KONSTRUKCE VÝNOSOVÉ KØIVKY POMOCÍ VLÁDNÍCH DLUHOPISÙ V ÈESKÉ REPUBLICE

KONSTRUKCE VÝNOSOVÉ KØIVKY POMOCÍ VLÁDNÍCH DLUHOPISÙ V ÈESKÉ REPUBLICE Jiøí Málek, Jarmila Radová, Filip Štìrba, Vysoká škola ekonomická v Praze

1. Úvod

Vztah cen vládních dluhopisù a úrokových mìr je známý. Ceny dluhopisù citlivì reagují na zmìny úrokové míry zadané centrální bankou (v ÈR 14denní repo), a naopak ceny dluhopisù samy urèují základní èasovou strukturu úrokových sazeb1. V tomto pøíspìvku se budeme zabývat druhým problémem. Jak urèit èasovou strukturu úrokových sazeb z cen dluhopisù. Pokud bychom mìli zadány pouze ceny bezkupónových dluhopisù (dluhopisù s libovolnou dobou splatnosti), byl by problém jednoduchý. Každý dluhopis by podle doby splatnosti urèoval pøíslušnou úrokovou míru na dané období. V praxi však jsou k dispozici vìtšinou kupónové dluhopisy. Metoda bootstraping bývá rovnìž vìtšinou nepoužitelná, doby splatnosti a výplaty kupónù rùzných dluhopisù bývají nepravidelnì rozloženy bìhem roku. Je proto nutné najít zpùsob, jak dostateènì pøesnì aproximovat údaje získané z dat kupónových dluhopisù. Tomuto problému je stále vìnována intenzivní pozornost (napø. Bolder a Stréliski, 1999, Diebold a Canlin 2006, Lemke, 2006), nebo• èasová struktura úrokových mìr slouží jako základní struktura výnosových mìr v ekonomice. Pokud (bezkupónové) dluhopisy držíme do doby splatnosti, tyto výnosové míry odpovídají bezrizikovým investicím2 a slouží jako srovnávací bod (benchmark) pro porovnání výnosnosti ostatních (rizikových) investic. Tyto bezrizikové míry se rovnìž používají jako vstupní parametry pro ohodnocování rùzných typù finanèních derivátù. V modifikované formì je lze využít rovnìž k extrakci tržních oèekávání ohlednì budoucího vývoje úrokových sazeb. V tomto èlánku uvedeme nìkolik možných pøístupù ke konstrukci èasové struktury úrokových mìr. Následnì podrobnìji ukážeme konstrukci a možnou interpretaci výnosových køivek s využitím parametrických metod. Použité funkce budou jednak vlastní konstrukcí a jednak pøevzaté a bude provedeno jejich srovnání. Analyzovány budou jejich pøednosti a nedostatky. Další struktura tohoto pøíspìvku bude následující: èást druhá shrnuje základní možné tvary výnosových køivek, tøetí èást pøedstavuje základní me-

1

2

Èasto se místo pojmu èasová struktura úrokových mìr používá kratší pojem výnosová køivka. Není to úplnì pøesné, nebo• pojem výnosová køivka evokuje spíše èasovou strukturu výnosností do doby splatnosti. Nicménì, protože se jedná o zažitý pojem, budeme používat obì vyjádøení. Striktnì vzato není bezriziková žádná investice. Na finanèních trzích se obecnì považují za bezrizikové takové investice, které mají ten nejvyšší rating. To splòují napøíklad vládní dluhopisy USA. V pøípadì ÈR mají státní dluhopisy rating nižší, pøesto je v tomto textu budeme dále za bezrizikové považovat. Vycházíme pøi tom z pøesvìdèení, že v rámci námi zkoumaného období se prémie za kreditní riziko spojená se státními dluhopisy blížila nule.

792 l

POLITICKÁ EKONOMIE, 6, 2007

todické pøístupy ke konstrukci výnosových køivek. Ve ètvrté èásti odhadneme a porovnáme tvar výnosové køivky pomocí nìkolika parametrických funkcí. Koneènì v páté èásti využijeme Svenssonovu parametrickou funkci k odhadu okamžité forwardové køivky a ukážeme její možnou ekonomickou interpretaci. 2. Tvary výnosové køivky

Výnosové køivky mohou mít rùzný tvar, což je ovlivnìno mnoha faktory, napø. oèekávanou zmìnou mìnové politiky centrální banky, oèekávanou mírou inflace, likviditou atd.. V realitì se tak setkáváme s rùznými strukturami úrokových mìr – stoupající strukturou úrokových mìr, klesající strukturou úrokových mìr, hrbatou strukturou úrokových mìr nebo plochou strukturou úrokových mìr a tedy s rùznými tvary výnosových køivek, což znázoròuje obrázek 1. Obrázek 1

Pøi stoupající struktuøe úrokových mìr je nižší zúroèení pro dluhopisy s kratší dobou splatnosti a vyšší zúroèení pro dluhopisy s delší dobou splatnosti. Tento pøípad je nejobvyklejší. Výnosové køivky jsou podle empirických výzkumù nejèastìji rostoucí a konkávní funkcí èasu. Pøi klesající struktuøe úrokových mìr je tomu naopak. Dluhopisy s kratší dobou splatnosti mají vyšší výnos než dluhopisy s delší dobou splatnosti. S klesající strukturou úrokových sazeb jsme se setkali v ÈR v polovinì 90. let minulého století, kdy dlouhodobé úrokové sazby byly nižší než krátkodobé. Klesající výnosovou køivku jsme rovnìž mohli pozorovat ke konci roku 2006 napøíklad v USA, kdy se zdálo, že inflaèní tlaky mírnì polevují a trh oèekával, že FED pøikroèí ke snížení úrokových sazeb. Klesající neboli inverzní výnosová køivka bývá obèas považována za jakýsi indikátor možné nastávající recese. Pøi hrbaté struktuøe úrokových mìr mají nejvyšší zúroèení støednìdobé dluhopisy a pøi ploché struktuøe je úroková míra z dluhopisù s rùznou dobou splatnosti témìø shod-


l 793

ná3. S plochou strukturou úrokových sazeb se pro jednoduchost provádí vìtšina analýz, které souvisejí se stanovením rizika èi ohodnocováním. 3. Metody konstrukce výnosové køivky

