −→ G0 adalah homomorphisma
yang satu-satu dan pada, maka ϕ disebut isomorphisma. Grup G dan G0 dikatakan isomorphic jika ada isomorphisma ϕ dari G ke G0 , dan dinotasikan dengan G ∼ = G0 . Langkah-langkah untuk menunjukkan grup G dan G0 isomorphic adalah: 1. Definisikan fungsi ϕ dari G ke G0 . 2. Tunjukkan bahwa ϕ fungsi satu-satu dan pada. 3. Tunjukkan bahwa ϕ homomorphisma. Sedangkan untuk menunjukkan dua grup G dan G0 tidak isomorphic, pada prinsipnya adalah menunjukkan bahwa tidak ada homomorphisma yang bersifat satu-satu dan pada dari G ke G0 . Namun tidak mungkin kita mencoba setiap kemungkinan yang ada, kecuali jika pemetaan satu-satu memang tidak bisa dibuat. Cara praktis untuk menunjukkan dua grup G dan G0 tidak isomorphic adalah dengan mendapatkan sifat aljabar yang tidak dipenuhi oleh kedua grup.
13
Contoh 4.1 Grup Z tidak isomorphic dengan grup Q karena Z adalah siklik sedangkan Q tidak. Misal G grup dan N subgrup normal dari G. Himpunan semua koset terhadap N di G kita nyatakan dengan G/N . Operasi pada G/N yaitu pemetaan × : G/N × G/N −→ (N a, N b)
G/N
untuk setiap (N a, N b) ∈ G/N × G/N .
−→ N (ab)
Teorema 4.6 Sistem matematika G/N = (G/N, ×) membentuk grup. Grup ini kita namakan grup kuosien atau grup faktor di G terhadap subgrup normal N .
Koset N a = aN di G/N kita tuliskan juga dengan a. Dengan notasi ini kita punya ab = ab dan N = N e + eN = e0 dan (a)−1 = (a−1 ).
Contoh 4.2 Karena Z grup komutatif, maka semua subgrup dari Z bersifat normal. Misalkan n ∈ Z dengan n > 1 dan H = {kn | k ∈ Z}, maka H subgrup normal di Z. Grup fakor di Z terhadap H adalah: Z/H = {0, 1, 2, · · · , n − 1}. Grup Z/H ini tidak lain adalah Zn .
14
Indeks assosiatif, 6 bilangan bulat, 1, 2 rasional, 2 real, 2 grup, 6 homomorphisma, 12 isomorphisma, 13 homomorphisma, 12 identitas, 6 invers, 6 isomorphisma, 13 kernel, 13 tertutup, 6
15
