Geometrie
Kˇrivky
Dalˇ s´ı uˇ ziteˇ cn´ e konstrukce paraboly ˇ sen´ Reˇ eu ´lohy Konstrukce paraboly dan´ e dvˇ ema teˇ cnami s body dotyku Pˇ r´ıklad: Sestrojte parabolu p, jsou-li d´any jej´ı teˇcny t1 , t2 s body T1 , T2 dotyku. • zvolme dvˇe r˚ uznobˇeˇzn´e pˇr´ımky t1 , t2 a na kaˇzd´e z nich jeden bod, oznaˇcme je T1 ∈ t1 a T2 ∈ t2 ; ˇz´adn´ y z nich necht’ pˇritom neleˇz´ı v pr˚ useˇc´ıku zvolen´ ych teˇcen; d´a se dok´azat, ˇze t´ımto zp˚ usobem je parabola d´ana jednoznaˇcnˇe, jej´ım p´at´ ym urˇcuj´ıc´ım elementem je nevlastn´ı pˇr´ımka roviny – teˇcna hledan´e paraboly v nekoneˇcnu. . . t1
T1
T2 t2
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
1
Geometrie
Kˇrivky
• d´a se uk´azat, ˇze pˇr´ımka o0 = RR0 , kde R = t1 ∩ t2 a bod R0 je stˇred u ´seˇcky T1 T2 , ud´av´a smˇer osy o hledan´e paraboly p (vypl´ yv´a to z tzv. projektivn´ıch nebo pol´arn´ıch vlastnost´ı paraboly); jestliˇze nav´ıc budou body T1 , T2 ve stejn´e vzd´alenosti od pr˚ useˇc´ıku 0 0 R = t1 ∩ t2 , tj. bude-li platit |T1 R| = |T2 R|, potom pˇr´ımka o = RR bude pˇr´ımo osou o = o0 hledan´e paraboly a stˇred u ´seˇcky RR0 by podle Vˇety 4 o subtangentˇe ud´aval jej´ı vrchol; pro tuto variantu zad´an´ı necht’ si ˇcten´aˇr ve voln´em m´ıstˇe na str´ance laskavˇe naˇcrtne nebo nar´ ysuje samostatn´ y obr´azek jako cviˇcen´ı. . . t1
T1
o′ R′
R
T2 t2
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
2
Geometrie
Kˇrivky
• jeden pr˚ uvodiˇc bodu T1 je rovnobˇeˇzn´ y s osou o a tedy tak´e s pˇr´ımkou o0 , druh´ y je podle Vˇety 1 s prvn´ım osovˇe soumˇern´ y podle teˇcny t1 ; analogicky m˚ uˇzeme sestrojit tak´e oba pr˚ uvodiˇce bodu T2 a urˇcit ohnisko F jako pr˚ useˇc´ık tˇech pr˚ uvodiˇc˚ u bod˚ u T1 , T2 , kter´e 0 nejsou rovnobˇeˇzn´e s pˇr´ımkou o ; poznamenejme jeˇstˇe, ˇze tato konstrukce je pˇri ruˇcn´ım r´ ysov´an´ı dosti nepˇresn´a (zejm´ena pˇri pˇren´aˇsen´ı u ´hl˚ u) a nav´ıc nefunguje v pˇr´ıpadˇe, kdy t1 ⊥ t2 (necht’ si ˇcten´aˇr pro zaj´ımavost tuto variantu opˇet radˇeji nar´ ysuje do voln´eho m´ısta): pˇri takov´em zad´an´ı totiˇz splynou soumˇern´e pr˚ uvodiˇce bod˚ u T1 , T2 s pˇr´ımkou T1 T2 a nelze tedy nal´ezt ohnisko F jako jejich pr˚ useˇc´ık; d´a se ovˇsem dok´azat, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe je ohnisko F patou kolmice spuˇstˇen´e z pr˚ useˇc´ıku R = t1 ∩ t2 na pˇr´ımku T1 T2 t1
T1
o′ R′
R
F
T2 t2
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
3
Geometrie
Kˇrivky
• zn´ame-li ohnisko F paraboly, m˚ uˇzeme jiˇz doplnit osu o a pomoc´ı Vˇet 2,3 tak´e vrcholovou teˇcnu v a ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku d; neˇz to provedeme, ukaˇzme jeˇstˇe jin´ y alternativn´ı zp˚ usob ˇreˇsen´ı zadan´e u ´lohy: oznaˇcme R1 , R2 pr˚ useˇc´ıky pr˚ uvodiˇc˚ u bod˚ u T1 , T2 rovnobˇeˇzn´ ych se 0 0 smˇerem o a kolmice k pˇr´ımce o veden´e bodem R = t1 ∩t2 ; pak se d´a uk´azat, ˇze pr˚ useˇc´ık u ´hlopˇr´ıˇcek R1 T2 , R2 T1 ve vznikl´em pravo´ uhl´em lichobˇeˇzn´ıku R1 R2 T2 T1 je vrcholem V hledan´e paraboly p (opˇet to vypl´ yv´a z projektivn´ıch vlastnost´ı paraboly); tento zp˚ usob ˇreˇsen´ı funguje bez omezen´ı, tj. je lhostejno, zda jsou zadan´e teˇcny t1 , t2 navz´ajem kolm´e ˇci nikoliv t1
T1 R1
o′ R′ V F
R
T2 R2