Pokud pøedpokládáme, že dluhopis vyplácí kupónové platby v pravidelných intervalech, lze obecnì zapsat vztah ceny dluhopisu a úrokových mìr následovnì: P= kde C JH P ri, i = 1,2,...,n

C C C + JH , + +...+ 2 1 + r1 (1 + r2 ) (1 + rn ) n

je kupónová platba, je jmenovitá hodnota bondu (face value), je tržní cena bondu a je úroková míra na i-té období

3.1 Bootstraping

Základní metodou pro nalezení èasové struktury úrokových mìr, která bývá uvádìna v uèebnicích, je metoda nazývaná bootstraping. Vychází z pøedpokladu, že na každé období (napø. 1 rok ) máme k dispozici jeden dluhopis s pøíslušnou dobou splatnosti. Dostáváme tak soustavu rovnic, která je pomìrnì snadno øešitelná. P1 =

C 1 + JH 1 1 + r1

P2 =

C 2 C 2 + JH 2 + 1 + r1 (1 + r2 ) 2

P3 =

C3 C3 C + JH 3 + + 3 2 1 + r1 (1 + r2 ) (1 + r3 ) 3

M

M

M

M

Pn = kde Ci JHi ri

3

Cn Cn C + JH n + +...+ n 2 1 + r1 (1 + r2 ) (1 + rn ) n

kupónová platba i-tého dluhopisu (splatného za i let) jmenovitá hodnota i-tého dluhopisu, úroková míra na i let

Nìkdy se uvádí i tzv. inverzní hrbatá struktura, kdy úrokové míry zpoèátku klesají a následnì rostou.

794 l


1 , vidíme, že se jedná o soustavu lineárních rovnic o n ne(1 + ri ) i známých. Z první rovnice nalezneme r1 , dosadíme do druhé rovnice, nalezneme r2 atd. Vypoèítané hodnoty ri pak proložíme hladkou køivkou. Na vìtšinì trhù s vládními dluhopisy vèetnì èeského je však tato metoda nepoužitelná. Existuje pøíliš málo obchodovatelných vládních bondù (viz tabulka 1), které navíc vyplácejí kupón k rùznému datu bìhem roku. Dùsledkem toho je, že soustava má mnohem více neznámých než je rovnic. Obecnì má taková soustava nekoneènì mnoho øešení a každé by bylo možné chápat jako možnou èasovou strukturu úrokových sazeb. Položíme-li Di =

3.2 Spliny

V posledních deseti letech získaly na popularitì pøi konstrukci výnosových køivek tzv. spliny. Obecný k-spline4 je po èástech polynomiální aproximace s polynomy øádu k, která má derivace k-1 øádu. Velmi èasto se používají kubické spliny, jejichž obecný tvar je 3

s( t ) = å a i t i + i =0

1 n- 1 å bp (t -x p ) 3+ , 3! p - 1

kde ( t - x p ) 3+ = max( t - x p ,0) a x 1 , x 2 , ..., x n jsou uzlové body (body, kde na se jednotlivé polynomy navazují). Aplikace splinù vyžaduje odhad parametrù, což mùže zpùsobit potíže pøi numerickém zpracování. 3.3 Parametrické funkce 3.3.1 Použití polynomù

Obecný tvar polynomu je p( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +...+a n x n . Je známo, že množina polynomù je hustá v prostotu spojitých funkcí na kompaktní množinì. To znamená, že jakoukoli spojitou funkci na koneèném uzavøeném intervalu lze libovolnì pøesnì aproximovat polynomem. Nabízí se tedy myšlenka použít polynomy pro konstrukci køivky èasové struktury úrokových mìr. Ukazuje se však, že tento postup je èasto nevhodný. Polynomy jsou velmi citlivé na vstupní data a jejich chování mezi vstupními daty je nepøedvídatelné. Nastává rovnìž problém se stupnìm použitého polynomu. Použijeme-li pro aproximaci polynom vyššího stupnì, mùžeme dosáhnout pøesnìjší aproximace, ale jeho chování mezi daty bývá èasto nepøijatelné.

4

Polynom má obecnì derivace všech øádù. Problémem u splinù jsou uzlové body, kde jednotlivé polynomy na sebe navazují. V tìchto bodech se požaduje existence derivací do øádu k – 1.


l 795

Proto bývá nìkdy vhodnìjší použít polynom nižšího stupnì, když aproximace nebude tak pøesná, ale jeho chování mezi daty bude pøijatelnìjší. Na Obrázku 2 a 3 je ukázáno, jak zmìna jediné úrokové míry o 4bp.5 vede k dramatické zmìnì tvaru výnosové køivky. Pro aproximaci byly použity polynomy sedmého stupnì. Vstupní data (X,Y), (X, YY) udávají èas a velikost pøíslušné úrokové míry. Velikosti naznaèují rostoucí výnosovou køivku. Nicménì polynom (který v našem pøípadì pøesnì kopíruje data) má naprosto nepøijatelný tvar6. Obrázek 2

X=[0.1 0.25 0.5 1 3 5 7 10]; YY=[0.06 0.0654 0.07 0.072 0.073 0.075 0.075 0.075];

Obrázek 3

X=[0.1 0.25 0.5 1 3 5 7 10]; Y=[0.06 0.0650 0.07 0.072 0.073 0.075 0.075 0.075];

5 6

Oznaèení bp znamená basický bod, které se používá v bankovní praxi pro zmìnu velikosti úrokové míry. 1bp je 0.01%. Nepøijatelný tvar je velmi vágní a nepøesné tvrzení. Zde musíme vycházet z finanèní praxe, která je ochotna pøijmout jen urèité tvary výnosových køivek (viz obrázek 1).

