KONSTRUKSI BARU UNTUK TRIPEL PYTHAGORAS

Jurnal Pendidikan dan Pembelajaran Matematika (JP2M) Vol. 2 No. 1 Maret2016

ISSN 2460-7800

KONSTRUKSI BARU UNTUK TRIPEL PYTHAGORAS Moh. Affaf STKIP PGRI Bangkalan E-mai: [email protected]

Abstract: several years ago , was known that Pythagorean Triples can be ], that is [ ] ( ). However, the constructed by [ construction still have at least two deficiency, that is The construction still needs to pay attention to the order of the sides of the upright and can not produce all the existing Pythagorean Triples. In this paper, will be discussed about new construction to triple Pythagoras who can produce all the desired triple Pythagoras and construction also does not require the order of the sides of the upright. Keywords:pythagorean’s theorem, pythagorean’s triples.

pythagorean’s

triples,

construction

to

Abstrak:Bertahun-tahun yang lalu, telah diketahui bahwa Tripel Pythagoras dapat ], yaitu [ ] ( ). dikonstruksi dengan konstruksi [ Namun, konstruksi ini masih memiliki sedikitnya dua kekurangan, yaitu konstruksi ini masih perlu memperhatikan urutan dari sisi-sisi tegakya dan konstruksi ini tidak bisa memproduksi semua tripel pythgoras yang ada. Dalam penelitian ini, akan dibahas tentang konstruksi baru untuk tripel pythagoras yang dapat memproduksi semua tripel pythagoras yang diinginkan dan konstruksi ini juga tidak memerlukan urutan dari sisi-sisi tegaknya. Keyword : teorema pythagoras, tripel pythagoras, konstruksi tripel pythagoras

Pythagoras dalam kasus ketiganya adalah

PENDAHULUAN

bilangan bulat. Salah satu bukti bahwa Salah satu tokoh penting dalam Matematika, khusunya cabang geometri adalah ilmuan asal Yunani, Pythagoras. Salah satu temuan penting Pythagoras yang masih diperbincangkan hingga saat

para pakar matematika masih tertarik dengan teorema ini adalah sampai saat ini para pakar masih terus mencari dan memberikan bukti yang menawan untuk teorema pythagoras ini.

ini oleh para ilmuwan matematika adalah Teorema Pythagoras tentang hubungan sisi-sisi tegak segitiga siku-siku dengan hepotenusa-nya. tersebut

Ketiga

selanjutnya

sisi

disebut

segitiga

Salah satu bahasan penting dalam teorema pythagoras adalah Primitive Triple

Pythagoras.

Primitive

tripel

pythagoras ialah gagasan tentang triple

Triple

Moh. Affafs: Konstruksi Baru Untuk Tripel Phytagoras

69


ISSN 2460-7800

pythagoras sedemikian hingga ketiga

konstruksi (

panjang sisi segitiga siku-siku tersebut

sebarang bilangan bulat x dan y.

faktor

METODE

pembagi

bersama

terbesarya

adalah 1. Salah satu ciri yang diberikan oleh peneliti tentang primitif tripel pythagoras adalah hepotenusanya harus merupakan jumlah kuadrat dari bilangan asli. Lebih jelasnya, (

) adalah

primitif tripel pythagoras jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat x dan y yang prima

relatif

dan

sehingga

berbeda

paritas

,

, dan

. Sampai saat ini, masih

) untuk

Penelitian ini direncanakan dalam tiga

tahapan

a.

Pengkajian literatur terutama tentang

bukti konstruksi [

] sebagai dasar

untuk

mempelajari

pengkonstruksian

tripel

pythagoras.

Literatur

Khosy (2007), Dominic & Vella (2006),

(2000).

karakteristiknya. Salah satunya yang

b.

dilakukan oleh Leyendekkers.

yang lagi,

) adalah primitif

(2005),

dan

Wegener

Mempelajari kembali syarat-syarat harus

dipenuhi

pengkonstruksian [

konstruksi primitif tripel pythagoras yang menyatakan “(

yang

digunakan seperti: Weisbord (2009),

pythagoras, terutama dalam hal ciri atau

diperhatikan

inisisasi,

akan dilakukan pada tahap inisiasi adalah

McCullough

lebih

tahap

investigasi, dan pengembangan. Hal yang

banyak penelitian tentang primitif tripel

Jika

yaitu

dalam

].

