1
Kör kvadratúrája Ezzel a címmel találtunk egy ábrát [ 1 ] - ben – 1. ábra.
1. ábra Ez az ábra hibás, hiába javított kiadásról van szó. Nézzük, miért! Az ábrázolt kék kör és rózsaszín négyzet területe egyenlő. Legyen a kör sugara r, a négyzet oldalhossza h! Ekkor a területegyenlőségi feltételből: ∙ = ℎ → ℎ = ∙ √ . (1) Ha adott r, akkor a megfelelő h - t ( 1 ) adja meg. Az 1. ábra azért hibás, mert a h / 2 - nek megfelelő, ( 1 ) szerinti helyes x - koordináta az ábrán feltüntetett érték fele. Viszont ( ismét ) eszünkbe jutott az 1. ábráról egy másik probléma - kör: a fahengeres gerenda - keresztmetszetek témája. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is!
2. ábra
2
Itt berajzoltuk a h oldalú négyzethez tartozó, vele egyező területű, r sugarú kört. A pirosra és zöldre színezett síkidomok területe megegyezik. A szürke síkidom megfelel egy olyan fagerenda keresztmetszetének, melyet az r sugarú hengeres rönkből fűrészeltek ki, h laptávval, szimmetrikusan. Most ezt a fahengeres keresztmetszetűnek nevezett gerendát vesszük szemügyre, alaposabban. Foglalkoztunk már ilyesmivel korábban is, de itt nem lesznek olyan bonyolultak a számításaink, mint akkor. Ehhez lásd például a Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással című korábbi dolgozatunkat is! Először is határozzuk meg az 1. ábrán bejelölt α szöget! cos
=
/
=
∙
;
(2)
majd ( 1 ) és ( 2 ) szerint: cos
=
∙√
=
∙
√
→
= arccos
√
≅ 27,597° .
(3)
Majd gyakorlásként határozzuk meg a 2 α középponti szöghöz tartozó körszelet területét! Ezt a 2 α középponti szöghöz tartozó körcikk és háromszög területének különbségeként állítjuk elő: − á )* !ö+ . (4) ö !"#"$ = ö %& A szükséges részeredményekhez így jutunk: ,-ö./0-,-ö.
=
∙1°
234°
á )* !ö+
= 5
1°
564°
→
ö %&
5
!"#"$
=
∙
∙
!"#"$
=
∙
∙>
1°
564°
ezt átalakítva: ö
∙
∙
1°
564°
;
(5) 5
= ∙ 7 ∙ 89 = ∙ ∙ ∙ sin<2 ∙ = = ∙
Most ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) - tal: ö
=
1°
5
− ∙
564°
−
5 ∙
∙ sin<2 ∙ = ;
(6)
∙ sin<2 ∙ = ; ∙ sin<2 ∙ =? ,
(7)
ahol α a ( 3 ) képlet szerinti. Ne feledjük, hogy a négyzet ( zöld ) sarok - idomának is ugyanekkora a területe! Azaz: (8) 9 ) = ö !"#"$ .
3
A továbbhaladáshoz tekintsük a 3. ábrát is!
3. ábra Innen: + A = 45° → A = 45° − .
(9)
A k húrhossz értéke: C = 2 ∙ ∙ sin A ,
( 10 )
majd ( 9 ) és ( 10 ) - zel: C = 2 ∙ ∙ sin<45° − = .
( 11 )
A k húrhossz ( fahengerességi méret ) és a h laptáv A aránya ( 1 ) és ( 11 ) - gyel: =
D=
∙ ∙EFG
=
∙EFG
.
( 12 )
A régebbi fás szabványok az A viszonyszám függvényében úgy rendelkeztek, hogy II. és III. osztályú faanyagnál – ma: építőfa minőségű faanyagnál – : 5
5
D ≤ ~ . H
( 13 )
2
Ehhez lásd pl.: [ 2 ]! Számszerűen ( 3 ) és ( 13 ) - mal: D=
∙EFG
≅ 0,3375 .
Ez talán még beleférhet a ( 13 ) szerinti korlátozásba.
( 14 )
4
Ha a h oldalú négyzetet teljesen ép éllel akarjuk kimunkálni, akkor legalább a 3. ábra szerinti R sugarú hengeres fára lesz szükség. E sugár nagysága az ábra alapján: Q = ∙ √2 .
( 15 )
Most ( 1 ) és ( 15 ) szerint: Q= ∙
√
∙ √2 = ∙ R .
( 16 )
A két sugár aránya: S
= R = 1,2533 ≈ 1,26 ,
( 17 )
a két kör keresztmetszeti területének aránya, ( 17 ) - tel is: ,W ,.
=
SX∙ X∙
S
=Y Z =
= 1,5708 ≈ 1,58 .
( 18 )
A ( 17 ) és ( 18 ) eredmények azért érdekesek, mert feltűnt, hogy a [ 3 ] munka arról ír, hogy az akkori német szabályzatok ( DIN 4074 ) szerint négyzet keresztmetszet esetén 26 % - kal nagyobb átmérő és 58 % - kal nagyobb keresztmetszeti területű hengeres faanyag szükséges a fagerenda előállításához, ha az éles sarkokhoz ragaszkodunk. Ez azt is jelentheti, hogy a német szabályzatokat részben a fenti ábrák szerinti módon, vagyis a megfelelő kör és négyzet területének egyenlőségére alapozva alakíthatták ki. Érdekes… Megjegyezzük, hogy az újabb DIN 4074 szerint a K viszonyszámot ( is ) alkalmazzák – ld.: 4. ábra, [ 4 ]!
4. ábra
5
Eszerint a K tört értékére rónak ki korlátozást, a minőségi osztálytól függően. Összegzés: ~ ha adott r sugarú hengeres fából h laptávú fahengeres keresztmetszetű gerendát akarunk előállítani, akkor a területegyenlőségi feltétel alapján a gerenda laptávjára: ℎ = ∙ √ ; ~ megfordítva: ha megengedett a fahengeresség, akkor használható feltétel lehet a kör és a négyzet területegyenlősége, mely szerint a h laptávú fahengeres keresztmetszetű gerenda előállításához megfelelhet az
=
√
sugarú hengeres fa is;
~ ha egy h oldalú négyzet keresztmetszetű gerendát ép éllel kívánunk előállítani, akkor
szükség van az Q = ∙ √2 legkisebb sugarú rönkre;
~ a fahengeresség mértékéül választhatók a 3. ábra szerinti D = , vagy a 4. ábra szerinti \=
J ]
, stb. viszonyszámok, melyek nagyságára a szabályzatok korlátozásokat tartalmaz -
nak, a faanyag minőségi osztályának függvényében.
Források: [ 1 ] – Fritz Reinhardt ~ Heinrich Soeder: Atlasz Matematika 3. , javított kiadás, Athenaeum Kiadó Kft., 1999. [ 2 ] – Telekes György: Ács - állványozó szakmai ismeret I – III. 6. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984. [ 3 ] – Szerk.: Palotás László: A fa mint építőanyag benne Hilvert Elek: A MOSZ „ Faszerkezetek építésére vonatkozó előírások” szabványtervezet gazdasági jelentősége c. fejezet A Budapesti Építőmesterek Ipartestülete, Budapest, 1949. [ 4 ] – Peschel ~ Dickel ~ Nennewitz ~ Seifert ~ Steinle: Zimmerer Tabellenbuch 2. Auflage, Verlag Europa - Lehrmittel, Nourney, Vollmer Gmbh & Co. KG, 2013.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2014. 08. 14.