796 l


3.3.2 Funkce Nelson-Siegela

Tato parametrická funkce bývá pro konstrukci výnosových køivek èasto používána pro svou jednoduchost. Její tvar bývá vyjádøen jako funkce tzv. okamžité forwardové sazby7 v závislosti na dobì vypoøádání m , což mùžeme zapsat takto: f ( m) = a 0 + ( a 1 + a 2 m) e - bm Pøíslušnou spotovou výnosovou køivku r( t ) pak mùžeme zapsat jako: r (t ) = a 0 + a 1

æ 1 - e - bt 1 - e - bt - a 2 çç - e - bt bt è bt

ö ÷÷. ø

Koeficient a 0 lze interpretovat jako dlouhodobý faktor. Urèuje hladinu výnosové køivky. Snadno se lze pøesvìdèit, že r ( ¥ ) = a 0 . 1- e - bt Koeficient a 1 má váhu , což je funkce, která zaèíná v hodnotì 1 a klesá monobt tónnì a rychle k 0. Lze jej interpretovat jako krátkodobý faktor. Udává sklon výnosové køivky, který lze definovat jako r ( ¥ ) - r (0)8. Zøejmì platí r ( ¥ ) - r (0) = -a 1 . æ 1- e - bt ö Koeficient a 2 má váhu çç - e - bt ÷÷, která zaèíná v 0, roste a pak klesá opìt k 0. è bt ø Lze jej proto interpretovat jako støednìdobý faktor. Souvisí s køivostí køivky, která se zde zjednodušenì definuje jako rozdíl dvojnásobku dvouleté úrokové míry a souètu míry desetileté a tøímìsíèní. Lze ukázat, že 2r (2) - r (10) - r (025 . ) = 000053 . a 1 + 037 . a2 Koeficient b pak urèuje míru exponenciálního klesání. Malé b produkuje pomalou míru klesání, a tak mùže lépe aproximovat køivku v delším èasovém horizontu, velké b pak dává rychlé klesání a lépe aproximuje køivku v kratším horizontu. 4. Konstrukce výnosové køivky z èeských dluhopisù s využitím parametrických funkcí

V realitì se mùžeme v rùzných dobách na rùzných trzích vládních dluhopisù setkat s celou øadou tvarù výnosových køivek. Jak jsme již uvedli, nejèastìji se vyskytují ètyøi základní tvary výnosových køivek: rostoucí, klesající, plochá a hrbatá (humped). Z toho dùvodu je dùležité, aby pøi konstrukci výnosové køivky pomocí parametrické funkce byla zvolená parametrická funkce dostateènì flexibilní, aby mohla zachytit rùzné tvary výnosových køivek. Zároveò je dùležité, aby odhadnuté ceny dluhopisù odvozené z vybrané parametrické funkce co nejlépe aproximovaly skuteèné tržní ceny dluhopisù. Naším hlavním cílem bylo otestovat a vzájemnì porovnat nìkolik vybraných parametric-

7 8

Definice okamžité forwardové míry viz Dodatek. V praxi se nìkdy definuje sklon výnosové køivky jako rozdíl hodnot desetileté a tøímìsíèní úrokové míry.


l 797

kých funkcí. Zde nyní prezentujeme tøi parametrické funkce, které se jevily pro konstrukci výnosové køivky jako nejvhodnìjší 9: A: r ( t ) = ( a + bt )exp( ct ) + d B: r ( t ) = ( a + bt + gt 2 )exp( ct ) + d t t t C: r ( t ) = a + b exp( -t ) + c exp( - ) + d exp( - ) + g exp( - ) 3 9 27 kde a, b, c, d, g jsou parametry a t je èas. Vstupní data udává tabulka 1. Tabulka 1 Èeské vládní dluhopisy, 17. kvìtna 2002

Vládní dluhopis SD 6,90/03 SD 14,85/03 SD 10,90/03 SD 7,95/04 SD 7,30/04 SD 6,05/04 SD 6,75/05 SD 5,70/06 SD 6,30/07 EIB 8,20/09 SD 6,40/10 SD 6,55/11 EIB 6,50/15 SD 6,95/16

Alikvotní Kótovaná úrokový cena výnos (AUV) 101,90 2,22 107,45 4,17 107,95 8,48 106,01 2,25 106,15 5,70 103,45 4,08 105,88 1,67 103,78 3,18 106,65 1,05 117,75 1,23 108,50 0,59 108,50 4,04 109,83 0,54 114,50 2,14

Cena + AUV

Kupón (%)

Doba splatnosti

104,12 111,62 116,43 108,26 111,85 107,53 107,55 106,96 107,70 118,98 109,09 112,54 110,37 116,64

6,90 14,85 10,90 7,95 7,30 6,05 6,75 5,70 6,30 8,20 6,40 6,55 6,50 6,95

21. 1. 2003 6. 2. 2003 7. 8. 2003 5. 2. 2004 6. 8. 2004 14. 9. 2004 18. 2. 2005 26.10. 2006 17. 3. 2007 23. 3. 2009 14. 4. 2010 5.10. 2011 17. 4. 2015 26. 1. 2016

Doba do Výnosnost splatnosti do splatnosti (roky) (%) 0,678 0,719 1,222 1,717 2,219 2,325 2,753 4,442 4,833 6,850 7,908 9,383 12,917 13,692

3,93 4,03 4,07 4,23 4,32 4,44 4,43 4,73 4,72 5,06 5,07 5,37 5,42 5,42

Cílem bude nalézt takové hodnoty parametrù, aby kvadratická odchylka skuteèné a modelované ceny byla minimální: 2

C tk é ù ® min, å êPk - å tk ú k= 1 ë t k (1 + r ( t k )) û N

(1)

kde druhá suma probíhá všechny èasové okamžiky, kdy dluhopis vyplácí platbu (kupón, jmenovitá hodnota), je platba k-tého dluhopisu v èase 10 za , je tržní hodnota dluhopisu