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
t2
4
Geometrie
Kˇrivky
• at’ uˇz m´ame ohnisko F nebo vrchol V , snadno sestroj´ıme osu o k o0 hledan´e paraboly p; d´ale m˚ uˇzeme z ohniska F v´est kolmici k teˇcnˇe t1 , naj´ıt jej´ı patu P1 , sestrojit bod Q1 soumˇernˇe sdruˇzen´ y a v´est jimi vrcholovou teˇcnu v ⊥ o, P1 ∈ v, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku d ⊥ o, Q1 ∈ d, a n´aslednˇe doplnit vrchol V (tot´eˇz lze zˇrejmˇe prov´est vzhledem k druh´e dan´e teˇcnˇe t2 ); nebo pˇri alternativn´ım zp˚ usobu ˇreˇsen´ı vyjdeme od sestrojen´eho vrcholu V , vedeme j´ım vrcholovou teˇcnu v ⊥ o, ta protne dan´e teˇcny t1 , t2 v bodech P1 , P2 , jimi veden´e kolmice k pˇr´ısluˇsn´ ym teˇcn´am se mus´ı protnout na ose o v ohnisku F a body Q1 , Q2 soumˇernˇe sdruˇzen´e s ohniskem F podle teˇcen t1 , t2 urˇc´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku d; rovnˇeˇz lze vyuˇz´ıt vlastnost´ı subtangenty nebo subnorm´aly nˇekter´eho z bod˚ u T1 , T2 – prostˇe moˇznost´ı doˇreˇsen´ı u ´lohy je zde nˇekolik. . . t1 p T1 d R1
Q1 v P1
o′ R′
D
o
V F
R P2
T2 R2
Q2 t2
2 Diskuze: u ´loha nem´a ˇz´adn´e ˇreˇsen´ı, jsou-li teˇcny t1 , t2 navz´ajem rovnobˇeˇzn´e, nebo nˇekter´ y z bod˚ u T1 , T2 dotyku spl´ yv´a s pr˚ useˇc´ıkem pˇr´ımek t1 , t2 ; jinak m´a dan´a u ´loha vˇzdy pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı.
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
5
Geometrie
Kˇrivky
Pˇ r´ıˇ ckov´ a konstrukce bod˚ u paraboly Pˇ r´ıklad: Sestrojte dalˇs´ı body paraboly p, je-li d´an jej´ı vrchol V , osa o a obecn´ y bod A. • vodorovnˇe zvolme osu o, na n´ı vrchol V a zcela libovolnˇe jeˇstˇe dalˇs´ı bod A, kter´ y m´a na hledan´e parabole leˇzet
A
o
V
• doplˇ nme vrcholovou teˇcnu v ⊥ o, V ∈ v, a bodem A ved’me jeden jeho pr˚ uvodiˇc rovnobˇeˇzn´ y s osou o; pr˚ useˇc´ık tohoto pr˚ uvodiˇce s vrcholovou teˇcnou v oznaˇcme W v A
W
o
V
• u ´seˇcky AW a W V rozdˇelme rovnomˇernˇe na stejn´ y poˇcet d´ıl˚ u – dejme tomu na ˇctyˇri, tj. nap˚ ul a vznikl´e poloviny zase nap˚ ul; dˇelic´ı body na u ´seˇcce AW oˇc´ıslujme 1, 2, 3 smˇerem od bodu A k bodu W ; podobnˇe oˇc´ıslujme 10 , 20 , 30 dˇelic´ı body u ´seˇcky W V smˇerem od bodu W k vrcholu V v W
3
2
1
A
1′ 2′ 3′ V
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
o
6
Geometrie
Kˇrivky
• nyn´ı sestrojme tzv. pˇ r´ıˇ cky paraboly: body 1, 2, 3 spojme u ´seˇckami s vrcholem V a 0 0 0 kaˇzd´ ym z bod˚ u 1 , 2 , 3 ved’me rovnobˇeˇzku s osou o v 3
W
2
1
A
1′ 2′ 3′ o
V
• pak lze dok´azat, ˇze odpov´ıdaj´ıc´ı si pˇr´ıˇcky se prot´ınaj´ı v dalˇs´ıch bodech hledan´e paraboly; konkr´etnˇe u ´seˇcka 1V , resp. 2V , resp. 3V , prot´ın´a rovnobˇeˇzku s osou vedenou bodem 10 , resp. 20 , resp. 30 , v dalˇs´ım bodˇe B, resp. C, resp. D, paraboly p v 3
W 1
1
A
C
2′ 3′
2 B
′
D o
V
• teˇcny v bodech A, B.C, D m˚ uˇzeme sestrojit pomoc´ı Vˇety 4 o subtangentˇe, napˇr. pro bod B: pravo´ uhl´ y pr˚ umˇet R bodu B do osy o pˇrenesme soumˇernˇe podle vrcholu V do bodu K ∈ o a vyt´ahnˇeme teˇcnu t = KB k parabole p v bodˇe B; na z´avˇer lze docela dobˇre volnou rukou vyt´ahnout pr˚ ubˇeh paraboly p, pro kterou m´ame dost bod˚ u a ve dvou z nich i teˇcny v 3
W
t K
1
′
2
′
3′ V
2
1
A
p
B C D R
o
2
Zpracoval Jiˇr´ı Doleˇzal
7
