Testépítés Kovács Zoltán (Nyíregyházi F˝oiskola – Debreceni Egyetem) zeus.nyf.hu/˜kovacsz 2004. július 7.
A címlapon látható csillagtest, a nagy ikozi-dodekaéder modelljének elkészítésére a KöMaL 1981. évi novemberi számában pályázatot írtak ki. A pályázatra 16 modell érkezett be. A f˝odíj egy Go játékkészlet volt, emellett 3 darab 100 forintos könyvutalvánnyal jutalmazták a legszebb modellek elkészít˝oit. Az itt látható virtuális modellt, csakúgy mint a kés˝obbiekben szerepl˝o többi poliédermodellt a Pov-Ray programmal készítettem.
1
Bevezetés A tankönyveket lapozgatva gyakran találkozok olyan feladatokkal, amelyek poliéderek konstrukciójával foglalkoznak, a legkülönböz˝obb módon variálva a témát. A kísérletezésnek, konkrét manuális tevékenységnek a szerepe a térszemlélet alakításában felbecsülhetelen, egyéb fejleszt˝o hatásairól nem is beszélve az ilyen feladatoknak. Ezért ezeket mindig nagy örömmel fogadom. Ebben az el˝oadásban elmondok néhány problémát és kérdést, amely az ilyen típusú feladatokról eszembe jutott, végül magunk is megoldunk egy konstrukciós problémát. A tankönyv idézetek a Hajdú Sándor-féle tankönyvcsaládból valók.
1.
Poliéder konstrukciós feladatok 1. A hatodikos tankönyv egy feladatában különböz˝o síkidomok rajza szerepel. Az utasítás szerint mindegyikb˝ol minél többet kell készíteni és különböz˝o testeket kell konstruálni a lapokból. 2. Még izgalmasabb az a tankönyvben feltett kérdés, hogy létezik-e olyan test a kockán kívül, amelynek lapjai egybevágó négyzetek. (1. ábra.)
1. ábra. Egybevágó négyzetekb˝ol álló konkáv poliéder. 3. A hetedikes tankönyvben. Építsünk testet: (többek között) hat darab egybevágó rombuszból; két a oldalú egybevágó rombuszból, egy a oldalú négyzetb˝ol és két darab a oldalú szabályos háromszögb˝ol. . . 2
Ezekben a feladatokban csak a lapok típusát adjuk meg, azok csatlakozására vonatkozó el˝oírás nélkül. A második kérdés megválaszolása már felveti azt a kérdést, hogy mit tekintünk egyáltalán poliédernek. A továbbiakban (ha mást nem mondunk) csak konvex poliéderekr˝ol lesz szó. A kés˝obbiekben megoldjuk a következ˝o problémákat. 1. Probléma (KöMaL, F.2571)). Hányféle ötlapú konvex poliéder létezik? Az el˝obbi tankönyvpéldákhoz az a kérdés illene, hogy hányféle hatlapú konvex poliéder létezik. Ezt itt id˝ohiány miatt nem tárgyalom, de bízok benne, hogy az olvasó elég kedvet érez hozzá, hogy önállóan megválaszolja a kérdést, s abban is bízom, hogy a megoldáshoz itt elég útmutatást kap. 2. Probléma (Deltahedron-probléma). Hány olyan konvex poliéder van, amelynek lapjai egybevágó szabályos háromszögek. A végére hagytam egy olyan problémát, amely látszólag egy egyszer˝u felszínszámítási probléma, valójában ez is poliéder-konstrukciós feladat. Ezt most részletesebben is diszkutálom. 3. Probléma (8. osztály). Vázold fel a 2. ábrán látható gúla egy lehetséges hálóját! Alaplapja rombusz. Számítsd ki a felszínét!
o o
o e
f
2. ábra. e = 3cm; f = 4cm; o = 5 cm El˝oször – a feladat környezetéb˝ol kiindulva – tegyük még azt is hozzá a feladathoz, hogy minden oldalél egybevágó. (A rajz szerint egyébként csak három.) Ha így tekintjük a feladatot, akkor els˝o ránézésre is látszik, hogy ilyen poliéder nincs.