Ve skuteènosti jsme pøi testování rùzných parametrických forem narazili na více funkcí, které „uspìly“ podobnì dobøe jako tøi funkce, které prezentujeme v této èásti. Jednou z nich byla rovnìž rozšíøená Nelson-Siegelova funkce, kterou využijeme v pøíští èásti tohoto textu. 10 Kupónové platby jsou roèní, probíhají každý rok vždy ve stejný datum (den, mìsíc) jako je doba splatnosti. A konèí v dobì splatnosti (viz tabulka 1). Za tk budeme dosazovat èas v letech, který ubìhne od okamžiku mìøení 17. 5. 2002 do doby pøíslušné platby. 9

798 l


(kótovaná cena+AÚV, viz tab.1) a N je poèet dluhopisù. Za budeme postupnì dosazovat funkce A,B,C. Pokud použijeme spojité úroèení bude mít úloha následující tvar 2

é ù å êPk - å exp( -r ( t k )* t k )* C tk ú ® min. k= 1 ë tk û N

(2)

Pro výpoèet byl použit programovací jazyk MATLAB, specielnì minimalizaèní program fmincon pro nalezení minima funkce s omezujícími podmínkami. Program fmincon používá Nelder-Meadova simplexového algoritmu pro øešení nelineárních optimalizaèních úloh. Tabulka 2 Odhadnuté diskontované úrokové míry (výnosnost v %)

Rok 1 2 3 4 5 6 7 Prùmìrná odchylka cen 11

Funkce A

Funkce B

Funkce C

4,0292 4,2704 4,4894 4,6867 4,8626 5,0176 5,1522

4,1498 4,3019 4,4700 4,6454 4,8203 4,9880 5,1426

4,1130 4,3365 4,5214 4,6892 4,8441 4,9855 5,1001

0,0741

0,0676

0,0446

Vidíme, že podle tohoto kriteria dává nejlepší odhad funkce C. Na druhé stranì je tato funkce velmi citlivá na poèáteèní podmínky algoritmu a na toleranèní hodnotu Z tabulky 2 mùžeme vidìt, že rozdíly mezi jednotlivými prezentovanými funkcemi jsou velmi malé. Vìtší rozdíly mùžeme pozorovat pouze na nejkratším konci výnosové køivky. Podle kritéria co nejmenší prùmìrné cenové odchylky odhadnutých cen dluhopisù od skuteèných cen je nejvhodnìjší funkce C. Je však nutno upozornit na skuteènost, že tato funkce byla velmi citlivá na poèáteèní podmínky a algoritmus èasto dával nesmyslné výsledky. Pro bìžné použití lze vystaèit s funkcí A, kde algoritmus pracoval spolehlivì. 5. Využití forwardové výnosové køivky – extrakce tržních oèekávání

V tøetí èásti tohoto textu jsme zmínili Nelson-Siegelovu metodu konstrukce forwardové výnosové køivky. V této èásti zamìøíme naší pozornost na její rozšíøenou verzi, která bývá èasto uvádìna též jako Svenssonova metoda. Ve srovnání s Nelson-Siegelovou funkcí má o jeden èlen navíc a umožòuje tak flexibilnìjší tvar výnosové køivky. Svenssonova metoda je využívána celou øadou centrálních bank (napø. Sveriges Riksbank èi Norges Bank).

11 Prùmìrná odchylka cen je poèítána jako odmocnina z minimalizaèní funkce vydìlená poètem pozo-

rovaných cen dluhopisù, tj. 14.


l 799

Naším hlavním cílem v této èásti bude aplikovat metodu na aktuálních datech èeských vládních dluhopisù a ukázat, jak ji mùžeme využít k extrakci tržních oèekávání ohlednì budoucího vývoje krátkodobých úrokových sazeb a tím i k extrakci oèekávání ohlednì budoucí mìnové politiky provádìné ÈNB. V pøedchozí èásti jsme pøi testování rùzných parametrických metod odhadovali diskontovanou výnosovou køivku. Pokud ovšem chceme využít výnosovou køivku k extrakci tržních oèekávání je vhodnìjší odhadovat forwardovou køivku, konkrétnì potom okamžitou forwardovou køivku (instanteneous forward rate curve). Døíve než pøejdeme ke konkrétní formulaci Svenssonovy funkce, se pokusme ozøejmit, proè upøednostòujeme odhad forwardové køivky pøed køivkou spotovou. Skuteèností je, že nám oba typy køivek poskytují urèité informace ohlednì budoucnosti. Hypotéza oèekávání øíká, že dlouhodobá úroková sazba je prùmìrem souèasné krátkodobé úrokové sazby a oèekávaných budoucích krátkodobých úrokových sazeb. Z tohoto dùvodu diskontovaná výnosová køivka, která zobrazuje diskontní úrokové sazby jako funkci rùzných dob splatnosti, v sobì nese urèitou informaci o oèekávaných budoucích krátkodobých sazbách. Pøedpokládejme na chvíli, že hypotéza oèekávání skuteènì platí. V takovém pøípadì dlouhý konec diskontované výnosové køivky poskytuje informaci o oèekávané prùmìrné výši budoucích krátkodobých sazeb. Znaènou nevýhodou je, že se jedná pouze o oèekávanou prùmìrnou výši krátkodobých úrokových sazeb, nebo• taková informace nám mnoho neøíká o trajektorii oèekávaného vývoje krátkodobých úrokových sazeb. Chceme-li namísto oèekávané prùmìrné výše krátkodobých úrokových sazeb znát trajektorii oèekávaných krátkodobých úrokových sazeb, musíme sestrojit forwardovou køivku. Ta zobrazuje požadované forwardové sazby jako funkce rùzných dob vypoøádání. Pøedmìtem našeho zájmu pak bude okamžitá forwardová køivka, která mùže být chápána jako aproximace vývoje nejkratšího konce výnosové køivky a tudíž jako aproximace oèekávané trajektorie základní úrokové sazby v ekonomice urèované centrální bankou. V èeských podmínkách se jedná o dvou týdenní repo sazbu. Okamžitá forwardová køivka tedy mùže být chápána jako indikátor tržních oèekávání budoucí mìnové politiky centrální banky, což následnì pøedstavuje užiteènou informaci jak pro samotnou centrální banku, tak pro ostatní úèastníky trhu. V pøedchozím odstavci jsme poskytli ekonomickou interpretaci okamžité forwardové køivky, ale uvedená interpretace byla podmínìna tím, že jsme uèinili velmi silný pøedpoklad o platnosti hypotézy oèekávání. Bohužel celá øada empirických studií ukázala, že tato hypotéza ve své èisté formì neplatí, a že rùzné typy prémií zpùsobují rozdílnost mezi forwardovými sazbami a oèekávanými budoucími spotovými úrokovými sazbami. Forwardové sazby by v zásadì mìly zahrnovat prémii za dobu splatnosti (èasto též oznaèovaná jako termínová prémie) , kreditní riziko a likviditu. Náš odhad okamžité forwardové køivky bude vycházet z pozorovaných cen èeských vládních dluhopisù, a proto mùžeme prémii za likviditu považovat za zanedbatelnou. Abychom si vìci ulehèili ještì více, budeme považovat za zanedbatelnou i termínovou prémii a prémii za kreditní riziko. Z tohoto dùvodu je potøeba pøi interpretaci forwardové køivky jisté opatrnosti. Mìli bychom mít vždy na pamìti, že tyto prémie mohou v urèitých obdobích nabývat významných hodnot.