Sedangkan pada tahap investigasi yang dilakukan adalah

tripel pythagoras jika dan hanya jika

a.

terdapat bilangan bulat x dan y yang

pengkonstruksian [

prima

ditinjau ulang berkenaan dengan tripel

relatif

dan

berlainan

sehingga

,

tanda , dan

” belum mencakup semua

Penyelidikan

b.

Mengkaji

struktural

adalah prima relatif” atau “

pengembangan

] yang masih perlu

lain

lebih yang

lanjut

sifat-sifat

berguna

generalisasi

berbeda paritas” tidak dipenuhi. Hal ini

konstruksi yang lebih baik.

mudah dilihat dari nilai

c.

yang selalu

syarat

pythagoras yang dapat dikonstruksinya.

tripel pythagoras meskipun “x dan y dan

tentang

bagi untuk

Merancang konstruksi yang nantinya

merupakan bilangan kuadrat sempurna.

bisa menutupi kekurangan konstruksi

Sebagai

[

(

contoh,

tripel

pythagoras

) bukan tripel pythagoras dari

]. Pada tahap pengembangan hal

yang akan dilakukan adalah Moh. Affafs: Konstruksi Baru Untuk Tripel Phytagoras

70


a.

Menyusun hasil temuan di atas untuk

ISSN 2460-7800

Jika (

) hanya memenuhi kondisi

mendapatkan konstruksi baru yang lebih

satu saja, kita sebut (

baik.

tripel pythagoras.

b.

) sebagai

Menyusun langkah-langkah dalam

pengonstruksian

yang

baru

tersebut

Contoh 3.1

sehingga dapat dilihat secara jelas hasil

(

konstruksinya.

karena

c.

1.

Menggunakan konstruksi yang baru

ini

untuk

memproduksi

ataupun

menemukan tripel pythagoras yang tak dapat dihasilkan atau ditemukan oleh konstruksi [

].

HASIL PENELITIAN

) adalah primitif tripel pythagoras

, (

2.

)

.

Namun, (

) bukan primitif tripel

pythagoras, karena meskipun ( memenuhi

kondisi

(

tidak

)

pertama,

namun

memenuhi

kondisi

(

kedua. Lebih jelasnya, Pada bagian ini, akan dibahas tentang pembentukan konstruksi [ yang

nantinya

bisa

]

. Selain itu, ( tripel

)

)

) bukan primitif

pythagoras,

karena

meskipun

dijadikan

(

) memenuhi kondisi kedua, namun

perbandingan dengan konstruksi baru

(

) tidak memenuhi kondisi pertama.

yang akan dibentuk pada Hasil dan

Lebih jelasnya, karena diketahui

Pembahasan. Untuk mengawali bagian

.

ini, akan perkenalkan tentang definisi Tripel Pythagoras Definisi

3.1

mengetahui (

Primitif

Tripel

Pythagoras ) )

Definisi tripel

3.1,

untuk

pythagoras

adalah

primitif tripel pythagoras atau bukan, harus diperiksa apakah FPB dari ketiga

Diberikan bilangan asli , , dan . Maka (

Dari

dikatakan

primitif

bilangan tersebut 1 atau bukan. Dari sini,

tripel

Lemma sebagai berikut memberikan

pythagoras jika dan hanya jika memenuhi

informasi tentang dua bilangan dari

dua kondisi berikut :

primitif tripel pythagoras.

1. 2.

(

)

Lemma 3.1 (

Jika

)

adalah

pythagoras, ( Moh. Affafs: Konstruksi Baru Untuk Tripel Phytagoras

)

primitif

maka (

(

tripel )

)

71


Bukti.

Jika (

Andaikan (

)

tetapi

) adalah primitif tripel pythagoras.

