MODUL ALJABAR February 3, 2006
1
Pendahuluan
Aljabar merupakan bahasa simbol dan relasi. Dalam kehidupan seharihari aljabar seringkali digunakan tanpa memperdulikan apa pengertian aljabar tersebut. Dalam topik aljabar permasalahan-permasalahan matematika dinyatakan dengan suatu simbol (variabel) misalnya x. Simbol/variabel x biasanya menggantikan suatu bilangan yang dicari. Materi yang akan dibahas disini antara lain Hukum-hukum dasar aljabar, pertidaksamaan dan persamaan, persamaan linear, persamaan kuadrat, relasi dan fungsi
2
Sifat-sifat Dasar Aljabar
Operasi hitung yang berlaku dalam aljabar adalah penjumlahan, ditulis +, perkalianyang ditulis ×, . atau tanpa ditulis. Sedangkan hukum yang berlaku adalah: • Tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian Untuk setiap a, b ∈ R, jika a + b = c dan a × b = d maka c, d ∈ R • Asosiatif (Pengelompokan) Untuk setiap a, b, c ∈ R maka berlaku a + (b + c) = (a + b) + c dan a × (b × c) = (a × b) × c • Ada elemen netral 0 untuk penjumlahan dan 1 untuk perkalian Untuk setiap a ∈ R maka berlaku a+0 = a = 0+a dan a×1 = a = 1×a • Ada Elemen Invers yaitu −a (dibaca minus a) untuk penjumlahan dan 1 a untuk perkalian Untuk setiap a ∈ R maka berlaku a + (−a) = 0 = (−a) + a dan a × a1 = 1 = a1 × a 1
• Komutatif Untuk setiap a, b ∈ R berlaku a + b = b + a dan a × b = b × a • Distributif ˙ + c) = a × b + ac˙ Untuk setiap a, b, c ∈ R berlaku a(b Berdasarkan sifat-sifat tersebut dapat memberikan akibat sebagai berikut: • Untuk setiap a ∈ R berlaku a × 0 = 0 • Untuk a, b ∈ R, jika a × b = 0 maka a = 0 atau b = 0 • Untuk setiap a, b, c, d ∈ R berlaku (a + b) × (c + d) = a × c + a × d + b×c+b×d • Untuk setiap a, b ∈ R berlaku
2.1
(−a) × b = −(a × b)
(1)
a × (−b) = −(a × b)
(2)
(−a) × (−b) = a × b
(3)
Contoh - contoh
• (x + 3) × (x − 4) = x × (x − 4) + 3 × (x − 4) = x2 − 4x + 3x − 12 • 2(x − 5) = 2x − 2(5) = 2x − 10
3
Persamaan dan Pertidaksamaan
Beberapa contoh masalah persamaan dan pertidaksamaan adalah: • Satu orang murid membayar biaya piknik sebesar Rp 60.000,-. Satu kelas terdiri dari sejumlah orang murid. Biaya piknik yang harus dikeluarkan untuk satu kelas tersebut adalah Rp 480.000,-. Berapa jumlah murid dalam satu kelas? • Upah dua orang tukang batu untuk satu hari sepuluh ribu lebih banyak dibandingkan dengan empat hari kerja upah satu tukang batu. Berapa upah tukang batu untuk satu hari? • Harga gula di pasar paling murah per kilogram Rp 4000,-. Berapa kg gula yang dapat dibeli seorang pemilik warung jika dia memiliki uang sebesar Rp 165000,-? 2
Masalah-masalah diatas dapat dituliskan dalam bentuk aljabar sebagai berikut: • 60000x = 480000, dengan x menyatakan jumlah siswa. Akan ditentukan nilai x. • 2x = 4x + 10000, dengan x menyatakan upah per orang per hari. • 4000x ≤ 165000, x menyatakan jumlah kilogram gula. Masalah pertama dan kedua merupakan contoh masalah persamaan, sedangkan masalah ketiga menyatakan pertidaksamaan.
