LAPORAN TUGAS AKHIR
01
WINTER Template
KONTROL OPTIMAL PADA PENGADAAN BAHAN MENTAH DENGAN KEBIJAKAN PENGADAAN TEPAT WAKTU, PERGUDANGAN, DAN PENUNDAAN Oleh: Darsih Idayani 1206 100 040
Pembimbing: Subchan, Ph.D
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
I. PENDAHULUAN
02
1.1 LATAR BELAKANG Biaya penyimpanan meningkat Kelebihan persediaan Permasalahan pengadaan bahan mentah
Kekurangan persediaan
Pemborosan: stok bahan mentah menganggur, dibuang karena kedaluwarsa
Proses produksi terhambat
03 SOLUSI: Model pengadaan bahan mentah dengan kebijakan pengadaan JIT, pergudangan, dan penundaan
Teori kontrol optimal
NPV minimum
Biaya pengadaan bahan mentah optimal
Hemat biaya produksi
04 1.2 RUMUSAN MASALAH
1. Bagaimana menyelesaikan model pengadaan bahan mentah dengan menggunakan teori kendali optimal. 2. Bagaimana simulasi model pengadaan bahan mentah dengan menggunakan Matlab.
05 1.3 BATASAN MASALAH 1. Persediaan awal bahan mentah diasumsikan tidak ada . 2. Persediaan akhir bahan mentah diasumsikan habis digunakan dalam proses produksi 3. Biaya pemesanan bahan mentah diasumsikan tidak ada. 4. Waktu tunggu (lead time) pemesanan bahan mentah diasumsikan tidak ada. 5. Tingkat suku bunga diasumsikan konstan selama periode pembelian bahan mentah. 6. Kapasitas gudang diasumsikan konstan.
01
1.4 TUJUAN
WINTER
1. Mendapatkan penyelesaian Templatemodel pengadaan bahan mentah dengan menggunakan teori kendali optimal. 2. Mendapatkan hasil simulasi model pengadaan bahan mentah dengan menggunakan Matlab. 1.5 MANFAAT
Dapat menjadi salah satu metode alternatif bagi perusahaan dalam mencari solusi optimal pada permasalahan pengadaan bahan mentah.
II. TINJAUAN PUSTAKA
02
2.1 MODEL PENGADAAN BAHAN MENTAH Optimasi masalah pengadaan bahan mentah tersebut dapat dimodelkan sebagai berikut (Arnold, Minner, dan Eidam, 2007)
sistem dinamik: kondisi batas:
biaya penyimpanannya adalah
01
WINTER
2.2 NET PRESENT VALUE
Template
Net Present Value (NPV)
Discounting
digunakan untuk menganalisis Discounted Cash Flow (DCF) dan merupakan metode standar untuk menaksir kondisi finansial dari proyek jangka panjang [11]
proses menemukan nilai sekarang bersih (NPV) dari sejumlah uang yang diterima pada waktu yang akan datang sehingga bentuk perhitungan dasarnya adalah nilai waktu dari uang [11]
02 Untuk
mendapatkan
NPV
dilakukan
dengan faktor pemotongan sebesar sistem
waktu
secara
pemotongan sebesar
kontinu
discounting
atau untuk digunakan
faktor
[12]. atau
Rt : arus kas bersih (net cash flow) pada waktu ke-t r : tingkat suku bunga t : waktu arus kas
03 2.3 KONTROL OPTIMAL Tujuan utama dari kontrol optimal adalah menentukan signal kendali yang akan diproses dalam sistem dan memenuhi kendala fisik. Kemudian, pada waktu yang sama dapat ditentukan nilai optimum (maksimum/minimum) yang sesuai dengan kriteria fungsi tujuan.
Gambar Skema Kendali
04 Formulasi pada permasalahan kendali optimal (Naidu, 2002) adalah 1. Mendiskripsikan proses secara matematika artinya mendapatkan metode matematika dari proses terjadinya pengendalian (secara umum dalam bentuk variabel keadaan). 2. Spesifikasi dari fungsi tujuan. 3. Menentukan kondisi batas dan kendala fisik pada keadaan (state) dan atau kendali.
05 2.4 PONTRYAGIN’S MAXIMUM PRINCIPLE Perhatikan permasalahan berikut ini:
dengan kendala ,
Dari permasalahan di atas diperoleh fungsi Hamiltonian dan Hamiltonian-Lagrange sebagai berikut
01
.