3
o o o
o e
f
3. ábra. A kék és zöld háromszög magassága nem egyezik meg Els˝o obstrukció. Ugyanis az (o, e, o) oldalakból és az (o, f, o) oldalakból álló háromszögek magassága nem egyezik meg (3. ábra). Ha ezt rögtön nem vesszük észre, s a rajz alapján tényleg elkészítjük a „poliéder” hálózatát, akkor még egy súlyosabb tényre is fény derül: már az el˝obbi háromszögek sem léteznek. Nézzük el˝oször a hálózatot:
4. ábra.
Második obstrukció. Ha a hálózatot a térben össze akarjuk hajtani úgy, hogy konvex poliéder legyen bel˝ole, akkor F az AD szakasz felez˝o mer˝oleges síkjában mozog, a H pont pedig az BC szakasz felez˝o mer˝oleges síkjában. Ezek a síkok pedig párhuzamos, nem egybees˝o síkok. (Az 5. ábrán a síkok és a rombusz síkjának metszésvonala a két zöld egyenes.) Ez azt jelenti, hogy F és H a térben nem egyesíthet˝ok. (A G és E csúcsra hasonló állítás mondható el, ld. az ábra piros egyeneseit.) A feladat megoldásánál tehát szigorúan kell venni az ábrát, csak három oldalél egybevágó. A hálózat megszerkesztéséhez a negyedik oldalél hosszát kell megha4
F
E
D P
A
C
B
G
H
5. ábra. tároznunk. Az el˝oz˝o, második obstrukciónál alkalmazott gondolatmenetünk rögtön segít a feladat megoldásában: A AB és BC szakaszok felez˝o mer˝oleges síkjai metszik egymást, azaz a G és az H csúcsok a térben egyesíthet˝ok. Ez a pont a gúla E csúcspontja, melynek mer˝oleges vetülete az alaplap síkjára legyen a P pont. P az AB és BC szakaszfelez˝o mer˝oleges egyenesek metszéspontja és az BD szakaszra illeszkedik. (Következésképpen a P B illetve P D távolságok könnyen meghatározhatók.) Húzzuk be most a gúla magasságát (6. ábra)! A BEP háromszögb˝ol a gúla E o o
o D e P
A
f
C
B
6. ábra. magassága kiszámítható majd az EP D háromszögb˝ol a hiányzó oldalél is. Ha a hálózatból poliédert akarunk készíteni és kicsit er˝oszakosabbak vagyunk, akkor ez mégis „sikerülni” fog (7. ábra). Valójában az történt, hogy az E, F , G, H 5
csúcsok egyesítésekor az alaplapot kissé deformáltuk, így már nem síkbeli, hanem térbeli, „torz” rombuszt kapunk.
7. ábra. Pontosabban, ha a hálózat rombusz lapját annak rövidebbik átlójával tovább osztjuk, akkor a hálózatból már konvex poliéder kapható. (8. ábra.)
8. ábra. ♣ Az el˝oz˝o problémát nagyon általános formában is meg lehet fogalmazni. Egy poliéder síkba kiterített lapjainak rendszere a poliéder hálózata, pontosabban lap6
gráfja, hiszen nem egyszer˝uen a poliéder lapjait soroljuk fel, hanem azt is, hogy a lapok hogyan csatlakoznak egymáshoz. Számtalan feladat hangzik így: Szerkeszd meg az ábrán látható test egy lehetséges hálóját és építsd meg a testet. A feladat ebben a formájában kiváló agytorna, ráadásul a ragasztáshoz szükséges füleket is ki kell jelölni, mégis izgalmasabb a fordított probléma: 4. Probléma. Mikor lehet egy hálózatból (konvex) testet építeni, s ha igen, akkor hányat. A továbbiakban néhány általános elvet tárgyalunk, amely megadja (korlátozza) a konvex testek építésének kereteit.