3.1
Contoh Soal
Tentukan Himpunan Penyelesaian, jika diberikan 1. 3x + 4 = 5 − 2x 2. 2x − 5 =
2 3
+1
3. −3 < 2x − 5 < 7 4. 2x + 4 < 5 dan 3 − x ≥ 1 5. −2x + 3 ≥ 0 dan 4x − 1 ≥ 0
3.2
Penyelesaian
Untuk menyelesiakan masalah persamaan dan pertidak samaan dapat dilakukan dengan cara menambahkan/ mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama sehingga suku-suku/komponen yang memuat variabel x terpisah dengan komponen yang tidak memuat variabel (konstanta), kemudian kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama sehingga diperoleh nilai x. Misalkan pada contoh soal 1, kedua ruas ditambah 2x, diperoleh 3x + 4 + (2x) = 5 − 2x + (2x)
(4)
5x + 4 = 5
(5)
kemudian kedua ruas ditambah dengan −4, sehingga diperoleh 5x + 4 + (−4) = 5 + (−4)
(6)
5x = −1
(7)
3
kemudian kedua ruas dikalikan dengan
1 5
diperoleh
1 1 5x = −1 (8) 5 5 −1 x= (9) 5 Contoh 3 −3 < 2x − 5 < 7, semua ruas ditambah dengan 5 sehingga diperoleh −3 + 5 < 2x − 5 + 5 < 7 + 5
(10)
2 < 2x < 12
(11)
semua ruas dikalikan dengan
1 2
diperoleh
1 1 1 2( ) < 2x( ) < 12( ) 2 2 2 1<x<6
(12) (13)
Untuk contoh 4 dan 5 ada dua pertidaksamaan, oleh karena itu harus dicari masing-masing penyelesian, kemudian digabungkan hasilnya. Contoh 4, 2x + 4 > 5 dan 3 − x ≥ 1 • dari pertidaksamaan pertama diperoleh 2x + 4 + (−4) > 5 + (−4)
(14)
2x > 1 1 x> 2
(15) (16)
• dari pertidaksamaan kedua diperoleh 3−x≥1
(17)
3 − x + (x) ≥ 1 + (x)
(18)
3≥1+x
(19)
3 + (−1) ≥ 1 + x + (−1)
(20)
2≥x
(21)
dari dua penyelesaian tersebut dapat dituliskan dalam bentuk gambar garis bilangan yaitu sehingga himpunan penyelesian dari soal tersebut adalah 12 < x ≤ 2. Hati-hati Apabila kedua ruas dikalikan dengan konstanta negatif (-) maka tanda pertidaksamaan harus diubah. 4
4
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan
Dalam kehidupan sehari-hari sering dihadapi suatu masalah mengenai sistem persamaan, selain itu juga ada masalah sistem pertidaksamaan, misalnya • Ali membeli apel dengan harga Rp10.000, − perkilo dan anggur dengan harga Rp15.000, − perkilo. Ali membayar uang sebanyak Rp 100.000,. Sedangkan Ali hanya dapat mengangkut beban sebanyak 15 kg. Berapa kilogram apel dan anggur yang harus dibeli oleh Ali. • Seorang peternak ayam mempunyai 60 ekor ayam. Setiap hari mendapatkan paling sedikit 45 butir telur. Setiap hari dia membeli paling banyak 20 kg jagung untuk makanan ayam. Telur ayam dijual satu butir Rp 300,- sedangkan harga jagung adalah Rp 2000 perkilogram. Berapa telur yang harus dihasilkan supaya peternak mendapat keuntungan dalam sehari. Contoh lain dari masalah persamaan adalah sebagai berikut: Suatu pagar kayu mempunyai bentuk persegi panjang dengan keliling 90 cm, dengan panjang pagar dua kali lebar pagar tersebut. Tentukan ukuran pagar tersebut • Umur ayah lima tahun lebih tua dari umur ibu. Umur Ibu dua kali umur Tina. Jumlah umur ayah, ibu dan Tina adalah 80 tahun. Berapa umur mereka masing-masing? Contoh-contoh diatas dapat diselesaikan secara langsung (tanpa membuat simbol) yang dikenal dengan masalah aritmatika, tetapi juga dapat diselesaikan melalui pendekatan aljabar sebagai berikut: • Masalah pertama, didefinisikan / ditulis x jumlah kg apel, y sebagai jumlah kg anggur yang dibeli. Model persamaan yang terbentuk adalah: 10000x + 15000y = 180000
(22)
x + y = 15
(23)
Model di atas secara matematis dikenal dengan sistem persamaan linear dengan 2 persamaan dan 2 variabel, yaitu x dan y.