WINTER
Kondisi perlu (necessary condition) untuk mencapai kondisi optimal adalah
Template
1.Kondisi stasioner
2. Persamaan state dan co-state
dengan
dan
02 2.5 FORMULASI CURRENT VALUE Dalam manajemen sains dan masalah ekonomi, fungsi tujuan biasanya diformulasikan dalam bentuk nilai waktu dari uang atau peralatan. Aliran uang atau peralatan yang akan datang biasanya discounted. Berikut ini adalah fungsi tujuan yang discounted
Kondisi perlu (necessary condition) untuk mencapai kondisi optimal adalah
1. Kondisi stasioner 2. Persamaan state dan co-state
dengan
dan
04 2.6 KENDALI BANG-BANG DAN SINGULAR Kendali bang-bang dan singular muncul ketika persamaan Hamiltonian bergantung secara linear dengan kendali , sehingga yang optimal tidak dapat ditentukan dari kondisi Karena terbatas maka dapat ditetapkan Hamiltonian yang minimum seperti dibawah ini [10]
Kontrol akan menghasilkan busur singular yang optimal jika : 1. Persamaan Hamiltonian 2. Kondisi Kelley yang dinyatakan oleh persamaan sebagai berikut : Kondisi ini disebut juga kondisi umum Legendre-Clebs yang menjamin persamaan Hamiltonian optimal di sepanjang busur singular.
05 2.6 PENDEKATAN PEMROGRAMAN NONLINIER Misalkan terdapat masalah optimasi seperti berikut ini: i = 1, … m dengan kendala Berikut ini merupakan fungsi Lagrange
dimana , i = 1, … m, merupakan pengali Lagrange. Agar optimal secara lokal, harus memenuhi kondisi perlu orde pertama Karush-Kuhn-Tucker (KKT) [9]
dengan j = 1, … n dan i = 1, … m
III. METODE PENELITIAN
02
Studi literatur Penyelesaian model pengadaan bahan mentah dengan toeri kontrol optimal Mencari lintasan optimal pada setiap periode kebijakan
Simulasi dengan menggunakan Matlab Penarikan kesimpulan dan pemberian saran
IV. PEMBAHASAN
03
4.1 PENERAPAN TEORI KONTROL OPTIMAL PADA MODEL PENGADAAN BAHAN MENTAH Dari model pengadaan bahan mentah diperoleh fungsi Hamiltonian dan Hamiltonian-Lagrange sebagai berikut
Kondisi perlu (necessary condition) untuk mencapai kondisi optimal adalah 1. Kondisi stasioner 2. Persamaan state dan co-state
05 Kondisi perlu yang dibentuk dengan KKT yang harus dipenuhi untuk mencapai kondisi optimal adalah sebagai berikut
,
, ,
, ,
,
Kendali muncul secara linier dalam Hamiltonian sehingga yang optimal tidak dapat ditentukan dari kondisi (fungsi switching). Karena terbatas maka dapat ditetapkan Hamiltonian yang maksimum seperti dibawah ini
,
01
WINTER
4.2 SOLUSI OPTIMAL MODEL PENGADAAN BAHAN MENTAH
Template
4.2.1 SIFAT- SIFAT PADA PENYELESAIAN MODEL PENGADAAN BAHAN MENTAH
Sifat 1: 1. Kebijakan pergudangan dan JIT tidak dapat terjadi pada waktu yang sama. 2. Kondisi , mengidentifikasikan calon titik untuk memasuki interval persediaan positif (pergudangan).
02 Sifat 2: 1. Kebijakan penundaan dan JIT tidak dapat terjadi pada waktu yang sama. 2. Kondisi , mengidentifikasikan calon titik untuk mengakhiri penundaan atau keluar dari interval persediaan negatif (penundaan).
Sifat 3: 1. Kebijakan pergudangan dan JIT dapat terjadi pada waktu yang sama jika . 2. Kendala kapasitas gudang berlaku sejak waktu pemesanan dimulai atau sejak interval persediaan positif.
03 4.2.2 PERIODE KEBIJAKAN OPTIMAL 1. Pengadaan tepat waktu (JIT)
Variabel
Pengadaan JIT d(t) 0 p(t) 0
0 Tabel 4.1 Lintasan optimal periode pengadaan JIT.
04 2. Pergudangan (destocking) Variabel
Pengadaan JIT
0
0 0
jika jika
Tabel 4.2 Lintasan optimal periode pergudangan.
05 3. Penundaan (backlogging) Variabel
Pengadaan JIT 0
0
0 Tabel 4.1 Lintasan optimal periode penundaan.
01
WINTER
4.2.3 LANGKAH-LANGKAH UNTUK MEMPEROLEH SOLUSI OPTIMAL 1. Menentukan titik
Template
dengan menyelesaikan persamaan dengan syarat . 2. Menentukan titik dengan menyelesaikan persamaan , . 3. Menentukan titik dengan menyelesaikan persamaan dengan syarat . 4. Menentukan titik dengan menyelesaikan persamaan , . 5. Memeriksa keberadaan titik . Dikatakan tumpang tindih jika sehingga mengakibatkan titik dieliminasi. Sedangkan titik menjadi titik . Titik dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan ,
6. Menghitung jumlah pembelian
02 7. Menentukan titik dengan memeriksa jumlah pembelian pada langkah 6 terhadap kapasitas gudang. a. Jika , maka titik = titik . Sedangkan titik yang lainnya nilainya tetap. b. Jika , maka titik = titik . Titik dan nilainya tetap karena tidak ada pengaruhnya terhadap kapasitas gudang, tetapi titik dan atau berubah. Titik yang baru dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan jumlah
kapasitas
. Titik
yang baru dapat diperoleh
dengan cara yang sama pada langkah 2 dan titik yang baru dapat diperoleh dengan cara yang sama pada langkah 5 dengan memasukkan titik yang baru.