2.
Euler poliédertétele Ez els˝o elv mindenki által jól ismert:
1. Tétel (Euler poliédertétele). Ha a konvex poliéder lapjainak számát `, éleinek számát e, csúcsainak számát pedig c jelöli, akkor teljesül, hogy ` + c = e + 2. Alkalmazásként oldjuk meg az 1. problémánkat: Hányféle ötlapú konvex poliéder létezik? Megoldás. Az ilyen poliéder csak háromszögekb˝ol és négyszögekb˝ol állhat. Jelölje a háromszög lapok számát a, ekkor a négyszög lapok száma 5 − a. Továbbá a · 3 + (5 − a) · 4 = 2e.
(1)
Euler poliédertételének alakja most: c = e − 3, továbbá c ≥ 5 ⇒ e ≥ 8. (c = 4 csak tetraéder lehet, azaz l = 4). Mivel minden csúcsból legalább három él indul: 3c ≤ 2e, azaz c ≤ 2e , 3 e−3≤
2e ⇒ e ≤ 9. 3
Az el˝obbi két összefüggésb˝ol: 8 ≤ e ≤ 9, azaz e = 8 vagy e = 9.
7
Behelyettesítve az (1) egyenletbe: e = 8,
a · 3 + (5 − a) · 4 = 16, ⇒ a = 4, b = 1,
ez a test (típusa szerint) négyszög alapú gúla; e = 9,
a · 3 + (5 − a) · 4 = 18, ⇒ a = 2, b = 3, ♣
ez a test (típusa szerint) háromszög alapú hasáb.
3.
A konvex korlátozás, Descartes tétele
Egy kiválasztott csúcshoz tartozó élszögek összege konvex poliéder esetében 2π-t˝ol kisebb. A továbbiakban ezt a tényt a konvex korlátozás elvének nevezzük. A konvex korlátozás elvéb˝ol rögtön kijön, hogy ha egy konvex poliéder csak egybevágó négyzetekb˝ol áll, akkor minden csúcsa harmadfokú, s egy harmadfokú csúcsból kiindulva már csak a kockát lehet felépíteni. (Lásd a hatodikos tanköny példáját.) Tekintsünk egy másik közvetlen alkalmazást: hasonlóságtól eltekintve legfeljebb öt szabályos test létezik. Mivel egy csúcs fokszáma legalább három, ezért hatszögekb˝ol (és ett˝ol nagyobb oldalszámú szabályos sokszögekb˝ol) a szabályos test már nem állhat: 3 · 2π/3 6< 2π. Ha a test szabályos háromszögekb˝ol áll, akkor a csúcsok fokszáma 3, 4 vagy 5 lehet: 3 · π/3 < 2π,
4 · π/3 < 2π,
5 · π/3 < 2π,
(Tetraéder, oktaéder, ikozaéder.) Hasonlóan, 3 · π/2 < 2π,
4 · π/2 6< 2π,
6 · π/3 6< 2π.
tehát ha a szabályos test négyzetekb˝ol áll, akkor minden csúcs harmadfokú. (Kocka.) Végezetül 3 · 3π/5 < 2π, 4 · 3π/5 6< 2π, tehát ha a szabályos test szabályos ötszögekb˝ol áll, akkor minden csúcs harmadfokú. (Dodekaéder.) 2π és egy kiválasztott csúcshoz tartozó élszögek összegének különbségét nevezzük a csúcs defektusának. Egyszer˝uen bizonyítható, nevezetes tény, hogy a konvex poliéder csúcsdefektusainak összege mindig 4π. A továbbiakban ezt az állítást mint Descartes poliédertételét említjük. 8
Bizonyítás. Jelölje a poliédert alkotó konvex i-szögek számát ni . (Tehát a poliédert alkotó háromszögek száma n3 , a poliédert alkotó konvex négyszögek száma n4 , stb.) A csúcsdefektusok összegét – melyet az alábbi sorban D jelöl) kiszámíthatjuk az alábbi módon: X D = c · 2π − (i − 2) · π · ni , i
ahol c jelöli a poliéder csúcsai számát. Folytatva: · X X ¸ D = π 2c − ni · i + 2 ni = i
i
= π [2c − 2e + 2`] = 4π, a szokásos jelölésekkel, Euler poliédertételét alkalmazva.