5
• Sedangkan masalah kedua dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut: x menyatakan jumlah telur yang dihasilkan dan dapat dijual, sedangkan y adalah jumlah jagung yang dibeli. Misalkan z sebagai keuntungan/kerugian maka dapat dituliskan 300x − 2000y ≥ 0
(24)
x ≥ 45
(25)
y ≤ 20
(26)
• Masalah ketiga dapat dituliskan menjadi x menyatakan panjang pagar sedangkan y menyatakan lebar pagar. x + y = 90
(27)
x = 2y
(28)
• Masalah keempat: x menyatkan umur ibu, y menyatakan umur ayah, sedangkan umur Tina dinyatakan dengan z. Model matematikanya
4.1
x+5=y
(29)
2z = x
(30)
x + y + z = 80
(31)
Langkah-langkah Penyelesaian
Misal diberikan sistem persamaan linear dua variabel dengan dua persamaan adalah sebagai berikut: 2x + 2y = 8
(32)
−4x + 6y = 4
(33)
Dalam menyelesaikan masalah persamaan linear tersebut ada beberapa cara antara lain: • Substitusi Dari persamaan 32 diperoleh x = (8 − 2y)/2
6
(34)
kemudian nilai x yang diperoleh disubstitusikan kedalam persamaan (33) −4(8 − 2y)/2 + 6y = 4
(35)
−32/2 + 8y/2 + 6y = 4
(36)
−16 + (4 + 6)y = 4
(37)
10y = 4 + 16
(38)
y = 20/10
(39)
y=2
(40)
sehingga diperoleh x = (8 − 2(2))/2 = 2. Tampak bahwa penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 2, y = 2. • Eliminasi Untuk mendapatkan nilai x dan y akan dilakukan eliminasi/penghilangan salah satu variabel dengan cara mengalikan satu persamaan dengan suatu konstanta sehingga koefisien dari variabel persamaan (32) yang akan dihilangkan sama dengan koefisien variabel persamaan (33) (dikalikan 2). Kemudian persamaan (32) dikurangi dengan persamaan (33).
2(2x + 2y = 8)
(41)
−4x + 6y = 4
(42)
4x + 4y = 16
(43)
−4x + 6y = 4
(44)
diperoleh
baris pertama ditambah baris kedua diperoleh 10y = 20
(45)
y=2
(46)
setelah itu disubsitusi ke salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai x • Metode Grafik Penyelesian x dan y diperoleh dengan cara menggambarkan persamaan garis dari persamaan(32) dan (32) pada koordinat kartesius, nilai x dan y merupakan titik potong dari kedua garis tersebut. 7
4.2
Contoh Soal
Tentukan himpunan penyelesian dari sistem persamaan linear 1. 4x + 2y = 12 2x + y = 4 2. x + 3y = 1 2x − 3y = 2 3. 4x + 5y = 3 x − 3y = 1
5
Fungsi
Pada bab ini akan dibahas fungsi, daerah asal dan daerah hasil, bagaimana menggambar suatu fungsi pada koordinat kartesius. Ada beberapa istilah yang sering terjadi kesalahan dalam pemakaian, antara lain: relasi, pemetaan, dan fungsi. Beberapa contoh relasi dan fungsi dapat digambarkan sebagai berikut: • Misalkan akan akan dibuat hubungan antara nama murid dan hobi atau kegemaran murid. Disini terdapat dua himpunan yang akan dibuat hubungannya yaitu himpunan nama murid misal A = {Adi, Ita, Doni, Joko, Dina, T otok} dan himpunan hobi, misal B = {T enismeja, menyanyi, renang, menari} Pada masalah ini mungkin terjadi satu murid mempunyai dua atau lebih hobi, sehingga satu elemen di A dapat dihubungkan dengan satu atau lebih elemen pada B. Hubungan ini disebut dengan relasi. • Misalkan akan dibuat hubungan antara nama murid dengan umurnya misalkan A = {Adi, Ita, Doni, Joko, Dina, T otok} dan B = {12, 13, 15}. Pada masalah ini setiap murid mempunyai satu umur, tidak mungkin seorang murid mempunyai dua umur, sehingga setiap elemen pada A hanya dapat dihubungkan dengan satu elemen pada B. Hubungan ini disebut dengan fungsi. Himpunan A disebut dengan daerah asal, sedangkan himpunan B disebut dengan daerah hasil. Pada relasi bisa/boleh terjadi satu elemen dari daerah asal A dipasangkan dengan dua elemen dari daerah hasil B, sedangkan pada pemetaan atau fungsi satu elemen pada daerah asal A mempunyai tepat satu pasangan di daerah hasil B. 8
Misalkan diberikan fungsi dari bilangan real −3 ≤ x ≤ 5 ke bilangan real yang memenuhi aturan 3x − 2. Kalimat tersebut dapat dituliskan sebagai berikut: Misalkan A = {x| − 3 ≤ x ≤ 5} f
: A→B
f
: x 7→ f (x) = 3x − 2
A disebut daerah asal (domain) dalam hal ini berupa interval, sedangkan B merupakan daerah hasil (ko domain).