800 l


Nyní mùžeme pøejít k zápisu Svenssonovi funkce pro okamžitou forwardovou sazbu, f. Ta mùže být zapsána takto: f ( m) = b 0 + b 1 × e

æ m çç t è 1

ö ÷ ÷ ø

æ

mö

æ

m ö

m çç - t ÷÷ m çç - t ÷÷ + b 2 × × eè 1 ø + b 3 × × eè 2 ø , t1 t2

(3)

kde b0 , b1, b2, t1, b3, t2 jsou parametry, které je potøeba odhadnout (b0 , t1 a t2 musí být pozitivní) a m znaèí dobu do vypoøádání. Pokud používáme spojité úroèení, tak lze ukázat12, že musí mezi okamžitou forwardovou sazbou a diskontní úrokovou sazbou platit následující vztah: t

r (t ) =

1 f ( s) ds, t ò0

(4)

kde r(t) oznaèuje diskontní úrokovou sazbu na období t a f(s) znaèí okamžitou forwardovou sazbu. Využijeme-li rovnice (3) a (4), mùžeme zapsat odpovídající rovnici pro diskontní úrokové sazby jako: æ t ö æ ç ÷ ç çt ÷ 1- eè 1 ø ç r (t ) = b 0 + b 1 ç t ç t 1 è

æ t ö ö æ ç ÷ æ t ö ÷ ç çt ÷ ç ÷ è 1ø çt ÷ ÷ + b ç 1- e - eè 1 ø 2 ÷ ç t ÷ ç t 1 ø è

æ t ö ö æ ç ÷ æ t ö ÷ ç çt ÷ ç ÷ è 2 ø çt ÷ ÷ + b ç 1- e - eè 2 ø 3 ÷ ç t ÷ ç t 2 ø è

ö ÷ ÷, ÷ ÷ ø

(5)

kde jsme pouze pozmìnili m oznaèující dobu do vypoøádání za t oznaèující dobu do splatnosti. Nyní jsme již pøipraveni aplikovat døíve popsanou techniku pro odhadování výnosové køivky na kuponové dluhopisy vydané èeskou vládou. Jejich doby splatnosti se budou pohybovat od ménì než jednoho roku k více než deseti rokùm. Odhadnutou okamžitou forwardovou køivku následnì budeme interpretovat. Celkem budeme vycházet z pozorovaných cen dluhopisù ke dvìma rùzným datùm. To nám umožní sledovat, jak se bìhem uvažované èasové periody pozmìnily tržní oèekávání budoucí mìnové politiky. Tabulky 3 a 4 shrnují údaje, které jsme pro odhad forwardové køivky použili. První sloupec udává titul vládního dluhopisu. Druhý a tøetí sloupec udává nákupní a prodejní ceny dluhopisù na 100 korun nominální hodnoty dluhopisù. Ètvrtý sloupec poskytuje údaje o modifikované duraci dluhopisù, pátý sloupec roèní kupónovou platbu na 100 korun nominální hodnoty dluhopisù a šestý sloupec ukazuje dobu splatnosti dluhopisù. Koneènì sedmý sloupec udává výši alikvotního úrokového výnosu. Tabulky 3 a 4 poskytují dostateèné údaje k tomu, abychom mohli odhadnout forwardovou køivku. Vstupní údaje, které z daných tabulek využijeme jsou ceny, kupóny, doby 12 Málek, J. Dynamika úrokových mìr a úrokové deriváty. Praha : Ekopress, 2005.


l 801

do splatnosti a durace. Ceny použité pøi odhadu jsou poèítané jako aritmetické prùmìry nákupních a prodejních cen, ke kterým jsou pøipoèteny pøíslušné alikvotní úrokové výnosy. Tabulka 3 Èeské vládní dluhopisy, 15. kvìtna 2006

Titul SDB5.70/06 SDB6.30/07 SDB2.90/08 SDB2.30/08 SDB3.80/09 SDB6.40/10 SDB3.70/13 SDB6.95/16 SDB4.60/18

P bid 101,35 103,20 100,05 98,30 101,90 111,05 99,50 123,65 104,60

P offer 101,65 103,50 100,35 98,60 102,20 111,35 99,80 123,95 104,90

Durace 0,43 0,81 1,76 2,22 2,66 3,47 5,92 7,22 9,03

Kupón 5,70 6,30 2,90 2,30 3,80 6,40 3,70 6,95 4,60

Splatnost 26.10.2006 17.3.2007 17.3.2008 26.9.2008 22.3.2009 14.4.2010 16.6.2013 26.1.2016 18.8.2018