03 8. Menghitung NPV biaya pengadaan bahan mentah. a. Periode JIT
Jika terdapat periode yang saling tumpang tindih maka NPV-nya adalah
b. Periode pergudangan
dengan
04 c. Periode penundaan
dengan dan d. Pengisian ulang bahan mentah
e. Pemenuhan permintaan akibat penundaan
Jadi nilai NPV biaya pengadaan bahan mentah keseluruhan adalah
05 4.3 SIMULASI Dalam simulasi ini menggunakan data parameter sebagai berikut [2]: p(t) : Rentang waktu : d(t) : 1 + 0.1t r : 0.05 hw(t) : 0.1 hb(t) : 0.5 w :2 NPV biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan JIT adalah
01
WINTER
NPV biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan JIT, pergudangan, dan penundaan yang diselesaikan dengan menggunakan langkah-langkah pada sub bab 4.2.3. Hasilnya adalah
Template
Dari titik kritis di atas diperoleh NPV dari setiap kondisi kemudian dijumlahkan sehingga menghasilkan NPV total
= 10.0770 – 0.1534 – 2.480 – 4.8019 + 23.9464 = 36.1917 Jadi, NPV biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan JIT, pergudangan, dan penundaan adalah 36.1917 yang hasilnya lebih kecil jika dibandingkan dengan NPV biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan JIT saja yaitu 41.4246.
02 8
6
Keterangan: Biru : grafik u(t) Merah : grafik x(t) Hijau : grafik p(t) Merah muda: grafik
4
2
0
-2
-4
-6 0
1
2
3
4
5
6
7
t
Solusi optimal model pengadaan bahan mentah.
V. KESIMPULAN DAN SARAN
03
Kesimpulan 1. Permasalahan pengadaan bahan mentah dapat diselesaikan dengan menggunakan teori kendali optimal. 2. Biaya pengadaan bahan mentah dengan kebijakan pengadaan tepat waktu (JIT), pergudangan, dan penundaan lebih optimal daripada biaya pengadaan bahan mentah yang hanya menerapkan kebijakan JIT.
Saran 1. Permasalahan pengadaan bahan mentah dapat dikembangkan dengan menambahkan biaya pemesanan dan waktu tunggu (lead time) pemesanan. 2. Pengadaan bahan mentah lebih dikhususkan pada jenis bahan mentah tertentu, misalkan logam, tepung, atau kayu.
04 [1] Anshori, Alfi. 2008. ”Penerapan Teori Kontrol Optimal pada Pengadaan Bahan Mentah dengan Harga ayang Berfluktuasi dan Kapasitas Gudang yang Terbatas”. Tugas Akhir. Jurusan Sistem Informasi ITS Surabaya. [2] Arnold, J., Minner, S., dan Eidam, B. 2007. ”Raw Material Procurement with Fluctuating Price”. International Journal of Production Economics 121 (2009) 353-364. [3] Bunawan. 1994. “Pengantar Manajemen Operasi: Seri Diktat Kuliah”. Jakarta: Gunadarma. [4] Bryson, A. E. dan Ho, Y. C. 1975. “Applied Optimal Control”. New York: Taylor & Francis Group. [5] Fabozzi, F. J. dan Drake, P. P. 2009. “Finance: Capital Markets, Financial Management, and Investment Management”. New Jersey: John Wiley Son, Inc. [6] Kamien, M. I. dan Schwartz, N. L. 1981. ”Dynamic Optimization: The Calculus of Variations and Optimal Control in Economics and Management”. 1st edition. North Holland, Amsterdam: Elsevier Science Publishing Co, Inc.
05 [7] Naidu, D. S. 2002. “Optimal Control Systems”. USA: CRC Presses LLC. [8] Sethi, S. P. dan Thompson, G. L. 2000. “Optimal Control Theory: Application to Management Science and Economics”. 2nd edition. New York: Springer Science+Business Media, Inc. [9] Sharma, S. 2006. “Applied Nonlinear Programming”. New Delhi: New Age International (P) Ltd, Publisher. [10] Subchan, S. dan Zbikowski, R. 2009. “Computational Optimal Control: Tools and Practice”. UK: John Wiley & Sons Ltd. [11] Wikipedia. 2010. “Net Present Value”.
. Diakses pada tanggal 25 Februari 2010. [12] Wikipedia. 2010. “Discounting”. . Diakses pada tanggal 25 Februari 2010.
01
WINTER Template
TERIMA KASIH