4.
♣
Poliéderek merevségér˝ol
Vajon a poliéder hálózata egyértelm˝uen meghatározza-e a testet. Nyilvánvalóan nem, az alábbi két test ugyanabból a hálózatból készült:
9. ábra. Megjegyzem, ha a hálózaton az élek csatlakozási rendszerét nem adjuk meg (nevezzük ezt egyszer˝uen hálónak), akkor könny˝u olyan hálót konstruálni, amelyb˝ol két konvex test is felépíthet˝o (10. ábra).
9
10. ábra. A háló két élének az aránya az aranymetszés aránya. A hálóból két konvex poliéder készíthet˝o, ehhez instrukciót a csúcsok színezése ad. Másik kérdés, hogy a hálózatból konstruált (összeragasztott) testek vajon merevek-e: ha három csúcsukat a térben rögzítjük, akkor a többi mozoghat-e. A tapasztalatai alapján erre valószín˝uleg mindenki azt mondja, hogy a csúcsok nem mozoghatnak, tehát a poliéder merev. Pedig ez a merevség a síkbeli „poliédereknél”, vagyis a sokszögeknél egyáltalán nem teljesül: az egyetlen merev sokszög a háromszög. (Az oldalak egybevágóságából a szögek egybevágósága már négyszögnél sem következik.) Cauchy (1789–1857) francia matematikus 1813-ban bizonyította, hogy a konvex poliéderek merevek. S˝ot az is igaz, hogy adott hálózatból legfeljebb egy konvex poliéder állítható össze. 10
Arra is választ lehet adni, hogy mikor lehet egyáltalán egy hálózatból konvex poliédert „ragasztani”. Két szükséges feltétel nyilvánvaló: teljesülnie kell Euler poliédertételének, valamint az élszögekre vonatkozóan a konvex korlátozás elvének. A. D. Alekszandrov 1939-ben bebizonyította, hogy ez a két feltételel elégséges is, ha a lapok további lapokra bontását is megengedjük. (Az alaplap felosztásával ezért tudtunk az eredeti hálózatból is poliédert konstruálni a 3. problémában.) Megjegyezzük, hogy konstrukciót lehet adni nem merev konkáv poliéderre. (Egy ilyen test hálózata megtalálható például a KöMaL 1979, 8–9. száma hátsó borítóján, javaslom továbbá ugyanitt Csirmaz László ide vonatkozó cikkét: Mozoghat-e valaki, akit síklapokkal határolt páncélba öltöztettünk?)
5.