AI 319,83 106,75 49,14 148,22 59,11 60,44 -28,78 216,22 345,00

Durace 0,24 0,62 1,56 2,03 2,46 3,27 5,94 7,02 8,82

Kupón 5,70 6,30 2,90 2,30 3,80 6,40 3,70 6,95 4,60

Splatnost 26.10.2006 17.3.2007 17.3.2008 26.9.2008 22.3.2009 14.4.2010 16.6.2013 26.1.2016 18.8.2018

AI 430,67 229,25 105,53 192,94 133,00 184,89 43,17 351,36 -25,56

Tabulka 4 Èeské vládní dluhopisy, 25. èervence 2006

Titul SDB5.70/06 SDB6.30/07 SDB2.90/08 SDB2.30/08 SDB3.80/09 SDB6.40/10 SDB3.70/13 SDB6.95/16 SDB4.60/18

P bid 100,70 102,35 99,60 97,80 101,05 109,80 98,60 122,70 103,70

P offer 100,90 102,55 99,80 98,10 101,35 110,10 98,90 123,00 104,00

Pøi odhadu parametrù Svenssonovy funkce využíváme rovnice (2). Odhadnuté ceny dluhopisù mohou být „fitovány“ ke skuteèným cenám pomocí metody nelineárních nejmenších ètvercù, zobecnìné metody momentù nebo pomocí maximální vìrohodnosti. My jsme použili metodu nelineárních nejmenších ètvercù (konkrétnì pøíkaz Maltabu lsqnonlin). Obrázek 4 ukazuje odhadnutou okamžitou forwardovou køivku a diskontní výnosovou køivku k 15. kvìtnu 2006. Již na první pohled se výsledek nejeví jako pøíliš uspokojivý. Repo sazba stanovovaná ÈNB byla 15. kvìtna 2006 2 %, což neodpovídá poèáteèní hodnotì odhadnuté forwardové køivky. Navíc trajektorie odhadnuté forwardové køivky bìhem prvních šesti mìsícù dramaticky klesá pod 2 % a teprve poté dochází k jejímu postupnému nárùstu. To by indikovalo oèekávání o brzkém poklesu repo sazby a teprve poté o jejím následném rùstu. Takový výsledek je oèividnì nerealistický. Problém, že odhadnutá forwardová køivka, zejména pro blízké doby vypoøádání, se nezdá být realistická je mj. zpùso-

802 l


ben skuteèností, že pøi odhadu používáme pouze velmi málo dluhopisù s brzkou dobou splatnosti. Jedním ze zpùsobù, jak mùžeme tento problém pøekonat je, že pøi odhadu parametrù „vážíme“ odchylky skuteèných a odhadnutých cen pøevrácenou hodnotou modifikovaných durací. Takto upravený odhad okamžité forwardové køivky zobrazuje obrázek 5. Obrázek 4 Odhadnutá spotová výnosová køivka a okamžitá forwardová køivka 15. kvìtna 2006 (bez úpravy o duraci) 0.05 spotová výnosová køivka 0.045 okamžitá forwardová køivka

Sazby

0.04

0.035

0.03

0.025

0.02

0

0.5

1

1.5 Èas (v letech)

2

2.5

3

Obrázek 5 Odhadnutá spotová výnosová køivka a okamžitá forwardová køivka 15. kvìtna 2006 (s úpravou o duraci) 0.045 spotová výnosová køivka okamžitá forwardová køivka 0.04

Sazby

0.035

0.03

0.025

0.02 0

0.5

1

1.5 Èas (vletech)

2

2.5

3

Na obrázku 5 mùžeme vidìt, že poèáteèní hodnota okamžité forwardové køivky je nyní velmi blízko 2% hodnotì repo sazby. Zároveò je okamžitá forwardová køivka pozvolnì rostoucí , což v rámci námi pøijatého pøedpokladu o zanedbatelné výši rizikových prémii mùžeme interpretovat jako oèekávání trhu, že ÈNB bude postupnì zvyšo-


l 803

vat úrokové sazby. Odhadnutý prùbìh okamžité forwardové køivky je v souladu s oèekáváním finanèních analytikù, které monitoruje ÈNB13. Mùžeme tedy øíci, že odhadnutou forwardovou køivku lze považovat za realistický odhad. Samozøejmì je potøeba zdùraznit, že odhadnutá forwardová køivka pouze aproximuje oèekávání budoucí mìnové politiky. Je tomu tak z dùvodù, že okamžitá forwardová køivka pouze aproximuje budoucí vývoj 2-týdenní repo sazby a zároveò riziková prémie mùže v urèitých obdobích nabývat významných hodnot. Závìreèný obrázek 6, který v této èásti pøedstavíme porovnává odhadnutou forwardovou køivku z 15. kvìtna 2006 a z 25. èervence 2006. Obrázek 6 Porovnání okamžité forwardové køivky 15. kvìtna a 25. èervence 2006 (s úpravou o duraci) 0.045 okamžitá forwardová køivka 15. kvìtna 2006 okamžitá forwardová køivka 25. èervence 2006

0.04

Sazby

0.035

0.03

0.025

0.02

0

0.5

1

1.5 Èas (v letech)

2

2.5

3

Obrázek 6 nám poskytuje zajímavý pohled. Mùžeme na nìm pozorovat posun oèekávání ohlednì budoucího vývoje mìnové politiky, ke kterému došlo mezi 15. kvìtnem a 25. èervencem 2006. Forwardová køivka z 25. èervence 2006 je mnohem strmìjší než forwardová køivka z 15. kvìtna 2006. Jinými slovy to znamená, že se úèastníci trhu v tomto èasovém rozmezí stali více „jestøábími“. Tak napø. repo sazba oèekávaná k 25. èervenci 2007 je podle odhadu forwardové køivky z 25. èervence 2006 témìø 3,25 % zatímco podle odhadu forwardové køivky z 15. kvìtna 2006 je blízko 2,75 %14. Takováto zmìna v tržních oèekáváních ohlednì budoucího vývoje repo sazby se na jednu stranu zdá být pomìrnì výrazná, na druhou stranu se ovšem opìt zdá, že to odpovídá realitì. Pokud tuto zmìnu opìt porovnáme s mìøením tržních oèekávání pomocí dotazníkù