ISSN 2460-7800

(

)

pythagoras, maka

adalah bilangan prima yang

Bukti.

membagi

. Karena (

Misalkan (

primitif tripel pythagoras, maka berlaku

primitif dan

tripel berbeda

paritas.

Misalkan

) adalah

adalah

) adalah primitif tripel

pythagoras. Jika a dan b semuanya genap, tentu saja hal ini tidak mungkin, karena

Karena

habis membagi

habis membagi

, maka

dan

akan habis

kuadrat dari bilangan genap adslsh bilangan genap dan jumlah dari dua

membagi semua kombinasi linear dari

bilangan genap bilangan genap. Jadi akan

dan . Karena

dijumpai

adalah salah satu

kombinasi linear dari

dan

habis membagi (

), yaitu

membagi

. Oleh karena itu

membagi . Karena habis membagi membagi (

, maka

, )

Sekarang. Andaikan a dan b keduanya

habis

ganjil. Karena kuadrat dari suatu bilangan

habis

asli

, dan

ganjil dan

habis haruslah

Dilain

(

)

pihak

kontradiksi

dengan

) adalah primitif tripel pythagoras.

Jadi haruslah

(

hanya ada dua kemungkinan di

modulo 4, yaitu,

)

.

(

bahwa

dan

) jika x

) jika x genap,

(

)

dan

). Oleh karena itu, (

).

Hal

ini

kontradiksi

dengan teorema “suatu bilangan asli hanya ada dua kemungkinan di modulo 4, (

yaitu, (

Lemma

( (

maka

selalulebih besar daripada 1. Maka (

)

habis membagi ,

maka .

(

) jika x ganjil dan ) jika x genap”. Jadi

menunjukkan

haruslah salah satu dari a atau b adalah

dari primitif tripel

genap. Dengan kata lain, a dan b harusla

berikut

pythagoras tepat satu diantaranya adalah

berbeda paritas.

bilangan genap. Dalam hal dua bilangan asli tepat satu diantaranya adalah genap,

Berdasarkan Lemma 3.2 di atas,

maka dua bilangan tersebut dikatakan

karena salah satu dari a dan b adalah

berbeda paritas.

bilangan genap dengan (

) adalah

primitif tripel pythagotras, mka untuk Lemma 3.2

penulisan selanjutnya, bilangan yang genap diletakkan pada entri yang kedua.


72


ISSN 2460-7800

Sebagai contoh, untuk primitif tripel

kuadrat

pythagoras (

keduanya

(

) dituliskan sebagai

). Penulisan ini semakin didukung

sempurna, maka adalah

dan

bilangan

kuadrat

sempurna.

oleh Akibat 3.1 berikut yang merupakan

Bukti.

akibat dari Lemma 3.2, karena

Misalkan faktorisasi prima dari

juga

akan bernilai ganjil.

dan faktorisasi

Akibat 3.1

prima

Misalkan (

dari

adalah

) adalah tripel primitif

pythagoras, maka

adalah

dan

pasti ganjil.

,dimana untuk setiap

dan ,

prima berbeda

untuk setiap Bukti. Karena

genap dan (

primitif

pythagoras,

) adalah tripel maka

ganjil

menurut Lemma 3.2. Selanjutnya, karena kuadrat dari bilangan ganjil adalah

prima

, dan

berbeda .

untuk

setiap (

Karena

maka semua faktor prima dari

)

,

berbeda

dengan semua faktor prima dari . Dilain pihak,

bilangan ganjil dan kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap, maka bilangan ganjil dan

adalah bilangan

genap, Selanjutnya, karena jumlah dari bilangan ganjil dan bilnagan genap adalah bilangan ganjil, maka adalah bilangan ganjil. Karena bilangan

ganjil,

mkaa

haruslah

merupakan bilangan ganjil.