5.1
Contoh-contoh
1. f (x) = 2x2 − 3x + 1, 0 ≤ x ≤ 6 2. h(x) = 3x + 6, −3 ≤ x ≤ 3 3. g(x) =
3x−2 x2 −1
4. f (x) =
√ 3x + 2 + 4x
Untuk contoh 1 dan 2 telah diberikan/ditentukan daerah asal fungsi, sedangkan untuk contoh 3 dan 4 tidak diberikan. Pada masalah fungsi, sebelum menentukan daerah hasil f (x) perlu dikaji apakah fungsi tersebut terdefinisi atau tidak pada daerah daerah asal yang ditentukan, atau perlu dikaji terlebih dahulu pada daerah mana/kapan fungsi tersebut terdefinisi (terdefinisi berarti mempunyai hasil f (x) ada. Seperti contoh (2) tidak mempunyai nilai pada x = ±1, sehingga daerah asalnya adalah {x ∈ R|x 6= ±1}, sedangkan contoh (1) tidak terdefinisi untuk 3x + 2 ≤ 0 atau x 32 Beberapa fungsi tertentu yang perlu diketahui adalah fungsi konstan, fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi polinomial, fungsi exponensial dan fungsi logaritma.
5.2
Fungsi Konstan
Fungsi konstan adalah suatu fungsi yang memetakan semua elemen dari daerah asal ke bilangan real yang konstan, misalnya f (x) = 3, f (x) = 2, x ∈ R 9
5.3
Fungsi Linear
Fungsi linear memetakan setiap elemen x dari daerah asal ke f (x) = ax + b dengan a, b suatu konstanta. Contoh fungsi linear antara lain: f (x) = 3x + 5 f (x) = −2x + 7 f (x) = 5x − 3 Grafik fungsi linear berupa garis lurus dan fungsi linear dikenal juga dengan nama persamaan garis lurus. Kemiringan dari garis lurus yang terbentuk dari fungsi linear disebut dengan gradien atau kemiringan garis disimbolkan dengan m. Sehingga suatu persamaan garis lurus yang terbentuk dari suatu fungsi linear f (x) = mx + c dapat dituliskan y = mx + c. Dengan mengetahui gradien dan satu titik yang dilaluinya maka dapat diperoleh persamaan garis yang memenuhi. Selain itu dengan mengetahui gradien maka keterkaitan antara dua buah garis atau lebih dapat diketahui. Misalkan diberikan dua buah persamaan garis lurus y1 = m1 x + c1 dan y2 = m2 x + c2 . Dua buah garis dikatakan sejajar jika mempunyai kemiringan/gradien yang sama (m1 = m2 ) dan dikatakan saling tegak lurus jika mempunyai gradien ”minus berkebalikan”(m1 = − m12 atau m1 m2 = −1). Contoh Soal 1. Persamaan garis g dan h adalah 2x − y + 3 = 0 dan x + 2y − 2 = 0. Selidiki apakah kedua garis tersebut sejajar, saling tegak lurus atau berimpit 2. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (3, −2) dan mempunyai gradien m = −3.
5.4
Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat memetakan setiap elemen x dari daerah asal ke f (x) = ax2 + bx + c dengan a,b dan c suatu kontanta. Contoh fungsi kuadrat adalah: f (x) = 3x2 + 2x + 5 f (x) = x2 − 2x + 7 f (x) = −3x2 − 5x − 3 10
Beberapa masalah yang muncul pada fungsi kuadrat adalah nilai x pembuat nol ( tentukan x∗ sehingga f (x∗ ) = 0), nilai maksimum(minimum) fungsi f (x∗ ) ≥ (≤)f (x), ∀x. Perlu diketahui bahwa menentukan nilai x sehingga f (x) = 0 adalah sama dengan mencari nilai akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diperoleh dari rumus ABC yaitu p (47) x1,2 = {−b ± b2 − 4ac}/2 atau membentuk menjadi (x − a1 )(x − a2 )
(48)
dengan a2 = c/a; a1 + a2 = b/a. Misalkan x2 + 3x + 4 = 0 dapat ditulis (x + 4)(x − 1) = 0 sehingga diperoleh akar-akar x = −4 dan x = 1.