13 ÈNB monitoruje oèekávání pomocí pravidelného mìsíèního dotazníku Mìøení inflaèních oèekávání

finanèního trhu. V tom jsou finanèní analytici dotazováni na jejich oèekávání ohlednì budoucího vývoje vybraných makroekonomických velièin. Více informací k uvedenému dotazníku lze nalézt na webových stránkách ÈNB. 14 Mìjme na pamìti, že 25. èervence 2007 pøedstavuje pøi odhadu výnosové køivky k 15. kvìtnu 2006 témìø 1,2 rokù do splatnosti, resp. vypoøádání.

804 l


ÈNB, je zøejmé, že zmìna oèekávaného vývoje 2-týdenní repo sazby je v obou pøípadech podobná. Urèité odlišnosti, které stojí za zmínku, však mùžeme pozorovat. Zejména se jedná o skuteènost, že posun k více „jestøábím“ oèekáváním je v našem odhadu výraznìjší než naznaèuje dotazník ÈNB. Dùvodù k tomu mùže být nìkolik. Jedním z nich mùže být skuteènost, že v období mezi kvìtnem a èervencem 2006 došlo ke zvýšení rizikové prémie. Narùst rizikové prémie by se nepøíznivì promítl do našeho odhadu, ale nepromítl by se do dotazníkového mìøení ÈNB. Jiným dùvodem mùže být skuteènost, že naše metoda mìøí oèekávání všech úèastníkù dluhopisového trhu, zatímco metoda ÈNB zahrnuje oèekávání pouze nìkolika finanèních analytikù. A koneènì dalším z možných dùvodù mùže být skuteènost, že èasové periody ve kterých došlo ke zmìnì tržních oèekávání se ne zcela pøekrývají. Zatímco v našem odhadu se jedná o zmìnu oèekávání zaznamenanou mezi 15. kvìtnem a 25. èervencem 2006, tak v dotaznících ÈNB se jedná o zmìnu mezi 11. kvìtnem a 12. èervencem 2006. Pøedevším nesoulad v èervenci mohl vést k uvedenému rozdílu. Mezi 12. a 25. èervencem totiž došlo k nìkterým událostem, které mohly vést k posunu sentimentu k výraznìjšímu zvyšování úrokových sazeb. Mezi tyto události mùžeme poèítat nìkterá vyjádøení èlenù bankovní rady ÈNB nebo také èervnová èísla o rùstu spotøebitelských cen. Závìrem této èásti textu mùžeme øíci, že odhad okamžité forwardové køivky založený na Svenssonovì metodì upravený o modifikovanou duraci funguje v èeských podmínkách pomìrnì dobøe. Zdá se, že odhadnuté forwardové køivky lze úspìšnì využít k extrakci tržních oèekávání budoucího vývoje krátkodobých úrokových sazeb. 6. Závìr

Èasová struktura úrokových mìr bývá reprezentována výnosovými køivkami. V tomto textu jsme se zabývali konstrukcí výnosových køivek v Èeské republice s využitím pozorovaných cen vládních kupónových dluhopisù. Celkovì mùžeme pøi konstrukci výnosové køivky vyjít z nìkolika rùzných pøístupù. Uvedli jsme tøi základní pøístupy. První, teoreticky nejpøitažlivìjší øešení, je využití metody bootstraping. Ta však na èeském trhu naráží na nedostateèné množství obchodovaných vládních dluhopisù a souèasnì je spojena s problémem, že obchodované dluhopisy v prùbìhu roku nevyplácejí kupónové platby ke stejným datùm. Tyto pøekážky èiní metodu bootstraping pro konstrukci výnosové køivky v realitì nepoužitelnou. Druhým struènì zmínìným pøístupem je konstrukce výnosových køivek pomocí splinù. Nejvìtší pozornost byla vìnována tøetímu možnému pøístupu, a sice konstrukci výnosových køivek pomocí parametrických funkcí. Ty jsou založeny na popisu výnosové køivky pomocí nìjaké vhodnì zvolené parametrické funkce, jejíž parametry jsou odhadovány minimalizací sumy ètvercù rozdílù teoretických a skuteèných cen dluhopisù. Ukázali jsme, že parametrické funkce zejména polynomù vyššího stupnì bývají velmi citlivé na velmi malé zmìny úrokových sazeb a dávají nepøijatelné výsledky. Dále jsme testovali nìkolik parametrických funkcí a prezentovali tøi, které vedly k nejlepším výsledkùm. Došli jsme k závìru, že všechny tøi uvedené funkce lze pro konstrukci výnosových køivek bez vìtších problémù použít. Pouze na nejkratším konci výnosové køivky poskytovaly tyto tøi funkce odlišné výsledky. V závìreèné èásti jsme použili Svenssonovu funkci pro odhad okamžité forwardové


l 805

køivky na èeském trhu. Poté co jsme poskytli její ekonomickou interpretaci jsme prezentovali výsledky odhadnutých køivek. Došli jsme k závìru, že odhadnuté okamžité forwardové køivky založené na Svenssonovì funkci upravené o modifikovanou duraci v èeských podmínkách fungují pomìrnì dobøe, a že je lze zdárnì využít k extrakci tržních oèekávání budoucího vývoje krátkodobých úrokových sazeb a tím i k extrakci oèekáváních ohlednì budoucí mìnové politiky ÈNB. Pomìrnì dobøe se nám rovnìž podaøilo zachytit zmìnu v tržních oèekáváních. Dodatek Spotové a forwardové úrokové míry