adalah

bilangan

kuadrat

Karena faktor prima dari semuanya berbeda serta berbeda

berturut-turut dan

maka haruslah

dan

untuk setiap nilai

diperlukan satu lemma lagi. Lemma

dan dan

untuk

setiap ,

bernilai genap dan

, berturutan. Oleh karena

Sebelum menuju pada formula untuk primitif tripel pythagoras, masih

sempurna.

itu

dan

keduanya adalah bilangan

kuadrat sempurna.

berikut dibuktikan dengan menggunakan Setelah menetapkan Lemma 3.3

teorema fundamental aritmatika.

di atas, selanjutnya teorema berikut akan

Lemma 3.3 Diberikan bilangan asli (

)

. Jika

dan

dengan

adalah bilangan


menetapkan hasil utama dari bab 3 ini, yaitu konstruksi untuk primitif tripel

73


ISSN 2460-7800

pythagoras.

, mkaa

Konstruksi

ini

dimulai

. Dari persamaan

dengan Teorema 3.1 berikut.

mudah disimpulkan bahwa

Teorema 3.1

Selanjutnya, dari persamaan

(

Jika

)

adalah

primitif

tripel

pythagoras, maka terdapat bilangan asli dan

yang relatif prima yanag

sekaligus bebrbeda paritas dengan sehingga

,

, dan

dan

, maka mudah diketahui

pula bahwa

karena

sebelumnya,

entri kedua dari (

) dalah bilangan

genap, ini artinya

genap. Berdasarkan

Akibat 3.1, maka

dan

adalah bilangan

ganjil. Oleh karena itu,

dan

Selanjutnya,

Misalkan

). Karena

membagi

serta karena membagi

Jadi

. Karena (

) tripel

pythagoras, maka

, yang artinya

(

)(

)

membagi .

membagi (

membagi

)

dan , . Dari

dan

.

relatif prima.

Terakhir, akan ditunjukkan bahwa dan

berbeda paritas. Jika

dan

akan kontradiksi dengan

dan

Begitu pula, Jika

ganjil, hal ini

dan

ganjil.

juga tidak mungkin karena juga akan

yang artinya

kontradiksi dengan ( )

haruslah

genap, maka

asli. Oleh karena itu

dan

dan

dan

ganjil. Jadi

berbeda paritas.

adalah bilangan adalah bilangan

kuadrat sempurna. Berdasarkan Lemma 3.3, maka

, mka

genap, jelas hal ini tidak mungkin karena

yaitu

Karena

membagi

membagi

Selanjutnya, karena

, untuk suatu bilangan dan

, yang artinya

, mka

sini, dapat disimpulkan bahwa

Sekarang, misalkan dan

membagi

maka

keduanya genap.

asli

adalah bilangan asli.

( ditetapkan

dan

. Tentu saja m lebih besar daripada

Bukti. Telah

.

keduanya bilangan

kuadrat sempurna. Misalkan untuk suatu bilangan asli

dan dan


Pernyataan Teorema 3.1 tidak cukup baik untuk mengkarakterisasi atau mengkonstruksi primitif tripel pythagoras jika konvers dari pernyataan tersebut tidak berlaku. Teorema 3.2 berikut

74


ISSN 2460-7800

karena

membagi

pernyataan Teorema 3.1 juga berlaku.

maka

membagi

Teorema 3.2

membagi

menyatakan

Jika

bahwa

dan

konvers

dari

bilangan relatif prima yang

berbeda paritas, maka (

) primitif

tripel pythagoras, dimana

,

membagi

dan ,

membagi

. Lebih khusus,

dan membagi

membagi . Hal ini berakibat,

FPB dari

, dan

membagi ,

. Karena

mka hariuslah dan

dan

dan

setidaknya adalah .

Hal ini kontradiksi dengan

Bukti. Misalkan

relatif prima. Jadi, haruslah

,

, dan

Dengan

, maka (

)

(

dan

kata

(

)

(

)

)

.

lain,

haruslah

, yaitu (

) adalah

primitive tripel Pythagoras. Selanjutnya, dari Teorema 3.1

(

dan Teorema 3.2, diperoleh sebuah

)

Oleh karena itu, dapat disimpulkan (

bahwa

pythagoras.