5.5
Menggambar Fungsi
Untuk menggambarkan dalam grafik kartesius maka terlebih dahulu hubungan antara x dan f (x) dapat dinyatakan dalam pasangan terurut dua bilangan (x, f (x)) yang dapat dituliskan dalam tabel. Sketsa Grafik suatu fungsi dibuat berdasarkan tabel tersebut. Misalnya f (x) = 2x + 3 untuk −2 ≤ x ≤ 3 dapat ditulis dalam tabel x f(x) -2 2(-2)+3 -1 2(-1)+3 0 2(0)+3 1 2(1)+3 2 2(2)+3 3 2 (3)+3 Berdasarkan tabel tersebut dapat dibuat himpunan pasangan terurut {(−2, −1), (−1, 1), (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 9), sehingga diperoleh sketsa grafik. Selain itu dalam menggambar grafik suatu fungsi ada beberapa langkah yang perlu dilakukan yaitu: 1. Tentukan titik potong dengan sumbu y dengan menentukan nilai fungsi f (x) untuk x = 0 2. Tentukan titik potong dengan sumbu x, dengan menentukan nilai pembuat nol dari f (x) 3. Tentukan nilai f (x) untuk beberapa nilai x 11
4. Buat sketsa dengan menghubungkan titik-titik yang telah ada Contoh 1. Gambarkan grafik f (x) = 3x + 5. 1. Tipot dengan sumbu y , karena f (0) = 3(0) + 5 = 5, sehingga tipot dengan sb y adalah (0, 5) 2. Tipot sumbu x, akan dicari x sehingga f (x) = 3x + 5 = 0. Diperoleh 3x = −5 berarti x = −5/3. Jadi tipot dengan sumbu x adalah (−5/3, 0) 3. Dengan menghubungkan kedua titik tersebut akan diperoleh grafik fungsi Contoh 2. Gambarkan grafik f (x) = x2 − x − 6 1. Tipot dengan sumbu y , karena f (0) = (0)2 − 0 − 6 = 65, sehingga tipot dengan sb y adalah (0, 6) 2. Tipot sumbu x, akan dicari x sehingga f (x) = x2 − x − 6 = 0. Untuk fungsi kuadrat nilai x yang diperoleh adalah akar kuadrat dari f (x) = 0, karena x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2) = 0 maka berlaku x − 3 = 0 atau +2 = 0, sehingga diperoleh x = 3 atau x = −2. Jadi tipot dengan sumbu x adalah (3, 0) dan (−2, 0) 3. Untuk x = 1, f (1) = 1 − 1 − 6 = −6 untuk x = −1 f (−1) = (−1)2 − (−1)−6 = −4 sehingga diperoleh titik lain yaitu (1, −6) dan (−1, −4). 4. Dengan menghubungkan kedua titik tersebut akan diperoleh grafik fungsi
6
Penerapan Dalam Masalah Real
Ada beberapa penerapaa dari matematika khususnya bidang aljabar misalnya 1. Seseorang ingin menghitung tinggi tugu Pahlawan sedangkan alat yang dimiliki adalah teropong saja. 2. Seorang agen voucher Hp ingin mengetahui jenis voucher apa saja yang ini dijual sehingga mendapatkan keuntungan yang banyak
12
3. Sebuah hotel dekat pantai pada saat dibangun 10 tahun lalu mempunyai ketinggian dari air laut setinggi 5 meter, dengan kemiringan pantai antara hotel dan laut adalah 0.5 meter. Apakan mungkin dasar hotel akan tertutup air laut, kalau ya dalam waktu berapa lama. 4. Diberikan data lulusan SMP untuk 10 tahun berturut-turut. bagaimana mengestimasi lulusan SMP pada 5 tahun kedepan?
7
Penutup
Modul ini ditulis berdasarkan pada beberapa literatur buku SMP dan modul dari MGMP Matematika SMP Yogyakarta, oleh karena itu kami ucapkan banyak terima kasih. Modul ini masih jauh dari sempurna masih perlu diskusi dan masukan untuk perbaikan modul. Meskipun demikian kami berharap modul ini dapat dipergunakan sebagai bahan diskusi dalam pengajaran Matematika SMP khususnya bidang aljabar.
References [1] Adinawan, MC.dan Sugijono,1999, Seribu Pena Matematika SLTP Kelas 2, Erlangga [2] Modul Algabar, PPPG Matematika SMp Yogyakarta [3] Schaufele and Zumoff, 1995, Earth Algebra, Harper Collines College Publishers
13