Pøedpokládejme, že máme zadaný systém cen zero bondù P ( t ) pro každou dobu splatnosti 0 £ t £ T. Bez újmy na obecnosti pøedpokládáme u všech bondù jmenovitou hodnotu rovnou 1. Úroková míra R ( t ) na dobu od t do T je definována jako míra výnosnosti do doby splatnosti t. Tedy P (t ) = e - R (t ) t , kde P (t) je cena zero-bondu v èase t. Odtud snadno dostáváme 1 P ( t ) = - log P ( t). t Okamžitá spotová úroková míra je definována jako r = lim R ( t) t ®0

Forwardová úroková míra f (T1 , T2 ) v èase 0 na dobu od do T1 , T2 , T2 > T1 je definována (pøi použití spojitého úroèení) na základì vztahu e R (T2 )T2 = e R (T1)T1 e f (T1 ,T2 )(T2 -T1) . Levá strana udává hodnotu jednotkového vkladu uloženého spotovì na dobu do T2 , pravá strana uložení spotem na dobu T1 a následnì forwardem od T1 do T2 . Aby se zabránilo arbitrážním možnostem, musí se obì strany rovnat. Okamžitá forwardová úroková míra f ( t ) je definována jako f ( t ) = lim f ( t, T ). T ®t

Lze ukázat, že platí (viz Málek 2005) f (t ) = -

P ¢ ( t ) -¶ log P ( t ) . = P (t ) ¶t

Dále platí pro cenu zero bondu æ t ö P ( t ) = expç -ò f(s)ds ÷ ç ÷ è 0 ø

806 l


a pro spotovou úrokovou míru t

R (t ) =

1 f(s)ds . t ò0

Z pøedchozích úvah plyne dùležitý závìr: Znalosti cen zero bondù P ( t ), spotových úrokových mìr R ( t ) a okamžitých forwardových úrokových mìr 0 £ t £ T jsou ekvivalentní. Literatura BIS. 2005. Zero-Coupon Yield Curves: Technical Documentation [BIS Papers, No. 25]. BOLDER, D.; STRÉLISKI, D. 1999. Yield Curve Modelling at the Bank of Canada. Technical Report. 1999, no. 84. DIEBOLD, F. X.; CANLIN, L. 2006. Forecasting the term structure of government bond yields. Journal of Econometrics. 2006, no. 130, s. 337–364. HULL, J. 1999. Options, Futures & other Derivatives. 4th ed. Hertfordshire : Prentice Hall, 1999. JARROW, R. A. 2002. Modeling Fixed-Income Securities and Interest Rate Options. Stanford : Stanford University Press, 2002. KLOSTER, A. 2000. Estimating and Interpreting Interest Rate Expectations. Economic Bulletin. 2000, no. 3, Norges Bank. LEMKE, W. 2006. Term Structure Modeling and Estimation in a State Space Framework. Lectures Notes in Economics and Mathematical Systems. 2006, vol. 565, Springer Verlag. MÁLEK, J. 2002. Comparison Bond Prices in Vasicek Models With and Without Jumps. In Európské financie. Teória, politika a praxa [CD-ROM]. Banská Bystrica : Univerzita Mateja Bela, 2002. MÁLEK, J. 2005. Dynamika úrokových mìr a úrokové deriváty. Praha : Ekopress, 2005. NELSON, C. R.; SIEGEL, A. F. 1987. Parsimonious Modelling of Yield Curves. Journal of Business. 1987, vol. 60, s. 473–89. RADOVÁ, J. 2002. The Cost Analysis of Corporate Financing Using Bonds Issues. In Európské financie. Teória, politika a praxa [CD-ROM]. Banská Bystrica : Univerzita Mateja Bela, 2002. RADOVÁ, J.; DVOØÁK, P.; MÁLEK, J. 2005. Finanèní matematika pro každého. 5. vyd. Praha : Grada, 2005. SÖDERLIND, P.; SVENSSON, L. 1997. New Techniques to Extract Market Expectations from Financial Instruments. Journal of Monetary Economics. 1997, vol. 40, no. 2, s. 373–429. SVENSSON, L. 1993. Term, Inflation, and Foreign Exchange Risk Premia: A Unified Treatment [Working Paper, no. 4544]. NBER, 1993. SVENSSON, L. 1994. Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden 1992–1994 [Working Paper, no. 4871]. NBER, 1994. SVERIGES RIKSBANK 2006. Inflation Report. 2006, no. 1. ŠTÌRBA, F. 2006. Estimation and Interpretation of Instanteneous Forward Rate Curve – Czech Case. E+M Ekonomie a Management. 2006, no. 4, s. 104–111.


l 807

YIELD CURVE CONSTRUCTION USING GOVERNMENT BONDS IN THE CZECH REPUBLIC Jiøí Málek, Jarmila Radová, Filip Štìrba, University of Economics, nám. W. Churchilla 4, CZ – 130 67 Praha 3 ([email protected])

Abstract The paper deals with yield curve construction methods using coupon bonds in Czech bond market. Generally, there are more possibilities how to approach this problem: bootstraping, splines, parametric functions. Due to the lack of tradable public bonds and due to the fact that existing bonds do not pay coupons at the same date of the year, traditional bootstraping method could not be applied under Czech market conditions. It seemed appropriate to use parametrical solutions to the yield curve issue and minimise the sum of squares of differences between market and theoretical prices. There were presented three function types which arrived to similar results in the paper. The authors also used Svensson parametric function to demonstrate the possible use of parametric yield curve construction. It was shown that, after duration adjustment, it can indicate shift in market expectations regarding future short term interest rate moves, and thus regarding future monetary policy, pretty well.

Keywords term structure of interest rates, yield curve, government bonds, Czech Republic, estimation of parametric functions, market expectations JEL Classification G10, G12, C61, C63

808 l


KONSTRUKCE VÝNOSOVÉ KØIVKY POMOCÍ VLÁDNÍCH DLUHOPISÙ V ÈESKÉ REPUBLICE

Recommend Documents