)

adalah

tripel

Selanjutnya, (

menunjukkan

tinggal

)

. Dengan

teorema fundamental dalam

studi

primitif

yang

tripel

merupakan akibat dari Teorema 3.1 dan Teorema 3.2. Teorema 3.3

kata lain, tinggal menunjukkan bahwa

Untuk bilangan asli

(

(

) adalah primitif, yaitu ketiga Untuk (

)

menunjukkan , akan digunakan bukti (

kontadiksi. Andaikan . Misalakn dari d. Karena membagi

, maka

)

adalah faktor prima membagi membagi

membagi . Dilain pihak, karena berbeda paritas, tentu saja

)

dan dan dan dan

dan , 3-tupel

merupakan

Pythagoras

bilangan ini saling relatif prima.

pythagoras

jika

primitif

dan

terdapat bilanagn asli

tripel

hanya dan

jika yang

relative prima dan sekaligus berbeda paritas sehingga , dan Jika

, .

lebih

diperhatikan

lagi,

konstruksi primitif tripel pythagoras pada Teorema 3.3 yang menyatakan “(

)

adalah primitif tripel pythagoras jika dan

keduanya adalah bilangan ganjil. Hal

hanya jika terdapat bilangan bulat x dan y

ini

yang prima relatif dan berlainan tanda

berakibat

.

Selanjutnya,


75


sehingga

,

ISSN 2460-7800

) adalah primitif tripel

, dan

” belum mencakup semua

pythagoras. Jika “x dan y prima relatif” atau “x

tripel pythagoras meskipun “x dan y

c.

adalah prima relatif” atau “x dan y

dan y berbeda paritas” tidak terpenuhi,

berbeda paritas” tidak dipenuhi. Hal ini

maka maka akan kembali pada poin

mudah dilihat dari nilai

pertama, yaitu (

yang selalu

)

merupakan bilangan kuadrat sempurna.

adalah tripel pythagoras.

Sebagai

d.

(

contoh, )

bukan

pythagoras

dari )

tripel

pythagoras

merupakan

(

konstruksi untuk

tripel

Meskipun poin ketiga menyebabkan

(

)

sebarang

dapat dinyatakan dalam bentuk ( ). Salah satu contohnya

karena

itu,

sangat

memungkinkan untuk menemukan suatu

adalah (

). Tidak ada bilangan

bulat positif x dan y dengan

konstruksi yang mencakup semua tripel

sehingga berlaku (

pythagoras tanpa terkecuali. Untuk bab

)

selanjutnya, konstruksi

akan tripel

tripel

pythagoras, tidak semua tripel pythagoras

bilangan bulat x dan y. Oleh

adalah

dibahas

(

lebih dari

).

tentang

e.

Poin keempat terjadi karena jika

yang

(

) adalah tripel pythagoras yang

pythagoras

mencakup semua tripel pythagoras tanpa

terbentuk dari (

terkecuali.

maka

Hal yang akan diteliti dalam

(

),

adalah

, yaitu

) . Dengan kata lain,

adalah

penelitian ini adalah mencari konstruksi

bilangan kuadrat sempurna. Padahal,

tripel pythagoras yang mencakup semua

, bukan bilangan kuadrat

tripel Adapun

pythagoras langkah

tanpa

terkecuali.

analisisnya

adalah

sempurna. Oleh karena disimpulkan bahwa (

sebagai berikut.

tripel

a.

(

Misalkan x dan y adalah bilangan

bulat positif dengan dapat

dipastikan )

lebih dari , maka bahwa adalah

( tripel

pythagoras. b.

itu, mudah

f.

pythagoras

) bukan

hasil

konstruksi

). Selanjutnya,

misalkan

adalah tripel pythagoras dan

(

) ,

maka (

)

Jika x dan y prima relatif dan

berbeda

paritas,

maka

(


76


Dari disini diperoleh

.