Konvex háromszögtestek
A tetraéder, az oktaéder és az ikozaéder lapjai szabályos háromszögek. Ebben a fejezetben azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogy hány olyan konvex poliéder létezik, mely lapjai (egybevágó) szabályos háromszögek. Példákat nagyon könnyü találni ilyen testekre: két szabályos tetraéder egy-egy lapjuknál összeragasztva; két szabályos ötszög alapú gúla szintén az alaplapoknál összeragasztva. (Az oldallapok egybevágó szabályos háromszögek, az összeragasztott lapokat természetesen töröljük.) 2. Tétel. Hasonlósági transzformációtól eltekintve pontosan nyolc olyan konvex poliéder van, mely lapjai egybevágó szabályos háromszögek. Bizonyítás. A konvex korlátozás elve alapján egy csúcsban 3, 4 vagy 5 szabályos háromszög találkozhat, azaz a csúcsok fokszáma 3, 4 vagy 5. A harmadfokú csúcsok számáét jelölje a, a negyedfokú csúcsok számát jelölje b, az ötödfokú csúcsok számát pedig c. A harmadfokú csúcs defektusa π, a negyedfokú csúcs defektusa 2π/3, míg az ötödfokú csúcs defektusa π/3. Írjuk fel a poliéderre Descartes poliédertételét: 2 1 πa + πb + πc = 4π, 3 3 azaz 1 2 a + b + c = 4. 3 3
11
Ennek az egyenletnek a nemnegatív egészek körében csak véges sok megoldása van: a 4 3 3 b 0 1 0 c 0 1 3 + 1 1
2 3 0 +
2 2 2 1
2 1 4 1
2 0 6 1
1 4 1 2
1 3 3 2
1 2 5 2
1 1 7 2
1 0 9 2
0 6 0 +
0 5 2 +
0 4 4 +
0 3 6 +
0 0 0 2 1 0 8 10 12 + 3 +
Az utolsó sorban a „+” jelzi, hogy a test létezik, az 1, 2, 3 számokkal jelölt esetek pedig különböz˝o „obstrukciós elvek” miatt nem léteznek. Az els˝o obstrukciós elv az, hogy harmadfokú csúcs szomszédságában nem lehet ötödfokú csúcs. (Az egyes számmal jelölt esetek.) Ragasszunk össze egy-egy lapjuknál egy azonos élhosszúságú oktaédert és tetraédert. (11. ábra.) Így egy szomszédos harmadfokú (kék) és ötödfokú (piros)
11. ábra. Az els˝o obstrukciós elv. csúcsot kapunk, azonban a tetraéder és az oktaéder lapszögének az összege π, ami azt jelenti, hogy ennek a testnek rombusz lapja is van. A tetraéderhez csatlakozó egy-egy háromszöglapot tehát ki kell mozdítani a rombusz síkjából. (A piros tengelyek körül kell forgatni.) Azonban ha a két sárga csúcs egyikét „benyomjuk”, akkor a másik „kifelé” mozog, mert a köztük lév˝o távolság nem változhat. (A fekete rúd merev.) Ez pedig konkáv lapszöggel járna, ami nem lehetséges. A második obstrukciós elv az, hogy nem létezhet olyan konvex háromszögtest, melynek egyetlen harmadfokú csúcsa van. (2-es szám a táblázatban.) Tegyük fel, hogy csak egyetlen harmadfokó csúcs van. Az el˝oz˝oek miatt ez azt jelenti, hogy minden szomszédos csúcs negyedfokú. A harmadfokú csúcshoz tartozó lapokhoz tegyünk hozzá egy-egy háromszöget (12. ábra). A szomszédos lapok megfelel˝o éleinek egyesítésekor a pirossal jelölt csúcsok egybeesnek, ami a kett˝os háromszög-piramist adja, de ennek két harmadfokú csúcsa van. 12
12. ábra. A második obstrukciós elv. A (0, 1, 10) eset maradt hátra. Ha csak egy negyedfokú csúcs van, s az összes többi ötödfokú, akkor a poliédert a negyedfokú csúcsból kiindulva egyértelm˝uen fel lehet építeni (úgyanúgy, mint az el˝obb a kett˝os háromszög-piramist), s az eredmény a (0, 2, 8) lenne, tehát még egy negyedfokú csúcs létezése adódna. A megmaradó esetek konstrukciója az a, b, c értéknek megfelel˝oen már lehetséges. A következ˝o három ábra az eddig még nem szerepl˝o három esetet mutatja: ♣
13. ábra.
13
14. ábra.
15. ábra.
14
Hivatkozások [1] Bérczi Tamás. Konvex háromszögtestek. Középiskolai Matematikai Lapok, 67(3–4):104–107, 1983. [2] Csirmaz László. Mozoghat-e valaki, akit síklapokkal határolt páncélba öltöztettünk? Középiskolai Matematikai Lapok, 59(3–4), 1979. [3] Robin Hartshorne. Geometry: Euclid and Beyond. Springer, 2000. [4] Lakatos Imre. Bizonyítások és cáfolatok. Gondolat, 1981.
15