Dengan kata lain,

. Jadi tripel (

pythagoras

dapat disimpulkan bahwa

)

dapat

menjadi (

dituliskan

habis dibagi

. Dengan kata lain, ada bilangan bulat

. Oleh karena

itu,

ISSN 2460-7800

sehingga

. Selanjutnya,

dapat dituliskan menjadi . Dari

) jika sini dapat disimpulkan bahwa

habis membagi diidentifikasi

. Jadi, perlu kapan

membagi

agar tripel (

)

merupakan tripel pythagoras. Misalkan

.

membagi i.

g.

habis

dituliskan

Selanjutnya, dengan menuliskan

sebagai

, maka diperoleh hasil

yang diinginkan, yaitu sebagai

(

)

dimana adalah hasil kali semua faktor prima ganjil tunggal dari

,

adalah hasil kali

faktor-faktor dengan pangkat genap dari , dan

adalah sisanya. Sebagai contoh,

Jika

maka

Habis dibagi j.

terbentuk adalah ) .

.

tersisa dari adalah

Sekarnag

yang

bilangan bulat postif

sehingga

(

pythagoras konstruksi [ [

]

)

adalah (

)

(

)

(

)

. Maka diperoleh k.

Setelah membentuk

definisikan

, . Jadi, dari

Proses

(

[

]

),

dari

, maka diperoleh . Dari

Perhatikan bahwa

dan

dengan memperhatikan definisi

, maka dan


adalah

diperoleh

. Setelah mendapatkan ,

.

adalah sisa-sisa dari

mencari

sebagai berikut. Dari tripel pythagoras

pada poin 7, diperoleh

. Selanjutnya, karena

hasil

], yaitu

setelah terbentuknya

. h.

)

. Dengan kata lain, semua tripel

Selanjutnya, dari sisa tersebut diperoleh (

(

Jadi,

merupakan tripel pythagoras jika terdapat

. Jadi yang tersisa dari setelah

.

(

) diperoleh

contoh, (

,

untuk ),

, dan , yaitu

, dan tripel . Sebagai

tripel

pythagoras

diperoleh

77


.

Dari

. . (

sini

diperoleh

Sehingga

diperoleh

Jadi

tripel

pythagoras

) adalah hasil produksi tripel

[

].

KESIMPULAN Penelitian menemukan

ini

konstruksi

konstruksi [ lebih

baik

keunggulan

baru,

konstruksi

yaitu [

].

] ini memiliki dua dibangdingkan

konstruksi [

berhasil

], konstruksi yang dari

konstruksi [

telah

dengan

] dapat memproduksi

semua tripel pythagoras yang diinginkan dan konstruksi ini juga tidak memerlukan urutan dari sisi-sisi tegaknya. Adapun depannya,

saran

penelitian

ke

diharapkan

konstruksi

ini

dapat dikembangkan sehingga langkahlangkah

konstruksinya

dapat

ISSN 2460-7800

International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 1464 – 5211, Vol. 26, Issue 6, pg 903 – 922, 1995 Leyendekkers, J.V. and Rybak, J., The Generation and Analysis of Pythagorean Triples within a Two-Parameter Grid, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, Vol. 26, Issue 6, pg 787 – 793, 1995 McCullough, D., Height and Excess of Pythagorean Triples, Mathematics Magazine, Vol. 78, No. 1, pg 26 – 44, February 2005 Wegener, D. P. 2000. Primitive Pythagorean Triples With Sum Or Difference Of Legs Equal To A Prime*. Ohio university Weisbrod, J., Exploring a Pythagorean Ternary Tree, annual meeting of the Mathematical Association of America MathFest, August 6, 2009

lebih

sederhana.

DAFTAR PUSTAKA Dominic and Vella. 2006. When is n a member of a Pythagorean Triple. Khosy, Thomas. 2007. Elementary number theory with applications. Amsterdam. Elsivier Leyendekkers, J.V. and Rybak, J., Pellian Sequences Derived from Pythagorean Triples, Moh. Affafs: Konstruksi Baru Untuk Tripel Phytagoras

78

KONSTRUKSI BARU UNTUK TRIPEL PYTHAGORAS

Recommend Documents